автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование и анализ контактного взаимодействия в ортотропных средах на основе сглаживания коэффициентов жесткости

На правах рукописи

НЕКРАСОВА Наталия Николаевна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И АНАЛИЗ КОНТАКТНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ В ОРТОТРОПНЫХ СРЕДАХ НА ОСНОВЕ СГЛАЖИВАНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ ЖЕСТКОСТИ

Специальность: 05.13.18 - Математическое моделирование,

численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

2 ИЮН 2011

Воронеж - 2011

4848299

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»

Научный руководитель доктор технических наук, профессор

¡Алейников Сергей Михайлович |

Научный консультант доктор технических наук, профессор

Бурковский Виктор Леонидович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Агранович Юрий Яковлевич;

кандидат технических наук, доцент Крючкова Ирина Николаевна

Ведущая организация ГОУ ВПО «Липецкий государственный технический университет»

Защита состоится 16 июня 2011 г. в 1230 часов в конференц-зале на заседании диссертационного совета Д 212.037.01 ГОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет» по адресу: 394026, г. Воронеж, Московский просп., 14.

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке ГОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет».

Автореферат разослан 16_мая 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Барабанов В.Ф.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы. Теория анализа ортотропных сред продолжает оставаться одной из актуальнейших проблем современной теории моделирования. Наиболее актуальна данная проблема при проектировании новых фундаментных конструкций, для обеспечения снижения их материалоемкости, обеспечения высокой надежности, долговечности и экономичности.

В настоящее время предложено большое число методов анализа ортотропных сред, базирующихся на существующем упрощении условий решения данной задачи. Для достижения «точных» решений пространственной контактной задачи для ортотропных сред на базе методов теории упругости представляет значительные математические трудности. Для эффективного решения задач анализа сложных пространственных ортотропных конструкций альтернативой являются приближенные методы с использованием современных высокоресурсных средств вычислительной техники. Следует отметить, что разработанные к настоящему времени численные модели анализа в большинстве своем не учитывают существенные для ортотропных сред особенности, и в реальных условиях не позволяют получить результаты, обеспечивающие качество проектных решений в соответствующих объектных областях.

Таким образом, актуальность темы диссертационной работы продиктована необходимостью дальнейшего развития средств математического моделирования и численного анализа ортотропных сред при сложных граничных условий, повышающих качество и оперативность принятия проектных решений.

Работа выполнена в соответствии с одним из научных направлений ГОУ ВПО "Воронежский государственный технический университет" "Вычислительные системы и программно-аппаратные комплексы" (ГБ 2010.18).

Цель и задачи исследования. Целью диссертационной работы является разработка комплексной математической модели анализа ортотропных сред применительно к фундаментным конструкциям, контактирующим с упругим грунтовым основанием, а также средств численной реализации, обеспечивающих высокую точность вычисления и качество проектных решений.

В соответствии с данной целью в работе поставлены и решены следующие задачи:

анализ существующих подходов к численному моделированию пространственных конструкций на упругом основании;

разработка модели и алгоритма численного анализа влияния неоднородности сжимаемой толщи основания на напряженное состояние плиты;

разработка средств численного анализа модели влияния изменения ортотропных свойств материала плиты на результаты моделирования;

разработка модели взаимодействия прямоугольных фундаментных плит с упругими основаниями при различном сочетании условий на контуре плиты и вида нагружения;

разработка алгоритма численного анализа состояния плит переменной геометрии, взаимодействующих с упругими основаниями;

разработка программного обеспечения модели анализа контактного взаимодействия плит с упругим основанием.

Методы исследования. В работе использованы методы теории моделирования, методы математической физики, вычислительной математики, разделы теории сопротивления материалов, объекто-ориентированного программирования.

Результаты соответствуют следующим пунктам паспорта специальности: п. 3 ("Разработка, обоснование и тестирование эффективных вычислительных методов с применением современных компьютерных технологий"); п. 4 ("Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента"); п. 5 ("Комплексные исследования научных и технических проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента").

Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной:

модель формализованного описания напряженно-деформированного состояния ортотропных плит, отличающаяся возможностью анализа объекта моделирования в условиях пространственно-неоднородных оснований;

аналитическая модель процесса деформации ортотропных плит, отличающаяся учетом свойств материала плиты, вида внешнего нагружения и граничных условий;

алгоритм численного анализа моделей процесса деформации ортотропных плит, позволяющий осуществлять расчет напряженно-деформированного состояния на основе сглаживания границ между областями с различными жесткостными характеристиками;

аналитические контактные модели взаимодействия ортотропных плит переменной геометрии, обеспечивающие учет специфических особенностей упругих неклассических оснований;

структура программного комплекса анализа напряженно-деформированных состояний ортотропных плит, отличающаяся реализацией средств интеграции в инструментальные системы принятия проектных решений.

Практическая значимость работы заключается в разработке комплекса моделей, реализующих конечноразностный метод анализа напряженно-деформированного состояния фундаментных плит при использовании уточнённых контактных моделей.

Программная реализация предложенных моделей позволяет повысить качество и эффективность принятия проектных решений, устанавливать рациональные технологии при производстве плитных конструкций, оптимизировать и снижать их материалоемкость по бетону и арматуре, проводить конкретные конструктивные расчеты плит на упругих пространственно-неоднородных основаниях.

Реализация и внедрение результатов работы. Теоретические результаты диссертационной работы внедрены в учебный процесс на кафедре "Автоматика и информатика в технических системах" ГОУ ВПО "Воронежский государственный технический университет" в рамках дисциплины "Моделирование систем".

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались на следующих конференциях, семинарах и совещаниях: XVI Международной конференции по теории оболочек и пластин (Н.Новгород, 1994); 47-й научно-технической конференции по проблемам архитектуры и строительных наук (Воронеж, 1994); II Украинской научно-технической конференции по механике грунтов и фундаментостроению (Полтава, 1995); научных семинарах кафедры высшей математики ГОУ ВПО " Воронежский государственный архитектурно-строительный университет" (1996 - 2010); всероссийской конференции "Новые технологии в научных исследованиях, проектировании, управлении, производстве" (Воронеж, 2010); а также на научных семинарах кафедры "Автоматика и информатика в технических системах" ГОУ ВПО "Воронежский государственный технический университет" (2005-2010).

Публикации. Основные положения диссертационной работы опубликованы в 15 научных работах, в том числе 3 - в изданиях, рекомендованных ВАК РФ. В работах, опубликованных в соавторстве и приведенных в конце автореферата, лично соискателю принадлежат: формализованное описание напряженно-деформированного состояния ортотропных плит в условиях пространственно-неоднородных оснований [4,5,6,7,9,10], аналитическая модель контактного взаимодействия ортотропных плит с упругим основанием, отличающаяся учетом свойств материала плиты и смешанных граничных условий [8], алгоритм численного анализа, позволяющий осуществлять расчет напряженно-деформированного состояния плит на основе сглаживания границ между областями с различными жесткостными характеристиками [1,2,3,13,14], структура программного комплекса анализа напряженно-деформированного состояния плит переменной и постоянной жесткости [11,15].

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, 4 глав, списка литературы из 87 наименований, основных выводов и приложений. Основная часть работы изложена на 120 страницах, содержит 12 таблиц и 26 рисунков.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы и практическая значимость работы с указанием цели и задач исследования. Отмечена научная новизна и практическая значимость полученных результатов.

Первая глава посвящена общему обзору методов анализа цилиндрического изгиба плит, взаимодействующих с упругими основаниями. Приводятся результаты анализа моделей упругих оснований, наиболее часто встречаемых в расчетных схемах. Некоторые из них лучше отражают реальные свой-

ства основания, введение других оправдывается вносимыми упрощениями в сложные расчеты. Среди этих моделей есть и такие, которые более близки к действительности, но приводят к сложным методам расчета.

