автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Суперэлементный подход для расчета складчатых цилиндрических систем с использованием дискретно-континуальной модели В.З. Власова

На правах рукописи

ГУ

Майданов Антон Евгеньевич

СУПЕРЭЛЕМЕНТНЫЙ ПОДХОД ДЛЯ РАСЧЕТА СКЛАДЧАТЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ДИСКРЕТНО-КОНТИНУАЛЬНОЙ МОДЕЛИ В.З. ВЛАСОВА

05.23.17 — Строительная механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Волгоград 2006

Работа выполнена на кафедре Мосты и сооружения на дорогах Государственного учреждения высшего профессионального образования Волгоградского государственного архитектурно-строительного университета

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

— доктор технических наук профессор Шапошников H.H.

— доктор технических наук профессор Соколов O.JI.

— кандидат технических наук доцент Гурова Е.В.

ОАО "Гипростроймост"

Защита состоится 11 мая 2006г. в 13 час. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.026.01 в ГОУ ВПО Волгоградском государственном архитектурно-строительном университете, по адресу: 400074, Волгоград, ул. Академическая, 1, ауд. Б-203.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО Волгоградского государственного архитектурно-строительного университета.

Автореферат разослан 3 апреля 2006г.

Ученый секретарь диссертационного совета "// JI.B. Кукса

2jDO£ftr 767 £

ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Актуальность темы. Цилиндрические складчатые системы широко используются в строительстве и машиностроении. Математическая модель для расчета таких систем разработана чл.-корр. АН В.З. Власовым, однако, эта тория не нашла широко распространения в практике. Для расчета цилиндрических складчатых систем удобно использовать персональные ЭВМ, которых не было в момент разработки. В частном случае (опирание концов оболочки на идеальные диафрагмы), для расчета складчатых систем без диафрагм, может быть использован метод тригонометрических рядов в форме метода перемещений, предложенный чл.-корр. РАА СН A.B. Александровым. Даная работа основывается на работах В.З. Власова и A.B. Александрова и является дальнейшим их развитием. Работы, посвященные автоматизации и развитию методов В.З. Власова и A.B. Александрова будут способствовать более рациональному проектированию складчатых цилиндрических систем.

Цели и задачи исследования. На основе метода В.З. Власова и, дальнейшего его развития, разработать методику и набор программ для построения самостоятельного программного комплекса по расчету складчатых систем. Методика должна быть таковой, чтобы ведущие инженеры-нроектировщики и студенты, которые предполагают работать в проектных организациях, могли бы самостоятельно составить такой комплекс, который можно использовать для моделирования работы несущих конструкций.

Обоснованность и достоверность научных положений. Для предлагаемого суперэлемента строится матрица жесткости, построение и использование которой основано на хорошо апробированном методе конечных элементов.

Научная новизна заключается в создании суперэлементного подхода расчета складчатых цилиндрических систем, при котором, во-первых, используется поэлементный подход к построению функции перемещений в поперечном сечении и, во-вторых, при расчете всей складчатой системы отпадает необходимость составления и решения системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (метод В.З. Власова). При этом вместо решения системы дифференциальных уравнений высокого порядка решается система алгебраических уравнений с блочной ленточной матрицей, что облегчает процесс расчета и легко позволяет учитывать переменную толщину оболочки по длине.

Апробация. Автодорожные мосты имеют, как правило, широкую проезжую часть, поэтому в таких мостах необходимо учитывать кручение, которое приводит к пространственной работе пролетного строения. Разработанный про-1раммный комплекс может быть использован в обучении и практике расчета реальных мостов. В настоящий момент, в организации Гипростроймост производится его внедрение, кроме того, комплекс апробирован в учебном процессе Московского государственного университета путей сообщения (МИИТ) на кафедре САПР.

Постановка задачи. В существующих курсах строительной механики в основном рассматриваются плоские стержневые расчетные схемы (балки, фермы, рамы). Эти схемы сыграли большую роль в практике проектирования сооружений и не потеряли своего значения в настоящее время. Этот набор расчетных схем позволяет понять в первом приближении работу сложных конструкций (мост — балка на двух или многих опорах, здание — консольный стержень и т.д.). Без понимания работы конструкций невозможно их проектирование. В настоящее время в курсе строительной механики уделяется недостаточно внимания использованию персональных компьютеров. Методы расчета без использования ЭВМ и с использованием ЭВМ различны. В первом случае на передний план выдвигается минимум арифметических действий. При использовании ЭВМ на первый план выдвигается простота логики, что облегчает процесс программирования и позволяет создавать простые наглядные программы с четким и ясным алгоритмом, а также общность подхода, дающего возможность разрабатывать универсальные программы. В связи с этим появился новый курс "Вычислительная механика", в котором на первый план выдвигаются вопросы машинной реализации.

В практике проектирования наряду со стержневыми системами широко используются и пластинчатые системы, поэтому при обучении студентов надо преходить от стержневых систем к более сложным пластинчатым системам, при этом в процессе обучения необходимо широко использовать современные персональные компьютеры.

В.З. Власовым еще в 1931 году был разработан дискретно-континуальный метод, позволяющий сводить расчет цилиндрических складчатых систем к расчету рам, контур которых совпадает с поперечным сечением складчатой системы. Метод В.З. Власова в настоящее время не рассматривается и не включен в план по строительной механике, возможно, его следует включить в спецкурс для

обучения инженеров-проектировщиков. Метод имеет четкую и ясную структуру и, безусловно, является необходимым для подготовки инженеров-проектировщиков. При применении этого метода необходимо широко использовать персональные компьютеры.

Современным подходом при проектировании несущих типовых и уникальных конструкций является моделирование их работы на персональных компьютерах. При этом необходимо проводить большое количество расчетов, что возможно только при использовании персональных компьютеров. Процесс моделирования надо проводить, на стадии строительства (сборки), на стадии эксплуатации (с учетом возникающих дефектов) и на стадии разрушения конструкции. Для того чтобы производить моделирование необходимо создать самостоятельный комплекс, гибкий в использовании и хорошо понятный инженеру, производящему моделирование. Только такой комплекс позволит грамотно моделировать работу конструкции. Комплекс должен быть простым, прозрачным, чтобы можно было входить в него в любом месте.

Процесс моделирования можно проводить на больших универсальных стандартных комплексах (МАвТПЛЫ, РАТИЛЫ, КАтаЛЫ). Однако универсальность комплекса приводит к большому количеству входных данных и неудобству его использования. В каждом частном случае может возникнуть ситуация, не предусмочренная этим комплексом, в таких ситуациях появляется необходимость приспособления программного продукта к проведению такой операции, т.е творческий инженер становится "рабом" комплекса. Разработка своего комплекса повышает квалификацию инженеров-проектировщиков, что способствует проектированию более рациональных конструкций.

В проектных институтах имеются расчетные группы, в которых работают высококвалифицированные инженеры-расчетчики, вот эти инженеры и должны сами написать комплекс, и таких инженеров необходимо готовить в учебных ВУЗах.

