автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Устойчивость сжатых неоднородных стержней с учётом физической нелинейности материала

На правах рукописи

Клименко Екатерина Сергеевна

УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ НЕОДНОРОДНЫХ СТЕРЖНЕЙ С УЧЁТОМ ФИЗИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТИ МАТЕРИАЛА

4858347

05.23.17 - Строительная механика

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата технических наук

- з НОЯ 2011

Ростов-на-Дону - 2011

4858347

Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Ростовский государственный строительный университет»

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор технических наук, профессор Языев Батыр Меретович

член-корр. РААСН, доктор технических наук, профессор Андреев Владимир Игоревич

кандидат технических наук, профессор Высоковский Дмитрий Александрович

ФГБОУ ВПО «Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова»

Защита состоится «25» ноября 2011 года в 10- часов на заседании диссертационного совета ДМ212.207.02 при Ростовском государственном строительном университете по адресу: 344022, г. Ростов-на-Дону, ул. Социалистическая, 162, корпус 1, ауд. 232. Т/ф: 8(863)2635310, e-mail: dis_sovet_rgsu@mail.ru.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ростовского государственного строительного университета.

Автореферат разослан «21» октября 2011 г.

Учёный секретарь диссертационного совета, —

кандидат технических наук, доцент НалимоваА.В.

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы. В последние годы с появлением новых композиционных материалов, а также более широким распространением гибких стержней, требуется более уточненная постановка соответствующих задач устойчивости сжатых стержней с учетом реологических свойств материала в нелинейной постановке.

Очень высокой механической прочностью отличаются однонаправленные армированные стержни из композитного материала (анизотропные пластмассы, стеклопластики), применяемые в сильно нагруженных деталях. Основными составляющими армированных пластиков являются полимерные связующие в стеклообразном состоянии и армирующие элементы (стеклянные ровинги).

Однако в реальных конструкциях не всегда удаётся полностью реализовать прочностной ресурс этих изделий. Важнейшими из них являются: условия заделки стеклопластикового стержня в сопрягаемые элементы конструкции; значения температур, при которых эксплуатируют изделие; характер среды, воздействующей на изделие при эксплуатации; характер приложения механических нагрузок (кратковременные нагрузки, длительные нагрузки с постоянным значением, длительные нагрузки с периодическим изменением значений и т. д).

Характерной особенностью полимерных материалов является наличие у них обратимых деформаций, не совпадающих по фазе с напряжением - высокоэластических деформаций. Значительное влияние на них оказывают время действия нагрузок, температуры, скорость деформирования и т.д.

Одной из основных гипотез, принимаемых в механике сплошной среды, является предположение об однородности материалов. Это означает, что все механические характеристики материала (модуль упругости, коэффициент Пуассона, предел текучести, релаксационные параметры и пр.) постоянны по объему тела. Эта гипотеза позволяет не учитывать естественную неоднородность материалов на микроуровне - наличие различных фракций в композиционных материалах (бетон, стеклопластики и др.), дефекты кристаллической решетки и пр. Однако во многих телах существует так называемая макронеоднородность. Примером может служить случай, когда различные физические явления (температурное поле, радиационное облучение и т.д.) приводят к изменению механических характеристик вдоль тела. Эти изменения могут быть весьма существенны и при расчетах конструкций необходимо учитывать такую макронеодно-родпость.

В настоящей диссертационной работе будет учитываться косвенная неоднородность, которая возникает в процессе эксплуатации конструкции под воздействием различных физических полей. Для.установления закона изменения механических характеристик вдоль тела в данном случае необходимо решить две задачи. Во-первых, экспериментально установить зависимость той или иной характеристики от порождающего фактора (например, температуры) и, во-вторых, решить задачу об изменении данного фактора вдоль тела. При наличии температурного поля - это задача теплопроводности.

Для решения упомянутой проблемы необходимо использовать уравнения связи, максимально описывающим связь между деформацией, напряжением, временем, температурой.

Существующие работы в данном направлении в подавляющем количестве рассматривают линеаризованные физические соотношения, которые не позволяют полностью описать механическое поведение стержней в различных условиях эксплуатации, что приводит к необходимости применения нелинейных физических соотношений.

Поскольку полимерные материалы обладает относительно меньшими же-сткостями, чем традиционные, то актуальной является задача об устойчивости стержней, изготовленных как из гомогенных полимеров, так и стеклопластиков, составной частью которых служит полимерное связующее.

С другой стороны изучение устойчивости полимерных стержней имеет большое значение с точки зрения применения тех или иных уравнений, описывающих механическое поведение материалов.

Представляет интерес вопрос устойчивости стержней, обладающих некоторой начальной погибью, т.е. vg — у0(х).

Из всех проведённых по проблеме устойчивости полимерных стержней исследований имеется крайне скудное количество работ, в которых учитывались бы такие факторы, как: способ закрепления стержня, влияние температурного поля и соответствующей ему наведенной неоднородности материала, начальной погиби стержня и т.д.

Таким образом, цель диссертационной работы заключается в теоретическом исследовании потери устойчивости стержней с учётом начальных несовершенств, способов закрепления стержней, температурного поля и, соответственно, косвенной неоднородности материала.

Научная новизна работы:

- установлено, что полимерное связующее, являющееся составной частью композиционных материалов, в частности стеклопластиков, определяет их неупругое поведение;

- проведено исследование устойчивости стержней для произвольного уравнения связи;

- проведено исследование устойчивости стержней при одновременном учёте начальных несовершенств, способов закрепления стержней, температурного поля;

- проведено исследование устойчивости стержней с учётом косвенной неоднородности материала стержня, наведённой температурным полем;

- исследование проведено с тем учётом, что физико-механические и высокоэластические параметры материала описываются нелинейными соотношениями и являются сильными функциями температуры;

- показано, что при условии Р < Гд прогиб стержня стремится к конечному значению.

Достоверность полученных результатов обеспечивается:

- совпадением результата численного решения задачи о напряженно-деформированном состоянии продольного изогнутого стержня с известными решениями и экспериментальными данными;

- сравнением результатов решения задач для различных материалов с решениями, полученными другими авторами;

- сравнением результатов решения модельных задач с известными аналитическими решениями;

- проверкой выполнения всех граничных условий, дифференциальных и интегральных соотношений.

