автореферат диссертации по авиационной и ракетно-космической технике, 05.07.03, диссертация на тему:Разработка и развитие вариационных методов исследования устойчивости анизотропных пластин

¿к-/а?

На правах рукописи -

МАТВЕЕВ Константин Александрович

РАЗРАБОТКА И РАЗВИТИЕ ВАРИАЦИОННЫХ МЕТОДОВ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ АНИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИН

05.07.03 — Прочность и тепловые режимы летательных аппаратов

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Новосибирск - 2002

Работа выполнена в Новосибирском государственном техническом университете.

Научный консультант: доктор технических наук,

профессор Н.В. Пустовой

Официальные оппоненты: Заслуженный деятель науки

Российской Федерации, доктор технических наук, профессор Ф.Н. Шклярчук

доктор технических наук В.К. Белов

доктор физико-математических наук, профессор Ю.М. Волчков

Ведущая организация: Государственное унитарное дочернее предприятие КБ «Полёт», г. Омск.

Защита состоится « 25 » апреля 2002 г. в 1500 на заседании диссертационного совета Д 212.173.07 в Новосибирском государственном техническом университете по адресу: 630092, г. Новосибирск, пр. К. Маркса,

20.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного технического университета.

Автореферат разослан « марта_2002г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.173.07 доктор технических наук

Г.И. Расторгуев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. В структуру конструкций летательных аппаратов (ЛА) входят такие элементы, которые можно классифицировать как пластины и панели. В современных и перспективных ЛА при их производстве находят широкое применение различные композиционные материалы. Например, панели крыльев' некоторых самолётов пятого поколения изготовлены из графито-эпоксидных композиционных материалов.'Работая в составе конструкции, эти элементы подвергаются различным температурно-силовым воздействиям. При проектировании и прогнозировании прочности подобных тонкостенных элементов конструкций обязательным является их расчёт на устойчивость. Устойчивость можно определить как способность рассматриваемого элемента конструкции сохранять свои жёсткостные характеристики в заданном диапазоне значений внешних воздействий.

Актуальными являются те исследования, которые учитывают как анизотропию свойств материала, так и наличие температурных воздействий. Учёт всех перечисленных факторов должен быть выполнен на этапе постановки задач. Расчётная схема для подобных элементов конструкций — с точки зрения строительной механики и прочности ЛА — это неоднородные анизотропные многосвязные пластины переменной толщины, подверженные температурно-силовому воздействию. При всём многообразии существующих методов решения задач наиболее корректными и формально последовательными являются вариационные. В связи с этим, развитие известных и построение новых вариационных формулировок для решения задач устойчивости, учитывающих все перечисленные выше факторы, представляется актуальным.

Основной целью работы является Разработка и развитие вариационных методов исследования устойчивости анизотропных пластин при температурно-силовом нагружении. Для её достижения необходимо

• систематизировать системы соотношений теории упругости, описывающие НДС тонких упругих анизотропных неоднородных многосвязных пластин переменной толщины, подверженных силовому и температурному нагружению, до и после потери устойчивости;

• построить полную систему вариационных принципов теории устойчивости тонких упругих анизотропных неоднородных многосвязных пластин переменной толщины, подверженных силовому и температурному нагружению - в том числе и на разрывных полях перемещений, деформаций и напряжений; . . . . , '

• разработать алгоритмы прямых методов решения задач устойчивости пластин со «смягчёнными» (интегральными) предварительными условиями;

• . исследовать сходимость и эффективность предложенных вариационных

формулировок на примере решения ряда известных и новых задач устойчивости и рационального проектирования ортотропных пластин и цилиндрических панелей при силовом и температурном нагружении.

Научная новизна работы

• Вариационные принципы теории устойчивости упругих систем распространены, на задачи термоупругости. Получена вся система вариационных принципов теории устойчивости анизотропных упругих многосвязных пластин и панелей при темпсратурно-силовом нагружении. Среди них как известные — Брайана, Тимошенко, Алфутова-Балабуха, так и новые - обобщенные, смешанные^ связанные с принципом стационарности дополнительной энергии, а так же на разрывных полях перемещений, деформаций и напряжений.

• Вариационные принципы на разрывных полях перемещений, деформаций и напряжений имеют принципиальное значение при построении конечно элементных алгоритмов решения задач устойчивости.

• Получены вариационные формулировки задач устойчивости со «смягчёнными» (интегральными) предварительными условиями.

• Разработаны алгоритмы прямых методов решения задач устойчивости пластин со «смягчёнными» (интегральными) предварительными условиями;

• .Получены интегральные тождества, ведущие к возможности решения задач . устойчивости методом граничных интегральных уравнений, в том числе и на

поле статически допустимых докритических напряжений. Методы исследований основаны на:

• теории преобразования вариационных задач и разработанных в диссертации методах их решения; ,•

• использовании прямых вариационных методов и представленном в работе , способе построения аппроксимирующих функций;

• применении апробированных алгоритмов численного интегрирования и решения обобщенной проблемы собственных значений. ■ ■.

Достоверность научных положений, результатов и выводов, содержащихся в работе, основывается на:

• корректном использовании соотношений механики деформируемого твердого тела;

• использовании апробированных математических методов и алгоритмов и ■ исследовании их сходимости;

• сопоставлении результатов расчёта по методам, предложенным в .'' диссертационной работе, с известными численными решениями, а также с

известными экспериментальными данными.

Практическая значимость и реализация результатов исследовании

заключается: - ;

• в разработке численных алгоритмов исследования сложных задач общей и ! локальной устойчивости ортотропных пластин и пологих цилиндрических

панелей при их силовом и температурном нагружении;

• в разработке методик проектирования максимально жёстких металлокомпозиционных (армированных) кольцевых и прямоугольных ортотропных пластин; • '

• во внедрении результатов и алгоритмов в расчётную практику заинтересованных организаций: ГУДП КБ «Полет» (г.Омск),■ ОАО «Туполев» (г. Москва), ОАО «ОКБ им. А.С. Яковлева» (г. Москва), ФГУП СибНИА им. С.А. Чаплыгина (г. Новосибирск),. Новосибирский филиал АООТ «ОКБ Сухого» (г.Новосибирск), ОАО «Элсиб» (г. Новосибирск);'

• во внедрении основных научно-методических результатов диссертации в рабочие учебные планы НГТУ по подготовке инженсров-исследователей, специализирующихся в области прочности летательных аппаратов.

Работа проводилась в соответствии с правительственной научно-технической программой «Икарус-МАП», программой Минвуза РСФСР «Полет», федеральной целевой программой «Государственная поддержка интеграции высшего образования и фундаментальной науки на 1997-2000 годы».

На защиту выносятся:

• прямые вариационные методы решения задач устойчивости упругих анизотропных неоднородных многосвязных пластин и панелей переменной толщины со «смягчёнными» (интегральными) предварительными условиями; 1

• метод конечно элементной модификации вариационных принципов теории устойчивости упругих анизотропных неоднородных многосвязных пластин и панелей переменной толщины, подверженных силовому и температурному воздействию;

• полная система вариационных принципов теории устойчивости упругих анизотропных неоднородных многосвязных пластин и панелей переменной толщины при температурно-силовом нагружении;

• разработанные на их основе алгоритмы решения задач устойчивости для локально нагруженных ортотропных пластин и пологих цилиндрических панелей; ' .

• исследование локальной устойчивости ортотропных ' пластин ' с эллиптическим вырезом;

• алгоритм построения областей устойчивости для кольцевых ортотропных пластин, подверженных силовому и температурному нагружению;

• разработанный алгоритм рационального — с точки зрения возможной потери устойчивости — проектирования металлокомпозиционных (армированных) кольцевых и прямоугольных ортотропных пластин.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на IX Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин (г. Ленинград, 1973 г.); на VIII, IX, X и XI Дальневосточных научно- технических конференциях по повреждаемости и эксплуатационной надёжности судовых конструкций (Владивосток, 1981, 1984, 1987, 1990 г.г.); на IX Бубновских чтениях по эксплуатационной и конструктивной прочности судовых' конструкций (Нижний Новгород, 1991); на научно-технической конференции «Расчётные

методы механики деформируемого твёрдого тела» (Новосибирск, 1995); па 17-й межреспубликанской конференции по численным методам решения задач теории упругости и пластичности (Новосибирск, ИТПМ СО АН РФ, 2001); на Международных российско-корейских научно-технических конференциях CORUS « Научные основы высоких технологий» (Ульсан, Корея, 1997г.; Томск, 1998г.; Новосибирск, 1999г.; Ульсан, Корея, 2000г.); на Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование процессов в синергетических системах » (Улан-Удэ-Томск, 1999г.); на Всероссийской научной конференции «Современные проблемы механики машин» (Улан-Удэ-Томск, 2000г.); на 1-м Российско-Корейском Международном симпозиуме по прикладной механике (Новосибирск, 2001г.), на I, II, и III школах - семинарах СО РАН «Математические проблемы механики сплошных сред» (Новосибирск,, 1997, 1998, 1999 г.г.; рук. - чл.-корр. РАН Б.Д.Аннин), на межвуз. научно-техн. конф. "Композиционные материалы в конструкциях глубоководных технических средств" (Николаев, 1989); на IV Всероссийской конференции «Проблемы прочности и усталостной долговечности материалов и конструкций» (Новосибирск, Сибирский научно-исследовательский институт авиации, 1997.); на межвуз. научной конференции «Численно-аналитические методы решения краевых задач»" (Новокузнецк, 1998); на объединенных семинарах кафедр прочности летательных аппаратов и самолето- и вертолетостроения НГТУ, на семинарах в Сибирском научно-исследовательском институте авиации им. С.А. Чаплыгина.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 43 печатные работы, в том числе одна монография. В автореферате приведены 30 основных публикаций. Результаты исследований автора, выполненные по заказам промышленности, отражены в 19 научно-технических отчетах.

Структура и объем работы. Диссертация. состоит из введения,; пяти разделов, заключения, списка использованных источников из 326 наименований! Объем диссертации 293 с. , включая/Африсунков и 9 таблиц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Введение

Во введении дано обоснование актуальности темы, сформулированы цели и задачи, приведено краткое содержание диссертации по главам. Отмечается, что особо важными проблемы деформирования тонкостенных конструкций становятся со второй половины 20-го века. Значительный вклад в развитие постановок и методов исследования тонкостенных элементов конструкций внесли Российские исследователи: Н.П. Абовский., Н.С Азиков, А .Я Александров, H.A. Алфутов, С. А. Амбарцумян, В.М. Андриенко, Б.Д. Аннин, Л.И. Балабух, Н.В. Баничук, В.К. Белов, П.А. Белов, В.А. Белоус, В.Л. Бердичевский, И.А. Биргер, В.И. Бирюк, Ю.И. Бадрухин, В.В. Болотин, В.В. Васильев, Ю.М. Волчков, A.C. Вольмир, Н.К. Галимов, A.A. Гольденвейзер, А.Г. Горшков, O.A. Гребеньков, Э.И. Григолюк,

С.С. Григорян, Г.Н. Замула, Ю.В. Захаров, В.Г. Зубчанинов, K.M. Иерасулимский, A.A. Ильюшин, В.В. Кабанов, Д.М. Карпинос, В.Д. Клюшннков, В.Я. Козлов, A.A. Комаров, С.А. Комаров, В.А. Комаров, Ю.Д. Копейкин, В.М. Корпев, В.Г. Корнеев, С.Н, Коробейников, A.C. Кретов, В.В. Кузнецов, Г.А. Кузюшин, Л.М. Куршин, P.E. Лампер, С.Г. Лехницкий, В.Т. Лизин, Е.К. Липин, Е.К. Локшин, A.B. Лопатин, С.А. Лурье, P.P. Мавлютов, В.Н. Максименко, В.П. Малков, В.И. Морозов, Н.Ф. Морозов, О.В. Муратов, В.М. C.B. Наумов, С.М. Наумов, Ю.В. Немировский,

A.К. Никифоров, В.В. Новожилов, И.Ф. Образцов, В.Н. Паймушин, Я.Г. Пановко, П.Ф. Папкович, А.Н. Паутов, Л.В. Петухов, В.В. Пикуль, Б.Е. Победря, И.И. Поспелов, В.А. Постнов, В.Л. Присекин, Н.В. Пустовой,

B.А. Пяткин, Ю.Н. Работнов, Л.А. Розин, A.B. Саченков, Л.И. Седов, О.В. Соснин, H.A. Тарануха, В.Л. Тарасов, Ю.М. Тарнопольский, И.Г. Терегулов, В.А. Троицкий, А.Г. Угодчиков, В.И. Феодосьев, В.П. Фомин, В.М. Фролов, В.В. Чсдрик, Г.П. Черепанов, В.Г. Шатаев, Ф.Н. Шклярчук и др. Обсуждаются результаты исследований зарубежных авторов.

1. Постановка задачи устойчивости упругих ортотропных пластин при темлературно-силовом иагружении

В данной главе записаны основные соотношения, описывающие постановку задачи устойчивости. Это необходимо в связи с тем, что основные цели работы — формулировка вариационных принципов теории устойчивости упругих ортотропных многосвязных пластин при температурно-силовом нагружении, их преобразование и прямое использование —требуют чёткого прояснения механического смысла используемых при этом множителей Лагранжа. Этот вопрос может быть разрешён только с учётом того, что для любого вариационного принципа сумма предварительных и естественных условий должны составлять полную систему соотношений, описывающих данную задачу с позиций теории упругости.

Докритическое напряженно-деформированное состояние (НДС) пластины описано как «обобщенное плоское напряженное состояние» (ОПНС) линейной

теории упругости: й°-и°(х, ,х2)ё,, Aj .,-), },} = 1, 2. (1)

&ijkiAj,ki =0 '''J х, efi. (2)

,jkl Aj.k П I & = 0 . <j"(S ml S IJ kl Aj n к - X m S IJ kl A J,к и , ) = О ,/Л = 1, 2. (3)

S S

' . (Аа°,Д, +hF°=0, 1,7 = 1,2; X, еfi. : (4)

.a'jnj =Л° . (/,У=1.2). x,eSe (5)

="? . 0=1 .2); eS* (6)

'S*

=aIJkle\, -р^90,е°,у = bIJklo\, + S),6°; i ,j, к./=1, 2.(7)

Здесь: =6^81( -5а5л ; ,Ьи>. - символы Кронекера; аик„ Ьик„

Р,у, Эи - симметричные тензоры упругих и термоупругих постоянных;

О" = 0° (х, ) - заданное температурное поле в пластине. Заметим, что (2) - это уравнение совместности деформаций, а (3) - условия неразрывности контуров , ограничивающих область занятую пластиной. В "перемещениях"

дифференциальные уравнения равновесия (4) и статические граничные условия (5) записываются так:

Р,-,0°).у=О> (8)

Через напряжения и температуру,' с учётом равенств (7), уравнения (2) и условия (3) записываются в виде:

. ^ =0; бО. (10)

4'

Общее решение системы дифференциальных уравнений равновесия (4) можно представить в виде: , Лег", =б*(ТоФ,уе + • 0^)

Здесь Ь<з'к1 - какое-либо частное решение неоднородной системы (4); (р(х,, х2) - функция напряжений. После подстановки (12) в (10), (5) и (11) получено уравнение, которому должна удовлетворять функция напряжений, а также статические граничные условия и условия неразрывности контуров:

+

(13)

Ь¡jkt^■P,klnj = ; хг б5с . (14)

ии* ^ *'тв 'Р .тв ^ •

{¿ОМУ (¿>о*/стн + (э„9°) Ц = О,

+ [5т„ Ьик1а'к1" ц {ЬОк1а'к1 "V ]<& +

При постановке задачи о НДС изогнутой пластины были использованы соотношения геометрически нелинейной теории упругости и гипотезы Кирхгоффа. Перемещения материальных точек пластины определяются формулами: = ии * (¡' = 1,2,3)- Здесь и1 = -а х} и 3 + а2и ,, (х, , хг ), и з = аи} (л, ,х2 ), г =1,2; а - параметр близости плоского и изогнутого состояний пластины (а2« 1). Компоненты тензоров деформаций и напряжений представлены с точностью до а2: е = е®^ +агс"1у , (16)

а0 = сг/у + аст',} + а2а"и , /,/=1,2.; а\} =аик1е'к1, а" =

Е ^ у ~ ^ к ^

'7 ~ О'Ы Ч '

,4 > ={ии +и ],( + "э,/"з,у )/2- Функции с"ч определяют дополнительные деформации срединной плоскости (х3 = 0) пластины, которые, появляются в связи с потерей устойчивости. Для них получено уравнение совместности деформаций и условия неразрывности контуров, ограничивающих многосвязную область:

&,)к1*-"ц,к1 +"з,н"з,22 -"з,12"з,12 =0. X,. еО; (17)

п ¡<1.г = 0,

"л

= т = 1,2. (18)

Введены двумерные характеристики напряженного состояния в изогнутой пластине — обобщенные силовые факторы. Соотношения, которым они удовлетворяют, определены путём осреднения по толщине пластины дифференциальных уравнений равновесия и статических граничных условий для напряжений о,7. Если ОПНС является равновесным, то получено:

о, (19)

(и,*0): Тчп1=0 (21>

(и з^О): М^^+Г^^+М^^/^О, (22)

(и3,„*0): = 0, (23)

(и3*0): {м ' ( «у )| =0 (в угловых точках). (24)

Здесь: и,, г, - направляющие косинусы единичных векторов внешней нормали

и касательного к границе области; = /тсг"у = Иа с"., ; (25) ;

Обобщённые силовые факторы в пластине вычисляются по формулам: .:

М,- ; = -£>; "з,*,; ,(26)

= 1М М„ = М¡¿п¡п/, Нп = М,^¡п1%

в„ =в„ +Н.

--М

п,. + М + Г,у и -¡ ^ п, .

