автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Исследование свободных колебаний плит и балок средней толщины

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. Анализ состояния проблемы динамического расчёта нетонких плит. Постановка задачи исследования.

1.1 Состояние проблемы.

1.2 Анализ классической и существующих уточнённых теорий динамического расчёта плит.

1.3 Постановка задачи исследования.

Глава 2. Основные соотношения динамики приближенной трёхмерной теории нетонких плит, балок и оболочек.

2.1. Основные уравнения приближенной трехмерной теории балок, плит и оболочек А.А.Амосова.

2.1.1 Уравнения равновесия (движения).

2.1.2.Геометрические соотношения между компонентами тензора деформаций и вектора перемещений.

2.1.3. Физические соотношения между компонентами тензора деформаций и тензора перемещений.

2.2. Общая характеристика приближённой теории Ы-го порядка.

Глава 3. Свободные колебания плит средней толщины.

3.1. Динамические уравнения приближённой теории Ы-го порядка нетонких плит.

3.2 Основные соотношения теории плит средней толщины для задач динамики.

3.3 Собственные изгибные (поперечные) колебания плит.

3.4. Формулировка граничных условий для некоторых, наиболее важных случаев.

3.5. Численный расчёт собственных частот квадратных плит и его сопоставление с другими теориями.

Глава 4. Свободные колебания стержней средней толщины.

4.1 Краткий исторический очерк.

4.2 Свободные колебания полосы-балки.

4.3. Формулировка граничных условий для балки по линейной теории и для балки С.П.Тимошенко.

4.4. Численный расчёт собственных частот призматических балок.

4.3.1. Призматическая балка (стержень) шарнирно опертая по концам на основе линейной теории.

4.3.2. Исследование по линейной теории.

Актуальность темы.

В настоящее время по-прежнему чрезвычайно актуальным направлением в области строительной механики является направление, связанное с совершенствованием существующих расчетных схем и математических моделей. Среди этого направления одним из важных разделов является раздел, посвященный расчету колебаний балок, пластин и оболочек.

В теории динамического расчета балок, пластин и оболочек в последние несколько десятилетий большое внимание уделяется вопросам разработки уточненных теорий типа Тимошенко - Рейснера. Это объясняется целым рядом обстоятельств, в том числе, что теории этого типа приемлемы к расчету конструкций средней толщины, из композиционных материалов, а также и исследованию высокочастотных колебаний.

Уточненными называются теории, которые отличаются от обычных классических, наличием в дифференциальных уравнениях дополнительных членов, расширяющих в некотором смысле области применения классических теорий.

Появление уточненных теорий обусловлено тем, что классические теории при решении ряда задач современной техники приводят к заметным погрешностям. Можно сказать, что это является следствием физического и математического несовершенства классических динамических теорий. Эти теории предсказывают, например, бесконечные скорости распространения фронтов возмущений и не улавливают элементарных упругих толщинных эффектов.

Одним из существенных качеств применяемой в работе модели является ее гиперболичность, т.е. дифференциальные уравнения должны принадлежать к уравнениям гиперболического типа.

Физически это выражает конечность скорости распространения любого возмущения в рассматриваемой среде, что, однако, не всегда принимается во внимание при построении математических аппроксимаций. Это обстоятельство особенно важно для построения упрощенных теорий.

Такие приближенные теории строятся обычно как асимптотически вырожденные по параметру (параметрам) или как некоторые аппроксимации точно поставленных задач математической теории упругости. Гиперболические аппроксимации являются, по-видимому, наиболее подходящими для описания волновых процессов, в отличие от параболических, при которых скорость распространения любого возмущения в теле бесконечна.

Если рассматривать гиперболические и параболические аппроксимации одного порядка (имеется в виду порядок пространственно-временного оператора), то с помощью первых можно построить теории, применяемые при более высоких частотах гармонических составляющих.

Все сказанное относится к модели динамической теории упругости, которая, как известно, является гиперболической, и ее аппроксимациям — теориям стержней, пластин и оболочек. Условию гиперболичности не удовлетворяют классические теории поперечных колебаний балок (Бернулли-Эйлера) и плит (Кирхгоффа), а также классическая теория колебаний оболочек. Теории же продольных колебаний стержней, обобщенного плоского напряженного состояния и теории, основанные на модели Тимошенко, удовлетворяют условию гиперболичности. Следует отметить, что при исследовании других классов задач, не относящихся к волновой динамике, построение приближенных теорий деформирования стержней, пластин и оболочек может выполняться на основе других критериев.

Существенными в качественном и количественном отношении являются уточнения, которые приводят к увеличению числа рассматриваемых мод, двухмодовые аппроксимации, трехмодовые и т.д. Модами здесь и всюду в дальнейшем будем называть формы колебаний по высоте балки и толщине плиты, для того, чтобы отличать их от форм колебаний по длине.

Не менее важны вопросы, связанные с разработкой методов динамического расчета нетонких балок, пластин и оболочек.

В общем случае проблема динамического расчета нетонких конструкций типа балок, пластин и оболочек может быть сведена к пространственной краевой задаче теории упругости. Хорошо известны трудности, связанные с построением решений этих краевых задач. Отсюда по-прежнему актуальной остается проблема построения прикладных теорий динамического расчета и совершенствования существующих методов расчета.