Вычислительные процедуры производились на базе современных ПЭВМ с использованием программного комплекса Ма1ЬаЬ. Практическая ценность работы:

- решена задача о продольном изгибе полимерных стержней с учётом возмущений в нелинейной постановке;

Результаты работы могут быть использованы при проектировании трёхслойных стеновых панелей, в конструкции трёхслойных кирпичных стен, автодорожных пролётных строений, армированных стержнями стеклопластика.

Аппробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы были представлены:

- «Строительсгво-2011» - международная научно-практическая конференция (Ростовский государственный строительный университет);

- на расширенном заседании кафедры «Сопротивление материалов» Ростовского государственного строительного университета в сентябре 2011г.

Публикации. Основные содержания диссертации опубликованы в одной монографии, шести статьях и материалах конференции; из них три - в изданиях, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ.

Объём работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, списка литературы, 2 приложений, изложена на 112 страницах машинописного текста, содержит 29 рисунков, 2 таблиц.

Основное содержание работы

Во введении обоснована актуальность проблемы и выбранного направления исследования, сформулированы цели и основные положения, которые выносятся на защиту. Дана краткая аннотация всех глав диссертации.

Первая глава посвящена краткому обзору существующих работ по теме диссертации, вопросам устойчивости стержней при ползучести полимерных материалов, основным соотношениям. Отдельный параграф посвящён нелинейному обобщённому уравнению связи.

Во второй главе приводится теоретическое исследование устойчивости сжатых полимерных стержней при различных вариантах закрепления и механической продольной нагрузке без температурного нагружения.

При выводе основных уравнений используются следующие допущения и гипотезы:

1. Имеет место одноосное напряженное состояние (ах & 0).

2. Гипотеза плоских сечений.

3. Геометрическая линейность =

4. Форма сечения (рассматривается прямоугольное сечение).

Вывод основных разрешающих уравнений приводится для различных вариантов закрепления стержней.

Рис. 1. Расчетная схема задачи при ва- Рис. 2. Расчетные схемы задач при за-рианте закрепления «шарнир- креплении стержня «защемле-

шарнир» ние-зашемление» (а) и «защем-

ление-шарнир» (б)

Граничные условия при закреплении стержня «шарнир-шарнир» можно записать следующим образом:

прих = 0: v = 0, = 0;

дхi

при jc = i: v = 0, ^ = 0; в случае закрепления «защемление-защемление»: при х = 0: v = 0, т^ = 0;

дх

при х = /: v = 0, ^ = 0; в случае закрепления «защемление-шарнир»:

при х = 0: v = 0. — = 0;

дх d2v

при х — i. v = 0. — = 0. Таким образом, для любого сечения стержня могут быть записаны интегральные условия

h/Z

(1)

(2)

(3)

F = b j ady, (4)

-h/2

h/2

M0 + Fv = -b J aydy. (5)

-h/2

С учётом гипотезы плоских сечений, и интегральных соотношений можно записать выражение для деформации средней оси стержня

h/2

I£tdy- (6)

-Л/2

Рядом авторов (проф. В.И.Андреев, проф. Турусов Р.А, С.Б.Языев) решение подобных задач рассматривалось только при учёте одного единственного уравнения связи. К примеру, вышеуказанные авторы использовали уравнение связи Максвелла-Гуревича и получали разрешающие уравнения относительно двух функций: функции напряжений и функции перемещений v.

Л/2 Л/2

Е + ЩЕ Г /; Щ, ЕЬ Г /; Щ Fdv

Чо h J, Vo I J Vo 1 dt

-h/2 -h/2

h/2

Fdv ь г f; щ

+ = J 70emydy-

dx2dt Ы Ot l J ЛЬ -h/2

о 7 bh?

Здесь 1 = — - осевой момент инерции сечения стержня относительно

оси z.

Однако в таком виде уравнения могут быть использованы только при применении уравнения связи Максвелла-Гуревича. Поэтому необходимо получить разрешающие уравнения, лишенные этого недостатка и подходящие для произвольного уравнения состояния.

С учетом того, что обратный радиус кривизны х ~ — окончательное

разрешающее уравнение для оси стержня принимает вид:

h/2

dzv F М0 b Г

Jx^ + TlV = ~Ё7 + 7 J (7)

-h/2

Решение уравнения (7) получено методом конечных разностей (МКР), интегралы определяются с помощью метода Симпсона. Методика численного решения задачи подробно изложена в параграфе 2.3 диссертации. Важно отметить что уравнение (7) пригодно только для варианта «шарнир-шарнир»

Ниже приводится решение тестовой модельной задачи, ранее рассмотренной проф. В.И. Андреевым (табл. 1).

Таблица 1

Сравнение результатов расчета задачи для полимерного образца из эпоксидной смолы ЭДТ-10 с решением проф. В.И. Андреева (положительным напряжениям соответствует сжатие) при х — 1/2

к, мм Г = 54 мин г = 108 мин t = 162 мин

ст,МПа проф. В.И. Андреев, МПа и,МПа проф. В.И. Андреев, МПа <т,МПа проф. В.И. Андреев, МПа

-4 15,990 16,002 19,741 19,800 31,598 31,632

-2 11,145 11,147 13,581 13,586 21,117 21,134

0 5,779 5,780 6,008 6,010 6,673 6,680

2 0,276 0,274 2,004 2,001 -9,208 -9,189

4 -5,240 -5,247 -9,996 -10,003 -23,837 -23,801

Рассматривается шарнирное закрепление стержня из эпоксидной смолы ЭДТ-10, стержень имеет следующие расчётные параметры: 1 = 157мм, Ь = 15мм, к = 8мм, Р = 68кг, = 75,5кг.

Как видно из таблицы, решение тестовой задачи очень хорошо согласуется с решением проф. В.И. Андреева (расхождение менее 1%), что позволяет говорить о достоверности полученных результатов и правильности работы предлагаемого алгоритма решения задачи.

Для задания всех возможных условий закрепления диссертации, выражение (7) дважды дифференцируется по х:

д4у Р 921? _ _ 1 д2М0 д2 ( (8)

7 Ь гЬ/2 , ,

где<Г =у /_Л/2с у*у.

Зависимость скорости деформаций и напряжений описывается обобщённым нелинейным уравнением Максвелла-Гуревича, которое можно представить следующим образом:

(9)

дЬ ?7''

где

Г=а-Е„е' (Ю)

и

1 = (11) Л' Ча

В выражениях (9)-*-(11): а и е* - напряжения и высокоэластическис деформации вдоль оси х; Е - модуль упругости; т\*0 - коэффициент начальной релаксационной вязкости; Е„ - модуль высокоэластичности; т* - модуль скорости.