(27)

= к а^к1 /12 - это тензор изгибных жесткостей пластины. После подстановки (26) в (20), получено уравнение устойчивости тонких упругих неоднородных пластин переменной толщины:

(о,),и =0, х,еп (28)

Уравнения равновесия (19) будут выполнены, если ввести функцию напряжений Ф: = 6 ик1 Ф к1 =йа"7 (29)

Внутри области П, как следует из (17), она должна удовлетворять уравнению

+ и

3, 1 1 "3,22

1 3 , I 2 " 3 , 1 2

= 0. (30)

Непосредственно через функцию напряжений условия неразрывности контуров (18) записываются в виде:

и, = 0

к ~Х рЗтпру^ЬцппФ ^ П,

-^^'[^'"з.^з,/"* ~х />{из>,ии) _к И/]йЬ = 0, р= 1,2.

Кн

(31)

Получены практически важные формулы для определения «бифуркационных» перемещений:

* . * ! «I (* I > *2 ) = I ¿11 (£> Х 2 | £,2 (0 > ~

• О '0

- /(* 2 -7)^22,1 (°> П)с1т]-ех1ф, °)*2 +С, , О

*! 1 . а2(х,,д:2)= ] £22(х, , /7)Л7 + 2 |£12(£, 0)й^~ о о

- }(*, 0)^-£12(0, 0)х, +С2 (32)

о .

Здесь 8(.у = — (и311- и3,у)/2. Используя равенства (29), возможно выразить бифуркационные перемещения «, (/=1,2) непосредственно через функцию прогибов И) и напряжений Ф. Заметим, что формулы (32) справедливы и для случая обобщенного плоского напряженного состояния — достаточно заменить ¿и на . За основные неизвестные в задаче устойчивости можно принять

три функции моментов Му. Остальные обобщенные силовые факторы в пластине определяются через моменты по формулам (27). Разрешив равенства (26), получим: м3>,7 = -Вик,Мк1 (33)

Условия интегрируемости системы (33) таковы:

(ВпиМи),2 = (*«*>*/),', (34)

К этим двум уравнениям' необходимо присоединить уравнение устойчивости (28), записанное с помощью (33) через моменты:

М ч.ч -ТЬВ и^м и -«^«з.! =0 (35)

Получены формулы для ¡¿3| ,х-2) и (х 1 ,х2): *. *>

"з,.(х I . *г) = »з..- - ]в пк,М 0)«*£- \в пиМ,к,(х у , ^Лг/ , о о

"з (Х1 ,х2)=и\ +и°з,2х2 - |(х, -£)Вик,Ми (5,0)^-

0 ' '

-*1 |(*2 -Л)522ИЛ/н(Х, (36)

о ■ 'О ' ч ■.

Здесь и\ и и°3 / - постоянные которые должны быть определены из геометрических краевых условий, наложенных на функцию прогибов.

Соотношения, полученные в данной главе, имеют методический характер. Они необходимы для того, чтобы далее, при преобразовании вариационных постановок задачи устойчивости методом неопределённых множителей Лагранжа, была возможность чёткого прояснения механического смысла этих множителей.

2. Вариационные принципы теории устойчивости упругих ортотропных пластин при температурно-силовом нагружении

Основные цели этой части диссертационной: работы заключаются в следующем: 1) построить полную систему вариационных принципов теории устойчивости тонких упругих анизотропных неоднородных многосвязных пластин переменной толщины, подверженных - силовому и температурному нагружению - в том числе и на разрывных полях перемещений, деформаций и напряжений; 2) разработать вариационные формулировки прямых методов решения задач устойчивости пластин со «смягчёнными» (интегральными) предварительными условиями.

Рассмотрены общие положения', начало возможных перемещений, принцип стационарности полной свободной энергии механической системы; получен функционал приращения полной свободной энергии при переходе от равновесного к «соседнему» кинематически допустимому, но, вообще говоря, не равновесному состоянию; из условия стационарности этого функционала получены уравнения и статические граничные условия «в вариациях»;

сформулирован энергетический критерий устойчивости для случая температурно-силового нагружения деформируемых твёрдых тел.

Общие принципы .. конкретизированы применительно к задаче устойчивости упругих анизотропных многосвязных пластин переменной толщины (процесс изотермический, нагрузка "мертвая"). Приращение полной свободной энергии пластины при переходе от плоского к близкому (а -параметр близости) изогнутому состоянию определяется функционалом:

П-П° =а'

п . с . а

(37)

Функционал Брайана

Показано, что если обобщенное плоское напряженное состояние пластины (индекс "О") является равновесным, то приращение полной свободной энергии пластины при переходе к изогнутому (не обязательно равновесному) состоянию определяется функционалом

. (38)

П . ' £2 ,

Из вариационного уравнения 5 / = 0 в качестве естественных условий следуют уравнение устойчивости (28) и статические граничные условия (22 - 24). Таким образом, .задача устойчивости эквивалентна при дополнительном требовании минимальности , внешней нагрузки вариационной задаче о разыскании экстремалей функционала Брайана - энергетический критерий устойчивости пластин в форме Брайана.

Функционал Тимошенко ,

В предположении, что выполнены равенства (19) и (21),: получено следующее выражение для приращения полной свободной энергии пластины:

а п .

- \{кР?щ + ЩО\П1)<к+ (39)

• • ........

Характерной особенностью этого функционала являются его независимость от докритических напряжений ст?. Показано, что вариационное уравнение 51=0

эквивалентно уравнению 811=0. Классический вид этот функционал принимает, если предположить: на всей границе области О имеют место статические краевые условия (.!ч=0), объемные силы Р® и изменение температуры 0" равны нулю. Показано также, что задача устойчивости может быть поставлена и как изопериметрическая задача вариационного исчисления.

Обобщённые функционалы

Выражение (37) с точностью до множителя а2, записывается в виде:

1[щ,и2,щ) = { + {/¡ст^УО - ¡НР^щсП- \hutfds . (40)

п п и

Предварительными, для задачи о разыскании экстремалей этого функционала, являются соотношения (1), (7), (16), а также кинематические краевые условия

и/°| "4 '' = 1.2; х; €5, (41)

щ\к ="3 . , ^з,г»|х, ="з,п » К и, К' 68 (42)

При условии выполнения соотношений (1), (7) и (16) получен функционал (40), записанный непосредственно через перемещения — .

п п а

- \hiiiPfds . (43)

Г! П С1 ¡Г,

Предварительными для этого функционала являются лишь кинематические краевые условия (41) и (42). Из вариационного уравнения 5У|=0 в качестве естественных1 условий следуют соотношения, дающие постановку задачи устойчивости пластин в перемещениях (гл.1.). Показано, что вариационная задача для функционала (43) эквивалентна задаче на безусловный экстремум для функционала

К

К' ....•.,

- ¡каокЛ{ик1 + и1к +изки1!)п}{и°/ф.д/И?,/ -руб0)»^.-^-

(44>

..........у

Здесь «у» - это «угловые» точки на кинематической части границы. Функционал (44) задан на множестве функций, не подчиненным каким-либо -кроме требований гладкости — предварительным условиям. Из вариационного уравнения =0 в качестве естественных условий следуют все соотношения, дающие постановку задачи устойчивости в перемещениях.

Возвращаемся к вариационной задаче для функционала (40). Показано, что условия (1), (7), (16), (41) и (42) являются естественными для следующего функционала

13[и,,и2,и3,е£,и°2,,е° ] = { + { _|/га®и3,,и3,,«Ю +

п п

+

£2

+

К-

п п а п

- ¡Ии,Р,°сЬ - - в,0)* - +

Л, .4,

I )J "к + (¿V,«3,</"/'*), - Ьсг$изЛ |«3 - «з* -

к '

, к +

- ~мз)» и,к,1 = 12» (45)

к- у

Из вариационного уравнения ¿У3-0 в качестве естественных условий следуют соотношения (4), (5), (7), (16), (19), (21)-(24) и (28), кинематические граничные условия (41) и (42).

Обобщенный функционал Брайана

Если докритическое напряженное состояние пластины определено точно, т.е. выполнены уравнения (8), статические (9) и кинематические (6) краевые условия, то вариационная задача для функционала У3 переходит в задачу для обобщенного функционала Брайана Г[щ] . В отличии от /[и3] он задан на множестве функций не подчиненным каким-либо краевым условиям:

1'["з] = 2 + { ¡Ио-Ци^сК! +

' П П

* +

У

Обобщенный функционал Тимошенко

Показано, что если возмущение напряженного состояния в срединной плоскости пластины после потери устойчивости является равновесным, то функционал (45) преобразуется к виду:

и => У3 [и3, и,, о®, ф] = £ ¡Оок1и^и} ^О+

+

к

3

п

^ п . . II.

,тп

+ ¡Иа° ±(ии +ии +их,и3и.)--ЬиИЗк1т„ФГ:

£3 П

+ ^(^'"з,)),"* -Ьо-Ци^пр^щ-и3)<Ь~

- »I("зл -- Ё.¡¡"¿к )|_ (»3 - мз*) • (47)

Этот функционал можно назвать обобщённым функционалом Тимошенко.

Функционалы на статически допустимых полях напряжений

Если до критическое напряженное состояние сг° является статически допустимым, т.е. удовлетворяет уравнениям (4), граничным условиям (5) и не удовлетворяет уравнению совместности деформации (10) и условиям неразрывности контуров (11), то существует функция напряжений (12) для обобщенного плоского напряженного состояния. Обобщенный функционал (47) в этом случае преобразован к такому виду:

П £2 П

п" Г! п

+ Л [ПуиЩ+ (^/"3,,;,"/'*) +ёак1<Рм)и\1п] ("з -"з

К ,

* +

- ("з-"з) (48)

А" У

Этот функционал следует назвать обобщенным функционалом Алфутова -Балабуха. Предположив, что в 0 - 0 и - 0, а функция прогибов заранее удовлетворяет кинематическим краевым условиям (56), получим классическую форму записи функционала (62) для ортотропных пластин:

П П

- \\^8к1тпь1Л1(р^Фтпаа. (49)

п"

Смешанные вариационные принципы

В сформулированных выше вариационных принципах в качестве варьируемых функций — в различных сочетаниях — участвуют перемещения, деформации и напряжения в срединной плоскости пластины. При потере устойчивости в пластине изменяются не только мембранные напряжения, но и появляются обобщенные силовые факторы, характеризующие ее способность сопротивляться изгибу - Ми, и т.д. Исходной точкой преобразований может быть выбран любой из полученных выше функционалов. В работе получен весь набор смешанных функционалов, в которых в качестве варьируемых функций участвуют и указанные обобщенные силовые факторы. В свою очередь из этих смешанных функционалов - в предположении, что обобщенные силовые факторы удовлетворяют дифференциальным уравнениям равновесия и статическим краевым условиям - следуют обобщенные вариационные формулировки задачи устойчивости, связанные с принципом стационарности дополнительной энергии.

Функционалы на разрывных полях перемещений, ■ деформаций и напряжений

Функционалы, полученные выше, заданы на функциях, определённых внутри и на границе области П. Разобьём мысленно область О на конечные элементы.' Если варьируемые функции задавать независимо для каждого из конечных элементов, то условия их непрерывности и гладкости на границах КЭ могут быть "нарушены. Эти возможные обстоятельства учитывают вариационные формулировки на разрывных полях перемещений,-деформаций и напряжений. В работе представлены, возможно, все такие (модифицированные — по терминологии К. Васидзу) . функционалы. Эти функционалы - одна из методологических основ для построения алгоритмов решения задач методом конечных элементов. В качестве примера ниже представлен простейший из всех, полученных в работе, модифицированных функционалов: ■ ■

1 ; +1 ^да^'к*++«&к+

.:.... .....> 1

Здесь: а, Ь, с, ....- конечные элементы, «у» — их узловые точки, \ь\... —

функции прогибов внутри элементов, ЗаЬ,...- граница конечных элементов и т.д. Этот функционал задан на множестве функций, произвольных внутри и на границе каждого конечного глемента. Только для' конечных элементов, ■примыкающих к границе области, занятой пластиной, функции прогибов должны заранее удовлетворять кинематическим краевым условиям (42).-Из

вариационного уравнения 81=0 в качестве естественных условий следуют уравнение устойчивости внутри каждого из конечных элементов, статические краевые условия, на. границе области, занятой пластиной, а также условия совместности на границах конечных элементов. Если все условия совместности на,границах,конечных элементов заранее выполнены, то модифицированный функционал переходит в обычный. • . ,

' • Таким образом, получена полная система вариационных принципов теории устойчивости упругих анизотропных неоднородных - многосвязных пластин и панелей ■ переменной толщины при температурно-силовом

нагружении. Среди них как известные -. Брайана, Тимошенко, Алфутова-Балабуха, так и новые - обобщённые, смешанные, связанные с принципом стационарности дополнительной энергии, а так же функционалы на разрывных полях перемещений, деформаций и напряжений.

О прямых методах решения задач устойчивости пластин

Метод граничных интегральных уравнений.

. Рассмотрим обобщенный функционал : Брайана (46). Если ввести переобозначения и>=и3 и Зиз=и, то основное вариационное уравнение 51' - О может быть преобразовано к виду: . ■ , ■ . .

• ДАЛ)^^ [ёя(у>)исЬ- /еЛиКл-.у.,'

О ' !1 .', , , . К. ,. ' ... Я-К . . '

- ¡в» («К<& - Iм«^ + («V,« ^ + («К„ ж -

К К' В-К' ■ К'

У У У

Пусть и -это фундаментальное решение уравнения \Руии<и) = 8(х, - - Т|). Тогда из (50) следует основное интегральное равенство:.

п к х-к

- \§„(и)н>'Ж- IмЛ11)™,» & +

А' К' ' 5 • А" '.17 А" у У

-¿ял(Ч>+(51)

у у у

Здесь С ={1,(^,г])е П; а/2я,(4,Т|)е Угол а = к для гладких участков границы области, занятой пластиной; если точка (¿,7) является «угловой», то а .-.это угол между двумя касательными, проведенными .к границе области в рассматриваемой точке. Основное интегральное равенство (51) можно необходимое число раз дифференцировать по £ и г) и таким образом получить дополнительные интегральные уравнения для вычисления значений производных от функции' прогибов на границе области, занятой пластиной. Функция прогибов должна удовлетворять определенным нулевым граничным условиям. Выполнив их, придем к однородной относительно прогибов во внутренних элементах системе линейных уравнений; критическим будет такое наименьшее положительное значение параметра внешней нагрузки, при котором определитель системы равен нулю. Заметим, что основные интегральные равенства можно получить и на поле статически допустимых докритических напряжений. • '■ • ' '■ '"'' '

Вариационные формулировки со «смягченными» ' ■•. предварительными условиями

Рассмотрим обобщенный функционал на поле статически допустимых напряжений (48). Обозначим: Ту = И а® = 511к1(ри -(• Лст*- - статически допустимые докритические погонные усилия, Т£ = 1га"и = -

статически допустимое изменение напряженного состояния срединной плоскости пластины при потере устойчивости. Докритическое напряженное состояние представим в виде Ту = Ту + Ту , где Ту - некоторое специально подобранное простейшее напряженное состояние, удовлетворяющее дифференциальным уравнениям равновесия и статическим краевым условиям; Т* = + - варьируемая часть докритического напряженного состояния.

Функция напряжений (х,, х2 ) удовлетворяет тем же краевым условиям, что и функция Ф(х,, х2) и в этом смысле они совпадают с точностью до обозначений. В предположении, что =0, функционал (48) переписывается в виде:

- ¡Оп ("3. ТУ Х"3 ~ "з + п ("3 Х"3,П - и\п +

К . К'

+ХН*Ы% ~"з'Ц ¡т^и^о- р-ь^па.п- (52)

у . а" ¡2

Вариационное уравнение SJi = 0 эквивалентно трем равенствам:

5т;А = 0, =0, г„/4=0. (53)

Из первого уравнения в качестве естественных условий следуют уравнение совместности деформаций (30) и условия неразрывности контуров (31); из второго — уравнение совместности деформаций (13) и условия неразрывности контуров (15) для задачи об обобщенном плоском напряженном состоянии; из третьего — уравнение устойчивости, статические и кинематические краевые условия. Показано, что при заданных однородных краевых условиях, которым должны удовлетворять функции Ту и Ту, первые два уравнения (53) эквивалентны интегральным условиям:

= (55)

Если вместо первых двух равенств (53) выполняются (54) и (55), то это соответствует тому, что уравнения совместности деформаций и условия

неразрывности контуров, ограничивающих область, занятую пластиной, выполняются в «смягчённом» (интегральном) смысле. Если выполнено уравнение (54),то функционал (52) преобразуется к виду:

^ а а" п

- /е„(и„г;Х«3 -«>')* + К(»з)(»з.л -и^ + ХХЫ^э (56)

К К' у

Если же заранее выполнено уравнение (55), то функционал (52) запишется так: Л®["3] = ^ + ~ № + П—+

К

• К ' ' '

+ /Л/„(а3)(и3.„-иХп)ь+ (57)

К' У

Заметим, что функционал (57) с точностью до обозначений совпадает с обобщенным функционалом Брайана (46) - место точных докритических напряжений Ту в нем занимают статически допустимые напряжения Т{~ + Ту , заранее удовлетворяющие уравнению (55). Задача устойчивости таким образом эквивалентна разысканию экстремалей (наименьшего положительного значения параметра внешней' нагрузки) этого функционала на множестве статически допустимых напряжений, подчиненном условиям совместности деформаций лишь в «смягчённом» (интегральном) виде (55). При решении задач устойчивости пластин на основе функционала (56) должно быть предварительно выполнено уравнение (54). Возможен и другой вариант использования функционала (56). Так как между бифуркационными перемещениями и напряжениями в срединной плоскости пластины имеют место соотношения (гл.1)

(58)

то функционал (58) преобразуется к виду:

Лг[«з."Л=-^еЧл,,^ \hPSds-

г п п "п 5.

