автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Численное решение задачи устойчивости пластин при действии неравномерной сжимающей нагрузки

003484995

На правах рукописи

МЕЛЕХИН НИКОЛАЙ МИХАЙЛОВИЧ

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ УСТОЙЧИВОСТИ ПЛАСТИН ПРИ ДЕЙСТВИИ НЕРАВНОМЕРНОЙ СЖИМАЮЩЕЙ НАГРУЗКИ

05.23.17 - Строительная механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва 2009

2 С КОЯ ?

003484995

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования Московском государственном строительном университете.

Научный руководитель:

- доктор технических наук, профессор Габбасов Радек Фатыхович

Официальные оппоненты: - доктор технических наук, профессор

Мкртычев Олег Вартанович

- кандидат технических наук, доцент Клейн Владимир Георгиевич

Ведущая организация:

ГОУ ВПО «Московский архитектурный институт (Государственная академия)»

Защита состоится « 26 » ноября 2009 года в 15 час. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.138.12 при ГОУ ВПО Московском государственном строительном университете по адресу: 129337 Москва, Ярославское шоссе, д. 26, ауд. 420 УЛК.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО Московского государственного строительного университета.

Автореферат разослан «2 2» октября 2009

г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Анохин Н.Н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы. Пластины прямоугольной формы входят в состав различных конструкций - крыла самолёта, панели здания, днища резервуара, стенки бункера, днища, палубы и бортовых стенок корабля, призматических оболочек, стенок сварных балок, ребристых плит. Проблемы, связанные с исследованием таких пластинчатых систем и конструированием сложных сооружений, требуют разработки численных методов, алгоритмов и программ для ЭВМ. Ввиду того, что в литературе имеется только ограниченное число решений задач устойчивости пластин с равномерно распределёнными нагрузками на кромках, актуальным является решение задач с различными нагрузками на краях пластины.

В настоящее время имеет значение развитие методов для инженерного расчёта пластин, обладающих высокой точностью при сравнительно малом числе разбиений пластины, в том числе позволяющих производить расчёт вручную при помощи микрокалькулятора. Это ускоряет время расчёта и позволяет произвести расчёт для оценки несущей способности пластины, не прибегая к помощи ЭВМ.

Одним из таких методов является метод последовательных аппроксимаций (МПА), предложенный А.Ф. Смирновым и в дальнейшем разработанный и значительно расширенный Р.Ф. Габбасовым. Этот метод в разностной форме позволяет решать задачи, не прибегая к законтурным точкам, не сгущая расчётную сетку вблизи разрывов и особенностей. Применение разностной формы МПА к расчёту пластин на прочность и устойчивость, а также в динамических расчётах и при расчёте плит на упругом основании показало много достоинств этой формы. МПА успешно дополняет другие численные методы благодаря простоте алгоритма решения задач. МПА универсальнее и проще МКР; сравнение разностной формы МПА с МКЭ при одинаковом порядке аппроксимирующих полиномов говорит о большей точности МПА.

МПА хорошо разработан для решения задач по расчёту изгибаемых пластин, а в отношении задач устойчивости пластин под действием нагрузок в срединной плоскости, в частности неравномерных и разрывных нагрузок на краях и нагрузок во внутренних точках пластины, имеются только расчётные предпосылки.

Цель работы. В задачах устойчивости важнейшей проблемой является определение спектра значений коэффициента кч, при решении инженерных задач интерес представляет в первую очередь значение . Для пластин с различными вариантами нагрузок и условиями на краях эта задача обычно решается весьма трудоёмко с использованием численных методов (в частности МКЭ) и решением вековых уравнений. Поэтому целью диссертационной работы является обобщение и развитие метода последовательных аппроксимаций для решения задач устойчивости пластин с различными условиями на краях при действии произвольных сжимающих нагрузок.

. Для достижения поставленной цели необходимо:

- используя общие разностные уравнения МПА, получить уравнения для решения плоской задачи теории упругости в напряжениях, учитывающие разрывы приложенных нагрузок;

:- по данным уравнениям разработать алгоритм решения плоской задачи теории упругости для пластин с неоднородным и разрывным напряжённым состоянием;

- разработать алгоритм расчёта на устойчивость пластин при неравномерном нагружении и действии нагрузок во внутренних точках сетки, используя результаты решения плоской задачи теории упругости.

Методы исследования. В процессе исследования использовались:

- численное решение задачи на ЭВМ;

- лабораторные испытания металлических пластин на устойчивость.

Научную новизну диссертации составляют следующие результаты:

- обобщение разностных уравнений плоской задачи теории упругости в напряжениях для решения задач с разрывами сжимающей нагрузки;

- составление алгоритма решения плоской задачи теории упругости в напряжениях для задач с разрывами сжимающей нагрузки;

- получение новых разностных уравнений МПА для решения задач устойчивости пластин при действии нагрузок во внутренних точках сетки;

- разработка алгоритма расчёта пластин на устойчивость при действии различных сжимающих нагрузок;

- составление программы на языке программирования С++ по разработанным алгоритмам;

- численное решение новых задач по расчёту пластин на устойчивость.

Достоверность полученных результатов подтверждается точньми решениями задач в работах по устойчивости пластин, сравнением полученных решений с решениями аналогичных задач по МКЭ, сравнением результатов численного решения задачи устойчивости пластин по МПА с результатами испытаний металлических пластин на устойчивость и решением значительного числа тестовых задач.

Практическая ценность работы заключается в:

- обобщении методики решения плоской задачи теории упругости при разрывных нагрузках для применения на практике расчётов;

- разработке программы на языке программирования С++ для решения задач, сводящихся к плоской задаче теории упругости, которая может использоваться в инженерных расчётах;

- разработке методики расчёта пластин на устойчивость при действии различных сжимающих нагрузок для применения на практике;

- разработке программы на языке программирования С++ для расчёта пластин на устойчивость при действии различных нагрузок, которая может использоваться в инженерных расчётах.

Внедрение работы Разработанная в диссертации методика использована в ОАО «ЦНИИСМ».

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на:

- международной конференции «Актуальные проблемы исследований по теории расчёта сооружений.» (Москва, 2009 г.);

- международной научно-практической конференции «Теория и практика расчёта зданий, сооружений и элементов конструкций. Аналитические и численные методы.» (Москва, 2009 г.);

- заседании кафедры строительной механики МГСУ (Москва, 2009 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 2 печатных работы в

рецензируемых журналах, рекомендуемых ВАК для публикации результатов по кандидатским диссертациям.

На защиту выносятся:

- обобщение разностных уравнений и алгоритма решения плоской задачи теории упругости в напряжениях для решения задач с разрывами напряжённого состояния;

- численное решение плоской задачи теории упругости при разрывном напряжённом состоянии;

- разработка алгоритма решения задач устойчивости пластин при действии на краях пластины различных сжимающих нагрузок;

- впервые полученные уравнения МПА для решения задач устойчивости пластин при действии разрывных нагрузок во внутренних точках сетки;

- решение задач устойчивости пластин при действии равномерных сжимающих нагрузок;

- решение задач устойчивости пластин при неравномерном нагружении сжимающими силами и действии нагрузок во внутренних точках сетки;

- проверка и сравнение результатов решения задач устойчивости пластин при действии различных сжимающих нагрузок;

- результаты решения новых задач по расчёту пластин на устойчивость.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы из 165 наименований и приложения. Общий объём диссертации составляет 194 страницы, в текст включены 83 рисунка и 76 таблиц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, даётся её общая характеристика, формулируются основные цели и задачи исследования, обсуждается достоверность и научная новизна результатов работы, их практическая ценность.

В первой главе приводится краткий обзор аналитических (точных и приближённых) и численных методов решения задач устойчивости пластин. Отмечается, что обычно при расчете пластин считается, что напряжённое состояние пластины - однородное. Также показано, что метод последовательных аппроксимаций по сравнению с МКЭ даёт более высокую точность при одинаковом числе разбиений.

Наибольший вклад в развитие построения разностных схем внесли известные зарубежные, советские и российские учёные: А.А. Самарский, С.К. Годунов, B.C. Рябенький и др. Теория и применение МКР разработаны в работах Н.П. Абовского, Г.Д. Абрамова, Ф. Блейха и Е. Мелана, В. Вазова и Д. Форсайта, Д.В. Вайнберга, П.М. Варвака, М.И. Длугача, В.А. Игнатьева, Л.В. Канторовича и В.И. Крылова, Л. Коллатца, Г. Маркуса, Г.И. Марчука, Ш.Е. Микеладзе, Б.В. Нумерова, И.М. Рабиновича, А.П. Синицина, Р.В. Хемминга и др. Метод последовательных аппроксимаций разрабатывался А.Ф. Смирновым, А.В. Александровым, Б.Я. Лащениковым, В.А. Смирновым, М.Б. Вахтовым, В.В. Рогалевичем, В.Д. Шайкевичем, Р.Ф. Габбасо-вым, В.В. Шрамко.

Вторая глава посвящена решению плоской задачи теории упругости в напряжениях по МПА для задач с разрывным напряжённым состоянием.

В случае отсутствия объёмных сил бигармоническое уравнение для определения функции напряжений имеет вид: дхт „ Э4® Э4® п

—г + 2 , ,+—т = 0- ГП

дх4 дх2ду2 ду К '

В безразмерных величинах (1) запишется в виде системы 2-х дифференциальных уравнений 2-го порядка:

д{2 +дг}

2 + = (2)

д2а д2т д£2 + дт]

V к/ п

:2+1Г17 = -5> (3)

_ <Р

где ® - -¡¡Г2 - безразмерная функция напряжений; Е - модуль упругости; Ка

а - характерный размер.

Безразмерные касательные и нормальные напряжения в направлении координатных осей Ц (рис. 1) выражаются через <о так:

*' ш а * (4)

С учётом соотношений (4) дифференциальное уравнение (3) можно записать в виде: <т(,) + <гю = -Б. (5)

Дифференциальные уравнения (2) и (3) решаются с учётом следующих краевых условий: на верхнем и нижнем краях пластины: ;

на левом и правом краях: /=°/, где 0t - заданные

значения безразмерных краевых напряжений, включая нулевые значения в некоторых точках. Имеется ввиду, что °ст^, в общем случае явля-

ются функциями безразмерных координат т\, £ соответственно.