Вообще говоря, в силу сложного строения, неоднородностей, как на молекулярном уровне, так и на надмолекулярном уровнях, полимеры обладают дискретным набором спектра времен релаксации, так что в правую часть (8) высокоэластические деформации должны входить в виде суммы нескольких членов.

Но учет нескольких членов спектра сильно затрудняет вычисления и при решении конкретных задач механики полимеров достаточно учитывать две составляющие высокоэластической деформации: «старшую» £*х и «младшую» £х2- «Старшей» считается та составляющая, у которой наибольший модуль высокоэластичности Е^ (т.е. Е^о1 > Е^2) и наименьший коэффициент релаксационной вязкости Т]'5 (т.е. т}[ < г}"2). Так как в данной работе рассматривается относительно непродолжительный временной период, то учитывается только «старшая» составляющая е*хХ высокоэластической деформации.

Параграф 2.4 диссертации посвящен решению модельных задач, в которых стержень имеет начальную погибь, изменяющийся по закону:

- для варианта закрепления стержня «шарнир-шарнир»

пх

г>„ =/05т—;

- для вариантов закрепления стержня «шарнир-защемление» и «защемление-защемление»

* • 2ПХ

где/0 = 0,16 мм.

Однако необходимо отметить, что начальная погибь может изменяться по любому закону.

Глава 3 посвящена исследованию устойчивости полимерных стержней с учётом их различных закреплений, начальной погиби, наличию переменного по оси стержня температурного поля и наведённой им, соответственно, косвенной неоднородности материала стержня, нелинейных соотношений физико-механических параметров материала, т.е.

Использованные в расчетах значения релаксационных констант, их зависимости от температуры для эпоксидной композиции ЭДТ-10 и полиметилме-такрилата (ПММА) для «старшего» составляющего спектра приводятся в работе проф. В.Ф. Бабича:

ЭДТ-10 ПММА

г КГС 1 Г кгс 1

Е = -1,75Т + 352,5 —- ; Е = -1,4Г + 322 —-;

1-ММ -1

мм2!' ' 1мм2 J

г КГС1 г КГС1

— ; В» =-ЗГ + 310 —j ;

КГС I г КГС1

г КГС1 г КГС1

m = -0.00ИГ + 0,475 —J; m* = -0,00135T + 0,480 —7 ;

Lmm^J LMMzJ

( 9500__20) гкгс-сект ( 9500 2(Л гкгс-сект

rjn = 3600e^+273,is 2UJ - . „• - 3600ß^+273,is ZUJ --I

L мм2 J L мм2 J

Здесь Т - температура в градусах Цельсия.

Выражение для осевой деформации стержня теперь приобретает вид

h/z

£°=m+aAT+l j e'd* (12)

-h/2

А основное разрешающее уравнение:

= + аз)

дх4 I дх2 W 1дх2^Е' дх2' 7 Ь гК/г , ,

где(=7Lh/2£ ydy.

В целях диссертационной работы не предполагалось точное определение распределения температурного поля по оси стержня, поэтому был принят следующий закон

Г(х) = Т0 + k0xt, (14)

. град

где к0 - скорость роста температуры, M^4ac-

Таким образом, на первом этапе определяется распределение температурного поля по оси стержня х. На следующем этапе определяется распределение физико-механических упругих и релаксационных параметров по оси стержня в зависимости от температурного поля. Третьим этапом определяется напряженно-деформированное состояние полимерного стержня. Блок-схема решения задачи представлена на рис.3.

В параграфе 3.3 приводится решение модельных задач. Во всех задачах стержень иметь следующие геометрические параметры: I = 157мм, Ъ = 15мм, h = 8мм. Рост температуры происходит в течение одного часа. Рассматривают-

ся задачи с вариантами закрепления «шарнир-шарнир», «шарнир-защемление» и «защемление-защемление».

Задача Nsl. Закрепление стержня «шарнир-шарнир». Материал стержня -ЭДТ-10. На стержень приложена продольная нагрузка F = 68кг, F3 = 71,5кг.

а) Температура постоянная по всей длине стержня: Т(х) = const = 20°С. Потеря устойчивости происходит через 29 ч 30 мин.

б) Температура постоянная по всей длине стержня: Г(х) = const = 40°С. Потеря устойчивости происходит через 0 ч 31 мин.

в) Температура меняется по длине стержня: Т(0) = 20°С, T(î) = 40°С. Рост температуры происходит в течение одного часа. Потеря устойчивости происходит через 4 ч 25 мин.

Задача №2. Закрепление стержня «защемление-защемление». Материал стержня - полиметилметакрилат (ПММА). На стержень приложена продольная нагрузка F = 170кг, F3 = 301кг.

а) Температура постоянная по всей длине стержня: Т(х) = const = 20°С. Потеря устойчивости происходит через 5 ч 30 мин.

б) Температура постоянная по всей длине стержня: Т(х) = const = 40°С. Потеря устойчивости происходит через 0 ч 22 мин.

в) Температура меняется по длине стержня: Г(0) = 20°С, T(i) = 40°С. Рост температуры происходит в течение одного часа. Потеря устойчивости происходит через 1 ч 45 мин.

Задача №3. Закрепление стержня «защемление-шарнир» ( <р{0) = 0 , <р(1) Ф 0). Материал стержня - полиметилметакрилат (ПММА). На стержень приложена продольная нагрузка F = 100кг, F3 = 150кг. Результаты решения задачи приводятся на рис. 4-^5.

а) Температура постоянная по всей длине стержня: Т(х) = const — 20°С. Потеря устойчивости происходит через 2 ч 24 мин.

б) Температура постоянная по всей длине стержня: Т(х) = const = 40°С. Потеря устойчивости происходит через 0 ч 27 мин.

в) Температура меняется по длине стержня: Т(0) — 20°С, 7(i) = 40°С. Рост температуры происходит в течение одного часа. Потеря устойчивости происходит через 1 ч 15 мин.

г) Температура меняется по длине стержня: Т(0) = 40°С, Т(1) = 20°С. Рост температуры происходит в течение одного часа. Потеря устойчивости происходит через 0 ч 42 мин.

В задачах с вариантом закрепления «шарнир-шарнир» стержень имеет начальную погибь, изменяющуюся по закону

v0=f0sin-j-.

