автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Разработка алгоритмов исследования устойчивости пространственных конструкций с учетом физической нелинейности

На правах рукописи

СОЛДАТОВ Антон Юрьевич

РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМОВ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ С УЧЕТОМ ФИЗИЧЕСКОЙ

НЕЛИНЕЙНОСТИ

Специальность 05.23.17 - Строительная механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

2 0 НОЯ 2014

Москва-2014

КЯ542

005555542

Диссертация выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Национальный исследовательский университет «МЭИ».

Научный руководитель: кандидат технических наук, профессор

Раднн Владимир Павлович

Официальные оппоненты: Сппицын Евгений Николаевич,

доктор технических наук, старший научный сотрудник, ОАО «Всероссийский научно-исследовательский и проектно-конструкторский институт атомного энергетического машиностроения», заведующий лабораторией прочности и сейсмической безопасности.

Сон Марк Петрович,

кандидат технических наук, ФГБОУ ВПО «Пермский национальный исследовательский политехнический университет», доцент кафедры «Строительные конструкции и вычислительная механика».

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский

государственный архитектурно-строительный университет»

Защита диссертации состоится «12» декабря 2014 г. в 14 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 212.138.12, созданного на базе ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет», по адресу: 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, ауд. № 9 «Открытая сеть».

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке и на сайте ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» www.mgsu.ru.

Автореферат разослан « 5 » ноября 2014 г.

Учёный секретарь ^фе^оЛс**^.

диссертационного совета / Анохин Николай Николаевич

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Кроме прочностных свойств несущая способность конструкций во многих случаях определяется устойчивостью ее элементов. Поэтому проектирование пространственных конструкций включает в себя проверку устойчивости исходной формы равновесия. Задачи устойчивости пространственных систем составляют достаточно сложный и в значительной степени противоречивый раздел механики, что неоднократно отмечалось многими исследователями. И если в области расчета устойчивости отдельных элементов конструкций (стержней, оболочек) собран большой теоретический и справочный материал, то значительно в меньшей степени в настоящее время представлены методы расчета пространственных систем. Трудности расчетов таких систем существенно усугубляются, если работа элементов конструкций переходит в упругопластическую стадию. Проблема устойчивости механических систем с учетом нелинейных свойств материалов является актуальной проблемой механики деформируемого твердого тела.

В настоящее время основным методом расчета прочности и устойчивости строительных конструкций является метод конечных элементов (МКЭ). Прогресс в области компьютерных технологий позволил на его основе разработать и внедрить в инженерную практику большое число разнообразных расчетных программных комплексов. Большинство современных программ, использующих МКЭ, решают задачу устойчивости в предположении о линейно-упругой работе материала системы, в то время как в реальных конструкциях в критическом состоянии по тем или иным причинам, как правило, возникают физически нелинейные процессы, в частности, деформирование материала может происходить с образованием пластических деформаций. Неучет физической нелинейности во многих случаях может привести к существенным ошибкам, критическая нагрузка завышается, что приводит к неправильной оценке надежности конструкции.

Актуальность настоящего исследования вытекает из того, что в современных нормах по проектированию и расчету строительных конструкций содержатся требования принимать конструктивные схемы и рассчитывать их как единые пространственные системы с учетом неупругих деформаций материала. А практически все современные программные комплексы позволяют проводить анализ устойчивости для единой системы либо на основе линейно-упругого расчета, связанного с решением задачи на собственные значения, либо в качестве альтернативы предлагают геометрически и физически нелинейный расчет с шаговым приращением нагрузки, в рамках которого строгая проверка устойчивости равновесных положений не проводится.

Поэтому работа посвящена численному исследованию устойчивости равновесия пространственных систем с учетом геометрической и физической нелинейности.

Объект исследования.

Объектом исследования являются сложные пространственные стержневые и оболочечные строительные конструкции из стали и железобетона.

Предмет исследования.

Предмет исследования составляют методы и алгоритмы определения критических нагрузок и численного анализа устойчивости для сложных пространственных конструкций.

Цель и задачи исследования.

Цель работы состоит в следующем:

1. Разработка алгоритмов решения задач устойчивости равновесных конфигураций деформируемых конструкций с учетом физической нелинейности.

2. Для стержневых систем учет влияния на устойчивость всей системы начальных несовершенств элементов, случайных эксцентриситетов продольного усилия в сечении и пластических деформаций в растянутых элементах.

3. Программная реализация предложенных методов в рамках МКЭ.

4. Проведение анализа адекватности получаемых результатов путем их сопоставления с известными результатами теоретических и экспериментальных исследований.

На защиту выносятся.

