автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Итерационные методы исследования состояний и управление колебаниями нелинейных строительных и электромеханических систем

РГБ ^ ^

'1 С Ш!-« 10П°

На правах рукописи

КАБЕЛЬКОВ АЛЕКСАНДР НЖОЛАЕВИЧ

ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ СОСТОЯНИЙ И УПРАВЛЕНИЕ КОЛЕБАНИЯМИ НЕЛИНЕЙНЫХ СТРОИТЕЛЬНЫХ И ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

05 13.01- Управление в технических системах

ДИССЕРТАЦИЯ НА СОИСКАНИЕ УЧЕНОЙ СТЕПЕНИ ДОКТОРА ТЕХНИЧЕСКИХ НАУК

Новочеркасск -1997

Работа выполнена в Новочеркасском государственном техническом университете. Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Шукшунов В.Е., доктор технических наук, профессор Потапов В.Д., доктор технических наук, профессор Горелов В.И..

Ведущая организация: Научно- исследовательский институт механики и прикладной математики при РГУ.

Защита состоится " 02- 9% вчас. О & мин. на заседании диссер-

тационного совета Д 063.68.05 в МГИЭМ по адресу: 109028, г. Москва, Большой трехсвятительский переулок 3/12. Телефон 916-88-49.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МПИЭМ.

Автореферат разослан "22!' (РI_1995 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Бузников С.Е.

Подписано в печать. Заказ № 12 Тираж 100 экз.

Тип НПФ "Карат"

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы Широкое внедрение новых конструкционных материалов (полимеры, композиты и др ), усложненные режимы эксплуатации строительных и электромеханических систем (неконсервативные нагрузки, ветровые и сейсмические воздействия) вызывают необходимость создания более корректных математических моделей этих объектов и усовершенствованных инженерных методов их расчета. Одним из факторов уточнения расчетных моделей деформируемых сред является учет их геометрической и физической нелинейности. Учет этого фактора требует нового подхода к исследованию дифференциальных уравнений, описывающих поведение нелинейных, неконсервативных систем. Этот подход, осуществляемый с общих позиций теории устойчивости движения, предусматривает определение равновесных состояний конструкций; нахождение областей неустойчивости; вычисление амплитудно-фазовых характеристик колебательных режимов и проверку их устойчивости. Вычисление амплитудно-фазовых характеристик периодических режимов, возникающих в строительных и электромеханических системах, основывается на итерационном методе и методе эквивалентной линеаризации, позволяющих: использовать хорошо разработанные методы решения линейных дифференциальных уравнений; применять эффективные (с точки зрения вычислительного процесса) алгоритмы.

Подавление колебаний строительных (особенно социально опасных) и электромеханических систем или ограничение их амплитуд является одной из важных задач механики. Эта задача решается применением средств активного гашения колебаний. Теоретической основой решения этой задачи является теория оптимального управления механическими системами.

Цель исследования: на основе общей теории устойчивости движения разработать метод и алгоритмы исследования поведения существенно нелинейных вязкоупругих систем в окрестностях значений параметров, примыкающих к пограничным поверхностям неустойчивости; разработка альтернативного метода оптимального оценивания и активного управления нелинейными системами при малой информативности средств наблюдения.

В частности, в цели работы входили.

- развитие метода эквивалентной линеаризации в сочетании с итерационным применительно к автоколебательным и параметрически возбуждаемым системам;

- модификация метода Ляпунова-Шмидта для расчета автоколебательных режимов, ответвляющихся от состояний равновесия;

- получение единой системы линейных уравнений, определяющих оптимальные управления при квадратичном критерии качества, на основе формализма Эйлера.

Научная новизна. В работе получены уравнения движения неконсервативных, нели нейных деформируемых сред, которые вариационными методами сведены к обыкновенны» дифференциальным уравнениям. Предложена методика расчета критических параметров де формируемых конструкций, основанная на совместном решении уравнений "основного" со стояния и линеаризированных уравнений возмущенного движения.

На основе метода эквивалентной линеаризации в сочетании с итерационным разрабо таны методики определения амплитудно-частотных характеристик: одно- и многочастотньс автоколебательных режимов; параметрически возбуждаемых колебаний; взаимодействую щих колебаний нелинейных систем при параметрическом резонансе. Предложена методик; исследования устойчивости указанных периодических режимов.

Модифицированный метод Ляпунова-Шмидта применен к расчету автоколебаний не линейных систем. Проведено сравнение эффективности этого метода и метода эквивалент ной линеаризации.

Предложена методика оптимального оценивания и активного управления линейным! и нелинейными детерминированными системами. Эта методика, основанная на варицион ном принципе Эйлера, позволяет свести задачу построения оптимального управления на блюдаемой конструкцией к системе линейных дифференциальных уравнений. Она преду сматривает наличие в уравнениях внешних воздействий и позволяет производить их оценку

Практическая ценность. Разработанные в работе методы, алгоритмы и программ! предусматривают применение их при: исследовании устойчивости и колебаний нелиней» деформируемых конструкций в широком диапазоне значений характеризующих их парамет ры; построении систем активного управления колебаниями с целью их подавления или ог раничения амплитуд.

Полученные в диссертации результаты могут быть использованы в курсе строитель ной механики при расчете зданий и сооружений на сейсмические воздействия, ветровые ] технологические нагрузки.

На защиту выносится новая концепция решения динамических нелинейных задач механики, основанная на общей теории устойчивости движения деформируемых тел и предусматривающая:

- определение стационарных(в частности равновесных) состояний;

- выявление критических значений параметров конструкций на основе совместного решеню

уравнения "основного" состояния и спектральной задачи; -расчет амплитудно-частотных характеристик периодических режимов, ответвляющихся от равновесных состояний и взаимодействующих с вынужденными колебаниями методом

эквивалентной линеаризации в сочетании с итерационным и модифицированным методом Ляпунова-Шмидта;

- исследование устойчивости этих режимов;

- оптимальное управление колебаниями с целью их гашения или ограничения амплитуд на основе альтернативного метода, использующего формализм Эйлера.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы, включающего 125 наименований Полный объем диссертации 223 страниц, включая 38 рисунков и 3 таблицы.

Апробация работы. По результатам работы сделаны доклады на следующих конференциях:

5-й Всесоюзной конференции " Проблемы устойчивости в строительной механике", 3-5 февраля 1977г;

6-й тематической конференции " Практическая реализация численных методов расчета инженерных сооружений", Ленинград, 18-20 мая 1983 года;

2-м Всесоюзном симпозиуме " Устойчивость в механике деформируемого твердого тела, Калинин, 27-30 июня 1086 г;

3-м Всесоюзном совещании- семинаре " Современное состояние и основные направления исследования сейсмостойкости и прочности энергетического оборудования", Фрунзе, 10-15 сентября 1987г;

конференции "Нетрадиционные системы сейсмозащиты зданий и сооружений", Севастополь, 12-13 марта 1990г;

конференция "Надежность и эффективность нетрадиционных систем сейсмозащиты зданий и сооружений", Севастополь, 25-26 марта 1991г.;

конференции "Динамика конструкций при вибрационных и сейсмических нагрузок", Севастополь, 6-8 мая 1991г.;

1-й Всесоюзной конференции "Технологические проблемы прочности несущих конструкций", Запорожье, 24-26 сентября 1991г.;

конференции "Динамика и сейсмостойкость зданий и сооружений с нетрадиционной сейс-мозащитой", Севастополь, 2-4 апреля 1992г.;

конференции "Исследование вибраций машин, механизмов и конструкций", Севастополь, 5-7 мая 1992г.;

конференции " Динамика и прочность машиностроительных конструкций", Севастополь, 31 мая-4 июня 1993 г.;

итоговой конференции по межвузовской научно - технической программе " Строительство", Нижний Новгород, 25-28 октября 1993г,;

международной научно - практической конференции "Инженерные и социально - экономические проблемы ускорения ШТГ, Ростов- на- Дону, 7-11 апреля 1997г,.

Публикации Основные результаты работы опубликованы в работах [ 1-34].

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении формулируется цель работы, обосновывается ее актуальность, дается краткий обзор исследований по вопросам, относящимся к теме диссертации, приводится основное содержание.

В зависимости от вида механических систем выбираются методы исследования их устойчивости и колебаний. Различают консервативные и неконсервативные механические системы. Существуют различные подходы к определению консервативных и неконсервативных систем. Так, в работах Болотина В.В. и Парса Л. под консервативными понимаются механические системы, подверженные действию внешних сил, обладающих потенциалом. В этом случае остается открытым вопрос о консервативности (неконсервативности) внутренних сил. Циглер Г. консервативными считает системы, находящиеся под действием сил, работа которых на любом допустимом перемещении системы зависит от ее начальной и конечной конфигураций. Более строгим является определение, в котором под консервативными понимаются деформируемые системы, подверженные действию внешних и внутренних сил, работа которых зависит лишь от начальной и конечной конфигураций.

Неконсервативными, по определению Циглера Л., называются системы, содержащие хотя бы одну силу, не относящуюся к консервативным.

Исследование поведения неконсервативных систем может быть осуществлено с общих позиций теории устойчивости движения.

Определение равновесных состояний нелинейных деформируемых систем может быть выполнено методом простой итерации, Ньютона- Рафсона, наискорейшего спуска. При этом должна быть предусмотрена возможность ветвления решения.

Выявление критических параметров, соответствующих поверхностям раздела устойчивых и неустойчивых равновесных состояний, может быть проведено на основе первого и второго методов Ляпунова.

