автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Применение метода последовательных аппроксимаций к расчету пологих оболочек

На правах рукописи

НГУЕН ХИЕП ДОНГ

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ АППРОКСИМАЦИЙ К РАСЧЕТУ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК

Специальность 05 23 17 - Строительная механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

□03447151

Москва - 2008

003447151

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Московский государственный строительный университет»

Научный руководитель доктор технических наук, профессор

Габбасов Радек Фатыхович

Официальные оппоненты доктор технических наук, профессор

Шапошников Николай Николаевич,

кандидат технических наук, профессор Леонтьев Андрей Николаевич

Ведущая организация ОАО Научный исследовательский институт

транспортного строительства (ЦНИИС)

Защита состоится "21" октября 2008г. в 15 час 30 мин на заседании диссертационного совета Д 212 138 12 при ГОУ ВПО Московском государственном строительном университете по адресу 129337 Москва, Ярославское шоссе, д 26, ауд №223 УЖ

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО Московского государственного строительного университета

Автореферат разослан "12" сентября 2008г

Ученый секретарь

Л? ^

диссертационного совета Анохин Н Н

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации Для проектных организаций Вьетнама с учетом его климатических условий актуальной является разработка методики расчета легких покрытий типа пологих оболочек для простой и надежной оценки напряжено-деформированного состояния этих конструкций Отметим также, что в последнее время имели место в РФ и за рубежом аварии покрытий рынков, бассейнов, зданий аэропортов, представляющих собой различные виды пологих оболочек Расчеты покрытий были выполнены по программам, реализующим метод конечных элементов (МКЭ) В сложившейся ситуации для проверочных расчетов является также актуальной разработка способа расчета пологих оболочек, основанного на других численных методах Одним из таких методов, обладающим высокой точностью и сравнительной простотой, является разработанный на кафедре строительной механики МГСУ метод последовательных аппроксимаций (МПА), который и применяется в диссертации

Цели диссертационной работы заключается в разработке методики расчета пологих оболочек с использованием разностных уравнений МПА, составлении программы для ЭВМ с последующим применением ее для решения инженерных задач

Научная новизна работы-

1 Разработана методика расчета пологих оболочек в перемещениях по МПА

2 Разработан способ расчета тех же оболочек в смешанной форме

3 Впервые решена обратная задача строительной механики пологих оболочек в численной постановке

4 По разработанной методике составлена программа расчета на компьютере, отработанная на решении тестовых задач

5 Решены новые задачи расчета пологих оболочек

Практическая ценность работы Разработанные методика и программа позволяют выполнять расчеты пологих оболочек, используемых в инженерной практике.

Достоверность результатов определяется корректностью постановки задач, использованием апробированного численного метода, сравнением ряда полученных результатов с ранее известными, численным исследованием сходимости решений

Апробация работы была проведена на- одиннадцатой международной межвузовской научно-практической конференции молодых ученых, докторантов и аспирантов Московского Государственного Строительного Университета с 15-24 апреля 2008 г

- заседании кафедры «Строительная Механика» Московского Государственного Строительного Университета 25 июля 2008 г

Публикация. Основные положения диссертационной работы опубликованы в двух печатных работах

Структура и объем диссертации. Диссертация включает в себя введение, четыре главы, заключение и приложение, изложена на 139 страницах машинописного текста, включая 37 рисунков, 20 таблиц и список литературы из 258 наименований

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, определена цель работы, ее научная новизна и практическая значимость диссертации

Первая глава содержит краткий литературный обзор работ, посвященных численным методам решения задач теории пологих оболочек, таким, как методы конечных разностей /МКР/, конечных элементов /МКЭ/ и последовательных аппроксимаций /МПА/ Описывается предыстория постановки задачи, опирающейся на фундаментальные исследования в области разработки общей теории и методов расчета пологих оболочек В их числе следует отметить работы В 3 Власова, А А Назарова, А Л Гольденвейзера, С П Тимошенко, А Р Ржаницына, В В Новожилова, П М Огибалова, М А Колтунова, В С Рекшиьского, И Н Слезингера, Л М Пухонто, Н Н Леонтьева, П А Лукаша, В В Диковича, Л С Гаранина, Л Г Му-хадзе, Н П Абовского, Я А Пратусевича, С Д Кислякова, Н П Булия, П М Вар-вака, Л Ф Березовского, М И Длугача, Г Маркуса, В Н Шаишмелашвили, А М

зина, А М Масленникова, Н Н Шапошникова, В А Постнова, О Зенкевича, Г Кантина, А Ф Смирнова, А В Александрова, Б К Михайлова, А А Амосова, Б Я Лащеникова, М Б Вахитова, Ю П Федорова, Р Ф Габбасова, В В Шрамко и многих других

В первой главе описываются также численные методы метод конечных разностей, метод конечных элементов и метод последовательных аппроксимаций Метод последовательных аппроксимаций (МПА) разработан Р Ф Габбасовым на кафедре строительной механики МГСУ Этот метод позволяет достаточно просто рассчитывать не только оболочки, но и плиты с разрывными параметрами под действием различного типа нагрузок, включая локальные, полосовые, динамические

В первой главе показано, что разностная форма МПА обладает рядом преимуществ по сравнению с матричной формой, ранее использованной в работах Р Ф Габбасова и В В Шрамко

Во второй главе разработана методика расчета пологих оболочек в перемещениях с использованием разностных уравнений МПА Рассматривается прямоугольная в птане пологая оболочка двоякой кривизны Оси х и у системы координат Охуг направлены вдоль сторон плана, соответственно равных а и Ь (рис 1) Наибольший подъем оболочки обозначен 8 Уравнение срединной поверхности (эллиптический параболоид) в этой системе координат запишется

Постоянные А, В, г0, ^ характеризуют угол наклона касательной плоскости к по-

1 з7 1 з2/ , ...

верхности параболоида и его кривизны — =--~ = ~г0, — =--у- = -г0, (2)

К Зх Яу ду

где - радиусы кривизны срединной поверхности оболочки (рис 1)

л

/ = Ах + Ву + -(гйх2+Цу2)

1

(1)

Рис 1

Разрешающие дифференциальные уравнения прямоугольных в плане пологих оболочек, работающих под действием нормальных к поверхности оболочки нагрузок, записываем в безразмерном виде

32и 1 -V д2и 1+у д2и £,0н>_

1 ^ е '

ЯА2

О Яг,2

ЗАЯи

- 3' I

' Я£

- 5

1 - V дги 1 + у Л _ „

—- +--_ +---С, — = 0,

дг? 2 д£2 2 Цдц 2д?]

д т д т - + -

8У

д? дт]2 3дт]

■~р + С3м>,

Э IV

где и ■

Ес1

Р0(1-у>

Ъ?

V, V-

01} Ей2

(3)

т = -

А/

Ро<*

а

12 Л(1-У2)в4

/»А

Ро

8 _

(4)

С, = 12-Д,С2 = 12-/72, С, =12-^, С4=-м, С5=-А2, а й а а а

и, V - тангенциальные перемещения соответственно по направлению х я у, IV -

прогиб (перемещение по оси 2), у - коэффициент Пуассона, р, - произвольная

распределенная поверхностная нагрузка, с1 - высота поперечного сечения оболоч-

М+Л/ „

ки, Е - модуль упругости материала, М ---обобщенный изгибающии

1 +у

момент, а - характерный размер, р0 - значение рг в фиксированной точке,

Х{=го а> Хп=*с а

(5)

Система дифференциальных уравнений (3) решается с учетом краевых условий В частности, при г\=0

л п дм ГЛ

жесткая заделка и=и=ы=0, л\>'= — = 0,

дт)

• шарнирно-неподвижно опертый край и=и—\\?=т-0, шарнирно-подвижно опертый край и=и-=0, т=0, — = О,

ОТ]

■ свободный от закреплений край

дт

и'7) = $ = о, тм = 0,

ОТ}

дъУ!

оф?

= 0,

(6)

(7)

(8)

(9)

где £/(,) = —— безразмерная обобщенная поперечная сила

Учитываются также условия в угловых точках, они приводятся в тексте диссертации

Формулы для опоеделения внутсенних усилий также записываются в безразмерном виде

(« Зк Зу _

и4' = — + у--С, и',

3£ дт]

ЗгЛ

{п) ди ди „

п"' - — + у--С,и>,

37

дг]

<ч)

т '' =-

= -т(7?) = (1 - У)

офц

(10)

где

П — -у > '<■ ~~ 1 > ~

Рйа

Роа

м

Рйа

г' _ 2 ■

Роа Т

(п) _±У_

, Г" =

^ = р0о2' р0а р6а

(П)

В статье Р Ф Габбасова (О разностных уравнениях в задачах прочности и устойчивости плит // Прикладная механика, 1982, т XVIII, №9) приводится разностное уравнение МПА, аппроксимирующее дифференциальное уравнение второго порядка общего вида

да „дсо

д2а

до д со

— + Р-+ сг— + у—2 +

д£2 дЕ, дфт] дг] дт] ( д2о, <. део, „ д2&, до,

22 А да.

(12)

' 3£2 ' д4 дфт] ' от} '' дт/2 Обозначим это разностное уравнение П

Каждое дифференциальное уравнение системы (3) является частным случаем (12) Роль неизвестных а и со, играют подлежащие определению функции и, о,

VI? и т Поэтому для аппроксимации, например, третьего дифференциальною уравнения системы (3) разносгным уравнением МПА необходимо записать П с заменами ю на ш при а=1, 8=0= <т=0, у = 1, со; - на и при а\-0, 5]=С„ /9=ау=/¡=0, а>2 - на о при аг~52=рг=0, О2-С5, /2-0, р-на правую часть рассматриваемого дифференциального уравнения В резучьтате получим алгебраическое уравнение, запишем его здесь на квадратной сетке с шагом Ь

+ 1и [и< 1 Л + 10м.-1; + "м ;+1 ~1 - ) -

+ Ф(>), (13)

где разностные оперлюрь! определяются по формулам +8и, , - 40/я, + 8от, ;41 +

+2/я,+1;Ч+8/я,+1, + 2тн1;+), (14)

+!г['-"1Ат1^ + 5'-"'Ат^ +5"''1 Ат]] + Ат^(15)

='-7 (''А-, л + , + 2"'р,л , +'Ч, +

, +5'->"АР?;) + (5^> АрЧ, + ,)] (17)

Ф(и; = Ф( при замене непрерывных р на \у

В этих уравнениях '~"Ат\) = 'л»,*; ~ ^р", , = 'Р1, г'" ^ =

р' = — Верхний левый индекс показывает принадлежность какой либо величи-дг]

ны тому или иному элементу на рис 2 Например р - значение р в точке I,]

сетки, принадлежащее элементу II Остальные члены с верхними левыми индексами имеют аналогичный смысл

О 1,1-1)

0-1,»

(4-1)

0+1 )-П

II

III

(м)

IV

0+1 ^

л

(и+1)

0+1,1+1)

Ч

Рис 2

Аппроксимация по МПА остальных уравнений системы (3) выполняется аналогично с использованием по необходимости введенных разностных операторов (14)-(17)

Для решения полученной системы линейных алгебраических уравнений необходимо аппроксимировать краевые условия в контурных точках Например, дчя жестко заделанного края при г|=0 В этом случае следует аппроксимировать последнее условие (6) В окончательном виде (при ,№,1=:'И'=0 в краевых точках) получим уравнение для точки у края г|=0

+ 8 т.

