автореферат диссертации по строительству, 05.23.05, диссертация на тему:Продольный изгиб стержней из сетчатых и линейных полимеров при нелинейной ползучести

На правах рукописи

Козельская Мария Юрьевна

ПРОДОЛЬНЫЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ ИЗ СЕТЧАТЫХ И ЛИНЕЙНЫХ ПОЛИМЕРОВ ПРИ НЕЛИНЕЙНОЙ ПОЛЗУЧЕСТИ

05.23.05 - Строительные материалы и изделия 05.23.17 — Строительная механика

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата технических наук

2 4 ОКТ 2013

Ростов-на-Дону 2013

005535655

005535655

Работа выполнена на кафедре «Сопротивление материалов» федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Ростовский государственный строительный университет» (РГСУ).

Научный Литвинов Степан Викторович — кандидат технических

руководитель: наук, доцент кафедры «Сопротивление материалов» РГСУ

Научный Языев Батыр Меретович - доктор технических наук,

консультант: профессор, заведующий кафедрой «Сопротивление материалов» РГСУ

Официальные Котляр Владимир Дмитриевич - доктор технических оппоненты: наук, доцент, заведующий кафедрой «Строительные материалы» РГСУ (05.23.05)

Андреев Владимир Игоревич - Академик РААСН, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Сопротивление материалов» Московского государственного строительного университета (МГСУ) (05.23.17)

Ведущая Федеральное государственное бюджетное образовательное

организация: учреждение высшего профессионального образования

«Кабардино-Балкарский государственный университет им. X. М. Бербекова» (КБГУ)

Защита диссертации состоится «14» ноября 2013 г. в 10.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.207.02 при Ростовском государственном строительном университете по адресу: 344022, г. Ростов-на-Дону, ул. Социалистическая, 162, ауд. 1125, тел/факс (863) 201-91-01, 201-91-03; e-mail: dis_sovet_rgsu@mail.ru.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ростовского государственного строительного университета и на сайте www.rgsu.ru.

Автореферат разослан «14» октября 2013 г.

Учёный секретарь диссертационного совета к. т. н., доц.

А. В. Налимова

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Как известно, физико-механические параметры материала могут оказывать сильное влияние на его иапряжённо-деформирован-ное состояние. Отличительной характеристикой полимерных композиционных материалов (далее - ПКМ) является выраженная реология материала изделий.

Многие стержневые элементы из ПКМ работают на сжатие, в результате может наблюдаться такое явление, как потеря устойчивости элемента. Несмотря на то, что исследованием процесса потери устойчивости стержней занимаются, как минимум, с XVIII века, в настоящее время имеются многие аспекты, которые раньше учесть в полном объёме было невозможно. Как будет показано в работе, даже незначительные изменения условий работы конструкции (появление эксцентриситета приложения нагрузки, отличие температуры, в которой эксплуатируется конструкция, от температуры, в которой определены значения физико-механических и релаксационных параметров материала и т. д.) приводят к значительному изменению работы самой конструкции. Если говорить о процессе потери устойчивости элементов из ПКМ, то время потери устойчивости может сократиться в разы.

Необходимо отметить, что расчёт сжатых конструкций и их элементов, помимо расчёта на прочность и жёсткость, должен включать обязательный расчёт на устойчивость с учётом физико-механических и релаксационных параметров материала. Связано это с тем, что потеря устойчивости может протекать практически мгновенно, без исчерпания прочностного запаса конструкции или её элементов. Особенно это актуально для строительной отрасли.

Как говорилось ранее, характерной особенностью полимерных материалов является их ярко выраженная реология (свойство ползучести), в связи с чем их расчет сильно отличается от расчёта «классических» материалов (сталь, железобетон и т. д.). При этом свойством ползучести обладают все материалы, что отражено, к примеру, в работе А. С. Вольмира, который исследовал процесс потери устойчивости дюралюминиевого стержня с учётом ползучести материла. Однако, для инженерных расчётов ограничиваются расчётами только в упругой стадии работы материала.

На устойчивость стержней сильное влияние оказывает величина приложенной продольной силы. Так, если она превышает некоторое значение Яд, то скорость роста стрелы прогиба будет носить возрастающий характер; в случае

равенства продольной силы некоторому значению - скорость роста стрелы прогиба будет постоянной; в случае, если продольная сила меньше некоторого значения Рд — скорость роста стрелы прогиба будет уменьшаться, стрела прогиба достигнет определённого конечного значения и потери устойчивости не произойдет.

Ещё одной отличительной чертой ПКМ является возможность относительно просто производить стержни произвольной геометрии, что даёт возможность исследовать такие вопросы, как подбор оптимального изменения геометрии сечения стержней по их длине при сохранении первоначальной массы. В зарубежной литературе имеются некоторые результаты расчёта стержней переменного сечения на устойчивость, однако рекомендаций по выбору эффективной формы стержней найти не удалось. Отчасти это связано с трудностями изготовления таких стержней из «классических» материалов.

Литературный обзор показывает, что авторы в своих исследованиях устойчивости стержневых конструкций сильно идеализируют многие факторы, в том числе и влияние свойств материала конструкций. Однако на практике стержень может иметь начальную погибь, продольная нагрузка прикладывается к стержню не по оси, а с некоторым эксцентриситетом, стержень может иметь различные закрепления концов, возможно наличие температурного градиента, изменение геометрии стержня по длине, материал может иметь явно выраженную реологию и т. д. Подавляющее большинство исследователей ограничиваются способом закрепления стержней — используют «классический» вариант «шарнир-шарнир».

Резюмируя вышесказанное, была поставлена цель диссертационной работы: теоретическое исследование деформационных свойств неоднородных полимерных стержней на основе сетчатых и линейных полимеров при продольном изгибе в нелинейной постановке с учётом начальных несовершенств, способов закрепления стержней, воздействия температурным полей и, соответственно, косвенной неоднородности материала стержней, переменных габаритов сечения.

Объект исследования: полимерные стержни переменной жёсткости (за счёт изменения габаритов сечения стержней и физико-механических параметров материала под воздействием температурного поля) с учётом начальных несовершенств, различных способов закрепления.