Способы решения задач о колебаниях, ответвляющихся от равновесных состояний, могут быть разделены на точные, «прямые» (численные) и асимптотические. К числу последних относятся: метод малого параметра, метод Ван- дер- Поля; метод усреднения; метол Крылова-Боголюбова, метод многих масштабов и т. д. Между численными и асимптотическими возможно активное взаимодействие Помимо указанных существуют метод линеаризации, позволяющий сводить нелинейные задачи к широко изученным линейным, и метод Ляпунова- Шмидта.

Исследование устойчивости периодических режимов, ответвляющихся от стационарных состояний, приводит к дифференциальным уравнениям с периодическими коэффициентами. Решение этих уравнений, как правило громоздко и дает области неустойчивости колебательных режимов. Однако, существует упрощенная методика исследования устойчивости

периодических режимов, которая и используется в работе

Методы исследования устойчивости движения нелинейных систем и асимптотические методы позволяют выявить области неустойчивости равновесных состояний и построить локальные решения.

Для подавления амплитуд периодических колебаний строительных конструкций, подверженных действию ветровых, сейсмических и технологических нагрузок, в практике отечественного строительства широко используются пассивные методы управления: кинематические опоры; скользящие опоры; динамические гасители колебаний; освобождающиеся связи и т.д.. Методы активного гашения колебательных режимов конструкций распространение не получили.

Автоматизированные системы управления колебаниями сооружений, особенно социально опасных, используются проектировщиками США и Японии с применением аэродинамических, гидравлических и других исполнительных механизмов При этом предполагается, что конструкции оснащены системой наблюдения, а исполнительные механизмы управляются ЭВМ.

Расчет оптимальных управлений электромеханическими системами зарубежные и отечественные авторы проводят на основе теории Летова- Кальмана. При этом задачи приводятся к нелинейным дифференциальным уравнениям Риккати. Существенное упрощение алгоритмов обеспечивает введение критерия «обобщенной» работы A.A. Красовского, при-

водящего задачу к линейным разрешающим уравнениям при одноточечных граничных условиях.

В первой главе для постановки и решения задачи исследования колебании в деформируемых конструкциях используются уравнения механики вязкоулругого твердого тела.

Положение (конфигурацию) деформируемого тела в пространстве задаем радиус-векторами его точек в любой момент времени. Рассматриваем три конфигурации тела: от-

счетную V, в качестве которой выбираем конфигурацию недеформированного состояния;

о ^

основную V , соответствующую установившемуся процессу деформаций; возмущенную V.

Радиусы-векторы точек в каждой из них обозначаем соответственно Г, Гд ( /) и Г ( I),

причем

Го(0-/(П).Г-?(г.0.геУ. 0)

дг

дх. I

Поле смещения описывается вектором и{т,

В качестве меры конечной деформации выбирается тензор Коши-Грина

где V-диада оператора Гамильтона V = -и вектора смещения и(/",П: «*»-знак

дХ;

транспонирования: "•"- операция "свертки" тензоров.

Напряжения в деформированном теле характеризуются тензором обобщенных напряжении

С, отнесенным к конфигурации V:

а^'Т^г^.о^а, о)

где / = det(дf / дг); Г = 1 + (Уи) , Т

-тензор напряжений Коши в конфигу-

0

рации V.

Соотношения между напряжениями и деформациями представляются в виде

а = <5(£,г) + Ё-Аг + Е1 ••Де--Де+...1 (4)

где введены обозначения.

О"(£,/") - тензор напряжений, соответствующий тензору деформаций € , Д8 -тензор приращения деформаций в возмущенном движении;

Е и Е^ -дифференциальные или интегральные операторы, характеризующие вязкоуп-

ругие свойства деформируемого тела.

Объемные силы, действующие на тело, полагаем стационарными'

Е = Е(г,и,йУи). (5)

На части ^ поверхности конфигурации V заданы смещения II с — 0; на части ¿2-неконсервативные и нестационарные усилия

Р = Р(г,и,й,У,() . (б)

где V -параметр нагрузки.

Для вывода уравнений движения деформируемого тела используется принцип виртуальной работы

¡а~5£с1У = 1(Е-ри)-Ьис1У+ \P-8udS, и)

У V ¿2

Поскольку тензоры конечной деформации Коши-Грина и обобщенных напряжений симметричны, возможно использование векторов деформаций и напряжений

8 — [е11822езз2е12 2в2з2е32 ]

а = 1 <?22 ^33 ^ 12 а 23а 31 Г •

В этом случае зависимость (2) принимает вид

г(х) =

и , (8)

/о

где: /) и I)| -матричные дифференциальные операторы; /7] (и) -матрица производных от перемещений.

Для упрощения изложения приводится вывод уравнений для системы, состоящей лишь из одного конечного элемента, во всем объеме которого перемещения аппроксимируются выражениями

и(х) = Ч*(х)д ,8и(х) = Ч'(х)Ьд , (9)

где Ч^Х^-матрица функций формы; Ц -вектор узловых перемещений конечного элемента.

В §1.1 на основе принципа виртуальной работы для введенных в рассмотрение векторов напряжении а и деформаций Е получены уравнения равновесного состояния

(Ае = 0):

д = + (Ю)

где

#0 = | [ВЧ?(х)]*Е(г,х)1У¥(х)с1У; (п)

V

H(<J)q=j [0^(х)]*П^(и)ас17- (12)

V

и;=| [ВЧ(х)\Е(ъ,х)Т1л(и)В1¥(х)(1У, (13) V

=/Ч^ЕЖ ^ = {чЛРоК (14)

V 52

В том случае, когда основное состояние деформируемого тела не является равновесным, а вязкоупругие свойства его соответствуют модели Фойхта.

О" (х, ¿)=Е(е,х)£ (х, /)+, х) ё (х, ¿),

уравнения движения тела принимает вид

где инерционная матрица

М= [^(л^л^л:)^-

V

диссипативная матрица

матрица жесткости

#(<?) = я0+я(ст)+^лг(«).

Матрицы Н^ф и Лгф(н) определяются по формулам (11) и (13) заменой Е на Ф.

Если системе сообщаются дополнительные перемещения то ее деформи-

рованное состояние определяется вектором , а напряженное состоя-

ние вектором

+ да(.г,/) = [Е(г, х)г(хл) + Ф(е,л:)е(хд)] +

г 1 (16)

где Е, Ф и Е% , Ф% -соответственно секущие и тангенциальные матрицы модулей упругости и коэффициентов диссипаций, соответствующие деформациямЕ основного движения. Уравнения возмущенного движения в этом случае принимает вид

М Дц + Фт(я ,Ая )ДС1 + Н =

. Т ^ (17)

= ДР(я ,Дя ,Дц, *).

Матрицы Фх и

ят

ввиду их громоздкости неприводим.

В §1.2 3. рассмотрены некоторые частные случаи уравнений системы: уравнения равновесных состояний и Эйлеровой устойчивости конструкций; линеаризованные уравнения динамической устойчивости.

В §1.3.представлены линеаризованные уравнения колебаний геометрически нелинейных конструкций, составленные с учетом их параметрических «свойств». В этом же параграфе применительно к задачам управления движением записаны уравнения относительно переменных состояния.

В §2.1. методом геометрической линеаризации система, описываемая нелинейными уравнениями

/> (р, V) * (0-15, (<к г), V;+ве(0 (18)

сводится к уравнениям соответственно равновесного и возмущенного состояний

О(у)д0 + (19)

[0{р, у) - , у)]Л? (') = (20)

где О^р, V)- матричный линейный дифференциальный оператор;

у)|-нелинейная вектор-функция переменных состояния и параметров

V," — (2о + ^-периодическая вектор-функция; ^и А^^)-векторы

равновесного и возмущенного состоянии

,г =

-матрица геометрической ?0

линеаризации.

Если оператор у) — , у) не вырождается, а состояние (¡[о устойчиво, то

равновесные и возмущенные состояния определяются из уравнений (19) и (20).

Для нахождения критических значений параметров V и соответствующих векторов равновесных состояний системы необходимо рассмотреть «связанную» спектральную задачу

Критическим значениям V отвечает по крайней мере одна пара чисто мнимых корней

X —И(£) при всех прочих Кв X < 0.

В §§2.2.-2.3 рассматриваются нелинейные уравнения движения

[Л(Ау)-Г(9о1У)]а<7(/) = ч^в,д*(0.у)+яде(/), (22)

учитывающие посредством вектора погрешность геометрической линеаризации.

Метод эквивалентной линеаризации предусматривает аппроксимацию нелинейной вектор- функции

¥

выражением

Ч^о, Ад((), у) * л[/?0, г]А</(/), (23)

где коэффициенты матрицы линеаризации находятся из условия минимума ошибок аппроксимации за некоторое время 7 ~ £2~ ■

¡2

Л*[<70, Д<7,У] = К 1 }AqЧ't(q0,Aq,v)dt,

(24)

Ь

К — '\AqAq* ск.

'1

В результате нелинейное уравнение (22) сводится к линейному

[в(р, V) - Го, V) - Л(#0, Ад, у)]Дд(/) - ДА <2(*). (25)

решаемому итерационным методом:

-предположим заданы приближенное выражение вектор-функции и

вектор равновесного состояния

- формируем матрицы Г{([о > у) и А j — А

- решаем уравнение

9о. ^

[D-Г-Aj ] Д9(у+1) = ВАЦ{1) (26)

при соответствующих начальных условиях.

