автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Расчет сжато-изогнутых ортотропных пластин на несплошном упругом основании

На правах рукописи

КАОЗУЙБАКЧ

РАСЧЕТ СЖАТО-ИЗОГНУТЫХ ОРТОТРОПНЫХ ПЛАСТИН НА НЕСПЛОШНОМ УПРУГОМ ОСНОВАНИИ

Специальность 05.23.17 - Строительная механика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

1 з ОКТ 2011

Москва - 2011 г.

4857242

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Московский государственный строительный университет».

Научный руководитель:

Доктор технических наук, профессор Габбасов Радек Фатыхович

Официальные оппоненты

Доктор технических наук, профессор Мамин Александр Николаевич

Кандидат технических наук, доцент Атаров Николай Михайлович

Ведущая организация

ГОУ ВПО «Московский архитектурный

институт (Государственная академия)»

Защита состоится «1» ноября 2011 г. в 15 час. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.138.12 в ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» по адресу: 129337, Москва, Ярославское шоссе, 26, ауд. № 420 УЖ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке в ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет».

Автореферат разослан « // » сентября 2011 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Анохин Н.Н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность выбранной темы работы.

В связи с внедрением ЭВМ в практику проектирования стало актуальным усовершенствование и создание новых численных методов решения прикладных задач . Каждый численный метод может иметь свою область применения в зависимости от характера задачи. Изгибаемые пластины из современных материалов, в том числе контактирующие с несплошным упругим основанием, в общем случае следует рассматривать как ортотропные пластины. Для расчета таких пластин на несплошном упругом основании одним из эффективных численных подходов является применение разностных уравнений метода последовательных аппроксимаций, полученных Р.Ф.Габбасовым. Из общего алгоритма расчета ортотропных пластин нетрудно перейти и к расчету изотропных плит, рассматривая последние как частный случай. Разработка численной методики расчета ортотропных пластин, включая пластины на несплошном упругом основании, является актуальной задачей.

Целью данной работы является разработка эффективного численного алгоритма расчета ортотропных пластин с различными условиями на краях на поперечные нагрузки с учетом влияния продольных и касательных усилий на изгибные деформации.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

- разработка методики расчета сжато-изогнутых ортотропных пластин на несплошном упругом основании с использованием разностных уравнений методом последовательных аппроксимаций (МПА);

- составление алгоритма и программы для ЭВМ по расчету ортотропных плит на несплошном упругом основании;

-использование общей программы, реализующей алгоритм расчета ортотропных пластин, для расчета ортотропных пластин на изгиб и сжато-изогнутых изотропных плит на несплошном упругом основании;

-сравнение полученных результатов с известными аналитическими и численными решениями;

-решение новых задач по расчету сжато-изогнутых ортотропных пластин на несплошном упругом основании.

Научную новизну диссертации составляют следующие результаты:

- разработана численная методика расчета сжато-изогнутых ортотропных пластин на произвольные статические нагрузки при различных условиях опирания;

- разработан алгоритм расчета ортотропных плит на несплошном упругом основании и составлена программа для ПК;

- решены новые задачи по расчету ортотропных изгибаемых пластин на несплошном упругом основании с учетом влияния продольных усилий на изгибные деформации.

Достоверность полученных результатов подтверждается аналитическими решениями задач в известных работах, сравнением полученных решений с решениями аналогичных задач по МКЭ, с другими численными решениями и выполнением интегральных условий равновесия.

Практическая значимость заключается в разработке эффективного численного алгоритма и программы для расчета ортотропных изгибаемых пластин. Программа позволяет учитывать:

-различные краевые условия;

-разрывные статические нагрузки;

-влияния продольных и касательных усилий;

-опирание ортотропной пластины на несплошное упругое основание;

-возможность перехода к расчету изотропных плит.

Кроме того, показано, что плиты без упругого основания при небольшом числе разбиений с достаточно высокой точностью можно рассчитывать вручную. Последнее обстоятельство позволяет рекомендовать разработанную методику расчета для использования в учебном процессе, что весьма важно для образовательной системы развивающихся стран.

Апробация работы состоялась на заседании кафедры строительной механики МГСУ в виде доклада автора и последующего его обсуждения (Москва, 2011г.).

Публикации. По теме диссертации были опубликованы 2 статьи в рецензируемых журналах, рекомендуемых ВАК для публикации результатов по кандидатским диссертациям.

На защиту выносятся:

-разработанный численный алгоритм расчета ортотропных пластин на действие статических поперечных нагрузок с учетом влияния продольных и

касательных усилий на изгибные деформации;

-разработанный численный алгоритм расчета сжато-изогнутых ортотропных пластин на несплошном упругом основании;

-впервые полученные разностные уравнения МПА для решения задач расчета сжато-изогнутых ортотропных пластин на несплошном упругом основании.

Структура и объем работы: Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы из 219 наименований, в том числе 24 зарубежных источников, и приложения.

Общий объем работы 129 страниц, в том числе 109 страниц основного текста, включающего 27 рисунков и 24 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обоснована актуальность темы, изложены научная новизна и практическая значимость диссертации, сформулированы цель и задачи исследования.

В первой главе приведен краткий обзор работ, в той или иной степени связанных с вопросами расчет изотропных и анизотропных пластин на упругом основании.

Теории и методам расчета изотропных однородных изгибаемых пластин, постоянной и переменной жесткости, в линейной и нелинейной постановке, тонких и средней толщины, помимо фундаментальных трудов И.Г. Бубнова, Б.Г. Галеркина, С.П. Тимошенко и С. Войновского-Кригера, посвящено множество работ российских и зарубежных ученых. К этому ряду относятся работы A.B. Александрова, Н.И. Безухова, Д.В. Вайнберга, П.М. Варварка, Б.Ф. Власова, В.А. Киселева, Г.В. Колосова, Б.Г. Коренева, Е.Б. Кореневой, JI.C. Лейбензона, A.M. Масленникова, Г. Маркуса, Х.М. Муштари, П.М. Огибалова, А.Ф. Смирнова, В.А. Смирнова H.H. Шапошникова и др.