где /о = 0,16 мм; в остальных случаях начальная логибь изменяется по закону:

е ■ 2ПХ

Количество интервалов по осям х, у, t равно 50, т.е. Nx = Ny ~ Nt = 50. Как видно из решения задач 1^3 температурный режим имеет существенное влияние на потерю устойчивости стержня. Особенно явно это прослеживается при закреплении стержня «защемление-шарнир». Так, если рост температуры происходит в защемлении, то стержень теряет устойчивость в ~2 раза быстрее, чем, если бы рост температуры происходил бы в шарнире.

Рис. 3. Расчетная блок-схема

Рис. 4. Результаты расчета задачи №3 (закрепление «защемление-шарнир»). Рост стрелы прогиба во времени для: варианта а (а), варианта б (б), варианта в (в) и варианта г (г)

Рис. 5. Результаты расчета задачи №3 (закрепление «защемление-шарнир»). Рост напряжения во времени по высоте сечения стержня для: варианта а (а), варианта б (б), варианта в (в) и варианта г (г). Положительным напряжениям соответствует сжатие

£

Рис. 6. Результаты расчета задач при изменении температуры на одном из концов стержня: рост температуры стержня (а), изменение модуля упругости материала стержня (б), изменение модуля высокоэластичности (в), изменение модуля скорости (г) и изменение коэффициента начальной релаксационной вязкости (д)

В главе 4 рассматривается процесс потери устойчивости стержней при иных уравнениях связи, в частности в качестве уравнения состояния используется уравнение Максвелла-Томпсона

де*

ИГ

1

пЁ

Н

а - Не'

(15)

Приводится решение модельных задач, рассмотренных профессором H.A. Белоусом

В своей работе П.А. Белоус приводит решение для стержня из ПНП при

температуре Т = 20°С. варианте закрепления «шарнир-шарнир» и следующих

физико-механических характеристиках:

кг кг

Е = 2- 105кПа = 20-.7; Н = 0,56 ■ 105кПа = 5,6-п = 600с. •

ммг мм

Стержень длиной I — 300мм с квадратным поперечным сечением 20мм х 20мм.

На рис.7 приведены графики зависимости безразмерной стрелы прогиба /* — /"//"о от безразмерно времени Г = С/п для различных значений сжимающего усилия Р. Хорошо видно поведение стрелы прогиба при условиях Р < Рд,

И — Рд и Р > Рд, где Рд = Разница с решением проф. П.А. Белоуса не превышает 1%. Кроме того, проф. П.А. Белоус не определял рост напряжений в стержне. Результаты расчёта напряжений приведены на рис. 8.

Задача №4. Р = 20кг > Рд = Б,2кг. Рэ = 29,24кг.

Задача №3. Р = РД = 8,2кг. Рэ = 29,24кг.

Задача №6. Р = 5кг < Рд = 8,2кг, Рэ = 29,24кг.

Таким образом, в случае Р < Рд стрела прогиба резко возрастает со временем. в случае Р = Рд скорость роста стрелы постоянна во времени и в случае Р > Рд стрела прогиба стремится к некоторому конечному значению. То же самое справедливо и в отношении напряжений в сечении стержня, а б в

Рис. 7. Зависимость безразмерной стрелы прогиба/* от времени а) решение при Р = 20кг; б) решение при Р = 8,2кг; в) решение при Р = 5,0кг

а б в

Рис. 8. Зависимость напряжения по высоте сечения при х = 1/2: а) решение при Р = 20кг; б) решение при Р = 8,2кг; в) решение при Р = 5,0кг. Положительным напряжениям соответствует сжатие.

Проф. П.А. Белоус ограничился в своих исследованиях рассмотрением закрепления «шарнир-шарнир», в диссертационной работе приводятся графики роста стрелы прогиба и напряжений в среднем сечении стержня при вариантах закреплений «защемление-защемление» и «защемление-шарнир».

Параграф 4.2 диссертации посвящен рассмотрению потери устойчивости дюралюминиевого стержня. Данная задача рассматривалась проф. A.C. Вольмиром. Деформации ползучести описываются следующим соотношением:

Д£*^-=5-10-12С73ДС, (16)

dt

причём а измеряется в кг/см2, а t - в часах.

Расчётные параметры стержня: I = 21,4см b = 2см, h = 0,8см, закрепление «шарнир-шарнир», F = 500кг при температуре 300°С, Е = 4 ■ 105 кг/см2. Осевая линия изогнута до приложения нагрузки по полуволне синусоиды:

v = 0,01 sin ^р (17)

Разница с решением проф. A.C. Вольмира не превышает 1% (табл.2).

Таблица 2

Сравнение результатов расчета задачи дюралюминиевого стержня с решением проф. A.C. Вольмира (положительным напряжениям соответствует сжатие) при х = 1/2 в момент потери устойчивости

h h h h

Координаты у 2 4 0 ~2

сг,МПа -95,2 -23,7 43,9 91,2 121,4

проф. A.C. Вольмир, МПа -95,4 -23,8 43,8 91,0 120,7

Таким образом, согласование результатов решения тестовых модельных задач с известными решениями (проф. В.И. Андреева, проф. П.А. Белоуса и проф. A.C. Вольмира) позволяет говорить о достоверности полученных результатов и правильности предложенных методики и алгоритма решения задач.

Выводы

Наиболее значимыми являются следующие результаты:

1. Проведено теоретическое исследование устойчивости и релаксационных явлений в гомогенных и гетерогенных полимерных стержнях при некоторых условиях температурного и силового нагружения.

2. Проведено исследование устойчивости и релаксационных явлений в полимерных стержнях при вариантах закрепления «шарнир-шарнир», «шарнир-защемление» и «защемление-защемление». Полученные результаты показывают существенное различие от «классической» модели «шарнир-шарнир» при некоторых условиях температурного и силового нагружения.

3. Теоретическими исследованиями было показано существенное влияние физической нелинейности материала на устойчивость стержня при температурных нагружениях. В частности, при температуре 40°С скорость потери устойчивости выше в -50 раз, чем при температуре 20°С.

4. Результаты исследования показали, что в случае F < Ffl в однородных стержнях изгиб стремится к конечному значению.

5. На базе применения численных методов разработаны методика, алгоритм численной реализации и программа расчёта на ЭВМ задачи устойчивости сжатого стержня с учётом зависимости физико-механических параметров материала от температуры при различных вариантах закрепления стержня и наличием начальной погиби оси последнего.

6. Поскольку полимерное связующее является составной частью композиционных материалов таких, например, как стеклопластики, и определяет, по сути дела, их неупругое поведение, то полученные результаты, по крайней мере, качественно (в первом приближении), можно отнести к этим материалам.

