автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Устойчивость перфорированных пластин и складчатых систем

На правах рукописи

ЗАВЬЯЛОВА НАТАЛЬЯ ВИКТОРОВНА

УСТОЙЧИВОСТЬ ПЕРФОРИРОВАННЫХ ПЛАСТИН И СКЛАДЧАТЫХ СИСТЕМ

05.23.17 - Строительная механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук • ,

Томск - 2008

003458466

Работа выполнена в государственном образовательном учереждении высшего профессионального образования Сибирской государственной автомобильно-дорожной академии, г.Омск

Научный руководитель доктор технических наук, профессор

Кадисов Григорий Михайлович

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Люкшин Борис Александрович

кандидат технических наук, доцент

Моисеенко Ростислав Павлович

Ведущая организация ГОУ ВПО Омский

государственный университет путей сообщения

Защита состоится 23 января 2009 года в 1400 на заседании диссертационного совета Д 212.265.01 при ГОУ ВПО Томском государственном архитектурно-строительном университете по адресу. 634003, г. Томск, пл. Соляная, 2, ауд.307/5.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ГОУ ВПО Томского государственного архитектурно-строительного университета.

Автореферат разослан « /6 » декабря 2008 года.

Ученый секретарь диссертационного совета

Копаница Н.О.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Тонкие конструкции типа пластин в настоящее время находят широкое применение в строительстве промышленных и гражданских зданий, судостроении, машиностроении, ракетной и космической технике. Важная роль при этом отводится вопросам расчёта пластин и складчатых систем при наличии вырезов.

Разработкой методов расчёта по определению плоского напряженно-деформированного состояния пластин с отверстиями занимались: Александров

A.B., Безухов Н.И., Булия Н.П., Вайнберг Д.В., Варвак П.М., Григолюк Э.И., Касумов A.A., Савин Г.Н., Фильштинский И.А. и другие. Проблеме устойчивости прямоугольных пластин посвящены исследования Алфутова H.A., Аманова К., Бочкарева А.О., Вольмира А.С, Даревской Е.В., Кадисова Г.М., Коренева

B.Г., Клюшникова В.Д., Кан С.Н., Ляховича Л.С., Липкина В.И., Музыченко Ю.Н., Смирнова А.Ф., Сливкера В.И., Тимошенко С.П. и другие.

Анализ представленных выше работ и результатов исследований пластин различными методами указывает на недостаточную изученность определения плоского напряженно-деформированного состояния, устойчивости прямоугольных пластин конечных размеров с прямоугольными вырезами при действии нагрузок вызывающих как изгибное, так и плосконапряженное состояние. Недостаточно изучены вопросы устойчивости пластин с прямоугольными вырезами при различном расположении вырезов и действии внешней нагрузки.

Актуальной является задача по разработке метода расчёта на устойчивость складчатых систем в элементах которых имеются вырезы. Алгоритм, разработанный в данной работе, позволяет производить расчёты нестандартных складчатых конструкций, элементы которых имеют вырезы, и в виду уникальности требуют специального расчёта.

Объект: складчатая система, содержащая перфорированные элементы. Предмет: установление влияния нагрузки и геометрических характеристик элементов складчатой системы на её устойчивость.

Целью диссертационной работы является совершенствование метода расчёта на устойчивость складчатой конструкции с прямоугольными вырезами при изменении геометрических характеристик её элементов и с учётом изменения внешнего нагружения. Задачи:

1. Исследование плоского напряженно-деформированного состояния прямоугольной пластины с вырезом с различными граничными условиями методом перемещений совместно с методами расширения заданной системы, компенсирующих нагрузок и с применением функций Грина.

2. Решение задач устойчивости складчатых систем с прямоугольными вырезами при разных вариантах действия внешней нагрузки, расположения и размеров вырезов.

з. Численная реализация на ЭВМ и сравнение результатов с решениями, полученными известными методами. Научная новизна работы заключается в следующем:

1. В аналитической форме разработан и численно реализован метод расчёта складчатых систем с вырезами методом перемещений совместно с методом расширения заданной системы, компенсирующих нагрузок и функций Грина. Построены функции Грина (функции влияния перемещений и напряжений) для плоского напряженного состояния прямоугольной пластины при шарнирном опирании поперечных кромок и при различных граничных условиях на продольных.

2. Записано выражение энергии складчатой конструкции с учетом наличия вырезов в элементах, находящейся под действием внешней силовой нагрузки. Установлено влияние способов приложения внешней нагрузки, расположения и размеров вырезов на устойчивость складчатой системы.

3. Проведен анализ сходимости и точности метода и даны рекомендации по усечению тригонометрических рядов в функциях перемещений и оптимальному разбиению пластины на полосы.

Практическое значение и реализация результатов работы состоит в разработке алгоритма расчёта плоского напряженно-деформированного состояния перфорированных пластин, использовании энергетического вариационного метода расчёта на устойчивость пространственных складчатых систем, содержащих пластины с вырезами. По единому алгоритму разработанного метода можно, в частном случае, решать задачу плоского напряженного состояния и устойчивости прямоугольных сплошных и перфорированных пластин, а также складчатых систем, элементы которых имеют вырезы. Полученные матрицы Грина для плоского напряженно-деформированного состояния и изгиба, позволяют построить поверхности влияния напряжений, перемещений и усилий при действии сосредоточенной силы в срединной плоскости для пластин конечных размеров с учётом краевых условий. Программа вычислений использована непосредственно на практике реального проектирования конструкций. Результаты исследований использованы в НПО «Мостовик» (г. Омск) и в учебном процессе, а также в научно-исследовательской работе студентов, аспирантов Сибирской государственной автомобильно-дорожной академии. На защиту выносятся:

1. Метод определения плоского напряженно-деформированного состояния пластин с отверстиями.

