автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Некоторые методы расчета плит с постоянными физико-геометрическими характеристиками на основе точных аналитических решений

На правах рукописи

КОЛЕСНИКОВ Геннадий Павлович

НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ПЛИТ С ПОСТОЯННЫМИ ФИЗИКО-ГЕОМЕТРИЧЕСКИМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ НА ОСНОВЕ ТОЧНЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ

Специальность 05.23.17 - Строительная механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва - 2006

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования Московском государственном строительном университете.

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Варданян Гумедин Суренович

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Трушин Сергей Иванович

доктор технических наук, старший научный сотрудник Шарафутдинов Геннадий Зиатдинович

Ведущая организация: ГУП Московский научно-исследовательский и проектный институт типологии, эксперементального проектирования (МНИИТЭП)

Защита СОСТОИТСЯ «¿О » _ 2006 г. в часов на заседании

диссертационного совета Д 212.138.12 при ГОУВПО Московском государственном строительном университете по адресу: 113114, г. Москва, Шлюзовая наб., д. 8, ауд.<оОЪ_.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУВПО Московского государственного строительного университета.

Автореферат разослан « П- » сли^л_2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Современное состояние вычислительной техники и маТёматики,"в том числе вычислительной, таково, что оно позволяет перейти "к интенсивной реализации аналитических решений. В первую очередь, например^ можно отметить принципиальную возможность точного решения систем из десятков, сотен и тысяч дифференциальных уравнений с использованием функций- от матриц. Такие задачи естественным образом возникают при расчете конструкций с постоянными физико-геометрическими характеристиками по одному из направлений (пространственному или временному). -Подобные конструкции широко представлены в строительстве, можно сказать, они даже составляют здесь большинство. Данное обстоятельство объясняется, прежде всего, их производственной технологичностью, как при изготовлении, так и при проектировании и монтаже. В свою, очередь, аналитические решения позволяют на основе явного представления решения математическими формулами лучше увидеть качественную картину поведения различных факторов, в частности деформаций и напряжений. Это особенно важно в опасных зонах при наличии краевых эффектов, внешних сосредоточенных воздействий и т.д. Именно перечисленные факторы, главным образом, и определяют безопасность и надежность конструкций. Кроме того, аналитические расчеты в большей степени развивают интуицию исследователя, чем непосредственные численные, чисто дискретные методы. Так, например, дискретными методами не всегда можно угадать асимптотическое поведение решений, что приводит к неправильным или избыточным реточ-ным построениям. К актуальности настоящей работы можно отнести л то, что существенно развиваются численные методы, реализации непосредственных подходов на основе функционального анализа, в частности, методы теории операторов, вычисления их спектральных характеристик (собственных и присоединенных функций и собственных значений) для реальных пространственных задач. Наконец, аналитические подходы позволяют адекватно оценить точность чисто дискретных методов, реализованных в универсальных программных комплексах; Еще одной причиной актуальности темы является тот'факт, что многие так называемые полуаналитические и аналитические методы, предложенные в период до ЭВМ и в начале их появления, такие как метод Л.В. Канторовича, метод В.З. Власова, методы О. Зенкевича и т.д., не сопровождались корректной в математическом и чисто численном отношении реализацией, и это объясняется, к сожалению, недостаточной степенью изученности или исследованности свойств задачи. Так, например, обще-известньш метод начальных параметров и его обобщение в виде метода начальных функций для большинства строительных проблем представляется крайне некорректным подходом к решению корректных задач. Все это приводит к необходимости разработки эффективных алгоритмов и программ «промышленного типа» на основе поиска других методов аналитических решений. Перечисленные вопросы и задачи в полной мере относятся к расчетам плитных конструкций^ имеющих свою математическую специфику.

Цели и задачи работы. Целью работы является построение эффективных методов расчета плит на основе точных аналитических решений при произвольных краевых условиях и нагрузках, в том числе; и для многоточечных краевых задач. В работе рассматриваются дискретно-континуальные подходы, т.е. по одному из направлений («поперечному») осуществляется дискретный подход, а по другому направлению («продольному», основному) задача остается континуальной, и решение осуществляется на основе точного аналитического решения системы (т.е. не в виде ряда, а с использованием ап-. парата функций от матриц и операторов).

Начальной задачей работы является использование операторных подходов и обобщенных функций при формулировке краевой задачи с выделе. нием основного направления, что приводит к формированию обыкновенного дифференциального уравнения четвертого порядка с операторными коэффициентами, включающими краевые условия.

• Следующая задача - это дискретная аппроксимация операторных коэффициентов на основе метода конечных элементов и вариационно-разностного метода, причем для реализации первого метода требуется формирование нескольких нестандартных матриц жесткости, которые правильно строить на основе общематематических подходов.

Перечисленные задачи могут соответствовать традиционным подходам и имеют лишь более удобную математическую и алгоритмическую основу, в частности, более корректную в отношении учета краевых условий.

Главной научной и практической целью является разработка корректного аналитического решателя для дискретно-континуальной задачи, обеспечивающего на корректной основе построение алгоритмов и программ промышленного типа. .

Научная новизна полученных в диссертационной работе результатов заключается в следующем:

1. Построены эффективные с точки зрения дальнейшей вычислительной реализации математические формулировки и подходы, обеспечиваю, щие дискретно-континуальную постановку задачи расчета плиты, в частности сведение исходнрй задачи в начале к обыкновенному дифференциальному. уравнению четвертого порядка с операторными коэффициентами, включающими краевые условия, а затем к аналогичной системе из двух уравнений второго порядка. ,

2. Построены дискретно-континуальные модели плиты на основе конеч-ноэлементной и вариационно-разностной аппроксимаций операторных коэффициентов, представляющих собой нетрадиционные сочетания дифференциальных операторов, включающих в себя краевые условия и обобщенные функции.

3. Выполнен математический анализ разрешающей системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), который объясняет, почему суще, ствующие до сих пор подходы не могли быть успешно реализованы в

общем случае. Следует отметить «коварные» свойства матрицы, определяющей систему. Это наличие в ее спектре собственных значений разных

знаков, жесткость системы, наличие в спектре жордановых клеток и соответственно наличие присоединенных или корневых векторов в жорда-новом разложении, а также значительную размерность матрицы. Перечисленные свойства делают, практически непригодными традиционные методы решения, в частности, такие Как метод начальных параметров.

4. Поскольку в настоящее время не существует корректных вычислительных методов, обеспечивающих жорданово разложение матриц такого типа, в работе предлагается построение проекторов, основанное на использовании правых и левых собственных векторов. Это позволяет представить исходную матрицу в виде ортогональной суммы матриц, соответствующих различным участкам спектра исходной матрицы, в частности, выделяется оператор, определяющий часть спектра, соответствующую жордановым клеткам»

5. Построена фундаментальная матрица-функция, что выполнено с учетом с учетом свойств определяющей матрицы. На основе этой фундаментальной матрицы-функции рредлагается общая формула решения произвольной краевой задачи, обеспечивающая корректную реализацию, которая обходит все «подводные вычислительные камни» и обеспечивает корректный решатель промышленного типа.

Практическая ценность работы состоит в:

^ разработанной методике формирования корректного аналитического решателя для широко распространенного класса конструкций;

^ создании предварительных программных комплексов, которые могут стать основой для построения комплексов промышленного типа;

^ расчетах реальных конструкций.

Внедрение работы состоит в использовании разработанных методов, алгоритмов и программ для решения задач расчета строительных конструкций в МГСУ, Научно-исследовательском институте энергетических сооружений РАО «ЕЭС России» и Научно-исследовательском центре СтаДиО.

На защиту выносятся:

1. Общий подход к решению краевых задач строительной механики на основе теории операторов и обобщенных функций.

2. Сведение исходной краевой задачи расчета плиты к обыкновенному дифференциальному уравнению с операторными коэффициентами, включающими краевые условия.

3. Дискретно-континуальная расчетная модель плиты на основе конечно-элементной ащтроксимздии в поперечном направлении.

4. Дискретно-континуальная расчетная модель плиты на основе вариационно-разностной аппроксимации в поперечном направлении.

5. Общая методика представления определяющей матрицы системы дифференциальных уравнений в виде суммы взаимно ортогональных матриц, соответствующих различным участкам спектра исходной матрицы (положительный спектр; отрицательный спектр; спектр, соответствующий жордановым клеткам; выделение мягкой и жесткой частей спектра и т.д.) с построением соответствующих проекторов.

6. Построение фундаментальной матрицы-функции (обратного оператора) в корректной форме, исключающей использование экспонент от положительных аргументов и соответствующих им гиперболических функций.

. 7. Построение общего решения краевой задачи расчета плиты, включая многоточечную в аналитической форме (корректный решатель).

8. Алгоритмы и программы для расчета плитных конструкций (основа для построения программных комплексов промышленного типа). Апробация работы. Материалы диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: XXI Международная конференция «Математическое моделирование в механике сплошных сред на основе методов граничных и конечных элементов ВЕМ&РЕМ» (Санкт-Петербург, 2005 г.); Научные семинары научно-исследовательского центра СтаДиО (Москва, 2005-2006 гг.); Научные семинары кафедры информатики и прикладной математики МГСУ под руководством профессоров В.Н. Сидорова и А.Б.Золотова (Москва, 2005-2006 гг.); Научно-техническая конференция профессорско-преподавательского состава факультета Промышленное и гражданское строительство МГСУ (Москва, 2006 г.); Научный семинар кафедры сопротивления материалов МГСУ под руководством профессора Г.С. Варданяна (Москва, 2006 г.).

Достоверность и обоснованность результатов основана на строгости используемого математического аппарата; сопоставлении полученных результатов с результатами проводимых параллельно контрольных расчетов с привлечением программных комплексов промышленного типа; сопоставлении результатов расчета с решениями, полученными по другим аналитическим и численным методам; экспертной оценке точности решений специалистами в области НДС.

. -Публикации. По материалам и результатам исследований опубликовано: 7.работ.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы, включающего 173 наименования, и 7 приложений. 152 страницы основного теста и 41 страница приложений включают 117 рисунков и 6 таблиц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обоснование актуальности темы исследования, формулируются цели и задачи диссертационной работы, приводятся основные положения, составляющие научную новизну, и отмечается практическая ценность. Кратко излагается содержание работы по главам.

В первой главе приводится обзор и характеристика некоторых численно-аналитических методов решения задач расчета конструкций, среди которых метод Л.В. Канторовича, метод В.З. Власова, метод прямых, метод конечных полос, методы конечных слоев, метод .конечных призм, дискретно-континуальный метод конечных элементов, дискретно-континуальный вариационно-разностный метод и дискретно-континуальный метод граничных элементов.

Среди работ, посвященных методам JI.B. Канторовича и В.3. Власова, отмечаются труды A.B. Акаева, F.H. Дульнева, М.Г. Когана, В.Ф. Оробея, В.А. Постнова, А. Рухул, M.S. Cheung, S.FíNg, J. Zhao и других авторов.

Отмечается вклад в развитие метода'прямых таких ученых как A.A. Атавин, Р.Д. Бачелис, И.С-. Березин, Б.М. Будак, И.В. Буледза, Ф.П. Васильев, А.Д. Горбунов, К.И. Грицевичюс, Б.П. Демидович, Н.П. Жидков, А.И. Задорин, H.H. Калиткин, ЛИ. Камынин, И.Ю: Король, Е.Х. Костюкович, H.A. Кудряшов, С.С. Кучеренко, В.Н. Медведько, В.Г. Меланед, С.Г. Михлин, A.C. Омуралиев, В.И. Рыбасов, В.И. Рындюк, С.Н. Скляр, М.Г. Слободянский, Ю.И. Сыцько, В.В. Тарасевич, А.П. ФйЛин, Л.М. Чеботарева, А.Д. Чернышев, ДБ. Шляйфер, R. Donat, A. Marquinà, V. Martinez, G. Torres, С. Turner и др.

Среди исследований в области метода конечных полос указываются работы A.B. Александрова, Е.И. Кочемзсовой, Н.П. Тютюнникова, Б. Улицко-го, Ф.Н. Шклярчука, G. Akhras, F.T.K. Au, M. Azhari, M. Abdollahian, R. Bao, M.A; Bradford, V. Byreddy, YJ. Byun, С .J. Chen, H.-C. Chen, X. Chen, S.H. Cheng, M.S. Cheung, Y.K. Cheung, S-,E. Chidiac, C.K. Choi, K.P. Chong, C.T. Christov, A.R. Cusens, D.J. Dawe, A. Dragolov, G. De Roeck, A. Dragolov, S.C. Fan, S.V. Fan, R. Friedrich, T. Ganev, G.N. Geannakakes, B.W. Golley, Y.L Guo,

A.V. Gupta, R.M. Gutkowski, G.J. Hancock, D. Hartman, T. Hayashi, A.-F. He, E. Hinton, Z. Ho, H.S. Hong, Iu Vai Pan, K. Kawashima, K.H. Kim, M. Kolchakov, J. Kong, A.T.F. Kwong, D.T. Lau, S.C.W. Lau, Y. Li, W. Li, J. Lindner, P. Litewka, Y.C. Loo, T. Mizusawa, S. Mohd, C.M. Mota Soares, C.A. Mota Soares, M. Muk-hopàdhyay, M. Netmimann, S.F. Ng, В. Novrouzian, E. Oñate, A. Oskoorouchi, ...