1+ 1 ,Г 1

9 1-1,] М,]+1

I ч III ¡,]Ч1

II IV £

¡+1,1 и и ¡+1,1+1

Рис. 1. Сетка в окрестностях точки г, ]

На квадратной сетке с шагом к на основе общих уравнений МПА получено учитывающее разрывы разностное уравнение, соответствующее дифференциальному уравнению (2):

'гт™ 4-7'п-^ 4-

+2-5'о™ -5"1 а™ +2ша1% +

+2"а)% -5"о™ -5,уа+2*о\% + ,я (!) ■//_(!?) .^„Ы 4.

(6)

+2л0-«>1 ~5п -5"*% +2,г<т1% +

Разностное уравнение, аппроксимирующее дифференциальное уравнение (3) на квадратной сетке относительно тех же неизвестных, запишется аналогично. Уравнение приводится в диссертации.

Эти уравнения справедливы для внутренних точек сетки. Верхние левые индексы в них означают принадлежность той или иной величины соответствующему элементу. Например, " с''' - напряжение сг(,) в точке г, у ,

принадлежащей элементу IV на рис. 1; - то же самое, принадлежащее

элементу II. Предполагается, что ег^7' в точке /, } испытывает конечный разрыв.

Также с учётом возможных разрывов записываются разностные уравнения для краевых точек. Они приводятся в диссертации.

Нормальные напряжения а^ определяются из совместного решения разностных уравнений. После определения сг((\ а™ можно вычислить касательные напряжения во внутренних точках сетки по следующему алгоритму.

дгг

Определяем ~ и ^г в точках сетки по симметричным формулам,

приведённым в диссертации, где Г' и - касательные напряжения на площадках, перпендикулярных осям £ и т] соответственно. Определяем величины касательных напряжений гг и по формуле Симпсона. Поскольку при численном решении закон парности касательных напряжений не всегда выполняется точно, в каждой внутренней точке сетки определяем усреднённые

значения * = — * + ?') (7)

Систему полученных алгебраических уравнений решаем итерационным методом Зейделя. Для решения этим методом получены рекуррентные формулы, удовлетворяющие условиям сходимости итерационного процесса. На основе разработанного алгоритма решена тестовая задача, результаты расчёта сравнены с известным точным решением.

Решены новые задачи с неравномерной и разрывной сжимающей нагрузкой (рис. 2). Края пластины за исключением оговоренных случаев принимаются незакреплёнными в плоскости пластины.

Задача №1

Задача №2

Задача №3

ШУ

Л 31 II

40 41

IV

'///////////А

Ь=]/4 .

101

1! | |

Цг — 5Г 1 1 1 0? III 03 С41 £

1 п 1 11 12 IV 13 141 X

7 21 1 22 23 24

1 31 32 33 34| ;

1__41 42 __4^ 1

I 1

И _ И = 1/4 1 „. ^ -1 ' 4

пV

т

Задача №4

'| ИТ 1 1 02" 1 Г- ТВ III 041

1 11 ! II 12 IV и 141 £

1 1 11 И !

! 21 1 22 1 23 1)1 24 £

1 31 1 32 __42_ 33 г> 341 44|

И =1/4 1 | 11 М{)!

И = 1/4 Ь=!/4

1

т

Рис. 2. Задачи с неравномерной и разрывной нагрузкой С учётом симметрии условия на краях для задачи №4 (рис. 2) записы-

ваются так:

„(ч) _ „(ч) _ „(ч) _ „(ч) _ Лч) _ „{() _ ЛО-1 „(() _ ак)->Л) _ о- т

11 = 1; во всех точках контура 1 = 0.

Вследствие действия нагрузки в точках 21 и 22 (задача №4 на рис. 2), для напряжений в этих точках справедливы следующие соотношения:

= = 1. (9)

С учётом (8), (9) и симметрии уравнение (6) для точки 22 задачи №4 (рис. 2) записывается так:

+ 2+ 4а%> - 1(кт%> + аЦ1 + 2а%> +

М)

.(7)

М.

М.

(10)

+ о{Р + 2ег](|) +4'<г«> -10V«» + < + 2<г«> +3 = 0.

Записывая с учётом краевых условий и симметрии уравнения для остальных точек пластины, получаем систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), которая решается с помощью итерационного метода Зейделя.

На рис. 3, 4а показаны эпюры нормальных и касательных напряжений для задачи №4 (рис. 2).

Этора[о^1по линии Этора^^по линии Эпюра ¡<7^1 Эпюра t 01-41 (слева) 01-41 (справа) по линии 01-41 по линии 01-41

01 0 01 0 0,0386 01 о 01

е

0,0089

0,0165

0,9835

0,5089 |

0,022

£1

0,5089

31

0,0281

0,009 4 0,04 63

0,1122

0,0575

31

21

0,0609

е

41 1 0

Рис. 3. Эпюры напряжений На рис. 46 показан график сходимости величины нормального напря-

жения ,У <Тъ в зависимости от шага разбиения одной стороны пластины в задаче №2 (рис. 2), из которого видна монотонная сходимость решения.

1 22 |

Эпюра[(т53п0 линии 30-34

-0.16981) 31

эг зз

а)

ха

0 -0,1698

0 74 ,6 0.7644 0,7786 0.7855

О 1/4 1/8 1/16 1/32 Ь б)

Рис. 4. Эпюра сг^' и график сходимости величины 17 (т^ Для проверки точности решения задачи №4 (рис. 2) по Симпсону вы-

числяется значение

1

по сечению 30-34 и сравнивается с

величиной равнодействующей внешней нагрузки, равной 1 ■ — • 2 — 0,5.

Величины погрешности решения задачи в зависимости от шага разбиения И даются в табл. 1.

Табл. 1

к 1/4 1/8 1/16 1/32 1/64

в,% -6,42% -0,76%. -0,04% 0 0

Остальные результаты даются в диссертации. По ним установлено, что решения задач обладают высокой точностью и монотонной сходимостью в зависимости от уменьшения шага разбиения. Составлена программа на языке программирования С++ для решения задач, сводящихся к плоской задаче теории упругости.

В третьей главе рассматривается алгоритм решения по МПА задачи устойчивости пластин с равномерной сжимающей нагрузкой.

Дифференциальное уравнение устойчивости тонкой пластины:

о -Т- + 2—5--г

Йх4 дх2ду2 ду4 ,

= -ДГ

2иЛ

а-

д2Ж „821Г д2Ж

йх2

- + /3

сЬеду ду ,

(И)

где ос -

"; N - максимальное из значений

N 'ЛГ " ТУ Иу; IV - прогиб; О - цилиндрическая жёсткость, можно представить в безразмерном виде как систему двух дифференциальных уравнений второго порядка:

д2т д2т г/ д2м> „ д2м . д2' 4

ъе дт}2 у

дцг

- + Р

+г-

0<Г дфт) Ъц

= 0;

М

М1

где

т = ™= £ = 75 ? = ^

М

; -0 = £ 12(1-// )

(12) (13)

27; I - характерный

N1' Л73> = I" I размер пластины, ц - коэффициент Пуассона, Е - модуль упругости, 8 -толщина пластины. Оси £ и т\ выбраны согласно рис. 1.

Условия опирания пластины описываются таким образом:

1) Край пластины шарнирно опёрт:

д2м> д2м> „ дгу/ д2м> „

^^ при ^ 9=0-

2) Защемлённый край пластины:

дм? д\\?

™=А ^ = 0при^0;^ = 0, — = 0 при 77 = 0.

3) Свободный от закреплений и сжимающей нагрузки край пластины: д2м? д2\м дт /, ч д3-и>

и п и IV дт /, \ и и'

а3™

Если на свободном от закрепления крае имеется сжимающая сила:

({) ^ М дм дц

где - безразмерные обобщенные поперечные силы.

Дифференциальному уравнению (12) на квадратной сетке с шагом Ь соответствует разностное уравнение такого вида:

«м,м + 4/и,_и + т1Л] + + 4тиА-20ти+4т^ +

-|((« + 3/? + + 2(5« - /к 1,, +(а-ЪР + + (14)

+ 2(5/ - , - 20(а + /)и>и + 2(5/

— СГ )н',- +

Разностное уравнение, соответствующее (13) на квадратной сетке и разностные уравнения, описывающие различные условия опирания краёв пластины, а также условия в угловых точках приведены в диссертации.

Итерационный метод принимаем в качестве рабочего и при решении задач устойчивости пластин. На основе полученных уравнений в диссертации построены рекуррентные формулы, удовлетворяющие условиям сходимости итерационного процесса.

По полученным формулам задача устойчивости решается следующим образом. Задаёмся наибольшим по модулю элементом векторов искомых значений {>й} и {$} в виде: 1

=откуда: * - О • (15)

I 1тах

Включаем формулы (15) в итерационный процесс. На нулевом шаге при некотором заданном значении к > 0 по формулам (15) находим ¡2 тш ■ Присваивая его значение элементу {/й} или {>?} с определённым номером, а ос-

тальные полагая равными нулю, по рекуррентным формулам итерационного процесса находим новые значения элементов {>й} и {$}, из них выбираем Нтах > по формулам (15) уточняем значение ¡с и т. д. Процесс вычислений ведём до удовлетворения условия |- < е, где е - заданная точность, г - номер итерации.

По такому пути можно найти все значения ^ при небольшом числе разбиений, включая кт-п. При дальнейшем увеличении числа разбиений алгоритм сводится к уточнению значения кют, найденного из предыдущего разбиения.

По рассмотренному алгоритму решены тестовые задачи (№1 на рис. 5).

Задача №1

И

\аЩ

Задача №2

III П 11II11]

^/////////////////////м-

п 11 п > 11 т

1

Рис. 5. Задачи устойчивости пластин с равномерной нагрузкой

В табл. 2 результаты решения задачи №1 сравниваются с аналитическим решением, приведённым в литературе. В первой строке приводится решение по МПА при различном шаге разбиения меньшей стороны пластины, во второй - аналитическое решение, в третьей - погрешность решения по МПА относительно аналитического решения.

Табл.2

к 1/2 1/4 1/8 1/16 1/32

к1=К1л2(Ш) 0,885 0,745 0,71 0,7 0,7

Аналитич. реш. 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7

в,% -20,1 -6,0 -1,4 0 0

Из табл. 2 видно, что решение по МПА обладает высокой точностью и монотонной сходимостью.

Решены новые задачи устойчивости с равномерно распределённой нагрузкой на краях (№2 на рис. 5, №3, 4 на рис. 6).

Задача №3 Задача №4

1С

нпнни

т

Рис. 6. Задачи устойчивости пластин с равномерной нагрузкой На рис. 5 и 6 а также рис. 2 приняты следующие обозначения: -- свободный от закреплений край пластины;

---= - шарнирное опирание; 77/////// - жёсткое защемление.

