автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Устойчивость и колебания неоднородных оболочек

На правах рукописи

РГБ ОД

КУЦЕМАКО Анатолий Николаевич

УСТОЙЧИВОСТЬ И КОЛЕБАНИЯ НЕОДНОРОДНЫХ ОБОЛОЧЕК

Специальность 05.23.17-строительная механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Саратов 2000

Работа выполнена в Саратовском государственном техническом университете

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Овчинников И.Г.

доетор технических наук, профессор Преображенский И.Н.

доктор технических наук, профессор Сеницкий Ю.Э.

Ведущая организация - Институт автоматизации проектирования

Российской академии наук (ИАП РАН, Москва)

Защита диссертации состоится « 25 » апреля 2000 г. в 14 час. на заседании диссертационного совета Д063.58.03 в Саратовском государственном техническом университете по адресу: г.Саратов, ул.Политехническая,77, СГТУ, ауд.216а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СГТУ. Автореферат разослан « %4- » марта 2000 г.

Ученый секретарь диссертационного совета__—у7 В.К. Иноземцев

ВЛ1Г/. 6 К. Г-¿,03

мы оз

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Научно-технический прогресс современного машиностроения во многом связан с использованием тонкостенных конструкций. Их монопольное положение в ряде новых областей техники объясняется тем, что образованные из них конструкции обеспечивают удачное сочетание легкости и высокой удельной прочности.

При установлении модели оболочки, которая в теоретических исследованиях должна представлять реальные оболочки, как правило, приходится делать ряд допущений. Эти допущения прежде всего должны касаться конструкции оболочки и материала, из которого она изготовлена.

Под неоднородностью из всего множества идей, вкладываемых в это понятие, мы будем понимать неоднородность, связанную с переменностью двух физических величин Е{х,у,г) и р{х,у,г).

Наиболее важным моментом при проектировании тонкостенных конструкций является обеспечение их работоспособности при действии сжимающих усилий, поэтому потребность развития универсальных алгоритмов численного исследования деформирования и устойчивости тонкостенных оболочек является весьма актуальной.

Цель диссертационной работы. Анализ современного состояния вопроса о решении задач теории пластин и оболочек и исследовании сходимости методом Бубнова-Галеркина показал, что он является одним из наиболее эффективных и широко используемых численных методов решения как статических, так и динамических задач теории пластин и оболочек. Современная вычислительная техника и накопленные математические знания о нем позволяют использовать его для решения сложных задач теории неоднородных пологих оболочек при конечных прогибах.

Настоящая работа, не претендующая на полноту и завершенность исследования названной выше проблемы, представляет собой еще одну попытку продемонстрировать простоту реализации и эффективность применения метода Бубнова-Галеркина в задачах-такого класса.

Научная новизна. В работе с единых методологических позиций делается попытка исследовать задачи устойчивости и колебаний неоднородных пологих оболочек методом Бубнова-Галеркина. Рассматриваются прямоугольные в плане сферические и замкнутые круговые цилиндрические оболочки.

В главе 1 исходя из вариационного принципа Гамильтона-Остроградского получено вариационное уравнение, из которого формально можно получить краевую задачу для системы дифференциальных уравнений в смешанной форме с разрывными коэффициентами. В случае гладких функций Ен р может иметь место и классическое решение для системы

дифференциальных уравнений, если нагрузка допускает существование такого решения. Метод Бубнова-Галеркина в высших приближениях решения краевой задачи применялся именно в смысле обобщенного решения этой задачи, т.е. непосредственно к вариационному уравнению.

При исследовании участки неоднородности характеризуются переменными параметрами жесткости и плотности.

В главе 2 при решении задач статической устойчивости принят путь определения критических нагрузок - непосредственно из решения нелинейных уравнений. Критические нагрузки определяются по предельным точкам в характеристиках задачи

Исследована устойчивость прямоугольных, квадратных в плане, сферических однородных и неоднородных оболочек, находящихся под воздействием равномерно распределенной поперечной нагрузки. Рассмотрены оболочки с тремя схемами расположения участков жесткости по плану оболочки: в центре, типа "крест", типа "перфорация"(рис.1).

•ез •■:

-ЕЭ™-;.....

а - в центре б - типа "крест" в - типа "перфорация"

Рис. 1. Схема расположения участков жесткости по плану оболочки

При этом рассматриваются как "мягкие" (уу <1), так и "жесткие"

оболочки > 1). ДЛЯ ОДНОРОДНОЙ оболочки = 1.

В главе 3 исследованы собственные колебания неоднородных пластин и оболочек. Задача отыскания частот колебаний оболочки сводится к задаче отыскания собственных значений соответствующей матрицы.

При исследовании колебаний неоднородной оболочки для каждой гармоники вводится параметр Ка -коэффициент динамичности гармоники, который представляет собой отношение соответствующей частоты неоднородной и однородной оболочек. В расчетах число мод ограничено-9.

Для исследования свободных нелинейных колебаний пластин и оболочек предложен численный метод построения зависимостей "размах ко-лебапий-частота", использующий преобразование Фурье. Показано, что данный метод имеет хорошую сходимость по частоте и размаху колебаний.

Приводятся необходимые оценки длины интервала записи (наблюдения) и частоты Найквиста, представляющей наивысшую частоту, которую можно обнаружить на данных, полученных с заданным интервалом отсчета.

В главе 4 исследована динамическая потеря устойчивости неоднородных оболочек с типовым набором схем неоднородности, построены зависимости критической нагрузки от параметров неоднородности для "мягких" и "жестких" оболочек.

В главе 5 рассмотрены задачи устойчивости замкнутой цилиндрической оболочки при неосесимметричной деформации, находящейся под действием нагрузки ветрового типа, в статической и динамической постановке, когда такая нагрузка содержит по времени периодическую составляющую заданной частоты.

В главе 6 использованный ранее прием учета неоднородности по плану оболочки с успехом применяется для учета неоднородности по толщине оболочки. В этом случае участки неоднородности занимают весь план оболочки, т.е. оболочка становится слоистой. В рамках построенной модели исследована статическая и динамическая устойчивость слоистой оболочки, выполненной из сплавов титана и алюминия.

В главе 7 исследуется поведение пластинок и оболочек, находящихся под воздействием "подвижной нагрузки". Решение задачи о динамическом воздействии движущихся масс на детали машин и элементы конструкций при расчленении механической системы существенно упрощается, поскольку сводится к предварительному независимому решению более простых задач колебаний направляющей конструкции под действием движущейся силы Рд и перемещения в пространстве движущихся масс под

действием этой же силы.

Построенный алгоритм расчета позволяет учитывать тот факт, что точка входа груза на направляющую поверхность может быть любой, а скорость груза имеет как горизонтальную, так и вертикальную составляющие.

Решены различные задачи взаимодействия груза с направляющей поверхностью(пластинка или оболочка): оболочка при поперечном ударе твердым телом с учетом и без учета отрыва груза от направляющей поверхности; оболочка при подвижной нагрузке, когда груз движется вдоль координатной оси с постоянной и переменной скоростью (равноускоренно и равнозамедленно).

Достоверность результатов диссертационной работы. Полученные уравнения для однородной оболочки совпадают с известными(монография A.C. Вольмира). В этом случае надо положить Е = const, р = const и "перебросить" производные от варьируемой функции. Если функциональ-

ная зависимость Е и р от координат соответствует прямоугольным вырезам, то после соответствующих преобразований уравнения совпадают с уравнениями монографии И.Н. Преображенского.

Все задачи решаются в высших приближениях. Задача о динамической потере устойчивости однородной прямоугольной оболочки решается для сравнения методом конечных разностей при различном разбиении. При сравнении этих решений предпочтение отдается методу Бубнова-Галеркина. Полученные результаты численного решения задачи о динамической устойчивости замкнутой цилиндрической оболочки практически совпадают с результатами, полученными С. А. Рыжовым в конечных разностях.

Практическая значимость работы. Показана возможность с единых методологических позиций исследовать задачи устойчивости и колебаний неоднородных пологих оболочек (как со ступенчато изменяющейся толщиной, так и с участками, выполненными из материалов с различным модулем упругости и плотности) методом Бубнова-Галеркина. На защиту выносятся:

-алгоритм решения методом Бубнова-Галеркина в высших приближениях уравнений смешанного типа, с единых методологических позиций рассматривающий оболочки как со ступенчато изменяющейся толщиной, так и с участками, выполненными из материалов с различным модулем упругости и плотности;

-алгоритм получения собственных частот и форм линейных колебаний неоднородных пластин и оболочек;

-метод и алгоритм построения амплитудно-частотных характеристик свободных колебаний пластин и оболочек;

-результаты исследования на статическую и динамическую устойчивость неоднородных цилиндрических оболочек при неосесимметричном деформировании;

-адаптация используемого способа учета неоднородности оболочки к расчету слоистой оболочки;

-алгоритм расчета системы "оболочка -движущийся груз" при односторонней и двусторонней связи, наложенной на движущуюся массу. Апробация работы

Основные положения диссертации докладывались и обсуждались: -на IX Всесоюзной конференции по теории пластин и оболочек (Ленинград, 1973 г.);

-на итоговой научной конференции Казанского государственного университета им. В.И. Ульянова-Ленина, секция механики твердого де-

формированного тела под рук. проф. К.З. Галимова и проф. A.B. Саченкова (Казань, 1974 г.);

-на Московском городском семинаре по прочности, устойчивости и выносливости конструкций авиационной техники под рук. проф. A.C. Вольмира и проф. В.В. Новицкого (Москва, 1974 г.);

-на Всесоюзной конференции по проблемам нелинейных колебаний механических систем (Киев, 1974 г.);

-на Всесоюзной конференции по нелинейным задачам теории пластин и оболочек (Саратов, 1981 г.);

-на научных семинарах по нелинейным задачам теории пластин и оболочек кафедры высшей математики СГТУ под руководством проф. Крысько В.А.;

-на VI межвузовской конференции по математическому моделированию и краевым задачам (Самара, 1996 г.);

-на XVIII международной конференции по теории оболочек и пластин. (Саратов, 1997 г.);

-на II Белорусском конгрессе по теоретической и прикладной механике "Механика-99" (Минск, 1999 г); В целом работа докладывалась:

-на научном семинаре по нелинейным задачам теории пластин и оболочек кафедры высшей математики СГТУ под руководством проф. Крысько В .А. (29.12.99 г.);

-на Объединенном семинаре кафедр прикладной механики и информатики, теоретической механики, высшей математики СГТУ под руководством академика Петрова В.В. (10.02.00 г);

Публикации. По теме диссертации опубликовано 28 работ, в том числе 3 монографии.

Объем работы. Диссертация состоит из введения, 7 глав, выводов, списка литературы. Общий объем составляет 255 страниц и включает 19 таблиц, 87 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ Во введении представлено обоснование актуальности проблемы, отмечается приоритетность русской школы в области применения метода Бубнова-Галеркина к эволюционным задачам.

Анализ современного состояния вопроса о решенин задач теории пластин и оболочек и исследовании сходимости показал, что метод Бубнова-Галеркина является одним из наиболее эффективных и широко используемых численных методов решения как статических, так и динамических задач.

В первой главе метод. Бубнова-Галеркина решения краевой задачи применялся именно в смысле обобщенного решения этой задачи.

Отличительной особенностью общих зависимостей, относящихся к тонким оболочкам, является сведение уравнений трехмерной задачи теории упругости к уравнениям для двух измерений. Одним из путей приведения трехмерной задачи к двумерной является принятие гипотезы недефор-мируемых нормалей (гипотезы Кирхгофа - Лява).

Рассмотрим прямоугольную в плане оболочку (рис. 2), срединная поверхность которой ограничена замкнутой линией Г. Отнесем срединную поверхность к системе ортогональных координат х,у. Обозначим координату, нормальную к срединной поверхности, через г. За положительное направление оси г примем направление к центру кривизны.

Тогда для координат точек оболочки имеет место О<х<а, 0<у<Ь, -й<2<й.

Обозначим перемещения точек срединной поверхности по на-~ правлениям х,у,г через и,у, н\

Согласно классической теории оболочек, перемещение какой-либо точки оболочки по направлению г не зависит от г и для всех точек данного нормального элемента равно нормальному перемещению в соответствующей точке срединной поверхности. Тогда геометрические соотношения можно записать

Рис. 2

6„ — —2-

д1™

£уу -£22~2'

д1™

£ху ~ £\2 -22-

о -г - ч — 1 ' ~*У ~1— л а '

ду1 &ду

где выражения деформаций в срединной поверхности имеют вид

. 1/ дм о

дх. 2 дх

3/ , \ (д^ \г ди ск дл/дм

=---кхм> + ~ (—), еп= — + — н—т-

4/ у 2у ду' 12 " -

(2)

(3)

ь22

ду <Эс дх ду

Материал, из которого изготовлена оболочка, считаем изотропным, но изгибная жесткость или плотность оболочки на каком-либо участке может изменяться из-за включения в нее участка из материала с другим модулем упругости или вследствие изменения толщины, т.е. модуль Юнга и плотности считаются функциями координат Е - Е(х,у), р = р(х,у). Исходим из предположения, что деформации лежат в пределах действия за-

кона Гука. В этом случае деформации в срединной поверхности для изотропного материала, характеризуемого модулем упругости первого рода Е, модулем упругости второго рода О и коэффициентом Пуассона //, связаны с напряжениями <т„ уап и гг1у следующими соотношениями

1/ ' ч 2(1+А.) <4>

вуу = £ - //сг« )> =--~Е-&ху •

Внося эти зависимости в соотношения, определяющие статически эквивалентные усилия в сечениях оболочки, приходим к окончательному виду соотношений, связывающих усилия и деформации срединной поверхности

Тц = л2кЕ2-{£11+ ^22), \-ц

,,, 2ИЕ ( \ _ 2ЪЕ (5)

'22 ~--Т\е22+М£и)> '12 -

1 - И 2(1 + ц)

Исходя из общей формулы для приращения удельной механической работы деформации в теории упругости с учетом гипотезы недеформируе-мых нормалей, потенциальную энергию деформации можно записать

1

7 = 7 Я \ + ауу£уу +аху£ху)<Ь<1Х-

2п -Л

(6)

Кинетическая энергия оболочки равна

2 £ я и а ' Кд1} К дt ' i у'

Элементарная работа внешних сил будет

3'Иг = Ц[ рхё{и) + ру#у) + )£(*)]&. (8)

а 8 <у'

Здесь е- коэффициент демпфирования среды, (¿5 = с1х(1у, О-область интегрирования, ограниченная контуром Г (рис. 2).