2. Определение критических параметров при расчёте на устойчивость складчатых систем с прямоугольными вырезами.

Личное участие автора в получении результатов, изложенных в диссертации, состоит в разработке метода расчёта на устойчивость складчатых систем с вырезами и исследовании плоского напряженно-деформированного состояния

прямоугольных перфорированных пластин, построении матриц Грина для прямоугольных пластин с различными граничными условиями. Разработана программа численной реализации метода, которая апробирована на тестовых задачах исследования влияния внешней нагрузки, размеров и расположении вырезов в складчатой системе на устойчивость.

Достоверность результатов проведенных исследований обеспечивается корректным использованием теории тонких пластин, энергетического метода. Научные положения, выводы, численные результаты, сформулированные в диссертации, не противоречат результатам, полученным по известным методам. Апробация работы. Доклады по материалам диссертации были сделаны на научном семинаре кафедры «Строительная механика» СибАДИ (г.Омск 2007, 2008г.), на XXI международной конференции «Математическое моделирование в механике сплошных сред. Метод граничных элементов», 4-7 октября 2005г, Санкт-Петербург, Всероссийской научно-технической конференции «Роль механики в создании эффективных материалов, конструкций и машин XXI века», Омск, 2006; Всероссийской научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых учёных «Проблемы проектирования, строительства и эксплуатации транспортных сооружений». 24-26 мая 2006г., Омск, СибАДИ; международном симпозиуме «Актуальные проблемы компьютерного моделирования конструкций и сооружений», г. Нижний Новгород, июнь 2007г; 1-ой Всероссийской научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых учёных «Проблемы проектирования, строительства и эксплуатации транспортных сооружений», 24-26 мая 2006г., Омск, СибАДИ; Н-ой Всероссийской научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых учёных «Развитие дорожно-транспортного комплекса и строительной инфраструктуры на основе рационального природопользования», Омск 23-24 мая 2007 г, СибАДИ; 1-ой Всероссийской конференции «Проблемы оптимального проектирования сооружений», 8-10 апреля 2008г., Новосибирск. Публикации. По результатам выполненных исследований имеется 14 публикаций, в том числе 11 статей, из них 2 входящие в перечень ВАК (объем 15 страниц). В работах с соавтором личный вклад состоит 50-70%. Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения^ четырех глав, заключения, списка литературы. Объем диссертации 148 страниц. Список использованной литературы содержит 112 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы, сформулированы цели и задачи исследования.

В первой главе приведен краткий обзор и анализ работ, посвященных определению плоского напряженно-деформированного состояния в пластинах имеющих вырезы. Рассмотрены работы в которых содержатся вопросы устойчивости пластин с вырезами и перфорированных пластин. Проанализирован

ряд работ в которых функции Грина применены к расчёту прямоугольных пластин.

Из сделанного обзора следует необходимость в исследовании на устойчивость складчатых систем, имеющих пластины с прямоугольными вырезами. Во второй главе приводится расчёт прямоугольных пластин с вырезами на статическую нагрузку. Разработанная методика расчёта основывается на методах перемещений, компенсирующих нагрузок и расширения заданной системы с применением функций Грина.

Согласно методу перемещений А.В.Александрова основная система выбирается следующим образом. Заданная система разбивается на элементы узловыми линиями. По всей длине узловых линий вводится система непрерывно распределенных связей, устраняющих все линейные перемещения узловых линий и углы поворота вокруг этих линий. За основные неизвестные принимаются неизвестные функции, выражающие перемещения по направлению введенных связей и определяются из уравнения равновесия узловых линий.

Для прямоугольной пластины, имеющей вырез, расчётная схема принимается как основная система метода перемещений, а в качестве расширенной системы принимается эта же пластина без выреза, и представляется набором попарно жестко соЪдиненных между собой узких сплошных пластин. К расширенной системе кроме заданной нагрузки прикладывается в замкнутой области, совпадающей с вырезом, компенсирующая нагрузка, которая определяется из условия, чтобы в расширенной системе нормальные и касательные напряжения на замкнутом контуре, совпадающем с границей выреза, при совместном действии с внешней нагрузкой равнялись нулю. Запишем это условие в виде:

стг = 0; тг~0. (1)

Тогда напряженное и деформированное состояния расширенной системы, за исключением замкнутой области, будут такими же, как и в заданной пластине. При решении задачи следует назначать фиксированные точки на контуре, в которых будут выполнены равенства (1). Нормальные и касательные напряжения на контуре представлены как результат действия двух нагрузок, заданной и компенсирующей.

Пусть Х- искомый вектор компенсирующей нагрузки, матрица нормальных и касательных напряжений на контуре от единичной компенсирующей нагрузки, - то же от заданной внешней нагрузки. Теперь напишем матричное уравнение для определения искомого вектора компенсирующей нагрузки.

5яХ + в/,=0. (2)

Матрицы 5>г, и определяются путем загружения расширенной системы единичной компенсирующей и заданной нагрузками раздельно. Предварительно определяются амплитуды гармоник перемещений узловых линий из соответствующих уравнений метода перемещений:

Я^^О; Я,г,? + 11,? = 0. (3)

Здесь Яматрица единичных реакций в введенных вдоль узловых линий распределенных связях при деформировании складки вдоль пролета по закону синуса (косинуса) / -й гармоники с единичной амплитудой. Яв, Я,? - матрицы реакций / -й гармоники от единичной компенсирующей нагрузки и от заданной; Ъы, г,? - подлежащие определению векторы амплитуд перемещений узловых линий / -й гармоники от единичной компенсирующей и заданной нагрузок. Из уравнений (3) находим:

= (4)

Матрицы напряжений на контуре определяются суммированием по всем учитываемым в расчете гармоникам:

= = (5)

1.1 1-1

где - матрица влияния напряжений в точках контура при единичных амплитудах перемещений узловых линий для / -й гармоники.

