автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое и численное моделирование задач устойчивости тонкостенных конструкций методом модуль-элементов

На правах рукописи

КАМЕНСКИХ ИРАИДА ВИТАЛЬЕВНА

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ И ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧ УСТОЙЧИВОСТИ ТОНКОСТЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ МЕТОДОМ МОДУЛЬ-ЭЛЕМЕНТОВ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Комсомольск-на-Амуре - 2004

Работа выполнена в государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет» (ГОУВПО «КнАГТУ»)

Научный руководитель: Заслуженный работник ВШ РФ,

доктор технических наук, профессор ТАРАНУХА Николай Алексеевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

ХРОМОВ Александр Игоревич;

кандидат технических наук, доцент ЛЕЙЗЕРОВИЧ Григорий Самуилович;

Ведущая организация: ОАО «Комсомольское-на-Амуре

авиационное производственное объединение»

Защита состоится «24» декабря 2004 г. в 1000 час. на заседании диссертационного совета Д 212.092.03 в ГОУВПО «КнАГТУ» по адресу: 681013, г. Комсомольск-на-Амуре, пр. Ленина, 27, ГОУВПО «КнАГТУ».

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУВПО «КнАГТУ».

Автореферат разослан ноября 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Могильников Е.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время обширный круг инженерных конструкций самого разного назначения (в том числе и судовой корпус) классифицируют как сложные структуры, проектный анализ которых даже при использовании ЭВМ остается сложной и трудоемкой задачей. Одной из важных проблем в этой области является построение математических моделей и разработка эффективных методов и алгоритмов для оценки устойчивости сложных тонкостенных конструкций в целом.

При этом в математических и численных процедурах необходимо более полно учесть взаимодействия и взаимовлияния элементов конструкции друг на друга, учесть особенности закрепления и нагружения конструкций. Эти особенности часто делают невозможным получение и применение точных аналитических решений. Применение численных процедур на основе МКЭ тоже сталкивается с трудностями, связанными с тем, что для сложных объектов порядок систем уравнений в МКЭ может достигать десятков тысяч. Поэтому разработка новых методов и алгоритмов для оценки устойчивости сложных тонкостенных конструкций остается актуальной.

Диссертация посвящена решению этой проблемы на основе метода модуль-элементов (ММЭ).

Цель работы • разработка физической и математической моделей для решения задачи устойчивости по методу модуль-элементов, построение численной модели для ММЭ; создание теоретической методики для оценки устойчивости тонкостенных конструкций на основе ММЭ; практическая реализация разработанных моделей и методики на основе ММЭ; сопоставление с другими методами.

Научная новизна работы состоит в следующем:

• сформулирована физическая модель решения задачи устойчивости ММЭ (физические допущения, принципы дискретизации, построение обобщенных перемещений и координатных функций);

- разработана математическая модель и получены теоретические зависимости для вычисления матриц устойчивости и жесткости при решении задачи устойчивости, для вычисления моментных коэффициентов;

- построена численная модель решения задачи устойчивости по ММЭ и создано программное обеспечение для реализации методики на ЭВМ;

- разработан метод оценки устойчивости тонкостенных конструкций на основе использования идей метода модуль-элементов;

- установлены новые закономерности изменения критических напряжений, в зависимости от соотношения размеров пластины, высоты ребра и неравномерности нагрузки на основе результатов расчетов по разработанным математическим и численным моделям на основе ММЭ.

Достоверность полученных результатов обеспечена применением известных физических представлений и зависимостей теории упругости, теории складчатых пластин и оболочек. Подтверждается сопоставлением результатов полученных по ММЭ с по

БИБЛИОТЕКА СО«* О»

ЧШ.

МКЭ и с аналитическими решениями. Решение задачи согласовывается с известными теоремами устойчивости.

Практическая ценность. Предложены математические модели и алгоритмы расчета на устойчивость тонкостенных конструкций на основе ММЭ.

Разработан комплекс программ для расчета пластин на устойчивость по ММЭ при равномерной и неравномерной сжимающей нагрузке. Сформулированы рекомендации по выбору обобщенных перемещений по кромкам МЭ в зависимости от граничных условий конструкции.

Результаты работы используются в учебном процессе в ГОУВПО "КнАГТУ" на кафедре "Кораблестроение".

Личный вклад автора состоит в разработке физической и математической модели тонкостенной конструкции для решения задачи устойчивости в формулировке ММЭ; в составлении соответствующего численного алгоритма расчета и его реализации на ПЭВМ; в проведении численных расчетов по ММЭ с последующим анализом полученных данных; в формулировке рекомендаций по составлению расчетных схем конструкций в задачах устойчивости по ММЭ.

На защиту выносятся:

- физическая, математическая и численная модели и теоретические зависимости для оценки устойчивости тонкостенных конструкций на основе ММЭ;

- рекомендации по определению количества вводимых по кромкам МЭ обобщенных перемещений в зависимости от граничных условий конструкции и форм координатных функций;

- алгоритм определения моментных продольных и поперечных координатных функций и вычисления коэффициентов матриц жесткости и устойчивости конструкции для задачи устойчивости в ММЭ;

- программное обеспечение на основе ММЭ;

- результаты численных исследований по ММЭ напряжений потери устойчивости в зависимости от соотношения размеров пластины, высоты ребра и неравномерности нагрузки;

- новые закономерности в части поведения критических напряжений в зависимости от соотношения размеров пластины, высоты ребра и неравномерности нагрузки.

Апробация работы. Основные научные положения и результаты исследований докладывались и обсуждались на Дальневосточной научно-технической конференции (г. Владивосток, ДВГТУ, 1995 г.), 26-й научно-технической конференции КнАГТУ (г. Комсомольск-на-Амуре, 1996 г.), международной конференции "Кораблестроение и океанотехника. Проблемы и перспективы" SOPP - 98 (г. Владивосток, 1998 г.), международной конференции ДВГТУ (г. Владивосток, 1999 г.), международной научной конференции "Нелинейная динамика и прикладная синергетика" (Комсомольск-на-Амуре, 2002 г.).

Публикации. Основные материалы диссертации опубликованы в 9 работах.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, библиографического списка. Работа содержит 210 страниц, включает 65 рисунков, 16 таблиц, 26 Ланиц приложения. Библиографический список охватывает 98 источников.