1. Математическая модель и предложенные на ее основе численные алгоритмы анализа устойчивости конструкций с учетом физической нелинейности;

2 Сравнительный анализ результатов численных экспериментов и известных результатов экспериментальных и теоретических исследований устойчивости равновесия различных конструкций.

Методы исследования.

В работе использовано сочетание аналитических методов исследования и метода вычислительных экспериментов.

Достоверность полученных результатов.

В работе приметались современные стандарты и методики, обеспечивающие достаточную точность полученных результатов, а также известные вычислительные алгоритмы (метод конечных элементов) в верифицированных программных комплексах (МюгоРе), обладающие хорошей сходимостью с известными результатами экспериментальных и теоретических исследований. Основные положения и результаты получили апробацию и практическое внедрение.

Научная новизна.

Научная новизна диссертации состоит в следующем:

1. Осуществлена постановка задачи устойчивости равновесия конструкций с учетом физической нелинейности на основе определения устойчивости по A.M. Ляпунову, ориентированная на применение метода конечных элементов, и сформулирован итерационный алгоритм решения этой задачи;

2. Разработан эффективный с точки зрения численной реализации алгоритм определения критических нагрузок с учетом нелинейной работы материала в рамках метода конечных элементов для пространственных стержневых систем, который может применяться для расчета как стальных, так и железобетонных конструкций;

3. Разработан алгоритм проверки на устойчивость положения равновесия с учетом физической нелинейности в рамках метода конечпых элементов для сложных конструкций, состоящих из многих пластин и оболочек;

4. Для стержневых систем рассмотрены основные критерии для определения критической нагрузки: в качестве наиболее адекватного критерия, учитывающего негативное влияние изгибающих моментов и эксцентриситетов сжимающих сил, использован критерий «пулевой отпорности»;

5. Для стержневых систем предложен эффективный метод учета влияния на устойчивость конструкции таких факторов, как начальные несовершенства элементов, случайные эксцентриситеты продольного усилия в сечении и пластические деформации в растянутых элементах.

Практическая значимость и внедрение работы.

Практическая ценность работы состоит в реализации разработанных алгоритмов расчета конструкций на устойчивость в программном комплексе MicroFe (начиная с версии 2009), который является подсистемой конечно-элементных расчетов проектирующей системы Ing+. Данный программный продукт первым в РФ (1995 г.) прошел процедуры сертификации (сертификат соответствия № РОСС RU.CII15H00618 от 10.06.2013) на соответствие российским строительным нормам (проверка правильности реализации нормативных документов), верификации (свидетельство о верификации № 01/MicroFe/2009 от 10.06.2009) в Научном совете «Программные средства в строительстве и архитектуре» при Российской академии архитектуры и строительных наук (проверка правильности решения линейных и нелинейных задач статики, устойчивости, в том числе и с учетом физической нелинейности, и динамики), а также аттестации (аттестационный паспорт № 348 от 21.11.2013) в экспертном совете по аттестации программных средств при Научно-техническом центре по ядерной и радиационной безопасности (НТЦ ЯРБ) Федеральной службы по экологическому, технологическому и атомному надзору (Ростехнадзор).

Апробация работы.

Основные положения и результаты работы докладывались на:

1. XXIII Международной конференции «Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных и конечных элементов» (Санкт-Петербург, 2009);

2. Международной конференции «Проблемы нелинейной механики деформируемого твердого тела» (Казань, 2009);

3. научной сессии «Проблемы нелинейного расчета большепролетных пространственных конструкций» (Москва, 2010);

4. III Симпозиуме «Актуальные проблемы компьютерного моделирования конструкций и сооружений» (Новочеркасск, 2010);

5. научной сессии «Актуальные вопросы исследований и проектирования пространственных конструкций с применением физического и компьютерного моделирования» (Москва, 2011);

6. XXIV Международной конференции «Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных и конечных элементов» (Санкт-Петербург, 2011);

7. IV Международном симпозиуме «Актуальные проблемы компьютерного моделирования конструкций и сооружений» (Челябинск, 2012);

8. XXV Международной конференции «Математическое моделирование в механике деформируемых сред и конструкций. Методы граничных и конечных элементов» (Санкт-Петербург, 2013);

Публикации.

Основное содержание работы отражено в 12 научных работах, в том числе в 4 научных журналах из Перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК РФ.

Личный вклад.

Все разработки и исследования проведены лично соискателем в процессе научной деятельности. Из совместных публикаций в диссертацию включен лишь тот материал, который непосредственно принадлежит соискателю; заимствованный материал обозначен в работе ссылками.

Структура н объем работы.

Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения с основными результатами и выводами и списка литературы, включающего 118 наименований. Работа изложена на 121 листах машинописного текста и содержит 43 рисунков, 13 таблиц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В предисловии обосновывается актуальность темы, а также сформулированы цели и задачи исследований.

