автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Напряженное состояние ортотропных оболочек вращения при контактном взаимодействии

РГБ ОД

1 6 ПИТ 1335

на правах рукописи

ЕМЕЛЬЯНОВ ИГОРЬ ГЕОРГИЕВИЧ

НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ОРТОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ ПРИ КОНТАКТНОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ

05.23.17- строительная механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора технических наз'к

Екатеринбург • 1995

Работа выполнена в Институте машиноведения УрО РАН и Научно-инженерном центре "Надежность и>' ресурс больших систем машин" УрО РАН

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Ю.П. Артюхин

академик HAH Украины, доктор технических наук, профессор Я.М. Григоренко

академик Российской академии архитектуры и строительных наук, доктор технических наук, профессор В.И. Соломин

Ведущая организация: Казанский государственный технический

университет им. А.Н. Туполева

Защита состоится "26" окпь. 1995г. в 1к ч в ауд. С" 20 учебного корпуса на заседании специализированного совета Д 063.14.08 при Уральском государственном техническом университете, 620002, г.Екатеринбург, К-2, УГТУ-УПИ, тел. 448-574

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Уральского государственного технического университета

Автореферат разослан "2ьп с&мгл, 1995р.

Ученый секретарь специализированного совета,

кандидат технических наук, доцент ~------ В.Н. Алехин

ОБШАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертационная работа посвящена разработке подхода по определению напряженно - деформированного состояния ортотропных оболочек вращения при их контактном взаимодействии с .учетом одностороннего характера контакта и исследовании не ого основе ряда контактных задач.

Актуальность работы. При проектировании ответственных деталей в машшостроении, авиа, судостроении и других отраслях техники широко используются тонкостенные элементы в виде оболочек. Требование снижения материалоемкости конструкций, с обязательным обеспечением необходимой прочности и надежности, выдвигают в число актуальных вопросы, связанные с исследованием наиболее сложных условий работы тонкостенных конструкций, типа упругого контакта. Вообще говоря, все задачи строительной механики всегда, в той или иной степени, являются задачами контактного взаимодействия, поскольку любая реальная конструкция представляет совокупность взаимодействующих деталей.

С конструкционной точки зрения контактные задачи это цистерны на ложементах, это подкрепляющие элементы стрингера, нервюры, шпангоуты в летательных аппаратах и кораблях, это трубопроводы на опорах, многослойные оболочки и многое другое.

С математической точки зрения, если рассматривать взаимодействующую оболочку с жестким телом, то напряженное состояние подчинено системе дифференциальных уравнений, з правую часть которых входит неизвестное контактное давление. Данную систему дополняют краевыми условиями и условием непроникновения основания в тело оболочки. Решением контактных задач является определение контактного давления, области контакта и компонент напряженного состояния. Если область контакта не задана, то задача конструкционно нелинейна.

Необходимо отметить, что контактные задачи теории оболочек имеют особенности по сравнению с контактными задачами теории упругости. Поскольку з них вопрос выбора теооии оболочек является нетривиальным. Конечный результат оказывается существенно зависящим от исходной теории, описывающей оболочку. ■

Современная научная литература располагает огромным количеством работ, посвященных как вопросам общей теории оболочек, так и различным задачам расчета конкретных оболочек.

Основным теоретическим результатам, полученным в теории оболочек, посвящены известные монографии В.З.Власова, А.Л.Гольденвейзера, А.И.Лурье, В.В.Новожилова, С.П.Тимошенко, К.Ф.Чврных, W.Flügge,

A.Love, P.M.NagMi, E.Reissner и других авторов.

Вопросам изучения напряженно - деформированного состояния оболочек при различных силовых и температурных воздействиях посвящены исследования Ю.П.Артюхина, Л.И.Балабуха, В.Л.Бидермана, И.А.Виргера, В.В.Болотина, Я.М.Григоренко, Ю.П.Жигалко, Б.Я.Кантора, А.В.Кармишина, А.Д.Коваленко, М.А.Колкунова,

B.И.Мяченкова, Ю.Н.Новичкова, П.М.Огибалова, В.Н.Паймушина, В.В.Пикуля, Я.С.Подстригача, И.Г.Терегулова, С.А.Тимашева,

B.И.Феодосьева и других аторов.

Внедрение в инженерную практику композиционных материалов приводит к необходимости дальнейших разработок методов расчета оболочек. Важное значение в развитии теории и методов решения анизотропных пластин и оболочек внесли работы Н.А.Алфутова,

C.А.Амбарцумяна, ■ В.А.Баженова, В.В.Болотина, А.Т.Василенко, В.В.Васильева, Е.А.Гоцуляка, Э.И.Григолюка, Я.М.Григоренко, В.И.Гуляева, П.А.Зиновьева, В.И.Королева, С.Г.Лехницкого, И.Ф.Образцова, О.М.Палия, В.Г.Пискунова, Б.Г.Попова,

A.О.Рассказова, В.А.Родионовой, В.Е.Спиро и других авторов.

В настоящее время решение контактных задач характеризуется многообразием используемых теорий оболочек и методов их решений. Основные успехи- в этой области исследований освещены в монографиях В.М.Александрова и С.М.Мхитаряна, Э.И.Григолюка и

B.М.Толкачева, Б.Я.Кантора, В.И.Моссаковского, В.С.Гудрамовича и Е.М.Макеева,' Б.В.Нерубайло, Б.Л.Пелеха и М.А.Сухорольского, Б.Л.Пелеха, А.В.Максимука и И.М.Коровайчука.

Основные подходы, методы и направления исследований, использующиеся при решении контактных задач теории оболочек, а также обширная библиография и перспективные направления исследований приведены в монографии И.Ф.Образцова, Б.В.Нерубайло и В.П.Ольшанского.

При исследовании контактных задач оболочек вращения при осесиммэтричном взаимодействии необходимо отметить работы В.М.Александрова, М.В.Блоха, Т.Л.Богатыренко, Б.Я.Кантора, Т.Н.Карпенко,' Е.М.Макеева, О.Я.Цукрова, D.Frederick, L.M.Keer, S.V.Kulkarni, ii.Malsubara, D.P.Updike, Y.Yamomoton др.

Работы Ю.П.Артюхина, Л.В.Божковой, Э.И.Григолюка,

В.С.Гудрамовича, С.Н.Карасева, Г.К.Клейна, В.И.Моссаковского, Т.П.Паненковой, Б.Л.Пелеха, Г.Я.Попова, М.А.Сухорольского, В.М.Толкачева, R.Dore, V.Krupka, R.Viner и других посвящены определению контактного взаимодействия для оболочек вращения в окружном направлении.

С позиции контактных задач рассматривалась проблема многослойных оболочек в работах А.Н.Андреева, В.А.Баженова, В.В.Болотина, Е.А.Гоцуляка, И.П.Железко, Н.И.Ободана, Б.Л.Пелеха, М.А.Сухорольского, Z.Q.Clien, G.J.Simitses, W.Yin и др.