Предмет исследования: оценка влияния свойств материала, начальных несовершенств, переменной жёсткости (за счёт изменения габаритов сечения стержней и физико-механических и высокоэластических параметров материала

под воздействием температурного поля), способов закрепления на процесс выпучивания стержней.

Цель исследования: разработка научно-обоснованных методов расчёта стержней переменной жёсткости при продольном изгибе с учётом влияния свойств материала, начальных несовершенств, способов закрепления и температурного поля.

Задачи исследования:

1. Провести анализ исследований по изучению временной прочности полимерных материалов и изделий, их длительной и усталостной прочности.

2. Провести анализ численных и численно-аналитических методов в решении задач выпучивания полимерных стержней с учётом физико-механических и высокоэластических параметров материала, и других возмущающих факторов.

3. Оценить эффективность оптимизации габаритных размеров сжатого стержня при сохранении его первоначальной массы.

4. Провести анализ влияния поперечной равномерно распределённой нагрузки на процесс выпучивания полимерных стержней.

5. Провести анализ влияния температурных воздействий на процесс потери устойчивости.

Научная новизна:

1. Проведено исследование выпучивания стержней переменной жёсткости с учётом изменения свойств материала и геометрических размеров сечения с использованием численных и численно-аналитических методов.

2. Проведено исследование выпучивания стержней с учётом начальных несовершенств, при различных способах закрепления стержней и переменной жёсткости.

3. Проведено исследование выпучивания стержней при изменении температурного поля по высоте сечения стержня. Исследование выполнено с учётом зависимости физико-механических и высокоэластических параметров материала от температуры и с учётом физической нелинейности материала.

4. Выполнена оптимизация сечения стержней, т. е. нахождения такого закона изменения по длине стержня его ширины, при котором для стержня неизменной массы время потери устойчивости будет максимальным, и в поперечном сечении по всей длине стержня наблюдается равнопрочное состояние.

5. Проведено исследование выпучивания стержней при одновременном приложении продольной силы и поперечной равномерно распределённой нагрузки.

Для решения поставленных задач применены следующие методы исследований:

1. Математического моделирования и оптимизации (модули подпрограмм для расчёта составлены в программном комплексе Ма1!,аЬ).

2. Численные (метод конечных элементов, далее — МКЭ).

3. Численно-аналитические (метод Бубнова-Галёркина и метод Ритца-Тимо-шенко).

Достоверность полученных результатов подтверждается:

1. Сравнением результатов расчёта, полученных различными методами.

2. Совпадением результатов решения модельных задач с известными экспериментальными данными.

3. Совпадением результатов решения модельных задач с результатами, полученными другими авторами.

4. Совпадением результатов решения модельных задач с известными аналитическими решениями.

5. Проверкой выполнения всех граничных условий, дифференциальных и интегральных соотношений.

Практическая значимость работы заключается в решении задач о выпучивании стержней с учётом следующих факторов: реологии материала стержней, переменной жёсткости (за счёт изменения габаритов сечения стержней и физико-механических параметров материала под воздействием температурного поля), способов закрепления.

Результаты работы могут быть использованы при проектировании элементов стеновых панелей, в конструкциях многослойных кирпичных стен, автодо-

рожных пролётных строений, армированных стержнями из композитных материалов. Полученные разрешающие уравнения и программные модули позволяют использовать различные уравнения связи.

Апробация работы. Результаты исследования доложены на двух международных научно-практических конференциях «Строительство» (Ростов-на-Дону, 2011, 2012 гг.); научном семинаре кафедр «Сопротивление материалов» и «Строительные материалы» Ростовского государственного строительного университета (Ростов-на-Дону, 2013 г.).

Результаты исследований внедрены в лекционном и практическом курсе, в подготовке выпускных квалификационных работ магистров направления подготовки 270800.68 «Строительство», студентов специальности 271101.65 «Строительство уникальных зданий и сооружений» и аспирантов кафедры «Сопротивление материалов» Ростовского государственного строительного университета специальностей 01.02.04 «Механика деформированного твёрдого тела» и 05.23.17 «Строительная механика».

Публикации. Результаты исследования изложены в 5 публикациях: 3 в изданиях ВАК РФ, 2 статьи в других изданиях.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, основных выводов, списка использованной литературы и приложений, изложена на 131 странице машинописного текста и содержит 32 рисунка, 3 таблицы, 2 приложения.

Основное содержание работы

Во введении обоснована актуальность проблемы и выбранного направления исследования, сформулированы цели и основные положения, которые выносятся на защиту. Дана краткая аннотация всех глав диссертации.

В первой главе дан краткий обзор существующих работ по теме диссертации, вопросы устойчивости стержней при ползучести полимерных материалов, основные соотношения.

В параграфе 1.1 приводится обзор энергетических критериев устойчивости и соответствующие методы расчёта, приведена история развития метода.

В параграфе 1.2 представлены экспериментальные и теоретические вопросы выпучивания стержней с учётом деформаций ползучести. Описаны критерии выпучивания стержней.

В параграфе 1.3 приводится и подробно описывается нелинейное обобщённое уравнение связи, полученное Г. И. Гуревичем:

дЬ ~т]*'

где /* = а - Ет£* - функция напряжений; ^ = ^ ехр - релаксационная вязкость.

Данное уравнение хорошо согласуется с экспериментальными результатами, поэтому все вычисления деформаций ползучести осуществляются с помощью вышеприведённого уравнения.

Во второй главе проводится обзор современного состояния и проблем по вопросам исследования и прогнозирования временной прочности полимерных материалов и изделий, их длительной и усталостной прочности.

Как показывает литературный обзор, необходимая для оценки механических характеристик стержней теория, применительно к полимерным композиционным материалам (далее - ПКМ), впервые рассматривается В. Фойгтом. Из неё следует, что для оценки значений модуля упругости в направлении армирования и прочностного потенциала стержней из ПКМ может быть использовано вполне корректное для инженерных приложений базовое выражение, получившее название «правило смесей».

