автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Применение метода последовательных аппроксимаций к расчету ортотропных изгибаемых пластин

На правах рукописи

Соломон Тадессе Демиссе

Применение метода последовательных аппроксимаций

к расчету ортотропных изгибаемых пластин.

05.23.17- строительная механика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва 2004г.

работа выполнена на кафедре строительной механики Московского государственного строительного университета.

Научный руководитель:

- доктор технических наук, профессор Габбасов Радек Фатыхович

Официальные оппоненты:

- доктор технических наук, профессор Смирнов Владимир Анатольевич

кандидат технических наук профессор Атаров Николай Михайлович

Ведущая организация: Государственное унитарное предприятие всероссийский научно-исследователыний институт железнодорожного транспорта.

Защита состоится Гб ноябрь 2004г. в 17.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.138 »12 в Московском Государственном строительном университете, по адресу: Шлюзовая Набережная, д. 8, ауд.409.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского Государственного строительного университета.

Автореферат разослан <£Л> /0 • 2004г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Анохин Н.Н.

2005-4 13542

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Для разработки проектов воздвигаемых сооружений необходимо предварительное выполнение расчетов. С целью использования персональных компьютеров (ПК) упор в расчетах в настоящее время делается на численные методы. Изгибаемые пластины из современных материалов, в том числе контактирующие с упругим основанием, в общем случае следует рассматривать как ортотропные пластины. Из общего алгоритма расчета ортотропных пластин нетрудно перейти и к расчету изотропных плит, рассматривая последние как частный случай. Таким образом, разработка численной методики расчета ортотропных пластин, включая пластины на упругом основании, является актуальной задачей.

Целью диссертационной работы является разработка эффективного алгоритма расчета изгибаемых ортотропных пластин на различные статические нагрузки, в том числе разрывные, с учетом всех возможных комбинаций краевых условий.

В соответствии с этим были поставлены следующие основные задачи:

- разработка методики расчета изгибаемых ортотропных пластин на базе численного метода последовательных аппроксимаций(МПА);

- составление алгоритма расчета ортотропных плит на упругом основании с целью эффективного использования современных ПК;

- использование общей программы, реализующей алгоритм расчета ортотропных пластин, для расчета изотропных плит;

- сравнение полученных результатов с известными аналитическими и численными решениями;

решение новых задач по расчету ортотроинЫАдшш^н ЛЛЬНд^

БИБЛИОТЕКА

С.Петер 09

арУ/

Научная новизна работы заключается в следующем:

- разработана численная методика расчета ортотропных изгибаемых пластин на произвольные статические нагрузки при различных условиях опирания;

- разработан алгоритм расчета ортотропных плит на упругом основании;

- показана возможность применения общей программы для ЭВМ к расчету изотропных плит; решены новые задачи по расчету ортотропных изгибаемых пластин, включая плиты на упругом основании.

Достоверность изложенных в диссертации результатов определяется их сравнением с известными аналитическими и численными решениями, выполнением интегрального условия равновесия, а для впервые решаемых задач - также численным исследованием сходимости решений на ряде вложенных одна в другую сеток.

Практическая ценность работы заключается в разработке эффективных численных алгоритмов и программы для расчета ортотропных изгибаемых пластин. Программа позволяет учитывать:

- различных краевые условия;

- разрывные статические нагрузки;

- опирание ортотропной пластины на упругое основание;

- возможность перехода к расчету изотропных плит.

Кроме того, показано, что плиты без упругого основания при небольшом числе разбиений с достаточно высокой точностью можно рассчитывать без обращения к ЭВМ. Последнее обстоятельство позволяет рекомендовать разработанную методику расчета использовать в учебном процессе, что весьма важно для образовательной системы развивающихся стран.

Апробапия работы состоялась на заседании кафедры строительной механики МГСУ в виде доклада автора и последующего его обсуждения.

Внедрение работы состоит в применении разработанной программы для ЭВМ к решению инженерных задач в проектной организации «Овен».

На защиту выносятся:

- разработанные численные алгоритмы расчета ортотропных пластин, включая плиты на упругом основании, на действие статических разрывных нагрузок;

- решения новых задач по расчету изгибаемых ортотропных пластин.

Объем работы: диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 128 наименований и приложения. Она изложена на 102 страницах, содержит 16 рисунков и 12 таблиц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении сформулированы цели и задачи работы, обоснована актуальность темы, изложены научная новизна и практическая значимость диссертации.

Первая глава содержит обзор литературы, в той или иной степени связанной с вопросами расчета изотропных и анизотропных пластин аналитическими и численными методами.

Теории и методам расчета изотропных однородных изгибаемых пластин, постоянной и переменной жесткости, в линейной и нелинейной

постановке, тонких и средних толщины, помимо фундаментальных трудов И.Г. Бубнова, Б.Г. Галеркина, С.П. Тимошенко и С. Войновского-Кригера, посвящено множество работ российских и зарубежных ученых.

К этому ряду относятся работы A.B. Александрова, Н.И. Безухова, Д.В. Вайнберга, П.М. Варварка, Б.Ф. Власова, В.А. Киселева, Г.В. Колосова, Б.Г. Коренева, Е.Б. Кореневой, JI.C. Лейбензона, A.M. Масленникова, Г. Маркуса, Х.М. Муштари, П.М. Огибалова, А.Ф. Смирнова, H.H. Шапошникова и др.

По теории и расчету конструкций на упругом основании, включая исследования по работе плит, контактирующих с основанием различных моделей, также имеется много публикаций, в основном российских ученых. К ним относятся: Н.М. Атаров, В.В. Болотин, В.З Власов, JI.A. Галин, Н.М. Герсеванов, М.И. Горбунов-Посадов, С.С. Давыдов, А.Н. Динник, К.Е. Егоров, Б.Н. Жемочкин, А.Г. Ишкова, Г.К. Клейн, H.H. Леонтьев, Е.А. Палатников, П.Л. Пастернак, H.H. Пузыревский, И.А. Симвулиди, А.П. Синицин, В.И. Соломин, В.И. Травуш, H.A. Цытович, О.Я. Шехтер, И .Я. Штаерман и другие.

Теория расчета анизотропных пластин обстоятельно изложена в монографии С.Г. Лехницкого. В ней даются основные уравнения теории упругости анизотропного тела, рассматривается плоская задача, исследуется изгиб анизотропных балок, изучается концентрация напряжений в окрестностях эллиптического и кругового отверстий. В этой работе излагается теория изгиба анизотропных пластин, отдельно рассматриваются ортотропные пластинки, уделяется внимание поперечным колебаниям анизотропных плит и вопросам устойчивости этих конструкций; имеются также результаты решения конкретных задач по расчету анизотропных и ортотропных пластин.