Рассмотрим процесс движения на отрезке времени между моментами (0 и /,. Сравним для этого отрезка времени различные траектории движения точек системы между начальным и конечным положениями. Истинные траектории отличаются от других возможных (совместимых со связями)

траектории тем, что для первых должно выполняться условие

+ = О,

(9)

здесь К - кинетическая, V - потенциальная энергия системы и 5'\У - сумма элементарных работ внешних сил.

Подставив все необходимые выражения в уравнение (9), придем к следующему вариационному уравнению

1Я { ту ~ т - тт т Ьг ¿Н+ -ту т - тт Т Ь^М -

/0п ^ ^^ & дх ду дхс% дх ' <%>

" 27 (ТУ + "Тг)^?'+ + ^ТГГ)ТТ+

3(1-/г) дх ду Зс ду дх ду

дхду дхду g дг

дх1 ду дхдуду дхду д % а &

р-Ли) + }*<*+++^ ¿И] 5; *=о.

При этом полагалось, что аппроксимирующие функции удовлетворяют граничным условиям и имеют вид

^ = 4>ч(х,у)\ ^ = г = 1,2,...,Мх;

'.У

Р = = 7 = 1,2(П>

л;

Для круговой цилиндрической оболочки следует положить кх=0, ку= 1 / Л, где К - радиус кривизны срединной поверхности.

У неоднородной оболочки изгибная жесткость или плотность на каком-либо участке может изменяться из-за включения в нее участка из материала с другим модулем упругости или вследствие изменения толщины. Предполагаем, что во всех случаях форма оболочки симметрична относительно срединной поверхности. Это позволяет для конструкции с изменяющейся толщиной судить об утоненном (утолщенном) участке толщиной 2Л, только по изгибной жесткости £>, из которой легко получить выражение приведенного параметра Е для этого участка, "размывая" ("сгущая") условно его толщину от величины 2к{ до 2/г. Эта операция необходима

лишь для того, чтобы можно было с единых позиций рассматривать оболочки как со ступенчато изменяющейся толщиной, так и с участками, выполненными из материалов с различным модулем упругости.

При исследовании такие участки будем характеризовать переменными параметрами жесткости. Предполагаем также, что оболочка имеет произвольное число прямоугольных участков с различной изгибной жесткостью, ориентированных таким образом, что ограничивающие их контурные линии параллельны соответствующим сторонам внешнего контура. Исходя из этого, можно считать, что оболочка имеет постоянную толщину, а неоднородность оболочки можно полностью описать изменением модуля упругости Е по плану оболочки. Сказанное относится и к плотности материала р. В этом случае необходимо принять, что Е = Е(х,у), р = р(х,у). Безразмерные параметры:

м> = 21т-,х = ах-,у = Ьу;Л = а / Ь;Е = Е0(2И)3 Г; Е- ЕпЕ;р = р0р\ к _2Аг ,к Е0(2Н)> - аЪ 2А №

КХ-~КХ,К --у/Су,<7-—27,--£ ■

а ■ Ъ а Ь 2А у аЬ\ д,

Переменные параметры:

жесткости Е(х, у) = Е0 [1 - - А/ )у0/ ]

1 1 г, 1 1 (13>

Е(х,у) EQ j у у

плотности р(х, у) = р0 [1 - ]T(l - у2/ )/оу ]

i

E¡ Pj

Yij = —;y2j =--коэффициенты жесткости и плотности j участка

¿'о Ро

где /0у =

- Г0 (х - х 1у; у - y2J) + Г0 (х - jr 2 j ; у - y2j ); (14)

Г (х при х<*1;

y¡ = 1 соответствует однородной оболочке, y¡ <1- соответствует участку с меньшей, у1 > 1 -с большей изгибной жесткостью, чем изгибная жесткость самой оболочки. Такие оболочки будем называть "мягкая" и "жесткая".

Во второй главе рассматривается статическая потеря устойчивости прямоугольных оболочек, излагается метод и алгоритм, основанный на методе Бубнова-Галеркина в высших приближениях.

Применяя метод Бубнова - Галеркина к (10), получим

Д/1 угц - X В,]12.^4 + Х<//З.кг// ~ Е Д/ И ВкI1 \yz4kl ] = °>

+ £ +1 Д,- I ла1Ьугик1 ]=о, 1

уг у /у у к!

Здесь знак суммы [*] перед каждым уравнением системы указыва-

VI

ет, что под данным уравнением понимается система такого вида уравнений.

При решении задач статической устойчивости принят путь определения критических нагрузок - непосредственно из решения нелинейных уравнений. Критические нагрузки определяются по предельным точкам в характеристиках задачи с\-\ нелинейного решения. Этот путь во многих задачах оказывается труднее для машинной реализации, однако он дает возможность получать более полную информацию о поведении оболочки.

После применения метода Бубнова-Галеркина получается система нелинейных алгебраических уравнений, к которой присоединяется уравнение, задающее прогиб в заранее выбранной характерной точке оболочки, с координатами (х0,>>0)

щ{*о,Уо) = 1£Ач(Ри{хо>Уо)- (18)

Ц

Нелинейная алгебраическая система уравнений решается методом Ньютона. Чтобы проследить влияние неоднородности в задачах статики и динамики при прочих равных условиях, в численных расчетах рассматриваются оболочки, края которых оперты на гибкие в касательной плоскости нерастяжимые ребра. Граничные условия в этом случае имеют вид

* = 0,^ = = 0,е22 = 0 при дс - 0;1

¿к ду

У> = 0,— = = <ии =4 0 при у= 0;1

ду ¿кг :

Система аппроксимирующих функций в этом случае имеет вид м> = у£ А,; БЦ/тфЦуяу),

'•> (20) '.у

Индексы /,у принимают все значения.

Тогда нелинейная алгебраическая система может быть записана

+1А11Вк-1()Ч-= (21)

и /у, к!

Е {£[У2%А' + ^/¡Л* + \ А,]Аи1пиа ]} = о

VI ц,к1 ^

Здесь знак суммы £[*] пеРеД каждым уравнением системы (21) указывает,

^

что под данным уравнением понимается система V; такого вида уравнений. Все 1,.1-это интегралы процедуры Бубнова-Галеркина, причем интегралы I учитывают неоднородность оболочки.

На рис. 3 приведены типовые зависимости статической нагрузки от прогиба в центре, значения параметра кх = ку = 12;18;24 соответствуют

кривым 1,2,3. Однородная оболочка с большим значением этого параметра имеет соответственно большую как верхнюю, так и нижнюю критические нагрузки. С увеличением значения параметра кх = , начиная с некоторого, характер деформирования оболочки изменяется.

При монотонном нагружении оболочки, начиная с прогиба порядка 0,2-0,3, наибольший прогиб из центра оболочки смещается на периферию в ее четверть и происходит местная потеря устойчивости. В дальнейшем при достижении критических значений прогиба происходит потеря устойчивости в большом. Если нормировать значение прогиба оболочки к прогибу центра оболочки, т.е. ввести в рассмотрение параметр уу / и затем построить зависимость этого параметра от значения прогиба в центре оболочки, то полученные зависимости хорошо иллюстрируют сказанное.

1.2

09 0.6 0.3 О

О 0.3 0.6 0.9 1.2 V с О 0 5 1 1.5 И»

а б

Рис. 4. Развитие относительного прогибав периферийных точках оболочки в процессе нагружения: а- кх =ку =24; б- кх=к=36

400 300 200 100 0

1\ 3 — .... ...

(/¡У / / у /

ИТ

0123456789-у^

Рис. 3. Зависимость статической нагрузки однородной оболочки от прогиба в центре

И'/ТУ,. 3

5

■—

V 1

На рис. 4 кривые 1,2,3,4,5 построены для точек плана оболочки с координатами * = .у = 0,1;0,2;0,25;0,3;0,4. Для оболочки с параметром кх = = 24 наибольший прогиб всегда в центре оболочки, т.е. местной

потери устойчивости не происходит, а для оболочки с параметром кх = ку = 36 наибольший прогиб (кривая 3) имеет точка плана оболочки с х — у — 0,25, т.е. сначала происходит местная потеря устойчивости.

В табл. 1 приведены нормированные к центральной точке оболочки поверхности прогиба для указанных значений прогиба в центре.

Приведенные формы поверхности полностью и более наглядно подтверждают характер потери устойчивости оболочки, о котором можно предполагать исходя из графиков, приведенных на рис.4.

Таблица 1

м> кх=К=24 кх=ку=30 кх=ку=36

0,5 АШ I 0

шшшшшш ттшшшш

1,0 1

2,0 2

Для оболочки кх = ку - 24 во всем диапазоне изменения параметра

нагрузки форма поверхности прогиба такова, что наибольший прогиб всегда в центре оболочки, а для кх = к^ = 36 - в четверти оболочки. Оболочка с кх = ку = 30 занимает промежуточное значение. Полученные результаты (рис.5, кривым 1-6 соответствуют уу - 0,5;0,7;0,9;1,1;1,3;1,5) говорят о том,

что неоднородность в центре оболочки (типа рис.1,а) может либо ослабить, либо усилить этот процесс и изменить монотонность зависимости нагрузки от исследуемых параметров(величина площади, относительное расположение по плану участка, параметр жесткости участка).

1.05

095

0.9

1.1

0.9

0.8

1

3

-36

05 0.6 0.7 0.8 Хс 0.5 0.6 0.7 0.8 хс 0.5 0.6 0.7 0.8 хс

Рис.5. Зависимость ррихическэй нагрузки от координаты центра квадратного участка

Неоднородность (типа "крест" и "перфорация") более сложным образом сказывается на критической нагрузке: на графике возникают зоны экстремальных значений, причем имеются и шах, и min.

Рис.6 иллюстрирует сказанное, кривым 1-5 соответствуют значения кх = ку= 18;24;30;36;48.

1.1

0.8

0.7

Ч Vlv

к rv = 0,5

N

1.15

1.05

0.95

___

ь. Т1:5!

б

N

Рис. 6. Зависимость критической нагрузки неоднородной оболочки от числа участков жесткости вдоль одной стороны оболочки, а - "мягкая" оболочка; б -"жесткая" оболочка

В третьей главе исследуются колебания прямоугольной оболочки. Сначала рассматриваются линейные колебания пластин и оболочек. В случае неоднородной оболочки задача отыскания частот колебаний оболочки сводится к задаче отыскания собственных значений соответствующей матрицы, так как в этом случае у оболочки квадрат частоты гармоники не может быть определен непосредственно из уравнений колебаний оболочки, так как система разрешающих уравнений в этом случае не распадается на отдельные уравнения соответствующих гармоник

Л = /М. (22)

Полученная матрица является несимметричной при наличии у оболочки участков жесткости, у которых коэффициент плотности угк * 1, т.е., если имеется неоднородность по плотности. При любом значении ко-

8

о

2

4

б

в

эффициента жесткости участков уи. матрица является симметричной. Собственные значения матрицы - квадраты собственных частот оболочки. Для отыскания собственных значений и собственных векторов симметричной матрицы О используем - алгоритм и непосредственно процедуру, которая определяет все собственные значения и собственные векторы симметрической трехдиагоналыюй матрицы. Трехдиагональная матрица получается из исходной симметрической матрицы Б преобразованием Хаус-холдера. Для отыскания всех собственных значений и собственных векторов действительной несимметрической матрицы О исходная матрица сначала приводится к форме Хессенберга, а затем определяются все собственные значения и собственные векторы матрицы. Исследуется зависимость первых девяти мод однородных и неоднородных, квадратных в плане, оболочек от различных параметров решаемой задачи. Все задачи классифицированы по форме, количеству и относительному расположению участков жесткости по плану оболочки (рис. 1,а,б,в).

Для неоднородной пластинки или оболочки дая каждой частоты колебаний вводится параметр Ка - коэффициент динамичности гармоники, который представляет собой отношение соответствующей частоты неоднородной и однородной оболочек. Для каждой моды колебаний строится форма поверхности пластинки или оболочки. Эти результаты сведены в таблицы в зависимости от коэффициента жесткости участка у1к для рассматриваемых типов неоднородности пластинки и оболочки.

Номер кривой совпадает с номером моды (рис.7,8,9). Кривые, расположенные ниже отметки 1, соответствуют более "мягкой" оболочке, а расположенные выше отметки 1, - более "жесткой", чем однородная оболочка. Для однородной оболочки ум =\',Угк ~ 1 •

1.1 1.05 . 1 0.95 0.9

К,, 1 1

Гц = 1 АГп = п

ГГ -—*—^ 1 1

я 1

ь. = = 1

2 3

а

5 N

1.1 1.05 1

0.95 0.9

Г и = 'АГп = 1

—— 1

<Г Г 5 7

Г и = ОДЬ* = 1

-г-ч—

2 3 б

5 N

Рис. 7. Зависимость коэффициента динамичности мод оболочки (кх -ку= 36) от Л'- числа участков жесткости вдоль одной стороны оболочки (схема - рис. 1,в)

При схеме неоднородности (рис.1,в) кривые имеют более сложный вид: имеется зона ярко выраженных локальных экстремумов и зона стабилизации значения коэффициента динамичности.

Кмод (х , =0,4; х 2=0,6; у, =0,4, у 2=0,6; схема- рис.1,а)

1.04 1.02 1

0.98 0.96

0.3 0.5 0.7 1 а

1.2 1.4 1.6 0.3 0.5 0.7 1

б

Рис. 8. Пластинка

1.2 1.4 1.6

1.02 1

0.98 0.96 0.94

1.02 1

0.98 0.96 0.94

Ки -Ч 7

9 /

! VII

0.3 0.5 0.7 1 а

1.2 1.4 1.6 Рис. 9. Оболочка кх -ку=*36,

0.3 0.5 0.7 1 б

1.2 1.4 1.6

Таблица 2

Первое означает, что при некотором значении параметра (N=1,2,3) суммарное значение площади неоднородности оболочки носит характер критического, второе (№>4) - приращение площади неоднородности практически не оказывает влияния на рассматриваемую зависимость потому, что само приращение площади становится малым.