П К К' У

Функции иI здесь не являются независимыми. Они должны удовлетворять системе дифференциальных уравнений (58). Эта система уравнений будет совместной только при условии, что выполняется уравнение (30). Формулы (32) получены при естественном предположении, что уравнение совместности выполнено. Однако, если нет возможности точно выполнить это уравнение, то в формулы (32) следует подставить к3 и Ф, удовлетворяющие уравнению (54) совместности деформации в интегральном виде. Подобный метод «смягчения»

может быть распространен и на другие, представленные в работе, обобщенные функционалы. ' . :.■■•. ...

Таким образом, поставленные в этой части работы цели, достигнуты. В последующих главах представлены результаты исследования ряда практически важных 'задач устойчивости пластин, получешше с использованием полученных здесь функционалов (56), и (59) со «смягчёнными» предварительными условиями.

■»ММИИШПМ

— i>"

3. Устойчивость бесконечных ортотропных пластин с эллиптическим . I ' отверстием при растяжении

Эта задача моделирует наличие в пластине отверстия, размеры которого незначительны по сравнению с размерами пластины. Даже при её общем растяжении, в окрестности вырезов (дефектов) могут быть зоны, в которых одно или оба главных напряжения являются сжимающими. Это объясняет возможность потери устойчивости таких пластин при растяжении. Представлен обзор работ по разрушению и локальной (в окрестности вырезов и трещин) потере устойчивости тонкостенных тел с вырезами. Отмечаются результаты, полученные в исследованиях Башкирова В.П., Чубаня В.Д., Бочкарева А.О., Гузя А.Н., Даля Ю.М., Дышеля М.Ш., Доценко A.M., Зирки А. И., Мехтиева М.А., Зейналова М.К., Кулиева Г.Г., Малидова Э.Н., Миловановой О.Б. и других авторов. Но даже для изотропных пластин с круговым отверстием полученные результаты являются противоречивыми. В этой главе диссертации ставится и решается задача исследования устойчивости ' при растяжении бесконечных ортотропных пластин с круговым или эллиптическим вырезом.

Для ' решения .задачи устойчивости бесконечной ортотропной пластины с. круговым отверстием (рис.1) использован «смягчённый» вариант энергетического ; критерия, устойчивости на поле статически допустимых напряжений (гл.2.). Функционал (56) и интегральное условие (54) были записаны в полярной системе координат. В качестве статически допустимого для ортотропной пластины использовано точное напряжённое состояние для изотропной пластины, нагруженной так, как указано на рис.1. Были построены функции прогибов и напряжений, удовлетворяющие всем краевым , условиям — в . виде рядов с. неопределёнными коэффициентами.. В итоге, задача устойчивости была сведена к обобщённой задаче на собственные значения. Исследована сходимость вычисляемого значения параметра критической нагрузки в зависимости от числа удерживаемых слагаемых в рядах для . функций прогибов и напряжений. Обнаружено, что наиболее опасным

и шип

Рис. I. Схема нагружения' пластины

является именно одноосное растяжение (р=0, рис.1.). Если материал пластины изотропный, то • ■'.'.■...". ... ''

- - '39.25 1 Jh^ ■ ■ '

UJ '

Из этой формулы следует, что локальная потеря устойчивости может происходить при достаточно ; низких уровнях напряжений, если пластина, тонкая (отношение h/R мало). В случае одноосного растяжения, для трёх материалов — стеклотекстолита, стеклопластика и боропластика, рассмотрен вопрос (рис.2.) о влиянии угла 0 (рис.1.) между направлением растяжения и главными осями ортотропии на величину критического значения

Ä = qhR2/jDt

Рис. 2. Влияние угла ортотропгш на критическое значение параметра внешней нагрузки

■ D2 (здесь Di и D2 - главные

параметра внешней нагрузки изгибные жёсткости пластины). Для каждого материала существует своё наиболее опасное с точки зрения локальной потери устойчивости направление (угол О) растяжения: для стеклотекстолита этот угол равен примерно 45°; для боропластика — 28°; для стеклопластика ;— 35° (рис. 2.). На рис.3 и, 4 представлены, соответственно, общий вид формы потери устойчивости изотроп

Рис. 3 Общий вид формы потери устойчивости (изотропный материал)

М * 7*4

Рис. 4. Анализ формы потери устойчивости (складки)

ной пластины при одноосном растяжении и её более детальный анализ.

Обнаружено образование при потере устойчивости при растяжении медленно затухающих «складок». Формы потери устойчивости для ортотропных и изотропных пластин имеют похожий вид. Важно, что результаты, представленные на рис.2 были подтверждены при решении той же задачи' на основе функционала Брайана (38). На его,же основе было Рис.5, Ортотропная пластина выполнено исследование влияния эллиптичности с эллиптичским отверстием отверстия (рис.5) на параметр критической " нагрузки. При этом численно исследовалась

сходимость вычисляемого значения параметра внешней нагрузки в зависимости от количества слагаемых, удерживаемых в рядах для функции прогибов ()таблица 1; здесь п — это количество слагаемых в рядах для функции прогибов по каждой из координат). Критическая нагрузка оказывается очень чувствительной к вытянутости эллиптического отверстия. Вывод состоит и в том, что задача локальной устойчивости пластин с трещиной требует специального рассмотрения. В таблице 2 представлены результаты для задачи, изображённой на рис.5. При этом в рядах для функции прогибов удерживалось по 81 слагаемому; при вычислении дкр принято к/а-О.О].

п 3 Ь/я • . . , ¿и 1 А - 1- 72,06 Ц-. 1 *» 44,62 ИзЬтр: 40,66 6 «> *.. • • •• >пныи мат 39,90 ериал. 39,62 39,44 9 39,29

1 -5 ' - 472,2 • ь/а Г .. « .. .»,.>, I1 " 135'9 15,16 ; А« £ Д.«* 49Д 4,64 'ЯЛ 39,0 2,61 з^б^ПЗСТ^ 36,3 . 1,80 35,4 1,41 35,0 1,25 37,7

5 22660 382,7 46,0 14,5 7,7 3,8 2,7

•шЬти^й^териял " 1 'й^Г* л^лвУ *

Ь/а Аф * Ягр

.1 " ,' 2., , . ,3 , , '4 5 ' ! "б -7

' 0,5' 256,11 492,52-' 203,85 ' 114,77, 283,63 49,83

101,28 194,77 85,15 47,94 112,27 19,72

"•Ч■ 51,77 99,56 45,41 25,56 57,41 10,09

1.0 ? 39,25 75,48 34,56 19,46 43,49 7,64

•1,1*- 29,91 57,52 . 27,83 15,67 34,06 5,98

' 24,62 47,39 22,51 12,68 27,26 4,79

1 :<'5 14,08 27,08 13,38 7,53 15,59, 2,74

,7,05 13,56 7,21 4,06 7,74 1,36

4,63 . 8,90 5,09 2,87 5,06 0,89

3,0 т 2,87 5,52 3,67 2,07 3,07 . 0,54

" 3,4 2,26 4,35 3,10 1,75 2,39 0,42

. 4,0 ... 1,66 3,19 2,72 1,53 1,75 0,31

4,4 1,46 2,81 2,72 1,53 1,51 0,27

' 5,0 - 1,24 2,39 2,72 4,53 1,25 .. 0,22

Рис.6. Схема погружения кольцевой пластины

4. Устойчивость кольцевых ортотропных пластин при силовом и температурном нагружении

Постановка задачи. Материал пластин (рис. 6) предполагается ортотропным. Возможно, что упругие и термоупругие характеристики материала пластины являются функциями полярных координат. Кроме внешней равномерно распределенной нагрузки предполагается и наличие температурного поля. Внешняя нагрузка может быть как положительной (изображено на рис. б), так и отрицательной - иметь направление противоположное указанному на рис. б. Для рассматриваемой задачи (рис.б) достаточно просто строится статически допустимое докритическое напряженное состояние: молено использовать известное точное решение для изотропной пластины - формулы Ламе. Поэтому, здесь использован «смягчённый» вариант энергетического критерия устойчивости на поле статически допустимых докритических напряжений. Обезразмеренные функционал (56) и интегральное условие (54) в полярной системе координат записываются так:

2к ^ з 2т1

1Л[щ,ф] = - / 1 ^и^.рфле-

г 1 О 2 I о

5 2п з2п

-г-{ /Vо^рфсЮ - Т | ............10 I о

^ * 2гг з 2я

-1 \о;*^1Р<1рс1б -1 \ь,]и-а"иа* РаРав=о. ^ 1 0 10 Здесь: р = г/К1^ = Я1/!1г,*>11=-и>гРр,м>и = -и>:п=(р-1*>д)/„

ЬуЫ ~ ^ы/л/^ПИ '^2222 > = Вцц / -/°Ш1 ' ^2222 > ~ л/^1111 ' ^2222 ' СТ|/ 5

= л/г,1111 • ьшг •°ц\Щ=сти>; 5*/ ¿¡¡и , а*, о]-, Вы-

компоненты соответствующих тензоров в базисе полярной системы координат; Т = 777] - безразмерное температурное поле; X = дИН*/

' ^2222 " параметр

внешней нагрузки; т = hT^R?tS22 /Jb]Uxb2221 л/D,,,,Dlrn - параметр температурного поля. Задача устойчивости эквивалентна определению таких наименьших по модулю значений параметров внешней нагрузки и температурного поля, дри которых поставленная вариационная задача имеет нетривиальное решение. Её решение разыскивалось прямым вариационным методом Ритца. Предложен способ построения функций прогибов w и напряжений Ф и Ф*. Изложена общая схема метода Ритца при температурно-силовом нагружении пластин. .

Численные результаты

. Разработано программное обеспечение, реализующее численное решение поставленной задачи методом Р'итца. Тестирование работы всей программы выполнялось путём сравнения получаемых результатов с известными точными. Использовался для контроля и конечно-элементный пакет COSMOS/M. Совпадение сравниваемых результатов для параметра критической нагрузки было в диапазоне от трёх до пяти значащих цифр. При этом в рядах для функций прогибов и напряжений по каждой из координат удерживалось пять и восемь функций.

. . ■ Устойчивость цилиндрически-ортотропных пластин. На рис, 7.

2345S6789 10

2 3 -4 5

7 ■ - 9 10

Рис 7.Зависимость X «рфпри сжатии . Рис.8. Зависимость Я. фф при растяжении

представлена зависимость параметра критической нагрузки от отношения радиусов при сжатии (#/>0; цилиндрическая ортотропия; внутренняя кромка свободна, внешняя защемлена). На рис. 8. - зависимость параметра критической нагрузки от отношения радиусов при растяжении^ ,<0;цилиндрическая ортотропия; внутренняя кромка свободна, внешняя защемлена). Рассмотрены три материала: боропластик, стеклопластик и стеклотекстолит. Предполагалось, что температурное поле отсутствует и внешняя нагрузка приложена только на внутренней границе пластины. Если нагрузка сжимающая

(рис. 7), то формы потери устойчивости являются осе симметричными. При 5>3 критические значения параметра внешней нагрузки практически не зависят от механических характеристик материала пластин. При растягивающих нагрузках {рис. 8.) с изменением параметра .V форма потери устойчивости пластины меняет число узловых диаметров. В точках перехода от одной формы к другой графики имеют излом. Докритическое напряженное состояние для рассмотренных здесь задач может быть определено и точно. Поэтому их решение было выполнено и на основе функционала Брайана (38). Численные результаты, полученные этими двумя методами, совпали с точностью до трёх значащих цифр.

Устойчивость кольцевых пластин с прямоугольной ортотропией материала. Точного решения задачи о докритическом напряжённом состоянии

в этом случае , не построено. Решение задачи устойчивости было выполнено только с использованием

функционала (56). Получены результаты, аналогичные представленным . на

рис. 7 и 8, но при условии, что ортотропия материала является прямоугольной. В случае потери устойчивости при

растягивающих нагрузках с изменением отношения .г форма потери устойчивости пластины меняет число узловых диаметров. Примеры таких форм представлены на рис. 9.

Устойчивость кольцевых цилиндрически-ортотропных пластин при температурно-силовом нагружении. Рассмотрен пример: предполагается, что на внутренней и внешней границах пластины заданы значения температуры - Т[ и Т2 соответственно. Решение соответствующей задачи Дирихле даёт следующий закон распределения температуры в

области:Т(г) = Г,((Г2 /Г,) 1п(г/1п(г/Я2))/1п(/?2 /Л,). Для расчетов было

принято: Т2 /Т1 = 10 и 8=1^2/111 = 3; материал пластин - боропластик (Зп=4.14'10~<5 К"1, 922=19.г-Ю-6 К"1 - значения термоупругих постоянных в радиальном и окружном направлениях соответственно ). Для представления результатов были введены безразмерные параметры нагрузки X = 12^,(7?,/А)2/^[Ё^Щ и температуры т = 12^/9,(/?, / /г)27]. Показано, что пара критических значений (к кр, т кр) не зависит от способа температурно-

Рис. 9. Формы потери устойчивости прямоугольно ортотропных пластин при растяжении для различных отношений радиусов ^ (боропластик; внутренний контур защемлен, внешний свободен)

силового нагружения. Необходимо только, чтобы путь термосилового нагружения не выходил за границы области устойчивости. Разработан способ построения таких областей. Примеры представлены на рис. 10 и 11. Точки на графиках указывают на смену числа «п» узловых диаметров. На рис.10 область устойчивости лежит между кривыми, на рис. 11 - ниже изображённой кривой.

П-0

"М

/ 1-2

/ \п=1

/ \

„-3 / \

/ п-о \

/ *

0.00 2.12 «,»8 е.ет 8,М 11,и 11,35 16,57 17,7а 20,02 22,24

Рис. 10. Область устойчивости (пластина ишрнирно опёрта по обеим границам, з=3, Тз /Т/ -10, щ /<?/ =0 -пластина нагружена на внутреннем контуре, ' материал пластины — цилиндрически ортотропный

боропластик)

46,080 -43,083 -задет -17,090 -4,094 В,903

Рис. 11. Область устойчивости (пластина шарнирно опёрта по обеим границам, з=3, Тг /Т1 -10, 9.2 /у/ ~0 -пластина нагружена на внутренней границе, материал пластины — цилиндрически ортотропный

боропластик(Е1 <~>Ег))

О рациональном проектировании металлокомпозиционных пластин. Если изотропную пластину армировать более жёстким материалом, то величина критической нагрузки изменится - возрастёт. Естественно, возникает ряд вопросов о рациональном — : с точки зрения возможной потери устойчивости — проектировании таких пластин. Это структурно неоднородные конструкции. Упругие и термоупругие характеристики материала конструкции, эквивалентной - в некотором смысле - заданной, определены е использованием модели, предложенной Ю.В.' Немировским («мягкий вариант»). Кроме того, в работе предложен «жёсткий» вариант. Суть в следующем: упругий потенциал эквивалентной сплошной среды представляется в виде следующих сумм:

1

Рис. 12. Схемы армирования

(«мягкий вариант») И^3:

1

ь

1

(«жесткий вариант») Ж2Э = -а^е0еИ + -ак{Е^ - Е]е]к 1,2.

В этих формулах а"ы - тензор упругих постоянных для изотропной среды (связующего);« = сох + а>2 < 1, тк (к -1,2)-удельная плотность упаковки к-го семейства арматуры (здесь - два семейства, для второй схемы армирования

о)|=®2); , где -т(к>-е,- - направляющие

I ''Л '' \ косинусы к-го семейства арматуры в базисе полярной

\Г7Г \ системы координат (рис. 13); Е<к") - модули Юнга к-го

|—-— семейства арматуры (для второго случая они одинаковы). В

^——итоге, для пластины из эквивалентного материала -это

„ ,, „ функции параметров армирования и

Рис. 13. Параметры армирования " г ■ г £

механических характеристик Е и V связующего

и Е\а) - арматуры. Далее определены: Ц'и и . Если, к примеру,

алюминиевую пластину «усилить» арматурой из бора, то такая пластина будет не только более устойчивой, но и более лёгкой. Некоторые численные результаты представлены на рис.14 и 15. Нагрузка д приложена на внутреннем контуре и может быть как сжимающей, так и растягивающей. Критические Значения относительного параметра Л внешней нагрузки для армированных пластин были вычислены для случаев сжатия и растяжения. Здесь X = \*кр I)"кр, причём = 12(7?,/И)2е}"р/Е. Таким образом, среди армированных пластин

работающих на сжатие и содержащих 30% арматуры (Г2=0.3), наиболее жёсткими являются радиально армированные (криволинейно армированные с начальным углом а„ =0). Если пластины работают на растяжение, то наиболее эффектным является армирование по логарифмической спирали с углом а0 =90" (рис.15). Впрочем, это точно соответствует окружному армированию.

-в—"Мягкий" вариант - —"жесткий" вариант

Рис. 14. Зависимость критического значения параметра внешней нагрузки от начального угла армирования при сжатии. (з=3; О^О.З; по обеим кромкам заделка)

-в- "Мягкий" вариант -"Жёсткий" вариант

Рис. 15. Зависимость критического значения параметра внешней

нагрузки от начального угла армирования при растяжении (¡=3; П^О.З; по обеим кромкам заделка)

Практическое значение параметра X для реальной конструкции определяется технологическими особенностями процесса' армирования, но находится в

области значений, ограниченной результатами расчётов по «мягкому» и «жёсткому» вариантам.

5. Устойчивость прямоугольных пластин

Устойчивость пластин при локальных нагрузках, Докритическое

напряжённое состояние локально нагруженных пластин является резко неоднородным.' Необходимость его определения при решении' задач устойчивости можно «обойти». Для этого достаточно использовать «смягчённые» варианты энергетических ' критериев устойчивости Тимошенко — (59) или Алфутова- Балабуха (56). Принципиальным становится вопрос о построении статически допустимого докритического напряжённого состояния. В работе он разрешён в достаточно общем виде. Для случая, изображённого на рис. 16, искомые функции записываются так:

Рис.16. Схема погружения пластины '

1?Р

ь

а

Р

о?, = (б/гф*2 - ¿)}(х, - 0Ы0- ih(e)№

о

[2 = (б /¿3 ХЙ /з)- {Ы2)х1 )[q2 (х,) - 9l (.х,)] - q, (*,) а'1г = {6/bl\bx2 -

Ас. 17.'Зависимость критического значения параметра внешней нагрузки от отношения сторон пластины

Расширяет возможность использования этих формул метод разбиения области на подобласти.