При реализации метода гармонической линеаризации возможны два случая. 1. Все корни уравнений (21) спектральной задачи имеют отрицательные действительные части, в этом случае состояние qQ устойчиво и система совершает вынужденные колебания (поскольку собственные колебания затухают):

п п

АФ) = Х[А<?М]; = "^в '+ СО^В (27)

7=1 7=1

В соответствии с (27) проводится аппроксимация нелинейной вектор- функции :

>1

A(]j sinj 91 Aqj cos jQ t

где £ Л j^ находятся аналогично (24). В результате получаем систему алгебраических уравнений

[D.j-r-A^qj+D.jAq'j^BQj, - DxjAq} + [D2j - Г - A'j]Aq'j = BQ'j j = l,...,n,

(29)

решаемую итерационным методом.

В уравнениях (19): Qjк -коэффициенты разложения вектор-функции А^(^) вряд Фурье; #,уи /^у-результаты действия нечетной Х)[ {^р, и четной (р> частей оператора V) на гармонические функции (/)] (р, у)С05/ 0 £ = £)2(б,у),...) .

2. При некотором V = V, и соответствующем векторе состоянии д существует (1 пар

чисто мнимых корней + / СО , причеНсО £ Ф jQ (в частном случае \Л — 1 ). В этом случае решение уравнения (22) разыскиваем в виде

А?М = sina>tt+ q'Ql COS CO, f) +

£=1

я

+ sinjQ t+ Aq'j cosjQ i).

(30)

Вектор- функцию ¥ аппроксимируем выражением Ц

^ « ЦМ<о, СО* СО, /) +

п

£ (л ] Ад ] зш/ 01+ А ) Ад) ссм/ 9 *),

ы 1

п

7=1

2л> о);

4 = ^ \ч<а1х¥\чМ(1Щып(й1 (Л, о

(¿;)* = (цм^Щсозъ^и ад

Е- 71 * Ег/ 71 > ( , \*

—<7<0<<7<B,' -—<7шД<7ш () •

со^ 1 ' 'со,

К уравнениям (29) добавляются уравнения

lD2e-Г-Ae]AqШ(+DlJq'a¡(=0j,

(33)

Система уравнений (29), (33) решается итерационным методом.

Случай, когда один из корней СО ^ совпадает с одним из , рассматривается в

главе 3.

В третьей главе диссертации методами эквивалентной и гармонической линеаризации в сочетании с итерационным решаются задачи исследования: одно- и многочастных автоколебаний, параметрически возбуждаемых колебаний нелинейных систем; взаимодействия вынужденных и одно- и многочастотных автоколебаний; вынужденных колебаний нелинейных систем при параметрическом резонансе.

В §3.1 на основе совместного решения уравнений равновесного состояния

= А) (34)

/в

и спектральной задачи

^2М + ?.ФТ+НТ

= 0 (35)

определяются критические совокупности V параметров, соответствующие А, = ¿1(0^

(при всех остальных А, < 0 )

Автоколебательные режимы ответвляющихся от равновесных состояний при

V = + , и описываемые линеаризованными уравнениями

МА? + (ФГЛ') Д4 + (НТ-Л)Дц = 0, (Зб)

разыскиваются в виде

Ад(0 = а(се*°1 + к.с.), (зт)

где СХ -неизвестная амплитуда колебаний; С -нормированный вектор; 0) -уточняемая частота.

В результате подстановки (37) в (36) возникает уравнения

¿(а,с,с,а) с= 0, Ь((й,с,с,а) с = 0, (38)

где

£ = -Ю2М + / -А') + (Их -А), (39)

решаемые итерационным методом:

-вектор С и С определяются из (38) при V = V, СО = СО о, Л = О, А' = О,' -формируем X/ и из уравнений

Ке\Ц(О,с,с,а)\ = 0, 1т\Ц(й,с,с,а)\ = 0

находятся (X и (О ;

-далее идет процесс уточнения (X и СО до достижения необходимой точности.

Для исследования устойчивости автоколебательных режимов, используется варьированное уравнение возмущенного движения

М5# + (фх -Л')5# + (НТ - А)5 q=(ДА'- А')Ц + (ДА-Л)8^г,

(40)

где

ДА'

ЭЧ^

дк([

ДА-

Д(|

дАц

Д<7

решение которого постулируется выражением

§</(0 = <?ш Д <7 (О

Результатом подстановки (41) в (40) являются уравнения

МД?+(фх-Л')Д</ + (Нт - А) А (7=

(41)

-п2м-п(фх- АЛ') + ДА-Л

Д</

-20М + АЛ' - Л'

А<7

Из условия -периодической разрешимости уравнения (42)

Г Г Л

N... \-zdt~o

(42)

(43)

получаются уравнения для определения О.

В (43) 2 есть Т- периодическое решение сопряженного дифференциального уравнения

Ш-СФ^А'/г + СЕ.-А/г^о.

Состояние А <7 (0 системы устойчивости, если для всех п выполняется условие

ЯеП<0

В качестве примера рассмотрена автоколебательная система с двумя степенями свободы, подверженная действию нелинейной силы

" ( Г Л

К12 \ V У* ЗУ,

Для данной системы

.(44)

М =

rn.fi] + т21] т2а2£, т2а211 т2а2

Рис. 1

а, и,2 у

I] V; е,е2 £ _

;Н =

9-*

Метод линеаризации в рассматриваемом случае дает окончательное решение при

"А,

1

¡1-М,

24Т е

а =

где ^-безразмерные параметры и частота автоколебаний. При V = + 8 |

автоколебания не возникают, колебания при V < V устойчивы.

В том случае, когда параметрам V соответствует ТП пар мнимых корней И(й возникают многочастотные автоколебания. Решение уравнения (17) в этом случае при V = У(1 б) разыскиваем в форме

т т .

А ?(£)=£ А +к-с-)

г=1

При этом предполагаем, что уравнение (17) линеаризовано

(45)

, А д,А £[А, Л де (£) +А'еАде ,

(46)

¿=1

в результате чего оно приобретает вид

UAqi + (Фx-A,l)Aqt+{Rx-Ai)AqrQ^, £ = !,...т. (47) В результате подстановки (45) в (47) получается система уравнений

Ь(( а,,..../(о,,.....;с1,...;с1,...;у)сг =0,

£,('а1,....;а>1,...../с,,...;^,...; у)с£ = 0, £ = 1,...т, (48)

где

Lt = -ш^М + ш^Ф-Л^ + ^Н,-At)

Из условия нетривиальной разрешимости уравнений (48) вытекают нелинейные алгебраические уравнения

Re\Le ¡ = 0, Im\Le | = 0, t = l,...,m. (49)

Итерационный процесс решения уравнений (48), (49):

-определяем векторы из уравнений (48) при V = V, (1) ¿ = СО q^ ,

Л, =0,A¿ =0;

-из уравнений (49) находим СХ^и СО £ в первом приближении

-при найденных СС ^, СО ^ уточняем С р и т.д.

В качестве примера исследуем автоколебания системы стабилизации, моделируемой уравнениями

A qx~ ап A q0 = 0 ;

(50)

ТА q2 + vtAq2 + Kv2A q2 - v2a0A qx = v2axf (A qx) ,

где

A q¡ -b...A q¡>b ; /(A 4;)= 0...-b{Aq;{b ;

Aq¡ +b...Aq, < -b

Для набора коэффициентов

T= 0,48 ; aI2 = -10 ; а, =0,080 ; К= 0,208 ; Ъ - 0,60 ; а0 = 0,213 .

получены критические значения параметров Vj = 0, V2 = 94, б 7 При V2 > V2 возникают двухчастотные колебания с частотами

с02и =(v2 ±^-94,67)14,615 .

При Vj = 1, V2 = 100 возникают установившиеся колебания. Графики приближенного

(пунктиром) и численного решения представлены на рис.2. 25

'15

Рис.2

В §3.2 исследуются параметрически возбуждаемые колебания в нелинейно деформируемых конструкциях, описываемых уравнениями

т

+ = у) + й(1), (51)

М

Координаты квазистатического состояния С[ о определяются из уравнения т

[н^0;+Хн,./,.0 }ч0=Р(Чо,о,у)+й0. (52)

н

Уравнения возмущенного движения представляем в виде

00

= + (53)

Функции ./у и вектор- функцию {2(0 раскладываем в ряды Фурье, а вектор Чг' под-

вергается эквивалентной линеаризации

в результате чего уравнения (53) принимают вид

М А$ + (ФХ-А')Ад +

со

Н-Л + 1 1Н ,е"*" + к.с.

к=\

ач-

(55)

где

н=нт+£ну/ув .н^ЕНу/^.

7=1 У=/

Условия возбуждения Т-п 2Т -периодических колебаний конструкций могут быть определены на основе линейного уравнения

V

Ад = 0

при подстановке в него решения

. х-1 ¡к &1/п , .

А <7(0=Ь(ске +к.с.)

к=0

В результате для получаем две бесконечные системы уравнений

к-4 а2м-2; Н1 н 2 й; Н 4

н/ н Н/ Н2 Н*

Н2 Н 3 Н1 н 2 н н н-е Н/ I 8ФХ Н2 н/

.Н* нз Н2 Н/

Я-- 9" Л/--1 ЭФТ 4 2 я. Щ 4 2 / 0Ф, -~02 Ип "I

Я? Н\ Я 2 9ФТ

"г н2 Н1 я-

■

С/

С2

2С0

С2

с*

=0

"3

я2

Я—в2 Л/-— ОФг 4 2 1

(56)

о!

с/

с/ О

!=0 (57)

Пусть V, 9 есть некоторое решение задачи (56);

С j, С j (У = 0,2,4,..-соответствующие векторы. При нахождении амплитудно- фазовых характеристик колебаний конструкции при V = + Б) предполагаем

+к.с.)

7=0,2,4

Итерационный процесс: -из (56) определяются С j ,С^;

-формируются матрицы А и А' и принимается

Я -Я-Л, Фх = Фт - Л';

-из условия в(у, Э,EJq)Cj,(Х ^ = 0 определяется ОС в первом приближении; -уточняются векторы Cj и т.д.

