автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Устойчивость упругих и вязкоупругих неконсервативных систем при случайных стационарных воздействиях

На правах рукописи

Лукьянов Михаил Анатольевич

Устойчивость упругих и вязкоупругих неконсервативных систем при случайных стационарных воздействиях

Специальность 05.23.17 - Строительная механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва - 2004

Работа выполнена в Московском государственном университете путей сообщения (МИИТ).

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор В .Д. Потапов

доктор физ.-мат. наук, вед. н. с. А. П. Сейранян

к.т.н., доцент В.П. Радин

Ведущая организация: Открытое акционерное общество «Научно-исследовательский институт транспортного строительства» (ОАО ЦНИИС)

Защита диссертации состоится "_"_2004 г в_

на заседании диссертационного совета Д218.005.06 при Московском государственном университете путей сообщения (МИИТ) по адресу: 127994, Москва, ул. Образцова, д. 15, в аудитории_.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Московского государственного университета путей сообщения.

Автореферат разослан "_" января 2004 года

Ученый секретарь диссертационного совета, к.т.н., профессор

Э.С. Спиридонов

3 У-РЗгуу

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Развитие машиностроения, авиации и ракетной техники существенно расширило класс нагрузок. Аэродинамические силы, действующие на крыло самолета или на обшивку корпуса ракеты являются неконсервативными. Все современные системы автоматического регулирования являются неконсервативными. К таким системам относятся роторы электрических машин или газовых турбин, а также гибкие валы с регулируемым числом оборотов.

В последние десятилетия в области мостостроения возрос интерес к динамической устойчивости мостов с большими пролетами, таких как вантовые и висячие мосты, которые оказываются неконсервативными системами при реальном ветровом воздействии. Многочисленные натурные испытания позволили накопить обширную эмпирическую базу, на основании которой в некоторых случаях может быть решена проблема выбора эффективной и вместе с тем практически целесообразной математической модели, используемой в расчетах.

Представленная в работе методика может быть с успехом применена для определения критических значений нагрузки, имеющей случайный характер, для сложных пространственных неконсервативных систем. Также с помощью данного метода могут быть выделены характерные особенности поведения систем при изменении различных параметров. Преимуществом данной методики исследования устойчивости конструкции является существенное сокращение машинного времени, требуемого при использовании в расчетах по методу конечных элементов. Данный вопрос имеет большое значение на стадии проектирования ответственных сооружений.

Объектом исследования являются обыкновенные дифференциальные уравнения колебаний со случайными коэффициентами, а также характеристики демпфирования, получаемые на основе различных моделей.

Цели и задачи работы. 1. Разработка метода оценки устойчивости упругих и вязкоупругих неконсервативных систем, находящихся под действием случайной нагрузки с помощью

РОС НАЦИОНАЛЬНАЯ I БИБЛИОТЕКА I СПетеtfmt9Q | ОЭ VXrJ**»/<9 I

I III ч ЯШ шаг mm

2. Разработка алгоритма расчета упругих и вязкоупругих неконсервативных систем при стохастических воздействиях и создание компьютерных программ.

3. Анализ влияния характеристик демпфирования, а также различных характеристик, описывающих изменение воздействия, рассматриваемого "как случайный процесс, на устойчивость упругих и вязкоупругих неконсервативных систем.

4. Определение вероятностного распределения показателя Ляпунова и оценка вероятности потери устойчивости систем, обуславливающие их надежность при строительстве и эксплуатации.

Научная обоснованность. Практическая невозможность получения аналитического решения большинства задач динамики предполагает активное применение в расчетах численных методов, которые позволяют с достаточной степенью точности учесть сложные явления динамической неустойчивости при действии случайной нагрузки.

В диссертации используется динамический метод исследования устойчивости систем, поведение которых описывается. дифференциальными уравнениями в частных производных со случайными коэффициентами.

В работе также нашли применение современные представления о характере ветровой нагрузки, которая по своей природе является случайной. Моделирование интенсивности ветрового потока осуществляется с использованием эмпирических зависимостей, полученных Давенпортом на основе многолетних наблюдений.

Научная новизна работы. Исследуется поведение и устойчивость неконсервативной системы с применением разных моделей демпфирования, находящихся под действием как детерминированной, так и случайной нагрузки с помощью показателя Ляпунова.

В работе применяется современный подход к расчету сооружений, находящихся под действием случайной нагрузки, в сочетании с методом статистического моделирования. На основе этих данных проводится исследование поведения и определения степени устойчивости неконсервативной системы.

Практическая ценность работы. Определение динамической, неустойчивости (наступление флаттера) на практике

сопряжено с определением комплексных собственных значений системы, что представляет значительные трудности. Исследование устойчивости неконсервативных систем с помощью показателя Ляпунова позволяет с наименьшими сложностями ответить на вопрос об устойчивости равновесного состояния системы, о величине критических нагрузок и допустимых значениях параметров воздействий, вероятности безотказной работы конструкции.

Расчет строительных конструкций на воздействие нагрузки, носящий случайных характер, имеет большое значение при проектировании протяженных и ответственных транспортных сооружений. Полученные в данной работе основные выводы и результаты представляют интерес и могут быть полезны для инженеров-проектировщиков, занимающихся вопросами устойчивости конструкций.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на международной конференции, проводимой под патронажем Российской академии наук и немецкого общества прикладной математики и механики (GAMM) в Санкт-Петербурге (27.06 - 6.07.2002г); на научном семинаре кафедры "Строительная механика" МИИТа в 2003г.

Публикации. Основные положения и результаты диссертации опубликованы в пяти работах.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованных источников и четырех приложений. Материал изложен на 141 страницах, содержит 43 рисунка, 12 таблиц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается общая характеристика выполненного исследования.

В первой главе Изложен исторический обзор работ по исследованию устойчивости неконсервативных систем таких ученых как Болотина В.В., Николаи Е.Л., Циглера (Ziegler H.), Германа (Herrman G.), Бекка (Beck M), Немат-Нассера (Nemat-Nasser S.), Джанелидзе Г.Ю., Дейнеко К. С, Леонова М.Я., Плаута (Plaut R.H.), Лейпхольца (Leipholz), Пфлюгера (Pfluger А.), Хаугера

(Hauger W.), Богача Р. и Янишевского Р., Жинжера Н. И., Сейраняна

A.П., Кириллова О.Н., Мануйлова Г. А.

Рассматривается содержание работ по исследованию аэродинамической устойчивости мостов таких ученых как Сканлана (Scanlan R.), Давенпорта (Davenport A.G.), Шинозуки (Shinozuka M.), Казакевича М.И;

Исследованию динамики стохастических систем посвящены работы Ибрагима (Ibrahim R.A.), Козина (Kozin F.), Миязаки (Miyazaki M.), Ларсен (Larsen А.), Хансена (Hansen S.O.), Потапова

B.Д., Болотина В.В., Радина В.П., Чиркова В.П. и др.

Приводятся теоретические положения; содержащие общие, сведения о моделировании случайных процессов и исследовании устойчивости. Основные положения теории случайных процессов и методы их моделирования изложены в трудах Пугачева B.C., Хинчина А.Я., Свешникова А.А., Вентцель Е.С. Теоретические основы по исследованию устойчивости изложены из работ Ляпунова A.M., Демидовича Б.П., Четаева Н.Г., Неймарка Ю.И., Беннетина (Bennetin G.) и др.

Устойчивость понимается в смысле Ляпунова. Для оценки устойчивости стержня, находящегося под действием силы, использовалась интегральная характеристика - максимальный показатель Ляпунова, определяемый выражением:

где llY(t)ll - норма вектора решения системы дифференциальных уравнений.