Традиционные методы, применяемые при решении этих задач, это метод сопряжения решений дифференциальных уравнений, метод редуцированных „систем, вариационных неравенств, различные релаксационные процедуры.

При решении задач аналитическими методами чаще всего используется метод приведения задачи к интегральным уравнениям Фредгольма первого рода.

Если интегральное уравнение получено в рамках гипотез Кирхгофа-Лява, то оно имеет лишь обобщенное решение: контактная реакция представляет собой сосредоточенные на границе области контакта силы.

Контактную задачу теории оболочек можно сделать математически корректной методами регуляризации, сущность которых заключается в переходе от уравнений Фредгольма первого рода к уравнениям второго рода. В контактных задачах получили распространение метода физической регуляризации, которые основаны на уточнении физической постановки задачи. Один , из них заключается в том, что в зоне контакта вводится упругий слой, учитывающий реальные свойства микрогеометрии контактирующих поверхностей. В данном подходе параметр регуляризации определяется экспериментально и характеризует свойства поверхностей. Другой метод физической регуляризации основан на учете в области контакта обжатия оболочки по толщине. Учет изменения расстояния между срединной и внешней поверхностями под действием контактного давления дает необходимый вклад в интегральное уравнение и приводит его к уравнению второго рода.

Однако вследствие возникновения математических трудностей при решении конкретных задач возникает некоторый разрыв мезду теорией и практическим применением этих решений.

Необходимо отметить, что значительно меньше публикаций

посвящено контактному взаимодействию мевду тонкостенными конструкциями. Рассмотрены- лишь частные задачи взаимодействия оболочек по известным областям контактирования, либо по неизвестным областям в одном направлении с ограниченными видами граничных условий?'

Предлагаемая работа посвящена разработка и применению нового подхода для решения контактных задач оболочек. Понятие конечных элементов, введенное Тернером в 1956 году, позволило создать мощный инструмент при решении огромного числа задач механики. "'В какой-то мере, аналог конечного элемента, понятие контактной площадки [12], в последствии контактного элемента, позволило решить ряд важных прикладных задач.

Предлагаемый подход 'к решению контактирующих оболочек обладает универсальностью. Он позволяет использовать стандартные процедуры расчёта неконтактирующих оболочек, т.е. путем введения неклассических моделей оболочек с одной стороны и учетом упругих свойств прокладок и микрогеометрии поверхностей оболочек с другой стороны, позволяет физически уточнять задачу, т.е. проводить .процедуры, аналогичные процедурам регуляризации. Подход базируется на хорошо апробированном численном методе анализа напряженного состояния оболочек, построенном на сведении краевой задачи к ряду задач Коши с ортогонализацией по С.К.Годунову. '.,., Цель работы состоит в:

-разработке общего метода решения контактных задач для оболочек вращения, в результате которого определяются неизвестная е одном или в двух направлениях область контактирования, контактное давление и напряженно-деформированное состояние оболочечных конструкций;

-обобщении предложенного метода на контактные задачи для оболочек, подверженных пульсирующим нагрузкам ' с учетом сил инерции и демпфирования, и на многослойные оболочки, каждый слой которых подчинен своим кинематическим гипотезам;

-построении и реализации на ЭВМ алгоритма численного решения, указанного класса задач;

-теоретической и экспериментальной оценке достоверности результатов, полученных при решении задач;

-изучении влияния геометрических и физико-механических параметров элементов оболочечных конструкций на распределение контактных давлений и на напряженно-деформированное состояние.

Научная новизна работы заключается :

-в разработке общего метода решения контактных задач для оболочек вращения, в результате которого определяются область контактирования,. контактное давление и напряженно-деформированное состояние оболочечных конструкций, при условиях, наиболее полно отражающих геометрию реальных объектов и физико-механические свойства материалов;

-в обобщении предложенного метода на контактные задачи для оболочек, подверженных пульсирующим нагрузкам, с учетом сил инерции и демпфирования, и на контактные задачи многослойных оболочек, каждый слой которых подчинен своим кинематическим гипотезам;

-в построении и реализации на ЭВМ алгоритма численного решения, указанного класса контактных задач;

-в теоретическом и экспериментальном обосновании полученных результатов, в анализе характера и изменения контактного давления и напряженно-деформированного состояния в зависимости от различных параметров.

Достоверность, полученных в работе результатов, обеспечивается применением как обоснованных математических методов, проведением численных расчетов с достаточной и контролируемой с помощью различных индуктивных приемов оценок точности, так и сравнением с экспериментальными данными и результатами, полученными другими авторами.

Практическая ценность работы заключается в решении важного в прикладном отношении класса контактных задач, а также в том, что разработанный алгоритм расчета, контактирующих оболочек вращения, реализован в виде проблемно-ориентированных вычислительных комплексов для ПЭВМ, применение которых может быть использовано на предприятиях и в научно-исследовательских организациях для решения ряда практических задач.

Внедрение результатов. На основе разработанного подхода проведено исследование напряженно-деформированного состояния ряда реальных оболочечных конструкций, находящихся в условиях контактного взаимодействия. Разработанные в диссертации методики и способы их реализации получили' внедрение в практике машиностроительного производственного объединения. Некоторые исследования, результаты которых приведены в диссертации, выложены по заданиям Бвдущих предприятий страны.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы доложены автором на VI и IX Всесоюзной школе "Расчет и управление' надежностью больших механических систем" (г.Тернополь, 1986г.;

г.Геленджик, 1992г.), на X конференции молодых ученых Института -механики АН УССР (г.Кийлез, 1986г>, ль конференции молодых ученых "Совершенствование методов расчета, проектирования и монтажа строительных конструкций" (г.Свердловск,1936г.), на. семинаре отдела ЦАГИ (г.Жуковский, 1987г.), на семинаре) по механике' твердого деформируемого тела МАШ под руководством чл.-корр. 'АН СССР Э.И.Григолша (г.Москва, 1937г.), нз научно - технической конференции "Пространственные конструкции ь совремэннбм-строительстве" (г.Свердловск, 1987г.), на семинарах отдела вычислительных методов Института механики АН УССР (г.Киев, 1984-1987гг.), на семинаре по научному направлению "Строительная механика оболочечных систем" Института механики АН УССР (г.Киев, 1987г.), на Всесоюзной конференции "Современные проблемы строительной механики и прочности летательных аппаратов" (г.Казань 1988г.), на Всесоюзном совещании-семинаре молодых ученых "Актуальные проблемы механики оболочек" (г.Казань, 1988г.),на III Всесоюзной конференции по нелинейной теории упругости (г.Сыктывкар, 1989г.), на IV Всезоюзной конференции "Смешанные задачи механика деформируемого тела" (г.Одесса, 1989г.), на XI Всесоюзной конференции "Численные метода решения задач теории упругости и пластичности" (г.Волгоград, 1989г.), на XV Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин (г.Казань, 1990г.), на Всесоюзной научно- технической конференции "Обобщение опыта и разработка перспектив применения полимерных материалов в конструкциях судостроительного назначения и смешанных отраслей" (г.Феодосия, 1990г.), на семинаре "Теоретические и прикладные проблемы механики деформируемого твердого тела" под руководством