В табл. 3 приведены результаты решения задачи №2 в зависимости от шага разбиения.

Табл. 3

А 1/4 1/8 1/16 1/32 1/64

2,308 2,491 2,528 2,535 2,536

Из приведённых результатов можно сделать вывод, что решение обладает монотонной сходимостью с уменьшением шага разбиения.

Проведены испытания на устойчивость металлических пластин различных размеров на универсальной испытательной машине с механическим приводом MEL SYSTEME HUS-60 (рис. 7, 8). Результаты испытаний подтверждены протоколом испытаний.

Рис. 7. Фотографии испытаний пластин на устойчивость

В табл. 4 результаты расчёта пластины №1 (рис. 8а) на устойчивость по МПА при различном шаге разбиения стороны (первая строка) сравниваются с результатами испытаний на устойчивость (вторая строка); в третьей строке приводится погрешность результатов испытаний относительно численного решения по МПА.

Табл. 4

h 1/8 1/16 1/32 1/64

К (МПА) 39,28 38,988 38,789 38,709

Испытания 42 42 42 42

в,% 6,5 7,2 7,6 7,8

По результатам в табл. 4 можно сделать следующие выводы: результаты численного решения задачи устойчивости пластин по МПА и результаты испытаний дают близкие значения; численное решение обладает монотонной

сходимостью; высокая точность решения задач устойчивости пластин по МПА достигается на сетке 16x16.

№1 №2

\аЩ I I I II I I I I I I I I I I I I

Схема испытания пластины 200x200x2,5мм.

0

I II I I I I I I I

Й1ИП11

1 - Корпус аидраВлическсео зажима. 2- Клине я, З-Нажимной поршень, 4-П.пастина 200x200x2,5мм.

а)

б)

Рис. 8. Схемы пластан и схема испытания на устойчивость

В четвертой главе разрабатывается алгоритм решения задач устойчивости пластин при неравномерном нагружении сжимающими силами и действии нагрузок во внутренних точках сетки. Он состоит из двух этапов:

- на первом этапе решается плоская задача теории упругости;

- на втором - задача устойчивости пластины.

Приведём полученное на основе общих уравнений МПА новое разностное уравнение, учитывающее действие внешней нагрузки во внутренних точках сетки. Запишем его при 'Р="¡3=тР~УР = 0 (см. рис. 1):

+ 4т,^-20ти+4тш + ¡+и +

+ - [(—1,57 а-3"а + \,5Ш а -1,5'у +1,5" у -3,"у)м>1_]Н + 6

+ (-9'« -6" а -9'" а -б'" а + 4,5'у - \,5" у + 4,5Я/ у -1,5+ + (1,5' а - \,5Ш а -3,у а-3'у-1,5"'у +1,5/уу)и>,„и+1 + + (4,5 'а + 4,5 "а-1,5"'а- 1,51У а-9'у-9" у-6Ш у-6,у у)м>и_, + (}6) + (\5'а + \5"а + \5ша + \51Уа + \5,у + \5иу + \5шу + \5'¥у)™и + + (-1,5'а - 1,5яа + 4,5'"а + А,51Уа -6'у -б"у -9'"у -9+ + (-37 а-1,5" а +1,5л' а +1,5' у5" у -31У +

+ (-б7 а -9" а-6'" а -91У а-1,5'/ + 4,5"/-15"'у + 4,51Уу)м>М} +

Уравнение, учитывающее разрывы коэффициентов а, Р, у, приведено в диссертации.

По разработанному алгоритму решены новые задачи с неравномерной (№ 1 на рис. 2), разрывной на краях пластины (№2 на рис. 2) и разрывной во внутренних точках (№3, №4 на рис. 2) сжимающей нагрузкой.

На рис. 9а показана форма потери устойчивости для задачи №1 (рис. 2). На рис. 96 показаны графики сходимости решений задач №1 и №2 (рис. 2) в зависимости от шага разбиения.

В табл. 5 приведены результаты решения задачи №4 (рис. 2) на различных сетках.

Табл. 5

к 1/4 1/8 1/16 1/32 1/64

~К!лг(№4) 6,734 6,402 5,991 5,86 5,82

В табл. 6 приведены величины критических равнодействующих нагрузки А-О/0 для задачи №4 на рис. 2.

Табл. 6

к 1/4 1/8 1/16 1/32 1/64

33,229 31,591 29,562 28,916 28,719

Из приведённых результатов можно сделать вывод, что решения задач обладают монотонной сходимостью с уменьшением шага разбиения.

Рис. 9. Форма потери устойчивости пластины и графики сходимости

На рис. 10 показано решение задачи устойчивости пластины, загруженной локальной нагрузкой. Решение получено сужением ширины приложения нагрузки. Решение сравнено с аналитическим решением задачи, данным в литературе; показан график сходимости решения задачи к аналитическому решению (А.Р.) в зависимости от ширины распределения нагрузки. Из приведённых на рис. 10 результатов можно сделать вывод, что решение приближается к аналитическому с сужением ширины приложения нагрузки.

Рис. 10. Решение задачи устойчивости с локальной нагрузкой

В результате показано, что алгоритм решения задач устойчивости пластин при действии неравномерных (в том числе и разрывных) сжимающих нагрузок даёт решения высокой точности, обладающие монотонной сходимостью при уменьшении шага разбиения. Составлена программа на языке программирования С++ для решения задач устойчивости пластин при действии различных нагрузок, которая может быть использована в инженерных расчётах.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

Обобщая результаты проведённых исследований, можно сделать следующие выводы. Численный метод последовательных аппроксимаций получил существенное развитие для решения задач устойчивости пластин с неравномерной и разрывной сжимающей нагрузкой.

1. Разработан алгоритм решения и решена плоская задача теории упругости при неоднородном и разрывном напряжённом состоянии.

2. Разработанный алгоритм обладает высокой точностью, а решения монотонной сходимостью в зависимости от увеличения числа разбиений.

3. Составлена программа на языке программирования С++ для решения задач, сводящихся к плоской задаче теории упругости, которая может быть использована в инженерных расчётах.

4. Решены задачи устойчивости пластин при действии равномерной сжимающей нагрузки, результаты решения сравнены с известными аналитическими решениями. Показано, что решение по МПА обладает высокой точностью на крупных сетках.

5. Проведены испытания металлических пластин различных размеров на устойчивость. Результаты испытаний сравнивались с численным решением задачи устойчивости пластин по МПА: сравнение показало, что решение по МПА и результаты испытаний дают близкие значения.

6. Впервые получены новые разностные уравнения МПА, учитывающие действие внешней нагрузки во внутренних точках сетки.

7. Разработан алгоритм решения задач устойчивости пластин постоянной толщины при неравномерном нагружении сжимающими силами и действии нагрузок во внутренних точках сетки.

8. Разработанный алгоритм обладает высокой точностью. Решения задач обладают монотонной сходимостью с уменьшением шага разбиения.

9. Составлена программа на языке программирования С++ для решения задач устойчивости пластин при действии различных нагрузок, которая может быть использована в инженерных расчётах.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих научных работах:

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК России для кандидатских диссертаций:

1. Мелехин Н.М. К численному решению плоской задачи теории упругости [Текст] / Н.М. Мелехин // Вестник МГСУ: Научно - технический журнал - М.: Издательство АСВ, 2009. - №1. - С. 113-117.

2. Мелехин Н.М. Об устойчивости пластин при неравномерном сжатии [Текст] / Н.М. Мелехин // Вестник МГСУ: Научно — технический журнал - М.: Издательство АСВ, 2009. - №3. - С. 154-159.

КОПИ-ЦЕНТР св. 7:07:10429 Тираж 100 экз. г. Москва, ул. Енисейская, д.36 тел.: 8-499-185-7954,8-906-787-7086

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. Численные методы в задачах строительной механики.

Вопросы расчёта пластин на прочность и устойчивость.

1.1 Методы конченых разностей и конечных элементов в расчёте пластин.

1.2 Метод последовательных аппроксимаций.

1.3 Вопросы расчёта пластин.

1.4 Выводы

Глава 2. Численное решение плоской задачи теории упругости в напряжениях.

2.1 Дифференциальные уравнения плоской задачи теории упругости и их представление в безразмерном виде.

2.2 Аппроксимация дифференциальных уравнений разностными уравнениями метода последовательных аппроксимаций.

2.3 Вычисление касательных напряжений.

2.4 Алгоритм решения плоской задачи в напряжениях.

2.5 Решение тестовой задачи.

2.6 Решение новых задач.

2.7 Выводы.

Глава 3. Численное решение задач устойчивости пластин постоянной толщины при равномерном нагружении.

3.1 Дифференциальные уравнения устойчивости пластин и краевые условия.

3.2 Аппроксимация дифференциальных уравнений и краевых условий разностными уравнениями МПА.

3.3 Алгоритм решения задачи устойчивости.

3.4 Решение задач.

3.5 Сравнение численного решения задач по МПА с экспериментальными данными.

3.6 Выводы.

Глава 4. Численное решение задач устойчивости пластин постоянной толщины при неравномерном нагружении сжимающими силами и действии нагрузок во внутренних точках сетки.

4.1 Вывод разностных уравнений МПА для двумерных задач с разрывными параметрами и основные расчётные предпосылки.

4.2 Алгоритм решения задач устойчивости пластин при неоднородном нагружении и действии нагрузок во внутренних точках сетки.

4.3 Решение задач.

4.4 Выводы.

Актуальность темы. Пластины прямоугольной формы входят в состав различных конструкций - крыла самолёта, панели здания, днища резервуара, стенки бункера, днища, палубы и бортовых стенок корабля, призматических оболочек, стенок сварных балок, ребристых плит. Проблемы, связанные с исследованием таких пластинчатых систем и конструированием сложных сооружений, требуют разработки численных методов, алгоритмов и программ для ЭВМ. Ввиду того, что в литературе есть только ограниченное число решений задач устойчивости пластин с равномерно распределёнными нагрузками на краях, в работе рассматриваются задачи с различными нагрузками на краях.

В настоящее время имеет значение развитие методов для инженерного расчёта пластин, обладающих высокой точностью при сравнительно малом числе разбиений пластины, в том числе позволяющих производить расчёт вручную при помощи микрокалькулятора. Это ускоряет время расчёта и позволяет произвести расчёт для оценки несущей способности пластины, не прибегая к помощи ЭВМ.