Положительное значение показателя Ляпунова свидетельствует о колебаниях с нарастающей во времени амплитудой и, следовательно, о неустойчивости систем. При затухающих колебаниях значение показателя Ляпунова отрицательно. Критической нагрузкой считается такая нагрузка, при которой показатель Ляпунова становится нулевым.

Для моделирования стационарного процесса P(t) при численном решении задачи применяется метод канонических разложений:

л

где Р0 - математическое ожидание, 11/ , Р) - некоррелированные случайные величины, обладающие следующими свойствами: < Ц > = < Г/ > = 0 - математическое ожидание коэффициентов компонентов случайной нагрузки; < иЦ > = < К/ > = 2£(<у,)'Дй> — дисперсия коэффициентов; ¿Г - спектральная плотность; а>, -детерминированная частота; Дй) - принимаемый интервал частот.

В расчетах используется корреляционная функция, следующего вида:

К = а1е~6^со5вт (3)

где в - частота скрытой периодичности стационарного процесса; 8 - параметр, характеризующий масштаб корреляции случайной функции; - среднеквадратическое отклонение случайного процесса.

Для стационарных процессов характерна неизменность их характеристик во времени.

Выражение для спектральной плотности случайного процесса с корреляционной функцией (3) имеет вид:

л

\й)"

й)2+б2+е2

■в2-б2} +4520)2

(4)

Во второй главе исследуется устойчивость упругого стержня под действием как детерминированной, так и случайной неконсервативной нагрузки. Рассматривается консольный стержень постоянного сечения с жесткостью Е1 и длиной Ь, один из концов которого жестко защемлен, а другой свободный нагружен следящей силой Р. Стержень может совершать колебания относительно недеформированной продольной оси. Текущий прогиб v зависит от времени t и координаты z, отсчитываемой вдоль первоначально не искривленной оси стержня. Масса стержня считается равномерно распределенной по длине.

Дифференциальное уравнение, описывающее малые колебания стержня с учетом внешнего демпфирования, записывается в виде:

,а4у

.а2у

д\

(5)

Е1—- + Р—- + к— + т—- = 0 &4 дг2 д( д(

где v - прогиб стержня, Е1 - изгибная жесткость, к - коэффициент

внешнего сопротивления, т — распределенная масса стержня.

Поскольку точное решение найти невозможно, для решения этого уравнения прогиб стержня представляется в виде:

1=1

(6)

где q>i (z) = sin(r,£) - sh(ri(f) - cos +ch(r,£)

fi(t)—обобщенные прогибы; <pt(z) - форма собственных поперечных колебаний консольной балки, ц, , rt коэффициенты получаемые из решения трансцендентного уравнения.

Используя свойство ортогональности функций, применяем метод Бубнова-Галеркина и приходим к обыкновенному дифференциальному уравнению:

ti=a>} t - безразмерное время; G>\ - значение первой собственной круговой частоты поперечных колебаний балки. Окончательно получим:

du2 du ~*Jk

Pi"

(8)

I, -ч гг ак-гх •Е1

где Гк - корень трансцендентного уравнения.

Коэффициенты а* и {3*, определялись аналитически, а для проверки они были определены методом численного интегрирования по формуле Симпсона.

Уравнение (8) решалось численным методом Рунге-Кутта четвертого порядка.

При решении- детерминированной задачи были получены значения критической нагрузки в зависимости от числа учитываемых собственных форм в разложении прогиба, которые были сопоставлены с результатами, полученными другими исследователями ранее.

В целях рационального использования машинных мощностей при расчетах в дальнейшем ограничимся учетом 6 первых форм собственных колебаний в разложении прогиба.

Таблица 1

Критическое значение нагрузки Рщ,Ь2/Е1.

Количество учитываемых форм Временной инте рвал

40 240 2000

2 20,10 20,13 20,13

6 20,04 20,07 20,08

10 20,04 20,07 20,08

При реализации случайной нагрузки во времени численным методом в результате решения дифференциального уравнения (8) получали значение показателя Ляпунова. Для построения гистограмм использовалось 1000 значений показателя Ляпунова, число удерживаемых членов в каноническом разложении стационарного процесса было принято 25, временной интервал — 40 единиц безразмерного времени, шаг по времени 0,01. В качестве числовых характеристик распределений использовались такие как: математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение, коэффициенты асимметрии и эксцесса. Последние коэффициенты учитывают соответственно несимметричность и выгянугость распределений по сравнению с нормальным законом.

В работе исследовалось влияние параметров б, в и <т корреляционной функции (3) на распределение показателя" Ляпунова.

Показано, что с уменьшением 5 наблюдается увеличение математического ожидания, увеличение дисперсии распределения, уменьшение коэффициента эксцесса. При этом отмечается незначительное уменьшение коэффициента асимметрии.

Изменение параметра в может приводить как к увеличению, так и к уменьшению значения математического ожидания и дисперсии. При определенных значениях этого параметра может сильно изменяться коэффициент асимметрии.

Изменение параметра а почти пропорционально изменяет среднеквадратическое отклонение распределения показателя Ляпунова и мало сказывается на изменении других характеристик выборки.

Влияние постоянной составляющей нагрузки на характер распределений показателя Ляпунова можно видеть на рисунке 1.

При определенных значениях Ро относительно резко меняется значение дисперсии случайной величины.

Рис. 1. Гистограммы показателяЛяпунова в зависимости от постоянной составляющейнагрузки.

В третьей главе рассматривается устойчивость вязкоупругих стержней под действием неконсервативной нагрузки. Рассматриваются модели Фойгта и стандартного вязкоупругого материала.

Дифференциальное уравнение в частных производных описывающее малые колебания стержня с учетом внешнего и внутреннего демпфирования имеет следующий вид:

пд2у д\ п + к— + Р—- + т—- = 0 (9)

Е1

д\

дг

+ Т]-Е1-4 д1дг4

5/ дг2

Ы1

где т]—коэффициент внутреннего трения.

По аналогии, представляя, прогиб стержня в виде (6), переходим к решению обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка:

4 ^ _ 4 р14

;А.=0- (Ю)

¿2Л

л,

Л

¿и

■Е1

«'1 г,- "'1 ак-г 1

В работе проводится исследование влияния коэффициента внутреннего трения 77 на значение критической» нагрузки при решении детерминированной задачи. Как это отмечалось в литературе, с уменьшением коэффициента внутреннего трения критическая нагрузка будет стремиться к значению- примерно равному 10,62Е1/Ь2. Причем, с уменьшением коэффициента внутреннего трения необходим больший временной интервал, на котором рассматривается возбужденное движение (см. рис. 2). Вдоль вертикальной оси откладываются значения сжимающей силы Р в единицах Е1/Ь2. По горизонтальной оси откладывается коэффициент внутреннего трения 7.

Чф

12

0

0.0

1 ф * 0 :3 / 1.„_ !

« о 9 : М

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Рис.2. Зависимость критической нагрузки откоэффициента внутреннего трения и временного интервала.Кривая 1 соответствует временному интервалу в8000единиц безразмерного времени, кривая2-2000единиц, кривая3—240единиц, кривая 4—

40единиц.

Представленные графики были получены при учете только первых двух форм в разложении прогибов по собственным формам колебаний системы. Как показали исследования, учет 6-ти первых форм в разложении прогибов позволяют на меньшем временном интервале добиться большей точности при определении значения критической нагрузки по сравнению с учетом только первых 2-х форм. Значение критической нагрузки при этом несколько больше, чем при учете 2-х форм.

Также было исследовано влияние коэффициента внешнего трения на характер изменения критической нагрузки совместно с внутренним трением. Получены кривые зависимостей критической нагрузки от коэффициента внутреннего трения, представленные на рис.3.