Один из возможных подходов к решению этого вопроса состоит в построении приближенной трехмерной теории, основанной на редукции трехмерных краевых задач динамической теории упругости к двухмерным краевым задачам динамики теории пластин и оболочек. В данной работе для решения этой задачи использован метод полиномов Лежандра, использованный ранее в работах многих исследователей: И.Н. Векуа, В.В. Понятов-ского, A.A. Амосова, В.К. Чибирякова, Б.М. Лисицына и др.

Основное содержание настоящей диссертации состоит в разработке одного из вариантов динамического расчета балок и пластин средней толщины, являющегося линейным вариантом уточненной теории и учитывающим влияние деформации поперечного сдвига, инерции вращения и поперечного обжатия.

Так как получение решения задачи о собственных поперечных колебаниях балок и плит средней толщины в аналитической форме позволяет провести не только количественный, но и качественный анализ изучаемых конструкций, то поэтому в работе применялись аналитические методы решения в двойных и одинарных тригонометрических рядах, а не какой-либо из численных методов.

Данная тема соответствует координационному плану научно исследовательских работ вузов в области механики.

Цель диссертационной работы.

1. На базе основных соотношений динамики приближенной трехмерной теории нетонких балок, пластин и оболочек получить основные соотношения динамики линейного варианта приближенной трехмерной теории для балок и пластин средней толщины.

2. Получить дифференциальные уравнения свободных поперечных колебаний пластин и балок средней толщины.

3. Получить параметры частоты и формы собственных поперечных колебаний балок и пластин средней толщины, используя точные методы, и сопоставить полученные собственные частоты с собственными частотами, найденными по известным уточненным теориям и классической теорией.

Научная новизна.

• выведены основные соотношения динамики линейного варианта приближенной трехмерной теории, для балок и пластин средней толщины;

• полученны дифференциальные уравнения свободных поперечных колебаний балок и пластин средней толщины с учетом деформации поперечного сдвига и инерции вращения. В уравнении для пластин учтено также влияние эффекта, связанного с поперечным обжатием;

• сформулированы граничные условия для уравнений свободных поперечных колебаний пластин средней толщины наиболее распространенных случаев закрепления;

• разработана методика и программы метода одинарных тригонометрических рядов для расчета балок и плит по различным уточненным теориям;

• решена задача свободных колебаний пластин и балок средней толщины для случая шарнирного опирания по четырем и по двум противоположным сторонам для линейной теории, теорий Кирхгофа, Тимошенко и Филиппова (только для пластин);

• решена задача свободных колебаний для пластин с шарнирным закреплением по двум противоположным краям и с произвольным закреплением по двум другим, а также для балок с произвольными закреплениями по концам точным методом одинарных тригонометрических рядов;

• аналитическая форма представления результатов, получаемых путем вычислений по программам на основе разработанной методики, позволяет проверить правильность вычислений;

• проведен сравнительный анализ полученных результатов по различным теориям.

Практическая ценность работы заключается в возможности непосредственного использования полученных собственных частот свободных поперечных колебаний балок и пластин средней толщины, а также разработанных методики и программ для определения спектров собственных частот и вида собственных форм в расчетах строительных и других инженерных конструкций.

Достоверность основных положений и выводов по диссертации определяется корректностью применяемого математического аппарата, а также хорошим качественным соответствием результатов предлагаемой уточнённой теории с результатами классической теории и уточнённой теории Ти-мошенко-Рейсснера.

На защиту выносится:

• разработанная уточненная динамическая теория расчета балок и пластин средней толщины, являющаяся линейным вариантом приближенной трехмерной теории нетонких балок, пластин и оболочек;

• сформулированные граничные условия для пластин средней толщины для наиболее распространенных случаев закрепления;

• дифференциальные уравнения свободных поперечных колебаний пластин и балок средней толщины;

• разработанная методика и программы метода одинарных тригонометрических рядов для расчета плит и балок по различным уточненным теориям;

• решение задачи свободных поперечных колебаний пластин и балок средней толщины, шарнирно закрепленных по краям, для линейной теории, теории Кирхгоффа, Тимошенко, Филиппова (только для пластин);

• решение задачи свободных поперечных колебаний пластин средней толщины с шарнирным закреплением по двум противоположным краям и с произвольным закреплением по двум другим, а также для балок средней толщины с произвольным закреплением по концам;

• проведенный сравнительный анализ полученных результатов.

Диссертация прошла апробацию на семинарах кафедры "Строительная механика" МГСУ в 2000 г.

Основные положения выполненных исследований по диссертационной работе освещены в трех статьях.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, результатов в виде таблиц и графиков с выводами, заключением и списка литературы.

Заключение

В результате анализа полученных в данной работе результатов можно сделать следующие основные выводы:

1. На базе приближенной трехмерной теории М-го порядка для расчета нетонких плит и оболочек, предложенной в работах проф. А.А.Амосова, разработан простейший линейный вариант этой теории для динамического расчета плит и балок.

Показано, что в рамках данного варианта теории, рассматриваемого в качестве уточненной теории расчета балок и плит, осуществляется не только учет поперечного сдвига и инерции вращения нормального элемента, как в большинстве известных уточненных теорий типа Тимошенко-Рейсснера, но также и учет поперечного обжатия.