Вопросам теории и расчета цилиндрического изгиба плит, взаимодействующих с упругими основаниями, посвящено большое число публикаций отечественных и зарубежных авторов. Значительные результаты в этой области отражены в работах С.Г. Лехницкого, М.И Горбунова-Посадова, А.П. Варвака, A.B. Киселева, В.З. Власова, А.Е. Дураева, В.И. Соломина, 3. Конч-ковского и др.

Проблема расчета плит переменной жесткости на упругих основаниях возникает в задачах оптимального проектирования фундаментов, ориентированных на выполнение требований технологического характера: снижения их материалоемкости, обеспечения надежности, долговечности и экономичности. Это также связано с проектированием плит, изменение жесткостей (толщин) которых обусловливается расположением устанавливаемого технологического оборудования или значительным изменением нагрузки на отдельных участках многосвязных плит. В соответствии с механическими свойствами, плиты переменной жесткости относятся к трем типам характеризующимися следующими особенностями: материал плиты однородный, но при этом изменяется ее толщина; толщина плиты постоянна, но ее жесткость изменяется в результате армирования, изменчивости физических свойств материала, частичных пластических деформаций или трещинообразования; одновременно изменяется толщина и жесткость. В любом из этих трех случаев эффективная жесткость может описываться ступенчатым или непрерывным законами. Наиболее широкие исследования в данной области выполнены для круглых пластин переменной толщины. Это работы А.Д. Коваленко, В.А. Гришина, Е.Б. Кореневой, А.Г. Юрьева, H.A. Смоляго и др.

Анализ работ в области исследования напряженно-деформированного состояния плит переменной жесткости (толщины) показывает, что имеющиеся здесь результаты достаточны либо для задач в осесимметричной постановке, либо для прямоугольных тонких плит с переменной жесткостью в одном направлении. При этом в полученных аналитических решениях представлены ограниченный класс нагрузок и сравнительно простые законы изменения жесткости, как правило, по ступенчатому закону. Отсутствуют также работы по расчету как изотропных, так и ортотропных плит переменной жесткости, находящихся на упругих основаниях различных типов (кроме полупространства). Поэтому теория моделирования процесса изгиба плит переменной жесткости (толщины), расположенных на упругих неклассических основаниях, требует дальнейшего развития с целью возможного её применения к более широкому классу практически-ориентированных задач.

На основе проведенного анализа определены цель и основные задачи исследования.

Вторая глава посвящена математическому описанию контактного взаимодействия фундаментных плит с грунтовым основанием. Дифферен-

циальное уравнение изгиба прямоугольных ортотропных плит переменной жесткости, лежащих на упругом основании, имеет вид:

Dr

d2W

d2W

-V+V2-Г

дх2 ду2

охсу ^

d-w

(d2W d2w)

дхду q(x,y)-p(*,yl

(1)

где W(x,y) - вертикальное перемещение срединной плоскости плиты, q(x,y)~ интенсивность внешней нагрузки, р(х,у) - контактное давление; Дх, Dy - цилиндрические жесткости изгиба для главных направлений упругости, D, =£iA3/12(1-^2), Dy = Eyiil 120-v,^), D3 = DruI + 2DK = = Df • v, + 7DK, DK =GA3/12 - жесткость кручения; Ey, vh v2 - модули упругости и коэффициенты Пуассона материала плиты соответственно; G -модуль сдвига, h = h(l) - толщина плиты.

В данной постановке трение в области контакта не учитывается, т.е. предполагается, что плита полностью примыкает к основанию и вертикальные перемещения плиты равны осадкам основания, т.е. W(x,y) = U(x,y). Для пространственной контактной задачи равенство вертикальных перемещений плиты и поверхности упругого основания приводит к интегральному уравнению для определения контактного давления

= (2) ®i s

где U(x,y) - осадка основания в точке (д:,у)\ р(х,у)— значение контактного давления в точке (£,7); а(х,у,£,т/) - осадка поверхности основания в точке (4,1) от действия вертикальной единичной сосредоточенной силы, приложенной к основанию в точке (х,у); Е0, у0 - модуль упругости и коэффициент Пуассона основания; s — область контакта плиты и основания. Функция со{х,у,^,т}) задается согласно используемой модели упругого основания.

Граничные условия на контуре плиты имеют вид:

1) защемление: fV\r =0,

1

2) шарнирное опирание: IV\г = 0,

3) свободный край: Ail =0,

ifi

W\r =0

'' I

дМ„

ds

= 0,

(3) Н)

(5)

где п - внешняя нормаль к контуру плиты Г,; Мп, Мт- изгибающий и крутящий моменты; Ып - перерезывающая сила; д/дп- производная по нормали; д! дз - производная по дуге контура плиты.

Таким образом, математическая формулировка рассматриваемой задачи сводится к совместному решению дифференциального (1) и интегрально-

го (2) уравнений с граничными условиями на краях контура плиты (3-5). Если выразить из уравнения (1) р(х,у) и подставить в (2), то придем к сложному интегро-дифференциальному уравнению:

Щх,у) =

1 -v

кЕ,

А

' *I

дх2

d4dn I

ду' 1 дх'

Решение сформулированной пространственной контактной задачи при любой модели упругого основания представляет значительные трудности, а для прямоугольных плит точные решения к настоящему времени практически отсутствуют. В диссертационной работе решение интегрального уравнения (2) относительно контактных давлений р(х,у) считается известным и является одним из входящих данных для разрабатываемого программного модуля. Численно-аналитическое решение уравнение (2) заимствовано из работ JI.B. Канторовича, В.И. Крылова, Ш.Э. Мекиладзе, С.М. Алейникова.

Затем, записывая левую часть уравнения (1), а также уравнений (3-5) в конечных разностях и подставляя интенсивность реактивного давления в правую часть (1), определяем прогибы, изгибающие моменты, перерезывающие силы в плите. При этом используется конечно-разностная схема типа сквозного счета, когда граница раздела областей с различными жесткостны-ми характеристиками не выделяется явно. Для жесткостей, входящих в выражения коэффициентов конечно-разностных уравнений в узлах сетки, реализован принцип сглаживания.

В результате краевая задача сводится к системе линейных алгебраических уравнений с матрицей, порядок которой равен числу неизвестных прогибов плиты в выделенной дискретной совокупности точек.

В соответствии с данным подходом на начальном этапе формулируется дискретная модель прямоугольной упругой плиты. Начало координат помещаем в левом нижнем углу плиты. На область 0<х<а, 0<у<Ь, занятую плитой, вдоль осей ОХ и OY наносим сетку с шагом Ах ОХ и Ау по оси 07 (рис. 1).

Уравнение (1) во внутреннем узле конечно-разностной сетки (i,j) имеет вид:

дх'

А

d2W дх2

+ v2

l*j

дх2

А

d2W ду\

+ 4

д2 ( d2W

ЛУ5у2

+ V,

I-J

а/

дх

дхду

А

d2W

дхду

•J

4i,j-Pi. j

(6)

i = l,2,...,N-2; j = 1,2,...,М -2.

Л)

.V

' (Л*

3

2

1 2 3 М

(')

Рис. 1. Конечно-разностная сетка, нанесенная на плиту

Частные производные в каждом слагаемом левой части уравнения (6) представлены в развернутом виде, на основе известных конечно-разностных соотношений для производных второго порядка (рис. 2):

8х*

а

аУ

1

:Дх2

дхг

й.

аУ

л3у2

Ах'

(41,

(41-

аУ

'■'ТЕ?