С уменьшением внутреннего трения критическая нагрузка плавно возрастает до значения 20,13Е1/Ь2, а скорость ее увеличения зависит от конкретного значения коэффициента внешнего трения.

0.0 0.1 02 0.3 0.4 0.5

Рис. 3. Зависимостькритическойнагрузки от коэффициента внутреннего трения приразличнъжзначенияхкоэффициента внешнеготрения. Кривая 1соответствуетзначению еравному 0,10,кривая2 - £ =0,05.

Дифференциальное уравнение малых колебаний вязкоупругого стержня записывается в виде:

шЬ-я)

+ т-

Э2у

V

а2у

д( дг1

= 0

где

где Ц - константы

Л - оператоп пеляксяпии:

(И) (12)

(13)

(14)

0<р?(г)</г<1. о

Допуская, что ядро релаксации материала представляется одной экспонентой в выражении (12), получим модель Кельвина. Выполняя подстановку выражения для прогиба (6), получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений для малых колебаний вязкоупругого стержня:

(15)

(16)

Для сопоставления результатов решения дифференциальных уравнений, описывающих малые колебания вязкоупругих моделей, были подобраны коэффициенты К=0,389 и Ь=0,300, таким образом, чтобы эти системы обладали одинаковыми демпфирующими свойствами.

Использование стандартной модели вязкоупругого материала при решении детерминированной задачи приводит к завышению значения критической нагрузки по сравнению с получаемым при использовании модели Фойгта.

На примере периодически изменяющейся во времени нагрузки, в работе были показаны некоторые различия при

определении критической нагрузки с помощью вязкоупругой модели. При медленно изменяющихся нагрузках модели, учитывающие вязкоупругие свойства материала, дают заниженную критическую нагрузку. При относительно быстро меняющихся нагрузках модель Фойгга дает несколько завышенное критическое значение Л по сравнению с другими моделями.

На рисунке 4 представлены зависимости математического ожидания показателя Ляпунова в выборке от постоянной составляющей нагрузки. Для того, чтобы подчеркнуть имеющуюся разницу в средних значениях показателей Ляпунова, на рисунке представленные результаты были наложены на кривые зависимостей показателя Ляпунова при детерминированной нагрузке, показанные на рисунке пунктирными линиями.

Разный характер поведения представленных кривых объясняется, прежде всего, принципиальными различиями в моделирования материала.

О 4 8 12

О

-0.03 -0.06 -0.09 -0.12 -0.15 -0.18

' I

П V ' /И/

1 /'/ А / / , Л V _ -

_ д. * ш

20

<х>

Рис. 4. Зависимость математического ожидания показателя Ляпунова. Кривая 1 соответствует системе с учетом внешнего демпфирования, 2-е внешним и внутренним демпфированием по модели Фойгта, 3 - вязкоупругая система с внешним демпфированием.

С ростом постоянной нагрузки увеличиваются как средние значения, так и дисперсии показателей Ляпунова. Однако, характер изменения не является монотонным. Значения этих показателей распределений меняется скачкообразно. Значения максимумов функций математического ожидания не соответствует максимумам графиков среднеквадратических отклонений. Весьма показательной является точка примерно равная 14Е1/Ь2., в которой локальный максимум первых функций соответствует локальному минимуму вторых.

Однако в виду несимметричности гистограмм, эти зависимости не дают однозначного представления об уровне устойчивости. Характеристикой может служить величина вероятности потери устойчивости. На рис. 5 по горизонтальной оси откладываются средние значения нагрузки, а по вертикальной -вероятность потери устойчивости в процентах, вычисляемой как отношение количества положительных показателей Ляпунова к общему количеству в выборке.

Р+,%

100 г 80 60 40

20 0

8

Рис. 5. Зависимость вероятности потери устойчивости. Кривая 1 соответствует модели с внешним демпфированием,

2 - модели с внешним и внутренним демпфированием по модели Фойгта, 3 — вязкоупругой модели с внешним демпфированием.

У вязкоупругой системы с внешним демпфированием (график 3), также как и у системы с внешним демпфированием, при среднем значении нагрузки 14Е1/1? наблюдается увеличение вероятности потери устойчивости с последующим уменьшением. Также как у системы, обладающей внешним и внутренним демпфированием, у вязкоупругой модели с ростом нагрузки относительно быстро происходит рост числа положительных показателей устойчивости в выборках. Другими словами, вязкоупругая модель обладает всеми характерными особенностями двух других моделей.

Установлено, что на величину относительного роста значений математического ожидания показателей Ляпунова влияет частота скрытой периодичности случайной нагрузки.

В четвертой главе исследуется устойчивость вонтового моста построенного в Сибири через реку Обь в 2000 году, при действии детерминированной и случайной ветровой нагрузки для одной монтажной стадии и эксплуатационной.

Рассматриваются связанные между собой изгибно-крутильные колебания моста. При определенной скорости воздушного потока возможна потеря устойчивости моста в форме быстро нарастающих во времени изгибно-крутильных колебаний (флаттера).

На первом этапе задача сводится к определению форм собственных колебаний моста на основании моделирования его поведения с помощью метода конечных элементов. Всего удерживается 12 первых собственных форм колебаний, что вполне достаточно без ущерба для точности вычислений.

•Учитывая ветровое воздействие на мост, задача устойчивости, решаемая через обощенные перемещения, сводится к решению системы дифференциальных уравнений второго порядка, описывающих поведение моста в возмущенном движении. Коэффициентами уравнения являются величины, которые постоянны или меняются во времени периодически или же случайным образом. Применяя метод канонических разложений для представления случайного стационарного процесса, сводим анализ каждой реализации случайного стационарного процесса к рассмотрению системы дифференциальных уравнений типа Матье-Хилла:

где Е\ - коэффициент внешнего трения; е2 - коэффициент внутреннего трения;

G, А - симметричная и несимметричные матрицы, учитывающие ветровое воздействие на конструкцию. Элементы этих матриц были получены с использованием дифференциальных уравнений изгибно крутильных колебаний моста с использованием результатов продувки модели блока балки жесткости в аэродинамической трубе.

со2 =M~1{VTKV

)-

а>{ О

О

а>2

О О

О О О со„

(18)

где частоты найдены с учетом продольных сил, вызванных вертикальными нагрузками от собственного веса.

Для численного моделирования в работе используется спектр Давенпорта - эмпирический спектр пульсаций продольной компоненты скорости, полученным из более чем 100 отдельных спектров.

(19)

где 0"„ = v0 tJ6K0 - стандарт пульсации скорости; Ко - коэффициент шероховатости подстилающей поверхности (для открытой

местности Ао=0>005); п = частота, Гц; (а- круговая частота, с'1;

2 к

и = —; Z=1200 - масштаб длины, м.

При моделировании случайного процесса, удерживалось большее количество случайных членов (порядка 200 пар косинусоидальных и синусоидальных компонент), позволяющих более полно учесть спектральную плотность пульсаций. Выбор относительно высокого количества членов случайной нагрузки в

каноническом разложении был сделан на основании анализа получаемых видов гистограмм для показателя Ляпунова.

В работе исследовалось влияние величины демпфирования на величину критической нагрузки как для детерминированной скорости ветра, так и для скорости ветра в виде случайного стационарного процесса. Для сравнительного анализа были выполнены вычисления - для разных величин логарифмического

декремента колебаний: 0,15 (рекомендовано в СНиП 2.05.03-84 для расчета стальных конструкций) и 0,05 (рекомендованное для висячих и вантовых систем, из отчетов обследования и специальной литературы).