2. Выведены разрешающие уравнения, описывающие собственные колебания плит и балок средней толщины.

В отличие от теорий типа Тимошенко-Рейсснера, полученная система разрешающих уравнений плит имеет шестой порядок дифференциального оператора и обеспечивает трехмодовую аппроксимацию параметра частоты собственных колебаний.

3. Сформулированы граничные условия для решения задач определения параметров частоты собственных колебаний методами двойных и одинарных тригонометрических рядов.

4. Разработана методика применения одинарных тригонометрических рядов для расчета плит средней толщины по уточненным теориям.

Разработан алгоритм численного дифференцирования дифференциальных уравнений уточненных теорий.

Полученные результаты в аналитической форме позволяют провести помимо количественного и качественный анализ конструкций в виде балок и плит.

Кроме того аналитическая форма выдачи дает возможность легко сделать проверку решения, что указывает на его достоверность.

5. Получено аналитическое решение для определения параметра частоты собственных колебаний шарнирно опертых плит и балок.

Сопоставление результатов, получаемых по предлгаемой теории для плит, с результатами, получаемыми по другим известным уточненным теориям Тимошенко-Ресснера и Филиппова, показывает, что они находятся в хорошем качественном соответствии и количественно отличаются для первой моды собственных колебаний на 50,3% и 33,2% в зависимости от параметра относительной толщины X е [0,00125;0,2].

Для балок наблюдается аналогичная качественная картина, что и для плит, а наибольшее расхождение в результатах между предлагаемой теорией и уточненной теорией Тимошенко для первой моды собственных колебаний составляет 7,4% при X £ [0,00125;0,2].

6. Сравнительный анализ результатов по первой моде собственных колебаний, полученных для плит с двумя шарнирно опертыми краями по исследуемой теории, с результатами, получаемыми по теории Тимошенко-Ресснера принимаемыми за эталонные, показывает, что при ^=0,1 наибольшее численное расхождение параметра собственной частоты наблюдается для плит с двумя свободными краями, а наименьшее численное расхождение —для плит с двумя жесткими заделками на краях.

Такой же результат получен и при сравнении с значениями параметра собственной частоты, получаемыми по теории Филиппова.

135

7. Для балок с произвольным закреплением на концах анализ рек зультатов при X = — = 0,1 для первой моды собственных колебаний показал, что численное расхождение между значениями параметров собственной частоты, вычисленных по предлагаемой теории и по теории Тимошенко, практически одинаково для всех видов закрепления балки и изменяется в пределах 4,7%--5,0%.

136

1. Айнола Л.Я., Нигун У.К. Волновые процессы деформации упругих плит и оболочек. Изв. АН Эст. ССР, 1965. 14. №1.

2. Айнола Л.Я. О расчетных моделях упругих пластин для динамических задач. АН Эст. ССР, сер.ф.-м. и техн.н., 1963, т.12, №3.

3. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин.— М.: Наука, 1967, 258 с.

4. Амосов A.A. Основные уравнения трехмерной теории упругих нетонких пластин и оболочек.— М.: 1988, 18 с. Деп. ВНИИС Госстроя СССР, 9.11.1988, №9722.

5. A.A. Амосов Приближенная теория нетонких плит и оболочек. Дисс. На соискание уч. ст. д.т.н. ЦНИИСК им. Кучеренко. (На правах рукописи) УДК 624.074.;:539.3:681.3 специальность 05.23.17 — строительная механика.— М. 1990, с.

6. Амосов A.A., С.И. Жаворонок. К проблеме редукции плоской задачи теории упругости и последовательности одномерных краевых задач// Механика композитных материалов и конструкций, 1997, №1, с.69-80.

7. Амосов A.A. Приближенная трехмерная теория толстостенных пластин и оболочек// Строительная механика и расчет сооружений.— 1987, №5, с. 37-42.

8. Амосов A.A. К определению напряженно-деформированного состояния толстостенных оболочек вращения// Экспериментально-теоретические исследования инженерных сооружений: Сб.научных трудов ТашПи.— Ташкент, 1985, с.20-25.

9. Амосов A.A. К определению напряженно-деформированного состояния толстостенных оболочек вращения.— Деп. в ВНИИС Госстроя СССР, 1987, №7336; Библиогр. Указатель деп. рукописей №3, 1987, с.5.

10. Амосов A.A. Динамическая задача теории упругости для прямоугольной полосы// Республиканская конференция «Механика сплошных сред»: Тез.докладов.— Ташкент: Фан., 1989, с.58.

11. Амосов A.A. Об использовании уточненных теорий пластин и оболочек при исследовании свободных колебаний// Строительная механика и расчет сооружений.— 1990, №1, с.36-39.

12. Амосов A.A., Князев A.A., Жаворонок С.И. О решении некоторых краевых задач о плоском напряженном состоянии криволинейной трапеции// Механика композитных материалов и конструкций. 1999, т.5, №1, с.60-72.

13. Васильев В.В., Лурье С.А. К проблеме построения теории пологих оболочек// Изв. АН СССР. Механика твердого тела.— 1990, №6, с.139-148.