В первой главе приводится краткая характеристика и обзор литературных источников отдельно для стержневых систем и для систем пластин и оболочек.

Для отдельных стержней обзор охватывает развитие теории устойчивости начиная с основополагающей работы JI. Эйлера 1744 г., вплоть до исследований второй половины XX в. в области неупругой устойчивости. Отмечаются теоретические и экспериментальные исследования И. Баушингера, JI. Тетмайера, А. Консидера, Ф.С. Ясинского, Ф.Энгессара, Т.Кармана, Ф. Шенли, Ю. Н. Работнова, Е. Хваллы, К. Ежека, А.Р. Ржаницына. Большой вклад в развитие теории устойчивости во второй половине ХХв. внесли исследования A.C. Вольмира, A.B. Геммерлинга, В.Д. Клюшникова, В.В. Болотина. Из последних работ упомянуты известные труды В.Д. Насонкина, И.Д. Грудева по устойчивости стальных стержневых конструкций и Р.С.Санжаровского с соавторами по устойчивости железобетонных стержней. Подробно рассмотрены исследования устойчивости за пределом упругости отдельного центрально сжатого стержня, но работающего в составе конструкции, а не изолированно, В.Г. Зубчанинова. Рассмотрен подход, основанный на моделирования динамического поведения конструкции и анализа перемещений при медленном возрастании сил, изложенный в книге Александрова A.B., Потапова В.Д., Зылева В.Б. Однако, как отмечают и сами авторы, таким образом определяется лишь верхняя граница для значения критической нагрузки.

Рассмотрены проблемы, возникающие при использовании алгоритмов пошагового решения геометрически и физически нелинейной задачи. Отмечено, что в рамках такого подхода лишь последовательно определяется положения равновесия системы, при этом ничего не говорится об устойчивости этих положений, что способно повлечь возникновение ошибок и завышение определяемого значения критической силы для системы.

Большое внимание уделено оригинальному методу учета нелинейной работы материала при использовании современных конечно-элементных программных комплексов, который в своих работах недавно предложил профессор В.В. Улитин. В рамках этого метода для решения задачи устойчивости используется итерационный алгоритм корректировки модулей (АКМ), суть которого заключается в последовательном решении линейно-упругих задач устойчивости с корректировкой на каждой итерации модуля упругости в зависимости от уровня напряжений на основе концепции Шенли о касательном модуле. Данный алгоритм дает хорошие результаты для центрально сжатых стержней. Недостатком метода, является то, что игнорируется влияние изгибающих моментов и эксцентриситетов приложения сжимающей силы. Также метод не учитывает выход за предел упругости в растянутых стержнях и неприменим в случае неоднородного материала в сечении элементов.

При рассмотрении проблемы устойчивости пластин и оболочек было отмечено, что по сравнению с расчетом стержней анализ устойчивости тонких оболочек является еще более сложной задачей. В основном все труды по

данной проблеме касаются отдельных пластин. Первоначальное развитие теория устойчивости оболочек получила в исследованиях Р. Лоренца, С.П. Тимошенко, Т. Кармана, Цзяна, а позднее В.Т. Койтера, A.C. Вольмира, С.Н. Кана. Теория выпучивание пластин в пластической области формировалась благодаря трудам A.A. Ильюшина, JT.A. Толоконникова, В.В. Москвитина, П.М. Огибалова, В.Ф. Грибанова, Э. Стоуэлла, В.Г. Зубчанинова.

Таким образом, был сделан вывод, что в области расчета устойчивости равновесия конструкций с учетом физической нелинейности собран большой теоретический материал по расчету отдельных стержней и пластин и, в меньшей степени, представлены методы расчета единых стержневых систем. А для конструкций, включающих в том числе и оболочечные элементы, такая теория вообще не была построена.

В завершении главы были сформулированы основные цели диссертационной работы.

Во второй главе была осуществлена постановка задачи устойчивости пространственных конструкций с учетом физической нелинейности в форме МКЭ.

В данной работе устойчивость понимается согласно определению А.М.Ляпунова. Такая естественной формулировка позволяет анализировать как общую, так и локальную потерю устойчивости.