Численные результаты. Представлены результаты, исследования устойчивости локально нагруженных свободно опертых изотропных и ортотропных пластин. Исследована сходимость вычисляемого значения параметра критической -нагрузки для квадратной изотропной свободно опертой пластины для двух случаев нагружения: а)-по параболе, б)-для случая, изображённого на рис. 17. При нагружении по параболе практически точный результат получается уже в третьем приближении.' При локальном нагружении (случай б)) в рядах необходимо удерживать не менее 64 слагаемых. В частности, для задачи Зоммерфельда (устойчивость пластины, нагруженной сосредоточенными силами), критическое значение X = 0.650. Это подтверждает результат H.A. Алфутова и Б.Г. Попова. Получены графики зависимости параметра критической нагрузки от угла ориентации осей ортотропии материала пластин (стеклотекстолит, стеклопластик, боропластик). Для каждого ортотропного материала существует свой оптимальный угол ориентации осей ортотропии, при котором пластина

может выдержать наибольшую нагрузку. Характерными особенностями задачи устойчивости для пластины, изображенной на рис. 18, являются резко-неоднородное докритическое напряженное состояние и свободная от закреплений граница — пластина оперта лишь по углам. Её решение выполнено с использованием функционала Тимошенко (59) со «смягчёнными» предварительными условиями (54). Так как краевые условия для функции прогибов являются в основном статическими, то при её построении за основные неизвестные были приняты моменты Mtj (гл.1.). Это позволило выполнить не только кинематические, но и статические краевые условия. Численный результат получен методом Ритца: в первом приближении, при удержании в рядах для функций прогибов и напряжений по одному слагаемому р = Pcr/(D/a)~ 2.440; во втором приближении (и, т-1, 2.)р= 1.375; в третьем приближении («, от=1, 2, 3) р-1.328. Решение, полученное с помощью пакета COSMOS/M, дает значение параметра критической на1рузки /7=1.314. Как видим, относительная погрешность второго приближения не превышает +5%. Столь хорошую сходимость результатов можно связать с тем, что построенный в работе ряд для функции прогибов заранее удовлетворяет всем - и кинематическим и статическим - краевым условиям.

Устойчивость пологих цилиндрических панелей. Поставлена и решена задача исследования влияния кривизны панели на величину критического х значения параметра внешней нагрузки. При

—f——ГТТТТТ решении задач необходимо было задавать 14 " кривизну MR. Это было сделано так:

1,1 — : 1 /R = Gw°/(ab), где а,Ь - размеры

1 ь/.-15 "ь/IIï _ прямоугольной панели; G - безразмерный

' ' ■— • - коэффициент (при (7 = 0 возвращаемся к

0,6 ~ пластине); w" - прогиб в фиксированной

точке панели. На рис.19 представлен пример ' Рис.19. Зависимость критического вычисленных зависимостей критического значения параметра внешней нагрузки значения параметра внешней нагрузки А. от отношения сторон и кривизны от отношения сторон и кривизны панели панели (шарнирное опирание) (G - безразмерный параметр кривизны,

при G = 0 возвращаемся к пластине).

Поставлена и решена с использованием функционала (56) задача устойчивости для равномерно сжатой по двум сторонам квадратной пластины с центральным круговым отверстием. Полученный результат хорошо согласуется с известными результатами теоретических и экспериментальных исследований данной задачи. Некоторые из них представлены на рис.20; R/à — это отношение радиуса отверстия к половине стороны пластины.

X,

Рис. JS. Схема погружения пластины

bfa«2 /

*

b/a-1,8 / Ыа-1

1 2 3 G

Поставлена : и решена задача рационального проектирования работающих на сжатие прямоугольных ортотропных пластин, при однородном докритическом напряжённом состоянии. Рассмотрены случаи одно и двухосного сжатия. Разработанный метод позволяет проектировать из заданных ортотропных материалов максимально жёсткие пластины заданных размеров.' ' '

Рис. 20. Зависимость критического значения параметра внешней нагрузки от относительной величины отверстия в пластине

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе получены следующие результаты.

1. Метод преобразования вариационных постановок задач с использованием множителей Лагранжа распространён на задачи устойчивости упругих анизотропных пластин и панелей, подверженных температурно-силовому воздействию. Получена полная система вариационных принципов теории устойчивости упругих анизотропных пластин.

2. Развиты прямые вариационные методы решения задач устойчивости со «смягчёнными» предварительными условиями. Показано, что параллельно с решением задачи устойчивости алгоритм позволяет получить решение и плоской задачи теории упругости. -

3. Разработаны методы построения статически допустимых докритических напряжённых состояний, в том числе и для пластин с вырезами. Это позволило расширить круг эффективно решаемых сложных задач. Развит метод «граничных» интегральных уравнений для решения задач устойчивости, в том числе и на поле статически допустимых докритических напряжений.

4. Разработан метод модификации вариационных принципов теории устойчивости упругих анизотропных пластин и панелей летательных аппаратов, подверженных температурно-силовому нагружению, применительно к их конечно-элементному моделированию. Вариационные принципы на разрывных полях перемещений, деформаций и напряжений являются

принципиально важными при построении конечно элементных алгоритмов решения задач устойчивости. \ ■

5. С помощью разработанных методов решены и исследованы задачи «локальной» устойчивости бесконечных ортотропных пластин с эллиптическим отверстием при их растяжении.

6. Решены и исследованы задачи устойчивости кольцевых ортотропных пластин при температурно-силовом нагружении. Разработан метод построения областей устойчивости. Разработан метод ■ определения «технических постоянных» для «эквивалентного» материала армированных пластин. Решены и исследованы задачи устойчивости для металлокомпозиционных кольцевых пластин. -. ■ .

7. На основе полученных в работе результатов, разработан эффективный метод исследования устойчивости локально нагруженных ортотропных пластин. Этот же метод применён к исследованию устойчивости пологих цилиндрических панелей при неоднородном напряжённом состоянии.

8. С помощью разработанных методов решена задача устойчивости при сжатии для квадратной пластины с центральным круговым отверстием.

Список основных опубликованных работ по теме диссертации

1. Матвеев К. А. К вопросу о возможности решения задач устойчивости пластин без предварительного определения начального напряженного состояния // Динамика и прочность конструкций / Сб. науч. тр. -Новосибирск: Изд-во НЭТИ.-1973.-С.37-42.

2. Куршин Л.М., Матвеев К.А. Применение энергетического метода к задачам устойчивости пластин с отверстием // Изв. АН СССР. МТТ. - 1974. - № 6.-С.114-119.

3. Куршин Л.М., Матвеев К.А. К решению задач устойчивости пластин с отверстием // Динамика и прочность конструкций / Межвуз. сб. науч. тр. -Новосибирск: Изд - во НЭТИ. - 1974. - С.З - 19.

4. Куршин Л.М., Матвеев К.А. К устойчивости при сжатии квадратной защемленной пластинки с отверстием // Динамика сплошной среды./ Математические проблемы механики сплошных'сред. Сб. науч. тр. - Новосибирск: Изд - во Ин - та гидродинамики СО АН СССР. - 1974. - Вып. 19 - 20. - С.62-65. .

5. Куршин Л.М., Матвеев К.А. К исследованию устойчивости прямоугольных пластин с вырезами // Изв. АН СССР. МТТ. - 1978. - № 6. - С. 162 - 163.

6. Куршин. Л.М., Матвеев КА.,Подружин Е.Г. К расчету на изгиб стреловидных консольных пластин // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Статика и динамика деформ. систем / Всесоюзн. Межвуз. Сб. - Горь-кий: Изд - во Горьковского ун - та. -1980. - С. 122 - 126.

7. Куршин Л.М., Матвеев К.А., Подружим Е.Г. Изгиб подкрепленной пластины // Известия вузов. Строительство и архитектура - 1982. - № 8. - С.35 -38.

8. Крамаренко H. В., Матвеев К. А. Функционал ЛаграНжа для расчёта подкреплённых пластин несовместными конечными элементами //Депон. в ВИНИТИ № 4626-83 Дел,- 1983. . ■

9. Матвеев К.А., Сачков В.В., Леган М.А. Исследование устойчивости упругих пластин // Динамика и прочность элементов авиационных конструкций / Межвуз. сб. науч. тр. - Новосибирск: Изд - во НЭТИ. -198?. - С.92 - 96.

10. Матвеев К.А., Сачков В. В.. Приложение метода С.П. Тимошенко к решению задач устойчивости упругих пластин II Динамика и прочность авиационных конструкций / Межвуз. сб. науч. тр. - Новосибирск: Изд - во НЭТИ. -1989.-С.80-85.

11. Матвеев К.А., Попов И.Н. Исследование устойчивости цилиндрических панелей II Динамика и прочность авиационных конструкций. / Межвуз. сб. науч. тр. - Новосибирск: Изд-во НЭТИ. - 1990. - С.22 - 24. ■

12. Матвеев К.А. Некоторые варианты энергетического критерия устойчивости пластин // Динамика и прочность авиационных конструкций / Межвуз. сб. науч. тр. - Новосибирск: Изд- во НЭТИ. - 1992. - С.86 - 93

13.Матвеев К.А., Речкин A.A. Исследование устойчивости упругих пластин методом граничных элементов // Динамика и прочность авиационных конструкций. / Межвуз. сб. науч. тр. - Новосибирск: Изд-во НЭТИ. - 1994. - С.37 -42.

14. Матвеев . К.А. О вариационных принципах теории упругой устойчивости пластин. Расчет локально нагруженных анизотропных пластин // Научный вестник НГТУ. - 1996. - № 2. - С.43 - 55.

15. Матвеев К.А., Моховнев Д. В., Савельев A.B. Разрушение и локальная потеря устойчивости тонкостенных тел с вырезами // Тезисы докладов IV Всероссийской конференции «Проблемы прочности и усталостной долговечности материалов и конструкций» - Новосибирск, 1997. С.59-60.

16. Пустовой Н.В., Матвеев К.А. Основы расчета на устойчивость деформируемых систем - Новосибирск: Изд - во НГТУ, 1997. - 370 с.

17. Матвеев К.А., Моховнев Д. В., Савельев A.B. К исследованию общей и локальной устойчивости ортотропных пластин // Сибирский журнал индустриальной математики. - 1998. -№ 2. - С. 127 - 139.

18. Матвеев К.А. О локальной устойчивости упругих ортотропных пластин // Динамика сплошной среды. / Математические проблемы механики сплошных сред. Сб. науч. тр. - Новосибирск: Изд - во ин - та гидродинамики СО РАН. - 1999.-Вып. 114.-С. 186- 188.

19.Матвеев К.А., Моховнев Д. В. Исследование устойчивости' кольцевых ортотропных пластин при термосиловом воздействии // Динамика сплошной среды. / Математические проблемы механики сплошных сред. Сб. науч. тр. — Новосибирск: Изд — во ин - та гидродинамики СО РАН. - 2000. - Вып. 116. -С. 202 - 206. -

20.Пустовой Н.В., Матвеев К.А., Моховнев Д.В. Устойчивость кольцевых ортотропных пластин // Прикладная механика и техническая физика, 2000, № 2-С. 165-170.

21. Пустовой Н.В., Матвеев К.А. О вариационных принципах теории упругой устойчивости пластин.// Научный вестник НГТУ. - Новосибирск, 2000, №1. -с. 110-126.

22. Пустовой Н.В., Матвеев К.А. О прямых методах решения задач устойчивости пластин // Научн.вестник НГТУ. - Новосибирск, 2000, №2(9) -С.101 - 108.

23. Матвеев К.А. О вариационных принципах теории упругой устойчивости пластин на разрывных полях перемещений, деформаций и напряжений // Научн. вестник НГТУ. - Новосибирск. - 2001. -№2.-С.101 - 113.

24. Матвеев К.А., Моховнев Д. В. Вариационные • формулировки задач устойчивости ортотропных пластин при термосиловом нагружении // Динамика сплошной среды. / Математические проблемы механики сплошных сред.. Сб. науч. тр. - Новосибирск: Изд - во ин - та гидродинамики СО РАН.-2001.-Вып. 118.-С. 186-189.

25. Матвеев К.А., Немировский Ю.В., Пустовой Н.В. Устойчивость кольцевых композитных пластин при термосиловом нагружении // Труды 17-й межреспубликанской конференции по численным методам решения задач теории упругости и пластичности: Изд. - во ИТПМ СО АН РФ. -Новосибирск, 2001. С. 46 - 51.

26. Матвеев К. А., Немировский Ю. В., Пустовой Н. В. Устойчивость эквивалентных по весу кольцевых армированных пластин // Научный вестник НГТУ - 2001. - №2. - С. 91 - 100.

21 .Matwejew К.А., Mochovnev D. V., Nemirovski . U. V., Pustovoy N. V. Orthotopic plates at thermoloading influens // Proceedings The 1st Russian-Korean International Simposium on Applied Mechanics / October 2-4, 2001 at Novosibirsk State Technical University. Russia. / Novosibirsk: Printed in Novosibirsk State Technical University. - 2001. - P.57-60.

28.Pustovoy N. V., Matwejew K.A., Mochovnev D. V. Buckling of annular orthotopic plates // Proceedings The Third Russian-Korean International Simposium on Scicnce and Technology. / Russia: Novosibirsk State Technical University. -1999.-Vol-l.-P.364-367.

29. Pustovoy N. V., Matwejew K.A., Mochovnev D. V. Research of stability of multi-coherent orthotropic plates at themoloading influence // Proceedings The 4th Russian-Korean International Simposium on Science and Technology / Ulsan: Printed in Republic of Korea Technical Communication Service. - 2000. - Part.3. -P.27 -31.

30. Матвеев K.A. Вариационные принципы теории устойчивости упругих пластин со «смягчёнными» предварительными условиями // Сибирский журнал индустриальной математики. - 2002. -№ 1. - С. 58 - 64..

Константин Александрович Матвеев

РАЗРАБОТКА И РАЗВИТИЕ ВАРИАЦИОННЫХ МЕТОДОВ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ АНИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИН

Подписано в печать /З'ОЗ-ЛШ. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Тираж ЮО экз. Уч.-изд. Л. 2 Печ.л. 2,25 Заказ № У

Отпечатано в типографии Новосибирского государственного технического университета 630092, г. Новосибирск, пр.К. Маркса, 20

ВВЕДЕНИЕ.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ УСТОЙЧИВОСТИ УПРУГИХ ОРТОТРОПНЫХ ПЛАСТИН ПРИ ТЕМПЕРАТУРНО-СИЛОВОМ

НАГРУЖЕНИИ.

1.1. Введение.

1.2. Обобщённое плоское напряжённое состояние - полная система соотношений линейной теории упругости.

1.2.1. Учёт влияния поля температур.

1.2.2. Тонкие пластины переменной толщины.

1.3. Напряжённо-деформированное состояние изогнутых пластин.

Гипотезы. Основные соотношения теории упругости.

1.3.1. Вектор перемещений. Тензор деформаций.

1.3.2. Напряжения. Дифференциальные уравнения равновесия.

Статические граничные условия.

1.3.3. Обобщённые силовые факторы. Тензор изгибных жёсткостей.

1.4. Постановка задачи устойчивости.

1.4.1. Определение бифуркационных перемещений и напряжений.

1.5. Выводы по главе 1.

2. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ УПРУГИХ ОРТОТРОПНЫХ ПЛАСТИН ПРИ ТЕРМПЕРАТУРНО

СИЛОВОМ НАГРУЖЕНИИ.

2.1. Введение.

2.1.1. Принцип стационарности потенциальной энергии. Уравнения в вариациях.

2.1.2. Энергетический критерий устойчивости.

2.1.3. Обобщение на задачи термоупругости.

2.2. Вариационные принципы теории упругой устойчивости пластин.

2.2.1. Энергетический критерий устойчивости. Функционал

Брайана.

2.2.2. Энергетический критерий устойчивости. Функционал

Тимошенко.

2.2.3. Задача устойчивости как изопериметрическая задача вариационного исчисления.

2.2.4. Обобщённые функционалы.

2.2.5. Смешанные вариационные принципы.

2.2.6. Функционалы на разрывных полях перемещений, деформаций и напряжений.

2.2.7. О прямых методах решения задач устойчивости пластин.

2.3. Выводы по главе 2.

3. УСТОЙЧИВОСТЬ БЕСКОНЕЧНЫХ ОРТОТРОПНЫХ ПЛАСТИН С ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ ОТВЕРСТИЕМ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ.

3.1. Обзор работ по разрушению и локальной потере устойчивости пластин с вырезами.

3.2. Устойчивость бесконечной ортотропной пластины с круговым отверстием при действии растягивающих нагрузок.

3.2.1. Постановка задачи.

3.2.2. Решение методом Ритца.

3.2.3. Численные результаты.

3.3. Устойчивость бесконечной ортотропной пластины с эллиптическим отверстием.

3.3.1. Постановка задачи.

3.3.2. Решение методом Ритца.

3.3.3. Численные результаты.

3.4. Выводы по главе 3.

УСТОЙЧИВОСТЬ КОЛЬЦЕВЫХ ОРТОТРОПНЫХ ПЛАСТИН ПРИ СИЛОВОМ И ТЕМПЕРАТУРНОМ НАГРУЖЕНИЯХ.

4.1. Введение.

4.2. Постановка задачи.

4.3. Решение методом Ритца.

4.3.1. Общая схема метода Ритца при температурно-силовом нагружении пластин.