Другим фундаментальным трудом, посвященным теории анизотропных пластин, является монография С.А. Амбарцумяна. В этой

работе излагаются уточненные теории изгиба анизотропных пластин, которые представляют собой определенные приемы учета влияния поперечных сдвигов и нормального напряжения в задачах изгиба, устойчивости и колебаний анизотропных пластин.

Кроме указанных выше основных источников по теории и расчету анизотропных пластин, имеется ряд статей, посвященных этим вопросам, следующих авторов: JI.A. Агаловяна, В.В. Бадагадзе, Ф. Бадалова, Е.Ф. Бурмистрова, A.A. Галаси, J1.A. Ильина, К.А. Китовера, Л.Д. Корбуковой, Е.Б. Кореневой, Б.Я. Лащеникова, H.A. Лобковой, Н.М. Маслова, Д.В. Пештмалджяна, И.И. Трянина. Отметим, что теория ортотропных пластин со ссылкой на С.Г. Лехницкого излагается в известной монографии С.П. Тимошенко и Войновского-Кригера. Во всех перечисленных выше трудах общим является отсутствие задач по расчету ортотропных пластин на упругом основании.

В первой главе описываются также современные численные методы: конечных элементов (МКЭ), метод последовательных аппроксимаций (МПА), метод конечных разностей (МКР). Предпочтение отдается МПА. Он был разработан Р.Ф. Габбасовым на кафедре строительной механики МГСУ. Этот метод позволяет достаточно просто строить разрывных решения, обладающие высокой точностью, применительно к широкому кругу задач. Он и был выбран для решения поставленных в диссертации проблем.

Во второй главе разрабатывается методика расчета ортотропных пластин с использованием разностных уравнений МПА. С этой целью разрешающее дифференциальное уравнение поперечного изгиба ортотропных пластин

А

d'W

' дх*

(1)

записывается в безразмерных величинах и приводится к следующему виду:

82 дгу»Я дг\»п

- + у

дч2

д$2 дг)1

= Р,

(2)

где

а=ОхЮу; у=Н/Т)у; р=Ч/Яй; £=х/а; Л=у/а; м- = ^; и-« = §; = . (3)

Чоа дг1

В (3) жесткостные характеристики ортотропной плиты Ох, Н, Оу

считаются заданными, причем:

Н = Ц+2

С<53

12

Д.=-

12

12 12

Е'х, Е'у, в - упругие характеристики материала, которые определяются экспериментально; 5 - толщина пластинки; а - длина одной из сторон прямоугольной плиты, qo - фиксированное значение интенсивности распределенной по произвольному закону нагрузки я.

Формулы для определения внутренних усилий и краевые условия также записываются в безразмерном виде:

Л

М<

.О»44 + ¡М!'

'V

т(4,) = А-и-4";

(4)

,14).

■-4А

.(л) 5 , .,

I/ У

В случае шарнирно опертого края: \у=0; ^ = = 0.

(5)

Если край жестко закреплен при г|=0: \у=0; к4* =0; у/1 =0; при £=0\у=0; п^ы™ = 0, м>( = 0. Если край свободен от закреплений

прит|=0: =

дт) дг]

Если край плиты свободен от закреплений

при4=0: ««'=•««; =

(7) (7а)

(8) (9)

В формулах (4)-(9): V"', %м, °\(4) - заданные на свободных

краях значения безразмерных изгибающих моментов и обобщенных поперечных сил, причем:

Чоа <?оа Чоа Яоа

Яоа

Яйа Чйа Чоа дг1

< дм> Ц

к

А,

(10)

Разностную аппроксимацию дифференциального уравнения (2) по МПА на квадратной сетке с шагом Ь в случае непрерывных и>4?, у/чп можно представить в следующем виде:

1ка ■ »Vй + Ъкг ■»'ЧЛ-ИаАд{() + А• =

= 3« 1 А.У+ />,„,+ />,.,+ Р^ь

где

(П)

• = (а + у + + и-!4, ,_, + <{, ,+1)+

ZtM()=L

а

' I—II [ll-IV

Дqfl

1-11 lll-IV

-12 + 1

i-п iii-iv ,

+ч^

i-П I п дJs) -о«) •

остальные члены в (13) с верхними левыми индексами имеют аналогичный смысл; • w44 следует из (12) с заменой а, у, соответственно на у, 1, rj;

ZtrAq^ следует из (13) при а=1 с заменой !;, i, j, II, III соответственно на

т|, j, i, III, II; верхние левые индексы при р в (11) означают принадлежность разрывной нагрузки в точке ij тому или иному элементу, номера которых показаны на рис. 1.

'-lj-1_i-U_i-lj+1

III

ij-1

ij

ij+1

II

IV

i+lj-1

i+lj

i+tj+1

Рис. 1.

Уравнение (11) позволяет учитывать разрывы распределенных по площади нагрузок р, а также разрывы поперечных сил

которые равны интенсивности нагрузок, сосредоточенных в одном из координатных направлений и распределенных по произвольному закону в другом.

Поскольку (11) в каждой регулярной точке сетки у содержит два неизвестных и^ и у»'1'1 , для решения задачи привлекается еще одно уравнение МПА, представляющее собой условие совместности кривизн.

На квадратной сетке при непрерывных V записывается так:

и угч это уравнение

+ Н'

1./И

;+] /-1

+ 14^ -

1+1,./+1

"1-1.У-1

1.У+1

/+1,7-1

++, - +)+ 2о(<; - н-«)+ А

Л-ИЙ) 1-11Й) ПЫУЙ) 1П-№<«)

( 1-ш <ч) 1-ш М »-IV (">) н-1У м } -А Д^-Д?,,- Ад

(14)

= 0.

Если плита шарнирно оперта по всему контуру, для решения задачи достаточно уравнений (11) и (14). При нарушении этой предпосылки необходима аппроксимация краевых условий.

Аппроксимация по МПА условия (7) на квадратной сетке имеет вид:

, + 6<|- + 2и>«,+| - -

-14<; -12<?+1 + - 28и£+| + +

,/+2+ (15)

й)

+ 2-

й)

^..гН,.

7+1

= 0.

Для точки у верхнего заделанного края плиты (15) записывается с заменой г|, 1,3 соответственно на г), _]', 1 при а=1. Для точек правого и нижнего краев эти уравнения записываются в «зеркальном отображении».

Разностная форма условия (9) для верхнего свободного от закреплений края ортотропной плиты имеет следующий вид:

Л|2 + Я|_1_2 у

<+

( "21-, , 1.1+ I

а

1- — к" ,+

<-1 + 2

а у V а/ а Для точки у нижнего края уравнение (16) записывается в «зеркальном отображении»; при этом 0 V*4' меняет знак на обратный. Уравнение типа (16) для левого свободного края приводится в диссертации.