-2(4),,;

аУ

дх1

А;

[оУ

Л.Н

"2(4Ь

аУ

'и

дхду

-(41-

а" '

А

аУ

дхду

1

ДхДу

(4),

аУ

Йхф'

-(4)д-

аУ

( -) аУ

дхду

¥

-(41

4г

'аУ"|

/ 1 <аУ

Л-и

¿У

V 1

У г ] 1

^ </У

А*

-2(4)-

41 Л2

Таким образом, уравнение (6) в узле (/',_/') окончательно принимает следующий вид:

С, ■ ТГи + С2 ■ + С3 ■ ¡¥и+1 + С4 ■ + С5 ■ IV,_и + С6 ■ ГГ,+н_, + + С7 ■ ^-и-, + с8 ■ + С9 ■ + С,д ■ + С„ . +

+ С12 • + С]3 ■ = (4УУ ■ {чи - Ри). (7)

1 = 1,2,...,N-2;] = 1,2.....М-2

где разностные коэффициенты С/, (к = 1,...,13) определяются по следующим формулам:

с, = <ФД„-1 Ь + (б4 +{Ьк)рАЬк\ +

+(41+Фу{ >(4Ц!,1;>

С2 = -2 Я2[(4Ь_, +{Ьх\}-2х[г{Ьк\ +2{бк)а +У2{Ок\м+Ух{Оу\]\ С3 =-2Я21(4Ь+1 +{ох)и\-2х\2{бк)р +2 {5к)а С4 = -24^(4),. +2[Ьк)р +2{Ък)а + фу)м ;]-2[(4). . .];

С5 = -2^2(дх)и+2{бк)г +2{ЬК\ + . + (4),_

С6 = +4{бк)а ^{ру)м .[,

Су = +44\ + .];

с9 = ,+1 +4{Ьк\ +^(4)._, .];

сп=л2(4)„.+1; с,2=(41и= С13=(41,,/

Здесь Я = - отношение квадратов шагов конечно-разностной сетки

в направлениях ОУ и ОХ, соответственно.

Для удовлетворения второго порядка точности, значения жесткостей 4 >4» 4 в сеточных узлах в работе определены согласно трем типам аппроксимации: 1) как среднее арифметическое значение жесткостей в двух соседних узлах (в рассматриваемом узле сетки и узле, расположенного слева от данного узла); 2) значения жесткостей в узле (/,_/) определяются как полусумма величин, обратных к среднему арифметическому значений жесткостей в соседних узлах; 3) значения жесткостей в сеточных узлах берем равными среднему арифметическому значению жесткостей в полуцелых узлах (промежуточные узлы, расположенные в серединах отрезков между узлами основной сетки).

а)

б)

¡-и 1-1.] *

1-1.1-1

\

V

Рис. 2. Фрагмент разностной сетки для внутреннего узла с принятыми обозначениями нумерации (а); схематическое представление структуры конечно-разностных уравнений с использованием тринадцатиточечного шаблона (б)

Таким образом, полученная в результате дискретизации система линейных уравнений относительно г ' точек плиты имеет вид

здесь \Н\ - матрица дифференциального оператора относительно вектора прогибов и {р} - векторы внешней нормальной нагрузки и реактив-

ного давления, рассматриваемые в узлах конечно-разностной сетки.

Система (8) решается методом Гаусса с исключением главного элемента по строке. В практических расчетах для матрицы системы (8) нами оценивалось её число обусловленности, которое показывает меру близости результатов к вырожденности. Проведенная оценка обусловленности на основе многочисленных расчетов показала, что решение системы уравнений методом исключения Гаусса дает вполне приемлемые результаты в качестве первого приближения.

С целью улучшения полученного решения оно в дальнейшем уточнялось итерационным методом. Результаты проведенных расчетов показали, что после 3-5 итераций решение, как правило, сходится в пределах машинной точности £- = 1(Г5.

В третьей главе приводятся результаты расчетов прямоугольных плит переменной жесткости, взаимодействующих с упругими основаниями, под действием равномерно распределенной нагрузки.

Для оценки сходимости численных решений и иллюстрации возможностей предложенной методики в работе приведены примеры расчета изгиба плит. Например, рассмотрена квадратная железобетонная плита переменной толщины со стороной а = 16м \E-2-104МПа, V = 0,167^ под действием равномерно распределенной нагрузки. Толщина плиты скачкообразно меня-

(8)

ется относительно диагонали квадрата (рис. 3, а) и по окружности (рис. 3, б), центр которой совпадает с центром плиты. Объем плиты при любом законе изменения толщины остается постоянным и равен У = 384м3. Для учета свойств ортотропии плиты полагаем Ех = 2Е, V, = 2у, Еу = Е, = V, О = 0.429 Е. Характеристики основания: Е„=29.\МПа, V, =0,25. Проведен сравнительный анализ типов аппроксимации жесткостей в сеточных узлах для плит с различной границей раздела жесткостей (толщин), различными граничными условиями на контуре и упругими основаниями.

Для защемленной по контору плиты, контактирующей с упругим полупространством и скачкообразным изменением толщины плиты в два раза (рис. 3,а в области 1 \ = 1 м, а в области 2 и на самой диагонали Л, = 2 м), максимальный прогиб увеличится по сравнению с плитой постоянной толщины почти в полтора раза. Как показывают расчеты из таблицы, для рассматриваемой функции изменения толщины все три типа осреднения приводят к качественно подобному распределению прогибов; количественное отличие не превышает 5%, что вполне удовлетворяет заданной точности расчетов.

Проанализировано влияние типа аппроксимации жесткостных коэффициентов для той же плиты в условиях, когда толщина меняется по окружности радиуса К = 4м с центром, совпадающим с центром плиты (рис. 3,6 анализируются два случая: толщина плиты в круге А, = 1 м, а вне круга к, = 1,5 .и и А, = 2,548л<, И2 = 1м).

Максимальные прогибы защемленной плиты

Кох-™' Тип аппроксимации

1 2 3

0,2005 0,2148 0,2050

Как показали проведенные расчеты, для первого случая изменения жесткостей (внутри круга толщина плиты меньше, чем вне круга) все три типа осреднения жесткостей приводят к качественно подобному распределению прогибов. В этом случае картина изолиний прогибов плиты симметрична от-

носительно ее центра и в центральной области плиты практически не отличаются от окружностей. Во втором из рассматриваемых случаев (толщина плиты в круге больше, чем за его пределами) использование типа осреднения жесткостей существенно сказывается на картине изолиний прогибов. Как следует из рис. 4 и 5, осреднение жесткостей по первому и, особенно, по второму типу приводит к неравномерному распределению прогибов жесткой части плиты относительно центра квадрата, что невозможно при симметричном нагружении и симметричных граничных условиях.

Рис. 4. Изолинии равных прогибов IV, см защемленной плиты с круговой линией раздела функции толщины на упругом полупространстве (первый тип аппроксимации жесткостей): а) И,=1м, И2=1,5м; б) И:=2,5478м, И2=1м

В то же время аппроксимация жесткостей с использованием полуцелых узлов рис. 6 не искажает картину прогибов как для более жесткой части плиты, так и для менее жесткой ее части.

Таким образом, проведенные вычислительные эксперименты при различных законах изменения функции жесткости показали, что осреднение жесткостей при формировании конечно-разностных уравнений с использованием полуцелых узлов наиболее предпочтительно: повышается точность расчетов напряженно-деформированного состояния плиты с кусочно-постоянной функцией жесткости.

Для исследования влияния на напряженно-деформированное состояние плиты переменной жесткости упругого основания проведены расчеты для шарнирно опертой изотропной плиты, лежащей на упругом клине [а = 30°, хс = Ям). Граница раздела х= р ступенчатого изменения толщин расположена параллельно оси ОУ, р изменяется в пределах а/2<р<5а/%. Толщину той части плиты, которая расположена ближе к ребру клина обозначим за а толщину оставшейся части - Будем предполагать, что

И2 = 2 ■ И1. На рис. 7, а построены изолинии прогибов для случая, когда р = а/ 2.