После подстановки 5Л и в уравнение (2) и его решения окончательные напряжения в заданной пластине с вырезом определяем суммированием напряжений от заданной и компенсирующей нагрузки:

.М(х„,уЛР(Х"У|)

.....................................

Рисунок 1 - Схема пластины

¡=1 1-1 • .

Чтобы определить напряжения в окрестности точки от сосредоточенной нагрузки, действующей в срединной плоскости пластины, применены функции Грина. Функция влияния напряжений, перемещений или прогибов называется функцией Грина О (А, В). Она равна напряжению, перемещению или прогибу в произвольной точке А при действии сосредоточенной силы в фиксированной точке В.

Исследуем плоское напряженно-деформированное состояние прямоугольной пластины (рис.1). Решение такой задачи заключается в определении функции напряжений Эри Ф(х,у).

, V? . ПЛХ /-Ч

Обозначим р = 'у-. Для определения функции <р(Р) составлены специальные

базисные функции г], удовлетворяющие в начале координат условиям закрепления продольных кромок пластины. С использованием полученной функции <р, составлены матрица перемещений г(Р)и матрица напряжений Бф)

Пусть го и в0 векторы перемещений и напряжений соответственно в точке

приложения силы, т. е. /?=£ где /? = —= где >>„ - координата точки, в

которой определяется перемещение при приложении сосредоточенной силы в точке с координатой Тогда, из свойства функции Грина о неразрывности кинематических условий можно записать:

ад=г(4)С, С=г'!<£)2о. (8)

Следовательно

2=гда-1 («г„, 5 = эдаг"' (9)

Уравнения (9) описывают зависимость перемещений и напряжений в произвольном сечении с координатой /?<£ от заданного в сечении £ вектора го. Перемещения и усилия при р>£, можно определить по формулам (9), заменяя аргументы Р на р-к, £ на ¿,-к\

Вектор перемещений, определенный формулой (9) на левом участке, удовлетворяет левым краевым условиям, а вектор перемещений при Р-к и £,-к - правым. При этом в точке на границе правого и левого интервалов относительно точки приложения силы оба вектора перемещений равны го-

Из свойства функции Грина о статическом равновесии в точке Р=£ можно записать вектор го1.

= (10) где/- вектор внешних нагрузок приложенных в точке /?=£ Подставляя выражение (9) в (10), выразим вектор т0:

га = {$($)г->(1;)-$(!;-к)1-'(1;-к))' /. (11)

Из данного условия следует, что разность усилий в точке действия сосредоточенной силы равна величине этой силы.

Полагая вектор внешней нагрузки в точке £ единичным, получим следующие матрицы влияния перемещений и напряжений при (/?<£):

и(р,4) = ^\А{г(Р)-Ег(£Г1 (5(4) ■ к ■ 2( $ Г - э(4 - к) ■ и ■ г'(4 - к )ух ]в, ] (12)

М

0(Р,4) = ¿[4 [ж/?) ■ £2-' (4) ■ №4) *))"']■ в, ]

где/? = = = , где ^„-координата точки, в которой определяется

перемещение при приложении сосредоточенной силы в точке с координатой^, ¿-ширина пластины, Ь- толщина пластины, Е- модуль упругости, Л,-, Д-диагональные матрицы:

. , . та.

2 ш, 2 ив,

= ^7СОЗ(--5Ш(-1

(13)

На правом участке /)<к перемещения и напряжения можно определять по формулам (12), заменив аргументу? на ф-к).

Матрицы влияний перемещений и напряжений определяются в зависимости от граничных условий. В работе приведены матрицы для шарнирного закрепления, защемления и свободного опирания продольных кромок.

Аналогично построены функции Грина для прогибов и внутренних усилий прямоугольной пластины в случае изгиба пластины.

ПРИМЕР 1. Рассмотрим случай квадратной пластины с несимметричным вырезом размером а. Размер пластины а=6м, выреза- 6= 1,5м. Расчетная схема представлена в виде складки путем разбиения пластины по высоте на полосы по схеме 1.35+1.8+1.35+1.5м (рис.2). Вырез расположен симметрично относительно горизонтальной оси наиболее широкой полосы.

Вдоль каждой кромки выреза расположена распределенная компенсирующая нагрузка, узловые значения которой определены из условия равенства нулю нормальных ах и касательных г^, напряжений в 15 точках вертикальных кромок выреза, а также нормальных стии касательных тух напряжений в 15 точках горизонтальных кромок. Соответственно назначено 120 неизвестных параметров компенсирующей нагрузки. Расчёт выполнен при 301 гармонике. На рисунке 3 показан график напряжений ах в верхней полосе, обозначенной под №1. Сильные флуктуации напряжений наблюдаются на внешних горизонтальных кромках пластинки. В диссертации приведены поля напряжений по поверхности конструкции, полученные по МКЭ. Шаг разбиения сетки принят 0,1м.

Рисунок 3 - Напряжения с* |-]0 результатам наблюдается концентрация напряжений на контуре вырезов, а также на кромках пластины. Сжимающие нормальные напряжения ох при переходе от верхнего волокна к нижнему плав-

Л"

--------------.....

