автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Метод расчета разномодульных прямоугольных тонкостенных элементов конструкций с разрывными параметрами с учетом нелинейностей

На правах рукописи

Моисеенко Маргарита Олеговна

МЕТОД РАСЧЁТА РАЗНОМОДУЛЬНЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТОНКОСТЕННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ С РАЗРЫВНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ С УЧЕТОМ НЕЛИНЕЙНОСТЕЙ

05.23.17 - Строительная механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Томск - 2004

Работа выполнена в Томском государственном архитектурно-строительном

университете

Научный руководитель: кандидат технических наук, доцент,

Малиновский Анатолий Павлович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Белов Николай Николаевич кандидат технических наук, доцент Эм Валентин Владимирович

Ведущая организация: Новосибирский государственный

архитектурно-строительный университет

Защита состоится " ¿У" #ела ¿а л 2004 г. в 1400 часов на заседании диссертационного совета Д 212.265.01 в Томском государственном архитектурно-строительном университете по адресу: 634003 г. Томск, пл. Соляная, 2, ауд. 307/5.

С диссертацией можно ознакомится в научной библиотеке Томского государственного архитектурно-строительного университета

Автореферат разослан /<Р 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, д.т.н., профессор

Скрипникова Н.К.

■¿4$ 7161

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Тонкостенные оболочки и пластины переменной толщины с отверстиями и утолщениями находят широкое применение в строительстве, различных областях техники. Для придания "большей жёсткости пластины и оболочки подкрепляются рёбрами. Конструкции могут подвергаться не только механическим, но и тепловым воздействиям. В ряде случаев в сложных условиях эксплуатации конструкций возникает необходимость оценки напряженно-деформированного состояния (НДС), прочности и жесткости конструкции работающих за пределом упругости при значительных перемещениях. НДС нелинейно-упругих гладких тонкостенных конструкций ступенчато переменной толщины с отверстиями и ребрами, находящихся под воздействием температуры, силовой нагрузки, и допускающих прогибы, соизмеримые с толщиной, исследовано недостаточно и требует дальнейших исследований.

Данная работа посвящена совершенствованию теории и методов расчёта однопольных и системы разномодульных неоднородных пластин и оболочек с разрывными параметрами, находящихся под воздействием температурной, силовой нагрузки с учётом физической и геометрической нелинейностей.

Целью работы является: обоснование и разработка метода и алгоритмов расчёта однопольных и системы разномодульных неоднородных гибких пластин и пологих оболочек с разрывными параметрами, находящихся под действием температурной, силовой нагрузки с учётом физической и геометрической нелинейностей, позволяющих получить решение в аналитической форме.

Научная новизна работы заключается в следующем:

Записан в аналитическом виде функционал полной энергии из которого, как частные случаи, следуют функционалы для решения задач с учетом только одной из нелинейностей либо в линейной постановке.

- Доказана целесообразность применения энергетического метода в аналитической форме, с использованием основной расчётной схемы метода перемещений, которая получается путём разделения конструкции на прямоугольные тонкостенные элементы и введения функциональных неизвестных по линиям контакта элементов.

- Обоснован и разработан метод расчёта системы гибких пластин и пологих оболочек переменной толщины с отверстиями, накладками и рёбрами, находящихся под действием силовой нагрузки и температуры. Учитывается разномодульность, неоднородность, изменение физических характеристик материала под воздействием температуры.

- Проведен анализ сходимости и точности метода и даны рекомендации по выбору оптимального числа членов ряда в функциях перемещений и густоты сетки для численного интегрирования.

- Исследованы возможности разработанного метода для решения широкого круга задач расчета разномодульных тонкостенных пластин и оболочек с учетом разрывных параметров и нелинейностей различного вида. На основании вычислительных экспериментов определены задачи, для которых необходим учет физической или геометрической нелинейности, либо совместный учёт физической и геометрической нелинейностей.

Практическое значение работы. Применение разработанного метода, алгоритмов позволяет провести анализ НДС и оценить запасы прочности и жесткости гибких пластин, пологих оболочек и систем из них, как гладких, так и с разрывными параметрами, находящихся под действием силовой нагрузки и температуры. Учитывается разномодульность, неоднородность, изменение физических характеристик материала под воздействием температуры. Предложен алгоритм расчёта с применением способа выделения главной части решения по Х.М. Муштари. Разработанный в диссертации метод и алгоритмы могут быть рекомендованы для проектных и научно-исследовательских организаций.

Реализация результатов работы. Результаты, полученные в диссертационной работе, используются в проектном Институте ОАО "Томсктеплоэлектропроекг" и в учебном процессе, а также в научно-исследовательской работе студентов, магистров и аспирантов ТГАСУ.

Достоверность результатов следует из корректного применения энергетического метода и общепринятых допущений нелинейной строительной механики, а также из сравнения результатов расчетов с имеющимися аналитическими и численными решениями отдельных тестовых задач.

Апробация работы. Материалы диссертации были доложены и обсуждены на научно-технических конференциях Томского государственного архитектурно-строительного университета (2001-2003 гг.); на региональных и Всероссийской научно практической конференции Томского политехнического университета (2002-2004гг.); на XXIII Российской школе по проблемам науки и технологии (Миасс 2003 г.) на 8 -ом Корейско - Российском международном симпозиуме по производству и технологии (Томск, 2004 г.). Работа докладывалась на научных семинарах кафедры строительной механики ТГАСУ под руководством академика PA ACH, профессора JI.С. Ляховича (2002 - 2004 гг.).

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 4 статьи.

На защиту выносятся:

- Сформулированный в работе функционал полной энергии, записанный в аналитическом виде для основной расчётной схемы метода перемещений. Расчетная схема получена путём разделения конструкции на прямоугольные тонкостенные элементы на линиях сочленения, которых ведены обобщенные функциональные неизвестные.

- Аналитический метод, алгоритмы и программа по расчёту физически и геометрически нелинейных пластин, пологих оболочек переменной толщины с отверстиями, накладками и рёбрами, находящихся под действием температуры и силовой нагрузки. Алгоритм учитывает разномодульность и

неоднородность материала, а также изменение модуля упругости (£) и коэффициента теплового расширения материала (а) в зависимости от температуры.

- Разработанные в работе алгоритмы и рекомендации по улучшению сходимости решения, основанные на применении метода последовательных нагружений и способа выделения главной части решения в форме Х.М. Муштари.

- Результаты исследований точности и сходимости алгоритма расчёта; ' рекомендации по выбору необходимого числа членов ряда в функциях перемещений и густоты сетки для численного интегрирования. >

- Результаты расчётов, их анализ, практические рекомендации по оценке степени влияния термочувствительности, разномодульности, неоднородности слоёв, физической и геометрической нелинейности на НДС пластин и пологих оболочек с разрывными параметрами.

Объём и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка используемой литературы и приложения. Она содержит 180 страниц, в том числе 134 страниц основного текста, 35 рисунков, 5 таблиц. Список используемой литературы включает 159 наименований (из них 29 на иностранном языке). В приложении приведено описание и сама программа на алгоритмическом языке Pascal.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность научных исследований, изложенных в диссертации, сформулированы: цель исследования; научная новизна; практическая и теоретическая ценность работы. Во введении также изложено краткое содержание работы.

Отмечается большой вклад в развитие теории и практики расчёта физически нелинейных пластин и оболочек, который внесли известные отечественные ученые. Н.П. Абовский, И.А. Биргер, A.A. Ильюшин, Б.Я. Кантор, Л.М. Качанов, М.С. Корнишин, В.А. Крысько, Ю.Р. Лепик, П.А'.

Лукаш, В.А. Мяченков, Ю.В. Немировский, И.Г. Овчинников, В.В. Петров, Ю.Н. Работнов, P.C. Санджаровский H.H. Столяров, А.И. Стрельбицкая, А.Г. Угодчиков, И.С. Цурков, а также зарубежные авторы: L.H. Donnell, Ph. G. Hodge, H. G. Hopkins, W. Olszak, E. Reissner, A. Sawczuk и другие.

Разработкой способов расчёта подкреплённых пластин и оболочек с учётом физической и геометрической нелинейностей занимались Э.В. Годзевич, Л.В. Енджиевский, В.Н. Завьялов, В.И. Климанов, О.Н. Попов, И.Н. Слезингер, М.В. Стрельбицкий, A.A. Яковлев, Н. Muller и другие.

Способы и методы расчёта прямоугольных пластин и оболочек с отверстиями с учётом физической и геометрической нелинейностей изложены в работах Л.В. Енджиевского, А.И. Демидова, Г.О. Кипиани, Б.К. Михайлова, В.Г. Спиридонова, В.Г. Якунчихина, Fan Yinhe, Hu Chao, Huang Wenhu, J. Minster, Ohtaki Seiichi, Tanaka Atsushi, Ma Xingrui и других ученых.

Анализ работ показал, что ряд вопросов требует дополнительных исследований, в том числе создания новых аналитических методов исследований тонкостенных конструкций, имеющих разрывные параметры, с учётом физической и геометрической нелинейностей, разномодульности, неоднородности и находящихся под действием силовой нагрузки и температурного воздействия.

В первой главе приведён обзор работ и анализ методов, используемых для расчёта разномодульных гибких прямоугольных пластин и пологих оболочек переменной толщины с разрывными параметрами с учётом физической нелинейности. Сформулированы критерии и требования выполнения, которых необходимы для решения, поставленных в работе задач.

Вопросам деформирования нелинейно-упругих материалов, имеющих разные характеристики на растяжение и сжатие, посвящены исследования Д.Л. Быкова, Д.А. Гаврилова, А.Ф. Макеева, И.Г. Овчинникова, В.В. Петрова, Б.В. Пономарёва A.F. Jones D. A. R. Nelson Jr. и других. Рассмотрены существующие подходы к описанию поведения разномодульных нелинейно-

упругих материалов. На основе анализа предложено использовать модель, описанную в работах А.Ф. Макеева, И.Г. Овчинникова, В.В. Петрова, которая позволяет достаточно полно отразить реальные свойства материала.

Рассматриваются и анализируются методы решения задач нелинейной теории упругости: последовательных приближений, упругих решений, переменных параметров упругости, Ньютона-Канторовича, последовательных нагружений. Учитывая, что в работе рассматривается разномодульность и неоднородность материала, обосновано применение для решения задач использование метода переменных параметров упругости (МППУ).

В работе рассматриваются преимущества и недостатки известных методов расчёта прямоугольных пластин и пологих оболочек и систем из них, анализируются: аналитические и вариационные методы, метод конечных разностей, вариационно-разностный метод, метод конечных элементов. В работе предложено применять энергетический вариационно-сегментный метод для решения поставленных нелинейных задач. Он приводит к системе уравнений, его сходимость теоретически обоснована, а координатные функции могут удовлетворять только кинематическим граничным условиям. Поиск варьируемых параметров производится одним из методов прямого поиска, минимизируя построенную многопараметрическую функцию.