4.3.2. Ряды для функций прогибов и напряжений.

4.3.3. Численные результаты.

4.4. О рациональном проектировании металлокомпозиционных пластин.

4.4.1. Упругие характеристики армированных пластин.

4.4.2. Численные результаты.

4.5. Выводы по главе 4.

УСТОЙЧИВОСТЬ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИН.

5.1. Введение.

5.2. Устойчивость пластин при локальных нагрузках.;.

5.2.1. Общая схема метода Ритца для функционалов Тимошенко и

Алфутова - Балабуха.

5.2.2. Построение статически допустимого докритического напряжённого состояния.

5.2.3. Численные результаты.

5.3. Устойчивость пологих цилиндричеких панелей.

5.3.1. Постановка задачи.

5.3.2. Численные результаты.

5.4. Устойчивость при сжатии квадратной пластины с центральным круговым вырезом.

5.4.1. Постановка задачи.

5.4.2. Численные результаты.

5.5. О рациональном проектировании ортотропных пластин при однородном напряжённом состоянии.

5.5.1. Постановка задачи.

5.5.2. Численные результаты.

5.6. Выводы по главе 5.

Научно- технический прогресс современного машиностроения во многом связан с развитием авиационной и космической техники. Именно тонкостенные элементы в конструкциях (ЛА) обеспечивают удачное сочетание их лёгкости и высокой удельной прочности. При проектировании тонкостенных силовых элементов конструкций обязательным является прогнозирование их устойчивости - способности сохранять свои жёсткостные характеристики в определённом диапазоне значений внешних воздействий.

В структуре конструкций большинства ЛА имеются такие элементы, которые можно классифицировать как пластины и панели. Уравнение устойчивости тонких изотропных пластин получил Б. Сен - Веннан (1883 г.). Система нелинейных уравнений продольно- поперечного изгиба пластин была получена А. Фёпплем (1907 г.) и, независимо, Т. Карманом в 1910 г.

В 1891 г. Дж. Брайан представил решение задачи устойчивости для прямоугольной шарнирно опёртой пластины, равномерно сжатой в двух направлениях. Он использовал энергетический метод: энергию изгиба пластины приравнивал работе напряжений на перемещениях, появляющихся при изгибе пластины. Необходимость исследования этой задачи была вызвана запросами судостроения. В 1906 г. А. Зоммерфельд предпринял попытку решения задачи устойчивости для изотропной локально нагруженной прямоугольной пластины. Характерной особенностью этой задачи является резко неоднородное докритическое напряжённое состояние. Её точное решение было получено лишь в конце 70-х годов, в том числе и в работах автора.

С.П. Тимошенко в своих работах 1907-1910 г.г. также использовал энергетический метод, но энергию изгиба пластины при потере устойчивости он приравнивал непосредственно работе внешних сил на дополнительных перемещениях, появляющихся в связи с потерей устойчивости. И.Г. Бубнов в своём курсе «Строительная механика корабля» (1914 г.) решил некоторые задачи устойчивости прямоугольных подкреплённых пластин. При этом был использован знаменитый метод «ортогонализации».

Одновременно с решением практически важных задач, продолжалось проникновение математических методов в эту область исследований. Ритц в 1908 г. преложил новый метод решения вариационных задач математической физики - прямой метод Ритца. Е. Треффтц (1926 г.) придал вариационную форму энергетическому критерию Брайана. К. Фридрихе (1926 г.) развил далее метод преобразования вариационных задач с помощью множителей Лагранжа.

Особо важными - в связи с бурным развитием авиационной, ракетной и космической техники - проблемы деформирования тонкостенных конструкций становятся со второй половины 20-го века. Значительный вклад в разрешение возникших проблем внесли Российские исследователи: Н.П. Абовский., Н.С Азиков, А.Я Александров, H.A. Ал футов, С. А. Амбарцумян, В.М. Андриенко, Б.Д. Аннин, Л.И. Балабух, Н.В. Баничук, В.К. Белов, П.А. Белов, В.А. Белоус,

B.Л. Бердичевский, И.А. Биргер, В.И. Бирюк, Ю.И. Бодрухин, В.В. Болотин, Л.Э. Брюккер, Г.А. Ванин, В.В. Васильев, Ю.М. Волчков, A.C. Вольмир, Н.К. Галимов, A.A. Гольденвейзер, А.Г. Горшков, O.A. Гребеньков, Э.И. Григолюк,

C.С.Григорян, Г.П. Г.А. Грошев, Л.П. Железнов, Г.Н. Замула, В.Г. Ю.В. Захаров, В.Г. Зубчанинов, K.M. Иерасулимский, A.A. Ильюшин, В.В. Кабанов, Д.М. Карпинос, В.Д. Клюшников, В.Я. Козлов, A.A. Комаров, С.А. Комаров, В.А. Комаров, Ю.Д. Копейкин, В.М. Корнев, В.Г. Корнеев, С.Н. Коробейников В.В. Кузнецов, Г.А. Кузюшин, Л.М. Куршин, P.E. Лампер, С.Г. Лехницкий, В.Т. Лизин, Е.К. Липин, Е.К. Локшин, A.B. Лопатин, С.А. Лурье, P.P. Мавлютов, В.Н. Максименко, В.П. Малков, В.И. Морозов, Н.Ф. Морозов, О.В. Муратов, В.М. C.B. Наумов, С.М. Наумов, Ю.В. Немировский, А.К. Никифоров, В.В. Новожилов, И.Ф. Образцов, В.Н. Паймушин, Я.Г. Пановко, П.Ф. Папкович, А.Н. Паутов, Л.В. Петухов, В.В. Пикуль, Б.Е. Победря, И.И. Поспелов, В.А. Постнов, В.Л. Присекин, Н.В. Пустовой, В.А. Пяткин, Ю.Н. Работнов, Л.А.

Розин, A.B. Саченков, Л.И. Седов, А.Н. Серьёзнов, Ю.И. Соловьёв, ОБ. Соснин, H.A. Тарануха, B.JI. Тарасов, Ю.М. Тарнопольский, И.Г. Терегулов, В.А. Троицкий, А.Г. Угодников, В.И. Феодосьев, В.П. Фомин, Фролов, В.В. Чедрик, Г.П. Черепанов, В.Г. Шатаев, Ф.Н. Шклярчук и др.

В конце 60-х годов Л.И. Балабух и H.A. Алфутов опубликовали ряд работ, в которых предложили новый энергетический метод решения задач устойчивости, не требующий предварительного точного определения докритического напряжённого состояния. Идея состояла в том, чтобы при решении задач устойчивости тонкостенных элементов конструкций упростить проблему определения их докритического напряжённого состояния. В.В. Болотин в 70-м году опубликовал работу, в которой в общем виде показал, что различные варианты энергетического критерия' устойчивости пластин могут быть получены путём преобразования вариационных задач. Но проблему нельзя признать исчерпанной. Это объясняется тем, что вариационные методы имеют фундаментальное значение как для постановки задач устойчивости тонкостенных элементов конструкций, так и при разработке практически важных алгоритмов их решении. Последнее замечание относится прежде всего к идее конечно-элементного моделирования проблемы устойчивости.

Цель предлагаемой работы - разработка и развитие вариационных методов исследования устойчивости упругих анизотропных многосвязных пластин и панелей ЛА при температурно-силовом нагружении. Большое влияние на автора оказали идеи и работы Н.А.Алфутова, Л.И. Балабуха, В.В. Болотина, В.Д. Клюшникова, К. Васидзу. Первые работы этого цикла были выполнены под руководством профессора Л.М. Куршина и в соавторстве с ним.

Автор выражает искреннюю признательность своему научному консультанту профессору Н.В. Пустовому, а также профессорам P.E. Ламперу, В.Л. Присекину, Г.И. Расторгуеву и своим коллегам по кафедре «Прочность летательных аппаратов» за многочисленные советы при выполнении и написании работы.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. В структуру конструкций летательных аппаратов (ЛА) входят такие элементы, которые можно классифицировать как пластины и панели. В современных и перспективных ЛА для производства некоторых из них является целесообразным использование различных композиционных материалов - к примеру, панели V крыльев некоторых самолётов пятого поколения изготовлены из графито-эпоксидных композиционных материалов. Работая в составе конструкции, эти элементы подвергаются различным температурно-силовым воздействиям. При проектировании и прогнозировании прочности подобных тонкостенных элементов конструкций обязательным является их расчёт на устойчивость. Устойчивость можно определить как способность рассматриваемого элемента \ конструкции сохранять свои жёсткостные характеристики в заданном ^ диапазоне значений внешних воздействий. /

Актуальными являются те исследования, которые учитывают как анизотропию свойств материала, так и наличие температурных воздействий. Учёт всех перечисленных факторов должен быть выполнен на этапе постановки задач. Расчётная схема для подобных элементов конструкций - с точки зрения строительной механики и прочности ЛА - это неоднородные анизотропные многосвязные пластины переменной толщины, подверженные / температурно-силовому воздействию. При всём многообразии существующих / методов решения задач наиболее корректными и формально последовательными являются вариационные. В связи с этим, развитие известных и построение новых вариационных формулировок для решения задач устойчивости, учитывающих все перечисленные выше факторы, представляется актуальным.

Основной целыо работы является Разработка и развитие вариационных методов исследования устойчивости анизотропных пластин при температурно-силовом нагружении. Для её достижения необходимо

• систематизировать системы соотношений теории упругости, описывающие НДС тонких упругих анизотропных неоднородных многосвязных пластин переменной толщины, подверженных силовому и температурному нагружению, до и после потери устойчивости;

• построить полную систему вариационных принципов теории устойчивости тонких упругих анизотропных неоднородных многосвязных пластин переменной толщины, подверженных силовому и температурному нагружению - в том числе и на разрывных полях перемещений, деформаций и напряжений;

• разработать алгоритмы прямых методов решения задач устойчивости пластин со «смягчёнными» предварительными условиями;

• исследовать сходимость и эффективность предложенных вариационных формулировок на примере решения ряда известных и новых задач устойчивости и рационального проектирования ортотропных пластин и цилиндрических панелей при силовом и температурном нагружении.

Научная новизна работы

• Вариационные принципы теории устойчивости упругих систем распространены на задачи термоупругости. Получена вся система вариационных принципов теории устойчивости анизотропных упругих многосвязных пластин и панелей при температурно-силовом нагружении. Среди них как известные - Брайана, Тимошенко, Алфутова-Балабуха, так и новые - обобщённые, смешанные, связанные с принципом стационарности дополнительной энергии, а так же на разрывных полях перемещений, деформаций и напряжений.

• Вариационные принципы на разрывных полях перемещений, деформаций и напряжений имеют принципиальное значение при построении конечно элементных алгоритмов решения задач устойчивости.

• Получены вариационные формулировки задач устойчивости со «смягчёнными» (интегральными) предварительными условиями.

• Разработаны алгоритмы прямых методов решения задач устойчивости пластин со «смягчёнными» (интегральными) предварительными условиями;

• Получены интегральные тождества, ведущие к возможности решения задач устойчивости методом граничных интегральных уравнений, в том числе и на поле статически допустимых докритических напряжений.

Методы исследований основаны на:

• теории преобразования вариационных задач и разработанных в диссертации методах их решения;

• использовании прямых вариационных методов и представленном в работе способе построения аппроксимирующих функций;

• применении апробированных алгоритмов численного интегрирования и решения обобщенной проблемы собственных значений.

Достоверность научных положений, результатов и выводов, содержащихся в работе, основывается на:

• корректном использовании соотношений механики деформируемого твердого тела;

• использовании апробированных математических методов и алгоритмов и исследовании их сходимости;

• сопоставлении результатов расчёта по методам, предложенным в диссертационной работе, с известными численными решениями, а также с известными экспериментальными данными.

Практическая значимость и реализация результатов исследований заключается:

• в разработке численных алгоритмов исследования сложных задач общей и локальной устойчивости ортотропных пластин и пологих цилиндрических панелей при их силовом и температурном нагружении;

• в разработке методик проектирования максимально жёстких металлокомпозиционных (армированных) кольцевых и прямоугольных ортотропных пластин;

• во внедрении результатов и алгоритмов в расчётную практику заинтересованных организаций: ГУДП КБ «Полет» (г.Омск), ОАО «Туполев» (г. Москва), ОАО «ОКБ им. A.C. Яковлева» (г. Москва), ФГУП СибНИА им. С.А. Чаплыгина (г. Новосибирск), Новосибирский филиал АООТ «ОКБ Сухого» (г.Новосибирск), ОАО «Элсиб» (г. Новосибирск);

• во внедрении основных научно-методических результатов диссертации в рабочие учебные планы НГТУ по подготовке инженеров-исследователей, специализирующихся в области прочности летательных аппаратов.

Работа проводилась в соответствии с правительственной научно-технической программой «Икарус-МАП», программой Минвуза РСФСР «Полет», федеральной целевой программой «Государственная поддержка интеграции высшего образования и фундаментальной науки на 1997-2000 годы».

На защиту выносятся:

• прямые вариационные методы решения задач устойчивости упругих анизотропных неоднородных многосвязных пластин и панелей переменной толщины со «смягчёнными» (интегральными) предварительными условиями;

• метод конечно элементной модификации вариационных принципов теории устойчивости упругих анизотропных неоднородных многосвязных пластин и панелей переменной толщины, подверженных силовому и температурному воздействию;

• полная система вариационных принципов теории устойчивости упругих анизотропных неоднородных многосвязных пластин и панелей переменной толщины при температурно-силовом нагружении;

• ра^ботанные на их основе алгоритмы решения задач устойчивости для локально нагруженных ортотропных пластин и пологих цилиндрических панелей;

• исследование локальной устойчивости ортотропных пластин с эллиптическим вырезом;

• исследование устойчивости и алгоритм построения областей устойчивости для кольцевых ортотропных пластин, подверженных силовому и температурному воздействию;

• разработанный алгоритм рационального - с точки зрения возможной потери устойчивости - проектирования металлокомпозиционных (армированных) кольцевых и прямоугольных ортотропных пластин.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на IX Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин (г. Ленинград, 1973 г.); на VIII, IX, X и XI Дальневосточных научно- технических конференциях по повреждаемости и эксплуатационной надёжности судовых конструкций (Владивосток, 1981, 1984, 1987, 1990 г.г.); на IX Бубновских чтениях по эксплуатационной и конструктивной прочности судовых конструкций ( Нижний Новгород, 1991); на научно-технической конференции «Расчётные методы механики деформируемого твёрдого тела» (Новосибирск, 1995); на 17-й межреспубликанской конференции по численным методам решения задач теории упругости и пластичности (Новосибирск, ИТПМ СО АН РФ, 2001); на Международных российско-корейских научно-технических конференциях С01Ш8 « Научные основы высоких технологий» (Ульсан, Корея, 1997г.; Томск, 1998г.; Новосибирск, 1999г.; Ульсан, Корея, 2000г.); на Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование процессов в синергетических системах » (Улан-Удэ-Томск, 1999г.); на Всероссийской научной конференции «Современные проблемы механики машин» (Улан-Удэ-Томск, 2000г.); на 1-м Российско-Корейском Международном симпозиуме по прикладной механике (Новосибирск, 2001г.), на I, II, и III школах - семинарах СО РАН «Математические проблемы механики сплошных сред» (Новосибирск, 1997, 1998, 1999 г.г.; рук. - чл.-корр. РАН Б.Д.Аннин), на межвуз. научно-техн. конф. "Композиционные материалы в конструкциях глубоководных технических средств" (Николаев, 1989); на IV Всероссийской конференции «Проблемы прочности и усталостной долговечности материалов и конструкций» (Новосибирск, Сибирский научно-исследовательский институт авиации, 1997.); на межвуз. научной конференции «Численно-аналитические методы решения краевых задач»" (Новокузнецк, 1998); на объединенных семинарах кафедр прочности летательных аппаратов и самолето- и вертолетостроения НГТУ, на семинарах в Сибирском научно-исследовательском институте авиации им. С.А. Чаплыгина.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 43 печатные работы, в том числе одна монография. В автореферате приведены 30 основных публикаций. Результаты исследований автора, выполненные по заказам промышленности, отражены в 19 научно-технических отчетах.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти разделов, заключения, списка использованных источников из 326 наименований.

Основные результаты опубликованы в следующих работах автора: [130, 131, 132, 133,155, 159,160, 167,172,173,174,177,178, 215].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Выделим основные, по мнению автора, результаты диссертационной работы.

1. Определённое методическое значение имеет представленная в работе полная система соотношений теории упругости, описывающая напряжённо деформированное состояние анизотропных не однородных многосвязных пластин переменной толщины до и после потери устойчивости, при их температурно-силовом нагружении.

2. Метод преобразования вариационных постановок задач с использованием множителей Лагранжа распространён на задачи устойчивости упругих анизотропных пластин и панелей, подверженных температурно-силовому нагружению. Получена полная система вариационных принципов теории устойчивости упругих анизотропных пластин.

3. Развиты прямые вариационные методы решения задач устойчивости со «смягчёнными» (интегральными) предварительными условиями. Показано, что параллельно с решением задачи устойчивости алгоритм позволяет получить решение и плоской задачи теории упругости.

4. Разработаны методы построения статически допустимых докритических напряжённых состояний, в том числе и для пластин с вырезами. Это позволило расширить круг эффективно решаемых сложных задач. Развит метод «граничных» интегральных уравнений для решения задач устойчивости, в том числе и на поле статически допустимых докритических напряжений.

5. Разработан метод модификации вариационных принципов теории устойчивости упругих анизотропных пластин и панелей летательных аппаратов, подверженных температурно-силовому нагружению, применительно к их конечно-элементному моделированию. Вариационные принципы на разрывных полях перемещений, деформаций и напряжений являются принципиально важными при построении конечно элементных алгоритмов решения задач устойчивости.

6. С помощью разработанных методов решены и исследованы задачи «локальной» устойчивости бесконечных ортотропных пластин с эллиптическим отверстием при их растяжении.