Аналогично исследуются 2Т -периодические колебания. Проверка устойчивости полученных решений проводится как и в предыдущих параграфах.

В качестве примера рассматривается параметрический резонанс в системе с нелинейной уп-

ругостью, описываемом уравнением

Aq+2ФAq+(l + qcos2Qt)Aq = -цAqг; Ф, |1 >0.

в котором в качестве параметра V выступает частота 0.

Результаты исследования приводят к следующим выводам: -в зоне параметрического резонанса, соответствующего 2 ^-периодическим решениям

(58)

возможно появление как устойчивых. 1с*2/

[И1шх, так ^неустойчивых периодических решений (рис.3);

Л* Ч+Фг'Уг?

Рис.3

-вне этой зоны 0 > 0 ^ существует два периодических режима, которые «обмениваются» друг с другом устойчивостью;

-в зоне параметрического резонанса, соответствующего Т -периодическим решениям, существует единственное неустойчивое решение.

В §3.4 рассматривается взаимодействие авто- и вынужденных колебаний. В том случае, когда частота автоколебаний (0 не кратна частоте внешнего периодического воздействия ((О Ф к 9), решение задачи представляется в виде

(.от 'к

ск еш +к.с. + е ' +кс.). (59)

' к—\

Так как для любого к оператор

Ьк =-/с2 02М+/А:0(фт -Л') + (#т - Л)

Г~1

не вырождается, существуют матрицы и каждый из векторов в уравнении вынужденных колебаний однозначно определяется из равенства

Ск =Сйк (60)

Задача отыскивания неизвестных ОС, С и Ск решается итерационным способом:

-определяются критические значения параметров V, частота автоколебаний СО и соответствующее равновесное состояние ([ ;

-из уравнения Ьс = 0, где Ь = -Ш^М + /СО (Фт - Л') + Нх ~ Л,

находится С при А = 0 и Л' = 0; -по формулам (60) определяются Ск ;

-формируются Л и Л' при найденных С,Ск и неизвестном ОС; -из условия detL = О определяется ОС; -далее уточняются С, С^ и СС.

Если частота автоколебаний кратна частоте внешнего воздействия ((0 = X®) >то

,,ца вырождается и решение уравнения = возможно лишь в том случае

>гда выполняется условие

:ли это условие выполняется, то решение (59) принимает вид

= (ас + Сх) е хв1 + к. с.+ £ (се кв' + к. е.). (62)

роцедура нахождения неизвестных в этом случае следующая: а уравнения = 0 определяется С при А — О и А' = 0;

□ (61) определяется С^;

[ри к Ф 9С вычисляется по формулам (60) С^; юрмируются матрицы

А и А';

[аходится решение сопряженной задачи

Z = c(a)e,'x0í+¿.C.;

а условия существования -периодического решения задачи ТХ

]г*(ахе*в(+к.с)ж = о

о

тределяется СС;

точняются С, С^, Ск и (X при А 0 и Л' ^ 0 и т.д.

В §3.5 рассматривается случай, когда критическим значениям параметров V отвечает >2 пар чисто мнимых + / СО ¿0 корней (при остальных Яв X < 0 ). Если среди корней ) ¿о нет кратных 0, то решение линеаризованного уравнения

МАд + (фт - Л ')д<7 + - Л)Л# = X (с* + к-(«)

разыскиваем в виде

Лq{t) = ]Га Л ct e&t< + к.Л + ^[ск е'Ш + к.с.) (64)

В результате получается бесконечная система уравнений

Lß0cj = °< ZjaPj = °> j=l,....,rn; (65)

Lkeck = Qk > ^кв^к =Qk> k ф x> k = 1>2- ; (6б)

где

Lja = -ш/М + fco J(фT - А') + (Я, - Л); Ьш=-кг Q2M + гкд(Фх - Л') + (ях - Л).

Из условий нетривиальной разрешимости уравнений (65) получаются нелинейные ап-гебраические уравнения

= 1т\ьм\ = °> ] = (67)

Для нахождения неизвестных СС у ,03 ■ ,Су ,Cj , С^ организуется итерационный процесс

-при СОу = СО jQ, Л = О, Л' = 0 определяются из (65) Су и Су, а из (66) С^и Сд;

-формируются матрицы уш и из уравнений (67) определяются ССу, СО • в первом

приближении;

-уточняем Су и Ск и т.д.

Если среди корней СО £ о существует корень кратный О ^СО ^ = Х^) > то решение уравнений (63) представляется в виде

Ад(() = (а %сх+с% ) е'х6' + к. с.+ £ ау. (^Су е"°у' + к. а) +

+ Е(С* еШ + к. С\

Поскольку оператор Х^ вырождается, решение уравнения

XX ^Х возможно лишь при условии

Ьхсх =

)ВИИ

гК]=гК;бх] (б9)

или эквивалентном условии тх

]г*(ахе'хд'л-*.с.)<й = 0. (70)

о

Уравнения для определения векторов и:

£усо Су = о, = 0, 1,....,т; (71)

= -б*. к Ф ъ к = 1'2- Ю

Из условий нетривиальной разрешимости уравнений (71) получаются алгебраические урав-

Яе

£уш| = °> 1т1т =0' } ф ъ (73)

-уса

к которым добавляется уравнение (70).

Алгоритм расчета колебаний основывается на итерационном способе:

-из соответствующих уравнений определяются Су, Сд и при Л = 0, А.' ~ 0; -формируются матрицы Ли Л', операторы и из уравнений (70), (73) находим CLj,(X^ и (Оу в первом приближении;

-проводитсяуточнение Су, у и СОу при Л ^ 0 и Л' ^

В §3.6 рассматриваются вынужденные колебания нелинейных систем при параметрическом резонансе.

Решение уравнений движения (55) представляются суммой П /'-периодического решения однородного уравнения и (I Т-периодического решения неоднородного уравнения:

Д?(0 = 2] (су еф1/п + к. с.) + £ (ск еШ/)Х + к. с.) (74)

у=0 ' ft=0V '

При П— 2 однородные уравнения преобразуются в две бесконечные системы алгебраических уравнений

м-

-2,9(ФТ-Л 1) "1 Н7 "Ъ

я4

н-л^е2 м-

-/9(ФХ-Л|)

я2 "ъ

н2

Я|

Ч\ Н2

#3

я2 т

Я-Л]-О2 Л/+ +!"6(ФТ-Л1)

"1

я4

"3 "2

+2/е(Фх-л1)

с4

<?2

2 С0 С2

с4

= (74)

(я-л^)--е2 л/-

причем

Я1

я2

"3

Я,

(Я-лО-'о2 1А-. 4

"1

"7

И2

(я-л2)~ о2 Л/+

я3

/'2

Я1

"1

Сз

С\ Сз

= 0

(75)

А'е =Ае^,в,...,с.,...с.,...,д ; г = 7,2

• к Условия нетривиальной разрешимости уравнений (74) и (75),

записанных в виде

имеют вид

Если

(78)

с1е{Ве(у,в,А'еЛе,<т) = 0.

(У,0) простой корень какого- либо уравнения (77), то

Се = а§е, е = 1,2,

где СС-неопределенный множитель; З1 е -собственный нормированный вектор матрицы

Векторы Се имеют структуру:

— Г * * л*

= ...С4 С2 2С§ С2 С^... ,

- г » * 1 *

При подстановке ряда (74), получаются системы неоднородных уравнений относительно Ск и Ск.

Так, при (I = 2:

(79)

ад о2с2 = о,

где и С2 -векторы такой же структуру; что и (79);

ё=[...§2 а о &

В случае Т-периодических собственных решений

|Л,| = 0, |1>2|*0, С2 = О,

а для существования ненулевого вектора должно выполняться условие

(80)

При выполнении этого условия решение(55) принимает вид

6/

А-=0

А?(0=Х Иик+СА.)е' +к.с.

Для случая 2Т -периодических «собственных» решений

С] — 5] О, Щ = 0

и решение уравнений (55) представляется в виде

00 г ;(2Л-1)в//2

л?(/) = аХ1&2,2к-1е к=11

+ к.с.\

(8з;

Следует отметить, что условие (81) эквивалентно равенству

К

\

I акем' + к.с.

Ж

к-\

= 0

(84)

Итерационный процесс исследования Т-периодических колебаний: -из уравнений (74) при А — А' = 0 определяется V;

-находятся векторы и \

-формируются матрицы Ли Л', содержащие неизвестный коэффициент (X ;

-из условия (84) определяется СС;

-вычисляются Л, Л' и D^ при найденном (X;

_ т*

-уточняются V .-ст |, и С[ и осуществляется переход к следующему циклу расчетов.

В случае наложения 2 Т и Х'-периодических решений система итерационного процесса следующая:

-при Л = Л' = 0 составляются матрицы /)] и Г)^; -из условия |/)2| = 0 находятся V и собственный вектор -определяется вектор С| = 2)| ;

-формируются матрицы Л(сх) и Л'^СС.); -из условия (84) определяется ОС.

Пример:

Рис.4

В качестве примера рассматривается колебания вязкоупругого маятника с точкой подвеса, совершающей горизонтальное и вертикальное гармонические движения. Упругая связь предполагается нелинейной. Безразмерное уравнение малых колебаний:

д+ 2 Фд+ (7 + ц02 соб 0 /) д = -■V + <2 02 со^(0 /+ ф), (85)

На рис.5 представлены " Т"— и "2 Т" — области неустойчивости соответствующие значениям коэффициентам Ф =Пу ~0, — 0,1] д — 0, ф =1,8.