Рисунок 2 - Схема квадратной пластины

но изменяются на растягивающие. Напряжения ау при приближении к вырезу практически равны нулю, что соответствует заданным условиям на границе выреза.

В третьей главе разработанная методика исследования плоского напряженно-деформированного состояния пластины с вырезом методом перемещений совместно с функциями влияния, метода расширения заданной системы и компенсирующих нагрузок применена при расчёте прямоугольных пластин с вырезом на устойчивость.

Получены матрицы реакций для шарнирно опертой пластинки с вырезом. Получена матрица геометрической жесткости Я/, которая представляется следующим выражением:

Ь <1

' я

О с

О с

(И)

где c,d— расстояния до начала и конца выреза по оси Оу, соответственно,

CCJ„„ = --[sin(n + l- 7')n + sin(n-i + j)iz + sin(n + i+ j)Ti + sin(n - i -2it

SSS,J„ = -'"[sin(n + i- j)li + sin(n - 1 + y)n - sin(n +1 + _/')7t —sin(n— / — j)Jl]

Глобальная матрица геометрической жесткости

if состоит из квадратных

блоков Rf, размерность каждого них равна размерности матрицы реакций R, i-ой гармоники. Полученная система алгебраических уравнений для определения критического параметра нагрузки X имеет вид:

(R-Mr)Z = 0, (15)

где Rr - блочная матрица с блоками Rjjr, Z - матрица-столбец, состоящая из блоков Zj.

Элементы матрицы Rj определяются как реакции при изгибе и плоском напряженном состоянии прямоугольной пластины с шарнирно опертыми поперечными кромками и заданными «единичными» смещениями её продольных кромок по закону синуса и косинуса /-ой гармоники.

При расчёте плоского напряженно-деформированного состояния пластины с вырезом для получения наиболее точного и устойчивого результата необходимо учитывать большое количество гармоник, то есть задача имеет большую размерность. Рассмотрим другой способ расчета, а именно вариационный, при этом понятия расширенной системы и компенсирующей нагрузки не используются. При наличии вырезов для решения задачи устойчивости использован энергетический метод с базисными функциями, являющимися точными решениями граничных задач при плоском напряженно-деформированном состоянии

и изгибе сплошной прямоугольной пластины. Энергия такой пластины в области, совпадающей с вырезом, исключается.

Плотность энергии деформации Эп(х,у) плоского напряженного состояния прямоугольной пластины толщиной /г выразим через функцию напряжений Ф(х.у)-

Э„ = А/(2£)^Ф* + ф)2- 2(1 + ц)[фМ> - ф'ф']), (16)

где Е - модуль упругости, р- коэффициент Пуассона. В случае изгиба такой же пластины плотность энергии деформации эи(х,1/) выразим через функцию прогибов \\'(х,у)\

Э„ =£>/(2£')|И'"+1С)2-2(1-Ц)[»*Я'-^,11'']}. (17)

Здесь о- цилиндрическая жесткость, штрих означает дифференцирование по х, точка - по у.

Функции Ф(х,у) и н'(х,у) представим рядами по синусам с коэффициентами <рЩ, /щ:

Ф(*..у.) = Х<р>8т7а; = (18)

где а = юс/1, р = лу/1.

Подстановка рядов (18) в выражения для плотностей энергии (16), (17) после интегрирования по х и некоторых преобразований дает для энергии продольной полоски единичной ширины следующие формулы:

э» =2^£Е/27гЬ<-ф/Х<Ру-ч>,А-+ +(1 + ю1(ф,Фу+<Р,ФЛ+2Ф,ФЛ-]}; (19)

5» = -//ХЛ-//И + +(1 -Л}(20)

' У

где / = ып; J = jt.ii , для интегралов по продольной координате введены обозначения:

s¡J = ^т/азш]ш1х с= |соз/асоз ]0.с1х . (21)

Коэффициенты в рядах (18) являются функциями <р, =<р(¡0), /, = /(¡р) поперечной координаты и представляют собой амплитуды функции напряжений и прогиба в точках с координатой у. Если напряженно-деформированное состояние пластины вызвано только перемещениями ее продольных кромок. Тогда можно получить базисные функции, удовлетворяющие однородному би-гармоническому уравнению и граничным условиям в виде единичных амплитуд перемещений продольных кромок. В случае плоского напряженного состояния 1-й гармоники амплитуды продольного гп (г„) и поперечного г,2(г,.3) перемещений левой (правой) кромки пластины составляют матрицу-столбец

2(=/г(1,2„,г„,г(47". (22)

Используя соответствующую этим перемещениям матрицу-столбец базисных функций <р, = [<рп,<ра,<Рн''Ри\, запишем амплитудную функцию напряжений в виде:

(Р, = <р]ъ,. (23)

Теперь для энергии полоски можно записать формулу:

3. = + П + А®,+ 2(1 + ц)С„с^ . (24)

/Д / 1

Здесь приняты обозначения для матриц-функций от поперечной координаты:

А„=ГФ,-Ф„1ГФ;-ФУ/; в„ = ф,.фут-ф,<|>;; С^Ф.Ф;. (25)

Получены матрицы жесткости, соответствующие плоскому НДС и изгибу. Матрица реакций при плоском напряженном состоянии прямоугольной пластины и матрица реакций при ее изгибе являются блоками матрицы реакций такой пластины, которая используется при формировании глобальной матрицы реакций тонкостенной конструкции. При определении матриц для пластины с вырезом интегрирование выполняется по всей площади за исключением области, совпадающей с вырезом. После вычисления матрицы реакций и и матрицы жесткости Яг всей системы, решается задача на собственные значения для двух этих матриц. Критический параметр нагрузки равен минимальному корню Лпи уравнения (15).