Были введены следующие предположения:

1. рассматривался случай малых деформаций, но больших перемещений.;

2. диссипация отсутствует;

3. внешние нагрузки консервативны;

4. внутренние силы на малом шаге нагружения обладают потенциалом на дополнительных перемещениях;

5. зависимость между приращениями напряжений и деформаций на малом шаге нагружения выражается линеаризованными соотношениями, записанными в форме закона Гука, а коэффициенты в этих соотношениях меняются от шага к шагу;

6. разгрузка на малом шаге нагружения происходит по той же ветке, что и догрузка;

Уравнение МКЭ в приращениях можем записать для первого шага приложения нагрузки:

[K^+K^+KJAÜ.-AP, =0 (1)

и

[К,- + Kg. ,]Ай,- — АР,- = 0 (2)

- для последующего ¿-го шага приложения нагрузки. Здесь ДР, - приращение нагрузки на шаге и Дй, - соответствующие ему перемещения. При этом на каждом шаге приращения нагрузки матрицы жесткости К, и геометрической жесткости Kg., корректируются в соответствии с нелинейной диаграммой

деформирования материала. Заметим, что матрица К, соответствует касательной жесткости конструкции для положения равновесия Аи,_}, а матрица Ка1 соответствует распределению напряжений для этого же положения равновесия, т.е. секущей жесткости конструкции — это является ключевым моментом в данной постановке.

На каждом шаге нагружения устойчивость положения равновесия системы исследовалась в линеаризованной постановке. Для консервативных систем имеем следующий критерий устойчивости на некоторой /-м шаге приложения нагрузки:

|к(+кст,|>0. (3)

Таким образом, решение задачи устойчивости с учетом физической нелинейности требует организации итерационного процесса. Исходя из текущего уровня нагружения системы на некотором шаге, необходимо на основании заранее выбранных критериев осуществлять корректировку матриц К и Ка с учетом нелинейной диаграммы деформирования материала, по которой определяются касательные и секущие модули. Задача нахождения таких эффективных критериев является одной из главных.

Во третьей главе рассматривались основные вопросы, связанные с устойчивостью стержневых систем. Были предложены критерии для определения критической силы с учетом физической нелинейности для отдельных стержней, а также сформулирован алгоритм расчета параметра критической нагрузки для всей системы.

Для стержневых систем можно построить упрощенный, но более эффективный итерационный алгоритм, в котором параметр критической нагрузки определяется на основе решения линейно-упругой задачи устойчивости в стандартной форме:

[К + /5КЛДй=0. (4)

Тогда матрицы обычной и геометрической жесткости К и Ка необходимо корректировать на каждой итерации исходя из уровня достигнутых напряжений с учетом нелинейной диаграммы деформирования материала.

Если рассматривать стержневые системы, то для корректировки матриц жесткости достаточно ограничиться только изменением одного параметра, а именно, модуля упругости материала. Поэтому разрабатываемый алгоритм по аналогии с В.В. Улитиным был назван алгоритмом корректировки модулей (АКМ), где корректировка осуществляется по следующей формуле:

где — модуль упругости на к- 1-й итерации, Ек - модуль упругости на к-й

lin

итерации, ~ значение напряжения в рассматриваемом элементе,

соответствующее продольному усилию от критической нагрузки для системы, полученной из решения линейно-упругой задачи устойчивости на £-1-й итерации, - значение критического напряжения, определенное на

основании некоторого выбранного критерия.

Таким образом, необходимо выбрать, на основе каких критериев определять значения критических напряжений св формуле (5), опираясь на решение линейно-упругой задачи устойчивости и тип используемой нелинейной диаграммы деформирования материала.

Так как задача решается для конструкции с произвольным распределением нагрузки, то корректировку модулей упругости следует осуществлять отдельно для каждого конечного элемента. После получения подправленных матриц К(е) и Kg.^j для всех элементов следует стандартная процедура

ансамблирования МКЭ, и заново решается задача (4). Критерием сходимости могут служить малые изменения значений параметра р.

Далее был рассмотрен подход В.В. Улитина на основе вычисления в формуле (5), исходя из концепции Шенли. В рамках данного подхода выражения для критической силы по Шенли получается очень простым и не зависит от формы сечения стержня, а зависит лишь от величины критического напряжения по Эйлеру cr['f1; получаемого для каждого стержня из решения линейно-упругой задачи устойчивости МКЭ. Однако, если напряженно-деформированное состояние стержня характеризуются неравномерным распределением напряжений в поперечном сечении, возникающим, например, при сжатии с изгибом, то концепция Шенли не применима, т.к. игнорируется дополнительные напряжения от изгибающих моментов, которые непременно будут возникать в сложных системах и, очевидно, будут негативно влиять на несущую способность сечения. Также концепция Шенли не применима для случая неоднородного материала в сечении, например для железобетонных колонн.

Таким образом, был сделан вывод, что для решения более широкого круга задач устойчивости стержневых систем, характеризуемых наличием моментов и эксцентриситетов сжимающих сил, необходимо использовать другие критерии при определении критических напряжений в элементах с учетом физической нелинейности.