B.S.V; Patnaik,*? J. Petrolito, L. Petroya, J.A. Puckett, P. Qiao, K. Ramachandraii,

F.G. Rammerstorfer, MA. Ramos ¡Loja, N.V.R. Rao, J.L. Rose, A.H. Sheikh, B. Suárez, Z. Sun, R. Sygulski, P. Swannell, R. Szilard, W.S. Tam, L.G. Tham, J. Van Den Broeck, G.M. Van Érp, S.W. Yuen, D.C. Wan, P.C. Wang, S. Wang, X. Wang,

G.W. Wei, W.X. Zhong, G. Zou и др.

В области развития метода конечных слоев и метода конечных призм отмечаются разработки^. Chakrabarti, Y.K. Cheung, K.P. Chong и L.G. Tham.

Анализируются дискретно-континуальные методы расчета строительных конструкций; предложенные в работах П.А. Акимова и А.Б. Золотова.

Указывается, что важную роль в развитии аппарата обобщенных функций сыграли труды таких математиков и физиков, как П. Антосик, Ж. Арсак, H.H. Боголюбов, Г. Бремерман, Ю.А. Брычков, А. Вайтман, B.C. Владимиров, М. Волерс, И.М. Гельфанд, Л. Гординг, А. Земанян, Р. Йост, В Г Кеч, A.A. Логунов, Л. Мальгранж, Я. Микусинский, М.К. Поливанов, Р. Сикор-ский, СЛ. Соболев, Р. Стритер, П. Теодореску, И.Т. Тодоров, Ж. Трев, Л. Хермандер, Л. Шварц, Г.Е. Шилов, Д.В. Широков, Л. Эренпрайс и др. Среди ученых-механиков, привлекавших аппарат обобщенных функций для решения строительных задач отмечаются П.А. Акимов, Д.Н. Алексеев, М.В. Белый, Н.С. Блохика, В.Е. Булгаков, Н.М. Герсеванов, А.Б. Золотов, Т.Б. Кай-туков, E.H. Курбацкий, A.B. Ларионов, Е.С. Лейтес, Д.В. Медведько, МЛ. Мозгалева, Л.Г. Петросян, О.В. Садов, В.Н. Сидоров, В.И. Травуш, В.А. Харитонов, А.И. Цейтлин, И.В: Ширинская, В.И. Ширинский и др.

Во второй главе рассматриваются постановки краевых задач расчета плит в рамках дискретно-континуальных методов.

Традиционная постановка краевой задачи расчета плиты включает описание исходной области О, занимаемой плитой, условий на границе области Г = сЮ и условий внутри области, которые в простейшем случае описываются уравнением Софи Жермен - Лагранжа

У4\у(х) = я(х)/0, х = (х,,х2)еО, (2.1)

где V4 = с?4 + 23^<32 + д2 - бигармонический оператор; х,, х2 - используемые координаты; \у - прогиб плиты; 0 = ЕЪ3 /[12(1-V2)] - цилиндрическая жесткость плиты; И - толщина плиты; v - коэффициент Пуассона материала плиты; я - плотностьнагрузки; 8к ~8/8хк, к = 1,2.

Соответствующая операторная формулировка краевой задачи, включающая все три части традиционной постановки в согласованном с вычислительной точки зрения виде, в частности, для естественных краевых условий и при наличии упругого основания (с - жесткость основания) имеет вид:

8\ (ОМ,) + 2 8х8г (вМ12) + 8\ (0М2) + 0с\у = (22)

= -вц + 8Г0 + 81(8ГЛ1) + 82(8ГЛ2), (х,,х2)ею где М,=0(х,+ух2); М2 = 0(ух, + Х2): М12 =0.5-0(1-у)х12; (2.3)

X, = %2 = ~д1™> Шп = -2Э,Э2\у (2.4)

- соответственно изгибающие и крутящий моменты, изменения кривизны и кручения; С), Лг - поперечная сила и крутящие моменты на границе плиты; о - расширенная область, окаймляющая О; 9 - характеристическая функция области О; 8Г - дельта-функция границы Г = еЮ,

е = 6(х„х2) = |^ 5г =5г(х]>х2) = 50/5у; (2.5)

v = [ v, у2 ]Т ~ внутренняя нормаль к границе Г = 8С2 в выбранной точке.

■ Оператор краевой задачи (2.2) в соответствии с аналогией метода конечных элементов (МКЭ) можно назвать континуальным оператором жесткости конструкции. Постановка (2.2) на практике является основной, так как необходимость удовлетворения кинематическим граничным условиям, как правило, учитывается в процессе решения задачи на дискретном уровне.

Далее выделяется одно направление, соответствующее переменной х2, вдоль которого физико-геометрические характеристики плиты остаются неизменными, называемое в дальнейшем основным или «продольным». Подставляя (2.4) в (2.3) и затем полученные соотношения в (2.2), можем перейти от постановки (2.2) к обыкновенному дифференциальному уравнению четвертого порядка с операторными коэффициентами, которое без учета «поперечных» краевых условий записывается следующим образом:

+ + = &, (х1,х2)есо, (2.6)

где <?4 = ; = -[с^ВБу+2^00(1 - \)ЬХ + 0Оу£,2] ; % = -д^вОЭ* + 0с; (2.7)

& = 0я - 5ГС2 - а, (5Г^,) - 82 (8ГЛ2). (2.8)

Отметим, что приведенные операторные коэффициенты включают в себя только краевые условия вдоль основного направления. Постановка (2.6)-(2.8) являетсй исходной с точки зрения разработанных в диссертации методов. С позиции дальнейшего аналитического решения сформулированную таким образом задачу необходимо'свести либо к первому, либо ко второму порядку,-Более целесообразным является переход от уравнения (2.6) к системе второго порядка. Введя обозначение

у = у^хг^а^хрх^'лг'хх,^); ' у"(х,,х2) = д2у(х,,х2), (2.9) и, рассматривая их наряду с (2.6), будем иметь: - О-

где и:

1Г = ЭШ =

_ и ; <Г =

v

О

р =

о

я1*

(2.10) (2.11)

В таком виде возникает удобная возможность решения исходной задачи в аналитической форме по основному направлению.

Оператор Ф является дифференциальным, неограниченным, имеет собственные числа разных знаков и жордановы клетки, которым, кроме собственных функций, соответствуют и присоединенные. Без учета каждого из этих факторов реализация аналитического решения задачи практически невозможна.

В третьей главе рассматриваются вопросы сведения исходной задачи к дискретно-континуальной постановке в рамках дискретно-континуального метода конечных элементов (ДКМКЭ) (рис. 3.1).

ьй дискретно-конгину&чьный

конечныи элемент

Рис. 3.1. Дискретно-континуальная аппроксимирующая модель плиты.

Область П окаймляется расширенной со. Принимается дискретно-континуальная модель следующего типа: по основному направлению плиты (ось Ох2) сохраняется континуальный характер задачи, тогда как по «поперечному» (ось Ох,) производится аппроксимация с использованием стандартной техники МКЭ (рис. 3.1). Плита аппроксимируется ансамблем дискретно-континуальных конечных элементов (ДККЭ); И, - шаги сетки по Ох,.

Подход к дискретизации по «поперечному» направлению с позиции МКЭ состоит в аппроксимации исходных операторов на основе применения полиномов третьего порядка. Так, для описания полей и V по «поперечному» сечению произвольного ДККЭ используются формулы:

™(х,,х2) = 1адК(х2); у(х„х2) = М,(1)у!(х2), (х„х2)еа,, (3.1)

где ^ =Ni(t) = ïTC,:1 =[NM Ni>3 NM];

- матрица функций формы («поперечных») по сечению ДККЭ,

1.2 , <^«.3. хт /*\_U , ,.3>

(3.2)

Njj (t) = 1 - 3t + 2tл ; Nu(t) = h, (t - 2t2 + fj) ;

Ni3(t) = 3t2-2t

3.

Ni>4(t) = hiC-t2 +t3); (3.3) wi = wi(x2) = [(w|1)T (wi,+1)T ]T; vi = vi(x2) = [ (v|1)T (v^1)"1" f ; (3.4) w|,=wUx2) = [wi ф) ]T; v'=y'(x2) = [Vi Vi]T. (3.5)

t = (x, te[0,1] - локальная координата, связанная с ДККЭ (рис. 3.1).

В качестве основных неизвестных в узлах ДККЭ принимаются функции w, ф, v и \|/ (для i-ro узла это функции Wj, ф^ и где

ф = ô1w(x1,x2) ; v = ô2w(xj,x2); у = d1v(x„x2). (3.6)

Как видно, в качестве основных неизвестных в узлах ДККЭ принимаются функции w, ф, v и , определяемые формулами.

Глобальные вектор-функции узловых неизвестных имеют вид:

Ûn(x2) = [(wn)T (vn)T ]т; Ô2Un=ô2Un(x2); (3.7)

wn(x2) = [(w')T(w2n)T...(wi)T]T; vn(x2) = [(vi)T(v;)T...(vnN)T]T. (3.8) Выражения для частных производных от неизвестных функций по х,, х2 получаются дифференцированием (3.1) с учетом формул (3.6) и используемых при необходимости операций осреднения. На основе (2.3)-(2.4) строятся выражения для изгибающих и крутящих моментов, поперечных сил на ДККЭ.

При таком характере аппроксимации операторные коэффициенты переходят в матрицы, которые формулируются аналогично матрицам жесткости в МКЭ. Имеем следующие соответствия между континуальными операторами (2.7) и их дискретно-континуальными аналогами на элементе:

,2?4=0D => IC4 = (l/42O)-0iDihiHiA4Hi ; (3.9)

^=4ô?eDv.+ 2d,eD(lTv)d,+eDvd?] => К2 = K2il + К22 + К'2з; (3.10) 5?0 = -ôfGDdf + 9с => К'0 = К'0>] + Kq2; (3.11)

К.2,1 =(l/3O)-0iDivihfHiA2,Hi; К'2>3 =(l/30).6iDivihfHiA2i2Hi; (3.12)

К2,2 =

ед(1 Vi)h¡цд^ц. к^^геАЬ^Ао,^; 42=^-Н^Ц;(3.13)

15

: ^0,2 -

^■2,1 - А2(з -

156 22 54 -13

-36 -3 36 -3

22

4 13

13 156

-3 -22

-33 -4 3 1

Н, =

54 -13 -3 -22 4 _

-3 1

33 -4

36 3

-36 3

1 о о о

о h, о о

А 2,2 -

А-0,1 ~

0 0

1 0

36 3

-36 3

6 3 -6 3

о о о h,

3

4 -3 -1

3 2 -3 1

-36 -3 36 -3

-6 -3 6 -3

3 -1

-3

4

- 3 1

-3 2

; (3.14)

; (3:15)

(3.16)

где Д и - значения цилиндрической жесткости на ДККЭ; с1 - значение коэффициента, характеризующего жесткость основания для ДККЭ; верхний индекс Т обозначает рперацию транспонирования матрицы.

Вектор нагрузок в виде сосредоточенных сил в ьм узле имеет вид:

К1п(х2) = [(П,,;)т_(К1,п)Т ]\ (3.17)

где <,п(х2) = [К^П(1 <>П)2]^ких2) = 0; П,п,2=0; (3.18)

~~ значение сосредоточенной силы, приложенной в ьм узле.

После того как на основе предложенной в диссертации общей методики сформированы локальные матрицы «жесткости» (3.7)-(3.10), по стандартной методике МКЭ строятся соответствующие глобальные матрицы «жесткости». Континуальные операторы (2.7), (2.11) и матрицы К4,К2 и К0 2Ы-го порядка сопоставлены следующим образом:

"О Е

к4 к2

Вектор нагрузок во всех узлах ДККЭ определяется в форме:

vT /ел \T-iT „„„ ТУI /-„ л mxi чТ /rri+l \T-iT,

(3.19)

к'(х2М(П)7 Ют]\ где ких2) = [(П,„)' 00 ] ; (3-20)

Глобальный вектор нагрузок дискретно-континуальной модели имеет вид:

(3.21)

R(x2) = [(Rw)1 О]1, где R„(k2) = \< R

Ri]T.

Будем полагать, что приложенная к плите нагрузка представляет собой совокупность сосредоточенных сил или сводится к такой совокупности.

Пусть х2 ч, я = 1, 2, ..., пд - координаты нагруженных сосредоточенными силами поперечных сечений плиты (рис. 3.2). Можем записать:

Rw(X2) = ZRq,w5(X2 -X2,q)> Г«е Rq,w(Х2) = [ RU R

Rq.wtezXfiCP-q.w.n)7 (R-qtw^)7]7; Rq,wfl(X2) = [Rq,w,nJ R^,w,n2 ]T> (3.23) т.е. Rq w - вектор значений узловых сил, приложенных в, сечении с координатой х2>ч; здесь и далее запись типа 5(х) - дельта-функция Дирака.

С учетом построенных глобальных матриц и векторов континуальная постановка (2.10)-(2.11) переходит в следующий дискретно-континуальный аналог:

Щ=Айп+1, (3.24)

О ^ (K4)"'RW

Статические граничные условия для плиты учитываются в векторе узловых нагрузок. Для. решения задачи (3.24) должны быть приняты во внимание «поперечные» граничные условия (рис. 3.3).

Пусть-x2k, к = 1,2,...»nk-координаты граничных поперечных сечений плиты (рйс. 3.3). Граничные условия в них имеют вид: Un(x2k -О)

"2

■q,w

Rjw]T; (3.22)

где

R = R(x2) =

U' =э,и„; и:=а2и

(3.25)

в:

u;(x2bk-o)

+ в:

ВДх'и+О) U'nixSi'+'O)

= gk- + gk+, k = 2,3,...,nk -1; (3.26)

Х1Ч -.г

I Л.

Рис, 3.2. Пример приложения сосредоточенной силы к плите.