24v

^ - "V, у + 56т( - Ют, + 5т,+! , + 8т,„ ,+1 - ,+2) +

(18)

Остальные краевые условия аппроксимируются аналогично (без законтурных точек) и даются в диссертации

В третьей главе составляется алгоритм расчета Для решения^ системы алгебраических уравнений используем итерационный метод Зейдетя Этот метод упрощает программирование нет необходимости в составлении матрицы коэффициентов при неизвестных и хранении ее в памяти ЭВМ Уравнения представляются в виде, удовлетворяющем необходимому условию сходимости итерационного процесса, те так, чтобы коэффициенты при неизвестных в правой части уравнений, формально разрешенных относите тьно неизвестного в точке у сетки,

не превышали по абсолютному значению единицы В частности, разностное уравнение (13) записывается так

' 1 ^

(1 + С,)_

т1, +—г~-гГ2т, 1,1+8т, , , + 2пг . +

" 40(1 + С, )1 -1''1

+8 я, +

у-1 +10"-1; + ,м у-. - 10и»1, ~ Мм у+1)--—Г(п -1> + -10о +|) ^ +

+С3 ФМ-Ф,„-Ф(Л„] (19)

Аналошчно записываются остальные уравнения как для внутренних, так и краевых точек

По разработанному алгоритму была составлена программа для ЭВМ

В качестве тестовой задачи был выполнен расчет пологой оболочки, квадратной в плане, опертой шарнирно-подвижно по всему контуру, при у=0 3, #У=1 и Ш=5, загруженной по всей ее поверхности равномерно распределенной поперечной нагрузкой В этом случае в (13) и (19) Ь*т) = Ф(^, = 0 В таблице 1 приведены прогиб, продольная сила, изгибающий момент в центре и сдвигающая сила в углу оболочки, полученные на различных сетках /графа 1/, они сравниваются с соответствующими значениями, подсчитанными по МПА в матричной форме на сетке 12x12 (В В Шрамко, графа 2), по МКР на сетке бхб (А А Назаров, графа 3) и по аналитическому методу с помощью двойных тригонометрических рядов (А А Назаров, графа 4)

Таблица 1

Ветчины

1 2 I 3 4 1 2 \ 3

Поденные рез\ чьтаты МПА а | мтрГ 1 МКР Тригоно-метриче ский ряд Полученные рез> чьтаты МПЛ 8 матричной форме МКР Григоно-метр.ие-СКг|1 ркч

4x4 8x8 16x16 форме 4x4 8x8 16x16

№ 0474 0 482 0 484 0 486 0 459 0,485 00490 0 0493 0 0480 0 0479 0 0429 0 0480

А, 01986 02310 0 2420 02431 0 2480 0 2424 0 1049 1 01185 01200 0 1198 0 1090 0,1200

\1х 01331 01264 01259 01257 01170 0 1259 0 0057 0 0042 0 0036 0 0066 0 0061 0 0036

5 0Д792 0 2600 0,2577 0 2^80 0,2650 02578 01796 01760 0'739 0 1738 0 1620 0,1736

Здесь для удобства сравнения значения прогибов, нормальных, продольных, сдвигающих усилий и изгибающих моментов определяются по формулам

.(Г, N =--—М=--—тмх, § =--

р,(а/2)4 ф/2)г рй{а!2)2 ф/2)

В качестве следующей тестовой задачи выполнен расчет жестко заделанной по всему контуру пологой оболочки, прямоугольной в плане, при а/Ь=2, у-0,3, Ш=1 и Ш=5, загруженной по всей ее поверхности равномерно распределенной поперечной нагрузкой В таблице 2 приведены прогибы в центре оболочки на различных сетках, они сравниваются с соответствующими значениями, подсчитанными по МПА в матричной форме на сетке 16x8 (В В Шрамко, графа 2) и с аналитическим решением по И Н Слезингеру /графа 3/

__Таблица 2

Величины а/Ь=2, №1 а/Ь=2, №5

1 2 3 1 2 3

1 ¡и чснпьи. результаты МПА и матричной форме Григономет ршескийряд 1 Ш11уЧ1.ННЫ.. результаты МПА » матричной форме Григономет рический ряд

16\8 32x16 16\8 8x4 16x8 32x16 16x8

(V 0 02365 0 02374 0 02380 0 02350 0 004434 0 004845 0 004972 0 00474 0 00464

На рис 3, 4 представлены полученные результаты и результаты по В В Шрамко соответственно для прогибов ¡V и изгибающих моментов Мх вдоль оси симметрии оболочки 1 - разностная форма МПА на сетке 16x8, 2 - матричная форма МПА на сетке 16x8 по В В Шрамко

Рассматривалась пологая оболочка, прямоугольная в плане, два противоположных края которой шарнирно-подвижно оперты, один край жестко защемлен, а другой - свободный от закреплений, оболочка загружена равномерно распределенной по всей поверхности поперечной нагрузкой (рис 5), а=20м, Ъ=\()м, д=\,5м, ¿=0,3.и, Е=2,1 107 т/м2, »-<=0,3, рг=1 пиЯ

у 1 <

J -

ь

R

г> — с

На рис 6, 7 представлены графики прогибов соответственно по сечениям у=Ь/2 и y=b/4 1 - прогибы по МПА на сетке 40x20, 2 - по МКЭ на сетке 160x80 (элементы треугольные, аппроксимация W кубическая, программа SCAD Office vil)

Выполнен расчет пологой оболочки, квадратной в плане, опертой шарнир-но-неподвижно в четырех углах, под действием равномерно распределенной по всей ее поверхности поперечной нагрузки (рис 8) при следующих исходных данных a=b=10,w, 8=2м, а=0,4и, E=2,l 107 т/м\ v=0,3, pz=lт/м2

На рис 9 приведены значения прогибов W вдоль стороны у=0 1 - прогибы по МПА на сетке 32x32, 2 - по МКЭ на сетке 80x80 (элементы треугольные, аппроксимация W кубическая, программа SCAD Office v 11)

Рассчитана пологая оболочка, прямоугольная в плане, шарнирно-подвижно опертая по всему контуру, под действием локальной нагрузки распределенной

Прпуиеииитр рл-ги-л-тятсл рдлилтп в тг^и'тпр ня рЛЗЛИЧНЫХ ССТК?Х СРАВНИВАЛИСЬ С

решением, подсчитанным по формулам В 3 Власова с помощью двойных тригонометрических рядов при количестве членов 50, они приведены в таблице 3

__Таблица 3

Величины а/Ь=1,8/(1=5, у=0,3

£д=гн=а/2

Полученные результаты 1ригономе-рический ряд

1 2 3 4

а1=Ь)=0,05а а|=Ь,=0,025а а1=Ь[=0,02а

40x40 80x80 100x100

'ч Я 0,00184 0,00188 0,00188 0,00189

м(/> 0,2148 0,2863 0,3094 0,3171

Здесь и в следующем примере значения прогиба \У и изгибающего момента

Мх определяются по формулам IV = , Мх - М1!)Р, где Р - равнодейст-

вующая нагрузка

1) о III П2 03

Рис II

Рис 12

На рис 11 представлен график прогибов IV, на рис 12 - изгибающих моментов А/«» вдоль оси симметрии (г)=1/2) Линии 1, 2, 3 - резучьтаты по МПА соответственно для а,=Ь1=0,05а на сетке 40x40, а1=Ь|-0,025а на сетке 80x80, а]=Ь]^0,02а на сетке 100x100, линия 4 - результаты по В 3 Власову при количестве членов ряда 50

Сосредоточенная сила приближенно может быть представлена по рис 13 На такую нагрузку была рассчитана рассмотренная выше оболочка Полученные результаты приведены на рис 14, 15 в виде эпюр прогибов IV и моментов М(г> вдоль оси симметрии оболочки (г]=1/2) при различных Ь Видно, что с увеличением числа разбиений результаты М1!) по МПА непрерывно возрастают, что служит признаком особенности численного решения 8 о _

ттптЕРГт*

В четвертой главе рассматривается расчет пологих оболочек в смешанной форме Разрешающие дифференциальные уравнения записываются в безразмерном виде д2т д2т г (л „л-|

д2-п> д2\\г

д2в &

д? дп д£2 + дт]2 ''

(20)

с2Ч

ЛЧ)

32Т

е _

32и>

32и>

1 \

з??2 д^ ве дп2' й2

остальные величины определяются по (4) и (5), Б - функция напряжений

Система дифференциальных уравнений (20) решается с учетом краевых условий (6) - (9)

Первое дифференциальное уравнение системы (20) аналогично третьему уравнению системы (3) Следовательно, для аппроксимации этого уравнения достаточно записать (13) при С3=С4=С5=0, с заменой р на [р + Х{ + Хп «(,)] Выражая в этом уравнении ш по второму дифференциальному уравнению системы (20) через ^ и , получим разностное уравнение относительно неизвестных

И'«", и", п((), п(п)

- /д = -фд - ф -у

Ф.