При определенном значении вынуждающей частоты происходит снижение значения критической скорости ветра, определяемой из детерминированного расчета. Было выяснено, что при расчете конструкций, со значением коэффициентом декремента колебаний 0,15 , резкого снижения критической скорости не наблюдается. Однако, уже при меньшем внутреннем демпфировании значение критической скорости при частоте 3,9 составляет лишь 65,9% от критической скорости при постоянном ветре. Аналогичные кривые получены и для промежуточной стадии строительства.

В работе исследовалась возможность редукции количества обобщенных координат до 2. При моделировании колебаний моста с учетом двух собственных форм колебаний учитывалась изгибная форма в вертикальной плоскости и крутильная форма. Было показано, что при таком случае относительно корректное решение задачи (с погрешностью в 3 %) возможно только при постоянном значении скорости ветрового потока. В более сложном случае необходимо использовать значительно большее количество собственных форм колебаний в разложении прогибов.

Для моделирования стационарного процесса используется метод канонических разложений, в соответствии с которым скорость ветра можно представить в виде:

У = У0 + Х(А,-eosú)tt + B¡ • sin<y,í). (20)

/=0

A¡ и В, - случайные величины, распределенные по закону Гаусса, обладающие следующими свойствами:

математическое ожцдание коэффициентов компонентов случайной нагрузки; <A2> = <B,2> = S{co,)Aa>- дисперсия коэффициентов; S - спектральная плотность Давенпорта; со, - детерминированная частота; Аса - принимаемый интервал частот.

При численном моделировании случайного процесса величина со изменялась в пределах [0,5] с шагом Лео=0,025.

Анализ построенных зависимостей среднего значения показателя Ляпунова от среднего значения ветрового потока в рассматриваемых случаях показывает, что при постоянной нагрузке критическое значение скорости ветра оказывается неизменным. В случае, когда нагрузка представляет собой стохастический процесс, с уменьшением коэффициента внутреннего демпфирования критическое значение средней скорости ветра, при которой среднее значение показателя Ляпунова становится положительным, снижается.

На рис. 6 приводятся графики, иллюстрирующие вероятности потери устойчивости моста в стадии эксплуатации. По вертикали откладывается значение Р+ в процентах, вычисляемое как отношение количества положительных показателей Ляпунова к их общему количеству в выборке.

Р+,%

i i 1 i i ;

•ч 1 > I / , /

' 1 ' / ; /' 1

2 - >. • ;./ / /J

t ___/-" j /

У),м/с

'40 45 50 55

Рис. 6. Вероятностьпотериустойчивости в стадииэксплуатации. Кривая 1соответствуетзначению декремента колебанийравного 0,15; 2-0,05; 3-0,15 при учете 2 форм прогибов.

По приведенным графикам видно, что определенной вероятности соответствует два интервала допустимой скорости ветра. Другими словами, система при большей постоянной составляющей скорости ветра более устойчива, чем при меньшей. Это характерно как для стадии эксплуатации, так и для стадии строительства моста.

Сравнения между собой кривых для стадии строительства и эксплуатации показывает, что критическое значение средней скорости ветрового потока для стадии строительства примерно вдвое меньше

соответствующего значения скорости для стадии эксплуатации. Причем, в период строительства это значение порядка 20 м/с, что оказывается довольно близко к наблюдаемым скоростям ветра.

Далее рассматривается случай, когда функция случайной нагрузки принимает вид:

V = V0+Vr(V0)-cosор í + p(At • cos0J,t + B¡ • sin(21)

где Vr - случайная амплитуда периодической составляющей; 0}р =2,5рад/с - круговая частоты периодической составляющей.

В данном случае амплитуда периодической составляющей -случайная некоррелированная величина, распределенная по закону Гаусса. Величина ее среднеквадратического отклонения является функцией постоянной составляющей скорости ветра:

a2=Kv-V0z (22)

где - среднеквадратическое отклонение величины коэффициент.

В работе показано, что относительно небольшие значения среднеквадратического отклонения периодической составляющей мало влияет на устойчивость системы. Одцако, с увеличением значения дисперсии величины наблюдается рост положительного количества показателей Ляпунова в выборках, т.е. вероятность неустойчивого движения системы увеличивается.

Характерной особенностью данного случая является то, что при некоторых значениях постоянной скорости ветра (в стадии эксплуатации при м/с) периодическая составляющая

оказывает стабилизирующее воздействие на систему.

Для промежуточной стадии строительства при относительно небольших значениях скорости ветра вид гистограмм по внешнему

виду напоминает нормальное распределение. В случае стадии эксплуатации гистограммы по внешнему виду близки к распределению Вейбулла-Гнеденко или ^-распределению. В данной работе на основании полученных статистических данных с помощью критерия согласия Колмогорова-Смирнова были проверены некоторые теоретические функции для описания распределения показателя Ляпунова. Полученные результаты для монтажной стадии при относительно невысоких скоростях ветрового потока свидетельствуют о противоречии

распределении показателя Ляпунова нормальному или логарифмически нормальному распределению.

Проверенные статистические данные соответствовали довольно низким постоянным составляющим скорости для стадии строительства. Для больших средних значений ветровой нагрузки наблюдаются значительные отклонения. Существенные отклонения статистических данных для стадии эксплуатации от рассмотренных теоретических законов распределения свидетельствуют о практической целесообразности определять вероятность потери устойчивости конструкции во всех случаях по результатам статистических выборок показателя Ляпунова.

В первом случае вероятность потери устойчивости будет определяться по формуле:

где ЭД. - число положительных показателей Ляпунова, N - общее число реализаций в выборке.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Предложен численный метод исследования устойчивости неконсервативных систем при детерминированных воздействиях с использованием показателя Ляпунова. Для разных физических моделей демпфирования исследуется влияние демпфирующих сил на устойчивость системы при детерминированной нагрузке.

2. Разработан численный метод исследования устойчивости неконсервативных систем при воздействиях в виде случайных стационарных процессов.

3. Найдены оптимальные характеристики численного решения при решении задач устойчивости неконсервативных систем при случайных воздействиях.

4. Исследовано влияние демпфирования и характеристик случайного стационарного процесса на устойчивость неконсервативных систем и вероятностное распределение показателя устойчивости.

5. Разработаны программные комплексы для расчета и оценки устойчивости неконсервативных систем, находящихся под воздействиями, представляемыми в виде случайных стационарных процессов.

Основные положения диссертации опубликованы в

следующих работах:

1. Лукьянов МА., "Устойчивость вантового моста под действием случайной ветровой нагрузки", - Вестник МИИТа, Научно-технический журнал, Москва, 2002, вып 9, стр. 90 - 97.

2. Лукьянов МА, "Исследование поведения упругого и вязкоупругого стержня, нагруженного следящей силой", -Вестник МИИТа, Научно-технический журнал, Москва, 2002, вып. 7, стр. 88-93.

3. Лукьянов МА, "Stability of elastic and viscoelastic nonconservative systems under stochastic parametric excitations", GAMM Proceedings of the XXX Summer School "Advanced Problems in Mechanics APM'2002" , June 27- July 6 , ed. D.A. Indeitsev, St.Petersburg, 2003,pp. 451 -455.

4. Potapov V.D., Lukianov MA, "Stability and reliability of elastic and viscoelastic systems under stochastic parametric excitation", GAMM 1998, Annual Meeting, April 6-9, 1998 , Book of Abstracts, p. 104.

5. Potapov V.D., Kezin A.S., Lukianov M.A, "Stability of visco-elastic-plastic systems under action of loads in the form of random process", GAMM 2001, Annual Scientific Conference, February 1215,2001 ETH Zurich, Book ofAbstracts, p. 110.

Лукьянов Михаил Анатольевич

Устойчивость неконсервативных упругих и вязкоупругих систем при случайных стационарных воздействиях

Специальность 05.23.17 - Строительная механика

Подписано к печати: Щ.М.ОЧ, Усл.-печ.л. -4Г5.