Рис. 5. Изолинии равных прогибов УУ, см защемленной плиты с круговой линией раздела функции толщины на упругом полупространстве (второй тип аппроксимации жесткостей): а) Н:=1м, И2=1,5м; б) И/=2,5478м, И2=1м

Рис. 6. Изолинии равных прогибов IV, см защемленной плиты с круговой линией раздела функции толщины на упругом полупространстве (третий тип аппроксимации жесткостей): а) И]=1м, И2=1,5м; б) И,=2,5478м, И2=1м

Изолинии прогибов вытянуты вдоль границы раздела жесткостей. С увеличением р происходит смешение контуров изолиний в сторону линии скачка изменения толщины (рис. 7, б). Таким образом, смещая границу раздела жесткостей, можно добиться практически симметричной картины изолиний, несмотря на переменность толщины плиты и неоднородность основания.

Учет ортотропных свойств материала плиты переменной жесткости также важен для оценки характеристик контактного взаимодействия. На рис. 8, а приведены расчетные данные для прогибов ортотропной плиты, когда Ех = Е1, а на рис. 8, б рассмотрена ситуация, когда та же плита повернута относительно своего центра на прямой угол (т.е. Еу = Е]). При выбранных значениях расчетных параметров изменение ориентации осей ортотропии приводит к незначительной асимметрии изолиний прогибов вдоль оси изменения упругих характеристик плиты по сравнению с плитами постоянной толщины.

а) 6)

Рис. 7. Изолинии прогибов И', см шарнирно опертой плиты с кусочно-постоянной функцией толщины на упругом клине при: а) = «; б) ь*

2 Р 8

Рис. 8. Изолинии прогибов (V, см ортотропной шарнирно опертой плиты а) упругое полупространство; Ех = 2,5Е, Еу = Е; б) упругий клин; Еу = 2,5Е,

ЕХ=Е

На основании полученных результатов можно сделать выводы о том, что механические свойства основания, различные виды граничных условий на контуре и изменение осей ортотропии существенно влияют на изгиб фундаментных плит переменной геометрии.

В четвертой главе диссертации приведена программная реализация, а также результаты апробации разработанных моделей и алгоритмов. Программный комплекс предназначен для комплексного анализа напряженно-деформированного состояния ортотропных плит постоянной и переменной жесткости, лежащих на упругих неклассических основаниях, и позволяет учитывать различные сочетания закрепления на контуре плиты, изменение направления осей ортотропии, виды внешнего нагружения и функции изменения толщины. В работе представлена структура программной системы на уровне информационного взаимодействия основных программных модулей. Эффективность разработанных моделей анализа подтверждается результатами, полученными другими авторами. В частности, на основе результатов сопоставительных расчетов для изотропной плиты на упругом полупространстве, полученных методом конечных элементов и на основании решения П.И. Горбунова-Посадова. Кроме того, проведенные тестовые расчеты показали, что разработанные модели для определения напряженно-деформированного состояния фундаментных плит обеспечивают приемлемую с практической точки зрения скорость сходимости решения в условиях анализа ортотропных сред. Кроме того, был осуществлен вычислительный эксперимент с использованием эталонной модели, реализованной на базе инструментальной системы конечно-элементного моделирования. На рис. 9 представлены результаты вычислительных экспериментов в условиях реализации предложенной в работе модели анализа и эталонной модели.

Предельные значения прогибов, полученные в рамках вычислительного эксперимента, совпадают в пределах 1,5 - 3%, что свидетельствует о достаточном качестве результата, который обеспечивает разработанный программный комплекс.

V-

к

V

Ч ч

к

Рис. 9. График сходимости значений прогибов, по базовой модели (ряд 1) и по эталонной модели (ряд 2) 14

В приложениях к диссертации приводятся шаблоны, необходимые для построения систем конечно-разностных уравнений. Приводятся таблицы физических постоянных некоторых ортотропных материалов и механические характеристики упругих грунтовых оснований.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. С позиции системной методологии осуществлен анализ существующих подходов к численному моделированию пространственных конструкций на упругом основании.

2. Разработана комплексная математическая модель анализа контактного взаимодействия в ортотропных средах, применительно к условиям фундаментных плит прямоугольной формы на упругом основании.

3. Разработаны модель и алгоритм численного анализа влияния неоднородности сжимаемой толщи основания на напряженное состояние плиты.

4. Осуществлен анализ влияния различных граничных условий, вида на-гружения, свойств материала плиты и функции влияния, определяющей контактную модель упругого основания на изгиб ортотропных плит.

5. Предложен алгоритм численного анализа моделей процесса деформации ортотропных плит, позволяющий осуществлять расчет, на основе сглаживания коэффициентов жесткости соответствующих областей.

6. Разработан алгоритм численного анализа состояния плит переменной геометрии, взаимодействующих с упругими основаниями.

7. Разработаны средства программного обеспечения модели анализа контактного взаимодействия плит с упругим основанием и осуществлена его апробация в условиях ортотропных фундаментных конструкций, широко применяемых при строительстве промышленных зданий и сооружений, покрытий автомобильных дорог и аэропортов, перекрытий мостовых конструкций и т.д.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ

1. Бурковский B.JI. Численная реализация модели цилиндрического изгиба ортотропных плит переменной жесткости на упругом основании/В.Л. Бурковский, H.H. Некрасова// Вестник Воронежского государственного технического университета. 2009. Т.5. №10. С. 101-107.

2. Бурковский В Л. Математическое моделирование влияния механических свойств основания на изгиб ортотропных плит с переменным коэффициентом жесткости/ В.Л. Бурковский, H.H. Некрасова// Вестник Воронежского государственного технического университета. 2009. Т.5. №10.С. 117-122.

3. Бурковский В JI. Анализ адекватности модели изгиба фундаментных плит на основе конечно-элементного моделирования/ ВЛ. Бурковский, H.H. Некрасова, В.М. Флавианов// Вестник Воронежского государственного технического университета. 2010. Т.6. №9.С. 15-17.

Статьи и материалы конференций

4. Алейников С.М. Численный расчет ортотропных плит на упругом основании переменной толщины/С.М. Алейников, Н.Н. Некрасова // Расчет и проектирование оснований и фундаментов в сложных инженерно-геологических условиях: сб. науч. тр. Воронеж: ВИСИ, 1992. С. 22-31.

5. Алейников С.М. Сходимость численных решений при расчете плит на упругом полупространстве методом сеток/С.М. Алейников, М.Д. Гончаров, Н.Н. Некрасова// Современные методы статического и динамического расчета сооружений и конструкций: сб. науч. тр. Воронеж: ВИСИ, 1993. Вып. 2. С.61- 67.

6. Некрасова Н.Н. Численный метод расчета плит на упругом полупро-сгранстве/Н.Н. Некрасова// Материалы 47-й науч.-техн. конф. Воронеж: ВИСИ, 1994. С.18-21,

7. Алейников С.М. Пространственная контактная задача изгиба пластин на упругом неклассическом основании/С.М. Алейников, М.Д. Гончаров, Н.Н. Некрасова//Труды XVI международной конференции по теории оболочек и пластин. Н-Новгород: Нижегор. ун-т, 1994. Т.З. С. 8-13.

8. Алейников С.М. Расчет ортотропных фундаментных плит при смешанных граничных условиях/С.М. Алейников, М.Д. Гончаров, Н.Н. Некрасова // Труды Украинской научно-технической конференции по механике грунтов и фундаментостроению. 4.2. Эффективные фундаменты, изготавливаемые с выемкой грунта. Полтава: Полтав. технич. универ-т, 1995. С.79-83.

9. Алейников С.М. Изгиб ортотропных фундаментных плит, расположенных на упругих неклассических основаниях/ С.М. Алейников, Н.Н. Не-красова//Известия ВУЗов: Строительство. 1996. № 9. С.55-60.

10. Aleynikov S.M., NekrasovaN.N. Contact problem for ortotropic faundation stabs with consideration on deformation peculiarities of spatial and nonhvo-mogeneous bases //Studia Geotehnica et Mechanica, V.20, №1-2, p.63-104,1998.

11. Алейников С.М. Программа "ORTOPLIT" расчёта ортотропных фундаментных плит переменной жесткости на упругих неклассических осно-ваниях/С.М. Алейников, Н.Н. Некрасова // Компьютерные учебные программы и информации. М. 2002.