14. Васильев В.В., Лурье С.А. К проблеме построения неклассических теорий пластин// Изв. АН СССР. Механика твердого тела.— 1990, №2, с.158-167.

15. Векуа И.Н. Некоторые общие методы построения различных вариантов теории оболочек.— М.: Наука, 1982, с.288.

16. Векуа И.Н. Об одном методе расчета призматических оболочек. Тр. Тбилисск. матем.ин-та, 1955, 21, 191-259-РЖМех. 1956, №10, 6857.

17. Власов В.В. Метод начальных функций в задачах равновесия толстых многослойных плит. Изв. АН СССР, ОТН, 1958, №7.

18. Власов В.В. Применение метода начальных функций к расчету толстых плит. Исслед. по теории сооружений, 1961, т.Х.

19. Власов В.В. Об одном решении теории изгиба. Теория оболочек и пластин. Ереван, 1964.

20. Власов Б.Ф. Об уравнениях теории изгиба пластинок. Изв. АН СССР. Отд.техн.н., 1957, №12, 57-60-РЖМех, 1959, №1, 740.

21. Власов В.З. Основные дифференциальные уравнения общей теории упругих оболочек// ПММ. 1944, Вып. 2, №8, с. 109-140.

22. Власов В.З. Метод начальных функций в задачах теории упругости. Изв. АН СССР, ОТН, 1955, №7.

23. Власов В.З., Леонтьев H.H. Балки, плиты и оболочки на упругом основании. Физматгиз, 1960.

24. Власов В.З. Избранные труды, т.1, Изд-во АН СССР, 1962.

25. Галин М.П. Распространение упруго-пластических изгибносдвиго-вых волн в балках. Изв. АН СССР. Отд.техн.н. Механ. и машиностр., 1959, №2, 88-89-РЖМех, 1960, №7, 9326.

26. Гольденвейзер A.JL Построение приближенной теории оболочек при помощи асимптотического интегрирования уравнений теории упругости. Прикл. матем. и механ., 1963, 27, №4, 593-608-РЖМех, 1964, 5В62.

27. Дубинкин М.В. Колебания плит с учетом инерции вращения и сдвига. Изв. АН СССР, ОТН, 1958, №12.

28. Дубинкин М.В. О распространении волн в бесконечных плитах ПММ, 1959, т.23, вып. 5.

29. Егорычев О.О. Сравнительный анализ краевых задач в теории колебания пластин. Дисс. На соиск. уч. степ, к.т.н. (На правах рукописи), специальность 01.02.04. МГСУ. М. 1994.

30. Кабулов В.К. Исследование колебаний балок постоянного сечения с помощью интегральных уравнений типа баланса. Вычисл. математика, сб.З, 1958, 138-148-РЖМех, 1961, 11В148.

31. Кабулов B.K. О волновых уравнениях колебаний балок, пластин и оболочек. В сб. Вопр.вычисл.матем. Ташкент, АН УзССР, 1963, 104-139-РЖМех, 1964, ЗВ195.

32. Кильческий H.A. Основы аналитической механики оболочек. Т.1, Киев, АН УССР, 1963 — РЖМех, 1964, 7В95К.

33. Кильческий H.A. Основы аналитической механики оболочек. Изд-во АН УССР, Киев, 1963.

34. Справочник по динамике сооружений под ред. проф. Б.Г. Коренева иИ.М. Рабиновича.— М.: Стройиздат, 1972, 511с.

35. Кузнецов Д.С. Специальные функции. М.: Высшая школа, 1965, 272 с.

36. Лисицын Б.М. Об одном методе решения задач теории упругости// Прикладная мех-ка. 1967, т.З, №4, с.85-92.

37. Лисицын Б.М. Расчет защемленных плит в постановке пространственной задачи теории упругости// Прикладная механика. 1970, т.6, №5, с. 18.

38. Лурье С.А. и Шумова Н.П. Кинематические модели уточненных теорий композитных балок, пластин и оболочек// Журнал механика композитных балок, пластин и оболочек. 1996, т.32, №5.

39. Лу Синь-Сэнь Вынужденные колебания прямоугольных ортотроп-ных пластин с учетом сдвига и инерции вращения применительно с судовому двойному дну; Чжунго Цзао-изань. Zhonga yuo-zao-chuan, 1964, #1.

40. Марьямова Ф.А. О поперечном ударе упругого тела о балку. Изв. Киевск. Политехн.ин-та, 1954 (1955), 16, 6-13-РЖМех, 1956, №7, 4678.

41. Марьямова Ф.А. Новый способ исследования явления поперечных колебаний стержня. Сб.тр. Моск.заочн.полигр. ин-та, 1957, вып.5, 161-168-РЖМех, 1957, №11, 13108.

42. Марьямова Ф.А. Исследование волнового характера дифференциального уравнения поперечных колебаний балок. Сб.тр. Моск.заочн.полигр. ин-та, 1957, вып.5, 169-175-РЖМех, 1958, №2, 2108.

43. Марьямова Ф.А. До разрахунку вшьних коливань тонкого пружно-го стержня. В1енин Акад.буд-ва i архггект. УССР, 1960, №2, 38-43-РЖМех, 1961, 5В127.

44. Марьямова Ф.А. До питания про поперечний удар пружного тша об стержнь. Научн.зап. Укр.шшгр. ш-ту, 1961, 13, 19-23-РЖМех, 1962, 8В162.