д.т.н., проф. В.Л.Колмогорова (г.Екатеринбург, 1990г.), на Седьмом Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (г.Москва, 1991г.), на 1У симпозиуме "Прочность материалов и элементов конструкций при сложном напряженном состоянии (г.Севастополь, 1992г.), на IV Всесоюзной школе молодых ученых "Численные методы механики сплошной • среды" (п.Абрау-Дюрсо, 1992г.) на семинарах Научно-инженерного центра "Надежность и ресурс больших систем машин" УрО РАН под руководством д.т.н., проф. С.А. Тимашева (г.Екатеринбург, 1989-1992гг.).

В законченном виде диссертационная работа докладывалась и обсуждалась на семинаре "Нелинейные задачи математической физики" Института математики и механики РАН под руководством академика РАН А.Ф.Сидорова (г.Екатеринбург, 1993г.), на семинаре по научному направлению "Строительная механика оболочечных систем" Института механики АН Украины под рукововодством академика АН Украины Я.М.Григоренко (г.Киев, 1994г.), на семинаре "Теоретические и прикладные проблемы механики деформируемого твердого тела" Института машиноведения УрО РАН под руководством чл.-корр. РАН В.Л.Колмогорова (г.Екатеринбург, 1994г.), на общеинститутском семинаре по механике Института механики АН Украины под руководством академика АН Украины А.Н.Гузя (г.Киев, 1994г.), на семинаре по научному направлению "Механика оболочек и пластин" Казанского государственного университета под руководством д.ф.-м.н., проф., академика АН РТ Ю.Г.Коноплева (г.Казань, 1994г.) на кафедре строительной механики Уральского государственного технического университета (г.Екатеринбург, 1995г.), на заседании Ученого совета Научно-инженерного центра "Надежность и ресурс больших систем машин" УрО РАН (г.Екатеринбург, 1995г.), на заседании Ученого совета Института машиноведения УрО РАН (г.Екатеринбург, 1995г.).

Публикации. По результатам исследований, выполненных в диссертации, опубликовано двадцать три работы.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, шести глав, заключения, библиографического списка и приложения. Общий объем диссертации составляет 273 страниц машинописного текста, включающих 63 страниц рисунков, 24 страниц таблиц, 21 страниц списка использованной литературы.

Автор глубоко признателен научным консультантам д.ф.-м.н., проф. А.Т.Василенко и д.т.н., проф. С.А.Тимашеву за ценные советы и постоянное внимание к работе.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность рассматриваемого в работе вопроса; приводится краткий обзор работ, посвященных

■ С) -

разработке как общих вопросов теории и методов расчета изотропных и анизотропных оболочек, так и работы по основной проблематике контактных задач теории оболочек; сформулирована . цель исследования; указаны научная новизна 'и практическая . ценность работы; дано краткое изложение диссертации.

В первой главе работы дана общая математическая постановка контактных задач для взаимодействующих оболочек.

Предполагается, что рассматриваемые оболочки подчинены теории малых деформаций, линейному"обобщенному закону Гука для неоднородных анизотропных материалов, действуют нулевые начальные напряжения и деформации, постоянное поле температур, контакт происходит без трения и проскальзывания. При существовании первоначального зазора между оболочками А, он не должен превышать в области контакта толщины оболочки, поскольку рассматривается геометрически линейная модель оболочки. Минимальная величина внешнего нагружения Р должна быть такова, чтобы линейные размеры области контакта были больше толщины оболочки, а максимальная величина такова, чтобы можно было использовать геометрически и физически линейную модель оболочки.

Решение рассматриваемых контактных задач состоит в нахождении распределения контактного давления, области контактирования, и в определении напряженно-деформированного состояния, рассматриваемых оболочечных конструкций.

Исходная система дифференциальных уравнений равновесия двух контактирующих оболочек в операторном виде имеет вид

(1) -(1) -(1) Ь X = Г ч^Ш

(2) -(2) -(2) Ь У = 1

\ (сх.р € П+)=1, X (а,р £ П+)=0,

В скобках указан номер оболочки. Здесь ъ- матричный дифференциальный оператор У-искомый вектор разрешающих функций, вектор функция внешней распределенной нагрузки, д-неизвестное контактное давление, П+-область контактирования, М-столбец, элемент которого отвечающий уравнению равновесия в проекции на нормаль к поверхности равен единице , а остальные нулю. Система (I) должна быть дополнена граничными условиями для двух контуров а=а0 и а=а^

(1) -(1) -(1) (1) -(1) -(1)

* Ч>=Ь1 • В2 Т <аЬ)=Ь2 ■ 1=1'2

)

где В-заданные матрицы размерностью п * п/2; п = порядок разрешающей системы уравнений, описывающей оболочку; ,Ь-заданные векторы.

Для того, чтобы замкнуть задачу, уравнения (I) и (2) необходимо подчинить условиям непроникновения для каждой точки .

= 0, • (3)

Ч 2 О, А 0.

Условие совместности перемещений в обычной форме тможно представить

-*(1) *(2) (4)

■к

Здесь - перемещения сопряженных точек обеих оболочек в направлении внешней нормали, А^ - первоначальный зазор.

Поскольку любая оболочка является физически трехмерным объектом, а любая теория оболочек сводит их расчет к двумерной задаче, то в общем случае для многих моделей оболочек разрешающая система уравнений в частных производных в системе главных кривизн а,|3 имеет следующий вид

31 4 . Л -

Здесь, матрицы А зависят от геометрических и механических характеристик.Компоненты вектора 1 определяются нагрузками и интегральными характеристиками температурного поля, размерность вектора У и порядок уравнений т зависят от выбранной модели оболочки.

Учитывая (I) и (4), система дифференциальных уравнений, описывающая контактное взаимодействие двух оболочек, запишется следующим образом

(ЗУ(1) 4 (1) Л -(1) 1

— = 2 А (а,р)-т + Г(а,р) - (-1) 1=1,2. (6)

5а т=0 ш 5(Зга

Данная система дополняется условиями (2) и (4).

Поскольку в системе (5) q - функции двух координат, данная система описывает класс двумерных контактных задач. При принятии

допущений на характер распределения контактного давления в одном из направлений задача становится с одной' фиксированной координатой для ч и уравнения, описывающие подобную задачу, будут описывать класс одномерных контактных задач.