После определения уР* и из совместного решения уравнений

типа (11), (14)-(16) безразмерные изгибающие моменты вычисляются по

ип1

формулам (4). Для определения крутящих моментов т предварительно вычисляются прогибы с использованием одномерного уравнения МПА:

=§(<;->(17)

По найденным w можно вычислить м1, применяя формулу центральных разностей:

+*„♦■). (18)

Для вычисления ^ достаточно в (18) ¡, ] заменить соответственно на и'", 1; тогда по последней формуле (4) определяется

Для вычисления входящих в формулы (5) частных производных порядка выше двух также можно использовать формулу типа (18) с заменой в ней на ^ или и>'™.

В третьей главе диссертации излагается алгоритм расчета ортотропных изгибаемых пластин по МПА. Для решения алгебраических уравнений используется итерационный метод Зейделя. В этом случае

упрощается программа: нет необходимости в составлении матрицы коэффициентов при неизвестных и хранении ее в памяти ЭВМ. Уравнения представляются в виде, удовлетворяющем необходимому условию сходимости итерационного процесса, т.е. так, чтобы коэффициенты при неизвестных в правой части уравнений, формально разрешенных относительно неизвестного в точке у сетки, не превышали по абсолютному значению единицы. Преобразованные указанным путем уравнения приводятся в диссертации. Здесь мы ограничимся уравнением для определения \Уи, которое следует из (17):

использованием формул типа (19) также организуется итерационный процесс, причем V/ можно найти во всех расчетных точках сетки, или избирательно - только в тех, которые представляют интерес.

В третьей главе приводятся также решения тестовых задач по разработанному в диссертации алгоритму. В качестве первой задачи рассматривается расчет квадратной шарнирно опертой по всему контуру ортотропной плиты, загруженной по всей площади равномерно распределенной нагрузкой. Полученные вручную результаты расчета на сетке 2x2 сопоставляются с решением той же задачи В.А. Смирновым по методу фиктивных нагрузок на сетке 8x8. Отличие по наибольшим

изгибающим моментам не превышает 2,6%. Значения т(4) и в

центре плиты, полученные на ЭВМ при различном числе разбиений стороны плиты п, даются в табл. 1, которая иллюстрирует сходимость численного решения.

(19)

Отметим, что V/ вычисляется после определения и>й, м!пц. С

Табл. 1

п

Результаты 2 4 8 16

0,06312 0,06269 0,06268 0,06268

т® 0,03608 0,03487 0,03478 0,03478

XV 0,005444 0,005636 0,005650 0,005651

Я 1,067 1,054 1,023 1,008

Результаты табл. 1 получены при значениях а=0,4823, у=0,6944, ц=0,2083. Приведенная в последней строке таблицы величина Я представляет собой значение интеграла поперечных сил по всему контуру плиты. Видно, что при п=16 величина Я отличается от точного значения равнодействующей внешней безразмерной нагрузки р=1 при равной единице безразмерной стороне плиты на 0,8%. Выполнение интегрального условия равновесия служит хорошим подтверждением высокой точности полученных результатов.

Вторая тестовая задача - расчет прямоугольной ортотропной пластины, жестко заделанной по всему контуру и загруженной по всей площади равномерно распределенной нагрузкой р=1. Безразмерные длины сторон: а=1, Ь=2. Значения наибольшего прогиба и суммарных реакций Я приводятся в табл. 2. Результаты получены, как во всех ниже приведенных задачах, при указанных выше значениях а, у, ц; п - число разбиений меньшей стороны плиты.

Табл. 2.

п

Результаты 4 8 16

^щах 0,004577 0,004861 0,004889

Л. 2,190 2,033 2,004

Значение наибольшего прогиба, полученного С.Г. Лехницким для этой задачи по методу Ритца, лутах=0,005181.

Решение задачи, представленной на рис. 2, получено при различных значениях разбиения п большей стороны плиты и приводится в табл. 3.

Плита шарнирно оперта по всему контуру; интенсивность безразмерной полосовой нагрузки равна 1. В табл. 3 приводятся значения изгибающих моментов и прогиба в центре плиты.

Табл. 3

п

Результаты 8 16 32

^пад 0,01692 0,01652 0,01642

т® шах 0,0967 0,0962 0,0961

ишх 0,1415 0,1463 0,1474

я 0,921 0,969 0,987

Поскольку решение в направлении г) от центра плиты имеет

/ \

затухающий характер , значение /я^ =0,1474 правомерно сопоставить с результатом расчета неограниченной в направлении оси т] полосы, шарнирно опертой по длинным сторонам и загруженной той же нагрузкой. С.Г. Лехницким для такой задачи получено из решения в рядах

«11=0,1449.

Далее в главе 3 даются решения новых задач по расчету ортотропных пластин с различными условиями опирания на действие разрывных нагрузок (рис. 3-6).

Рис.4

Рис.5

Л

На рис. 3 изображена прямоугольная плита с двумя шарнирно опертыми и с двумя жестко заделанными краями, загруженная полосовой нагрузкой. На рис. 4 той же нагрузкой по оси симметрии загружена

квадратная плита с тремя шарнирно опертыми и с одной свободной от закреплений стороной. На рис. 5 та же плита загружена равномерно распределенной моментной нагрузкой по свободному краю. Результаты решения этих (и других) задач приводятся в диссертации. Здесь в табл. 4 приводим результаты расчета в точках А и В неразрезной ортотропной плиты, загруженной на одном из пролетов равномерно распределенной по площади нагрузкой р=1 (рис. 6); промежуточные опоры в плите показаны пунктиром; п - число разбиений меньшей стороны.

Табл. 4

п

Результаты 8 12 16

0,0284 0,0284 0,0284

0,0546 0,0546 0,0546

0,0045 0,0046 0,0046

-0,0497 -0,0498 -0,0498

Я 1,045 1,023 1,014

В четвертой главе диссертации излагается алгоритм расчета ортотропных плит на упругом винклеровском основании. В этом случае дифференциальное уравнение (2) принимает вид:

¿V* д2и>й д2ыцп д2мРп

+ + + = (20)

где с = ~—, К - коэффициент постели, остальные безразмерные

у

величины определяются формулами (3).

Алгоритм расчета позволяет учитывать К=К(х,у); в частном случае К=сош1. Нетрудно предусмотреть скачкообразное изменение К, если в этом есть необходимость.