Для оболочки (рис.9) показаны формы поверхности (таблица 2), соответствующие модам 5,6,8 при некоторых значениях коэффициента жесткости участка у у = 0,6;1;1,4. Видно, что значение параметра жесткости

участка сильно сказывается на форме поверхности.

Для исследования нелинейных свободных колебаний пластин и оболочек разработан численный метод построения "амплитудно-частотных" характеристик объекта, который для экономичности по времени расчета использует быстрое преобразование Фурье. Показана достаточно хорошая сходимость метода по амплитуде (рис.11) и частоте (рис.10) гармоники, входящей в нелинейное колебание. Приводятся оценки длины записи Т исходных данных и интервала отсчета этих данных Д. При этом длина записи определяет степень различимости пиков в преобразовании Фурье, а интервал отсчета определяет частоту

(23)

называемую частотой Найквиста и представляет наивысшую частоту, которую можно обнаружить на данных, полученных с интервалом отсчета Л.

о.«

0.446 0.44 0.4Э5 0.43

V = 5cos(yOj-

7 14 21 28 35 42 49 56 ВЗДГ а

Рис. 10. Частота гармоники от числа наблюдений

35 -43 63 77 91 105 119 133

Рис. И. Амплитуда гармоники от числа наблюдений

147 N

7.5

5 2.5 О

О 10 20 30 40 50 60

Рис. 12. Амплитудно-частотная характеристика свободных нелинейных колебаний оболочки {к х=к у=\ 2)

6 4.5 3 1.5 0

-1.5 -3

На рис.12 построена амплитудно-частотная характеристика свободных нелинейных колебаний однородной оболочки, показанных на рис.13, которые даже при малых начальных отклонениях далеки от гармонических. Из полученных результатов можно сделать следующие выводы:

1. Частота всех детектированных гармоник как для оболочки, так и для пластинки зависит от размаха свободных колебаний системы.

2. При малых размахах свободных колебаний частота низшей гармоники практически совпадает с первой частотой линейных колебаний системы.

3. Качественно пластинка-система с жесткой характеристикой, оболочка-система с мягкой характеристикой.

4. Некоторые гармоники при малых размахах колебаний не удается детектировать, но с дальнейшим его ростом они занимают свое место.

5. Амплитуда первой гармоники во всех случаях как минимум на порядок превышает амплитуду других гармоник, которые с ростом номера гармоники резко убывают.

кЛ —.....- - ——А А - ■ - " - А-

у л \

5 О. 1 ¡5 ^ 5 / V 1 / *

Рис. 13. Оболочка кх=ку=12

В четвертой главе исследуется динамическая потеря устойчивости прямоугольных оболочек. Для получения достоверных результатов на примере задачи о динамической потере устойчивости однородной оболочки, находящейся под действием поперечной нагрузки типа q = const, задача по пространственным координатам решается двумя методами: Бубнова-Галеркина в высших приближениях и конечных разностей, а по времени -методом Рунге-Кугга. Получено хорошее совпадение результатов, но, с точки зрения вычислительных затрат, предпочтение отдается методу Буб-нова-Галеркина.

Исследовано влияние всех типов неоднородности оболочки на динамическую критическую нагрузку. Полученные результаты качественно хорошо согласуются с аналогичными результатами, полученными в статической постановке. На рис.14,а-в приведены зависимости относительной критической нагрузки неоднородной (типа 1,а) оболочки от коэффициента жесткости участка Y\j • При этом S=0,4 и y2j = ' > а параметр оболочки принимает значения кх =ку = 18;24;30.

0.8

Я

Ча

/

м ку = 18-

0.6

0.6

я_

Чо

/

\кх = ку = 24

1.2

0.8

з_ Яо

/

У

кх=ку= 30

0.5 0.7 0.9 а

1.1 1.3

Г и

0.5

0.7 0.9 В

'Ум

0.5 0.7 0.9 1.1 б

Рис. 14. Зависимость динамической критической нагрузки неоднородной оболочки от коэффициента жесткости участка

При малых значениях параметра кх - ку зависимость монотонная,

близка к линейной. При дальнейшем возрастании этого параметра оболочки проявляются два значения коэффициента жесткости у у = 0,9; 1,1 (0,9-

"мягкая", 1,1-"жесткая" оболочка), начиная с которых рассматриваемая зависимость становится существенно нелинейной, т.е. существенно сказывается на перераспределении энергии колебаний между однородной и неоднородной частью оболочки.

В пятой главе исследуется устойчивость замкнутой цилиндрической оболочки при неосесимметричном внешнем давлении. Для достоверности получаемых результатов была решена задача о динамической потере устойчивости замкнутой круговой цилиндрической оболочки конечной длины при нагружении прямоугольным импульсом внешнего давления беско-

1.2

0.6

печной продолжительности во времени, равномерно распределенного по площадке, ограниченной линиями кривизны и симметрично расположенной относительно сечения х = 0,5. Площадка нагружения охватывала всю длину оболочки. Расчеты проводились для оболочки с параметрами Лту =112,5; Л = 2,2. Сравнение проводилось с результатами, полученными

СЛ. Рыжовым, где задача решалась и по пространственным координатам, и по времени конечно-разностным методом. Так как параметры задач полностью совпадали вплоть до безразмерных величин, то полученный график зависимости критической нагрузки от угла нагружения по окружной координате практически совпал со сравниваемым.

Если оболочка находится под воздействием нагрузки ветрового типа, то распределение давления в окружном направлении задается формулой

д = д0(а + ^со5у)"'; а + Р = 1. (24)

С ростом т спектр разложения нагрузки (24) в тригонометрический ряд по косинусам расширяется, а осесимметричная составляющая давления убывает. В рассматриваемых случаях <70 = 1 и координаты приложения нагрузки: 0 < х <1,- к < у < к. При /7 = 0 получаем случай равномерного давления, при больших т эпюра нагрузки принимает форму узкого лепестка с максимумом с/о в точке у = 0. Типичный профиль эпюры давления при <70 = 1 показан на рис.15. На рис.16 представлены зависимости критической нагрузки д от т- неоднородности нагружения для оболочки с параметрами: ку = 112,5; X = 2,2. Кривые 1-5 соответствуют значениям

параметра нагрузки а = 0,1-0,9 с шагом 0,2.

loa г Щ

Рис. 16. Зависимость критической нагрузки от т - неоднородности нагружения оболочки с параметрами кх =jfcy=l 12,5; \-2,2

По мере увеличения степени неоднородности т критическая нагрузка вначале растет, достигая максимума, а затем падает и ее интенсивность становится значительно меньше, чем первоначальная. Такой характер по-

ведения критической нагрузки более отчетливо проявляется для низших значений параметра а, т.е. при возрастании доли переменной добавки /7 в (24). При значительной доле постоянной части нагрузки максимум существенно сдвигается в область большой неоднородности нагрузки т.

Прогиб, при котором достигается критическая нагрузка, для малых значений неоднородности нагрузки составляет десятые доли толщины оболочки. С ростом т прогиб растет и при больших значениях может составлять несколько толщин оболочки. При малой доле переменной части нагрузки такой прогиб не превышает половины толщины оболочки.

В динамической постановке оболочка находится под воздействием нагрузки ветрового типа, которая по времени имеет периодическую составляющую с частотой со

q-q0{a + |Зc,o?,yУ"{\ + sm.cot)■, а+ /3 = 1. (25)

Отметим важную особенность, которую необходимо учитывать при оценке несущей способности рассматриваемых конструкций. Здесь, в отличие от осесимметричных или близких к ним задач, где значение критической нагрузки однозначно связывается с исчерпанием несущей способности, такой однозначности не наблюдается.

В тех случаях, когда доминирует сильный изгиб, исчерпание несущей способности происходит вследствие достижения напряжениями или перемещениями допустимого значения, хотя формально .может быть зафиксирована особая точка нелинейного решения, определяющая значение критической нагрузки. Напряжения, которые соответствуют такой нагрузке, значительно превосходят не только предел упругости, но и предел прочности материала. Расчет должен обеспечивать не только геометрически, но и физически достоверную модель конструкции, причем несущая способность конструкции определяется ограничениями, накладываемыми па основные параметры напряженно-деформированного состояния.

Рис. 17. Зависимость динамической критической нагрузки от частоты вынуждающгй силы На рис.17 приведены зависимости динамической критической нагрузки оболочки с параметрами к = 112,5; X = 2,2 от со - частоты вынуж-

дающей силы. Кривые 1,2,3,4 соответствуют значению параметра неоднородности нагрузки т = 1;2;3;5; а = 0= 0,5. Характер зависимостей немонотонный. Во всех случаях имеется глубокий минимум нагрузки в районе значения параметра со = 1. Затем следует участок со - 4 -12, где наблюдается три локальных max, после чего следует участок, где нагрузка слабо падает, после чего нагрузка достаточно резко возрастает.

С ростом параметра неоднородности т описанное поведение рассмотренных зависимостей несколько смещается в сторону больших значений частоты вынуждающей силы со.

В шестой главе показано, что использованный ранее прием учета неоднородности по плану оболочки с успехом может быть применен для учета неоднородности по толщине оболочки. В этом случае участки неоднородности занимают весь план оболочки, т.е. оболочка становится слоистой. В рамках модели Кирхгофа-Лява все слои оболочки изготовлены из изотропного материала и имеют персональный набор параметров Е, ц и р, причем Е= E{z), р = Как обычно -h<z<h, т.е. толщина всего пакета 2А и он симметричен относительно срединной поверхности оболочки. Поэтому задаются координаты только верхней половины пакета по z каждого слоя, модуль Юнга которого отличен от основного центрального слоя оболочки, они положительные и zl < z2. Оболочка всегда имеет нечетное число слоев. Для простоты считаем, что модуль Пуассона всех слоев одинаков.

При получении разрешающих уравнений следует внести коррективы:

1) в тех этапах, где осуществлялось интегрирование по координате z, учесть, что Е= E{z), р = f{z),

2) в тех этапах, где осуществлялось интегрирование по плану оболочки, параметры Е,р не зависят от х и у и их можно выносить за знак интеграла.

Переменные параметры жесткости и плотности примут вид: жесткости Е(х,у) = £0[l - £(l - 7lJ ^ - z\ )];

плотности р(х,у) = д,[ 1 - £(1 - 7lJ \zb - Zy )] . (26)

j

Основной вопрос в случае многослойной оболочки - как ведет себя оболочка при увеличении числа слоев? В нашей модели дело обстоит следующим образом. Если слои оболочки имеют механические параметры одинаковые, то этот случай эквивалентен одному слою, толщина которого представляет собой сумму толщин всех слоев. Другими словами, наша мо-

дель слоистой оболочки не различает простого разбиения оболочки на слои. Другое дело, когда многослойная оболочка состоит из слоев различного материала.

На рис.18 показана зависимость статической нагрузки от числа слоев оболочки кх = ку = 24, относительный модуль Юнга каждого из которых имеет приращение, равное 0,1. Кривая 1 соответствует отрицательному знаку этого приращения, кривая 2 - положительному. Очевидно, что в случае отрицательного приращения с шагом 0,1 число слоев не может быть больше 19. Материал слоев - сплавы на основе титана и алюминия. Кривая ТьА1 соответствует случаю, когда центральный слой титановый, а далее

1.5 1

чМГ* —■— ^УГ1

__

1-ТкА]

12

м> | ----- V/ ¡(Г3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 ^

Рас. 19. Прогиб в центре - время для трехслойной оболочки к х =к у =24

1 3 5 7 9 11 т Рис.18. Статическая критическая

нагрузки многослойной оболочки к х = 24 от числа слоев материалы слоев чередуются.

Для А1-И соответственно центральный слой изготовлен из сплава на основе А1. С учетом того, что толщина всего пакета 2й, а число слоев увеличивается, значение критической нагрузки оболочки сначала равномерно колеблется, а затем выходит на стационарное значение для своего типа оболочки.

Пусть трехслойная оболочка с параметром кх = ку - 24 находится

под воздействием поперечной равномерно распределенной нагрузки, интенсивность которой не зависит от времени. Напомним, что в этом случае модуль Юнга центрального основного слоя принят за единицу. На рис.19 показаны зависимости "прогиб в центре-время" для критических значений нагрузки д = 226;210;241 (соответственно кривые 1,2,3), причем кривая 1 построена для однослойной, а 2,3 - для трехслойной оболочки. Для кривых 2,3 принято Е/ Е0= 0,9;1,1.

Так как все кривые критические, то все они как качественно, так и количественно достаточно близки друг к другу, что говорит о том, что явление прощелкивания оболочки происходит одинаково, т.е. критические прогибы практически совпадают, а критическое время несколько увеличи-

вается (уменьшается) для более "мягкой" и "жесткой" оболочки за счет сдвига частотного спектра колебаний оболочки.

В седьмой главе исследуется взаимодействие пластин и оболочек с движущимся грузом. Отличительная особенность задач взаимодействия конструкций с движущимися телами состоит в том, что давление на конструкцию обусловлено весом и силой инерции движущихся объектов. Наличие этой особенности вносит определенную трудность в математическое исследование явления. При колебаниях массы, движущейся с постоянной скоростью по направляющей поверхности, последняя подвергается воздействию нагрузки, всюду равной нулю, за исключением точки контакта, где давление массы М

= (27)

Л

Здесь 2дМ - поперечное динамическое перемещение массы при ее совместных колебаниях с направляющей поверхностью; Р - нормальная составляющая силы веса груза массой М.

Колебания оболочки при наличии двусторонней связи, наложенной на движущуюся массу. В случае безотрывного движения груза по оболочке давление, испытываемое оболочкой в месте контакта с грузом, состоит из силы веса груза и силы инерции при поперечных колебаниях груза вместе с оболочкой. Учитывая (27), оно может быть записано

Р=М(а~). (28)

Л2

Пусть область контакта оболочки с грузом представляет собой прямоугольную площадку, ориентированную так, что ее стороны параллельны соответствующим сторонам плана оболочки

Я(х0-Ах£х£х0 + Ах;у0 - Ау£у<у0 +Лу), (29)

Если при решении данной задачи возникает потребность считать, что вес груза сосредоточен в точке, то этих выражениях необходимо осуществить предельный переход при Дх —> 0, Ау —> 0.