В данной работе будем рассматривать оболочки, описывающиеся классической моделью. В общем случае рассматриваются оболочки вращения из произвольного числа ортотропных слоев с переменными физико-механическими параметрами вдоль меридиана. Предполагается, что материал оболочки подчиняется обобщенному закону Гука, перемещения малыш по сравнению с толщиной, а углы поворота - по сравнению с единицей. Граничные условия на контурах оболочки могут формулироваться в усилиях и моментах, в перемещениях и в смешанном виде. Для оболочек, базирующихся на гипотезе недеформируемых нормалей Кирхгофа-Лява, система (5) будет определяться системой дифференциальных уравнений в частных производных восьмого порядка. Представление искомых функций, компонент поверхностной нагрузки в виде разложений в ряды Фурье по окружной координате 9 позволяет разделить переменные, после чего перейти к системам обыкновенных дифференциальных, уравнений с переменными коэффициетами, описывающим несимметричную деформацию

йУ

— = Ак(8)Ук + Гк(8), (к=0,1,2.......), (7)

(1з

где У = Шх, Я2, £, М8, Их, и2, V, -ев},

N.. N - 'радиальное и осевое усилия; и_, и- аналогичные

А Ъ, л. А 2

перемещения, Б - сдвигающее усилие; М - меридиональный изгибающий момент; V - Окружное перемещение; -в - угол поворота нормали.

Вторая глава посвящена разработке общего численного метода для одномерных, т.е. с фиксированным размером области контакта в меридиональном направлении, контактных задач. На рис. I показана конструктивная схема одной из возможных задач о контакте оболочки с-жестким ложементом. На примере этой задачи рассматривается предлагаемый подход. Длину области контакта по окружности 2г0 разобьем на контактные элементы длиной а0. Предполагается, что контактное давление постоянно вдоль меридиана, а связь между оболочкой и ложементом.осуществляется через неизвестные усилия, приложенные в ряде точек области контакта. Это позволяет рассматривать усилия взаимодействия как поверхностную нагрузку, приложенную на некоторых участках оболочек, и, таким образом,

сводить контактные задачи к интегрированию системы дифференциальных уравнений, описывающей деформацию несимметрично нагруженных оболочек вращения.

Поскольку контактную нагрузку вдоль окружности можно представить определенным количеством неизвестных абсолютно жестких связей, для их определения применяется смешанный метод строительной механики.

Каноническая система уравнений, описывающая условие сопряжения оболочек- на длине 2хв и условие статического равновесия, имеет следующий вид:

n

V 1=1

2 бпХ1 + ВХ, - 2С0561 + йр1 + Ари = О

2 емх. + вхн - гсозек + дрн + дш = о

(8)

1=1

21 ^

2 сове^ - Р = 0,

N 1=1

Здесь - перемещение в основной системе по направлению 1 связи от единичного усилия, введенного по направлению отброшенной 3 связи; гсовб! - перемещение в основной системе по направлению отброшенной I связи, происходящее от единичного перемещения по направлению введенной связи; Лр1 - перемещение по направлению 1 связи, вызванное действием заданной внешней нагрузки на оболочку; Р-внешняя нагрузка, действующая определенным образом на оболочку; Дн1-величина зазора между оболочками по направлению 1 связи; В -оператор, связывающий реактивное усилие 1 точки поверхности основания (прокладки) и ее перемещение; Х1-неизвестные усилия взаимодействия оболочек.

В (8) оператор В является аналогом параметра регуляризации, применяемым в аналитических методах решения контактных задач теории оболочек. При этом будем считать, что оператор Б состоит из двух слагаемых

В = В2, (9)

где В.,- оператор характеризует изменение толщины оболочки за счет обжатия, а В0 - оператор характеризует упругие свойства прокладок. Численное значение 1 оператора В1 может выбираться

различными способами.

При наличии упругих прокладок в рассматриваемой работе будем использовать простейшую модель линейно-деформируемого основания (прокладки), модель Винклера, следовательно,

В2= С-1Р~1

(Ю)

где С-коэффициент постели, Т - площадь контактного элемента.

Учитывая симметрию задачи относительно вертикальной плоскости 6=0 уравнения (8) в первом приближении, примет вид системы линейных алгебраических уравнений

где

ш А -•

СА31 =

11+14+Б

(симм.)

3=1,

13+14 .. • 1м+1м+1 со30.,"

12+15 . • • -^м—1+1м+2 со б 02

11+16+в . •• 1м-2+1м+3 0030^

11+12м+б соб8м

0

(11)

(12)

х1 = (X,...х^ -г)т, тиг,

В1 -

-(ДР1 + ДН1).

Для сглаживания колебаний Гиббса, при численном построении матрицы (12) от локализованных единичных нагрузок, функции влияния б^земеняются кусочно-непрерывной в окрестности каждой 1 точки сплайн-функцией Б^б)

(1) 1 1+1

1=1,...,N . (13)

4 =

х ^(ехю.

ае ±

Учитывая осредненные представления радиальных перемещений (13), суммарное перемещение для задач взаимодействия двух оболочек (рис.2) представляется следующим образом 1+1

1

(1)

(2)

I.

[ X (^(0)- Бк(9))(19 ],

(14)

Таким образом, система (II) при решении задач с двухсторонними связями, т.е. для таких оболочек,- контактное взаимодействие между которыми имеет как положительный, так и отрицательный знак, полностью определяет вектор контактных

давлений (3

- -1 - т

в =и о= 1ч-,.....• (15)

При рассмотрении большинства контактных задач контактное давление в области контакта должно быть неотрицательным q1£Q. Следовательно, усилия связей, соответствующие системе уравнений (II), должны быть односторонними. Следовательно, при существовании зоны отхода с номерами элементов 1=д,...,г выполняются условия Х1>0,

Х^О, (16) Х1>0, 1=г+1.....М.

Для определения тех неизвестных Х1 (1^,..., г), которые необходимо исключить, будем использовать метод последовательных приближений, который заключается в том, что 3 приближение строится, используя предыдущее 3-1, о учетом отсутствия основания (связи) на тех участках, где Х^сО.

Достоверность результатов, соответствующих решению полученной системы, должна подтверждаться свойствами систем с односторонними связями. Перемещение по направлению односторонних связей, невходящих в состав рабочей системы, должны быть положительными. Следовательно, подставив данные решения в первоначальную систему уравнений (II), получил уравнения следующего вида

СА31ХК - Вк= бк, (17)

где вектор невязок 6К в К-ом приближении имеет вид .

бк=|б1 б2... вд....вг... бм 0|£. (18)

Полученный вектор должен обладать следующими свойствами

при Х1>0, 1=1, — ; б1>0 при Х^О, ...,г; (19)

в2=0 при Х^>0, 1=г+1,...,М.

Задача определения напряженно-деформированного состояния

контактирующих оболочек сводится к интегрированию уравнений (7), от изменяющейся по окружности произвольным образом нагрузки. Эта нагрузка q2 складывается из контактной нагрузки q1, определенной на дискретном множестве элементов, и нагрузки от внешних сил р^.