7. Решены и исследованы задачи устойчивости кольцевых ортотропных пластин при температурно-силовом нагружении. Разработан метод построения областей устойчивости. Разработан метод определения «технических постоянных» для «эквивалентного» материала армированных пластин. Решены и исследованы задачи устойчивости для металлокомпозиционных кольцевых пластин.

8. На основе полученных в работе результатов, разработан эффективный метод исследования устойчивости локально нагруженных ортотропных пластин. Этот же метод применён к исследованию устойчивости пологих цилиндрических панелей при неоднородном напряжённом состоянии.

9. С помощью разработанных методов решена задача устойчивости при сжатии для квадратной пластины с центральным круговым отверстием.

1. Абовский U.U., Андреев U.U., Деруга А.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек. М.: Наука, 1978.- 288с.

2. Азиков Н.С., Васильев В.В. Сжатие слоистых ортотропных пластин с несимметричной структурой // Изв. АН. МТТ. 1992. - № 4. - С. 157-162.

3. Александров А.Я. Об определении приведённых упругих параметров сотовых заполнителей // Сб. «Расчёты элементов авиационных конструкций». М.: Машиностроение. - 1965. - Вып.4. - С.59-70.

4. Александров АЯ., Шпак Г.С. О расчёте на местную устойчивость трёхслойных пластин с заполнителем типа гофра при сжатии // Сб. «Расчеты элементов авиационных конструкций» М.; Машиностроение. - 1965. -Вып. 4. - С.42-58.

5. Александров В. Г. Справочник по авиационным материалам. М.: Транспорт, 1972.-328с.

6. Алехин Л.Г. Исследование устойчивости круглых пластин, нагруженных сосредоточенными силами // Изв. Вузов. Машиностроение. 1970. - № 8. -С.19-24.

7. Алехин В.В., Аннин Б.Д., Колпаков А.Г. Синтез слоистых материалов и конструкций. Новосибирск: Изд-во Ин-та гидродинамики им. М.А. Лаврентьева, 1988. - 129с.

8. Алфутов U.A. Основы расчета на устойчивость упругих систем. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Машиностроение, 1991. - 336 с. - (Б-ка расчетчика / Ред. кол.: В.А. Светлицкий (пред.) и др.).

9. Алфутов H.A. О некоторых парадоксах в теории тонких упругих пластин // Изв. АН СССР. МТТ. 1992. - № 3. - С.65-72.

10. Алфутов H.A., Балабух Л.И. О возможности решения задач устойчивости пластин без предварительного определения начального напряженного состояния // ПММ. 1967. - Т.31. - Вып. 4. - С. 716-722.

11. Алфутов H.A., Зиновьев П.А., Попов Б.Г. Расчет многослойных пластин из композиционных материалов. М.: Машиностроение, 1984. - 264с.

12. Алфутов H.A., Попов Б.Г. Расчет локально нагруженных прямоугольных пластин на устойчивость вариационным методом // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1980. - № 3. - С. 120-126.

13. Аманов К. Об устойчивостин пластин с квадратным отверстием при плоском напряженном состоянии // Прикл. механика. 1985. - 21, №2, с. 123-125.

14. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин. М.: Наука, 1987. - 360с.

15. Амбарцумян С.А., Багдасарян Т.Е., Белубекян М.В. Магнитоупругость тонких оболочек и пластин. М.: Наука, 1977. - 272с.

16. Андреев А.Н., Немировский Ю.В. Многослойные анизотропные оболочки и пластины: Изгиб, устойчивость, колебания. Новосибирск: Наука, 2001. -288 с.

17. Андриенко В.М., Белоус В.А. Оптимальное проектирование панелей кессона крыла по условиям прочности и устойчивости // Тр. ЦАГИ. 1996, вып.2623. - С.68-75.

18. Андриенко В.М., Белоус В.А. Оптимальное проектирование композитных панелей кессона крыла по условиям прочности и устойчивости // Тр. ЦАГИ. -2001, вып.2642.-С.151-158.

19. Андриенко В.М., Григорьев В.Д., ДзюбаА.С. Решение задачи устойчивости и несущей способности стрингерных панелей при помощи универсальногорасчётного комплекса МКЭ // Тр. ЦАГИ. 1997, вып.2629. - С.46-51.

20. Андронов В. А. Термоупругая задача устойчивости композитных континуально дискретных пластин и оболочек // Механика композиционных материалов. 1999. Т.5, №3. - С.З - 27.

21. Аннин БД., Каламкаров A.JI., Колпаков А.Г., Партон В.З. Расчёт и проектирование композиционных материалов и конструкций. -Новосибирск: Наука, 1993. 174 с.

22. Аскеров С. А. Экспериментальное и теоретическое исследование устойчивости обшивки трёхслойных конструкций // Изв. вузов. Авиац. техн. -1991.-№2.-С. 3-6.

23. Бабич И.Ю., Семенюк Н.П. Устойчивость и начальное закритическое поведение оболочек из композитов (Обзор) // Прикл. механика. 1998. - 34, №6.-С.З-38.

24. Баничук Н.В. Введение в оптимизацию конструкций. М: Наука, 1986. -302с.

25. Белевечус Р. Оптимизация формы слоистых ортотропных пластинчатых конструкций // Механика композитных материалов. — 1993. Т.29, №4. -С.537-546.

26. Белов В.К., Дорогайкин В.А. Устойчивость панелей теплозащитных экранов при нестационарном нагреве, охлаждении и внешнем давлении // Авиационная промышленность. 1991. - № 4. - С. 17-19.

27. ЪХ.Биргер H.A. и др. Расчет на прочность деталей машин: Справочник / И.А. Биргер, Б.Ф. Шорр, Г.Б. Иосилевич. 4-е изд., перераб. и доп. - М.: Машипостроение, 1993. 640с.

28. Бирюк В. К, Липин Е.К., Фролов В.М. Методы проектирования конструкций самолетов М.: Машиностроение, 1977. - 232с.

29. Боган Ю.А. Минимизация концентрации напряжений в упругой плоскости с эллиптическим отверстием при сильной анизотропии упругого материала // Проблемы прочности. 1980. - №4. - С.81 -84.

30. Боган Ю.А Сингулярное возмущение в задачах изгиба ортотропных пластин // ПМТФ. 1999. Т.40, №5. - С.195 - 201.

31. Болотин В.В., Григолюк Э.И. Устойчивость упругих и неупругих систем/ Сб. «Механика в СССР за 50 лет». М.: Наука, 1972. - Т. 3.

32. Болотин В.В. Динамическая устойчивость упругих систем. М.: ГИТТЛ. 1956.-600с.

33. Болотин В.В. О вариационных принципах теории упругой устойчивости // Проблемы механики твердого деформированного тела (к 60-летию В.В. Новожилова): Сб. науч. тр. Л.: Судостроение, 1970. - С.83-88.

34. Болотин В.В. О понятии устойчивости в строительной механике // Проблемы прочности в строительной механике. М.: Стройиздат, 1965.

35. Болотин В.В. О сведении трехмерных задач теории упругой устойчивости к одномерным и двухмерным задачам // Проблемы устойчивости в строительной механике. -М.: Стройиздат, 1965. С.186-196.

36. Болотин В.В. Прогнозирование ресурса машин и конструкций. М.: Машиностроение, 1984.-312с.

37. Бочкарев А. 0., Даль Ю.М. Локальная устойчивость упругих пластин с вырезами // Доклады АН СССР. 1989. - 308, № 2. - С. 312-315.

38. Броуде Б.М. Об аспектах теории устойчивости пластинок, важных для расчета металлоконструкций // Труды УИ Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластинок. М.; Наука, 1970. - С.93-97

39. Ванин Г.А. Микромеханика композиционных материалов. Киев, Наукова думка, 1985. - 32с.

40. Ванин Г.А., Семенюк Н.П., Емельянов Р.Ф. Устойчивость оболочек из армированных пластиков. Киев: Наукова думка, 1978. - 212с.

41. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности: Пер. с англ. М.: Мир, 1987. - 542с.

42. Васильев В.В. Механика конструкций из композиционных материалов. М.: Машиностроение, 1988. - 272с.

43. Васильев В.В. О теории тонких пластин // Изв. АН СССР. МТТ. 1992. - № 3.-С.26-?

44. Васильев В.В. Об асимптотическом методе обоснования теории пластин // Изв. РАН. Механика твёрдого тела. -1997. -№3. С. 150 - 154.

45. Введение в механику сплошных сред: Учебное пособие / Черных К.Ф., Алешков ЮЗ., Понятовский В.В., Шамшина В.А. JL: Изд-во Ленингр. унта, 1984.-280с.

46. Веселков СЮ. Устойчивость прямоугольной пластины, нагруженной сосредоточенной силой // Изв. РАН. Механика твёрдого тела. -1999. -№2. -С.164- 167.

47. Вольмир A.C. Гибкие пластинки и оболочки. М.: Гостехиздат, 1956. - 419с.

48. Вольмир A.C. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука. - 1967. -984 с.

49. Вохмянин И.Т., Немировский Ю.В. О рациональном армировании пластин, теряющих устойчивость // Прикладная механика. 1971. - Т. 7, вып. 11.-С.70-77.

50. Гиацинтов А.Е., Либерзон A.C. К решению задач оптимального растяжения и изгиба нелинейно деформируемых ортотропных пластин // Механика констр. из композ. матер. 1992. -№1. - С. 177-193.

51. Гольденвейзер A.A. Замечания о статье В. В. Васильева «Об асимптотическом методе обоснования теории пластин» // Изв. РАН. Механика твёрдого тела. -1997. -№4. С.150 - 158.

52. Горшков А.Г., Морозов В.И., Пономарев А.Т., Шклярчук Ф.Н. Аэрогидроупругость конструкций М.: ФИЗМАТЛИТ, 2000.-592с.

53. Гоцев Д.В., Ковалёв A.B., Спорыхин А.Н. Локальная неустойчивость пластин с запресованными кольцевыми включениями при упруго пластическом поведении материала // ПМТФ. 2001. - Т.42, №3. - С. 146 -151.

54. Григолюк Э.И. С.П. Тимошенко, и его работы в области устойчивости деформируемых систем / В сб. С.П. Тимошенко. Устойчивость стержней, пластин и оболочек / Изб. работы под ред. Э.И. Григолюка. М.: наука, 1971.-С.731-800.

55. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость оболочек. М.: Наука, 1978. -360с.

56. Григолюк Э.И. ,Коршунова O.A. Устойчивость кольцевых пластин при сдвиге//Изв. АН СССР. МТТ.- 1983, №5.-С. 156-161.

57. Григолюк Э.И., Магеррамова JI.A. Об устойчивости кольцевых трёхслойных пластин // Прикл. мех. 1983.- 19, №9. - С.65-70.

58. Гузь А.Н. Устойчивость трехмерных деформируемых тел: Киев: Наукова думка, 1971.- 275 с.

59. Гузь А.Н., Дышель М.Ш. Разрушение и устойчивость тонкостенных тел с вырезами при растяжении (обзор) // Прикладная механика. 1990. - 26, № 11.-С.З-24.

60. Гузь А.Н., Дышель М.Ш. Кулиев Г.Г., Милованова О.Б. Разрушение и локальная потеря устойчивости тонкостенных тел с вырезами // Прикл. механика. 1981. -17, №8. - С. 3-24.

61. Гузь А.Н., Кулиев Г.Г., Зейналов М.К. Выпучивание растянутой тонкой пластинки с криволинейным отверстием. // Изв. АН СССР. Механика твердоготела, 1979, №2.'-С. 163-168.

62. Доценко A.M. 0 влиянии выпучивания на статическую трещиностойкость // Проблемы прочности. 1987, №6. С.111-116.

63. Дышель М.Ш. Потеря устойчивости и разрушение растянутых пластин с дугообразными трещинами // Прикл. механика. 1987. - ХХШ, №8. С.110-114.

64. Дышель М.Ш. Устойчивость растянутых тонких пластин, ослабленных остроконечными отверстиями // Прикл. механика. 1985, XXI, №2. С.119-121.

65. А. Дышель М.Ш. Разрушение растянутых пластин с краевой трещиной с учётом локальной потери устойчивости // Прикл. мех. 1996. - 32, №2. -С.59-63.

66. Дышель М.Ш., Зирка А. И., Мехтиев М.А. Исследование напряженного состояния пластины с отверстием и выходящими на его контур терщинами при растяжении с учетом выпучивания // Прикл. механика. 1987, ХХШ, №7. С.110-113.

67. Дышель М.Ш., Милованова О.Б. Методика экспериментального исследования потери устойчивости пластин с разрезом // Прикл. механика, 1977, ХШ, №5,с.90-95.

68. Дышель М.Ш., Милованова О.Б. Определение критических напряжений при растяжении пластин с разрезом // Прикл. механика, 1978, XIV, №12, с.122-125.

69. Замула Г.Н. Закритическое поведение композитных панелей при двухосном сжатии и нагреве // Тр. ЦАГИ. 1997, вып.2628. - С.11-20.

70. Замула Г.Н. Регулярные и квазирегулярные тепловые режимы в панелях конструкции летательных аппаратов // Тр. ЦАГИ. 1997, вып.2629. -С.16-30.

71. Захаров Ю.В., Охоткин КГ. Устойчивость тонкой круговой пластины // Докл. РАН. 2001. - 377, №6. - С.764 - 768.

72. Зейналов М.К Выпучивание неограниченной тонкой пластинки с круговым отверстием при двухосном растяжении // Прикл. механика, ХШ, №12. С. 124-127.

73. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике: Пер. с англ. М.: Мир, 1975.-541с.

74. Зубчанинов В.Г. Основы теории упругости и пластичности. М.: Высшая школа, 1990.-368с.

75. Иерасулимский К.М., Фомин В.П. Отрыв несущего слоя при сжатии трёхслойной панели // Тр. ЦАГИ. 2000, вып.2639. - С. 10-19.

76. Иерасулимский К.М., Фомин В.П. Выпучивание сжатой подкреплённойпанели при разрушении связи стрингеров с обшивкой // Тр. ЦАГИ. -2001, вып.2642.-С.93-102.

77. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М., Наука, 1974.-479с.

78. Кабанов В.В., Железное Л.П. Исследование устойчивости пластин, ослабленных вырезами // Вопросы авиационной науки и техники. -Новосибирск. 1988, №1. - С. ?

79. Калугин А.Г. Об устойчивости анизотропных сплошных сред // Проблемы современной механики. Сб. тр. К юбилею акад. Седова. МГУ, 1998. С.

80. Кан С.Н., Тугаев А.С. Модифицированный энергетический метод в задачах устойчивости пластин и стержней // Вопросы механ. деформ. твёрд, тела. -Харьков. 1983, №4. - С.50-54.

81. Каниболотский М.А., Уржумцев Ю.С. Оптимальное проектирование слоистых конструкций. — Новосибирск: Наука, 1989. 176с.

82. Канторович Л.В., Крылов В.И Приближённые методы высшего анализа. -М:, Физматгиз, 1962.

83. Картвелишвили В.М., Кобелев В.В. Рациональные схемы армирования слоистых пластин из композиционных материалов // ПММ. 1984. - Т.48. -№1.-С.68-80.

84. Клюшников В Д. Лекции по устойчивости деформируемых систем. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1986. - 224с.

85. Коваленко АД Термоупругость // Издательское объединение «Вища школа». 1975. - 216 с.

86. Козлов В.Я. Паутов А.Н. Исследование влияния отверстия на бифуркационную нагрузку тонких пластин методом конечных элементов / Горьковск. гос. ун-т./ Деп. ВИНИТИ, 1977. № 4358.77.

87. Койтер В.Т. Устойчивость и закритическое поведение упругих систем // Доклад на Всесоюзном съезде по теоретич. и прикл. механике. М., - 1960. -С.99-110.

88. Койтер В., Хатчинсон Дж. Теория послекритического поведения конструкций // Механика. Период, сб. переводов. М.: Мир, 1971. - № 4. - С. 129-149.

89. Колпаков А.Г. Проектирование армированных пластин с учётом прочности // ПМТФ. 1997.- Т.38, №5. С.122 - 128.

90. Комаров A.A. Наиболее жесткие конструкции // Тр. Куйбышевского авиац. ин-та. 1954. - Вып. 2. - С.77-89.

91. Комаров В.А. Автоматизация проектирования авиационных конструкций: Учебн. пособие. Самара, Изд-во Самарского гос. Аэрокосм, ун-та им. С.П. Королева, 1993. - 72с.

92. Композиционные материалы: Справочник / В.В. Васильев, В.Д. Протасов, В.В. Болотин, H.A. Алфутов и др.; Под ред. В.В. Васильенва, Ю.М. Тарно-польского. М.: Машиностроение, 1990. - 512с.

93. Композиционные материалы: Справочник / Под ред. Д.М. Карпиноса. -Киев: Наукова думка, 1985. 592с.

94. Копейкин Ю.Д Интегральные уравнения задач об изгибе ортотропных пластинок // Изв. АН СССР. МТТ. 1994. - № 4. - С. 175-178.

95. Корнев В.М., Макаров Г.Е. Потеря устойчивости упругих композитных колец при внутреннем импульсном нагружении // ПМТФ. 1999. - Т.40,5.-С. 185 194.

96. Корнеев В.Г. Схемы метода конечных элементов высоких порядков точности. — Л.: Изд-во Ленингр. Ун-та, 1977. 208с.

97. Коробейников С.Н. Нелинейное деформирование твердых тел. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000, - 262 с.

98. ИЗ. Коробко В.И., Хусточкин А.П. Устойчивость пластинок (краткий исторический обзор) 19 с. Деп. в ВИНИТИ 14.6.90., №3422-В90.

99. Космодамианский A.C. Плоская задача теории упругости для пластин с вырезами и выступами. Киев: Вища школа, 1975. - 227с.