Во второй главе сформулирована постановка задачи по расчету разномодульных прямоугольных тонкостенных элементов конструкций с разрывными параметрами с учетом нелинейностей. Рассматриваются возможные варианты решений, в том числе, с помощью дифференциальных уравнений и функционала Лагранжа.

Объект исследования: гибкие пластины и пологие оболочки переменной толщины, с прямоугольными отверстиями, подкреплёнными рёбрами, . с начальной погибью и нагруженные поперечной нагрузкой и

усилиями в срединной плоскости. Температурное воздействие изменяется по толщине элементов.

В местах соединения панелей и рёбер учитываются сдвигающие усилия, направленные вдоль ребра, вертикальные усилия, направленные перпендикулярно оси ребра и моменты, стремящиеся скрутить ребро и вызывающие поворот сечений пластины.

Ослабления, вносимые отверстием, учитываются через приведенные характеристики жесткости и массы, описываемые с помощью дельта функций. За расчетную модель тонкостенных конструкций с вырезами принята сплошная деформируемая система, у которой параметры жесткости и массы претерпевают разрывы в районе вырезов.

Граничные условия в продольном и поперечном направлениях постоянны. Края отверстий имеют закругления.

Исходные уравнения для панелей и балок с учётом физической и геометрической нелинейности записываются на основе деформационной теории пластичности и теории гибких пластин и оболочек в предположении, малости сдвигов в нормальных сечениях. Применяется гипотеза прямых нормалей Кирхгофа - Лява с учётом деформаций по толщине.

Компоненты деформаций срединной поверхности панелей и кривизны выражаются нелинейно через перемещения соответственно вдоль координатных осей соотношениями по теории Т. Кармана.

Перемещения и относительные деформации рёбер определяются с учетом их эксцентриситета - е относительно срединной поверхности.

Напряжения в панелях и рёбрах выражаются через деформации с учётом температурного воздействия. Зависимость модуля упругости и коэффициента теплового расширения принята в квадратичном приближении в зависимости от температуры, которая линейно изменяется по толщине конструкции согласно модели принятой в работах И.И. Гольденблатга и H.A. Николаенко.

Секущие модули упругости, функции сжимаемости материала, модуль сдвига, коэффициенты линейного расширения существенно зависят от знаков напряжений и их значений для разномодульного материала. В работе применяется модель, предложенная в работах И.Г Овчинникова, В.В. Петрова.

Записанные в данной главе соотношения между напряжениями, деформациями и перемещениями для панелей и ребер, позволяют определить НДС в панелях и рёбрах при известных перемещениях конструкции и физических свойствах материала.

В данной главе строится функционал полной энергии в форме Лагранжа.

Поскольку интегрирование с переменными параметрами упругости затруднительно, то применяется итерационный путь так, что на каждом последующем этапе приближения функция параметры упругости принимается по предыдущему приближению.

Для всей конструкции функционал в форме Лагранжа, учитывающий физическую, геометрическую нелинейности и разномодульность материала записывается в виде суммы энергий отдельных панелей с учётом отверстий и рёбер. В случае работы материала по линейному закону функционал приводится к виду, известному в литературе, что указывает на адекватность функционала, построенного в работе.

Третья глава посвящена построению алгоритма расчёта разномодульных прямоугольных пластин и пологих оболочек переменной толщины с прямоугольными отверстиями с учётом нелинейностей.

При приближённом решении энергетическим методом решение отыскивается в виде ряда с варьируемыми коэффициентами и координатными функциями, которые должны обладать полнотой и удовлетворять геометрическим граничным условиям. В качестве координатных функций используются функции собственных колебаний.

Подставив принятые функции перемещений, их производные и деформации, выраженные через них, в выражение для функционала, получим многопараметрическую функцию, зависящую от варьируемых параметров.

Полученная многопараметрическая функция в связи с нелинейностью задачи не является квадратичной. В этом случае условие стационарности функционала приводит к системе нелинейных уравнений, что значительно усложняет решение.

Рассмотрена возможность применения метода последовательных нагружений. Записано выражение приращения полной энергии системы на "Г1 - ом этапе нагружения, зависящей от варьируемых параметров Аш,Вт,Сш. Дифференцируя выражение энергии по этим параметрам и приравнивая нулю производные, получаем систему линейных алгебраических уравнений. Решение данной системы и дает величины искомых варьируемых параметров. Повторяя итерации на всех остальных этапах нагружения, находятся полные перемещения, путем суммирования приращений перемещений. Зная значения перемещений, можем определить напряженно -деформируемое состояние. Недостатком метода шагового нагружения является наличие "дрейфа" приближенного решения от точного. Поэтому через каждые несколько шагов нагружения накопленную величину невязки рекомендуется ликвидировать с помощью итерационного процесса. В работе предлагается использовать комплексный алгоритм. Физическая нелинейность учитывается по методу переменных параметров упругости, а геометрически нелинейные задачи решаются методом прямого поиска. В работе выполнен анализ и дано обоснование применения метода сопряженных градиентов для решения рассматриваемого класса задач.

В четвертой главе описан общий алгоритм расчёта разномодульных пластин и пологих оболочек и систем из них переменной толщины с прямоугольными отверстиями с учётом физической и геометрической нелинейностей. Приведены основная расчётная схема, построенная по методу перемещений, и координатные функции. Рассмотрены вопросы

численного интегрирования при вычислении функционала. Проведено построение алгоритма с учетом выделения главной части решения. Показана возможность применения способа вариационных итераций и обобщённого метода Власова - Канторовича.

Точность результатов в вариационных методах зависит от удачного выбора аппроксимирующих функций. В работе дается обоснование выбора функций - принимаются построенные координатные функции метода перемещений для пластин по вариационному методу Власова Канторовича, приведённые в работах A.B. Александрова, В.Н. Завьялова, A.M. Черняка.

Основная расчётная схема выбирается путём декомпозиции конструкции на отдельные конструктивно - ортотропные панели и рёбра и введения по линиям сочленения непрерывных распределённых связей четырёх типов, устраняющих продольные смещения, поперечные горизонтальные смещения, вертикальные перемещения, повороты вокруг продольной оси.

Панели нумеруются слева направо. Система координат местная для каждого элемента. Левая линия сочленения, ограничивающая левую кромку "А"-ой панели будет иметь функциональные перемещения: Zu.s(x)>Zu.i(.x),Zu_t(x), ZAk,,i(x), а правая линия сочленения соответственно: (л-), ZAtr2 (x),Z„tX(x), Z4i.4 (х). Индексы при функциональных перемещениях подобраны так, чтобы они остались одними и теми же при переходе от одной панели к другой. Если панели расположены под углом друг к другу, то перемещения панели к выражаются через перемещения к -1 панели по линии их сопряжения с учётом углов сопряжения.

Координатные функции для каждой отдельной панели задаём в виде суммы двух рядов. Функции, составляющие первый ряд, удовлетворяют однородным граничным условиям, дают нулевые значения по линиям сочленения элементов и удачно аппроксимируют перемещения во внутренней области панели. Составляющие второго ряда удовлетворяют неоднородным граничным условиям по линиям контакта отдельных панелей

и подкрепляющих рёбер. Данные функции получены от принудительного смещения кромок отдельной панели по линейной теории. Принятые функции перемещений позволили лучше учитывать скачкообразное изменение жёсткостей, а также позволили рассматривать систему панелей.

Функционал полной энергии, выраженный через перемещения, на каждом этапе приближения зависит от механических характеристик Ес, цс, которые переменны как по толщине, так и по поверхности конструкции и изменяются в процессе деформирования в виде сложных зависимостей.

Интегрирование внутри области проводится численными методами. При этом вся конструкция, как по поверхности, так и по толщине разбивается сеткой на узлы, в которых вычисляется удельная энергия - Ф,, суммирование которой с помощью квадратурных формул Симпсона даёт возможность вычислить функционал. Поверхность панели разбивается сеткой, при этом в каждом узле сетки просчитываем удельную энергию, учитывающую интегрально механические характеристики. Интегралы берутся по толщине панели численно. Далее интегрируем по продольной оси х. По формуле Симпсона вычисляем энергию, приходящуюся на единицу длины панели вдоль каждой полосы, а затем вычисляется энергия на каждой полосе. Суммируя по квадратурной формуле в поперечном направлении, получаем общую энергию. Потенциальная энергия панели, приходящаяся на единицу поверхности, записывается в виде:

дхду ду ' дх дхду ох ду ■ дх ду1

где интегральные жесткостные параметры оболочки: „ («» Е г1'1 , „ Е гу"' ,

П. = Г —сЬ; = | ' , аЬ;

> и я, 2(1-Р2)

1,2,3.

Потенциальные энергии деформаций продольного и поперечного рёбер, приходящиеся на единицу длины, записываются в виде:

' 2 <3* 24 & сЬг ф' р дх дх

где интегральные жесткостные параметры ребра:

О/ = р£— dz-, а,.> = —dz\ Cíj^ = foarV-'fife; 1,2,3.

L 2 ¿0+/0 ¿

Общая энергия, выраженная через варьируемые параметры, примет вид: Ф, ^0(QrñJ,A"",Bw,Cw)). Где А<п>, В0", СА)-варьируемые параметры;

В данной работе применяется МППУ. Отметим, что если изменение секущего модуля упругости - Ес в работах, применяющих МППУ, учитывается всегда, то изменение функции сжимаемости - д. нет, обычно берется ju<:=const. Чтобы обойти этот момент на каждом этапе приближения, в работе предложено применять дополнительный итерационный процесс для уточнения д.. Итерации следуют до тех пор, пока значения /и„ в двух соседних приближений не будут отличаться друг от друга в пределах заранее заданной точности. По найденным, в последней итерации, варьируемым параметрам определяются перемещения, деформации и напряжения в любой точке конструкции, определяются зоны растяжения и сжатия, а также, если задача упругопластическая, строятся зоны пластичности.

В данной главе дано обоснование применения метода предложенного Х.М. Муштари. Нелинейность учитывается по одной из главных гармоник, а по остальным берется линейное решение, применительно к расчету подкрепленных пластин и пологих оболочек переменной толщины с отверстием с учетом физической и геометрической нелинейностей, и разномодульности материала при силовой нагрузке и температурном воздействии. Для выделения главной гармоники действующая нагрузка раскладывается в ряд. Для нагрузки, разложенной по главной гармонике,

ведется расчет с учетом нелинейности, а с остальными членами ряда по нагрузке расчет проводим в линейной постановке.

