автореферат диссертации по авиационной и ракетно-космической технике, 05.07.05, диссертация на тему:Метод проектирования оптимальных конструкций элементов ВРД

На правах рукописи

кьи со

МЕТОД

ПРОЕКТИРОВАНИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ ЭЛЕМЕНТОВ ВРД

Специальность 05.07.05.

«Тепловые, электроракетные двигатели и энергоустановки летательных аппаратов»

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва, 2005 г.

Работа выполнена на кафедре «Конструкция и проектирование двигателей» в Московском авиационном институте (государственном техническом университете).

Научный руководитель: - кандидат технических наук, доцент

Афанасьев Александр Александрович

Официальные оппоненты:

- доктор технических наук, профессор зав. каф. ремонта ЛА и АД МГТУ ГА Коняев Евгений Алексеевич;

- кандидат технических наук, доцент, кафедры технологии производства ДЛА МАИ (ГТУ) Федоров Леонид Александрович

Ведущая организация:

ОАО ММП им.Чернышева В. В.

Защита диссертации состоится «_»_2005 года в_час на

заседании диссертационного Совета Д 212.125.08 в Московском авиационном институте (государственном техническом университете) по адресу:

«МАИ», Волоколамское шоссе, дом 4, г. Москва, А-80, ГСП-3, 125993.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского авиационного института.

Отзыв на автореферат в одном экземпляре, заверенный печатью, просьба высылать по адресу: «МАИ», Волоколамское шоссе, дом 4, г. Москва, А-80, ГСП-3, 125993, Ученый Совет МАИ.

Автореферат разослан 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного Совета Д 212.125.08 Кандидат технических наук, доцент

Никипорец Э.Н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы диссертации

Задачей выбора оптимальных конструкций элементов двигателей, которые работают при сложных видах нагружения и могут происходить различные виды отказов, что существенно сократит срок службы всего двигателя в целом, необходимо создать комплексный подход к проектируемым элементам к нам можно отнести: лопатки турбины, жаровые трубы,камеры сгорания, сопла. В нашей работе мы рассмотрим методику комплексного подхода к проектированию на примере сверхзвуковых сопел. Нами будут рассмотрены сверхзвуковые части сопла.

При проектировании сопел реактивных двигателей основной целью является максимальное приближение процесса истечения к идеальному при минимальных габаритах сопел. Тогда сопло двигателя будет иметь минимальные потери при минимальной массе и габаритах.

Задача выбора оптимального сопла — достаточно сложная, которая решается различными путями и методами. Для выбора оптимального раскрытия сверхзвуковой части сопла с учетом газодинамических потерь и с учетом массы сопла. Ограничения по массе и габаритам для силовых установок ВРД могут быть введены при проектировании сопел.

При расчетах несущей способности элементов, а затем и долговечности их, необходимо учитывать влияние концентраторов напряжений, в частности, отверстия в тонкостенных пластинках и оболочках. В эксплуатации возможно применение сложных видов нагружения, а также появление трещин и работа элементов двигателей с известными границами роста трещины.

Очевидно, что тонкостенные элементы пластинки и оболочки могут быть использованы в качестве модулей для сверхзвуковых профилей сопел. Во многих отраслях техники в качестве несущих элементов используются тонкие пластины и оболочки, ослабленные большим количеством регулярно расположенных (периодически, двоякопериодически) отверстий, размеры которых соизмеримы с расстояниями между ними, но существенно меньше характерного размера пластины (оболочки).

Современное состояние парка авиадвигателей показывает, что эксплуатация двигателей по расходованию ресурса, требует тщательного контроля термонагруженных элементов к которам можно отнести элементы камер сгорания, сопла, лопатки турбин.

Следует отметить, что в ряде случаев можно рассмотреть работу элементов имеющих повреждения в виде трещин, которые могут привести к разрушению всего двигателя.

Для выявления этих элементов должен проводиться инструментальной контроль. Рост трещины характеризуется скоростью, которую можно определить уровнем изменения напряженного состояния <*тах и Опш Чикла-

Контроль и выявление трещин на ранней стадии позволит оценить оставшееся количество полетных циклов для таких элементов.

Определение остаточного ресурса зависит также и от влияния коэффициентов концентрации напряжений, что часто превосходит начальные напряжения

Из анализа опыта эксплуатации тонкостенных конструкций можно сделать вывод о том, что предложен метод проектирования оптимальных конструкций элементов имеющих концентраторы напряжений, снижающих долговечность и уменьшающих ресурс двигателя.

Цель и задачи работы

Целью данной работы является разработка методики создания оптимального сопла с определенными ограничениями по профилю контура, массе и долговечности.

Основные задачи, которые решены в работе, для достижения поставленной цели:

• систематизация и обобщение материалов в данном вопросе;

• исследование факторов влияющих на прочность и долговечность;

• разработка метода оптимизации конструктивных элементов

сопла.

На защиту выносятся

1. Усовершенствованный комплексный подход к решению задачи о проектировании контура сопла минимальной массы;

2. Определено напряженно-деформированное состояние перфорированных пластин;

3. Показано влияние концентраторов напряжений на долговечности оболочек - элементов сопла;

4. Определено влияние изменения длины трещины с учетом размаха эксплуатационных напряжений на величину остаточкого ресура измеряемого количеством циклов нагружений.

Методы исследования

В работе используются методы теории ВРД, теории упругости, пластичности, сопротивления материалов, теории вероятностей, теория малоцикловой прочности.

Научную новизну представляют:

• усовершенствованный комплексный подход к решению задачи о проектировании контура сопла минимальной массы;

• показано влияние концентраторов напряжений на снижение долговечности оболочек - элементов сопла;

• проведена оценка остаточного ресура элементов сопла с учетом роста трещины, как начального повреждения элемента сопла.

• предложен выбор оптимального раскрытия сверхзвуковой части сопла с учетом трения газа о стенку и потери тяги на неравномерность поля скорости на срезе или непараллельность истечения , и таккже массы сопла. Построена целевая функция массы сопла, которая позволяет оптимизировать массу сопла при заданных ограничениях.

Практическая ценность

Практическая значимость — создана методика, позволяющая определить оптимальный профиль сопла минимальной массы и учесть влияния конструктивных факторов, а также работу элементов сопла с начальными повреждениями. Расход ресура элементов сопла показан на примере. Уменьшение массово-габаритных характеристик сопла позволит иметь конструктивное решение близкое к оптимальному.

Практическая ценность работы характеризуется тем, что применение комплексного подхода к решению таких задач позволит в эксплуатации оценивать остаточный ресурс сопла при наличии трещины как начального повреждения, что будет обеспечивать безопасность полетов.