Поскольку функция нагрузки определена на множестве

равноотстоящих элементах, периодическая с периодом 211 и четная, то ее можно разложить в ряд Фурье по косинусам с коэффициентами разложения

2 Г1 „ „„А, 1

1Г

Ь. =0. (20)

2 '¿р к

. - Предложенный подход решения контактных задач можно использовать при исследовании контактной жесткости и прочности слоистых структур, каждый из слоев которой описывается системой уравнений (7). Исходя из рассмотренных представлений об области контакта как набора контактных площадок длиной ае на всей длине по окружности 2х&=2%б., методом сил запишем каноническую систему сопряжения слоев

{1сЬ хг

3=1.

Здесь Х3=|Х1.....ХЫГ, —,

Матрица взаимных смещений слоев имеет вид

(21)

12+13 11+14+Б

12+15

1Н-2+1Ы+2

(симм.)

11+12ы

(22)

Спецификой, рассматриваемых задач для композиционных оболочек, является необходимость моделировать межслойную границу, исходя из реальных условий соединения. Во многих случаях при расчете многослойных оболочек можно допустить, что слои деформируются совместно (идеальный контакт). Однако на практике встречаются и частично соединенные поверхности. Исходя из предлагаемого подхода расчета многослойных оболочек, границу раздела мезду слоями возможно моделировать в виде адгезионных прослоек с различным коэффициентом постели и работой на отрыв.

Следовательно, при ограниченной работе клеевого соединения на

растяжение, задача будет решаться как для системы с

односторонними связями, однако условие поиска (выключение

неработающих связей) имеет вид -1 *

? |Х,| > о., • (23)

*

где ос - предел прочности клеевого соединения, Х^ - отрицательные значения односторонних связей.

Предложенный подход обобщается на задачи Еынуадекных установившихся колебаний. Предполагается, что оболочка нагружена внешними статическими силовыми нагрузками в виде поперечной силы <ЭВН и внутренним воздействием в виде пульсирующего давления р лежит на жестком ложементе. Следовательно, необходимо для каждого момента времени г € ГО, Т] (Т - период воздействия) определить область контакта.

Поскольку на оболочку действует динамическое нагружение, то систему уравнений, описывающую напряженное состояние оболочки от действия статических нагрузок (5), следует дополнить динамическими слагаемыми

ЗУ 4 д^ дн дх

— = 2 Вт -т + М —„ + С— + £ (24)

дв т=о т зэ дгг д1

где элементы матриц М и С определяются инерционными и демпфирующими свойствами оболочки.

Учитывая, что сложный колебательный процесс может быть представлен комбинацией простейших колебаний, рассматриваем нагружения поверхностными нагрузками вида

р = р0+ р^ЗлиЛ + р2собоЛ, (25)

где р0 - статическая составляющая, ш -угловая частота, г-время.

В соответствии с подходом, изложенным ранее, й принимая во внимание представление (25), неизвестные усилия взаимодействия по 1-му контактному элементу запишем следующим образом

ХГ х!°)+ х11)з1пш1: +• Х^созсЛ;. (26)

Тогда каноническая система уравнений, описывающая условия взаимодействия оболочки с жестким телом, может быть представлена в виде

n

+ БХ1 - гсоэв., + Др1 + дЕ1 = о

n

+ ВХК - гсозеи + Ари + Аш = О

•К (О) ХЙ1

1=1 х X ~вн <*е

Здесь

(ОНО) (1) (1) (1) (2) (2) (2)

+5дСоБш1)Х;!_+(ОдСозшг >х1 - (28)

Следовательно, неизвестные усилия взаимодействия находятся решением алгебраических систем уравнений, получающихся из системы (27). Одна из них, имеющая порядок (N+1), соответствует статической составляющей нагружения, а вторая порядка -динамической.

При рассмотрении контакта с двухсторонними связями система (27) будет определять контактное давление в каждый момент времени. При решении задач с односторонними связями неоходимо применять процедуры поиска разрешающей рабочей системы в каждый момент времени.

В третьей главе, разработанный метод решения одномерных контактных задач, обобщается на решение двумерных задач.

Особенностью решаемых задач является исследование размера неизвестной двумерной области контактирования П+ т.е. задачи со свободной границей. Дополним область С+некоторой областью П_ до физически допустимой области С, целиком содержащую свободную границу. Область 0 разобьем на равные участки в окружном и меридиональном нацравлениях. В пределах полученных контактных элементов, учитывая их незначительные размеры, будем считать, что связь между оболочками осуществляется через неизвестные усилия, приложенные в конечном числе точек. Число этих точек равно сумме контактных элементов, составляющих область контактирования П.

Поскольку длина области контакта по меридиану разбивается на ряд колец, подобно системе (8), строится каноническая система уравнений для первого кольца и учитывается влияние оставшихся К-1 колец на первое

N (1) (1) N '(2) (2) N (к) (к) (1) (1) (1) (1)

£ +£ е1± х1 +...+Е 014 Х1 - Z cos91+DX1 +AP1+AR1 =0

1=1

1=1

1=1

N (1) (1) N (2) (2) N (к) (к) (1) (1) (1) (1)

¿ДА g^i^+.-.+Se^X^Z созвЛ +ДрН+Аж=0

N (1) (1)

2 coseiX1 =Р

(29)

Эта система в матричном виде, с учетом симметрии задачи

относительно сечения 9=0, примет вид

С нп н12 ...н1К ]

d ) ЧХ(2)У

{X )

"lh

íx >

и >

ti)

ti)

-Z {O+ÍAp }+{Ar }=0.

(30)

где

Н =

тр

, +W„ +6* D W„ ____ 1 mp 2mp tnp 2mp 3mp Mmp M+1 ,mp

W, +H, +6* D 1 mp 4mp mp WM-1 ,mp+WM+2,mp

( СИММ. ) . .w, +w01, +S* D 1mp 2IÍ,mp mp

(31 )

В матрице (31) введена трехмерная индексация п ш р ( п=1 +2М -номер элемента на окружности, т=1+К - номер кольца, р=1+К - номер кольца, на котором приложена единичная сила ), символ

Кронекера, номер в скобках - номер кольца, Х^.'.Х^./.Х^.Х^11 - вектора неизвестных усилий контактного взаимодействия, М=И/2;

{д£1 Ъ= { Л^ 5.....> - вектор перемещений первого кольца от

действия внешних сил Р; {Д^1)}={ 5.....Д^' ) - вектор

зазоров.

Аналогичным образом составим уравнения сопряжения для всех К колец и сведем в одну систему. 'Таким образом, система, описывающая контактное взаимодействие двумерно контактных задач, будет иметь вид системы линейных уравнений

(k) Y(k)

где

САГ

СН113 [Н1г3 ш21] [Нг£]

[нк,] [нк2]

т т СС) {С)

[Н1к3 сн2к]

[нкк]

{С>

{С>

р (к)

{С)

(33)

(1 ) т 12} Т !к) Т *

Ш,={ {X > {X } ...{X } ъ }

(1 ) Т (2) Т (к) Т

«Вр},^ {Ар ) {Ар ) ...{Ар } О )

(1 ).