12. Алейников С.М. Изгиб ортотропных плит переменной жесткости на упругих неклассических основаниях/ С.М. Алейников, Н.Н. Некрасова// Тезисы доклада 61-й научно-технической конференции. Новосибирск, 2004. С. 10.

13. Бурковский В.Л. Математическое моделирование изгиба фундаментных плит переменной жесткости на упругом основании/ В.Л. Бурковский, Н.Н. Некрасова //Новые технологии в научных исследованиях, проектировании, управлении, производстве: сб. тез. всерос. конф. Воронеж: ВГТУ, 2010. С. 30.

14. Бурковский В Л. Конечно-разностное моделирование пространственного контакта ортотропных плит переменной жесткости и упругого основания/ В .Л. Бурковский, Н.Н. Некрасова //Новые технологии в научных ис-

следованиях, проектировании, управлении, производстве: сб. тез. всерос. конф. Воронеж: ВГТУ, 2010. С. 9.

15. Бурковский В.Л., Некрасова Н.Н. Программный модуль «81МСЖТ» расчета ортотропных плит с переменным коэффициентом жесткости на упругих основаниях. ГОСФАП, № 5020110087 от 10.01. 2011 г.

Подписано в печать 13.05.2011. Формат 60x84/16. Бумага для множительных аппаратов. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 85 экз. Зак. № БЬ

ГОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет» 394026 Воронеж, Московский просп., 14

Перечень условных обозначений

Введение

Глава 1. Проблематика математического моделирования контактного взаимодействия ортотропных плит с грунтовыми основаниями.

1.1 Математические модели естественных грунтовых оснований.

1.2 Пространственные контактные модели для фундаментных плит на упругих неклассических основаниях.

1.3 Анализ взаимодействия плит переменной жесткости с упругими основаниями.

1.4 Постановка задачи.

1.5 Цели работы и задачи исследования.

Глава 2. Моделирование цилиндрического изгиба ортотропных плит переменной жесткости.

2.1 Математическая модель изгиба анизотропных плит переменной жесткости.

2.2 Формирование граничных условий.

2.3 Конечно-разностный метод реализации модели цилиндрического изгиба ортотропных плит.

2.3.1 Система конечно-разностных уравнений.

2.3.2 Аппроксимация функций жесткости в сеточных узлах.

2.3.3 Конечно-разностная форма граничных условий. 60 Выводы

Глава 3. Моделирование и анализ влияния механических свойств основания на изгиб ортотропных плит переменной жесткости.

3.1 Модель защемленной плиты переменной жесткости на упругом полупространстве.

3.2 Модель шарнирно опертой плиты переменной жесткости на упругом клине.

3.3 Модель ортотропной шарнирно опертой плиты переменной жесткости на упругом слое переменной толщины. 73 Выводы

Глава 4. Программная реализация и результаты апробации разработанных моделей и алгоритмов численного анализа.

4.1 Структура и состав программного комплекса моделирования и анализа прямоугольных плит.

4.2 Пользовательский интерфейс.

4.3 Анализ результатов вычислительных экспериментов.

4.4 Результаты численного анализа контактного взаимодействия плит с упругими основаниями. 85 4.5 Анализ адекватности математической модели изгиба плит на основе эталонной модели.

Актуальность темы. Теория анализа ортотропных сред продолжает оставаться одной из актуальнейших проблем современной теории моделирования. Наибольшую актуальность данная проблема имеет место при проектировании новых фундаментных конструкций, для обеспечения снижения их материалоемкости, обеспечения высокой надежности, долговечности и экономичности.

В настоящее время предложено большое число методов анализа ортотропных сред, базирующихся на существующем упрощении условий решения данной задачи. Для достижения «точных» решений пространственной контактной задачи для ортотропных сред на базе методов теории упругости представляет значительные математические трудности. Для эффективного решения задач анализа сложных пространственных ортотропных конструкций альтернативой являются приближенные методы с использованием современных высокоресурсных средств вычислительной техники. Следует отметить, что разработанные к настоящему времени численные модели анализа в большинстве своем не учитывают существенные для ортотропных сред особенности, и в реальных условиях не позволяют получить результаты, обеспечивающие качество проектных решений в соответствующих объектных областях.

Таким образом, актуальность темы диссертационной работы продиктована необходимостью дальнейшего развития средств математического моделирования и численного анализа ортотропных сред при сложных граничных условий, повышающих качество и оперативность принятия проектных решений.

Тематика диссертационной работы соответствует одному из направлений ГОУ ВПО "Воронежский государственный технический университет" "Вычислительные системы и программно-аппаратные комплексы" (ГБ 2010.18).

Цель и задачи исследования. Целью диссертационной работы является разработка комплексной математической модели анализа ортотропных сред применительно к фундаментным конструкциям, контактирующим с упругим грунтовым основанием, а также средств численной реализации, обеспечивающих высокую точность вычисления и качество проектных решений.

В соответствии с данной целью в работе поставлены и решены следующие задачи: анализ существующих подходов к численному моделированию пространственных конструкций на упругом основании; разработка модели и алгоритма численного анализа влияния неоднородности сжимаемой толщи основания на напряженное состояние плиты; разработка средств численного анализа модели влияния изменения ортотропных свойств материала плиты на результаты моделирования; разработка модели взаимодействия прямоугольных фундаментных плит с упругими основаниями при различном сочетании условий на контуре плиты и вида нагружения; разработка алгоритма численного анализа состояния плит переменной геометрии, взаимодействующих с упругими основаниями; разработка программного обеспечения модели анализа контактного взаимодействия плит с упругим основанием.

Методы исследования. В работе использованы методы теории моделирования, методы математической физики, вычислительной математики, разделы теории сопротивления материалов, объекто-ориентированного программирования.

Результаты соответствуют следующим пунктам паспорта специальности: п. 3 ("Разработка, обоснование и тестирование эффективных вычислительных методов с применением современных компьютерных технологий"); п. 4 ("Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента"); п. 5 ("Комплексные исследования научных и технических проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента").

Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной: модель формализованного описания напряженно-деформированного состояния ортотропных плит, отличающаяся возможностью анализа объекта моделирования в условиях пространственно-неоднородных оснований; аналитическая модель процесса деформации ортотропных плит, отличающаяся учетом свойств материала плиты, вида внешнего нагружения и граничных условий; алгоритм численного анализа моделей процесса деформации ортотропных плит, позволяющий осуществлять расчет напряженно-деформированного состояния на основе сглаживания границ между областями с различными жесткостными характеристиками; аналитические контактные модели взаимодействия ортотропных плит переменной геометрии, обеспечивающие учет специфических особенностей упругих неклассических оснований; структура программного комплекса анализа напряженно-деформированных состояний ортотропных плит, отличающаяся реализацией средств интеграции в инструментальные системы принятия проектных решений.

Практическая значимость работы заключается в разработке комплекса моделей, реализующих конечноразностный метод анализа напряженно-деформированного состояния фундаментных плит при использовании уточнённых контактных моделей.

Программная реализация предложенных моделей позволяет повысить качество и эффективность принятия проектных решений, устанавливать рациональные технологии при производстве плитных конструкций, оптимизировать и снижать их материалоемкость по бетону и арматуре, проводить конкретные конструктивные расчеты плит на упругих пространственно-неоднородных основаниях.

Реализация и внедрение результатов работы. Теоретические результаты диссертационной работы внедрены в учебный процесс на кафедре "Автоматика и информатика в технических системах" ГОУ ВПО "Воронежский государственный технический университет" в рамках дисциплины "Моделирование систем".