Печать офсетная. Бумага для множит, апп. Формат 60X84 1/16 Тираж 80 экз. Заказ № 28,

Типография МИИТа, 127994, Москва, ул. Образцова, 15.

РНБ Русский фонд

2004-4 23002

Введение

Глава I. Обзор работ, посвященных исследованию устойчивости 12 неконсервативных систем и моделированию случайных процессов

1.1. Общие сведения о расчете на устойчивость.

1.2. Исследование устойчивости систем с помощью 25 показателя Ляпунова.

1.3. Численное моделирование случайной нагрузки.

1.4. Постановка задачи.

Глава И. Исследование поведения упругого консольного стержня под действием случайной следящей нагрузки с учетом внешнего трения.

2.1. Моделирование работы упругой 34 неконсервативной системы.

2.2. Исследование поведения упругой системы.

2.3. Анализ поведения упругого стержня под 43 действием случайной нагрузки.

Глава III. Исследование устойчивости вязкоупругого консольного 49 стержня под действием случайной следящей нагрузки

3.1. Моделирование работы системы с использованием 49 модели Фойгта.

3.2. Моделирование вязкоупругой работы системы с 56 использованием стандартной вязкоупругой модели.

3.3. Поведение неконсервативной системы под действием нагрузки, периодически меняющейся во времени.

3.4. Анализ поведения вязкоупругого стержня под 66 действием случайной нагрузки.

3.5. Определение вероятности потери устойчивости 76 системы.

Глава IV. Расчет вантового моста на устойчивость под действием ветровой нагрузки

4.1. Общие сведения о конструкции вантового моста и 82 методике расчета.

4.2. Моделирование поведения моста под действием 84 ветровой нагрузкой.

4.3. Определение ветровой нагрузки.

4.4. Анализ поведения моста под действием случайной 94 ветровой нагрузки.

4.5. Определение вероятности потери устойчивости. 109 Выводы 116 Список литературы 117 Приложение 1. Формулы для вычисления коэффициентов а* и Д,-. 126 Приложение 2. Тексты основных компьютерных программ. 128 Приложение 3. Проверка теоретических кривых распределения показателя Ляпунова.

Данная работа посвящена исследованию устойчивости неконсервативных систем под действием случайных нагрузок. Примерами неконсервативных систем могут быть: консольный стержень, нагруженный следящей силой (направленной по касательной к торцевому сечению), пластина в набегающем потоке воздуха, вантовый или висячий мост, гибкие валы с регулируемым числом оборотов, крыло летательных аппаратов, обшивка ракет и др.

Отличительным признаком неконсервативности системы является зависимость работы приложенных сил от пути, по которому система переходит из одного положения в другое.

В строительной практике часто встречаются такие случайные воздействия на конструкцию как давление от движущейся нагрузки, ветровые воздействия, воздействия волн и течений, воздействие взрывной волны на сооружение, сейсмическое воздействие. Некоторые из них можно рассматривать как стационарные. Для случайных стационарных процессов характерна неизменность их вероятностных характеристик во времени. Вследствие этого они имеют квазипериодический характер.

Учет действительного характера случайной нагрузки позволяет максимально приблизить математическую модель, используемую в расчетах, к реальному сооружению. Результаты, полученные при аналитических исследованиях, в этом случае будут соответствовать действительному характеру поведения конструкции. Применение компьютерных мощностей позволяет проектировщику более обосновано подойти к решению сложных задач при проектировании и строительстве ответственных сооружений, к которым относятся висячие и вантовые мосты, трубопроводы и т.п.

Применительно к этим конструкциям ветровая нагрузка играет первостепенную роль. Большая протяженность, низкие частоты, весьма малые значения логарифмических декрементов колебаний делают их особо чувствительными к ветровому воздействию, которое может вызвать аэродинамическую неустойчивость типа флаттер. Изгибно-крутильный флаттер представляет собой связанные изгибно-крутильные нарастающие во времени самовозбуждающиеся колебания. Нарастание амплитуды колебаний во времени происходит столь быстро, что возможно разрушение конструкции.

Проблема обеспечения аэродинамической устойчивости мостов возникла в результате катастрофы, случившейся с висячим мостом Такома в США в 1940. Она привлекла к себе внимание не только инженеров строителей, но и многих выдающихся исследователей в области механики и аэрогидродинамики. В связи с этим, у многих исследователей причины аварии катастрофы оказались различными. Так, например, у В.З. Власова [12] причиной дивергентной формы потери устойчивости моста явился ветер с некоторой периодичностью. Другие исследователи отмечали крайне малое отношение ширины проезжей части к длине пролета, что сильно сказывается на аэродинамической устойчивости [72].

Поразившая в свое время инженерное сообщество, Такомская катастрофа положила начало систематическим исследованиям ветровых воздействий на висячие и вантовые мосты. Этот мост, с главным пролетом 854 м, весьма успешно противостоявший значительным ветровым нагрузкам, оказался весьма чувствительным к слабому ветру. Последовали интенсивное изучение причин аварии, обстоятельные эксперименты в аэродинамических трубах.

К настоящему времени накоплен большой опыт в проектировании отдельных классов сооружений, но почти полностью исключается возможность использования его в аэродинамических расчетах других видов конструкций, что связано с необходимостью учета случайного характера воздействия и его зависимостью от многочисленных факторов.

Поскольку ветровая нагрузка является объективно случайной во времени нагрузкой, то для исследования устойчивости систем необходимо применять вероятностные подходы.

Проблема аэродинамической устойчивости мостов имеет как детерминированную, так и стохастическую интерпретацию. Рассмотрим вероятностный подход в современном проектировании на примере ветровой нагрузки. Первый тип - квазипериодический расчет, из которого на основании нормативных нагрузок вычисляют предполагаемые внутренние усилия и определяют размеры поперечных сечений элементов конструкции. Учет случайности нагрузки в данном случае происходит при определении нагрузки с введением соответствующих поправочных коэффициентов. Суть расчета состоит в том, что элементы конструкции проверяются по предельным состояниям на величину динамической нагрузки.

Однако запроектированное сооружение может не обеспечить безотказной работы при таком случайном воздействии вследствие возможной динамической потери устойчивости. Следовательно, необходимо подкрепить квазистатический расчет проверкой аэродинамической устойчивости моста в воздушном потоке.

Основная цель аэродинамического расчета гибких мостовых конструкций заключается в проверке возможности возникновения аэроупругой неустойчивости. Из условия возникновения аэроупругой неустойчивости определяется соответствующая критическая скорость ветрового потока, что является завершающей стадией аэродинамического расчета.

Возможны два подхода к решению этой задачи. Первый -экспериментальный - подход заключается в испытаниях точной модели моста в аэродинамической трубе. Недостатком является несоответствие демпфирующих свойств модели действительным свойствам реальной конструкции. Второй - аналитический - заключается в применении математической модели воздействия на сооружение. Сложностью является невозможность точного описания механизма воздействия ветрового потока на конструкцию в виду возникающей взаимосвязи между потоком и объектом обтекания. Одним из возможных выходов из подобной ситуации является сочетание аэродинамических испытаний модели с аналитическим моделированием поведения конструкции. В этом случае, расчетчик, в дополнение к имеющимся матрицам жесткости и демпфирования, на основе результатов испытания модели получает матрицы, характеризующие особенности ветрового воздействия на конструкцию. В дальнейшем в расчетах применимы накопленные эмпирические данные о характере ветрового воздействия, привязанные к местным условиям, а также мощный аппарат математической статистики.