8

45

3,0

2,5

2.0

/,5

КО

0,5 О

/ I I I I

<х= 0,40 1 / I 1

X \ \ / 1 1 1 1 2Т

1 1 1 1

1— су=/ ',/26

1 1 1 1 С V

\

1 1 1 1 -'оо -

О,/ ¿7,2 0,3 0,4 0,5 0,6 /,0 /,/ /,2 /,Э /,4 /,5 /,6 ^

Рис.5

В §3.7 проводится исследование автоколебаний методом гармонической линеаризации. На первом этапе решается «связанная» спектральная задача.

Нд=Р(у,д, 0),

X М + ХФ^ + Н

=0,

(86) (87)

из которой определяются V, д и соответствующие X = И(£) к [к — при

всех прочих ЯеХ < 0.

В соответствии с методом гармонической линеаризации т

Д<7(7) = созы с1+с[ /)

1=1

(89)

е=\

В результате получаются линеаризованные уравнения

Hx-A£-(ù£M со еФх-А'( -а£Фх-А'е Нх -А'е -(Ù]M

С'с

= 0,

(90)

решаемые итерационным методом.

В качестве примера рассмотрено решение задачи о панельном флаттере, описываемой уравнениями

Aq,(x) Aqj(x)

Aqj( т)

+ Ф

Aqj(x) Aqj( т)

+

jxv ^

Aqi(x) Aq2( х)

(91)

XV3

bu bï2 Cil

b2l ¿22 C21

'11 С12

a*; M

Aq22(x)

Решение этих уравнений представляется в виде

а

Aq(x)

7 i (ОТ 7 -i COI

c+ ic' e + e > = a

c— ic' J

СО S (ÙX

а 5ш(сот + ф)

Результаты вычислений при

си=2, с12 = с21 = 8, с22 = 17, bn = Ъи = 0,59, b{, = -3,04, b22 = 3,72, х = 502,23; S = 0,6825;

= 4; ^=5; ф = 0,8;v = 1,44877 10'2;v=v +10~3

представлены в таблице 1.

№ приближения а а СО Ф

0 - 1,2837 4,5277 2,4639

1 0,4181 0,5889 4,6547 2,5074

2 0,8538 0,6059 4,7177 2,5106

3 0,8350 0,6057 4,7152 2,51112

В четвертой главе развивается метод Ляпунова-Шмидта применительно к расчету неконсервативных систем. Теоретические основы метода, касающиеся теории ветвления решений дифференциальных уравнений разработаны А,М. Ляпуновым и Е. Шмидтом, М.М. Вайнбергом и В.А. Треногиным. Дальнейшее развитие метод получил в гидромеханике и механике деформируемых тел в работах В.И. Юдовича, В.М. Зубова и В.Г .Громова. Определение равновесных состояний нелинейных систем и исследование их устойчивости проводится на основе методики, изложенной в §3.1. Уравнение движения системы, возмущенного относительно равновесного состояния </ , в результате перехода к безразмерному времени X = Ш / (СО -разыскиваемая частота автоколебаний) преобразуется к виду

со 2MAq(x) + ©Фт (v) Aq(x) + Нт (v) Aq(x) = = v(/±e2);

где полагаем V

Решение уравнения (92) разыскивается в виде

00 к / \ ^-i к

0x(v(l + 82)) = 0T(v) + Xe4A(v); HT(v(l + s2)) = Hx(v) + £e4(v);

(92)

(0 = Z8 <йк, Atf(x) = £e Aqk(x) (9з)

к=0 к=\

В результате подстановки (93) и (94) в (92) получается последовательность уравнений

ШоМАчк(х) + 0оФт(у)Аяк(х) + Нт(у)ДЧк(т) = = ^А (V/ Ч; Ач,(т);...; (т); Дф, (х);...; Д^., (т); (95) АЧ1(т);...;Дяк.1(т);©],...,©А_1)) к = 1,2,...

Если ^ V, 03 д ^ -простой корень спектральной задачи, то решение каждого из уравнений (95)

представляется в виде

А?А (*) = «А К11 ) + А?А М'

(96)

Из условия существования 2% -периодического решения каждого из уравнения (95) 2 я

¡(г(х)'Рк)(1х = 0, к = 2,3,... (97)

о

последовательно определяются ССд. и СО ^ . В (97) -¿^(т) -решение сопряженной задачи.

Доказывается, что если в правой части уравнения (92) сохранены члены не выше третьего порядка малости, то полученное решение единственно и является устойчивым или неустойчивым предельным циклом.

В §4.2. проводится исследование устойчивости ответвляющихся режимов, для чего используется варьированное относительно Ад уравнение

МЫ} + Фт5</ + Ят5(/ =-5(7+-Ъд

дАд дАд

(98)

Если положить

V

=у(;±82);

фт V =ФДу Ч

V .

дЧ'

дАд дАд

+ > £ --

V к

дЧ* дЧ>

дАд дАд

+ Уе —-

V т дАд

(99)

bq(t) = еП1 Aq{t), x = (át,

то возникает уравнение, решение которого представляется в виде (93) при

n = ¿ s4v

А=1

В результате получается последовательность уравнений

(ü20MAqk +(й0Ф,Адк +H,Aqk Aql,...,Aqk.I;Aq1,...,Aqk.l;Aq1,...,Aqk.i;q,v)

Используя условия 2 71 -периодической разрешимости каждого из уравнений (99), последовательно определяются Oj, _____Если R в Qj > 0, то автоколебания устойчивы, при Re£\ <0 -неустойчивы. В случае Re£\ = О осуществляется переход к исследованию знака ReDo и т.д.

R

В качестве примеров рассмотрены автоколебания вязкоупру-гого, невесомого (рис.5а) и весомого (рис.5б) стержней, нагруженного силой, нелинейно зависящей от скорости.

Соответствующие уравнения движения имеют вид

Mq(t) + [DH]q(t) = R(v-q(í)), (ioo)

E(D) JW1V(x,t) + NW"(x,t) + mW(x,t) + + sW(x,t) = 0

W(0,t) = 0, W'(0,t) = 0, W"(£,t) = 0; E(D) JW'"(l,t) + NW'(l,t) = -R(v- W(l,t))

На рис.6 представлена область неустойчивости равновесного состояния и области неустойчивых (Т) и устойчивых (t) автоколе-

V-

бательных режимов. На рис.7,8 представлены графики изменения соответственно амплитуд и поправок к частотам автоколебаний.

(101)

Рис.5б

it?** О, ff s 0,30 0,85 OJBÛ

Чн Г"5

= / о

0,8 0,6 0,4 0,2 О

О 0,û2 0,04 0,06 0,08 0,t Рис. 6

Ъ- 1 <> 5

II 0.08 0,1

0,02 О, О4 О,Об

Pese. ?

-О)

7,0

6,0

4,0 2 0 О

ce

ДО

ЗА

OL

Рас. 8

В пятой главе рассматривается задачи аналитического конструирования управляющих систем, обеспечивающих устранение или ограничение колебаний деформируемых систем. Описываются математические модели: электромеханических и гидравлических исполнительных механизмов; многомерных деформируемых, управляемых и наблюдаемых систем. Формируются условия управляемости и наблюдаемости многомерных систем.

В §5.5 рассматриваются задачи оптимального оценивания и управления линейными детерминированными системами.

Расчет оптимальных управлений электромеханическими системами зарубежные и отечественные авторы проводят на основе теоремы Летова- Калмана. При этом задачи приводятся к нелинейным уравнениям типа Риккати. Существенное упрощение алгоритмов обеспечивает введение критерия «обобщенной работы» A.A. Красовского, приводящего задачу к линейным разрешающим уравнениям при одноточечных граничных условиях. В настоящей работе показывается, что на основе уравнений Эйлера- Лагранжа задача аналитического конструирования регулятора может быть сведена к линейной краевой двухточечной задаче при квадратичном критерии качества. При этом учитываются возмущающие воздействия, которые поддаются оценке.

Так для наблюдаемой и управляемой системы

X{t)=.A(t)X{t) + BG{t)G(t); Z(t)=C(t)X(t)

(102)

задача отыскания оптимальных управлении при квадратичном критерии качества

'2, , 2 Фl=zVJz ооз)

сводится к линеиной системе уравнений

d ~Х~ А X

dt L -сУхс -Л L

+

BFF C^VjZ

(*ОПГ -

(104)

где Ъ -заданная программа движения.

Задаче 104 ставится в соответствие один из типов граничных условий, сформированных в работе.

Для оценки состояний и возмущений = + полУча1°тся

уравнения

d A -B*FV2_1BF" ' х~ +

dt _А F _-С\С -А* A F

BFF + BCG C*v,z

. (105)

(106)

при заданных G и F.

В §5.6. осуществляется применение методов линеаризации к оптимальному управлению детерминированными системами

Щ = [А0 + /i(f )]*(f) + N(x, v) + BFF(t) + BcG(t); i(t) = Cx(t),

В задачу оптимального управления включены: отыскание критических параметров V

и соответствующих X; выбор параметров, обеспечивающих устойчивость систем; определение управляющих воздействий при отработке заданной программы движения z(V) •

Для отыскания оптимальных управлений возмущенными состоянием Ax^f), получается нелинейная система уравнений

d

dt L

ßGv2-

-с^с -л

АХ £

+

BfF+W

С v,z+ ■

Г

V3AX)

-i *

'опт у2 (10?)

где Y -вектор-функция содержащая компоненты состояния в степенях два и выше.

Уравнение 107, представляемое в виде

У = ЛУ+Н(г) + #(У).