Работа выполнена на кафедре кораблестроения Комсомольского-на-Амуре государственного технического университета. Автор выражает благодарность коллективу кафедры за оказанную помощь при выполнении данной работы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении рассмотрена проблема расчета тонкостенных конструкций на устойчивость. Отмечена актуальность работы, сформулирована цель и основные задачи исследования.

В первой главе проведен обзор существующих методов расчета конструкций на устойчивость, рассмотрены различные математические модели, используемые в расчетах на устойчивость, обобщены результаты исследований. Вопросами устойчивости занимались И.Г. Бубнов, ВЗ. Власов, А.С. Вольмир, В.Н. Новожилов, И.Ф. Образцов, П.Ф. Папкович, ВАПостнов, Н.А. Тарануха, Ю.А. Шиманский, B.C. Чувиковский. Отмечено, что для простых конструкций существуют достаточно надежные методы исследования их устойчивости. Однако для оценки сложных конструкций, существует необходимость в разработке более эффективного метода расчета. В качестве такого метода выбран метод модуль-элементов (ММЭ), разработанный профессорами В.А. Постновым и Н.А. Таранухой. В конце главы сформулирована постановка задачи.

Во второй главе проводится построение физической модели. Физическая модель построена на физических представлениях теории упругости, теории складчатых пластин и оболочек. Тело обладает свойством сплошности, перемещения являются непрерывными функциями координат точек тела; тело считается упругим; применяется принцип суперпозиции для нагрузок и деформаций; по толщине пластины применима гипотеза прямых нормалей.

Конструкция представляется в виде произвольно нагруженной непризматической тонкостенной складчатой оболочки, имеющей произвольные очертания в поперечных сечениях. Продольно-поперечный набор, подкрепляющий ее, учитывается в зависимости от своего размера либо конкретно в месте своего крепления либо "размазывается" в пределах зоны своего влияния. Модуль-элементы (МЭ) представляют собой сложные пространственные участки тонкостенной конструкции, выделенные поперечными сечениями; каждое поперечное сечение может претерпевать сложные обобщенные перемещения: общие и локальные продольные и поперечные смещения, перекосы, депланации, скручивания, сдвиги. На рис.1

показаны принципы дискретизации сложной тонкостенной конструкции на модуль-элементы.

Рис. 1. Принципы дискретизации на модуль-элементы: тип 1 -призматический МЭ; тип 2 - плоскостной; тип 3 - рамный.

В методе модуль-элементов продольные и, поперечные касательные и и поперечные нормальные w перемещения точек срединной поверхности представляются в виде разложения в ряд через обобщенные перемещения и координатные функции по формумам:

где \]\{х) и УВД - обобщенные продольные и поперечные перемещения, (основные неизвестные з а ддаф, и ^ ■ соответствующие им координатные функции.'

Аппроксимация перемещений вдоль МЭ:

/М=(1"у)/1+у/2. (2)

где / - длина МЭ,./} и/г - значения функции/Л на левом и правом торцах МЭ. С учетом (2) перемещения (1) в ММЭ примут вид:

На рис. 2 показаны принципы построения координатных функций.

1

91 Г| Х\

\ и= 1 * Г. 11@ПТТтттт-1~- Е© 1 У=1 1 I У= 1 ШгГГГгттг,

1

Рис. 2. Принципы построения координатных функций для МЭ прямоугольного сечения

В третьей главе приводятся исходная обшая и конкретная для задачи устойчивости математические модели ММЭ. Здесь же приведена теорема устойчивости и сформулирована ее связь с ММЭ. Для определения матриц жесткости МЭ конструкции необходимо знать ее потенциальную энергию.

Потенциальную энергию упругой деформации МЭ можно представить в квадратичной форме:

где - неизвестные узловые перемешения, - коэффициенты

матрицы жесткости. Потенциальная энергия упругой деформации пространственного МЭ

я=п0+п?ж-+пг-++пмТ>

здесь для гладкой оболочки:

(5)

для ребер жесткости:

Обобщенные внешние нагрузки, действующие на МЭ: -продольные (1-1,2, . . Рг . П{Щ (гщ) я левого торца и

(г=т+п+!) - для правого торца;

-поперечные (к=1,2,...,п) Рг = ^(^¿(.у)^, (г=т+к)

(8)

для левого торца и

- для правого торца. Для решения задачи устойчивости в ММЭ составляется конкретная математическая модель, на основе общей модели ММЭ.

Компоненты деформации срединной поверхности оболочки представляются в нелинейном виде: \2

ей

до \(д»У ди до д*> д*>

гЫ • '' -а + гЫ)' = а + аа" (9)

С учетом этого потенциальная энергия конструктивно ортотропной оболочки в формулировке ММЭ имеет вид:

Р м ш ___

"-цк i i М/х

х /=1 )=\ (г=/,и+п+|)(/-т+п+])

а ц Ь,1

1-у'

■+эгэ{

2(1 + у)

ек +

+ е и е :

х (=1 *=1 (г=1,т+пи)(1-т+к. 2т+п+к)

ЭГЭ}

с1к

2(1 +У)

+ Э'ГЭ1

УК,,

г 1 I 2

<1х +

г« п т

i

е ьяг-

2 J ¿—I _____

х *=1 /=1 (г=т+к, 2т+п+к)(1=]. т+п+¡)

2(1 + у)

l-v2J

<1х +

£ П Я

мее е е

д: /г=1 А=1 (г=т+к. 2т+п+к)(!=т+к. т+п+к)

(10)

2(1 + у) г 2(\ + у)

+Э,

1-у

*1н)

дх.

Работа внешней нагрузки: Ар = ||р(*,.$)н'(яг,.г)а!х(&. (11)

/ *

Полная энергия системы: Э = П — Ар.

(12)

Для решения задачи о потере устойчивости необходимо знать полную энергию системы. Чтобы это сделать, представим бесконечно малые приращения перемещений в виде

Здесь щ, V/, и- характеризуют начальное положение системы, а «2, V} - отклоненное положение. Изменение полной энергии при переходе из основного положения равновесия (3{) в отклоненное (37 запишем в виде

Э = э2-Э, (14)

В развернутом виде, с помощью (9) и (13), выражение (14) имеет более сложный характер:

. ди „ дм дп> (ди)2 .