Объем работы: Текст диссертации изложен на 192 страницах, состоит из предисловия, исторического обзора по теме диссертации, четырех глав, заключения, списка литературы из 152 наименований и содержит 66 рисунков, 4 таблицы, 14 приложений.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

При расчете стержней сплошного поперечного сечения используется гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли), эта гипотеза, а также использова-

ние закона Гука для линейного напряженного состояния позволяют получить простые формулы для определения нормальных напряжений при изгибе Далее гипотеза Бернулли была уточнена за счет учета сдвиговых деформаций (сечения плоские до деформации остаются плоскими и после деформации, но за счет сдвигов не остаются перпендикулярными к оси стержня), при этом принято, что касательные напряжения распределяются равномерно по высоте стержня. С.П.Тимошенко учел влияние инерции поворота при динамическом расчете балок. Балки, подчиняющиеся гипотезе плоских сечений, получили название балок Бернулли, а балки, подчиняющиеся гипотезам Тимошенко — балок Тимошенко.

Автором первого курса сопротивления материалов, вышедшего из печати в 1826 г., был Луи Навье. Последнее третье издание книги Навье вышло под редакцией и с примечаниями Сен-Венана. К началу XIX века основные положения механики абсолютно твердых тел были уже известны, однако лишь Навье показал, что в принципе, могут быть найдены усилия в любой статически неопределимой системе, если учитьпшь ее деформации.

Теория свободного кручения призматических стержней была разработана Сен-Венаном, который предложил полуобратный метод решения задач теории упругости, при этом он предполагал, что поперечное сечение поворачивается как жесткое целое и происходит депланация (выход точек поперечного ссчения из его плоскости).

Тонкостенные стержни бывают открытого и закрытого профиля. Особенность работы тонкостенного стержня на кручение установил Бах. Проведенный им опыт над металлической балкой швеллерного сечения позволил установить, что поперечная нагрузка, действующая перпендикулярно плоскости симметрии швеллерного сечения и проходящая через центр тяжести, наряду с деформацией изгиба вызывает также и закручивание. В 1905 году С.П.Тимошенко получил дифференциальное уравнение кручения для двутаврового стержня. В период с 1921 по 1926 год в иностранной литературе появились публикации работ Вебера, в которых описана теория Тимошенко для двухполочных профилей.

Стесненное кручение стержня открытого профиля произвольной формы было рассмотрено в работах Вагнера, при выводе формул он исходил из гипотез недеформируемости контура и отсутствия сдвигов.

Теория расчета тонкостенных стержней замкнутого профиля была разработана А.А.Уманским. Аналогично теории расчета тонкостенных стержней открытого профиля, Уманским была введена гипотеза о недеформируемости кон-

тура поперечного сечения. В тонкостенных стержнях вместо гипотезы плоских сечений используется гипотеза идеальной диафрагмы. В сплошных стержнях используется гипотеза плоских сечений на все поперечное сечение, в тонкостенных стержнях также используется гипотеза плоских сечений, но она относится только к пластинкам, составляющим тонкостенный стержень при изгибе их в своей плоскости. В тонкостенном стержне замкнутого профиля удовлетворяется уравнение равновесия за счет потока касательных напряжений, но при этом не удовлетворяется уравнение совместности. Естественным способом преодоления этого обстоятельства является применение принципа Кастилиано, при использовании которого уравнение совместности выполняется в интегральном смысле, при этом матрица жесткости строится через матрицу податливости и выражение дополнительной энергии имеет достаточно сложный вид. Для построения матриц податливости в силу теоремы Кастилиано необходимо дифференцировать выражение дополнительной энергии, что приводит к достаточно сложным выкладкам.

Вопросам расчета тонкостенных оболочек переменного сечения с учетом физической и геометрической нелинейности посвящены работы В.В.Петрова и его школы.

В 1931 году В.З. Власовым была предложена техническая теория цилиндрических и призматических складок средней длины, имеющих в поперечном сечении произвольное очертание. При этом автор пренебрег продольными ич! и-бающими и крутящими моментами Складка моделировалась как набор рамок, работающих в поперечном направлении и связанных между собой продольными связями. Эча модель названа В.З.Власовым дискретно-континуальной. В.З.Власовым была разработана теория расчета складок с учетом деформации контура поперечного сечения складчатой оболочки.

Применяя гипотезу о неизменяемости профиля складки, В.З.Власов значительно упростил предложенную им ранее точную теорию расчета и создал теорию тонкостенных стержней опертою профиля. Таким образом, современная теория тонкостенных стержней возникла как частный случай более общей теории и основана на рассмотрении тонкостенного стержня как пространственной системы типа цилиндрической или призматической складки с жестким профилем. Современная прикладная теория юнкостенных стержней открытого профиля была построена В.З. Власовым независимо от Вагнера. В.З.Власовым были введены новые термины для геометрических и силовых факторов, увязы-

вающих теорию призматических стержней сплошного сечения с теорией тонкостенных стержней.

Глава I. Метод прямых жесткостей. В работе при написании программ использовался символьный язык Maple. Первоначально МКЭ развивался в форме метода прямых жесткостей, при использовании которого на основании простейших формул сопротивления материалов и строительной механики из достаточно простых соображений строились матрицы реакций. В качестве синтезирующих уравнений использовались уравнения равновесия узлов, при этом уравнения совместности соблюдались на интуитивном уровне.

Канадским ученым русского происхождения Хренниковым в 1940 г. было предложено заменить непрерывную среду плоской задачи теории упругости фермой с шарнирными узлами. При применении метода конечных элементов используется понятие матрицы жесткости. На рис. 1 изображен стержневой прямоугольный элемент, соответствующий модели Хренникова. В дальнейшем будут использоваться прямоугольные элементы, поэтому введем понятие матрицы жесткости для прямоугольного элемента и покажем его свойства на примере простейшего элемента Хренникова. Первоначально введем понятие степеней свободы элемента (параметров, определяющих положение всех точек элемента). В качестве вектора степеней свободы для элемента модели Хренникова принимается вектор перемещений ею угловых точек (рис. 1, а).

2=[и, V, Щ v2 U, v3 u4 vj.

Вектором двойственным к вектору z является вектор реакций г (рис. 1,6):

% rJ-

б >

S 5j

N3 \N5

"з

гщ 1 N,

rv,

Рис. 1

Двойственными векторами называются векторы, скалярное произведение которых (произведение одноименных координат) дает выражение для работы. Запишем выражение для работы в матричной форме:

, 1 -г, Л = -г г-2

Вектор 2 — вектор геометрического пространства, вектор г— вектор статического пространства. Обратим внимание на то, что понятие матрицы реакций вводится, начиная с вектора геометрического пространства. Вектор геометрического пространства является первичным (его можно увидеть и измерить), вектор статического пространства введен человеком для пояснения законов Ньютона (непосредственно измерить силу сложно). Силу можно измерить с помощью динамометра, но это косвенный способ определения силы (по величине деформации пружины). Векторы перемещений и сил образуют соответственно геометрическое и статическое пространства. Матрица, связывающая геометрический и статический векторы называется матрицей реакций г.

г -г-г. (1)

Запишем полную систему уравнений строительной механики.

АТ2=Ъ

— статическое уравнение (уравнение равновесия),

— геометрическое уравнение (уравнение совместности - ферма, связанная в узлах до деформации связана в тех же узлах и после деформации), (2)

— физическое уравнение (закон Гука)

В соответствии с методом перемещений подставим третье уравнение системы (2) во второе:

Атг = ВИ, (3)

решим уравнение (2) относительно N и подставим в первое уравнение системы (3):

в соответствии с (1):

г = АВ-'А7.

Матрица реакций г зависит от площадей Р\, Выразим площади че-

рез физические константы пластинки (Е, ц) таким образом, чтобы при однородных напряженных состояниях соблюдался закон Гука.