На рис.20 показано изменение во времени прогиба в центре однородной оболочки с параметрами кх - ку = 24; Я = 1 когда центр прямоугольника контакта груза и оболочки совпадает с центром оболочки, а размеры его сторон соответственно 2 Ах и 2Ау. Кривым 1,2,3 соответствуют значения параметра из (23) М = 2;4;10, а = 500.

Из графиков видно, что параметр массы груза М по своему воздействию на поведение оболочки аналогичен параметру нормальной нагрузки, приложенной к оболочке.

И/

¥ ^Ц /

У <1 ГЧ

О 03 0.6 0.9

а

12 {

12 \

0.3 0.6 0.9 1.2 ! В

0.3 0.6 0.9 б

Рис 20. Изменение во времени прогиба в центре однородной оболочки при различных площадках под грузом: а-дх =ду =0,05; б-Дх =Д_у =0,1; в-Дх =ду М),5

Имеются значения параметра, которые можно называть докритиче-скими и критическими, т.е. у оболочки можно наблюдать потерю устойчивости. При увеличении площади области контакта прощелкивание оболочки происходит по времени значительно раньше.

На рис.21 приведена зависимость критического значения параметра а от размеров области контакта груза и оболочки Ах = Ду. Кривым 1,2,3 соответствуют значения параметра массы груза М = 2;5;10. Дх = Ду = 0,2 оказывается рубежным. Правее этого значения для рассмотренных параметров массы груза площадь области контакта практически не сказывается на значении исследуемого параметра; левее - влияние существенное и оно возрастает с ростом параметра массы груза.

На рис.22 показано изменение прогиба неоднородной оболочки с параметрами кх = к у = 24; X = 1

при схеме неоднородности, рис. 1,а (площадь участка жесткости = 0,2): а-неоднородность по жесткости уч = 0,5;1;1,5; у2) = 1

(кривые 3,2,1); б-неоднородность по плотности /2] - 0,5;1;1,5;

у у = 1 (кривые 6,5,4). Значения

остальных параметров:

Дх = Ду = 0,1; М= 2; «=1000.

Как в случае оболочки, находящейся под воздействием только нормальной равномерно распределенной нагрузки, так и при взаимодействии груза и оболочки неоднородность по плотности в диапазоне исследуемых параметров слабо сказывается на значении прогиба по времени оболочки по сравнению с однородной. Неоднородность по жесткости участка оболочки качественно не меняет характер изменения.

4000

2000

а1 и

к Ах=А у

0.6

О 0.2 0.4

Рис. 21. Зависимость а от

размеров площадки под грузом

а б

Рис. 22. Изменение во времени прогиба в центре неоднородной оболочки

Колебания оболочки при наличии односторонней связи, наложенной на движущуюся массу. Экспериментальные исследования свидетельствуют . о возможности отрыва груза от направляющей поверхности в процессе движения и требуют отказа от гипотезы удерживающей связи.

По-видимому, целесообразно расчленить механическую систему масса-направляющая упругая поверхность на две составные части и рассмотреть две задачи. Во-первых, задачу по поперечному перемещению массы под действием внешних сил и динамической реакции направляющей поверхности Рд. Во-вторых, задачу по поперечным колебаниям направляющей конструкции под действием неизвестной движущейся силы давления груза на конструкцию Рд. Значения давления и динамической реакции

равны, как силы действия и противодействия.

Приравниваем перемещение массы в направлении нормали к направляющей поверхности и поперечное перемещение направляющей конструкции под силой и тем самым определяем условие пересечения траектории движущейся массы и деформированной поверхности направляющей конструкции. В случае, когда это пересечение осуществимо, т.е. масса находится на направляющей поверхности, из условия равенства перемещений получаем положительное значение силы Рд. Так как связь односторонняя

(неудерживающая), при Рд < 0, полученном из условия совместности перемещений, масса отрывается от направляющей поверхности и совершает независимое от нее движение, т.е. следует положить в дальнейших расчетах Рд~ 0. Последующее соударение наступает при изменении знака Рд.

Оболочка при поперечном ударе твердым телом. Исследуется динамика прямоугольных оболочек в случае соударения с твердым телом. Оболочка ориентирована в пространстве так, что ось 2 направлена к центру тяжести земли. Полагаем, что в процессе взаимодействия с оболочкой тело перемещается по прямой, параллельной оси г, координаты точки первого

соударения остаются постоянными, а изменяется лишь координата 20, для нахождения которой используем уравнение движения твердого тела <1г2 Р рагЬг

Л2 М (2 Й)3Я

т.е. тело в момент соударения может иметь вертикальную составляющую скорости Уд, а - некоторая безразмерная величина.

Рассмотрим такой процесс взаимодействия тела с оболочкой, когда контакт между ними может сохраняться в течение какого-то отрезка времени, следовательно

¿о = Ч*о>Уо) + н(хо,Уо)

либо нарушаться

20 < Нх0,Уо) + н(хо>Уо), (32)

где Н(х0 ,у0) - высота подъема оболочки над планом в выбранной точке.

Условия (31), (32), выражающие наличие односторонней связи г0 < + Н(хй,Уо), в процессе взаимодействия рассматриваемых

объектов могут многократно чередоваться. При этом для выбранной системы координат реакция взаимодействия Р> 0.

Принимая начальные условия для оболочки

^ = 0, и/,' = 0, при г = 0, (33)

задачу по времени решаем методом Рунге-Кутга. Начальные условия для груза запишем в виде

Л

Уравнение груза решаем точно

2(0 = 2(Г0) + («- + §ОоХ' "'о) ;

М 2 Л (35)

, ч аЬ . . . Р.

Неизвестную реакцию Р на каждом шаге интегрирования определяем, решая уравнение связи (31), применив для этого метод Ньютона. Найденная величина Р не может быть меньше нуля. Если найденное значение Р < 0, то полагаем Р = 0, что означает выполнение неравенства (32).

При определенном таким способом значении реакции Р находим все необходимые для расчета величины. Все рассчитанные на данном шаге интегрирования величины принимаются за начальные для следующего шага и т.д.

^и=Щх0,у0)-, (34)

На рис.23 для значений параметра массы груза М = 2;5;8;10 (кривые 1,2,3,4) показано изменение во времени прогиба в центре оболочки для случая, когда груз имеет начальную вертикальную компоненту скорости уя = 80. В этих случаях для всех параметров массы тела наблюдается , г г _ Рис.23. Изменение во времени прогиба отрыв груза от оболочки „ , . „ в центре однородной оболочки (пунктирная линия) в самый начальный момент контакта и в момент времени, когда оболочка хлопком переходит к новому состоянию. В зонах отрыва груза от оболочки реакция принимается равной нулю.

Оболочка при подвижной нагрузке, движущейся с постоянной скоростью. Так как в этом случае груз при своем движении перемещается по плану оболочки, то удобно в уравнениях движения оболочки и груза перейти от временной координаты t к координате перемещения груза вдоль одной стороны плана х оболочки r] = vxt. Здесь vx -горизонтальная составляющая скорости груза.

На рис.24 приведена зависимость прогиба под грузом квадратной пластинки при движении по ней массы М = 5, а - 150 с постоянной горизонтальной скоростью vx = 0,1;0,5;1;2;5;8 (кривые 1-6 соответственно).

2.5

W м ы hf |--\

1 / У-Щ

z j

12

м

-----

0 0.2 0.4 0.6 0.8 г, 04 08 12 16

Рис. 24. Динамические прогибы в рис 25. Области неустойчивого и пластинке при подвижной нагрузке устойчивого контактов массы и пластинки

Установлено, что при малых скоростях движения (кривые 1,2) взаимодействующая система совершает колебательное движение, частота которого сильно зависит от скорости груза. С увеличением скорости груза колебательный процесс системы пропадает (кривая 3) а его огибающая принимает такой характер, что наибольший прогиб у пластинки возникает тогда, когда груз проходит середину пластинки. С дальнейшим увеличением скорости движения груза наибольший прогиб пластинки смещается к правому краю, при этом значительно снижаясь (кривые 4,5,6). В результате

взаимодействия груза и пластинки может наблюдаться отрыв груза. Отрыв тяжелого груза наступает при меньших скоростях, чем отрыв более легкого. Области устойчивого и неустойчивого контактов массы и пластинки в плоскости параметров М - ух приведены на рис.25. Область безотрывного движения находится слева.

Для пластинки (М = 5, а = 150, ух =5) на рис.26 приведены зависимости прогиба под фузом, реакции взаимодействия объектов пластинка-груз, напряжений сгх,сгу и моментов Мх,Мув пластинке.

0.4

0.2

X

0 0.2 0.4 0.6 0.8 Т]

-20 -40 -60

N

0 0 2 0.4 06 0.8 Г] 0 0.2 0 4 06 0.8 Т] 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Г)

Рис. 26. Динамический прогиб , реакция, напряжения и моменты пластинки при подвижной нагрузке

Расчеты показывают, что наибольший прогиб пластинки или панели при взаимодействии с грузом, движущимся с постоянной горизонтальной скоростью, может оказаться не в точке, где в данный момент находится груз. При низких скоростях движения груза по пластинке наибольший прогиб возникает сначала либо перед грузом, либо под грузом и после прохождения середины пластинки перемещается в зону позади груза. С увеличением скорости движения груза наибольший прогиб практически сразу возникает в зоне позади груза.

Проведенные расчеты позволяют сделать следующие выводы:

1) несмотря на некоторую общность полученных результатов пластинка и оболочка в таких процессах прежде всего должны рассматриваться как более мягкая и более жесткая динамические системы;

2) только на начальных стадиях движения груза в исследуемых функциях наблюдается качественное совпадение;

3) так как груз движется по осевой линии направляющей поверхности, все функции обладают свойством симметрии;

4) для всех исследуемых функций форма поверхности у оболочки имеет более сложный вид;

5) для данного набора параметров у пластинки раньше происходит смещение наибольшего значения исследуемой функции из области динамического давления на направляющую поверхность, чем у оболочки, так как основной параметр, который определяет это явление при равенстве массы груза - его скорость;

и

6) как у пластинки, так и у оболочки все функции приобретают наиболее сложный вид после прохождения грузом центра направляющей поверхности ближе к зоне схода.

Оболочка при подвижной нагрузке, движущейся равноускоренно. При движении груза с постоянным ускорением (положительным или отрицательным), удобно в уравнениях движения оболочки и груза перейти от временной координаты С к 7-координате перемещения груза вдоль одной

стороны плана х оболочки, где ц = + координата, характеризующая положение массы в пролете оболочки по координате х, ух —проекция скорости массы на ось х при 1 = 0, со - ускорение движения массы.

На рис.27 показано развитие прогиба под грузом пластинки при а = 150; М = 5; скорости входа на направляющую конструкцию = 1; Лх = Лу = 0,1 и со = 0;1;5;10;15;20;25 (кривые 1-7 соответственно; 1-со-ответствует движению груза с постоянной скоростью). На рис.28 - то же для оболочки с параметрами кх = ку = 24; Л = 1 при а = 300.

При малых значениях положительного ускорения прогиб под грузом как пластинки, так и оболочки практически не отличается от случая движения груза с постоянной скоростью(кривые 1,2). С ростом значения ускорения возрастает и действующее значение скорости груза, что приводит к снижению значений прогиба как пластинки, так и оболочки(кривые 2-7).

2 3 4

1 /V И

= с

У> 1

-

7 \ \Л

р*^ кх=ку = 24 ^

0 0.2 0.4 06 0.8 77 о 0.2 0.4 0.6 0.8 Т]

Рис.27. Прогиб под грузом пластинки Рис.28. Прогиб под грузом оболочки при равноускоренном движении груза при равноускоренном движении груза При малых значениях положительного ускорения прогиб под грузом как пластинки,так и оболочки практически не отличается от случая движения груза с постоянной скоростью(кривые 1,2). С ростом значения ускорения возрастает и действующее значение скорости груза, что приводит к снижению значений прогиба как пластинки, так и оболочки(кривые 2-7).

Можно указать некоторое значение ускорения, при котором скорость груза становится такой, что оболочка не прохлопывает(1фивые 5-7).

Оболочка при подвижной нагрузке, движущейся равнозамедленно. При равнозамедленном движении груза его ускорение со имеет отрицательный знак, что приводит к уменьшению значения действующей скорости груза и в какой-то момент времени она становится равной нулю, т.е. груз останавливается. Остановка груза может произойти в любой точке направляющей поверхности или за ее пределами; тогда скорость схода груза с направляющей поверхности окажется ненулевой. Исследуем поведение направляющей конструкции, по которой движется груз равнозамедленно и остановка груза предполагается в заранее намеченной точке.

На рис.29 показано развитие прогиба под грузом квадратной пластинки, когда груз (а = 150; М = 5; Дх = Ду = 0,1) входит на пластинку с такой скоростью и продолжает по ней движение с таким ускорением, что остановка груза произойдет в такой момент времени, когда координата груза окажется ц = 0,5;0,75;1;1,5. Заметим, что при 77 = 1,5 груз сходит с конструкции с ненулевой скоростью. В случае остановки груза в середине направляющей конструкции ее прогиб под грузом монотонно возрастает вплоть до остановки груза.

Рис. 29. Развитие прогиба под грузом пластинки при равнозамедленном движении груза, остановка груза: а-»/=0,5; б- 7=0,75, в- ц=1; г- 7=1,5

При остановке груза после прохода середины направляющей конструкции для пластинки существенную роль играет значение скорости входа на нее: при малых скоростях груза прогибы могут быть значительные, а по мере ее увеличения прогибы резко снижаются.

Основные результаты и выводы

1. Анализ современного состояния вопроса о решении задач теории пластин и оболочек и исследовании сходимости методом Бубнова-Галеркина показал, что он является одним из наиболее эффективных и широко используемых численных методов решения как статических, так и динамических задач теории пластин и оболочек. Современная вычислительная техника и накопленные математические знания о нем позволяют использовать его для решения сложных задач теории неоднородных пологих оболочек при конечных прогибах.