По теории и расчету конструкций на упругом основании, включая исследования по работе плит, контактирующих с основанием различных моделей, также имеется много публикаций, в основном российских ученых. К ним относятся: Н.М.Атаров, В.В. Болотин, В.З. Власов, С.С. Вялов, JI.A. Галин, Н.М. Герсеванов, М.И. Горбунов-Посадов, С.С. Давыдов, АН. Динник, Г.Д. Дутов, К.Е.Егоров, Б.Н Жемочкин, Ю.К. Зарецкий, А.Г. Ишкова, Г.К.

Клейн, С.Н. Клепиков, П.И. Клубин, Б.Г. Коренев, А.Н. Крылов, В.И. Кузнецов, H.H. Леонтьев, Е.А. Палатников, П.Л. Пастернак, Г.Е. Попова, Г.Э. Проктор, H.H. Пузыревский, И.А. Симвулиди, А.П. Синицин, В.И. Соломин, В.И. Травуш, М.И. Филоненко-Бородич, А.И. Цейтлин, H.A. Цытович, И.И. Черкасова, О.Я.Шехтер, И.Я. Штаерман и другие.

Теория расчета анизотропных пластин обстоятельно изложена в монографии С.Г. Лехницкого. В ней даются основные уравнения теории упругости анизотропного тела, рассматривается плоская задача, исследуется изгиб анизотропных балок, изучается концентрация напряжений в 01фестаостях эллиптического и кругового отверстий. В этой работе излагается теория изгиба анизотропных пластин, отдельно рассматриваются ортотрошгые пластинки с учетом продольных и сдвигающих сил, уделяется внимание поперечным колебаниям анизотропных плит и вопросам устойчивости этих конструкций; имеются также результаты решения конкретных задач по расчету анизотропных и ортотропных пластин.

Другим фундаментальным трудом, посвященным теории анизотропных пластин, является монография С.А. Амбарцумяна. В этой работе излагаются уточненные теории изгиба анизотропных пластин, которые представляют собой определенные приемы учета влияния поперечных сдвигов и нормального напряжения в задачах изгиба, устойчивости и колебаний анизотропных пластин.

Кроме указанных выше основных источников по теории и расчету анизотропных пластин, имеется ряд статей, посвященных этим вопросам, следующих авторов: Л.А. Агаловяна, В.В. Бадагадзе, Ф. Бадалова, Е.Ф. Бурмистрова, A.A. Галаси, Л.А. Ильина, К.А. Китовера, Л.Д. Корбуковой, Е.Б. Кореневой, БЛ. Лащеникова, H.A. Лобковой, Н.М. Маслова, Д.В. Пештмалджяна, И.И. Трянина. Отметим, что теория ортотропных пластин со ссылкой на С.Г. Лехницкого излагается в известной монографии СП. Тимошенко и Войновского-Кригера. Во всех перечисленных выше трудах общим является отсутствие задач по расчету ортотропных пластин на упругом основании.

Отмечается вклад российских ученых в развитие численных методов расчета конструкций: A.B. Александров, М.Б. Вахитовый, Б.Я. Лащеников, А.Н Мамин, A.A. Самарский, А.Ф. Смирнов, H.H. Шапошников и др.

В первой главе описываются также современные численные методы: конечных элементов (МКЭ), метод последовательных аппроксимаций (МПА),

метод конечных разностей (МКР). Предпочтение отдается МПА. Он был разработан Р.Ф. Габбасовым на кафедре строительной механики МГСУ. Этот метод позволяет достаточно просто строить разрывные решения, обладает высокой точностью применительно к широкому кругу задач. Он и был выбран для решения поставленных в диссертации проблем.

Во второй главе описана разработаная методика расчета ортотропных пластин с использованием разностных уравнений МПА. Разрешающее дифференциальное уравнение сжато-изогнутой ортотропнной пластины на упругом основании представлено в виде:

где

дх& ду2 NN N (2)

К- коэффициент постели. Полагаем, что К=К(х,у), в частном случае К=сопя1. Нетрудно предусмотреть скачкообразное изменение К, если в этом есть необходимость. Для несплошного основания на участках, где пластина не контактирует с основанием, коэффициент К принимается равным нулю. W- вертикальное перемещение точки плиты; я- интенсивность распределенной по поверхности пластины поперечной нагрузки; Nx,Ny -

продольные силы; N,2- сдвигающая сила; Ох,Иу- изгибные жесткости относительно осей у,х; Я- жесткость на кручение; жесткостные характеристики ортотпопной плиты Бх, Н, Бу считаются заданными, причем:

где Ё^Ёу,Е ,0- упругие характеристики материала, которые

определяются экспериментально; 5 - толщина пластинки.

Для получения численного решения в общем виде запишем (1), (2) в безразмерных величинах:

дV* д^"" дV ,Г й -

& дц2 "" "" ' '' (4)

1« —-•■и/'7 --:

~ дфг?' (5)

А я д . * у т, -На2 Ка\ Б/ Бу <70 а а Оу йу

w- безразмерная функция перемещений пластин; qo- интенсивность нагрузки в фиксированной точке; а - длина короткой стороны плиты.

Формулы для определения внутренних усилий и краевые условия также записываются в безразмерном виде:

т

(7)

Краевые условия прямоугольных плит:

Шарнирно опертый край: у/ = = и>" = 0 (8)

Жестко заделанный край: при ?7 = 0: и? = 0; = = 0;и'" = 0; и^м ^ = 0:^ = 0^"' = =0.