1 М^-а2) Г _з*&-ь>)

* з' ' 16Ь 2 16а 1 16аЪ

Обратим внимание, что при 3Ь2 - а2 площадь ^ = О — элемент вырождается. Аналогично элемент вырождается и при За2 = Ь1 (Рг = 0).

Однородные напряженные состояния Состояние 3

Таким образом, моделью Хренникова можно моделировать пластинку при

и. ~ 1/3, при этом силу двоякой симметрии элемента и тео-

л/3

ремы о взаимности реакций (матрица реакций симметрична) матрицу реакций можно записать в виде (при этом все элементы матрицы реакций определяются элементами первых двух столбцов):

г "1»> г »¡»1 г »1»! Г »3»! Г »4»! ^4»,

г 'Л '■И Г "Л Г г

г "!у1 — Г "П г »4»! _ Г»4»1 Г _ Г»)»1

Г ~ "Л -V, — Г

»14 г »4»! — V VI Г »1»! ~ Г»г»|

Г 1VI 'Л У,», '■и — Г т - г „ V,

г »4»! т ».»1 гт — г»л г — Г »I»! г г "Л

Л», "44 ~ Г1»1 г — Г Г.» г 'V,

Матрица реакций (4) удовлетворяет условию жесткого смещения (при же-

Рис. 3

В диссертационной работе показано, что при стремлении размеров элемента а->0 и Ь-»0, система алгебраических уравнений равновесия стремится к системе дифференциальных уравнений теории упругости:

д'и \-цд2и 1+(1 д*у 1-й2 „ „

—г+—~—г +—---+—¡— Х = 0

дх2 2 ду 2 дхду Е

дгу> 1+ц 8ги 1-й2 „

—т + —с—г +—-+ —£—У = о

ду2 2 дх2 2 дхду Е

При ц = - система (5) примет вид:

а2!/ 1 а2« 2 а2у 8 „ й

—7 +--5-+--+--Х = 0

дх2 Зду2 3 йгф> 9£

Э2у 2Л 8

—г +--г +--+ — У = о

V за*2 Здхду 9Е

Метод прямых жесткостей начинается с моделирования пластинки идеальной фермой, которая является одним из основных объектов строительной механики. Таким образом, происходит сближение строительной механики с теорией упругости и методом конечных элементов.

Американским ученым Клафом был предложен прямоугольный континуальный элемент, работающий на растяжение-сжатие, изгиб и сдвиг. В соответствии с формулой (4) матрица реакций для прямоугольного элемента полностью определяется двумя первыми столбцами. На рис. 4,а,б показаны единичные состояния, соответствующие этим двум столбцам. На рис. 4, в показано, что перемещение, соответствующее рис. 4, а можно представить в виде равномерного сжатия (Г-2-3'-4), изгиба (1"-2-3"-4) и сдвига на Д (Г'-2-3~4). Аналогично единичное состояние, изображенное на рис. 4,6 можно также представить в виде равномерного сжатия, изгиба и сдвига в перпендикулярном направлении.

Используя формулы сопротивления материалов, получим формулы для элементов первых двух столбцов матрицы реакций. Остальные элементы матрицы реакций выражаются через первые два столбца по формуле (4).

При стремлении размеров континуального элемента а-»0, Ь—>0 получается система дифференциальных уравнений плоской задачи теории упругости (5) при произвольном значении ц. Матрица реакций элемента удовлетворяет условиям жесткого смещения (рис. 3) и условиям однородного напряженного состояния (рис. 2).

Глава II. Основы метода конечных элементов. Построение матриц реакций для плоской задачи и задачи изгиба. Метод конечных элементов является вариантом прямого вариационного метода — метода Ритца, при локальном выборе базисных функций.

Г Г 5

где к — толщина пластинки;

X, У — проекции внешних сил на оси х, у, приходящиеся на единицу площади;

Ху, К — проекции внешних сил, приложенных на контуре 52, приходящихся на единицу контура (у — нормаль к контуру).

Рассмотрим пластинку изображенную на рис. 5. Разобьем ее на конечные элементы и будем характеризовать перемещения г'-го узла пластинки величинами горизонтального перемещения и, и вертикального перемещения — V,. На рис.5 ,б показана базисная функция, соответствующая перемещению точки /. Тогда перемещение ¿-й точки пластинки будем характеризовать вектором:

и\и\ \У<.

Таким образом, континуальная задача теории упругости сведена к дискретной (рис. 5, а). Предположим, что перемещения между узлами меняются по линейному закону и полностью определяются перемещениями узлов. Зададим поле перемещений, соответствующее г-й точке в виде двух независимых функций. Поля горизонтальных и вертикальных перемещений точки / будем называть единичными полями.

Рис.5

, ч il при к - О,

[О при к* О,

где х,+1, у,+к — координаты точки i+k (рис. 5, б), т. е. перемещения в точке / равны единице, а во всех остальных точках равны нулю. На рис. 5, б показана аксонометрия части пластинки и построена поверхность, аппликатами которой являются горизонтальные перемещения, соответствующие горизонтальному перемещению точки /, и, =1 [^(ху)]. Поверхность, соответствующая v, =1 [v,(ху)] будет аналогичной. Поле перемещений, соответствующее единичным перемещениям точки i, удобно изображать в виде вектора:

u,ix>y)

Таким образом, функция ¿,(х,у) задана на подобласти Ц области £> (см. рис. 5, а). Поле перемещений по всей области представляется в виде линейной комбинации вектор-функций 2,(х,у). Так как ординаты функций й,(х,у) и у,{х,у) в точке I равны единице, то коэффициентами этой линейной комбинации при функциях й[х,у), V, (х, у) будут перемещения точки /. На основании сказанного выше поле перемещений для всей области можно представить в виде'

у,(х>у).

тч

(7)

где п — все точки области.

Дифференцируя выражение (7) и используя формулы Коши, получим вектор деформаций с = еу у^Р". записанный через перемещения и„ V,. Далее, умножая вектор деформаций на матрицу закона Гука, получим вектор напряже-

ний 5 = [стх ау т^, также записанный через к„ V,. Подставляя эти векторы в

функционал полной энергии (6), получим квадратичную функцию от и„ у, (перемещения г'-ой точки), дифференцируя которую по и„ v, получим систему линейных алгебраических уравнений метода конечных элементов.

Библиотека элементов. В таблице 1 приведена библиотека элементов разработанного комплекса. Все элементы библиотеки протестированы.

Таблица 1

3 я

2 Я"

и я

В 5

Поле перемещений модель 1

и 1 х у *у 0 0 0 0

V 0 0 0 0 1 X у ху

а = [а, а2 а3 «4 а. а« а,

1

3 э

x ер

о О]

В 3

Поле напряжений модель 2

Ч

5= <т, т

а = [а, а

а>

1^000 0 0 1*0 0 0 0 0 1 а, а4 а5]г.

Поле перемещений

1 0 у

О I -д: а = [С,

Л: 5' -цс

£ (Луу2) Е

-цу У

Е 2 Е Е

1 С, а, а2

+ Ц*') 1+М; Е

Е

а,

2 Е Е

а, а

я л 9 Ю Й К

Я Э

СП 5

Поле перемещений

м> = а,+ а2х + а^у + а I х2 + а}ху+"/.¡у2 + +а1х' + агх2у+сцду2 + а10У + а,,дт 'у + а12ху\

а

Поле перемещений >с = |1 х у хг ху х3 хгу хгу\ а, [а, а2 а3 <*„ а5 а6 а, а„]

Элемент

Поле

Примечание

Элемент совместен по всем параметрам варьирования.