2. Для учета неоднородности оболочки при решении задачи методом Бубнова-Галеркина в высших приближениях можно использовать аппарат обобщенных функций.

3. Разработана методика решения задач на устойчивость гибких неоднородных оболочек в статической и динамической постановке, которая с единых методологических позиций позволяет рассматривать оболочки как со ступенчато изменяющейся толщиной, так и с включениями из другого материала. Показано, что наличие участка неоднородности и его расположение у оболочки может существенно изменить форму, по которой оболочка теряет устойчивость(имеется в виду возникновение несимметричных форм).

4. Разработана методика расчета частот собственных колебаний неоднородных пластин и оболочек.

5. Предложен метод, использующий преобразование Фурье, и разработана методика построения амплитудно-частотных характеристик свободных нелинейных колебаний пластин и оболочек.

6. В статической и динамической постановках исследована устойчивость замкнутых цилиндрических оболочек, находящихся под воздействием нагрузки ветрового типа.

7. Методика учета неоднородности по плану оболочки легко адаптируется на случай неоднородности по толщине, что позволяет производить расчеты для слоистой оболочки.

8. Решены различные задачи взаимодействия груза с направляющей поверхностью(пластинка или оболочка): оболочка при поперечном ударе твердым телом с учетом и без учета отрыва груза от направляющей поверхности; оболочка при подвижной нагрузке, когда груз движется вдоль координатной оси с постоянной и переменной скоростью (равноускоренно и равнозамедленно). Прохлопывание оболочки может наблюдаться или не наблюдаться: оно определяется сложным взаимодействием параметров оболочки и движущегося груза; определяющими параметрами для груза могут быть: масса груза, горизонтальная и вертикальная составляющие скорости груза, ускорение груза и его знак. Построенный алгоритм расчета позволяет учитывать тот факт, что точка входа груза на направляющую поверхность может быть любой, а скорость груза имеет как горизонтальную, так и вертикальную составляющие.

Основное содержание диссертации опубликовано в работах: 1.Крысько В.А., Куцемако А.Н. Исследование нелинейных колебаний прямоугольных пластинок с учетом инерции вращения на базе некоторых кинематических моделей// Диф. уравнения и вычислительная мате-матика:Сб.ст.-Саратов:Изд-во Сарат. гос.ун-та, 1974. 4.С. 129-144.

2. Крысько В.А., Куцемако А.Н., Коперник Г.Р. Собственные, вынужденные и параметрические нелинейные колебания пологих оболочек прямоугольных в плане с учетом поперечных сдвигов и инерции вращения,-Киев:Наук.думка, 1974.-С.108.

3. Крысько В.А., Куцемако А.Н., Кулакова М.Г. Динамическая устойчивость гибких оболочек в сверхзвуковом потоке газа и при различных импульсных воздействиях//Исследования по нелинейным задачам теории пластин и оболочек.-Саратов:Изд-во Сарат.гос. ун-та, 1974.-С.204-218.

4. Крысько В.А., Куцемако А.Н. О сходимости метода Канторовича-Власова при исследовании нелинейных колебаний прямоугольных пластин и оболочек//Исследования по теории пластин и оболочек. Меж-вуз.научн.сб.-Казань, 1975. Вып.11.-С.279-288.

5. Крысько В.А., Куцемако А.Н. Нелинейные колебания прямоугольных оболочек на базе обобщенной модели С.П. Тимошенко//Исследования по теории пластин и оболочек.-Казань, 1975. Вып.11.-С.360-363.

6. Крысько В.А., Куцемако А.Н. Динамическая и статическая потеря устойчивости гибких оболочек из композитного материала//Механ. полимеров. Рига,1975.№6.-С. 1108-1111.

7. Крысько В.А., Куцемако А.Н. Динамическая потеря устойчивости оболочек из композитного материала с низкой сдвиговой жесткостью при конечных прогибах//Тезисы докл. конф. УССР. Повышение качества изделий, изготовляемых из полимерных материалов.-Киев,1977.-С.18.

8. Коломоец A.A., Куцемако А.Н. Потеря устойчивости замкнутой цилиндрической оболочки при действии динамической полосовой нагрузки //Теоретические и экспериментальные методы анализа надежности конструкций ЭВП. Тез.докл.научн.конф.-Саратов: НИИ Волна,1980.-С.12.

9. Коломоец A.A., Куцемако А.Н. Устойчивость замкнутой цилиндрической оболочки при действии полосовых нагрузок/ЛГеоретические и экспериментальные методы анализа надежности конструкций ЭВП. Тез.докл.научн.конф.-Саратов: НИИ Волна,1980.-С.12.

Ю.Коломоец A.A., Куцемако А.Н. Потеря устойчивости цилиндрических оболочек при действии локальных нагрузок//Молодые ученые и специалисты - производству области. Школа молодых ученых.-Саратов, 1980,-С.36-38.

11.Крысько В.А., Коломоец A.A., Куцемако А.Н. Нелинейное деформирование замкнутой цилиндрической оболочки кругового сечения при действии неравномерного внешнего давления /Сарат. политехн.шьт.-Саратов, 1983.-8С. Деп. ВИНИТИ №2159-83.

12.Крысько В.А. Коломоец A.A. Куцемако А.Н.Нелинейное деформирование и устойчивость замкнутой цилиндрической оболочки при произ-

вольном внешнем давлении/Сарат. политехи.ин-т. -Саратов, 1985.-12с. Деп. ВИНИТИ.№1711-85.

13.Коломоец A.A., Куцемако А.Н, Кривоногов Н.П. Потеря устойчивости замкнутой цилиндрической оболочки при неравномерном нагружении /Сарат. политехи.ин-т. -Саратов, 1985.-11с. Деп. ВИНИТИ.№1711-85.

14.Коломоец A.A., Куцемако А.Н. Динамическая потеря устойчивости цилиндрической оболочки при действии неравномерного внешнего давле-ния//Труды Всесоюзной конф. по численным методам решения задач ТУ и пластичности.-Саратов, 1986.-С. 166-169.

15.Коломоец A.A., Куцемако А.Н. Динамическая потеря устойчивости цилиндрической оболочки при действии неравномерного внешнего давле-ния//Численные методы решения задач ТУ и пластичности. Меж-вуз.научн.сб. -Новосибирск, 1986.-С.166-170.

16.Крысько В.А., Козырев А.П., Куцемако А.Н. Динамическая устойчивость многосвязных прямоугольных в плане гибких физически нелинейных оболочек/Сарат. политехи.ин-т. -Саратов, 1987.-91с. Деп. ВИНИТИ. №6336-В87.

17.Коломоец A.A., Куцемако А.Н. Нелинейные колебания и динамическая потеря устойчивости цилиндрической оболочки при действии произвольного внешнего давления/Лемпературные задачи и устойчивость пластин и оболочек.Материалы Всесоюзн.конф.-Саратов,1988.-С72-76.

18.Куцемако А.Н., Куцемако H.H. Движение груза по гибкой оболочке из нелинейно-упругого материала//Нелинейные задачи расчета тонкостенных конструкций. Материалы Всесоюзн.конф.-Саратов, 1989.-С.92-95.

19.Коломоец A.A., Куцемако А.Н. Нелинейные свободные колебания замкнутой цилиндрической оболочки//Прочностъ конструкций в экстремальных условиях. Межвуз.научн.сб.-Саратов, 1992.-С.115-119.

20.Коломоец A.A., Куцемако А.Н. Динамическая и статическая устойчивость гибкой цилиндрической оболочки при неравномерном внешнем давлении/ЛТроблемы машиностроения и автоматизации.-1993.№ 1 -2.-С.49-53.

21.Коломоец A.A., Куцемако А.Н. Динамическая и статическая устойчивость несовершенной гибкой цилиндрической оболочки при неравномерном внешнем давлении//Современные проблемы механики и математической физики.Тезисы докл. Всесоюзной конф.-Воронеж: ВГУ, 1994,-С.55.

22.Крысько В.А., Куцемако А.Н. Колебания прямоугольных оболочек и пластин с отверстиями /Сарат. гос.техн.ун-т.-Саратов: 1994.-48с. Деп. ВИНИТИ.№3073-В94.

23.Крысько В.А, Куцемако А.Н. Динамическая потеря устойчивости гибких нелинейно-упругих оболочек при знакопеременных нагрузках /Сарат. гос.техн.ун-т.-Саратов. 1995.-14с. Деп. ВИНИТИ.№667-В95.

24.A\vreycewicz J., Krysko V.A., Kutsemako A.N. Free vibrations of doubly curved in-plane non-homogeneous sheils//Journal of Sound and Vibration.-1999.225(4)-P.701-722.

25.Крысько В.А, Куцемако А.Н. Устойчивость,и колебания неоднородных

. оболочек.-Саратов: Сарат. гос.техн. ун-т, 1999--202с.

26.Куцемако А.Н. Устойчивость гибкой прямоугольной оболочки с переменной жесткостью//Труды VI межвузовской конф. по математ. моделированию и краевым задачам.-Самара: Самарский гос.техн. ун-т, 1996.Ч.1.-С.129-130.

27 .Куцемако А.Н. Устойчивость замкнутой цилиндрической оболочки при неосесимметричном внешнем давлении/Яруды XVIII Международной конференции по теории оболочек и пластин.-Саратов: Сарат.гос.техн. ун-т, 1997. Т. 1.-С. 139-144.

28.Куцемако А.Н. Динамическая устойчивость прямоугольной неоднородной оболочкиУ/Материалы II Белорусского конгресса по теоретической и прикладной механике "Механика-99".-Минск, 1999.-С.334.

КУЦЕМАКО Анатолий Николаевич

УСТОЙЧИВОСТЬ И КОЛЕБАНИЯ НЕОДНОРОДНЫХ ОБОЛОЧЕК

Автореферат Ответственный за выпуск С. А. Комаров Корректор Л.А. Скворцова

Лицензия ЛР № 020271 от 15.11.96

Подписано в печать 22.03.00 Формат 60x84 1/16

Бум.тип. Усл.-печл. 2,09 Уч.-изд.л. 2,0

Тираж 100 экз. Заказ 131 Бесплатно

Саратовский государственный технический университет 410054 г. Саратов, ул. Политехническая, 77 Копипринтер СГТУ, 410054 г. Саратов, ул. Политехническая; 77

Предисловие.

Введение.

Структура работы и ее краткое содержание.

Положения, которые выносятся на защиту.

Перечень основных обозначений.

Г л а в а 1. К теории неоднородных оболочек

1.1. Предварительные замечания.

1.2. Основные соотношения и допущения.

1.3. Неоднородность оболочки.

1.4. Вариационное уравнение.

1.5. Уравнения движения.

1.6. Граничные и начальные условия.

1.7. Приведение уравнений к безразмерному виду.

1.8. Переменные параметры жесткости.

1.9. Коэффициент изгибной жесткости участка.

1.10. Обобщенные функции.

1.11. Заключительные замечания и выводы по главе 1.

Г л а в а 1. Статическая потеря устойчивости прямоугольной оболочки

2.1. Основные понятия теории упругой устойчивости.

2.2. Методы типа Бубнова-Галеркина исследования устойчивости оболочек.

2.3. Метод и алгоритм, основанный на процедуре

Бубнова - Галеркина в высших приближениях.

2.4. Включения из другого материала.

2.5. Расчет оболочек на статическую устойчивость.

2.6. Центральный квадратный участок неоднородности.

2.7. Центральный крестообразный участок неоднородности.

2.8. Неоднородность типа "перфорация".

2.9. Заключительные замечания и выводы по главе 2.

Г л а в а 3. Колебания прямоугольной оболочки

3.1. Линейные и малые нелинейные колебания механических систем.

3.2. Собственные колебания неоднородных оболочек.

3.3. Свободные нелинейные колебания пластин и оболочек.

3.4. Спектральный анализ решения.

3.5. Сходимость метода.

3.6. Спектральный анализ свободных колебаний.

3.7. Заключительные замечания и выводы по главе 3.

Г л а в а 4. Динамическая потеря устойчивости прямоугольной оболочки

4.1. Характер динамического выпучивания.

4.2. Идеальные конструкции.

4.3. Концепция устойчивости системы на конечном интервале времени.

4.4. Математические модели колебательных систем и динамические системы.

4.5. Синхронизация, десинхронизация и многопериодическая стохастичность.

4.6. Статические бифуркации и теория катастроф.

4.7. Складка или предельная точка.

4.8. Сборка или симметричная бифуркация.

4.9. Динамические бифуркации.

4.10. Критерии для практических расчетов.

4.11. Потеря устойчивости однородных оболочек при действии поперечной нагрузки.

4.12. Потеря устойчивости неоднородных оболочек при действии поперечной нагрузки.

4.13. Заключительные замечания и выводы по главе 4.

Г л а в а 5. Устойчивость замкнутой цилиндрической оболочки при неосесимметричном внешнем давлении

5.1. Разрешающие уравнения.

5.2. Безразмерные параметры.

5.3. Нагрузка ветрового типа.

5.4. Статическая задача.

5.5. Динамическая задача.

5.6. Заключительные замечания и выводы по главе 5.

Г л а в а 6. Слоистые оболочки

6.1. Разрешающие уравнения.

6.2. Статическая устойчивость слоистых оболочек.

6.3. Динамическая устойчивость слоистых оболочек.

6.4. Заключительные замечания и выводы по главе 6. л а в а 7. Взаимодействие оболочки и движущегося груза

Введение.

7.1. Колебания направляющей конструкции при односторонней связи, наложенной на движущуюся массу.

7.2. Уравнение движения груза.

7.3. Приведение уравнения груза к безразмерному виду.

7.4. Высота подъема оболочки над планом.

7.5. Колебания оболочки при наличии двусторонней связи, наложенной на движущуюся массу.

7.6. Оболочка при поперечном ударе твердым телом.

7.7. Оболочка при подвижной нагрузке, движущейся постоянной скоростью.

7.8. Оболочка при подвижной нагрузке, движущейся равноускоренно.

7.9. Оболочка при подвижной нагрузке, движущейся равнозамедленно.

7.10. Заключительные замечания и выводы по главе 7.

Окончательные выводы по работе.

Под неоднородностью из всего множества идей, вкладываемых в это понятие, мы будем понимать неоднородность, связанную с переменностью двух физических величин Е(х,у,г) и р(х,у,£).

