автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Дискретно-континуальные методы расчета строительных конструкций

На правах рукописи

АКИМОВ Павел Алексеевич

ДИСКРЕТНО-КОНТИНУАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ

Специальность 05.23.17 - Строительная механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Москва - 2005

Работа выполнена в Московском государственном строительном университете.

Научный консультант: доктор технических наук, профессор

Золотое Александр Борисович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Кузнецов Сергей Владимирович

доктор технических наук, профессор Сливкер Владимир Исаевич

доктор технических наук, профессор Смирнов Владимир Анатольевич

Ведущая организация: ГУН Московский научно-исследовательский и проектный институт типологии, экспериментального проектирования (МНИИТЭП)

Защита состоится « »_2005 г. в. то — часов на

15 марта,

заседании диссертационного совета Д 212.138.12 при Московском государственном строительном университете по адресу: 113114, г. Москва, Шлюзовая наб., д. 8, ауд. 409.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного строительного университета.

Автореферат разослан «.

2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Анохин Н.Н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Современный этап развития строительной механики, в частности задач определения напряженно-деформированного состояния (НДС) строительных конструкций, связан с широким использованием численных методов. Прогресс в компьютерной индустрии и вычислительной математике, продолжающийся последние десятилетия, обусловил изменение соотношения аналитических, экспериментальных (модельных и натурных) и численных подходов к анализу сложных конструкций, зданий и сооружений. Практика выдвигает задачи многовариантных исследований двумерных и трехмерных систем, адекватное решение которых может быть зачастую получено только численным путем. Как правило, найти замкнутое аналитическое решение для большинства проблем не представляется возможным, а экспериментальные исследования часто оказываются весьма дорогостоящими, а порой и неполными. Этим, в частности, и объясняется определенное превалирование численных методов, имеющее место, как в отечественной, так и в зарубежной расчетной практике. Вообще, на всех этапах изучения НДС сооружения математическая теория, исследования аналитическими и экспериментальными методами и численный расчет должны применяться совместно. В настоящее время появляется определенный потенциал для расширения доли аналитических подходов. Достигнутый в начале 21 века уровень мощности ЭВМ и имеющийся в арсенале инструментарий аналитических математических средств, в сочетании с разнообразием математических моделей, позволяет ставить на повестку дня задачи разработки и исследования так называемых численно-аналитических или, следуя терминологии О. Зенкевича, полу аналитических методов. Преимущества сочетания качественных свойств замкнутых решений и общности численных методов отмечались и раньше, но многие из разработок прежнего времени либо были не реализуемыми практически из-за отсутствия, по крайней мере, одного из перечисленных факторов, либо, в той или иной мере, не учитывалась вычислительная специфика и необходимость последующей компьютерной реализации. Полуаналитические методы позволяют получать решения в аналитической форме, способствующей улучшению качества исследования рассматриваемых объектов. Найденная с их помощью картина НДС развивает интуицию расчетчика и понимание работы конструкций, характера влияния на них различных локальных и глобальных факторов. Полуаналитические подходы особенно эффективны в зонах краевого эффекта, там, где часть составляющих решения представляет собой быстроизменяющиеся функции, скорость изменения которых не всегда может быть адекватно учтена традиционными численными методами. Кроме того, при численном решении сложных задач строительной механики предварительное аналитическое изучение отдельных локальных свойств проблемы может оказать значительную помощь. Сравнение с аналитическими решениями сложной задачи в более простых и частных случаях позволяет дать оценку принятой расчетной схемы конструкции, используемого метода, алгоритма и полученного решения, в частности, его

точности. Учитывая вышеизложенное, актуальной задачей является разработка и исследование так называемых дискретно-континуальных методов расчета строительных конструкций, зданий и сооружений. Областью применения этой группы полуаналитических методов являются конструкции, здания и сооружения, в которых имеется постоянство физико-геометрических характеристик по одному из координатных направлений (балки, балки-стенки, тонкостенные стрежни, полосы, длинные фундаменты, плиты, пластины, оболочки, высотные и протяженные здания, трубопроводы, плотины, рельсы, резервуары и т.д.). Представленные в работе методы являются дискретно-континуальными в том смысле, что по выделяемому направлению постоянства характеристик (основное направление) сохраняется континуальный характер задачи и, соответственно, аналитический вид получаемого решения, в то время как по остальным производится дискретизация того или иного рода. Вообще, само по себе понятие дискретно-континуальной системы в отношении строительных задач было введено В.З. Власовым.

Целью работы является развитие современных дискретно-континуальных методов расчета строительных конструкций, зданий и сооружений. Для достижения указанной цели поставлены и решаются следующие задачи:

1. Разработка метода аналитического решения многоточечных краевых задач строительной механики для обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, позволяющего преодолеть трудности, обусловленные явлениями типа краевого эффекта и наличием в решении экспоненциальных составляющих с положительными аргументами.

2. Разработка метода аналитического решения многоточечных краевых задач строительной механики для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, позволяющего преодолеть трудности, связанные также с явлениями типа краевого эффекта (жесткие системы), различием знаков собственных значений матрицы коэффициентов, наличием в жордановом разложении этой матрицы жордановых клеток неединичного порядка.

3. Разработка дискретно-континуального метода конечных элементов (ДКМКЭ) для расчета строительных конструкций, зданий и сооружений.

4. Разработка дискретно-континуального метода граничных элементов (ДКМГЭ) для расчета строительных конструкций, зданий и сооружений, в частности его непрямого (НДКМГЭ) и прямого (ПДКМГЭ) вариантов.

5. Разработка дискретно-континуального вариационно-разностного метода (ДКВРМ) для расчета строительных конструкций, зданий и сооружений.

6. Разработка дискретно-континуальных методов расчета сооружений при микроциклических и квазистатических воздействиях.

7. Программная реализация и приложение разработанных методов к решению тестовых и практически важных задач расчета конструкций.

Научная новизна полученных в диссертационной работе результатов заключается в следующем:

1. Разработан метод аналитического решения многоточечных краевых задач строительной механики для обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

2. Разработан метод аналитического решения многоточечных краевых задач строительной механики для систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

3. Разработан дискретно-континуальный метод конечных элементов для расчета строительных конструкций, зданий и сооружений.

4. Разработан дискретно-континуальный метод граничных элементов для расчета строительных конструкций, зданий и сооружений, в частности его непрямой и прямой варианты.

5. Разработан дискретно-континуальный вариационно-разностный метод для расчета строительных конструкций, зданий и сооружений.

6. Разработан дискретно-континуальный метод расчета системы «плита -грунтовое основание» с учетом микросейсмических и гравитационных процессов в основании.

7. Сформулированы постановки ряда актуальных задач расчета конструкций применительно к разработанным дискретно-континуальным методам.

Практическая ценность работы состоит в: ^ методике, алгоритмах и программном комплексе, реализующих метод аналитического решения многоточечных краевых задач строительной ме-хаиики для обыкновенных дифференциальных уравнений; методике, алгоритмах и программном комплексе, реализующих метод аналитического решения многоточечных краевых задач строительной механики для систем обыкновенных дифференциальных уравнений; методике, алгоритмах и программном комплексе, реализующих дискретно-континуальный метод конечных элементов для расчета строительных конструкций, зданий и сооружений;

методике, алгоритмах и программном комплексе, реализующих дискретно-континуальный метод граничных элементов для расчета строительных конструкций, зданий и сооружений; ^ методике, алгоритмах и программном комплексе, реализующих дискретно-континуальный вариационно-разностный метод для расчета строительных конструкций, зданий и сооружений;

методике, алгоритмах и программном комплексе, реализующих дискретно-континуальный метод расчета системы «плита - грунтовое основание» с учетом микросейсмических и гравитационных процессов в основании.

По договорам с рядом научно-исследовательских и проектных организаций (ГУЛ ВНИИЖТ, Московский государственный строительный университет (МГСУ), НИИ Экспериментальной механики МГСУ (НИИЭМ МГСУ), Научно-исследовательский центр СтаДиО и др.), в рамках грантов и программ научно-инновационного и межотраслевого сотрудничества Министерства образования и науки Российской Федерации Федерального агентства по образованию с другими федеральными органами исполнительной власти (Федеральное агентство по атомной энергии РФ, Федеральная служба специального строительства РФ) выполнены расчеты широкого класса строительных конструкций, зданий и сооружений.

Внедрение работы состоит в использовании разработанных методов,

алгоритмов и программ для решения задач расчета строительных конструкций, зданий и сооружений в МГСУ, НИИ Экспериментальной механики МГСУ и Научно-исследовательском центре СтаДиО.

На защиту выносятся:

1. Метод аналитического решения многоточечных краевых задач строительной механики для обыкновенных дифференциальных уравнений.

2. Метод аналитического решения многоточечных краевых задач строительной механики для систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

3. Методика частичного разложения Жордана матрицы коэффициентов разрешающей системы дифференциальных уравнений, учитывающая специфику задач строительной механики.

4. Методики построения дискретно-континуальных аппроксимирующих моделей конструкций и их границ.

5. Дискретно-континуальный метод конечных элементов для расчета строительных конструкций, зданий и сооружений.

6. Дискретно-континуальный метод граничных элементов для расчета строительных конструкций, зданий и сооружений, в частности его непрямой и прямой варианты.

7. Дискретно-континуальный вариационно-разностный метод для расчета строительных конструкций, зданий и сооружений.

8. Дискретно-континуальный метод расчета системы «плита - грунтовое основание» с учетом микросейсмических и гравитационных процессов в основании.

9. Постановки некоторых актуальных задач расчета конструкций применительно к разработанным дискретно-континуальным методам.

10.Решения актуальных задач расчета конструкций дискретно-континуальными методами.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: VII, X и XI Польско-Российский семинар «Теоретические основы строительства» (Варшава, 1998 г.; Иваново, 2001 г., Варшава, 2002 г.); XVII, XIX и XX Международная конференция «Математическое моделирование в механике сплошных сред на основе методов граничных и конечных элементов BEM&FEM» (Санкт-Петербург, 1999, 2001, 2003 гг.); Научно-техническая конференция по итогам научно-исследовательских работ студентов и молодых ученых факультета ПГС МГСУ (Москва, 2000 г.); III, IV, V, VI и VII Традиционная (I и II Международная) научно-практическая конференция молодых ученых, аспирантов и докторантов «Строительство - формирование среды жизнедеятельности» (Москва, 2000-2004 гг.); Всероссийская научно-практическая конференция молодых ученых «Строительные конструкции - 2000». (Москва, 2000 г.); Международная научно-практическая конференция «Строительные конструкции XXI века (Москва, 2000 г.); Научный семинар при кафедре «Строительная механика» МИИТ под руководством профессоров А. В. Александрова и В.Д. Потапова (Москва, 2000 г.); Научные семинары ГУЛ ВНИИЖТ (Москва, 2000-2001 гг.); I, II, III и IV Научно-практическая и учебно-

методическая конференция «Фундаментальные науки в современном строительстве» (Москва, 2001-2004 гг.); International IASS Symposium "Lightweight Structures in Civil Engineering - Contemporary Problems", IASS/LSCE 2002 (Warsaw, 2002); XII, XIII Польско-Российско-Словацкий семинар «Теоретические основы строительства» (Нижний Новгород, 2003 г.; Братислава, 2004 г.); 16th International Conference on the Applications of Computer Science and Mathematics in Architecture and Civil Engineering, IKM 2003 (Weimar, 2003); Костинские чтения «Экспериментальная механика и расчет сооружений» (Москва, 2004 г.); Научные семинары кафедры информатики и прикладной математики МГСУ под руководством профессоров М.В. Белого, В.Н. Сидорова и А.Б. Золотова (Москва, 1998-2004 гг.); Объединенный научный семинар кафедр «Сопротивление материалов», «Строительная механика», Информатики и прикладной математики МГСУ под руководством профессоров Г.С. Варданяна, Н.Н. Леонтьева и В.Н. Сидорова (Москва, 2004 г.); Научно-практическая отчетная конференция-выставка по результатам реализации в 2004 году Межотраслевой программы научно-инновационного сотрудничества Министерства образования и науки РФ и Федерального Агентства Специального строительства РФ «Наука, инновации, подготовка кадров в строительстве» на 2001-2005 г.г. (Москва, 2004 г.).