х,

X? X

X, 1

Рис. 3.3. Пример расположения координат граничных поперечных сечений.

в;

и^-О)

[и;п(х2ьл-о)]

+ В! "к

ип(хЬПк +0) [_ и'п(х2 пк + 0)

1Г+Ё"к, (3.27)

где Вк, В£ - матрицы граничных условий, квадратные 8Ы-го порядка; - заданные 8Ы-мерные вектора правых частей граничных условий;

Итак, имеем многоточечную краевую задачу для системы из 4К ОДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами:

и;=Аип+1;

в:

в;

ип(х5>к - о) иих2,к-0)

Пп(х2ь,к -0)

ип(х5>к +о)

и;(х2ьк+0)

пк

= 8к

к = 2,3,...,пк -1

= ёГ + ё1

(3.28)

. (3.29)

ип(х2°1к+0) .и'Дх^+оу

Учет граничных условий вдоль основного направления отличных от естественных сводится к внесению соответствующих корректировок в (3.28)-(3.29).

Анализ задачи (3.28)-(3.29) и аналитические методы ее решения рассматриваются в Главе 5 диссертации. После определения узловых неизвестных и их первых производных по х2, т.е. компонент вектор-функций (3.7), в соответствии с соотношениями Главы 2 находятся изгибающие и крутящие моменты, изменения кривизны и кручения, поперечные силы и т.д.

В четвертой главе рассматривается сведения исходной задачи к дискретно-континуальной постановке с использованием дискретно-континуального вариационно-разностного метода (ДКВРМ). Этот метод облегчает процесс аналитического решения, поскольку он не связан с введением дополнительных неизвестных. Наличие законтурных точек при «поперечной» дискретизации плиты в рамках дискретно-континуальной модели не приводит к алгоритмическим усложнениям задачи. Кроме того, считается, что введение законтурных точек в рамках вариационно-разностного метода (ВРМ) ведет к повышению точности по сравнению с МКЭ (рис. 4.1). ДКВРМ может использоваться как для получения непосредственного решения задач расчета плит, так и для сопоставления с результатами, найденными при помощи ДКМКЭ.

Х1

Рис. 4.1. Дискретно-континуальная аппроксимирующая модель плиты.

В рамках ДКВРМ принимается дискретно-континуальная модель аналогичная той, которая использовалась в ДКМКЭ. Область со разбивается на дискретно-континуальные сеточные элементы (ДКСЭ) (рис. 4.1).

Вводятся сеточные операции. Для основных дифференциальных операторов используется кусочно-постоянное восполнение внутри ячеек сетки (в «поперечном» направлении).

Основными неизвестными в узлах являются функция перемещений плиты лу(х2) и ее вторая производная по х2 (функция у(х2)), т.е. для ¡-го узла это \у;(х2) и у^Хз), используются их кусочно-линейные восполнения.

Векторы глобальных неизвестных имеют вид:

^п(х2) = [\у0 ш, ... \уы+1]т; уп(х2) = [у0 v, ... у„+1]т._' (4.1)

Формулы дискретной аппроксимации операторов имеют вид:

аи = аи; аЭ?и =± аН-'э'Н-'Вй; д?аи = 0*Нч0Н-'аи; (4.2)

а;а91и = 0,НТ1аН-'0й; 5?аЭ?и = Б'Н-'ПН^аО'Н-'Ш. (4.3) где и = [и0 и, и2 ... ик+1]т; ф = [ср0:,ф, ф2" ... сры Фн+1 У> (4-4) причем Ь0 = Ь1; Ьы =Ьк+1 =ЬЫ_!; Ь0 =11, = Ь,; Ц = Ьн+1 = (4.5)

Н = <^{110 И, ... Ьк+,}; Н = <Шщ{Ь0 Ь, ... Ьк+,}; (4.6)

а = сНа§{а0 а, ... ак+,}; а = £Иав{а0 а, ... (4.7)

Е>=

-1,- 1 -1

-1

О

-1 1 -1

1 -1

X +Ь: /2

ai = |а(х)ёх!; ^ = |а(х)ёх,; (4.8)

'и .

N+2 N+2 • '-4-

, . а = 0а; а0 = ан+, = а0 = аы =0; и - сеточная функция. ~!-.(4.9) ; Используя формулы дискретной аппроксимации' операторов, перепишем дифференциальное уравнение изгиба плиты (2.6) в следующей дискретно-континуальной форме (ниже Б = Р(х2) - вектор нагрузок):

+ где ? = ?(х2) = [Е0 Р, ... Ры Ры+1]т.(4.10)

Пусть х2к, к = 1,2,...,пк - координаты граничных поперечных сечений плиты. Граничные условия в этих сечениях, могут быть записаны в виде:

в;

+ Вк+

ип(*2,к-0)

и;.(х2ь>к-о)

"5п(*2.1-0)

и;(х;Л+о)

в;

&+1к+, к = 2,3,...,пк -1; (4.11)

(4.12)

ип(х2ьПк +0)

и^(х5,„к +0)

где Вк,Вк - матрицы граничных условий, квадратные 4(К + 2)-го порядка; ёк > 8к ~~ заданные 4(Ы + 2)-мерные векторы правых частей граничных условий;

йп=ип(х2)=Ч(^п)т (уп)т]т; и;=а2Пп(х2); (4.13)

Статические граничные условия для плиты учитываются в векторе узловых нагрузок. Кинематические граничные условия вдоль основного направления задаются на уровне дискретно-континуального оператора задачи.

Анализ (4.10) показывает, что матрица А4 является диагональной, ее первая и последняя строки нулевые; матрица А2 - трехдиагональная, ее первая и последняя строки нулевые; структура матрицы А0 пятиди атональная, без нулевых строк. Итак, первое и последнее уравнение в системе (4.10) являются алгебраическими и в этой связи они исключаются из (4.10) с использованием специально разработанного в диссертации алгоритма редукции. А4ЭХ-А2дХ-А0<=Р,..где ^ = = \У2 .:. ЛУк]т; ^(4.14)

где А4,А2,А0,Р - соответствующие редуцированные аналоги матриц А4:, А2, А о и вектора Р; континуальные операторы (2.7), (2.11) и полученные матрицы могут быть сопоставлены следующим образом:

0 Ё А4 А0 А4 а2

.. После формирования глобальных матриц и векторов, а также проведения редукции граничных условий (4.11)-(4.12) и введения соответствующих обозначений, переходим к многоточечной краевой задаче для системы из 2Ы ОДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами аналогичной (3.28)-(3.29), где

К = Щх2) = 1.а?1е

% => А"

Ш

$ => А =

(4.15)

и^=иих2) =

ш:

V1

1_ п и

(4.16)

Анализ задачи и аналитические методы ее решения рассматриваются в Главе 5 диссертации. После определения узловых неизвестных и их первых производных по х2, т.е. компонент вектор-функций (4.16), в соответствии с соотношениями Главы 2 находятся изгибающие и крутящие моменты, изменения кривизны и кручения, поперечные силы и т.д.

В пятой главе описаны разработанные методы аналитического решения многоточечных краевых задач (МКЗ) строительной механики для ОДУ первого и второго порядков с постоянными коэффициентами, к которым сводятся предлагаемые в диссертации дискретно-континуальные методы расчета плит.

Под МКЗ понимается задача с «внутренними» граничными условиями, т.е. совокупность обычных краевых задач, рассматриваемых на областях, имеющих общие границы. МКЗ представляют расчетную схему широкого спектра практических задач строительной механики (в частности, плиты с промежуточными опорными закреплениями, шарнирами, прочими связями). Частными случаями МКЗ являются двухточечная краевая задача и одноточечная краевая задача, например, задача Коши.

Традиционная постановка многоточечной краевой задачи для системы ОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:

у^-Ау = ?, хеи(хкь,х£+1); (5.1)

+ к = 2,3,...,пк -1; (5.2)

ВГУ(х5)1+0) + В;кУ(х5>Пк-0) = 11++1п-к, . (5.3)

где у = у(х) = [ у, (х) у2 (х) ... уп (х) ]т - искомая п-мерная вектор-функция; ? = ?(х) = [Г1(х) Г2(х) ... ^(х)]т - заданная п-мерная вектор-функция правых частей; А - матрица коэффициентов, квадратная п-го порядка; Вк,Вк -заданные матрицы граничных условий, 2п-го порядка; 1к,1к - заданные 2п-мерные векторы правых частей граничных условий; хк, к = 1,пк - координаты граничных точек; У = У(х) = [ (у(х))т (у(1)(х))Т ]Т -

Специфика задачи (5.1)-(5.3) и проблемы построения ее .аналитического решения определяются свойствами матрицы А, которые повторяют свойства оператора @ (см. (2.10)г(2Л 1)), но в дискретном виде. В рамках диссертации проведены всесторонние исследования в этом направлении и выявлены следующие качественные особенности матрицы А:

- матрица А является «жесткой», т.е. отношение ее максимального собственного числа к минимальному (по модулю) является большим числом:

I ^шах 111 I ^ м > где м - большое число, (5.4)

при этом «жесткость» асимптотически возрастает;

- действительные части собственных чисел имеют разные знаки;

- в спектральном разложении матрицы А присутствуют жордановы клетки и присоединенные (корневые) вектора, при этом они соответствуют нулевым собственным значениям;

- указанные жордановы клетки имеют конечный вид и практически не

зависят от густоты сетки дискретно-континуальных элементов, аппроксимирующих «поперечное» Сечение плиты.'

Для систем линейных дифференциальных уравнений" с постоянными коэффициентами принципиально всегда существует возможность построения общего решения в точной аналитической форме. Слова «точная аналитическая форма» означают, что решение ищется не в рядах, а на основе построения аналитических функций от матрицы. Что касается5 рядов, то всегда возникают вопросы их реальной сходимости, и это, как правило, не дает гарантии успешного решения в наиболее важных случаях.

Как известно, в случае простейшей двухточечной краевой задачи с граничными точками х^Оих^/ аналитическое решение в рамках метода начальных параметров определяется в виде

у(х) = с*1(л/Ах)у(0) + -А~1/25Ь(л/Ах)у(1)(0) + - |зЬ(л/А(х - (^, (5.5)

если не различать вещественные и комплексные переменные.

Но дело в том, что построение точного аналитического решения в традиционной форме (например, (5.5)) приводит к практически нереализуемым вычислениям, В первую очередь это возникает из-за наличия в спектральном разложении функций вида ехр(А.х), где Яе(Ъс) > 0. Из-за жесткости систем (5.1) Ке(А-х) может быть порядка 102 и более, например 300. Такая функция в прикладной математике называется «вычислительной катастрофой» и не реализуется на ЭВМ. Сюда же и по той же причине относятся гиперболические функции и сЬ(Х,х). Другая проблема связана с нали-

чием присоединенных векторов и жордановых клеток (имеется в виду неединичного порядка) в жордановом разложении матрицы А, которое имеет вид:

А = иТ",< где 1 = {11,12,...,1и}; сЦт;Гр=тр; (5.6)

Т - невырожденная матрица, столбцами которой являются собственные и корневые (присоединенные) векторы матрицы А; I - матрица Жррдана; 1р -

жорданова клетка, соответствующая собственному значению Л,р; и - общее количество различных собственных значений.

В настоящее "время существуют достаточно мощные алгоритмы вычисления собственных значений, но, к сожалению, не Существует ни одного численно устойчивого метода вычисления жорданового разложения в общем случае, реализация же «чисто теоретических» подходов приводит к накоплению недопустимых погрешностей.

Разложение (5.6) для наглядности и демонстрации специфики задачи можно представить в виде:

А =

Т„

',2

(5.7)

Т,

где.Т, 1Л Тп - соответственно матрицы, содержащие правые и левые собствен-

ные; векторы, соответствующие ненулевым собственным значениям матрицы А с неотрицательными действительными частями; Т12, Т12 - тоже ненулевым собственным значениям матрицы А с отрицательными действительными частями; Т2, Т2 - соответственно матрицы, содержащие «правые» и «левые» собственные и присоединенные векторы, соответствующие нулевым собственным значениям матрицы А; 1П, 112 - диагональные матрицы Жордана, отвечающие соответственно ненулевым собственным значениям с неотрицательными и отрицательными действительными частями; 12 - квазидиагональная матрица Жордана, отвечающая нулевым собственным значениям.

Матрицы Т,, и Т12 предлагается определять из решения левой проблемы собственных значений (учитывается тот факт, что практически невозможно на практике построить матрицы Т и Т'1 в разложении (5.6) при наличии в матрице I жордановых клеток неединичного порядка).

Предлагаемая в диссертации методика частичного жорданового разложения состоит в рассмотрении матрицы коэффициентов А как оператора и введении трех подпространств. Первое подпространство отвечает собственным векторам, соответствующим ненулевым собственным значениям с неотрицательными действительными частями, второе — собственным векторам, соответствующим ненулевым собственным значениям с отрицательными действительными частями, третье — собственным и присоединекным векторам, соответствующим нулевым собственным значениям.