Основные положения диссертации отражены в 7 публикациях

- в 3-х изданиях, рекомендованных ВАК РФ:

1. Клименко Е.С., Литвинов C.B., Кулинич И.И., Языева С.Б. Устойчивость полимерных стержней при различных вариантах закрепления // Вестник МГСУ. №2. т.2.2011. С.153-157.

2. Клименко Е.С., Литвинов C.B., Кулинич И.И., Языева С.Б.. Расчет на устойчивость полимерных стержней с учетом деформаций ползучести и начальных несовершенств // Инженерный Вестник Дона: электронный журнал. №2.2011. URL: http://www.ivdon.ru/magazine/latest/n2y2011/418.

3. Клименко Е.С., Литвинов C.B., Кулинич И.И., Языева С.Б., Торлина Е.А. Расчет на устойчивость стержней из ЭДТ-10 при различных вариантах закрепления // Инженерный Вестник Дона: электронный журнал. №2. 2011. URL: http://www.ivdon.ru/magazine/latest/n2y2011/415.

-в 1-й монографии:

4. Клименко Е.С., Аминева Е.Х., Литвинов C.B., Языева С.Б., Языев С.Б. Устойчивость сжатых неоднородных стержней с учётом физической нелинейности материала. - Ростов-н/Д.: Рост. гос. строит, ун-т, 2011. - 75 с.

- в 3-х других изданиях:

5. Клименко Е.С., Языев Б.М. Устойчивость полимерных стержней при нелинейной ползучести // «Строительство-2010»: материалы Международной научно-практической конференции. Ростов-н/Д: РГСУ, 2010. С. 128-131.

6. Клименко Е.С., Кулинич И.И., Языев С.Б., Литвинов C.B. Продольный изгиб полимерного стержня с учетом начальных несовершенств // «Строи-тельство-2011»: материалы Международной научно-практической конференции. Ростов-н/Д: РГСУ, 2011. С. 159-161.

7. Клименко Е.С., Языев Б.М., Литвинов C.B. Кольцо под действием нормальных и касательных нагрузок // «Проблемы эксплуатации водного транспорта и подготовки кадров на юге России»: материалы 9 региональной научно-технической конференции. Новороссийск, 2010. С.197.

Формат60x84 1/16. Тираж 100. Заказ2144. Отпечатано в редакционно-издательском отделе ФГОУ ВПО «Морская государственная академия имени адмирала Ф.Ф.Ушакова» 353918, г. Новороссийск, пр. Ленина, 93

Введение.

Глава 1. Состояние вопроса. Постановка задачи.

1.1. Краткий обзор, посвященный вопросам устойчивости стержней при ползучести. Критерии выпучивания при ползучести.

1.2. Уравнение состояния для однородных изотропных полимерных стержней.

1.3. Применение численно-аналитических методов к решению задач строительной механики.

Глава 2. Теоретическое исследование устойчивости полимерных стержней при различных вариантах закрепления и механической продольной нагрузке.

2.1. Вывод основных разрешающих уравнений для варианта закрепления «шарнир-шарнир».39"

2.2. Вывод основных разрешающих уравнений для различных вариантов закрепления стержня.48.

2.3. Методика и алгоритм решения нелинейных уравнений, численная реализация.

2.4. Решение модельных задач.

2.5. Выводы по главе.

Глава 3. Теоретическое исследование устойчивости неоднородных полимерных стержней в условиях термовязкоупругости.

3.1. Вывод основных разрешающих уравнений.

3.2. Методика и алгоритм решения нелинейных уравнений, численная реализация.

3.4. Выводы по главе.

Глава 4. Некоторые приложения предлагаемой методики.

4.1. Решение задач устойчивости для полиэтилена низкой плотности (ПНП).

4.2. Решение задачи устойчивости дюралюминиевого стержня.

4.3. Выводы по главе.

Выводы по диссертационной работе.

Условные обозначения и сокращения.

В последние годы с появлением новых композиционных материалов, а также более широким распространением гибких стержней, требуется более уточненная постановка соответствующих задач устойчивости сжатых стержней с учетом реологических свойств материала в нелинейной постановке.

Следует отметить, что всё большую популярность приобретают полимерные материалы, которые используются в качестве конструкционных элементов наравне с «классическими» материалами такими, как железобетону сталь и т.д. При проектировании подвергающихся в> процессе эксплуатации механическим воздействиям изделий необходимо уметь корректно прогнозировать их прочностные характеристики.

Очень высокой механической прочностью отличаются однонаправленные армированные стержни из композитного материала (анизотропные пластмассы, стеклопластики), применяемые в сильнонагруженных деталях. Основными составляющими армированных пластиков являются полимерные связующие в стеклообразном состоянии и армирующие элементы (стеклянные ровинги).

В малонагруженных деталях обычно применяют неармированные, практически изотропные полимеры.

Однако в реальных конструкциях не всегда удаётся полностью реализовать прочностной ресурс этих изделий. Важнейшими из них являются: условия заделки стеклопластикового стержня в сопрягаемые элементы конструкции; значения температур, при которых эксплуатируют изделие; характер среды, воздействующей на изделие при эксплуатации; характер приложения механических нагрузок (кратковременные, длительные с постоянным значением, длительные с периодическим изменением значений и т. д).

Характерной особенностью полимерных материалов является наличие у них обратимых деформаций, не совпадающих по фазе с напряжением - высокоэластических деформаций. Значительное влияние на них оказывают время действия нагрузок, температуры, скорость деформирования и т.д.

Одной из основных гипотез, принимаемых в механике сплошной среды, является предположение об однородности материалов. Это означает, что все механические характеристики материала (модуль упругости, коэффициент Пуассона, предел текучести, релаксационные параметры, и пр.) < постоянны по объему тела. Эта гипотеза позволяет не учитывать естественную неоднородность материалов на микроуровне — наличие, различных; фракций в композиционных материалах (бетон, стеклопластики и др.), дефекты кристаллической решетки и пр. Однако: во многих телах существует так называемая-макронеоднородность. Примером может служить случай, когда различные физические явления (температурное поле, радиационное облучение и т.д.) приводят к изменению механических характеристик вдоль тела. Эти изменения могут быть весьма существенны и при расчетах конструкций' необходимо учитывать такую макронеоднородность.