Метод Ритца (МР) и метод Бубнова-Галеркина (МБГ) относятся к классу проекционных методов, при этом отличительной особенностью функционала, отвечающего МР, является достижение им экстремума в стационарных точках. Суть указанных методов заключается в аппроксимации исходного пространства состояний исследуемой системы некоторым его подпространством и разыскании стационарной точки рассматриваемого функционала в данном подпространстве. Этому обычно соответствует переход от исходной системы уравнений в частных производных к системе алгебраических уравнений (в случае статической задачи) или к системе обыкновенных дифференциальных уравнений (в случае динамической задачи).

Отметим, что МБГ, как проекционный метод, может быть формально применен к решению дифференциальных уравнений, не являющихся уравнениями Эйлера для какого-либо функционала (или соответствующий функционал может быть неизвестен). В этом случае данный метод состоит в проектировании исходных уравнений на некоторое подпространство этого функционального пространства, в котором находится такое решение задачи, и приближенное решение разыскивается исходя из полученных соотношений как элемент данного подпространства.

Начало изучению МР и МБР было положено в работах Кйга[201] и И.Г. Бубнова[11]. Развитие и применение метода МР и МБГ в задачах механики осуществлено в работах Б.Г. Галеркина[30], Л.С. Лейбензона [113,114], П.Ф. Папковича[143], К.З. Галимова[31] и других авторов. Всестороннее математическое обоснование МР для линейных самосопряженных задач дано в ряде фундаментальных работ Н.М. Крылова [79, 81,82,84]. В сообщении Н.М. Крылова[80] МР применен к уравнению Т. Кармана и указан способ оценки погрешности этого метода в равномерной норме. В работе М.В. Келдыша[55] дано доказательство сходимости МБГ в линейных задачах для обыкновенных дифференциальных уравнений четного порядка и для уравнений в частных производных эллиптического типа с младшими членами.

С.Г. Михлин[127] распространил результаты М.В. Келдыша на общий случай линейного операторного уравнения с несамосопряженным оператором, обобщающего широкий класс краевых задач для уравнений эллиптического типа. В работе М.А. Красносельского[76] установлены общие теоремы о сходимости МБР для нелинейных операторных уравнений и приведена оценка погрешности данного метода через погрешность наилучшего приближения искомого элемента линейными комбинациями координатных элементов.

В работах А.Д. Ляшко[119-121], А.Е. Мартынюка[123,124], для линейных уравнений с несамосопряженным оператором предложена конструкция квадратичного функционала, аналогичного функционалу метода Ритца для самосопряженных задач, и обоснована сходимость соответствующего вариационного метода. В работах А.Д. Ляшко[118] и М.Х.

Nashed[200] эти результаты распространены на случай нелинейного уравнения с не потенциальным оператором.

В отличие от МР, МБГ может быть эффективно использован при решении не только стационарных (краевых задач для уравнений эллиптического типа), но и эволюционных задач (начально-краевых задач для уравнений параболического и гиперболического типа). Распространено мнение, что впервые к исследованию нестационарных задач МБГ применил в 1949г. S. Faedo[182], в связи с чем в зарубежной математической литературе получил распространение термин "метод Фаедо-Галеркина". Однако, еще в 1931г. в работе Н.М. Крылова и Н.М. Боголюбова[83] МБГ был использован при исследовании задачи Коши-Дирихле для гиперболического уравнения второго порядка, причем схема использования данного метода в указанной работе весьма близка к современной.

Таким образом, представление о приоритете S. Faedo в области применения МБГ к эволюционным задачам не соответствует действительности, поэтому мы считаем, что работа[182] является одной из первых по данной теме, но не основополагающей.

Из ранних работ в этом направлении укажем публикации J.W. Gre-епа[193] и Е. Hopfa[194], в которых МБГ использован соответственно для линейных параболических уравнений и для нелинейных уравнений Навье-Стокса.

Уровень развития и использования МР и МБГ в нелинейных задачах теории пластин и оболочек на 1956г. достаточно отражен в монографии A.C. Вольмира[18] и Х.М. Муштари, К.З. Галимова[134] , где указанные методы применяются в первом и втором приближениях.

Последующее развитие вычислительной техники способствовало применению МР и МБР в высших приближениях. Отметим некоторые работы в этом направлении: в монографии М.С. Корнишина [71] приводятся результаты по исследованию больших прогибов прямоугольных в плане оболочек в третьем приближении; Б.Я. Кантор[53] использовал МР для решения задач теории осесимметричных пологих оболочек с учетом геометрической и физической нелинейностей (отмечается практическая достаточность, в основном, четвертого либо пятого приближения); в обзоре ИМ. Воровича и М.И. Минаковой[28] приводится литература по исследованию МБГ в высших приближениях; в работах В. А. Амельченко и В А. Крысько[2], В.А. Крысько[85], A.JI. Поташа[146] в представлении решения удерживается до 36 варьируемых параметров.

Результаты применения МР и МБР в задачах устойчивости теории оболочек представлены в монографии Э.И. Григолюка и В.В. Кабанова[35], где при описании форм потери устойчивости с большой неоднородностью указывается на необходимость удерживать большое число членов ряда либо, используя априорную информацию, производить выборку определенного числа базисных функций.

Подробно изложение МБГ для динамических геометрически нелинейных задач теории пластин и оболочек дано в монографиях A.C. Воль-мира[19] (там же приводится библиография, отражающая историю вопроса на 1972г.) и [17], где исследуется динамическая устойчивость конструкций, находящихся во взаимодействии с жидкостью и газом.

Большой класс задач пологих оболочек с учетом геометрической и физической нелинейностей , а также задачи циклического нагружения (в частности, исследование влияния типа поперечных импульсных нагрузок на устойчивость оболочек, влияния демпфирования на величину динамических критических нагрузок и т.д.) решен с помощью МБГ в высших приближениях в монографии В.А. Крысько[85], где отмечается целесообразность использования МБГ в сравнении с конечно-разностным методом по затратам машинного времени.

Эта монография подитожила в этой области результаты научной школы в области нелинейной теории пластин и оболочек, созданной В.В. Петровым. В другое направление исследования сформировалась идея построения математических моделей деформирования и разрушения различных материалов и конструкций, взаимодействующих с агрессивными эксплуатационными средами. Серьезные исследования по применению математических моделей коррозионного износа и их численной реализации посвящены исследования И.Г. Овчинникова. Им совместно с его научным руководителем опубликован ряд монографий и статей[139Д40,144].

Монография[140] посвящена вопросам расчета и разработки принципов и методов оптимального проектирования конструкций, подверженных коррозионному разрушению, в ней намечены некоторые пути снижения материалоемкости конструкций, предназначенных для эксплуатации в агрессивных средах. Рассмотрена применимость многокритериального подхода при оптимизации тонкостенных элементов конструкций с учетом коррозионного износа. В этом же направлении исследований отметим работы Сеницкого и его учеников[151-155].

Применению МБГ для расчета динамических задач теории оболочек как в рамках модели Кирхгофа-Лява, так и в рамках модели типа Тимошенко посвящена кандидатская диссертация А.Н. Куцемако[102]. Расчет динамической потери устойчивости замкнутой цилиндрической оболочки кругового сечения при полосовой нагрузке на основе МБГ проведен в работе A.A. Коломойца и А.Н. Куцемако[61].

В статье В.Ф. Кириченко, В.А. Крысько и H.A. Хаметовой[57] МБГ применен к исследованию на динамическую устойчивость пологой оболочки, жестко защемленной по контуру как с учетом, так и без учета связанно-стей полей температуры и деформаций.

Различные вопросы численной реализации МБГ для задач теории оболочек представлены в работах И.В. Свирского[150], JI.B. Кротко-вой[78], Ц.Д. Бацинова[7], Н.З. Якушева[175], A.M. Черняка[170], М. Muk-hopadhyay[199], A. Pielorz'a, W. Nadolski и J.B. Haddow[198], L.-W. Chen'a и J.-R. Hwand'a[178], R. Gelos'a, H. Domingues'a и P. Laura[192] и других авторов.

Метод Бубнова-Галеркина, возникший первоначально как численный метод, в настоящее время является мощным средством исследования проблем разрешимости широкого класса задач математической физики, как стационарных, так и эволюционных а также линейных и нелинейных.

Возникновение математически строгих схем доказательства существования решения с использованием МБГ, базирующихся на фундаментальных теоремах функционального анализа, стало возможным в результате открытия C.JI. Соболевым[158] обобщенных производных измеримых функций класса Лебега и формирования, на этой основе, концепции обобщенного решения задач математической физики.

Исследованию сходимости MP и МБГ в линейных задачах, в том числе теории пластин и оболочек, и доказательству разрешимости указанных задач в пространствах Соболева посвящены работы С.Г. Михли-на[125,129,130] и O.A. Ладыженской[110], где имеется историческая справка по данному вопросу.

Принципиальные результаты по математическому обоснованию различных приближенных методов, в том числе МБГ, содержатся в монографиях М.А. Красносельского, Г.М. Вайникко, П.П. Забрейко, Я.Б. Рутицко-го и В.Я. Стеценко[77], Ж.-Л. Лионса и Э. Мадженеса[116]. Широкий обзор приемов исследования сходимости МБГ в нелинейных задачах дан в монографии Ж.-Л. Лионса[115], где приводится библиография работ зарубежных авторов.

Что же касается исследования разрешимости нелинейных задач теории пластин и оболочек, то здесь в первую очередь следует отметить выдающиеся работы И.И. Воровича[23-26], методика которых лежит в основе подавляющего числа работ по данной тематике. Фундаментальные результаты в этом же направлении были получены Н.Ф. Морозовым в работах[131,132] о разрешимости нелинейных задач теории тонких пластин. Заметим, что в работе [133], а также в работе[131] о колебаниях призматического стержня, Р.Ф. Морозову удалось, используя специфику задачи и теоремы вложения Соболева, установить не только существование, но и единственность решения.

Исследованию вопроса о разрешимости различных задач механики тонкостенных конструкций с использованием МБГ посвящены работы И.И. Воровича и Л.П. Лебедева[26], Л.П. Лебедева[112], И.В. Скрып-ника[157] и других авторов. Исчерпывающее обоснование МБГ и МР в статических задачах нелинейной теории пологих оболочек содержится в монографии И.И. Воровича[21].

Вопросы существования и единственности решения линейных и нелинейных связанных задач термоупругости пластин и оболочек в рамках кинематических моделей Кирхгофа-Лява и типа Тимошенко с трехмерным параболическим уравнением теплопроводности широко исследованы в работе В.Ф. Кириченко и В.А. Крысько[56]. Разрешимость задач установлена в пространствах Соболева на основе МБГ.

В статье Н.~и. \Уепк'а[206] рассмотрена нелинейная связанная задача термоупругости для пластин в предположении о линейном законе распределения температуры по толщине пластины. В качестве граничных условий приняты субдифференциальные включения, приводящие к обобщенной постановке задачи в виде вариационных неравенств. Для поставленной задачи с использованием МБГ установлены теоремы о существовании, единственности, регулярности и непрерывной зависимости решения от данных.

А. Chrzeszczyk'om [179] получены результаты о единственности и гладкости решения задачи, разрешимость которой установлена ранее в упомянутой выше работе[56].

В обширном цикле работ Т. Kowalski, А. Piskorek'a[197], J. Gaw-inecki[185-190], Т. Kowalski, К. Litevsk'oy и А. Piskorek'a[196], J. Gawinecki, Т. Kowalski, и К. Litevsk'oy[191] с применением МБГ установлены теоремы о существовании, единственности и регулярности решений ряда линейных пространственных задач теории температурных напряжений и связанной термоупругости как для изотропных, так и для анизотропных тел, с уравнением теплопроводности параболического и гиперболического типа.

В большинстве перечисленных работ сходимость МБГ и МР возникает как побочный продукт конструктивного доказательства существования решения рассматриваемой задачи, при этом стандартным результатом (при произвольном выборе базиса) является, как правило, сходимость в энергетической норме для статических задач и слабая сходимость в соответствующих "энергетических" пространствах для задач динамики. При рациональном выборе базисной системы указанные результаты о сходимости могут быть усилены и, кроме этого, могут быть установлены эффективные оценки скорости этой сходимости.

Основополагающей в этом направлении считается работа С.Г. Мих-лина[128], в которой введено понятие сходных операторов и установлен результат о сходимости невязки МР к нулю, если в качестве базиса используется система собственных элементов некоторого вспомогательного оператора, сходного с оператором рассматриваемого уравнения. В работе [130] указанный результат уточнен, при этом исходный и вспомогательный операторы подчинены дополнительному условию в форме неравенства острого угла.

Принципиальные результаты о сходных операторах, удовлетворяющих неравенству острого угла, получены в работах П.Е. Собо-левского[160] и O.A. Ладыженской[110]. На основании этих результатов С.Г. Михлин[130] для ряда случаев конкретно указал специальные базисы, обеспечивающие сходимость невязки МР к нулю.

К.О. Богарян[8] распространил результаты С.Г. Михлина о сходимости невязки на случай МБГ. В публикации A.B. Джишкариани[41] для линейных задач получены априорные оценки погрешности МР в энергетической норме, в записи которых существенно используются собственные значения вспомогательного оператора, сходного с оператором исходной задачи.

В идейно близких работах Г.М. Вайникко[14] и A.B. Джишка-риани[42] аналогичные результаты установлены для МБГ. В работе Г.М. Вайникко[15] получены оценки погрешности МБГ для стационарных задач в ситуации, когда спектр вспомогательного оператора не является чисто точечным. В статье A.B. Джишкариани[43] оценки погрешности МР распространены на случай квазилинейного уравнения, содержащего в качестве нелинейного оператора типа младших членов непрерывный потенциальный оператор, имеющий положительный дифференциал Фреше.

В работе А.Г. Зарубина[47] установлены весьма общие оценки скорости сходимости метода Галеркина-Петрова для линейных и квазилинейных стационарных задач, из которых, в частности, вытекают оценки погрешности МБГ при выборе в качестве базиса системы собственных элементов самосопряженного оператора, сходного и образующего острый угол с оператором главной части исходной задачи. Широкий обзор работ по теории погрешностей численных методов, в том числе МБГ для стационарных задач, содержится в монографии С.Г. Михлина[126].