Одним из таких методов является метод последовательных аппроксимаций (МПА), предложенный А.Ф. Смирновым и в дальнейшем разработанный и значительно расширенный Р.Ф. Габбасовым. Опыт применения МПА к задачам по расчёту пластин и оболочек на прочность и устойчивость, на действие статических и динамических нагрузок выявил высокую точность и эффективность этого метода.

Целью диссертационной работы является обобщение и развитие метода последовательных аппроксимаций для решения задач устойчивости пластин с различными условиями на краях при действии неравномерных нагрузок.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

- используя общие разностные уравнения МПА, получить уравнения для решения плоской задачи теории упругости в напряжениях, учитывающие разрывы приложенных нагрузок;

- по данным уравнениям разработать алгоритм решения плоской задачи теории упругости для пластин с неравномерным и разрывным напряжённым состоянием;

- разработать алгоритм расчёта на устойчивость пластин при неравномерном нагружении и действии нагрузок во внутренних точках сетки, используя результаты решения плоской задачи теории упругости.

Научную новизну диссертации составляют следующие результаты:

- обобщение разностных уравнений плоской задачи теории упругости в напряжениях для решения задач с разрывами сжимающей нагрузки;

- составление алгоритма решения плоской задачи теории упругости в напряжениях для задач с разрывами сжимающей нагрузки;

- получение разностных уравнений устойчивости для решения задачи устойчивости пластин при действии нагрузок во внутренних точках сетки;

- разработка алгоритма расчёта пластин на устойчивость при действии различных сжимающих нагрузок;

- составление программ на языке программирования Visual С++ по разработанным алгоритмам.

Достоверность полученных результатов подтверждается аналитическими решениями задач в работах по устойчивости пластин, сравнением полученных решений с решениями аналогичных задач по МКЭ, сравнением результатов численного решения задачи устойчивости пластин по МПА с результатами испытаний металлических пластин на устойчивость и решением значительного числа тестовых задач.

Практическая ценность работы заключается в:

- обобщении методики решения плоской задачи теории упругости при неравномерных и разрывных нагрузках для применения на практике расчёта;

- разработке программы на языке программирования Visual С++ для решения задач, сводящихся к плоской задаче теории упругости, которая может использоваться в инженерных расчётах;

- разработке методики расчёта пластин на устойчивость при действии различных сжимающих нагрузок для применения на практике;

- разработке программы на языке программирования Visual С++ для расчёта пластин на устойчивость при действии различных нагрузок, которая может использоваться в инженерных расчётах.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на: Международной конференции «Актуальные проблемы исследований по теории расчёта сооружений.» (Москва, 2009), Международной научно-практической конференции «Теория и практика расчёта зданий, сооружений и элементов конструкций. Аналитические и численные методы.» (Москва, 2009), заседании кафедры строительной механики МГСУ (Москва, 2009).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 2 печатных работы в рецензируемых журналах, рекомендуемых ВАК для публикации результатов по кандидатским диссертациям, наименования статей приведены в списке литературы под номерами [84, 85].

Результаты работы внедрены в ОАО «ЦНИИСМ».

На защиту выносятся:

- обобщение разностных уравнений плоской задачи теории упругости в напряжениях для решения задач с разрывами напряжённого состояния;

- разработка алгоритма решения плоской задачи теории упругости в напряжениях для задач с разрывами напряжённого состояния;

- решение плоской задачи теории упругости при неоднородном и разрывном напряжённом состоянии;

- разработка алгоритма решения задач устойчивости пластин при действии различных сжимающих нагрузок;

- решение задач устойчивости пластин при действии равномерных сжимающих нагрузок;

- впервые полученные разностные уравнения МПА для решения задач устойчивости пластин при разрывных напряжённых состояниях;

- решение задач устойчивости пластин при неравномерном нагруже-нии сжимающими силами и действии нагрузок во внутренних точках сетки.

- проверка и сравнение результатов решения задач устойчивости пластин при действии различных сжимающих нагрузок.

Объём работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, библиографического списка и приложения.

3.6 Выводы.

При анализе решения задач устойчивости пластин с однородным напряжённым состоянием можно сделать следующие выводы:

1) Решения всех задач сходятся с увеличением густоты сетки.

2) Решение задач близко подходит к аналитическому уже на сетке 8x8 и практически совпадает с аналитическим на сетке 16x16.

3) Решение всех задач на сетках больше 32x32 - нецелесообразно ввиду того, что при дальнейшем увеличении числа разбиений результат решения остаётся неизменным.

4) Приемлемая точность решения задач устойчивости достигается уже на сетке 16x16.

5) Решение задач с жёстко защемлёнными и шарнирно опёртыми краями, как правило, сходится быстрее, чем решение задач со свободным краем.

6) Рассмотренный в §3.3 данной главы алгоритм решения задач устойчивости даёт решения, обладающие устойчивой монотонной сходимостью.

7) Численное решение задачи устойчивости по МПА и результаты испытаний металлических пластин на устойчивость дают близкие значения.

Глава 4. Численное решение задач устойчивости пластин постоянной толщины при неравномерном нагружении сжимающими силами и действии нагрузок во внутренних точках сетки.

4.1 Вывод разностных уравнений МПА для двумерных задач с разрывными параметрами и основные расчётные предпосылки.

В главе 3 дифференциальным уравнениям устойчивости ставились в соответствие разностные уравнения МПА, учитывающие только непрерывное напряжённое состояние внутри пластины. Но в главе 2 решались задачи с разрывами наряжённого состояния. Следовательно, необходимо получить уравнения, учитывающие разрывы напряжённого состояния пластины при решении задачи устойчивости.

Разрывы в напряжённом состоянии пластины должны учитываться коэффициентами ос, Р и у в уравнении (3.2.1). Это уравнение представляет собой разностный аналог дифференциального уравнения (3.1.4). Нам следует получить разностный аналог (3.1.4) с учётом разрывов коэффициентов а, р и у.

Рассмотрим дифференциальное уравнение (2.1.1), приведённое в

48]: д2со „дао д2(о дсо д2со а—тг + 8—+ В-+ сг— + у—- = -р, (л 1 14 д£2 д<ддт] дг] дт]2 " где а, Р, у, сг, 8 - некоторые коэффициенты.

В [48] было получено разностное уравнение МПА, аппроксимирующее (4.1.1) на двумерной расчётной сетке (рис. 4.1), с учётом возможных конечных разрывов в расчётных точках сетки: искомой функции, её первой и второй производных, а также правой части.

1.Н Н

1+1,

-1^+1

1 ч III 4 + 1 г \ И

II IV N \

1о и и ¡+10+1 /

Рис. 4.1. Сетка в окрестностях точки у

Однако при его выводе все коэффициенты а, /?, у, <7, 8 полагались непрерывными в границах области интегрирования, что оставляет за пределами рассмотрения решение задач строительной механики, в которых основные дифференциальные уравнения относятся к классу уравнений с разрывными коэффициентами. Решение таких задач требует вывода более общих, нежели приведённые в [48], разностных уравнений МПА, учитывающих конечные разрывы коэффициентов (4.1.1) в расчётных точках сетки.

При выводе обобщённых разностных уравнений МПА для двумерных задач будем полагать 8 = а - 0; коэффициенты а, ¡3 и у непрерывны в пределах каждого расчётного элемента, но могут терпеть разрыв на границах элементов (рисунок 4.1).

Запишем левую часть уравнения (2.1.15) [44] (для элемента IV рис.

-2Ъг,г Р,г (0% + А(б"'а+"'Д+3"»лЧ + 12'"ай'Чу+ш - йГД+З'»'"^, + + АО-«+'"/? + 12">'Ч'+1,2„ -й(3"а+'7?)'Ч1и + 1 (15"'«-5"7?+15"»',Чу + (3"'а+5"7?-15"»"'й^, + + (-15'" а +5,гр +3 ">)'Ч+1„ + (-3'"« -5'">9 -3"»'Ч+,

Исключим из (4.1.2) производные с нецелыми индексами по формулам:

К <5

IV

Получим:

- к(-61У а+1Ур у)1У+ (15/к а -51У р +15/к у)1У а?и + (Ъ1У а+51У р-\51У у)1У о>к >+1 + + (-15"а +5^ +3"»7Ч+и + ("3/К« -51У Р - 3- Г)7Ч+1,+1

4.1.3)

4.1.4)

Запишем выражение типа (4.1.4) для элемента III; при этом ¿у^ , /?, а>4 меняют знак на противоположный:

-Щ2ша-шр+Ъту)ша>Ь +К-6та-п,р+Ъшу)шш1+х + (-157/7« -5111 р + З777 гУ'а-и + (-3777 а +5ШР - З777 /)77Ч1>у+1. Суммируем (4.1.4) и (4.1.5):

4.1.5)

-Щгша-шр+Ъшу)ша>Ь + К\21Уа+1Ур+31Уу)1Уо>1 + + к(-6ша-111р+Зшг)ша>1+1 -к(-61уа+1Ур+Ъ1Уу)1Уо>1+х + + КЪша-шр+\2шу)ша>Ъ + к(31У а+1Ур+\21У у)17 с>Ъ --ИОша-ш0-6шГ)ш<и-КЪ1Уа+1Ур-61Уу)1Усо1^ + + {\5ша+5шр + \5шу)шо>и +(Зша-5шр-15шуУ11с>.м + (4Л'6> + (-\5ша-5шр+Зшу)ша>^ + (-Зш а+5шр~Зш у)шо^+1 + + (151Уа-51Ур + \51Уу)1УФи+(31Уа+51Ур-\51ууУУсои+1 + + {-\51У а+51У Р+31У у)1У +{-31У а—51У Р~31У у)^ (оМ]+х.