Для расчета устойчивости систем со сжато-изогнутыми стержнями, работающими за пределом упругости, было предложено модифицировать АКМ. В формуле (5) предлагается использовать значение предельного усилия для сжато-изогнутого стержня, определяемое по критерию «нулевой отпорности» (т.е. по условию достижения сжимающим усилием в элементе своего максимального значения).

Тогда получим:

где — предельное значение сжимающей силы, определяемое из решения задачи о «нулевой отпорности» сжато-изгибаемого стержня с учетом пластичности на Л-1-й итерации, Л^'", - значение продольного усилия в элементе-стержне от критической нагрузки для системы, полученной из решения линейно-упругой задачи устойчивости на к- 1-й итерации

Суть Ыт проиллюстрирована на графике сила {Щ — прогиб (/) (Рис. 1) в центральном сечении стержня:

Рис. 1. Диаграмма сила-прогиб для сжимаемого с изгибом стрежня.

Таким образом, Л'"" — это максимальное сжимающее усилие, которое

воспринимает элемент. Значение сжимающей силы Ыт является критическим в том смысле, что при его достижении происходит потеря устойчивости 2-го рода. При потере устойчивости 2-го рода новая форма равновесия не появляется (в отличие от потери устойчивости 1-го рода). Также для критического значения сжимающей силы в этом случае часто используют термин «предельная точка».

Для каждого конечного элемента рассматривалась вспомогательная задача устойчивости шарнирно-опертого сжато-изогнутого стержня, решая которую можно определить значение критической силы Ыт{ Рис.2):

N

/

Р ,_У2_

Р

Рис. 2. Задача устойчивости сжато-изогнутого стержня (/"— прогиб, е -эксцентриситет сжимающей силы, / - расчетная длина).

На шарнирно опертый стержень длиной / действует сжимающая сила Р, приложенная с эксцентриситетом е. Вид сечения, а также диаграммы деформирования <т = о"(е) известны. Требуется определить критическую силу «нулевой отпорности» Р = Л'"".

Исходными данными для такой задачи будут служить значение параметра критической нагрузки Р, определенное из решения задачи линейно-упругой устойчивости (4) для системы, и соответствующие ему значения критической силы И1'" и момента М1'", которые действуют на стержень. Зная критическое усилие, для каждого конечного элемента по формуле Эйлера можем определить, значение расчетной длины / (это не физическая длина конечного элемента в расчетной схеме, а длина, используемая во вспомогательной задаче).

Для быстрого и эффективного решения такой вспомогательной задачи принимаются следующие предпосылки:

1. гипотеза плоских сечений

2. малость прогибов но сравнению с длиной стержня, откуда следует упрощенное выражение для кривизны

3. изогнутая ось стержня имеет вид полуволны синусоиды.

Для моделирования нелинейной работы материала применялась:

1. диаграмма Прандтля;

2. унифицированная диаграмма строительных сталей Г.Е Вельского и П.Д.Одесского с аппроксимацией по формуле, предложенной проф. И.Д. Грудевым:

где сг - напряжете, £ - деформация, Е - модуль упругости, ат - предел текучести, ет =сгт/Е, безразмерный коэффициент к = 0.1413.

Система уравнений вспомогательной задачи «нулевой отпорности» имеет

вид:

атБ1йи(е)|0.8 + кх Агс1% Ее, |£|<0.8ег.

(И-о-М]] к£т Л'

|Е|> 0.8ЕГ

(7)

Р(е + / + с) -\ио(е^Р = О

/2 =я2Е1/^п е = М1"'/^'"

где I - момент инерции центрального сечения стержня и неизвестные: Р -сжимающая сила, х - положение нейтральной линии в сечении, / - прогиб. Первое уравнение системы есть условие «нулевой отпорности», второе и третье - условия равновесия по силе и моменту, соответственно, четвертое получено из гипотез 1-3, пятое - выражение для расчетной длины по формуле Эйлера.

Для моделирования нелинейной работы материала железобетонного элемента использовалась диаграмма Прандтля для арматуры, а также трехлинейная и кубическая диаграммы для бетона (в соответствии с нормами СП 52-101-2003 и ЕЫ 1992-1-1). Ползучесть бетона учитывалась путем использования коэффициента ползучести <рь сг и понижения начального модуля

упругости в соответствии с требованиями СП 52-101-2003.

Определив критическую силу Мт и соответствующий ей прогиб /т, можно также определить значение секущего модуля £,, для которого было получено следующее выражение:

(9)

/т 1

Окончательно алгоритм решения задачи устойчивости стержневых систем с учетом физической нелинейности с применением критерия «нулевой отпорности» имеет вид:

1. На предварительном этапе решается задача статики для системы, материал которой считается линейно-упругим. Определяется распределение усилий в элементах. Далее шаг 2.