+ У^ЁЕ)2 + 2^1—— + )

£*1 + 1ас; ^дх) + дх дхдх+дх{дх)

ди 80 | сЦ ди* | 1 ( дйЛ2 | дп\ ди дхд* Е*х & & + 2£х\дх) & дх

Эй»

аГ

(14)

+ 2и

д УУ1 д \у [ 3 3 й> | 3 и>3 им (

дх2 а«2 а*2 дх2 дх2 а«21

а*2 а*2

3 ус

/

л з2»р

2-1-+

ЙГЙУ 3*3$

- относительные деформации, соответствующие первому (докритическому) состоянию равновесия.

Изменение полной энергии при переходе из первого состояния равновесия во второе представим в виде:

здесь первая, вторая, третья и четвертая вариации

полной энергии. Вариационным условием существования новых состояний

равновесия, смежных с начальным, является условие стационарности:

Отсюда с учетом линейной независимости обобщенных перемещений следует система однородных линейных уравнений:

где [К], [Т] и - соответственно, матрицы жесткости, устойчивости и обобщенных перемещений. Как следует из теоремы устойчивости, условием существования нового равновесного положения, является существование хотя бы одного положительного корня характеристического уравнения. В данном случае характеристическим уравнением является равенство нулю определителя системы (17). Это и есть уравнение устойчивости:

Внешние нагрузки и напряжения первого состояния определяются по выражениям:

где

А .

>м

подлежащий определению параметр

; «ЪМ. ^М.

Р \л'л1 - функции, отражающие законы изменения напряжений первого состояния и составляющих внешних нагрузок. Если нагрузки возрастают пропорционально одному параметру X, его можно выделить из МУ и тогда уравнение устойчивости примет вид:

¡К + Л7Ь| = 0.

(27)

где - матрицы устойчивости, не зависящая от внешних критических сил.

Матрицы следуют непосредственно из системы

алгебраических уравнений ММЭ:

Ж.',

ддг

=2 т+н+к 1 при (/' = 1,2,3...т; к = 1,23-..«)

При этом малые приращения перемещений и кривизн в ММЭ имеют вид:

= £ ('-у^+у^т+я+г ,•„11Л >

уГЛ х\ х 1М). —""Л ^--¡рт+к+^Чгт+п+к -

з2^*,*) ^гл х

—П— = 1" 7 + 7^т+п+к *и,1\ ^ 1

Напряжения первого состояния в ММЭ примут вид:

ЯМ

ЕфУ

(29)

(30)

Матрица устойчивости представлена в таблице 1.

Одной из важных проблем ММЭ при решении задач устойчивости является учет продольного и поперечного изгиба. Для этого продольные изгибающие моменты представлялись в идеях ММЭ в виде

Мг =-

1

М. = •

.ы ы

£гк(хМкЫ+у£гк(хМкО

и=1

ы

(31)

где - своеобразные поперечные

«моментные» координатные функций. Построение этих функций представлено на рис. 3 .

В четвертой главе проводится построение численной модели, дается описание программного комплекса, инструкция для пользователя программой. Численная модель построена на следующих принципах:

^ дискретизация и формирование разрешающей системы уравнений в один уровень;

^ применение пространственных модуль-элементов; / полуаналитическое описание напряженно-деформированного состояния тонкостенной модели;

^ вычисление обобщенных перемещений с последующим переходом к перемещениям линейным и угловым; основные численные процедуры ММЭ соответствуют процедурам метода конечных элементов.

Таблица 1

Линейная матрица устойчивости призматического модуль-элемента

1,2.3.-т.] ...т+п, А ...2т+п, / ...2(т+п), Л

^ в-с^ 5 0 0 0 0

0

•ч : в"

* £ 0 0

"г + СИММЕТРИЧНО

с + 1

Программа имеет удобный пользовательский интерфейс. Ввод исходной информации сопровождается всплывающими подсказками о допустимых значениях. Структура диалоговых окон приведена на рис.4, а на рис.5 показано окно ввода данных.

Рис.3. Построение "моментных" координатных функций

Запуск и завершение программы («и_Ш.раз»)

* ¥

Выбор варианта расчета («и У.раз»)

? ♦

Ввод исходной информации о пластине («и V р.раз»)

> к г..........................1 ¡1 Файлы исходной 5 !; информации \

1 Выполнение расчета 1 ♦

Вывод результатов расчета («и_11ег.рав»)

Рис. 4. Структура диалоговых окон в программном комплексе "Устойчивость"

Рис. S. Окно ввода данных В пятой главе показано практическое применение разработанных математических и численных моделей к конкретным задачам на устойчивость. Рассматривались гладкие пластины и пластины с ребром. В расчетах гладких пластин варьировались* отношение Ь/Б, опирание на кромках, количество обобщенных перемещений. Рассматривались задачи на равномерное и неравномерное нагружение. Было выполнено более 500 вариантов практических расчетов различных пластин. Часть этих результатов приведены в табл. 2 и 3, на рис. 6-40. В процессе этих практических расчетов была выполнена оценка погрешности вычисления напряжений потери устойчивости. На основании выполненных расчетов была установлена связь между критическими напряжениями, с одной стороны, и соотношением размеров сторон пластин (рис 8), высотой ребра (рис.9) и неравномерностью нагрузки (рис. 10), с другой стороны.

Для сопоставления были проведены расчеты рассматриваемых конструкций по МКЭ. Получены значения напряжений потери устойчивости и соответствующие им формы. Некоторые результаты приводятся на рис.7, (для всех вариантов приняты: 1 Н/м:)

Проведен сопоставительный анализ полученных результатов по ММЭ с результатами полученными аналитическим методом и МКЭ. Основные результаты приведены в табл. 2 и табл. 3.

Таблица 2

Напряжения потери устойчивости (гладкая пластина)

Закрепление пластины Аналитическое решение по А.С.Вольмиру МКЭ ммэ

ПО В.А. Постнову мвс/

«V кН/м1 (п) кН/м1 кН/м2 (п) кН/м1

сжимающая нагрузка распределена по кромке ¡равном ерно

шарнирное опирание по четырем хромкам (пластана прямоугольная) (Ш'1.4) 80804 (-) - (764) 80727 (8) 82019

шарнирное опирание по четырем кромкам (пластина квадратная) 72305 (21) 73917 (60) 74384 (6) 76117

шарнирное опирание по трем кромкам, одна кромка свободная 25123 (-) - (535) 25314 (6) 25853

шарнирное опирание по трем кромкам, одна кромка жестко защемлена 103757 - « (473) 105261 (4) 113541

сжимающая нагрузка распределена по линейному закону

шарнирное опирание по четырем кромкам (УВ-2, а*2) 96400 - (1076) 97332 (6) 102481

(Ту - напряжения потери устойчивости; я - количество неизвестных при решении задачи.