45. Маховиков В.Н. Динамические задачи теории упругости для плиты из трансверсально-изотропного материала. Изв. выст. уч.зав., Математика, 1964, №4.

46. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Гостехиздат, 1957, 476 с.

47. Михлин С.Г., Смолицкий X.JI. Приближенные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений. М.: Наука, 1965, 383 с.

48. Молотков JI.H. Об интегральных уравнениях колебаний пластин. Ленингр.отд. ин-та мат. АН СССР, ст. V, 1961.

49. Москаленко В.Н. Об учете инерции вращения и поперечных сдвигов в задачах о собственных колебаниях пластин. Теория пластин и оболочек, Киев, 1962.

50. Москаленко В.Н. К применению уточненных теорий изгиба пластинок в задаче о собственных колебаниях. Инж.ж., 1961, 1, №3.

51. Муштари Х.М. Теория изгиба плит средней толщины. Изв. АН СССР, ОТН, Мех. и машстр., 1959, №2.

52. Нигул У.К. О корнях уравнения Лэмба для деформации плиты, антисимметричной относительно срединной поверхности. Изв. АН Эст.ССР, сер. ф-м и техн.н., 1963, т. 12, №3.

53. Нигул У.К. Применение трехмерной теории упругости к анализу волнового процесса изгиба полубесконечной плиты кратковременно действующей краевой нагрузке. ПММ, т.27, вып.6, 1963.

54. Нигул У.К. О методах и результатах анализа переходных волновых процессов изгиба упругой плиты. Изв. АН Эст.ССР, сер. ф-м и техн.н., 1965, т.14, №3.

55. Новожилов В.В., Финкелыптейн P.M. О погрешности гипотез Кирхгоффа в теории оболочек. Прикл. матем. и механ., 1943, 7, №5, 331-340.

56. Омецинская Е.Б. Обобщенные уравнения динамики пластин. Прикл. механика, 1969, 5, №5, 64-70-РЖМех, 1969, ИВ 162.

57. Петрашень Г.И. К теории колебаний тонких пластин. Уч. зап. ЛГУ. Сер.матем.н. Динамические задачи теории упругости. Вып. 24, 1951, №149, 172-249.

58. Петрашень Г.И., Молотков Л.А. О некоторых проблемах динамической теории упругости в случае сред, содержащих тонкие слои. Вестн. Ленингр. Ун-та, 1958, №22, 137-156-РЖМех, 1960, №9, 12076.

59. Петрашень Г.И., Молотков JI.A. О колебаниях однородных и слоистых пластин. В сб. Теория оболочек и пластин. Ереван, АН АрмССР, 1964, 788-794-РЖМех, 1965, 4В166.

60. Петрашень Г.И. Проблемы инженерной теории колебаний вырожденных систем. В сб. Исслед. по упругости и пластичности.— JL, Ле-нингр. ун-т, 1966, №5, 3-33-РЖМех, 1967, 7В151.

61. Пономарев С.Д., Бидерман В.Л. и др. Основы современных методов расчета на прочность в машиностроении. М., Матгиз, 1950.

62. Понятовский В.В. К теории изгиба анизотропных пластинок. ПММ, т.28, №6, с.1033-1039.

63. Понятовский В.В. К теории пластин средней толщины// ПММ, 1962, т.26, №2, с.335-341.

64. И.Т. Селезов И.Т. / Селезов I.T. Дослщжения поперечних коливань пластини. Прикл. мехашка, 1960, 6, №3, 319-327-РЖМех, 1961, 6В117.

65. Селезов I.T. Про гшотези, яю лежать в ochobî уточнених р!внять поперечних коливать пластин, i деяш особливосп цих р1внять. Прикл. мехашка, 1961, 7, №5, 538-546-РЖМех, 1962, 12В172.

66. Смирнов А.Ф., Александров A.B., Лащеников Б .Я., Шапошников H.H. Строительная механика. Динамика и устойчивочть сооружений.— М.; Стройиздат, 1984, 416 с.

67. Солер. Теории высшего порядка анализа конструкций, основанные на разложении по полиномам Лагранжа// Прикладная механика. Мир. 1969, №4, с.107-112.

68. Тимошенко С.П. / S.P. Timoshenko. On the correction for shear of the differential equation for transverse vibrations of prismatic bars. Phil. Mag., 1921, 41 (744-746), 1922, 49 (125-131).

69. Тимошенко С.П., Янг Д.Х., Уивер У. Колебания в инженерном деле.— М.: Машиностроение, 1985, 472 с.

70. Уфлянд Я.С. Распространение волн при поперечных колебаниях стержней и пластин. Прикл.матем. и мех., 1948, 12, №3, 287-300.

71. Флексер М.Ш. Об учете влияния инерции вращения и перерезывающих сил на поперечные колебания стержня конечной длины. Инженерный сб., 1956, 23, 138-139-РЖМех, 1957, №5, 5926.

72. Флексер М.Ш. О поперечных колебаниях стержней. Прикл. матем. имехан., 1958, 22 № 5, 696—697—РЖМех, 1959, №11, 14082.