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались на следующих конференциях, семинарах и совещаниях:. XVI Международной конференции по теории оболочек и пластин (Н:Новгород, 1994); 47-й научно-технической конференции по проблемам архитектуры и строительных наук (Воронеж, 1994); II Украинской научно-технической конференции по механике грунтов и фундаментостроению (Полтава, 1995); научных семинарах кафедры высшей математики ГОУ ВПО " Воронежский государственный архитектурно-строительный университет" (1996 — 2010); всероссийской конференции- "Новые технологи» в научных исследованиях, проектировании, управлении, производстве" (Воронеж, 2010); а также на научных семинарах кафедры "Автоматика и информатика в технических* системах" ГОУ ВПО "Воронежский государственный технический университет" (2005-2010).

Публикации. Основные положения диссертационной работы опубликованы в 15 научных работах, в том числе 3 - в изданиях, рекомендованных ВАК РФ. В работах, опубликованных в соавторстве и приведенных, в конце автореферата, лично соискателю принадлежат: формализованное описание напряженно-деформированного состояния ортотропных плит в условиях пространственно-неоднородных оснований [4,5,6,7,9,10]; аналитическая^ модель контактного взаимодействия ортотропных плит с упругим основанием, отличающаяся учетом свойств материала плиты и смешанных граничных условий [8], алгоритм численного анализа, позволяющий осуществлять расчет напряженно-деформированного состояния плит на основе сглаживания границ между областями с различными жесткостными характеристиками [1,2,3,13,14], структура программного комплекса анализа напряженно-деформированного состояния плит переменной и постоянной жесткости [11,15].

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, 4 глав, списка литературы из 87 наименований, основных выводов и приложений. Основная часть работы изложена на 120 страницах, содержит 12 таблиц и 26 рисунков.

Выводы

1. Механические свойства основания и различные виды граничных условий на контуре существенно влияют на изгиб ортотропных плит переменной жесткости.

2. Проведенный сравнительный анализ типов аппроксимации функции жесткости в сеточных узлах показал, что осреднение жесткостей при формировании конечно-разностных уравнений в полуцелых узлах наиболее эффективно.

3. Проведенный сравнительный анализ результатов для плит с переменным коэффициентом жесткости и плит постоянной толщины того же объема свидетельствует о влияние на напряженно-деформированное состояние плиты упругого основания.

ГЛАВА 4. ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ И РЕЗУЛЬТАТЫ АПРОБАЦИИ РАЗРАБОТАННЫХ МОДЕЛЕЙ И АЛГОРИТМОВ

ЧИСЛЕННОГО АНАЛИЗА

4.1 Структура и состав программного комплекса моделирования и анализа прямоугольных плит

На базе разработанного алгоритма численного анализа разработан программный комплекс [82,83] "81МО!1Т". Данный комплекс предназначен для анализа напряженно-деформированного состояния ортотропных прямоугольных плит переменной и постоянной жесткости, контактирующих с упругими основаниями. А также реализует различные сочетания закрепления контура плиты, направление осей ортотропии материала, изменения механических свойств материала плиты и вида поперечной нагрузки. Многоуровневая структура программного комплекса представлена на рис. 4.1.

Рис 4.1 Структура программного комплекса численного анализа моделей ортотропных плит на упругом основании

75

В состав программного комплекса входят:

РИ-ОСТВ - основной модуль, в котором производится обращение ко всем обеспечивающим модулям. Он предназначен для вычисления прогибов прямоугольных плит, лежащих на упругих неклассических основаниях, при различном закреплении контура и вида нагрузки. К обеспечивающим модулям относятся:

- модуль - подпрограмма формирования равномерной сетки в прямоугольной области. Входными параметрами являются: размеры плиты, шаги и число точек по осям ОХ и ОУ, количество узлов сетки;

- модуль РОКМБУ - формирует квадратную матрицу системы конечноразностных уравнений;

- модуль КОШВ - формирует числовые коэффициенты матрицы в зависимости от номера узла, связанные с реакцией основания;

- модуль К01РВ1 - осуществляет расчет числовых коэффициентов матрицы, связанных с реакцией основания;

- модуль КОШВК — обеспечивает расчет коэффициентов жесткости и вторых коэффициентов постели основания в узлах сетки;

- модуль ВЬРЬ - формирует матрицу влияния, в' зависимости от выбранной модели основания;

- модуль РБОБ - формирует правую часть системы уравнений с учетом сосредоточенной нагрузки, действующей на плиту;

- модуль РЯА8 - формирует правую часть системы уравнений с учетом распределенной нагрузки, действующей на плиту (в процессе работы требует обращения к модулю РОК);

- модуль РОК - вычисляет коэффициенты для учета интенсивности равномерно распределенной нагрузки в предконтурных узлах. Кроме того, в программном комплексе используются стандартные подпрограммы:

81МС> - подпрограмма, решающая систему уравнений методом Гаусса; РАСТЯ, ЯЭЬМС - подпрограммы, итерационно уточняющее решение, полученное методом Гаусса; БЕСОМР - вычисляет число обусловленности матрицы системы конечноразностных уравнений. На рис. 4.2 представлена структурная схема алгоритма взаимодействия моделей программного комплекса в процессе анализа вариантов ортотропных конструкций.

Практика работы с данным программным комплексом показала, что такая его организация достаточно удобна для пользователя.

4.2 Пользовательский интерфейс

Пользовательский интерфейс позволяет осуществлять ввод следующих параметров:

М, N - количество узлов сетки по оси X и У соответственно; KYZ - общее количество узлов сетки; КУ - количество узлов расширенной сетки;

А, В, Н, Н1 - геометрические параметры плиты: длина, ширина, высота (в метрах );

Ж - параметр, указывающий, какой вид нагружения принят при расчете плиты: если 111=1, то производится расчет плит для сосредоточенной нагрузки, если т=3, то производится расчет для распределенной нагрузки; если 111=2, расчет ведется для сосредоточенной и распределенной нагрузки одновременно;

Рис. 4.2 Структурная схема алгоритма взаимодействия модулей программного комплекса

1Э - параметр, принимающий значения 1 и 2. При 18=1 силы и моменты не вычисляются, когда 18=2 силы и моменты вычисляются;

ЕР8 - относительная погрешность вычислений;

РР - сосредоточенная сила, действующая на плиту;

РЫ - распределенная по площади 8 сосредоточенная сила РК=РР/8;

РЫЛ. - равномерная нагрузка, действующая на плиту;

АМиО - коэффициент Пуассона материала основания;

АМШ, АМ112 - коэффициенты Пуассона материала плиты;

ЕО - модуль упругости основания;

Е1, Е2 - модули упругости материала плиты; в - модуль сдвига ортотропного материала плиты, характеризующий искажение углов между главными направлениями.

В результате работы программного комплекса осуществляется анализ распределения прогибов, моментов и поперечных сил в плите при заданной внешней нагрузке и определенных граничных условий.

4.3 Анализ результатов вычислительных экспериментов

Точных решений для рассматриваемой пространственной контактной задачи ни для одной неклассической модели упругого основания нам не известны. Поэтому для оценки сходимости численных решений и иллюстрации возможностей предложенных моделей в работе проведем анализ напряженноI деформированного состояния плит в упругой стадии деформирования, расположенных на простых моделях основания.

Пример 1. Изгиб изотропных шарнирно опертой и защемленной плит.

В работе [80] В.А. Киселевым методом конечных разностей проведен численный расчет изотропной плиты, под действием равномерной нагрузки, без учета влияния упругого основания. В табл. 4.1 приведены результаты расчета перемещений в центре плиты при различной густоте конечно разностной сетки для случаев, когда плита шарнирно оперта по всем четырем сторонам и для плиты с жестким защемлением. Там же для сравнения приведены результаты, полученные В.А. Киселевым на сетке 5x5.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведенные в рамках диссертационной работы исследования в области моделирования процессов контактного взаимодействия в системе «фундаментная плита-основание», под действием внешней нагрузки, позволили получить следующие основные результаты:

- с позиции системной методологии осуществлен анализ существующих подходов к численному моделированию пространственных конструкций на упругом основании.