Дальнейшая практика изготовления и последующего испытания стержней показала, что в основной массе не удаётся полностью реализовать их прочностной потенциал. К снижению прочностного потенциала приводят ряд факторов, к которым относятся: несовершенство рецептуры полимерной матрицы, которая приводит к недостаточной её предельной деформации; различные отклонения в технологическом производстве; влияние изменения температуры, при которой эксплуатируется изделие от той, при которых определены физико-механические параметры ПКМ; способы закрепления стержневых элементов в узлах соединения их с элементами конструкций; длительность воздействия и характер изменения нагрузок и т. д. Исследования, проведенные далее в настоящей диссертационной работе, покажут, что влияние вышеупомянутых факторов на степень реализации прочностного потенциала стержневых систем, очень значительно и без их учёта невозможно успешно прогнозировать долговечность стержней и изделий.

Из современных работ, посвященных вопросам прогнозирования прочности материалов при длительном нагружении, можно отметить С. Н. Журкова,

Г. М. Бартенева, 13. Р. Рсгсля, С. Б. Ратисра, В. II. Тамужа, В. С. Куксснко и др. В работах этих авторов развиты различные аспекты кинетических взглядов на процесс разрушения материалов, сформулированы фундаментальные основы прогнозирования прочности твердых тел, полимеров и ПКМ в условиях статической и динамической усталости. Однако основа науки о длительной прочности некоторых материалов и её прогнозировании остается, главным образом, эмпирической. Одним из важнейших с точки зрения прогнозирования остается вопрос о существовании и значениях пределов статической выносливости материалов, то есть таких постоянных напряжений, при которых длительность разрушения образцов или изделий стремиться к бесконечности. Недостаточно хорошо изучены особенности длительной прочности стержневых изделий из ПКМ

Решаются проблемы прогнозирования усталостной прочности материалов в рамках кинетической термофлук-туационной теории разрушения. однако, очень часто результаты экспериментальных исследований и результаты теоретических расчетов не согласуются между собой. Разработка новых взпииов на усталостную прочность изделий позволит более успешно решать задачи оценки и прогнозирования этой характеристики у стержневых изделий из ПКМ.

Третья глава посвящена применению метода конечных элементов к решению задач устойчивости.

На рис. I приведена расчётная схема задачи при условии закрепления «шарнир-шарнир». Начальная погибь стержня описывается выражением:

пх

"о = /oSin—.

В диссертационной работе приведён полный вывод системы разрешающих уравнений метода конечных элементов, которая окончательно принимает вид:

От(0} = С1}.

Рис. I. Расчётная схема задачи при ткретении « шарнир-шарнир»

Здесь [К] = £™=1[Л')(') - глобальная матрица жесткости, представляющая собой сумму локальных матриц жесткости:

12/Л3 б//.2 -1213 б//,2

б//,2 4//, -6/¿2 2/£

-12/I3 -б//,2 12/£,3 -б/!2

6/12 2/1 -б//,2 4/1

- Г-

6/5/, 1/10 -6/5Í, 1/10

1/10 2/,/12 -1/10 -¿/30

-6/5L -1/10 6/5/, -1/10

1/10 -/,/30 -1/10 2/,/15 Локальный вектор нагрузки имеет вил:

0

sin - sin ?(cosíft-co6sf)+2¿einí^

*LL сев + $ (sin - sin + 3/,2 sin ^

-

I°J

- f c'yd/t <

0 1

На рис. 2 и 3 приведена расчетная схема задачи при условиях закрепления «защемление-защемление» и «защемление-свободный край» соответственно.

При закреплении «защемление-защемление» начальная ногнбь стержня описывается выражением:

»„в/о ЯП2 у.

Н^чалыш тчнби

у

Л I

М-Л

и

<Х~ЬС1«]П11» ПОС.К нри.южсмиа нагруиси

Ос». ПСГ*)И после приложения

Рис. 2. Расчётная схема задачи при закреплении «защемление-защелаение»

Рис. 3. Расчётная схема задачи при запрещении «защемление-свободный край»

Локальный вектор нагрузки принимает янд: ,Т

Р(,)=[/?] Р-и*

81П2 ^ - ЫП2 ^ £ («п ^ - 81п - соб

уДЛ <

При закреплении «защсмлснис-свободный край» начальная иогнбь стержня описывается выражением:

/ пх\ »0 =/о (!-«>« 2Г>

Локальный вектор натрузки принимает вид: 17"

« (л. ^ - 81П ^р) - 11 С06 ^

^ (сое ф - С06 + ф МП Ф - С06

у «/Л '

о -1

0

1

Для варианта закрепления «шарнир-шарнир» приводится решение модельной задачи со следующими исходными данными: материал - ЭДТ-10, сечение стержня прямоугольное Л = 8мм = 0.008м; / = 157мм = 0.157м; Р = 75кг = 0.75кН; /о = 0.16мм = 16- 10~5м. Результаты расчета приведены на рис. 4-8.

Исходные данные для задач с закреплениями «защсмлснис-защсмлснис» и «защемление-свободный край» приняты такими же. как и для закрепления «шарнир-шарнир». Продольная нагрузка приложена ? = 220кг = 2.20кН и Р = 16.5кг = 0.165кН для закреплений «зашсмленис-защсмлекнс» и «защемление-свободный край» соответственно. Результаты расчета приведены для варианта «защемление-защемление» на рис. 9-10 и для варианта «защемление-свободный кран» на рис. 11-12.

Необходимо отмстить, что рассмотренное закрепление стержня «защемление-свободный край» мношмн авторами вообще игнорируется, как будто и не существующее вовсе, однако, конструкций работающих на устойчивость по данной схеме используется на практике достаточно много (особенно, если стержень в разных плоскостях закреплён по-разному). Часто конструкция может быть закреплена но схеме «защемление-шарнир» в одной плоскости и «защемление-свободный край» в другой плоскосги.

Рис. 4. График изменения ширины сечения

Рис. 5. График роста стрелы про.тба

Рис. 6 График изменения напряж ений Рис. 7. График изменения напряжено времени при х = 1/2 «ни по длине при у = -Л/2. < = 1 ч

Рис. 8. График зависимости «напряжения-деформации». Синяя пунктирная кривая соответствует деформациям ползучести с', зелёная штрихпунктирная -упругим деформациям е, чёрная сплошная - полным деформациям е = е + е' Так как максимальные напряжения по длине стержня не постоянны, то возникает вопрос оптимизации формы поперечного сечения стержня Данная проблема также является достаточно обширной и этому вопросу посвящается ■ лаве 5 настоящей диссертации.