(2) Т

(к) Т

{ВН}1=-{ {АЙ > {ДЕ > >

(3)

Компоненты у зависят от геометрических размеров оболочки, а система (32) имеет порядок К * М+1

При решении задач о напряженно - деформированном состоянии двухслойных оболочек в двумерной постановке, каждый слой которых подчинен своим кинематическим гипотезам уравнения взаимодействия слоев, описываются системой

(34)

шп] ш1г]..лн1кз

ш21] сн22]..лн2к]

'V1 [Нк2]-'-Шкк3

чхт}. Г{А(,Ъ1 р

(х(2Ъ {А(г)} р

.... + • « • • + • • • •

{Х(кЪ {Д(к)} р

= о

(35)

где

Н =

тр

Г уг +б* Б

1 тр £тр тр

2тр Зшр

Итр N+1,тр

Ш, . +б Б ... И-1 тр 4тр тр

N-1 ,тр+%Н2.тр

( СИММ. )

. . лч. +6 В

1тр Ей.тр тр

Система (36) состоит из К » М уравнений и имеет К * М неизвестных величин, следовательно, уравнения, определяющие контактные взаимодействия в первом приближении, будут представлены в виде системы линейных алгебраических уравнений (32), где вектор правых частей будет определяться путем

интегрирования какого-либо слоя оболочки, на котором приложена внешняя нагрузка.

Система (35) определяет контактное взаимодействие оболочек, состоящих из контактных элементов с постоянными линейными размерами а^сопэг, ае=сопБ1;. Данными контактными элементами можно описывать только цилиндрические оболочки. При рассмотрении оболочек со сложным законом изменения меридиана при а3=сопз'г длина контактного элемента в окружном направлении будет зависить от радиуса параллельного круга а0=Х(г). Следовательно, площадь контактного элемента будет зависить от номера кольца ш=1+К. Учитывая (15), систему (35) можно представить следующим образом

N (1)(1) (1) N (2) (2) (2) N (к) (к) (к) (1) (11 (1) (1)

.(37)

N (1 }(1 ) (1 ) N (2) (2) (2) N (к) (к) (к) (1 ) (1 ) И ) (1 )

Таким образом, применяя процедуры, рассмотренные ранее, контактное взаимодействие для двухслойных оболочек вращения со сложным законом изменения меридиана будет подчинено системе линейных . алгебраических уравнений следующего вида, которая непосредственно определяет вектор контактных давлений

(1) (2) (к) -, г И Г <1 > 1 Г ' 1

V [Нп] Р [Н12] .. Р [Н1к] ц > СДр > {Ан >

(1) (2) (к) (2) (2) (2)

г Ш21 ] Р ш22] .. Р ] 2к ц > + £ Ар > + }

(1) (2) • (к) (к) (к) (Ю

р н^з ? га^] " * СНкк] -I . <4 >. К

В четвертой главе кратко дано изложение подхода к решению оболочек для систем обыкновенных дифференциальных уравнений,

которое проводится с помощью численного метода дискретной ортогонализации по С.К.Годунову. Излагаемый подход и его реализация модифицируется с учетом специфики рассматриваемого класса задач.

Подход к решению, рассматриваемого класса контактных задач, реализован в проблемно-ориентированном вычислительном комплексе программ, который построен на модульном принципе и состоит из набора отдельных модулей, каждый из которых выполняет определенные функции вычислительного алгоритма. § главе приводятся комбинации функциональных модулей, соответствующих решению разных классов контактных задач, а также структурная схема задачи о контакте цилиндрической оболочки с жестким основанием.

В пятой главе, на основе разработанного подхода решения одномерных контактных задач, проведено исследование изменения области контакта, распределения контактного давления и характеристик напряженно - деформированного состояния ряда оболочечных конструкций в зависимости от изменения различных параметров, проведены исследования для установления некоторых индуктивных оценок достоверности и сходимости рассматриваемого численного метода.

С помощью разработанного подхода проводилось исследование взаимодействия двух цилиндрических конструкций, показанных на рис.2. При расчете принималась длина области контакта в меридиальном направлении, равная ширине подкрепляющего элемента внешней оболочки. Решение проводилось для различных центральных углов охвата контактных элементов по окружности. Установлено, что при уменьшении угла охвата, точнее находится закон распределения контактного давления на границе области контакта. Проведено исследование влияния величины внешней нагрузки на характер распределения контактного давления. Из результатов видно, что с увеличением нагрузки наблюдается нелинейное увеличение длины области контакта и некоторое изменение характера контактного давления. Для всех кривых характерно наличие пульсаций контактого давления вблизи границы контакта.

Для экспериментального исследования рассматриваемой контактной задачи проведено испытание двух оболочек, сваренных из листового сплава АМг-6. На внешнюю поверхность внутренней оболочки вблизи сечения А-А были наклеены тензорезисторы. Зазор

между оболочками замерялся щупом. Сравнение расчетных и экспериментальных данных показывает их удовлетворительное совпадение.

С помощью предложенного подхода решена задача о контакте цилиндрической оболочки с жестким телом, имеющим цилиндрический вырез несколько большего радиуса, т.е. задачи о выходе оболочки из шахты. Данная задача определения характера контактного давления и величины одномерной зоны контакта, в зависимости от величины выдвинутой части оболочки, исследовалась Э.И.Григолюком и В.М.Толкачевым. При основных допущениях, используемых в их работе, проведено решение данной задачи. Показано совпадение распределения контактного давления при больших зонах контакта и недостаточное при малых.

„В качестве примера изучения влияния жесткости основания рассматривалось взаимодействие цилиндрической изотропной оболочки с жесткой ложементной накладкой (рис.1). Данные по экспериментальному моделированию рассматриваемой задачи приведены монографии В.И.Моссаковского, В.С.Гудрамовича, Е.М.Макеева. Между накладкой и оболочкой тлеется резиновая прокладка. Считалось, что контактное давление постоянно вдоль меридиана. -^Принятый при расчете коэффициент постели прокладки Сп, соответствующий резине, обеспечивает плавное распределение контактного давления по всей длине ложементной накладки. Как следует из приведенных расчетов, при коэффициенте постели равном 1000СП возникают зоны отхода оболочки от основания и наблюдается образование локализованных контактных усилий. Этот случай можно интерпретировать, как взаимодействие оболочки с абсолютно жестким основанием. Сравнение расчетных и экспериментальных данных по изменению кольцевых деформаций по окружности на внутренней поверхности оболочки показывает их удовлетворительное совпадение.