Из сопоставления (20) с дифференциальным уравнением (2) следует, что для расчета ортотропных плит на винклеровском основании достаточно во всех уравнениях, содержащих р и приведенных в главах 2 и

3, положить р равным р — сн>. В этом вся разница. Поэтому выше был подробно изложен алгоритм расчета ортотропных пластин без упругого основания. Следует, однако, иметь ввиду, что при расчете ортотропных плит на упругом основании одновременно с и и/" необходимо определять и безразмерные прогибы используя (19) для каждой расчетной точки сетки.

В табл. 5 приводятся результаты расчета ортотропной плиты на упругом основании по рис. 4 при с=1 и различных значениях разбиения стороны плиты п.

Табл. 5

п

Результаты 8 12 16

«У 0,1847 0,1879 0,1894

тУ 0,0579 0,0572 0,0569

«А 0,0135 0,0138 0,0139

0,1824 0,1982 0,2071

0,0176 0,0191 0,0198

В табл. 6 даны результаты расчета той же плиты, полученные при п=16 и различных значениях с.

Табл. 6

С

Результаты 1 2 3

»У 0,1894 0,1884 0,1874

ту 0,0569 0,0566 0,0563

0,0139 0,0138 0,0137

0,2071 0,2056 0,2040

0,0198 0,0196 0,0194

В табл. 7 приведены результаты расчета ортотропной плиты на упругом основании по рис. 5 для характерной точки В свободного края. Они получены при п=16 и различных значениях с. Во всех приведенных примерах отпор считается двухсторонним.

Табл. 7

с

Результаты 2 4 6

-0,2763 -0,2708 -0,2654

Wв -0,0950 -0,0944 -0,0938

В главе 4 показано также, что разработанный алгоритм расчета ортотропных пластин и составленную программу можно без каких-либо изменений использовать для расчета изотропных тонких плит как на упругом (винклеровском) основании, так и в случае отсутствия основания. Для этого достаточно ввести в память ЭВМ значения: а=1, у=1, 0У=0, где V - коэффициент Пуассона; О - цилиндрическая жесткость изотропной плиты. Связано это с тем, что при Вх=Н=В>=0 из (1) как частный случай следует дифференциальное уравнение изгиба тонкой упругой изотропной плиты.

Далее в главе 4 показано, что в случае расчета изотропных плит алгоритм расчета нетрудно сформулировать относительно изгибающих

моментов, выражая в уравнениях главы 3 величины , V'1 через т^ и

т^. Этот алгоритм позволяет непосредственно из решения системы разностных уравнений получать необходимые инженеру в первую очередь значения изгибающих моментов в двух взаимно перпендикулярных направлениях прямоугольной изотропной плиты, не контактирующей с упругим основанием.

На большом числе примеров, приведенных в четвертой главе, проиллюстрирована достаточно высокая точность разработанной методики расчета при разбиении изотропной плиты на минимальное число прямоугольных элементов. Это обстоятельство позволяет получать приемлемые для практики инженерных расчетов результаты, не обращаясь к ЭВМ. Данный факт означает, что разработанную в диссертации методику

можно использовать при необходимости в полевых условиях для приближенной оценки напряженно-деформационного состояния рассмотренных в нашей работе конструкций.

Основные результаты

1. Разработан алгоритм расчета тонких упругих ортотропных пластин прямоугольной формы на изгиб при статическом действии разрывных поперечных нагрузок с использованием разностных уравнений метода последовательных аппроксимаций (МПА).

2. Впервые получены разностные уравнения, описывающие условия на свободном от закреплений крае ортотропной плиты, что позволяет рассматривать диссертацию как дальнейшее развитие МПА.

3. Разработанный численный алгоритм распространен на расчет ортотропных пластин, контактирующих с упругим основанием.

4. Показано, что из разработанного в диссертации алгоритма как частный случай следует численная методика расчета изотропных изгибаемых плит.

5. По предложенной в диссертации методике решены тестовые задачи по расчету как ортотропных, так и изотропных пластин.

6. Составлена единая программа для расчета на ПК как ортотропных, так и изотропных пластин, которая позволяет рассчитывать и неразрезные плиты, включая пластины на упругом основании, при различных сочетаниях краевых условий на действие произвольных статических нагрузок.

7. Решены новые задачи с использованием составленной программы по расчету ортотропных плит на упругом основании и без основания.

Основные выводы.

I. Составленная программа работает надежно, что подтверждается сопоставлением результатов расчета с известными решениями и численным исследованием сходимости решений.

II. Программа может быть рекомендована для практического использования.

III. На многочисленных примерах показано, что разработанная в диссертации методика расчета изотропных пластин может быть использована для удовлетворительной оценки напряженно-деформированного состояния изгибаемых плит при минимальном числе разбиений. При этом можно применять простейшие вычислительные средства.

КОПИ-ЦЕНТР св. 77:07:10429 Тираж 100 экз. теп. 185-79-54

г. Москва м. Бабушкинская ул. Енисейская 36 комната N61 (Экспериментально-производственный комбинат)

»1850t

РНБ Русский фонд

2005-4 13542

Введение.

Глава 1. Обзор работ по расчету изотропных, анизотропных плит и численным методам строительной механики.

1.1. О расчете изотропных и анизотропных пластин аналитическими и численными методами.

1.2. Метод конечных разностей (МКР).

1.3. Метод конечных элементов (МКЭ).

1.4. Метод последовательных аппроксимаций (МПА).

1.5. Выводы по главе 1.

Глава 2. Разработка методики расчета ортотропных пластин с использованием разностных уравнений МПА.

2.1. Дифференциальное уравнение изгиба. Основные формулы.

2.2. Краевые условия.

2.3. Преобразование уравнений.

2.4. Аппроксимация дифференциальных уравнений разностными уравнениями МПА.

2.5. Аппроксимация краевых условий.

2.6. Выводы по главе 2.

Глава 3. Разработка алгоритма расчета ортотропных пластин по МПА.

Решение тестовых и новых задач.

3.1. Алгоритм расчета и составление программы для ЭВМ.

3.2. Решение тестовых задач.

3.3. Расчет ортотропных плит с различными краевыми условиями и неразрезных пластин на разрывные нагрузки.

3.4. Выводы по главе 3.

Глава 4. Расчет ортотропных пластин на упругом основании и Расчет изотропных плит.

4.1. Алгоритм расчета ортотропных пластин на упругом основании по МПА.

4.2. Примеры расчета ортотропных пластин на основании Винклера.

4.3. Расчет изотропных плит по разработанной методике как частного случая ортотропных пластин.

4.4. О возможности решения некоторых инженерных задач с использованием микрокалькуляторов.

4.5. Выводы по главе 4.