Таблица 3

Напряжения потери устойчивости (пластина с ребром)

ащ

Шмг 400000

300000

200000

100000

0 0.1 0.2 0.3 высота ребра, Ьр, м

Рис.9. Связь между критическими напряжениями и высотой ребра

Рис. 10. Связь между критическими напряжениями и неравномерностью на1рузки

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Разработаны физическая, математическая и численная модели оценки устойчивости тонкостенных конструкций на основе ММЭ; доказана

приемлемость дискретизации конструкции на пространственные модуль-элементы;

2. Разработан метод модуль-элементов применительно к решению задач устойчивости тонкостенных конструкций; установлено, что ММЭ снижает размер системы уравнений равновесия в 10-И00 раз по сравнению с МКЭ;

3. Сформулированы рекомендации по количеству вводимых по кромкам МЭ обобщенных перемещений в зависимости от граничных условий конструкции;

4. Проанализированы варианты форм координатных функций; установлена возможность применения независимых треугольных координатных функций;

5. Построены алгоритмы определения моментных координатных функций и вычисления коэффициентов матриц жесткости и устойчивости конструкции;

6. Создано программное обеспечение на основе ММЭ; на базе выполненных численных расчетов установлены новые закономерности поведения критических напряжений в зависимости от соотношения размеров сторон пластины, высоты ребра и неравномерности нагрузки;

7. Проведен сопоставительный анализ результатов, полученных по ММЭ, с результатами по МКЭ и аналитическому методу; подтверждены достоверность полученных результатов и преимущество ММЭ в снижении трудоемкости выполнения расчетов;

8. Доказана возможность применения ММЭ к оценке устойчивости тонкостенных конструкций.

Основные положения диссертации опубликованы в работах:

1.Тарануха Н.А., Каменских И.В. Решение задачи устойчивости сложных судовых конструкций методом модуль-элементов// Учет особенностей дальневосточного бассейна при проектировании и модернизации судов: Материалы XII Дальневосточной науч.-техн. конф. 1112 сентября 1995г. - Владивосток.:Изд-во ДВГТУ, 1995. - 0.114-119.

2.Тарануха Н.А., Каменских И.В. Решение задачи устойчивости сложных судовых конструкций методом модуль-элементов// Транспорт: Вестник КнАПИ. - Комсомольск-на-Амуре. :Изд-во КнАПИ, 1995. - Вып. 1-С.113-116.

3.Каменских И.В. Устойчивость сложных судовых конструкций// Технические науки: Материалы 26-й науч.-техн. конф. 4-26 апреля 1996 г. -Комсомольск-на-Амуре: КнАГТУ, 1996, - 4.1. -С. 103-109.

4. Каменских И.В., Тарануха НА. Некоторые вопросы в решении задачи о потере устойчивости пластины методом модуль-элементов/ГКораблестроение и океанотехника. Проблемы и перспективы" 80РР - 98: Материалы международной конф., сентябрь 1998г. -Владивосток, 1998. - С.396-401.

20 »25426

5.Тарануха Н.А., Каменских И.В. Вычисление «моментных» коэффициентов матрицы жесткости модуль-элемента// Материалы международной конф. 9-12 сентября 1999г. - Владивосток.:Изд-во ДВГТУ,

1999.-С.57-64.

6.Тарануха Н.А., Каменских И.В. Оценка влияния неравномерности нагрузки на точность определения методом модуль-элементов напряжений потери устойчивости пластин // Прогрессивные технологии в машиностроении: Вестник КнАГТУ. - Комсомольск-на-Амуре: КнАГТУ,

2000. - Вып. 2. - Сб. 1. - Ч. 2.. - С. 143 - 147.

- 7.Тарануха НА., Каменских И.В. Оценка применимости метода модуль-элементов к решению задач устойчивости пластин при неравномерной нагрузке // Прогрессивные технологии в машиностроении: Вестник КнАГТУ. - Комсомольск-на-Амуре: КнАГТУ, 2000. - Вып. 2. - Сб. 1. -Ч.2.-С.138-142.

8. Каменских И.В. Основные моменты при расчете на устойчивость пластин методом модуль-элементов/ТНелинейная динамика и прикладная синергетика. Ч.1.: Материалы международной науч. конф. (Комсомольск-на-Амуре, 23-27 сентября 2002 г.)/ Редкол.: Ю.Г. Кабалдин (отв. ред. и др.) -Комсомольск-на-Амуре: ГОУВПО "КнАГТУ", 2003.- С.33-38.

9.Свид-во об офиц. регистр, программы для ЭВМ № 2004610808. Расчет пластин на устойчивость /Каменских И.В., Тарануха Н.А., Чижиумов СД- (РФ)- - № 2004610251; Заявлено 05.02.2004; Зарег. в Реестре программ для ЭВМ 31.03.2004.

ЛР№ 020825 от 21.09.93. Подписано в печать 16.11.04 Формат 60*84/16. Бумага писчая. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,16. Уч. изд. л. 1,10. Тираж 100 экз. Заказ 18424.

Полиграфическая лаборатория ГОУВПО «Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет» 681013, г. Комсомольск-на-Амуре, пр. Ленина, 27.

ПЕРЕЧЕНЬ ОСНОВНЫХ СИМВОЛОВ И СОКРАЩЕНИЙ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ОБЗОР МЕТОДОВ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ

ТОНКОСТЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ

1.1. Аналитические методы.

1.2. Численные методы.

1.3. Метод модуль-элементов. Постановка задачи.

ГЛАВА 2. ПОСТРОЕНИЕ ФИЗИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ РЕШЕНИЯ

ЗАДАЧИ УСТОЙЧИВОСТИ ТОНКОСТЕННЫХ ф КОНСТРУКЦИЙ МЕТОДОМ МОДУЛЬ-ЭЛЕМЕНТОВ

2.1. Описание физической модели и основные допущения.

2.2. Дискретизация исходной конструкции.

2.3. Выбор и построение обобщенных перемещений и координатных функций.

ГЛАВА 3. ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ УСТОЙЧИВОСТИ ТОНКОСТЕННЫХ

КОНСТРУКЦИИ МЕТОДОМ МОДУЛЬ-ЭЛЕМЕНТОВ.

3.1. Теорема устойчивости. Условие потери устойчивости.