В четвертой главе также дается обоснование и описание алгоритма применения обобщённого метода Власова - Канторовича для расчёта панелей с разрывными параметрами, который улучшает сходимость по координатам х, у и позволяет удовлетворять как геометрическим, так и статическим граничным условиям. Это расширяет круг решаемых задач и возможности метода.

Пятая глава посвящена вопросам исследования возможностей применения построенного алгоритма для расчета разномодульных прямоугольных пластин и пологих оболочек переменной толщины с прямоугольными отверстиями с учетом физической и геометрической нелинейностей. Для оценки эффективности предложенного алгоритма, точности и достоверности результатов, полученных на его основе, решен ряд тестовых примеров. Исследовано влияние густоты сетки для численного интегрирования и числа членов ряда функций перемещений на точность решения и определены параметры, при которых получается решение с достаточной для практики точностью. Даны соответствующие рекомендации.

Гладкие пластины и оболочки из линейно-упругого материала с учетом геометрической нелинейности наиболее изучены. Результаты имеются в работах Д.В. Вайнберга. Рассматривалась шарнирно закрепленная квадратная пластинка при равномерно распределенной нагрузке. Из анализа результатов расчётов следует, что по прогибам получаем результаты достаточно близкие к точным при взятии трех гармоник и сетки одна восьмая протяженности, а по напряжениям при пяти гармониках и сетке одна шестнадцатая протяженности.

Проводилось исследование поведения шарнирно закреплённой пологой оболочки в виде эллиптического параболоида с учетом пластических деформаций при поперечной равномерно распределенной нагрузке. Материал СтЗ. В диссертации выполнено сравнение зависимостей прогиб -

нагрузка, приведенных в работах А.И. Стрельбицкой и полученных по предложенному в данной работе способу. Из анализа результатов расчетов следует, что предлагаемый алгоритм позволяет учесть физическую нелинейность и дает достоверный результат. Для рассматриваемой оболочки, также проведены вычислительные эксперименты с учетом двойной нелинейности. При учете двойной нелинейности прогиб увеличился. Аналогичные выводы получены при расчёте пологой оболочки из материала из материала Д16Т. Из приведенных примеров следует, что алгоритм позволяет учесть двойную нелинейность. Неучёт которой ведет к большим погрешностям, особенно для оболочки из более мягкого материала.

В данной главе приведено сравнение результатов расчета прямоугольных, жестких пластин при изгибе, выполненных из материала с переменным, по толщине пластины, модулем упругости и пределом текучести (неоднородность является функцией поперечной координаты), с приведенными результатами, полученными в работах А.И. Стрельбицкой, где решение задачи проводилось методом конечных разностей на основе деформационной теории пластичности, с применением метода дополнительных нагружений.

Результаты исследований, полученные по разработанному в диссертационной работе методу и алгоритму, практически совпали. Особенно высокие совпадения по прогибам. Из анализа полученных результатов и сравнения их с известными ранее следует, что предлагаемый алгоритм позволяет учесть в расчетах поперечную неоднородность тонкостенных элементов конструкции.

В работе рассматривалась тонкая прямоугольная пластинка из несжимаемого нелинейно-упругого материала, находящаяся под действием поперечной распределенной нагрузки ц(х,у) и взаимодействующая с температурным полем. Температура в любой точке пластинки представлялась с учётом градиента температуры по толщине. Считается, что свойства материала, а именно, нелинейная диаграмма деформирования и

коэффициент линейного расширения зависит от Га. Учёт этих обстоятельств осуществляется путем построения аппроксимирующих зависимостей предложенных в работах И.И. Гольденблата и H.A. Николаенко: сгД£„70) = Е{Т0)е - т(Г„)е'; Е(Та) = Еа- Е,Т(,-EJ2; m(T,,) = m;, ->щТ„ -truT2\ a('f„) = а0 +а{Г0

Рассматривалась прямоугольная (Я = 2), шарнирно опертая по контуру пластинка из сплава Д16АТ: Е„ = 8.02-10%/.м\ =9.81-104н/(м-ерад)2,

=-11.14-104к<?/(см-г/гас))!> m, = 4.\2-Юин/(м-град)2, m„ = ХЛЪЛ^нЦм-град)1, пи =-5.97-109н/(м-град)2, а0 = 20,6-10^1 /град, а(1 = 0,14-Ю^/град.

Результаты, полученные по предложенному алгоритму сравнивались с

полученными П.К. Семёновым методом последовательных возмущений

параметров. Анализ проведенных исследований показал, что разработанный

в работе метод и алгоритм, позволяют учесть физическую нелинейность и

температурное воздействие, в том числе и в тех случаях, когда физические

характеристики зависят от температуры.

В главе также приведёны результаты расчета на изгиб пластин и

пологих оболочек ступенчато-переменной жесткости. Рассматривались

задачи изгиба прямоугольных пластинок и пологих оболочек ступенчато-

переменной жесткости под действием поперечной нагрузки.

Выполнялся расчет пластины и пологой оболочки ступенчато-

переменной жесткости с размерами в плане (2ах2а), шарнирно закрепленные

по контуру, находящиеся под равномерно распределенным внешним

^ давлением постоянной интенсивности. В центральной утолщенной части,

размерами (axa), соотношение цилиндрических жесткостей принималось

1 равным восьми. Результаты расчетов, полученные по предложенному методу

и алгоритму сравнивались с полученными М.С. Корнишиным и А.П

Грибовым в линейной постановке энергетическим методом. Анализ

результатов показывает, что разработанный алгоритм позволяет учесть

ступенчатые изменения жесткости и дает результаты расчетов с высокой степенью точности.

Расчет пластин с отверстиями на прочность рассматривался в сравнении с результатами, полученными в работе В.И. Липкина. Рассчитывалась на изгиб квадратная шарнирно опертая по всему внешнему контуру пластина, загруженная равномерно распределенной нагрузкой. В центре пластины имелось квадратное отверстие, сторона которого равна 0.4/. Результаты расчетов их анализ получены на различных приближениях и представлены в диссертации. Эпюры прогибов, изгибающих моментов построены с шагом й, = 0.05/ и иг = 0.1/ при 3,5 и 7 гармониках

Эпюры прогибов, построенные при 5 гармониках, практически совпадают с эпюрами, построенными при 7 гармониках. Эпюры, построенные при 3 гармониках ряда IV, имеют наибольшее отклонение от эпюры, построенной при 7 гармониках, в точке у = 0.5/ на - 8%. В этой же точке прогиб, определенный при 5 гармониках, отличается от значения прогиба, вычисленного при 7 гармониках, всего лишь на 1%. Анализ результатов показывает, что при определении прогибов достаточно взять для решения задачи 5 гармоник аппроксимирующего ряда №.

В работе представлены эпюры моментов Л/, в направлении оси х. По результатам расчета видно, что моменты, определенные при 5 и 7 гармониках ряда функций перемещений по линиям, не пересекающим отверстие, практически совпадают. Несколько хуже совпадение результатов по линиям, пересекающим отверстие. Поэтому для построения эпюр моментов в аппроксимирующем ряде необходимо удержать до 7 гармоник в функциях перемещений. Выводы о недостаточной сходимости решения на контуре отверстия и вблизи его хорошо иллюстрируются на приведенных эпюрах. Анализ результатов исследований показывает, что при 7 гармониках область больших погрешностей в значениях моментов распространена всего лишь на (0.05+0.07)1. Однако, определить моменты на этих участках, экстраполируя на них моменты, полученные в области отстоящей от контура отверстия,

очевидно не трудно. Исключение составляют области концентрации напряжений (углы отверстий), которые считаются закругленными. Таким образом, результаты расчетов показывают, что разработанный в работе метод и алгоритмы позволяет определять НДС оболочек с отверстиями.

В работе приведены примеры расчёта гибких пластинок, толщина которых изменялась в поперечном направлении по синусоидальному закону Л(^) = Л(,[1+в81п(2г-1)^?] и по линейному закону Иу) = ¿у]\ величина г варьировалась от 0 до 2.

Приведены кривые зависимости нагрузка-прогиб и нагрузка-интенсивность напряжений для точек на верхних, средних и нижних поверхностях при разном изменении толщины Наиболее жесткой оказались пластинки с профилем г = 1 и менее жесткой при г = 0. Наиболее напряженной являются пластины с поперечным профилем -г- 0, а менее напряженной с поперечным профилем -г = 2. Кривые нагрузка-интенсивность напряжений в срединной поверхности близки к линейным. Для верхних волокон эти зависимости нелинейны и имеют большой радиус кривизны для профиля -г = 0. При определенной нагрузке интенсивность напряжений уменьшается, что указывает на значительно влияние мембранных растягивающих усилий. Полученные результаты совпали достаточно точно с приведёнными в работах В.А. Крысько. Анализ проведенных вычислительных экспериментов показывает, что предложенный метод и алгоритм позволяют учитывать плавное изменение толщины тонкостенных элементов и могут быть применены при их оптимальном проектировании.

В работе рассматривается прямоугольная в плане пластина ступенчато переменной толщины И„ Иг, /г, с размерами сторон (а, +а, + а,)хб шарнирно -неподвижно опертая по внешнему контуру и нагруженная равномерно распределенной нагрузкой - д. Материал СЧ 12-28, разномодульный.

Расчеты велись для двух типов пластин с утонченной и утолщенной средней частью. Для первой пластины толщины: 1,5см, 1.0см, 1,5см, для

второй пластины толщины: 1см, 1,5см, 1.0см, при этом а, =а2 = а, = е = 40си. НДС характеризовалось по прогибам и интенсивности напряжений. Эпюры для разных типов пластин отличаются количественно и качественно. Так наибольший прогиб возникает в пластине с утонченной средней частью. Однако большая интенсивность напряжений возникает в месте изменения толщин в пластине с утолщенной средней частью. Отметим резкое изменение интенсивности напряжений в местах изменения толщин. При этом независимо от изменения толщины напряжения уменьшаются в месте изменения толщин к центру. На приведенных в диссертации зависимостях видно влияние геометрической нелинейности. Большие величины интенсивности напряжений возникают в верхних волокнах из-за разномодульности материала, так как модуль упругости на сжатие выше модуля упругости на растяжение. Анализ результатов расчета указывает на существенное влияние на НДС ступенчатых пластин геометрической нелинейности и разномодульности материала. Отметим, что более жесткой и напряженной является пластина с утолщенной средней частью. Результаты полностью совпали с приведенными в работах В.Н. Завьялова и О.Н. Попова.