Вычисление проекторов на первые два подпространства осуществляется за счет определения правых и левых собственных векторов матрицы коэффициентов, которое производится по устойчивому алгоритму. Иными словами одновременно решается левая и правая проблемы собственных значений, что является очень существенным приемом для получения конечного результата. Проектор на подпространство собственных векторов, отвечающих ненулевым собственным значениям, после специальных сортировок собственных значений и собственных векторов может быть определен формулой:

= Т,(Т1Т,)~1Т,. (5.8)

Третье подпространство является дополнительным к двум первым и не нуждается в специальном построении проектора. Он находится как разность тождественного оператора с первым проектором, которому он ортогонален:

Р2=Е-Р,. (5.9)

Таким образом, частичное жорданово разложением имеет вид:

А = А, + Л2, где А^Т^/Г,, А2 = А-А,. (5.10)

Разработанный в диссертации метод точного аналитического решения задачи (5.1)-(5.3) основан на использовании фундаментальной матрицы-функции, определяющейся уравнением (ниже Е - тождественный оператор)

е(2) - Ае = Й(х)Е. (5.11)

Фундаментальная матрица-функция при этом строится однозначно в некотором специальном виде, исключающем экспоненциальные функции с положительными аргументами. На подпространстве, отвечающем собствен-

ным и присоединенным векторам, соответствующим нулевым собственным значениям, выполняется прямое построение решения. Имеем:

' С ' ' "1ш4Х 1' i ' . , . ' ■. ■■■

e(x)sT1Eó(x)Tp+x+P2+ Xt^-x^AÍ,...где штах=тахтР (5.1.2)

-Vj|x|);

mmax конечно. (5.13)

Общее решение задачи на произвольном интервале (х£,х£+]) имеет вид:

Yk(x) = Ek(x)Ck+S

к'

х е (хк,хк+1),

где Ек(х)Е(х::-хк)-Е(х-хк+1); S^x) = s * fk; Fk(x)^f(x)0bk(x);

Е(х) =

s(x) s(1)(x)

Б(2)(х)

;(х)

"(X).

екь(х)=

1, X с (хк,хк+1)

О, хе(хьк,хьм)-

Матрицу-функцию Е(х) можно представить в виде: Е(х) = Е,(х) + Еа(х),

где. E,(x) ^Tj

Е sign(x)Ví sign(x)VJ . ^ J ...

®е0(х)Т,;

:sign(x)«2x(x)-l; " х+ = х~' sign(x);

(5.14)

(5.15)

(5.16)

(5-.1.7) (5.18)

Е2(х) = х(х)

"•та>

(X)

J=1 Lzj

Zj(x)

1

(2j + l)¡

x2+j+I;(5.19)

-(1)(х)' г?>(х)

знак х(х) функция Хэвисайда^ 12 - единичная матрица второго порядка; ®

обозначает операцию кронекерова произведения матриц; каждый при вы' ' 1 'Ля*«" .;■•

числении выбирается с неотрицательной вещественной частью.

: . Нахождение коэффициентов в (5.14) из граничных условий (5.2)-(5.3) производится.явным матричным методом или методом базисных вариаций.

Формула (5.14) является корректной' альтернативой формулы (5.5). Это основа «промышленного» решателя для точного аналитического решения задач типа (5.1)-(5.3), встречающихся в строительной механике (пример - постановка (3.28)-(3.29)). Это'наиболее значимое звено в предлагаемой общей методике. -

В диссертации также разработан усовершенствованный метод решения МКЗ для системы ОДУ 1-го порядка с постоянными коэффициентами. Это актуально с тех позиций, что сведение задачи расчета плиты к системе 1-го порядка является альтернативой сведению к системе 2-го порядка.

В шестой главе и приложениях 1-8 приводятся сведения о программных реализациях дискретно-континуальных методов расчета плит, а также о'решенный тестовых и практически важных задачах. Представлены расчеты многопролетной балки, цилиндрической оболочки, прямоугольных пластин;при различных условиях опирания по. краям, ленточного фундамента, подпорной стены и фундаментной плиты (рис. 6.1), имеются сопоставлений получаемых результатов с результатами, определенными по программным комплексам промышленного типа (Ашуз 9.0, СтаДиО 2005 и Лира 9.0).

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Сформулированы континуальные постановки задачи об изгибе плиты на упругом основании с выделением основного направления.

2. Разработаны дискретно-континуальные модели плиты на основе ко-нечноэлементной и вариационно-разностной аппроксимаций операторных коэффициентов, включающих в себя краевые условия.

3. Выполнен математический анализ разрешающей системы дифференциальных уравнений, выявлены исходные причины, из-за которых аналитическое решение нереализуемо при традиционных подходах (наличие в ее спектре собственных значений разных знаков, жесткость системы, наличие в спектре жордановых клеток и соответственно наличие присоединенных или корневых векторов в жордановом разложении, а также значительную размерность матрицы).

4. Разработаны и реализованы на ЭВМ методы аналитического решения многоточечных краевых задач строительной механики для больших систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого и второго порядков, позволяющие преодолеть трудности, связанные с явлениями типа краевого эффекта (жесткие системы), возможным различием знаков собственных значений матрицы коэффициентов, наличием жордановых клеток в спектральном разложении матрицы.

5. На основе разработанных методов и программных комплексов решен

ряд строительных задач, в частности, проведены расчеты балок, оболочек, прямоугольных пластин при различных условиях опирания по краям, ленточного фундамента, фундаментной плиты и подпорной стены. 6. Полученные результаты позволяют оценить злияние-краевого эффекта на НДС плит, получить устойчивые и универсальные методы расчета, позволяющие создать программные комплексы промышленного типа, расширить область аналитических и полуаналитических подходов в расчете и исследовании плит, имеющих постоянные физико-геометрические характеристики по одному из направлений.

Основные положения и результаты диссертации опубликованы в

следующих работах:

1. Колесников Г.П,- Вопросы постановки и методология расчета плитных конструкций в рамках дискретно-континуального вариационно-разностного метода. // Вопросы прикладной математики и вычислительной механики: Сб. науч. тр. №8. - М.: МГСУ, 2005, с. 157-161. Ч •

2. Акимов П.А., Золотов А.Б., Колесников Г.П. Другой вариант метода аналитического решения многоточечных краевых задач строительной механики. // Вопросы прикладной математики и вычислительной механики: Сб. науч. тр. №8. - М.: МГСУ, 2005, с. 40-43.

3. Золотов А.Б., Акимов П.А., Колесников Г.П., Мсхалая Ж.И. Континуальная постановка задачи об изгибе плиты на упругом основании в рамках дискретно-континуального вариационно-разностного метода.'// Вопросы прикладной математики и вычислительной механики: Сб. науч. тр. №8. -М.: МГСУ, 2005, с. 105-110. *

4. Золотов А.Б., Акимов П.А., Колесников Г.П., Мсхалая Ж.И., Ширинский В.И. Использование дискретно-континуального вариационно-разностного метода для расчета плит. // Вопросы прикладной математики и вычислительной механики: Сб. науч. тр. №8. - М.: МГСУ, 2005, с. 111-123.

5. Золотов А.Б., Акимов П.А., Сидоров В.Н., Колесников Г.П. Метод аналитического решения многоточечных"краевых задач строительной механики для систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. // Вопросы прикладной математики и вычислительной механики: Сб. научГтр. №8. -М.: МГСУ, 2005, с. 124-134.

6. Золотов А.Б., Акимов П.А., Сидоров В.Н., Колесников Г.П. Использование дискретно-континуального вариационно-разностного метода для расчета плитных конструкций. // «Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов». Тезисы докладов XXI Международной конференции. Санкт-Петербург. 2005 г. - СПб, НИИХ СПбГУ, 2005, с. 96-98Г

7. Золотов А.Б., Вардянян Г.С., Акимов П.А., Колесников Г.П. Некоторые методы расчета плит с псстоякными"фйзико-геометрическими характеристиками на основе точных аналитических решений. // Сборник трудов научно-технической конференции профессорско-преподавательского состава факультета ПГС МГСУ. -М.: МГСУ, 2006, 10 с. ,-

КОПИ-ЦЕНТР св. 7: 07: 10429 Тираж 100 экз. Тел. 185-79-54 г. Москва, ул. Енисейская д. 36

Введение.

Глава 1. Обзор и характеристика некоторых основных численно-аналитических методов решения задач расчета конструкций.

1.1. Метод Л.В. Канторовича.

1.2. Метод В.З. Власова.

1.3. Метод прямых.

1.4. Метод конечных полос.

1.5. Метод конечных слоев и метод конечных призм.

1.6. Дискретно-континуальный метод конечных элементов.

1.7. Дискретно-континуальный вариационно-разностный метод.

Ь 1.8. Дискретно-континуальный метод граничных элементов.

1.9 Применение аппарата обобщенных функций в строительной 30 механике.

Глава 2. Постановки краевых задач расчета конструкций в рамках дискретно-континуальных методов и некоторые общие вопросы.

2.1. Введение.

2.2. Традиционная, операторная и вариационная постановки задачи об изгибе плиты.

2.3. Операторная постановка задачи в рамках дискретно-континуального подхода.

2.4. Вариационная постановка задачи в рамках дискретно-континуального подхода.

Глава 3. Использование дискретно-континуального метода конечных элементов (ДКМКЭ) для расчета плит.

3.2. Дискретно-континуальная аппроксимирующая модель конструкции. Дискретно-континуальный конечный элемент (ДККЭ). 41

Диссертация Колесникова Г П. Содержание

3.2.1. Дискретно-континуальная аппроксимирующая модель плиты. 41

3.2.2. Дискретно-континуальные конечные элементы. 41

3.2.3. Локальная система координат на элементе. 42

3.3. Аппроксимация неизвестных функций. 42

3.4. Аппроксимация частных производных от неизвестных функций на ДККЭ. 44

3.5. Определение внутренних усилий на ДККЭ. 46

3.6. Построение основных локальных матриц ДККЭ. 47

3.7. Построение локального вектора нагрузок ДККЭ. 49

3.8. Построение глобальных матриц дискретно-континуальной модели. 49

3.9. Построение глобального вектора нагрузок дискретно-континуальной модели. 50

3.10. Соответствие континуальной и дискретно-континуальной постановок задачи. 51

3.11. Учет граничных условий поперечных по отношению к основному направлению. 51

3.12. Задание некоторых стандартных типов граничных условий поперечных по отношению к основному направлению. 52

3.13. Формирование разрешающей многоточечной краевой задачи. 65

3.14. Учет граничных условий вдоль основного направления. Задание некоторых стандартных типов граничных условий вдоль основного направления. 66

Глава 4. Использование дискретно-континуального метода конечных элементов (ДКМКЭ) для расчета плит. 68

4.1. Введение. 68

4.2. Дискретно-континуальная аппроксимирующая модель конструкции. Дискретно-континуальный сеточный элемент (ДКСЭ). 69

4.2.1. Дискретно-континуальная аппроксимирующая модель плиты. 69

4.2.2. Дискретно-континуальные сеточные элементы. 70

4.2.3. Характеристическая функция сеточного элемента. 70

4.2.4. Выбор «законтурных» дискретно-континуальных сеточных элементов. 70

Диссертация Колесникова Г П. Содержание

4.3. Сеточные функции и операции над ними, их восполнение.71

4.3.1. Понятие о сеточной функции.71

4.3.2. Сеточные операции.71

4.3.3. Восполнение сеточных функций.72

4.3.4. Основные сеточные неизвестные и их восполнение.72

4.4. Аппроксимация операторов.73

4.5. Учет граничных условий.75

4.5.1. Общий вид записи и форма представления граничных условий. 75

4.5.2. Примеры формулировок некоторых наиболее распространенных типов граничных условий. 76

4.6. Формирование основных дискретно-континуальных операторов. 77

4.7. Основное дифференциальное уравнение задачи в дискретно-континуальной форме, его структура и редукция. 78

4.7.1. Дифференциальное уравнение изгиба плиты в дискретно-континуальной форме. 78

4.7.2. Анализ структуры уравнения и вида входящих в него операторов. 79

4.7.3. Редукция системы дифференциальных уравнений. 80

4.7.4. Редуцированные граничные условия. 82

4.8. Переход к разрешающей многоточечной краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. 82

4.8.1. Связь и соответствие между континуальными и дискретно-континуальными операторами. 82

4.8.2. Соответствие континуальной и дискретно-континуальной постановок задачи. 82

4.8.3. Формирование разрешающей многоточечной краевой задачи. 83

4.8.4. Определение изгибающих и крутящих моментов, изменений кривизны и кручения, поперечных сил. 83

Глава 5. Многоточечные краевые задачи строительной механики и точные аналитические методы их решения. 84

5.1. Понятие о многоточечной краевой задаче. 84

5.2. Некоторые особенности и специфика многоточечных краевых задач, возникающих при расчете плит дискретно-континуальными методами. 85

5.3. Обзор и характеристика некоторых традиционных методов решения многоточечных краевых задач строительной механики. 86

5.4. Универсальный метод точного аналитического решения многоточечной краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами. 89

5.5. Универсальный метод точного аналитического решения многоточечной краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. 98

5.6. Методы решения, использующие возмущение матрицы коэффициентов. 106

Глава 6. Сведения о разработанном программном обеспечении и примерах расчета. 107

6.1. Программный комплекс DIFSYS, реализующий методы аналитического решения многоточечных краевых задач строительной механики для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. 107

6.2. Программный комплекс DCFEMPL, реализующий дискретно-континуальный метод конечных элементов для расчета плит. 108

6.3. Программный комплекс DCVDMPL, реализующий дискретно-континуальный вариационно-разностный метод для расчета плит. 108

6.4. Расчет многопролетной балки. 109

6.5. Расчет цилиндрического резервуара. 112

6.6. Расчеты прямоугольных пластин при различных условиях опирания по краям. 115

6.6. Расчет ленточного фундамента. 123

6.7. Расчет подпорной стены. 126

6.8. Расчет фундаментной плиты. 129

Заключение. 132

Диссертация Колесникова Г.П Литература.