Апробация работы

Основные результаты диссертационной работы доложены и обсуждены на ряде международных конференций :

• Пятая Международная научно-техническая конфе-ренция ," Чкаловские чтения ", посвященная 100-летию со дня рождения В. П. Чкалова. 2004 г. г. Егорьевск.

• Предприятии ОАО ММП им. Черныщева В. В., на каф.203 МАИ, М. 2005.

Публикации

По материалам диссертации опубликовано 5 печатных работ.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, 6 глав, выбоды, заключения, библиографического списка и приложения. Основная часть диссертации содержит 156 стр. текста, рисунков-57 и таблиц-12. Библиографический список содержит 63 наименований. Приложение состоит из 12 рис. и таблиц-6.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении рассмотрены вопросы проектирования тонкостенных элементов, подвергающихся сложным видам нагружения, моделями для расчетов могут быть пластины и оболочки.

В этих моделях учитывают влияние концентраторов напряжений в виде отверстий в них, а также расходование ресура таких элементов с начальными повреждениями.

В первой главе представлены общие принципы построения коротких сопел, приводятся методика и порядок расчета профиля с изломом образующей.

Рассмотрим порядок расчета и построения контура сопла с угловым входом. Причем между углом поворота вектора скорости потока Р и величиной скорости вдоль предельной линии тока, т. е. в угловой точке, соблюдается такое же соотношение, как и при обтекании тупого угла плоским бесконечным потоком:

- газодинамическая функция.

Приближенное значение предельного угла отклонения вектора скорости в этой точке в зависимости от расчетной скорости

Основой расчета большинства профилированых сопл является метод характеристик. Дифференциальное уравнение характеристик записывается в виде

ёх

(3)

Знак (+) — для характеристик первого семейства и знак (-) — для характеристик второго семейства.

Причем между углом поворота вектора скорости потока р и величиной скорости X вдоль предельной линии тока, т. е. в угловой точке, соблюдается такое же соотношение, как и при обтекании тупого угла плоским бесконечным потоком:

Таким образом, состношение и Р вдоль характеристик радиального потока с учетом коэффициента 1/2 подобно плоскому потоку.

Постоянная характеристика, угол наклона вектора скорости Р и его величина то например , в плоском потоке

Расчет поля сечения свехзвуковой с помощью метода характеристик в случае отсутствия ударных волн обычно не вызывает затруднений. Задача распадается на две части: расчет течения в поле предварительного расширения газа и расчет параметров в области выравнивания.

Во второй главе рассмотрены элементы конструктивно-ортотропных оболочек. Рассматриваются условия равновесия элемента цилиндрической оболочки и основное дифференциальное уравнение симметричной деформации цилиндрической конструктивно-ортотропной оболочки.

Приведено решение плоской деформации двухслойных цилиндрических оболочек с продольными связями и с кольцевыми связями. Оболочка подвергается действию внутренего давления, осевых усилий и неравномерного нагрева.

Потом рассмотрены некоторые важные для практики схемы нагружения трехслойных конструкций. В одном случае, рассмматривается напряженно-дерформированное состояние оболочки, нагруженной на один слой. Трехслойная цилиндрическая оболочка с изотропными несущими слоями нагружена усилиями, равномерно распределенными по периметру одного из несущих слоев и действующими вдоль образующей.

В третьей главе посвящены решениям соответствующих краевых задач об изгибе и растяжении решеток. В данной главе рассмотрена однородная задача изгиба пластины, ослабленной двоякопериодической системой криволинейных отверстий. Краевая задача сведена к решению интегрального уравнения Фредгольма второго рода.

Рассматриваются основные соотношения технической теории однородного изгиба пластин. Прогиб срединной поверхности пластины определяется из решения бигармонического уравнения

У2У2\у(х,у) = 0 (6)

д2 д2

где V2 =—-н--- —оператор Лапласа.

Эх Эу

Решение уравнения (6) удобно представить через две произвольн-ые аналитические функции (p(z) u \|/(z) комплексного аргумента Z = X + iy

Поскольку в технической теории изгиба пластин напряжения, смещения, усилия и моменты выражены через прогиб W. Эти соотношения имеют вид

где Мх,Му,Мху — удельные изгибающие и крутящие моменты;

Ь — толщина пластины;

— удельные перерезывающие силы.

Если на контуре L пластины заданы изгибающий М„ и крутящий Мт моменты , а также перерезывающая сила , краевое условие имеет вид

где — аффикс на контуре

С И С1 — соответстввенно вещественная и комплексная постоянные, принимающие различные значения на различных контурах, ограничивающих пластинку;

М„,Мп(,дп — изгибающий, крутящий моменты и перерезывающая сила на площадке с нормалью

Пусть основные периоды

решетки, область, занята материалом пластины, гладкий контур

отверстия в основном параллелограмме периодов.

Считаем, что контур Ь свободен от нагрузок, а внешнее нагруж-

ение задано в виде средних моментов , действующих в

Краевое условие запишем в^виде

Построим функции так, чтобы условия

двоякопериодичности моментов и перерезывающих сил в решетке выполнялись автоматически.

Рассмотрим задачу о растяжении и сдвиге пластины, ослабленной двоякопериодической системой криволинейных отверстий.

Рассмотриваюся основные соотношения плоской задачи теории упругости. Напряжения сх,оу,тху и перемещения и,у точек пластины, выразим с помощью формул Колосова-Мусхелишвили через две произвольные аналитические функции комплексного аргумента

где — модуль сдвига материала пластины, постоянная,

зависящая от коэффициента Пуассона материала р., а штрих справа означает производную по

Значок Яе обозначает вещественную часть выражения в скобках, черта над функцией - знак сопряжения.

Неизвестные аналитические функции ф(г) и \]/(г) определяются из краевых условий.

Если на контуре пластины заданы компоненты

напряжений, то краевое условие имеет вид

где I —аффикс точки на контуре Ь; Б)— дуговая координата этой точки, отсчитанная от точки Бо ; С — постоянная, принимающая различные значения на различных контурах, ограничивающих пластину.

Пусть £01,(02 (1шо)1 =0,1т©2/®1 > 0)— основные периоды решетки, S— область, занята материалом пластины, L — гладкий контур отверстия в основном параллелограмме периодов.

Считаем, что контур L свобрден от нагрузок, а внешнее нагружение

задано в виде средних напряжений а у, т^,, действующих в Б . Краевое условие (12) запигцем в виде

В четвертой главе представлены аналогические вопросы для густо перфорированной цилиндрической оболочки. Рассматривается решение задачи о распределении напряжений в цилиндрической оболочке, ослабленной круговым отверстием.