' Ы")

(22)

& Ш11

Здесь X „ определяются по (14) с заменой т соответственно на мА*, и»'

®(,'«)> ~ по с зал,ен°й Р соответственно на ппри непрерывных

П

,«> п<1)

Аналогично аппроксимируются остальные дифференциальные уравнения для внутренних и краевых точек Задача решается относительно неизвестных V/1", ИИ), пм

При найденных , изгибающие моменты определяются по формулам (10) Для определения крутящего момента тпредварительно вычисляются прогибы \у с использованием одномерно! о уравнения МПА

12

(23)

Величины =

ои * лить = и

ЗУ

ннь Эй дт}

определяются по формулам МКР № >>

При найденных уу, и , и1" по первым двум формулам (10) можно выпис-

ок

о' в каждой расчетной точке Выражение — = можно

рассматривать как обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка Для аппроксимации этого дифференциального уравнения также можно воспользоваться разностным уравнением МПА найти и, аналогично - и По найденным и, ди

и определяются —, —, что позволяет по (10) вычислить сдвигающие силы s 01]

Таким образом, определяются все компоненты напряженно-деформируемого состояния оболочки, что свидетельствует о полноте решения

Для сравнения двух разработанных алгоритмов была рассмотрена первая тестовая задача главы 3 при 5/d=5

В таблице 4 приведены результаты для центра оболочки, полученные на различных сетках по 1ом> алгоритму /графа I/, они сравниваются с соответствующими значениями, подсчитанными по 1ГМ) алгоритму МПА /графа II/ и по МКЭ (элементы треугольные, аппроксимация W кубическая, программа SCAD Office v 1 "1 /графа III/)

Таблица 4

Вели чины i II III

4x4 8x8 16x16 4x4 8x8 | 16x16 20x20 40x40 80x80

W 0 0490 0 0493 0 0480 0 0487 0 0482 1 0 0480 0 0493 0 0492 0 0492

<ч 01049 01185 0,1200 01217 0 1204 0 1204 - - -

м, 0 0057 0 0042 0 0036 0 0047 0 0037 0 0036 - - -

Был выполнен расчет пологой оболочки, квадратной в плане, шарнирно-подвижно опертой по всему контуру, при исходных данных а=Ь=10и, ¡5=2и, <1=0,4м, у=0,3, Е=2,1 107/и/л/ под действием полосовых нагрузок =1 т/ч на рис 16

Я,=1т/м

Полученные прогибы в цена ре оболочки по МПА /графа I/ сравниваются с решением, которое получено по МКЭ (элементы треугольные, аппроксимация W кубическая, программа SCAD Office v 11 /графа II/) на различных сетках - табл 5

_Таблица 5

Величина I II

8x8 16x16 | 32x32 20x20 40x40 80x80

V/ (мм) 0,01463 1 0,01204 1 0,03138 0,01134 0,01136 0.01137

Рис. 17

На рис. 17. представлен график прогибов V/ вдоль оси симметрии у=5м: 1 - полученные результаты на сетке 32x32, 2 - результаты по МКЭ на сетке 80x80.

Выполнен расчет пологой оболочки, квадратной в плане, опертой шарнир-но-подвижно в углах, под действием равномерно распределенной по всей поверхности нагрузки, при разных отношениях 8/с1 с у=0,3 (рис. 18).

Таблица б

Величины №0 ! \ ¿№2

/ 2 ( 3 ! 4 1 2 з ! ; 2 5

8x8 ! 16x16 | 32x32 По С.П. Тимошенко 8x8 16x16 32x32 8x8 16x16 32x32

ш 0,0244 0,0249 | 0,0254 0,0249 0,0234 0,0231 0,0231 0.0217 0.0196 0.0190

т(у 0,1085 0,1105 ! 0,1113 0,1090 0,0903 0,0895 0,0894 0,0554 0,0518 0,0509

НсГ 0,8400 0.9030 1 0.9420 0,9150 0,9270 0,9500 1^0960 0.9780 0,9660

1,0 1,0 1 1,0 - 1,01 1,01 1,01 1,02 1,02 1,02

д% -16 -9,7 -5,8 -9,3 -8,2 -5,9 6,5 -4,1 -5,3

В таблице 6 приведены полученные результаты безразмерных прогибов, изгибающих моментов в центре оболочки и сумма вертикальных реакций в опорах (£г). Д - разница суммы реакций в четырех углах и равнодействующей внешней нагрузки (£р). Для случая плиты (¿уУ=0) результаты сравниваются с решением, полученным аналитическим методом по С.П. Тимошенко.

На рис 19, 20 представлены графики безразмерных прогибов ш и изгибающих моментов вдоль оси симметрии для различных отношений §/<1 на сетке 32x32

Таблица 7

№ Вели- &'ф= 1 <№2

задач чины 8x8 16x16 8x8 16x16

I 00116 0,0125 0,0044 0 0049

11 0,0234 0,0231 0,0217 0,0196

1,11 Д % -50 4 -45,9 -79 7 -75,0

I п пдлп ППДЧЗ ПГНТ>8 0П1423

11 0 0903 0,0895 0 05540 0,05180

Ш1 Д% -49,1 -44 9 -76,0 -72,5

В таблице 7 приведены значения безразмерных прогибов и изгибающих момешов в центре оболочки Строка I - почученные резучьтаты по 1ом> алгоритму - была рассчитана оболочка, квадратная в плане, опертая шарнирно-неподвижно в четырех углах, на действие равномерно распределенной по всей поверхности нагрузки, строка II - результаты по Иом) алгоритму, которые приведены в таблице 6 А -разница результатов строки I и строки II Видно, что прогибы и изгибающие моменты для пологой оболочки, опертой шарнирно-подвижно в четырех углах, больше чем для той же оболочки, опертой шарнирно-неподвижно в тех же углах

Рассчитана та же оболочка на действие полосовых нагрузок, расположенных вдоль двух осей симметрии (рис 21)

дт"1 -1

Таблица 8

Вели- »0=0 7

2 3 1 1 2 3 1 2 \ 3

8x8 16x16 32x32 12x12 16x16 32x32 12x12 16x16 32x3?

\У 0,0630 0,0640 0,0644 0 0591 0 0586 0,0582 0,0506 0,0489 0,0472

т(а ' 0,3666 0 370: | 0 3715 0,3124 0,3122 0,3115 0,2103 0,2079 0,2054

а 1,7168 1,8228 1 ',8932 | 1,876 1 88 1,912 2,0868 2,0068 1,952

Дт11) 2,0 2,0 1 2,0 1 2,05 1 2,05 2,05 2,05 | 2 05 2,05

Д% -142 -8 9 -5 3 ! -8,5 -8,3 -6,7 1 8 I -2,1 -4 8

В таблице 8 приведены полученные результаты безразмерных прогибов и изгибающих моментов в центре оболочки и сумма реакций в опорах (2г) Д - разница суммы реакций в четырех углах и равнодействующей внешней нагрузки 2(Дт^+Дгпп)

На рис 22, 23 представлены графики безразмерных прогибов ш и изгибающих моментов ш " вдоль оси симметрии для разных отношений 5/(1 на сетке 32x32

Выполнен расчет пологой оболочки квадратной в плане, опертой шарнир-но-подвижно по всему контуру, под действием локальной нагрузки, распределенной равномерно на малом участке с размерами (а^Ь^ при 6М=5, \Н),3 (рис 10)

В таблице 9 приведены полученные результаты по 1ому алгоритму /графа I/, они сравниваются с соответствующими значениями, подсчитанными по И04* алгоритму МПА /графа II/ на различных сетках

__Таблица 9

Величины а/Ь=1, Ш=5, у=0,3, ^|=т}]=1У2

I II

а 05а а.=Ь,=0,025а а -Ь,=0 02а а,^Ь,=0 05а агЬ,=0,025а а,=Ь,-0,02а

сетка 40x40 80x80 100x100 40x40 80x80 100x100

^ „ 0,00184 0,00188 0,00188 0,00185 0,00188 0,00188

ш <\ 41 0,2148 0,2863 0,3094 0,2151 0,2863 0,3094

Обратная задача расчета пологих оболочек.

Для пологих оболочек обратная задача решается с помощью разрешающих дифференциальных уравнений, которые изложены во второй главе диссертации

Отметим что, для определения значения р в краевых точках необходимо аппроксимировать третье дифференциальное уравнение системы (3) Исключая из него тп, рп по МКР, при г)=0 получим на квадратной сетке +Чи+Ч,;4Г -Ы1}-Ъ2т1]А+\2т1]Л +

-(ч -I, - ^ +12о,, -1 -4и, у+1 + 2и, ,+2 + ц+,, - ц, ^,) -

1У

(Ч-,} + 8и>^+| - + 74 и; ] + 56ч>< ^ -10™, + 5н>,+1, + 8ш,+, ^ - ^) =

12

Ь2 / \

= /+ н " Л-' +74 А, + 56р, - Юр, + 5р„и+ 8р,+| ,+1 - рм ,, 2) (24)

Для края £=0 уравнение (24) записывается с заменой и, и, С«, С$> т, 1,1 на и, и, С5, С*, т, Ь, 1 А для края т]=Ь/а и £=1 эти уравнения записываются в "зеркальном отображении" Уравнение для определения р в угловых точках приводится в диссертации

Для проверки алгоритма выполнен расчет пологой оболочки, квадратной в плане, шарнирно-подвижно опертой по контуру, на действие равномерно распределенной по всей поверхностной нагрузки, при этом воспользуемся формулой В 3 Впасовадля определения прогибов

1"0"

где

ттгх » « эщ-эш

В тлу

\

к!'

В этой формуле

У)2

16/; у у Кт„

' к" Ьг<>пп(т2+Л2п2у1" а

г-Бт

плх^тяу ¡¿б)

(/0,т2+гл.Я2»

М =

12(1-^)

а . а — . л = т> л о

(27)

(т2 + Л2п2)'+М(10т2+г0Л2п2) где х, у - текущие координаты точки, шип- целые числа (т =1,3,5 , да, п =1, 3,

5 , со), го, 1о ~ кривизны р

' |м ' 1 | 1 и ' I ^ ' ..1....'' 1 у

01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

Рис 24

Т , ,

^ у V

| у V I V

02 03 04 05 06 07 08 09

Рис 25

На рис 24, 25 показаны эпюры безразмерных нагрузок р по оси симметрии (11=1/2) соответственно для а/Ь=1, 5/с1=1 и 5/с1=5 на сетке 32x32 при заданных прогибах, подсчитанных по формулам (25) - (27) с количеством членов ряда 50 Полученная нагрузка отражает практически равномерно распределенную по поверхности

Была рассчитана та же оболочка на действие локальной нагрузки, распределенной на малом участке в центре Задаем прогибы по В 3 Власову Р

0 1 02 0 3 04 05 0 6 0 7 0 8 09 1 £

Рис 26

На рис 26 приведена безразмерная распределенная нагрузка вдоль оси симметрии (т]=1/2) при ai=b!=0,025a на сетке 80x80 по заданным прогибам

Основные результаты

1 Разработан алгоритм расчета в перемещениях пологих оболочек двояко-вой кривизны, прямоугольных в плане, при действии различных типов нагрузок, включая локальные и полосовые, с различным сочетанием краевых условий Для этого использованы предложенные Р Ф Габбасовым разностные уравнения метода последовательных аппроксимаций (МПА) В известной мере разработку указанного алгоритма позволительно рассматривать как дальнейшее развитие МПА

2 Построен алгоритм расчета пологих оболочек на статические нагрузки с использованием дифференциальных уравнений смешанной форме

3 Разработан алгоритм решения обратной задачи строительной механики пологих оболочек в численной постановке

4 По предложенным алгоритмам составлена программа на языке Visual Basic 6 для расчета пологих оболочек на ЭВМ как в перемещениях, так и в смешанной форме Программа позволяет рассчитывать пологие оболочки при различных сочетаниях краевых условий на действие произвольных статических нагрузок

5 Построенные алгоритмы проверены на тестовых задачах и численно исследованы на сходимость

6 Решены новые задачи по составленной программе по расчету пологих оболочек

7 Решены обратные задачи расчета пологих оболочек

Основные выводы.