Как во всех развивающихся странах, в Эфиопии развертывается строительство зданий различных типов, мостов, резервуаров и других сооружений. В качестве материала применяется железобетон; используются и другие современные материалы, обладающие свойствами анизотропии. Многие элементы сооружений представляют собой пластины, работающие как в своей плоскости, так и из плоскости, в том числе опирающиеся на упругое основание.

Актуальность темы.

Для разработки проектов воздвигаемых сооружений необходимо предварительное выполнение расчетов. С целью использования персональных компьютеров (ПК) упор в расчетах в настоящее время делается на численные методы. Изгибаемые пластины из современных материалов, в том числе контактирующие с упругим основанием, в общем случае следует рассматривать как ортотропные пластины. Из общего алгоритма расчета ортотропных пластин нетрудно перейти и к расчету изотропных плит, рассматривая последние как частный случай. Таким образом, разработка численной методики расчета ортотропных пластин, включая пластины на упругом основании, является актуальной задачей.

Целью диссертационной работы является разработка эффективного алгоритма расчета изгибаемых ортотропных пластин на различные статические нагрузки, в том числе разрывные, с учетом всех возможных комбинаций краевых условий.

В соответствии с этим были поставлены следующие основные задачи: разработка методики расчета изгибаемых ортотропных пластин на базе численного метода последовательных аппроксимаций (МПА); составление алгоритма расчета ортотропных плит на упругом основании с целью эффективного использования современных ПК; использование общей программы, реализующей алгоритм расчета ортотропных пластин, для расчета изотропных плит; сравнение полученных результатов с известными аналитическими и численными решениями; решение новых задач по расчету ортотропных плит.

Научная новизна работы заключается в следующем: разработана численная методика расчета ортотропных изгибаемых пластин на произвольные статические нагрузки при различных условиях опирания; разработан алгоритм расчета ортотропных плит на упругом основании; показана возможность применения общей программы для ЭВМ к расчету изотропных плит, решены новые задачи по расчету ортотропных изгибаемых пластин, включая плиты на упругом основании.

Достоверность изложенных в диссертации результатов определяется их сравнением с известными аналитическими и численными решениями, выполнением интегрального условия равновесия, а для впервые решаемых задач — также численным исследованием сходимости решений на ряде вложенных одна в другую сеток.

Практическая ценность работы заключается в разработке эффективных численных алгоритмов и программ для расчета ортотропных изгибаемых пластин. Программы позволяют учитывать: различных краевые условия; разрывные статические нагрузки; опирание ортотропной пластины на упругое основание; возможность перехода к расчету изотропных плит.

Кроме того, показано, что плиты без упругого основания при небольшом числе разбиений с достаточно высокой точностью можно рассчитывать без обращения к ЭВМ. Последнее обстоятельство позволяет рекомендовать разработанную методику расчета использовать в учебном процессе, что весьма важно для образовательной системы развивающихся стран.

Публикации. Написанная в соавторстве с научными руководителем статья «Эффективный численный метод расчета ортотропных пластин» направлена для опубликования в журнал «Известия ВУЗов. Строительство».

Апробация работы состоялась на заседании кафедры строительной механики МГСУ 29.У1. 2004 г. в виде доклада автора и последующего его обсуждения.

Внедрение работы состоит в применении разработанной программы для ЭВМ к решению инженерных задач в проектной организации «Овен».

На защиту выносятся: разработанные численные алгоритмы расчета ортотропных пластин, включая плиты на упругом основании, на действие статических разрывных нагрузок; решение новых задач по расчету изгибаемых ортотропных пластин.

Объем работы: диссертация состоит из введения, четырех глав,

4.5. Выводы по главе 4

Показано, что разработанный в главе 3 алгоритм расчета ортотропных плит и составленная программа легко распространяются на расчет ортотропных пластин, контактирующих с упругим основанием. По этой программе можно рассчитывать и изотропные плиты.

Заключение

В соответствии с поставленными целями в диссертации выполнено следующее.

1. Разработан алгоритм расчета ортотропных прямоугольных пластин на изгиб при статическом действии разрывных поперечных нагрузок. Для этого использованы предложенные Р.Ф. Габбасовым разностные уравнения метода последовательных аппроксимаций (МПА). В известной мере разработку указанного алгоритма можно рассматривать как дальнейшее развитие МПА.

2. Разработанный в диссертации численный алгоритм распространен на расчет ортотропных пластин, контактирующих с упругим иснованием.

3. Показано, что из разработанного в работе алгоритма как частный случай следует численная методика расчета изотропных изгибаемых плит.

4. По предложенной в диссертации методике расчета решены тестовые задачи по расчету как ортотропных, так и изотропных пластин.

5. По предложенному алгоритму составлена единая программа для расчета на ЭВМ как ортотропных, так и изотропных пластин. Программа позволяет рассчитывать и неразрезные плиты (включая пластины на упругом основании) при различных сочетаниях краевых условий на действие произвольных статических нагрузок.

6. Решены новые задачи по составленной программе по расчету ортотропных плит на упругом основании и без основания.

Подведя итоги выполненной работы, можно сделать следующие выводы.

I. Составленная программа работает надежно, устойчиво, что подтверждается сопоставлением разультатов расчета с известными решениями и численным исследованием сходимости решений.

II. Программа может быть рекомендована для практического использования.

III. На многочисленных примерах показано, что разработанная в диссертации методика расчета изотропных пластин по МПА может быть использована для удовлетворительной оценки напряженно-деформированного состояния изгибаемых плит при минимальном числе разбиений. При этом можно применять простейшие вычислительные средства.

1. Абовский Н.П. О применении метода конечных элементов совместно с другими методами. Пространственные конструкции в Красноярском крае, 1975, в. 8, с. 215-219.

2. Агаловян Л.А. Об уточнении классической теории изгиба анизотропных пластин.- Изв. АН Арм. ССР, сер. физ.-мат. наук, т.18, №5, 1965, с. 16-29.

3. Александров A.B., Шапошников H.H. Об использовании дискретной модели при расчете пластинок с применением цифровых автоматических машин.- Труды МИИТ, вып. 194, 1966, с. 50-67.

4. Александров A.B., Лащеников Б.Я., Шапошников H.H. и др. Применение метода перемещений для расчета плит на упругом основании.- Тр. МИИТ, вып. 371, 1971.

5. Александров A.B. Дискретная модель для расчета ортотропных пластин и оболочек.- Тр. МИИТ, вып 364, 1971, с 3-10.

6. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин.- М.: Наука, 1987, 360с.

7. Амбарцумян С.А., Пештмалджян Д.В. К теории ортотропных оболочек и пластинок.- Изв. АН. Арм. ССР, сер. физ.-мат наук, 12, №1, 1959, с43-59.