Удельные усилия в срединной поверхности

Где и - функция напряжения.

Предлагается решение основного дифференциального уравнения, доказывается полнота решения при условии однозначности комплексной функции,выраженной через прогиб и функцию напряжения и даются выражения для компонент главного вектора и главного момента вдоль произвольного замкнутого контура,лежащего в рассматриваемой области. Дифференциальное уравнения, связывающие функцию напряжений и и прогиб

_ 12(1-ц2) 1 Э2и

ДА(уу) :

Е5

Я Эх

(15)

Основное дифференциальное уравнение представляется в виде

где комплексная функция,выраженная через прогиб и функцию напряжения следующим образом

где х и у — безразмерные координаты, связанные с размерными

X V

координатами х и у формулами — соответственно

а а

модуль Юнга, коэффициент Пуассона и толщина оболочки.

ТТяпятиртп 11« имеет тмк'мй шл :г

{12(1-|х2)}1/4 а 2 л/5Я

(18)

Рассматривается первая краевая задача для внешности кругового отверстия.Усилия и моменты на контуре отверстия представляются в виде рядов Фурье.

Приводим результаты решения двух задач:

-растяжение вдоль образующей равномерными усилиями круговой цилиндрической оболочки, ослабленной круговым отверстием ; -кручение круговой цилиндрической оболочки, ослабленной круговым отверстием.

Сформулирована уточненная постановка задачи о напряженном состоянии перфорированной круговой цилиндрической оболочки, учитывающая периодический характер смещений и усилий. Рассмотрим бесконечную круговую цилиндрическую оболочку, ослабленную двоякопериодической системой одинаковых круговых отверстий.

Представим решение уравнения в виде суммы решений соответствующих двоякопериодических задач растяжения и изгиба плоской решетки с некоторой добавочной функцией , учитывающей эффект кривизны оболочки.

Система в классе двоякопериодических (для и

Р5=Р5°+Р; , Р5°=11е{2ф5(ф) + х5(2)} (5=1,2),

■о

квази

(19)

Ш,П

Постоянные

«2к ИР

(5) 2к

в представлениях (20) должны быть

определены из краевых условий на контуре Ь00 .

В пятой главе данная методика применяется к исследованию низкочастотного поведения и напряженного состояния густо перфорированных цилиндрических панелей, находящихся под действием стационарного случайного нормального давления.

В работе на основе гипотезы спектрального суммирования повреждений и методики исследуется влияние конструктивных параметров на усталостную долговечность перфорированных панелей, находящихся под действием равномерно распределенного стационарного случайного давления. При этом используются результаты по расчету макромодулей и коэффициентов концентрации силовых факторов изгибаемых и растягиваемых перфорированных пластин.

Макроскрпическим напряжённым состоянием перфорированной оболочки называется напряжённое состояние сплошной анизотропной оболочки,эквивалентной, в смысле жёсткости, исходной перфорированной и находящейся под действием тех же нагрузок.

Деформации И К,,К2,Х вычисляются по формулам

Связь усилий Т,,Т2,3 в срединной поверхности и моментов

с деформациями и кривизнами устанавливается интегрированием законов Гука по толщине оболочки с использованием гипотез Кирхгофа-Лява

T, =h(Bue1 +BI2e2 +B16w12); M, = DnK, +D,2k2 +D16t;

T2 = h(B126j + B22e2 + B26wI2); M2 = D^Kj +D22k2 +D26t; (22)

S = h(B16E] +B26e2 +B66w12); H12 =D16K, + D26k2 +D66t.

где h — толщина оболочки; B¡j,D¡j — упругие постоянные анизотропии.

Преполагается разработать алгоритм расчета усталостной долговечности перфорированных пластин и цилиндрическоих панелей, находящихся под действием стационарного случайного давления, основанный на допущении о том, что перфорированная оболочка исчерпывает свой ресурс, если в какой-либо ее точке начинается процесс разрушения.

Гипотеза спектрального суммирования, предложенная В.Л. Райхером, позволяет сформулировать ферноменологическую инженерную теорию расчета долговечности, использущую связь между статистическими характеристиками нагрузок и характеристиками выносливости образца в виде кривых Велера.

Примем что образец подвержен действию стационарного нормального случайного процесса нагружения со спектральной плотностью амплитуд напряжений

Плотность распределения амплитуд напряжений в образце подчиняется закону Рэлея

где — дисперсия.

Примем для образца единую, не зависящую от частоты приложения нагрузки, кривую зависимости числа циклов до разрушения N от амплитуды а гармонического напряжения виде

где Ш и А — параметры, опреляемые экспериментально.

Согласно гипотезе спектрального суммирования, усталостная долговечность определяется по формуле

где Г(Ш^2) — гамма-функция.

Программу " Ресурс" предназначенную для расчета усталостной долговечности перфорированных цилиндрических панелей предполагается создать с использованием метода конечных элементов частот и форм собственных колеваний, прогибов, напряженных состояний перфорированных цилиндрических панелей, находящихся под действием равномерно распределенного нормального давления гармонически изменяющегося во времени, а также усталостной долговечности панелей, находящихся под действием стационарного случайного давления.

В шестой главе приведен выбор оптимального контура сопла с учетом потерь трения, потерь рассеивания, и также массы сопла. При проектировании сопла реактивных двигателей основной целью является максимальное приближение процесса истечения к идеальному при минимальных габаритах сопл.

Выбор оптимального угла раскрытия сверхзвуковой части ведется методом минимизации коэффициента сопла, представляемого как

где каждый из сомножителей зависит от угла Коэффициент,

учитывающий потери тяги на неравномерность поля скорости на срезе или непараллельность истечения, вычисляется по формуле

а коэффициент учитывающий потери на трение, по формуле

(28)

Фтр =1-АРтр/Рпн

где ДР^, - проекция на ось симметрии сопла суммарной силы трения, действующей на стенки сопла; Рпн - пустотная тяга, развиваемая камерой при отсутствии трения.

Выполняя расчеты для ряда углов наклона образующей расширяющейся части сопла получим данные, позволяющие построить графики ф^, фсз и фс в функции от у г л и выбрать значение оптимального угла для которого коэффициент сопла принимает максимальное значение.

Чтобы иметь минимальную массу и минимальные габариты, учитывается коэффициет массы сопла представляемый как

Где М; - масса участка сопла на расчетном I -м участке, образующей сопла на расчетном к-м участке на котором коэффициент сопла фс будет максимальным, Мп - полная масса сопла.