Рис. 10. Графи? изменения напряжений во времени при х ~ 1/2, закрепление «заще.чление-защемление»

Рис. 9. График роста стрелы прогиба, закрепление «защемление-защемление»

Рис. 11. График роста стре.зы Рис. 12. График изменения

прогиба при закреплении капряжений во врелени при х = 0.

«защемление-свободный край» закрепление «защелиеиие-евободмый

край>

В четвёртой главе рассматривается решение поставленных задач с помощью числснно-аналитичсских методов. Начинается глава с решения задачи устойчивости с помощью метода Бубнова-ГалСркина на призере стержня с закреплением «шарнир-шарнир».

Дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня с учСтом ползучести имеет нид:

а2« г-и м0 1 г . .. п м + -ЁГ + Ё!-1)£у(1А = 0

л

Аппроксимация прогиба осуществляется через узловые перемещения:

«(*) = ц ■ V, + щ ■ V, = [м м,] ■ - [лг] • {У},

ММЧЭ

Условие ортогональности невязки к базисным функциям имеет вид:

Г г пг (й2у Г-® М0 1 Г , . Л л „

Система разрешающих уравнений принимает вид: [/Г] {V} = {Р}. Локальная матрица жёсткости записывается:

1 1 -1 р. £,(<0 2 1

ш -1 1 6 Е1 1 2

Локальный вектор нагрузки в случае приложения силя с эксцентриситетом:

Г 1(е)

И =

^ • е • № 1 1

2 Е1 -1 27 -1

| е'уйА.

дм

Локальный вектор нагрузки в случае, когда стержень имеент начальное искривление:

И =

М Р-1о I

Е1 7г

I ( ■ кХ1 ■ пХЛ , жХ

^ ■ (вт - 8Ш ) + соа -

I ( . -кХ, . тгХЛ 7гЛ",-

.лет • -Г* -81П -г1) - С08 ~г\

№ 21

1 -1

| е'уйА.

АМ

В случае закрепления «защемление-защемление» дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня с учётом ползучести имеет вид:

^ __1 &2м° , 62 I1

ах4 Е1&Х1 Е1 <Ь2 ¿X2 Аппроксимация прогиба осуществляется через узловые перемещения:

п

1=1

, . 21ХХ1

где и = БИТ4—.

Условие ортогональности невязки к базисным функциям имеет вид:

а,{ ■ вш2

7ГХ1

~Т

^ ¿2у 1 й2м0 а2 (1

йх^+ЕМх2 +Е1 ¿х2 Ах2

*уйА

Система разрешающих уравнений записывается выражением:

В-Х = С,

В

Ьи £>12 . ■ Ь\п с > 01 С\

Ь21 £>22 • ■ Ь2п х= - > С = - С2

ЬП1 ЬП2 ■ ■ ьпп Оп \ Сп \ /

Формулы для коэффициентов матрицы В и вектора С в случае постоянной

2кхк

жесткости имеют вид: (

Г ъкы п(ък\ 2тгх к Р П[пк\

= ]в ~т~ -8{т) С08-г+Ё1-2{т)

I

сое-

I

(¡X.

БШ

,:кхг

т

2F.fi, /яу 2жх й2 I 1 ' сЬ2 \ /

Е1

¿ттх

(у)008—

+

ё*у<1А

йх.

Далее приводится решение задачи методом Ритца-Тимошенко. Прогиб

аппроксиммируется в виде ряда с неопределенными коэффициентами а,:

п

у(х) =

где Функции должны удовлетворять граничным условиям.

Разрешающие уравнение для определения неизвестных коэффициентов ряда представляют собой систему линейных алгебраических уравнений:

—-0 —-0 — = 0 да\ ' да.2 ' ' доп

Производя соответствующие подстановки и произведя

дифференцирование разрешающее уравнение принимает вид:

В-Х = С.

Здесь

Х =

' 1 г

ах С1

... с= <

а„ V / сп \ * ч

Ъ\1 Ь\1 ... &1„

Ьп\ Ьп2 ... ь„

кк -

-'I

За;2 дх2

йх,

Сгк ■■

Е(х)

дх2

£*У«М ^ ¿Е-*1

а2 дач

Зж2 дх2

с1х.

Приводится сравнение решений, полученных методами Бубнова-Галёркина и Ритца-Тимошенко с решениями, полученными академиком В. И. Андреевым (МГСУ) и доцентом И. И. Кулиничем (РГСУ). Погрешность в расхождении результатов минимальна.

В результате решения задач установлено, что в случае постоянного сечения стержня достаточно использовать один член ряда при применении численно-аналитических методов, в случае переменного сечения количество необходимых членов ряда увеличивается до сорока. Необходимо отметить преимущество метода Бубнова-Галёркина перед методом конечных элементов в случае расчёта шарнирно опёртого стержня, т. к. матрица жёсткости в случае применения метода Бубнова-Галёркина имеет размерность 2x2, а при применении метода конечных элементов составляет 4x4.

В пятой главе рассматривается решение задач выпучивания стержней при изменении температуры в поперечном сечении и при воздействии поперечной равномерной распределённой нагрузки.

В параграфе 3.1 приводится решение задач при изменении температуры в поперечном сечении стержня. Упругие деформации определяются выражением:

с12г; а т

где формула для осевых деформаций имеет вид:

/г/2

£ср6/г

п ах1

> | Е(у)£-с1у + Аа1 -Л/2

В вектор узловых перемещений, для упрощения разрешающих уравнений, вводится третья степень свободы - перемещение и вдоль оси стержня. Это сделано специально, т. к. выражение для е0, в случае температурной задачи, очень громоздкое и зависит от функции прогиба, т. е. при минимизации в нуль не обращается.