Содержание 138

Приложение 1. Программные комплексы, реализующие разработанные дискретно-континуальные методы расчета плит. 153

Приложение 2. Сведения о программных комплексах промышленного типа, используемых для сопоставлений и контроля результатов. 159

Приложение 3. Примеры решения многоточечных краевых задач строительной механики при расчете балок и оболочек. 164

Приложение 4. Расчеты прямоугольных пластин при различных условиях опирания по краям. 168

Приложение 5. Расчет ленточного фундамента.179

Приложение 6. Расчет подпорной стены.184

Приложение 7. Расчет фундаментной плиты.189

Введение

Актуальность работы. Современное состояние вычислительной техники и математики, в том числе вычислительной, таково, что оно позволяет перейти к интенсивной реализации аналитических решений. В первую очередь, например, можно отметить принципиальную возможность точного решения систем из десятков, сотен и тысяч дифференциальных уравнений с использованием функций от матриц. Такие задачи естественным образом возникают при расчете конструкций с постоянными физико-геометрическими характеристиками по одному из направлений (пространственному или временному). Подобные конструкции широко представлены в строительстве, можно сказать, они даже составляют здесь большинство. Данное обстоятельство объясняется, прежде всего, их производственной технологичностью, как при изготовлении, так и при проектировании и монтаже. В свою очередь, аналитические решения позволяют на основе явного представления решения математическими формулами лучше увидеть качественную картину поведения различных факторов, в частности деформаций и напряжений. Это особенно важно в опасных зонах при наличии краевых эффектов, внешних сосредоточенных воздействий и т.д. Именно перечисленные факторы, главным образом, и определяют безопасность и надежность конструкций. Кроме того, аналитические расчеты в большей степени развивают интуицию исследователя, чем непосредственные численные, чисто дискретные методы. Так, например, дискретными методами не всегда можно угадать асимптотическое поведение решений, что приводит к неправильным или избыточным сеточным построениям. К актуальности настоящей работы можно отнести и то, что существенно развиваются численные методы, реализации непосредственных подходов на основе функционального анализа, в частности, методы теории операторов, вычисления их спектральных характеристик (собственных и присоединенных функций и собственных значений) для реальных пространственных задач. Наконец, аналитические подхо ды позволяют адекватно оценить точность чисто дискретных методов, реализованных в универсальных программных комплексах. Еще одной причиной ак

Диссертация Колесникова Г.П Введение туальности темы является тот факт, что многие так называемые полуаналитические и аналитические методы, предложенные в период до ЭВМ и в начале их появления, такие как метод Л.В. Канторовича, метод В.З. Власова, методы О. Зенкевича и т.д., не сопровождались корректной в математическом и чисто численном отношении реализацией, и это объясняется, к сожалению, недостаточной степенью изученности или исследованности свойств задачи. Так, например, общеизвестный метод начальных параметров и его обобщение в виде метода начальных функций для большинства строительных проблем представляется крайне некорректным подходом к решению корректных задач. Все это приводит к необходимости разработки эффективных алгоритмов и программ промышленного типа на основе поиска других методов аналитических решений. Перечисленные вопросы и задачи в полной мере относятся к расчетам плитных конструкций, имеющих свою математическую специфику.

Цели и задачи работы. Целью работы является построение эффективных методов расчета плит на основе точных аналитических решений при произвольных краевых условиях и нагрузках, в том числе и для многоточечных краевых задач. В работе рассматриваются дискретно-континуальные подходы, т.е. по одному из направлений («поперечному») осуществляется дискретный подход, а по другому («продольному», основному) задача остается континуальной, и решение осуществляется на основе точного аналитического решения системы (т.е. не в виде ряда, а с использованием аппарата функций от матриц и операторов).

Начальной задачей работы является использование операторных подходов и обобщенных функций при формулировке краевой задачи с выделением основного направления, что приводит к формированию обыкновенного дифференциального уравнения четвертого порядка с операторными коэффициентами, включающими краевые условия. Следующая задача - это дискретная аппроксимация операторных коэффициентов на основе метода конечных элементов и вариационно-разностного метода, причем для реализации первого метода требуется формирование нескольких нестандартных матриц жесткости, которые правильно строить на основе общематематических подходов. Перечисленные задачи могут соответствовать традиционным подходам и имеют лишь более

Диссертация Колесникова ГП Введение удобную математическую и алгоритмическую основу, в частности, более корректную в отношении учета краевых условий.

Главной научной и практической целью является разработка корректного аналитического решателя для дискретно-континуальной задачи, обеспечивающего на корректной основе построение алгоритмов и программ промышленного типа.

Научная новизна полученных в диссертационной работе результатов заключается в следующем:

1. Построены эффективные с точки зрения дальнейшей вычислительной реализации математические формулировки и подходы, обеспечивающие дискретно-континуальную постановку задачи расчета плиты, в частности сведение исходной задачи в начале к обыкновенному дифференциальному уравнению четвертого порядка с операторными коэффициентами, включающими краевые условия, а затем к аналогичной системе из двух уравнений второго порядка.

2. Построены дискретно-континуальные модели плиты на основе конечноэле-ментной и вариационно-разностной аппроксимаций операторных коэффициентов, представляющих собой нетрадиционные сочетания дифференциальных операторов, включающих в себя краевые условия и обобщенные функции.

3. Выполнен математический анализ разрешающей системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), который объясняет, почему существующие до сих пор подходы не могли быть успешно реализованы в общем случае. Следует отметить «коварные» свойства матрицы, определяющей систему. Это наличие в ее спектре собственных значений разных знаков, жесткость системы, наличие в спектре жордановых клеток и соответственно наличие присоединенных или корневых векторов в жордано-вом разложении, а также значительную размерность матрицы. Перечисленные свойства делают практически непригодными традиционные методы решения, в частности, такие как метод начальных параметров.

4. Поскольку в настоящее время не существует корректных вычислительных методов, обеспечивающих жорданово разложение матриц такого типа, в работе предлагается построение проекторов, основанное на использовании

Диссертация Колесникова Г.П Введение правых и левых собственных векторов. Это позволяет представить исходную матрицу в виде ортогональной суммы матриц, соответствующих различным участкам ее спектра, в частности, выделяется оператор, определяющий часть спектра, соответствующую жордановым клеткам.

5. Построена фундаментальная матрица-функция, что выполнено с учетом с учетом свойств определяющей матрицы. На основе этой фундаментальной матрицы-функции предлагается общая формула решения произвольной краевой задачи, обеспечивающая корректную реализацию, которая обходит все «подводные вычислительные камни» и обеспечивает корректный решатель промышленного типа. Личный вклад соискателя состоит в:

1. построении эффективных с точки зрения дальнейшей вычислительной реализации математических формулировок и подходов, обеспечивающих дискретно-континуальную постановку задачи расчета плиты;

2. построении дискретно-континуальные модели плиты на основе конечно-элементной и вариационно-разностной аппроксимаций операторных коэффициентов;

3. выполнении математического анализа разрешающей системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), выявлении ее специфических свойств и особенностей в исследуемых задачах строительной механики;

4. разработке методики построения фундаментальной матрицы-функции задачи с учетом с учетом свойств определяющей матрицы коэффициентов;

5. построении общей формулы решения произвольной краевой задачи строительной механики, обеспечивающей корректную реализацию;

6. разработке методики формирования корректного аналитического решателя для широко распространенного класса конструкций;

7. создании авторских программных комплексов;

8. расчетах реальных конструкций.

Практическая ценность работы состоит в: разработанной методике формирования корректного аналитического решателя для широко распространенного класса конструкций;

Диссертация Колесникова Г.П. Введение создании предварительных программных комплексов, которые могут стать основой для построения комплексов промышленного типа; расчетах реальных конструкций.

Внедрение работы состоит в использовании разработанных методов, алгоритмов и программ для решения задач расчета строительных конструкций, зданий и сооружений в МГСУ, НИИ Экспериментальной механики МГСУ и Научно-исследовательском центре СтаДиО.

На защиту выносятся:

1. Общий подход к решению краевых задач строительной механики на основе теории операторов и обобщенных функций.

2. Сведение исходной краевой задачи расчета плиты к обыкновенному дифференциальному уравнению с операторными коэффициентами, включающими краевые условия.

3. Дискретно-континуальная расчетная модель плиты на основе конечно-элементной аппроксимации в поперечном направлении.

4. Дискретно-континуальная расчетная модель плиты на основе вариационно-разностной аппроксимации в поперечном направлении.

5. Общая методика представления определяющей матрицы системы дифференциальных уравнений в виде суммы взаимно ортогональных матриц, соответствующих различным участкам спектра исходной матрицы (положительный спектр; отрицательный спектр; спектр, соответствующий жордановым клеткам; выделение мягкой и жесткой частей спектра и т.д.) с построением соответствующих проекторов.

6. Построение фундаментальной матрицы-функции (обратного оператора) в корректной форме, исключающей использование экспонент от положительных аргументов и соответствующих им гиперболических функций.

7. Построение общего решения краевой задачи расчета плиты, включая многоточечную в аналитической форме (корректный решатель).

8. Алгоритмы и программы для расчета плитных конструкций (основа для построения программных комплексов промышленного типа).

Диссертация Колесникова ГП Введение

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: XXI Международная конференция «Математическое моделирование в механике сплошных сред на основе методов граничных и конечных элементов ВЕМ&РЕМ» (Санкт-Петербург, 2005 г.); Научные семинары научно-исследовательского центра СтаДиО (Москва, 20052006 гг.); Научные семинары кафедры информатики и прикладной математики МГСУ под руководством профессоров В.Н. Сидорова и А.Б. Золотова (Москва, 2005-2006 гг.); Научно-техническая конференция профессорско-преподавательского состава факультета Промышленное и гражданское строительство МГСУ (Москва, 2006 г.); Научный семинар кафедры сопротивления материалов МГСУ под руководством профессора Г.С. Варданяна (Москва, 2006 г.).

Достоверность и обоснованность результатов основана на строгости используемого математического аппарата; сопоставлении полученных результатов с результатами проводимых параллельно контрольных расчетов с привлечением программных комплексов промышленного типа; сопоставлении результатов расчета с решениями, полученными по другим аналитическим и численным методам; экспертной оценке точности решений специалистами в области НДС.

Публикации. По материалам и результатам исследований опубликовано 7 работ.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы, включающего 173 наименования, и 7 приложений. 152 страницы основного теста и 41 страница приложений включают 117 рисунков и 6 таблиц.

Основные результаты и выводы:

1. Сформулированы континуальные постановки задачи об изгибе плиты на упругом основании с выделением основного направления.

Автором сформулированы операторная и вариационная постановки задачи об изгибе плиты на упругом основании, при этом использовался аппарат метода расширенной (стандартной) области (характеристическая функция области, дельта функция границы, ее производные, основные операторные соот-• ношения и т.д.) и техника обобщенных функций.

Сформулирована операторная постановка задачи в рамках дискретно

Диссертация Колесникова ГП Заключение континуального подхода. В предположении, что физико-геометрические характеристики плиты постоянны вдоль выделяемого координатного направления (основного направления) описаны процедуры переходов от исходной операторной постановки к системе дифференциальных уравнений второго порядка с операторными коэффициентами и системе дифференциальных уравнений первого порядка с операторными коэффициентами. К преимуществам второй постановки по сравнению с первой следует отнести большую универсальность и алгоритмичность, а также естественные удобства при учете граничных условий, к недостаткам - увеличение в два раза числа уравнений в системе и сопряженное с этим фактом увеличение в объеме вычислительной работы на этапе численной реализации. Приведены альтернативные представления некоторых операторов, входящих в полученные таким образом постановки. В рамках дискретно-континуального подхода указана и вариационная постановка задачи.

2. Разработаны дискретно-континуальные модели плиты на основе ко-нечноэлементной и вариационно-разностной аппроксимаций операторных коэффициентов, включающих в себя краевые условия.

В рамках дискретно-континуального метода конечных элементов для задачи об изгибе плиты на упругом основании введены понятия дискретно-континуальной аппроксимирующей модели плиты, дискретно-континуального конечного элемента (ДККЭ), описаны переход к локальной системе координат, аппроксимация основных неизвестных, приведена матрица функций формы («поперечных») по сечению ДККЭ. Построены выражения для аппроксимации частных производных от неизвестных функций на ДККЭ и, в частных случаях, соответствующие выражения для узловых функций. Указаны формулы для определения внутренних усилий на ДККЭ. Разработаны алгоритмы формирования основных локальных матриц ДККЭ, даны соответствующие, важные в качественном плане, мультипликативные представления, описаны процедуры построения локальных векторов нагрузок ДККЭ. Рассмотрены также и вопросы построения глобальных матриц дискретно-континуальной модели, глобального вектора нагрузок дискретно-континуальной модели. Предложен механизм уче

Диссертация Колесникова Г.П. Заключение та граничных условий, поперечных по отношению к основному направлению и непрерывных вдоль основного направления, изложение сопровождается примерами задания некоторых стандартных типов граничных условий (жесткая заделка, шарнирное закрепление, свободный край). Описано формирование разрешающей многоточечной краевой задачи.