3.2. Исходная общая математическая модель метода модульэлементов.

3.3. Математическая модель метода модуль-элементов для решения задачи устойчивости.

3.4. Матрицы устойчивости типовых модуль-элементов.

3.5. Учет продольного и поперечного изгиба в методе модуль-элементов.

3.6. Построение формул вычисления изгибных

Ъ коэффициентов матрицы жесткости пластины.

3.7. Построение формул вычисления изгибных коэффициентов матрицы жесткости в системе "пластина-ребро".

3.8. Построение формул вычисления изгибных коэффициентов матрицы устойчивости в системе "пластина-ребро".

ГЛАВА 4. ПОСТРОЕНИЕ ЧИСЛЕННОЙ МОДЕЛИ И

ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ УСТОЙЧИВОСТИ ТОНКОСТЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ МЕТОДОМ МОДУЛЬ-ЭЛЕМЕНТОВ.

4.1. Описание численных процедур при реализации разработанной математической модели.

4.2. Описание структуры и алгоритма управляющей программы "Устойчивость".

4.3. Описание структуры и алгоритма программы и ее приложений для оценки устойчивости пластины.

4.4. Инструкция по использованию программного комплекса.

4.4.1. Построение расчетной модели.

4.4.2. Подготовка исходной информации.

4.4.3. Обработка результатов счета.

ГЛАВА 5. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА МОДУЛЬ

ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ТОНКОСТЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ

5.1. Расчет на устойчивость шарнирно опертой пластины прямоугольной формы.

5.2. Расчет на устойчивость шарнирно опертой прямоугольной пластины при неравномерной по кромке сжимающей нагрузке.

5.3. Расчет на устойчивость прямоугольной пластины, сжатой по поперечным сторонам (три кромки шарнирно оперты, одна кромка свободная).

5.4. Расчет на устойчивость прямоугольной пластины, сжатой по поперечным сторонам (три кромки шарнирно оперты, одна кромка жестко защемлена).

5.5. Расчет на устойчивость прямоугольной шарнирно опертой пластины, подкрепленной по середине продольным ребром жесткости и сжатой равномерной нагрузкой по поперечным кромкам.

5.6. Расчет гладких пластин и пластин с ребром по методу конечных элементов.

5.7. Сопоставление результатов, полученных поММЭиМКЭ.

и

В настоящее время обширный круг инженерных конструкций самого разного назначения (в том числе и судовой корпус) классифицируют как сложные структуры, проектный анализ которых даже при использовании ЭВМ остается сложной и трудоемкой задачей. Одной из важных проблем проектного анализа является исследование устойчивости сложных конструкций в целом.

Повреждения тонкостенных (судовых) конструкций вследствие потери устойчивости встречаются довольно часто. В большинстве случаев повреждения вызываются местными нагрузками, но случаются также ф- повреждения от действия сжимающих усилий при общем изгибе корпуса судна, или при действии ударных нагрузок.

Расчеты на устойчивость опираются на строгую теорию созданную выдающимися учеными И.Г. Бубновым, В.З. Власовым, А.С. Вольмиром, В.Н. Новожиловым П.Ф. Папковичем, Ю.А. Шиманским, и многими другими. Много внимания в исследованиях уделено составляющим элементам конструкции корпуса: балкам, пластинам, перекрытиям. По оболочкам правильной формы - коническим, сферическим, цилиндрическим, имеется обширный материал экспериментальных и теоретических исследований. ^ Разработанные численные методы и аналитические зависимости позволяют получить достоверные результаты решения задачи устойчивости для различных элементов конструкции.

С одной стороны, стремление учесть более полно работу конструкций в целом, создание рациональных корпусных конструкций, обладающих высокой прочностью и устойчивостью, необходимость снижения веса, усложнение объектов [27], требуют уточнения методов расчетов, а с другой - часто делают невозможным получение точных аналитических решений. Поэтому не tr достаточно проводить расчеты только отдельных элементов корпуса судна по аналитическим формулам необходимо рассчитывать конструкцию как систему в целом, учитывать взаимодействие и взаимовлияние элементов друг на друга.

На основании выше изложенного целью данной работы является:

-разработка физических и математических моделей и теоретической методики, позволяющих решать задачи устойчивости сложных тонкостенных (судовых) конструкций на основе метода модуль-элементов (ММЭ);

-построение численных моделей алгоритмов, реализующих методику оценки устойчивости сложных тонкостенных конструкций на основе ММЭ;

- написание соответствующих программ для ЭВМ, реализующие разработанные модели и методики;

- проведение тестовых и практических расчетов, подтверждающих эффективность ММЭ и правильность полученных численных алгоритмов;

-анализ результатов расчетов по ММЭ и их сопоставление с другими методами; выявление на этой основе новых закономерностей.

Научная новизна выполненной работы заключается в следующем:

- сформулирована физическая модель решения задачи устойчивости ММЭ (физические допущения, принципы дискретизации, принципы построения обобщенных перемещений и координатных функций);

- разработана математическая модель и получены теоретические зависимости для вычисления матриц устойчивости и жесткости при решении задачи устойчивости, для вычисления моментных коэффициентов;

- построена численная модель решения задачи устойчивости по ММЭ и создано программное обеспечение для реализации методики на ЭВМ;

- разработан метод оценки устойчивости тонкостенных конструкций на основе использования идей метода модуль-элементов;

- установлены новые закономерности изменения критических напряжений, в зависимости от соотношения размеров пластины, высоты ребра и неравномерности нагрузки на основе результатов расчетов по разработанным математическим и численным моделям на основе ММЭ.

Девять опубликованных статей посвящены результатам выполненной работы.