Таким образом, разработанная методика расчёта пластин с прямоугольным вырезом позволяет определить критические нагрузки в задачах устойчивости, а также исследовать напряженно-деформированное состояние пластин, имеющих концентраторы напряжений.

По энергетическому методу исследовано плоское напряженно-деформированное состояние квадратной пластины с несимметричным вырезом, рассмотренной в п.2. Построены эпюры нормальных и касательных напряжений из сравнения которых наблюдается отличие значений напряжений, полученных энергетическим методом при 81 гармонике и методом компенсирующих нагрузок совместно с функциями Грина при 301 гармонике. Это вызвано тем, что энергетический метод не обеспечивает равенство нулю напряжений на кромках выреза, как и в методе конечных элементов. Плоское напряженно-деформированное состояние при расчёте на устойчивость наиболее рационально определять энергетическим методом, так как число удерживаемых гармоник в этом случае значительно меньше, соответственно уменьшается и размерность задачи.

В четвертой главе приведены примеры расчёта на устойчивость прямоугольных перфорированных пластин и складчатых систем ПРИМЕР 2. Рассмотрим сплошную прямоугольную пластину при действии сжимающей нагрузки,перпендикулярно продольным кромкам. Рассчитаем на устойчивость эту пластину с помощью предложенного алгоритма, когда не учитывается энергия выреза, с помощью программного комплекса на базе МКЭ и по формулам Тимошенко для прямоугольной пластины, сжатой в одном направлении. Рассматривалась свободно опёртая по краям пластина, толщина которой /г=0,1м, ширина Ь, длина а, коэффициент Пуассона ¡1=0,15, модуль упругости Е=1, на продольных кромках а действует равномерно распределенная на-

грузка 9=1кН/м. В МКЭ шаг разбиения на конечные элементы Д принимался равным 0,5м и 0,1м.

Размер пластины Автор МКЭ Тимошенко

а, м Ь, м Д, м й/а'

0,5 0,1

1 2 3 4 5 6

6 6 13,87е -05 13,78е -05 13,76е -05 9,3488е-05

10 6 4,87е -05 4,49е -05 4,51е -05 4,Зе-05

6 10 17,12е -05 17,1е -05 17,09е -05 9,64е-05

Из таблицы 1 видно, что критическая нагрузка, полученная в диссертационной работе, близка к критической нагрузке, вычисленной с помощью МКЭ, что подтверждает достоверность результатов работы. Надо отметить, что в МКЭ значения напряжений вычисляются не в узлах, а берутся осредненными по центру конечного элемента. Этим объясняется незначительная погрешность в полученных результатах. Отклонение от критического значения нагрузки по разработанной методике и формуле Тимошенко может быть объяснено тем, что Тимошенко принимал нормальные напряжения при одноосном сжатии постоянными, одинаковыми во всех точках пластинки, На самом деле напряжения в плоскости пластины зависят от координат (х,у).

ПРИМЕР 3. Для оценки сходимости результатов расчета критической равномерно распределенной на продольных кромках сжимающей нагрузки рассмотрим квадратную пластину с двумя рядами квадратных вырезов, оси которых расположены от горизонтальных кромок на расстоянии, равном четверти длины стороны пластины. Пластина по всем кромкам шарнирно оперта, что соответствует запрещению перемещений из плоскости пластины, и, дополнительно, на вертикальных кромках запрещены и вертикальные перемещения. Это требование соответствует опиранию пластины на поперечные вертикальные диафрагмы, абсолютно жесткие в своих плоскостях и абсолютно гибкие из них. Поэтому вертикальные перемещения в плоском напряженном состоянии, как и прогибы пластины, можно представлять рядами Фурье по синусам. В таблице 2 приведены значения критической нагрузки для пяти вариантов расчетных схем разбиения квадратной пластины на полосы. На рисунке 4 показана расчетная схема с шестью полосами я, = 6 при числе узловых линий п = 7 в соответствии со строкой 4 таблицы 2. В таблице ь = 0.8 м - ширина и высота выреза, % - ширина полосы, содержащей вырезы, n - число гармоник, д - критическая нагрузка. Параметры пластины: сторона квадрата а = 10м.; толщина ¿ = 0.1м.; модуль упругости е = 200гпа; коэффициент Пуассона /¡ = 0.26. Сравнение 2-ой и 3-ей строк таблицы показывает, что разница в значениях критической нагрузки для перфорированной составляет чуть более 5%. Более крупное разбиение пластины на шесть полос не равной

1ЖН1ПЖНШИ1

Ьшгшиша

I |

¡шшгшшд Ьтпттштлшттп'

Рисунок 4 - Расчётная схема пластины

ширины, представленное 4-ой строчкой и рисунка 4, дает одинаковый результат с разбиением на 10 полос. Следовательно сходимость по числу полос удовлетворительна.

№ п. п. Схема п Щ ЬМ Сплошная С вы резами

N q Мн/м N д Мн/м

I. 2x5.0 м 3 2 0.16 15 10.1 15 8.64

2. 6x1.6667 м 7 6 0.48 15 9.84 15 8.17

3. 10x1.0 м 11 10 0.8 15 9.83 15 7.73

4. 2.0 + 1.0+2x2.0+1.0 + 2.0 м 7 6 0.8 15 9.84 15 7.73

5. 1.25 + 3x0.25 + 1.25 м 6 5 0.32 15 9.85 15 8.29

ПРИМЕР 4. Рассмотрим случай несимметричного положения вырезов. Определим критическую нагрузку для пластины, приведенной на рис.5. На квадратную пластину со сторонами а действует сосредоточенная сжимающая сила Г. Продольные кромки защемлены от изгиба из плоскости пластины, перемещения вдоль них допускаются, а поперечные -шарнирно оперты.