В рамках дискретно-континуального вариационно-разностного метода для задачи об изгибе плиты на упругом основании введены понятия дискретно-континуальной аппроксимирующей модели плиты, дискретно-континуального сеточного элемента (ДКСЭ), характеристической функции ДКСЭ, описан принцип выбора «законтурных» дискретно-континуальных сеточных элементов. В диссертации также введено понятие о сеточных функциях и сеточных операциях (разность вперед, разность назад, осреднение вперед, осреднение назад, тождественная операция), представлены формулы восполнения сеточных функций, отдельно рассмотрено восполнение основных сеточных неизвестных. Изучена проблема сеточной аппроксимации операторов в рамках ДКВРМ, даются определяющие в этом смысле формулы и соотношения. Изложен алгоритм учета граничных условий: показаны общий вид записи и форма представления граничных условий, приведены примеры формулировок некоторых, наиболее распространенных типов граничных условий (жесткая заделка, шарнирное закрепление, свободный край). Описано формирование основных дискретно-континуальных операторов, записано основное дифференциальное уравнение задачи в дискретно-континуальной форме, исследована его структура и проведена редукция. Показан переход к разрешающей многоточечной краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, отмечена связь и соответствие между соответствующими континуальными и дискретно-континуальными операторами, указаны способы определения изгибающих и крутящих моментов, изменений кривизны и кручения, поперечных сил.

Разработано и кратко описано программное обеспечение, реализующие дискретно-континуальные методы расчета плит.

Диссертация Колесникова Г.П. Заключение

3. Выполнен математический анализ разрешающей системы дифференциальных уравнений, выявлены исходные причины, из-за которых аналитическое решение нереализуемо при традиционных подходах (наличие в ее спектре собственных значений разных знаков, жесткость системы, наличие в спектре жорда-новых клеток и соответственно наличие присоединенных или корневых векторов в жордановом разложении, а также значительную размерность матрицы).

Перечисленные факторы обуславливают большие сложности, как со стороны численных методов, так и аналитических в смысле корректности вычисления параметров (постоянных) и точности решения в целом. В тоже время, как известно для систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами принципиально всегда существует возможность построения общего решения в точной аналитической форме. Слова «точная аналитическая форма» означают, что решение ищется не в рядах, а на основе построения аналитических функций от матрицы. Что касается рядов, то всегда возникают вопросы их реальной сходимости, и это, как правило, не дает гарантии успешного решения в наиболее важных случаях.

4. Разработаны и реализованы на ЭВМ методы аналитического решения многоточечных краевых задач строительной механики для больших систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого и второго порядков, позволяющие преодолеть трудности, связанные с явлениями типа краевого эффекта (жесткие системы), возможным различием знаков собственных значений матрицы коэффициентов, наличием жордановых клеток в спектральном разложении матрицы.

В диссертации описан универсальный метод точного аналитического решения многоточечной краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами. Проведен анализ жордановой формы матрицы коэффициентов системы: отмечается ее роль и специфика для задач строительной механики (число жордановых клеток неединичного порядка небольшое и они соответствуют, как правило, нулевым собственным значениям), указываются проблемы использования, в частно

Диссертация Колесникова Г.П Заключение сти отсутствие в настоящее время численно устойчивых способов ее построения. Эти сложности обусловили применяемую методику частичного жордано-вого разложения, на базе которой в дальнейшем выполняется построение фундаментальной матрицы-функции системы уравнений. Указанная методика предполагает отыскание правых и левых собственных векторов матрицы коэффициентов, последующую их сортировку, биортогонализацию и определение необходимых матриц проектирования. Вектор-функция решение задачи ищется в виде свертки фундаментальной матрицы-функции системы дифференциальных уравнений с правой частью последней, что наряду с использованием аппарата обобщенных функций позволяет преодолеть трудности, связанные с реализацией аналитической формы, обеспечивает корректность постановки с вычислительной точки зрения, простоту алгоритмической и программной реализации. Фундаментальные матрицы-функции определяются однозначно в некотором специальном виде, реализуемом на ЭВМ и удобном для решения задач расчета конструкций. Так, в фундаментальной матрице-функции отсутствуют составляющие экспоненциального роста, что обеспечивает оптимальную обусловленность системы разрешающих уравнений при решении многоточечных краевых задач строительной механики. Описаны методики определения постоянных коэффициентов в выражениях для вектор-функции решения - явный матричный метод и метод базисных вариаций.

Также представлен универсальный метод точного аналитического решения многоточечной краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Подробно описан алгоритм построения фундаментальной матрицы-функции задачи, который, в частности, основан на использовании идеи частичного жорданового разложения матрицы коэффициентов системы и свойствах операции свертки. Фундаментальная матрица-функция, как и прежде, определяется однозначно в некотором специальном виде, реализуемом на ЭВМ и удобном для решения задач расчета конструкций: в фундаментальной матрице-функции отсутствуют составляющие экспоненциального роста, что обеспечивает оптимальную обу

Диссертация Колесникова Г.П Заключение словленность системы разрешающих уравнений при решении многоточечных краевых задач строительной механики. Вектор-функция решение задачи и ее первая производная ищутся в виде свертки специальной матрицы-функции, блочно составленной из фундаментальной матрицы-функции системы и ее производных первого и второго порядков, с правой частью системы. Наряду с использованием аппарата обобщенных функций это позволяет преодолеть трудности, связанные с реализацией аналитической формы, обеспечивает корректность постановки с вычислительной точки зрения, простоту алгоритмической и программной реализации. Определения постоянных коэффициентов в выражениях для вектор-функции решения производится явным матричным методом.

Даны также характеристики альтернативным методам решения многоточечных краевых задач, использующим возмущения матрицы коэффициентов.

Разработано и кратко описано реализующее программное обеспечение.

5. На основе разработанных методов и программных комплексов решен ряд строительных задач, в частности, проведены расчеты балок, оболочек, прямоугольных пластин при различных условиях опирания по краям, ленточного фундамента, фундаментной плиты и подпорной стены.

Сопоставления полученных результатов с результатами проводимых параллельно контрольных расчетов с привлечением программных комплексов промышленного типа {Лира 9.0, СТАДИО 2005, АтуБ 9.0), с решениями, найденными по другим аналитическим и численным методам, а также экспертные оценки точности решений специалистами в области напряженно-деформированного состояния позволяют сделать вывод о достаточной эффективности и надежности разработанных дискретно-континуальных методов расчета плит.

6. Полученные результаты позволяют оценить влияние краевого эффекта на НДС плит, получить устойчивые и универсальные методы расчета, позволяющие создать программные комплексы промышленного типа, расширить область аналитических и полуаналитических подходов в расчете и исследовании плит, имеющих постоянные физико-геометрические характеристики по одному из направлений.

Диссертация Колесникова ГП Литература

1. Акаев A.B., Дульнев Г.Н. К вопросу о повышении точности первых приближений метода J1.B. Канторовича в применении к краевым задачам стационарной теплопроводности // Изв. АН СССР. Сер. Энергетика и транспорт. 1972. № 1,с. 154-158.

2. Акимов П.А. Дискретно-континуальные методы расчета сооружений. // «НТТ наука и техника транспорта», 2005, №1, с. 56-59.

3. Акимов П.А., Золотов А.Б. Численно-аналитические методы расчета строительных конструкций: перспективы развития и сопоставления. // САПР и графика, 2005, №1, с. 78-82.

4. Акимов П.А., Золотов А.Б., Колесников Г.П. Другой вариант метода аналитического решения многоточечных краевых задач строительной механики. // Вопросы прикладной математики и вычислительной механики: Сб. науч. тр. №8. М.: МГСУ, 2005, с. 40-43.

5. Александров A.B., Лащеников Б.Я., Шапошников H.H., Смирнов А.Ф. Методы расчета стержневых систем, пластин и оболочек с использованием ЭВМ. М.: Стройиздат, 1976. 248 с. (ч.1), 258 с. (ч. 2).

6. Александров A.B., Потапов В.Д. Основы теории упругости и пластичности. М.: Высшая школа, 1990. — 400 с.

7. Андреев В.И. Некоторые задачи и методы механики неоднородных тел. М.: АСВ, 2002.-288 с.

8. Атавин A.A., Тарасевич В.В. Описание переходных процессов в сложных трубопроводных системах моделями с сосредоточенными параметрами. // Труды международной конференции RDAMM 2001.Том 6. Часть 2. Специальный выпуск. 2001, с. 70-75.

9. Бартеньев О.В. Современный Фортран-М.: Диалог-МИФИ, 1998 397с.

10. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных эле-% ментов. М.: Стройиздат, 1982. - 446 с.

11. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.:

12. Диссертация Колесникова Г П. Литература

13. Лаборатория Базовых знаний, 2000. 624 с.

14. Бачелис Р.Д., Меламед В.Г. Решение квазилинейной двухфазовой задачи типа Стефана со слабыми ограничениями в исходных данных методом прямых. // Журнал вычислительной математики и математической физики, 12, 1972, с. 342-343.

15. Бачелис Р.Д., Меламед В.Г., Шляйфер Д.Б. Решение задачи Стефана методом прямых. // Журнал вычислительной математики и математической физики, 9,1969, с. 113-126.

16. Безухов Н.И. Некоторые обобщения методов строительной механики в динамике сооружений. // Сб. Исследования по теории сооружений. Гос-стройиздат, 1939, №3, с. 172-213.

17. Белый М.В. Численные методы статического и динамического расчета конструкций на основе многоуровневых подходов. Автореф. дис. на со-иск. учен. степ, д-ра техн. наук: 05.23.17. МГСУ. М., 1994. 34 с.

18. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений, т. 2. М.: Физматлит, 1959.

19. Бидерман В.Л. Применение метода прогонки для численного решения задач строительной механики. // Изв. АН СССР, МТТ, 1967, №2, с. 62-66.

20. Блох В.И. Теория упругости. Харьков: Издательство Харьковского государственного университета, 1964.-483 с.

21. Диссертация Колесникова ГП Литература

22. Буледза A.B. О применении метода прямых к решению некоторых краевых задач для уравнения Пуассона // Доклады и сообщения УжГУ. Серия физ.-мат. наук. 1962. - № 5. - С. 92-97.

23. Буледза A.B., Король 1.Ю. Про один вар1ант методу прямих у проблем! власних коливань прямокутних пластин // ДАН УРСР. Сер. А. 1970. -№7.-С. 624-627.

24. Вайнберг Д.В., Вайнберг Е.Д. Пластины, диски, балки-стенки. Киев: Госстройиздат, 1959. - 1049 с.

25. Варданян Г.С., Андреев В.И., Атаров Н.М., Горшков A.A. Сопротивление материалов с основами теории упругости и пластичности. М.: АСВ, 1995.-572 с.

26. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. -М.: Мир, 1987.-542 с.

27. Васильев Ф.П. Метод прямых для решения однофазной задачи типа Стефана. // Журнал вычислительной математики и математической физики, 8, 1968, с. 81-101.

28. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1979.-320 с.

29. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1967. -436 с.

30. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложение в технике. М. -Л.: Гостехиздат, 1949.

31. Власов В.З. Строительная механика тонкостенных пространственных систем. М.: Госстройиздат, 1949.

32. Власов В.З., Леонтьев H.H. Балки, плиты и оболочки на упругом основании. М.: Физматгиз, 1960. - 491 с.

33. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. М.: Мир, 1984.-428 с.

34. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967. - 576 с.

35. Гельфанд И.М., Локуциевский О.В. Метод «прогонки» для решения разностных уравнений. В кн.: Годунов С.К., Рябенький B.C. Введение в

36. Диссертация Колесникова ГП Литературатеорию разностных схем. М.: Физматгиз, 1962. - 99 с.

37. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. Выпуск 1. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1959. - 470 с.

38. Годунов С.Г. О численном решении краевых задач для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. // Успехи математических наук, т. XVI, ГИФМЛ, М., 1961, вып. 3, с. 171-174.

39. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы.-М.:Наука,1977.-440с.

40. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. М.: Мир, 1999.-548 с.

41. Григолюк Э.И., Мамай В.И., Фролов А.Н. Исследование устойчивости неполных сферических оболочек при конечных перемещениях на основе различных уравнений теории оболочек. // Изв. АН СССР, МТТ, 1972, №5, с. 154-165.

42. Демидович Б.П. Численные методы анализа. М.: Наука, 1967. - 366 с.

43. Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения. -М.: Мир, 2001.-430 с.

44. Дубинский С.И. ANSYS и ANSYS/CivilFEM в строительстве. // САПР и графика, №12,2004.

45. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике.- М.: Мир, 1975. 511 с.

46. Золотое А.Б. Постановка и алгоритмы численного решения краевых задач строительной механики методом стандартной области: Автореф. дис. на соиск. уч. степ. докт. техн. наук: 05.23.17. МГСУ. М.: 1989.-39 с.

47. Золотое А.Б., Акимов П.А. Некоторые аналитико-численные методы решения краевых задач строительной механики: Монография М.: Издательство АСВ, 2004. - 200 стр.

48. Диссертация Колесникова Г П. Литература

49. Золотов А.Б., Лейтес Е.С. Об одном подходе к решению систем дифференциальных уравнений при расчете строительных конструкций. // «Строительная механика и расчет сооружений». 1976. - №3.

50. Канторович Л.В. Об одном прямом методе решения задачи о минимуме двойного интеграла. Изв. АН СССР, 1933, №5.

51. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. М.: Гостехиздат, 1949.

52. Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и программное обеспечение. М.: Мир, 1998 г. - 575 с.

53. Кеч В., Теодореску П. Введение в теорию обобщенных функций с при

54. Диссертация Колесникова Г.П Литератураложениями в технике. М.: Мир, 1978.-518 с.

55. Коган М.Г. Применение методов Галеркина и Канторовича в теории теплопроводности // Исследование нестационарного тепло- и массообмена: Сб. тр. Минск, 1966, с. 42-51.

56. Коган М.Г. Решение нелинейных задач теории теплопроводности методом Канторовича//ИФЖ. 1967. т. 12, №1, с. 72-81.