8. Андреев В.И. Упругое и упругопластическое равновесие толстостенных цилиндрических и сферических непрерывно-неоднородных тел. Дисс. на соискание ученой степени докт. техн. наук.- М.: МИСИ, 1984, 345 с.

9. Атаров Н.М. Некоторые вопросы расчета конструкций, взаимодействующих с упругим основанием. Дисс. канд., МИСИ, 1971, 139с.

10. Бажанов В.Л., Гольденблат И.И. Копнов В.А. и др. Пластинки и оболочки из стеклопластиков.- М.: Высшая школа, 1970, 407 с.

11. Бадагадзе В.В. О расчете свободно опертых ортотропных пластинок методом сеток.- Сообщ. АН Груз. ССР, 24, №3, 1960, с. 265-272.

12. Бадалов Ф. К решению дифференциального уравнения изгиба прямоугольных ортотропных плит.- ДАН Уз. ССР, №1, 1966.

13. Байков В.Н., Рауэ Э., Хампе Э. Проектирование железобетонных пространственных конструкций.- М.: Стройиздат, 1990, 232 с.

14. Барг Л.А. Расчет пластинок, лежащих на упругом основании.-Строительная механика и расчет сооружений, №6, 1962, с. 11-14.

15. Башелейшвили М.О. Решение задачи изгиба опертой анизотропной пластинки методом интегральных уравнений.- Сообщ. АН Груз. ССР, 39, №1, 1965, с. 29-35.

16. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений, т. II- М.: Физматгиз, 1960, 620 с.

17. Блейх Ф., Мелан Е. Уравнения в конечных разностях статики сооружений.- Гос. научн.-техн. изд. Украины, 1936, 382 с.

18. Бубнов И.Г. Труды по теории пластин.- М.: Гостехиздат, 1953, 154 с.

19. Бузун И.М. Метод конечных разностей и метод конечных элементов. Сравнение решений для пластин.- Тр. Тюменского индустр. ин-та, 1974, в. 40, с. 79-87.

20. Бурмистров Е.Ф. Маслов Н.М. Изгиб круглой ортотропной пластинки переменной жесткости.-Сб. научных тр. «Некоторые задачи теории упругости о концентрации напряжений твердых тел», вып. 4, Изд-во Саратовского ун-та, 1969, с. 123-134.

21. Вайнберг Д.В. Справочник по прочности, устойчивости и колебаниям пластин.- К.: Будивельник, 1973, 488 с.

22. Варвак П.М. Развитие и приложение метода сеток к расчету пластин.- Тр. ин-та строит механики АН УССР, 1949, ч. I 136 е., ч. II - 115 с.

23. Варданян Г.С., Андреев В.И., Атаров Н.М., Горшков А.А. Сопротивление материалов с основами теории упругости и пластичности.- М.: Изд. АСВ, 1995, 568 с.

24. Власов В.З., Леонтьев Н.Н. Балки, плиты и оболочки на упругом основании.- М.: Физматгиз, 1960, 491 с.

25. Габбасов Р.Ф. Расчет плит с использованием разностных уравнений метода последовательных аппраксимаций.- Строит, механика и расчет сооружен., 1980, №3, с.27-30.

26. Габбасов Р.Ф., Уварова Н.Б. Расчет плит на локальные нагрузки численным методом последовательных аппроксимаций.- В. кн. Расчет пространственных конструкций.- Сб. тр. МИСИ, 1981, №157, с. 23-34.

27. Габбасов Р.Ф. О разностных уравнениях в задачах прочности и устойчивости плит.- Прикладная механика, 1982, т. 18, №9, с. 63-67.

28. Габбасов Р.Ф., Захарова JI.B. Расчет изгибаемых плит с использованием обобщенных уравнений метода конечных разностей и разностных уравнений метода последовательных аппроксимаций. Методические указания.- М.: МИСИ, 1984, 36 с.

29. Габбасов Р.Ф., Исматов М.Х. Расчет плит ступенчато-переменной толщины на упругом основании.- Изв. ВУЗов Строительство и архитектура, 1988, №3, с. 29-33.

30. Габбасов Р.Ф. Численное решение задач строительной механики с разрывными параметрами. Дисс. на соискание уч. степени докт. техн. наук.-М., МИСИ, 1989, 343 с.

31. Габбасов Р.Ф., Уварова Н.Б. Расчет плит и балок на упругом основании с использованием разностных уравнений метода последовательных аппроксимаций. Методические указания.- М.: МИСИ, 1990, 36 с.

32. Габбасов Р.Ф., Филатов В.В. Расчет сжато-изогнутых пластин при неполном контакте с упругим основанием.- Сб. тр. МГСУ Теоретические и экспериментальные исследования прочности и жесткости строительных конструкций.- М., 1997, с. 50-53.

33. Галаси A.A. Об упругом равновесии полубесконечной анизотропной пластины с подкрепленным краем.- Изв. АН СССР, ОТН, Механ. и машиностр., №3, 1960, с. 43-48.

34. Галеркин Б.Г. Упругие тонкие плиты.- М.: Гостехиздат, 1933, 371 с.

35. Глазунова Н.Т. К расчету ортотропных пластин трапецеидального профиля.- Тр. Новочерк. политехи, ин-та, т. 104, 1959. с. 75-86.

36. Горбунов-Посадов М.И., Маликова Т.А., Соломин В.И. Расчет конструкций на упругом основании.- М.: Стройиздат, 1984, 679 с.

37. Городецкий A.C., Евзеров И.Д. и др. Метод конечных элементов: теория и численная реализация.- К.: Факт, 1997, 138 с.

38. Даревский В.М. Изгиб прямоугольной пластины со свободными краями, лежащей на упругом основании. Изв. АН СССР, Механика твердого тела, 1977, №1, с. 79-90.

39. Дидов Б.В. О расчете плит на упругом основании.- Сб. тр. ВОДГЕО, №9, 1938, с. 82-112.

40. Динник А.Н. Избранные труды, т.2. Изд-во АН СССР, 1955, 223 с.

41. Длугач М.И. Некоторые вопросы применения метода сеток к расчету пластин и оболочек.-М.: Стройиздат, 1966, с. 555-560.

42. Елсукова К.П. Применение метода конечных элементов к расчету плит на упругом основании.- Автореферат дисс. канд. техн. наук, JL, 1977, 20 с.

43. Еникеев И.И. К теории изгиба неоднородной анизотропной тонкой плиты несимметричного строения.- Тр. Казанского с.-х. ин-та, вып. 42, 1959.

44. Жемочкин Б.Н., Синицин А.П. Практические методы расчета фундаментных балок и плит на упругом основании.- М.: Госстройиздат, 1962, 240 с.