Достоверность и обоснованность результатов основана на строгости используемого математического аппарата; сопоставлении полученных результатов с результатами проводимых параллельно контрольных расчетов с привлечением программных комплексов промышленного типа; сопоставлении результатов расчета с решениями, полученными по другим аналитическим и численным методам; сопоставлении с экспериментальными данными; экспертной оценке точности решений специалистами в области НДС.

Публикации. По материалам и результатам исследований опубликовано 95 работ, в том числе 1 монография (в соавторстве с А.Б. Золотовым).

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы, включающего 367 наименований, и 13 приложений. 369 страниц основного теста и 91 страница приложений включают 251 рисунок и 30 таблиц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обоснование актуальности темы исследования, формулируются цели и задачи диссертационной работы, приводятся основные положения, составляющие научную новизну, и отмечается практическая ценность. Кратко излагается содержание работы по главам.

В первой главе ведется обзор литературы по методу конечных элементов (МКЭ), методу граничных элементов (МГЭ), вариационно-разностному методу (ВРМ) и полуаналитическим методам расчета. Использование в диссертации аппарата анализа Фурье, вейвлет-анализа, принципов понижения размерности задачи и теории обобщенных функций предопределило наличие в обзоре параграфов, посвященных их применению для реше-

ния задач расчета конструкций.

Отмечается вклад в развитие МКЭ В.Г. Баженова, М.В. Белого, A.M. Белостоцкого, В.Г. Вельского, Д.Б. Бирюкова, В.Е. Булгакова, П.П. Гайджу-рова, А.И. Голованова, К.П. Горбачева, А.С. Городецкого, А.Б. Золотова, СБ. Косицына, В.Е. Левина, Е.М. Морозова, В.И. Мяченкова, А.В. Перельмутера, В.И. Плетнева, В.А. Постнова, В.И. Прокопьева, A.M. Проценко, Л.А. Розина, А.С. Сахарова, В.А. Семенова, В.Н. Сидорова, Е.Н. Синицына, В.И. Сливкера, СИ. Трушина, А.Б. Фадеева, С.Ю. Фиалко, Р.А. Хечумова, В.В. Шайдурова, H.H. Шапошникова, Р.П. Федоренко, К. Бате, Е. Вилсона, Р. Галлагера, О. Зенкевича, Д. Норри, Дж. Одена, Л. Сегерлинда, М. Секуловича, Г. Стенга, Ф. Сьярле, Дж. Фикса, Ж. Де Фриза, J.H. Argyris, T. Babuska, P. Ciarlet, M.A. Cris-field и др. Рассматриваются полуаналитические подходы в МКЭ, предложенные А.В. Александровым, О. Зенкевичем, Y.K. Cheung, J.C. De Andrade, R.W. Gerstner, P.E. Grafton, I. Fried, B. Heinrich, C.E. Massonnet, L.S.D. Morley, S. Nicaise, B. Nkemzi, J.A. Stricklin, D.R. Strome, B. Weber, E.L. Wilson.

Среди исследований в области теории интегральных уравнений, методов потенциала, граничных интегральных уравнений (ГИУ) и МГЭ указываются работы СМ. Алейникова, А.В. Александрова, СМ. Белоцерковского. Н.П. Векуа, Э.С Венцель, Ю.Г. Верюжского, Р.В. Гольдштейна, Н.М. Гюн-тера, Ю.Д. Копейкина, С.В. Кузнецова, В.Д. Купрадзе, М.И. Лазарева, В.Е. Левина, A.M. Линькова, В.М. Лиховцева, О.В. Лужина, С.Г. Михлина, П.И. Мусхелишвили, В.З. Партона, П.И. Перлина, Л.Г. Петросяна, B.C. Рябенького, И.П. Сидорова, В.И. Тараканова, А.Г. Угодчикова, Н.М. Хуторянского, Р. Баттерфилда, П. Бенерджи, К. Брсббиа, С. Крауча, А. Старфилда, Д.К.Ф. Телеса, Т.А. Cruse, A.S. Henry, J.L. Hess, MA. Jaswon, C.E. Massonnet, E.R. Oliveira, A.R. Pontcr, K. Rim, F.J. Rizzo, R.P. Shaw, J.O. Watson и др. Анализируются методы, основанные на рассмотрении задачи в расширенной области с дополнительными силовыми или кинематическими воздействиями, размещаемыми на границе области или за ее пределами, предложенные А.Б. Золо-товым (метод стандартной области), Б.Г. Кореневым (метод компенсирующих нагрузок), О.В. Лужиным (метод расширения заданной системы), Л.Г. Петросяном, Г.Я. Поповым, Р.В. Серебряным, В.И. Травушем (метод обобщенных решений), А.И. Цейтлиным (метод дельта-преобразования) и др.

В области развития математической теории и приложений ВРМ отмечаются разработки Ю.Р. Акопяна, Б. Алиева, В.Б. Андреева, Г.П. Астрахан-цева, Н.С. Бахвалова, M^. Бирмана, И.А. Бригаднова. Г.М. Вержбинского. Е.А. Волкова, С.К. Годунова, Ю.А. Гусмана, Е.Г. Дьяконова, Ю.К. Демьяновича, М.Е. Дмитренко, В.А. Кондратьева, В.Г. Корнеева, Ю.А. Кузнецова, О.А. Ладыженской, Г.И. Марчука, A.M. Мацокина, С.Г. Михлина, Е.С. Николаева, Л.А. Оганесяна, В.Я. Ривкинда, Л.А. Руховца, B.C. Рябенького, А.А. Самарского, Г.Е. Скворцова, А.Н. Тихонова, Н.Н. Уральцевой, Р.П. Федоренко, И.Ю. Харрик, В.В. Шайдурова, В. Вазова, Р. Варги, Ж.И. Обэна, Г. Стренга, Дж. Фикса, Дж. Форсайта, I. Babuska, G. Birkhoff, J.H. Bramble, J. Cea, T. Dupont, K.O. Friedrichs, H.B. Keller, J. Nitsche, M.B. Rozenzweig, M.H. Schultz, A.H. Schatz, V. Thomee, B. Wendroff, M. Zlamal и др. Указываются

приложения ВPM в строительной механике и механике деформируемого твердого тела (M^IT), предложенные в последние годы в статьях и монографиях В Г Баженовым, Ю В Бердичевским, О M Богдановой, О А Борон-ко, Р Ф Габбасовым, В M Головизиным, Ю M Гончаровым, С И Грицуком, П Деругой, А Б Золотовым, А И Кибецом, M E Куликовой, В И Лебедевым, Б E Победрей, С И Репиным, Л Л Розиным, M А Рязановым, M А Саркисяном, А Ф Сидоровым, В В Смеловым, В А Смирновым, M А Тру-фановой, С И Трушиным, Д Т Чекмаревым, О И Черепановым и др

Анализируются методы понижения размерности краевых задач, разработанные Л В Канторовичем, В 3 Власовым, И С Березиным, Н П Жидковым, В Н Mедведько, С Г Mихлиным, В И Рыбасовым, M Г Слободян-ским, А П Филином (различные варианты метода прямых) и др

В перечне работ той части обзора, которая посвящена вопросам применения анализа Фурье для решения задач расчета конструкций, в первую очередь рассматриваются ге, которые посвящены спектральному методу граничных элементов, идейно близкому одному из разработанных в диссертации вариантов ДКMГЭ Здесь анализируются труды А Б Золотова, M Л Mозга-левой, Ж И Mсхалая, Л Г Петросяна, А И Цейтлина, отмечаются достоинства и недостатки предлагаемых методик Кроме того, разбираются подходы, описанные В M Даревским, E В Даревской, А 3 Фридманом, А С Христенко, где предлагалось использование совместной аппроксимации рядами Фурье и полиномами при решении задач строительной механики Среди авто ров, развивающих приложения рядов Фурье при решении задач расчета конструкций, выделяются В И Андреев, Я M Григоренко, В Н Mаксимович, С Г Mогилевская, Л С Рожок, О А Трубильский, S Askin, F Т К А^ F -Р Cheng, S L Crouch, В Daya Reddy, J -G Deng, S Fan, R T Fenner, L J Gray, R Haberman, M T Ibanez, H К Kim, M S Kim, W L Li, С -С Lin, В Nkemzi, G H Paulino, A Sutradhar, J T -S Wang, D Y /heng Обзор работ, посвященных применению интегрального и дискретного преобразований Фурье, включает труды С M Алейникова, Р В I ольдщтейна, В В Зубкова, В Кеча, И С Клейн, E Н Курбацкого, A M Линькова, E И Оболашвили, Ю Н Ра-ботнова, И А Солдатенкова, П Теодореску, В И Травуша, Я С Уфлянда, Г И Эскина, Р Fedelinski, К Georg, R V Grandhi, M Нею, J A L Napier, R С Penmetsa, A P Pierce, A Preumont, M Rahman, E Salajegheh, S Spottiswoode, A Steward, M Sylla, J Tausch, R Vichnevetsky, К Р Walker, L Zhou и др

Отмечается большой вклад в развитие математических основ теории вейвлет-анализа, сделанный Н M Астафьевой, В И Воробьевым, В I I рибу-ниным, Ю К Демьяновичем, И M Дреминым, В Ивановым, В А Нечитайло, И Я Новиковым, И Р Стаховским, С Б Стечкиным, И Добеши, К Чуи, G Arens, G Battle, A Cohen, R R Coifman, S Dubuc, I Fourgeau, I) Giard, A Grossmann, A Haar, S Mallat, Y Meyer, J Morlet Указаны приложения веив-лет-анализа в различных областях MДТТ, строительной механике и численных методов, предложенные в работах Д Н Алексеева, А Б Золотова, M Л Mозгалевой, A Barinka, T Barsch, S Bertolu77a, G Beylkin, G Bugeda, IMS Castro, P Charton, G Chivassa, A Cohen, V Commcioh, S Dahlke, W Dahmen,

L. Gori, D. Fasano, K. Hackl, S. Jaffard, J.M. Keiser, A. Kunoth, A.J. Kurdila, Y. Maday, P. Monasse, G. Naldi, P. Oswald, M. Papadrakakis, V. Perrier, T. von Petersdorff, L.Pezza, S. Prossdorf, J.C. Ravel, S. Qian, T. Scapolla, R. Schneider, С Schwab, K. Urban, P. Venini, J. Wang, J. Weiss, X. Zheng, Y. Zhou и др.