Запишем выражение типа (4.1.6) для пары элементов I к II; при этом , Р, со71 меняют знак на противоположный:

-к{\21а+1р+31у)1о)1+}1(\211а-пр+311у)11&1. + + /г(—б7 а+'р +37 у)1 а>1х - И{-6и а-"р +3П у)11 ~ - /г(37 а^р + VI1 у?а>Ъ - КЗ11 а-11 р + \2Пу)11 а>1 + + /*(3' а+'р + к{3" а-пр -6 >)7/<и + (\51а-51р-^\51у)1о)и +(31сс+51р-\51у)1(оК]х + (4Л'7) (~151а+51р + 31у)1а)^ + (-Зга-51р-31у)1б)^1 + + {\5па+5пр + \511уУ1о)и+{Зпа-5пр-\511уУ,о)^1 + + {-15"а-5"р +Зпу)1Уам,- + (-3я а +5 "р -311 у)"

Сложим (4.1.6) и (4.1.7):

- 2 h2 ('/?Ч j +inj8UIa>?] +Ivj3Ivcof] ) --к<у11а+1р+Ъ'г)'а>Ь - h(\2IUа-ш0+3ШГ)шafj + + Kl2IIa-IIj3+3ny)IIa>fJ + h(l2IV a+IV P+3iy y)IV co^ + + h(-6Ia+Ip+3IyymfJl-h(-6IIa-IIJ3+3Ilyyi(Dfjl +

- /г(37 ог+7/? +121 у)1 a¡¡ü - Л(37/ a-V + ^"/УЧу + + + +К31Уа+1Ур + \21Уу)1УсоЪ + + /z(37 а+7? -61 у? + А(3" а-ПР -^"гУКи ~ -h(3111 а-шр-6Шу)ш colXJ -h(3Iva+iyp-6lvy)iya>?+lJ + + (r3Ia-5Ifi-3IyyeoiXJl+(-l5Ia+5Ip+3Iy)Iwilj + + (-15ша-5шр+ЗшуУна)^ + (-Зш а+5шр-Зш у)ш со^.+1 + + (31а+51р-151уУо)и1+(151а-51р + 151у)1й)и + + (15ша+5шр + 15шуУ11сии+(Зша-5шр-15шуУп^ + + (311а-511р-15иуУ1о)и1+(15па+511р + 15пуУ1й)и + + (l5<ya-5<yp + l5<yryya>iJ+(3íya+5<yp-l5>yryya>itJ+1 + ^

4.1. о) {-3й а +5пр -3 ny)ncoMJx + (-15я а -5й/3 +3 " у)" со Mj + Исключим из (4.1.8) по МКР:

Полагая, что в уравнении (4.1.8) со^, го'7 являются непрерывными величинами, запишем здесь члены уравнения (4.1.8), зависящие только от со^ и к -\г1а+\гша-\гша+\гпга-1р-шр+шр+пгр-ъ1у+ъпу

-Ъшу+Ъ1Уу)о>I + /*(-67« +6" а +1,5 *р +1,5 V + 0>57Я/? + 0,5/ку? +37 у -3я у)т^х + + Ыт6т а +61У а - 0,57/? - 0,511 р - 1,5Я//? - 1,51У0 +3Ш у -3/к у)а>1+1 + + Л(-З7 а -З77а +3777 а +3/к а-1/3+11/3-ш/3+,у/3 -12 V - 12я/ + (4.1.9) 12шг + 12л>)</ + Л(37 а -З777 а +1,57/? + 0,5 я/? +1,5777/7 + 0,57Г/? -б7 у +67Я + + /г(377« -Ъ1У а - 0,57^ - 1,5я/? - 0,5Я/Д - 1,5"> -6я у +б">К+и •

Выразим а^ ^ со11 в (4.1.9) через со по формулам:

41,7-1); 1

2Л

2Л

4.1.10)

Полагая, что функция (О непрерывна, с учётом выполненного выше преобразования (4.1.9) получим из (4.1.8) окончательно следующее выражение:

-1,57 а -З77 а +1,5777 а - 6,57/3-ир~шр - 0,51У р

-1,5 V + 1,5 я/-З^/К-и-^ {-91 а -б" а -9111 а -61У а + 5,57/? + 0,511 р - 5,5шр - 0,51У р + + 4,57 у - 1,5я/ + 4,5я7/ - 1,51У + + (1,57 а -1,5777 а -Ъ1У а+'р + 0,511 р + 6,5111 р+1Ур --37Г-1,57Я/ + 1,5/7Ки+1 + (4,57 а + 4,5я а -1,5777 а - 1,5/к а + 5,57^ - 5,511Р + 0,5шр - 0,51Ур --91 у -9" у -6шу -61Уг)&и-1 + (157 а +15я а +15Ш а +15/га - 57 р +511Р +5ШР -51Ур + 157/ + 15я/ + 15777/ + 157К/М-у + (-1,57 а - 1,5я а + 4,5777 а + 4,51Уа- 0,5*р + 0,5 V - 5,5шр + 5,51Ур --б1 у-б11 у-9Ш у-91У у)фи+1 + + (-37 а - 1,5я а + 1,5/к Р + 6,511 р + 0,57Я^+7КД + 1,57г-1,5я/-37КгМ+и1 + {-б1 а -9" а -б111 а -91У а - 0,5}р - 5,5"Р + 0,5я7/? + 5,51УР --1,57 у + 4,5я / -1,5777 у + 4,57К у)(о^ + + (1,5я а -З777 а-1,51У а- 0 $ р-11 р~ш р - 6,51У р --3я у + 1,5я7 у - \>51у у)а)м ¿+х.

4.1.11)

С учётом (4.1.11), заменяя со на вместо (3.2.1) получим разностное уравнение, учитывающее разрывы коэффициентов а , Р, у: 4т,у.1-20/п.,.+4т. .+1 + - [(—1,57 а -3я а + 1,5777 а - 6,5! р-11 Р~т р - 0,51Ур -6 (-97 а -6я а -9777 а-61Уа + 5,5* ¡3 + 0,5 V - 5,5 я7/? - 0,57'7/3 + + 4,5 V - 1,5я / + 4,5 я7 Г -1,5+ + (1,57 -1,5777 «г -37К а+'Р + 0,5 V + 6,57Я^+7Ку? --37г-1,57Я/ + 1,577Ки+1 + (4,57 а + 4,5я а - 1,5Я/ а - 1,5/к а + 5,51/3 - 5,5яр + 0,5/я£ ~ 0,57К/? --97г-977/-6Я7^-67к7ХуМ + (157 а +15я а+15777 а +15/к а - 57 /? +577/? +5шр -51Ур + + 151у + 15пу + \5шу + 151Уу)м?и] + (-1,57 а - 1,5я а + 4,5777 а + 4,57К а - 0,57/? + 0,577^ - 5,5шр + 5,51Ур --б7 г -6я ^ -97Я / -9/к у)м>и+х + + (-37 а - 1,5я а + 1,57К а+'р + 6,577/? + 0,5777^+7ГД + + 1,57г-1,577г-37^К,и1 + (-б7 а -9" а -6Ш а -91У а - 0,5]р - 5,511 р + 0,5111 р + 5,517р --1,57 у + 4,5я / -1,5777 Г + 4,5/г + + (1,5я а -37Я а -1,5" я - 0,51р-пр-шр - 6,51УР --3я у +1,5777 у - 1,57К/)"и>г+17+1 ] = 0.

4.1.12)

При непрерывных а , Р, у из (4.1.12) как частный случай следует уравнение (3.2.1).

Полученное уравнение будет использоваться нами в следующих параграфах для решения задач с разрывами напряжённого состояния в точках, лежащих внутри контура сетки.

4.2 Алгоритм решения задач устойчивости пластин при неравномерном нагружении и действии нагрузок во внутренних точках сетки.

Задача устойчивости пластин при неравномерном нагружении и действии нагрузок во внутренних точках сетки решается в два этапа: на первом этапе решается плоская задача теории упругости; на втором — задача устойчивости пластины.

Плоская задача теории упругости решалась в главе 2.

Остановимся подробно на рассмотрении решения задачи устойчивости.

Сначала рассмотрим алгоритм решения задачи устойчивости пластин при неравномерном нагружении и с разрывами сжимающих нагрузок на краях. Во внутренних точках пластины используются уравнения (3.2.1) и (3.2.2), при этом неоднородность распределения напряжений учитывают коэффициенты при м? в уравнении (3.2.1) следующим образом: в каждой внутренней точке сетки будем иметь переменные значения а, ув, у, которые определяются по (3.2.17), например при = 1, формулами а = /? — 2/; у = . Условия в краевых точках описываются уравнениями (3.2.3) - (3.2.14). При решении задач используется алгоритм, приведённый в §3.3 главы 3.

Теперь рассмотрим решение задач устойчивости пластин при действии нагрузок во внутренних точках сетки. В краевых точках сетки условия описываются уравнениями (3.2.3) — (3.2.14). Во внутренних точках сетки, где напряжения не терпят разрыва, пользуемся уравнениями (3.2.1) и (3.2.2), в то же время во внутренних точках сетки, где приложена нагрузка, можно использовать только уравнение (3.2.2), так как коэффициенты при в уравнении (3.2.1) не могут учесть разрывы коэффициентов а, /?, у в окрестности этих точек. Для преодоления этого затруднения возможно следующих три способа:

1) Решение задачи устойчивости путём определения значений т и м> на укрупнённой в 2 раза сетке, обходя при этом точки приложения нагрузки внутри пластины (рис. 4.2 б).

2) Определение значений т в точках приложения нагрузки внутри пластины, как среднего между значениями т в точках соседних выше и нижележащих линий (рис 4.3 а), в которых величины т определяются по уравнению (3.2.1).

3) Определение значений т в точках приложения нагрузки внутри пластины с привлечением уравнения (4.1.12), учитывающего разрывы коэффициентов а , Р, у (рис 4.3 б).