2. Решается задача устойчивости для системы, материал которой считается линейно-упругим и определяется параметр критической нагрузки. Далее шаг 3.

3. Для каждого конечного элемента определяется продольное усилие и момент, соответствующее критической нагрузке для системы. Для сжатых элементов, если напряжения в элементе превышают предел пропорциональности, решается задача о «нулевой отпорности» (8) и определятся предельная сила «нулевой отпорности», для которой вычисляются новые значение касательных и секущих модулей упругости. Для растянутых элементов, если напряжения в элементе превышают предел пропорциональности, то по диаграмме определяется значение напряжения с учетом физической нелинейности и определяется новое значение модуля упругости для элемента. Значения касательных модулей используется далее для определения матрицы жесткости К, а значения секущих модулей просто запоминаются. Далее шаг 4.

4. Решается задача устойчивости для всей системы с новой матрицей жесткости К, определяется новое значение параметра критической нагрузки. Далее шаг 5.

5. Проверяются критерии сходимости итерационного алгоритма по параметру критической нагрузки \рк- рк_х\<А.р, где к и к-1 - текущая и предыдущая итерации по устойчивости. Если критерии выполняются то шаг 6, иначе шаг 3.

6. Решается задача статики для системы, где в качестве модулей упругости в элементах приняты определенные на последней итерации по шагам (3-5) секуще модули Ех. Определяется новое распределение усилий. Проверяется

величина изменения усилий в системе шах|Л^т а - < А^, где где £ и 5-7 -

т

текущая и предыдущая итерации по статике, т пробегает по всем конечным элементам системы. Если критерий выполняется то окончание расчета, иначе шаг 2.

В четвертой главе рассматривались проблемы анализа устойчивости системы, состоящей из многих пластин и оболочек. При расчете систем пластин и оболочек нельзя ограничиться корректировкой лишь одного параметра, например модуля упругости. Во-первых, в зависимости от внешних нагрузок состояние физической нелинейности может наступать лишь по одному направлению, при этом, во втором направлении материал продолжит работать в линейно-упругой области. Во-вторых, если на такой элемент действуют изгибающий моменты, то напряжения будут различны по всей его толщине. Учет перечисленных особенностей становится особенно важным при расчете железобетонных плит, где ортотропия дополнительно обусловлена наличием арматурных стержней.

Поэтому для систем пластин и оболочек предлагается решать физически и геометрически нелинейную задачу с пошаговым приращением нагрузки:

+Кст1 +Ки]Ди1 - А?! =0 - для 1-го шага, (10)

[К* + *]Дй* - ДРА = 0 - для к-го шага, (11)

и на каждом шаге проводить строгий анализ устойчивости текущего положения равновесия путем решения линейно-упругой задачи на собственные значения в виде:

|К*+Кв14-АЕ| = 0, (12)

где Е - единичная матрица. В зависимости от полученных на текущей итерации напряжений и перемещений необходимо осуществлять корректировку матриц обычной жесткости К^ и геометрической жесткости К.а к с учетом новых

касательных и секущих модулей упругости, определяемых по диаграмме деформирования материала. В следствие произвольного распределения усилий в конструкции корректировка должна осуществляться для каждого КЭ отдельно. При определении матрицы обычной жесткости К(е) элемента используется касательный модуль, а при определении матрицы геометрической 14

жесткости Кд-^) элемента используется секущий модуль. Таким образом, в

отличие от классической процедуры МКЭ, модули в матрицах обычной и геометрической жесткости используются разные — это ключевая особенность предлагаемого метода. В остальном процедура МКЭ стандартна.

Для учета неравномерного распределения напряжений по толщине элемента из-за действия изгибающих моментов предлагается применять многослойные оболочечные элементы с гипотезой прямых нормалей. Материал пластин и оболочек в каждом слое полагается ортотропным, т.е. имеющий различные жесткости в двух направлениях главных осей деформации, что позволит учитывать физическую нелинейность в этих направлениях независимо друг от друга. В каждом направлении диаграмма деформирования может иметь произвольный вид.

Для систем, состоящих из пластин и оболочек, можно сформулировать простой алгоритм проверки устойчивости положения равновесия с учетом физической нелинейности.

Пусть к системе приложена некоторая внешняя нагрузка Р. Тогда:

1. Оболочечные элементы задаются как многослойные и ортотропные в слоях.

2. Решается методом конечных элементов физически и геометрически нелинейная задача статики (10)-(11), определяются перемещения и.