Исследуем сходимость результатов решения и сравним их со значением критической нагрузки, полученного по методу сеток. В качестве расчётной модели примем плоскую систему, состоящую из 3 жестко соединенных по продольным кромкам пластинок (рис.5). Размер пластины 6x6м, толщина Ь=0,1м, Е=1МПа, ц=0,2, размер выреза 1,5x1,5 м. В таблице 3 приведены результаты вычислений.

В расчётах по методу сеток, при действии на пластину в её плоскости системы сил, критическая нагрузка вычисляется по формуле:

* V

где к - параметр критического состояния, ¿»-цилиндрическая жёсткость, а -размер пластины. Для схемы пластины, приведенной на рис.5 к= 35.8.

Рисунок 5 - Схема квадратной сжатой пластины при несимметричном вырезе

количество гармоник 6 7 8 9 10 11 10 17 19

Ркр, (10е-05) 60. 9 60. 9 60. 8 60.7 60.7|60.7 р0.7 |60.7 60.7

¡справочник Р№=35,8*й/а= 51.7

Результаты, полученные по разработанной методике и по известному методу конечных разностей отличаются на 13 %. Полученное значение оказалось выше, чем в справочнике проектировщика (1972г.) по следующим причинам: в нашем случае поперечные кромки шарнирно закреплены и в плоской задаче они снимают часть нагрузки.

ПРИМЕР 5. Исследуем сходимость результатов при разном разбиении поверхности пластины на полосы. Сначала представим пластину как складчатую систему, состоящую из 3 жестко соединенных полос (рис. 5). При разбиении пластины на полосы по предлагаемой методике вырез должен находиться в центре полосы по высоте, и ширина полосы определяется по выражению:

Н„=ЬВ+2*Л,

где Н„- высота полосы, Ьв- высота выреза, Д-расстояние между введенной узловой линией и кромкой выреза.

В данном случае принимаем Нп=1,5+2*0,15=1,8м, то есть Д=0,15, а отношение Л/'Ьв=0,1.Это отношение является ограничением размера полосы, содержащей вырез.

Рассмотрим два варианта закрепления продольных кромок. В первом случае вдоль продольных кромок перемещения разрешены, во втором - запрещены. Полученные значения критической силы приведены в таблице 4. Далее вводим 5 узловых линий и представим пластину как складчатую систему, состоящую из 4 жестко соединенных полос. В таком случае при первых граничных условиях критическая сила равна 4,74* Ш4 кН, при втором варианте - 6,07*10"4кН. При разбивке пластины на 5 полос при 6 узловых линиях значения критической силы приведены в таблице 4. Для случая разбивки пластины на 6 полос значение критической нагрузки приведено в таблице 4.

Таблица 4 - Значение Ftp при изменении количества полос, (кН)

Кол-во полос 3 (1,35+1,8+2,85) 4 (1,35+1,8+1,35+1,5) 5 (1,35+1,8+3*0,95) 6 (2*0,675+1,8+3*0,95)

1 4,74*10"** 4,74*10"" 4,72*10*" 4,70*10*"

2 6,08*10*" 6,07*10-" 6,06*10*" 6,05*10*"

По результатам наблюдается практически одинаковое значение критической силы при разных схемах разбивки пластины на полосы. Следовательно, количество вводимых полос не оказывает существенного влияния на значение Ркр. Сходимость результатов наблюдается при Д/Ьв=0,1.

ПРИМЕР б. Исследовано влияние расположения и размеров вырезов на значение критической нагрузки для квадратной пластины. Рассмотрена пластина со сторонами 6x6м, в срединной плоскости которой в одном направлении действует сжимающая равномерно распределенная нагрузка интенсивностью 1 кН/м.Схема пластины приведена на рисунке 6.

Приведено сравнение результатов полученных по МКЭ и по разработанной методике. В МКЭ шаг разбиения на конечные элементы принят 0,1м. Погрешность в значениях менее 3,5 %. Таким образом, по полученным данным (рисунок 7, таблица 5) делаем вывод, что при увеличении размеров квадратных отверстий перфорированной пластины значение критической силы уменьшается, так как поле напряжений становится неоднородным, область концентрации напряжений увеличивается.

Рисунок 6 - Расчётная схема квадратной пластины

Рисунок 7 - Изменение при увеличении размеров вырезов

Таблица 5 - Сравнение критической нагрузки при разном размере вырезов, (*10" ,кН)

Кол-во гармоник, п МКЭ погрешность, %

5 9 15 19 |23 27

1 й 3 4 5 6 7 8 9 10

2 р 13.3 13.3 13.4 13.4 13.4 13.4 13.76 2.616

1 Ь.4х0.4 9.08 9.12 8.98 8.98 8.98 8.98 9.31 3.545

я оЬ.бхО.б 6.02 6.02 5.99 5.99 5.99 5.99 6.08 1.480

£ ¿(0.8x0.8 2.52 2.49 2.38 ¡2.38 Е2.38 2.38 2.46 3.252

ПРИМЕР 7. Исследована перфорированная прямоугольная пластина размером сх/ м на устойчивость при разном количестве прямоугольных отверстий, расчётная схема представлена на рисунке 8. Продольные и поперечные кромки имеют шарнирное опирание. Отношение ширины к длине с//= 0.2, отношение ширины квадратного выреза к ширине полосы Ь/а=0.5. На пластину вдоль продольных кромок действует равномерно распределенная сжимающая нагрузка 9=1кН/м.