I Составленная программа работает надежно, устойчиво, что подтверждается сопоставлением результатов расчета с известными решениями и численным исследованием сходимости решений

II Программа может быть рекомендована для практического использования не только к расчету пологих оболочек, но и пластин

III На многочисленных примерах подтверждено, что разработанная в диссертационной работе методика расчета пологих оболочек по МПА может быть использована для удовлетворительной оценки напряженно-деформированного состояния пологих оболочек при минимальном числе разбиений При этом можно применять простейшие вычислительные средства

Основные положения диссертации и результаты исследований изложены в следующих работах:

1 Габбасов Р Ф , Нгуен X Д К расчету пологих оболочек численным методом последовательных аппроксимаций (МПА) - М, Вестник МГСУ №1, 2008 с 151-157

2 Нгуен Хиеп Донг Расчет пологих оболочек на действие локальных нагрузок численным методом последовательных аппроксимаций (МПА) Одиннадцатая международная межвузовская научно-практическая конференция молодых ученых, аспирантов и докторантов Сборник докладов МГСУ - 2008 с 67-71

КОПИ-ЦЕНТР св 7 07 10429 Тираж 100 зкз тел 8-495-185-79-54 г Москва, уч Енисейская, д 36

1.1. О расчете пологих оболочек аналитическими и численными методами.

1.2. Метод конечных разностей (МКР).

1.3. Метод конечных элементов (МКЭ).

1.4. Метод последовательных аппроксимаций (МПА).

1.4.1. МПА в интегральной или дифференциальной форме.

1.4.2. Метод последовательных аппроксимаций в разностной форме.

1.5. Выводы по главе 1.

Глава 2. РАЗРАБОТКА МЕТОДИКИ РАСЧЕТА ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ МПА.

2.1. Уравнения пологих оболочек.

2.2. Краевые условия пологой оболочки.

2.3. Приведение системы дифференциальных уравнений к безразмерному виду.

2.4. Аппроксимация дифференциальных уравнений разностными уравнениями МПА.

2.5. Аппроксимация краевых условий.

2.6. Выводы по главе 2.

Глава 3. РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМА РАСЧЕТА ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК ПО МПА. РЕШЕНИЕ ТЕСТОВЫХ И НОВЫХ ЗАДАЧ.

3.1. Алгоритм расчета и составление программы для ЭВМ.

3.2. Решение тестовых и новых задач. 67 3.2.1. Загружение равномерно распределенной нагрузкой по всей поверхности пологой оболочки.

3.2.1.1. По контуру опирание шарнирно-подвижное.

3.2.1.2. Жестко заделанная по контуру оболочка.

3.2.1.3. Расчет пологих оболочек со смешанными краевыми условиями.

3.2.1.4. Расчет пологой оболочки, опертой шарнирно-неподвижно в четырех углах.

3.2.2. Расчет пологих оболочек на действие локальных нагрузок.

3.3. Выводы по главе 3.

Глава 4. АЛГОРИТМ РАСЧЕТА ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК В СМЕШАННОЙ ФОРМЕ И ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА РАСЧЕТА ПОЛОГИХ

ОБОЛОЧЕК.

4.1. Алгоритм расчета пологих оболочек в смешанной форме.

4.1.1. Приведение дифференциальных уравнений к безразмерному виду.

4.1.2. Аппроксимация дифференциальных уравнений разностными уравнениями МПА.

4.1.3. Разработка алгоритма расчета.

4.1.4. Решение тестовых задач.

4.2. Обратная задача расчета пологих оболочек.

4.2.1. Постановка обратной задачи.

4.2.2. Аппроксимация системы дифференциальных уравнений разностными уравнениями МПА.

4.2.3. Решение задач расчета пологих оболочек с заданными прогибами.

4.3. Выводы по главе 4. 111 Заключение. 112 Литература. 114 Приложение.

Оболочки являются одним из наиболее распространенных элементов тонкостенных конструкций в строительстве, судостроении, авиастроении и других областях. Проблема разработки новых теорий и совершенствования методов расчета тонкостенных пространственных конструкций типа пластин, оболочек (своды, резервуары, складки и др.) оставалась и остается в центре внимания ученых, занимающихся вопросами строительной механики и механики твердого тела. Общепризнано, что проблематика, связанная с решением задач прочности, устойчивости и динамики оболочечных конструкций в рамках теорий типа Кирхгофа-Лява, в основном, является исчерпанной. Поэтому основное внимание уделяется вопросам, требующим уточнения существующих подходов за счет усложнения математических моделей для описания напряженно-деформированного- состояния в условиях применения современных композитных материалов при интенсификации внешних воздействий и усложнении их характера. Вместе с тем, это ни в коей мере не исключает необходимости переоценки, и переосмысливания существующих теорий и методик расчета оболочечных конструкций, связанных с прогрессирующим совершенствованием вычислительных средств, стимулирующих развитие численно-аналитических (или аналитично-численных) методов, способствующих, с одной стороны, более углубленному анализу существующих известных решений, а с другой - расширяющих область применимости классической теории.

Актуальность темы диссертации. Для проектных организаций Вьетнама с учетом его климатических условий актуальной является разработка методики расчета легких покрытий типа пологих оболочек для простой и надежной оценки напряжено-деформированного состояния этих конструкций. Отметим также, что в последнее время имели место в РФ и за рубежом аварии покрытий рынков, бассейнов, зданий аэропортов, представляющих собой различные виды пологих оболочек. Расчеты покрытий были выполнены по программам, реализующим метод конечных элементов (МКЭ). В сложившейся ситуации для проверочных расчетов является актуальной разработка способа расчета пологих оболочек, основанного на других численных методах. Одним из таких методов, обладающим высокой точностью и сравнительной простотой, является разработанный на кафедре строительной механики МГСУ метод последовательных аппроксимаций (МПА), который и применяется в диссертации.

Цель диссертационной работы заключается в разработке методики расчета пологих оболочек с использованием разностных уравнений МПА, составлении программы для ЭВМ с последующим применением ее для ре-шения'инженерных задач.

Научная новизна работы:

1. Разработана методика расчета пологих оболочек в перемещениях.

2. Разработан способ расчета тех же оболочек в смешанной форме.

3. Решена обратная задача строительной механики пологих оболочек в численной постановке.

4. По разработанной методике составлена программа расчета на компьютере, отработанная на решении тестовых задач.

5. Решены новые задачи расчета пологих оболочек.

Практическая ценность работы.

Разработанные методика и программа позволяют выполнять проверочные расчеты пологих оболочек, используемых в инженерной практике.

Достоверность результатов определяется корректностью постановки задач, использованием апробированного численного метода, сравнением ряда полученных результатов с ранее известными, численным* исследованием сходимости решений.

Основное содержание диссертации представлено в четырех главах.

В первой главе дается краткий обзор литературных источников, посвященных расчету пологих оболочек. Описывается предыстория постановки задачи, опирающейся на фундаментальные исследования в области разработки общей теории и методов расчета оболочек. Особое внимание уделено работам В.З. Власова и А.А. Назарова и других ученых, в которых рассмотрены вопросы применения теории оболочек и методы их расчета. В заключение на основе проведенного анализа сформулированы основные цели и задачи диссертационной работы.

Вторая глава диссертации посвящена изложению методики расчета пологих оболочек, прямоугольных в плане, под действием различного типа нагрузок с применением метода последовательных аппроксимаций.

Аппроксимируя дифференциальные уравнения равновесия пологих оболочек в перемещениях разностными уравнениями МПА, получаем линейные алгебраические уравнения для внутренних и краевых точек.

В третьей главе:

Построение алгоритма и составление программы для ЭВМ.

Решение тестовых и новых задач с различным сочетанием краевых условий на действие различного типа нагрузок, включая локальные и полосовые.

В четвертой главе:

Разработана методика расчета пологих оболочек в смешанной форме по МПА.

Решены тестовые задачи на действие различного типа нагрузок.

Разработана методика решения обратной задачи строительной механики пологих оболочек. Решены задачи с заданными прогибами.

В заключении сформулированы основные выводы по результатам проведенных в диссертации исследований.

Диссертация изложена на 139 страницах машинописного текста, включая список литературы из 256 наименований, 37 рисунков, 20 таблиц и приложения 1 страница.

Апробация работы была проведена на:

- одиннадцатой международной межвузовской научно-практической конференции молодых ученых, аспирантов и докторантов.Московского Государственного Строительного Университета с 15-24 апреля 2008 г.

- заседании кафедры «Строительная Механика» Московского государственного строительного университета 25 июля 2008 г.

Публикации. Основные положения диссертационной работы опубликованы в трех печатных работах.

Автор выражает глубокую благодарность и признательность своему научному руководителю проф. д.т.н. Габбасову Р.Ф., заведующему кафедрой строительной механики проф. д.т.н. Мондрусу B.JL и всему коллективу кафедры за постоянное внимание и большую помощью при выполнении настоящей диссертации.

4.3. Выводы по главе 4.

В §4.1 построен алгоритм расчета пологих оболочек в смешанной форме. Проверен алгоритм на тестовых задачах, что свидетельствует о высокой точности и быстрой сходимости при небольшом количестве разбиений.

В §4.2 построен алгоритм решения обратной задачи расчета пологих оболочек. Проверен алгоритм на задачах, в которых заданы прогибы по формулам двойного тригонометрического ряда.

112

Заключение.

В соответствии с поставленными целями в диссертационной работе выполнено следующее.

1. Разработан алгоритм расчета пологих оболочек двояковой кривизны, прямоугольных в плане, при действии различных типов нагрузок, включая локальные и полосовые, с различным сочетанием краевых условий. Для этого использованы предложенные Р.Ф. Габбасовым разностные уравнения метода последовательных аппроксимаций (МПА). В известной мере разработку указанного алгоритма позволительно рассматривать как дальнейшее развитие МПА.

2. Построены алгоритмы расчета пологих оболочек на статические нагрузки при использовании дифференциальных уравнений в перемещениях и отдельно в смешанной форме.