57. Колесников Г.П. Вопросы постановки и методология расчета плитных конструкций в рамках дискретно-континуального вариационно-разностного метода. // Вопросы прикладной математики и вычислительной механики: Сб. науч. тр. №8. М.: МГСУ, 2005, с. 157-161.

58. Колкунов Н.В. Основы расчета упругих оболочек. М.: Высшая школа, 1987.-255 с.

59. Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р. Алгоритмы: построение и анализ. М.: МЦНМО, 2000. 960 с.

60. Костюхович Е.Х. О сходимости метода прямых при различных схемах его применения к решению краевых задач математической физики на плоскости. Автореф. дис. на соиск. учен. степ. канд. физ-мат наук: Гродненский педагогический институт, 1958.

61. Крылов А.Н. О расчете балок, лежащих на упругом основании. Л.: Издательство АН СССР, 1931. - 154 с.

62. Кудряшов H.A., Кучеренко С.С., Сыцько Ю.И. Применение метода прямых при решении задач теории полупроводниковых приборов. // Автометрия, № 3,1990, стр.80-86.

63. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1978. - 280 с.

64. Лантух-Лященко А.И. ЛИРА. Программный комплекс расчета и проектирования конструкций. К.: - М.: "ФАКТ", 2001. - 359 с.

65. Леонтьев H.H., Соболев Д.Н., Амосов A.A. Основы строительной механики стержневых систем. М.: Издательство АСВ, 1996. - 541 с.

66. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения.-М.: Мир, 1971.-371 с.

67. Диссертация Колесникова ГП Литература

68. Меламед В.Г. О решении задачи Стефана сведением к системе обыкновенных дифференциальных уравнений // ДАН СССР. Сер. Математическая физика, т. 116, №4, 1957, с. 577-580.

69. Микеладзе Ш.Е. Новые квадратурные формулы и их приложения к интегрированию дифференциальных уравнений. //ДАН, т.61,1948, №4, с.613-615.

70. Микеладзе Ш.Е. Новые методы интегрирования дифференциальных уравнений. М.: ГТТИ, 1951.-291 с.

71. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970.

72. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969.-528 с.

73. Оробей В.Ф. Устойчивость пластин, сжатых сосредоточенными силами. // Известия вузов. Строительство. 2002. - №3, с. 20-26.

74. Папкович П.Ф. Строительная механика корабля, ч. 2. Л.: Судпромгиз, 1941.-960 с.

75. Пастушихин В.Н. Колебания пластинок и оболочек из нелинейных почти упругих материалов. Диссертация на соискание уч. степени доктора техн. наук. М., 1967.-322 с.

76. Перельмутер A.B., Сливкер В.И. Расчетные модели сооружений и возможности их анализа. Киев: Сталь, 2002. 445 с.

77. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. -М.: Издательство МГУ, 1995. 366 с.

78. Постнов В.А. Численные методы расчета судовых конструкций. Л.: Судостроение, 1977. - 280 с.

79. Ржаницын А.Р. Строительная механика.-М.: Высшая школа, 1982.-400с.

80. Розин Л.А. Задачи теории упругости и численные методы их решения. -СПб.: Издательство СПбГТУ, 1998. 532 с.

81. Рухул А. Расчет пластинок и пологих оболочек на прямоугольном плане с применением матричных форм решения: Дис. канд. техн. наук /Российский университет дружбы народов (РУДН). 1999, 295 с.

82. Диссертация Колесникова ГП Литература

83. Саргсян А.Е., Демченко А.Т., Дворянчиков Н.В., Джинчвелашвили Г.А. Строительная механика. Основы теории с примерами расчетов. М.: Высшая школа, 2000. - 415 с.

84. Секулович М. Метод конечных элементов. М.: Стройиздат, 1993. 664 с.

85. Сидоров В.Н. Лекции по сопротивлению материалов и теории упругости. М.: Редакционно-издательский центр Генерального штаба Вооруженных Сил Российской Федерации, 2002. 352 с.

86. Скляр С.Н. О дискретизации задач с пограничным слоем при помощи одного проекционного варианта интегральных тождеств. III. Самосопряженное уравнение // Изв. АН Кирг. ССР. физ.-тех. и математ. науки, №4,1989, с.3-11.

87. Сливкер В.И. Строительная механика. Вариационные основы. М.: Издательство АСВ, 2005. - 736 с.

88. Слободянский М.Г. Способ приближенного интегрирования уравнений с частными производными и его применение к задачам теории упругости. -ПММ, 1939, т.З, вып. 1, с. 75-82.

89. Смирнов В.А., Иванов С.А., Тихонов М.А. Строительная механика. -М.: Стройиздат, 1984-208 с.

90. Снитко Н.К. Устойчивость сжатых и сжато-изогнутых стержневых систем. Л.: Стройиздат, 1956. - 207 с.

91. Соболев С.Л. Уравнения математической физики М.: Наука, 1992. - 431 с.

92. Срочко В.А. Численные методы: Курс лекций. Иркутск: Иркутск, ун-т, 2003.- 168 с.

93. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М.: Мир, 1980.-512 с.

94. Тимошенко С.П. Сопротивление материалов. Тома 1, 2. Элементарная теория и задачи.-М.: Физматгиз, 1960 -379с.; М.: Наука, 1965-480с.

95. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластины и оболочки. М.: Физматгиз, 1963. - 635 с.

96. Уилкинсон Дж.Х. Алгебраическая проблема собственных значений. -М.: Наука, 1970.-564 с.

97. Диссертация Колесникова Г.П. Литература

98. Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику. М.: Издательство Московского физико-технического института, 1994. - 528 с.

99. Феодосьев В.И. Об одном способе решения нелинейных задач устойчивости деформируемых систем. // ПММ, 1963, вып. 2, с. 265-274.

100. Филин А.П. Приближенные методы математического анализа, используемые в механике деформируемых тел. Л.: Стройиздат, 1971.

101. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970.-720 с.

102. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир, 1989. - 655 с.

103. Чеботарева Л.М. Метод прямых приближенного решения гиперболических уравнений. Автореф. дис. на соиск. учен. степ. канд. физ-мат наук: 01.01.02 Воронеж, гос. ун-т им. Ленинского комсомола, Воронеж, 1988 15 с.

104. Чигарев A.B., Кравчук A.C., Смалюк А.Ф. ANSYS для инженеров. -М.: Машиностроение, 2004.-512 с.

105. Чувиковский B.C. Изгибно-крутильные колебания непризматических балок с учетом деформаций сдвига от перерезывающих сил и рассеивания энергии. // Изв. АН СССР, ОТН. «Механика и машиностроение», 1959, №3, с. 72-77.

106. Чувиковский B.C., Палий О.М., Спиро В.Е. Оболочки судовых конструкций.-Л.: Судостроение, 1966.

107. Шварц Л. Математические методы для физических наук. М.: Мир, 1965.-412 с.

108. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс. М.: Наука, 1965.-327 с.

109. Шклярчук Ф.Н., Кочемасова Е.И., Тютюнников Н.П. Уравнения для расчета деформаций и колебаний тонкостенных цилиндрических конст

110. Диссертация Колесникова Г П. Литературарукций из композиционных материалов с термоупругими и пьезоэлектрическими слоями. // Механика композиционных материалов и конструкций, 1997, том. 2, №2, с. 49-63.

111. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Эдиториал УРСС, 2000. - 320 с.

112. Akhras G., Cheung M.S., Li W. Geometrically Nonlinear Finite Strip Analysis of Laminated Composite Plates. // Composites Part В Engineering Journal, Vol. 29B, No.4,1998, pp. 489-495.

113. Au F.T.K., Cheung Y.K. Isoparametric spline finite strip for plane structures. Comput. Struct., Vol. 48, 1993, pp. 23-32.

114. Avram C., Bob C., Friedrich R., Stoian V. Numerical Analysis of Reinforced Concrete Structures, Elsevier, 1993, 510 pages.

115. Azhari M., Abdollahian M., Bradford M.A. Local Buckling of Composite Laminated Plate Assemblies Using the Spline Finite Strip Method. // Advances in Structural Engineering, 1 April 2000, vol. 3, no. 2, pp. 173-178(6).

116. Bao R., Ramachandran K. Stochastic finite strip method for plate bending. // Uncertainty Modeling and Analysis, 1993. Proceedings. Second International Symposium, 1993, pp. 542-547.

117. Bhatt P. Programming the Dynamic Analysis of Structures. Taylor & Francis, London, 2002,464 pages.

118. Boresi A.P., Chong K.P., Saigal S. Approximate Solution Methods in Engineering Mechanics. John Wiley & Sons, 2003, 280 pages.

119. Chen C.J., Gutkowski R.M., Puckett J.A. Spline compound strip analysis of folded plate structures with intermediate supports. // Comput. Struct., vol. 39,1991, pp. 369-379.

120. Chen H.-C., Byreddy V. Solving Plate Bending Problems Using Finite Strips

121. Диссертация Колесникова Г П. Литератураon Networked Workstations. // Computers & Structures: An International Journal, Vol. 62, No. 2, 1997, pp. 227-236.

122. Cheung M.S., Li W., Chidiac S.E. Finite Strip Analysis of Bridges. Spon E & FN (UK), 1996,347 pages.

123. Cheung Y.K. Finite Strip Method in Structural Analysis. Pergamon Press. Oxford-New York-Toronto-Sydney-Paris-Frankfurt. 1976, 233 pages.

124. Cheung Y.K., Chakrabarti S. Analysis of simply supported thick, layered plates. //J. Eng. Mech. Div., Proc. ASCE, 97(EM3), 1971, pp. 1039-1044.

125. Cheung Y.K., Fan S.V. Static Analysis of Right Box Girder Bridges by Spline ► Finite Strip Method. // Proc. Ins. Civ. Engrs., Part 2, 1983, 75, June pp. 311-323.

126. Cheung Y.K., Tham L.G. The Finite Strip Method. CRC Press. 1997,416 pages.

127. Cheung Y.K., Tham L.G., Chong K.P. Buckling of sandwich plate by finite layer method.//Comput. Struct., 15(2), 1982, pp. 131-134.

128. Choi C.K., Hong H.S., Kim K.H. Unequally spaced non-periodic B-spline strip method. // International Journal for Numerical Methods in Engineering 2003, pp. 35-55.

129. Chong K.P. Sandwich panels with cold-formed thin facings. // Keynote paper, Proc. IABSE International Colloquium on Thin-Walled Metal Structures in Buildings, Stockholm, Sweden, Vol. 49, 1986, pp. 339-348.

130. Chong K.P., Cheung Y.K., Tham L.G. Free vibration of formed sandwich panel by finite-prism-strip method. //J. Sound Vib., 81(4), 1082, pp. 575-582.

131. Chong K.P., Tham L.G., Cheung Y.K. Thermal behavior of formed sandwich plate by finite-prism-method. // Comput. Struct., 15, 1982, pp. 321-324.

132. Christov C.T., Petrova L. Comparison of Some Variants of the Finite Strip • Method for Analysis of Complex Shell Structures. // Proceedings of the IKM,1. Weimar, 2000,6 pages.

133. Диссертация Колесникова Г П. Литература

134. Christov С.Т., Petrova L. Computer-Aided Static Analysis of Complex Prismatic Orthotropic Shell Structures by the Analytical Finite Strip Method // Proceedings of the IKM, Weimar, 1997.

135. Dragolov A. A Static Analysis of Thin-Walled Bridge Structures by the Analytical Finite Strip Method. Research Work Qualifying for an Academic Rank, Sofia, 1984,131 pages (in Bulgarian).

136. Dragolov A. Analytical Finite Strip Method for Analysis of Prismatic Shells. // Sofia, J. Construction, Booklet 1, 1996, pp. 3-7, Booklet 3-4, 1997, pp. 8-12 (in Bulgarian).

137. Fan S.C. Spline finite strip in structural analysis. Ph. D. Thesis, Department of Civil Engineering, Univ. of Hong Kong, Hong Kong, 1982.

138. Friedrich R. Finite strip method: 30 years A bibliography (1968-1998). // Int J for Computer-Aided Engineering, Volume 17, Number 1, 2000, pp. 92-111.

139. Geannakakes G.N., Wang P.C. Moving load analysis of arbitrarily shaped plates using B,R-spline finite strip method. // J. Sound and Vib., vol. 141, 1990, pp. 127-142.

140. Guo Y.L., Lindner J. Analysis of elasto-plastic interaction buckling of stiffened panaels by spline finite strip method. // Comput. Struct., vol. 46(3), 1993, pp. 529-536.

141. Gupta A.V. Linear Static and Instability Analysis of Thin-Walled Plated Members by Combined Spline Finite Strip and Finite Element Method. Ph.D., 2000 (Indian Institute of Technology, Madras).

142. Hartman D., Neummann M. Structural optimization of a box girder bridge by means of the finite strip method. // Computer Aided Optimum Design of Structures, Eds. Brebbia, C.A. and Hernandez, S., 1989, pp. 337-346.

143. Hayashi Т., Kawashima K., Sun Z., Rose J.L. Analysis of flexural mode focusing by a Semi-analytical finite element method. // The Journal of the Acoustical Society of America., Vol.113, No.3,2003, pp.1241-1248.

144. Hinton E., Rao N.V.R. Analysis and shape optimisation of variable thickness prismatic folded plates and curved shells, Part 1: Finite strip formulation. //

145. Диссертация Колесникова Г.П. Литература

146. Thin Walled Structures, 17, 1993, pp. 81-111.

147. Ho Z., Ganev Т. Series of Papers in the Anniversary Book of University of Architecture, Civil Engineering and Geodesy, Vol. 31, No. 5, Structural Mechanics, Sofia, 1983-1984, pp. 147-179 (in Bulgarian).