В диссертации приведен пример расчета реальной конструкции. Рассчитана конструктивно ортотропная плита с главными ребрами жесткости на действие колесной нагрузки. Геометрические и физические параметры: стальной лист 250х818х1.2см(СтЗ); главные ребра 250х30х1.0ам(0я3); утолщения 250х12х1.2сд((10Г2С1); второстепенные ребра 273х30х1.0см(ст3). Плита разбита на четыре панели главными ребрами жесткости и колесной нагрузкой. Построены графики зависимости "нагрузка-прогиб", "нагрузка-интенсивность напряжений" для центральной точки нижней поверхности второстепенного ребра. Текучесть в нижних волокнах возникает при <7 = 50Я/с»г, после возникновения которой происходит отклонение от линейного решения.

а)

250

Ш

§1

q, Н/см

80 40 0

е)

q, Н/см'

80 40 О

/

/

/

0 10 2 \V.cm

гОО''0(СтЗ) 300,,0(Ст3) 121«>2(10Г2С1)

100 200 сгс.мпа

Ь)

2730 .1360 .1360. 2730

ф <5"12(СтЗ)

\У,см' 5*1 б2

23 456789

10 12 14 16 1819 21 23 25 2

С)

2

•100 уЛ

1 2 3_4 5 6 7 8 910 12 14 16 18 19 21 23 25 27 29 30 31 32 33 34 35 36

и № 28, т II

да г Д- -И

СП.МПа

<7т=240, МПа

Рнс. Ортотропная плита под действием колесной нагрузки, а) Геометрические и физические параметры; Ь) Эпюра прогибов по оси симметрии; с) Эпюра интенсивности напряжений по оси симметрии; с1) График нагрузка-прогиб в центре плиты; е) График нагрузка-интенсивность напряжений в центре плиты.

Приведены эпюры прогибов и интенсивности напряжений вдоль оси симметрии плиты при трех нагрузках д = 40 Н1см2, д = 60 Н1см2, ч = ШШслс.

Анализ результатов расчетов показывает, что построенный алгоритм позволяет учитывать дискретное подкрепление ребрами и учитывать поперечную нагрузку в виде полосовой.

Исследовано НДС квадратных шарнирно закреплённых пластин из материала СтЗ. Из рассмотрения изменения основных характеристик следует, что для квадратной пластины с шарнирным закреплением по контуру из материала с диаграммой деформирования по Прандтлю находящейся под действием равномерно распределённой нагрузки расчёт можно производить: с учётом только физической нелинейности при отношении толщины к длине 10 (Л, к ю); с учётом только геометрической нелинейности при (Л, ^ 70); в остальных случаях необходим учёт геометрической и физической нелинейностей. При ограничениях на прогибы (меньше 1/150 длины) расчёты можно проводить в линейной постановке при гибкости Я, <50 .и с учётом только геометрической нелинейности при Л, г> 50. При граничных условиях с защемлением необходим учёт физической нелинейности, так как текучесть возникает возле защемления при нагрузке примерно в два раза меньшей чем при ограниченном прогибе.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ ПО РАБОТЕ

1. Получен функционал полной энергии системы в аналитической форме. Из которого, как частные случаи, следуют функционалы без учёта физической и геометрической нелинейностей. Для физической линеаризации функционала применен метод переменных параметров упругости. Для поиска варьируемых параметров на каждом этапе приближения задачи применяются методы прямого поиска, минимизирующие многопараметрическую функцию.

2. Доказана целесообразность применения энергетического метода с использованием основной расчётной схемы метода перемещений для расчета неоднородных прямоугольных пластин и пологих оболочек переменной толщины с рёбрами жёсткости, отверстиями и накладками с учетом физической и геометрической нелинейностей, разномодульности под действием температурной и силовой нагрузок.

3. Разработаны аналитический метод и алгоритмы расчета неоднородных прямоугольных пластин и пологих оболочек переменной толщины с рёбрами жёсткости, отверстиями и накладками с учетом физической и геометрической нелинейностей, разномодульности под действием температурной и силовой нагрузок.

4. В предложенном алгоритме заложен способ выделения главной части решения по Х.М. Муштари, позволяющий учитывать нелинейность задачи только по главным гармоникам.

5. Проведены вычислительные эксперименты по исследованию точности и сходимости результатов расчёта. Показано, что НДС рассматриваемых тонкостенных конструкций с достаточной для практики точностью получается при сравнительно небольшом числе членов ряда в функциях перемещений и не очень густой сетке для численного интегрирования. Даны практические рекомендации по их выбору.

6. Исследованы возможности предложенного метода и алгоритмов расчёта для широкого круга задач с учётом разрывных параметров и нелинейностей различного вида. Ряд задач решён впервые. Исследовано НДС квадратных шарнирно-закреплённых пластин и с защемлением из материала СтЗ. Установлены границы применения нелинейного и линейного расчётов.

Основное содержание диссертации отражено в публикациях:

1. Малиновский А.П., Моисеенко М.О. Алгоритм расчета железобетонных плит и пологих оболочек переменной толщины с прямоугольными отверстиями с применением обобщенных функций // Архитектура и строительство. Наука, образование, технологии, рынок: тезисы докладов НТК. Секция "Проблемы развития теории сооружений и совершенствования строительных конструкций" 11-12 сентября 2002г., г.Томск. 2002.- С. 114.

2. Малиновский А.П., Моисеенко М.О., Попов О.Н. Обзор по исследованиям тонкостенных элементов конструкций переменной толщины (1990 - 2002гг) // Томск, гос. архит.-строит. ун-т Томск, 2003.- 26 е.: библиогр. 163 назв.-Рус.- Деп. в ВИНИТИ 22.01.2003, №145-В2003.

3. Moiseenko М.О. Calculation of reinforced concrete slabs, folds and sloping covers with breaking parameters, taking into account crack-forming // 8th Korea-Russia International Symposium on Science and Technology. Vol. 2. June 26 - Jule 3, 2004 At Tomsk Polytechnic University, RUSSIA. - P. 329- 331.

4. Malinovsky A.P., Moiseenko M.O., Popov O.N., Possible Approaches to Description of Uniinear Elastic Materials Behavior of Different Modules I! 8th Korea-Russia International Symposium on Science and Technology. Vol. 3. June 26 - Jule 3, 2004 At Tomsk Polytechnic University, RUSSIA. - P. 45- 48.

Изд. Лиц. №021253 от 31.10.1977. Подписано в печать 04.11.2004. Формат 60x84 1/16. Усл.-печ. Л. 1,0.

Бумага офсетная. Печать офсетная. Тираж 100 экз. Заказ №>3??

ООП ТГАСУ: 634003, Томск, ул. Партизанская, 15.

к

J

)

РНБ Русский ф(

2Ш7А 14067

S '1

19 НОЯШ

Введение

Глава I. Краткий обзор и анализ методов по расчёпгу разномодульных прямоугольных пластин и пологих оболочек переменной толщины с разрывными параметрами с учётом физической и геометрической нелинейностей

1.1. Существующие подходы к описанию поведения разномодульных нелинейно-упругих материалов

1.2. Методы решения задач нелинейной теории упругости и теории пластичности

1.2.1. Метод последовательных приближений

1.2.2. Метод упругих решений

1.2.3. Метод переменных параметров упругости

1.2.4. Метод Ньютона - Канторовича

1.2.5. Метод последовательных нагружений

1.3. Некоторые методы расчёта прямоугольных гибких пластин и пологих оболочек и систем из них

1.3.1. Вариационные методы

1.3.2. Метод конечных разностей и вариационно разностный метод

1.3.3. Метод конечных элементов

1.3.4. Системы сочленённые из оболочек и пластин, а также с разрывными параметрами

1.4. Отыскание стационарной точки функционала методами поиска. Процедура поиска стационарной точки

1.5. Краткие выводы по первой главе

Глава II. Постановка задачи по расчету разномодульных прямоугольных пластин и пологих оболочек переменной толщины с прямоугольными отверстиями с учетом физической и геометрической нелинейностей

2.1. Постановка задачи

11 2.2. Исходные зависимости

2.3. Энергетический функционал в форме Лагранжа

2.4. Дифференциальные уравнения

2.5. Краткие выводы по второй главе

Глава III. Построение алгоритма по расчету разномодульных прямоугольных пластин и пологих оболочек переменной толщины с прямоугольными отверстиями с учетом нелинейностей

3.1. Вариационный принцип Лагранжа. Координатные функции

3.2. Выражение полной энергии как многопараметрической функции

3.3. Особенности функции в связи с нелинейностью задачи и сложности решения, вытекающие отсюда

3.4. Линеаризация функционалов по методу упругих решений

3.5. Метод последовательных нагружений для расчета панелей переменной толщины

3.6. Возможные пути решения на этапе приближения по методу переменных параметров упругости, их анализ.

3.7. Краткие выводы по третьей главе

Глава IV. Описание алгоритма расчета разномодульных прямоугольных пластин и пологих оболочек переменной толщины с прямоугольными отверстиями с учетом нелинейностей

4.1. Применение основной системы метода перемещений

4.2. Численное интегрирование

4.3. Применение метода переменного параметра упругости. Учет изменения секущего модуля и функции сжимаемости

4.4. Применение способа выделения главной части решения

4.5. Применение обобщенного метода Власова-Канторовича в сочетании с методом вариационных итераций для расчета « панелей с разрывными параметрами

4.6. Краткие выводы по четвёртой главе

Глава V. Применение разработанного метода для решения задач расчета разномодульных прямоугольных тонкостенных элементов конструкций с разрывными параметрами с учетом нелинейностей

5.1. Расчет конструкций с учетом нелинейностей

5.1.1. Расчет конструкций с учетом геометрической нелинейности

5.1.2. Расчет конструкций с учетом физической нелинейности

5.1.3. Расчет конструкций с учетом физической и геометрической нелинейностей

5.2. Расчет конструкций с учетом неоднородностей и воздействия температуры

5.2.1. Расчет конструкций с учетом неоднородности в упругой и пластической области

5.2.2. Расчет конструкций с учетом температурных воздействий.

5.3. Расчет конструкций с учетом отверстий и ступенчато переменной толщины

5.3.1. Расчет на изгиб пластин и пологих оболочек ступенчато-переменной жесткости

5.3.2. Решение задач на изгиб пластины с отверстием

5.4. Расчет пластин переменной толщины в одном направлении

5.4.1. Расчет квадратной в плане пластинки переменной толщины

5.4.2. Расчет гибких ступенчатых разномодульных пластин

5.4.3. Расчет бистальной конструктивно - ортотропной плиты на действие полосовой нагрузки

5.5. Исследование напряжённо-деформированного состояния гибких упруго-пластических пластинок

5.6. Краткие выводы по пятой главе 131 Заключение 133 Список литературы 135 Приложение

Развитие науки, техники и строительства с использованием в несущих конструкциях высокопрочных материалов выдвинуло перед ученными и конструкторами качественно новые задачи, решение которых может быть получено лишь на основе теорий, учитывающих различные нелинейные эффекты. Появление новых материалов, требований проектирования с учетом уменьшения веса конструкций привели к тому, что пластинки и оболочки широко применяются в строительстве, химическом и тяжелом машиностроении, судостроении, авиастроении и других областях техники.