В целевую функцию фт для сопла двигателя может быть масса сопла со соответствующими

включена дополнительно участками.

Удельную массу поверхности обозначают рс (кг/м ). Тогда

Заменяя ДБ; = (Р; — Р^/бн^, где ^ иР^- плошади сечений,

образующих расчетный участок с индексом - наклон образующей

сопла на расчетном ^м участке.

Для выбранной толщины стенки И сопла, определяются напряжения в соответствующих участках сверхзвуковой части сопла. С учетом напряжении стенки сопла, толщина стенки h можна написать в виде

где

— коэффициент запаса прочности.

(32)

о = £(Т,р,Рс)

где — местная температура и местное давление,

— тяга реактивного сопла, Напряжения Смогут изменяться по толщине оболочки вследствие изменения параметров упругости коэффициентов заполнения и

температурной деформации

Рассмотрена оценка ресурса с учетом начального повреждения. Метод оценки безопасного ресурса предполагает, что в элементах конструкции ГТД после его изготовления отсутствуют повреждения. Оценка ресурса с учетом начального повреждения проводится методами механики линейного разрушения

Рис. 1. Диаграмма усталостного разрушения: I - длина трещины ; Ы-число циклов; (ДК^ > (ДК)2

Согласно механике разрушения поле напряжений и деформаций в вершине трещины, которое определяет ее рост, зависит от коэффициента интенсивности напряжений К (размерность Н/мм3/2), а напряжение в вершине трещины (повреждения) определяется в виде

где ах,ау,1х,1у— относительные напряжения и деформации по осям хиу.

Коэффициент интенсивности К зависит от вида деформации элемента при действии нагрузки (деформации при растяжении, сдвиге, растяжении со сдвигом); от величины внешней нагрузки а; от геометрических размеров элемента, длины трещины

Рассмотрим один из вариантов расчета ресурса, в котором предполагается выполнение следующих допущений: справедливы положения линейной механики разрушения; правомерность применения при расчете диаграммы усталостного повреждения (разрушения); все явления в кончике трещины, а также скорость С1]/С№ распространения трещины (повреждения) зависят от коэффициента интенсивности напряжений К; рост трещины усталости происходит на фоне упругих деформаций.

Рис. 2. Диаграмма усталостного разрушения в логарифмических координатах

Для расчета в области 2 (рис.2) применима формула П. Париса сИЛЮ =АДК" (

•П

(34)

где А и п эмпирические коэффициенты;

АК=Ктах — Кт1„ - перепад (размах) коэффициента интенсивности напряжений за один цикл нагружения; N - число циклов.

Область соответствует повреждениям, которые могут быть обнаружены инструментальными методами. Величина обнаруживаемого повреждения зависит от разрешающей способности аппаратуры. В этой области расположена граница, отделяющая зону начальных повреждений (трещин) от распространяющихся и регистрируемых инструментальными методами.

С учетом принятых допущений оценка ресурса поврежденного элемента конструкции проводится в следующей последовательности:

1. Выявление в элементе конструкции инструментальным методом махи-мального повреждения (длину, глубину начальной трещины).

2. Подбор наиболее подходящего выражения (формулу) для коэффициента

интенсивности напряжений К.

3. Определение по критерию Ирвина критической длины трещины 1съ зависимости от вязкости разрушения или (в зависимости от предполагаемой степени стеснения деформации вдоль фронта трещины) и

номинального значения эксплуатационного (расчетного) напряжения в

сечении трещины.

по известным напряжениям цикла

5. Определение числа циклов (циклическая долговечность), за которое исходная трещина 1д или повреждение в элементе конструкции достигает критической (заданной) величины 1С [34].

Рассматривается пример расчета остатка ресурса поврежденного элемента. Если известна диаграмма усталостного повреждения (см. рис.2), то задача оценки долговечности по числу циклов переменного нагружения на стадии роста трещины от начального значения до критического решается следующим образом.

4. Расчет параметров цикла

(35)

Участок 2 описывается формулой П. Париса = А(ДК)П. Так как

формула Париса не зависит от микроструктуры материала, то представляется возможным её применять для различных материалов. Для определения N — числа циклов, соотвующих критическому уровню повреждения (трещины) 1С при начальном повреждении (трещине) , уравнение Париса приводится к виду

Поэтому при проектировании конструкции с допустимыми повреждениями необходимо знать с высокой достоверностью значения и 1о.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ И ВЫВОДЫ ПО РАБОТЕ

В результате проделанной работы можно сделать следующие

выводы.

1) Представленные в первой главе результаты расчета профиля сопла с угловым входом и профиля сопла по методу характеристик показывают, что сопло с угловым входом обладает более короткой длиной профиля сопла.

2) Полученные результаты исследования напряженного состояния слоистых ортотропных оболочек использованы при проектировании конструкций и расчетах на прочность и устойчивость.

3) Представленные в относительных величинах результаты исследования позволяют судить о распределении напряжений в пластинах с отверстиями независимо от толщины, что расширяет возможности их использования при расчетах на прочность.

4) Полученные графики коэффициетов концентраций напряжений дают полное представление о форме изгибаемых и растягиваемых пластин и оболочек, позволяют определить их значения на контурах , а также выделить наиболее опасные зоны и точки. Полученные результаты использованы при расчетах густо перфорированных пластин и цилиндрических панелей на прочность, жесткость, колебания, долговечность.

5) Разработанная методика применима к исследованию динамического поведения и усталостной долговечности густо перфорированных оболочек средней длины, если минимальная длина волны прогиба, а также минимальный радиус кривизны оболочки много больше максимального шага перфорации.

6) Исследованные сверхзвуковые сопла с угловым входом и минимальной массой обладают малыми потерями эффективной тяги при скорости полета, соответствующей М=3,0.

7) Проведена оценка расходования ресурса элементов сопла с учетом начального повреждения.

Разработана методика исследования динамических характеристик густо перфорированных цилиндрических панелей состоящая в следующем : на основе решений двоякопериодических задач об однородном изгибе, растяжении и сдвиге пластины определяются макропараметры; густо перфорованная цилиндрическая панель заменяется однородной анизотропной панелью, упругие постоянные которой совпадают с найденными выше макропараметрами.

Проведено численное исследование влияния различных констуктивных параметров густо перфорированных пластин на их усталостную долговечность. Разработанная методика применима к исследованию динамического поведения и усталостной долговечности густо перфорированных облочек, если минимальная длина волны прогиба, а также минимальный радиус кривизны оболочки много больше максимального шага перфорации.