В / диссертационной работе будет учитываться: косвенная« неоднородность, которая возникает в процессе эксплуатации- конструкции? под воздействием различных физических полей.: Для установления закона, изменения; механических характеристик вдоль тела в данном случае необходимо решить две задачи. Во-первых, установить зависимость той или иной;характеристики от порождающего фактора (например, температуры) и, во-вторых, решить задачу об изменении данного фактора вдоль тела. При наличии температурного поля - это задача теплопроводности;

Для'решения упомянутой проблемы необходимо.^ использовать,уравнения« связи; максимально^описывающие связь,между деформацией; .напряжением, временем, температурой.

В-большинстве работ в данном направлении рассматривают линеаризованные. физические соотношения, которые не позволяют полностью-описать механическое поведение стержней в различных условиях эксплуатации, что приводит к необходимости применения нелинейных физических соотношений.

Поскольку полимерные материалы обладают относительно меньшими жесткостями, чем традиционные, то актуальной является задача об устойчивости стержней, изготовленных как из гомогенных полимеров, так и стеклопластиков, составной частью которых служит полимерное связующее.

С другой стороны, изучение устойчивости полимерных« стержней имеет большое значение с точки зрения применения тех или иных уравнений, описывающих механическое поведение материалов.

Представляет интерес вопрос устойчивости стержней, обладающих некоторой начальной погибью, т.е. у0 =

Из всех проведённых по проблеме устойчивости полимерных стержней исследований имеется крайне мало работ, в которых учитывались бы такие факторы, как: способ закрепления стержня, влияние температурного поля и соответствующей ему наведенной неоднородности материала, начальной по-гиби стержня и т.д.

Таким образом, цель диссертационной работы заключается в теоретическом исследовании потери устойчивости стержней с учётом, начальных несовершенств, способов закрепления стержней, температурного поля и, соответственно, косвенной неоднородности материала.

Научная новизна работы: установлено, что полимерное связующее, являющееся составной частью композиционных материалов, в частности стеклопластиков, определяет их неупругое поведение; проведено.исследование устойчивости,стержней для произвольного уравнения связи; проведено исследование устойчивости стержней с учётом косвенной неоднородности материала стержня, наведённой температурным полем; исследование проведено с тем учётом, что физико-механические и высокоэластические параметры материала описываются нелинейными соотношениями и являются сильными функциями температуры; показано, что при условии F < ,Рд прогиб стержня стремится к конечному значению.

Достоверность полученных результатов обеспечивается: совпадением результата численного решения задачи о напряженно-деформированном состоянии продольного изогнутого стержня с известными решениями и экспериментальными данными; сравнением результатов решения задач для различных материалов с решениями, полученными другими авторами; сравнением результатов решения модельных задач с известными аналитическими решениями; проверкой выполнения всех граничных условий, дифференциальных и интегральных соотношений.

Вычислительные процедуры производились на базе современных ПЭВМ с использованием программного комплекса Ма1;ЬаЬ.

Практическая ценность работы: решена задача о продольном изгибе полимерных стержней с учётом возмущений в нелинейной постановке.

Результаты работы могут быть использованы при проектировании трёхслойных стеновых панелей, в конструкции трёхслойных кирпичных стен, автодорожных пролётных строений, армированных стержнями стеклопластика.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертации были представлены:

Строительство-2010» - международная научно-практическая конференция (Ростовский государственный строительный университет);

Строительство-2011» — международная научно-практическая конференция (Ростовский государственный строительный университет); на расширенном заседании кафедры «Сопротивление материалов» Ростовского; государственного строительного: университета ;в :сентяб^ ре 2011г.

Публикации. Основное содержание диссертации .опубликовано в! одной монографии, шести, статьях- и материалах; конференции; из них три — в изданиях, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ.

Объём работы: Диссертациясостоит из введения; четырёх глав, списка литературы, 2 приложений, изложена на 112 страницах машинописного текста, содержит 29 рисунков, 2 таблицы. '

4. Результаты исследования показали, что в случае Т7 < в однородных стержнях изгиб стремится к конечному значению.,

5. На базе применения численных методов разработаны методика, алгоритм численной реализации и программа расчёта на ЭВМ задачи устойчивости сжатого стержня с учётом зависимости» физико-механических параметров материала от температуры при различных вариантах закрепления стержня и наличием начальной погиби оси последнего.

6. Поскольку полимерное связующее является составной частью композиционных материалов.таких, например, как стеклопластики, и определяет, по1 сути дела, их неупругое поведение, то полученные результаты, по крайней мере, качественно (в первом приближении), можно отнести к этим материалам.

1. Bleich Н.Н. Nonlinear creep deformations of columns of rechtangular cross section // Iourn. of Appl. Mech. Dec, 1959.

2. Carlson R.L. Time-Dependent Modules Applied to Column Creep Buckling // Y. of Appl. Mech, 1956. 23 c.

3. Claudon I.L. Determination et maximisation de la charge critique d'une colonne de Hauger en presence d'amortissement // Z. angew. Math, and Phys, 1978. 29, - №2. - C. 226-236.

4. Desayi P. An approximate Solution of Creep Buckling of Two Hinged Long Columns Subject to Distributed Axial Load // Iourn. of Aeron. Soc. of India, 1965.-№3.

5. Distefano I. Creep Buckling of Slender Columns // I. of the Struct. Div, 1965. part 1, 91. №3.

6. Finnie I. Creep of Engineering materials // Mc. Graw Hill Book Company, 1959.

7. Frendental A.M. The Inclastic Behavior of Engineering Materials and1 Structures. N.Y., 1950.

8. Hayashi T. Creep Buckling of Columns under Axially Non-uniform Temterature Distribution // Trans, of the Japan Soc. and Space Sci, 1965. — V.8. — №12.

9. Hoff N.I. Creep buckling of plates and shells // Theor. and Appl. Mech, Berlin, 1973. C. 124-140.

10. Morgan M.R. Influence of a viscoelasta foundation on the stability of Beck's columuan exact analysis // Sound and Vibr, 1983. 91. - №1. - C. 85-101.

11. Popper G.Y. The Beck stability // problem for viscoelastic bars, 1976. -20.-№3-4. C. 137-147.

12. Ross A.D. The Effect of Creep Instability and Indeterminacy Investigated by Plastic Models // The Struct Eng. 1946. XXIV. - №8.

13. Samuelson A. An experimental investigation of Creep Buckling of circular cylindrical shells subject to axial compression // Medd. Tlygtechn. Forsoksanst. 1964. - №98.

14. Zyczkowski M. Geometrically Non- Linear Creep Buckling of Bars // Archiwum mechaniki stosawancy. — 1960. V.XII. — №3.