Актуальность темы

Развитие машиностроения, авиации и ракетной техники существенно расширило класс нагрузок. Аэродинамические силы, действующие на крыло самолета или на обшивку корпуса ракеты являются неконсервативными. Все современные системы автоматического регулирования являются неконсервативными. К таким системам относятся роторы электрических машин или газовых турбин, а также гибкие валы с регулируемым числом оборотов.

В последние десятилетия в области мостостроения возрос интерес к динамической устойчивости мостов с большими пролетами, таких как вантовые и висячие мосты, которые оказываются неконсервативными системами при реальном ветровом воздействии. Многочисленные натурные испытания позволили накопить обширную эмпирическую базу, на основании которой в некоторых случаях может быть решена проблема выбора эффективной и вместе с тем практически целесообразной математической модели, используемой в расчетах.

Представленная в работе методика может быть с успехом применена для определения критических значений нагрузки, имеющей случайный характер, для сложных пространственных неконсервативных систем. Также с помощью данного методы могут быть выделены характерные особенности поведения систем при изменении различных параметров, описывающих изменение воздействия во времени. Преимуществом данной методики исследования устойчивости конструкции является существенное сокращение машинного времени, требуемого при использовании в расчетах по методу конечных элементов. Данный вопрос имеет большое значение на стадии проектирования ответственных сооружений.

Цели и задачи исследования

Целями данной диссертационной работы являются:

- разработка метода оценки устойчивости линейных упругих и вязкоупругих неконсервативных систем, находящихся под действием случайной нагрузки, с помощью показателя Ляпунова;

- разработка алгоритма расчета упругих и вязкоупругих неконсервативных систем при стохастических воздействиях и создание компьютерных программ;

- анализ влияния характеристик демпфирования, а также различных характеристик, описывающих изменение воздействия, рассматриваемого как случайный процесс, на устойчивость упругих и вязкоупругих неконсервативных систем;

- определение вероятностного распределения показателя Ляпунова и оценка вероятности потери устойчивости систем, обуславливающие их надежность при строительстве и эксплуатации.

Обоснованность и достоверность научных положений

Практическая невозможность получения аналитического решения большинства задач динамики предполагает активное применение в расчетах численных методов, которые позволяют с достаточной степенью точности учесть сложные явления динамической неустойчивости под действием случайной в общем случае нагрузки.

В диссертации используется динамический метод исследования устойчивости систем, который является наиболее общим для определения критических значений нагрузок.

В работе, также, нашли применение современные представления о характере ветровой нагрузки, которая по своей природе является случайной. Моделирование интенсивности ветрового потока осуществляется через эмпирические зависимости, полученные Давенпортом на основе многолетних наблюдений [1, 48].

Научная новизна

Исследуется поведение и устойчивость неконсервативной системы на основе разных моделей, находящихся под действием как детерминированной, так и случайной нагрузки с помощью показателя Ляпунова.

В работе применяется современный подход к расчету сооружений, находящихся под действием случайной нагрузки, в сочетании с методом статистического моделирования. На основе этих данных проводится исследование поведения и определение степени устойчивости неконсервативной системы.

Практическая реализация

Определение динамической неустойчивости (флаттера) на практике сопряжено с определением комплексных собственных значений системы, что представляет значительные трудности. Исследование устойчивости неконсервативных систем с помощью показателя Ляпунова позволяет с наименьшими сложностями на практике определять устойчиво ли движение системы, величины критических нагрузок и допустимые значения параметров воздействий, вероятность безотказной работы конструкции.

Расчет строительных конструкций на воздействие нагрузки, носящий случайных характер, имеет большое значение при проектировании протяженных и ответственных транспортных сооружений. Полученные в данной работе основные выводы и результаты могут быть полезны для инженеров-проектировщиков, занимающихся вопросами устойчивости конструкций.

Диссертационная работа состоит из четырех глав и трех приложений.

Первая глава в основном посвящена обзору литературы, относящейся к данному вопросу. В ней кратко освещаются некоторые их них и приводятся основные теоретические положения по теме работы. Также приведены современные положения исследования поведения конструкций на устойчивость от случайных воздействий, а также способы моделирования их поведения. В конце главы формулируются основные задачи, решаемые в диссертационной работе.

Во второй главе рассматриваются вопросы моделирования работы упругой неконсервативной системы с внешним трением, и исследуется ее устойчивость в зависимости от величин, входящих в дифференциальные уравнения, описывающие возмущенное поведение системы. Осуществляется переход от системы с бесконечным числом степеней свободы к системе с конечным числом степеней свободы. Показано влияние коэффициента демпфирования на величину критической нагрузки. Исследуется влияние характеристик случайного процесса на получаемые распределения показателя устойчивости системы.

В третьей главе представлены вопросы исследования вязкоупругого стержня, сжатого следящей силой. Моделирование работы вязкоупругой системы рассматривается на основе двух моделей: модели Фойгта и модели стандартного вязкоупругого тела. В данной главе получены дифференциальные зависимости для этих моделей, исследовано влияние модели демпфирования на поведении системы под действием случайной нагрузки. Также рассмотрено влияние нагрузки, периодически меняющейся во времени.

В четвертой главе проведено исследование устойчивости вантового моста, от ветрового воздействия. В качестве вантового моста рассматривается мост, построенный через реку Обь в 2000 году недалеко от г. Сургута. Рассматриваются две стадии: первая - при производстве работ, когда собираемое пролетное строение моста не опирается на устои (наиболее невыгодное воздействие ветровой нагрузки), и вторая - эксплуатационная стадия, когда в работе участвует полностью собранная конструкция моста. Наряду с исследованием устойчивости моста, при удержании более 10 форм собственных колебаний в разложении прогиба, рассматривается вопрос о практической целесообразности применения модели вантового моста при учете лишь 2 форм собственных колебаний. Подобные модели предложены некоторыми исследователями для предварительной оценки некоторых характеристик конструкции и приближенного определения оптимального диапазона нагрузок.

Также в этой главе было исследовано влияние величины декремента колебаний на устойчивость моста. Фактические данные по логарифмическим коэффициентам колебаний моста были получены на основании отчета [54], выполненного по результатам динамического мониторинга моста с 30 октября 2000г до 10 мая 2001г. Система динамического мониторинга была предложена ЦАГИ и смонтирована на вантовом мосту специалистами ЦАГИ совместно с сотрудниками АО «Мостострой -11».

В заключение сформулированы основные выводы и результаты диссертационной работы.

Включенные в работу приложения содержат:

- формулы для определения коэффициентов системы обыкновенных дифференциальных уравнений в задаче об устойчивости консольного стержня;

- тексты основных программ, использовавшихся для получения статистических данных и их оценки;

- результаты проверки статистического распределения показателя Ляпунова нормальному распределению.

Выводы

В заключение, сформулируем основные результаты исследования и выводы. i

1. Предложен численный метод исследования устойчивости неконсервативных систем при детерминированных воздействиях с использованием показателя Ляпунова. Для разных физических моделей демпфирования исследуется влияние демпфирующих сил на устойчивость системы при детерминированной нагрузке.

2. Разработан численный метод исследования устойчивости неконсервативных систем при воздействиях в виде случайных стационарных процессов.

3. Найдены оптимальные характеристики численного решения при решении задач устойчивости неконсервативных систем при случайных воздействиях.

4. Исследовано влияние демпфирования и характеристик случайного стационарного процесса на устойчивость неконсервативных систем и вероятностное распределение показателя устойчивости.

5. Разработаны программные комплексы для расчета и оценки устойчивости неконсервативных систем, находящихся под воздействиями, представляемыми в виде случайных стационарных процессов.

1. Аварии и катастрофы. Предупреждение и ликвидация последствий, Книга 4, под редакцией В.А. Котляревского и А.В. Забегаева, изд. Ассоциации строительных ВУЗов, Москва 1998.