3. Разработан алгоритм решения обратной задачи строительной механики пологих оболочек в численной постановке.

4. По предложенным алгоритмам составлена программа на языке Visual Basic 6 для расчета пологих оболочек на ЭВМ как в перемещениях, так и в смешанной форме. Программа позволяет рассчитывать пологие оболочки при различных сочетаниях краевых условий на действие произвольных статических нагрузок.

5. Построенные алгоритмы проверены на тестовых задачах и численно исследованы на сходимость.

6. Решены новые задачи по составленной программе по расчету пологих оболочек и изгибающих пластин.

Подводя итоги выполненной диссертационной работы, можно сделать следующие выводы.

- Составленная программа работает надежно, устойчиво, что подтверждается сопоставлением результатов расчета с известными решениями и численным исследованием сходимости решений.

- Программа может быть рекомендована для практического использования не только к расчету пологих оболочек, но и пластин.

- На многочисленных примерах подтверждено, что разработанная в диссертационной работе методика расчета пологих оболочек по МПА может быть использована для удовлетворительной оценки напряженно - деформированного состояния изгибаемых пологих оболочек при минимальном числе разбиений. При этом можно применять простейшие вычислительные средства.

114

1. Абовский Н.П. О применении метода конечных элементов совместно с другими методами. Труды КПИ, вып.8, Красноярск, 1975.

2. Абовский Н.П. Основные уравнения метода сеток для ребристых оболочек. Сб: Пространственные конструкции в Красноярском крае, вып.2, Красноярск, 1966.

3. Абовский Н.П. Ребристые оболочки. /Учебное пособие/, КПИ, Красноярск, 1967.

4. Абовский Н.П., Андреев Н.Н., Сабиров Р.А. Обобщенные вариационно-разностные уравнения теории анизотропных /в том числе ребристых/ пологих оболочек. Сб: Пространственные конструкции в Красноярском крае, вып.7, 1975.

5. Абовский Н.П., Самолъянов И.И., Пасько Д.А. Расчет пологих оболочек в матричной форме методом сеток. Учебно-методическое пособие, Красноярск, 1965.

6. Абовский Н.П., Самольянов И.И. Расчет пологих оболочек типа гиперболического параболоида методом сеток. Сб: Пространственные конструкции в Красноярском крае, вып. 2, Красноярск, 1966.

7. Абовский Н.П., Шестопал В.М. Конечно-разностные уравнения теории пологих ребристых оболочек. Сб: Пространственные конструкции в Красноярском крае, вып.З, Красноярск, 1968.

8. Абрамов Г.Д. Исследование устойчивости и сложного изгиба пластин, стержневых наборов и оболочек разностными уравнениями. -Л., Суд-промгиз, 1951.

9. Авдонин А.С. Прикладные методы расчета оболочек и тонкостенных конструкций. -М., Машиностроение, 1969.

10. Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения. — М., Мир, 1972.

11. Александров A.M. Применение метода прямых к расчету пологих оболочек // Доклады научно-технической конференции по итогам научно-исследовательских работ за 1966-1967г. МЭИ, М., 1967.

12. Александров А.В. Дискретная модель для расчета ортотропных пластин и оболочек. Труды МИИТ, вып.364, М., 1971.

13. Александров А.В. Численное решение линейных дифференциальных уравнений при помощи матрицы дифференцирования. Труды МИИТ, вып.131, М., 1961.

14. Александров А.В., Лащеников Б.Я., Смирнов В.А., Шапошников Н.Н. Методы расчета стержневых систем, пластин и оболочек с использованием ЭВМ. -М., Стройиздат, 1976.

15. Амосов А.А. Об использовании уточненных теорий пластин и оболочек при исследовании свободных колебаний // Строительная механика и расчет сооружений №1, 1990 г., стр. 14-17.

16. Амосов А.А. Расчет тонких упругих оболочек по деформированному состоянию // Строительная механика и расчет сооружений, №6, 1982 г. стр. 20-23.

17. Бадаев М.А. Формулировка некоторых задач теории пологих цилиндрических оболочек для решения методом сеток. Ученые записки Азербайджанского сельскохозяйственного института, Механизация, вып.З, Баку, 1969.

18. Байков В.Н. и др. Железобетонные конструкции. Специальный курс. — М.: Стройиздат, 1981.

19. Байков В.Н., Хампе Э., Рауэ Э. Проектирование железобетонных тонкостенных пространственных конструкций. -М., Стройиздат, 1990.

20. Бартенев B.C. Практический способ расчета пологих железобетонных оболочек положительной гауссовой кривизны на прямоугольном плане. Сб.: Тонкостенные железобетонные пространственные конструкции. -М., 1970.

21. Бастатский Б.Н. Расчет пластин и пологих оболочек, ослабленных большими прямоугольными отверстиями, методом членения на конечное число элементов. Труды X Всесоюзной конференции по теории пластин и оболочек, т.2, Тбилиси, 1975.

22. Белостоцкий A.M. Моделирование взаимодействия сооружения с основанием и жидкой средой в рамках трёхмерного динамического расчёта методом конечных элементов. Сб. научных трудов Гидропроекта. -1987.-Вып. 123, с.108-119.

23. Березовский Л.Ф. К вопросу о расчете тонкостенных пологих оболочек // Инженерно-физический журнал, т.З, вып.5, 1960.

24. Березовский Л.Ф. О граничных условиях при расчете пологих оболочек МКР. Труды института строительства и архитектуры АН БССР, вып.З, Минск, 1960.

25. Березовский Л.Ф. Расчет пологих оболочек двоякой кривизны с плоским прямоугольным контуром. Методические материалы и таблицы для расчета, Минск, 1964.

26. Бобров Э.Ш. Прямой метод жесткостей в расчете пологих оболочек с непрямоугольным планом. Труды МНИИТЭП. Большепролетные пространственные конструкции, М., 1972.

27. Бобров Э.Ш., Шаршукова Л.М. К расчету пологих оболочек прямым методом жесткостей. Труды 8 Всесоюзной конференции по теории пластин и оболочек, Ростов-на-Дону 1971. -М., 1973.

28. Бобров Э.Ш., Шаршукова Л.М. Матрица жесткости треугольного конечного элемента пологой оболочки в ортогональной системе координат.

29. Труды МНИИТЭП. Большепролетные пространственные конструкции, М., 1972.

30. Богнер Ф.К., Фокс P.JL, Шмидт JI.A. Расчет цилиндрической оболочки методом дискретных элементов, РТиК, №4, 1967.

31. Борзых Е.П., Котельников Г.В., Миронов Ю.К. Об одном алгоритме численного решения пологих ортотропных оболочек на прямоугольном плане с различными граничными условиями. В кн: Пространственные конструкции зданий и сооружений, № I, М., Стройиздат, 1972.

32. Борисов М.В. Развитие метода интегрирующих матриц на двумерные задачи строительной механики летательных аппаратов, канд. дис., Л., 1976.

33. Борисов М.В., Вахитов М.Б. О решении некоторых задач теории упругости с помощью интегрирующих матриц. Труды КАИ, вып. 166, Казань, 1974.

34. Борисов М.В., Вахитов М.Б. Расчет прямоугольных пластин с помощью интегрирующих матриц. Сб.: Вопросы расчета прочности конструкций летательных аппаратов, вып.1, Казань, 1976.

35. Борисов М.В., Прегер А.Л. Метод интегрирующих матриц при расчете пологих оболочек. В кн.: Исследования по строительным конструкциям и строительной механике. — Томск: изд-во ТГУ, 1983, с.28-30.

36. Борисова Т.И. Применение метода конечных элементов к расчету пологих оболочек и складок. Материалы 9 научно-технической конференции ВЗИСИ, ч.З, М., 1972.

37. Бузун И.М. Метод конечных разностей и метод конечных элементов. Сравнение решений для пластинки. Сб: Исследование тонкостенных пространственных конструкций, Тюмень, 1974.

38. Булия Н.П. Применение видоизмененных фундаментальных функций в задачах изгиба пологих оболочек при одном частном граничном условии // Сообщения АН ГССР, т.81, вып.2, 1976.

39. Булия Н.П. Применение видоизмененных фундаментальных функций взадачах изгиба пологих оболочек в частных случаях // Сообщения АН ГССР, т.81, вып.З, 1976.

40. Бурман З.И., Лукашенко В.И. Обобщение метода расчета тонкостенных подкрепленных оболочек с вырезами с целью построения алгоритма последовательного учета вырезов. Труды X Всесоюзной конференции по теории пластин и оболочек, т.2, Тбилиси, 1975.

41. Бурман З.И., Шайдуков К.М. Обобщение метода матричного интегрирования одномерных краевых задач строительной механики на случай двумерной задачи о пластинке. Тр. Казанского университета, 1972, №8, с.215-222.

42. Вайнберг Д.В. Исследование пластин с прямоугольными отверстиями. Сб,: Сопротивление материалов и теория сооружений, вып.П, Киев, 1970.

43. Вайнберг Д.В. Справочник по прочности, устойчивости и колебаниям пластин. — Киев, Будивельник, 1973.

44. Вайнберг Д.В., Геращенко В.М., Ройтбаф И.З., Синявский A.JI. Вывод сеточных уравнений изгиба пластин вариационным методом. Сб.: Сопротивление материалов и теория сооружений, вып.1, Киев, 1965.

45. Вайнберг Д.В., Городецкий А.С., Киричевский В.В., Сахаров А.С. Метод конечных элементов в механике деформируемых тел // Прикладная механика, т.8, №8, 1972.

46. Вайнберг Д.В., Гуляев В.И., Дехтярюк Е.С. Расчет пологих выпуклых оболочек. Сб.: Расчет пространственных конструкций, вып. II, М., Стройиздат, 1967.

47. Варвак П.М. Развитие и приложение метода сеток к расчету пластинок. Некоторые задачи прикладной теории упругости в конечных разностях, ч.1 и 2. Киев, Изд. АН УССР, 1949, 1952.

48. Варвак П.М., Варвак Л.П. Некоторые вопросы теории кубических сплайнов, изложенные с позиций строительной механики // Расчет пространственных конструкций, 1974, в.4, Куйбышев, с.57-62.

49. Варвак П.М., Варвак Л.П. Метод сеток в задачах расчета строительных конструкций.-М.: Стройиздат, 1977.

50. Варвак П.М., Губерман И.О. Изгиб квадратной пластинки с различными условиями на краях // Информационные материалы, Институт строительной механики АН УССР, №10, Киев, 1957.

51. Варвак П.М., Моянский В.М. Изгиб защемленной квадратной щелевой пластинки. Сб.: Расчет пространственных строительных конструкций, вып.2, М., Стройиздат, 1971.