100. Кошур В.Д., Немировский Ю.В. Континуальные и дискретные модели динамического деформирования элементов конструкций. Новосибирск: Наука, 1990.

101. Крамаренко Н. В., Матвеев К. А. Функционал Лагранжа для расчёта подкреплённых пластин несовместными конечными элементами // Депон. в ВИНИТИ № 4626-83 Деп. 1983.?

102. Крауч С., Старфилд А. Методы граничных элементов в механике твердого тела: Пер. с англ. / Под ред. А.М .Линькова. — М.: Мир, 1987. -328с.

103. Крицук A.A., Лапицкий В.А., Григорович КВ., Тесля В.Г., Ярошек А.Д. Термомеханические и диэлектрические свойства некоторых эпоксидных связующих//Прикл. мех. 1980.- 16, №7. - С.139-143.

104. Крылов В.И. Приближённое вычисление интегралов. М:, Наука, 1967.

105. Крылов В.И., Шульгина Л.Т. Справочная книга по численному интегрированию. М:, Наука, 1967.

106. Крысько В.А., Комаров С.А. Выпучивание гибких пластин под действием продольных и поперечных нагрузок: Сарат. гос. техн. ун-т. Саратов, 1995. - 20с. - Деп. в ВИНИТИ 22. 05.95, 1428 - В 95.

107. Крысько В.А., Комаров С.А. Определение неустойчивых решений при расчёте пластин и оболочек // Тр. 17-й Междунар. конф. по теории оболочеки пластин, Казань, 15-20 сент., 1995. Т.2. Казань, 1996. - С. 19-24.

108. Кузнецов В.В., Сойников Ю.В. Анализ термонапряженного состояния оболочек произвольной формы // Проблемы прочности 1990. - № 10. -С.69 - 74.

109. Кузюшин Г. А. Устойчивость прямоугольной армированной пластины на упругом основании // Дифференц. уравнения и прикл. задачи / Тул. политехи, ин-т. Тула, 1992. - С.89-94.

110. Кузюшин Г.А. Устойчивость многослойных пластин на упругом основании // Дифференц. уравнения и прикл. задачи / Тул. гос. техн. ун-т. -Тула, 1994.-С.67-70.

111. Кулаков Н.А. Устойчивость пластин при неоднородном напряжённом состоянии // Прикладная механика. 1975. - Т.11, вып.9.-С.34-41.

112. Кулиев Г.Г., Малидов Э.Н. Об устойчивости упругого равновесия неограниченной пластинки в окрестности произвольно ориентированной прямолинейной трещины при плоско-напряженном состоянии // Прикл. механика, XVIII, №9, с 68-72.?

113. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. М.-Л.: Гостехиздат, 1951, Т. 1. - 476 с.

114. Куршин Л.М., Матвеев КА. К применению вариационного метода в задаче изгиба консольной пластины // Мех. деформ. тела и расч. сооружений / Тр. НИИЖТа. Новосибирск :Изд - во НИИЖТа. - 1972. - Вып. 137. - С. 137 - 148.

115. Куршин Л.М., Матвеев КА. Применение энергетического метода к задачам устойчивости пластин с отверстием // Изв. АН СССР.МТТ. 1974. -№ 6.-С.114-119.

116. Куршин Л.М., Матвеев КА. К решению задач устойчивости пластин с отверстием // Динамика и прочность конструкций / Межвуз. сб. науч. тр. -Новосибирск: Изд во НЭТИ. - 1974. - С.З -19.

117. Куршин JI.M., Матвеев К. А. К исследованию устойчивости прямоугольных пластин с вырезами // Изв. АН СССР. МТТ. 1978. - № 6. -С. 162- 163.

118. Куршин JI.M., Матвеев К.А., Подружим Е.Г. Изгиб подкрепленной пластины // Известия вузов. Строительство и архитектура 1982. - № 8. - С.35 -38.

119. Лейбензон JI.C. Собрание трудов. М.: Изд-во АН СССР, 1951. - Т. 1. -468с.

120. Лизин В.Т., Пяткин В.А. Проектирование тонкостенных конструкций. -М.: Машиностроение, 1985.-391с.

121. Липин Е.К., Грошев Г.П. Проектирование конструкций минимального объема материала при ограничениях на обобщенную жесткость и минимальную толщину // Уч. зап. ЦАГИ. 1979. - Т. 10. - № 2. - С. 143-148.

122. Литвиненкова З.Н. Об устойчивости растянутой пластины с внутренней трещиной // Изв. АН СССР. МТТ. 1973, №5. - С.148-151.

123. Литвинов В.Г. Задача изгиба пластин переменной толщины // Прикладная механика. 1975.-Т. 11. - № 5. - С.54-61.

124. Литвинов В.Г., Пантелеев А.Д. Задача оптимизации пластин переменной толщины // Известия АН СССР. МТТ. 1980. - №2. - С. 174-181.

125. Лерман Л.Б., Ткаченко A.A. О несущей способности слоистых пластин с заполнителем // Прикл. мех. 1996. - 32, №3. - С.67 - 71. .

126. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки. М:, Гостехиздат. - 1957.

127. Локшин А.З. Влияние поперечного сдвига на устойчивость ортотропных пластин // Статика, динам, и прочн. судов, констр. / Ленингр. кораблестроит. ин-т. -Л. 199Ö. -С.28-36.

128. Лопаницын Е.А. Геометрически нелинейные задачи ортотропных круговых пластин // Прикл. пробл. механ. тонкост. констр-й / Сб. тр. к 75-летию Э.И. Григолюка под ред. С.С. Григоряна / Инс-т мех-ки МГУ / Изд-во МГУ. 2000. С.246 - 269.

129. Лопатин A.B. Устойчивость композитной ортотропной пластины при неравномерном сжатии и изгибе // Изв. РАН. Механика твёрдого тела. -1998. -№3.-С.98- 103.

130. Лурье С.А., Белов П.А. О корректности классической и прикладных теорий пластин // Механика композиционных материалов. 1997. Т.З, №1. -С.96- 104.

131. Ляв А. Математическая теория упругости: Пер. с англ. М. Л., ОНТИ СССР.- 1935, 676 с.

132. Мавлютов P.P. Концентрация напряжений в элементах авиационных конструкций. М: Наука, 1981. 141с.

133. Максименко В.Н. Предельное равновесие анизотропной пластины, ослабленной эллиптическим отверстием и системой трещин сложной формы // Уч. зап. ЦАГИ. 1987. - 18, №3. - С. 105-113.

134. Максименко В.Н. Концентрация напряжений в элементах авиационных конструкций: Учеб. пособие / Новосиб. электротехн. ин-т. Новосибирск, 1989.-68с.

135. Максименко В.П., Матвеев К.А., Подружин Е.Г. Изгиб консольных пластин: Учебное пособие / Новосиб. электротехн. ин — т. Новосибирск, 1981.- 63с.

136. Малков В.П. Эквивалентное подкрепление краев вырезов в тонкостенных элементах // Прикладные проблемы прочности и пластичности / Всес. Межвуз. сб.-Горький: ГГУ.- 1979.-Вып. 10.-С.96-113.

137. Малков В.П., Угодников А.Г. Оптимизация упругих систем. М: Наука, 1981.-288с.

138. Матвеев К. А. К вопросу о возможности решения задач устойчивости пластин без предварительного определения начального напряженного состояния // Динамика и прочность конструкций / Сб. науч. тр. -Новосибирск: Изд-воНЭТИ.-1973 .-С.37-42.

139. Матвеев К.А. Некоторые варианты энергетического критерия устойчивости пластин // Динамика и прочность авиационных конструкций / Межвуз. сб. науч. тр. Новосибирск: Изд- во НЭТИ. - 1992. - С.86 - 93.

140. Матвеев К.А. Некоторые варианты исследования устойчивости упругих пластин методом граничных элементов / Тез. докл. междунар. научно -техн. конф. «Расчетные методы механики деформируемого твердого тела» -Новосибирск: Изд во СГАПС. - 1995. - С.45.

141. Матвеев К.А. Введение в тензорное исчисление: Конспект лекций. Новосибирск: Изд - во НГТУ. - 1997. - 56с.

142. Матвеев К.А. О вариационных принципах теории упругой устойчивости пластин. Расчет локально нагруженных анизотропных пластин // Научный вестник НГТУ. 1996. - № 2. - С.43 - 55.

143. Матвеев К.А. Исследование общей и локальной устойчивости анизотропных пластин // Научные основы высоких технологий. Труды международн. научно-техн. конф. Т.4. Изд-во НГТУ. Новосибирск, 1997. С. 229-233.

144. Матвеев К.А. О локальной устойчивости упругих ортотропных пластин // Динамика сплошной среды. / Математические проблемы механики сплошных сред. Сб. науч. тр. Новосибирск: Изд - во ин-та гидродинамики СО РАН.- 1999.-Вып. 114.-С. 186- 188.

145. Матвеев К.А. О вариационных принципах теории упругой устойчивости пластин на разрывных полях перемещений, деформаций и напряжений //

146. Научн. вестник НГТУ. Новосибирск, 2001. - №2.-С. 101 - 113.

147. Матвеев К. А. Вариационные принципы теории упругой устойчивости пластин со «смягчёнными» предварительными условиями // Сибирский журнал индустриальной математики. 2002. - V, № 1(9). - С. 123 - 128.

148. Матвеев К.А., Моховнев Д. В., Савельев A.B. К исследованию общей и локальной устойчивости ортотропных пластин // Сибирский журнал индустриальной математики. 1998. -№ 2. - С. 127 - 139.

149. Матвеев К. А., Немировский 10. В., Пустовой Н. В. Устойчивость эквивалентных по весу кольцевых армированных пластин // Научный вестник НГТУ-2001. №2. - С. 91 - 100.

150. Матвеев К.А.,Попов И.Н. Исследование устойчивости цилиндрических панелей // Динамика и прочность авиационных конструкций. / Межвуз. сб. науч. тр. Новосибирск: Изд-во НЭТИ. - 1990. - С.22 - 24.

151. Матвеев К.А., Речкин A.A. Исследование устойчивости упругих пластин методом граничных элементов // Динамика и прочность авиационных конструкций. / Межвуз. сб. науч. тр. Новосибирск: Изд-во НЭТИ. - 1994. -С.37-42.

152. Матвеев К.А., Сачков В. В. Приложение метода С.П. Тимошенко к решению задач устойчивости упругих пластин // Динамика и прочность авиационных конструкций / Межвуз. сб. науч. тр. Новосибирск: Изд - во НЭТИ. -1989.-С.80-85.

153. Матвеев К.А., Сачков В.В., Леган М.А. Исследование устойчивости упругих пластин // Динамика и прочность элементов авиационных конструкций / Межвуз. сб. науч. тр. Новосибирск: Изд - во НЭТИ. - 1987. -С.92-96.

154. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. 2-е изд. -М.: Наука, 1970.

155. Морозов Н.Ф., Никольская H.A., Проскура A.B. О депланации растягиваемой пластины, ослабленной трещиной // Тр. XIII Всес. конф. по теории пластин и облочек. Таллин. - 1983. - С.25-30.

156. Мотовилец И.А. Об устойчивости пластины, нагреваемой источником тепла // Прикл. мех.(Киев). 1995. - 31, №1. - С.79-86.

157. Мотовилец И.А. О термоустойчивости круглой ортотропной пластины с отверстием // Прикл. мех.(Киев). 1997. - 33, №2. - С.68-73.

158. Мотовилец И.А. О термомеханическом поведении ортотропной круглой пластины переменной толщины // Прикл. мех.(Киев). 1998. - 34, №7. -С.78-83.

159. Муратов О.В. Исследование больших закритических деформаций панелей при нестационарном нагреве и нагружении // Тр. ЦАГИ. 1997, вып.2629. -С.31-38.

160. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. 5-е изд., испр. и доп. М.: Наука, 1966. - 707с.

161. Наумов C.B., Никифоров А.К. Расчётно-экспериментальное исследование устойчивости пластин с круговым вырезом // Тр. ЦАГИ. 1998, вып.2632. -С.34-40.

162. Наумов С.М., Поспелов И.И. Расчётно-экспериментальный анализ устойчивости элементов авиационных конструкций // Тр. ЦАГИ. 1996, вып.2623.-С.76-79.

163. Неклассические проблемы механики разрушения: В 4 т. / Под общ. ред. Гузя А.Н.; АН Украины, Ин-т механики. К.; Наук, думка, 1992. - Т.4, кн.1. Разрушение и устойчивость материалов с трещинами / Гузь А.Н., Дышель М.Ш., Назаренко В.М. - 456 с.

164. Никифоров А.К., Чедрик В.В. Применение метода нелинейного программирования в задаче оптимизации подкрепленных панелей по условию прочности и устойчивости // Тр. ЦАГИ. 1997. - №2628. - С.47-53.

165. Немировский Ю.В. Устойчивость и выпучивание конструктивно анизотропных и неоднородных оболочек и пластин. «Механика твёрдых деформируемых тел» (Итоги науки). Изд-во ВИНИТИ. - 1975. - 154 с.

166. Немировский Ю.В. Рациональное проектирование армированных конструкций с точки зрения прочности и устойчивости // Прикладные проблемы прочности и пластичности. 1977. - Вып.6. - С.70-80.

167. Немировский Ю.В., Вохнянин И.Т. Оценки и критерии оптимального проектирования жесткопластических элементов конструкций минимального объема // Известия вузов. Строительство. 1996. - №3. — С. 16-25.

168. Немировский Ю.В., Самсонов В.И. Прочность, жёсткость и оптимальное проектирование конструкций при статических и динамических воздействиях. Новосибирск, 1992. - 35 с. ( Препринт / РАН Сиб. отд., ИТПМ, №17-92.).

169. Новацкий В. Теория упругости: пер. с польского. М.: Мир, 1975. - 872с.

170. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. M.-JL: Гостехиз дат, 1948.-211с.

171. Ободан Н.И., Макаренко Н.Б., Гук H.A. Потеря устойчивости тонкостенных конструкций при охлаждении после теплового удара // Докл. АН Украины. 1997. - №3. - С.68-73.

172. Остросаблин Н.И. Плоское упругопластическое распределение напряжений около круговых отверстий. Новосибирск: Наука, 1984. — 113 с.

173. Паймушин В.Н. Сдвиговая форма потери устойчивости трёхслойного кругового кольца при равномерном внешнем давлении // Докл. РАН. 2001. -Т.378, №1. -С.58 -60.

174. Паймушин В.Н. Теория устойчивости трёхслойных пластин и оболочек (этапы развития, современное состояние и направления дальнейших исследований) // Изв. РАН. Мех. твёрд, тела. 2001, №2. - С.148 - 162.

175. Папкович П.Ф. Теория упругости. -JI.-M.: Оборонгиз, 1939. 640с.

176. Папкович П.Ф. Труды по строительной механике корабля в 4-х т. Т.4. Устойчивость стержней, перекрытий и пластин. -Я.: Судостроение, 1963. -552с.

177. Пелле (Pellet D.A.), Костелло (Costello R.G.), Брок (Brök J.E.) Выпучивание панели с круговым отверстием при растяжении // Ракетная техника и космонавтика. 1968.-№ 10.-С.241-243.

178. Пикуль В. В. Общая техническая теория тонких упругих пластин и пологих оболочек. М.: Наука, 1977. - 151с.

179. Пикуль В.В. Современное состояние теории оболочек и перспективы её развития // Изв. РАН. Механика твёрдого тела. -2000. -№2. С. 153 - 168.

180. Победря Б. Е. Модели механики сплошной среды // Изв. РАН. Механика твёрдого тела. -2000. -№3. С.47 - 59.

181. Постное В.А. Численные методы расчета судовых конструкций. JL: Судостроение, 1977. - 280с.

182. Постное В.А., Тарануха H.A. Метод модуль элементов в расчетах судовых конструкций. JL: Судостроение, 1990. - 318с.

183. Постом Т., Стюарт И. Теория катастроф и ее приложения: Пер с англ.1. М.: Мир, 1980.-607с.

184. Потеря устойчивости и выпучивание конструкций: теория и практика / Под ред.Дж. Томпсана и Дж. Ханта: Пер с англ./ Под ред. Э.И. Григолюка. -М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1991. - 424с.

185. Прагер В. Вариационные принципы линейной статической теории упругости при разрывных смещениях, деформациях и напряжениях // В кн.: Механика. М.: Мир. - 1969.-№5.-С.139-144.

186. Преобраэ/сенский И.Н. Устойчивость и колебания пластинок оболочек с отверстиями. М.: Машиностроение. -1981. - 191 с.

187. Преображенский И.Н., Цурпал И.А. Вырезы в несущих конструкциях. -М.: Машиностроение. 1984.- 112с.

188. Присекин В Л. Применение принципа возможных перемещений к расчёту конструкций в условиях ползучести // Динамика и прочн. констр. / Сб. науч. тр. под ред. Л.М. Куршина / Новосиб. электротехн. ин-т: Новосибирск. -1976, вып.З. С.22-32.

189. Прочность, устойчивость, колебания. Справочник под ред. И.А. Биргера, Я.Г. Пановко. В 3-х т. Т.З. М.: Машиностроение, 1968. - 567с.

190. Пустовой Н.В., Матвеев К.А. Основы расчета на устойчивость деформируемых систем Новосибирск: Изд - во НГТУ, 1997. - 370 с.

191. Пустовой Н.В., Матвеев К.А. О вариационных принципах теории упругой устойчивости пластин.// Научный вестник НГТУ. №1. С. 110 -126.

192. Пустовой Н.В., Матвеев К.А. О прямых методах, решения задач устойчивости пластин // Научн.вестник НГТУ. Новосибирск, 2000, №2(9) -С.101 -108.

193. Рабинович А. Л. Об упругих постоянных и прочности анизотропных материалов // Труды ЦАГИ. 1946. - № 582, - 56 с.

194. Работное Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука. Главная редакция физико-мат. лит-ры, 1979. - 744с.