Ввиду того, что при решении мы используем итерационный метод Зейделя, для решения третьим способом нам потребуется рекуррентная формула из разностного уравнения (4.1.12). По аналогии с (3.3.3) запишем её так: м,,=а—, +—1I+ Щ 1 / +Щ ,,+] + К 1 + к 20(1 +А:)

4 т.м +4 ти+1 +

Щ+и +«|+и+1 + - [(—1,57 а-Зпа + 1,5777 а - 6,57/З-11 р~ш ¡3 - 0,57> -6 (-97 а -6Л а -9777 а -61Уа + 5,5*0 + 0,577 р - 5,5шр - 0,51Ур + + 4,57 у- \,5иу+ 4,5777 у -\,51У + + (1,57 а -1,5777 а -31У а+'р + 0,511 р + 6,5шр+1ур --3!у-1,5шу + 1,51УуЩи+1 + (4,57 а + 4,5я а -1,5/7/ а - \,51У а + 5,57Р - 5,577р + 0,5777^ - 0,57^ --91 у-9П у-вш у-в1У у)%]А + (157 а +1577 а +15777 а +151У а - 57 р +5" р +51110 -51У р + + 157г + 1577/ + 15я7г + 157К/)Я>,.7.+ (-1,57 а -1,577 а + 4,5777 а + 51У а- 0,57^ + 0,5 V - 5,5777^ + 5,5717 0 (-37 а -1,577 а + 1,5 ^ а+! р + 6,511 р + 0,5ш р+1У0 + + \,51у-\,511у-Ъ1УуЩ^х + (-б7« -911 а -б777а -91У а - 0,5*Р - 5,5"р + 0,5777/? + 5,51Ур --1,5> + 4,577 у - 1,5Ш у + 4,57Г уЩ+1 у + + (1,577 а -З777 « - \,51У а - 0,57/?-77/?-777/? - 6,51Ур -~377 у + 1,5777 у— 1,57Гу+1 ]}

4.2.1)

Для определения наиболее рационального способа решим задачу с разрывами нагрузки во внутренних точках пластины (рис. 4.2 а) всеми тремя способами и на основе результатов решения выберем оптимальный. а)

Г 1 1 ~1 1 |

1 I 1 1

1 1 1 1 1 1 aiS)

1 1 1 1 1 1,

1 1 1 1

1 1 L 1 1 J v т

Исходная сетха при решении плоской задачи

Расчетная сетка при решении задачи устойчивости h'1/в h=l/6 h=l/6 h-1/6 h=1/6 h=I/6 i Ш rti

Рис. 4.2. Задача с разрывами нагрузки и способ решения №1 а)

С--—}

0 Т с

О V Т с 1 2 3 ч т с 7

I» о ч т с 4 5 6 п ч I с х> ч I с

1 1 т7=(т1+т4)/2 т8=(т2+т5)/2 т8=(т3+те)/2 т б)

1,

I2 ; \ 3 г

I I т

Моменты в точках 1,2, 3 вычисляются по формуле (4.2.1)

Рис. 4.3. Способы решения задачи с разрывами нагрузки №2 и №3

В табл. 4.1 приведены результаты решения задачи (рис. 4.2 а) различными способами.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации рассмотрено построение алгоритмов решения плоской задачи теории упругости при неоднородном и разрывном напряжённом состоянии и решения задачи устойчивости пластин постоянной толщины при неравномерном нагружении сжимающими силами и действии нагрузок во внутренних точках сетки.

Разработанные алгоритмы легко программируются и реализуются на ЭВМ. Результаты решения задач обладают высокой степенью точности, практически совпадают с известными аналитическими решениями при сравнительно редкой сетке. Решения, полученные на базе разработанного алгоритма, быстро сходятся.

По диссертации могут быть сделаны следующие основные выводы и предложения.

1. Разработан алгоритм решения и решена плоская задача теории упругости при неоднородном и разрывном напряжённом состоянии.

2. Разработанный алгоритм обладает высокой точностью и монотонной сходимостью в зависимости от увеличения числа разбиений.

3. Составлена программа на языке программирования Visual С++ для решения задач, сводящихся к плоской задаче теории упругости.

4. Решены задачи устойчивости пластин при действии равномерной сжимающей нагрузки, результаты решения сравнены с известными аналитическими решениями и решением по МКЭ. Показано, что решение по МПА обладает высокой точностью на крупных сетках. Также показано, что решение по МПА обладает большей точностью и быстрее сходится, чем решение по МКЭ.

5. Проведены испытания металлических пластин различных размеров на устойчивость. Результаты испытаний сравнивались с численным решением задачи устойчивости пластин по МП А, сравнение показало, что решение по МПА и результаты испытаний дают близкие значения.

6. Разработан алгоритм решения задач устойчивости пластин постоянной толщины при неравномерном нагружении сжимающими силами и действии нагрузок во внутренних точках сетки.

7. Разработанный алгоритм обладает высокой точностью. Решения задач обладают монотонной сходимостью с уменьшением шага разбиения.

8. Составлена программа на языке программирования Visual С++ для решения задач устойчивости пластин при действии различных нагрузок.

9. Разностная форма МПА существенно дополняет известные методы расчёта в качестве самостоятельного или дублирующего варианта при проектировании конструкций.

10. Материалы диссертации в виде графиков, алгоритмов и программ для ЭВМ могут быть использованы в научно-исследовательских разработках и инженерных расчётах.

1. Абовский Н.П., Енджиевский Л.В., Савченков В.И. и др. Избранные задачи по строительной механике и теории упругости. М.: Стройиздат, 1978. 189 с.

2. Абрамов Г.Д.Исследование устойчивости и сложного изгиба пластин, стержневых наборов и оболочек разностными методами. Л.: Суд-промгиз, 1951. 52 с.

3. Азархин A.M., Абовский Н.П. Об итерационных методах в некоторых задачах строительной механики // Исследования по теории сооружений. 1977. В. XXIII. М.: Стройиздат. С. 152-157.

4. Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения. М.: Мир, 1972. 316 с.

5. Александров A.B. Численное решение линейных дифференциальных уравнений при помощи матрицы дифференцирования // Тр. МИИТ. М., 1961. В. 131. С. 253-266.

6. Александров A.B., Лащеников Б.Я., Смирнов В.А., Шапошников H.H. Методы расчета стержневых систем, пластин и оболочек с использованием ЭВМ. М.: Стройиздат, 1976. Ч. I. 248 с. Ч. II. 237 с.

7. Александров A.B., Шапошников H.H. Об использовании дискретной модели при расчёте пластинок с применением цифровых автоматических машин // Сб. трудов МИИТ. М.: Трансжелдориздат, 1966. С. 50-67.

8. Ал футов H.A. Основы расчёта на устойчивость упругих систем. М.: Машиностроение, 1991. 336 с.

9. Анисимов А.Н. и др. К реализации решения задач упругой устойчивости пластин методом конечного элемента // МКЭ в строительной механике. Горький: ГГУ, 1975. С. 131-140.

10. БаргЯ.А., Лившиц А.Л., Лившиц В.Л. К решению задачи о балке-стенке с жёстко закреплёнными краями // Строительная механика и расчёт сооружений. 1968. №5. С. 21-23.

11. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. М.: Стройиздат, 1982. 447 с.

12. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987. 600 с.

13. Безухов Н.И., Лужин О.В., Колкунов Н.В. Устойчивость и динамика сооружений в примерах и задачах. М.: Высшая школа, 1987. 264 с.

14. Бовин В.А. Дискретный вариант плоской теории упругости // Исследования по теории сооружений. М.: Стройиздат, 1980. В. 24. С. 121128.

15. Борисов М.В., Вахитов М.Б. О решении некоторых задач теории упругости с помощью интегрирующих матриц // Тр. КАИ. Казань, 1974. В. 166. С. 32-39.

16. Борисов М.В., Вахитов М.Б. Расчёт прямоугольных пластин с помощью интегрирующих матриц // Вопросы расчёта прочности конструкций летательных аппаратов. Казань, 1976. С. 7-11.

17. Борисов М.В., Прегер А.Л. Метод интегрирующих матриц при расчёте пологих оболочек // Исследования по строительным конструкциям и строительной механике. Томск: Изд-во ТГУ, 1983. С. 28-30.

18. Бубнов И.Г. Труды по теории пластин. М.: Гостехиздат, 1953.423 с.

19. Вайнберг Д.В., Ворошко П.П., Геращенко В.М. и др. Разностные уравнения контактной задачи изгиба пластин // Сопротивление материалов и теория сооружений. Киев: Будивельник, 1965. В. III. С. 27-40.

20. Вайнберг Д.В. Справочник по прочности, устойчивости и колебаниям пластин. Киев: Будивельник, 1973. 488 с.

21. Вайнберг Д.В. и др. Метод конечного элемента в механике деформируемых тел // Прикладная механика. 1972. Т. 8. №8. С. 3-28.

22. Варвак П.М., Варвак Л.П. Некоторые вопросы теории кубических сплайнов, изложенные с позиций строительной механики // Расчёт пространственных конструкций. Куйбышев, 1974. В. 4. С. 57-62.

23. Варвак П.М., Варвак Л.П. Метод сеток в задачах расчёта строительных конструкций. М.: Стройиздат, 1977. 154 с.

24. Варга Р. Функциональный анализ и теория аппроксимации в численном анализе. М.: Мир, 1974. 124 с.

25. Ван Цзиде. Прикладная теория упругости. М.: Физматгиз, 1959.400 с.

26. Вахитов М.Б. Интегрирующие матрицы — аппарат численного решения дифференциальных уравнений строительной механики // Известия вузов. Авиационная техника. 1966. №3. С. 50-61.

27. Вахитов М.Б. К численному решению уравнения поперечного изгиба монолитного крыла // Известия вузов. Авиационная техника. 1960. №4. С. 132-141.

28. Вахитов М.Б., Сафариев М.С. К применению метода прямых для расчёта пластин // Тр. КАИ. 1972. В. 143. С. 59-67.

29. Вахитов М.Б., Сафариев М.С., Снигирев В.Ф. Расчёт крыльевых устройств на прочность. Казань: ТКИ, 1975. 212 с.

30. Вольмир A.C. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1977. 984 с.

31. Габбасов Р.Ф. О численно-интегральном методе решения краевых задач строительной механики для дифференциальных уравнений в частных производных // Исследования по теории сооружений. М.: Стройиздат, 1976. В. XXII. С. 27-34.

32. Габбасов Р.Ф. Об интегральной и дифференциальной формах численного метода последовательных аппроксимаций // Строительная механика и расчёт сооружений. 1978. № 3. С. 26-30.

33. Габбасов Р.Ф. Применение теории сплайнов к задачам строительной механики // Некоторые вопросы прочности строительных конструкций. Сборник трудов МИСИ. М., 1978. № 156. С. 65-76.

34. Габбасов Р.Ф. О разностных формах метода последовательных аппроксимаций // Численные методы решения задач строительной механики. Киев: Издательство КИСИ, 1978. С. 121-126.

35. Габбасов Р.Ф., Кайдалов Б.П. Разностные уравнения метода последовательных аппроксимаций в задачах устойчивости пластин // Известия вузов. Строительство и архитектура. 1981. № 11. С. 58-62.

36. Габбасов Р.Ф., Кайдалов Б.П. Метод последовательных аппроксимаций в задачах устойчивости и прочности пластин // Исследования по строительным конструкциям и строительной механике. Томск: Издательство Томского университета, 1983. С. 31-38.

37. Габбасов Р.Ф., Исматов М.Х. Об учёте закруглений входящих углов при расчёте изгибаемых плит. М., 1983. 12 с. Рукопись представлена МИСИ им. В .В .Куйбышева. Деп. в ВИНИТИ Госстроя СССР. №4665.

38. Габбасов Р.Ф. Сравнение методов конечных элементов и последовательных аппроксимаций // Доклады IX Международного конгресса по применению математики в инженерных науках. Веймар, 1981. Т. 2. С. 1315.