Свободный от закреплений край рассмотрим в общем случае:

при £ = 0: и«> = V"; = ~«~(2У ~

где "и'*5; У' - заданные на свободном крае плиты (при г| = 0) безразмерные значения изгибающего момента и обобщенной поперечной силы в направлении оси Г|, представленные в виде функции координаты причем:

д0а2 ?0а я „а д0а

Д , г, дп

При расчете ортотропных пластин на упругом основании разностную аппроксимацию дифференциального уравнения (4) по МПА на квадратной сетке с шагом 11 в случае непрерывных м>, IV" ^ и Д^ = = ¿Чи-б Дд^. = Д^', = ¿щ*?} можно представить в следующем виде:

( -к1' - 20а + 20у - Ыка—

+«+ ЪА + +

ч ¡.М

20 у + 20 - Ыку-

-шЧЧ -с у/п , +

и ч

+ 6 (52»$ + + 14Й .у_, + 4<, + мй ,7+1 J

3

~ Ч/ (2и,у-1 +13 + ^чич + ■-

Ад^^ку-Ш)^ =Щ'РК) Д, Д, А,,)- (11) -Л2

А2 —-12/, а

где д. + ^—= 10<аг — + 4а:о-—;с,=2а-10у-4ка—;

6 6 6

а„ + = 2у-10 - Ак'у^'" ^ = V® "

стальные члены в (11) с верхними левыми индексами имеют аналогичный смысл; верхние левые индексы при ри с в (11) означают принадлежность разрывной нагрузки и с в точке у тому или иному элементу, номера которых показаны на рис. 1.

В уравнение (11) входят 4 неизвестных: , у?ц и . Для решения задачи необходимо иметь в регулярной точке сетки у ещё 3 разностных уравнения, записанных относительно тех же неизвестных.

-1,3-1 1-М 1-1,5+1

У-1

¡+1,1-1

I III

II IV

¡,3+1

¡+1,3 ¡+М+1

_Ь_^_Ь_)>

:\У

Рис. I.

На квадратной сетке из условия совмесности кривизн зашшем уравнения относительно Vй,м'4" :

- + ^ +10^., - 20И£ +10к£+1 + - + -

-<1-1 ■ +2*^ + 20*% +2<;+1 -10<1у=0. (12)

Аппроксимируя второе выражение в (5) на равномерной сетке с шагом Ь для случая непрерывных у/17, получим:

24

(13)

По найденным \у можно вычислить и;', применяя формулу центральных разностей:

2Л

С учетом (20) запишем формулу для выражения у/^ через м>:

(14)

(15)

2Ь 4 4/г

В регулярной точке сетки у уравнений (11), (12), (13), (15) достаточно для решения задачи, а в опорных точках необходима аппроксимация краевых условий.

При 77 = 0 в точках шанирно опертого края с помощью "половинной формулы" Симпсона запишем уравнение для определения в точки у края:

(16)

Это уравнение также справедливо при свободном от закреплений крае. Условия (9) и (17) достаточны для расчета краевых условий для шанирно опертого края при 77 = 0 .

Если край пластины при /7 = 0 жестко заделан условия (10) на квадратной сетке можно представить в виде: + - + 2ий,;+1 - -

-14< 2 -28^« , +2^« 2 +

+ 6<[,+1 - + 2<,+1 - = 0. (17)

Если край пластины при г/ = 0 свободен от закреплений запишем второе условие (11) с учетом параболической аппроксимации:

2=-(-Зи?; + -^-^-^[(-Зи^ +4^, (18)

Для точки у верхнего края (§=0) уравнения типа (16), (17), (18) записываются с заменой: соответственно на £,77,), г при а = 1. Для

точек правого и нижнего краев эти уравнения записываются в «зеркальном отображении».

Аппроксимируя первое условие (10), представленное в

т - "т^ а виде: Vй =--, где +у/п" =-т, получим:

1-Я

^-и -2«,,+</)+10К+</)]+

2 3 (19)

+——Г1+ю0»«+Ч? ,1+—•

Уравнение (19) исползовано для опрделения в краевых точках. В третьей главе диссертации излагается алгоритм расчета сжато-изогнутых ортотропных пластин по МПА. Для решения алгебраических уравнений используется итерационный метод Зейделя. В этом случае упрощается программа: нет необходимости в составлении матрицы коэффициентов при

неизвестных и хранении ее в памяти ЭВМ. Уравнения представляются в виде, удовлетворяющем необходимому условию сходимости итерационного процесса, т.е. так, чтобы коэффициенты при неизвестных в правой части уравнений, формально разрешенных относительно неизвестного в точке у сетки, не превышали по абсолютному значению единицы. Преобразованные указанным путем уравнения приводятся в диссертации. Отметим, что при расчете пластин на упругом основании очень редко встречается случай, когда на плиту действует сдвигающая сила, поэтому в диссертации приводится алгоритм расчета пластин с учетом сдвигающих сил только без основания.

В третьей главе приводится также численная реализация интегрального условия равновесия. Условие равновесия пластины в целом: 52=0 - сумма проекций всех сил на перпендикулярную к плоскости плиты ось Ъ должна быть равна равнодействующей внешней нагрузки:

-^-Цк^.а^^ка^.^, (20)

где:

Р - безразмерная равнодействующая внешней нагрузки;

|с-- реакции основания плиты;

е|<7(,) - сумма поперечных сил по левой и правой сторонам; ■ (¡т] - сумма поперечных сил по верхней и нижней сторонам;

- сумма проекций продольных сил по левой и правой

сторонам (рис. 2);

ка~-с1т! - сумма проекций продольных сил по верхней и нижней сторонам. Знак (-) в (3.3.1) учитывает сжатие пластины;

Рис. 2.

— и — определяется по параболической аппроксимации для левого и верхнего края:

¿(-З^+^и-^,.,);

(21)

(22)

Формула для расчета г/'1 получена из условия (7) с учетом параболической аппроксимации:

€ + (23>

2/г1

„<л

Аналогично вычисляется В четвертой главе приведены примеры решения тестовых и новых задач. В качестве первой тестовой задачи рассматривается расчет квадратной изотропной пластины ( а=100 см) со свободно опертыми кромками, нагруженой равномерно поперечной нагрузкой интенсивности qo = 0,5кг/см2 и равномерно распределенными вдоль всех опорных сторон продольными растягивающими усилиями интенсивности N1 = N2 =1000 кг/см (рис.3). Толщина пластины 5 = 1 см, модуль упругости Е = 2,2-106 кг/см2, коэффициент Пуассона р = 0,3.