Указывается, что важную роль в развитии аппарата обобщенных функций сыграли труды таких математиков и физиков, как П. Антосик, Ж. Арсак, Н.Н. Боголюбов, Г. Бремерман, Ю.А. Брычков, А. Вайтман, B.C. Владимиров, М. Волерс, И.М. Гельфанд, Л. Гординг, А. Земанян, Р. Йост, В. Кеч, А.А. Логунов, Л. Мальгранж, Я. Микусинский, М.К. Поливанов, Р. Сикор-ский, С.Л. Соболев, Р. Стритер, П. Теодореску, И.Т. Тодоров, Ж. Трев, Л. Хермандер, Л. Шварц, Г.Е. Шилов, Д.В. Широков, Л. Эренпрайс и др. Среди ученых-механиков, привлекавших аппарат обобщенных функций для решения строительных задач отмечаются Д.Н. Алексеев, М.В. Белый, В.Е. Булгаков, Н.М. Герсеванов, А.Б. Золотов, Т.Б. Катуков, Е.Н. Курбацкий, Е.С. Лейтес, Д.В. Медведько, МЛ. Мозгалева, Л.Г. Петросян, О.В. Садов, В.Н. Сидоров, В.И. Травуш, В.А. Харитонов, А.И. Цейтлин, В.И. Ширинский и др.

Во второй главе описаны разработанные методы аналитического решения многоточечных краевых задач (МКЗ) строительной механики. Данный раздел диссертации является предварительным по отношению к общей теме работы и при этом имеет самостоятельное учебно-методическое значение. Дело в том, что к МКЗ сводятся предлагаемые дискретно-континуальные методы расчета строительных конструкций, зданий и сооружений.

Под МКЗ понимается задача с «внутренними» граничными условиями, т.е. совокупность обычных краевых задач, рассматриваемых на областях, имеющих общие границы. МКЗ представляют расчетную схему широкого спектра практических задач строительной механики (конструкции с промежуточными опорными закреплениями, шарнирами, прочими связями (рис. 2.1а и т.д.)). Частными случаями МКЗ являются двухточечная краевая задача (рис 2.1б, 2.1в) и одноточечная краевая задача, например, задача Коши.

Рис. 2.1. Простейшие примеры многоточечных краевых задач: а) - многоточечные задачи; б), в) двухточечная задача; г) примеры воздействий на фрагмент балки, выбор граничных и особых точек.

В рамках главы рассмотрены методы аналитического решения МКЗ строительной механики двух типов: для обыкновенного линейного дифференциального уравнения (ОЛДУ) произвольного порядка с постоянными коэффициентами (часть 1 главы 2) и системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) 1-го порядка с постоянными коэффициентами (часть 2 главы 2). Необходимость решения МКЗ указанных типов возникает при расчете самых разнообразных конструкций, зданий, сооружений на различные виды воздействий. Это, в частности, балочные системы, тонкостенные и составные стержни, пластины, плиты, оболочки, высотные и протяженные здания, трубопроводы, рельсы, плотины и т.д. К МКЗ в своем промежуточном итоге сводятся предлагаемые в работе дискретно-континуальные методы расчета строительных конструкций, а также такие известные методы как метод Л.В. Канторовича, метод В.З. Власова, метод составных стержней А.Р. Ржаницына расчета зданий, методы прямых, метод Микеладзе-Ланцоша и т.д. Традиционная постановка ОЛДУ произвольного порядка:

где L- оператор с постоянными коэффициентами ар, p = 0,...,n; f(x) -

правая часть; у(х) = [у'°'(х) у^''(х)... у^п~''(х)]Т искомый n-мерный вектор, содержащий значения функции-решения задачи и ее производных до (n-l)-ro порядка в точке х; X,, г = 1,..., Пг - координаты граничных точек; Br,B*,gr матрицы и вектор правых частей граничных условий в точке

Процесс решения задач (2.1)-(2.2) в строительной механике всегда сопряжен с целым рядом специфических трудностей, возникающих из-за наличия характерного явления краевого эффекта (эффекта малого параметра), приводящего к большим сложностям, как со стороны численных методов, так и аналитических в смысле корректности вычисления параметров (постоянных) и точности решения в целом. Предлагаемый подход позволяет получить решение в удобной аналитической форме (с использованием обобщенных функций), реализуемой на ЭВМ, исключающей отмеченные сложности.

Постановка МКЗ (2.1)-(2.2) в^классе обобщенных ^функций имеет вид:

Здесь 5(х) - дельта-функция Дирака; Y(x) - искомая обобщенная функция; A y[s' = у'!>(х^ + 0) - у(5)(х* - 0) конечные разрывы в граничных точках. Общее решение задачи (2.3)-(2.5) записывается в виде

где б(х) = [е'°'(х) е'^(х) ... Е^1'^(х)]Т- вектор-функция, содержащая фундаментальную функцию и производные; Е(х-хг) = {б'1+'"(х-хг)}^_0д1 п[.

Фундаментальная функция определяется однозначно в специальной форме, удобной для решения задач расчета конструкций:

е(хЫС,у) = £(Ск,ук), (2.7)

к=1

где С=[С,Т С2Г ... с! ]т; Ск=[Ск1 Ск2 ... <

(2.9)

Хк, к — I, ...,пк - различные корни характеристического уравнения с кратно-стями mk; zk =A.kx; Ck = const; y_(x,k) характеристическая функция,

xfo k) =

1, если x > 0 и Re(X.k) < 0 или x < 0 и Re(^.k) > О

Шь = т..

1. (2.10)

[0, если х > 0 и Ле(>1к) > 0 или х < 0 и Ке(>.к) < 0'

Для определения вектора используется метод базисных вариаций. Разработаны удобные алгоритмы дифференцирования и интегрирования фундаментальной функции на основе явных и рекуррентных формул вычисления постоянных коэффициентов в соответствующих выражениях.

(х)-(с',чо = £(с;,чгк), sfcz, c-'=wcs, (2.11)

где W - соответствующая матрица перехода, квадратная п-го порядка.

Определение коэффициентов в (2.6) из граничных условий (2.4) производится явным матричным методом или методом базисных вариаций. Традиционная постановка МКЗ для системы ОДУ имеет вид:

Пь -1

(2.12)

,7(4

Av - f,

х 6

l>

Bky(xi-0) + B£y(xi4 0) = gk, k = 1,...,nk

(2.13)

где У = у(х) = [У[(х) У2(х) ... У„(х)]Т - искомая n-мерная вектор-функция; f = f(x) = [ f,(x) f2(x) ... f„(x)JT - n-мерная вектор-функция правых частей; Xk, k = l,...,nk - координаты граничных точек; А - матрица постоянных коэффициентов п-го порядка; Bk,Bk - матрицы граничных условий n-го порядка; gk - n-мерный вектор правых частей граничных условий.

Характерная для строительных задач жесткость системы, обусловленная явлением краевого эффекта, наличие у матрицы коэффициентов собственных значений разных знаков, присутствие в разложении Жордана клеток неединичного порядка и большой порядок систем дифференциальных уравнений (несколько тысяч) предопределяют значительные трудности при практической реализации как аналитических, так и численных методов. Например, метод начальных параметров чаще всего неприменим к изучаемым задачам, а методы прогонки не являются аналитическими. Предлагаемая методика преодолевает

указанные осложняющие факторы, сохраняя аналитический характер решения.

Постановка задачи с исиолызованием обобщеннвк функций: ^

Дук - у(хк +0)- у(хк -0) - вектор величин конечных разрывов (разрывов первого рода) в точке хк ; Y - обобщенная вектор-функция неизвестный.

Жорданово разложение матрицы А записывается в виде

Т - невырожденная матрица, столбцами которой являются собственные и корневые (присоединенные) векторы матрицы A; J - матрица Жордана; 1р жорданова клетка, соответствующая собственному значению

Наличие жордановвк клеток неединичного порядка требует ввиисления корневвж векторов. Эффективные методы получения жорданового разложения в общем случае отсутствуют. Однако в задачах расчета конструкций количество и размерности жордановых клеток неединичного порядка не меняются при сгущении аппроксимирующей сетки, они соответствуют нулевым собственным значениям и для получения решения разработаны специальные подходы.

Частичное жорданово разложение основано на выгаислении правых и левый собственный векторов матрицы А. После их сортировки и биортогона-лизации оно имеет вид:

Т| и Т, - соответственно матрицы, содержащие правьте и левые собственные векторы, соответствующие ненулевым собственным значениям матрицы А, расположенные по столбцам и строкам; - диагональная жорданова матрица, отвечающая ненулевым собственным значениям; А2 - часть матрицы А, соответствующая кратным и простым нулевым собственным значениям.

Фундаментальная матрица-функция системы (2.14) определяется в удобной для решения практических задач форме:

тахV ^

(2.18)

где

(2.19)

£0(х) = сИав{х(хЯ1)ехр(>.|х), ..., х(хЛ,)ехр(А,;х)}; ттах=шахт,; (2.20)

- матрица проектирования на подпространство левых и правых собственных и корневых векторов, соответствующих нулевым собственным значениям.

Отметим, что сумма в правой части (2.18) содержит не более четырех членов и соответствует полиномиальной («балочной») часта решения. Общее решение задачи (2.12)-(2.13) выражается формулой

Нахождение коэффициентов в (2 21) из граничных условий (2 13) производится явным матричным методом или методом базисных вариаций

В диссертации описаны и альтернативные подходы к практической реализации методов аналитического решения МКЗ, в том числе рассмотрен случай возмущения матрицы коэффициентов

Часть 3 главы 2 посвящена описанию некоторых вопросов общей теории постановок краевых задач методом расширенной области Дается понятие об операторных постановках, их взаимосвязях с вариационными постановками Применяются обобщенные операторные формулировки граничных задач в соответствии с методикой, предложенной А Б Золотовым Все части исходной постановки записываются в одном уравнении с соответствующими весовыми характеристиками, для чего используются характеристическая функция области и ее производные, сосредоточенные на границе

где единичный вектор нормали к поверхности

Представлены основные операторные соотношения для эллиптической системы уравнений второго порядка в случае прямого и непрямого подходов

В третьей главе излагается дискретно-континуальный метод конечных элементов для расчета строительных конструкций, зданий и сооружений В ДКМКЭ реализована идея, что решение задачи расчета конструкции, здания, сооружения с постоянными физико-геометрическими характеристиками по одному из направлений в рамках МКЭ может быть получено в аналитической форме вдоль данного направления (рис 3 1) Построение алгоритмов решения осущсствляется за счет разумного сочетания численных и аналитических подходов Преимуществами ДКМКЭ также являются понижение размерности при численном решении, отсутствие практических ограничений на длину объектов по основному направлению и эффективность в зонах краевого эффекта

Рис 3 1 Примеры объектов применимости ДКМКЭ

В части 1 главы 3 формулируются постановки краевых задач расчета конструкций в рамках ДКМКЭ операторная и вариационная постановки

краевой задачи для уравнения Пуассона (оператора Лапласа), двумерной задачи теории упругости, трехмерной задачи теории упругости в прямолинейной и криволинейной системах координат. В частности, традиционная постановка второй краевой задачи трехмерной теории упругости имеет вид:

где П - область занимаемая конструкцией; L - дифференциальный оператор условий внутри П; Т - оператор дифференциальных условий на границе области сТ); Х = [Х| Х2 х3]Т - вектор координат точки; П = [и| и2 и3]Т - вектор составляющих перемещений; ст = [ст11 <Т22 <Т33 СТ12 СГ23 <^13]Т - вектор компонент напряжений; Р — Р2 Р3]Т, ? = ^ - векторы составляющих нагрузок внутри [} и на сЮ соответственно; i = ^2,3.