Продолжение таблицы 1

2 Элемент не совместен по всем параметрам варьирования.

| Задача изгиба , V V, 3 Элемент совместен по перемещениям и углам поворота вдоль сторон и не совместен по углам поворота относительно нормалей к сторонам.

Плоская задача у М К 1 1. Элемент совместен по параллельным сторонам и несовместен по наклонным сторонам. 2. р|, Рг — малые углы

П | и/ ] 4т и, 1

V/ к ' —» -1

Задача изгиба < V * "V * 3 1. Элемент совместен по перемещениям и углам поворота вдоль параллельных сторон и не совместен по нормалям к этим сторонам 2. Элемент несовместен по наклонным сторонам. 3 Pi.Pi — малые углы.

'' у 41 к ь я' • « ' »<

Модель В.3. Власова Л/ "V -у у* • к, 1 к > 4 Элемент совместен по перемещениям и углам поворота вдоль сторон, параллельных оси оболочки

Глава 11Ь Послойное формирование матриц реакций для прямо-

угольных пластинок. Цилиндрическая складчатая система состоит из прямоугольных пластинок, работающих в условиях плоской задачи и задачи изгиба. У пластинки имеются два размера — ширина и высота. Под шириной будем понимать меньший размер пластинки, а под высотой — больший. В диссертационной работе рассматриваются складчатые системы большой протяженности. Сечение поперек длины пластинки будем называть поперечным сечением. Разделим пластинку поперечными сечениями. Часть пластинки, заключенную между двумя поперечными сечениями, будем называть слоем. Слой будем делить на конечные элементы.

Процесс послойного формирования пояснен на примере плоской задачи теории упругости. В случае изгибной задачи процесс совершенно аналогичен, но

в каждой точке принимается по три степени свободы (в случае плоской задачи — две степени свободы).

Рис.6

Рассмотрим слой, состоящий из одного элемента. Матрица реакций слоя, состоящего из одного элемента имеет вид:

Я =

Объединим блоки по сечениям н-н, к-к:

[X

гп гп 14

Г21 Г21 Г2> /24

»3. гп гъг 'м

гп Г»

(8)

я =

Рассмотрим слой из двух элементов.

к~

3 4 1 1 2 3 4 2 1 2

а а

Рис.7

Матрица реакций для слоя из двух элементов будет иметь вид:

V, 4 0 »13 г1 '14 0

г' +г2 '22 р' +г2 24 + '13

[X 0 Ъ 0

Ат, 0 & г1 0

^42 + ^ г1 г' +г2 44 т г33

0 г2 '41 £ 0 г2 43 гД

Примечание. Здесь и далее верхний индекс обозначает номер элемента. Матрицу реакций для слоя из «-элементов представим в виде:

(9)

Построим матрицу реакций для всей пластики (10).

Процесс послойного формирования осуществляется в следующей последовательности: первоначально из отдельных элементов (8) формируется матрица слоя (9), далее из отдельных слоев формируется матрица реакций для пластинки (10). Эта матрица имеет блочную трехдиагональную структуру. Размер блока, относящегося к отдельному слою, определяется количеством элементов в слое.

Кия Яш

Я/ос

г

4

(10)

После того как сформирована матрица реакций пластинки, ставятся кинематические граничные условия, эта операция осуществляется путем вычеркивания строки и столбца, соответствующих кинематическим граничным условиям. На место пересечения строки и столбца ставится единица. Учитываются стати-

ческие граничные условия В правую часть системы уравнений ставится фузо-вой столбец.

Далее решается система уравнений. В символьном языке Maple процесс решения системы уравнений осуществляется по правилу Крамера (через определители). Это удобно с точки зрения буквенных матриц — составляется одна программа вычисления определителя, и далее она многократно используется. Такая программа приводит к большим затратам машинного времени, поэтому была составлена программа решения систем уравнений по методу Гаусса (используя подстановку). Было составлено два варианта программы: поэлементное и поблочное исключение неизвестных. Было показано, что процесс исключения по Гауссу соответствует снятию связей. В диссертации решены тестовые примеры плоской задачи и задачи изгиба для пластинок.

Глава IV. Обобщенный стержень. Стержни бывают сплошного поперечного сечения, в которых принимается гипотеза плоских сечений на все сечение. Такие стержни изучаются в курсе сопротивления материалов. Гипотеза плоских сечений позволяет получить простые формулы для определения напряжений и перемещений в таких стержнях.

Наряду со стержнями сплошного поперечного сечения в практике используются тонкостенные стержни, в которых не работает гипотеза плоских сечений на все сечение. В тонкостенных стержнях сечений принимается гипотеза плоских для каждой пластинки в ее плоскости. Такие стержни являются более рациональными — материал распределяется по контуру, в котором и возникают наибольшие напряжения В тонкостенных стержнях нормальные и касательные напряжения распределяются равномерно по толщине элементов сечения Тонкостенные стержни бывают открытого и закрытого профиля. Для расчета тонкостенных стержней открытого профиля В.З. Власовым разработана специальная теория. Для расчета стержней замкнутого профиля разработаны две теории: теория А.А.Уманского, в которой контур сечения является недеформируемым и теория В.З.Власова, согласно которой стержень деформируется в поперечном сечении.

В диссертации используется дискретно-континуальная модель, предложенная В.З. Власовым, при этом, в отличие от В.З. Власова, вместо дискретно-континуального метода используется суперэлементный подход, при котором модель является дискретной (складчатая система поделена на слои, строится матрица реакций слоя и, далее, из матриц реакций слоя строится матрица реак-

ций для складчатой системы). При этом получаемся система алгебраических уравнений (вместо системы дифференциальных уравнений согласно методу В.З.Власова), решение резко упрощается и позволяет построить простейший комплекс по расчету складчатых систем. Такой комплекс может быть создан студентами и проектировидоками-расчетчиками для моделирования работы реальных несущих конструкций.

На рис. 8 показана схема складчатой цилиндрической системы, ее загруже-ние, граничные условия и показан слой, выделенный из этой системы.

Рис.8

Каждый элемент, выделенный из складчатой системы, работает в своей плоскости как мембрана (плоская задача) и работает на изгиб из своей плоскости. На рис. 9, а показан элемент, соответствующий плоской задаче, в местной системе координат и степени свободы этого элемента, на рис. 9,6 показан тот же элемент, находящийся в условиях задачи изгиба. Задача изгиба

Плоская задача, местная система координат

^ У местная система координат

Рис. 9

На рис. 10 показан элемент в глобальной системе координат и показаны степени свободы его узлов на примере точки 3. В диссертации построена матрица перехода от неизвестных в глобальной системе координат [{У] Ф1 С/2 Уг 02 Фг IIз Щ Ф3 и4 У4 Ф4]г к неизвестным в локальной системе координат [а, V, щ <р}

И2 И>2 Ф2 Щ Уз М'з фз «4 У4 УУ4 ф4]Г.

Рис. 10

Используя эту матрицу, строится матрица реакций отдельного элемента в глобальной системе координат. Далее из отдельных элементов в глобальной системе координат строится матрица реакций слоя и из слоев матрица реакций для складчатой цилиндрической системы. Далее учитываются кинематические и статические граничные условия, решается система уравнений, и определяются перемещения всех точек складчатой цилиндрической системы, по которым вычисляются усилия в элементах.