3. Для каждого конечного элемента оболочки: во всех слоях определяются направления главных осей деформации и значения этих деформаций, на основе выбранной диаграммы деформирования определяются соответствующие этим деформация значения касательного и секущего модулей упругости в слоях, вычисляются новые интегрированные жесткостные характеристики слоистых элементов, определяются матрица жесткости (матрица касательных жесткостей) и матрица геометрической жесткости К^ (матрица секущих жесткостей)

4. Определяются суммарные матрицы жесткостей К и Кст всей системы, и решается задача на собственные значения (12). Если Л< О, то положение равновесия, соответствующее внешней нагрузке Р неустойчиво.

В пятой главе представлены примеры решения различных задач, в которых определялась критическая нагрузка с учетом физической нелинейности, а также осуществлена верификация разработанных алгоритмов.

Для стальных стержневых систем результаты расчета полученные с помощью разработанного алгоритма решения задачи устойчивости с учетом физической нелинейности сравнивались с известными из работ других авторов результатами численных и экспериментальных исследований. Здесь было получено хорошее совпадение. Было также показано, что разработанный алгоритм позволяет учесть влияние эксцентриситетов силы и моментов, пластических деформаций в растянутых элементах и начальных несовершенств.

Применение разработанного алгоритма для расчета на устойчивость железобетонных стержней было проиллюстрирован на примере расчета железобетонных прямоугольных колонн. Ниже в таблице 1 приведены результаты расчета критической силы по Эйлеру (№) и АКМ (Ырасч), а также результаты экспериментальных исследований (№с), выполненных в Научно-исследовательском институте бетона и железобетона под руководством Е.А.Чистякова

Таблица 1.

Сопоставление результатов расчета с результатами испытании._

Шифр 1, м ь, Ь, ЯЬ, А5=Аз' а=а', Ыис, N3, ^асч,

см см Мпа , см2 , МПа см кН кН кН

КГ-9-1 3,75 11,9 24,3 20 1,54 325 1,6 460 824 408

КГ-9-4 3,75 12 24 22,5 1,54 330 1,6 400 871 414.4

КГ-12-6 4,55 15 24 12,5 2,2 372 1,8 400 867 378,4

КГ-20-5 3,1 15 24,4 40 1 485 1,5 1303 2756 1126

КГ-21-3 2,35 15,3 24 31,5 0,98 387 1,5 1204 4777 1186

КГ-21-4 2,35 15,2 24,3 31,5 0,99 401 1,4 1103 4777 1137

КГ-22-3 4,58 15 24,4 34 3,02 435 1,7 899 1268 875

КГ-28-6 4,58 10 24,3 32 1,41 420 1,5 300 376 294

КПГ-ЗБ 3,78 23,5 22,6 28,2 2,26 317 3,1 940 1480 938

КПГ-1А 4,17 21,9 21,8 22,6 2,26 287 2,6 666 1147 660

КПГ-1Б 4,17 22,3 21.7 22,8 2,26 319 3 666 1147 667

КПГ-1Г 4,18 23 21,4 28 2,26 318 3 877 1211 866

Представленные в таблице результаты говорят о том, что применение разработанного алгоритма позволяет эффективно решать задачи устойчивости не только стальных конструкций, но и железобетонных.

Верификация алгоритма проверки устойчивости положения равновесия системы, состоящих из пластин и оболочек, с учетом физической нелинейности была осуществлена на модельной задаче, где проверялась устойчивости шарнирно опертого стержня, сжимаемого вертикальной силой. Расчет проводился как в рамках стержневой модели с помощью АКМ по концепции Шенли, так и в рамках оболочечной модели предложенным в работе методом. Полученные результаты отличались на 2,5%.

Во всех рассмотренных в рамках численного моделирования задачах неучет физической нелинейности приводил к кратному завышению определяемого параметра критической нагрузки.

В качестве примера анализа устойчивости реальной конструкции в ПК МшгоРе была создана модель и произведен расчет железобетонного купола «Трансвааль-парка» в г. Москва, который разрушился в феврале 2004 г. Учет нелинейной работы материала оболочек, составляющих купол конструкции, позволил в результате расчета на устойчивость получить значение параметра критической нагрузки без учета ползучести материала равное Р^ ^ =1.00, что

позволяет сделать вывод о невыполнении требований норм проектирования по устойчивости конструкции.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. В рамках МКЭ осуществлена постановка задачи устойчивости с учетом физической нелинейности на основе определения устойчивости по А.М. Ляпунову. Была осуществлена алгоритмизация задачи в форме, удобной для реализации в рамках МКЭ.

2. Для стержневых систем в рамках МКЭ разработан алгоритм решения задачи устойчивости с учетом физической нелинейности, который позволяет учесть влияние эксцентриситетов продольных усилий и изгибающих моментов, начальных несовершенств, а также влияние на устойчивость системы пластических деформаций в растянутых элементах. Это делает алгоритм применимым к расчету сложных пространственных конструкций.