Операторная постановка задачи для ДКМКЭ следующая:

ф(и) = 0.5■ и,0) - ,и) = 0.5 ■ Щ где $

1Ш у ии & иу ; & =

<г ш ш уи £ УУ - 0_

X, ц - постоянные Ламе; = р. = 0Ц ; Е - единичная матрица; верхний индекс обозначает операцию сопряжения; основное направление вдоль

Операторная постановка соответствует вариационной:

= с = и' = 53и. (3.7)

Решением поставленной задачи является точка (функция) экстремума функционала (3.6) с условием (3.3), связывающим вектор-функции и и V.

Описаны модифицированные постановки задач расчета конструкций при наличии упругоподатливых опор и односторонних связей; для дифференциального оператора двумерной теории упругости в рамках постановки ДКМКЭ получены явные формулы определения собственных и присоединенных функции соответствующих нулевому собственному значению.

Часть 2 главы 3 посвящена численной реализации ДКМКЭ. Для постановки и решения краевой задачи область поперечного (по отношению к основному, «продольному» направлению) сечения окаймляется расширенной И , имеющей произвольную форму, в том числе стандартную. На стандартной задается сетка, топологически эквивалентная прямоугольной (рис. 3.2).

Это позволяет использовать регулярную нумерацию узлов, приводящую к удобным математическим формулам, эффективным вычислительным схемам и алгоритмам, упрощает сбор исходной информации и вывод результатов.

Для трехмерных задач принимается дискретно-континуальная модель: в поперечных направлениях конструкции (оси ОХ[ и 0х2) производится дискретная аппроксимация, а в продольном (ось Ох3) - задача остается континуальной. Область (0 разбиваем на дискретно-континуальные конечные эле-менты(ДККЭ) Юу, ¡ = 1,2,...,>1,, ] = 1,2,К2; N=N,-N2 (рис. 3.3).

Рис. 3.2. Пример выбора аппроксимирующей сетки по сечению.

I х, N. N. х2 '

Рис. 3.3. Пример схемы дискретизации конструкции.

Рис. 3.4. Переход к локальной системе координат на у-м ДККЭ.

В произвольном сечении элемента вводится локальная система координат 01,, СН2, при этом I,, 12 е [0,1], и производится локальная перенумерация узлов (рис. 3.4). В качестве основных неизвестных в узлах принимаются составляющие перемещений и их производные по ,

т.е. для pq-гo узла это компоненты векторов

,РЯ „РЧ „рщт

V?4]'. (3.8)

В простейшем случае по сечению ДККЭ принимается билинейная ап-

проксимация неизвестных.

Вектор узловых нагрузок ДККЭ (сосредоточенные силы) имеет вид:

= (ВД (Я'2)7 (Я22)1]1, (3.9)

где ^=К^(х3) = [(К^)т (Я^)1]1, 1^=0. (3.10)

Функционал (3.6) представляется в виде суммы по элементам:

ф(й)=Х14\(и'Ч, Фу(ич) = 0.5-(Кии",и«)-(й:ч,ич), (3.11)

1=1 Г1

где К4- матрица жесткости ДККЭ 24-го порядка,

Кч =

Чи к" Чу к-12 Чи К12 ■Чу к-'3 Чу „14 Чи „14 К-иу

К"11 К-VII (С11 „12 „12 К"13 к13 к14 „14 КУУ

К21 „21 киу „22 "Чи кг? *ЧУ к23 Чи к23 ЧУ „24 *Чи „24 *Чу

К"21 •Чи К21 V22 КИ К21 „23 ЧУ „24 *Чи „24 ЧУ

К31 К31 Чу „32 Чи „32 Чу К3Ц3, К-33 Чу „34 *Чи „34 ЦУ

К3' К« „32 Куи К32 КУУ к33 •Чи к33 УУ „34 Куи „34 КУУ

„41 к41 "Чу „42 "Чи „42 "ЧУ „43 "Чи у 43 Чу „44 Чи „44 *Чу

«•41 гг41 „42 V42 „43 "Чи УУ „44 УН „44

И" -=и'(*3) =

й!1

(3.12)

Здесь К1™,К^,К1™,К1™, 1,т-1,2,3,4 матрицы 3-го порядка.

Матрица жесткости ДККЭ формируется методом базисных вариаций' (К'Оа +ё1)-Фи(е5)-Фц(ё,) + Ф,)(ё0), в = 1,2,..„24; 1 = 1,2,...,24, (3.13)

^ (еД=8^; (ео)к =0, к = 1,2,..., 24; Фи(и°) = 0.5• (Кчи",ич)-(3 14)

На основании (3.12) формируются матрицы Кцц, К„у, Куц, Куу 12-го порядка.

К1

К1 =

Г К11 „12 *Чи К13 кии „14 Кии Кцу I?12 К13 „14

К21 ии „22 ии „23 ии „24 ии • К 4 - ' иу - ТС11 К11 иу ИГ23 „24

К31 •Чи „32 К"33 *Чи „ 34 'Чи К31 "■иу „32 *Чу *Чу „34 'Чу

„41 _ ^ии „42 "Чи „43 ии „44 Кии К41 „42 *ЧУ „43 иу „44

К11 к '2и к13 „14 •Чи " 1С11 к-12 к'Д „14

к2' „22 "Чи „24 ■Чи ■ К1' - > УУ - к-21 УУ К"22 Л-уу к* „24 IV уу

к31 14 уц „32 *Чи К33 VII „34 ^-уи к31 К-УУ „32 "^УУ „34 УУ

„41 "Чи „ 42 „43 „44 Куи _ „41 „42 „43 ^УУ к::

(3.15)

(3.16)

Каждому функционалу из (3.11) соответствует дифференциальное соотношение

-кют+к!

(3.17)

отражающее условие стационарности для свободного элемента, независимо-

ю от_системы дискретно-континуальных элементов, где

*!!=^(х3М(1С)' (К2и'п)т Ют Ю1!1; (у7 = 5,У'; П« = й'(х3) = [(<1)т (й^)т (и'2)т (й22)т]т; =

(3.18)

(3.19)

(3.20)

Составление соответствующих глобальных матриц Кии, Кцу, Куц > К^ 3К-го порядка для системы ДККЭ всей конструкции осуществляется по стандартной методике формирования глобальной матрицы жесткости МКЭ.

у* = у'Чх3) = [Ю'1 (^п')т ют (V22)1]1; КУ11 = (Кц„)\

Пусть х3, к = 1,2,...,пк - координаты граничных поперечных сечений конструкции с граничными условиями вида:

<![

где Вк, Вк, - заданные матрицы и вектор правых частей; и

п • и II ^ .» ' ». и ' ^ И '

...... К'

Вки„(хЦ - 0) + Вкип(Хз + 0) = 1к> к = 1,2,..., пк,

и„=и„(х3) =

й„=й„(х3) = [(й")1 (П'2)т

(йгг)т ]т

]Т'

Разрешающая МКЗ: п_

. и„(х3) = Аи„(х3) + Й(х3)

Вки1(х^-0) + В;ип(х3к+0) = §к, к = 1,2,..., пк

(3.21)

(3-22) ,(3.23)

где А =

Я = Я(х3) =

0

К^ГЧ.

;и; = Ззи„- 0-24)

0 Е

(К„) К,ш (Куу) 'К.

Напряжения и деформации определяются по формулам теории упругости.

В диссертации представлен итерационный метод расчета трехмерных конструкций с односторонними связями в рамках ДКМКЭ (рис. 3.5). Пусть Х3, я = 1,. ., N.. координаты непрерывных по основному направлению односторонних связей, где сопротивления сжатию прямо пропорциональны перемещениям, а сопротивления растяжению отсутствуют. Реакции в связях (положительные перемещения соответствуют деформациям «растяжения»):

опоры Т связи

Рис. 3.5. Расчетная схема криволинейной конструкции с односторонними связями в пространственно-кольцевой системе координат.

Так как в ДКМКЭ используется аппарат аналитического решения, целесообразно введение фиктивных реакций, нейтрализующих действие растягивающих напряжений в пружинах, моделирующих опирание типа Винклера:

0, и, 8 < 0.

Подобный подход обеспечивает полную эквивалентность действию односторонних связей. Основная схема решения задачи ведется в условиях

(3.26)

двусторонних связей с одновременным вычислением соответствующих фиктивных реакций и их воздействий на систему в целом. В ходе итерационного процесса на каждом шаге решается задача с двусторонними связями, а затем в местах наличия растягивающих перемещений в пружинах вычисляются компенсирующие фиктивные реакции, учитываемые на следующей итерации. Для повышения скорости счета предложен специальный алгоритм редукции проблемы, после выполнения которого, решение вычисляется не во всех точках сечения дискретно-континуальной модели, а лишь в узлах с односторонними связями. Процесс продолжается до достижения заданной

оценки погрешности 8 величины реакции в упругоподатливой связи :

¡|Щ.ы-Й1,к[|<е, _ (3.27)

где - приближение к вею ору (редуцированный аналог Я,) на к-й

С[ - матрица упругих характеристик связи;

итерации; К^к=С,ги5гк П^ПУ*,) - редуцированный вектор перемещений на к-й итерации.

В четвертой главе излагаетсяя дискрегно-континуальный метод 1ра-ничных элементов для расчета строительных конструкций, зданий и сооружений. В основе ДКМГЭ лежат граничные псевдодифференциальные урав нения. Соответствующие псевдодифференциальные операторы аппроксимируются дискретно с привлечением анализа Фурье или вейвлет-анализа. Преимущества ДКМГЭ перед другими методами численного моделирования заключаются в двукратном понижении размерности задачи (дискретизации подвергается не вся расчетная область, а только граница ее поперечного сечения, т.е. решается, по сути, одномерная задача и задается лишь шаг по контуру), возможности проведения детального анализа отдельных зон, упрощенном этапе подготовки данных, алгоритмической простоте и высокой степени универсальности. Разработаны два варианта ДКМГЭ - непрямой и прямой, при этом непрямой, как и в МТЭ, применяется несколько шире прямою.

В части 1 главы 4 формулируются постановки краевых задач расчета конструкций в рамках НДКМГЭ. Строятся операторные формулировки граничных псевдодифференциальных уравнений краевых задач для уравнения Пуассона, двумерной и трехмерной теории упругости, даются их регуляризации.

Пусть Г2 - область, занимаемая конструкцией с границей Н = дельта-функция границы Н ; основное направление вдоль х3. Область П дополняется до стандартной с продолжением реальных физических характеристик, решение на области го ищется в классе функций, допускающих разрывы при переходе через . Тогда постановку второй краевой задачи трехмерной теории упругости можно представить в виде системы дифференциальных (по х3) уравнений 1-ю порядка с операторными коэффициентами:

Е - тождественный оператор; q - скачок естественных краевых условий при переходе через Е; 1а - оператор, задающий условия на Е; У3 = 0;

Ь2 =М

0

1

о

о о

у + 2

-ц(у + 1)

0 0 а,

(у + 2)9? +д\ (у + 1)9,92

(7 + 1)9,9, о

ЧУ + 2^

о

о о

5? + д]

; у=-

,1 + у2/0>2;

=-ц

(у+2)9, у32 0 0 0 у д2 9, О О О О

О

о а, 1 о о

; 'с

оооо

92 с

70, (у+2)92 0 0 0 у 0 0 9, О 1 О

(4.4)

(4.5) . (4.6)

В соответствии с теорией операторов и методиками части 2 главы 2 строится фундаментальная матрица-функция системы и' = Ьси, далее производится ее свертка по х3 с обеими частями (4.1)^. После редукции имеем:

где Р^, Р,1,, Р20, Р2Г, редуцированные псевдодифференциальные операторы по Х,,Х2, каждый представляется в виде суммы операторов вида ) | э (р,Я,5 £ 7) с числовыми матричными коэффициентами; | У2 |= (9? +9?)