Из работ по исследованию сходимости МБГ для эволюционных задач прежде всего отметим публикацию П.Е. Соболевского[159], где для квазилинейного параболического уравнения при произвольном выборе базиса установлены теоремы о сильной сходимости приближенных решений к точному и невязок к нулю. А.Г. Зарубин и М.Ф. Тиунчик[51] применили МБГ к параболическому уравнению с нелинейным оператором типа младших членов, удовлетворяющих введенному в этой работе условию дисси-пативности. В качестве базиса использовалась система собственных элементов вспомогательного оператора, удовлетворяющего неравенству острого угла. Установлены результаты о сходимости невязок МБГ к нулю и о сильной сходимости последовательности приближенных решений к точному.

В серии работ А.Г. Зарубина[48-50] в терминах собственных значений оператора, сходного и образующего острый угол с исходным самосопряженным оператором, участвующим в записи задачи, установлены различные варианты априорных оценок погрешности МБГ для параболических уравнений с подчиненным оператором типа младших членов.

Что касается исследования скорости сходимости МБГ для гиперболических уравнений и для связанных систем типа уравнений термоупругости, то здесь следует отметить работы В.А. Крысько, В.Ф. Кириченко и С.Е. Железовского[45,46].

Анализ современного состояния вопроса о решении задач теории пластин и оболочек и исследовании сходимости МБГ показал следующее: МБГ является одним из наиболее эффективных и широко используемых численных методов решения как статических, так и динамических задач теории пластин и оболочек. Современная вычислительная техника и накопленные математические знания о МБГ позволяют использовать его для решения сложных задач теории неоднородных пологих оболочек при конечных прогибах.

Настоящая работа, не претендующая на полноту и завершенность исследования названной выше проблемы, представляет собой еще одну попытку продемонстрировать простоту реализации и эффективность применения МБГ в задачах такого класса.

Структура работы и ее краткое содержание

Работа содержит семь глав. Суммарно состоит из введения, семи глав, выводов, списка литературы и приложения.

Во введении анализируется современное состояние вопроса о решении задач теории пластин и оболочек и исследовании сходимости методом Бубнова-Галеркина (МБГ).

В главе 1 приводятся необходимые соотношения и допущения. Получены разрешающие уравнения в смешанной форме для гибких пологих неоднородных оболочек.

В главе 2 излагается алгоритм расчета, основанный на процедуре Бубнова-Галеркина в высших приближениях, на статическую устойчивость гибких неоднородных оболочек. Исследуется зависимость критической нагрузки от различных параметров неоднородности прямоугольной в плане оболочки.

В главе 3 исследуются колебания прямоугольной пластинки и оболочки. Сначала исследуются линейные колебания. В случае неоднородных оболочек для каждой моды колебаний вводится Кс[ -коэффициент дина-мичности(отношение частоты гармоники неоднородной оболочки к соответствующей частоте однородной). Число исследуемых мод в расчетах ограничено 9. Исследовано влияние параметров неоднородности оболочки на коэффициент динамичности мод и построены соответствующие формы колебаний. Во второй части главы на основе предложенного метода излагается алгоритм получения и построены амплитудно-частотные характеристики свободных нелинейных колебаний пластинки и оболочки.

В главе 4 исследуется динамическая потеря устойчивости гибких неоднородных прямоугольных оболочек.

В главе 5 исследуется потеря устойчивости в статической и динамической постановках замкнутой цилиндрической оболочки при при неосе-симметричной деформации.

В главе 6 применяемая методика учета неоднородности оболочки по плану адаптируется на случай неоднородности по толщине оболочки. Исследуется слоистая оболочка.

В главе 7 исследуется поведение пластинок и оболочек, находящихся под воздействием "подвижной нагрузки". Решены различные задачи взаимодействия груза с направляющей поверхностью(пластинка или оболочка): оболочка при поперечном ударе твердым телом с учетом и без учета отрыва груза от направляющей поверхности; оболочка при подвижной нагрузке, когда груз движется вдоль координатной оси с постоянной и переменной скоростью (равноускоренно и равнозамедленно).

19

Положения, которые выносятся на защиту:

1. Алгоритм решения методом Бубнова-Галеркина в высших приближениях уравнений смешанного типа, с единых методологических позиций рассматривающий оболочки как со ступенчато изменяющейся толщиной, так и с участками, выполненными из материалов с различным модулем упругости и плотности;

2. Алгоритм получения собственных частот и форм линейных колебаний неоднородных пластин и оболочек;

3. Метод и алгоритм построения амплитудно-частотных характеристик свободных колебаний пластин и оболочек;

4. Результаты исследования на статическую и динамическую устойчивость неоднородных цилиндрических оболочек при неосесимметричном деформировании;

5. Адаптация используемого способа учета неоднородности оболочки к расчету слоистой оболочки;

6. Алгоритм расчета системы "оболочка -движущийся груз" при односторонней и двусторонней связи, наложенной на движущуюся массу.

ПЕРЕЧЕНЬ ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ х,у,г-декартовы координаты прямоугольной в плане оболочки; для цилиндрической оболочки - продольная, дуговая и координата по нормали к срединной поверхности, смещения точек поверхности в направлении координат х,у,г, а,Ь,2И -размеры в плане и по толщине прямоугольной оболочки, Я, Ь, 2к -радиус, длина и толщина круговой цилиндрической оболочки, кх=±,ку=± -кривизны оболочки ПОЛ и у соответственно, К

Е,/л, О-модуль Юнга, коэффициент Пуассона и модуль сдвига материла, р - плотность материала, g - ускорение силы тяжести, 8 - коэффициент демпфирования среды, t - время, п, е12, е22 - компоненты мембранной деформации срединной поверхности, Тп,т22,т12 - погонные нормальные и сдвигающее усилия, Р - функция усилий, с] - внешнее давление,

К- потенциальная и кинетическая энергии оболочки, <!>(•) - вариация,

Уу -коэффициент жесткости/ участка неоднородной оболочки,

21

Уу - коэффициент плотности у участка неоднородной оболочки, / - отношение критических нагрузок неоднородной и однородной обо лочек,

Е] / £0 - отношение модулей Юнга у-го и основного слоя слоистой обо' лочки,

Ка - коэффициент динамичности / моды, а,р,т - параметры неоднородности нагрузки, М-масса груза, ух - горизонтальная составляющая скорости груза, ув - вертикальная составляющая скорости груза, со - ускорение груза,

7] - координата горизонтального перемещения груза, а - безразмерный параметр уравнения груза, Р - реакция взаимодействия оболочки и груза.

Г л ав а 1

1. Вайнберг Д.В., Ройтфарб И.З. Расчет пластин и оболочек с разрывными параметрами //Расчет пространственных конструкций.-М.:Стройиздат, 1965.Вып. X.-С.39-80.

2. Вайникко Г.М. Некоторые оценки погрешности метода Бубнова-Галеркина//Уч. зап. Тартуск. ун-та,-1969. Вып. 150.-С.188-215.

3. Вайникко Г.М. О сходных операторах //Докл. АН СССР.-1968.-Т.179, №5.-С. 1029-1031.

4. Вайникко Г.М., Оя П.Э. О сходимости и быстроте сходимости метода Галеркина для абстрактных эволюционных уравнений //Диф. уравнения,-1975.-T.il, №7.-С. 1269-1277.

5. Вольмир А. С. Оболочки в потоке жидкости и газа. Задачи аэроупруго-сти.-М. :Наука, 1976 .-416с.

6. Вольмир A.C. Гибкие пластинки и оболочки.-М.:Гостехиздат,1956,-420с.

7. Ворович И.И. О некоторых прямых методах в нелинейной теории пологих оболочек //Докл.АН СССР.-1955.-Т.105, №1.-С.42-45.

8. Ворович И.И. О существовании решений в нелинейной теории оболочек //Докл. АН СССР.-1957.-Т.117, №2.-С.203-206.б.Ворович И.И., Лебедев Л.П. О существовании решений в нелинейной теории пологих оболочек //ПММ.-1972.-Т.36, №4.-С.691-704.

9. Ворович И.И., Лебедев Л.П., Щлафман Ш.М. О некоторых прямых методах и существовании решения в нелинейной теории упругих непологих оболочек вращения //ПММ.-1974.-Т.38, №2.-С.339-348.

10. Ворович И.И., Минакова Н.И. Проблема устойчивости и численные методы в теории сферических оболочек // Итоги науки и техн.-ВИНИТИ,-Сер. мех. деформир. тв. тела.-М.-1973.-Т.7.-С.5-86.

11. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость оболочек.-М.:Наука, 1978.-360с.З.Дедюкин И.Ю., Крысько В.А. К вопросу о динамической потере устойчивости оболочек //Прочность конструкций в экстремальных условиях,-Саратов:СПИ,-1992.-С.51-53.

12. Дедюкин И.Ю., Крысько В.А. О критериях динамической потери устойчивости оболочек//Прикл. мех.-Киев.-1994.-30,№10.-С.56-60.

13. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики,-М. :Наука, 1966.-664с.

14. Дженкинс Г., Ватте Д. Спектральный анализ и его применение.-М. :Мир, 1971 .Вып.1.-324с.

15. Дженкинс Г., Ватте Д. Спектральный анализ и его применение.-М.:Мир,1972.Вып.П.-356с.

16. Джишкариани A.B. О быстроте сходимости метода Бубнова-Галеркина //Ж. вычисл. матем. и матем.физ.-1964.-Т.4, №2.-С.343-348.

17. Джишкариани A.B. О быстроте сходимости приближенного метода Ритца//Ж. вычисл. матем. и матем. физ.-1963.-Т,3, №4.-С.654-663.

18. Джишкариани A.B. О приближенном методе Ритца для одного нелинейного уравнения //Тр. Тбилисск. мат. ин-та АН ГССР.-1970.-Т.36.-С.29-46.

19. Дмитриев A.C., Кислов В.Я. Стохастические колебания в радиофизике и электронике. -М. :Наука, 1989. -278с.

20. Железовская Л.А., Железовский С.Е., Кириченко В.Ф., Крысько В.А. О скорости сходимости метода Бубнова-Галеркина для гиперболических уравнений//Диф. уравнения.-1990.-Т.26. №2.-С.323-333.

21. Железовский С.Е., Кириченко В.Ф., Крысько В.А. О скорости сходимости метода Бубнова-Галеркина для одной неклассической системы дифференциальных уравнений //Диф. ур-ния.-1987.-Т.23. №8.-С.1407-1416.

22. Зарубин А.Г. Исследование проекционной процедуры Галеркина-Петрова методом дробных степеней //Докл. АН СССР.-1987.-Т.297,№4,-С.780-784.

23. Зарубин А.Г. О быстроте сходимости проекционных методов для линейных уравнений //Ж. вычисл. матем. и матем. физ.-1979.-Т.15, №4,-С.1048-1053.

24. Зарубин А.Г., Тиунчик М.Ф. О приближенных решениях одного класса нелинейных нестационарных уравнений //Диф. уравнения.-1973.-Т.9, №11.-С. 1966-1974.2.3оммерфельд А. Механика.-М., Изд-во иностр. лит., 1947-392с.

25. Кантор Б.Я. Нелинейные задачи теории неоднородных пологих оболо-чек.-Киев:Наук. думка, 1971 .-134с.

26. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. -М.: Физматгиз, 1962.-708с.

27. Коломоец A.A., Куцемако А.Н. Динамическая и статическая устойчивость гибкой цилиндрической оболочки при неравномерном внешнем давлении //Проблемы машиностроения и автоматизации.-1993, №1-2,-С.49-53.

28. Коломоец A.A., Куцемако А.Н. Динамическая и статическая устойчивость несовершенной гибкой цилиндрической оболочки при неравномерном внешнем давлении//Современные проблемы механики и математической физики.-Воронеж, ВГУ, 1994.-С. 55.

29. Коломоец A.A., Куцемако А.Н. Динамическая потеря устойчивости замкнутой цилиндрической оболочки при действии неравномерного внешнего давления //Вопросы оптимального проектирования пластин и оболочек:Сб. ст.-Саратов.-1981.-С.54-56.

30. Коломоец A.A., Куцемако А.Н. Нелинейные колебания и динамическая потеря устойчивости цилиндрической оболочки при действии произвольного внешнего давления //Температурные задачи и устойчивость пластин и оболочек.-Саратов:СПИ,1988.-С.72-76.

31. Коломоец A.A., Куцемако А.Н. Нелинейные свободные колебания замкнутой цилиндрической оболочки //Прочность конструкций в экстремальных условиях.-Саратов:СПИ, 1992.-С. 115-119.

32. Коломоец A.A., Куцемако А.Н. Потеря устойчивости цилиндрических оболочек при действии локальных нагрузок//Труды н-т.конф. Молодые ученые и специалисты производству области.-Саратов, 1980.-С.36-38.

33. Коломоец A.A., Куцемако А.Н. Устойчивость замкнутой цилиндрической оболочки при действии полосовых нагрузок//Тезисы докл. н-т. конф. Теоретические и экспериментальные методы анализа надежности конструкций ЭВП.-Саратов, НИИ-Волна, 1980.-С. 12.

34. Кохманюк С.С., Филиппов А.П. Колебание многопролетных балок на упругих опорах при подвижной нагрузке.-Строит. Механика и расчет сооружений, 1965,№6.-С.32-36.

35. Красносельский М.А. Сходимость метода Галеркина для нелинейных уравнений //Докл. АН СССР.-1950.-Т.23. №6.-С.1121-1124.

36. Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П. и др. Приближенное решение операторных уравнений.-М.:Наука,1969.-456с.

37. Кроткова Л.В. Колебания эллиптических пластин из нелинейных почти упругих материалов//Изв. вузов.-Сер. стр-во и арх.-1970.-№4.-С62-65.

38. Крылов Н.М. Об учете ошибки, допущенной при применении метода Ритца для приближенного интегрирования дифференциальных уравнений //Крылов Н.М.-Избр.труды. В трех томах.-Киев.~1961.-Т1.-С.257-258.

39. Крылов Н.М., Боголюбов H.H. О некоторых теоремах, касающихся существования интегралов дифференциальных уравнений с частными производными гиперболического типа //Изв. АН СССР.-Отд. мат. и естеств. наук.-1931.-№3.-С.323-344.