Приведен выбор оптимального раскрытия сверхзвуковой части сопла с учетом трения газа о стенку и потери тяги на неравномерность поля скорости на срезе или непараллельность истечения , и таккже массы сопла. Построена целевая функция массы сопла, которая позволяет оптимизировать массу сопла при заданных ограничениях. Проведена оценка расходования ресурса с учетом начального повреждения элемента сопла.

СПИСОК ОСНОВНЫХ ПУБЛИКАЦИЙ

1. Афанасьев А.А., Кьи Исследование напряженного состояния перфорированной цилиндрической оболочки с круговыми отверстиями, г. Егорьевск. Пятая Международная научно-техническая конференция , Чкаловские чтения ,4-6 февраля 2004 г.

2. Афанасьев А. А., Кьи Напряженное состояние круговой цилиндрической оболочки, ослабленной круговым отверстием, г. Егорьевск. Пятая Международная научно-техническая конференция , Чкаловские чтения ,4-6 февраля 2004 г.

3. Афанасьев А.А., Кьи Исследование напряженного состояния

перфорированной цилиндрической оболочки с круговым отверстием. МАИ. М., Рус. Деп. в ВИНИТИ № 657 - В 2005 от 05.05.2005г. 10 с.

4. Афанасьев А.А., Кьи Оптимизация элементов схем сопл ВРД. МАИ. М., Рус. Деп. в ВИНИТИ № 658 - В 2005 от 05.05.2005г. 9 с.

5. Афанасьев А.А., Кьи Исследование усталостной долговечности перфорированных пластин и цилиндрических панелей. Электронный журнал " Труды МАИ ". №19. принята к печати. 2005 г. 8 с.

О9 НЮ/1 2005 L

1187

Введение.

Глава 1. Создание математических моделей определения газодинамического профиля сопел.

1.1. Основы построения коротких профилированных сопел

1.2. Приближенный метод расчета сопел на основе свободно расширяющегося течения.

1.3. Основы построения коротких профилированных сопел по методу характеристик.

Глава 2. Исследование напряженного состояния слоистых ортотропных оболочек.

2.1. Коструктивно-ортотропные цилиндрические оболочки

2.2. Оболочка вращения безмоментного напряженного состояния.

2.3. Двухслойные цилиндрические оболочки с продольными связями.

2.4. Двухслойные цилиндрические оболочки с кольцевыми связями.

Глава 3. Исследование напряженного состояния пластин с отверстиями.

3.1. Напряженное состояние перфорированных пластин при изгибе.

3.2. Напряженное состояние перфорированных пластин при растяжении.

Глава 4. Исследование напряженного состояния перфорированной цилиндрической оболочки с круговыми отверстиями.

4.1. Напряженное состояние круговой цилиндрической оболочки, ослабленной круговым отверстием.

4.2. Напряженное состояние круговой цилиндрической оболочки, ослабленной круговыми отверстиями.

Глава 5. Исследование усталостной долговечности перфорированных пластин и цилиндрических панелей.

5.1. Исследование напряженного состояния перфорированных цилиндрических панелей.

5.2. Расчет усталостной долговечности перфорированных пластин и цилиндрических панелей.

Глава 6. Оптимизация элементов схем сопел ВРД.

6.1. Определение оптимального контура сопла.

6.2. Влияние массы на ресурс сопла.

6.3. Оценка расходования ресурса с учетом повреждаемости

Задачей выбора оптимальных конструкций элементов двигателей, которые работают при сложных видах нагружения и могут происходить различные виды отказов, что существенно сократит срок службы всего двигателя в целом, необходимо создать комплексный подход к проектируемым элементам к нам можно отнести: лопатки турбины, жаровые трубы,камеры сгорания, сопла. В нашей работе мы рассмотрим методику комплексного подхода к проектированию на примере сверхзвуковых сопел. Нами будут рассмотрены сверхзвуковые части сопла.

Сопло является необходимым элементом реактивного двигателя. В нем происходит преобразование тепловой энергии продуктов сгорания в кинетическую энергию истекающей из сопла струи газов.

При проектировании сопел реактивных двигателей основной целью является максимальное приближение процесса истечения к идеальному при минимальных габаритах сопел. Тогда сопло двигателя будет иметь минимальные потери при минимальной массе и габаритах.

Задача выбора оптимального сопла — достаточно сложная, которая решается различными путями и методами. Для выбора оптимального раскрытия сверхзвуковой части сопла с учетом газодинамических потерь и с учетом массы сопла. Ограничения по массе и габаритам для силовых установок ВРД могут быть введены при проектировании сопел.

При расчетах несущей способности элементов, а затем и долговечности их, необходимо учитывать влияние концентраторов напряжений, в частности, отверстия в тонкостенных пластинках и оболочках. В эксплуатации возможно применение сложных видов нагружения, а также появление трещин и работа элементов двигателей с известными границами роста трещины.

Очевидно, что тонкостенные элементы пластинки и оболочки могут быть использованы в качестве модулей для сверхзвуковых профилей сопел. Во многих отраслях техники в качестве несущих элементов используются тонкие пластины и оболочки, ослабленные большим количеством регулярно расположенных (периодически, двоякопериодически) отверстий, размеры которых соизмеримы с расстояниями между ними, но существенно меньше характерного размера пластины (оболочки).

Методика расчета построения профиля сопла с угловым входом приведена В.Д. Курпатенковым [25]. Основная терминология и уравнения для метода характеристик для обсуждения основной теории и происхождения этих отношений представлены Liepmann H.W., и Roshko А.В [62].

Виды потерь и способы их оценки показаны в работе [46], учтены наиболее типичные, которые снижают тягу силовой установки.

Для конструктивно-ортотропных оболочек и оболочек с подкреплениями, определение прочности для упругой области предложены Биргером И. А. в [7].

Работа по методам определения напряженного состояния и эффективных упругих параметров перфорированных пластин и оболочек при растяжении и изгибе проведена JLА. Фильштинским [15].

Общую схему решения двоякопериодических задач теории упругости о растяжении пластин, предложенную В.Я. Натанзоном [31], Э.И. Григолюком, Л.А.Фильштинским [15] исследуют различные двоякопериодические задачи о растяжении и изгибе перфорированных пластин и оболочек с круговыми отверстиями. Используя конформное отображение и схему решения двоякопериодических задач, развитую в [15], В.М. Мирсалимов [28] приближенно определяет оптимальную форму отверстий для перфорированной пластины при изгибе.

Метод рядов теряет свою эффективность для областей с некруговыми границами. В этом случае наиболее эффективным является метод интегральных уравнений. Обобщение интегральных уравнений Н.И. Мусхелишвили [29] на решение двоякопериодических задач проведено В. Койтером [59,60].