Подставляем (4.7) в граничные условия (4.1) получаем редуцировашгую разрешающую систему псевдодифференциальных уравнений относительно с]:

Для дополнительной регуляризации ядер псевдодифференциальных операторов можно, воспользовавшись свойствами свертки, дважды перебросить производную на неизвестную функцию и перейти к отысканию = (} . Альтернативой является двукратное интегрирование граничных уравнений по

Часть 2 главы 4 излагает вопросы построения операторных формулировок постановок краевых задач в рамках ПДКМКЭ и их регуляризаций.

Часть 3 главы 4 посвящена исследованию и регуляризации ядер основных псевдодифференциальных операторов ДКМГЭ. Вообще, проблема решения интегральных и интегро-дифференциальных уравнений с ядрами вида х к,|х | к,к>0 возникает при рассмотрении разнообразных технических задач. Указанные ядра не всегда могут быть вычислены в смысле Коши. Ядра типа хоть и являются интегрируемыми в каком-то смысле, в не-

которых точках принимают бесконечные значения, что приводит к достаточно сложным формулам численного интегрирования. Перечисленные функции правильнее понимать в обобщенном смысле, т.е. в виде их регуляризаций.

Многие из существующих формул регуляризации (канонические, неканонические и т. д.) являются неоднозначными с точки зрения численной реализации, оказываясь полезными, главным образом, для теоретических изысканий. Естественной представляется регуляризация Vp(f(x)) функции Дх) как производной соответствующего порядка от^некоторой непрерывной, например,

Таким образом, регуляризованная обобщенная функция может быть представлена как последовательность конечно-разностных производных соответствующего порядка с параметром И от некоторой непрерывной функции, т.е.

Ур(Г(х)) = Нт05Р(х), (4.11)

где Щх) непрерывная первообразная функции 1"(х) в-го порядка, Р(х) = ^ 5'(х); Вь - дифференциальный конечноразностный оператор в-го порядка с шагом И.

Значения Vp(f(x)) в достаточно удаленной от начала координат точке, должно практически совпасть с соответствующим значением функции Дх), там можно использовать и саму Д(х). Альтернативным способом регуляризации сингулярных ядер является их аппроксимация рядами Фурье.

Ядра псевдодифференциальных операторов ДКМГЭ строятся с использованием прямого и обратного преобразований Фурье обобщенных функций. Например, в трехмерном случае для произвольной функции í имеем:

В диссертации исследованы предельные свойства операторных ядер, даны их осесимметричные интегро-дифферетщиальные представления.

В части 4 главы 4 описана численная реализация НДКМГЭ с использованием рядов Фурье. 1 Применение последних ведет к сравнительной алгоритмической простоте и наглядности метода, а также обеспечивает «распад» разрешающей системы уравнений на набор подсистем меньшего порядка.

Для трехмерных задач принимается дискретно-континуальная модель границы Е: в поперечном сечении - се точная аппроксимация границы, а в продольном направлении (ось Ох-,) задача остается континуальной и Е разбивается на дискретно-континуальные граничные элементы (ДКГЭ) Е,

Введем вдоль Г, локальную координату 1е[0,1] (рис. 4.1 -4.2) и произведем на элементе локальную перенумерацию узлов: В качестве основных неизвестных на ДКГЭ принимаются компоненты вектор-функции обозначаемые

В простейшем случае вдоль Г используется кусочно-постоянная аппроксимация и в пределах Г, неизвестные считаются постоянными. Определяем:

В качестве ортонормированного базиса в используется система функ-

ций(-Ы, <к, <N,1 -N3 <к2 <Ы2; -N3 <к3 <N3, к = (к1,к2,к3)): <Рк(х) = Фк1(х1)фк2(х2)(рк1(х3); фк|(х1) = ехракх1)/1/2^; Х^Пус//, (4.14)

Для улучшения сходимости ряда Фурье используются ст -множители Ланцоша.

Рис. 4.1. Примеры дискретно-континуальных моделей границ рассматриваемых областей в рамках ДКМГЭ.

Рис. 4.2. ДКГЭ и его характеристики.

Псевдодифференциальные операторы вида -1,2\] = 0,1 и

I = 1,2; ] = 0,1; к -1,2 аппроксимируются с привлечением рядов Фурье:

№,х2)* £ ¿Р^/МЛ^К^). 1 = (4.15)

к,- И,к2=-М2

Рм.к£'(*1>х2)Я! I 1Р:,,к.к1к2Гк,к2Фк1(х.)фкг(х2)и = 1,2и = 0,1;к = 1,2,(4.16)

к,- И,к2=-М2

где ^, Р,'ьк к, Оу,к,к,к2 ~ соответствующие коэффициенты Фурье.

Дискретно-континуальные аналоги уравнений (4.8) записываются в точках х* = (х^,х2],х3)еГ + 0,1 = 1,2,...,К;к, с координатами

х^х^+О.З-Ьц+у,^,; х2, =х21 + 0.5• , + У2_Д. (4.17)

С позиций МГЭ, рекомендуемое значение (1, = 0.0Ш, , но (1, должна задаваться и так, чтобы избежать осложняющих факторов явления Гиббса, возникающего вблизи Г, и потенциально возможных паразитических эффектов, связанных с аппроксимациями дельта-функций, сосредоточенных на границе. Глобальный вектор неизвестных формируем в виде

Г(х3) = [д,т(х1) ... ^,(х3)]т; до(Х])= ^офкз(Хз). (4.18)

М-и,

Набор 2Ы3 +1 разрешающих систем линейных алгебраических уранений (СЛАУ) ЗЫЬе! -го порядка относительно коэффициентов в (4.18) имеет вид:

Определение напряжений внутри области производится на основе соотношений теории упругости, (4.20) и дифференцирования по Ланцошу.

В части 5 главы 4 описана численная реализация ПДКМГЭ с использованием рядов Фурье, аналогичная той, что рассматривалась для НДКМГЭ.

Часть 6 главы 4 посвящена использованию смешанной аппроксимации рядами Фурье и полиномами в рамках ДКМГЭ. Обоснованность такого выбора заключается в том, что аппроксимируемые функции могут содержать разрывы первого рода, а их приближение рядами Фурье не везде является удовлетворительным, вследствие явления Гиббса. Для устранения этого фактора вводятся дополнительные полиномиальные составляющие в формулах аппроксимации, а рядами Фурье приближаются регулярные части решений, не имеющие разрывов. Предложены схемы полиномиальной аппроксимации трех видов: двусторонняя, односторонняя справа и односторонняя слева (рис 4.3), даны обоснованные рекомендации по выбору. На границе расширенной области для полиномов задаются дополнительные условия гладкости.

Преимущества смешанной аппроксимации проявляются уже на модельной задаче об изгибе балки на упругом основании, для ко юрой выполнено сравнение аналитического решения и решений, полученных по методу ВА. Даревского и ДКМГЭ с использованием смешанной аппроксимации. Графики перемещений, углов поворота, изгибающих моментов и поперечных сил по длине балки при использовании ДКМГЭ совпадали с аналитическими, в то время как методика В.И. Даревского дала близкие результаты для функции перемещений, постепенно «ухудшаясь» по мере ее дифференцирования. Наиболее критичными ожидаемо стали графики поперечных сил (рис. 4.4).

ДКМГЭ с использованием смешанной аппроксимации распространен на решение задач теории упругости (рис. 4.5). а)

б) ьх -ь I

! 1.и? н? т

х? Ди?>т г х

IIй Н?

Схемы полиномиальной аппроксимации

а) двусторонняя

б) односторонняя справа

в) односторонняя слева

Рис. 4.3. Схемы полиномиальной аппроксимации.

40 60 80 100 120 140 160

Рис 4 4 Сравнение аналитического решения и решений, полученных по методу В А Даревского и ДКМГЭ для модельной задачи изгиба балки

I,

.т а 1

*ь 0 ' , '

ь :1 . • - -- - .

* г

ь и_1-_\ | Ч 1 2

Х2

Рис 4 5 Расчетная схема бесконечной полосы на упругом основании

В части 7 гчавы 4 описываются численные реализации ДКМГЭ с использованием преобразований Фурье и частичной аппроксимации рядами Фурье Априори использование интегрального преобразования Фурье по основному направлению кажется наиболее естественным Этот выбор в сочетании с аппроксимациями рядами по «поперечным» переменным позволяет перейти от (4 8) к СЛАУ относительно образа Фурье вектор-функции С}(хя)

А(ьМ5) = В(ь), где ¥(5) = рхдд(х3)1 (4 22)

В дальнейшем для решения (4 8) появляется потребность в вычислении обратного преобразования Фурье от W(s) ш s, что является главной проблемой при реализации Актуальна задача рационального и численно обоснованного выбора набора относительно небольшого числа параметров s, при которых решается (4 22) С вычислительной точки зрения операция вычисления обратного преобразования Фурье является некорректной, некоторые методы ее решения описаны в работах В И Крылова, Л Г Кругликовой и др

Дискретное преобразование Фурье (алгоритм быстрого преобразования Фурье) в ДКМГЭ может эффективно применяться не на этапе дискретизации граничных псевдодифференциальных уравнений, а при определении перемещений и напряжении внутри области, обеспечивая выигрыш в скорости

Вариант ДКМГЭ с использованием частичной аппроксимации рядами Фурье предполагает применение рядов Фурье лишь по основному направлению и оперирование с точными аналитическими зависимостями по остальным Преимущество отсутствие погрешностей в граничных псевдодифференциальных уравнениях при аппроксимациях рядами дельта-функций и их производных, недостаток - вычисление коэффициентов разложения по приближенным формулам, для определенного количества коэффициентов соответствующий алгоритм связан с большим числом шагов интегрирования

Часть 8 главы 4 посвящена численным реализациям ДКМГЭ с использованием вейвлет-анализа. В ДКМГЭ вейвлеты привлекаются для построения базиса, с помощью которого производится многоуровневый анализ решений краевых задач, позволяющий качественно и количественно оценить степень локальности различных явлений. Под многоуровневым анализом понимается частичное разложение решения по локальному вейвлет-базису и рассмотрение компонентов решения на каждом из уровней базиса. Предложено две вейвлет-версии ДКМГЭ. Первая заключается в комбинировании рядов Хаара по основному направлению с аппроксимациями рядами Фурье по остальным. Разрешающая СЛАУ для граничных неизвестных имеет вид

А7е = В, (4.23)

где - вектор коэффициентов ряда Хаара искомой граничной вектор-функции; А, В - матрица коэффициентов и вектор правых частей СЛАУ.