Стремление к уменьшению веса конструкции при улучшении их качества вызывает необходимость использования в процессе проектирования современных методов расчета, в которых наиболее полно отражаются действительные условия работы конструкций и механические свойства материала.

Исследования поведения материалов при загружении показывает, что для многих материалов при деформациях, допускающих геометрическую линеаризацию, имеет место значительное отклонение от линейной зависимости между напряжениями и деформациями. Учет физической нелинейности вносит значительные математические трудности в решении задач, в связи, с чем приходится обращаться к приближенным методам расчета. К числу наиболее эффективных, нашедших широкое практическое применение, относятся методы, основанные на линеаризации задач теории пластичности. Они позволяют построить четкие алгоритмы решений, хорошо реализующиеся на быстродействующих компьютерах.

В широкой постановке задача об определении напряжённо-деформированного состояния (НДС) оболочек связана с учетом нелинейной работы материала, дискретного характера работы накладок, отверстий, эксцентричного присоединения ребер, произвольной формы поверхности, различных граничных условий и нагрузок. Для приближения расчетной схемы оболочки к действительным условиям необходимо учитывать перечисленные факторы и их взаимосвязи. Решение такой сложной задачи аналитическими методами сталкивается с большими трудностями.

Историю развития теории оболочек работающих за пределами упругости можно найти в работах: Х.М. Муштари [81], Г.С. Шапиро [127], А.И. Стрельбицкой, Б.Я. В.А. Колгадина, С.Н. Матошко [116], Б.Я. Кантора [42], В.И. Климанов, С.А. Тимашев [50], В.А. Крысько [57], В.В. Петров, И.Г. Овчинников, В.И. Ярославский [91] и многих других.

Большую роль в построении теории и развитии методов расчета физически нелинейных задач пластин и оболочек играют труды: И.А.Биргера [12], A.A. Ильюшина [38], Б.Я. Кантора [42], В.А. Крысько [56], Н.И. Столярова [115], П. А. Лукаша [64], Ю.Н. Работнова, А.Р.Ржаницина, В.В. Соколовского, А.И. Стрельбицкой, А.Г. Угодчикова, Ю.Г. Коротких, И.С. Цуркова, А.И. Цурпала, H.A. Щульги, L.Y. Donnell, Ph. G. Hodge, H.G. Hopkins, W. Olszak, E. Reissner, A. Sawczuk и других.

Вопросы об исследовании деформирования тонкостенных элементов с отверстиями являются актуальными, так как наличие отверстий обуславливает резкое изменение поля напряжений, что существенно влияет на их напряжённо-деформированное состояние (НДС), несущую способность, устойчивость и динамику.

Исследования по определению НДС тонких оболочек с отверстиями стали интенсивно развиваться в сороковых годах. Как отмечается в работе [100] , впервые такая задача исследовалась в работе А.И. Лурье, где рассматривалась круговая цилиндрическая оболочка с малым круговым отверстием, нагруженная осевым растяжением и внутренним давлением. В дальнейшем задачи усложнялись путём учёта следующих факторов: увеличения размеров, количества и формы отверстий; геометрии оболочек; начальных несовершенств оболочек; реальных свойств материалов (анизотропии, пластичности, ползучести); геометрической и физической нелинейностей; характера действующей нагрузки (температурные, динамические нагрузки).

Анализ научных исследований посвящённых теории пластин и оболочек с отверстиями произведён в работах: Э.И. Григолюка [24], А.НГузь [25], И.Н. Преображенского [100], Б.К. Михайлова, Ф.М. Арманова [77], Р.И. Халмурадова [124], Ни Chao, Ma Xingrui, Huang Wenhu.[138] и других.

По данной проблеме изданы монографии: А.Н. Гузь, И.С Чернышенко и др. [25], Р.В. Зиновьева, П.Ф.Зиновьев, A.M. Фрактер [33], Б.К. Михайлов [76] , И.Н. Преображенский [100], Г.Н. Савин [107], Шляхов С.М. [129] и сборники статей иностранных специалистов под ред. Э.И.Григолюка [120], И.Н. Преображенского [51].

В [68] проведен анализ работ по исследованиям тонкостенных элементов, ослабленных вырезами и отверстиями за 1990-2000г.

Рассмотрим работы, связанные с определением НДС прямоугольных пластин и пологих оболочек с отверстиями, с учётом физической либо геометрической нелинейностей, опубликованные после 1990г. Геометрическая нелинейность связана с отказом от предпосылки о малости перемещений. При этом зависимость между деформациями и перемещениями нелинейная. Физическая нелинейность связана с учётом нелинейной зависимости между напряжениями и деформациями, характерной для нелинейно-упругих и упругопластических материалов. Разномодульность материала связана с разными физическими характеристиками при деформировании на растяжение и на сжатие.

Геометрическая нелинейность учитывается в работах Бочкарёвой Т.А. [13], Дмитриева В.Г., Преображенского И.Н.[28].

Бочкарёва Т.А. [13] рассматривала проектирование гибкой пластины с отверстием, подкреплённой рёбрами.

Дмитриевым В.Г., Преображенским И.Н. [28] рассматриваются многослойные гибкие оболочки переменной толщины. Материал упругий, ортотропный. Приняты исходные соотношения Кирхгофа- Лява или Тимошенко. Геометрическая нелинейность учитывается по Карману.

Оболочка ослаблена одним или несколькими вырезами различной формы. Полагается, что края вырезов совпадают с линиями главных кривизн оболочки. На внешнем и внутреннем краях оболочки рассматриваются различные варианты граничных условий. Нагружение неосесимметричной системой статических и динамических нагрузок общего или локального характера. Решение проводится методом конечных разностей (МКР).

Физическая нелинейность учитывается в работах Головёшкина Ю.В. [20] Демидова А.И. [26], Расторгуев Г. И., Шлыкова О. Н. [104], Ясковец В.Л., Чернышенко И.С. [130].

Головешкиным Ю.В. [20] рассмотрена задача о концентрации напряжений около отверстий в тонких оболочках в комплексных гауссовых координатах при нелинейной связи между напряжением и деформацией. Рассмотрен линеаризованный подход к решению задачи о концентрации напряжений возле неподкрепленных и подкрепленных отверстий разной формы в оболочках при различном нагружении.

Демидовым А.И. [26] представлены результаты численного решения задачи по определению НДС цилиндрической оболочки переменной толщины, ослабленной двумя большими прямоугольными отверстиями. Определение НДС выполнено методом последовательных приближений. Задача решалась разностным методом в сочетании с вариационными уравнениями. Показано развитие пластических зон на нижней и верхней световых поверхностях оболочки, а также представлены изменения интенсивности касательных напряжений.

Расторгуев Г. И., Шлыкова О. Н. [104] предложили применение отображающих функций комплексного переменного при построении сетки конечных элементов. Рассматривались пластические зоны вокруг подкреплённых отверстий. Представляют определенный интерес исследования влияния жесткости подкрепленных элементов и близости отверстий, на размеры пластической зоны вокруг подкрепления отверстий в пластине, находящейся в условиях плоского напряженного состояния (ПНС).

Исследуется работа квадратной пластинки с одиночным подкрепленным круговым отверстием и прямоугольной пластинки с 2-мя подкрепленными круговыми отверстиями. В [104] рассматривается оптимальное подкрепление края отверстий в пластинах, находящихся в условиях ПНС Применяются условия минимума энергии упругих деформаций конструкции.

Ясковец B.JL, Чернышенко И.С. [130] на основе вариационного уравнения Лагранжа получены нелинейные разрешения уравнения и коэффициенты, учитывающие влияние подкрепленного элемента на НДС сферической оболочки с криволинейным (эллиптическим) отверстием.

Физическая и геометрическая нелинейность учитывалась в работах Кипиани Г.О., Кипиани Д.О., Мачаидзе Э.П. [47], Михайлова Б.К., Спиридонова C.B., Якунчихина В.Г.[78], Силивра С.А. [112].

Кипиани Г.О., Кипиани Д.О., Мачаидзе Э.П. [47] с помощью метода последовательных нагружений исследована на деформативность и устойчивость трёхслойная пластинчатая система с прямолинейным разрезом и прямоугольным отверстием, края которого подкреплены рёбрами с учётом геометрической и физической нелинейности.

Михайловым Б.К., Спиридоновым C.B., Якунчихиным В.Г.[78] показано влияние подкреплений на нелинейную деформацию оболочки с прямоугольным отверстием.

Силивра С.А. [112] приведены граничные условия для ортотропных оболочек вращения с подкрепляющим элементом в области выреза с учётом физической и геометрической нелинейности. Определено НДС при действии осесимметричной нагрузки, исследовано распределение компонент НДС для конкретной сферической оболочки и при заданных значениях нагрузки.

Анализ работ, посвящённых вопросам нелинейного расчёта пластин и оболочек переменной толщины с подкреплениями и с отверстиями, позволяет сделать вывод, что совершенствование методов расчета таких конструкций является актуальным и требует дальнейших исследований.

Данная работа посвящена совершенствованию теории и методов расчёта однопольных и системы разномодульных неоднородных пластин и оболочек с разрывными параметрами, находящихся под воздействием температурной, силовой нагрузки с учётом физической и геометрической нелинейностей.

Целью работы является: обоснование и разработка метода и алгоритмов расчёта однопольных и системы разномодульных неоднородных гибких пластин и пологих оболочек с разрывными параметрами, находящихся под действием температурной, силовой нагрузки с учётом физической и геометрической нелинейностей, позволяющих получить решение в аналитической форме.

Научная новизна работы заключается в следующем:

- Записан в аналитическом виде функционал полной энергии из которого, как частные случаи, следуют функционалы для решения задач с учетом только одной из нелинейностей либо в линейной постановке.

- Доказана целесообразность применения энергетического метода в аналитической форме, с использованием основной расчётной схемы метода перемещений, которая получается путём разделения конструкции на прямоугольные тонкостенные элементы и введения функциональных неизвестных по линиям контакта элементов.

- Обоснован и разработан метод расчёта системы гибких пластин и пологих оболочек переменной толщины с отверстиями, накладками и рёбрами, находящихся под действием силовой нагрузки и температуры. Учитывается разномодульность, неоднородность, изменение физических характеристик материала под воздействием температуры.