3. Разработанный алгоритм позволяет эффективно решать задачи устойчивости не только стальных, но и для железобетонных конструкций. В алгоритме учитывается разрушаемость и ползучесть бетона по нормам, что делает его также применимым к расчету сложных строительных железобетонных конструкций.

4. Для сложных конструкций, состоящих из многих пластин и оболочек, в рамках МКЭ разработан алгоритм проверки на устойчивости положения равновесия с учетом физической нелинейности. Его высокая точность была продемонстрирована на модельных задачах.

5. Результаты численного моделирования, полученные с помощью разработанного алгоритма решения задачи устойчивости с учетом физической нелинейности, хорошо согласуются с известными из работ других авторов результатами численных и экспериментальных исследований как для стальных, так и для железобетонных стержневых систем.

6. Разработанные алгоритмы решения задачи устойчивости с учетом физической нелинейности реализованы в сертифицированном, верифицированном и аттестованном в РФ ПК МюгоРе.

Основные положения н результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Лебедев В.Л., Семенов В.А., Солдатов АЛО. Анализ устойчивости конструкций с учетом физической нелинейности // Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных и конечных элементов: Тез. докл. XXIII Международная конференция. СПб. 2009. С. 136-137. (0.04 пл /0.1 пл)

2. Лебедев В.Л., Семенов В.А., Солдатов АЛО. Анализ устойчивости стержневых конструкций с учетом физической нелинейности // Проблемы нелинейной механики деформируемого тела: Тр. Второй международной конференции. Казань. 2009. С. 247-248. (0.04 пл /0.1 пл)

3. Лебедев В.Л., Зебельян З.Х., Солдатов АЛО. Анализ устойчивости стержневых систем с учетом нелинейной диаграммы деформирования

материалов // Пространственные конструкции зданий и сооружений (исследование, расчет, проектирование, применение). М. 2009. Вып.12. С. 65-73. (0.25 пл /0.6 пл)

4. Лебедев В.Л., Семенов В.А., Солдатов А.Ю. К устойчивости стержневых строительных конструкций с учетом физической нелинейности // Проблемы нелинейного расчета большепролетных пространственных конструкций: Тез. докл. М. 2010. С. 53-54. (0.04 пл /0.1 пл)

5. Лебедев В.Л., Семенов В.А., Солдатов А.Ю. К анализу устойчивости железобетонных стержневых систем с учетом физической нелинейности методом конечных элементов // Актуальные вопросы исследований и проектирования пространственных конструкций с применением физического и компьютерного моделирования. М. 2011. С. 55-56. (0.04 пл /0.1 пл)

6. Лебедев В.Л., Семенов В.А., Солдатов А.Ю. Анализ устойчивости железобетонных конструкций с учетом физической нелинейности методом конечных элементов // Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных и конечных элементов: Тех. докл. XXIV Международная конференция. СПб. 2011. С. 108-109. (0.06 пл /0.1 пл)

7. Солдатов А.Ю., Лебедев В.Л., Семенов В.А. Алгоритм анализа устойчивости стальных и железобетонных пластин и оболочек с учетом физической нелинейности методом конечных элементов // Математическое моделирование в механике деформируемых сред и конструкций. Методы граничных и конечных элементов: Тез. докл. XXV Международная конференция. СПб. 2013. С. 200-201. (0.06 пл /0.1 пл)

8. Лебедев В.Л., Семенов В.А., Солдатов А.Ю. Анализ устойчивости строительных конструкций с учетом физической нелинейности методом конечных элементов // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. 2010. Volume 6. Issue 1&2. PP. 150-152. (0.1 пл /0.15 пл)

9. Солдатов А.Ю., Лебедев В.Л., Семенов В.А. Анализ устойчивости строительных конструкций с учетом физической нелинейности методом конечных элементов // Строительная механика и расчет сооружений. 2011. №6. С. 60-65. (0.3 пл /0.4 пл)

10. Солдатов А.Ю., Лебедев В.Л., Семенов В.А. Анализ устойчивости стальных стержневых систем с учетом нелинейной диаграммы деформирования материала // Строительная механика и расчет сооружений. 2012. №2. С.48-52. (0.25 пл /0.4 пл)

11. Солдатов А.Ю. Анализ устойчивости железобетонных стержневых конструкций с учетом физической нелинейности // Строительная механика и расчет сооружений. 2012. №1. С. 30-34. (0.4 пл)

Подписано в печать:

22.10.2014

Заказ № 103 23 Тираж - 100 экз. Печать трафаретная. Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ш., 36 (499) 788-78-56 vvww.autoreferat.ru