- разработана комплексная математическая модель анализа контактного взаимодействия в ортотропных средах, применительно к условиям фундаментных плит прямоугольной формы на упругом основании.

- разработана модель и алгоритм численного анализа влияния неоднородности сжимаемой толщи основания на напряженное состояние плиты.

- осуществлен анализ влияния различных граничных условий, вида нагружения, свойств материала плиты и функции влияния, определяющей контактную модель упругого основания на изгиб ортотропных плит.

- предложен алгоритм численного анализа моделей процесса деформации ортотропных плит, позволяющий осуществлять расчет, на основе сглаживания коэффициентов жесткости соответствующих областей.

- разработан алгоритм численного анализа состояния плит переменной геометрии, взаимодействующих с упругими основаниями.

- разработаны средства программного обеспечения модели анализа контактного взаимодействия плит с упругим основанием и осуществлена его апробация в условиях ортотропных фундаментных конструкций, широко применяемых при строительстве промышленных зданий и сооружений, покрытий автомобильных дорог и аэропортов, перекрытий мостовых конструкций и т.д.

1. Горбунов-Посадов М.И. Расчет конструкций на упругом основании/ М.И. Горбунов-Посадов, Т.А. Маликова, В.И. Соломин М.: Стройиздат, 1984. 679 с.

2. Черкасов И.И. Механические свойства грунтовых оснований/ И.И. Черкасов М.: Автотрансиздат, 1958. 238 с.

3. Основания зданий и сооружений: СниП 2.02.01.-83. М.: Стройиздат, 1985.40 с.

4. Пособие по проектированию оснований зданий и сооружений. НИИОСП им. Н.М. Герсеванова. М.:1986. 415 с.

5. Инструкция по проектированию дорожных одежд нежесткого типа. ВСН 46-83. Министерство транспортного строительства СССР. М.:Транспорт, 1985. 157 с.

6. Галин Л.А. Контактные задачи теории упругости и вязкоупругости/ Л.А. Галин М.: Наука, 1980. 304 с.

7. Лурье А.И. Пространственные задачи теории упругости/ А.И. Лурье М.: Гостехиздат, 1955. 491 с.

8. Попов Г.Я. Контактные задачи для линейно — деформируемого основания/ Г.Я. Попов. Киев: Вища школа, 1982. 168 с.

9. Руководство по проектированию плитных фундаментов каркасных зданий и сооружений башенного типа / НИИОСП им.Н.М. Герсеванова. М.: Стройиздат, 1984. 263 с.

10. Соломин В.И Методы расчета и оптимальное проектирование железобетонных фундаментных конструкций/ В.И. Соломин, С.Б. Шматков М.: Стройиздат, 1986. 208 с.

11. Егоров К.Е. К вопросу о деформации основания конечной толщины/ К.Е. Егоров // Тр. НИИОСПа, 1958. Вып. 34. С. 5-33.

12. Филоненко-Бородич М.М. Некоторые приближенные теории упругого основания/ М.М. Филоненко-Бородич //Ученые записки. Москва: МГУ, 1940. Вып. 46. С. 46-54.

13. Филоненко-Бородич М.М. Простейшая модель упругого основания, способная распределить нагрузку/ М.М. Филоненко-Бородич // Сб. тр. МЭМИИТ, 1945. Вып. 53. С. 21-27.

14. Власов В.З. Балки, плиты и оболочки на упругом основании/ В.З. Власов, H.H. Леонтьев М.: Стройиздат, 1960. 305 с.

15. Пастернак П.Л. Основы нового метода расчета фундаментов на упругом основании при помощи двух коэффициентов постели/ П.Л. Пастернак М.: Стройиздат, 1954. 54 с.

16. Клейн Г.К. Учет неоднородности, разрывности деформаций и другие механические свойства грунта при расчете сооружений на сплошном основании/ Г.К. Клейн // Сб. тр. МИСИ, 1956. Вып.14. С. 13-17.

17. Коробов В.М. Об использовании модели упругого основания с двумя коэффициентами постели при расчете плит/ В.М. Коробов // Строит. Механика и расчет сооружений. 1976. №4. С. 47-48.

18. Бородачев Н.М. О возможности замены сложных моделей упругого основания более простыми/ Н.М. Бородачев // Строит. Механика и расчет сооружений. 1975. №4. С. 37-38.

19. Бирман С.Е. Об осадке жесткого штампа на упругом слое, расположенном на несжимаемом основании/ С.Е. Бирман Доклады АН СССР, 1953. Т.93. №5. С. 791-794.

20. Алейников С.М. Пространственная деформация поверхности упругого слоя переменной толщины/ С.М. Алейников, C.B. Иконин // Основания, фундаменты и механика грунтов. 1990. №5. С. 21-23.

21. Рекомендации по расчету осадок и кренов прямоугольных фундаментов на клиновидном основании // М.: НИИОСП Госстроя СССР, 1985. 29 с.

22. Раппопорт P.M. Задача Буссинеска для слоистого упругого полупространства/ P.M. Раппопорт //Тр. Ленинградского политехнического института. 1948. Вып.5. С.3-18.

23. Дураев А.Е. Расчет конструкций на грунтовом основании с возрастающим по глубине модулем деформации/ А.Е. Дураев Саранск: Изд-во Мордовского ун-та, 1991. 192 с.

24. Алейников С.М. Метод граничных элементов в контактных задач для упругих пространственно неоднородных оснований/ С.М. Алейников М.: Изд-во «АСВ», 2000. 754 с.

25. Коренев Б.Г. Вопросы расчета балок и плит на упругом основании/ Б.Г. Коренев М.: Госстройиздат, 1954. 245 с.

26. Горлов A.M. Автоматизированный расчет прямоугольных плит на упругом основании/ A.M. Горлов, Р.В. Серебряный М.: Стройиздат, 1968. 208 с.

27. Варвак А.П. Балки на упругом основании и сваях/ А.П. Варвак // Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1963. №8. С. 12-14.

28. Варвак П.М. Метод сеток в задачах расчета строительных конструкций/ П.М. Варвак, Л.П. Варвак М.: Стройиздат, 1977. 154 с.

29. Коренев Б.Г. Расчет плит на упругом основании/ Б.Г. Коренев, Е.И. Черниговская М.: Стройиздат, 1962. 355 с.

30. Травуш В.И. Об изгибе прямоугольной плиты со свободным контуром на упругом основании/ В.И. Травуш, В.К. Сангаджиев // Строительная механика и расчет сооружений. 1984. №6. С. 37-40.

31. Слизенгер И.Н. К расчету произвольно ортотропных прямоугольных пластин/ И.Н. Слизенгер, Х.Р. Мурсал // Сб. Сопротивление материалов и теория сооружений. 1986. №49. С. 74-77.

32. Смирнов В.А. Расчет ортотропных пластинок, лежащих на упругом основании с переменным в плане коэффициентом постели/ В.А. Смирнов // Прикладная теория упругости. Межвуз. науч. сб. Саратовск. политех, ин-та. 1983.С. 12-21.

33. Корунский B.C. Расчет плит на грунтовом основании/ B.C. Корунский //Сб. Сопротивление материалов и теория сооружений. Киев: «Буд1вельник», 1972. Вып. XVII. С. 56-62.

34. Киселев В.А. Расчет пластин/ В.А. Киселев М.: Стройиздат, 1973.151 с.

35. Даревская Е.В. Изгиб защемленной по краям прямоугольной пластинки, лежащей на упругом основании с двумя характеристиками/ Е.В. Даревская //Строительная механика и расчет сооружений. 1980. №5. С. 25-30.

36. Зайденберг А.И. Расчет жестких пластин на упругом двухпараметрическом основании методом начальных параметров/ А.И. Зайденберг, Ю.И. Канышев // Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1987. №8. С. 35-41.

37. Соломин В.И. Расчет прямоугольных пластин на упругом полупространстве методом сеток / В.И. Соломин // Строительная механика и расчет сооружений. 1960. №6. С. 12-17.