Вследствие более сложного алгоритма вычисления свертки в рядах Хаара порядок СЛАУ (4.23) равен М • ЫЬс1 • Ы11ваг , где М - количество граничных неизвестных в точке; количество ДКГЭ; - число учитываемых членов ряда Хаара. Матрица А является заполненной и здесь уже невозможна декомпозиция СЛАУ на набор подсистем меньшего порядка и возникает проблема решения СЛАУ большой размерности. По мере увеличения числа уравнений она становится все более критичной и приводит к временным проигрышам по сравнению с прочими вариантами ДКМГЭ. «Тяжеловесны» и формулы вычисления основных неизвестных внутри области. Ме-юд эффективен при решении двумерных задач и трехмерных с не слишком густыми сетками ДКГЭ и не очень большим числом членов ряда Хаара.

Второй вариант ДКМГЭ, использующий вейвлет-аппроксимацию предполагает приближение рядами Хаара по основному направлению с одновременным сохранением континуальных зависимостей по прочим переменным. Преимущества выбора: отсутствие проблем, связанных с явлением Гиб-бса и иными паразитическими эффектами на границе, меньший объем вычислительной работы по сравнению с первым вариантом, точное определение коэффициентов разложения ядер и, как следствие, ускорение при машинном счете, недостаток - проблема решения СЛАУ большой размерности.

В части 9 главы 4 описаны программные реализации ДКМГЭ.

В пятой главе излагается дискретно-континуальный вариационно-разностный метод для расчета строительных конструкций, зданий и сооружений. ДКВРМ позволяет сочетать простоту и наглядность конечно-разностных методов с преимуществами вариационной постановки (меньший порядок производных и автоматическое удовлетворение решения основным (естественным) граничным условиям) с одной стороны и очевидные достоинства аналитического решения с другой. Использование ДКВРМ позволяет сравнительно просто получить дискретную операторную формулировку задачи по направлениям сеточной аппроксимации, внешне повторяющую ее исходную постановку. ДКВРМ используется как для получения непосредственного решения задачи, так и для сопоставления с результатами, полученными по ДКМКЭ.

Часть 1 главы 5 посвящена общим принципам аппроксимации краевых задач по методу расширенной области, а часть 2 главы 5 - описанию ДКВРМ для решения двумерных и трехмерных задач расчета конструкций.

Принимается аналогичная дискретно-континуальная модель. Область И разбиваем на дискретно-континуальные сеточные элементы й^ (ДКСЭ)

(рис. 3.3). В произвольном сечении элемента также вводится локальная система координат О^ и СП2 и производится перенумерация узлов (рис. 3.4).

Вводятся сеточные операции (Т^ф)(д) = ф(1) + ф(1к +1) - «осреднение»; (бкф)(1) = фОк +1)-ф(0 - «разность вперед»; (бкф)0) = фО)-ф(1к -1) - «разность назад»; - «сдвиг», где - сеточная функция; 1|,12 - мультииндексы; ф^ ± 1) = ± 1,12); ф02 ± 1) -Ф^Лг

(5.1)

(5.2)

где (Еф)(1) = ф(1) тождественный оператор (Е - единичная матрица).

Локально по сечениям ДКСЭ ведется полилинейное восполнение сеточных функций. В качестве неизвестных в узлах принимаются составляющие перемещений и их производные по переменной Х3, т.е. для у-го узла это

и^и^и^', Их восполнение ведется по формулам

(5.3)

(5.4)

(5.5)

Для физических характеристик конструкции используется кусочно-постоянная аппроксимация, а значения , приравниваются значениям Л., в середине сеточного элемента, т.е. в точке с координатами

Формулы дискретной аппроксимации операторов на квадратной сетке

с единичными шагами имеют вид: 2

и = и!1 -Н,Д,и + иЛ,и + илД,,и; у = у" +1,Д,у + иД,у + 1:,ЦЛ

где

21 тт11.

А1й = й'2-

12 12

— -22 -21

Дпи = и:

■ Д->и;

1 . 1 * . . 1

аф«-(ПТк*5)Ф; а5чдФя .Тч(Тр*а)ОчФ; гр,аф = -Ор(Тч*а)Трф, (5.6) 4 к-1 4 4

^а^фЛВДаРрф, Р^Ч, а = Цас111с1г2, (5.7)

о о

где ф - восполненная сеточная функция; а - кусочно-постоянная сеточная функция; 9к, - д!дЛк \ д\х=-дкх--д1д\ \ ® символ прямого произведения; а = 0а; Б, =Е2 ®5,; = Ьг ® Е,; Т, = Е2 ®Т,; Т2 = Т2 <8>Е,. (5.8) После перехода к исходной сетке и глобальной системе координат с учетом (5.6)-(5.7), переписываем (3.4)-(3.5) в дискретном матричном виде:

£

Здесь , Виу, Сцц - матрицы 31Ч-го порядка.

О

А"'Г

А„ВПУ

(5.9)

Далее после преобразований переходим к МКЗ аналогичной (3.23), где

[(А»)1^]' ^п=Уп(х,) = [(У1>п)т (У2>п)т (\п)т]тЛ и,,п=и1П(хз)=[и;1... иГ'1 и;2... иГ>2... и!-'... и^ ]г, 1=1,2,3. (5ш \„=\п(х,) = К" у*1 у|2 ... у?-2 ... у«»... у^ 1\ 1 = 1,2,3' } К„_=Яп(х3) = [(Яи)т (ЯУ)Т1Т; Яи =К11(х3) = [(К|11)т (Я^)1 0ут]т;(5.12) =Е,.И(хз)=Г И"» ••• Л" -^2 - С- 1С2 Г; ^=о• (5.13)

В заключении перечислены основные результаты работы и выводы.

В приложении 1 приводятся описания разработанных программных комплексов по расчету строительных конструкций, зданий и сооружений предложенными дискретно-континуальными методами.

В приложениях 2-10 рассматриваются примеры расчетов тестовых, модельных и практически важных задач. В частности, представлены расчеты балочных систем, оболочек, плоских слоев, полос, балок-стенок, бруса в трехмерной постановке, прямолинейного рельса в трехмерной постановке с учетом взаимодействия с верхней частью пути и подвижным составом, криволинейного рельса в трехмерной постановке с односторонними связями, гравитационной плотины в трехмерной постановке, арочно-гравитационной плотины в трехмерной постановке, системы «подпорная стена - грунтовый массив» в трехмерной постановке (рис. П.1).

В приложении 11 рассматриваются дискретно-континуальные методы расчета сооружений при микроциклических и квазистатических воздействиях. В частности, здесь описывается дискретно-континуальный метод расчета системы «плита - грунтовое основание» с учетом микросейсмических и гравитационных процессов в основании. Помимо выигрыша в точности отсутствие необходимости дискретизации по времени существенно сокращает объемы вычислений и обеспечивает решение задачи при быстроизменяющемся (быст-роосциллирующем) характере действия нагрузок. Отправная постановка проблемы была сформулирована проф. д.т.н. В.Н. Савостьяновым и проф. к.т.н. М.С. Хлыстуновым. Среди работ, посвященных данной проблематике, отметим труды Е.А. Вознесенского, С.И. Завалишина, Ж.Г. Могилюк, В.Н. Савостьянова, З.Г. Тер-Мартиросяна, М.С. Хлыстунова, Л.И. Черкасовой и др.

Требовалось провести расчет системы «бетонная плита - грунтовое основание» и соответствующей модели. Исследовались расчетные схемы с однородным грунтовым основанием и с неоднородным, многослойным залеганием грунтов (всего около 20 схем, см., например, рис. П.2).

Выполнялись статические и квазистатические расчеты во временном интервале 1-20 лет. Законы изменения нагрузок на систему учитывали микросейсмические и гравитационные колебания, при этом соответствующие периоды составляли, по данным ПИТОМ, например, 0.1 с и 20 мин.

Напряжения и деформации связывались формулами линейной теории ползучести. Для описания грунтов использовались также нелинейные модели их поведения при циклических нагружениях, учитывающие развитие пластических деформаций, предложенные проф. д.т.н. З.Г. Тер-Мартиросяном.

Рис П 1 Некоторые примеры решенных двумерных и трехмерных задач

Рис П2 Примеры расчетных схем клиновидная (а), складчатая (б) структуры

В приложениях 12-13 приводятся расчеты системы «плита - грунтовое основание» и модели НИИЭМ с учетом микросейсмических и гравитационных процессов в основании в постановках, учитывающих неоднородную ползучесть, пульсирующий характер нагрузок, развитие пластических деформаций и др.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Разработан и реализован на ЭВМ метод аналитического решения многоточечных краевых задач строительной механики для обыкновенных дифференциальных уравнений, позволяющий преодолеть трудности, обусловленные явлениями типа краевого эффекта и возможным наличием в решении экспоненциальных составляющих с положительными аргументами.

2. Разработан и реализован на ЭВМ метод аналитического решения многоточечных краевых задач строительной механики для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, позволяющий преодолен» грудности, связанные с явлениями типа краевого эффекта (жесткие системы), возможным различием знаков собственных значений матрицы коэффициентов, наличием в жордановом разложении этой матрицы жордановых клеток неединичного порядка.

3. Разработан и реализован на ЭВМ дискретно-континуальный метод конечных элементов для расчета строительных конструкций, зданий и сооружений.

4. Разработан и реализован на ЭВМ дискретно-континуальный метод граничных элементов для расчета строительных конструкций, зданий и сооружений, в частности его непрямой и прямой варианты.

5. Разработан и реализован на ЭВМ дискретно-континуальный вариационно-разностный метод для расчета строительных конструкций, зданий и сооружений.

6. Разработаны дискретно-континуальные методы расчета сооружений при микроциклических и квазистатических воздействиях. В частности, предложен и реализован на ЭВМ дискретно-континуальный метод расчета системы «плита - грунтовое основание» с учетом микросейсмических и гравитационных процессов в основании.

7. На основе разработанных методов и программных комплексов решен представительный набор модельных, тестовых и практически важных задач, в частности, проведены расчеты рельса с учетом взаимодействия с верхней частью пути и подвижным составом, как в прямолинейного, так и криволинейного, в том числе в постановке с односторонними связями, балок-стенок, полос, трехмерных брусьев, балочных систем, плоских слоев, оболочек, гравитационной и арочно-гравитационной плотин, системы «подпорная стена - грунтовый массив», системы «плита грунтовое основание» и модели НИИЭМ с учетом микросейсмических и гравитационных процессов в основании и др.

8. Полученные результаты позволяют оценить влияние краевого эффекта на

НДС строительных конструкций, зданий и сооружений, получить устойчивые и универсальные методы расчета, позволяющие создать программные комплексы промышленного типа, расширить область аналитических и полуаналитических подходов в расчете и исследовании конструкций, имеющих постоянные физико-геометрические характеристики по одному из направлений.

Основные положения и результаты диссертации опубликованы в

следующих работах (общее количество - 95; ниже перечислено - 47):

1. Золотов А.Б., Акимов П.А. Некоторые аналитико-численные методы решения краевых задач строительной механики: Монография - М.: Издательство АСВ, 2004. - 200 стр.

2. Золотов А.Б., Ширинский В.И., Акимов П.А. Решение многоточечных краевых задач строительной механики в аналитической форме. // Численные и аналитические методы решения прикладных задач. Сб. науч. тр. -М: МГСУ, 1998. - с.64-84.