- Проведен анализ сходимости и точности метода и даны рекомендации по выбору оптимального числа членов ряда в функциях перемещений и густоты сетки для численного интегрирования.

- Исследованы возможности разработанного метода для решения широкого круга задач расчета разномодульных тонкостенных пластин и оболочек с учетом разрывных параметров и нелинейностей различного вида.

На основании вычислительных экспериментов определены задачи, для которых необходим учет физической или геометрической нелинейности, либо совместный учёт физической и геометрической нелинейностей.

Применение разработанного метода, алгоритмов позволяет провести анализ НДС и оценить запасы прочности и жёсткости гибких пластин, пологих оболочек и систем из них, как гладких, так и с разрывными параметрами, находящихся под действием силовой нагрузки и температуры. Учитывается разномодульность, неоднородность, изменение физических характеристик материала под воздействием температуры. Предложен алгоритм расчёта с применением способа выделения главной части решения по Х.М. Муштари.

Результаты, полученные в диссертационной работе, используются в проектном Институте ОАО "Томсктеплоэлектропроект" и в учебном процессе, а также в научно-исследовательской работе студентов, магистров и аспирантов ТГАСУ.

Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка используемой литературы.

Основные результаты исследований, выполненных в диссертации, заключаются в следующем

1. Создан алгоритм расчета тонкостенных элементов с отверстиями, утолщениями и ребрами с учетом разномодульности, неоднородности, физической и геометрической нелинейности в аналитической форме. Алгоритм основан на применении энергетического метода в форме Лагранжа. Применяется основная расчетная схема метода перемещений и специально построенные координатные функции. Для учета зависимостей механических характеристик от температурного воздействия применяется подход И.И. Гольденблата, H.A. Николаенко. За функции, составляющие первое слагаемое, берется ряд, полученный при принудительном смещении кромок панелей, рассматриваемый по линейной теории. Составляющие второго ряда берутся удовлетворяющие нулевым геометрическим условиям на поперечных кромках отдельных панелей, входящих в систему, улучшая сходимость внутри панели.

2. Обосновано применение в алгоритме нелинейной разномодульной модели В.В. Петрова, И.Г. Овчинникова, метода переменных параметров упругости и метода прямого поиска - метода сопряженных градиентов

3. Составлена программа на алгоритмическом языке Pascal. Программа предназначена для определения напряженно-деформированного состояния разномодульных неоднородных прямоугольных пластин с прямоугольными отверстиями и накладками, под действием поперечной нагрузки и температуры с учетом физической и геометрической нелинейностей.

4. Проверены построенный алгоритм и программа расчёта на основании решения тестовых примеров.

5. Исследована численными экспериментами сходимость предложенного способа при расчете гибких разномодульных панелей с разрывными параметрами с учетом нелинейной диаграммы деформирования. Показано, что напряженно-деформированное состояние данных конструкций с достаточной для практики точностью получается при пяти - семи гармониках в функциях перемещений и сетке одна шестнадцатая соответствующей протяженности.

6. Проведено решение задач с разрывными параметрами; отверстиями, накладками, ребрами с учетом физической и геометрической нелинейности, разномодульности, неоднородности. Показано, что алгоритм позволяет решать большой класс разных задач в комплексе, а также что неучет отдельных нелинейностей совместно дает большие погрешности при определении напряженно деформированного состояния.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1.Абовский Н.П., Андреев Н.П., Деруга А.П., Саченков В.И. Численные методы в теории упругости и теории оболочек. - Красноярск: Изд-во Краснояр. ун-та, 1986. - 384 с.

2. Азарова Г.Н. Расчёт оболочек из разномодульного материала методом переменных параметров упругости. // Труды XII Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. (Ереван, 12-17 июня 1980г.). Том I. Ереван: 1980. С. 26-32.

3. Амельченко В.В., Неверов И.В., Петров В.В. Решение нелинейных задач теории пологих оболочек путём вариационных итераций. // Изв. АН СССР, Механика твёрдого тела. 1969. №3. С. 62 - 68.

4. Амензаде Р.Ю. Вариационный принцип теории пластичности неоднородных тел при облучении. // Докл. АН. (Россия).- 1993.- 330. №2.-С.194-196.

5. Амиро И.Я., Заруцкий В.А. Статика, динамика и устойчивость ребристых оболочек // Итоги науки и техники. Серия: Механика деформируемого твёрдого тела. ВИНИТИ, 1990, Т.21. С. 132 -191.

6. Амбарцумян С.А. Разномодульная теория упругости. М.: Наука. 1982.-320 с.

7. Аттетков A.B., Галкин C.B., Зарубин B.C. Методы оптимизации. Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001.- 440с.

8. Барашков В.Н. Алгоритм реализации задач теории упругости и пластичности ВРМ. // НИИ Прикл. мат. и мех. при Томск, гос. ун-те. Томск: 2002, 25 с. Деп. в ВИНИТИ 12.11.2002, №1941-В2002.

9. Безухов H.H., Баженов B.JL, Гольденблат И.И., Николаенко H.A., Синюков A.M. Расчеты на прочность, устойчивость и колебания в условиях высоких температур. //М.: Машиностроение. 1965- 568 с.

10. Белосточный Г.Н., Цветкова O.A. Ортотропные пластинки и оболочки переменной кривизны под действием температурных полей.//

11. Материалы 7 Международного симпозиума "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред", Ярополец, 12-16 февр., 2001. М., Графросс: 2001, С.7-8.

12. Биргер И.А. Метод переменных параметров упругости в задачах теории пластин и оболочек. // Труды XII Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. (Ереван, 12-17 июня 1980г.). Том 1. Ереван, 1980. С. 179-185.

13. И.Бочкарёва Т.А. Проектирование гибкой пластины с отверстием, подкреплённой рёбрами // Сарат. Гос. техн. ун-т. Саратов, 1994. - 11 с. ил. - Библиогр.: 8назв. - Рус. Деп. в ВИНИТИ 06.04.94, 821-В04

14. Вайнберг Д.В., Сахаров A.C., Синявский A.JI. Исследование гибких пластин и оболочек. // Расчёт пространственных конструкций.- М.: 1971,Вып. 14.-С. 35-51.

15. Вайнберг Д.В. Справочник по прочности, устойчивости и колебаниям пластин.- Киев, Будивельник 1973,- 488 с.

16. Власов В.З. Избранные труды. Т.З. Тонкостенные пространственные системы. М.: Наука, 1964, 472 с.

17. Вольмир A.C., Куранов Б.А., Турбаивский А.Т. Статика и динамика сложных структур: Прикладные многоуровневые методы исследований. М.: Машиностроение, 1989. - 248 с.

18. Вялов С.С. Прочность и ползучесть материалов, неодинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию // Реологические вопросы механики горных пород. Алма-Ата, 1964. - С. 20-46.

19. Годзевич Э.В. Расчёт замкнутой цилиндрической оболочки, подкреплённой рёбрами, с учётом физической и геометрической нелинейностей. // Строит, мех. и расчёт сооружений.- 1983,- №5. С. 8-11.

20. Головешкин Ю.В. Задача о концентрации напряжений около отверстий в тонких оболочках в комплексных гауссовых координатах для любого нелинейного закона, связывающего напряжения и деформации. // Пробл. прочн.- 1991.- №10.- С.62- 64.

21. Горбачёв К.П. Метод конечных элементов в расчётах прочности -JL: Судостроение, 1985. 156 с.

22. Городецкий A.C. О сходимости метода упругих решений и метода переменных параметров при решении физически нелинейных задач строительной механики. // Численные методы решения задач строительной механики. Киев: 1973. С. 135-140.

23. Грибов А.П. Изгиб пластин и пологих оболочек ступенчато-переменной жесткости. // Труды семинара по теории оболочек. Казанский физ.-техн. ин-т АН СССР. Вып. V. 1974. С. 66-71.

24. Григолюк Э.И. Напряжённые состояния вблизи отверстия // Некоторые прикладные задачи теории пластин и оболочек. М.: 1982. С. 226 -237.

25. Гузь А.Н., Чернышенко И.С., Чехов В.Н. и др. Теория тонких оболочек, ослабленных отверстиями. // Методы расчёта оболочек: в 5 т., т.1. Наук, думка, Киев.: 1980. 636 с.

26. Демидов А.И. Упругопластическое состояние тонких оболочек произвольной формы с прямоугольными отверстиями // Прикл. механика. -1981.-17, №8.-С. 110-113.

27. Деруга А.П. Сверхсходящиеся вариационно-разностные модели расчётаоболочечно-стержневыхконструкций.Автореф. дис. . докт. техн. наук. Красноярск: КрасГАСА, 2002. 35 с.

28. Дмитриев В.Г., Преображенский И.Н. Волновые процессы в предварительно напряженных гибких оболочках. // Исслед. по теории пластин и оболочек (Казань).-1991.- №23.- С. 85-92.

29. Енджиевский JI.B. Нелинейные деформации ребристых оболочек.-Красноярск: Изд-во Краснояр. ун-та, 1982.- 296 с.

30. Жуков Е.Е. Вариационный приём последовательных приближений к расчёту тонких прямоугольных плит. //: Расчёт тонкостенных пространственных конструкций / Под ред. А.Р. Ржаницина. М. Стройиздат, 1964.-С. 27-35.

31. Завьялов В.Н. Инженерный метод расчёта пластинчато-стержневых систем с учётом геометрической нелинейности. Диссертация канд. техн. наук. ТИСИ, Томск ,1970-201 с.

32. Завьялов В.Н., Попов О.Н. Изгиб прямоугольных пластин ступенчато-переменной толщины с учётом физической и геометрической нелинейностей // Труды Томск., инж-строит. ин-та.: Исследования по строительным конструкциям и фундаментам. 1980. С. 51-56.

33. Зиновьева Р.В., Зиновьев П.Ф., Фрактер A.M. Железобетонные плиты с отверстием. М., Стройиздат. 1975.- 112с.

34. Иванов В.Н. Алгоритм расчета прямоугольных пластин кусочно-переменной толщины с применением матричных форм решения.// Стр.мех инж. к-ций coop.: Межвуз. сб. научн. тр. Вып. 10. М.: Изд-во АСВ. 2001, с. 1522.

35. Ильин В.П., Карпов В.В. Устойчивость ребристых оболочек при больших перемещениях. -Л., 1986.- 168 с.

36. Ильюшин A.A. Пластичность.- М.-Л., Гостехиздат, 1948,376 с.

37. Кабанов В.В., Железное Л.П., Кузнецов А.Б. Применение метода конечных элементов к расчёту на прочность подкреплённых оболочек за пределом упругости // Прикл. мех.,- 1985.- Т.21.- №1. С. 47-53.