Тестовые примеры. Пример 1. Пластинка в условиях чистого изгиба. Значения перемещений, полученных по формулам сопротивления материалов:

М7

М1Ь и> =--= 8,

юг

у =-= 16.

2 Ы

Такие же перемещения были получены с использованием одного элемента по модели 2 (с заданным полем напряжений).

Пример 2 Прямоугольная коробка в условиях чистого изгиба. Исходные данные: = 8; ¿/2 = 6; 8| = §2 = 1; £= 2; ц = 0. Результаты расчета, полученные с помощью формул сопротивления материалов:

=--= 2,4615;

Ю 2

У = = 9,8462.

гю

Такие же перемещения были получены с использованием модели 2 (с заданным полем напряжений), при этом поперечное сечение коробки моделировалось четырьмя элементами. Пример 3.

Прямоугольная коробка при действии поперечного изгиба (рис. 13). Результаты расчета — в табл. 2. Исходные данные: с1\ = 8; с1г = 6; 6( = б2 = 1; Е = 2;

,1 = 0.

Таблица 2

1 слой 2 слоя 4 слоя

М! V IV V 1С V

Решение, полученное с помощью МКЭ (модель 2) 7,3846 -33,4447 7,3846 -40,7088 7,3846 -42,3362

Решение, получение с помядао формул сопрствпв-ния материалов 7,3846 42,1275 7,3846 -42,1275 7,3846 -42,1275

Продолжение таблицы 2

Продай отклонения

решения по МЮ от

решения по соцю- 0,00% 20,61% 0,00% 3,37% 0,00% 0,50%

•пшлснию материа-

лов

При поперечном изгибе эпюра моментов в консольной балке имеет вид прямой линии. С увеличением количества слоев ординаты эпюры моментов, получаемые расчетом по МКЭ, в пределах каждого слоя приближаются к ординатам прямой, поэтому с увеличением количества слоев решения, полученные по МКЭ, сближаются с решениями, полученными но формулам сопротивления материалов.

Пример 4. Расчет на внецентренное сжатие с использованием матрицы реакций с заданным полем напряжений (модель 2). Исходные данные: = 8; ¿г=(>ш, 5,=52=1;£ = 2;ц = 0.

ное обеспечение по созданию собственного комплекса по расчету цилиндрических складчатых систем с произвольным котуром поперечного сечения и произвольными граничными условиями, как на концах складчатой системы, так и в любых промежуточных сечениях (с помощью цилиндрических складчатых систем можно моделировать большое количество реальных конструкций: мосты, здания и т.д.).

2. Разработана и протестирована библиотека элементов дня расчета цилиндрических складчатых систем.

3. Разработан алгоритм и протестирован процесс послойного формирования матрицы реакций для слоя цилиндрической складчатой системы.

4. Построен алгоршм расчета цилиндрических складчатых систем с использованием суперэлементного подхода. При этом на каждой узловой линии, соединяющей пластинки принимается четыре неизвестных и расчет сводится к составлению и реше-

аооСА

Р - 7 6 737^72,

нию системы алгебраических уравнений с блочной трехдиагоналыюй матрицей (в методе В.З. Власова расчет таких систем сводится к решению системы обыкновенных линейных однородных дифференциальных уравнений, что значительно сложнее).

5. Суперэлеменгный подход позволяет рассчитывать цилиндрические складчатые системы с одинаковым поперечным сечением и со ступенчато переменной по длине толщиной пластинок. При использовании суперэлементного подхода процесс построения матрицы реакций для слоя производится поэлементно, что позволяет его легко автомаппировать.

6. Пластинки протяженных цилиндрических складчатых систем в продольном направлении в основном работают на изгиб в своей плоскости [для неизменяемости кошура поперечного сечения необходимо либо поставить идеальную диафрагму (ААУманский), либо учесть деформацию контура в поперечном сечении (В.З. Власов)]. Суперолементный подход позволяет учесть как идеальную диафрагму, так и деформацию кошура. Модель 2 дает четкую расчетную схему в случае учета деформации контура и обеспечивает гипотезу плоских сечений в плоскости каждой из пластинок в пределах слоя.

Основное содержание диссертации опубликовано работах:

1. Суперэлеменгный подход для расчета складчатых цилиндрических систем с использованием дискретно-континуальной модели В.З.Власова / Н.Н.Шапошников, А£. Майданов; Волгоградский государственный архитектурно-строительный университет. —Волгоград, 2005. —148 с.

Антон Евгеньевич Майданов

СУПЕРЭЛЕМЕНТНЫЙ ПОДХОД ДЛЯ РАСЧЕТА СКЛАДЧАТЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ДИСКРЕТНО-КОНТИНУАЛЬНОЙ МОДЕЛИ В.З. ВЛАСОВА Специальность 05.23.17 — Строительная механика

Подписано в печать 27.03.06. Формат 60x84 1/16. Печать трафаретная. Бумага офсетная. Гарнитура Times. Усл. печ. 1 л. Уч.-изд. 1 л. Тираж 100 экз. Заказ № 25.

Государственное учреждение высшего профессионального образования «Волгоградский государственный архитектурно-строительный университет» 400074, г. Волгоград, ул. Академическая, 1

Предисловие.

Исторический обзор по расчету тонкостенных стержней и складчатых систем.

Глава I. Метод прямых жесткостей.

Введение.

1.1 Понятие матрицы реакций.

1.2 Построение матрицы реакций для стержневой модели плоской задачи теории упругости.

1.3 Континуальная модель получения матрицы реакций с использованием формул сопротивления материалов.

1.4 Постановка задачи.

1.5 Операторы языка Maple, используемые в диссертационной работе.

2.1 Метод конечных элементов как метод Ритца. 74

2.2 Построение матрицы реакций для прямоугольного элемента с заданным полем перемещений (плоская задача). 83

2.3 Построение матрицы реакций для прямоугольного элемента с заданным полем напряжений (плоская задача). 94

2.4 Построение матрицы реакций для прямоугольного элемента по заданному полю перемещений (задача изгиба). 106

2.5 Основные результаты и выводы по главе. 122

Основные результаты и выводы:

На базе модели В.З. Власова в диссертации построено математическое и программное обеспечение по созданию собственного комплекса по расчету цилиндрических складчатых систем с произвольным контуром поперечного сечения и произвольными граничными условиями, как на концах складчатой системы, так и в любых промежуточных сечениях (с помощью цилиндрических складчатых систем можно моделировать большое количество реальных конструкций: мосты, здания и т.д.). Разработана и протестирована библиотека элементов для расчета цилиндрических складчатых систем.

Разработан алгоритм и протестирован процесс послойного формирования матрицы реакций для слоя цилиндрической складчатой системы. Построен алгоритм расчета цилиндрических складчатых систем с использованием суперэлементного подхода. При этом на каждой узловой линии, соединяющей пластинки принимается четыре неизвестных и расчет сводится к составлению и решению системы алгебраических уравнений с блочной трехдиагональной матрицей (в методе В.З. Власова расчет таких систем сводится к решению системы обыкновенных линейных однородных дифференциальных уравнений, что значительно сложнее).

Суперэлементный подход позволяет рассчитывать цилиндрические складчатые системы с одинаковым поперечным сечением и со ступенчато переменной по длине толщиной пластинок. При использовании суперэлементного подхода процесс построения матрицы реакций для слоя производится поэлементно, что позволяет его легко автоматизировать.