38. Соломин В.И. К расчету фундаментных плит на нагрузки, приложенные вблизи угла/ В.И. Соломин // Строительная механика и расчет сооружений. 1963. №2. С. 6-11.

39. Новотны Б. Прямоугольная плита на упругом полупространстве/ Б. Новотны, А. Ганушка // Stavebn. Cas., 1987, с. 5, р. 359-376.

40. Некрасова H.H. Численный метод расчета плит на упругом полупространстве/ H.H. Некрасова // Материалы 47-й науч.-тех. конф. Воронеж: ВИСИ. 1994. С. 18-21.

41. Aleynikov S.M. Contact problem for ortotropic faundation stabs with consideration on deformation peculiarities of spatial and nonhvomogeneous bases/ Aleynikov S.M., Nekrasova N.N. //Studia Geotehnica et Mechanica, V.20, №1-2, p.63-104, 1998.

42. Соломин В.И. Расчет прямоугольных плит, опирающихся на упругий слой конечной мощности/ В.И. Соломин, В.Н. Широков, Э.А. Комаров // Основания, фундаменты и механика грунтов. 1968. №4. С. 34-36.

43. Алейников С.М. Пространственная контактная задача изгиба пластин на упругом неклассическом основании/ С.М. Алейников, М.Д. Гончаров, H.H. Некрасова//Труды XVI межд. конф. по теории оболочек и пластин. Н-Новгород. Нижегор. ун-т, 1994. Т.З. С. 8-13.

44. Алейников С.М. Изгиб ортотропных фундаментных плит, расположенных на упругих неклассических основаниях/ С.М. Алейников, H.H. Некрасова//Известия ВУЗов: Строительство, 1996. №9. С.55-60.

45. Клепиков С.Н. Расчет балок на нелинейно-деформируемом винклеровском основании/ С.Н. Клепиков // Основания, фундаменты и механика грунтов. 1972. №1. С. 8-10.

46. Коваленко А.Д. Круглые пластины переменном толщины/ А.Д. Коваленко М.: Физматгиз, 1959. 235 с.

47. Гришин В.А. Расчет круглой пластинки переменной толщины, лежащей на неоднородном упругом основании/ В.А. Гришин // Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1969. № 12. С. 44-48.

48. Лебедев Д.Ф. Круглая плита переменной толщины на упругом полупространстве/ Д.Ф. Лебедев, Б.М. Нуллер // Механика твердого тела. 1976. № 5. С. 39-44.

49. Коренева Е.Б. Применение метода начальных параметров к задаче об антисимметричном изгибе круглой пластины с жесткостью, изменяющейся по квадратичному закону/ Е.Б. Коренева // Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1978. № 9. С. 41 46.

50. Коренева Е.Б. Об одном приближенном методе расчета круглых ортотропных пластин линейно-переменной толщины/ Е.Б. Коренева // Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1991. № 8. С. 26 29.

51. Жил яков Я.Г. Изгиб пластинки переменной жесткости/ Я.Г. Жиляков // Исследование механического сопротивления материалов и конструкций. Белгородский технл. ин-т строительных материалов. М. 1978. В. 28. С. 12- 16.

52. Литвинов В.Г. Задача изгиба пластин переменной толщины/ В.Г. Литвинов // Прикл. мех. Киев, 1975. Т. XI. Вып. 5. С. 54 61.

53. Смирнов В.А. Численное интегрирование дифференциальных уравнений в частных производных для пластин переменной жесткости/ В.А. Смирнов // Исследования по теории сооружений. 1977. Вып. 23. С. 133 139.

54. Мельников Ю.А. Анализ изгиба пластин переменной толщины методом функций Грина /Ю.А. Мельников, В.В. Шубенко// Гидроаэродинамика и теория упругости. Математические методы в теории упругости и гидроаэромеханики. Днепропетровск, 1988. С. 96 101.

55. Юрьев А.Г. Изгиб пластинок переменной жесткости на упругом основании/ А.Г. Юрьев, H.A. Смоляго //Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1978. № 10. С. 44 47.

56. Юрьев А.Г. Расчет пластинок переменной жесткости на упругом основании/ А.Г. Юрьев, H.A. Смоляго // Исследование механического сопротивления материалов и конструкций / Белгородский технл. ин-т строительных материалов. 1978. Вып. 28. С. 17 32.

57. Юрьев А.Г. Изгиб прямоугольной пластинки при нелинейном физическом законе/ А.Г. Юрьев // Исследование механического сопротивления материалов и конструкций. Белгородский технл. ин-т строительных материалов. М. 1977. Вып. 24. С. 9-26.

58. Деркач В.Ф. Расчет тонких плит ступенчато-переменной толщины на упругом полупространстве/ В.Ф. Деркач // Расчет конструкций подземных сооружений. Киев. Буд1вельник, 1976. С. 47-55.

59. Клепиков С.Н. Изгиб ортотропной плиты переменной жесткости на нелинейно-деформируемом смещающемся основании/ С.Н. Клепиков, Т.А. Маликова // Тр. НИИ оснований и подземных сооружений. 1982. Вып. 73. С. 15 19.

60. Ээк Р.Н. Расчет ортотропных пластинок переменной толщины методом сеток/ Р.Н. Ээк, Р.К. Ряямет // Труды Таллинского политех, ин-та. Талин, 1984. №575. С. 13-21.

61. Алейников С.М. Изгиб ортотропных плит переменной жесткости на упругих неклассических основаниях/ С.М. Алейников, H.H. Некрасова// Тезисы доклада 61-й научно—техн. конференции. Новосибирск, 2004. С. 10.

62. Канторович Л.В. Приближенные методы высшего анализа/ Л.В. Канторович, В.И. Крылов. М.-Л.: ГИТТЛ, 1952. 696 с.

63. Мекиладзе Ш.Э. Некоторые задачи строительной механики/ Ш.Э. Мекиладзе. М. -Л.: ОГИЗ, 1948. 291 с.

64. Самарский A.A. Теория разностных систем/ A.A. Самарский М.: Наука, 1977. 656с.

65. Самарский A.A. Теория разностных схем/ A.A. Самарский М.: Наука, 1977. 656 с.

66. Ляв А.Е. Математическая теория упругости/ А.Е. Ляв М.: ОНТИ, 1935. 674 с.

67. Огибалов П.М. Оболочки и пластины/ П.М. Огибалов, М.А. Колтунов М.: Изд-во Москов. ун-та, 1969. 696 с.

68. Тимошенко С.П. Пластинки и оболочки/ С.П. Тимошенко, С.М. Войновский-Кригер: Наука, 1966. 635 с.

69. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки/ С.Г. Лехницкий М.Л.: Гостехиздат, 1947. 355 с.

70. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела / С.Г. Лехницкий М.: Наука, 1977. 408 с.

71. Киселев В.А. Расчет пластин/ В.А. Киселев М.: Стройиздат, 1973.151 с.

72. Кончковский 3. Плиты. Статические расчеты/ 3. М. Кончковский: Стройиздат, 1984. 480 с.

73. Алейников С.М. Программа "ORTOPLIT" расчёта ортотропных фундаментных плит переменной жесткости на упругих неклассических основаниях/ С.М. Алейников, H.H. Некрасова // Компьютерные учебные программы и информации. М., 2002.

74. Бурковский В.Л., Некрасова H.H. Программный модуль «SIMORT» расчета ортотропных плит с переменным коэффициентом жесткости на упругих основаниях. ГОСФАП, № 5020110087 от 10.01. 2011 г.

75. Справочник проектировщика (расчетно теоретический). М.: Стройиздат, 1960.

76. Справочник по теории упругости/ Под ред. Варвака П.В. и Рябова А.Ф.Киев: «Буд1вельник», 1971. 420 с.

77. Карпенко Н.И. Теория деформирования железобетона с трещинами/ Н.И. Карпенко М.: Стройиздат, 1976. 204с.