На этом же примере изучалось влияние анизотропии упругих сзойств оболочки на характер распределения контактного давления. При этом оболочка моделировалась как ортотропная с различными углами намотки. Показано, что для оболочек с большими углами намотки, при взаимодействии через упругую прокладку распределение контактного давления получается более равномерным.

Проведено исследование распределения мекслоевого напряжения в двухслойной цилиндрической оболочке, каждый слой которой описывался уравнениями классической теории. Внешний слой оболочки

принимался как изотропный материал, а внутренний слой моделировался как ортотропная оболочка. Внешнее нагружение моделировалось силой, приложенной на площадке стягиваемой углом 6°. В расчете принято, что микронеровности учитываются прослойкой, упругие свойства которой отличаются от свойств контактирующих слоев. При отсутствии прослойки наблюдается увеличение межслоевых, т.е. напряжений растяжения-сжатия и контактных напряжений, а зона расслоения сдвигается в область диаметрально противоположную приложению внешней нагрузки.

В такой же постановке рассматривалась задача воздействия жестких штампов на двухслойную щшшдрическую оболочку. Данная задача по определению межслойных напряжений в композиционной оболочке, составленной из двух слоев с различными упругими характеристиками, была исследована Б.Л.Пелехом, А.В.Максимуком и И.М.Коровайчуком. Из проведенных расчетов следует, что уменьшение жесткости внешнего слоя оболочки, к которому приложена внешняя нагрузка, ведет к увеличению межслоевого напряжения, а увеличение жесткости клеевого слоя значительно перераспределяет межслоевые напряжения. Показано качественное совпадение распределения межслоевых напряжений с результатами работы Б.Л.Пелеха, А.В.Максимука и И.М.Коровзйчука.

Решена задача о взаимодействии цилиндрической оболочки с жестким ложементом при динамическом нагружении. По постановке данная задача совпадает с определением напряженного состояния наземной части трубной обвязки газопровода на опорах ложементного типа, подверженной установившимся пульсациям внутреннего давления газа со стороны центробежного нагнетателя. Показано изменение контактного давления по времени за период колебаний. Анализировались различные конструкционные варианты крепления оболочки к ложементу. Показано , что наименьший уровень напряжений в оболочке наблюдается, когда оболочка лежит на ложементе с упругой прокладкой. Максимальные напряжения возникают, когда оболочка жестко присоединена к ложементу.-. Уровень этих напряжений увеличивается в десять раз.

В шестой главе на основании разработанного подхода решения двумерных контактных задач проведено исследование изменения области контакта, распределения контактного давления и характеристик напряженно-деформированного состояния ряда оболочечных конструкций в зависимости от изменения различных

параметров.

В качестве примера решения двумерной контактной задачи исследовалось взаимодействие двух цилиндрических оболочек (рис.2). Показано, что с увеличением внешней нагрузки область контакта увеличивается в окружном направлении. На данной задаче проведено исследование влияния анизотропии упругих свойств оболочки на характер распределения контактного давления и изменения области контакта.

Рассматривалось взаимодействие соосных цилиндрических оболочек, расположенных с зазором (рис.3). Внутренняя оболочка нагружена давлением. Половина области контакта аппроксимировалась 60 контактными элементами. При решении данной задачи число разбиений оболочки по окружности N является не принципиальным. Однако увеличение числа разбиений оболочки по меридиану К лучше иллюстрирует краевой эффект. Показано совпадение распределения контактного давления по меридиану оболочки с численным решением данной задачи, приведенным в монографии Б.Я.Кантора. Подтверждением правильности рассматриваемого метода также может служить осесимметричность получаемого решения и симметричность решения относительно сечения s=0.5-L.

Решена задача для случая неосесимметричного нагружениа двухслойной оболочки без зазора. Внешним нагружением служит сила Р, распределенная на площадке Fp=a0'2as с центром в s=L/2, 9=0°, приложенная к внешнему слою. Показана симметрия решения относительно сечения а=0.5>Ь. Принятый при расчете коэффициент постели, имитирующий микронеровности контактирующих поверхностей, либо упругие свойства клеевой прослойки и отсутствие адгезионных свойств, предел прочности клеевого соединения 0^=0, обеспечивает контактирование в месте приложения локальной силы Р и образование сложных зон расслоения.

Решена задача взаимодействия сферической оболочки под внутренним давлением с жестким, либо упругим основанием. _

В качестве примера для изучения влияния различных параметров и оценки достоверности метода решения двумерных контактных задач рассмотрено взаимодействие оболочки с ложементом (рис.1). Половина области контактирования аппроксимировалась 100 контактными элементами. Показано, что распределение контактного давления при взаимодействии через упругую резиновую прокладку обеспечивает полное прилегание накладки к оболочке. При

Рис. S-

Рис. 4

- . ь -

взаимодействии оболочки без прокладки существуют зоны отхода оболочки от основания и образовываются локальные силы в углу ложементной накладки. При взаимодействии через упругую резиновую прокладку, но с радиусом ложементной накладки несколько большего чем радиус оболочки, наблюдается полное прилегание накладки к оболочке только в центральной части накладки.

На рис.4 показаны линии компонент напряженного состояния в зависимости от нагрузки ."Для одной точки в сечении А-А построено изменение меридионального напряжения - ' сплошная линия, и кольцевого напряжения - штриховая линия. Линии I, 2, 3 соответствуют расчетным случаям с упругой прокладкой, 2 с жесткой основанием, 3 с упругой прокладкой, но с зазаром. Таким образом, линии 3 иллюстрируют конструкционную нелинейность данного класса задач.

В заключении диссертации., сформулированы общие выводы научного й прикладного характера, вытекающие из полученных результатов.

Основным, результатом диссертационной работы является разработка эффективного подхода к решению класса контактных задач для анизотропных оболочек вращения с учетом одностороннего характера контактного взаимодействия, его реализация в вычислительном комплексе, решения важных прикладных задач по исследованию напряженно - деформированного состояния оболочечных конструкций при различных геометрических и механических параметрах.

При этом получены следующие основные результаты:

1.Ha основе эффективных методов, использующихся при анализе задач теории оболочек, построены основные соотношения общего метода решения контактных задач по неизвестным одномерным и двумерным областям контактирования;

2.Предложен эффективный подход поиска и проверки достоверности разрешающей рабочей системы для определения области контакта и контактного давления;

3.Разработан метод определения напряженно - деформированного состояния контактирующих оболочечных* конструкций при различных видах найденного локального контактного давления;

4.Дано обобщение предложенного подхода на класс контактных задач для оболочек, подверженных пульсирувдим нагрузкам с учетом сил инерции и демпфирования;

- 'У -

5.Дано обобщение предложенного подхода на класс контактных задач для многослойных оболочек, каждый слой которых подчинен своим кинематическим гипотезам;

6. На основе устойчивого численного метода решения краевых задач статики оболочек вращения построен алгоритм численного решения контактных задач, реализованный в вычислительных комплексах для IBM PC;

7.Даны практические оценки достоверности и сходимости предложенного метода решения контактных задач, проведено сопоставление полученных результатов расчета и результатов экспериментального исследования контактных задач, также проведено сравнение с результатами решений задач другими методами;

. 8.Проведено исследование по определению областей контакта и напряженного состояния для конкретных оболочечкнх элементов конструкций ис исетротпкх и отэтотропшиг материалов.