Локальная матрица жёсткости принимает вид:

[к](б) = Ь Е (у) у2 ¿у

Л/2

-Л/2

12 Т? 6 т? 0 12 6 т? 0

6 I? 4 ь 0 6 1? 2 ь 0

0 0 0 0 0 0

12 6 0 12 т? 6 ~т? 0

б т? 1 ь 0 6 I? 4 л 0

0 0 0 0 0 0

-р-

Ы 10

X 10

15

0

и ъь

0 0

+ 2 [В]

__б_

5Ь

10 0

0 0

2 Ь 312

"ю

"30

О т

_1_

"ю

X ю

30

О О

ы

__1_

10

__1.

10 2Ь 15

О о

+

ЕсрЬЬЬ^ [п']Т [в*]

+

М

А1

Т2-Т1 А '

Локальный вектор нагрузки для варианта закрепления «шарнир-шарнир» записывается:

о

Б1П

67гЛ",

^ сов +

тгХ, I

- сов

жХ,

эш

тг-гЛ ' )

кХ{ I

+ 2Ь вт

тгЛГ,

■ вш

+

О -1 О

0

1 О

Л/2 ,

-к/9

/+

Л/2

+ [/?-]Г£<е>6 |

-А/2

-Г,

(XI, стержни

Начальная но!и6ь

Ось стержня после приложения ншружи

Рис. 13. Расчётная схема задачи при воздействии температуры в поперечном сечении и закреплении « шарнир-ыарнир»

О -1 О

0

1 о

Приведено решение молельных задач (расчетная схема представлена на рис. 13), исходные данные: И = 8мм, Ь = 15мм; / = 157мм; Г = 55кг, материал -полимстнлмстакрилат (ПММА).

а. /0 — 0.16мм; Г, = 20°С; Тг = 40'С. Время потери устойчивости составило 2 ч 36 мнн (результаты

расчета приведена на рис. 14). б. /о = 0.16мм; Т1 = 40°С; Тг = 20°С. Время потерн устойчивости составило 15 ч 36 М4И (результаты расчета приведены на рис. 15).

Рис. 14. Рост стрелы прогиба при действии телтературы * поперечно.ч сечении (случаи а)

Рис. 15. Рост стрелы прогиба при действии температуры в поперечнам сечении (случай б) в. /0 = 0мм; Г, = 20°С;'Т2 = 40°С. Врем* потери устойчивости составило 16 ч (результаты расчета приведены на рис. 16).

Высокоэластические параметры ПММА определяются зависимостями:

Г КГС 1

Рис. 16. Рост стре.1Ы прогиба при действии температуры в поперечном сечении (случай в)

Iкгс 1 КГС 1

Е„ = —37* + 310

т

1мм2'' = —0.00135Г + 0.480 [

1ММ'

/ 9500 \г кгс1

По — ЗбООсхр (уГ^ 273Д5 — ) [мм*)'

Таким образом большое влияние на процесс потери устойчивости оказывает то, каком образом распределяется температура в поперечном сечении. Время потери устойчивости, при изменении 1смнерагуры всего на 20 1-радусов в поперечной сечении, может резко сократиться с 16 часов до 2 часов 36 минут.

В параграфе 5.2 приводится расчет на устойчивость с учетом совместного действия продольной силы и поперечной равномерно распределенной нагрузки. В этом случае к работе внешних сил добавляется слагаемое:

Л= | 4-t;(x)<iz = <,{l/}r[/?]T J

¿<•1 ¿w

> dx

-«w

L 2

15

if

А к вектору нагрузки добавляется слагаемое:

1*е) =

Чк

12

it! 12

Sк 12

12

Исходные данные модальной задачи: материал - ЭДТ-10, А = 8мм; b = 15мм; I = 157мм; F = 50кг.

Расчёты выполнены для двух случаев:

а. f0 = 0.50мм; q = 0. Время потери устойчивости составляет 30 мин.

б. /о = 0; <7 = 0.05кг/мм. Время потери устойчивости составляет 195 часов.

Результаты расчета приведены на рис. 17-18.

Рис. 17. Рост стрелы прогиба при действии поперечной равномерно распределённой нагрузки (случай а)

Рис 18. Рост стрелы прогиба при действии поперечной равномерно распределённой нагрузки (случай а)

Анализ результатов показывает, что даже незначительная поперечная равномерно распределенная нагрузка может приводить с существенному сокращению времени потери устойчивости.

В параграф 5.3 рассматривается вопрос оптимизации размеров поперечного ссчсния стержней. Алгоритм оптимизации следующий:

1. Рассчитывается стержень постоянной жёсткости (Ь =сот() и определяются максимальные напряжения в каждом сечении.

2. Меняется ширина Ь в каждом сечении пропорционально возникшим напряжениям: Ь*(х) ■ Ь (х)с(х\!от<11, где ата1 - максимальное напряжение по всей длине стержня, о(х) - максимальное напряженке в заданном сечении.

3. Для сохранения первоначальной массы стержня, величина Ь в каждом сечении стержня умножается на коэффициент / - Уо/У, где - А ■ I - объём стержня постоянного сечения; V - ¡¿А(х)(1х - объём стержня переменного сечения;

4. 11роцесс повторяется до тех пор, пока напряжения а тал в предыдущем и последующем приближении отличаются более чем на I %.

Рис. 19. График изменения ширины Рис. 20. График игменения

оптимального селения максииахьных напряжений по длине

Рис. 2I.¡'рафик роста стрелы Рис. 21.¡'рафикроста стрелы прогиба, прогиба, b = const b * const

Исходные данные модельной задачи: материал - ЭДТ-10, И — 8мм; Ь — 15мм (для постоянного сечения); I = 157мм; Р = 50кг. Результаты оптимизации в упругой стадии приведены на рис. 19-22.

В результате расчёта получен такой закон изменения ширины сечения (рис. 19), при котором максимальные напряжения под длине стержня имеют одинаковую величину, время потери устойчивости увеличилось с 1 часа 24 минут до 21 часа. При этом, масса стержня остается постоянной. Т. о. подобран такой закон изменения ширины стержня, при котором стержень с той же массой имеет наибольшее время потери устойчивости.