15. Zyczkowski M. Linear Creep Buckling of Multiply-Composite Bars // Bulletin De L'acade'mie Polonaise des Sciences, Se'rie des Sciences techniques. — i 1962. v.lO. — №1.

16. Абовский Н.П. Численные методы в теории упругости и теории -оболочек: учебное пособие. — Красноярск: Красноярский ун-т, 1986. — 384 с.

17. Александров A.B. Сопротивление материалов. Основы теории упругости и пластичности: учеб. для строит, спец. вузов. — 2-е изд., испр. — М.: Высш. шк., 2002. 400 с.

18. Алфрей Т. Механические свойства высокополимеров. — М.: ИЛ,1952.

19. Андреев В.И. Устойчивость полимерных стержней при ползучести: дис. канд. техн. наук. -М., 1967. 137 с.

20. Андрейчиков И.П. Об устойчивости вязкоупругих стержней // Механика твёрдого тела. — 1974. №2. - С. 78-87.

21. Бабич В.Ф. Исследование влияния температуры на механические характеристики полимеров: дис. . канд. техн. наук. — М., 1966.

22. Багиров И.М. Выпучивание вязкоупругого идеально пластического стержня // Уч. зап. Азерб. гос. ун-та. Сер. физ., мат. — 1966. — №3.

23. Басов К.A. ANSYS: справочник пользователя. М.: ДМК Пресс,2005. 640 с.i

24. Вернадский А. Д. К методике стандартных испытаний на растяжение образцов полимерных материалов малых размеров // ВМСЮ. — 1965.-№6.

25. Благонадёжин B.JI. О поведении неоднородных сжатых стержней при ползучести // Изв. высш. уч. зав. Машиностроение. 1964. - №8.

26. Болотин В.В. Анализ технологических напряжений в намоточных изделиях из композитов на протяжении всего процесса изготовления // Механика композит, материалов. — 1980. — №3. — С. 500-508.

27. Болотин В.В. О понятиях устойчивости в строительной механике, -М. 1965.

28. Ванько И.О. О критерии выпучивания в условиях ползучести // ПМТФ,- 1965. — №1.

29. Вёбек Д. Выпучивание при ползучести. — М.: Оборонгиз, 1961.

30. Вольмир A.C. Устойчивость деформируемых систем. — М.: Наука, 1975.-984 с.

31. Воробьёв В.Ф. Устойчивость стержней в состоянии ползучести // ПМТФ.-1961.-№6.

32. Глушков Г.С. К вопросам продольного изгиба стержней, находящихся в условиях ползучести // Расчёты на прочность. — 1963. — №9.

33. Годунов С.К. Метод ортогональной прогонки для решения систем разностных уравнений // Вычислит, математ. и математ. физика. — 1962.-№6.-С. 972-982.

34. Громов В.Г. Динамический критерий устойчивости и закритическое поведение гибких вязкоупругих тел при термосиловом загружении // Докл. АН СССР. 1975. - Т.220. - №4. - С. 805-808.

35. Громов В.Г. Устойчивость и закритический режим сжатого вязкоупругого стержня // Прикладная механика — 1971.— Т.7.— Вып.12 — С.87-96.

36. Гуревич Г.И. О зависимости между напряжениями и перемещениями при больших деформациях в случае одномерной задачи // Тр. ИФЗ АН СССР.-1975.-№2.

37. Гуревич Г.И. Об обобщении уравнения Максвелла на случай 3 измерений с учётом малых деформаций упругого поледствия // Труды ИФЗ АН СССР. 1959. - №2 (169).3 9; Дёмидович Б .П. Численные: методы анализа: — М.: Наука, 1-9621,.

38. Джерард Д. Классические стержни и ползучесть // Сб. переводов "Механика"1963:-№1.

39. Имамов А. Метод сплайнов для решения операторных уравнений в гильбертовом пространстве-// Методы сплайн-функции (вычислительные; системы). 1975. - Вып. 6. - С. 89-95.42. . Качанов Л.М. Теория ползучести. — М.: Физматгиз, 1960.

40. Круглов: В.М. Особенности проектирования стеновых панелей: с, гибкими, связями из США // Проектирование и строительство в Сибири. — 2001. №5. - С. 17-21. ,

41. Кузнецов А.П1 Устойчивость сжатых стержней; из дюралюмина; в условиях ползучести // ПМТФ. 1982. - №6. - С. 19.

42. Кузнецов А.П. Устойчивость сжатых стержней из дюралюминия в условиях ползучести // ПМТФ. 1967. — №6.

43. Кузнецов Ю.П. Экспериментальное исследование устойчивости оболочек в условиях ползучести//ПМТФ. 1965. - №4;.

44. Куршин Л.М. К постановке задачи о выпучивании оболочки при ползучести // ДАН СССР. 1965: - №1. - С'. 161.

45. Куршин Л.М: О постановках задачи;, устойчивости: в. условиях ползучести // Проблемы теории пластичности и?ползучести. — 1979. — В.18 —1. С. 246-302.

46. Куршин Л.М. Устойчивость при ползучести // Изв. АН СССР. Механика твёрдого тела. — 1978. — №3. — С. 125-160;

47. Куршин JI.M. Устойчивость стержней в условиях ползучести // Прикладная механика и технич. физика. 1961. - №6. - С. 128-134.

48. Куршин Л.М. Устойчивость цилиндрических оболочек в условиях ползучести при совместном действии осевого сжатия и внутреннего давления // Прикладная механики и теорет. физики. 1974. - №5. - С. 109116. . :

49. Леонтьев Н:Н. Метод конечных элементов в теории сооружений: учебное пособие. -М.: МИСИ, 1979.

50. Линник A.C. Особенности-построения решений.в напряжениях и: перемещениях при исследовании устойчивости стержней в условиях; ограниченной ползучести // Изв. вузов. Строительствош архитектура; — 1979. -№2:- С. 35-38;. • :

51. Лйув.' Критерий выпучивания стержня, из линейно-вязко-упругого материала // Мир, Ракетная техника и космонавтика. 1964. — №11. -С. 255-256. .

52. Локощенко А.М. Выпучивание вязкоупругого стержня //ПМТФ. • 1966.-№2.56. , Локощенко А.М. Релаксация труб и выпучивание стержней из вязкопластического материала // ПМТФ. — 1966. — №4.

53. Матченко Н.М. Устойчивость цилиндрических оболочек при ползучести // ПМТФ. 1966. -№4.