73. Феллерс, Солер. Приближенное решение задачи о цилиндре конечной длины с помощью полиномов Лежандра// Ракетная техника и космонавтика. 1970, №11, с. 145-152.

74. Филиппов И.Г., Чебан В.Г. Математическая теория колебаний упругих и вязкоупругих пластин и стержней.— Кишинев; Штиинца, 1988. С.190.

75. Филиппов И.Г., Егорычев О.О. Некластическая теория нелинейных колебаний плоских элементов строительных конструкций.— М.: Доклады HI-го Российско-Польского семинара «Теоретические основы строительства», Изд-во АСВ, 1994, с.84-88.

76. Филиппов И.Г., Егорычев O.A. Волновые процессы в линейных вязкоупругих средах.— М.: Машиностроение, 1983, 269с.

77. Филиппов И.Г., Джанмундаев Б.Д., Егорычев О.О., Сироткин С.А., Филиппов С.И. Теория динамического поведения плоских элементов строительных конструкций.— Доклады 11-го Российско-Польского семинара «Теоретические основы строительства», 1993.

78. Хатчинс, Солер. Приближенное решение задачи теории упругости оболочек вращения средней толщины// Прикладная механика. Мир. 1974, №4, с. 129-136.

79. Хома И.Ю. Общая теория анизотропных оболочек.— Киев.: Нау-кова Думка, 1986, 170 с.

80. Якушев Н.З. К теории изгиба и колебаний плиты средней толщины. Нелинейная теория пласт, и оболочек. Изд. КГУ, 1962.

81. Mirsky I. Axisymmetric vibrations of outhotropic cylindrical shells. J. Acoust. Soc. Amer., 1964, vol. 36, (2106-2112).

82. Bakshi Jagjit Singh, Callahan W.R. Flexural vibrations of a ring when transverse shear and rotatory inertia are considered. J. Acoust. Soc. Amer., 1966, vol. 40, №2.

83. Boley B.A., Chao C.-C. Some solutions of the Timoshenko beam equations. J. Appl. Mech., 1955, 22, №4, 579-586-РЖМех, 1957, №3, 3459.

84. Boley B.A., Chao C.-C. An approximate analysis of Timoshenko beams under dynamic loads. Paper Amer. Soc. Mech. Engrs, 1957, №8, 9142; 9143.

85. Brunelle E.J. The statics and dynamics 17 of a transversely isotopic Timoshenko beam. J. Compos. Mater., 1970, 4, July, 404-416-РЖМех, 1971, 3B298.

86. Chao C.C., Pao Y.h Hsing 3.30. On the flexural motions of plates at the out-off fregmency. Frans. ASME, 1964, EZ1, №1.

87. Callahan W.R. Flexural vibrations of elliptical plates when transverse shear and rotatory inertia and considered . J. Acoust. Soc. Amer., 1964, vol. 36, №5.

88. Callahan W.R. Theory of the flexural vibrations of confocal elliptical plates including transverse shear and rotatory inertia. Doct. Diss. Cathol. Univ. America, 1962.

89. Cauchy A.L. Sur l'équilibré et le mouvement d'une lame solide. Exercices Math., 1828, 3, 245—326.

90. Deresilurcz H., Mindlin R.D. Axially symmetric flexural vibrations of a circular disk. J. Appl. Mech., 1955, vol. 22,1.

91. Deresilurcz H. Symmetric flexural vibrations of a clamped circular disk. J. Appl. Mech., 1956, vol. 23, 2.

92. Draghicescu D. The dynamic bidimensional theory of clastic shells by asymptotic integration of the elasticity equations. Rev. romaine sei. Techn. Se'r.mec.appl., 1969,14, №6, 1355-1368-P)KMex, 1970, 10B207.

93. Ebcioglu Ibrahim K. On the theory of sandwich panels in reference state. Internat. J.Engng Sei.6 1965, vol. 2, №6.

94. Gazis D.C., Mindlin R.D. Extensional vibrations and waves in a circular disk and semi-infinity plate. J. Appl. Mech., 1960, vol. 27, №3.

95. Goens E. Uber die Bestimmung des Elastizitätsmoduls von Stäben mit Hilfe von Biegunsschyingungen. Ann. Physik. 1931, 11, №6, 649-678.

96. Gonda J. Prispevok K odvodeniu differencialnej rovnice ohyboveho kmitania nosnika o stalom priereze. Strojnicky casor., 1959, 10, №1, 31-36-P5KMex, 1960, №2, 2394.

97. Grandall S.H., Yildiz A. Random vibration of beams. Paper Amer. Soc. Mech. Engrs., 1961, №WA-149-P^Mex, 1962, 12B174.

98. Green A.E., Naghdi P.M. Some remarks on the linear theory of shells. Quart. J.Mech. and Appl. Math., 1965, 18, №3, 257-276- P)KMex, 1966, 9B58.

99. Huang T.C. Application of vibrational methods to the vibration of plates including rotatory inertia and shear. Developm. Mech., vol. 1, New-York, 1961.

100. Jocobsen L.S. Natural frequencies of uniform cantilever beams of symmetrical cruse section. J. Appl. Mech., 1938, 5, №1, A1-A6.

101. Jahanshahi F., Monzel J. Effects of rotatory inertia and transverse shear of the response of elastic plates to moving forces. Ingr.— Arch, 1965, vol. 34, №6.