Выводы

Наиболее значимыми являются следующие выводы:

1. В результате проведенного теоретического исследования выпучивания с учётом реологии в гомогенных и гетерогенных полимерных стержнях под воздействием температурного поля, физической неоднородности материала, способов закрепления и начальных несовершенств установлена выраженная зависимость времени потери устойчивости от вышеперечисленных факторов.

2. Представлено решение задач выпучивания стержней с помощью различных численных и численно-аналитических методов (метода конечных элементов, метода Бубнова-Галёркина, метода Ритца-Тимошенко) под воздействием температурного поля, физической неоднородности материала стержней, при различных способах закрепления и начальных несовершенствах, которое в случае стержней постоянного сечения дает более удобную, с точки зрения последующего решения, систему алгебраических уравнений.

3. Теоретическими исследованиями показано значительное влияние на выпучивание стержней малых поперечных усилий. Так, время устойчивости стержня длиной 157 мм с приложенной продольной силой 55 кг при приложении распределенной нагрузки 0.05 кг/мм сократилось с 21 часа до 2 минут и 42 секунд.

4. Представлено влияние распределения температурного поля по высоте сечения. Показано, при изменении направления теплового потока на противоположное, время потери устойчивости может уменьшаться с 16 до 2 часов.

5. Получено решение практически важного вопроса оптимизации сечения стержней по длине при неизменной массе с целью увеличения времени потери устойчивости. Так благодаря оптимизации удалось достичь увеличения времени потери устойчивости с 1 часа 24 минут до 21 часа.

Основные положения диссертации отражены в 3-х публикациях:

- в 3-х изданиях, рекомендованных ВАК РФ:

1. Козельская М.Ю., Чепурненко A.C., Литвинов C.B. Расчёт на устойчивость сжатых полимерных стержней с учётом температурных воздействий и высокоэластических деформаций // Научно-технический вестник Поволжья. №4. 2013. С.190-195. URL: http://ntvp.ru/files/NTVP_4_2013.php.

2. Козельская М. Ю., Чепурненко А. С., Языев С. Б. Расчет на устойчивость сжатых полимерных стержней с учетом физической нелинейности методом конечных элементов //Науковедение: электронный журнал. №3. 2013 URL: http://naukovedenie.ru/PDF/62trgsu313.pdf.

3. Козельская М.Ю., Чепурненко A.C., Литвинов C.B. Применение метода Га-лёркина при расчете на устойчивость сжатых стержней с учетом ползучести // Инженерный Вестник Дона: электронный журнал. №2. 2013. URL: http:/i vdon.ru/magazine/archive/n2y2013/1714.

- в 2-х других изданиях:

1. Козельская М.Ю., Кулинич И.И., Языев С.Б., Литвинов C.B. Продольный изгиб полимерного стержня с учётом начальных несовершенств // «Строитель-ство-2011»: материалы Международной научно-практической конференции. Ростов-н/Д: РГСУ, 2011. С. 159-161.

2. Козельская М.Ю., Кулинич И.И. Некоторые вопросы расчёта защиты экрана с учётом теплового и ионизирующего излучений // «Строительство-2012»: материалы Международной научно-практической конференции. Ростов-н/Д: РГСУ, 2012. С. 125-128.

Печать цифровая. Бумага офсетная. Гарнитура «Тайме». Формат 60x84/16. Объем 1.0 уч.-изд.-л. Заказ № 3148. Тираж 150 экз. Отпечатано в КМЦ «КОПИЦЕНТР» 344006, г. Ростов-на-Дону, ул. Суворова, 19, тел. 247-34-88

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ростовский государственный строительный университет»

04201 364265 На правах рукописи

Козельская Мария Юрьевна

ПРОДОЛЬНЫЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ ИЗ СЕТЧАТЫХ И ЛИНЕЙНЫХ ПОЛИМЕРОВ ПРИ НЕЛИНЕЙНОЙ

ПОЛЗУЧЕСТИ

05.23.05 — Строительные материалы и изделия 05.23.17 — Строительная механика

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание учёной степени кандидата технических наук

Научный руководитель к. т. н., доц.

I

С.В.Литвинов

Ростов-на-Дону — 2013

Содержание

Введение................................. 4

Глава 1. Состояние вопроса. Постановка задачи........ 12

1.1. Энергетический критерий устойчивости. История развития численно-аналитических методов............ 12

1.2. Теоретические и экспериментальные вопросы устойчивости стержней при ползучести................ 26

1.3. Обобщенное уравнение функциональной связи Максвелла-Гуревича для однородных полимерных стержней..... 49

Глава 2. Исследование вопросов прогнозирования долговечности полимерных композитов................... 52

2.1. Связь рецептурного состава стержней из полимерных композиционных материлов с их механическими свойствами 52

2.2. Длительная прочность и статическая выносливость изделий 55

2.3. Выносливость и усталостная прочность полимерных материалов ............................ 66

2.4. Проблемы испытания и прогнозирования статической выносливости изделий...................... 69

2.5. Выводы по главе 2 ...................... 71

Глава 3. Применение метода конечных элементов к решению

задач устойчивости......................... 73

3.1. Вывод основных уравнений метода конечных элементов классической модели расчёта на устойчивость при способе закрепления стержня «шарнир»-«шарнир»......... 73

3.2. Иные способы закрепления стержня........................80

3.3. Решение задач..................................................84

3.4. Выводы по главе 3 ............................................92

Глава 4. Сравнение метода конечных элементов с некоторыми

численно-аналитическими методами............................93

4.1. Решение задач методом Бубнова-Галлёркина..............94

4.2. Решение задач методом Ритца-Тимошенко..................102

4.3. Сравнение решений, полученных численными и численно-аналитическими методами........................................104

4.4. Выводы по главе 4 ............................................108

Глава 5. Температурные задачи и продольно-поперечный изгиб

стержней..............................................................109

5.1. Расчёт на устойчивость полимерных стержней при изменении температуры в поперечном сечении..................109

5.2. Расчёт на устойчивость с учётом совместного действия продольной силы и поперечной равномерно распределённой нагрузки....................................................117

5.3. Вопросы оптимизации габаритных размеров стержней при расчёте на устойчивость......................................120

5.4. Выводы по главе 5 ............................................124

Литература..............................................................126

Приложение А. Код программ......................................143

Приложение Б. Внедрение результатов работы..................151

Введение

Актуальность работы. Как известно, физико-механические параметры материала могут оказывать сильное влияние на его напряжённо-деформированное состояние. Отличительной характеристикой полимерных композиционных материалов (далее — ПКМ) является выраженная реология материала изделий.