39. Габбасов Р.Ф. Применение разностных уравнений МПА к плоской задаче теории упругости // Строительная механика и расчёт сооружений. 1982. № 4. С. 23-26.

40. Габбасов Р.Ф., Егер В., Шрамко В.В. О численном решении задач с особенностями в теории тонких изгибаемых плит // Доклады X Международного конгресса по применению математики в инженерных науках. Веймар, 1984. Т. 4. С. 12-14.

41. Габбасов Р.Ф К расчёту стержней и стержневых систем методом последовательных аппроксимаций // Известия вузов. Строительство и архитектура. 1980. №4. С. 30-35.

42. Габбасов Р.Ф., Уваров Б.Ю., Мысак В.В. Устойчивость стенки балки с поясами из тавров // Металлические конструкции. Тр. МИСИ. М., 1985. С. 27-34.

43. Габбасов Р.Ф., Пергаменщик Б.К., Шрамко В.В. Решение плоской задачи теории упругости с учётом переменных значений коэффициента Пуассона // Известия вузов. Строительство и архитектура. 1987. №5. С. 3134.

44. Габбасов Р.Ф. Численное решение задач строительной механики с разрывными параметрами: Дисс. докт. техн. наук. М., 1989. 343 с.

45. Габбасов Р.Ф. Эффективные численные методы построения разрывных решений задач строительной механики // Известия вузов. Строительство. 1992. №2. С. 104-107.

46. Габбасов Р.Ф. О разностных уравнениях в задачах прочности и устойчивости плит // Прикладная механика. 1982. Т. XVIII. №9. С. 63-67.

47. Габбасов Р.Ф. Применение численно-интегрального метода к расчёту плит на упругом основании // Прикладная механика. 1976. Т. XII. №10. С. 21-26.

48. Габбасов Р.Ф., Габбасов А.Р., Филатов В.В. Численное построение разрывных решений задач строительной механики. М.: АСВ, 2008. 273 с.

49. Габбасов Р.Ф., Филатов В.В. Расчёт сжато-изогнутых плит с использованием разностных уравнений метода последовательных аппроксимаций (МПА). Методические указания для студентов специальности «теория сооружений». М.: МГСУ, 2003. 40 с.

50. Габбасов Р.Ф. О расчёте на устойчивость составных пластин по теории А.Р. Ржаницына // Юбилейный сборник докладов, посвящается 100-летию со дня рождения В.З. Власова и 85-летию кафедры Строительная механика. М., 2006. С. 31-36.

51. Гагарина A.A., Самусь В.М. Решение плоской задачи теории упругости для многосвязных областей на квазианалоговом сеточном инте/граторе // Применение электронных вычислительных машин в строительной механике. Киев: Наукова думка, 1968. С. 127-131.

52. Гениев Г.А. К вопросу решения плоской задачи теории упругости методом аналогии с изгибом пластинки // Строительная механика и расчёт сооружений. 1963. №3. С. 5-7.

53. Гершгорин С.А. О приближённом интегрировании дифференциальных уравнений Лапласа и Пуассона // Известия Ленинградского политехнического института. 1972. №30. С.75-97.

54. Гинке Э. Механическая интерпретация многоточечных конечно-разностных методов высокой точности, применяемых для расчёта пластин и оболочек // Расчёт упругих конструкций с использованием ЭВМ. Л.: Судостроение, 1974. Т. 2. С. 274-296.

55. Годунов С.К. О численном решении краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений // Успехи математических наук. 1961. Т. XVI. В. 3. С. 171-174.

56. Городецкий A.C. Численная реализация метода конечных элементов // Сопротивление материалов и теория сооружений. Киев: Буди-вельник, 1973. В. XX. С. 31-42.

57. Дехтярюк Е.С., Романенко Ф.А., Синявский А.Л. Численное решение плоской задачи теории упругости методом верхней релакции // Тезисы докладов на IV всесоюзной конференции по применению ЭЦВМ в строительной механике. Киев, 1965. 34 с.

58. Длугач М.И. Метод сеток в смешанной плоской задаче теории упругости. Киев: Наукова думка, 1964. 260 с.

59. Длугач М.И. Некоторые вопросы применения метода сеток к расчету пластин и оболочек // ЭЦВМ в строительной механике. М.: Стройиз-дат, 1966. С. 555-560.

60. Добыш А.Д. Конструктивное представление гладких кривых и поверхностей // Тр. МИСИ. М., 1970. №83. С. 107-123.

61. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980. 352 с.

62. Зенкевич О. Метод конечных элементов; от интуиции к общности // В сб. переводов механика. М.: Мир, 1960. №6. С. 127-132.

63. Золотов А.Б., Сидоров В.Н. Алгоритмизация решения краевых задач строительной механики на ЭВМ // Строительная механика и расчет сооружений. 1975. №5. С. 36-42.

64. Исматов М.Х. Применение МПА к расчёту прямоугольных пластин на упругом полупространстве. М., 1983. 12с. Рукопись представлена МИСИ им. В.В.Куйбышева. Деп. в ВИНИТИ Госстроя СССР, №4665.

65. Кайдалов Б.П. Численный метод последовательных аппроксимаций в задачах устойчивости пластин и стержней: Дисс. . канд. техн. наук. М., 1985. 169 с.

66. Киселев В.А. Расчет пластин. М.: Стройиздат, 1973. 151 с.

67. Киселев В.А. Строительная механика. Специальный курс. Динамика и устойчивость сооружений. М.: Стройиздат, 1980. 616 с.

68. Клейн Г.К., Леонтьев Н.Н., Ванюшенков М.Г., Габбасов Р.Ф. и др. Руководство к практическим занятиям по курсу строительной механики. М.: Высшая школа, 1980. 384 с.

69. Коллатц Л. Численные методы решения дифференциальных уравнений. М.: Изд-во иностранной литературы, 1953. 460 с.

70. Коллатц JI. Задачи на собственные значения. М.: Наука, 1968.504 с.

71. Колосов Г.В. Применение комплексной переменной в теории упругости // Известия ВНИИГ. 1967. Т. 83. С. 287-307.

72. Корнеев В.Г. Некоторые вопросы построения и исследования схем метода конечных элементов // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1974. Т. 5. №1. С. 59-87.

73. Косицын С.Б., Мануйлов Г.А. Об одном численном методе решения геометрически нелинейных осесимметричных задач изгиба пологих оболочек и пластин // Материалы по металлическим конструкциям. 1977. №19. С. 192-204.

74. Куранов Б.А. Исследование устойчивости пластин методом конечного элемента // Расчёты на прочность. 1975. В. 16. С. 172-186.

75. Ландау Л.Д., Мейман H.H., Халатников И.М. Численные методы интегрирования уравнений в частных производных методом сеток // Труды третьего математического съезда. М., 1956. Т. 2. С. 16.

76. Лащеников Б.Я. Применение тригонометрического интерполирования в задачах строительной механики // Тр. МИИТ. М., 1961. В. 131. С. 167-295.

77. Лащеников Б.Я. К вопросу о решении дифференциального уравнения устойчивости сжатой пластины переменного сечения с помощью интегральной матрицы // Тр. МИИТ. М., 1963. В. 164. С. 36-41.

78. Лащеников Б.Я. Применение метода интегральной матрицы при разрывных и обобщенных функциях // Тр. МИИТ. М., 1963. В. 174. С. 123128.

79. Леонтьев H.H. К решению плоской задачи теории упругости вариационным методом Власова в матричной формулировке // Известия вузов. Строительство и архитектура. 1970. №1. С. 68-74.

80. Марчук Г.И., Шайдуров В.В. Повышение точности решений разностных уравнений. М.: Наука, 1979. 320 с.

81. Масленников A.M. Расчет плит на основе дискретной расчетной системы // Известия вузов. Строительство и архитектура. 1966. №6. С. 3747.

82. Масленников А.М. Расчет строительных конструкций численными методами. Изд-во ЛГУ. Л., 1987. 225 с.

83. Масленников A.M. Расчёт тонких плит методом конечных элементов // Тр. ЛИСИ. Л., 1968. В. 57. С. 186-193.

84. Мелехин Н.М. К численному решению плоской задачи теории упругости // Вестник МГСУ. 2009. №1. С. 113-117.

85. Мелехин Н.М. Об устойчивости пластин при неравномерном сжатии // Вестник МГСУ. 2009. №3. С. 154-159.

86. Мелехин Н.М. Сравнение численного решения задачи устойчивости пластин с результатами испытаний // Актуальные проблемы исследований по теории расчёта сооружений. М. ЦНИИСК. 2009. Ч. 1. С. 82-88.

87. Микеладзе Ш.Е. О численном решении дифференциальных уравнений Лапласа и Пуассона // Известия АН СССР. ОМЕН. Серия матем. наук. 1938. № 2. С. 271-292.

88. Микеладзе Ш.Е. Разрывные решения обыкновенных линейных дифференциальных уравнений // ДАН СССР. 1947. Т. 55. № 9. С. 801-804.

89. Микеладзе Ш.Е. Некоторые задачи строительной механики. М.: Гостехиздат, 1948. 267 с.

90. Михайлов Б.К. Пластинки и оболочки с разрывными параметрами. Л.: Изд-во Ленинградского университета, 1980. 196 с.

91. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. М.: Высшая школа, 1977. 431 с.

92. Мишанин И.Н., Покровский A.A. Применение шарнирно-стержневой модели в плоской задаче теории упругости // Строительная механика и расчёт сооружений. 1969. №5. С. 67-69.

93. Муниев Д.Д. Расчёт пластин и пластинчатых систем методом последовательных аппроксимаций: Дисс. канд. техн. наук. М., 1989. 182 с.

94. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 707 с.

95. Никифоров С.Н. Теория упругости и пластичности. М.: Государственное издательство литературы по строительству и архитектуре, 1955. 86 с.

96. Нумеров Б.В. Численное интегрирование дифференциальных уравнений второго порядка // Бюллетень начальника вооружений РККА (по Главному артиллерийскому управлению). М., 1932. №2. С. 5-35.

97. Огибалов П.М., Колтунов М.А. Оболочки и пластины. М.: Издательство МГУ, 1969. 695 с.

98. Пановко Я.Г. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1985. 287 с.

99. Перельмутер A.B., Сливкер В.И. Расчётные модели сооружений и возможность их анализа. М.: ДМК Пресс, 2007. 600 с.

100. Плотников Ф.А. Решение плоской задачи теории упругости со смешанными граничными условиями // Строительная механика и расчёт сооружений. 1975. №1. С. 15-18.