52. Варвак П.М., Моянский В.М. Изгиб квадратной щелевой пластинки. Труды Тюменского индустриального института, вып.40, Тюмень, 1974.

53. Варга Р. Функциональный анализ и теория аппроксимации в численном анализе.-М., Мир, 1974.

54. Варданян Г.С. Андреев В.И., Атаров Н.М., Горшков А.А. Сопротивление материалов с основами теории упругости и пластичности. -М., АСВ, 1995.

55. Васильков Б.С. Применение метода конечных элементов в перемещениях к расчету оболочек, складок, коробчатых и массивных систем. Труды ЦНИИСК, вып. 19, М., 1970.

56. Вахитов М.Б. Интегрирующие матрицы — аппарат численного решения дифференциальных уравнений строительной механики // Известия ВУЗов. Авиационная техника, №3, 1966.

57. Вахитов М.Б. К численному решению уравнения поперечного изгиба монолитного крыла // Известия ВУЗов. Авиационная техника, №4, 1960.

58. Вахитов М.Б., Сафариев М.С., Снегирев В.Ф. Расчет крыльевых устройств судов на прочность, Казань, 1975.

59. Верюжский Ю.В. Численные методы потенциала в некоторых задачах прикладной механики, Киев, 1978.

60. Виснер В. Применение криволинейного элемента смешанного типа длярасчета оболочек. Сб: Расчет упругих конструкций с использованием ЭВМ, т.1, JL, Судостроение, 1974.

61. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложения в технике, Гостех-издат, 1949.

62. Власов В.З. Основные дифференциальные уравнения общей теории упругих оболочек // Прикладная математика и механика, т.8, вып.2, 1944.

63. Власов В.З., Леонтьев Н.Н. Балки, плиты и оболочки на упругом основании. -М., 1960.

64. Габбасов Р.Ф. О разностных уравнениях в задачах прочности и устойчивости плит // Прикладная механика, 1982, T.XVIII, №9, с. 63-67.

65. Габбасов Р.Ф. О разностных формах метода последовательных аппроксимаций. — В кн.: Численные методы решения задач строит.механики. -К.: Изд-во КИСИ, 1978, с. 73-126 с.

66. Габбасов Р.Ф. О численно-интегральном методе решения краевых задач строительной механики для дифференциальных уравнений в частных производных. Сб.: Исследования по теории сооружений, вып.22, М., Стройиздат, 1976.

67. Габбасов Р.Ф. Об интегральной и дифференциальной формах численного метода последовательных аппроксимаций // Строительная механика и расчет сооружений, №3, 1978.

68. Габбасов Р.Ф. Об одном численном методе расчета пологих оболочек // Строительная мех. и расчет сооружений, 1976, №3, с. 15-18.

69. Габбасов Р.Ф. Применение теории сплайнов к задачам строительной механики. Труды МИСИ, №157, 1978.

70. Габбасов Р.Ф. Применение численно-интегрального метода к расчету плит на упругом основании // Прикладная механика, т. 12, №10, 1976.

71. Габбасов Р.Ф. Численное решение задач строительной механики с разрывными параметрами. Дисс. на соискание уч. степени докт.тех.наук.1. М., МИСИ, 1989.

72. Габбасов Р.Ф., Уварова Н.Б. Расчет плит на локальные нагрузки численным методом последовательных аппроксимаций. Труды МИСИ, №156, 1978.

73. Габбасов Р.Ф., Шрамко В.В. О расчете пологих оболочек численным методом последовательных аппроксимаций // Известия ВУЗов, Строительство и архитектура, № 9, 1977.

74. Габбасов Р.Ф., Шрамко В.В. Расчет плит и пологих оболочек на действие локальной нагрузки численным методом последовательных аппроксимаций // Сопротивление материалов и теория сооруж., 1979, в XXXV, К.: Будивельник, с. 132-137.

75. Габбасов Р.Ф., Егер В., Шрамко В.В. О численном решении задач с особенностями в теории тонких изгибаемых плит // Доклады X Международного конгресса по применению математики в инженерных науках, т.4, Веймар, 1984, с. 12-14.

76. Габбасов Р.Ф., Нгуен Х.Д. К расчету пологих оболочек численным методом последовательных аппроксимаций (МПА) // Вестник МГСУ №1, М., 2008. с. 151-157.

77. Гаранин Л.С. Расчет пологих оболочек. -М., Стройиздат, 1964.

78. Глейзер М.А., Кулюшин A.M. Натурные испытания оболочки двоякой положительной кривизны на сосредоточенные нагрузки. Сб.: Пространственные конструкции в Красноярском крае. —Красноярск, 1965. с. 42-59.

79. Голованов А.И., Корнишин М.С. Введение в методе конечных элементов статики тонких оболочек. -Казань, 1989.

80. Голованов А.И., Тюленева О.Н., Шигабутдинов А.Ф. Метод конечных элементов в статике и динамике тонкостенных конструкций. -М., Физ-матлит, 2006.

81. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек. -М., Наука, 1976.

82. Городецкий А.С. К расчету комбинированных систем методом конечных элементов. Сб.: Сопротивление материалов и теория сооружений, вып. 16, Киев, 1972.

83. Городецкий А.С. К расчету пространственных тонкостенных конструкций методом конечных элементов. Труды ЗНИИЭП, вып.2, Киев, 1971.

84. Городецкий А.С. Расчет пространственных тонкостенных конструкций методом конечных элементов. Сб.: ЭВМ в исследовании и проектировании объектов строительства, Киев, 1974.

85. Городецкий А.С. Численная реализация метода конечных элементов. Сб.: Сопротивление материалов и теория сооружений, вып.20, Киев, 1973.

86. Горщукова Т.Н., Михайлова Е.И., Павилайнен В .Я. Расчет на ЭЦВМ пологих оболочек двоякой кривизны. Сб.: ЭЦВМ в строительной механике, JI.-M., Стройиздат, 1966.

87. Горячев О.А. К расчету пологих оболочек переменной толщины методом сеток. Труды КАИ, вып.54, Куйбышев, 1971.

88. Григорьев И.В., Прокопьев В.И., Твердый Ю.В. Деформирование, устойчивость и колебания оболочечных конструкций. -М., АСВ, 2007.

89. Гулин Б.В., Терентьев Н.Н. Метод сеток с локальными концентраторами. Труды семинара по теории оболочек, вып.4, Казань, 1974.

90. Дашевский Е.М., Борисковский В.Г. Определение поля напряжений у сквозных трещин в изгибаемых пластинах // Проблемы прочности, №10, 1976.

91. Даревский В.М. Определение перемещений и напряжений в цилиндрической оболочке при локальных нагрузках. -В кн.: Прочность и динамика авиационных двигателей. -М.: Машиностроение, 1964, с.23-83.

92. Даревский В.М. Контактные задачи теории оболочек (действие локальных нагрузок на оболочке) // Tp.VI Всесоюзной конференции по оболочек и пластин. -М.: Наука, 1966, с.927-934.

93. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. М., Наука, 1967.

94. Державин Б.П. Применение полиномов Чебышева в задачах строительной механики. Труды МИИТ, вып. 194, М., 1966.

95. Дерябин И.С., Михайлов Б.К. Расчет пологой оболочки, прямоугольной в плане, с различными вариантами закрепления контура на симметричные нагрузки. Труды ЛИСИ, вып.74, Л., 1972.

96. Дикович В.В. Пологие прямоугольные в плане оболочки вращения. —М., Стройиздат, 1960.

97. Длугач М.И. К построению систем конечноразностных уравнений для расчета пластин и оболочек // Прикладная механика, т.8, №1, 1974.

98. Длугач М.И. Некоторые вопросы применения метода сеток к расчету пластин и оболочек на ЭЦВМ. Сб.: ЭЦВМ в строительной механике, Л — М., Стройиздат, 1966.

99. Длугач М.И. Основные положения расчета цилиндрической оболочки с прямоугольными отверстиями методом конечных разностей // Прикладная механика, т.6, №3, 1960.

100. Длугач М.И., Ковальчук Н.В. Метод конечных элементов в применении к расчету цилиндрических оболочек с прямоугольными отверстиями // Прикладная механика, т.9, №11, 1973.

101. Длугач М.И., Шинкарь А.И. Применение ЭВМ к расчету многосвязных областей и оболочек с отверстиями. Сб.: Теория пластин и оболочек, Киев, 1962.

102. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. -М.: Наука, 1980.

103. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М., Мир, 1975.

104. Зенкевич О. Метод конечных элементов; от интуиции к общности. Механика /Сб. переводов/, М., Мир, №6, 1970.

105. Зенкевич О., Чанг И. Метод конечных элементов в теории сооружений и механике сплошных сред. -М., Недра, 1974.

106. Ю.Зуев Б.И., Капустин С.А., Киселев JI.K., Трубицын В.А. Сравнение некоторых моделей конечных элементов при анализе тонкостенных пространственных конструкций. Сб.: Метод конечных элементов в строительной механике, ГТУ, Горький, 1975.

107. Ш.Ильин В.П., Карпов В.В., Масленников A.M. Численные методы решения задач строительной механики. Москва Санкт - Петербург, 2005.

108. Камель Х.А., Эйзенштейн Г.К. Автоматическое построение сетки в двух и трехмерных составных областях. Сб.: Расчет упругих конструкций с использованием ЭВМ. Л., Судостроение, 1974.

109. Кантин Г., Клауф Р. Искривленный дискретный элемент цилиндрической оболочки, РТиК, т.6, №6, 1968.

110. Канторович JI.B., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. М., Гостехиздат, 1949.

111. Каплун А.Б., Морозов Е.М., Олферьева М.А. ANSYS в руках инженера.1. М., УРСС, 2003.

112. Карпиловский ВС, Криксунов Э.З., Маляренко А.А. и др. SCAD OFFICE. Вычислительный комплекс SCAD. М., АСВ, 2007.

113. Карпов В.В. Геометрически нелинейные задачи для пластин и оболочек и методы их решения. Москва Санкт - Петербург, 1999.

114. Карпов В.В., Игнатьев О.В., Сальников А.Ю. Нелинейные математические модели деформирования оболочек переменной толщины и алгоритмы их исследования. Москва Санкт - Петербург, 2002.

115. Карпов В.В., Коробейников А.В. Математические модели задач строительного профиля и численные методы их исследования. Москва Санкт -Петербург, 1999.

116. Каупер Г.Р., Линдберг Г.М., Олсон М.Д. Конечный элемент треугольной формы для расчета пологой оболочки, РТиК, № 8, 1970.