Структура работы. Диссертационная работа включает в себя введение, пять глав и заключение, изложена на 210 страницах, содержит 65 рисунков, 16 таблиц, список литературы из 98 источников и 26 страниц приложения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

По результатам проведенных исследований в данной диссертационной работе получены следующие выводы: разработаны физическая, математическая и численная модели оценки устойчивости тонкостенных конструкций на основе ММЭ; доказана приемлемость дискретизации конструкции на пространственные модуль-элементы; при этом для расчета конструкций, рассмотренных в диссертации достаточно разбить конструкцию на 2-5 модуль элементов; разработан метод модуль-элементов применительно к решению задач устойчивости тонкостенных конструкций; установлено, что ММЭ снижает размер системы уравнений равновесия в 10-И 00 раз по сравнению с МКЭ; для рассмотренных конструкций это количество лежит в пределах от одного до пяти. сформулированы рекомендации по количеству вводимых по кромкам МЭ обобщенных перемещений в зависимости от граничных условий конструкции; проанализированы варианты форм координатных функций; установлена возможность применения независимых треугольных координатных функций; построен алгоритм определения моментных координатных функций и вычисления коэффициентов матриц жесткости и устойчивости конструкции; создано программное обеспечение на основе ММЭ (программный комплекс "Устойчивость"); на базе выполненных численных расчетов установлены новые закономерности поведения критических напряжений в зависимости от соотношения размеров пластины, высоты ребра и неравномерности нагрузки; проведен сопоставительный анализ результатов, полученных по ММЭ, с результатами по МКЭ и аналитическому методу; подтверждены достоверность полученных результатов и преимущество ММЭ в снижении трудоемкости выполнения расчетов; доказана возможность применения ММЭ к оценке устойчивости тонкостенных конструкций.

167

1. Амиро И.Я., Заруцкий В.А. Исследования в области устойчивости ребристых оболочек/ТПрикл. механика. АН Украины, ин-т механики. 1983.- т. XIX. -№ 11.-С.З-20.

2. Астахов M.B. Применение численного варианта метода возмущений в проектировании прямоугольных пластин с учетом устойчивости/ТПроблемы надежности машин, приборов и аппаратуры: Сб. статей/Под ред. О.Ф. Борискина. М.: Изд-во МГТУ, 1992. - С.3-12.

3. Басов К.A. ANSYS в примерах и задачах /Под. общ. ред. Д.Г. Красковского. М.: КомпьютерПресс, 2002. - 224 е.: ил.

4. Белинская Е.Ш. Белинский Б.П. Устойчивость палубных перекрытий с бирегулярной системой бимсов//Изв. АН СССР, ММТ.-1983.-№2. С.146-151.

5. Белинская Е.Ш. Устойчивость перекрытий с жестко заделанными продольными балками//Тр. ЛКИ: Прочность и надежность судовых конструкций. 1982. - С.3-8.

6. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках/Пер. с англ. М.:Мир,1984. - 446 с.

7. Беспалова Е.И. Решение нелинейных задач теории оболочек с использованием методов полных систем//Прикл. механика. АН Украины, ин-т механики. 1992. - т. 28.- № 8. - С.43-48.

8. Биргер И.А. Стержни, пластинки, оболочки. М.:Физматлит, 1992. -392 с.

9. Бронштейн КН., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. 13-е изд., исправленное. - М.: Наука, Гл. ред. физ.- мат. лит., 1986. - 544 с.

10. Власов В.З. Избранные труды.: В Зт. М.: Изд-во АН СССР, 1963-1964.-Т. 1-3.

11. Вольмир А. С. Устойчивость деформируемых систем Изд. второе, переработанное и дополненное. М.:«Наука», главная редакция физико-математической литературы, 1967. - 984 с.

12. Вольмир А.С., Куранов Б.А., Турбаивский А.Т. Статика и динамика сложных структур: Прикладные многоуровневые методы исследований. -М. Машиностроение, 1989. 248 с.

13. Вороненок Е.Я., Сочинский С.В. Интерполяционное редуцирование матриц жесткости при решении задач строительной механики методом суперэлементов//Прикл. механика. АН Украины, ин-т механики. -1981.-т. XVII.- № 6. С. 114-119.

14. Гавриленко Г.Д. Методики численного расчета устойчивости подкрепленных оболочек/Отв.ред. Шевченко Ю.Н.; АН УССР. Ин-т механики. -Киев: Наук. Думка, 1991. 176 с.

15. Гавриленко Г.Д., Мацнер В.И. Исследование местной прочности и устойчивости подкрепленных элементов по методу конечных разностей//Судостроение. Киев(Одесса). - 1991. - № 40. - С. 17-21.

16. Галагер Р. Метод конечных элементов/ Пер. с англ. М.:Мир, 1984.-324 с.

17. Гаращук КН., Замула Г.Н., Прикакзчиков В.Г. Об одном численном методе решения задач устойчивости пластин//Прикл. механика. АН Украины, ин-т механики. 1978. - т. 14. - № 5. - С.86-91.

18. Голованов А.И. Исследование устойчивости тонких оболочек изопараметрическими конечными элементами//Строит. мех. и расчет сооруж. -1992. №2. - С.51-55.

19. Грабинский Н.Г. Расчет стержней на устойчивость с учетом изгибно-крутильных деформаций//Известия вузов. 1994. - №1. - С. 17-20.

20. Григоренко Я.М. Решение задач теории оболочек методами численного анализа/УПрикл. механика. АН Украины, ин-т механики. 1984. - т. 20.-№ 10.-С.3-22.

21. Григоренко Я.М., Гуляев В.И. Нелинейные задачи теории оболочек и методы их решения//Прикл. механика. АН Украины, ин-т механики. 1991. -т. 27(37). -.№ 10.-C.3-23.

22. Гузъ А.Н. Устойчивость трехмерных деформируемых тел. Киев: Наук, думка, 1971. - 275с.

23. Дж. Г. А. Кролл, Г.Д. Гавриленко Метод уменьшенной жесткости в теории выпучивания гладких оболочек и классический анализ устойчивости (обзор)// Проблемы прочности. 1999. - №2. - С.45-66.

24. Емельянов М.Д Приближенная оценка устойчивости ортотропных пластин// Судостроение. 1991. - №2. - С.11-14.

25. Жесткая В.Д. Расчет на устойчивость при сдвиге высоких балок подкрепленных ребрами жесткости.//Труды ЛКИ: Строительная механика и прочность судовых конструкций. 1981. - С.36-40.

26. Жичковский М., Гаевский А. Оптимальное проектирование конструкций с учетом требований устойчивости//Потеря устойчивости и выпучивание конструкции: теория и практика: Тр. Лондон, симп. 31 авг.-З сент. 1982 г. М., 1991. - С.237-262.

27. Журбин О. В. Решение задачи гидроупругих колебаний на разных стадиях проектирования //Материалы международной конференции "Кораблестроение и океанотехника. Проблемы и перспективы" Владивосток: ДВГТУ, 1998, с. 286-290.

28. Журбин О.В. Исследование задач гидроупругих колебаний сложных судовых конструкций: Дис. на соиск. ученой степ. к.т.н./Науч. рук. Н.А.Тарануха. Комсомольск-на-Амуре:КнАГТУ, 1997. - 110 е.: ил.