после линеаризации принимает вид

У = (Л+Л)У + Н(г) (Ю8)

Решение уравнения (108) осуществляется методом последовательных приближений. При этом предполагается, что параметры V системы принадлежат области устойчивости, что дает возможность учитывать лишь частное решение уравнения (108)

Модель управляемого и наблюдаемого высотного здания и график оптимального 'правления представлены на рис.Э и рис./Л

опт ¡6

/2 а

4 О -4 -8 -12 -16 -20

60

УуУУУ. ---т^/^Ш)

У////Л— £)+*(*))

^ Л

')'} I / } / } } 1 1 П

—мал—

Рис. 'О

ч 8 112 20 ц 25 1 32 Зб\ ЮМ

J Г

Уг

Рис. Ю

Модель электровоза, колебания которого управляются регулирующим усили косе, представлена на рис.11. График оптимального усилия аналогичен графику, п ленному на рис.10.

В шестой главе представлены математические приложения, в которых опис; математические объекты (диада, метрические тензоры, тензоры конечной деформац пряжений), встречающиеся в диссертации. Рассматривается процедура приведения непростой структуры к жордановой форме.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. На основе принципа виртуальной работы и метода конечных элементов получены ; ния основного и возмущенного движений геометрически и физически нелиней: следственно деформируемых тел, которые уточняют уравнения, выведенные О. 3 чем. В отличие от подхода К.Васидзу, предусматривающего процедуру последова го перехода от промежуточных конфигураций системы к окончательной, в настоя: боте: нелинейные уравнения основного движения составляются относительно перемещений; нелинейные уравнения возмущенного движения, получаются варьи] ем уравнений основного движения. Уравнения могут быть использованы при : ; равновесных состояний и эйлеровой устойчивости деформируемых тел; нахождеш тических параметров, соответствующих поверхностям раздела областей устойчи неустойчивого состояний систем; расчете авто- и параметрически возбуждаемых 1 ний, ответвляющихся от равновесных состояний систем, и исследовании их усто ста; описании переменных состояния управляемых систем.

2. Предложен новый метод расчета критических параметров систем, соответствующие

ницам раздела областей устойчивого и неустойчивого состояний равновесия. Этот основан на совместном решении уравнений основного (статического) состояния и тральной" задачи.

3. Для расчета периодических режимов, ответвляющихся от состояний равновесия в о] ностях критических значений параметров системы, предложен метод линеаризацш четании с итерационным. Этот метод реализован при решении новых ( с точки : применения этого метода) задач: расчете одно- и миогочастотных автоколебательн жимов; определении амплитудно- частотных характеристик параметрически возб; мых колебаний; расчете сложных колебательных режимов, возникающих при взам ствии вынужденных колебаний с авто- или параметрически возбуждаемыми колеба как в нерезонансном, так и в резонансном случаях. Предложена новая методика ис<

вания устойчивости этих режимов. Она предусматривает постулирование возмущений исследуемых состояний возмущениями амплитуд этих состояний. Это дает возможность значительно упростить исследование устойчивости периодических режимов.

4. Разработана модификация метода Ляпунова- Шмидта применительно к системам с конечным и бесконечным числом степеней свободы, предусматривающая: расчет статических состояний, выявления условий возникновения автоколебаний; исследование автоколебательных режимов, ответвляющихся от равновесных состояний, и их устойчивости. Составлен и реализован на ЭВМ алгоритм нахождения критических параметров, частот и амплитуд автоколебаний фрикционных систем (с конечным и бесконечным числом степеней свободы) и систем обработки металлов резанием с учетом запаздывания в последних сил резания по отношению к перемещениям. Сравнение результатов, полученных при решении одних и тех же задач методами эквивалентной линеаризации и Ляпунова-Шмидта, позволяет сделать вывод: метод эквивалентной линеаризации дает точность, сопоставимую с точностью первого приближения метода Ляпунова- Шмидта.

5. Для задач об определении оптимальных управлений, доставляющих минимум квадратичным критериям качества применена вариационная теория Эйлера- Лагранжа, обеспечивающая: сведение задачи аналитического конструирования регулятора к линейной краевой задаче с широким спектром краевых условий- от задачи Коши до связанных двухточечных задач с подвижными границами; возможность оценки внешних воздействий и переменных состояния управляемой и наблюдаемой системы. Применение метода эквивалентной линеаризации позволяет: обобщить теорию Эйлера- Лагранжа на задачи об оптимальных оцениваниях и управлениях системами, описываемыми нелинейными уравнениями с переменными коэффициентами, построить итерационный процесс нахождения переменных состояния и оптимальных управлений. Разработана и реализована программа расчета оптимальных управлений колебаниями строительных и электромеханических систем.

6. Результаты исследований, выполненных в диссертации, могут быть использованы при решении широкого класса прикладных задач, имеющих большое народно- холзяйствен-ное значение.

Содержание диссертационной работы изложено в статьях и тезисах докладов:

1. Кабельков А.Н. Об автоколебаниях консольного вязкоупругого стержня / Новочерк. политехи. ин-т. Новочеркасск. 1977. Деп. в ЦИНИС 13.07.77.№ 653.

2. Кабельков А.Н. Исследование закритического состояния процесса автоколебаний сольного стержня для случая модели Фойхта / Новочерк. политехи, ин-т. Новочер! 1977. Деп. в ЦИНИС 13.07.77.№ 654.

3. Кабельков А.Н. Исследование закритических автоколебаний консольного стержня и коупругого материала с дискретным спектром / Новочерк. политехи, ин-т. Новочер! 1977. Деп. в ЦИНИС 13.07.77.№ 655.

4. Кабельков А.Н., Воронцов Г.В. Устойчивость и автоколебания упругого стержня, н женного силой сухого трения // Изв. Сев.-Кавк. науч. центра высш. шк. естеств.н 1983. № 1.С. 30-33.

5. Кабельков А.Н. Два подхода к расчету автоколебаний упругоготконсольного стержш груженного силой сухого трения на конце У Новочерк. политехи, ин-т. Новочерк 1981. Деп. в ЦИНИС 26.06.81.№2347.

6. Кабельков А.Н., Воронцов Г.В. Исследование автоколебаний вязкоупругой механиче системы с одной степенью свободы / Новочерк. политехи, ин-т. Новочеркасск. 1983. в ЦИНИС 28.04.83.№ 2254.

7. Кабельков А.Н., Воронцов Г.В. Алгоритмы расчета устойчивости и автоколебаний л нических систем по методу Ляпунова- Шмидта / Новочерк. политехи, ин-т. Новочерк,

1983. Деп. в ЦИНИС 28.04.83.№ 2253.

8. Кабельков А.Н., Воронцов Г.В. Исследование фрикционных автоколебаний механиче систем с двумя степенями свободы // Изв. Сев.- Кавк. науч. центра высш. шк. Техн. н

1984. № 1.С. 55-59.

9. Кабельков А.Н. Исследование автоколебаний механических систем типа резец- cyni металлорежущих станков / Новочерк. политехи, ин-т. Новочеркасск. 1984. Деп. в ЦШ 13.05.84.№ 134.

Ю.Кабельков А.Н. Некоторые задачи неустойчивости вязкоупругих систем. Дисс. канд. 4 матем. наук. Тула, 1984.

11 .Кабельков А.Н. Устойчивость и автоколебания вязкоупругих систем // Устойчивое механике твердого тела: Тез. докл. П. Всесоюз. симпозиума. Калинин. 1986. С. 93-99.

12.Кабельков А.Н., Панасенко H.H., Дементьева Н.М. Динамическая модель сейсмосто! ста механизмов грузоподъемных кранов атомных станций // Современное состоя» основные направления исследований сейсмостойкости и прочности энергетического с рудования: Тез. докл. Ш. Всесоюз. совещ. Фрунзе. 1987.С. 17-20.

13.Кабельков А.Н. Методы линеаризации в задачах исследования устойчивости и колеба: нелинейных механических систем // Пути совершенствования преподавания теореп ской механики: Тез. докл. VITT зогальное совещание - семинар. Владикав; 1990. С. 54-56.

14.Кабельков А.Н. Устойчивость и колебания конструкций, подверженных сейсмичес) воздействиям // Надежность и эффективность нетрадиционных систем защиты здани сооружений: Тез. докл. научно-техн. конф. Севастополь. 1991. С.36-37.

15.Кабельков А.Н., Зарифьян A.A. Устойчивость и автоколебания в тяговой зубчатой пе даче магистрального электровоза BJI-85 // Изв.вузов. Электромеханика. 1991. № С. 82-87.

16.Кабельков А.Н. Устойчивость и автоколебания вязкоупругих тел. // Технологичеа проблемы прочности несущих конструкций: Тез. докл. I Всесоюз. конф. Запорожье. 19 Т.1, 4.1. С.20-24.

17.Кабельков А.Н.. Иванченко А.Н. Оптималное управление колебаниями наблюдаем систем // Изв. вузов. Электромеханика. 1995. №5-6. С.135-138.

18.Воронцов Г.В., Кабельков А.Н. Применение метода Ляпунова- Шмидта к исследован! устойчивости и автоколений сложных механических систем // Прикл. механика. 19! Т.19. С. 102-109.

19.Воронцов Г.В., Кабельков А.Н., Наугольнов В.А. Исследование колебаний нелинейно

деформируемых конструкций методом обобщенной гармонической линеаризации. / Но---------

вочерк. политехи, ин-т. Новочеркасск. 1986. Деп. в ВНИИИС. 1986. № 6282.

20.Воронцов Г.В., Кабельков А.Н. Исследование автоколебаний, возникающих при динамическом контакте вязкоупругих тел//Прикл. механика. 1987. т.23. №1. С.108-114.