38. Кадисов Г.М. Динамика складчатых систем при подвижных нагрузках Омск: СибАДИ, 1997. - 178 с.

39. Каланта С. Основные вариационные принципы и задачи деформируемого тела при разрывных функциях.- Mechnika (Lietuva). 1998, №3, С.5-13.

40. Кантор Б.Я. Нелинейные задачи теории неоднородных пологих оболочек.- Киев: Наукова думка, 1971.- 136 с.

41. Кантор Б.Я., Катаржнов С.И. Вариационно-сегментный метод в нелинейной теории оболочек.- Киев: Наукова думка, 1982,136 с.

42. Карпунин В.Г. Расчёт гибких пластин и пологих оболочек переменной толщины // Исследования пространственных конструкций. Свердловск: УПИ. 1977. - С. 35 - 44.

43. Карпов В.В., Машаков В.А., Филатов В.Н. Термоупругость пологих оболочек ступенчато-переменной толщины при конечных прогибах //

44. Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ. Сборник статей. СпбГАСУ-1994. С.98-103.

45. Кириченко В.Ф., Крысько В.А. Метод вариационных итераций в теории пластин и его обоснование. \\ Прикладная механика. Т. XVII, №4, 1981.-С. 71-76.

46. Климанов В.И., Паршаков Е.В., Рогалевич В.В. Упругопластический изгиб прямоугольных пластин ступенчато-переменной толщины // Исследования по теории сооружений. М.: 1977, вып. 23. С. 139142.

47. Климанов В.И., Тимашев С.А. Нелинейные задачи подкреплённых оболочек. Свердловск: УНЦ АН СССР. 291 с.

48. Колебания и устойчивость многосвязных тонкостенных систем // Сб. статей. Пер. с англ. / Сост. И.Н.Преображенский. М.: Мир,1984. - 312 с.

49. Корнишин М.С. Нелинейные задачи теории пластин и пологих оболочек и методы их решения. М., Наука, 1964,- 192 с.

50. Кравчук А.JI., Чернышенко И.С. О напряжённости тонкостенных цилиндров с подкреплённым вырезом с учётом физической и геометрической нелинейностей // Проблемы прочности, 1993, №8,. С. 65-71.

51. Крысько В.А. Устойчивость пластин переменной толщины с учётом физической и геометрической нелинейностей // Сарат. гос. техн. ун-т. -Саратов, 1994. 17 с: Деп. в ВИНИТИ 25.04.95, №1151-В95.

52. Крысько В.А. Нелинейная статика и динамика неоднородных оболочек. Изд-во Сарат. ун-та, 1976. 216 с.

53. Крысько В.А., Бочкарёва Т.А. Оптимальное проектирование ребристых прямоугольных пластин с учётом физической и геометрической нелинейностей. В кн. Температурные задачи и устойчивость пластин и оболочек.- Саратов.- 1988.- С. 119-122.

54. Кузьмин В.В. Расчет тонких нерегулярных оболочек вращения методом прямой минимизации энергии.- Рукопись Деп. в ВИНИТИ 8.07.1983, №4125- 83Деп., 24 с.

55. Ломакин Е.В. Определяющие соотношения механики разномодульных тел. Препринт ин-та пробл. механики АН СССР. №159. -1980.-63 с.

56. Ломакин Е.В. Нелинейная деформация материалов, сопротивление которых зависит от вида напряжённого состояния // Изв. АН СССР. Механика твёрдого тела. № 4. - С. 92-99.

57. Леонтьев H.H. Обобщённый вариант вариационного метода Власова Канторовича и его применение для решения двумерных задач теории пластин и оболочек. // Проблемы расчёта пространственных конструкций.-М.: 1980.

58. Липкин В.И. Экспериментально-теоретическое исследование прочности, устойчивости и колебаний пластин со ступенчато меняющейся жёсткостью. Диссертация . к.т.н. ТИСИ, Томск, 1971. 172 с.

59. Лукаш П.А. Основы нелинейной строительной механики. М.: Стройиздат, 1978. 208 с.

60. Ляхович Л.С., Черняк A.M. К расчёту плитно-ребристых конструкций // Труды Томск, инж.-строит. ин-та: Исследования по строительным конструкциям. Томск, 1966, т. 12. С. 74-76.

61. Макеев А.Ф. Учет температуры при расчете оболочек из нелинейно-деформируемого разномодульного материала.// Мех. деформир. сред.- 1993.- №11.- С. 35-42.

62. Малиновский А.П., Попов О.Н., Моисеенко М.О. Состояние вопроса по исследованиям пластин и оболочек переменной толщины, ослабленных подкрепленными отверстиями за период 1990-2000гг.// Вестник ТГАСУ. № 1, 2002г. С 109-120.

63. Матченко Н.М., Толоконников Л.А. О связи между напряжениями и деформациями в разномодульных изотропных средах // Инженерный журнал. Механика твёрдого тела. №6. - 1968. - С. 108-110.

64. Машков В.А. Термоупругость пластинок и пологих оболочек ступенчато-переменной толщины при конечных прогибах. Автореф. . канд. техн. наук. ВГАСА, Волгоград 1995. - 23 с.

65. Меньшиков В.В., Рябков В.И. Метод разделения области в задаче об изгибе оребрённой пластины с кусочно-постоянной жёсткостью. / Харьк. авиац. ин-т. Харьков, 1991. - 24 с. : ил. - Библиогр.: 5 назв. - Рус. - Деп. в ВИНИТИ 9.8.91,3405-В91.

66. Методы расчёта стержневых систем, пластин и оболочек с использованием ЭВМ. // А.В.Александров, Б.Я. Лащеников, H.H. Шапошников, В.А.Смирнов./под ред. А.Ф.Смирнова. М., Стройиздат, 1975, ч.1,248 с.

67. Методы расчёта оболочек: в 5 т.- Т. 1 Теория тонких оболочек, ослабленных отверстиями // А.Н. Гузь, И.С. Чернышенко, В.Н. Чехов и др. -Киев: Наук, думка, 1980. 636 с.

68. Михайлов Б.К. Пластины и оболочки с разрывными параметрами. Л.: ЛГУ, 1980,196 с.

69. Михайлов Б.К., Арманов Ф.М. Обзор работ по расчёту тонких оболочек с прямолинейными отверстиями. (Обзор работ заЮ лет). // ЛИСИ (Ленинград). Рус.: Библ. 141назв. - Деп в ВИНИТИ №5691-83Деп. - 28 с.

70. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970.-512 с.

71. Мкртчян P.E. Об одной модели материала, разносопротивляющегося деформациям растяжения и сжатия // Изв. АН АрмССР. Механика. 1970. - Т. 23. - №5. - С. 37-47.

72. Муштари Х.М. Нелинейная теория оболочек. М.: Наука, 1990.223 с.

73. Мяченков В.И., Мальцев В.П. Методы и алгоритмы расчёта пространственных конструкций на ЭВМ ЕС. М.: Машиностроение: 1984. -280 с.

74. Назаренко М.Г. Изгиб пологих оболочек с учетом физической и геометрической нелинейности.// Строительная механика и расчет сооружений. 1970, №1.-С. 16-18.

75. Неделин A.B., Трещев A.A. Напряженное состояние пластинки из дилатирующего материала, ослабленной отверстием.// Изв. вузов. Стр-во. 2001, №8. С. 16-20,150.

76. Немировский Ю.В. Оптимальное проектирование неоднородных пластических плит.// Устойчивость, пластичность, ползучесть при сложном нагружении. 2000, №2, С. 49-55.

77. Паршаков Е.В., Рогалевич Е.В. Большие прогибы прямоугольных пластин ступенчато- переменной толщины // Труды УПИ: Исследование пространственных конструкций. Свердловск: 1977, вып. 1. С. 24-35.

78. Петров В.В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластин и оболочек. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1975. 119 с.

79. Петров В.В., Иноземцев В.К., Синёва Н.Ф. Теория наведённой неоднородности и её приложения к проблеме устойчивости пластин и оболочек. Саратов: Изд. СГТУ, 1996. 312 с.

80. Петров В.В., Овчинников И.Г., Ярославский В.И. Расчёт пластинок и оболочек из нелинейно-упругого материала. Изд-во Сарат. ун-та, 1976.- 136 с.

81. Петров В.В., Овчинников И.Г., Иноземцев В.К. Деформирование элементов конструкций из нелинейного разномодульного неоднородного материала. Изд-во Сарат. ун-та, 1989. 160 с.

82. Петров В.В., Семёнов П.К. Некоторые вопросы применения обобщённого метода Власова Канторовича к расчёту нелинейно - упругих пластин. // Труды XIII Всесоюзной конференции по теории пластин и оболочек. Т .4. ТГУ. Таллин: 1983. - С. 71-76.

83. Петухова И. Я. Численный анализ двух методов линеаризации упругопластических задач теории пологих ребристых оболочек.// Простр. констр. в Крнаснояром крае. КПИ, 1977. Вып. 7 С. 66-76.

84. Поляк Б.Т., Скоков В.А. Стандартная программа минимизации функции многих переменных / Под ред. Т.Д. Рудневой. Серия: Стандартные программы решения задач математического программирования. М.: Изд-во МГУ, 1967, вып. 4.-68 с.

85. Попов О.Н. О теориях, описывающих поведение материалов, механические свойства которых зависят от вида напряжённого состояния / Томск, ТГАСУ, 1994 26 с. Библиогр. 112 назв. - Рус. - Деп. в ВИНИТИ 12.05.94, № 1161-В94.

86. Попов О.Н., Завьялов В.Н. Расчет гибких ступенчатых разномодульных пластин // Томск, гос. архит. строит, академия.- Томск, 1996.- 13с.: рис.-7, библиогр.- 8назв.- Рус.- Деп. в ВИНИТИ 07.06.96- №1901-В96.

87. Постнов В.А., Дмитриев С.А., Елтышев Б.К., Родионов A.A. Метод суперэлементов в расчётах инженерных сооружений. JI.Судостроение, 1979. -287 с.

88. Постнов В.А. Численные методы расчета судовых конструкций. Л.: Изд-во Судостроение. 1977.- 280 с.

89. Преображенский И.Н. Устойчивость и колебания пластинок и оболочек с отверстиями.- М.: Машиностроение, 1981.-191 е., ил.

90. Преображенский И.Н. Об исследованиях устойчивости тонкостенных оболочек с вырезами (обзор). // Проблемы прочности, 1982, №1. 4.1 С. 21-32.; // Проблемы прочности, 1982, №2. - Ч.2.; - С. 74 - 81.

91. Притыкин И.А., Рудаченко C.B., Рудаченко Т.В. Определение концентрации напряжений во флорах с подкрепленными вырезами.// Изв. КГТУ. 2002, №1. С 115-126.