В работах Болотина В. В. [10] показано влияние случайных нагрузок, действующих на пластинки и оболочки вращения.

Рассмотрен вопрос о создании методики учитывающей эксплуатационные нагрузки и показан пример расходования ресурса элементов двигателя.

Гипотеза спектрального суммирования, предложенная B.JI. Райхером в работе [36], позволяет сформулировать феноменологическую инженерную теорию расчета долговечности, использующую связь между статистическими характеристиками нагрузок и характеристиками выносливости образца в виде кривых Велера.

Современное состояние парка авиадвигателей показывает, что эксплуатация двигателей по расходованию ресурса, требует тщательного контроля термонагруженных элементов, к которам можно отнести элементы камер сгорания, сопла, лопатки турбин.

Следует отметить, что в ряде случаев можно рассмотреть работу элементов имеющих повреждения в виде трещин, которые могут привести к разрушению всего двигателя.

Для выявления этих элементов должен проводиться инструментальный контроль. Рост трещины характеризуется скоростью, которую можно определить уровнем изменения напряженного состояния атах и amin цикла.

Контроль и выявление трещин на ранней стадии позволит оценить оставшееся количество полетных циклов для таких элементов.

Из анализа опыта эксплуатации тонкостенных конструкций можно сделать вывод о том, нами предложен метод проектирования оптимальных конструкций элементов имеющих концентраторы напряжений, снижающих долговечность и уменьшающих ресурс двигателя.

Целью работы является разработка методики создания оптимального сопла с определенными ограничениями по профилю контура, массе и долговечности.

Основные задачи, которые решены в работе, для достижения поставленной цели :

• систематизация и обобщение материалов в данном вопросе;

• исследование факторов влияющих на прочность и долговечность;

• разработка метода оптимизации конструктивных элементов сопла.

Научную новизну представляют:

• усовершенствованный комплексный подход к решению задачи о проектировании контура сопла минимальной массы;

• показано влияние концентраторов напряжений на снижение долговечности оболочек - элементов сопла;

• проведена оценка остаточного ресура элементов сопла с учетом роста трещины, как начального повреждения элемента сопла;

• предложен выбор оптимального раскрытия сверхзвуковой части сопла с учетом трения газа о стенку и потери тяги на неравномерность поля скорости на срезе или непараллельность истечения , и таккже массы сопла. Построена целевая функция массы сопла, которая позволяет оптимизировать массу сопла при заданных ограничениях.

Практическая значимость — создана методика, позволяющая определить оптимальный профиль сопла минимальной массы и учесть влияния конструктивных факторов, а также работу элементов сопла с начальными повреждениями. Расход ресура элементов сопла показан на примере. Уменьшение массово-габаритных характеристик сопла позволит иметь конструктивное решение близкое к оптимальному.

Практическая ценность работы характеризуется тем, что применение комплексного подхода к решению таких задач позволит в эксплуатации оценивать остаточный ресурс сопла при наличии трещины как начального повреждения, что будет обеспечивать безопасность полетов.

В диссертации используются методы теории ВРД, теории упругости, пластичности, сопротивления материалов, теории вероятностей, теория малоцикловой прочности.

В первой главе рассматриваются общие принципы построения коротких сопел, приводятся методика и порядок расчета профиля с изломом образующей и метод характеристик.

Во второй главе рассматривается плоская деформация двухслойных цилиндрических оболочек с продольными и кольцевыми связями. В том случае, когда связи предполагается частыми, получаются решения для конструктивно-ортотропной оболочки. Оболочка подвергается действию внутренего давления, осевых усилий и неравномерного нагрева. Силовые факторы и температура не изменяются по длине оболочки. Рассмотрены некоторые важные для практики схемы нагружения трехслойных конструкций. В этом случае, рассматривается напряженно-дерформированное состояние оболочки, нагруженной на один слой.

В третьей главе расчет на прочность таких пластин сводится к решению сложных краевых задач для многосвязных областей. Задачи можно значительно упростить, если конечную пластину с перфорацией заменить бесконечной пластиной с двоякопериодической системой отверстий. В главе дается постановка и решение двоякопериодической задачи об однородном изгибе, растяжении и сдвиге пластин с криволинейными отверстиями. Задача сведена к решению интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода. Рассматривается определение напряжений и макропараметров при однородном изгибе, растяжении и сдвиге пластин, ослабленных двоякопериодической системой произвольных криволинейных отверстий.

В четвертой главе рассматриваются аналогичные вопросы для густо перфорированной цилиндрической оболочки. Двоякопериодическую задачу для пластин можно считать достаточно полно разработанной. Этого нельзя сказать о периодической задаче в теории оболочек. Между тем постановка такой задачи наиболее естественна для замкнутой оболочки. Здесь попытались наметить соответствующие постановки и подходы к решению обсуждаемого круга задач.

В пятой главе исследуются свободные и вынужденные колебания анизотропной цилиндрической панели, макропараметры которой соответствуют густо перфорированной пластине. Поле напряжений в перфорированной оболочке можно представить в виде суммы двух полей: макроскопического и микроскопического.

Расчет макроскопического поля напряжений проводится при заданных условиях закрепления для сплошной анизотропной оболочки, жесткостные характеристики которой (эффективные упругие параметры) определяются на основе решения двоякопериодических задач об одном изгибе, кручении [9], сдвиге и растяжении [34] перфорированных пластин.

Микроскопическое поле определяется путём умножения макроскопических напряжений на соответствующие коэффициенты концентрации, полученные при решении двоякопериодических задач.

В работе описана процедура расчета напряженного состояния густо перфорированных цилиндрических панелей при действии стационарного случайного нормального давления. Исследуется влияние конструктивных параметров на долговечность перфорированных панелей, находящихся под действием равномерно распределенного стационарного случайного давления.

В шестой главе приведен выбор оптимального контура сопла с учетом потерь трения, потерь рассеивания и массы сопла. Для выбранной толщины стенки сопла, определяются напряжения в соответствующих участках сверхзвуковой части сопла, а также определена долговечность в различных точках, и подход к определению расходования ресурса при различных начальных величинах трещин.

В заключении кратко представлены полученные результаты работы, выводы. В приложении помещены в графическом виде и в таблицах полученные в ходе работы количественные результаты, которые не вошли в основной текст диссертации.

10

ВЫВОДЫ ПО РАБОТЕ

В результате проделанной работы можно сделать следующие выводы.