Щ ч

и \\г"

13

I

21 ¡22 23~

31

32 33

-*----4- ----'

«■5 |_

1 I I

Рис. 3 Рис. 4

Задача была решена ЮЛ. Шиманским с применением тригонометрических рядов и Г.Д. Абрамовым в с помощью уравнений МКР.

Для сравнения результаты расчета сведены в табл. 1.

Таблица 1

Величины см Шиманский Ю.А. Абрамов г.д. Ь —1/4 МПА Ь= 1/4

Щ 0,276 0,266 0,277

Вторая тестовая задача - расчет квадратной шарнирно опертой по всему контуру ортотропной плиты с коэффициентами а = ^ = /? = 0;а = 0,4823; / = 0,6944;,« =2083, загруженной по всей площади равномерно распределенной нагрузкой р=1 (рис. 4). Результат наших расчетов на сетке 2x2: ш22=0,005444, а на сетках 8x8 и 16x16- \у22=0,005650. При минимальном числе разбиении разница по сравнению с результатом В. А. Смирнова по методу фиктивных нагрузок составляет -3,8%.

В качестве проверки при шаге разбиений 11=1/16 вычисляя сумму всех

интегралов, находим: Р — 1, а правая часть (20) равна 0,9826. Погрешность нашего решения состаляет 1,74%.

При сравнении безразмерных прогибов по МПА и по МКЭ (с помощью программы 8АР2000) с шагом разбиений Ь = 1/16 в расчетных точках результаты по МПА для этой задачи практически совпадают с вычисленными по МКЭ.

Рис. 5. Рис. 6.

Третая тестовая задача - рассчитать изотропную квадратную шарнирно опертую по всему контуру пластинку, загруженную по всей площади равномерно распределенной поперечной нагрузкой р = 1. Кроме того, по краям пластинки действуют сдвигающие силы 1ЧХу (рис. 5). Краевые условия:

во всех точках расчетной сетки, расположенных на контуре, V.'" - и^'1 = 0.

Приэтом: а = у = \\а = у = Ъ\Р = 2..

Чтобы найти критические значения сдвигающих сил, мы постепенно увеличим касательные нагрузки до тех пор, пока плита не получит недопустимо большие перемещения.

к

Приводим результаты, полученные с увеличением К = — при 11=1/32,

7Г

где И - шаг сетки, в таблице 2.

Таблица 2

Шаг сетки Ь = 1/32 Воль-мир A.C.

К 0,000 7,607 8,621 9,128 I 9,280 9,387 9,407 9,417 9,34

\ 0,004 0,010 0,021 0,053 0,104 0,298 0,565 0,880 —

По этим результатом строим график К-\уц (рис. 7), где \уц - прогиб центра плиты.

к

10.00 -

8.00 7.00 6.00 5.00 4.00 3.00 2.00

0.00 ---------------------------

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.S0 0.90 1.00

Рис. 7.

Отличие нашего решения от результата, полученного Вольмиром A.C., состаляет 0,86%.

Четвертая тестовая задача. В качестве примера расчета плиты на сплошном упругом основании была также выбрана задача, рассмотренная Е.А. Палатниковым. Имеется в виду квадратная бетонная плита размером

600x600 см, толщиной 40 см, опирающаяся на весьма слабое грунтовое основание с коэффициентом постели К = 1,27 кг/см3. Модуль упругости и коэффициент Пуассона материала плиты соответственно равны Е<>= 310 000 кг/см2, ц = 0,15. Плита загружена равномерно распределенной на квадратной площадке нагрузкой (рис. 6). Размер грузового квадрата 191x191 см.

Для расчета на плиту была нанесена квадратная сетка 38*38; при этом грузовая площадка, края которой совпадают с линиями сетки, составляет 189x189 см. Разница в площади загружения составляет ~2%. Максимальный изгибающий момент в центре плиты при q = 1000 кН/м2, по нашему решению Мх = 397,6 кНм/м, \У=0,0117м.

Отличие Мх от результата Е.А. Палатникова, полученного из решения в рядах и равного 397 кНм/м, составляет 0,15%. Погрешность при проверке 22=0 при шаге разбиений Ь=1/16 =0,25%.

Пятая тестовая задача. На рис. 8 показана неразрезная двухпролетная плита с шарнирным опиранием по всему контуру на сплошном упругом основании с=290 под действием равномерно распределенной нагрузки р=1. Промежуточные шарнирные опоры показаны пунктиром. Для расчета считаем что плита ортотропна с коэффициентами от = 0,4823; ^ = 0,6944;^ = 0,2083.

I 0,5 ]■ 0.5

Х^Д

/ л,у Ж

Рис.8

Сравнение значений т™, т1А(\ т^Р, и полученных по программе БАР2000 на базе МКЭ и по МПА, приводится в таблице 3; Ь- число разбиений меньшей стороны.

Таблица 3

Величины МКЭ (программа 8АР2000) Ь = 1/16 МПА

{1=1/8 11 = 1/16

-0,01293 -0,01301 -0,01305

тТ -0,06208 -0,06245 -0,06265

< 0,01203 0,01199 0,01212

< 0,02642 0,02645 0,02652

"л 0,00207 0,00208 0,00209

Погрешность при проверке £2=0 при шаге разбиений меньшей стороны ¡1=1/16=1,3%.

Шестая тестовая задача. На рис. 9 показана квадратная плита с тремя шарнирно опертыми краями, четвертый край свободен от закреплений; по свободному краю плита загружена равномерно распределенной вдоль оси % нагрузкой с интенсивностью 1 , следовательно V' =-1. Плита ортотропна с

коэффициентами а = 0,4823;7 = 0,6944;= 0,2083. Сравнение значений т{р, т1Р и wг, у/л, полученных по программе БАР2000 на базе МКЭ и по МПА, приводится в таблице 4.