Пластинки протяженных цилиндрических складчатых систем в продольном направлении в основном работают на изгиб в своей плоскости [для неизменяемости контура поперечного сечения необходимо либо поставить идеальную диафрагму (А.А. Уманский), либо учесть деформацию контура в поперечном сечении (В.З. Власов)]. Суперэлементный подход позволяет учесть как идеальную диафрагму, так и деформацию контура. Модель 2 дает четкую расчетную схему в случае учета деформации контура и обеспечивает гипотезу плоских сечений в плоскости каждой из пластинок в пределах слоя.

180

1. Абовский Н.П., Андреев Н.П., Деруга А.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек. М.: Наука, 1978. - 288 с.

2. Александров А.В. Исследования работы тонкостенных стержней при действии продольных сосредоточенных сил. В сб.: "Исследования по теории сооружений", вып. 15, Стройиздат, 1967.

3. Александров А.В., Лащеников Б.Я., Шапошников Н.Н. Методы расчёта стержневых систем, пластин и оболочек с использованием ЭВМ. В 2-х частях. Под редакцией чл.-корр., АН СССР, д.т.н., проф. А.Ф. Смирнова. М.; Стройиздат, 1976.

4. Александров А.В., Лащеников Б.Я., Шапошников Н.Н. Строительная механика. Тонкостенные пространственные системы. Под редакцией чл.-корр. АН СССР, д.т.н., проф. А.Ф. Смирнова. М.: Стройиздат, 1983

5. Александров А.В. Метод перемещений для расчета плитнобалочных конструкций. Сб. тр. МИИТ, вып. 174. Трансжелдориздат, М., 1963.

6. Александров А.В., Потапов В.Д., Державин Б.П. Сопротивление материалов. "Высшая школа", М., 1995

7. Александров А.В., Потапов В.Д. Основы теории упругости и пластичности. М., Высшая школа, 1990. 400 с.

8. Александров А.В. Расчет коробчатых балочных пролетных строений по методу перемещений. В сб. Исследования по теории сооружений", вып. 14. Стройиздат, М., 1965.

9. Александров А.В., Шапошников Н.Н. Использование дискретной модели при расчете пластинок с применением цифровых автоматических машин. Сб. МИИТ, вып. 1984, Транспорт, М., 1966

10. Аль-Кудах Насер Сулейман. Применение персональных компьютеров для расчета и проектирования мостов. Дисс. на соискание ученой степени канд. техн. наук., М., 1990.

11. Амиро Н.Я. Расчёт пластинчатых и пластинчато стержневых систем по методу перемещений. Сб. трудов института механики АН УССР.- Киев, 1961.

12. Андреев ВЛТ, Петропавловский АА О расчете речного пролетного строения моста метро в Лужниках. Строительная механика и расчет сооружений, N5, 1959

13. Аратюнян Н.Х. Энергетические теоремы и расчет конструкций. В кн.: Современные методы расчета сложных статически неопределимых систем. Под ред. А.П. Филина - JI.: Судпромгиз, 1961, с. 37 - 255.

14. Афанасьев A.M., Банков В.Г., Геммерлинг А.В., Марьин В.А. Основы строительной механики. Оборонгиз, 1951

15. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. JI -М,: Стройиздат. 1982. 448с.

16. Башинский В.В. Новый метод расчёта балок и жёстких рамных систем. -М., Гостехиздат, 1930.

17. Бейлин Е.А. Кручение тонкостенных стержней замкнутого профиля при наличии продольных швов. Труды XIV всесоюзной конференции по теории упругости пластин и оболочек, т.1, Издательство Тбилисского университета. Тбилиси, 1987

18. Безухов Н.И., Лужин О.В. Устойчивость и динамика сооружений (в примерах и задачах). М.: Госстройиздат, 1963.

19. Безухов Н.И. Некоторые обобщения методов строительной механики в динамике сооружений. //Исследования по теории сооружений. Вып. 3,- M-JI. Гос. Издат. стр. литер., 1939.

20. Белоус А.А. Метод деформаций в динамике рамных конструкций.// Исследования по теории сооружений. Вып. 3.- M-JI, Гос. Издат. стр. литер. 1939.

21. И.Беляев В.Н. К расчету пространственных коробчатых систем при действии 41- закручивающих сил. "Техника воздушного флота", № 4, 1932.

22. Бернштейн С.А. Очерки по истории строительной механики.- М.: Госстройиздат, 1957. -236 с.

23. Болотин В.В. Гольденблат Н.Н. Смирнов А.Ф. Строительная механика, современное состояние и перспективы развития. Стройиздат, М., 1972

24. Н.Болотин В.В. Приближённый метод расчёта рам на колебания. Труды Московского энергетического института, вып. 17, 1955.

25. Блохин В.К. Исследование пространственной работы, железнодорожных пролетных строений со стальным мостовым полотном, объединенным со сквозными главными фермами. Дисс. на соискание ученой степени канд.техн. наук. М.,1973.

26. Бронштейн И.П., Семендяев К.А. Справочник по математике (для инженеров и учащихся вузов) Гос. Изд. технико-теоретической литературы, М., Л., 1948

27. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. ОГИЗ, М., -Л., 1948.

28. Бычков Д.В. Расчет балочных и рамных систем из тонкостенных элементов. Госстройиздат, 1948

29. Бычков Д.В. Строительная механика стержневых тонкостенных конструкций. Госстройиздат, 1962

30. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. -М.: Мир, 1987.-542 с.

31. Власов В.З. Тонкостенные упругие стержни. Стройиздат М 1940.

32. Власов В.З. Расчет тонкостенных призматических оболочек. ПММ, т. 8, вып. 5,1944

33. Власов В.З. Тонкостенные упругие стержни. Физматгиз, М., 1959

34. Власов В.З. Тонкостенные пространственные системы.- М.: Гостройиздат, 1958.

35. Власов В.З., Леонтьев Н.Н. Балки, плиты и оболочки на упругом основании.

36. Власов В.З. Тонкостенные пространственные конструкции типа призматических оболочек многосвязного профиля. В сб.: "Расчеты на прочность", выпи. 1,Машгиз, 1955

37. Власов В.З. Тонкостенные пространственные системы. Госстройиздат, 1949; изд. 2-е, 1958

38. Власов В.З. Избранные труды. Т. Н Изд. академии наук СССР, М., 1963

39. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. М.: Мир, 1984. - 428 с.

40. Галлер Р. Метод конечных элементов. Основы. -М.: МИ, 1988

41. Галилео Галилей. Беседы и математические доказательства, касающиесядвух новых отраслей науки, относящиеся к механике и местному движению.-М.: ГТТИ, 1934.

42. Гвоздев А.А. Расчет статически неопределимых систем -М.: МИИТ, 1927.- 240 с.

43. Гибшман М.Е. Проектирование металлических мостов. Транспорт, М., 1969.

44. Гибшман М.Е. Теория расчета мостов сложных пространственных систем. Транспорт, М., 1973.

45. Гибшман М.Е. Проектирование транспортных сооружений. Транспорт, М., 1980.

46. Гибшман М.Е. Таблицы для расчета пролетных строений транспортных сооружений. Справочник. Транспорт, М., 1985. сооружений. Транспортам., 98

47. Городецкий А.С, Заворицкий В.И., Лантух-Лященко А.И. и др. Метод конечных элементов в проектировании транспортных сооружений. Транспорт, М., 1981.

48. Дарков А.В., Шапошников Н.Н. Строительная механика. -М.: Высшая школа, 1988 607 с.