29. Икраимов Х.Д. Численные методы для симметричных линейных систем. М.:Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. - 1988. - 160 с.

30. Калинин B.C., Постное В.А. Основы теории оболочек. Учеб. пособ. Изд. ЛКИ. 1974. - 199 с.

31. Каменских И.В. Устойчивость сложных судовых конструкций// Технические науки: Материалы 26-й науч.-техн. конф. 4-26 апреля 1996 г. -Комсомольск-на-Амуре: КнАГТУ, 1996, Часть 1. -С. 103-109.

32. Каплун А.Б., Морозов Е.М., Олферьева М.А. ANSYS в руках инженера: Практическое руководство. М.: Едиториал УРСС, 2003. - 272 с.

33. Маневич А.И. Взаимодействие форм потери устойчивости сжатой подкрепленной панели//Строит. механика и расчет сооруж. 1981. - №5. - С. 24-29.

34. Маневич Л.И., Маневич Э.Л Влияние граничных условий на устойчивость периодически подкрепленной сжатой пластины//Механика твердого тела. 1995. - С. 158-165.

35. Маркин В.Н. Применение метода полиномов для решения задач устойчивости балок и плоских пластин//Теор. методы исслед. нелинейн. динам. систем/Изд-во Моск. физ.-техн. ин-т. М.:Изд-во Моск. физ.-техн. ин-т. 1993. -С.106-112.

36. Матвеев К.А. Некоторые варианты энергетического критерия устойчивости пластин//Динамика и прочность авиационных конструкций: Межвуз. сб. науч. трудов/ Отв. редактор Н.В. Пустовой; Новосиб. электротехн. Ин-т. Новосибирск, 1992. - С.86-93.

37. Метод суперэлементов в расчетах инженерных сооружений /В.А. Постнов, С.А. Дмитриев, Б.К. Елтышев, А.А Родионов. JI. Судостроение, 1979.-287 с.

38. Михайлов М.Н., Жуков К. А. Расчет на устойчивость трехмерных тел методом конечных элементов//Сб. науч. тр. «Совершенствование методов расчета мостов». -М.:ЦНИИС, 1991. С.48-54.

39. Мороз Н.Г. О применении метода интегральных уравнений для решения задач трехмерной теории устойчивости деформируемых тел//Прикл. механика. АН Украины, ин-т механики. 1989. - т. 25. - № 12. - С.28-32.

40. Моссаковский В.И., Колодяжный А.П., Копорулин B.JI. Применение матричного метода начальных параметров к задаче устойчивости ребристых пластин//Пробл. прочности. 1987. - №7. - С.55-61.

41. Муллагулов М.Х. Практический метод расчета устойчивости плоской формы изгиба балок при произвольных нагрузках и условиях опирания//Прикл. механика. АН Украины, ин-т механики. 1981. - т. XVII. - № 1. -С.99-105.

42. Образцов И.Ф., Иванов Ю.И., Нерубайло Б.В., Зайцев В.Н. О построении эффективных моделей деформирования тонкостенных конструкций//Прикл. механика. АН Украины, ин-т механики. 1985. - т. 21. - № 6. -С.61-67.

43. Палий О.М., Спиро В.Е. Анизотропные оболочки в судостроении. -Л.: «Судостроение», 1977. 392с.

44. Папкович П.Ф, Труды по строительной механике корабля: В 4-х томах. /Под общ. ред. В.В. Екимова. Л.:Судпромгиз, 1963. -Т 4. - 550 с.

45. Пиковский А.А. Статика стержневых систем со сжатыми элементами. М.:Физматгиз, 1961. - 396 с.

46. Погорелое А.В., Бабенко В.И. Геометрические методы в теории устойчивости тонких оболочек//Прикл. механика. АН Украины, ин-т механики. 1992.- т. 28.-№ 1. - С.3-22.

47. Постное В.А., Тарануха Н.А. Метод модуль-элементов в расчетах прочности, устойчивости и колебаний сложных оболочечных конструкций//Сб. докладов XIX Международной конф. по теории оболочек и пластин сентябрь 1999г. -1999, Нижний Новгород. С.12-15.

48. Постное В.А., Тарануха Н.А. Метод модуль-элементов в расчетах судовых конструкций. Л.: Судостроение, 1990. - 320 с.

49. Постное В.А., Тарануха Н.А. Оценка напряженно-деформированного состояния корпуса судна методом модуль-элементов//Судостроение. 1983. - №5. - С 5-8.

50. Постное В.А., Хархурим И.Я., Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций. Л.'.Судостроение, 1977. - 344 с.

51. Постное В.А., Чижиумое С.Д. Совместное использование метода модуль-элементов и метода граничных элементов в расчётах колебаний судовых конструкций в жидкости // Статика, динамика и прочность судовых конструкций: сб. науч. тр. / Л.: ЛКИ, 1990, С. 64-73.

52. Потеря устойчивости и выпучивание конструкций: теория и практика / Под ред. Дж.Томпсона и Дж.Ханта: Пер. с англ./Под ред. Э.И.Григолюка. М.:Наука. Гл. ред. физ.-мат.лит., 1991. - 424 с.

53. Прочность, устойчивость, колебания./Справочник под ред. И.А.Биргера, Я.Г.Пановко. В 3 т. М.: Машиностроение, 1968. - Т. 3. - 567 с.

54. Роте А. Статика стержневых систем / Пер. с. нем. О.О. Андреева; Под ред. P.P. Матевосяна. М.: Стройиздат, 1988. - 512 с.:ил. - ISBN 5-27400218-8. Перевод, изд.: Stabstatik fur (.) Bauingenieure / A. Rothe VEB Verlag fur (.) Bauwesen, Berlin, 1984.

55. Рыбаков JI.C., Мишустин И.В. О методе сосредоточенных упругих параметров//Механика композиционных материалов и конструкций. -1998. т.4. - № 2.- С.3-13.

56. Сапожников А.И., Денисова Е.А. Матричный метод расчета рамно-связевых систем на устойчивость//Изв. вузов стр-во. 1993. - № 7-8. -С. 104-106.

57. Соломенко Н.С., Абрамян К.Г., Сорокин В.В. Прочность и устойчивость пластин и оболочек судового корпуса. JL: «Судостроение», 1967. - 488 с.