Таблица 4

Величины МКЭ (программа БАР2000) Ь= 1/16 МПА

11=1/8 Ь = 1/16 Ь = 1/32

< 0,23800 0,23888 0,23813 0,23790

™т 0,08430 0,08472 0,08442 0,08433

Ч" -0,02797 -0,02802 -0,02792 -0,02790

0,02100 0,02118 0,02111 0,02108

0,05926 0,05970 0,05949 0,05942

Проверка £2=0 выполнена по контуру показаному на рис. 9. Сумма всех поперечных сил практически равна нулю. При 11=1/16 правая чатсь (20) равна 0,007422. Эта алгебраическая величин: - 0,432941 и +0,440363. Погрешность =1,7%.

На рис. 10 та же плита загружена равномерно распределенной моментной нагрузкой по свободному краю. Результаты решения этой задачи приводятся в диссертации. Кроме этого, в качестве тестовых задач приведены расчеты ортотропных пластин с учетом сжатия, растияжения при разных краевых условиях.

Решение новых задач.

1. Расчет сжато-изогнутых ортотропных пластин на сплошном упругом основании.

Рассмотрим приведенную выше тестовую задачу с учетом следующего условия: плита ортотропная с коэффициентами а = 0,4823;/ = 0,6944; // = 0,2083 лежит на сплошном упругом основании. Коэффициент постели принимается для весьма слабых грунтов: К = 2,015 кг/см3.Результаты даны в табл. 5 при разных Ь:

Лэточки по рис. 3 Величины МПА

Ь = 1/4 11=1/8 Ь = 1/16 Ь = 1/32

1 Мх, кН 0,1495 0,1301 0,1262 0,1254

1 Му,кН 0,3745 0,3295 0,3208 0,3188

2 Мх, кН 0,1569 0,1378 0,1342 0,1333

2 Му,кН 0,2857 0,2583 0,2535 0,2524

3 Мх, кН 0,1495 0,1301 0,1262 0,1254

3 Му.кН 0,3745 0,3295 0,3208 0,3188

1 см 0,1409 0,1288 0,1261 0,1255

2 см 0,1827 0,1671 0,1637 0,1629

3 У/, см 0,1409 0,1288 0,1261 0,1255

В качестве проверки при шаге разбиений Ь=1/4, вычисляя сумму всех интегралов в (20) по полученным из решения данным, находим левую часть: /7 = 0,5 и правую = 0,4600. Погрешность нашего решения составляет 8,11%. Пр уменьшении шага разбиений погрешность решения значительно понижается. При Ь=1/8; 1/16; 1/32 это соответсвенно 4,61% ; 1,72% и 0,55%. Здесь же численно проиллюстрирована сходимость решения при величинах шагов квадратной сетки Ь = 1/8; 1/16; 1/32.

Решения задач, показанных на рис.8 и рис. 9, с учетом продольных сил приведены в диссертации.

2. Расчет сжато-изогнутых ортотропных пластин на несплошном упругом основании с учетом влияния продольных сил на изгибные деформации.

Ортотропная плита с коэффициентами а = 0,4823; / = 0,6944;// = 0,2083 загружена по всей поверхности равномерно распределенной нагрузкой (р = 1) и сжата в направлении оси г| равномерно распределенными вдоль ее кромки силами, причем к = 8 меньше критического значения. Различные сочетания параметров плиты, при которых получены решения, показаны на рис. 11 под номерами 1-5.

1-й 2-й 3-й

участок участок участок

0,25

1,0

0,25

1,0

Р=1

t п и п m и и 111 п i

№1 р =1; к = 0; с/= с2 = сЗ = 0; №2 р =7; к = 0; с1 =с2 = сЗ = 4; № 3 р =1; к = 5/ с1 = с2 = сЗ = 4; №4 р =1; к = 8; с2 = с] = сЗ = 0; Л:°5 р =7; к = 8; с1=с2 =сЗ = 0;

Рис. И

Максимальные значения эпюр ад/, т{°\ти) каждого варианта приведены в таблице 6.

Таблица 6

Обозначения вариантов Величины

W,

0,017971 0,089323 0,070334

—Q— №2 0,017164 0,085079 0,066733

—№3 0,021958 0,109747 0,085484

—— №4 0,022276 0,111277 0,086229

--№5 0,023293 0,116767 0,091441

О 0,5 2 ï.5 2

21

I.

Результаты расчетов в виде эпюра вычисленного в расчетных точках на горизонтальной оси симметрии, в зависимости от координаты "Л показаны соответственно на рис. 12. Эпюры /я(я, тм(7) показаны в диссертации.

По полученным результатам видно, что отсутствие основания на некоторых участках увеличивает прогибы и изгибающие моменты по сравнению со случаем, когда плита в равных условиях находится на сплошном упругом основании.

Решение задач показанных на рис. 9 и рис. 10 с учетом продольных сил на несплошном упругом основании приведены в диссертации.

На большом числе примеров, приведенных в четвертой главе, проиллюстрированы достаточно высокая точность и быстрая сходимость разработанной методики расчета сжато-изогнутых ортотропных пластин на упругом основании с уечтом разрыва на основании и действующих нагрузок.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

1. Впервые получены разностные уравнения МПА, учитывающие действие продольных и сдвигающих нагрузок для ортотропных пластин на сплошном и несплошном упругом основании.

2. Впервые выполнена численная реализация интегрального условия равновесия для сжато-изогнутых пластин на несплошном основании.

3. Рассмотренные примеры показывают высокую точность получаемых результатов при использовании метода последовательных аппроксимаций по сравнению с известными методами конечных разностей и конечных элементов.

4. Метод последовательных аппроксимаций для расчета ортотропных пластин на упругом основании позволяет эффективно использовать ЭВМ вследствие быстрой сходимости МПА. При этом удовлетворительная точность отмечается не только по деформациям, но и по внутренним усилиям. Это позволяет применять для решения задач достаточно редкие сетки, что приводит к небольшим системам уравнений. Отметим также, что решение уравнений МПА итерационным методом сходится достаточно быстро (в зависимости от числа разбиений). Метод требует небольшого объема оперативной

памяти и весьма прост для программирования по сравнению с прямыми методами.

5. Расчеты по МПА дают удовлетворительные результаты в сравнении с другими методами даже при минимальном числе разбиений, что позволяет расчеты для простых случаев производить вручную.