148. Iu Vai Pan. Nonlinear Vibration of Thin Plates with Initial Stress by Spline Finite Strip Method. //Thin-Walled Structures, 32, 1998, pp. 275-287.

149. Kolchakov M., Dragolov A. On the Finite Strip Method. // Sofia, J. Construction, Booklet 9,1980, pp. 6-10 (in Bulgarian).

150. Kong J., Cheung Y.K. A generalized spline finite strip for the analysis of plates. Thin-Walled Structures, Vol. 22, 1995, pp. 181-202.

151. Kwong A.T.F. Spline Finite Strip Method in the Study of Plates and Shells with Special Reference to Bridges. Ph.D. thesis, 1994 (University of Hong Kong).

152. Lau D.T., Cheung M.S., Cheng S.H. 3D Flutter Analysis of Bridges by Spline Finite Strip Method. // ASCE Journal of Structural Engineering, 126(10), 2000, pp. 1246-1254.

153. Lau S.C.W., Hancock G.J. Inelastic buckling analyses of beams, columns and plates using spline finite strip method. // Thin-Walled Structures, vol. 7, 1989, pp. 213-238.

154. Litewka P., Sygulski R. Statical and dynamical analysis of bridge slabs by the Finite Strip Method. // Archives of Civil Engineering, vol. XLV,2, 1999, pp.259-273.

155. Loo Y.C., Cusens A.R. The finite strip method in bridge engineering. E. & F.N. Spon, London, 1978, 220 pages.

156. Loo Y.C., Tarn W.S., Byun Y.J. Higher order spline finite strip method. // International Journal of Structures. Vol. 5, No. 1, January 1985, pp. 45-69.

157. Martinez V., Marquina A., Donat R. Shooting methods for one dimensional diffusion absorption problems. // SIAM J. Numer. Anal., 31 (1994), pp. 572-589.

158. Mizusawa T. Vibration of thick annular sector plates using finite strip models. //Journal of Sound and Vibration, Vol. 150(2), 1991, pp. 245-259.

159. Mohd S. Finite strip vibration analysis of composite prismatic shell structures with

160. Диссертация Колесникова Г П. Литератураdiaphragm ends. // Computers and Structures, vol. 49, no. 5,1993, p. 753-765

161. Mukhopadhyay M. Structures: matrix and finite element. Rotterdam, Brook-field: A. A. Balkema, 1993,423 pages.

162. Ng S.F., Chen X. Analysis of arbitrary Mindlin plates or bridge decks by spline finite strip method. // Comput. Struct., Vol. 54(1), 1995, pp. 111-118.

163. Onate E., Suarez B. A comparison of the linear, quadratic and cubic Mindlin strip element for the analysis of thick and thin plates. // Computers and Structures, Vol. 1, 1986, pp. 407-426.

164. Oskoorouchi A., Novrouzian В., De Roeck G., Van Den Broeck J. Zoned finite strip method and its applications in geomechanics. // Computers and Geotechnics, Vol. 11, 1991, p. 265-294.

165. Petrolito J., GoIIey B.W. Vibration of thick plates using finite strip-elements. // ANZIAM J. 42, 2000, pp. 1137-1155.

166. Sheikh A.H., Mukhopadhyay M. Analysis of stiffened plate with arbitrary planform by the general spline finite strip method. // Comput. Struct., vol. 42(1), 1992, pp. 53-67.

167. Szilard R. Theories and Applications of Plate Analysis: Classical Numerical and Engineering Methods. John Wiley & Sons, 2004, 1056 pages.

168. Tham L.G., Chong K.P., Cheung Y.K. Flexural bending and axial compression of architectural sandwich panels by finite-prism-strip methods. // J. Reinf. Plast. Compos. Mater., 1, 1982, pp. 16-28.

169. Torres G., Turner C. Method of straight lines for a Bingham problem. // Electronic Journal of Differential Equations, Vol. 2002(2002), No. 60, pp. 1-13.

170. Wan D.C., Patnaik B.S.V., Wei G.W. Discrete singular convolution-finite subdomain method for the solution of incompressible viscous flows. // Journal of Computational Physics, Volume 180, Issue 1,2002, pp. 229-255.

171. Диссертация Колесникова ГП Литература

172. Wang S., Dawe D.J. Buckling of composite shell structures using the spline finite strip method. Composites Part В 30, 1999, pp. 351-364.

173. Wang X. Finite Strip Formulations for Strength, Buckling and Post-Buckling Analysis of Stiffened Plates. Doctoral Thesis. Institute of Lightweight Design and Structural Biomechanics Vienna University of Technology, 1994.

174. Wang X., Rammerstorfer F.G. Determination of Effective Breadth and Effective Width of Stiffened Plates by Finite Strip Analysis. // Thin-Walled Struct. 26,1996, pp. 261-286.

175. Zhao J., Cheung M.S., Ng S.F. Spline Kantorovich method and analysis of general slab bridge deck. // Can. J. Civ. Eng./Rev. Can. Génie Civ. 25(5), 1998, pp. 935-942.

176. Zhong W.X., Cheung Y.K., Li Y. The precise finite strip method. // Computers and Structures, U.K., Elsevier Science Ltd, 1998, 69, pp. 773-783.

177. Zou G., Qiao P. Higher-Order Finite Strip Method for Postbuckling Analysis of Imperfect Composite Plates. // Journal of Engineering Mechanics, Vol. 128, No. 9, September 2002, pp. 1008-1015.

178. ПРОГРАММНЫЕ КОМПЛЕКСЫ, РЕАЛИЗУЮЩИЕ ДИСКРЕТНО-КОНТИНУАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ПЛИТНЫХ КОНСТРУКЦИ

179. ИСРЕМРЬ решение задач расчета плитных конструкций с использованием дискретно-континуального метода конечных элементов (см. Главу 4)\

180. ВСУИМРЬ решение задач расчета плитных конструкций с использова-) нием дискретно-континуального вариационно-разностного метода (см.1. Главу 5).

181. При задании физических характеристик, относящихся к рассматриваемому объекту, следует учитывать то обстоятельство, что в программных комплексах физические характеристики в пределах сеточного элемента считаются постоянными.

182. Диссертация Колесникова ГП Приложение 1

183. Общие сведения о задаче включают в себя следующие данные: принятое количество узлов аппроксимирующей сетки по различным направлениям; количество приложенных внешних нагрузок; количество граничных точек; вели

184. Диссертация Колесникова ГП Приложение 1чины, характеризующие точность вычислений; координаты рассматриваемых сечений конструкции и т.д.

185. Координаты узлов сетки, аппроксимирующей поперечное по отношению к основному направлению сечение, задаются в соответствии с принятой системой нумерации.

186. При задании физических характеристик принято, что все они остаются постоянными в пределах сеточного элемента.

187. При задании внешней нагрузки вся она приводится к сосредоточенным воздействиям, приложенным к заданной конструкции.

188. Граничные условия задаются в соответствии с алгоритмами, описанными в главах 4-5 диссертации.

189. Рассмотрим более подробно, например, простейшую структуру пакета программ DCFEMPL.

190. Первый модуль (FEMDATA) подготовка исходных данных по задаче. Здесь производится формирование сетки, матриц физических характеристик элементов, векторов узловых нагрузок, матриц и векторов граничных условий и т.д.

191. Второй модуль (FEMMATR) формирование матрицы коэффициентов разрешающей системы дифференциальных уравнений.

192. Третий модуль (DEIGEN) определение собственных значений, правых и левых собственных векторов указанной матрицы коэффициентов.

193. Четвертый модуль (.DECOMP) сортировка найденных собственных векторов и собственных значений матрицы коэффициентов, определение их кратностей, выявление жордановых клеток неединичного порядка и.т.д.

194. Диссертация Колесникова ГП Приложение 1

195. Пятый модуль (PROJECTORS) определение соответствующих матриц проектирования и иных матриц и векторов, предусмотренных алгоритмом.

196. Шестой модуль (FEMVEC) формирование вектора правых частей разрешающей системы уравнений.

197. Седьмой модуль (CBOUNDARY) определение постоянных коэффициентов в выражении для общего решения многоточечной краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

198. Восьмой модуль (SOLUTION) определение решения многоточечной краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

199. Девятый модуль (DISPLACE) определение перемещений узлов сетки, аппроксимирующей конструкцию и соответствующих углов поворота.

200. Десятый модуль (STRESS) определение деформаций, изгибающих и крутящих моментов, поперечных и приведенных поперечных сил на элементах сетки.

201. Одиннадцатый модуль (DISPLACE PRN) распечатка перемещений узлов сетки, аппроксимирующей конструкцию и соответствующих углов поворота в заданных точках и сечениях конструкции.

202. Двенадцатый модуль (STRESS PRN) распечатка деформаций, изгибающих и крутящих моментов, поперечных и приведенных поперечных сил на элементах сетки и в заданных точках и сечениях конструкции.

203. На рис. П. 1.1 представлена принципиальная условная схема структуры программного комплекса DCFEMPL.

204. Рис. П. 1.1. Условная схема структуры программного комплекса DCFEM3D. Москва-2006 158

205. СВЕДЕНИЯ О ПРОГРАММНЫХ КОМПЛЕКСАХ ПРОМЫШЛЕННОГО ТИПА, ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ДЛЯ СОПОСТАВЛЕНИЙ И КОНТРОЛЯ1. РЕЗУЛЬТАТОВ

206. Программный комплекс «Лира» (версия 9.0) (далее ПК Лира) является современным инструментом для численного исследования прочности и устойчивости конструкций и их автоматизированного конструирования.1. ЛИРА оер 9 0 $атр1е 7сог.Р

207. Файл Режии Вид Выбор Схема Деформации Уст^я Опцт Окно ?ш в п е № да ш © □ * *V & » а V з а $ т & и?а # а * г. ь.

208. Рис. П.2.1. Программный комплекс «Лира» (версия 9.0). Москва 2006

209. Диссертация Колесникова Г.П. Приложение 2

210. Multi-Edit • С \STADYO\stadyo3 winVdatabat\Plate.dat. шшшшаш

211. Ffe Edt Btodt Search Text Project Macro Tods Whdow Tags Vcs Het> -в кtfaa Ч ПJ ill <». * 9 <8 П tf 4J or. qj^meaffl ?! 3 *- " 1?6a«ed=.1« 26.01.2696

212. NPR KV1 KV2 KDVN KUR NUF NITER KUIS таблица 1, стр. 7-8 инструкции16 16 6 18 0

213. Колесников Геннадий Павлович. "Плита (пример 4.1)". —

214. ММОТ NNP NEl KCEL KLAY KREP KWIN KTOR KSYM KPRE KSTG KCRN KGRF таблица 2, стр. 9 инструкции1 1 1281 1206 00662006661. С.MECHANICAL PROPERTIES.1. Бетон, кН, н

215. Ч06Е+67 6.166Е+66 е.бвОЕ+ев в.вООЕ+00 6.666Е 60 6.6О0Е 00 0.О0ОЕ+001. С.NODES CHARACTERISTICS.

216. КСН=1OOOOhNOF+I600KKDG-M 00«KCR+19»KNM+KTR

217. N0F=3 " ЧИСЛО СТЕПЕНЕЙ СВ6Б6ЙЫ

218. K0G=0 ТИП6ВДЯ (СТАНДАРТНАЯ) 6РИЕНТАЦИЯ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ

219. KCR=6 ПРАВОСТОРОННЯЯ ДЕКАРТОВА СИСТЕМА КООРДИНАТ ДПЯ ДАННОЙ ГРУПГЫ УЗЛ6ВwKNM'9 НОМЕРА И КООДИНАТЫ УЗЛОВ ЗАДАЮТСЯ ДЛЯ КАЖДОГО УЗЛА ГРУППЫ

220. MKTR=0 ЗАДАЕТСЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ С ЗАРАНЕЕ ФИКСИРОВАНИИ« ЦЕНТР0Н30000d1. А < 11

221. C:*ST*DYO\stxiyo3.wnWatibat№te.dat" loaded. 1:6 C:1 Ins Num ' aпуск 1 Ч'М-.-мпт |3«u<oODS«o А, СчдЛт • Fv.t. ВмаювДО MJ№it-[C:V . EH ii * Ч П"»

222. Рис. П.2.2. Программный комплекс «СТАДИО» (версия 2005).

223. Широчайшая интеграция и двухсторонний обмен данными со всеми CAD / CAE / САМ системами.

224. Открытость (то есть модифицируемость и дополняемость).

225. Очень высокий показатель «эффективность/стоимость».

226. Ansys программный комплекс, разработанный и сертифицированный согласно международным стандартам ISO 9000 и ISO 9001.

227. Ansys предоставляет полную и обширную по содержанию современную систему help на основе гипертекстового представления, доступ к которой осуществляется в интерактивном режиме online.

228. Препроцессор Ansys позволяет не только создавать геометрические модели собственными средствами, но импортировать уже готовые, созданные средствами CAD-систем.

229. P3YS-0 ИК =.430793 SHX -.4307981. SAVEDB RESUM1. POWRGRPH1. ANSYS Mom MenufljANSYS Miilliphysics Utility Menu0957ÎS ' . 1914«. .¿J7199 ' '.J829J1047866 .143599 .239332 .335065 .430798

230. Pic*, a menu item or enter on AN SYS Commend (POST1) fmaM |iype=l reai=i |csys=0 |

231. Пуск| И Total CommanderMg AutoCAD 2000 • . | Д ANSI'S 3.0 Qutpu- || Д ANSYS Mulliph. |SWft © 13:34

232. Рис. П.2.3. Программный комплекс Ansys (версия 9.0).