21.Воронцов Г.В,, Кабельков А.Н. Параметрический резонанс нелинейных электромеханических систем с периодическими коэффициентами // Изв. вузов. Электромеханика. 1988. № 1. С. 15-22.

22.Воронцов Г.В., Кабельков А.Н. Динамическая устойчивость нелинейно деформируемых конструкций при параметрическом возбуждении И Изв. Сев.-Кавк. научи, центра высш. шк Техн науки- 1989. №3. С.31-36.

23.Воронцов Г.В., Кабельков А.Н. Вынужденные колебания нелинейных электромеханических систем при параметрическом резонансе Н Изв. вузов. Электромеханика. 1989. № 8. С.50-57.

24.Воронцов Г.В., Кабельков А.Н. Оптимальные управления в системах автоматического регулирования напряженно-деформированного состояния конструкций // Строит, механика и расчет сооружений. 1990. № 2. С.70-75.

25.Воронцов Г.В., Кабельков А.Н. Уравнения основного и возмущенного движений геометрически и физически нелинейных систем // Изв.вузов. Строительство и архитектура. 1990.№ 10. С.30-34.

26.Воронцов Г.В., Кабельков А.Н. Оптимальные оценивания и управления в системах активного гашения колебаний // Надежность и эффективность нетрадиционных систем защиты зданий и сооружений: Тез. докл. науч.-техн. конф. Севастополь, 1991. С.37-39.

27.Воронцов Г.В., Кабельков А.Н. Алгоритм исследования вынужденных колебаний геометрически нелинейных систем // Численные и аналитические методы решения задач строительной механики и теории упругости. Ростов н/Д: РИСИ. 1991.С.43-49.

28.Воронцов Г.В., Кабельков А.Н., Резниченко А.И. Исследование колебаний сложных наблюдаемых конструкций из кампозитных материалов // Технологические проблемы прочности несущих конструкций: Тез. докл. 1 Всесоюз. конф. Запорожье. 1991. т.1.,ч1.С.54-59.

29.Воронцов Г.В., Кабельков А.Н. Оптимальные оценивания н управления нелинейными электромеханическими системами при квадратичных критериях качества // Изв. вузов. Электромеханика. 1992. ш. с. 82-86.

30.Воронцов Г.В., Кабельков А.Н. Линейные краевые задачи об оптимальных управлениях многомерными электромеханическими системами // Изв. вузов. Электромеханика. 1992. № 5.с.27-32.

П.Воронцов Г.В., Кабельков А.Н. Итерационные методы расчета устойчивости и колебаний нелинейно деформируемых конструкций // Исследование вибраций машин , механизмов и конструкций: Тез. докл. Севастополь. 1993.С.9.

!2.Воронцов Г.В., Кабельков А.Н. Исследование совместных вынужденных и параметрически возбуждаемых колебаний нелинейных вязкоупругих систем методами эквивалентной линеаризации // Прочность, устойчивость и колебания конструкций: Сб. науч. тр. Новочеркасск: 1993. С.20-33.

3.Воронцов Г.В., Кабельков А.Н. Итерационные методы линеаризации в многомерных задачах динамики нелинейно деформируемых конструкций // Прочность, устойчивость и колебания конструкций: Сб. науч. тр. Новочеркасск: НПИ. 1993. С.40-51.

4.Воронцов Г.В., Кабельков А.Н. Разработка систем автоматического регулирования (САР) колебаний высотных и протяженных конструкций // Сб. науч. тр. /Рост.н/Д. гос. академия ст-ва. Ростов н/Д. 1993. С.125-131.

Президиум ВАК России

(решение от "-// " г.,

присудил ученую степень ДОКТОг А

/С/ея^с^'Ы._нау|

/Начальник управления ВАК России

- 3 '/3/-«/

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НОВОЧЕРКАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

КАБЕЛЬКОВ АЛЕКСАНДР НИКОЛАЕВИЧ

ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ СОСТОЯНИЙ И УПРАВЛЕНИЕ КОЛЕБАНИЯМИ НЕЛИНЕЙНЫХ СТРОИТЕЛЬНЫХ И ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

05.13.01- Управление в технических системах

ДИССЕРТАЦИЯ НА СОИСКАНИЕ УЧЕНОЙ СТЕПЕНИ ДОКТОРА ТЕХНИЧЕСКИХ НАУК

V

Научный консультант -доктор технических наук, профессор Г.В. Воронцов

Новочеркасск - 1997

Введение

Все большее значение для повышения точности расчетов при проектировании конструкций и машин приобретают задачи исследования их устойчивости и колебаний на основе нелинейных моделей.

Многочисленные аварии, связанные с увеличением фактических нагрузок вследствие возбуждения колебаний, неточности показаний приборов, отклонения размеров деталей, обрабатываемых на металлорежущих станках, приводят к необходимости тщательного исследования колебательных режимов, возникающих вследствие потери устойчивости узлов машин и конструкций, а также их активного гашения.

В зависимости от вида механических систем выбираются методы исследования их устойчивости и колебаний. Различают консервативные и неконсервативные механические системы. Существуют различные подходы к определению консервативных и неконсервативных систем. Так, в работах Болотина В.В.[12] и Парса JI.[89] под консервативными понимаются механические системы, подверженные действию внешних сил, обладающих потенциалом. В этом случае открытым остается вопрос о консервативности (неконсервативности) внутренних сил. Циглер Г. в работе[108] консервативными считает системы, находящиеся под действием сил, работа которых на любом допустимом перемещении системы зависит лишь от ее начальной и конечной конфигураций. В этом случае в число консервативных включаются силы, работа которых на допустимых перемещениях системы равна нулю (например, нормальные реакции, кориолисовы силы, гироскопические моменты).

Нам представляется более строгим следующее определение консервативных систем: консервативными называются деформируемые системы, подверженные действию внешних и внутренних сил, работа которых зависит лишь от начальной и конечной конфигураций систем.

Неконсервативными, в соответствии с работой Циглера Л. [108], назовем системы, которые содержат хотя бы одну силу, не относящуюся к консервативным. В соответствии с этим приведем классификацию неконсервативных систем:

диссипативные - системы, подверженные действию внешних и внутренних сил трения; нестационарные - системы, находящиеся под действием сил, явно зависящих от времени; циркуляционные - системы, нагруженные неконсервативными силами, не зависящими от скорости и времени.

Системы первого и третьего типов могут быть объединены в одну группу- автоном-

ные системы.

Целью настоящей работы является исследование устойчивости и колебаний неконсервативных нелинейных систем с общих позиций теории устойчивости движения. Предлагаемый подход предусматривает:

- определение стационарных (в частности равновесных) состояний системы ;

- выявление критических значений параметров систем, соответствующих поверхностям раздела устойчивых и неустойчивых стационарных состояний;

- расчет амплитудно - частотных характеристик периодических режимов, ответвляющихся от стационарных состояний;

- исследование устойчивости этих режимов;

- оптимальное управление колебаниями, с целью их гашения или ограничения амплитуд.

Определение равновесных состояний нелинейных деформируемых систем может быть выполнено методом простой итерации [7], Ньютона- Рафсона [18,99 ], наискорейшего спуска [91] или приведения нелинейных алгебраических уравнений к линейным дифференциальным уравнениям [20,45]. Недостатком этих методов является предположение о единственности решения. Устранение указанного недостатка достигается использованием теории ветвления решений нелинейных уравнений [15,71] .

Выявление критических параметров, соответствующих поверхностям раздела устойчивых и неустойчивых равновесных состояний, может быть проведено на основе первого [83,84] и второго методов Ляпунова. Недостатком первого метода является ограниченность исследования устойчивости равновесных состояний в первом приближении (устойчивости в малом).Второй метод сопряжен с трудностями построения функций Ляпунова.

Способы решения задач о колебаниях, ответвляющихся от равновесных состояний, квалифицируем по следующим признакам:

- применению "точных" и численных методов решения уравнений основных состояний;

- использованию асимптотических методов [11] решения нелинейных дифференциальных уравнений;

- применению способов приведения исходных уравнений к линейным, что дает возможность реализовать хорошо разработанные алгоритмы решения линейных краевых задач.

Одним из наиболее распространенных "точных" методов решения нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих движение неконсервативных систем, является способ "точечного преобразования" поверхностей А. А.Андронова [3]. К "точным" методам примыкают различные алгоритмы численного решения нелинейных уравнений. Достоинства

численных методов обеспечены:

- эффективными "стандартными" алгоритмами численного решения на ЭВМ нелинейных дифференциальных уравнений как с постоянными, так и с переменными коэффициентами;

- принципиальной возможностью применения точных методов исследования устойчивости нелинейных систем.

Недостатки "прямых" методов:

- большие затраты машинного времени при решении краевых задач, например, с учетом значительного числа выборочных реализаций случайных процессов, воздействующих на систему;

- сложность оценки точности полученных результатов, выделения скрытых периодичнос-тей;

- отсутствие гарантий того, что какие-либо экспериментальные условия функционирования систем оказались неучтенными.

Более широко в задачах об устойчивости и колебаниях применяют асимптотические методы.

Разработан А.Пуанкаре и А.М.Ляпуновым, использован Л.И.Мандельштамом [86] и развит А.А.Андроновым.

Систему дифференциальных уравнений

Метод малого параметра

(1)

представляют в виде

X = (7, ц) + [ХЦ (I, X) + ц 2¥2 (*, Х)+....

(2)

где X Е /Ц - малый параметр. Решение Х^ ( П "порождающих" уравнений

считают известным. Подставляя в выражение (2) ряд

т

к=1

получают последовательность систем уравнений для нахождения вектор-функций

хм.......

Метод В ан-дер-Поля

Предложен в 1922г. [16] для систем с одной степенью свободы, обобщен и обоснован Л.И.Мандельштамом и Н.Д.Папалекси[86].