102. Johnson M.W., Reissner E. On the foundations of the theory of thin elastic shell. J. Math, and Phys., 1959, 37, №4, 371-392-РЖМех, 1961, 1B52.

103. Johnson M.W., Widera O.E. An asymptotic dynamic theory for cylindrical shells. Stud. Appl. Math.6 1969, 48, №3, 205-226-РЖМех, 1970, 5B238.

104. Jahsman W.E. Propagation of abrupt circular wave front in elastic sheets and plates. Proc. 3rd U.S. Nat. Congs. of Appl.Mech., 1958.

105. Jones J.P. Motion of a thin bounded plate. J. Acoust, Soc. Amer.6 1965, vol. 38, №3.

106. Kaczhowski T. Der Einflus der Schubverzerrungen und des Drehbehar-rungsver-mogens auf die Schwingungs frequenz von anisopropen Rlatten: Bull. Acad. Polon. Sci. Se'r. Sci.techn., 1960, 8, №7.

107. Kaczhowski T. The influence of the shear forces and rotatory inertia on the vibration of an anisotropic plate. Arch. Mech. Stosowanej, 1960, 12, №4.

108. Kalnins A. On fundamental solutions and Green's functions in the theory of elastic plates. Paper Amer. Soc. Mech. Engrs, 1965, № WA/APM-23, (перевод в журнале «Прикладная механика», 1966, №1).

109. Kane T.R., Mindlin R.D. High-Frequency extensional vibrations of plates. J. Appl. Mech., 1956, vol. 23, №2.111. /Коши/ Canchy A.L. Sur l'équilibré et le movement d'une lame solibe. Exercices Math., 1828, 3, 245-326.

110. Krauss F. Uber die Grundgleichungen der Elastitatstheorie schwachdeformierten Schalen. Math. Annalen, 1929, 101, 1.

111. Kumai Т. Effect of Shear deformation pnd rotatory inertia on the doming of the flexural vibration of a ship hull. Europ. Shipbuild. 1964, 13, №3.

112. Lee H.C. A generalized minimum principle and its application to the vibration of a wedge with rotatory inertia and shear. Irans/ ASME, 1963, E.30,2.

113. Manea V. Маня В. Колебания тонких упругих плоских пластин в теории без гипотез Лява-Кирхгоффа. Mecanique Appliqulle, Rev. Roumaine des Sci.techn., 1964, T.9, №5.

114. Manea V. Calcul placilor circulare elastice subtice subtiri in teoria fara ipoteza Love-Kirchhoff. Studii si cercetari mec.apl. Acard RPR, 1963, 14, 6.

115. Manea V. On the theory of elastic plane plates of mean thickness. Mecanique Appliquee, Rev. Roumaine des Sci. techn., 1964, 9, 6.

116. Manea V. Vibratiile placilor, plane subtiri elastice in teoria fara ipoteza Love-Kirchhoff. Studii si cercetari mec. apl. Acard. RPR, 1964, 15, 2.

117. Manea V. Об одной теории тонких упругих плоских пластин без гипотезы Лява-Кирхгоффа. Rev. roumaine sci. techn. Ser. mec. appl., 1964, 9, №2, 415-444-РЖМех, 1965, 5B100.

118. Manea V. Consideratii asupra teoriei placilor plane elastice subtiri. Studii si cercetari mec. apl. Acard. RPR, 1963, 14, 851-866-РЖМех, 1965, 5B101.

119. Manea V. Construirea solutiei ecuatiilor placilor plane elastice subtiri, din teoria faraipoteza Love-Kirchhoff, prin metoda functiilor analitiza. Studii si cercetari mec.apl. Acard. RPR, 1963, 14, 4, №5, 1145-1161-РЖМех, 1964, 9B89.

120. Manea V. Vibratiile placilor, plane subtiri elastice in teoria fara ipoteza Love-Kirchhoff. Studii si cercetari mec. apl. Acard. RPR, 1964, 15, №2, 305-323-P)KMex, 1965, 4B171.

121. Miklowitz J. Flexural stress waves in an ifinite elastic plate due to a suddenly applied concentrated transverse load. J. Appl. Mech., 1960, vol. 27, №4.

122. Mindlin R.D. Influence of rotatory inertia and shear on flexural motions of isotropic elastic plates. J.Appl. Mech., 1951, vol.18, (31-38).

123. Mindlin R.D., Medick M.A. Extensional vibrations of elastic plates. J. Appl. Mech.6 1959, vol. 26, 4.

124. Midlin R.D., Deresiewicz H. Thickness-shear and flexural vibrations of a circular disk. J. Appl. Mech.6 1954, vol. 21 (1329-1332).

125. Mirsky I., Herrmann G. Nonaxially symmetric motions of cylindrical shells. J. Acoust. Soc. Amer., 1957, 29, №10, 1116-1123-P^CMex, 1959, №3, 2958.

126. Mirsky I., Herrmann G. Nonaxially symmetric motions of cylindrical shells. J. Acoust, Soc. Amer., 1959, 31, №2, 250-P)KMex, 1960, №11, 15051.