1) Представленные в первой главе результаты расчета профиля сопла с угловым входом и профиля сопла по методу характеристик показывают, что сопло с угловым входом обладает более короткой длиной профиля сопла.

2) Полученные результаты исследования напряженного состояния слоистых ортотропных оболочек использованы при проектировании конструкций и расчетах на прочность и устойчивость.

3) Представленные в относительных величинах результаты исследования позволяют судить о распределении напряжений в пластинах с отверстиями независимо от толщины, что расширяет возможности их использования при расчетах на прочность.

4) Полученные графики коэффициетов концентраций напряжений дают полное представление о форме изгибаемых и растягиваемых пластин и оболочек, позволяют определить их значения на контурах , а также выделить наиболее опасные зоны и точки. Полученные результаты использованы при расчетах густо перфорированных пластин и цилиндрических панелей на прочность, жесткость, колебания, долговечность.

5) Разработанная методика применима к исследованию динамического поведения и усталостной долговечности густо перфорированных оболочек средней длины, если минимальная длина волны прогиба, а также минимальный радиус кривизны оболочки много больше максимального шага перфорации.

6) Исследованные сверхзвуковые сопла с угловым входом минимальной массой обладают малыми потерями эффективной тяги при скорости полета, соответствующей М=3,0.

7) Проведена оценка расходования ресурса элементов сопла с учетом начального повреждения.

150

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В первой главе представлены общие принципы построения коротких сопел; приводятся методика и порядок расчета профиля сопла с угловым входом и по методу характеристик.

В второй главе приведено решение плоской деформации двухслойных цилиндрических оболочек с продольными и кольцевыми связями. Оболочка подвергается действию внутреннего давления, осевых усилий и неравномерного нагрева. Силовые факторы и температура не изменяются по длине оболочки. Рассмотрены некоторые важные для практики схемы нагружения трехслойных конструкций. В том случае, рассмматривается напряженно-дерформированное состояние оболочки, нагруженной на один слой.

В третьей главе , на основе метода интегральных уравнений, развит подход к решению статических задач об однородном изгибе, растяжении и сдвиге пластин, ослабленных отверстиями. Жесткостные характеристики перфорированной панели, а также концентрация силовых факторов на границах отверстий, определяются методами функций комплексного переменного на основе решений двоякопериодических задач об однородном изгибе, растяжении и сдвиге пластины.

В четвертой главе представлено решение задачи о распределении напряжений в цилиндрической оболочке,ослабленной круговым отверстием. Приводим результаты решения двух задач о растяжении вдоль образующей равномерными усилиями интенсивности и кручении круговой цилиндрической оболочки, ослабленной круговым отверстием .

Сформулирована уточненная постановка задачи о напряженном состоянии перфорированной круговой цилиндрической оболочки, учитывающая периодический характер смещений и усилий. Рассмотрена бесконечная круговая цилиндрическая оболочка, ослабленная двоякопериодической системой одинаковых круговых отверстий. Получиена решение уравнения в виде суммы решений соответствующих двоякопериодических задач растяжения и изгиба плоской решетки с некоторой добавочной функцией , учитывающей эффект кривизны оболочки. Полученные результаты коэффициетов концентраций напряжений дают полное представление о форме пластин и оболочек, позволяют определить их значения на контурах , а также выделить наиболее опасные зоны и точки.

В пятой главе разработана методик исследования динамических характеристик густо перфорированных цилиндрических панелей, состоящая в следующем : на основе решений двоякопериодических задач об однородном изгибе, растяжении и сдвиге пластины определяются макропараметры; густо перфорованная цилиндрическая панель заменяется однородной анизотропной панелью, упругие постоянные которой совпадают с найденными выше макропараметрами; динамическое исследование панели осуществляется методом конечных элементов.

Проведено численное исследование влияния различных констуктивных параметров густо перфорированных пластин на их усталостную долговечность. Разработанная методика применима к исследованию динамического поведения и усталостной долговечности густо перфорированных облочек, если минимальная длина волны прогиба, а также минимальный радиус кривизны оболочки много больше максимального шага перфорации.

В шестой главе приведен выбор оптимального раскрытия сверхзвуковой части сопла с учетом трения газа о стенку и потери тяги на неравномерность поля скорости на срезе или непараллельность истечения , и таккже массы сопла. Построена целевая функция массы сопла, которая позволяет оптимизировать массу сопла при заданных ограничениях. Проведена оценка расходования ресурса с учетом начального повреждения элемента сопла.

152

1. Акимов В. М., Бакулев В.И. и др. Под ред. проф. Шляхтенко С. М. "Теория и расчет воздушно-реактивных двигателей". М; Машиностроение 1987, 568с.

2. Амбарцумян С. А.'Теория анизотропных пластин". М., " Наука ", 1967, 268 с.

3. Амбарцумян С. А. " Общая теория анизотропных оболочек" . М., " Наука ",1974, 446 с.

4. Аннин Б. Д., Черепанов Г. П."Упруго-пластическая задача"., Новосибирск: Наука, 1983.

5. Бабаков И. М. " Теория колебаний , М., " Наука 1968, ,560с.

6. Белоусов А. И., Иванов А. И. " Расчет осевых сил, действующих в турбомашинах ". Учебное пособие, крибышев, 1981.

7. Биргер И. А. " Круглые пластинки и оболочки вращения "., Государственное научно-техническое издательство, оборонгиз. Москва, 1961 г.

8. Биргер И. А., Даревский В. М. Прочность и динамика авиационных двигателей. Сборник сталей, выпуск 4, Машиностроение, Москва, 1966.

9. Болотин В. В. Вибрации в технике. Справочник в 6 томах, т.1 под ред. М., Машиностроение, 1978.

10. Болотин В. В. Случайные колебания упругих систем.-М.:Наука, 1979, 335с.

11. Вентцель Е. С. " Теория вероятностей "., Москва., 2002,575 с.

12. Гавеля С. П. Периодические задачи для пологих оболочек произвольной кривинзны с отверстиями. Доклады АН УССР, 1969, А, №8, с.703-708.

13. И.Гахов Ф. Д. " Краевые задачи М., " Наука ", 1977,640 с.

14. Григолюк Э. И., Грингауз., Долгих В. Н., Фильштинский Л. А. Об изгибе упругих пластин с регулярной структурой. Изв. АНСССР. Механика тверодого тела, 1982,№ 3.

15. Григолюк Э. И., Фильштинский Л. А. " Перфорированные пластины и оболочки М., " Наука 1970 г, 556 с.

16. Грингауз М. Г., Фильштинский Л. А. Теория упругого линейно-армированного композиционного материала.Прикл. матем. и механика, 1975, т.39, № 3,стр.537-546.