6. Применение в МПА теории интерполирования сплайн-функциями позволило с единой точки зрения достаточно просто строить разрывные решения для широкого класса задач изгиба плит и для других задач строительной механики, в том числе и задачи расчета сжато-изогнутых ортотропных пластин на несплошном упругом основании.

7. Решены новые задачи с использованием составленной программы по расчету сжато-изогнутых ортотропных плит на сплошном и несплошном упругом основании.

8. Разработанные алгоритмы и программа для ЭВМ могут быть использованы в инженерной практике.

Основные положения диссертации и результаты исследований опубликованы в следующих работах:

1. Габбасов Р.Ф., Као З.Б Расчет сжато-изогнутых ортотропных пластин методом последовательных аппросимаций. М. Вестник МГСУ N04 т. 1,2010, с. 47-51.

2. Као З.Б. Расчет ортотропных пластин с учетом влияния сдвигающих сил на изгибные деформации. М. Вестник МГСУ Ко1 т.1, 2011, с. 24-29.

КОПИ-ЦЕНТР св. 7:07:10429 Тираж 100 экз. г. Москва, ул. Енисейская, д.36 тел.: 8-499-185-7954, 8-906-787-7086

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

04.2.01 1 651 91 -

КАО ЗУЙ БАКЧ

РАСЧЕТ СЖАТО-ИЗОГНУТЫХ ОРТОТРОПНЫХ ПЛАСТИН НА НЕСПЛОШНОМ УПРУГОМ

ОСНОВАНИИ

05.23.17 - Строительная механика

Диссертация

на соискание ученой степени кандидата технических наук

Научный руководитель доктор технических наук, профессор Габбасов Р.Ф.

Москва-2011г.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение 3

Глава 1. Обзор работ по расчету ортотропных пластин. 7

, 1.1. Аналитические методы расчета ортотропных пластин. 7 1.2.Расчеты по методу конечных разностей (МКР) и методу

конечных элементов (МКЭ). 14 ^ 1.3.Расчет ортотропных пластин с использованием метода

последовательных аппроксимаций (МПА). 22 1.4. Выводы по главе 1.

27

Глава 2. Разработка численного метода расчета сжато-

изогнутых ортотропных пластин на упругом основании. 29

2.1.Представление разрешающих дифференциальных уравнений

в виде системы дифференциальных уравнений второго порядка. 29

2.2.Переход к безразмерным величинам. 35 2.3 .Аппроксимация дифференциальных уравнений разностными

уравнениями МПА. 37

2.4.Аппроксимация краевых условий. 46

2.5. Выводы по главе 2. 52

53 53

63

64

66 67

67 92 97 107

Заключение. 108

Глава 3. Составление алгоритма расчета сжато-изогнутых ортотропных пластин на упругом основании.

3.1.Преобразование разностных уравнений для их решения методом итераций.

3.2.Преобразование уравнений, аппроксимарующих краевые условия.

3.3.Численная реализация интегрального условия равновесия.

3.4.Выводы по главе 3.

Глава 4. Решение тестовых и новых задач.

4.1.Решение тестовых задач по расчету изгибаемых ортотропных пластин без упругого основания с учетом вдияния продольных и сдвигающих сил на деформации и сжато-изогнутых изотропных пластин на сплошном упругом основании типа Винклера.

4.2.Расчет сжато-изогнутых ортотропных пластин на сплошном упругом основании.

4.3 .Расчет ортотропных пластин на несплошном упругом основании с учетом влияния продольных сил на изгибные деформации.

4.4.Выводы по главе 4.

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время в строительстве применяется много современных материалов, обладающих свойствами анизотропии. Анизотропные материалы используются в различных элементах зданий, мостов, резервуаров и других сооружений. Самый популярный элемент, обладающий свойствами анизотропии - это ортотропная пластина, контактирующая с упругим основанием. По разным причинам (геология, недобросовестное строительство, воздействие подпочвенных вод) основание может быть не сплошным. Проблемы, связанные с исследованием таких пластин, работающих как в своей плоскости, так и из плоскости, в том числе опирающихся на несплошное упругое основание, требуют разработки численных методов, алгоритмов и программ для ЭВМ.

Актуальность темы: В связи с внедрением ЭВМ в практику проектирования стало актуальным усовершенствование и создание новых численных методов решения прикладных задач . Каждый численный метод может иметь свою область применения в зависимости от характера задачи. Изгибаемые пластины из современных материалов, в том числе контактирующие с несплошным упругим основанием, в общем случае следует рассматривать как ортотропные пластины. Для расчета таких пластин на несплошном упругом основании одним из эффективных численных подходов является применение разностных уравнений метода последовательных аппроксимаций, полученных Р.Ф.Габбасовым [49]. Из общего алгоритма расчета ортотропных пластин нетрудно перейти и к расчету изотропных плит, рассматривая последние как частный случай. Разработка численной методики расчета ортотропных пластин, включая пластины на несплошном упругом основании, является актуальной задачей.

Целью диссертационной работы является разработка эффективного численного алгоритма расчета ортотропных пластин с различными условиями на краях на поперечные нагрузки с учетом влияния продольных и касательных усилий на изгибные деформации.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

- разработка методики расчета сжато-изогнутых ортотропных пластин на несплошном упругом основании с использованием разностных уравнений метода последовательных аппроксимаций (МПА);

- составление алгоритма и программы для ЭВМ по расчету ортотропных плит на несплошном упругом основании;

- использование общей программы, реализующей алгоритм расчета ортотропных пластин, для расчета ортотропных пластин на изгиб и сжато-изогнутых изотропных плит на несплошном упругом основании;

- сравнение полученных результатов с известными аналитическими и численными решениями;

- решение новых задач по расчету сжато-изогнутых ортотропных пластин на несплошном упругом основании.

Научную новизну диссертации составляют следующие результаты:

- разработана численная методика расчета сжато-изогнутых ортотропных пластин на произвольные статические нагрузки при различных условиях опирания;

- разработан алгоритм расчета ортотропных плит на несплошном упругом основании и составление программы для ПК;

- решены новые задачи по расчету ортотропных изгибаемых пластин на несплошном упругом основании с учетом влияния продольных усилий .