49. Джанелидзе П.О., Пановко Я.Г. Статика упругих тонкостенных стержней. Гостехиздат, М., 1948.

50. Зенкевич 0. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. - 544 с.51. Игнатьев, Соколов.

51. Инструкция к программе расчета комбинированных систем 9 методом конечного элемента СПРИНТ. ЦНИИпроект Госстроя * СССР, М., 1982.

52. Кан С.Н. Расчет тонкостенных конструкций. Изд. ВВИА им. Н.Е.Жуковского, 1948

53. Кан С.Н. Прочность замкнутых и открытых тонкостенных оболочек. Сб. Расчет пространственных конструкций. Вып. VI, Госстройиздат, 1961

54. Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа.- М.: Физматгиз, 1962. 708 с. 41. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Т. 1.- M.-JI: ГИТТЛ, 1951.-476 с.

55. Карпенко Н.И. К разработке строительных норм автоматизированного проектирования железобетонных конструкций (СНАП. Железобетонные конструкции ).

56. Киселёв В.А. Балки и рамы на упругом основании.- М.: Глав. Ред. Строительной литературы, 1930. 49.Киселёв В.А. Строительная механика. Общий курс.- М.: Стройиздат.1989.

57. Корноухов И.В. Приближённый расчёт устойчивости упругих рам по методу деформаций. М.-Л.: Гос. изд. стр. литер., 1939.

58. Корноухов И.В. Прочность и устойчивость стержневых систем.- М.: Стройиздат, 1949.

59. Косухин А.К. К вопросу о расчёте тонкостенных пространственных конструкций как систем сочленённых пластин. Труды конференции по теории пластин и оболочек 24-29 окт. 1961. Казань, 1961.

60. Крылов А.Н. О расчёте балок лежащих на упругом основании- М.: изд-во АН СССР, 1930г.

61. Куликовський П.Г. Основа методу пружкисто1 лши. BicTi КП №1, 1926.

62. Лантух-Лященко А.И. Решение дискретно-континуальным методом задач изгиба пластин, усиленных ребрами. Деп. УкрНИИНТИ п. 994, Киев, 1984.

63. Лебензон Л.С. Вариационные принципы механики. М.: Мир, 1965. - 408 с.

64. Лащеников Б.Я., Китаев К.Е., Шапошников Н.Н. Методика // расчета пространственных систем с применением ЭЦВМ "Урал-2" Тр. МИИТ, вып.А36. Транспорт, М., 1967.

65. Лужин О.В. Теория тонкостенных стержней замкнутого профиля и ее применение в мостостроении. Изд. ВИА. М., 1959

66. Масленников A.M. Расчет статически неопределимых систем в матричной форме. Стройиздат, Л., 1970.

67. Машин В.М. Устойчивость и колебания стержневых и пластинчатых систем, лежащих на упругом основании. Диссертация на соискание учёной степени кандидата технических наук,- М.: 1996.

68. Методические рекомендации по исследованию и конструированию конечных элементов. Авт. Городецкий А.С., Карпиловский B.C. Киев.: НИИ-АСС Госстроя УССР, 1981, 48 с.

69. Методы расчета стержневых систем, пластин и оболочек с использованием ЭВМ. Под ред. А.Ф. Смирнова. 4.1М.: Стройиздат, 1976, 248 с.

70. Методы расчета стержневых систем, пластин и оболочек с использованием ЭВМ. Под ред. А.Ф. Смирнова. Ч. 2. М.: Стройиздат, 1976, 237 с.

71. Мюллер-Бреслау Г. Графическая статика сооружений (перевод с немецкого) в 2-х томах. Т.2. СПб. Издание К.Л. Риккера, 1913.

72. Мяченков В.Н., Мальцев В.П. Методы и алгоритмы расчета пространственных конструкций на ЭВМ ЕС. Машиностроение, М., 1984

73. Назаренко С.Н, Вопросы автоматизации расчёта и проектирования тонкостенных стержней и призматических оболочек. Диссертация на соискание учёной степени кандидата технических наук. М.З 1993.

74. Немчинов Ю.И Расчет пространственных конструкций. Будивельник, Киев, 1980.

75. Папкович П.Ф. Строительная механика корабля, ч. П. JL: Государственное союзное издательство судостроительной промышленности, 1941.

76. Петров В.В. К расчету пологих оболочек при конечных прогибах. Научн. докл. высшей школы. М.: Строительство №1, 1959

77. Петров В.В. Исследование конечных прогибов пластинок и пологих оболочек методом последовательного нагружения. Тр. II Всесоюзная конф., Киев, 1962

78. Петров В.В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластинок и оболочек. В сб.: Контекстные и динамические задачи теории упругости пластинок и оболочек. Научн.тр. СПИ вып. 49, Саратов, 1970

79. Петров В.В. К вопросу расчету пластинок и пологих оболочек с учетом физической и геометрической нелинейностей. В сб.: Механика деформируемой среды, 1973

80. Петров В.В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластинок и оболочек. Саратов, 1975

81. Петров В.В. Дифференциальные уравнения призматических оболочек с учетом геометрической нелинейности, Саратов, 1979

82. Петров В.В. Кузнецов О.Р. Кручение прямого кессона из нелинейного вязко-упругого материала. Саратов, 1977

83. Петров В.В., Овчинников И.Г., Ярославский В.И. Расчет пластинок и оболочек из нелинейно-упругого материала, Саратов, 1976

84. Петров В.В. Рогов А.Н. Некоторые вопросы расчета нелинейно упругих цилиндрических оболочек, Саратов, 1977

85. Петров В.В., Семенов П.К. Некоторые вопросы применения обобщенного метода Власова Канторовича к расчету нелинейно-упругих пластин. Труды XIII Всесоюзной конференции по теории пластин и оболочек, Талинский политехнический. Институт, 1983

86. Пузыревский Н.П. Фундаменты.- М. Гст, 1934.

87. Пунин A.JI. Архитектуре современных зарубежных мостов Стройиздат, Л., 1974.

88. Расчет машиностроительных конструкций на прочность и жесткость. Авт. Шапошников Н.Н., Тарабасов Н.Д., Мяченков В. И., Петров В. Б. и.: Машиностроение, 1981. - 333 с.

89. Рабинович И.М, Развитие строительной механики в СССР М.

90. Резников Р.А. Методы решения задач строительной механики на электронных вычислительных машинах. Стройиздат, М., 1964.

91. Резников Р.А. Решение задач строительной механики на ЭЦВМ. Стройиздат, М., 1971.

92. Резников Р.А. Расчёт любых плоских стержневых систем на электронной машине БЭСМ-2М. Сб. Механизация и автоматизация расчётов в строительном проектировании. М.: Издательство Гипротис, 1963.

93. Ржаницин А.Р. Расчет тонкостенных стержней ступенчато-переменного сечения. В сб. "Исследования по теории сооружений", вып. 5, Госстройиздат, 1951

94. Ржаницын А.Р. Строительная механика. Высшая школа, М.,1982.

95. Розин JI.A. Стержневые системы как системы конечных элементов. Изд. Ленинградского университета, Л., 1976.

96. Розин Л.А. Метод конечных элементов в применении к упругим системам. Стройиздат, М., 1 977.

97. Рокки К.С., Эванс Х.Р. Проектирование стальных мостов. Транспорт, М., 1986.

98. Секулович М. Метод конечных элементов. М. : Стройиздат, 1993, - 664 с.