45. Зенкевич O.K. Метод конечных элементов в механике. Перев. с англ. М.: Мир, 1975, 541 с.

46. Захаров К.В. К вопросу о приближенном решении задачи об изгибе ортотропной полосы.- Научно-техн. информ. бюлл. Ленингр. политех, ин-та, №1-2, 1958, с. 187-192.

47. Золотов А.Б., Коренева Е.Б., Сидоров В.Н. и др. Методические указания к выполнению лабораторных работ по информатике для студентов II курса.

48. Часть 3, Численные методы, алгоритмы и программы решения задач на ЭВМ. М.: МГСУ, 2001, 68 с.

49. Иванов С.А. Анализ изгибаемых пластинок методом конечного элемента.- Тр. МархИ, 1972, в. 4, с. 27-31.

50. Исматов М.Х. Расчет плит на упругом основании методом последовательных аппроксимаций. Дисс. канд.- М., МИСИ, 1984, 202 с.

51. Казей С.И. Динамика оболочек вращения в упругой среде. Дисс. на соискание уч. ст. канд. техн. наук, 1977, М.: МИСИ, 124 с.

52. Калманок A.C. Строительная механика пластинок.- Машстройиздат, 1950.

53. Каноненко Е.С. Приближенный расчет плит на упругом основании.-Исследования по теории сооружений, вып. 12, М. 1963, с. 197-211.

54. Караманский Т.Д. Численные методы строительной механики, перев. с болг.- М.: Стройиздат, 1981, 436 с.

55. Киселев В.А. Расчет пластин.- М.: Стройиздат, 1973. 151 с.

56. Китовер К. А. К расчету прямоугольных плит на упругом основании.- Сб. тр. Ленинград, технологич. ин-та холодильной промышленности, вып. 8, 1955, с. 66-70.

57. Китовер К. А. Применение степенных полиномов к решению задач об изгибе ортотропных плит.- Сб. «Расчет пространственных конструкций», вып. 5, Госстройиздат, 1959.

58. Китовер К.А. Об упругом равновесии тонких бесконечных пластинок из ортотропного материала.- Инж. сборник, 30. 1960, с. 85-98.

59. Клепиков С.Н. Расчет конструкций на упругом основании.- К.: Будивельник, 1967, 184 с.

60. Климов С.А. К расчету конструктивно ортотропных пластинок на изгиб.-Сб. «Материалы по металл, конструкциям», вып. 8, Стройиздат, 1964, с. 116152.

61. Коваленко А.Д. Круглые пластины переменной толщины.- М.: Физматгиз, 1959, 294 с.

62. Корбукова Л.Д. Изгиб квадратной анизотропной пластинки, заделанной по краю.- Изв. АН СССР, ОТН, Механ. и машиностроение, №3, 1959, с. 184189.

63. Коренев Б.Г. Вопросы расчета балок и плит на упругом основании.- М.: Госстройиздат, 1954, 232 с.

64. Коренев Б.Г., Травуш В.И. и др. Некоторые задачи теории плит на упругом основании.- Сб. «Прочность и пластичность», М.: Наука, 1971, с. 410-416.

65. Коренева Е.Б. Расчет изотропных и ортотропных круглых пластин переменной жесткости на действие осе симметричных нагрузок.- Изв. ВУЗов. Строительство и архитектура, 1980, №2, с. 40-44.

66. Коренева Е.Б. Изотропные и ортотропные круглые пластины и диски переменной толщины при разрывных антисимметричных воздействиях.- Тр. XIV Всесоюзной конф. по теории пластин и оболочек.- Изд-во Тбилисского Гос. ун-та, 1987, т.2, с.80-85.

67. Коренева Е.Б. Плиты постоянной и переменной толщины из неоднородных и анизотропных материалов.- Тезисы докл. Всесоюзной конф. «Фундаментальные исследования и новые технологии в строительном материаловедении».- изд-во Белгородского ТИСМ, 1989.

68. Кончковский Збигнев плиты статические расчеты Москва Стройиздат 1984, 480с.

69. Королев В.И. Слоистые анизотропные пластины и оболочки из армированных пластин.- М.: Машиностроение, 1965, 272 с.

70. Леонтьев H.H., Соболев Д.Н., Амосов A.A. Основы строительной механики стержневых систем. Изд-во Ассоциации сроит. ВУЗов.- М., 1996, 541 с.

71. Леонтьев H.H., Леонтьев А.Н., Соболев Д.Н., Анохин H.H. Основы теории балок и плит на деформируемом основании.- М.: МИСИ, 1982, 120 с.

72. Леонтьев H.H., Леонтьев А.Н., Соболев Д.Н., Травуш В.И. Аналитические и численные методы расчета прямоугольных пластинок.- М.: МИСИ, 1986, 88 с.

73. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластины.- М.-Л.: Гостехиздат, 1947, 355 с.

74. Лобкова H.A., Ильин A.A. К теории тонких неоднородных пластин.-Прикладная механика, т.1, №8, 1965.

75. Мак-Кракен Д., Дорн У. Численные методы и программирование на Фортране. Перев. с англ.- М.: Мир, 1977, 584 с.

76. Манвелов Л.И., Бартошевеч Э.О выборе расчетной модели упругого основания.- Строит, механика и расчет сооружений, 1965, №4, с 14-18.

77. Маркус Г. Теория упругой сетки и ее применение к расчету плит и безбалочных перекрытий.- ОНТИ, 1936, 444 с.

78. Масленников А.М. Расчет тонких плит методом конечных элементов.- Тр. ЛИСИ, 1968, №57, с. 186-193.

79. Масленников А.М. Расчет строительных конструкций численными методами. Учебн. пособие.- Изд-во Ленинград, ур-та, 1987, 224 с.

80. Маслов Н.М. Изгиб круглой ортотропной пластинки переменной толщины. Прикладная механика, 1965, т.1, вып. 2, с. 67-73.

81. Мельников Л.А. Теоретическое и экспериментальное исследование работы железобетонных плит, опертых по контуру.- Прикладная механика, 9, №5, 1963, 505 с.

82. Михайлов Б.К. Пластины и оболочки с разрывными параметрами.- Л.: Изд-во Ленинградского ун-та, 1980, 196 с.

83. Молчан Ю.А. О численном методе расчета пластин переменной толщины.-Изв. ВУЗов. Строительство и архитектура, 1966, №6, с. 18-24.

84. Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. Перев с англ.- М.: Мир, 1981, 304 с.

85. Оганесян Л.А. Численный расчет плит. Решение инженерных задач на ЭВМ.- Л., 1963, с. 84-97.