3. Акимов П.А., Золотов А.Б., Ширинский В.И. Аналитическое решение многоточечных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с использованием фундаментальных матриц-функций. // Сборник докладов 7-го Польско-Российского семинара «Теоретические основы строительства». - Москва, АСВ, 1998, с.31 -41.

4. Золотов А.Б.,Мозгалева М.Л., Акимов П.А. Регуляризация обобщенных функций, используемых при решении интегро-дифференциальных задач строительной механики. // Вопросы прикладной математики и вычислительной механики: Сб. науч. тр. М.: МГСУ, 1999, с. 30-40.

5. Акимов П.А., Золотов А.Б., Сидоров В.Н. Расчет конструкций, лежащих на упругом полупространстве, с использованием аппарата регуляризации обобщенных функций. // «Математическое моделирование в механике сплошных сред на основе методов граничных и конечных элементов»: доклады XVII Международной конференции. Доклады. - СПб.: НИИХ СПбГУ, 1999, с. 12-16.

6. Золотов А.Б., Акимов П.А., Мозгалева М.Л., Ширинский В.И. Построение аналитического решения многоточечной краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с учетом наличия жордано-вых клеток в матрице коэффициентов. // Вопросы прикладной математики и вычислительной механики: Сб. науч. тр. №3. - М.: МГСУ. 2000, с.61-73.

7. Акимов П.А. Аналитическое решение многоточечных краевых задач расчета сооружений. // Сб. материалов академических чтений «Развитие теории и технологий в области силикатных и гипсовых материалов» и Ш традиционной научно-практической конференции «Строительство формирование среды жизнедеятельности». Часть 3 - М.: МГСУ, 2000, с. 88-92.

8. Акимов ПА. Основные дифференциальные соотношения для конечно-континуального элемента в методе прямых для трехмерных задач расчета сооружений. // Сб. материалов всероссийской научно-практической конференции «Строительные конструкции - 2000». Часть 3. «Конструкции из

дерева и пластмасс. Строительная механика». -М.: МГСУ, 2000, с. 104-110.

9. Мозгалева М.Л., Золотов А.Б., Акимов ПА., Мсхалая Ж.И. Полуаналитический вариационно-разностный метод для решения пространственной задачи теории упругости. // Сб. материалов международной научно-практической конференции «Строительные конструкции XXI века». Часть 1. «Строительные конструкции. Строительная механика и испытание сооружений». М.: МГСУ, 2000, с. 231-234.

10. Золотов А.Б., Акимов П.А., Мозгалева М.Л., Сидоров В.Н. Дискретно-континуальная модель для решения трехмерной задачи теории упругости полуаналитическим методом. // Сб. материалов международной научно-практической конференции «Строительные конструкции XXI века». Часть 1. «Строительные конструкции. Строительная механика и испытание сооружений». М.: МГСУ, 2000, с. 190-194.

11. Золотов А.Б., Акимов П.А., Мозгалева М.Л., Ширинский В.И. Построение аналитического решения многоточечных задач расчета конструкций для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. // Сб. материалов международной научно-практической конференции «Строительные конструкции XXI века». Часть 1. «Строительные конструкции. Строительная механика и испытание сооружений». М.: МГСУ, 2000, с. 200-202.

12. Мсхалая И.Ж., Акимов ПА., Пржебельский В.В. Специальная методика вычисления корневых векторов в жордановых разложениях матриц коэффициентов для систем дифференциальных уравнений в задачах расчета конструкций. // Сб. материалов международной научно-практической конференции «Строительные конструкции XXI века». Часть 1. «Строительные конструкции. Строительная механика и испытание сооружений». М.: МГСУ, 2000, с. 238-240.

13. Золотов А.Б., Акимов П.А. Полуаналитический метод конечных элементов для расчета строительных конструкций. // Сб. докладов 10-го Польско-Российского семинара «Теоретические основы строительства». -Варшава, 2001, с.65-74.

14. Золотов А.Б., Абдурашитов А.Ю., Акимов П.А. Применение полуаналитического метода конечных элементов для оценки напряженно-деформированного состояния рельса. // Вестник ВНИИЖТ. 2001. №4. с. 26-32.

15. Золотов А.Б., Акимов П.А. Дискретно-континуальный подход к решению пространственных задач теории упругости. // «Математическое моделирование в механике сплошных сред на основе методов граничных и конечных элементов». Труды XIX Международной конференции. - СПб.: НИИХ СПбГУ, 2001, с. 185-190.

16. Акимов П.А. Полуаналитический вариационно-разностный метод трехмерного расчета конструкций. // Сб. материалов IV традиционной научно-практической конференции «Строительство - формирование среды жизнедеятельности». - М.: МГСУ, 2001, с. 13-15.

17. Золотов А.Б., Акимов П.А., Сидоров В.Н., Мсхалая Ж.И. Определение присоединенных функций дифференциального оператора задачи расчета балки-стенки. // Вопросы прикладной математики и вычислительной ме-

ханики Сб науч тр №4 -М МГСУ,2001,с 71-84

18 Золотов А Б , Акимов П А Применение дискретно-континуального метода конечных элементов для решения трехмерной задачи теории упругости // Научно-практическая и учебно-методическая конференция «Фундаментальные науки в современном строительстве» Сборник докладов -М МГСУ,2001,с 56-69

19 Акимов П А, Золотов А Б , Мозгалева М Л , Мсхалая Ж И Вариационно-разностный вариант метода прямых для решения трехмерной задачи теории упругости // М Деп ВИНИТИ 29 06 2001 №1560 В, 2001 - 8 с

20 Акимов П А , Золотов А Б , Мозгалева М Л , Мсхалая Ж И Дискретно-континуальный вариационно-разностный метод расчета балки-стенки // М Деп ВИНИТИ 29 06 2001 №1561 В, 2001 -12 с

21 Zolotov А В, Akimov P A Semianalytical Finite Element Method for Two-dimensional and Three-dimensional Problems of Structural Analysis // Proceedings of the International Symposium I SCb 2002 organized by Polish Chapter of IASS, Warsaw, Poland, 2002, p 431-440

22 Золотое А Б , Акимов П А , Ширинский В И Расчет трехмерных конструкций с односторонними связями в рамках дискретно-континуального метода конечных элементов // Сб докладов 11-го Польско-Российского семинара «Теоретические основы строительства» -Варшава, 2002,с 65-74

23 Акимов П А, Золотов А Б , Ширинский В И Дискретно-континуальный метод конечных элементов для расчета трехмерных криволинейных кон струкций // Вопросы прикладной математики и вычислительной механики Сб науч тр №5 - М МГСУ, 2002, с 27-44

24 Савостьянов В Н, Золотов АБ, Мозгалева МЛ, Акимов ПА Расчет грунтового основания с учетом неоднородной ползучести и пульсирую щих нагрузок // Вторая научно-практическая и учебно-методическая конференция «Фундаментальные науки в современном строительстве» Сб докладов -М МГСУ, 2003, с 1V20

25 Акимов П А Использование дискретно-континуального метода граничных элементов для решения задачи Фламана // Сб материалов V традиционной научно-практической конференции «Строительство - формиро вание среды жизнедеятельности» - М МГСУ, 2002, с 130-133

26 Акимов ПА, Золотов А Б Прямой дискретно континуальный метод граничных элементов расчета конструкций для решения трехмерной задачи теории упругости // Труды XX Международной конференции «Математическое моделирование в механике сплошных сред Методы граничных и конечных элементов» СПб, 24-26 сентября 2003 г Том 2 -СПб, НИИХ СПбГУ, 2004, с 6-12

27 Золотов А Б, Акимов П А Непрямой дискретно-континуальный метод граничных элементов расчета конструкций для решения трехмерной задачи теории упругости // Труды XX Международной конференции «Математическое моделирование в механике сплошных сред Методы граничных и конечных элементов» СПб, 24-26 сентября 2003 г Том 2 СПб, НИИХ СПбГУ, 2004, с 213-220

28 Акимов П А , Золотов А Б Формулировка разрешающей системы интег-ро-дифференциальных граничных уравнений с операторными коэффициентами для трехмерной теории упругости // Сб докладов 12-го Польско-Российско-Словацкого семинара «Теоретические основы строительс гва»

Нижний Новгород, 2003, с 65-74

29 Zolotov А В, Akimov P A Discrete continual Finite Element Method of Analysis for Three-dimensional Curvilinear Structures // Proceedings of 16th International Conference on the Applications of Computer Science and Mathematics in Architecture and Civil Engineering, IKM 2003, Weimar, from June 10th to June 12th, 2003, 6 pages

30 Мсхалая И Ж , Золотов А Б , Акимов П А Построение фундаментальных функций дифференциальных уравнений с использованием рядов Фурье // Сб материалов I международной (VI традиционной) научно-практической конференции «Строительство формирование среды жиз недеятельности» Кн 2 М МГСУ, 2003 с 141-145

31 Акимов П А Постановка второй краевой задачи грехмерной теории у^у гости для непрямого дискретно-континуального метода граничных эле ментов // Сб материалов I международной (VT традиционной) научно практической конференции «Строительство - формирование среды жиз недеятельности» Кн 2 - М Ml СУ, 2003, с 12-16

32 Акимов П А , Золотов А Б , Ширинский В И Лопагинская Е Л Основные интегро-дифференциальные операторы дискрет но-котинуального мето да граничных элементов при решении второй краевой задачи пространст венной теории упругости // Вопросы прикладной математики и вычисли тельной механики Сб науч тр №6 -М МГСУ, 2003 с 74-84

33 Золотов А Б , Акимов П А Дискретно-континуальный метод конечных элe ментов для определения напряженно-деформированного состояния тpex мерных конструкций // «НТТ Наука и техника транспорта», №3, 2003, с 72-85

34 Akimov P A, Zolotov А В Discrete-continual Finite Element Method of Analysis for Three-dimensional Curvilinear Structures with Unilateral Con stramts // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering Volume 1, Number 5, Begell House Tnc Publishers & ASV, 2003, p 10-27

35 Sidorov VN, Zolotov AB, Akimov P A Discrete-continual Boundary Fle ment Methods of Structural Analysis // International Journal for Computa tional Civil and Structural Engineering Volume 1, Number 5, Begell House Inc Publishers & ASV, 2003, p 84-99

36 Акимов П А Построение и аппроксимация ядер псевдодифференциальных операторов непрямого дискретно континуального метода граничных э те ментов в двумерном случае //Сб материалов II международной (VII межвузовской) научно практической конференции «С гроительство - формирование среды жизнедеятельности» Книга 1 - М МГСУ, 2004, с 17-20

37 Акимов П А Аналитическая постановка второй краевой задачи двумер ной теории упругости для непрямого дискретно-континуального метода граничных элементов, основанного на частичной аппроксимации рядами

Фурье // Сб материалов II международной (VII межвузовской) научно-практической конференции «Строительство - формирование среды жизнедеятельности» Книга 1 -М МГСУ, 2004, с 21-25

38 Акимов ПА Непрямой дискретно-континуальный метод граничных элементов для решения второй краевой задачи двумерной теории упругости, основанный на частичной аппроксимации рядами Фурье // Сб материалов II международной (VII межвузовской) научно-практической конференции «Строительство формирование среды жизнедеятельности» Книга 1 -М МГСУ, 2004, с 25-30

39 Акимов П А , Золотов А Б Дискретно-континуальный метод граничных элементов на основе смешанной аппроксимации рядами Фурье и полиномами для расчета бесконечной полосы на упругом основании // Сб докладов 13-го Польско-Российско-Словацкого семинара «Теоретические основы строительства» - Братислава, 2004, с 103-108