99. Смелянский А.Б. Исследование пространственной работы мостов с тонкостенными несущими элементами. Дисс. на соиск. ученой степени канд. техн. наук, М., 1 980.

100. Смирнов А.Ф. Исследование устойчивости упругих систем по &$ методу малых возмущений. Тр. МИИТ, вып. 69 "Строительная механика и мосты". Трансжелдориздат, М., 1946.

101. Смирнов А.Ф. Статическая и динамическая устойчивость сооружений. Трансжелдориздат, М., 1947.

102. Смирнов А.Ф., Александров А.В, Лащеников Б.Я., Шапошников Н.Н. Строительная механика (стержневые системы). Под общей редакцией чл.-корр. АН СССР, д.т.н., проф. Смирнова А.Ф. Стройиздат, 1984.

103. Смирнов А.Ф., Александров А.В., Шапошников Н.Н., Лащеников Б. Я. Расчет сооружений с применением вычислительных машин. Изд. лит. по строительству, М., 1954.

104. Смирнов А.Ф. Таблицы функций для расчёта упругих систем на устойчивость и колебания.- М.: 1956

105. Смирнов А.Ф. Устойчивость и колебания сооружений, Трансжелдориздат, М., 1958.

106. Смирнов А.Ф., Александров А.В., Монахов Н.И. и др. Сопротивление материалов. Высшая школа, М., 1975.

107. СНиП 2.05.03-84 Мосты и трубы. Гос. комитет СССР по делам строительства. М., 1985.

108. Снитко Н.К. Устойчивость сжатых и сжато-изогнутых систем.- Д.: Стройиздат, 1956.

109. Современные методы расчета сложных статически неопределимых систем. Сб. переводов под ред. проф. А.ПФилина. Судпромгиз, Д., 1961.

110. Стрелецкий Н.Н. Сталежелезобетонные мосты. Транспорт, М , 1981.

111. Строительная механика в СССР 1917 1967 гг. Сб. статей под ред. И.М.Рабиновича. Стройиздат, М.; 1969.

112. Строительная механика в СССР 1917 1957 гг. Сб. статей под ред. И.М.Рабиновича. Гос. изд. лит. по строительству и арх. М., 1957.

113. Строительная механика. Тонкостенные пространственные системы. Авт. Александров А.В., Лащеников Б.Я., Шапошников Н.Н. Под ред. Смирнова А.Ф. М.: Стройиздат, 1983.- 488 с.

114. Табакман А.В. Исследование напряженно деформированного состояния металлических коробчатых пролетных строениймостов. Дисс. на соиск. ученой степени канд. техн. наук, М., 1982.

115. Тарабасов Н.Д., Шапошников Н.Н., Петров В.Б., Мяченков В.И. Расчёт машиностроительных конструкций на прочность и жёсткость.- М.: 41 Машиностроение, 1981.

116. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Наука, 1963,-636 с.

117. Тимошенко С.П. История науки о сопротивлении материалов. Гостехиздат, М., 1958.

118. Тимошенко С.П. Теория упругости М.: Наука, 1975 -576 с.

119. Улицкий Б.Е. Пространственный расчет бездиафрагменных пролетных строений мостов. Автотрансиздат, М., 1963.

120. Улицкий Б.Е., Потапкин А.А. и др. Пространственные расчеты мостов. Транспорт, М., 1967.

121. Уманский А.А. Изгиб и кручение тонкостенных авиаконструкций. Оборонгиз, М., 1997

122. Уманский А.А. Строительная механика самолета. Оборонгиз, М., 1961.

123. Урбан И.В. Теория расчета стержневых тонкостенных конструкций. Трансжелдориздат, М., 1955.

124. Филин А.П. Матрицы в статике стержневых систем.- M.-JI,: Изд. Литер. По стр., 1966.

125. Филоненко-Бородич М.М. Простейшая модель упругого основания, способная распределять нагрузку. Труды МЭМИИТ вып. 53. Трансжелдориздат, 1945.

126. Чирас А.А. Строительная механика. Стройиздат, М., 1989.

127. Шапошников Н.Н. Расчет тоннельных обделок по методу перемещений с применением ЭВМ. Изд. МИИТ, М., 1969.

128. Шапошников Н.Н. Исследование вопросов применения метода конечных элементов к расчету тонкостенных пространственных конструкции. Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук. М., 1973, -321 с.

129. Шапошников Н.Н., Монахов, И.И. Расчет цилиндрических систем и пологих оболочек, шарнирно опертых по торцам с использованием метода конечных элементов. Расчеты на прочность. Вып. 18. Машиностроение, М., 1977.

130. Шапошников Н.Н., Тарабасов Н.Д., Петров В.Б. и др. Расчет машиностроительных конструкций на прочность и жесткость. Машиностроение, М., 1981.

131. Шапошников Н.Н. Юдин В.В., Шварцман Л.М. Расчет конструкций с использованием метода последовательного удвоения суперэлемента. Машиностроение^., 1984

132. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационные исчисления. Наука, М., 1965

133. Янг Ю.И. Изгибно-крутильные деформации тонкостенных стержней открытого профиля. Гостехиздат, 1952

134. Chobot K. Pouziti Maticoveho poctu ve stavebni mechanice. Praha: SNTL, 1967, 284 s.

135. Ciarlet P., Raviart P.A. General Lagrange and Hermitean Interpolation in Rn with Applications to Finite Element Methods. Archive for Rational Mechanics and Analysis. Yol 46 " 3, 1972, p. 177 199.

136. Ellas Z.M. Duality in the Finite Element Method. Proceedings of the American Society of Civil Engineers. Journal of the Engineering Mechanics Division. August, 1968, p. 931 -946.

137. Finite Element Methods in Stress Analysis. Ed. by I. Holand and K. Bell. Trondheim: Tapir, 1970. 500 p.

138. Friedrichs K. Ein Yerfahren der Yariationsrechnung. Nachrichten der Qessel-shaft der Wissenshaften zu Gottingen, 1929, p. 13 20.

139. Gallagher R.H., Dhalla A.K. Direct Flexibility Finite Element Elasto-Plastic Analysis. Proceedings of the First International Conference on Structural Mechanics in Reactor Technology. Berlin, September, 1971, 6, part M, p. 443 462.

140. Handbuch fur den Stahlbau, Ban IV. Verlag fur Bauwessen. Berlin. DDR, 1974.

141. Oravas Q., McLean L. Historical Development of Energetical Principles in Elastomechanics. Part 1. Applied Mechanics Reviews vol. 19, t 8, August, 1966, p. 647 658. Part 2. Applied Mechanics Reviews, vol. 19, # 11, November, 1966, p. 919-933.

142. Ostenfeld A. Die Defonnationmethode. Berlin: J. Springer, 1929, 118 p.

143. Przhemieniecki J.S. Theory of Matrix Structural Analysis. New York: McGraw-Hill Book Company, 1968, 468 p.

144. Turner M.J., Clough R.W, Martin H.C. and Topp L.J. Stiffness and Deflection Analysis of Complex Structures. -Journal of the Aeronautical Sciences, vol. 23, # 9, September, 1956, p. 805 823, 854.

145. Wittfoht Hans. Building bridges. History Technology construction. 1984тд

146. ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ1. На правах рукописи

147. СУПЕРЭЛЕМЕНТНЫЙ ПОДХОД ДЛЯ РАСЧЕТА СКЛАДЧАТЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ДИСКРЕТНО-КОНТИНУАЛЬНОЙ МОДЕЛИ В.З. ВЛАСОВА