2. Богач Р., Янишевский Р., Анализ и синтез колонн, нагруженных следящими силами, с точки зрения устойчивости, Успехи механики, Государственное научное издательство, том 8, №3, Варшава, 1985, 3 - 52 с.

3. Болотин В.В., Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости.-Москва, Государственное издательство физико-математической литературы, 1961,-340 с.

4. Болотин В.В., Случайные колебания упругих систем. Москва, Наука, 1979,-335с.

5. Болотин В.В., Динамическая устойчивость упругих систем. Москва, Физматгиз, 1956.

6. Болотин В.В., Гришко А.А., Петровский А.П., О влиянии демпфирующих сил на послекритическое поведение существенно непотенциальных сил, Изв. РАН, Механика твердого тела №2,1995, 158 - 167 с.

7. Болотин В.В., Радин В.П., Чирков В.П., Применение метода статистического моделирования для оценки сейсмического риска конструкций, Изв. РАН, Механика твердого тела №6, 1997, 168 - 175 с.

8. Болотин В.В., Радин В.П., Трифонов О.В., Чирков В.П., Влияние спектрального состава сейсмического воздействия на динамическую реакцию конструкций, Изв. РАН, Механика твердого тела №3, 1999, — 150 — 158 с.

9. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А., Справочник по математике. Изд.5, Москва, Государственное издательство технико-технической литературы, 1955,-608 с.

10. Ю.Быков В.В., Цифровое моделирование в статистической радиотехнике. М.: изд. Сов. радио, 1971, - 326 с.

11. П.Вентцель Е.С., Теория вероятностей. Москва, Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1969, - 576 с.

12. Власов В.З., Тонкостенные упругие стержни. Москва, Физматгиз, 1959, -568 с.

13. Вольмир А.С., Устойчивость деформируемых систем. изд. 2, Москва, издательство "Наука" Главная редакция физико-математической литературы, 1967, - 984 с.

14. Гмурман В.Е., Теория вероятностей и математическая статистика. Москва, Высшая школа, 2001, - 479 с.

15. Дейнеко К.С., Леонов М.Я., Динамический метод исследования устойчивости сжатого стержня, Прикл. матем. мех. 19, № 6, 1955.

16. Демидович Б.П., Лекции по математической теории устойчивости. Москва, Наука, глав. ред. физ.-мат. литературы, 1967, — 472 с.

17. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалов Э.З., Численные методы анализа. Приближенные функций, дифференциальные и интегральные уравнения, под ред. Демидовича, изд. 3, М.: Наука, 1967, 368 с.

18. Джанелидзе Г.Ю., Об устойчивости стержня при действии следящей силы. -Тр. Ленингр. политехи, ин-та, №192, 1958.

19. Дьяконов В.П., MAPLE: учебный курс, Издательский дом "Питер", 2002.

20. Казакевич М.И., Аэродинамика мостов. Москва, Транспорт, 1987, - 240 с.

21. Качурин В.К., Брагин А.В., Ерунов Б.Г., Проектирование висячих и вантовых мостов. Издательство «Транспорт», 1971, - 280 с.

22. Кириллов О.Н., Анализ границ областей устойчивости и оптимизация циркуляционных систем", автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук, Москва, 2000.

23. Кириллов О.Н., Сейранян А.П., О границах устойчивости циркулярных систем. Институт механики МГУ им. Ломоносова, Препринт №51, 1999, -59 с.

24. Малинин Н.Н., Прикладная теория пластичности и ползучести. Москва, Машиностроение, 1975, - 400 с.

25. Мануйлов Г.А., О границе между статической и динамической потерей устойчивости неконсервативных упругих систем. Вестник МИИТа, Научно-технический журнал. - Москва, МИИТ, 2001, Вып.6, - 63-68 с.

26. Неймарк Ю.И., Ланда П.С., Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука, 1987,-424 с.

27. Нейштадт А.И., Сидоренко В.В., Запаздывание потери устойчивости в системе Циглера, Москва, Институт прикладной математики РАН, Препринт, 1995,-28с.

28. Николаи Е.Л., Об устойчивости прямолинейной формы равновесия сжатого и скрученного стержня, Изв. Ленингр. поли-техн. ин-та 31, 1928.

29. Пановко Я.Г., Губанова И.И., Устойчивость и колебания упругих систем: современные концепции, парадоксы, ошибки. Москва, Наука, 1987, -336 с.

30. Петров А.А., Вероятностный метод оценки сейсмической реакции мостов с большими пролетами, АН СССР Сейсмостойкость транспортных и сетевыхсооружений, отв. ред. чл.-корр. Ш.Г. Напетваридзе, Москва, Наука, 1986, -19-30 с.

31. Петропавловский А.А., Крыльцов Е.И., Богданов Н.Н., Байтовые мосты, под ред. Петропавловского, Москва, Транспорт, 1985, 224 с.

32. Пичугин С.Ф., Вероятностный анализ ветровой нагрузки. Изв. вузов. Строительство, №12, 1997, - 13-20 с.

33. Потапов В.Д., Устойчивость вязкоупругих элементов конструкций. -Москва, Стройиздат, 1985, 312 с.

34. Пугачев B.C., Теория случайных функций и ее применение к задачам автоматического управления. М.: Физматгиз, 1962, - 883 с.

35. Работнов Ю.Н., Элементы наследственной механики твердых тел, — Москва, Наука, 1977,-381 с.

36. Работнов Ю.Н., Механика деформируемого твердого тела. Москва, Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1979, - 744 с.

37. Райтингер М., Муч Г., VISUAL BASIC6: Полное руководство, перевод с немецкого под ред. В.Г. Иванюка, Киев: Издательская группа BHV, 2000.

38. Реут В.И., О теории упругой устойчивости, Тр. Одесск. ин-та инж. гражд. и комм, стр-ва, вып. 1, 1939.

39. Ржаницын А.Р., Теория ползучести, Москва, Стройиздат, 1968, 416 с.

40. Сейранян А.П., Парадокс дестабилизации и критерии колебательной устойчивости, Москва, Институт механики МГУ им. Ломоносова, Препринт №301, 1987, - 59 с.

41. Сейранян А.П., О границах областей устойчивости, флаттера и дивергенции. Москва, Институт механики МГУ им. Ломоносова, Препринт №11, 1995, -39 с.

42. Сейранян А.П., Задача Лагранжа о наивыгоднейшем очертании колонны. -Институт механики МГУ им. Ломоносова, Препринт №60, 2000, 64 с.

43. Светлицкий В.А., Случайные колебания механических систем. М.: Машиностроение, 1976, - 464 с.

44. Свешников А. А., Прикладные методы теории случайных функций, изд.2, Москва, глав. ред. физ.-матем. лит. изд-ва «Наука», 1968, 464 с.

45. Симиу Э., Сканлан Р., Воздействие ветра на здания и сооружения, пер. с англ. Б. Е. Маслова, А. В. Швецовой, Москва, Стройиздат, 1984, 358 с.

46. Смирнов А.Ф., Александров А.В., Лащенников Б.Я., Шапошников Н.Н., Строительная механика. Динамика и устойчивость сооружений, под редакцией А. Ф. Смирнова, Москва, Стройиздат, 1984,-416 с.

47. СНиП 2.01.07-85, Нагрузки и воздействия, Госстрой СССР. Москва, ЦИТП Госстроя СССР, 1986, - 36 с.

48. СНиП 2.05.03-84*, Мосты и трубы, Минстрой России, Москва, ГП Цпп, 1996,-214 с.

49. Справочник по теории вероятностей и математической статистике под редакцией академика АН УССР B.C. Королюка., Киев, Наукова думка, 1978, -582 с.

50. Степнов М.Н., Статистические методы обработки результатов механических испытаний, справочник, Москва, Машиностроение, 1985, - 232 с.