Достоверность полученных результатов подтверждается аналитическими решениями задач в известных работах, сравнением полученных решений с решениями аналогичных задач по МКЭ, с другими

численными решениями и выполнением интегральных условий равновесия.

Практическая ценность заключается в разработке эффективных численных алгоритмов и программ для расчета ортотропных изгибаемых пластин. Программы позволяют учитывать: -различных краевые условия; -разрывные статические нагрузки; -продольные и касательные нагрузки;

-опирание ортотропной пластины на несплошное упругое основание; -возможность перехода к расчету изотропных плит. Кроме того, показано, что плиты без упругого основания при небольшом числе разбиений с достаточно высокой точностью можно рассчитывать вручную. Последнее обстоятельство позволяет рекомендовать разработанную методику расчета для использования в учебном процессе, что весьма важно для образовательной системы развивающихся стран.

Апробация работы состоялась на заседании кафедры строительной механики МГСУ / /2011 в виде доклада автора и последующего его обсуждения.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 3 печатных работы в рецензируемых журналах, рекомендуемых ВАК для публикации результатов по кандидатским диссертациям; наименования статей приведены в списке литературы под номерами [54], [85] и [86]. На защиту выносятся:

-разработанный численный алгоритм расчета ортотропных пластин на действие статических поперечных нагрузок с учетом влияния продольных и касательных усилий на изгибные деформации;

-разработанный численный алгоритм расчета сжато-изогнутых ортотропных пластин на несплошном упругом основании;

-впервые полученные разностные уравнения МПА для решения задач расчета сжато-изогнутых ортотропных пластин на несплошном упругом основании.

Объём работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, библиографического списка и приложения.

Глава 1. Обзор работ по расчету ортотропных пластин.

1.1 Аналитические методы расчета ортотропных пластин.

Теории и методам расчета изотропных однородных изгибаемых пластин постоянной и переменной жесткости, в линейной и нелинейной постановке, тонких и средней толщины, помимо фундаментальных трудов И.Г. Бубнова, Б.Г. Галеркина, С.П. Тимошенко и С. Войновского-Кригера, посвящено большое количество работ. Существенный вклад в теорию расчета внесли российские и зарубежные ученые: A.B. Александров, Е.Г. Алексеева, А.Г. Анг, Н.И. Безухов, Ван Цзи-де, Д.В. Вайнберг, Л.П. Варвак, П.М. Варвак, Б.Ф. Власов, И.О. Губерман, М.И. Длугач, В.А. Киселев, Г.В. Колосов, Б.Г.Коренев, Е.Б.Коренева, А.Л. Коши, Л.С. Лейбензон, А.И. Лурье, A.M. Масленников, Г. Маркус, Н.И. Мусхелишвили, Х.М. Муштари, Э. Мюллер, А. Надаи, В.В. Новожилов, П.М. Огибалов, Г. Ольсон, A.M. Проценко, Г.И. Пшеничнов, В.Г. Рекач, А.Ф. Смирнов, В.А. Смирнов, Д.Н. Соболев, A.A. Уманский, В. Флюгге, Чен Сян-Юнь, H.H. Шапошников, Г.Г. Шенгелая, В.М. Янсен и другие исследователи.

По теории и расчету конструкций на упругом основании с учетом различных моделей упругого основания также имеется много публикаций, в основном российских ученых. К этому ряду исследователей относятся: Н.М.Атаров, В.В. Болотин, В.З. Власов, С.С. Вялов, Л.А. Галин, Н.М. Герсеванов, М.И. Горбунов-Посадов, С.С. Давыдов, АН. Динник, Г.Д. Дутов, К.Е.Егоров, Б.Н Жемочкин, Ю.К. Зарецкий, А.Г. Ишкова, Г.К. Клейн, С.Н. Клепиков, П.И. Клубин, Б.Г. Коренев, А.Н. Крылов, В.И. Кузнецов, H.H. Леонтьев, Е.А. Палатников, П.Л. Пастернак, Г.Е. Попова, Г.Э. Проктор, H.H. Пузыревский, И.А. Симвулиди, А.П. Синицин, В.И. Соломин, В.И. Травуш, М.И. Филоненко-Бородич, А.И. Цейтлин, H.A. Цытович, И.И. Черкасова, О.Я.Шехтер, И.Я. Штаерман и другие.

Обзор работ по теории расчета конструкций на упругом основании приводится в трудах Горбунова-Посадова М.И. [61], Ишковой А.Г. и Коренева Б.Г. [81], Коренева Б.Г. [100], Мещерякова Ю.М. [131] и др.

Существует несколько моделей для расчета конструкций на сплошном упругом основании. Каждая из них имеет свои недостатки и достоинства и определенную область применения, поэтому ни одна из предложенных моделей не может быть признана универсальной. Рассмотрим лишь основные расчетные модели грунтового основания и те работы, которые выполнены с их использованием.

Гипотеза прямой пропорциональности впервые была предложена в 1798 году членом Российской академии наук Н.И.Фуссом. Гипотеза Фусса получила применение в расчете конструкций на упругом основании почти сто лет спустя после появления работы немецкого инженера Винклера, который также принял прямую пропорциональность между давлением и местной упругой осадкой грунта. Расчет конструкций на винклеровском основании подробно разработан в трудах: Дутова Г.Д. [69], Киселева В.А. [88], Коренева Б.Г. [103- 106], Крылова А.Н. [114], Палатникова Е.А. [142], Пастернака П.Л. [143], Пузыревского Н.П [149], Уманского A.A., Герца Г, Хаяси К. и других авторов.

Простая модель Винклера имеет ряд недостатков: коэффициент постели не учитывает возможность появления, осадок за пределами загружения и не является, строго говоря, постоянной величиной. Тем не менее накопленный опыт показал, что гипотеза коэффициента постели дает вполне надежные результаты при слабых и сильносжимаемых грунтах и относительно небольших опорных площадях фундаментов.