117. Кевин Форсберг. Оценка методов конечных разностей и конечных элементов в применении к расчету произвольных оболочек. Сб.: Расчет упругих конструкций с использованием ЭВМ, т.2. Л., Судостроение, 1974.

118. Кей С.В., Бейсинджер З.Е. Расчет тонких оболочек на основе метода конечных элементов. Сб.: Расчет упругих конструкций с использованием ЭВМ, т.1. Л., Судостроение, 1974.

119. Кисляков С.Д. К теории пологих оболочек двоякой кривизны // Строительная механика и расчет сооружений, №1, 1963.

120. Колкунов Н.В. Основы расчета упругих оболочек. -М, Высшая школа, 1987.

121. Колчунов В.И., Пятикрестовский К.П., Клюева Н.В. Пространственные конструкции покрытий. -М., АСВ, 2008.

122. Коренев Б.Г. Метод компенсирующих нагрузок в приложении к задачам о равновесии, колебаниях и устойчивости плит и мембран, МПП, т.4, вып.5-6, 1940.

123. Кохреидзе П.И. К вопросу расчета пологих оболочек при использовании балочных функций. Труды ГПИ, вып. 175, Тбилиси, 1975.

124. Красюков В.П. Расчет пологих оболочек методом конечных разностей. Научные записки КГУ, т. 16, вып. 16, Киев, 1957.

125. Красюков В.П. Расчет пологих оболочек, перекрывающих прямоугольный план, методом конечных разностей. Прикладная механика, т.4, №2, 1958.

126. Лащеников Б.Я. К вопросу о решении дифференциального уравнения устойчивости сжатой пластины переменного сечения с помощью интегральной матрицы. Труды МИИТ, вып. 164, М., 1963.

127. Лащеников Б.Я. Применение метода интегральной матрицы при разрывных и обобщенных функциях. Труды МИИТ, вып. 174, М., 1963,

128. Лащеников Б.Я. Применение тригонометрического интерполирования в задачах строительной механики. Труды МИИТ, вып. 131, М., 1961.

129. Ле Ван Тхань. Расчет квазицилиндрических оболочек на прочность и устойчивость. Дисс. канд.тех.наук. -М., 2006.

130. Леонтьев А.Н., Леонтьев Н.Н., Бен Хелал Монсеф. Расчет тонкостенных пространственных систем, взаимодействующих с упругой средой. Сб. ст. МГСУ. М., 2000. с.46-50.

131. Лизин В.Т., Пяткин В.А. проектирование тонкостенных конструкций, 3-е издание, М., Машиностроение, 1994.

132. Лукаш П.А. Расчет пологих оболочек и плит с учетом физической и геометрической нелинейности. Сб.: Расчет конструкций, работающих в упруго-пластической стадии. -М., Госстройиздат, 1961.

133. Маркус Г. Теория упругой сетки и ее приложение к расчету плит и безбалочных перекрытий. -М., Госстройиздат, 1936.

134. Масленников A.M. Расчет плит на основе дискретной расчетной схемы // Известия ВУЗов, Строительство и архитектура, №6, 1966.

135. Масленников A.M. Расчет плит смешанным методом на основе дискретной схемы // Доклады 25 научной конференции ЛИСИ, Л., 1967.

136. Масленников A.M. Расчет тонких плит методом конечных элементов. Труды ЛИСИ, вып.57, Л., 1968.

137. Маслов АЛ. Развитие высокоточных схем метода конечных элементов и их применение в расчете плит и пологих оболочек. Канд. дис., Харьков, 1976.

138. Меламед Э.Ш. Расчет тонких оболочек с использованием конечного элемента естественной кривизны. Труды МИИТ, вып.342, М., 1969.

139. Мизин Б.М. Задача о напряженном состоянии пологих оболочек. Сб.: Исследование надежности железобетонных конструкций, Куйбышев, 1974.

140. Милейковский И.Е. К расчету пологих оболочек на ЭЦВМ // Строительная механика и расчет сооружений, 1965, №4, с. 1-5.

141. Милейковский И.Е. Расчет оболочек и складок методом перемещений. -М., Госстройиздат, 1960.

142. Милейковский И.Е., Булгаков В.А. Применение вариационного метода перемещений в форме метода конечных элементов к расчету плит и пологих оболочек. Труды ЦНИИСК, вып.38, М., 1975.

143. Милейковский И.Е., Кальмейер А.Ф. Расчет пологих оболочек с большим прямоугольным отверстием. Сб.: Сопротивление материалов и теория сооружений, вып. 16, Киев, 1972.

144. Милейковский И.Е., Купар А.К. ГИПАРЫ расчет и проектирование пологих оболочек покрытий в форме гиперболических параболоидов. -М., Стройиздат, 1977.

145. Милейковский И.Е., Райзер В.Д., Достанова С.Х., Кашаев Р.И. Нелинейные задачи расчета оболочек покрытия. -М., Стройиздат, 1976.

146. Михайлов Б.К. Пластинки и оболочки с разрывными параметрами. -Л.: Изд-во Ленинградского университета, 1980.

147. Музыченко Ю.Н. Изгиб и устойчивость прямоугольных пластин, ослабленных прямоугольными вырезами. Труды 4 Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. Ереван, 1964.

148. Музыченко Ю.Н., Бабаян В.Р. Расчет пологой оболочки методом уточненных конечных разностей. Сб.: Расчет оболочек и пластин, Ростов-на-Дону, 1975.

149. Мухадзе Л.Г. К расчету пологой свободно опертой оболочки. Труды института строительного дела АН ГССР, вып.7, Тбилиси, 1959.

150. Мухадзе Л.Г. Расчет пологих оболочек с применением обобщенного метода Мориса Леви. Сообщения АН ГССР, вып.31, №2, 1963.

151. Муштари Х.М., Галимов К.З. Нелинейная теория упругих оболочек. Казань, ТАТКНИГОИЗДАТ, 1957.

152. Назаров А.А. К теории тонких пологих оболочек. ПММ, т. 13, вып.5, 1949.

153. Назаров А.А. Основы теории и методы расчета пологих оболочек. — М — Л., Стройиздат, 1966.

154. Назаров А.А. Уравнения равновесия пологих оболочек и их приложения. ПМ, т.2, вып.З, АН УССР, 1956.

155. Нарец Л.К. Расчет пластинок по Э-методу. Труды ТПИ, серия А, вып. 257, Таллин, 1967.

156. Никиреев В.М., Шадурский B.JI. Практические методы расчета оболочек. М., Издательство литературы по строительству, 1966.

157. Новожилов В.В. Теория упругости. -JL, Судпромгиз, 1958.

158. Петров Ю.П. Дискретный метод расчета на прочность пологих оболочек двоякой кривизны, прямоугольных в плане. Сб.: Динамика и прочность машин, вып.4, Харьков, 1966.

159. Попов О.Н., Моисеенко М.О. Решение нелинейных задач по определению напряженно-деформированного состояния разномодульных гибких пластин и пологих оболочек, подкрепленных ребрами. Строительная механика и расчет сооружений, №5, 2007.

160. Постнов В.А. Численные методы расчета судовых конструкций. -Л., Судостроение, 1977.

161. Постнов В.А., Хархурим И.Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций.-Л., Судостроение, 1974.

162. Пратусевич Я.А. Вариационные методы в строительной механике. -М., Госстройиздат, 1948.

163. Пратусевич Я.А. О выборе подходящих функций при вариационном методе расчета пологих оболочек. Труды МИИТ, вып.102, М., 1959.

164. Пухонто Л.М. О расчете пологой оболочки на действие сосредоточенной силы // Известия ВУЗов, Строительство и архитектура, №6, 1960.

165. Рабинович Р.И. Некоторые задачи о колебаниях пластинок и пологих оболочек при конечных прогибах. Труды МИСИ, №53, М., 1968.

166. Рабинович Р.И. Применение метода конечных разностей с неравномерным шагом сетки для расчета пологих оболочек. Сб.: Железобетонные конструкции промышленных зданий, вып.2, М., 1970.

167. Райссман К. Метод конечных разностей как вариант метода конечных элементов. Труды ЛЕСИ, вып.85, Л., 1973.

168. Рекшинский B.C., Мизин Б.М. Расчет пологих оболочек на действие местной нагрузки // Известия ВУЗов, Строительство и архитектура, №3, 1970.

169. Рекшинский B.C., Толкачев А.П. Уточненные разностные уравнения для расчета пластин, находящихся под действием сосредоточенных сил // Известия ВУЗов, Строительство и архитектура, №8, 1968.

170. Ржаницын А.Р. Пологие оболочки и волнистые настилы /некоторые вопросы теории и расчета/. М., Госстройиздат, 1960.

171. Рогалевич В.В. Решение нелинейных задач изгиба пластин с использованием кубических сплайнов // Строительная механика и расчет сооружений, №5, 1977.

172. Розин Л.А. Метод конечных элементов в строительной механике // Строительная механика и расчет сооружений, №5, 1972.

173. Розин Л.А. Основы метода конечных элементов в теории упругости. Л., ЛПИ, 1972.

174. Розин Л.А. Расчет гидротехнических сооружений на ЭЦВМ. Метод конечных элементов. М., Энергия, 1971.

175. Розин Л.А. Стержневые системы как системы конечных элементов. Л., ЛПИ, 1976.

176. Рябов Н.С. Расчет пластинок и оболочек методом последовательных приближений. Сб.: Расчет тонкостенных пространственных конструкций, М., Стройиздат, 1964.

177. Саргсян А.Е. Сопротивление материалов, теории упругости и пластичности. М., 2000.

178. Саргсян А.Е., Демченко А.Т., Дворянчиков Н.В., Джинчвелашвили Г.А. Строительная механика. М., Высшая школа, 2000.

179. Сахаров А.С., Соловей Н.А. Исследование сходимости метода конечных элементов в задачах пластин и оболочек. Сб.: Пространственные конструкции зданий и сооружений, вып.З, М., 1977.

180. Сейфулаев Х.К. К расчету пологих оболочек с большим прямоугольным отверстием //Известия ВУЗов, Строительство и архитектура № 6, 1976.

181. Сейфулаев Х.К. О граничных условиях при расчете пологих оболочек с плоским прямоугольным контуром. Ученые записки Азербайджанского политехнического института, №1, 1966.

182. Семенов А.А., Габитов А.И. Проектно-вычислительный комплекс SCAD в учебном процессе. М., АСВ, 2005.

183. Серпик И.Н. Высокопроизводительные многосеточные алгоритмы строительной механики тонкостенных конструкций. -М., АСВ, 2005.