Таким образом, разработанный общий метод рекекия контактных задач, численная методика его решения и проблемно-ориентированные вычислительные комплексы программ могут быть эффективно использованы з научно-исследовательских организациях, на заводах и предприятиях для оценки напряженности и деформатиЕности оболочечных конструкций.

Основное содержание диссертационной работы изложено в следующих публикациях:

1. Василенко А.Т., Емельянов И.Г. Контактное взаимодействие анизотропных цилиндрических оболочек с упругими и жесткими телами // Прикл. механика.- I9S3. - 29, N3. С. 38-42.

2. Василенко А.Т., Емельянов И.Г. Контактная задача для тонкой цилиндрической оболочки, лежащей на 'круговом основании // Проблемы прочности. - 1990, N 6.- С. 81-86.

3. Василенко А.Т., Емельянов И.Г. Контактное взаимодействие тонких оболочек вращения с упругими и жесткими телами // Аннотации докладов Седьмого Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике, Москва, 15-21 августа 1991г. С. '72.

4. Василенко А.Т., Емельянов И.Г. Об одном подходе к решению задачи о контакте цилиндрической оболочки с жестким телом // Прикл. механика. - 1990. - 26, N5. -С. 36-42.

5. Василенко А.Т., Емельянов И.Г. Исследование контактного взаимодействия слоев в оболочках вращения // Изв. РАН.

Механика тверд, тела. - 1994. - N3.- - С. 158-163.

6. Василенко А.Т., > Емельянов И.Г. Численное решение контактных задач для оболочек вращения // Тр. XV Всэсоюз. конф. по теории оболочек и пластин, Казань, 28 авг.~ 2 сент. Г990 г. -Казань, 1990. -T.I. -С.19-24.

Т. Василенко А.Т., Емельянов И.F., Михайлов A.A. Численный метод решения задачи контактного взаимодействия тонких оболочек" вращения // Современные проблемы строительной механики и прочности летательных аппаратов: Тезисы докладов Iii Всесоюзной конференции, сентябрь 1988г. Казань. - С.23.

8. Василенко А.Т., Емельянов И.Г., Тимашев O.A. К решению задач о контакте цилиндрических оболочек с жесткими или упругими основаниями // Надежность и долговечность машин и сооружений, - 1992. - ВЫП.21 - С.14 - 21. -

9. Василенко А.Т., Емельянов И.Г., Тимашев O.A. 'Численное моделирование контактных задач оболочек вращения // Смешанные задачи механики -деформируемого тела: тезисы докладов г/ Всозоюзной конференции, I часть,.1939г. Одесса. - С.62.

10. Гончаров К.А., Емельянов И.Г. Численные методы исследования напряженно-деформированного состояния оболочечных конструкций при больших перемещениях в контактном взаимодействии // Расчет и управление надежностью больших механических систем: Информационные материалы VI Всесоюзной школы, сентябрь 1986г. Свердловск, 1986. - С. 233-234.

11. Гончаров К.А., Емельянов И.Г. Напряженное состояние оболочек вращения при больших перемещениях и контактном взаимодействии // Актуальные проблемы механики оболочек: Тезисы докладов их Всесоюзного совещания-семинара молодых ученых. Казань. КИСИ, 1988. - С.56.

12. Емельянов И.Г. О методе решения контактной задачи для оболочек, взаимодействующих по заранее неизвестным областям// Тр. XI науч. конф. молодых ученых Ин-та механики АН УССР. -КиеЕ: Наук, думка, 1986. - 4.2. С. 307-312.

13. Емельянов И.Г.Метод исследования напряженно-деформированного состояния контактирующих оболочек //Совершенствование методов расчета, проектирования и монтажа строительных конструкций: Тезисы докладов конференции молодых ученых. - Свердловск, -1986. - С. 14-15.

1'4. Емельянов И.Г. Определение ' напряженно - деформированного

состояния в контактирующих оболочечных конструкциях // Пространственные конструкции в современном строительстве: Тезисы докладов научно-технической конференции Свердловск, - 1987. - С. 17-18.

15. Емельянов И.Г. Численный анализ контактного взаимодействия . цилиндрических оболочек // Прикл. механика.- 1987,- 23, N 6.-

С. 68-72.

16. Емельянов И.Г., Ерыгина О.И., Камалов-И.К. Решение контактных задач оболочек вращения, взаимодействующих по неизвестным двумерным областям // Расчет и управление надежностью больших механических систем. Информационные материалы. Екатеринбург: Наука. Урал, отделение, 1992.- С. 65-66..

17. Емельянов И.Г., Камалов И.К. Вычислительный комплекс для решения прочностных задач оболочечных конструкций для IBM PC // Численные методы механики сплошной среды. Тезисы докладов IV всесоюзной школы молодых ученых. Красноярск, 1992. - С. 136-137.

18. Емельнов И.Г., Михайлов A.A. О численном решении задачи взаимодействия двух цилиндрических конструкций //Надежность и долговечность машин и сооружений.- 1989. - Вып.15 - С. 42-45.

19. Емельянов И.Г., Михайлов A.A. К исследованию напряженного состояния, контактирующих между собой оболочечных конструкций // Прикл. механика. - 1987,- 23, N 2.- С. II6-II9.

20. Емельянов И.Г., Торопова Е.И. К решению напряженного состояния многослойных труб // Расчет и управление надежностью больших механических систем. Информационные материалы. Екатеринбург: Наука. Урал.отделение, 1992.- С.66.

21. Емельянов И.Г. , Шалин М.Г. Решение контактных задач для анизотропных материалов численными методами// Тезисы докладов Всесоюзной научно-технической конференции "Обобщение опыта и разработка перспектив применения полимерных материалов в конструкциях судостроительного назначения и смешанных отраслей", Ленинград, 1990 г. - С. 154.- 155.

22. Тимашев С.А., Емельянов И.Г. Об одном подходе к решению контактных задач теории оболочек // Тезисы докладов III Всесоюзной конференции по нелинейной теории упругости, 12-14 сентября 1989 г, Сыктывкар. - С.91-92.

23. Шевченко D.H., Мерзляков В.А., ГалишинА.З., Лось А.О., Ковбасенко В.Б., Емельянов И.Г. Исследование неупругого

деформирования тонкостенных элементов конструкций /Прочность материалов • и элементов конструкций при сложном напряженном состоянии. _ Тезисы докладов, IV симпозиум. Киев, 1992. С. 69-70."