Многие стержневые элементы из ПКМ работают на сжатие, в результате может наблюдаться такое явление, как потеря устойчивости элемента. Несмотря на то, что исследованием процесса потери устойчивости стержней занимаются, как минимум, с XVIII века, в настоящее время имеются многие аспекты, которые раньше учесть в полном объёме было невозможно. Как будет показано в работе, даже незначительные изменения условий работы конструкции (появление эксцентриситета приложения нагрузки, отличие температуры, в которой эксплуатируется конструкция, от температуры, в которой определены значения физико-механических и релаксационных параметров материала и т. д.) приводят к значительному изменению работы самой конструкции. Если говорить о процессе потери устойчивости элементов из ПКМ, то время потери устойчивости может сократиться в разы.

Необходимо отметить, что расчёт сжатых конструкций и их элементов, помимо расчёта на прочность и жёсткость, должен включать обязательный расчёт на устойчивость с учётом физико-механических и релаксационных параметров материала. Связано это с тем, что потеря устойчивости может протекать практически мгновенно, без исчерпания прочностного запаса конструкции или её элементов. Особенно это актуально для строительной отрасли.

Как говорилось ранее, характерной особенностью полимерных материалов является их ярко выраженная реология (свойство ползучести), в связи с чем их расчет сильно отличается от расчёта «классических» материалов (сталь, железобетон и т.д.). При этом свойством ползучести обладают все материалы, что отражено, к примеру, в работе А. С. Вольмира, который исследовал процесс потери устойчивости дюралюминиевого стержня с учётом ползучести материла. Однако, для инженерных расчётов ограничиваются расчётами только в упругой стадии работы материала.

На устойчивость стержней сильное влияние оказывает величина приложенной продольной силы. Так, если она превышает некоторое значение то скорость роста стрелы прогиба будет носить возрастающий характер; в случае равенства продольной силы некоторому значению ^Д — скорость роста стрелы прогиба будет постоянной; в случае, если продольная сила меньше некоторого значения .Рд — скорость роста стрелы прогиба будет уменьшаться, стрела прогиба достигнет определённого конечного значения и потери устойчивости не произойдет.

Ещё одной отличительной чертой ПКМ является возможность относительно просто производить стержни произвольной геометрии, что даёт возможность исследовать такие вопросы, как подбор оптимального изменения геометрии сечения стержней по их длине при сохранении первоначальной массы. В зарубежной литературе имеются некоторые результаты расчёта стержней переменного сечения на устойчивость, однако рекомендаций по выбору эффективной формы стержней найти не удалось. Отчасти это связано с трудностями изготовления таких стержней из «классических» материалов.

Литературный обзор показывает, что авторы в своих исследованиях устойчивости стержневых конструкций сильно идеализируют многие

факторы, в том числе и влияние свойств материала конструкций. Однако на практике стержень может иметь начальную погибь, продольная нагрузка прикладывается к стержню не по оси, а с некоторым эксцентриситетом, стержень может иметь различные закрепления концов, возможно наличие температурного градиента, изменение геометрии стержня по длине, материал может иметь явно выраженную реологию и т. д. Подавляющее большинство исследователей ограничиваются способом закрепления стержней — используют «классический» вариант «шарнир-шарнир».

Резюмируя вышесказанное, была поставлена цель диссертационной работы: теоретическое исследование деформационных свойств неоднородных полимерных стержней на основе сетчатых и линейных полимеров при продольном изгибе в нелинейной постановке с учётом начальных несовершенств, способов закрепления стержней, воздействия температурным полей и, соответственно, косвенной неоднородности материала стержней, переменных габаритов сечения.

Объект исследования: полимерные стержни переменной жёсткости (за счёт изменения габаритов сечения стержней и физико-механических параметров материала под воздействием температурного поля) с учётом начальных несовершенств, различных способов закрепления.

Предмет исследования: оценка влияния свойств материала, начальных несовершенств, переменной жёсткости (за счёт изменения габаритов сечения стержней и физико-механических и высокоэластических параметров материала под воздействием температурного поля), способов закрепления на процесс выпучивания стержней.

Цель исследования: разработка научно-обоснованных методов расчёта стержней переменной жёсткости при продольном изгибе с учётом

влияния свойств материала, начальных несовершенств, способов закрепления и температурного поля.

Задачи исследования:

1. Провести анализ исследований по изучению временной прочности поли-мерных материалов и изделий, их длительной и усталостной прочности.

2. Провести анализ численных и численно-аналитических методов в решении задач выпучивания полимерных стержней с учётом физико-механических и высокоэластических параметров материала, и других возмущающих факторов.

3. Оценить эффективность оптимизации габаритных размеров сжатого стержня при сохранении его первоначальной массы.

4. Провести анализ влияния поперечной равномерно распределённой нагрузки на процесс выпучивания полимерных стержней.

5. Провести анализ влияния температурных воздействий на процесс потери устойчивости.

Научная новизна:

1. Проведено исследование выпучивания стержней переменной жёсткости с учётом изменения свойств материала и геометрических размеров сечения с использованием численных и численно-аналитических методов.

2. Проведено исследование выпучивания стержней с учётом начальных несовершенств, при различных способах закрепления стержней и перемен-ной жёсткости.

3. Проведено исследование выпучивания стержней при изменении температурного поля по высоте сечения стержня. Исследование выполнено с учётом зависимости физико-механических и высокоэластических параметров материала от температуры и с учётом физической нелинейности материала.

4. Выполнена оптимизация сечения стержней, т. е. нахождения такого закона изменения по длине стержня его ширины, при котором для стержня неизменной массы время потери устойчивости будет максимальным, и в поперечном сечении по всей длине стержня наблюдается равнопрочное состояние.

5. Проведено исследование выпучивания стержней при одновременном приложении продольной силы и поперечной равномерно распределённой нагрузки.