184. Сидоров В.Н. Лекции по сопротивлению материалов и теории упругости. М.: редакционно-издательский центр Генерального штаба Вооруженных Сил Российской Федерации, 2002.

185. Сидоров В.Н., Золотов А.Б., Акимов П.А. Мозгалева М.Л. Дискретно-континуальный метод конечных элементов для расчета строительных конструкций, зданий, сооружений // Известия ВУЗов. Строительство, №10, 2004.

186. Слезингер И.Н. К расчету тонких пологих оболочек с прямоугольным планом. Сб.: Исследования по теории сооружений, вып.18, М., Стройиздат, 1970.

187. Смирнов А.Ф. Устойчивость и колебания сооружений. -М., Трансжел-дориздат, 1958.

188. Смирнов А.Ф. Численный метод расчета круглой пластинки переменной толщины при полярно-симметричной нагрузке. Труды МИИТ вып. 194, -М., 1966.

189. Смирнов А.Ф. Численный метод расчета на устойчивость пластин переменной толщины. Труды МИИТ вып. 164 М., 1963.

190. Смирнов А.Ф., Александров А.В., Лащеников Б.Я., Шапошников Н.Н. Расчет сооружений с применением вычислительных машин. —М.: Стройиздат, 1964.

191. Смирнов В.А. Расчет пластин сложного очертания, -М., Стройиздат, 1978.

192. Смирнов В.А. Численный метод расчета трехслойных панелей на статические нагрузки. Труды МАРХИ, вып.З, М., 1971.

193. Смирнов В.А., Численный метод решения некоторых краевых задач теории упругости для дифференциальных уравнений в частных производных. Сб.: Исследования по теории сооружений, вып. 17, М., Стройиздат, 1969.

194. Смоляк С.А. Сплайны и их применение // Экономика и математические методы, 1971, т.7, № 8, с.419-431.

195. Справочник по теории упругости, под ред. Варвака П.М. и Рябова А.Ф. Киев: Будивельник, 1971.

196. Справочник проектировщика. Расчетно-теоретический, под ред. Уман-ского А.А. -М.: Стройиздат, кн.1 -1972.кн.2 —1973.

197. Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. -М., Наука, 1976.

198. Столыпин Н.Н. К расчету пологой оболочки на линейные и полосовыенагрузки. Труды ЦНИИСК, вып. 35, М., 1974.

199. Стрельбицкая А.И. О влиянии сгущения сетки на результаты расчета пологих оболочек // Прикладная механика, т. 13, №3, 1977.

200. Суров K.JI. Расчет пологих тонких оболочек в усилиях // Строительная механика и расчет сооружений, №5, 1975.

201. Суров K.JL, Борзых Е.П. Расчет пологой тонкой оболочки в рядах при произвольных граничных условиях // Известия ВУЗов, Строительство и архитектура, №3, 1975.

202. Тепавичаров А.Д. К расчету пологих прямоугольных в плане оболочек двоякой кривизны // Строительная механика и расчет сооружений, №1, 1973.

203. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости, перев. с анлг. -М.: Наука, 1975.

204. Тимошенко С.П. Курс теории упругости. -Киев, Наукова думка, 1972.

205. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. -М., Наука, 1966.

206. Трушин С.И. Метод конечных элементов. Теория и задачи. -М., АСВ, 2008.

207. Угодчиков А.Г., Длугач М.И., Степанов А.Е. Решение краевых задач плоской теории упругости на цифровых и аналоговых машинах. -М., Высшая школа, 1970.

208. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры.-М.: Физматгиз, 1963.

209. Федоров Ю.П. Расчет оболочек с защемленными и шарнирными кромками. Труды МАДИ, вып. 124, М., 1976.

210. Федоров Ю.П. Расчет пологой оболочки с шарнирными кромками методом прямых. Труды МАДИ, вып. 107, М., 1975.

211. Филин А.П. Расчет оболочек на основе дискретной расчетной схемы

212. МКЭ/ с применением ЭЦВМ. Сб.: Большепролетные оболочки, т.1, М., Стройиздат, 1969.

213. Филиппов А.П., Бултаков В.Н., Воробьев Ю.С., Кантор Б.Я., Юрченко Г.А. Численные методы в прикладной теории упругости. Киев, 1968.

214. Фрадлин Б.Н., Шахновский С.М. О решении дифференциального уравнения равновесия прямоугольной в плане пологой оболочки по методу М.Леви при различных закреплениях ее контура // Известия КПИ, вып.31, Киев, 1961.

215. Фрид И., Ионг O.K. Наилучшее распределение конечных элементов вокруг особенностей. РТиК, №9, 1972.

216. Хечумов Р.А., Нафасов Э. Расчет пологих оболочек в цилиндрических координатах. М., Стройиздат, 1991.

217. Хечумов Р.А., Кеплер X., Прокопьев В.И. Применение метода конечных элементов к расчету конструкций. -М., АСВ, 1994.

218. Хренников А., Тецкан С. Расчет цилиндрических оболочек методом конечных элементов. Сб.: Большепролетные оболочки, т.1, М., Стройиздат, 1969.

219. Христенко А.С., Калько А.Э. Расчет прямоугольной в плане пологой оболочки с помощью двойных тригонометрических рядов при локальной нагрузке. Труды Николаевского кораблестроительного института, №46, 1971.

220. Чаусов Н.С. Применение ЭВМ при расчете инженерных сооружений. М., Госстройиздат, 1962.

221. Чернева И.М. Стержневая расчетная схема пластин и оболочек и метод конечных элементов. Труды ЛИИЖТ, вып.284, Л., 1968.

222. Шаишмелашвили В.Н. К приближенному расчету пологих оболочек. Труды института строительного дела АН ГССР, вып., Тбилиси, 1959.

223. Шаишмелашвили В.Н. О некоторых методах расчета пологих оболочек.

224. Труды института строительного дела АН ГССР, вып.5, Тбилиси, 1955.

225. Шаишмелашвили В.Н. Расчет вспарушенной плиты методом конечных разностей. Труды научных корреспондентов института строительного дела АН ГССР, вып.2, Тбилиси, 1958.

226. Шаишмелашвили В.Н. Расчет пологих оболочек методом полос // Сообщения АН ГССР, т. 18, №2, Тбилиси, 1957.

227. Шайкевич В.Д. Сплайн-аппроксимация при определении перемещений упругих систем // Известия ВУЗов, Строительство и архитектура, №3,1975.

228. ИГайкевич В.Д. Теория сплайнов и некоторые задачи строительной механики // Строительная механика и расчет сооружений, №6, 1974.

229. Шапошников Н.Н. Некоторые свойства матриц реакций для прямоугольника и использование их для решения задач по методу конечного элемента. Тр. МИИТ, 1973, в.422, с. 183-192.

230. Шапошников Н.Н. Расчет пластинок на изгиб методом конечных элементов. Труды МИИТ, вып.260, М., 1968, с. 134-144.

231. Шапошников Н.Н., Волков А.С. Расчет пластинок и коробчатых конструкций методом конечных элементов // Исследования по теории сооруж.,1976, в. XXII. -М.: Стройиздат, с. 134-146.

232. Шимкович Д.Г. Расчет конструкций в MSC.visualNastran for Windows. -М., ДМК, 2004.

233. Шрамко В.В. Развитие численного метода последовательных аппроксимаций применительно к расчету пологих оболочек и пластин. Дисс. на соискание уч. степени канд.тех. наук. -М., МИСИ, 1979.

234. Argyris J.H., Kelsey Е. Energy Theorems and Structural Analysis. In: Aircraft Engineering, Vols. 26 and 27, 1955.

235. Barraco A. Application de la methode des elements finis au calcul des plaques flechies. "Conrtr.Metal.", №3, 10, 1973.

236. Clough R.W.: The Finite Element in Plane Stress Analysis. Proceedings 2nd A.S.C.E. Conference on Electronic Computation, Pittsburg. Pa. Sept. 1960.

237. Courant R. Variational Methods for the Solution of Problems of Equilibrium and Vibrations. In: Bull. Amer. Math. Soc., Vol. 49 (1943)1. -S. 1-23.

238. Gabbasov R.F. Grundlagen einer numerische Integrationsmethode zur Losung Von Randwertproblemen. Wiss. Zeitsch. Der Techn. Universitat Dresden, 1977, Heft 2, S. 479-781.

239. Gabbasov R.F. Numerische Integrationsmethode zur Losung der Po'issonseben Gleichung. Math. Gesellschaft der DOR, Wiss. Hanpttagung 1974, Vortraganszuge, S. 201-203.

240. Gabbasov R.F. Numerische Integrationsmethode zur Losung von Randwertproblemen der Baumechanik. Wiss. Zeitsch. der Hochsekule fur Areh. unol Bauw. Weimar, 1975, Heft 2, S. 146-148.

241. Gabbasov R.F. Uber eine numerische Methode Zur Losung einer Systems ge-wohulicher Differentialgleichungen ersber Orduung. Wiss. Zeitseb. der Hochsch. fur Arek. und Bauw. Weimar, 1974, Heft 2, S. 163-164.

242. Gabbasov R.F., Koppler H. Vergleich der Losung genaherter Differentialgleichungen fur sebaler in elasbiseber umgebunng mit aneleren Bereebnunags-mebboolen. Wiss. Zeitseb. der Hochsch. fur Arek. und Bauw. weimar, 1974, Heft 3/4, S. 321-325.

243. Gabbert U. Die Methode der fmiten Elemente zur Berechunag axialsymmetri-scher Korper. Wiss. Zeitseh. Techn. Hochschule O. Gueriche Magdeburg, 1972, 16, №4, S. 311-322.

244. Gienche E. Ein einfacher finites verfahren zur Berechnung von Flacbentra-werke. Wiss. Zeitseb. Der Hockseh. fur Arch, und Bauw. Weimar, 1969, Heft3,S. 65-80.

245. Hampe E. Mathematische Verfahren in der Bautechnik. V. JKM, Berichten, Weimar, 1969, S. 17-28.

246. Karamauski T.D. Eine Methode zur Bildung von Differenansdriichen miterhokter Genauigkeit. V - JKM, Berichte, Weimar, 1969, S. 187-192.

247. Koppler H.: Die Methode der finiten Elemente als Spezialfall der RITZschen Methode zur Losung von Variationsaufgaben. -In: Wiss. Zeitschrift d. HAB Weimar. Weimar 20, 1973, Heft 1, S. 101-102.

248. Przemienieski J.S. Theory of matrix Structural Analysis N.Y., "Mo-Graw-Hill Book Company", 1968.

249. Turner M.J. Clough R.W. Martin H.C. Topp L.J. Stiffness and deflection analysis of Complex Structures. "J.aero.Sci.", №23, 1956.