54. Маут Р.Х. Неустойчивость вязкоупругой консоли, нагруженной следящей силой // Прикладная механика. — 1971. — №4. С. 329-331.

55. Молчанов И.Н. Численные методы решения некоторых задач теории упругости. Киев: Наукова думка, 1979. - 315 с.

56. Мяченков В .И. Методы и алгоритмы расчёта пространственных конструкций на ЭВМ PC. — М.: Машиностроение, 1984. — 277 с;

57. Пановко Я.Г. О критической силе сжатого стержня в неупругой постановке // Инж. сб. т. 1954. — Т.ХХ.

58. Писаренко Г. С. Уравнения и краевые задачи теории пластичности и ползучести. Киев: Наукова думка, 1981. — 493 с.

59. Попов А.И. Исследование начальных напряжений в стеклопластике поляризационно-оптическим методом // Труды МИСИ им. В.В. Куйбышева. 1970. - №84-86. - С. 319-327.

60. Поспелов И.И. Устойчивость сжато-изогнутых стержней при линейной ползучести // Строительная механика и расчёт сооружений. — 1965. — №5.

61. Потапов В.Д. Об устойчивости стержней при ползучести // АН Латв. ССР. Механика композитных материалов. — 1982. — №5. С. 554-557.

62. Потапов В.Д. Стохастические задачи устойчивости элементов конструкций, деформирующихся во времени: дис. .д-ра техн. наук. — М., 1974.-384 с.

63. Потапов В.Д. Устойчивость стержневых систем при линейной ползучести // Тр. Моск. ин-та инж. жел. тр. — 1966. — Вып.225.

64. Потапов В.Д. Численные методы расчёта стержневых систем, деформирующихся во времени: дис. .канд. техн. наук. — М., 1967. — 167 с.

65. Прокопович И.Е. Влияние ползучести на устойчивость тонкостенных стержней // Строительство и архитектура. 1969. - №12. - С. 33-38.

66. Прокопович И.Е. О влиянии ползучести на устойчивость сжатых стержней // Строительная механика и расчёт сооружений — 1967. — №1. — С. 5-9.

67. Проценко A.M. Устойчивость сжато-изогнутых стержней при линейной ползучести // Строительная механика и расчёт сооружений. — 1965. -№5.

68. Рабинович A. JI. Некоторые основные вопросы механики армированных пластиков: дис. . д-ра техн. наук. — М., 1966.

69. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. — М.: Наука,1966.

70. Работнов Ю.Н. Устойчивость стержней и пластинок в условиях ползучести // Прикл. матем. и механика. — 1957. XXI. — Вып.З. — С. 406-412.

71. Ржаницын А.Р. Некоторые вопросы механики систем, деформирующихся во времени. М.: ГИТТЛ, 1949.t

72. Ржаницын А.Р. Процессы деформирования конструкций из упруговязких элементов // Докл. АН СССР, 1946. — Том 5. — Вып.25. — С. 2528.

73. Ржаницын А.Р. Расчёт сооружений с учетом пластических свойств материалов. — М.: Стройиздат, 1954.

74. Ржаницын А.Р? Теория ползучести. М.: Стройиздат, 1968.

75. Ржаницын А.Р. Устойчивость равновесия упругих систем. — М., 1955.

76. Ржаницын А.Р. Устойчивость сжатых элементов при ползучести // Строительная механика и расчёт сооружений. — 1959. — №5. — С. 16-18.

77. Ржаницын А.Р. Устойчивость систем, обладающих свойствами ползучести // Сб. "Ползучесть и длительная прочность", — Новосибирск, 1963.

78. Розенблюм В.И. Устойчивость сжатого стержня в состоянии ползучести // Инж. сб. т. 1954. -№3. XVIII.

79. Савинов О.Н. Устойчивость стержней при ползучести с позиций A.M. Ляпунова // Некоторые вопросы прочности строит, конструкций. Сб. трудов МИСИ им. В.В. Куйбышева. 1978. -№156, - С. 178-186.

80. Самарский A.A. Разностные методы для эллиптических уравнений. — М.: Наука, 1976. — 352 с.

81. Самарский A.A. Численные методы. М.: Наука, 1989. - 430 с.

82. Тетере Г.А. Длительная устойчивость цилиндрических оболочек из полиэтилена // Механика полимеров. 1966. - №4.

83. Торшенов Н.Г. О выпучивании внецентренного нагруженного стержня при ползучести // ПМТФ. 1966. — №4.

84. Тростянская Е.Б. Изменение структуры и свойств отвержденных смол под влиянием наполнителя // Механика полимеров. — 1972. №1. - С. 26.

85. Флейшман Н.П. Решение линейных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений методом погружения // Львовск. гос. ун-т (Рук. деп в ВИНИТИ 23.Х1.82),1982. №5808-82 деп. - С. 22.

86. Форсайт Д. Машинные методы математических вычислений. — М.: Мир, 1970.-339 с.

87. Хофф Н.Д. Выпучивание при высокой температуре // Сб. переводов "Механика". 1958. -№6.

88. Хофф Н.Д. Продольный изгиб и устойчивость // Сб. переводов "Механика". 1955. - №3.

89. Хофф Н.Д. Продольный изгиб при ползучести // Механика. Сб. переводов. — 1956. — №5.

90. Хофф Н.И. Обзор теорий выпучивания при ползучести // Механика. Сб. переводов. — 1960. -№1. — С. 63-69.

91. Шенли Ф.Р. Анализ веса и прочности самолётных конструкций. Оборонгиз, 1957.

92. Шестериков С.А. Выпучивание при ползучести // ПММ. 1961. —4.

93. Шестериков С.А. О критерии устойчивости при ползучести // Прикл. матем. и механика. 1959. - T.XXIII. - Вып. 6. - С. 1101-1106.

94. Шестериков С.А. Релаксация и длительная прочность трубок при сложном напряжённом состоянии // Научн. пр. ин-т мех. Моск. ун-та. — 1973. -№23.

95. Языев Б.М. Некоторые задачи и методы механики вязкоупругой полимерной среды: монография. — Ростов-н/Д. Рост. гос. строит, ун-т, 2009. — 208 с.

96. Языев Б.М. Особенности релаксационных свойств сетчатых и линейных полимеров и композитов на их основе: дис. . д-ра техн. наук. — Нальчик, 2009. 350 с.

97. Языев С.Б. Устойчивость стержней при ползучести с учётом начальных несовершенств: дис. . канд. техн. наук. Ростов-на-Дону, 2010. — 127 с.