40. Крылов Н.М., Тамаркин Я.Д. О методе Ритца для приближенного решения задач математической физики //Крылов Н.М.-Избр. труды.В трех томах.-Киев.-1961.-Т1.-С. 132-145.

41. Крысько В.А. Нелинейная статика и динамика неоднородных оболочек.-Саратов:Изд-во Сарат. гос.ун-та, 1976.-214с.

42. Крысько В.А., Козырев А.П., Куцемако А.Н. Динамическая устойчивость многосвязных прямоугольных в плане гибких физически нелинейных оболочек.-Саратов, СПИ.-Деп. ВИНИТИ №6336-В87.-91с.

43. Крысько В.А., Коломоец A.A., Куцемако А.Н. Нелинейное деформирование и устойчивость замкнутой цилиндрической оболочки при произвольном внешнем давлении.-Саратов, СПИ. Деп. ВИНИТИ 1711-85.-12с.

44. Крысько В.А., Коломоец A.A., Куцемако А.Н. Нелинейное деформирование замкнутой цилиндрической оболочки кругового сечения при действии неравномерного внешнего давления.-Саратов,СПИ. Деп. ВИНИТИ 2159-83.-8с.

45. Крысько В.А., Куцемако А.Н. Колебания прямоугольных оболочек и пластин с отверстиями.-Саратов:Сарат. гос.техн. ун-т. 1994. Деп. ВИНИТИ N 3073-В94.-48с.

46. Крысько В.А., Куцемако А.Н. Нелинейные колебания прямоугольных оболочек на базе обобщенной модели С.П. Тимошенко.//Исследования по теории пластин и оболочек. Казань, 1975,11.-С.360-363.

47. Крысько В.А., Куцемако А.Н. О сходимости метода Канторовича-Власова при исследовании нелинейных колебаний прямоугольных пластин и оболочек//Исследования по теории пластин и оболочек. Казань, 1975, 11.-С.279-288.

48. Крысько В.А., Куцемако А.Н. Устойчивость и колебания неоднородных оболочек.-Саратов.Изд-во Сарат. гос.техн. ун-та, 1999.-202с.

49. Крысько В.А., Куцемако А.Н., Коперник Г.Р. Собственные, вынужденные и параметрические нелинейные колебания пологих оболочек прямоугольных в плане с учетом поперечных сдвигов и инерции вращения.-Киев:Наук.думка, 1974.-С.108.

50. Куцемако А.Н. Устойчивость замкнутой цилиндрической оболочки при неосесимметричном внешнем давлении//Труды XVIII международной конференции по теории оболочек и пластин.-Саратов://Изд-во Сарат. техн. ун-та. 1997, Т.1.-С.139-144.

51. Куцемако А.Н., Куцемако H.H. Движение груза по гибкой оболочке из нелинейно-упругого материала.//Нелинейные задачи расчета тонкостенных конструкций.-Саратов, 1989.-С.92-95.

52. Лаврентьев М. А., Ишлинский А. Ю. Динамические формы потери устойчивости упругих систем //ДАН СССР.-1949.-Т.64,№6.-С.779-789.

53. Лебедев Л.П. О равновесии свободной нелинейной пластинки //ПММ,-1980.-Т.44, №1.-С. 161-165.

54. Лейбензон Л.С. Вариационные методы решения задач теории упругости //Лейбензон Л.С.Собрание трудов.-М.:Изд-во АН СССР.-1951.-Т.1,-С. 177-463.

55. Лейбензон Л.С. О применении начала возможных перемещений к приближенному определению упругого равновесия //Лейбензон Л.С. Собрание трудов.-М.:Изд-во АН СССР.-1951.-Т.1.-С. 39-49.

56. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М. .Мир, 1972.-587с.

57. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их при-ложения.-М. :Мир, 1971 .-372с.

58. Ляв А. Математическая теория упругости.-ОНТИ.-1935.-355с.

59. Ляшко А.Д. О вариационном методе для нелинейных операторных уравнений //Уч. зап. Казанск. ун-та.-1966.-Т.125, кн.2.-С.95-101.

60. Ляшко А.Д. О методе Галеркина-Петрова //Уч. зап. Казанск. ун-та. -1957.-Т.117, кн.2.-С.42-44.

61. Ляшко А.Д. О некоторых вариантах метода Галеркина-Крылова //Докл. АН СССР.-1959.-Т.128, №3.-С.468-470.

62. Ляшко А.Д. О сходимости метода Галеркина //Докл. АН СССР.-1958,-Т.120, №2.-С.242-242.

63. Марсден ДЖ., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее при-ложения.-М.:Мир,1980.-368с.

64. Мартынюк А.Е. О методе Галеркина-моментов //Уч. зап. Казанск. ун-та.-1957.-Т. 117, кн.2.-С.70-74.

65. Мартынюк А.Е. О некотором обобщении вариационного метода //Докл. АНСССР.-1957.-Т.117, №2.-С.374-377.

66. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике.-М. :Наука, 1970.-512с.

67. Михлин С.Г. Некоторые вопросы теории погрешностей.-Л.:Изд-во Ле-нингр. ун-та, 1988.-335с.

68. Михлин С.Г. О сходимости метода Галеркина //Докл. АН СССР.-1948,-Т.61, №2.-С.197-199.

69. Михлин С.Г. По поводу метода Ритца //Докл. АН СССР.-1956.-Т.106,3.-С.391-394.

70. Михлин С.Г. Проблемы минимума квадратичного функционала.-М.; Л. .Гостехиздат, 1952. -216с.

71. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов. -М. .Наука, 1966.-432с.

72. Морозов Н.Ф. Исследование колебаний призматического стержня под действием поперечной нагрузки //Изв. вузов.-Сер. мат.-1965.-№3.-С.121-125.

73. Морозов Н.Ф. Нелинейные задачи тонких пластин //Вестник Ленинград. ун-та.-1958.-№19, вып.4.-С. 100-124.

74. Морозов Н.Ф. О нелинейных колебаниях тонких пластин с учетом инерции вращения //Докл. АН СССР.-1967.-Т.176, №3.-С.522-525.

75. Муштари Х.М., Галимов К.З. Нелинейная теория упругих тонких обо-лочек.-Казань:Таткнигиздат, 1957 .-432с.

76. Назаров А.Г. Импульсные функции в приложении к задачам строительной механики.//Исследования по теории сооружений,-М.:Л.:Гостехиздат, 1949. Вып. 1У.-С.216-226.

77. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных ко-лебаний.-М.:Наука,1972.-472с.

78. Новицкий В.В. Дельта-функция и ее применение в строительной механике //Расчет пространственных конструкций.-М.:Госстройиздат, 1962.Вып. У1П.-С.207-244.

79. Новожилов В.В. Теория упругости.-М.:Судпромгиз,1958.-370с.

80. Папкович П.Ф. Строительная механика корабля. -Л.:Судпромгиз, 1941.-Т.2.

81. Папкович П.Ф. Труды по строительной механике корабля.-Л.:Суд-промгиз,1962.-Т.З.-527с.

82. Петров В.В., Овчинников И.Г., Шихов Ю.М. Расчет элементов конструкций, взаимодействующих с агрессивными средами.-Саратов:Изд-во Сарат.ун-та, 1987.-288с.

83. Постон Т., Стюарт И. Теория катастроф и ее приложения.-М.:Мир, 1980.-273с.

84. Поташ A.JI. Сходимость метода Бубнова-Галеркина в задачах поперечного изгиба трехслойных пластин //Изв. вузов.Сер. стр-во и архит.-1982, №3.-С.42-45.

85. Преображенский И.Н. Устойчивость и колебания пластинок и оболочек с отверстиями.-М. -.Машиностроение, 1981.-191 с.

86. Радциг Ю.А. Зеркальные функции и их применение в вопросах строительной механики.//Труды Казан, авиац. ин-та.-Казань: Татгосиздат, 1948, XX. -С.47-68.

87. Рыжов С.А. Динамическая потеря устойчивости цилиндрической оболочки при действии импульса неравномерного внешнего давления. //Температурные задачи и устойчивость пластин и оболочек. Изд-во Сарат.ун-та, 1988.-С48-50.

88. Свирский И.В. Методы типа Бубнова-Галеркина и последовательностьприближений.-М. .Наука, 1968.-198с.

89. Сеницкий Ю.Э., Лычев С.А. Динамика трехслойных сферических оболочек несимметричной структуры//Труды XVIII международной конференции по теории оболочек и пластин.-Саратов:Сарат. гос. техн. ун-т,1997.4.1.-С.47-53.

90. Серазутдинов М.Н. О некоторых исследованиях динамики тонкостенных конструкций, взаимодействующих с движущимися объекта-ми.//Статика и динамика оболочек, вып. XII. Казань, 1979.-С5-30.

91. Скрыпник И.В. Нелинейные эллиптические уравнения высокого порядка. -Киев .Наукова думка, 1973. -220с.

92. Соболевский П.Е. Об уравнениях с операторами, образующими острый угол //Докл. АН СССР.-1957.-Т.116, №5.-С.752-757.

93. Тимошенко С.П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек,-М.:Наука,1967.-808с.

94. Томпсон Дж.М.Т. Неустойчивости и катастрофы в науке и технике.-М. :Мир, 1985 .-255с.

95. Уилкинсон, Райнш. Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ. Линейная алгебра.-М. Машиностроение, 1976.-390с.

96. Филиппов А.П. Колебания деформируемых систем. М.: Машиностроение, 1970.-734с.

97. Филиппов А.П., Кохманюк С.С. Динамическое воздействие подвижных нагрузок на стержни.-Киев: Наукова думка, 1968.-132с.

98. Филиппов А.П., Кохманюк С.С., Воробьев Ю.С. Воздействие динамических нагрузок на элементы конструкций. -Киев:Наукова думка, 1974.-С87-137.

99. Филиппов А.П., Кохманюк С.С., Янютин Е.Г. Деформирование элементов конструкций под действием ударных и импульсных нагрузок. Киев:Наукова думка,1978.-184с.

100. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина.-М.:Мир, 1988.-352с.

101. Циглер Г. Основы теории устойчивости конструкций.-М.:Мир,1971,-192с.

102. Якушев Н.З. Динамика деформируемых систем под воздействием движущихся нагрузок.//Исследования по теории пластин и оболочек, вып.18. Казань. Изд-во Казанского ун-та,1985.-СЗ-56.

103. Якушев Н.З. Динамика деформируемых систем под воздействием движущихся нагрузок.//Исследования по теории пластин и оболочек, вып.19. Казань. Изд-во Казанского ун-та,1985.-С158-171.

104. Якушев Н.З. Нелинейные колебания пластин и оболочек //Исслед. по теории пластин и оболочек.-Казань.-1978, №13.-С.203-216.

105. Awrejcewicz J., Krysko V.A., Kutsemako A.N. Oscillations of non-uniform shells //J. Sound and Vibr.-1999.-Vol.l0,№3.-P.l 16-141.

106. Budiansky B. Theory of buckling and post-buckling behaviour of elastic structures //Advances in Applied Mechanics. -New York:-Academic Press.-1974.-Vol. 14.

107. Chen L.-W., Hwang J.-R. Axisymmetric dynamic stability of transversely isotropic Mindlin circular plates //J. Sound and Vibr.-1988.-Vol. 121,№2,-P.307-315.

108. Chrzeszczyk A. On the regularity, uniqueness and continuos dependence for generalized solutions of some coupled problems in nonlinear theory of ther-moelastic shells //Anch. mech. strosow. -1986.-Vol.38,№l-2.-P.97-102.

109. Gawinecki J. Existence , uniqueness and regularity of the first boundary -initial value for thermal stresses equations of classical and generalized ther-momechanics//J. Tech. Phys.-1983.-Vol.24,№4.-P.467-479.

110. Gawinecki J. Istnienie i jednoznacznosc slabych raswiazan zagadnien brze-gowo-poczatkonych uogolnioneje theorii naprezen cieplnych //Bikl. WAT. J. Dabrowskiego .-1985. Vol. 3 4 ,№8. -P. 71 -84.

111. Gawinecki J. Metoda Faedo -Galerkina w klasyczney teorii naprezeen cieplnych//Biul. WaT. J. Dabrowskiego.-1984.-Vol.33,№2.-P. 17-34.

112. Gawinecki J. On the first initial-boundary value problem for the equations of thermal stresses //Bull.Acad. pol. sci. Ser. sci. tehchn.-1981.-Vol.29,№7-8,-P.400-404.

113. Gawinecki J. On the first initial-boundary value problem for thermal stresses equations of generalized thermomechanics //Bull. Acad. pol. sic. Ser. sci. techn.-l 981 .-Vol.29.- №7-8.-P.405-411.

114. Hopf E. Uber die Anfangswertaufgabe fur die hydrodynamischen Grundgleichungen //Math. Nachr.-1951.-M.4.-S.213-231.

115. Koiter W.T. Over de stabiliteit van het elastisch evenwicht. Doct. Thesis. Amsterdam, 1945.

116. Kowalski T., Litewska K., Piskorek A. Uniqueness and regularity of the solution of the first initial-boundary value problem in linear thermoelasticity //Bull. Acad. pol. sei. techn.-1982.-Vol.30,№3-4.-P.171-175.

117. Kowalski T., Piskorek A. Existrenz der Losung einer Anfangsrandwertaufgabe in der linearen Thermoelastizitatstheorie HZ. angew. Math, und Mech.-1981.-Bd.61.-H.5.-S.250-252.

118. Mioduchowsky A., Pielorz A., Nadolski W., Haddow J.B., Finite oscillation of viscoelastic cantilever strip //Acta mech.-1983.-Vol.50, №l-2.-P.39-48.

119. Mukhopadhyay M. The vibration of rectangular plates with edges having different degrees of rotational restraint //J. Sound and Vibr.-1979.-Vol.69,№4.-P.459-468.

120. Zeeman E.C. Catastrophe Theory: Selected Papers 1972-1977,- London: Addison Wesley.-1977.

121. Рязанова М.Я. Про коливання балки тд д1ею вантажу, що рухаеться вздовж не1.-Допов. АН УРСР, 1958,№2.-С.157-161.