92. Прочность, устойчивость и колебания термонапряжённых оболочечных конструкций // В.Ф. Грибанов, И.А. Крохин, Н.Г. Паничкин, В.М. Санников, Ю.И. Фомичев. М.: Машиностроение, 1990. - 368 с.

93. Расторгуев Г.И., Шлыкова О.Н. Применение отображающих функций комплексного переменного при построении сетки конечных элементов.// Динам, и прочн. авиац. конструкций / Новосиб. электротехн. инт. Новосибирск, 1992.- С. 93-99.

94. Расчет на прочность, устойчивость и колебания в условиях высоких температур. Под ред. И.И. Гольденблата. М.: Машиностроение. 1965.- 586с.

95. Рогалевич В.В., Францев Н.В. Применение обобщенного метода Власова-Канторовича к расчету гибких пологих оболочек. // Известия вузов. Строительство и архитектура, 1976, № 8. С.

96. Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий. Киев.: Наукова думка. 1968. - 887 с.

97. Самсонова Р.И. Расчёт пластин со ступенчато меняющейся жёсткостью и сложными условиями опирания. Диссертация на соиск. степ, канд.техн.наук. ТИСИ, Томск, 1989. 209 с.

98. Санджаровский P.C., Мусабаев Т.Т. Расчёт оболочек и плит из железобетона с учётом трещин // Изв. вузов. Строительство,- №2, 1996. С. 3-9.

99. Ш.Семёнов П.К. Расчёт нелинейно-упругих пластинок на механические и температурные воздействия. // Механика конструкций, работающих при воздействии агрессивных сред. Изд. СПИ Саратов. 1987. -С. 43-46.

100. Синева Н.Ф. Метод Ритца в нелинейных задачах конструкций с наведенной неоднородностью материала// Долговечность материалов и элементов конструкций в агрессивных и высокотемпературных средах // Сарат. политехи, ин-т.- Саратов, 1995.- с.76-96.

101. Столяров H.H. Исследование упруго-пластического деформирования и оптимизация гибких оболочек и пластин разностными методами: Автореф. дис. . докт. физ.-мат. наук.- Казань, 1984.-46с.

102. Стрельбицкая А.И., Колгадин В.А., Матошко С.П. Изгиб прямоугольных пластин за пределом упругости. Киев: Наук, думка, 1971. -244 с.

103. Стрельбицкая А.И. Упруго-пластическая работа пологих оболочек при равномерно распределённой нагрузке. // Прикл. мех., 1975, т. 11.- №10. -С. 25-35.

104. Тамуров Н.Г., Туровцев Г.В. Закон упругости для изотропного материала с различными характеристиками при растяжении и сжатии // Динамика и прочность тяжёлых машин. Днепропетровск. 1983. - С. 76-80.

105. Толоконников JI.A. Обобщение закона упругости // Технология машиностроения. Вып. 20. Тула, 1970. С. 148-156.

106. Тонкостенные оболочечные конструкции: Теория, эксперимент и проектирование. Пер. с англ. Ред. Э. И. Григолюк.- М.: Машиностроение, 1980- 607с.

107. Трещев A.A. Поперечный изгиб прямоугольных пластин, выполненных из материалов, механические характеристики которых зависят от вида напряженного состояния.// Изв. вузов. Строительство и архитектура.-1988.- №1- С.25-29.

108. Фёдорова А.Г. Исследование колебаний и статической потери устойчивости пологих оболочек с учётом геометрической и физической нелинейности при действии локальных нагрузок. Автореф. дис. канд. физ.-мат. наук. - Саратов, 1977. - 18 с.

109. Филатов В.Н. Термоупругость пластин и пологих оболочек переменной толщины при конечных прогибах.- Автореф. докт. техн. наук. СГТУ. Саратов, 2001. 32 с.

110. Халмурадов Р.И. Обзор методов расчета железобетонных плит с разрезами и отверстиями // Самарк. гос. ун-т.- Самарканд, 1994.- 14с.-Библиогр.: 54 назв.- Рус.- Деп. в ГФНТИ ГКНТ РУз 6.05.94,2087- Уз94.

111. Цвелодуб И.Ю. К разномодульной теории упругости // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1977. - № 32. - С. 123-131.

112. Черняк А.М. Построение функций перемещений для прямоугольной пластинки от смещения кромки в её плоскости // Труды Томск, инж. строит, ин-та, 1971, т. 16: Стр-во и архит. С. 39-44.

113. Шапиро Г.С. О деформациях тел, обладающих различным сопротивлением растяжению и сжатию // Инженерный журнал. МТТ. № 2. -1966.-С. 123-125.

114. Шимкович Д.Г. Расчёт конструкций в MSC/NASTRAN for Windows. М.: ДМК Пресс, 2001. - 448 с.

115. Шляхов С. М. Нелинейные задачи теплопроводности и теории упругости двухсвязных пластин и цилиндров / М.:- Саратов: Политехи, ин-т, 1992.- 173 с.

116. Ясковец B.JL, Чернышенко И.С. О распределение напряжений около подкрепленного эллиптического отверстия в сферической оболочке при упруго- пластической стадии деформирования. // Теор. и прикл. мех. -1990.- №21- С.80 83.

117. Biswas Paritosh. On large deflection vibrations of shallow shells under elevated temperature.// Trans. 10th Int. Conf. Struct. Mech. React. Technol., Anaheim, Calif., 14-18 Aug., 1989. Vol. В.- Los Angeles, 1989.- P.269-273.

118. Capuani D., Merli M., Savola. Un modello continuo perlo studio delle pareti con fori // G. genio civ.- 1990.- 128, №7- 9.- P. 159- 177.

119. Dhavan S.C., Chandry H.R., Gupta Hitesh Pal. Stress concentration aroid discontinuities of various configurations // Indian J. Pure and Appe. Matn. -1990 21, № - P.1037-1048.

120. Dunburs John, Markenscoff Xanthippi. Invariance of stresses under a change in elastic compliances. //Proc. Roy. Soc. London. A.-1993.- 443, №1918.-C. 289-300.

121. Ghoneim H. Coupled thermoviscoplasticity equations with temperaturedepent material properties. // Therm. Stresses. 1991. - № 3. - P. 271283.

122. He Ji-Huan. Variational principles of bending problems of thin plates.// Arch. Mech. 2001. 53, №6. P. 631-642.

123. Hu Chao, Ma Xingrui, Huang Wenhu. Haerbin gongye daxue xuebao // J. Harbin Just. Technol. 1999.- 31, №2- P.75- 80.

124. Hwu Chyanbin. Anisotropic plates with various openings under uniform loading or pure bending. // Appl. Math, and Mech.- 1990.- 57, №3.- P. 700- 706.

125. Inglebert G., Frelat J. Quick analysis of inelastic structures using a simplified method. // Nucl. Eng. and Des. 1989. - 116, № 3. - P. 281-297.

126. Karman Th., Tsien H.S. The buckling of thin eglindrical shells under axial commpression. J. Acron. Sci., 8, 1941, №8, pp. 303-312.

127. Kulenovic Zlatan. Naprezanja u aksijalno opterecenoj cylindricnoj ljusci sa dva kvadratna ctvora. // Strojarstvo.- 1990.- 32, №3- P.209- 214.

128. Laura P.A.A., Viazzi J.P. Analusis of vibrating orthotropic rectangular plates by a modified rauleigh-Ritz method // Ocean Engng. Vol. 12. No. 1, 1985, P. 17-24.

129. Lt Dret H. Folded plates revisited // Comput.Mech.- 1989.- 5. №5.- P. 345-365.

130. Lee Y.Y., Hyer M.W. Postbuckling failure of composite plates with holes.// AIAA Journal.- 1993.- 31, №7.- P. 1293-1298.

131. Matus Pavlik. Expérimentale modelove skumanie stropneho prvku stoloveho dielca so schadistovym otvorom // Zb. ved. pr. Vys. sk. techu. Kosiciach, 1990.- Bratislava, 1990.- P. 251-360.

132. Muller H., Hoffmann A. Zur mechanischen Analyse von Faltwerken mit FALT-FEM. // Techn. Mech. 1991. - 12, № 1. - S. 60-76.

133. Nakamura Masayuki, Taomato Naoki. A design method for reducing weight and stress concentration of mechanical structural components. // Nihan kikai qakkai ranbunshu A= Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. A.- 1997- 63, № 613.- P. 2059- 2064.

134. Pavlik Matus. Experimentale modelove skumanie stropneho prvku stoloveho dielca so schadistovym otvorom // Zb. ved. pr. Vys. sk. techu. Kosiciach, 1990.- Bratislava, 1990.- P. 251- 360.

135. Piekinson S.V., Li E.K.H. On the use of simply supported plate functions in the Rayleigh-Pitz method applied to the flexural vibration of rectangular plates.// "J. Sound and Vibr", 1982, №2. P. 292-297.

136. Schunk T. E. Zur Knienfestigkeit schwach gekrummter zylindrischer Schalen // Ing.-Arch., 1933, IV. S. 394 - 414.

137. Sugano Y. On a stress function method of a thermo elastic problem expressed in cylindrical coordinates in a multiply connected region exhibiting temperature - dependent material properties // Ing. - Arch. 1984, 54, № 4 - P. 301 -308.

138. Tenchev R., Kolarov G.Y. Finite element analysis of stress concentration problems: is in possible to avoid local mesh refinement.// Theor. and Appl. Mech. (Bulgaria). 2000.30, №2.- P.3-14.

139. The thin shell theoretical solution for cylindrical shells with large openings / Xue Mingde, Chen Wei, Deng Yong, Hwang Kehchih // Lixue xuebao. = Acta mech. sin. 1995. 27, №4. - P. 482-488.

140. Zhou Ding. An approximate solution with high accuracy of transverse bending of thin rectangular plates under arbitrarily distributed loads //Yingyong shuxue he lixue.=Appl. Math. And Mech.- 1993.- 14, №3.- P. 225-230.

141. Vijaykumar K., Ashoka J.G. A bilinear constitive model for isotropic bimodulus materials // Trans ASME. J. Eng. Mater. And Technol. 1990. - 112, №3.-P. 372-379.

142. Wang Shili. Moment theory analysis of spherical shell with nonlinear varying section. // H3aHbnacy iperoy cioaSao =J. Build. Struct.- 1990- 11, №5-P.58- 67.

143. Webster J J. The accuracy of finite element solutions for the modal characteristics of shells of revolution // Int. J. Mech. Sci., 12, №2, 1970. P. 157168.

144. Turner H.J., Clough R.W., Martin H.C., Topp Z.J. Stiffness and deflection analysis of complex structures // Journal of the Aeronaut., 1956, vol. 23. Sept. P. 805-825.