Решена задача для пластины при одинаковом отношении Ъ/а=0,5. Разобьем пластину на 4 полосы, а=0,5м, при /=10м, 6=0,25м, вырезы

расположены с шагом с/4=0,5м. Критическая нагрузка для сплошной пластины яКр=2,89*10"5кН/м, для перфорированной якр =2,18*10" 5кН/м. Затем пластина разбивается на 8 полос, шаг перфорации равен с/8. Тогда размер квадратного выреза 6=0,125м, при отношении Ыа= 0,5. Критическая нагрузка также равна 2,18*10"5кН/м.

Аналогично решена задача при отношении Ь/а=0,25. При 4 полосах * -п '

□□□□□□□□□□осж

.□□□□□□□□□ поа

Рисунок8 -Схема перфорированной пластины

Ч%р=2,71*Ю"5кН/м, при 8 полосах ц*кр=2,71*10"5кН/м.

Полученные значения сравниваются с результатами расчётов по методу приведения. По табличным значениям коэффициент приведения для Е/Е]=<я.

г->-5„

Таблица 6 Сравнение критической нагрузки с методом приведения (¡О"5, кН)

Ь/а а | Ь Ч*кр с1 а/а 41 (1* с1*/а 42

0 сплошная 2,89 0 0 2,89 0 0 2,89

0.25 0,5 0,125 2,71 0,125 0,25 2,46 0,177 0,354 2,72

0,25 0,0625 2,71 0,0625 0,25 2,46 0,088 0,354 2,72

0.5 0,5 0,25 2,18 0,25 0,5 1,82 0,354 0,708 2,21

0,25 0,125 2,18 0,125 0,5 1,82 0,177 0,708 2,21

Определим критическую нагрузку для перфорированной пластины с круглыми отверстиями. Рассмотрим два случая: диаметр окружности вписанной в квадратное отверстие с/ принимаем равным 6=0,125м, описанной <1*=Ь^2. Для полученных значений по графику находим отношение приведенной цилиндрической жесткости О/ к цилиндрической жесткости сплошной пластины Э, обозначив это отношение/ При <1/0=0.25, О, /0=0.94=/,. При <1*/а=0.354, 0,/Э=0.85=/2. Для вычисления критической нагрузки воспользуемся формулой:

(26)

где к - коэффициент, зависящий от отношения с/1, В - цилиндрическая жесткость, / - длина пластины,/- коэффициент приведения цилиндрической жесткости сплошной пластины к перфорированной.

В нашем случае к=27, 1=1 Ом,/¡=0.94,/2=0.85, д,=2.72*1(Г}кН/м, д2=2,4б*1(Г 5кН/м.

В таблице 6 приведены значения критической нагрузки при различных соотношениях размеров вырезов и пластины. Сравним критическую нагрузку, полученную по разработанной методике для квадратных вырезов q*1<p со значениями критической нагрузки при круглых отверстиях.

с/,< д*,р< с\2- Полученное неравенство свидетельствует о справедливости вычислений значений критической нагрузки.

ПРИМЕР 8. Решим задачу по определению критической нагрузки складчатой системы, представленной набором пластин, соединенных узловыми линиями. Схема приведена на рисунке 9.

Рассчитаем устойчивость складчатой системы, поперечное сечение которой представлено двутавром, подверженной действию равномерно распределенной нагрузки. Расчётную схему представим складчатой системой, составленной из пластин (рис. 10).

-11- "11 ]"Г_~1[] -I _1П~

1ая схема складчатой конструкции

Рисунок 9 - Схема складчатой консттпкшш

Рисунок 10 - Расч<

/

Складчатая система разбита 9 узловыми линиями на 8 пластин. Горизонтальные пластины шириной Т= 1 м толщина §„. Вертикальную пластину разобьем на четыре элемента 5-8. Ширина каждого вертикального элемента равна 0,5 м, толщина дс. Модуль упругости £=1, коэффициент Пуассона ц=0,2, пролет конструкции равен 1=1 Ом, высота #=2м. Вдоль оси симметрии на 5 узловой линии действует равномерно распределенная нагрузка д=1 кН/м. Сделаем квадратные вырезы в 5, 6, 7, 8 элементах вертикальной стенки рассмотренной складчатой конструкции.

По известной формуле определения критической нагрузки двутавра: 8М 3.54 .

Чщ, = —¡Г^, Ч™ = ~401кЕ1уХ^ ■

Для выполнения расчётов по формуле определим приведенную толщину стенки двутавра. Для этого рассмотрим стенку, перфорированную круглыми отверстиями равновеликими по площади квадратным, при 6=0,25м. Тогда

~ = б2, </=0,282м. По таблицам метода приведения определяем коэффициент

приведения перфорированной и сплошной стенки, а затем приведенную толщину перфорированной стенки, 6с=0.04217м. Значение критической нагрузки по формуле для приведенной толщины стенки равно 5,93*10'5 кН/м. Решение получено при условии, что контур поперечного сечения двутавра при потере устойчивости остается жёстким. По разработанной методике 9Д?,=3,42*10"5 кН/м. В нашем случае контур поперечного сечения искривляется, стенка выпучивается (рис.11).

Приведенные результаты исследований показывают, что разработанная методика может быть применена к расчёту на устойчивость складчатых систем, содержащих перфорированные пластины и пластины с прямоугольными вырезами.

ПРИМЕР 9. Рассмотрим складчатую систему, имеющую коробчатое поперечное сечение (рис.12).