Для решения поставленных задач применены следующие методы исследований:

1. Математического моделирования и оптимизации (модули подпрограмм для расчёта составлены в программном комплексе МаИ.аЬ).

2. Численные (метод конечных элементов, далее — МКЭ).

3. Численно-аналитические (метод Бубнова-Галёркина и метод Рит-ца-Тимошенко).

Достоверность полученных результатов подтверждают:

1. Сравнением результатов расчёта, полученных различными методами.

2. Совпадением результатов решения модельных задач с известными экспериментальными данными.

3. Совпадением результатов решения модельных задач с результатами, полученными другими авторами.

4. Совпадением результатов решения модельных задач с известными аналитическими решениями.

5. Проверкой выполнения всех граничных условий, дифференциальных и интегральных соотношений.

Практическая значимость работы заключается в решении задач о выпучивании стержней с учётом следующих факторов: реологии материала стержней, переменной жёсткости (за счёт изменения габаритов сечения стержней и физико-механических параметров материала под воздействием температурного поля), способов закрепления.

Результаты работы могут быть использованы при проектировании элементов стеновых панелей, в конструкциях многослойных кирпичных стен, автодорожных пролётных строений, армированных стержнями из композитных материалов. Полученные разрешающие уравнения и программные модули позволяют использовать различные уравнения связи.

Апробация работы. Результаты исследования доложены на двух международных научно-практических конференциях «Строительство» (Ростов-на-Дону, 2011, 2012 гг.); научном семинаре кафедры «Сопротивление материалов» Ростовского государственного строительного университета (Ростов-на-Дону, 2013 г.).

Результаты исследований внедрены в лекционном и практическом курсе, в подготовке выпускных квалификационных работ магистров направления подготовки 270800.68 «Строительство», студентов специаль-

ности 271101.65 «Строительство уникальных зданий и сооружений» и аспирантов кафедры «Сопротивление материалов» Ростовского государственного строительного университета специальностей 01.02.04 «Механика деформированного твёрдого тела» и 05.23.17 «Строительная механика».

Публикации. Результаты исследования изложены в 5 публикациях: 3 в изданиях ВАК РФ, 2 статьи в других изданиях.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, основных выводов, списка использованной литературы и приложений, изложена на 131 странице машинописного текста и содержит 32 рисунка, 3 таблицы, 2 приложения.

Основное содержание работы

Во введении обоснована актуальность проблемы и выбранного направления исследования, сформулированы цели и основные положения, которые выносятся на защиту. Дана краткая аннотация всех глав диссертации.

В первой главе дан краткий обзор существующих работ по теме диссертации, вопросы устойчивости стержней при ползучести полимерных материалов, основные соотношения. В отдельном параграфе рассматривается нелинейное обобщённое уравнение связи, энергетический критерий устойчивости и соответствующий метод расчета. Здесь также подробно приведена история развития метода.

Во второй главе проводится обзор современного состояния и проблем по вопросам исследования и прогнозирования временной прочности полимерных материалов и изделий, их длительной и усталостной прочности.

Третья глава посвящена применению метода конечных элементов к решению задач устойчивости.

Приводятся матрица коэффициентов жёсткости и вектор нагрузки для различных вариантов закрепления стержней и функций изменения жесткости.

В четвёртой главе приводится решение поставленных задач численно-аналитическими методами (Бубнова-Галёркина и Ритца-Тимо-шенко), приведены сравнения полученных решений с результатами других авторов (академика В.И.Андреева и др.).

Пятая глава посвящена решению задач при распределении температурного поля в поперечном сечении стержня, оптимизации ширины сечения полимерных стержней и результаты решения задач с учётом поперечной равномерно распределённой нагрузки.

Глава 1

Состояние вопроса. Постановка задачи

1.1. Энергетический критерий устойчивости. История развития численно-аналитических методов

Имея в виду рассмотрение поведения деформируемых систем под действием внешних сил, мы будем под устойчивостью системы понимать свойство ее сохранять исходную форму равновесия при фиксированных внешних воздействиях.

Важнейшая задача состоит в формулировании критерия устойчивости. Самым ранним, классическим критерием является статический критерий, или критерий Эйлера (1744). Он применим только к консервативным системам, и критическая нагрузка вычисляется как та наименьшая нагрузка, при которой возможно одновременное существование исходной и бесконечно близкой к ней форм равновесия. Наибольшей общностью обладает динамический критерий, введенный Ж. Лагранжем в 1788 году и рассмотренный А.Пуанкаре в 1881 году и А.М.Ляпуновым в 1892 г. Он может быть использован для консервативных и неконсервативных систем. В этом случае задача приводится к решению дифференциальных уравнений движения системы и изучению поведения этих решений во времени.

Энергетический критерий основан на рассмотрении потенциала всех сил, действующих на систему; он применялся Г. Кирхгофом (1850, 1859), Дж.Рэлеем (1873), Дж. Брайаном (1888), С.П.Тимошенко (1907, 1908, 1910), В. Ритцем (1908, 1909). Он базируется на принципах возможных перемещений и возможных изменений напряженного состояния. Здесь

мы будем рассматривать метод решения задач устойчивости, основанный на энергетическом критерии.

Обычно проблема определения критических нагрузок требует решения дифференциальных уравнений, вид которых определяется типом конструкции и нагружением. За исключением простейших вариантов, отыскание решений этих уравнений составляет трудную проблему. В редких случаях можно получить решение в замкнутой форме. Поэтому естественно избежать прямого пути при решении дифференциальных уравнений.

В теории линейных колебаний упругих систем для вычисления частоты или периода колебаний Дж. Рэлей широко использовал удовлетворяющее граничным условиям приближенное представление действительной формы колебаний. Метод Рэлея, чьи вычисления собственных частот колебаний упругой системы без решения дифференциальных уравнений задачи, основан на равенстве кинетической и потенциальной энергии для нахождения как основной (1873), так и высшей (1899) частот. Рэлей рассмотрел колебания струн, стержней, цилиндрических, сферических и конических оболочек, используя для описания движения системы форму колебаний простейшего осциллятора.

Физик из Гёттингена Вальтер Ритц (1908, 1909) провел обоснование . мето