127. Mirsky I., Herrmann G. Axially symmetric motions of thick cylindrical shells. Paper Amer. Soc. Mech. Engrs., 1957, №A-19, J. Appl. Mech., 1958, 25, №1, 97-102-P)KMex, 1959, №1, 779; №5, 5476.

128. Mirsky I. Vibrations of orthotropic thick, cylindrical shells. J. Acount, Soc. Amer., 1964, 36, №1, 41-51-PKMex, 1964, 8B209.

129. Mirsky I. Three-demensional and shell-theory analysis for axisymmet-ric vibrations of ortotropic shells. J. Acount, Soc. Amer., 1964, vol. 36, №1.

130. Mirsky I. Wave propagation in transversely isotopic circular cylinders. J. Acount, Soc. Amer., 1965, vol. 37, 1016-1026.

131. Pfeiffer F. Elastokinetik. Hand buch der Physik. Band VI: Mechanik der elastischen Korper. Berlin, Verlag von J. Springer, 1928, 309-403; Пфейффер П. Колебания упругих тел. ji.—м., Гостехиздат, 1934.

132. Poisson S.D. Memoire sur l'equilibre et le monvement des corps elastiques. Mem. Acard. Roy. Sei., 1829, 8, 357-570.

133. Рэлей. Lord Rayleigh. On the free vibrations of an ifinite plate of homogeneous isotropic elastic matter. Proc. London Math. Soc., 1889, 20; Рэлей Дж. Теория звука. Гостехиздат, § 186.

134. Raskovic D. Wlasnosci funkeji wlasnych dla drgan poprzechnych belek jednorodnych z uwzglednieniem wplywu scinania i bezwladnosci obrotowej. Rozpr.inz., 1958, 6, №2, 205-217-РЖМех, 1960, №1, 1997.

135. Reissner E. On the theory of bending of elastic plates. !. Math, and Phys., 1944, 23, №4, 184—191.

136. Rissone R.F. and Williams J.J. Vibrations of non-uniform cantilever beams. Engineer, 1965, 220, №5722, 497-506-РЖМех, 1966, 4B175.

137. Seidel B.S., Erdelyi E.A. On the vibrations of thick ring in its own plane. Trans ASME, 1964, В 86, №3.

138. Tartakowskii B.D. u Rybak S.A. On the vibration of learned plate withtiilosses. 4 Intranet. Co ngs. Acoust, Copenhagen, 1962. Congr. Rept. Vol. 1, s.a., №P43, 4pp.

139. Tomar J.S. On flexural vibrations of isotopic elastic thin square plates according Mindlin's theory. Proc. Nat. Inst. Sei. India 1963, A29, №2.

140. Tomar J.S. On flexural vibrations of isotopic elastic thin circular plates according Mindlin's theory. Proc. Nat. Inst. Sei. India, 1963, A29, №5.

141. Traill-Nach R.W., Collar A.R. The effects of shear flexibility and rotatory inertia on the bending vibrations of beams. Quart. J.Mech. and Appl. Math., 1953, 6, №2, 186-222-РЖМех, 1953, №3, 1305.

142. Vasiliev V.V., Lurie S.A. On refined theories of beams, plates and shell// J. of Composite Materials., 1992, vol. 26, №4.

143. Volterra E. Second approximation of method of internal constraints and its applications. Internat. J. Mech. Sci., 1961, vol. 3, 1-2.

144. Volterra E. Influenza del taglio nella dinamica e nella statica della piastre sottili. Atti Acad.naz. Lincei Rend. cl. sci.fis., mat. e nature. 1960, 28, №6; 1960, 29, №1-2.

145. Volterra E. Method of internal constraints and its application. Proc. Amer. Soc. Cwil. Engrs, 1961, 87, EM 4, 103-127.

146. Volterra E. Effect of shear deformations on bending of rectangular plates. J.Appl. Mech., 1960, vol. 27, №3.

147. Wang T.M. Comment of «Natural frequencies of continuous Ti-moshenko beams» by T.M. Wang.— Author's reply. J. Sound and Vibr., 1971, 19, №3, 367-377-РЖМех, 1972, 7B203.

148. Wang T.M. Natural frequencies of continuous Timoshenko beam. J. Sound and Vibr., 1970, 13, №4, 409-414-РЖМех, 1971, БВ348.

149. Weigand A. Biegeschwingungen von Staben unter Berucksichtigund der Schubverformung und der Drehtragheit (Freie und erzwungene Schwingungen, Einshaltvorgange). Wiss.Z. Techn. Univ. Dresden, 1962, 11, №3, 483-496-РЖМех, 1963, 5B144.

150. Widera O.E. An asymptotic theory for the rotationally symmetric vibrations of shells of revolution. Z. angew. Math, und Mech., 1970, 50, Sondern. 1-4, 251-252-РЖМех, 1971, 2B250.

151. Yu Yi-Yuan (И. Юань). On leaner equations of anisotropic elastic plates. Juart. Appl. Math., 1965, vol. 22, №4.

152. Yu Yi-Yuan (И. Юань). General Hamilton's principle and variational equation of motion in nonlinear elasticity theory with application to plate theory. J.Acoust. Soc. America, 1964, vol. 36, №1.151

153. Yu Yi-Yuan (И. Юань). Simple thickness-shear modes of of vibration of infinite sandwich plates. Trans ASME, 1959, E 26, №4.