Кроме этой модели, можно перечислить еще много моделей основания: упругого полупространства, упругого слоя конечной мощности, упругого полупространства с переменным по глубине модулем деформации, упругого основания с двумя коэффициентами постели, с

переменным коэфициентом жесткости, комбинированные модели и нелинейные модели упругого основания.

Считаем целесообразным более подробно остановиться на немногочисленных работах по расчету анизотропных, в частности, ортотропных изгибаемых, пластин.

Одна из; первых, работ В; области расчета пластин, подкрепленных большим числом одинаковых и равноудаленных* ребер, как ортотропной плиты: принадлежит Хуберу М.'Г. [203].. Эта задача сводится к решению известного из теории: анизотропных; пластин дифференциального уравнения; четвертого' порядка в частных производных. Теория« расчета анизотропных; пластин обстоятельно: изложена в< монографии С.Г. Лехницкого [120]; В ней; даются; основные уравнения теории: упругости анизотропного5 тела, рассматривается плоская; задача, исследуется изгиб анизотропных балок, изучается концентрация, напряжений в окрестностях, эллиптического и кругового отверстий; В этой работе излагается теория -изгиба анизотропных пластин, отдельно рассматриваются ортотропные пластинки;, уделяется внимание поперечным; колебаниям; анизотропных плит и вопросам устойчивости этих конструкций. В [120] имеются также результаты; решения; конкретных задач: ко расчету анизотропных, и ортотропных пластин. Ссылки на эти результаты:» даются: в тексте нашей;:

работы по ходу изложения материала. Здесь, отметим,; что кроме решений в

/

рядах и получения точных результатов для некоторых частных случаев' автор, работы [120] предлагает заслуживающий внимания приближенный: метод определения; прогибов анизотропной; пластины. Следует, однако, отметить, что С.Г. Лехницким не затронуты: вопросы1; расчета анизотропных плит и балок на упругом основании.

Теория анизотропных пластин подробно-разработана в трудах. С.А. Амбарцумяна [9]. В этой работе в отличие от [120] получены уточненные теории изгиба анизотропных пластин. Построенные в, [9] уточненные

теории представляют собой определенные приемы учета влияния поперечных сдвигов и нормального напряжения в задачах изгиба, устойчивости и колебаний анизотропных пластин. Следует отметить, что в [9] даются также геометрически нелинейные уточненные теории, рассмотрены слоистые пластинки, решены многие конкретные задачи* с использованием уточненных теорий; наряду с прямоугольными пластинами рассматриваются круглые плиты. Рассмотрены в [9] задачи устойчивости и колебаний анизотропных пластин в уточненной постановке; решены задачи устойчивости за пределом упругости. В этой работе, как и в предыдущей, не рассматриваются анизотропные плиты на упругом основании.

Кроме указанных выше основных источников по теории и расчету анизотропных пластин, имеется ряд статей разных авторов, посвященных этим вопросам. В статье С.А. Амбарцумяна и Д.В. Пештмалджяна [10] помимо свободно опертой прямоугольной пластины и круглой пластинки дается расчет свободно опертых прямоугольных в плане сферической и цилиндрической анизотропных оболочек под синусоидальной нагрузкой по уточненной теории; сравниваются результаты расчетов этих конструкций по различным вариантам уточненной теории.

В статье Л.А. Агаловяна [3] рассматривается уточнение классической теории изгиба анизотропных пластин. Автор показал, что напряженое и деформированное состояния анизотропной пластинки можно представить в виде суммы трех напряженных и деформированных состояний. Первое совпадает с классической теорией изгиба анизотропной пластинки. Два остальных состояния определяются уравнениями двух по терминологии автора вспомогательных процессов. В работе Б.Я. Лащеникова (К расчету ортотропных систем методом перемещений, Тр. МИИТ, вып 364, 1971) учитывается влияние сдвигов при изгибе и предварительное растяжение (сжатие) пластин; дан пример определения

критической нагрузки сжатой узкой пластины. Дискретная модель используется в [7] для расчета орготропных пластин и оболочек.

Решение задачи о расчете свободно опертых ортотропных пластин при помощи двойных рядов было показано в статье В.В. Бадагадзе [14]; это неудобно для практики, так как ряды для моментов и перерезывающих сил сходятся медленно. Предпочтение автор отдает конечно-разностным уравнениям, предложенным Ш.Е. Микеладзе применительно к расчету изотропных плит. Решение задач этого же типа, представляет Башелейшвили М.О. в [18] методом интегральных уравнений.

Работы Е.Ф. Бурмистрова и Н.М. Маслова [27, 129] посвящены расчету изгибаемых круглых ортотропных пластин переменной жесткости. В частности, в работе [129] для пластин экспоненциального профиля получены общие решения для изгибающих моментов и прогибов; приводятся примеры расчета; показано влияние анизотропии на величину максимального момента в случае жесткого закрепления контура пластинки.

В статье A.A. Галаси [55] рассмотрен расчет изгиба полубесконечной анизотропной пластинки с подкрепленным-краем. Предполагается, что в каждой точке пластинки имеется плоскость упругой симметрии, параллельная срединной плоскости. В работе [75] Захарова К.В. рассматривается приближенное решение задачи об изгибе ортотропной полосы.

Задачи об изгибе и плоском напряженном состоянии тонких бесконечных пластин из ортотропного материала излагаются в статье К.А. Китовера [91]. Для пластин бесконечных или имеющих форму полуплоскости решение имеет замкнутый вид. В работе [94] Климов С.А. дает уравнения для пластинки, собранной из произвольного числа однородных ортотропных слоев. В статье Л.Д. Корбуковой

рассматривается изгиб квадратной анизотропной пластины, жестко заделанной по краю[99].

В работах Е.Б. Кореневой [107-110] дан расчет круглых пластин из изотропных и ортотропных материалов постоянной и переменной толщины на действие как осесимметричных, так и антисимметричных разрывных нагрузок.

В статье [130] дается метод определения прогибов, напряжений и деформаций железобетонных плит, опертых по контуру, при кратковременном и длительном загружении с учетом ре