17. Гурвиц А., Курант Р., " Теория функций ". М. " Наука ", 1968, 648 с.

18. Каландия А. И." Математические методы двумерной упругости "., "Наука", 1973,304с.

19. Кобел ев В. Н. и др. " Расчет трехслойных конструкций "., М., Машиностроение, 1984 г.

20. Крсильников П. С., " Элементы теории эллиптических функций и их приложения к динамике JIA "., пособие, М.: Издательство МАИ, 1991.

21. Кузнецов М. Д., Цейтлин В. И. "Эквивалентные испытания газотурбинных двигателей"., М., Машиностроение, 1976г.

22. Курпатенков В. Д., " Расчет профиля сопла с изломом образующей (угловое сопло)"., Москва., 1975 г.

23. Лехницкий С. Г. " О некоторых вопросах, связанных с теорией изгиба тонких плит ". Прикл. матем. и механика, 1938, стр. 181-209.

24. Мельников Н. П. " Теоритическое и экспериментальное исследование напряженного состояния перфорированных плит ". Материалы по стальным конструкциям, т. 1 М., 1957, стр. 11 53.

25. Мирсалимов В. М., " Об оптимальной форме отверстий для перфорированной пластины при изгибе "., ПМТФ, 1974, №6, стр 133-136.

26. Мусхелишвили Н. И. " Некоторые основные задачи математической теории упругости. М., " Наука ", 1966, 708 с.

27. Нагаев Р. Ф. " О свободных колеваиях прямолинейной перфорированной плиты. Тр. Ленингр. Политехнического ин-та, 1963, №226, стр. 117-122.

28. Натанзон В. Я. " О напряжениях в растягиваемой пластинке, ослабленной одинако-выми отверстиями, расположенными в шахматном порядке "., Матем. Сб., 1935, т. 42, №5, стр. 616 636.

29. Новиков И. И., Дефекты кристаллического строения металлов. М.: Металлургия, 1975.208 с.

30. Панасюк В. В., Механика разрушения и прочность материалов. Справ. Пособие : В 4 т. Киев.: Наукова думка, 1988.

31. Партон В. 3., Морозов Е. М. Механика упругопластического разрушения. М.: Наука, 1985.

32. Работнов Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1988. 712 с.

33. Райхер В. Л. Гипотеза спектрального суммирования и ее применение для усталостной долговечности при действии случайных нагрузок. Труды ЦАГИ. 1969,стр. 3 -39.

34. Савин Г. Н. " Концентрация напряжений около отверстий ". М., Гостехиздат. 1951.

35. Светлиский В. А. Случайные колебания механических систем М., " Машиностроение ", 1976, 215с.

36. Сергиенко А. А., Собачкин А. А. " К решению вариационной задач об оптимальной форме сверхзвуковых сопел // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1987. №1. С. 138 142.

37. Сергиенко А. А., Собачкин А. А., Семёнов В. В., Выбор оптимальных размеров и контура круглого сопла. Москва. 2003.

38. Сумский Филиал ХПИ, Фильштинский Л. А., Исследование динамических характеристик густо перфорированных систем., Сумы, 1979, 57 с.

39. Сумский Филиал ХПИ, Фильштинский Л. А., Исследование напряженного сотояния густо перфорированных систем при динамических нагрузках., Сумы, 1980, 52 с.

40. Сумский Филиал ХПИ, Фильштинский JL А.,Исследование динамических характеристик густо перфорированных цилиндрических панелей при стационарных случайных нагрузках., Сумы, 1981, 90 с.

41. Сиротин Н. Н. Конструкция и эксплуатация, повреждаемость и работоспособность газотурбинных двигателей (основы конструирования). М.,РИА ИМ-ИНФОРМ, 2002г.

42. Скубачевский Г. С. Авиационные газотурбинные двигатели. Конструкция и расчет деталей. М., Машиностроение, 1981г.

43. Сосунов В.А., Чепкина В.М. Теория, расчет и проектирование авиационных двигателей и энергетических установок. Москва. Издательство МАИ. 2003.стр. 181-186.

44. Тимошенко С. П. и Войноский-Кригер С. " Пластинки и оболочки издателство. " Наука ", главная редакция , физика-математической литературы. Москва. 1966.

45. Фильштинский JI. А., " Напряжения и смещения в упругой плоскости, ослабленной двоякопериодической системой одиноковых круглых отверстий "., Прикл. Матем. И механика, 1964, т. 28, №3, стр. 430-441.

46. Филыитинский JI. А.," Двоякопериодическая задача теории упругости для изотропной среды, ослабленной конгруэнтными группами произвоольных отверстий "., Прикл. матем. и механика, 1972,. т.36,№4, стр. 682-690.

47. Хеллан К. Введение в механику разрушения: Пер. с англ. М.: Мир, 1988. 364 с.

48. Хронин Д. В. и др. "Конструкция и проектирование авиационных газотурбинных двигателей", М., Машиностроение, 1989г.

49. Черепанов Г. П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука, 1974. 640 с.

50. Шилов Г. Е. Математический Анализ ( конечномерные линейные пространства)., М.: Наука, 1969, 431с.

51. Шляхтенко С. М., " Теория воздушно-реактивных двигателей ".,М., Машиностроение, 1975,568 с.

52. Cohen H., Rogers G. F. C., Saravananmutto H. I. H., " Gas turbine theory Longman Group Limited, London, 1972.

53. Erwin Kreyszig, " Advance Engineering Mathematics, United States of America in 1979.

54. John D. Anderson, Jr., " Fundamentals of Aerodynamics "., McGraw-Hill Book company. New York, 1984.

55. John D. Anderson, Jr., " Modern compressible flow McGraw-Hill Book company. New York, 1990.

56. Koitep W.T. Some general theorem on doublyperiodic and quasiperiodic functions. Proc. Konikl. Nederl. Akademie Wetenshappen, Amsterdam, 1959, Vol. 62, № 2.

57. Koitep W.T. Stress distribution in an infinite elastic sheet with a double-periodic set of equal holes. Boundary problems differential equations. Medison, Univ. Wisconsin Press, 1960.

58. Lekkerkerker J.G., On the stress distribution in cylindrical shells weakened by a circular hole. Uitgeverij Waltman, Delft, 1965.

59. Liepmann, H.W., and Roshko, A. Elements of Gasdynamcis. John Wiley & Sons, New York, 1957.

60. Philip G. Hill, Carl R. Peterson., "Mechanics and Thermodynamics of propulsion", Addison-wesley publishing company, 1992.