58. Справочник по строительной механике корабля./Бойцов В.Г., Палий О.М., Постнов В.А., Чувиковский B.C.: В 3 т. Л.: Судостроение, 1982. -Т. 1-3.

59. Справочник по строительной механике корабля/Под общей ред. акад. Ю.А. Шиманского: В 3 т.-Л.:Судпромгиз, 1958.- Т. 2. 528 с.

60. Тарануха Н.А. Использование метода модуль-элементов для решения задач устойчивости и колебаний тонкостенных конструкций: Труды

61. Дальневосточной научно-технической конференции по повреждениям и эксплутационной надежности судовых конструкций. Владивосток: ДВПИ, 1984.- С. 190-192.

62. Тарануха Н.А. Исследование устойчивости тонкостенных конструкций методом модуль-элементов// Материалы международной конф. МОРИНТЕХ-99. Россия. Санкт-Петербург, 1999 г.

63. Тарануха Н.А. Метод модуль-элементов в расчетах прочности тонкостенных конструкций: Труды ЛКИ "Механика и прочность судовых конструкций". Л.: ЛКИ, 1980, С.113-117.

64. Тарануха Н.А. Приложение метода модуль-элементов к задачам устойчивости и колебаний тонкостенных конструкций// Технические средства освоения океана:Тр. V. Всесоюз конференции. Л.: Судостроение , 1985. - вып. 1.- С.72-73.

65. Тарануха Н.А., Каменских И.В. Вычисление «моментных» коэффициентов матрицы жесткости модуль-элемента// материалы международной конф. 9-12 сентября 1999г. Владивосток.:Изд-во ДВГТУ, 1999. - С.57-64.

66. Тарануха Н.А., Каменских И.В. Решение задачи устойчивости сложных судовых конструкций методом модуль-элементов// Транспорт: Вестник КнАПИ. Комсомольск-на-Амуре. :Изд-во КнАПИ, 1995. - Вып. 1-С.113-116.

67. Тарануха Н.А., Москалев А.Н. Проверка применимости метода модуль-элементов к рассмотрению задач устойчивости и колебаний тонкостенных конструкций //Тр. ЛКИ "Устойчивость и динамика судовых конструкций". Л.: ЛКИ, 1985. - С.55-61.

68. Тимошенко С.П. Устойчивость упругих систем/Пер. с англ. И.К. Снитко. Изд. второе. - М.:Гос. изд. техн.-теор. лит., 1955. - 568 с.

69. Требушко О.И. Устойчивость и оптимальное проектирование пластин, подкрепленных ребрами//Прикл. механика. АН Украины, ин-т механики. 1982. - т. 18. - № 6. - С.69-74.

70. Требушко О.И., Адуевский А.В. Закритическая деформация несовершенных подкрепленных панелей при взаимодействии форм потериустойчивости//Прикл. механика. АН Украины, ин-т механики. 1984. - т. 20. -№ 9. - С.49-53.

71. Турчак Л.И. Основы численных методов: Учеб. пособие. -М.:Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. 320с.

72. Фиалко С.Ю. О несущей способности несовершенных подкрепленных прямоугольных пластинок, подверженных действию сжимающих торцевых нагрузок//Прикл. механика. АН Украины, ин-т механики. 1991. - т.27. - № 2. - С.73-80.

73. Фиалко С.Ю. Об одном подходе к определению несущей способности пластинчатых систем, образованных из гибких несовершенных прямоугольных пластинок//Прикл. механика. АН Украины, ин-т механики. -1990. т. 26. № 8. - С.79-84.

74. Хорошун Л.П. Об уточненных уравнениях устойчивости пластин и оболочек//Прикл. механика. АН Украины, ин-т механики. 1981. - т. XVII. - № 7. - С.67-74.

75. Чувиковский B.C. Вопросы устойчивости в строительной механике корабля. Л.:Судостроение, 1971. - 216 с.

76. Шимкович Д. Г. Расчет конструкций в MSC/NASTRAN for Windows. М.:ДМК Пресс, 2001. - 448 с.

77. Buckling and vibration of rectangular plates subjected to partial edge loading plates (compression or tension)/ Deolasi P.J., Datta P.K., Prabhakara D.L.//J. Struct. Eng. (India). 1995. 22. № 3. C. 135-144.

78. Integrated view of methods in backling analysis/ Wang G.M., Kitipornchai S.//Res. Rept./Univ.Queensl. Dep.Civ.Eng. 1990, - № 117. - C.l-26.

79. On lateral buckling of a slender cantilever beam/Milisavljevic Branko MM Int. J. Solids and Struct. 1995. - 32. №16. - C.2377-2391.

80. Optimization of irregulariy stiffened plate structures under eigenvalue problems/ Hung Chen Far, Chiu Jinn - Tong//Schiffstechnik.- 1992. - 39, №3. -C.l 18-133.

81. Postnov V.A., Taranukha N.A. "Die Erweiterung der Modul-Element-Methode zur Losung von Stabilitatsaufgaben der Schiffskonstruktionen". DDR, Rostock, Wiss. Z WPU, 36 (1987) 9.

82. Postnov V.A., Taranukha N.A. "Module-Element Method of Ships Strength Calculations." Proc. of IV Int. Simposium "Ship Reliability and Design for Production", Bulgaria, Varna, 1991.

83. Postnov V.A., Taranukha N.A. Module element method for strength, stability and oscillation calculation of complex structure. Proceeding of International Conference of RRCAPT. Republic of Korea, Chinju, Gyeongsang National University, 1997,pp. 93 106.

84. Postnov V.A., Taranukha N.A., Chizhiumov S.D. Module-Element Method to Calculate Ship Structures Strength // Intern. Shipbuilding Conf. Proceedings. Section C. The Centenary of the Krilov Shipbuilding Research Institute.- St. Petersburg, 1994.

85. The buckled states of rectangular plates/He Luwu, Cheng Chang -jun//Appl. Math, and Mech.(Engl.Ed.) 1992. - 13, №5. - C.421-424.

86. The paradox of torsional buckling /Cywlnski Zbignew//Mech.teor.i. stosow. 1992. - 30, № 4. - C.799-816.

87. Свид-во об офиц.регистр. программы для ЭВМ № 2004610808. Расчет пластин на устойчивость /Каменских И.В., Тарануха Н.А., Чижиумов С.Д. (РФ). № 2004610251; Заявлено 05.02.2004; Зарег. в Реестре программ для ЭВМ 31.03.2004.