86. Огибалов П.М. Изгиб, устойчивость и колебания пластинок.- М.: Изд-во МГУ, 1958,389 с.

87. Огибалов П.М., Колтунов М.А. Оболочки и пластины.- М.: изд-во МГУ, 1969, 695 с.

88. Пештмалджян Д.В. Об изгибе ортотропных пластинок.- ДАН Арм. ССР, 32, №1, 1961, с. 17-21.

89. Понятовский В.В. К теории изгиба анизотропных пластинок.- ПММ, 1964, т. 28, в. 6, с. 1033-1039.

90. Проценко A.M., Лосин Н.А. Решение задачи об изгибе железобетонных плит.- Строит, механика и расчет сооружений, 1979, №6, с. 35-38.

91. Ржаницин А.Р. Строительная механика.- М.: Высшая школа, 1991, 439 с.

92. Розин Л.А., Гордон Л.А. Метод конечных элементов в теории пластин и оболочек.- Изд. ВНИИТ, 1971, т. 95, с. 85-87.

93. Саркисян B.C. К решению задачи изгиба анизотропных (неортотропных) пластин.- ДАН Арм. ССР, 37, №3, 1963.

94. Сидоров В.Н. Лекции по сопротивлению материалов и теории упругости.-М., 2002, 352 с.

95. Симвулиди И.А. Расчет инженерных конструкций на упругом основании.-М.: Высшая школа, 1987, 576 с.

96. Слободянский М.Г. Оценка погрешностей приближенных решений линейных задач.- ПММ, XVII, вып 2, 1953.

97. Смирнов А.Ф. Численный метод расчета круглой пластины переменной тощины при полярно-симметричной нагрузке.- Строит, механика, вып. 194.-М: изд-во МИИТ, 1966, с. 4-13.

98. Смирнов В.А. Численный метод расчета ортотропных пластин.-Исследования по теории сооружений, вып. XVIII, М.: Стройиздат, 1970, с. 56-64.

99. Смирнов В.А. Изгиб ортотропной пластины при действии поперечной и продольной нагрузок.- Исследования по теории сооружений, вып XIX, М.: Госстройиздат, 1972, с. 54-69.

100. Смирнов В.А. Расчет пластин сложного очертания.- М.: Стройиздат, 1978, 300 с.

101. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки, перев. с англ.- М.: Наука, 1966, 635 с.

102. ЮЬТравуш В.И. Изгиб четверть бесконечной плиты, лежащей на упругом основании.- Изв. АН СССР, Механика твердого тела, 1971, №2, с. 69-73.

103. Трянин И.И. Сложный изгиб ортотропной прямоугольной пластинки, жестко заделанной по контуру.- Прикладная механика, 10, №2, 1964, 130 с.

104. Филатов В.В. Расчет сжато-изогнутых балок и плит на несплошном упругом основании. Дисс. канд. техн. наук.- М.: МГСУ, 1999, 125 с.

105. Хемминг Р.В. Численные методы. Перев. с англ.- М.: Наука, 1972, 400с.

106. Хечумов P.A. Вариационный метод расчета составных стержней переменного сечения.- М.: МИСИ, 1962, 28 с.

107. Чернышев Г.Н. О действии сосредоточенной силы и сосредоточенного момента на анизотропную пластину.- Инж. журнал, 4, №1, 1964.

108. Шапошников H.H. Расчет пластинок на изгиб по методу конечного элемента.- Тр. МИИТ, 1968, в. 260, с. 134-144.

109. Шапошников H.H., Волков A.C. Расчет пластинок и коробчатых конструкций методом конечных элементов.- Исследования по теории сооружений, 1976, в. XXII М.: Стройиздат, с. 134-146.

110. Шехтер О. Я., Винокурова A.B. Расчет плит на упругом основании,-ОНТИ, М.-Л. 1936, 226 с.

111. Herts H. Über das Gleichgewicht shwimmender elastischer Platten.- Annalen Physik und Chimie, Bd.7, 1884, Jeipzig, s. 449-455.

112. Heck O., Ebner. Tafeln und Berechnungen für die Festigkeit von Platten und Schalen Konstruktionen im Flugzeugbau. Luftfahrforschung, 1935, B.l 1, №8.

113. Huber M.T. Einige Anwendungen der Biegetheorie orthotroper Platten,-Zeitschrift f. Angew. Mafh. u. Mech., 1926, B.6, H.3.

114. Huber M.T. Probleme der Statik technischwichtiger orthotroper Platten. -Warszawa, 1929.1 lö.Gheung V.K., Nag D.K. Plats and beaws on elastic foundation linear and nonlinear behavior. Gcotechnigue, vol 18, №2, 1968, London, p. 250-260.

115. Gilg B. Experimentelle und theoretische Untersuchungen an dünner Platten, Zürich, 1952.

116. Federhofer K. Knickung der Kreisplatte und Kreisringplatte mit veränderlicher Dicke.- Jng. Archiv,- 1940, s. 224-238.

117. Jeitz H. Zur Anisotropie kreuzweise bewehrten Betons.- Zeitschrift f. Angew. Math, und Mech., 1926, B.6, H.3.

118. Marcus G. Theore und Berechnung rotationssymmetrischer Bauwerke, Budepest, Academiai Kiodo, 1967, s. 598.

119. Olsson G.R. Biegung der Rechteckplatte bei linear veränderlicher Biegungs -Steifigheit, Jng.- Arch., 5, 1934, 363 s.

120. Pasternak P. Die Baustatische Theorie biegefester Balken und Platten auf elastischer Bettung.- Beton und Eisen, 1926, №9, s. 163-172.

121. Pichler O. Die Biegung Kreissymmetrischer Platten von veränderlicher Dicke.-Berlin, 1928-609.

122. Seydel E. Über das Ausbeulen von rechteckigen isotropen oder orthogonalanisotropen Platten bei Schubbeanspruchung.- Jng. Archiv, 1933, t4, №2.

123. Winkler E. Die Lehrne von der Elastizität und Festigheit, Praga, 1867, 388 c.

124. Wolf K. Ausbreitung der Kraft in der Halbebene und in Halbraum bei anisotropem Material.- Zeitsch. f. Angew. Math. und. Mech. 1935, B. 15, H.5.

125. Zinkiewicz O. Finite Element Method from intuition to generaliti. - Appl. Mech. Reviews, 1970, p. 249-256.

126. Резултаты диссертационной работы Соломона Тадессе Демиссе на тему: «Применене метода последовательных аппроксимаций к расчету орто'тропных изгибаемых пластин» будут и в дальнейшем использованы в проектной практике бюро.1. Главный инженер

127. ООО «ОВЕН-Гражданпромпроек