51. Феодосьев В.И., Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материалов, изд. 4, гл. ред. физ.-мат. лит-ры, Москва, Наука, 1973, — 400 с.

52. Филиппов А.П., Колебания деформируемых систем. Изд. 2, Москва, "Машиностроение", 1970,-736 с.

53. Циглер Г., Сб. Проблемы механики, под ред. Драйдена X. И Т. Кармана, вып. 2, ИЛ, 1959.

54. Четаев Г.Н., Устойчивость движения, Москва, Наука, 1965.

55. Шашков И.Е., Об устойчивости сжатого и скрученного призматического стержня с произвольной формой поперечного сечения, Инж. сборн. 7, 1950.

56. Beck M., Die Knicklast der einseitig eingenspannten tangenzial gedriickten Stabes, Zeitschrift angew. Math. Phys., 3, №3, 1952.

57. Benettin G., Galgani L., Giorgilli D. And Strelcyn J. M., Liapunov characteristic exponents for smooth dynamical systems and for Hamiltonian systems; a method for computing all of them. Parts 1 & 2, Meccanica 15, 1980, 9-20, 21-30.

58. Billah K.Y.R., Shinozuka M., Random Vibration Response and Stability Study of Long-Span Bridges, Journal of Applied Mechanics, June 1994, Vol.61, p. 303.

59. D'Asdia p., Sepe V., Aeroelastic instability of long span suspended bridges: a multimode approach, Proc. 2nd Eur. And Afr. Conf. Wind Eng., Genova, June 2226, 1997: 2 EACWE. Vol.2. Padova, 1997,-p. 1505-1512.

60. Drozdov A., Stability of Viscoelastic Bars Under Nonconservative Loading, Dyn.

61. Syst. Appl., 3(1), 1994,-p. 141-154.66.1brahim R.A., Parametric random vibration, Letchworth (Hertfordshire) Research studies press, New York et. al: Wiley, 1985, p.342.

62. Hauger W., Vetter K., Influence of an elastic foundation on the stability of a tangentially loaded column, Journal of Sound and Vibration, London and New York, Acad, press., 47,2, 1976, p. 296 299.

63. Hernandez S., Ajoint formulation of structural analysis and visualisation of aeroelastic response of long span bridges, Forth International Colloquium on Bluff Body Aerodynamics and Applications, Bohum, Sept. 11-14,2000, p. 43-46.

64. Herrmann G., Stability of Equilibrium of Elastic Systems Subjected to Nonconservative Forces, Appl. Mech. Rev., Vol. 20, 1967, p. 103-108.

65. Herrmann G., Jong I.-C., On the Destabilizing Effect of Damping in Nonconservative Elastic Systems, J. Appl. Mech., 32, 1965, p. 592-597.

66. Lanczos Cornelius, Applied analysis, справочное руководство, перевод с английского М.З. Кайнера под редакцией A.M. Лопшица, Москва, Государственное издательство физико-математической литературы, 1961, -524 с.

67. Larsen A., Advances in aeroelastic analyses of suspension and cable-stayed bridges, Proc. 2nd Eur. And Afr. Conf. Wind Eng., Genova, June 22-26, 1997: 2 EACWE. Vol.1.-Padova, 1997,-p. 61-75.

68. Leipholz H., Stability Theory, John Wiley & Sons Ltd and B.G. Teubner, Stuttgart, 1987, 359 c.

69. Leipholz H., Stability of elastic systems, Sij'thoff & Noordhoff, 1980, 475c.

70. Markert R., Seidler M., Analytically based estimation of the maximum amplitude during passage through resonance, International Journal of Solids and Structures 38, 2001.

71. Matsumoto M., Nakajima N., Taniwaki Y., Shijo R., Grating effect on flutter instability, Forth International Colloquium on Bluff Body Aerodynamics and Applications, Bohum, Sept. 11-14,2000, p. 263-266.

72. Miyazaki M., Arai M., Kazama K., Kubota H., Stay-Cable Systems of Long Span Suspension Bridges for Coupled Flutter, Proc. 2nd Eur. And Afr. Conf. Wind Eng., Genova, June 22-26, 1997: 2 EACWE. Vol.2. Padova, 1997, - p. 15291536.

73. Nemat-Nasser S., Instability of a cantilever under a follower forceaccording to Timoshenko beam theory, Journal of Applied Mechanics, Trans, of the ASME Ser. E., 34, 1967, p. 484-485.

74. Petrov A.A., Wind induced dynamic response of long-span ridges, Structural Dynamics EURODYN'96, Augusti, Borri & Spinelli, Balkema, Rotterdam, 1996,-p. 321-324.

75. Plaut R.H., A new destabilization phenomen in nonconservative systems, ZAMM, 1971, Vol. 51,N4, p. 319-321.

76. Potapov V.D., Deterministic and stochastic aerodynamic stability of cable-stayed bridges, Structural Dynamics, EURODYN 2002, Lisse, Balkema Publish.

77. Potapov V.D., Stability of stochastic elastic and viscoelastic systems, Chichester, Wiley, 1999.

78. Potapov V.D., Stability of a viscoelastic column, subjected to a random stationary follower force, EUROPEAN JOURNAL OF MECHANICS, A/Solids, Vol 13, N3, 1994,-p. 419-429.

79. Potapov V. D., Bondar P. A., Stochastic plates in a supersonic flow, European Journal of Mechanics, A/Solids, Vol. 15, N.5, 1996, p. 883-900.

80. Potapov V.D., Stability of a column under action of a parametric random stationary force taking into account shear strains, 5th Euromech Solid Mechanics conference ESMC-5, August 17-22, AUT, Thessaloniki, Greece, 2003.

81. Potapov V.D., Marasanov A. Y., The investigation of the stability of elastic and viscoelastic rods under a stochastic excitation, Int. J. Solids Structures, Vol. 34, № 11, 1997.

82. Potapov V.D., Marasanov A.Y., Buckling and stability of polymeric composite beams under stochastic excitation, ZAMM Z. angew. Math. Mech. 72, 1992,4, T97-T100.

83. Potapov V.D., Prakash Koirala, Stability of elastic and viscoelastic systems under action of random stationery narrow-band loads, Int. Mech. Sci., Vol. 39, N8, 1997, p. 935-942.

84. Pfluger A., Stabilitatsprobleme der Elastostatik, Springer Verlag, Berlin, 1950, -217 c.

85. Seyranian A.P., Interaction of Eigenvalues in Mechanical Problems, 3rd Euromech Solid Mechanics Conference KTH, Royal Institute of Technology, Stockholm, Sweden, August 18 22, 1997, Book of abstracts, - p.5.

86. Smith Т.Е., Herrmann G., Stability of a beam on an elastic foundation subjected to a follower force, Journal of Applied Mechanics, Trans, of the ASME Ser. E., 39, 1972, p. 628-629.

87. Thorbek L., Hansen S.O., Coupled Buffeting Response of Suspension Bridges, Proc. 2nd Eur. And Afr. Conf. Wind Eng., Genova, June 22-26, 1997: 2 EACWE. Vol.2.-Padova, 1997,-p. 1489-1496.

88. Wiens G.J., Sinha S.C., On Application of Liapunov's Direct Method to Discrete Dynamic Systems with Stochastic Parameters, Journal of Sound and Vibration, 94, 1984,-p. 19-31.

89. Yoneda M., A consideration on aerodynamic stability of bridge structures due to isolating devices at movable supports, Forth International Colloquium on Bluff Body Aerodynamics and Applications, Bohum, Sept. 11-14,2000, p. 665-668.

90. Ziegler H., Principles of structural stability, 2nd ed. Basel; Stuttgart, Birkhauser, 1977, p. 150.