Уравнения движения систем, близких к консервативным, преобразуют к форме

х + а2х = \лг{1,х,х) (з)

где вектор-функция X, X ^ = >........//у] является непрерывной по всем

переменным, а есть диагональная матрица:

О2 = .....со2]

Предполагая амплитуды и фазы (V). колебаний медленно изменяющи-

мися функциями времени, решения уравнений(З) разыскивают в виде

х.(1) = Л фсотЧ'/О, = Ш/+ Фдо

и получают уравнения

и

А (1) = --^А, V)

2Ю jAj

где введены обозначения

/д, = , /р; = /^сохЧ^

Предусмотрена возможность приведения задач к уравнениям с разделяющимися неизвестными А . и ф этом случае делается предположение, что производные А

7 И

271

(р постоянны в течение периода- и производится замена этих функций средними за

©у

период значениями:

27t

2%

ф, =

М:

7 2тгюА; о

Полученные уравнения могут быть представлены в более коротком виде

¡fvjft.AWdVj

ф. (A,t) . 0j (A,t)

Aj = -1-, <Pi=—--(4)

7 2ЯЙЬ J ImD: A:

J 3 3

Уравнения (4) позволяют исследовать периодические и непериодические движения, в том числе процессы установления. В задачах об устойчивости колебаний метод Ван-дер-Поля позволяет составить лишь необходимые условия.

Близким к методу Ван-дер-Поля является метод усреднения, предложенный Н.М.Крыловым и H.H. Боголюбовым [78] для исследования уравнений типа

X = juF(t,jut,X) (5)

где X{t^ вначале считается медленно изменяющейся вектор - функцией времени. Решение первого приближения получают из уравнения

X0(t) = juM

F(t,jUt,X0)\ (6)

где м -оператор усреднения по явно входящему "быстрому" времени / .Подставляя вектор-

функцию(б) в правую часть уравнения(5) и разлагая |И Хд ^ в ряды Фурье, состав-

ляют выражения

Щ = У к 0 М*,х0) еш

к

¡И

к = о 1к

Аналогично могут быть получены второе и последующие приближения.

Метод Крылова-Боголюбова

Асимптотический метод Крылова-Боголюбова [10] также в известной мере можно считать обобщением метода Ван-дер-Поля.

Решение уравнения (3) разыскивают в виде

Х] + ....., ; (7)

А] =ыj +\х/Ау{Л,Ц1у\хг) + \х2 ....., ;

ф^- + + .....' ; ^

А = [А1.........= .........%]*.

причем, правую часть (3) раскладываем в ряды

х,х) цК + .......

^ , =Хк ^.А^ЫЧ* +гк +

+ (9)

. Здесь вектор-функция = ^СО "I" ф ; X|(j)Y} считаются медленно

изменяющимися функциями времени.

Для определения неизвестных функций /А , выражения (7) и (9) подставляют в

исходную систему уравнений(З) и приравнивают выражения при одинаковых степенях па-

раметра р .

Для нахождения решения в первом приближении не требуется отыскания функций иХ], 1Л2],... ряда (7), причем уравнения для амплитуд и фаз аналогичны^). Нахождение

функций Т 5 Т уравнений(8) представляет собой более сложную задачу, для решения которой предварительно определяются функции 11ц. Метод может быть использован также

и

при решении задач, описываемых уравнением типа (5),

Помимо указанных методов, а также методов линеаризации [74,78,94,97,98,100] и Ляпунова-Шмидта [15,43,44,84,112,114,116], о которых будет сказано позже, упомянем некоторые другие методы:

энергетический метод Теодорчика [103,104], который представляет собой модифицированный метод Ван-дер-Поля;

метод Бубнова-Галеркина [39], позволяющий рассчитывать установившиеся режимы в колебательных системах. Так как этот метод требует задания формы решения, то он, по сути дела, близок к методу линеаризации;

методы статистической линеаризации, предложенные И.Е.Казаковым [68] и Б.Г.Доступовым [47].

Исследование устойчивости периодических режимов, ответвляющихся от стационарных состояний, приводит к дифференциальным уравнениям с периодическими коэффициентами [115]. Решение этих уравнений, как правило, громоздко и дает области неустойчивости колебательных режимов. Однако, существует упрощенная методика исследования устойчивости периодических режимов[9], которая развивается нами в работах [22,24,25,43,44].

Методы исследования устойчивости движения нелинейных систем [6,46,73,83] и асимптотические методы позволяют выявить области неустойчивости равновесных состояний и построить локальные (в окрестностях состояний равновесия) периодические решения.

Для ограничения амплитуд периодических и хаотических колебаний строительных конструкций, подверженных действию ветровых, сейсмических и технологических нагрузок, в практике отечественного строительства широко используются пассивные методы управления: кинематические опоры; скользящие пояса ; освобождающиеся связи и т.д.. Методы активного подавления колебательных режимов конструкций распространения не получили.

Автоматизированные системы управления колебаниями сооружений, особенно социально опасных, используются проектировщиками США и Японии. Опубликованы многочисленные работы по управлению конструкциями с применением аэродинамических, гид-

равлических и других исполнительных механизмов [120-122]. При этом предполагается, что конструкции оснащены системой наблюдения, а исполнительные механизмы управляются ЭВМ.

Расчет оптимальных управлений электромеханическими системами зарубежные и отечественные авторы проводят на основе теоремы Летова-Калмана [4,21,96]. При этом задачи приводятся к нелинейным дифференциальным уравнениям типа Риккати. Существенное упрощение алгоритмов обеспечивает введение критерия "обобщенной" работы А.А.Красовского [76], приводящего задачу к линейным разрешающим уравнениям при одноточечных граничных условиях.

Следует отметить значительное (квадратичное) превышение разрешающих уравнений над числом степеней свободы системы, что приводит к большому объему вычислений.

Актуальность темы. Широкое внедрение новых конструкционных материалов (полимеры, композиты и др.), усложненные режимы эксплуатации строительных и электромеханических систем (неконсервативные нагрузки, ветровые и сейсмические воздействия) вызывают необходимость создания более корректных математических моделей этих объектов и усовершенствованных инженерных методов их расчета. Одним из факторов уточнения расчетных моделей деформируемых сред является учет их геометрической и физической нелинейности. Учет этого фактора требует нового подхода к исследованию дифференциальных уравнений, описывающих поведение нелинейных, неконсервативных систем. Этот подход, осуществляемый с общих позиций теории устойчивости движения, предусматривает определение равновесных состояний конструкций; нахождение областей неустойчивости; вычисление амплитудно-фазовых характеристик колебательных режимов и проверку их устойчивости. Вычисление амплитудно-фазовых характеристик периодических режимов, возникающих в строительных и электромеханических системах, основывается на итерационном методе и методе эквивалентной линеаризации, позволяющих: использовать хорошо разработанные методы решения линейных дифференциальных уравнений; применять эффективные (с точки зрения вычислительного процесса) алгоритмы.

Подавление колебаний строительных (особенно социально опасных) и электромеханических систем или ограничение их амплитуд является одной из важных задач механики. Эта задача решается применением средств активного гашения колебаний. Теоретической основой решения этой задачи является теория оптимального управления механическими системами.

Цель исследования: на основе общей теории устойчивости движения разработать ме-

тод и алгоритмы исследования поведения существенно нелинейных вязкоупругих систем в окрестностях значений параметров, примыкающих к пограничным поверхностям неустойчивости; разработка альтернативного метода оптимального оценивания и активного управления нелинейными системами при малой информативности средств наблюдения.

В частности, в цели работы входили:

- развитие метода эквивалентной линеаризации в сочетании с итерационным применительно к автоколебательным и параметрически возбуждаемым системам;

- модификация метода Ляпунова-Шмидта для расчета автоколебательных режимов, ответвляющихся от состояний равновесия;

- получение единой системы линейных уравнений, определяющих оптимальные управления при квадратичном критерии качества, на основе формализма Эйлера.

Научная новизна. В работе получены уравнения движения неконсервативных, нелинейных деформируемых сред, которые вариационными методами сведены к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Предложена методика расчета критических параметров деформируемых конструкций, основанная на совместном решении уравнений "основного" состояния и линеаризированных уравнений возмущенного движения.

На основе метода эквивалентной линеаризации в сочетании с итерационным разработаны методики определения амплитудно-частотных характеристик: одно- и многочастотных автоколебательных режимов; параметрически возбуждаемых колебаний; взаимодействующих колебаний нелинейных систем при параметрическом резонансе. Предложена методика исследования устойчивости указанных периодических режимов.

Модифицированный метод Ляпунова-Шмидта применен к расчету автоколебаний нелинейных систем. Проведено сравнение эффективности этого метода и метода эквивалентной линеаризации.

Предложена методика оптимального оценивания и активного управления линейными и нелинейными детерминированными системами. Эта методика, основанная на варицион-ном принципе Эйлера, позволяет свести задачу построения оптимального управления наблюдаемой конструкцией к системе линейных дифференциальных уравнений. Она предусматривает наличие в уравнениях внешних воздействий и позволяет производить их оценку.

Практическая ценность. Разработанные в работе методы, алгоритмы и программы предусматривают применение их при: исследовании устойчивости и колебаний нелинейно деформируемых конструкций в широком диапазоне значений характеризующих их параметры; построении систем активного управления колебаниями с целью их подавления или ог-

раничения амплитуд.

Полученные в диссертации результаты могут быть использованы в курсе строительной механики при расчете зданий и сооружений на сейсмические воздействия, ветровые и технологические нагрузки.

На защиту выносится новая концепция решения динамических нелинейных задач механики, основанная на общей теори