На вертикальные стенки (узловые линии 1,2,5,6) действует сжимающая равномерно распределенная нагрузка я интенсивностью 1кН/м. Стенки складчатой системы представлены элементами 3-5 шириной 2 м, толщиной 0,05м. Горизонтальные пластины соединены со стенками 1, 2, 5, 6 узловыми линиями. Ширина пластин равна 0,2 м, толщина 0,05м. Длина конструкции Ь=10 м, высота Н=4 м (рис.13).

Рисунок! 1 - Схема деформации двутавра

Рисунок 12 - Схема складчатой конструкции

Рисунок.13 Расчётная схема складчатой системы

Рассчитаем устойчивость описанной конструкции при изменении количества вырезов в элементах стенок. Размеры квадратных вырезов принимаем Н/10. На рисунке 14 приведен график изменения критической нагрузки при увеличении количества вырезов на участке //4<х<3//4.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Получены в аналитической форме функции Грина, функции влияния перемещений и напряжений, представленные ординарными тригонометрическими рядами, для плоского напряженно-деформированного состояния прямоугольных пластин, шарнирно опертых на поперечных кромках с произвольными граничными условиями на продольных.

2. Модифицирован метод перемещений Александрова для статического расчёта складчатых и тонкостенных призматических систем, содержащих перфорированные пластины и пластины с прямоугольными вырезами, путем применения функций Грина, позволяющих располагать нагрузки произвольным образом в плоскости пластины, а не только на узловых линиях складчатой системы.

3. Применен энергетический метод с базисными функциями метода перемещений для расчета устойчивости перфорированных пластин, пластин с вырезами и складчатых систем.

4. Решены задачи статики и устойчивости складчатых систем, содержащих пластины с вырезами, с применением модифицированного метода перемещений, методов компенсирующих нагрузок и расширения заданной системы.

5. Исследованы возможности применения предложенного метода и алгоритма расчёта на устойчивость пространственных складчатых систем с учётом наличия вырезов. Исследовано НДС пластин с различными граничными условиями. Установлено влияние размеров и расположения вырезов на сжимающую критическую нагрузку складчатых систем с перфорированными элементами.

Рисунок 14 -График изменения q1(p при увеличении количества вырезов в стенках конструкции

6. Разработанный метод расчёта применен для тестирования нестандартных задач и оценки решений, полученных другими методами. На примере решенных задач показана сходимость разработанного метода и его эффективность.

Публикации по теме диссертации Статьи в журналах включенных в перечень ВАК:

1. Завьялова, Н.В. Расчёт пластин с прямоугольным вырезом // Вестник ТГАСУ.- Научно-технический журнал №4,2007г.- С. 105-115.

2. Zavyalova N., Kadisov G. Analysis of three-dimensional thin-walled systems at local load // International Journal for Comp, civil and Struct. Engineering, v.3, issue 2,2007,- Р.57-61(личное участие 70 %).

Статьи в других печатных изданиях:

1. Завьялова, Н.В. Исследование методом компенсирующих нагрузок конструкций с прямоугольным вырезом // Качество. Инновации. Наука. Образование. - Материалы международной научно-технической конференции, 15-17 сентября 2005 года.- Омск,- С.271-273.

2. Кадисов, Г.М. Расчёт складок с перфорированными рёбрами / Кадисов Г.М., Завьялова, Н.В., // Математическое моделирование в механике сплошных сред. Метод граничных элементов. Труды XXI международной конференции, 4-7 октября 2005г.- СПБ. - С. 253-259(личное участие 50%).

3. Завьялова, Н.В. Применение метода компенсирующих нагрузок к расчету балок с перфорированной стенкой // Межвузовский сборник трудов студентов, аспирантов и молод, учёных, Омск.:СибАДИ.-2005г. Вып. 2, ч.1.-С.125-128.

4. Кадисов, Г.М. Матрица Грина в задачах о плоском напряженно-деформированном состоянии прямоугольной пластинки/ Завьялова Н.В., Кадисов Г.М. // Строительная механика и расчёт сооружений. Научно-технический журнал, №3 2006г.-С.2-6(личное участие 60%).

5. Завьялова, Н.В. Функция Грина при расчете прямоугольной пластинки // Труды Всероссийской научно-технической конференции «Роль механики в создании эффективных материалов, конструкций и машин XXI века». - Омск, 2006.-С. 128-132.

6. Завьялова, Н.В. Матрица Грина плоского напряженного состояния прямоугольной пластинки // Проблемы проектирования, строительства и эксплуатации транспортных сооружений,- Материалы 1 Всероссийской научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых учё-ных.24-26 мая 2006г.- Омск.: СибАДИ., 2006. - Книга 2.- С.219-223.

7. Кадисов, Г.М., Расчёты тонкостенных призматических систем/ Кадисов Г.М., Завьялова Н.В. // Проблемы оптимального проектирования сооружений.-Доклады I Всероссийской конференции. 8-10 апреля, 2008г.-Новосибирск.: НГАСУ(Сибстрин), 2008.-С.168-172(личное участие 50%).

Завьялова Наталья Викторовна

УСТОЙЧИВОСТЬ ПЕРФОРИРОВАННЫХ ПЛАСТИН И СКЛАДЧАТЫХ

СИСТЕМ

АВТОРЕФЕРАТ

Изд. лиц. №021253 от31.10.97 г.

Подписано в печать АР. Формат 60*84 1/16.

Бумага офсет. Гарнитура Тайме. Усл.-печ. л. 1,1. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ Ш&22

Изд-во ГОУ ВПО «ТГАСУ», 634003, г. Томск, пл. Соляная, 2. Отпечатано с оригинал-макета автора в ООП ГОУ ВПО «ТГАСУ». 634003, г. Томск, ул. Партизанская, 15.