101. Подбельский В.В., Фомин С.С. Программирование на языке Си. М.: Финансы и статистика, 2007. 600 с.

102. Постнов В.А., Дмитриев С.А., Елтышев Б.К. Метод суперэлементов в расчетах инженерных сооружений. JL: Судостроение, 1979. 112 с.

103. Прочность, устойчивость, колебания. Справочник под ред. И.А. Биргера и Я.Г. Пановко М.: Машиностроение, 1968. Т. 1. 831 е., Т. 2. 464 е., Т. 3. 567 с.

104. Рабинович И.М. Применение теории конечных разностей к исследованию неразрезных балок. М., 1921. 96 с.

105. Райссман К. Метод конечных разностей как вариант метода конечных элементов // Тр. ЛКИ. Л., 1973. В. 85. С. 77-84.

106. Ржаницын А.Р. Представление сплошного изотропного упругого тела в виде шарнирно-стержневой системы // Исследования по вопросам строительной механики и теории пластичности. М.: Госстройиздат, 1956. С. 84-96.

107. Рогалевич В.В. Решение нелинейных задач изгиба пластин с использованием кубических сплайнов // Строительная механика и расчет сооружений. 1977. №5. С. 29-34.

108. Розин Л.А., Гордон Л.А. Метод конечных элементов в теории пластин и оболочек // Известия ВНИИГ. 1971. Т. 95. С. 85-97.

109. Розин Л.А. Метод конечных элементов в применении к упругим системам. М.: Стройиздат, 1977. 128 с.

110. Розин Л.А. Современное состояние метода конечных элементов в строительной механике // Известия вузов. Строительство и архитектура. 1981. №11. С. 41-54.

111. Рыскин В.Я. Численный метод расчета сжато-изогнутых стержней и пластин на динамические нагрузки: Дисс. . канд. техн. наук. М., 1993. 196с.

112. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. 656 с.

113. Самарский A.A., Лазарев Р.Д., Макаров В.Л. Разностные схемы для дифференциальных уравнений с обобщенными решениями. М.: Высшая школа, 1987. 296 с.

114. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979. 392 с.

115. Сидоров В.Н. Лекции по сопротивлению материалов и теории упругости. Учебное пособие. М., 2002. 352 с.

116. Сливкер В.И. Об одной смешанной вариационной постановке задач для упругих систем // Известия АН СССР. МТТ. 1982. № 4. С. 8897.

117. Смирнов А.Ф. Численный метод расчета на устойчивость пластин переменной толщины // Тр. МИИТ. М., 1963. В. 164. С. 16-35.

118. Смирнов А.Ф., Александров A.B., Лащеников Б.Я., Шапошников H.H. Расчет сооружений с применением вычислительных машин. М.: Стройиздат, 1964. 380 с.

119. Смирнов А.Ф. Устойчивость и колебания сооружений. М.: Трансжелдориздат, 1958. 572 с.

120. Смирнов В.А. Численный метод расчета ортотропных пластинок // Исследования по теории сооружений. М.: Стройиздат, 1970. В. XVIII. С. 56-63.

121. Смирнов В.А. Численный метод решения некоторых краевых задач теории упругости для дифференциальных уравнений в частных производных // Исследования по теории сооружений. М.: Госстройиздат, 1969. В. XVII. С. 111-123.

122. Смирнов В.А. Численный метод решения краевой задачи для дифференциальных уравнений в частных производных на примере устойчивости ортотропной пластинки // Тр. НИИЖТ. М., 1970. В. 96. С. 374-379.

123. Смирнов В.А. Численный метод расчета ортотропной пластинки, лежащей на упругом основании с двумя коэффициентами постели // Тр. МАрхИ. М., 1970. В. 2. С. 47-57.

124. Смирнов В.А. Расчет пластин сложного очертания. М.: Стройиздат, 1978. 300 с.

125. Справочник по теории упругости. Под ред. П.М. Варвака и А.Ф. Рябова. Киев: Будивельник, 1971. 418 с.

126. Справочник проектировщика. Расчетно-теоретический. Под ред. A.A. Уманского. М.: Стройиздат. Кн. 1,1972. 599 с. Кн. 2,1973. 415 с.

127. Справочник по строительной механике корабля. Под общей ред. Ю.А. Шиманского. JL: Судпромгиз, 1958. Т. 2. 528 с.

128. Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. М.: Наука, 1976. 248 с.

129. Стрелец-Стрелецкий Е.Б., Гензерский Ю.В., Лазнюк М.В., Марченко Д.В., Титок В.П. Лира 9.2. Основы. Киев: Факт, 2005. 146 с.

130. Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов задач математической физики. Под ред. К.И. Бабенко. М.: Наука, 1979. 295 с.

131. Тимошенко С.П. Устойчивость упругих систем. М., Л.: Гостех-издат, 1946. 532 с.

132. Тимошенко С.П. Устойчивость пластин, стержней и оболочек. М.: Наука, 1971, 808 с.

133. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Наука, 1966. 635 с.

134. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. М.: Наука, 1975. 575 с.

135. Фаддеев Д.К., Фадцеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.: Физматгиз, 1963. 734 с.

136. Филатов В.В. Расчет сжато-изогнутых балок и плит на несплошном упругом основании: Дисс. канд. техн. наук. М., 2000. 160 с.

137. Форсберг К. Оценка методов конечных разностей и конечных элементов в применении к расчету произвольных оболочек // Расчет упругих конструкций с использованием ЭВМ. Т. 2. Л.: Судостроение, 1974. С. 296-312.

138. Хемминг P.B. Численные методы. М.: Наука, 1972. 400 с.

139. Хечумов P.A. Применение метода конечных элементов к расчету сложных систем на основе диакоптики. М.: МИСИ, 1978. 86 с.

140. Холл Дж., Уатт Дж. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1979. 312 с.

141. Цейтлин А.И. Прикладные методы решения краевых задач строительной механики. М.: Стройиздат, 1984. 334 с.

142. Чернов В.И. Об одном способе составления и решения дифференциальных уравнений в конечных разностях // Строительная механика и расчёт сооружений. 1981. №1. С. 78-79.

143. Шайкевич В.Д. Теория сплайнов и некоторые задачи строительной механики // Строительная механика и расчет сооружений. 1974. №6. С. 24-29.

144. Шапошников H.H. Предельный переход для дискретной модели плоской задачи теории упругости // Сб. тр. МИИТ. Строительная механика. М.: Стройиздат, 1967. В. 274. С. 191-194.

145. Шапошников H.H. Решение плоской задачи теории упругости с помощью дискретной модели // Сб. тр. МИИТ. Строительная механика. М.: Стройиздат, 1967. В. 274. С. 58-69.

146. Шапошников H.H., Волков A.C. Расчет пластинок и коробчатых конструкций методом конечных элементов // Исследования по теории сооружений. М.: Стройиздат, 1976. В. XXII. С. 134-146.

147. Шимкович Д.Г. Расчёт конструкций в MSC visual Nastran for Windows. M.: ДМК Пресс, 2004. 704 с.

148. Шрамко В.В. Развитие численного метода последовательных аппроксимаций применительно к расчёту пологих оболочек и пластин: Дисс. канд. техн. наук. М., 1979. 149 с.

149. Юбилейный сборник докладов, посвящается 100-летию со дня рождения В.З. Власова и 85-летию кафедры Строительная механика. М., 2006. 202 с.

150. Antes H.G. Splinefunktionen bei der Plattenberechnung mittels Spannungsfunktionen // Wiss. Zeitsch. der Hochsch. für Arch. und Bauw. Weimar, 1975. Heft 2. S. 135-138.

151. Brandt K. Dirivation of geometry stiffue matrix for finite elements hybrid displatement models // Int. g. solid und struct. 1978. V. 14. №1. P. 53-66.

152. Gabbasov R.F. Numerische Jntegrationsmethode zur Lösung der Poissonschen Gleichung // Math. Gesellschaft der DDR. Wiss. Haupttagung. Vortraganszüge, 1974. S. 201-203.

153. Gabbasov R.F. Numerische Jntegrationsmethode zur Lösung vor Randwertproblemen der Baumechanik // Wiss. Zeitsch. der Hochschule für Arch. und Bauw. Weimar, 1975. Heft 2. S. 146-148.

154. Gabbasov R.F. Grundlagen einer numerischen Integrationsmethode zur Lösung vor Randwertproblemen // Wiss. Zeitsch. der Techn. Universität Dresden, 1977. Heft 2. S. 479-481.

155. Giencke E. Über eine «gemischte Methode» zur Berechnung vor Platten und Scheiben // Zeitsch angew. Math, und Mech. 1973. 53. №5. S. 274278.

156. Karamanski T.D. Eine Methode zur Bildung von Differenzenaus-drüchen mit erhöhter Genauigheit // V. JKM, Berichte. Weimar, 1969. S. 187192.

157. Kilbert K., Weidner D. Berechnung dünner Rechteck und Parallelogrammplatten mittels Splines //Jng. Archiv. 1974. 43. S. 247-254.

158. Knothe K. Aufstellen von Gleichungen in der Methode der finitch Elemente // V. JKM, Berichte. Weimar, 1969. S. 73-77.

159. Köppler H. Die Methode der finiten Elemente als Spezialfall der Ritzschen Methode zur Lözung Variationsaufgaben // Wiss. Zeitsch. der Hochsch. für Arch, und Bauw. Weimar, 1973. 20. Heft 1. S. 101-102.

160. Müller H., Möller B. Ein finites hubrides mehrschichtiges Faltwerkelement // Wiss. Zeitsch. der Techn. Univer. Dresden, 1979. Heft 5. S. 1241-1248.

161. Павлова Ю. Используване на метода на крайните елементи в предместване за изследоване статическата устойчивост на тонки еластич-ны плочи с променлива дебелинка // Пътица. 1976. №7, 8. С. 18-22.

162. Pian Thedore, Tong Pin. Finite element methods in continuum mechanics // Adv. appl. mech. vol. 1972. 12. 1-58.

163. Rothe A. Statik der Stabtragwerke. Berlin: VEB. Verlag für Bauw., 1970. Band 1. 416 s., Band 2. 455 s.

164. Severn R. Numerical methods for calculation of stress and strain // Phil. Fraus. roy. soc. 1979. 274. № 1239. 339-350.

165. Szilard R. Finite Berechnungsmethoden der Strukturmechanik. Band 1. Stabtragwerke. Berlin, München: Verlag Von W. Einst und Sohn., 1982.704 s.