195. Рейсснер Э. О некоторых вариационных теоремах теории упругости // В кн. «Проблемы механики сплошной среды / К 70-летию акад. Н.И. Мусхелишвили. М.: Изд-во АН СССР, 1961. - С.326-377.

196. Ректорис.К. Вариационные методы в математической физике и технике: Пер. с англ. М.: Мир, 1985. - 590 с.

197. Репин С.И. Некоторые задачи оптимизации теории устойчивости упругих конструкций // Тр. Ленингр. политехи, инс-та. 1982, №388. - С.18-23.

198. Рикардс Р.Б. Метод конечных элементов в теории оболочек и пластин. -Рига: Зинатне, 1977. 284с.

199. Розин JI.A. Вариационные постановки задач для упругих систем. Л., Изд-во Ленингр. Ун-та, 1978. - 223с.

200. Розин JJ.A. Метод конечных элементов в применении к упругим системам. -М.: Стройиздат, 1977. 128с.

201. Романенко Ф.А. Устойчивость плоской формы равновесия недносвязных пластин при действии дискретных нагрузок // Прикл. мех. 1966. - 11, вып.1. -С.78-82.

202. Рыбаков Л.С., Силъченко Л.Г. Статическая упругая устойчивость прямоугольной подкреплённой ортотропной панели // Прикл. методы исслед. прочности ЛА // Моск. авиац. ин-т. М., 1992. - С.64-71.

203. Сабоннодьер Ж.-К,, Кулон Ж.-Л. Метод конечных элементов и САПР. -М.: Мир, 1989.- 190с.

204. Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий. Киев: Науковадумка, 1968. 887с.

205. Сафронов B.C., Туркш И.К. Исследование устойчивости трёхслойных пластин с отверстием при действии осевого сжатия // Изв. РАН. Механика твёрдого тела. 1998.-№2.-С.175- 182. '

206. Саченков A.B., Галимов Н.К. К вариационным методам решения задач устойчивости пластин и оболочек // Исследования по теории пластин и оболочек. Казань: Изд-во Казан-го ун-та. - 1966, №4. - С.173-183.

207. Сегврлинд JI. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979. -392с.

208. Слезингер И.Н., Олифер В.И. О вариационных принципах теории упругих гибких пологих оболочек//Прикл. мех.- 1981.- 17,№11.-С.60-67.

209. Солодовников В.Н. К методам оптимизации оболочек по устойчивости и напряженному состоянию // Динамика сплошной среды (Новосибирск, ин-т гидродинамики СО АН СССР). 1976. - Вып. 27. - С. 135-143.

210. Стренг Г. Линейная алгебра и ее применения. М.: Мир, 1980. - 454с.

211. Тарасов В.Л. Оптимизация кольцевых пластин с заданными критическими нагрузками // Прикладные проблемы прочности и пластичности. 1977. - №7. - С.97-103.

212. Тимошенко С.П. Устойчивость упругих систем. М.: Гостехиздат, 1946. -532с.

213. Тимошенко СЛ., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Физматгиз, 1963. - 635с.

214. Терегулов И.Г., Бутенко Ю.И., Каюмов P.A., Сафиуллин Д.Х., Алексеев К.П. К определению механических характеристик нелинейно-упругих композитных материалов // ПМТФ. 1996. -Т.37, №6. С. 170 - 180.

215. Троицкий В.А., Петухов JI. В. Оптимизация формы упругих тел. М: Наука, 1982.-432 с.

216. Физические величины: справочник / А.П. Бабичев, H.A. Бабушкина, A.M., Братковский и др.: Под ред. И.С. Григорьева, Е.З. Мейлихова.

217. М.: Энергоатомиздат, 1991. 1232с.

218. Феодосьев В.И. О некоторых необычных примерах устойчивости равновесия упругих систем // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. -1984. № 1. - С.130-136.

219. Фонарев A.A. Об отыскании выпученных форм круглой пластины // Прикл. мат. и мех. 1990. - 54, №1. - С.75-79.

220. Хорошун J1.I1. Об уточненных уравнениях устойчивости пластин и оболочек // Прикл. мех. 1981. - 17, №7. - С.67-74.

221. Циглер Г. Основы теории устойчивости конструкций. М.: Мир, 1971. -192с.

222. Черепанов ГЛ. О выпучивании мембран с отверстием при растяжении // Прикл. мат. и мех. 1963. - Т.27. - № 2. - С.275-286.

223. Черепанов ГЛ. О местном выпучивании мембран // Изв. АН СССР. МТТ. -1966.-№ 1.-С.144-146.

224. Черепанов Ю.Г. Устойчивость квадратной пластины, нагруженной растягивающими сосредоточенными силами // Изв. вузов. Машиностр. -1993. №1. - С.58-60.

225. Янг JT. Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления: Пер с англ. / Под ред. В.М. Алексеева. М.: Мир, 1974. - 488с.

226. Arora J. S., Cardoso J.B. Variation principle for shape design sensitivity analysis // AIAA Journal. 1992. - Vol.30, N2. - C.538-547.

227. Baker G., Pavlovic H.N. Elastic stability of simply supported rectanqular plates under locally distributed edge forces // J. Appl. Mech. 1982. - 49, №1. - P.177-179.

228. Barta J. On the minimum of strain energy on elastostatics // Acta techn. Acad. Sci. Hung. 1986. - Vol.99. - N. 1-2. - P.3-8.

229. Bendsoe M. P., Sokolowski Jan. Shape sensitivity analysis of optimal compliance functionals // Mech. Struct, and Math. 1995. - Vol.23. - N1. -P.35-38.

230. Birman Victor, Simitses George J. Buckling and bending of cylindrically orthotropic annular plates // Compos. Eng. 1991. - 1,№1. - C.41-47.

231. Britt V.O. Shear and Compression Buckling Analysis for Anisotropic Panels with Elliptical Cutouts // AIAA Journal. November 1994. -.Vol.32. - No. 11.-P.2293-2299.

232. Brown CJ. Elastic stability of plates subjected to concentrated loads // Comp. And Struct. 1989. - Vol.33. No.5, pp.1325-1327.

233. Bruno D., Lato S., Sacco E. Nonlinear analysis of bimodular composite plates under compression // Comput. Mech. 1994/ - 14,№1. - C.28-37.

234. Bryan G.H. On the stability of elastic systems.// Proc. Cambr. Phil. Soc. -1889.-Vol.6. P.199-210.

235. Bryan G.H. On the stability of plane plate under thrusts in-it own plane with application to the "buckling" of the sides of a ship. // Proc. Lond. Math. Soc. -1891.-Ser.l--Vol.22. P.54-67.

236. Carnoy E.,Sander G. Stability and postbuckling analysis of nonlinear structures // Comp. Meth. in Appl. Mech. and Eng.32(1982). P.329-363.

237. Chen Wen-Hwa, Yang Shau-Hwa Buckling analysis of general compositelaminated by hybrid-stress finite element method // AIAA Journal. 1991.- 29, №1.-C.140-147.

238. Cheng Chang-Jun, Duan Wei, Parker D.E. Elastic instability of polar orthotropic annular plates

239. Chin H.C., Benson R.C., Fiscella M.D., Burns S.J. Mechanical and thermal wrinkling of polymer membranes // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1994. -61,№l.-C.67-70.

240. Costa J.A., Brebia C.A. Elastic buckling of plates using the boundury element method // Proc.7-th Int.Conf,Springer Veriag. - 1985. - Vol. 1. - P.429-442.

241. Courant R. Variational methods for the solutions of problems Of equilibrium and vibrations // Bull. Amer. Math. Soc. 1943.- 1, №49. - P. 1-23.

242. Danielson D.A., Cricelli A.S., Frenzen C.L., Vasudevan N. Buckling of stiffened plates under exial compression and lateral pressure // Int. J. Solids and Struct. 1993,-30,№4.-C.545-551.

243. Dost S., Tabrrok B. A mixed variational formulation for large deformation analysis of plates // Appl. Math. And Mech. (Engl. Ed.). 1989. - 10, №7. -C.611-621.

244. Elishakoff Isaac Uncertain bucrling: its past, present and future // Int. J. Solids and Struct. 2000. - 37, №46 - 47. - P.6869 - 6889.

245. Friederichs K. Ein Veriarren der Variationsrechnung // Nachr. der Gesellschaft der Wissensschaften. Gettingen. - 1929. - P.

246. Gilabert A., Sibillot P., Somette D., Vanneste C., Maugis D., Muttin F. Buckling instability and pattern around holes or cracks in thin plates under a tensile load // Eur. J. Mech. A. 1992. - 11, № 1. - P.65 - 89.

247. Gupta U.S., Lai R., Jain S.K. Buckling and vibrations of polar orthotropic circular plates of linearly varying thickness resting on an elastic foundation // J. Sound and Vibr. 1991. - 147, №3. - C.423-434.

248. Gutierrez R.H., Romanelli E., Laura P.A.A. Vibrations and elastic stability of thin circular plates with variable profile // J. Sound and Vibr. 1996. - 195,№3.1. C.391-399.

249. Jwalamalini R., Sundaravadivelu R., Vendhan C.P., Garapathy C. Stability of initially stressed square plates with square openings // Mar. Struct. 1992. -5, №1. -C.71-84.

250. Khan M. Z, Walker A, C. Buckling of plates subjected to localized edge loading // Struct. Eng. 1972. - Vol.50, №6. - P.225-313.

251. Knothe K, Hieronimus K. Ein neus gemischetes Variations prinzip der Elastostatik // Z. angew. Math, und Mech. 1973. - 53, №5. - P.278 - 280.

252. Kumai T. Elastic stability of the square plate with a central circular hole under edge thrust // Proc. Japan Nat. Congr. Appl. Mech. 1951, pp.81-86.

253. Larason Per-Lennart. On the buckling of orthotopic streiched plates with circular holes // Compos. Struct. 1989. - 11, №2. - C.121-134.

254. Laura P.A.A., Gutierrez R.H., Sonzogni V., Idelsohn S. Buckling of circular, annular plates of nonuniform thickness //Ocean Eng. 1997. -24,№1. -C.51-61.

255. Lee I.C., Kim C.G., Hong C.S. Buckling and Postbuckling Behavior of Stiffened Composite Panels Loaded in Compressia // AIAA Journal. 1997. -Vol.35.-No.L-P.202-204.

256. Lee Y.J., Lin H.J., Lin C.C. A study on the buckling behavior of an orthotropic square plate with a central circular hole // Compos. Struct. 1989. - 13, №3. -C.173-183.

257. Leipholz H.H.E. On the energy criterion in the context of plate stability // Comp. Meth. in Appl. Mech. and Eng.32(1982). P.401-414.

258. Leissa Arthur W. An overview of composite plate buckling // Compos. Struct.4: Proc. 4th Int. Conf., Paisley, 27th-29th July, 1987. Vol.1. London, 1987. -C.l-29.

259. Leissa Arthur W., Ayoub Essam F. Tension buckling of rectangular sheets due to concentrated forces I I J. Eng. Mech. 1989. - 155, №12. P.2749 - 2762.

260. Levy S., Wooley R.M., Kroll W.D. Instability of simply supported square plates with reinforced circular hole in edge compression // J. Res. Nat. Bur. Std., v.39, No.6, (December 1947), Res. Paper No.1849, pp. 571-577.

261. Liew K.M., Wang C.M. Elastic buckling of radially loaded circular plates on nonaxisymmetric internal supports //Mech. Struct. And Mech. 1993. - 21, №4. -C. 545-554.

262. Lin C.C. ,Mote C.D. The wrinkling of rectangular webs under nonlinearly distributed edge loading // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1996. - 63,№3. -C.655-659.

263. Li Shi-rong, Cheng Chang-jun. Thermal-buckling of thin annular plates under multiple loads // Appl. Math. And Mech. (Engl. Ed.). -1991/ 12,№3. - C.301-308.

264. Lin Chien-Chang, Kuo Ching-Suong. Buckling of laminated plates with holes //J. Comps. Mater.- 1989.-23, №6. C.536-553.

265. Liu Y.J. Elastic stability analysis of thin plate by the boundary element method a new formulation I I Engineering Analysis. 1987.- Vol.4. - № 3. - P.I 60 -164.

266. Mansfield E.H. Optimum variably thickness reinforcement around a circular hole in a flat sheet under radial tension // Quart. Journal of Appl. Math. 1971. -Vol.24.-№4.-P. 499-507.

267. Mansfild E.N. On the buckling of an annular plate // Quart. J. Mech. and Appl. Math.-1960.-Vol. 13.-PU.-P. 16-23.

268. Masur E.F., Popelar C.H. On the use of the complementary energy in the solution of buckling problem // Internat. J. Sol. and Struct. 1976. - 12, p.p,203

269. Matwejew K.A. Research of general and local buckling of anisotropic plates // Abstracts The First Korea Russia International Simposium on Science and Technology / Ulsan: Printed in Republic of Korea Technical Communication Service. - 1997.-P. 18.

270. May I.M., Ganada T.H. Elastic stability of plates with and without openings // Eng. Computat. 1988. - 5, №1. - C.50-52.

271. Meink Troy E., Huybrecht Steven, Ganley Jeff, Shen M.-H. Herman. The effect of varying thickness on the buckling of orthotropic plates // J. Compos. Mater. -1999. 33, №11. -P.1048-1061.

272. Murakawa H, Reed K.W., Alturi S.N., Rubenstein R. Stabiluty analysis of structures via a new complementary energy method // Comput. And Structures. -1981.-13,p. 11-18.

273. Nash W.A. Effect of a concentric reinforcing ring on stiffness and strength of a circular plate // Transactions of ASME. Journal of Applied Mechanics. 1948. -Vol.l5.-No.l. - P. 25-29.

274. Nemeth Michael P. Buckling and postbuckling behavior of compression-loaded isotropic plates with cutouts // AIAA Journal. 1991. - 29, №2. - C. 313314.

275. Or an C. Complementary Energy Method for Buckling Plates.// J.of the Eng. Mech. Div./ Proc. of the Amer.Soc. of Civil Eng. 1968. - Vol.94. - №2. -. P.

276. Pope S.J. General plate stability using high order techniques // 33 rd AIAA/ASME/ASCE/AHS/ ASC Struct., Struct. Dyn., and Mater. Conf., Dallas, Tech., Apr.13-15, 1992: Collect. Techn. Pap. Pt.l. Washington (D.C.), 1992.1. C.230-240.

277. Pustovoy N. V., Matwejew K.A.,Mochovnev D. V. Buckling of annular orthotopic plates // Proceedings The Third Russian-Korean International Simposium on Science and Technology. / Russia: Novosibirsk State Technical University. -1999.-Vol-l.-P.3 64-3 67.

278. Reissner E. The problem of lateral buckling of cantilever plates // Z. angew. Math, und Mech. 1995. - 75, №8. - P.278 - 280.

279. Renchang You, Yongliang Wang, Xinwe Wang. Buckling analysis of polar orthotropic annular plates under uniform pressure // Joint Proc. Aeron. and Astronaut. (JPAA). 1994 / Kazan State Techn. Univ. Kazan, 1995. - C.40-47.

280. Ritchie D., Rhodes J. Buckling and post-buckling dehaviour of plates with holes // The Aeronautical Quaterly, Vol.XXVI, N4,1975.

281. Ronald B.F. Local buckling strength of plate outstand // Int. J. Mech/ Sci. -1990.-32, №11. -C. 925-943.

282. Shi G., Bezine G. Buckling analysis of orthotropic plates by boundary element method // Mech.Res.Commun. 1990. - Vol. 17(1) - P.I - 8.

283. Shin W. Y., Kudryavtsev L., Wang K.K. Elastic buckling of a circular disk due to internal membrane forces // Tras. ASME. J. Appl. Mech. 1995. - 62,№3. -C.813-816.

284. Shin Yung S., Haftka Raphael T., Watson Layne T., Plaut Raymond H. Design of laminated plates for maximum load // J. Compos. Mater. 1989. - 23, №4. -C.348-369.

285. Shlack A.L. Elastic Stability of Pierced Plates. // Experimental Mechanics. -1964.-Vol.4.-№6.-P. 167-172.

286. ShlackA.L. Experimental Critical Eoads for Perforated Square Plates. // Exp. Mech. 1968. - Vol.4. - № 2. - P.69 - 74.

287. Syngellakis S., Elzein A. Plate buckling loads by the boundary element method // J. Numer. Meth. Eng. 1994. - 37, №10. - C. 1763-1773.

288. Tabarrok B.,Gass N. A variational formulation for plate buckling problems by the hybrid finite element method I I Int. J.Solids Struct. 1978. - Vol.7. - P.61 -80.

289. Washizu K. Variational Method in Continuum Mechanics // THE TREND IN ENGINEERING. JULY, 1962, pp.5-7.

290. Yamaki N. Buckling of a thin annular plate under uniform compression // J. App.Mech. 1958. - Vol.25. - Pt.2. - P.67 - 73.

291. Yang I.H., Kuo W.S. Stability and vibration of initially stressed thick laminated plates // J. Sound and Vibr. 1993/ - 168,№2. - C.285-297.

292. Yang W., Pan H., Zheng D., Cai Q. An energy method for analyzing magnetoelastic buckling and bending of ferromagnetic plates in static magnetic fields // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1999. - 66, №4. - P.913 - 917.

293. Yang Xiao, Cheng Chang jun. Variational principles of perforated thin plates and the finite element method for buckling and post-buckling analysis // JIhck>3 cio36ao.=Acta Mech. Sin. 1991. - 23, №2. - C. 190-200. - Kht.

294. Yijun Liu Elastic stability analysis of thin plate by the boundary element method a new formulation // Engineering Analysis, 1987, Vol. 4, No.3, p.160- 164.

295. Zhuang W.Z.L., Baird J.P., Williamson H.M. Local buckling of cracked and pin-loaded plates // AIAA Journal. 1996. - 34,№10. - C.2171-2175.