40 Акимов П А , Золотов А Б , Мозгалева М Л , Сидоров В Н Общие принципы сеточной аппроксимации краевых задач при использовании дискретно-континуального вариационно-разностного метода // Вопросы прикладной математики и вычислительной механики Сб науч тр №7 -М МГСУ, 2004, с 5-14

41 Акимов П А , Золотов А Б , Савостьянов В Н Дискретно-континуальный подход к расчету грунтового основания с учетом неоднородной ползучести и пульсирующих нагрузок // Экспериментальная механика и расчет сооружений (Костинские чтения) М МГСУ, 2004, с 148 155

42 Золотов АБ, Акимов ПА Численные реализации дискретно-континуального метода граничных элементов с использованием вейвлет-анализа // Вопросы прикладной математики и вычислительной механики Сб науч тр №7 -М МГСУ, 2004, с 145 156

43 Золотов А Б, Акимов Н А, Кайтуков ГБ, Ширинский В И Численные реализации дискретно-континуального метода граничных элементов с использованием преобразований Фурье и частичной аппроксимации рядами Фурье // Вопросы прикладной математики и вычислительной механики Сб науч тр №7 -М МГСУ, 2004, с 157-167

44 Золотов А Б , Акимов П А Прямой дискретно-континуальный метод граничных элементов для определения напряженно-деформированною состояния трехмерных конструкций // «НТГ - Наука и техника транспорта», 2004, №3, с 70-77

45 Сидоров ВН, Золотов АБ, Акимов ПА, Мозгалева МЛ Дискретно-континуальный метод конечных элементов для расчета строительных конструкций, зданий, сооружений // Известия ВУЗов Строительство, 2004, №10, с 8-14

46 Акимов П А, Золотов А Б Численно аналитические методы расчета строительных конструкций перспективы развития и сопоставления // САПР и графика, 2005, №1, с 78 82

47 Акимов П А Дискретно-континуальные методы расчета сооружений // «НТТ - наука и техника транспорта», 2005, №1

Лицензия ЛР№ 020675 от 09.12. 1997 г.

Подписано в печать 25.01.05г. Формат 60X84 1/16 Печать офсетная

И- 14 Объем 2 п.л. Тир. 100 Заказ 02

Московский государственный строительный университет . Экспресс-полиграфия МГСУ . 129337, Москва , Ярославское ш., 26

05.Z3

Введение.

Глава 1. Обзор и характеристика основных современных методов решения задач расчета конструкций.

1.1. Метод конечных элементов.

1.2. Метод граничных элементов.

1.3. Вариационно-разностный метод.

1.4. Методы понижения размерности краевых задач.

1.5. Применение анализа Фурье для решения задач расчета конструкций.

1.6. Применение вейвлет-анализа для решения задач расчета конструкций.

1.7. Применение аппарата обобщенных функций в строительной механике.

Глава 2. Методы аналитического решения многоточечных краевых задач строительной механики.

2.1. Введение.

2.2. Понятие о многоточечной краевой задаче.

2.3. Обзор и некоторые общие проблемы, связанные с решением многоточечных краевых задач строительной механики.

Часть 1. Метод аналитического решения многоточечных краевых задач строительной механики для обыкновенных линейных дифференциальных уравнений произвольного порядка.

2.4. Постановка многоточечной краевой задачи.

2.5. Формулы и алгоритмы построения фундаментальной функции и ее производных.

2.6. Общее решение многоточечной краевой задачи.

2.7. Программный комплекс ВР01ЛЖ Пример расчета.

Часть 2. Метод аналитического решения многоточечных краевых задач строительной механики для систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

2.8. Постановка многоточечной краевой задачи.

2.9. Полное и частичное разложение Жордана матрицы коэффициентов системы с учетом специфики задач строительной механики.

2.10. Фундаментальная матрица-функция и ее построение.

2.11. Общее решение многоточечной краевой задачи.

2.12. Применение возмущенной матрицы коэффициентов.

2.13. Другой вариант метода аналитического решения 86 многоточечных краевых задач строительной механики.

2.14. Программный комплекс ВРБОЫЖ Пример расчета.

Часть 3. Некоторые вопросы общей теории постановок краевых задач методом расширенной области,.

2.15. Понятие об операторных постановках.

2.16. Характеристическая функция области, ее обобщенные производные и способы задания.

2.17. Основные операторные соотношения для эллиптической системы уравнений второго порядка (прямой подход).

2.18. Вариационная постановка краевых задач.

2.19. Непрямой вариант метода расширенной области.

Глава 3. Дискретно-континуальный метод конечных элементов

ДКМКЭ) для расчета строительных конструкций, зданий и сооружений.

3.1. Введение.

Часть 1. Постановки краевых задач расчета конструкций в рамках дискретно-континуального метода конечных элементов.

3.2. Операторная и вариационная постановки краевой задачи для уравнения Пуассона (оператора Лапласа).

3.3. Операторная и вариационная постановки двумерной задачи теории упругости.

3.4. Операторная и вариационная постановки трехмерной задачи теории упругости.

3.5. Операторная и вариационная постановки трехмерной задачи теории упругости в криволинейных системах координат.

3.6. Учет упругоподатливых и односторонних связей при решении задач теории упругости.

3.7. Определение собственных и присоединенных функций дифференциального оператора двумерной задачи теории упругости в рамках постановки ДКМКЭ.

Часть 2. Численная реализация дискретно-континуального метода конечных элементов.

3.8. Двумерные задачи теории упругости.

3.8.1. Дискретно-континуальная аппроксимирующая модель конструкции. Дискретно-континуальный конечный элемент (ДККЭ).

3.8.2. Аппроксимация неизвестных функций.

3.8.3. Формирование матрицы жесткости ДККЭ и вектора узловых нагрузок.

3.8.4. Поэлементные дифференциальные соотношения.

3.8.5. Формирование глобальных матриц и векторов.

3.8.6. Учет граничных условий.-.

3.8.7. Формирование разрешающей многоточечной краевой задачи.

3.8.8. Учет упругоподатливых опор.

3.8.9. Программный комплекс ОСРЕМ2Э. Расчет балки-стенки.

3.9. Трехмерные задачи теории упругости.

3.9.1. Дискретно-континуальная аппроксимирующая модель конструкции. Дискретно-континуальный конечный элемент.

3.9.2. Аппроксимация неизвестных функций.

3.9.3. Формирование матрицы жесткости ДККЭ и вектора узловых нагрузок.

3.9.4. Поэлементные дифференциальные соотношения.

3.9.5. Формирование глобальных матриц и векторов.

3.9.6. Учет граничных условий.

3.9.7. Формирование разрешающей многоточечной краевой задачи.

3.9.8. Учет упругоподатливых опор.

3.9.9. Расчет трехмерных криволинейных конструкций.

3.9.10. Программный комплекс БСРЕМЗБ. Расчет рельса в трехмерной постановке с учетом взаимодействия с верхней

частью пути и подвижным составом.

3.10. Итерационный метод расчета трехмерных конструкций с односторонними связями в рамках ДКМКЭ.

3.11. Расчет криволинейного участка рельса с односторонними связями в трехмерной постановке.

3.12. Расчет арочно-гравитационной плотины в трехмерной постановке.

3.13. Расчет системы «подпорная стена - грунтовый массив» в трехмерной постановке.

Глава 4. Дискретно-континуальный метод граничных элементов (ДКМГЭ) для расчета строительных конструкций, зданий и сооружений.

4.1. Введение.

Часть 1. Постановки краевых задач расчета конструкций в рамках непрямого дискретно-континуального метода граничных элементов.

4.2. Операторная формулировка граничных псевдодифференциальных уравнений краевой задачи для уравнения Пуассона (оператора Лапласа), регуляризованные 173 постановки.

4.3. Операторная формулировка граничных псевдодифференциальных уравнений для двумерной задачи теории упругости, регуляризованные постановки.

4.4. Операторная формулировка граничных псевдодифференциальных уравнений для трехмерной задачи теории упругости, регуляризованные постановки.

4.5. Учет упругоподатливых опор в задачах теории упругости.

Часть 2. Постановки краевых задач расчета конструкций в рамках прямого дискретно-континуального метода граничных элементов.

4.6. Операторная формулировка граничных псевдодифференциальных уравнений краевой задачи для уравнения Пуассона (оператора Лапласа), регуляризованные постановки.

4.7. Операторная формулировка граничных псевдодифференциальных уравнений для двумерной задачи теории упругости, регуляризованные постановки.

4.8. Операторная формулировка граничных псевдодифференциальных уравнений для трехмерной задачи теории упругости, регуляризованные постановки.

4.9. Учет упругоподатливых опор в задачах теории упругости.

Часть 3. Исследование и регуляризация ядер основных псевдодифференциальных операторов ДКМГЭ.

4.10. Методы регуляризации ядер, используемых при решении интегро-дифференциальных задач строительной механики.

4.11. Псевдодифференциальные операторы ДКМГЭ в двумерных проблемах, их ядра, предельные свойства и регуляризации.

4.12. Псевдодифференциальные операторы ДКМГЭ в трехмерных проблемах, их ядра, предельные свойства и регуляризации.

4.13. Осесимметричные интегро-дифференциальные представления псевдодифференциальных операторов ДКМГЭ в двумерных и трехмерных задачах.

Часть 4. Численная реализация непрямого дискретно-континуального метода граничных элементов с использованием рядов Фурье.

4.14. Двумерные задачи теории упругости.

4.14.1. Дискретно-континуальная аппроксимирующая модель границы. Дискретно-континуальный граничный элемент

ДКГЭ).

4.14.2. Аппроксимация интегро-дифференциальных операторов.

4.14.3. Формирование разрешающих систем алгебраических уравнений относительно компонент Фурье граничных неизвестных.

4.14.4. Определение перемещений, деформаций и напряжений внутри области.

4.14.5. Программная реализация. Расчет плоского слоя.

4.15. Трехмерные задачи теории упругости.

4.15.1. Дискретно-континуальная аппроксимирующая модель границы. Дискретно-континуальный граничный элемент.

4.15.2. Аппроксимация интегро-дифференциальных операторов.

4.15.3. Формирование разрешающих систем алгебраических уравнений относительно компонент Фурье граничных неизвестных.

4.15.4. Определение перемещений, деформаций и напряжений внутри области.

4.15.5. Программная реализация. Расчет рельса в трехмерной постановке.

4.16. Численный алгоритм расчета конструкций с упругоподатливыми связями.

Часть 5. Численная реализация прямого дискретно-континуального 229 метода граничных элементов с использованием рядов Фурье

4.17. Двумерные задачи теории упругости.

4.17.1. Дискретно-континуальная аппроксимирующая модель границы. Дискретно-континуальный граничный элемент.

4.17.2. Аппроксимация интегро-дифференциальных операторов.

4.17.3. Формирование разрешающих систем алгебраических уравнений относительно компонент Фурье граничных неизвестных.

4.17.4. Определение перемещений, деформаций и напряжений внутри области.

4.18. Трехмерные задачи теории упругости.

4.18.1. Дискретно-континуальная аппроксимирующая модель границы. Дискретно-континуальный граничный элемент.

4.18.2. Аппроксимация интегро-дифференциальных операторов.

4.18.3. Формирование разрешающих систем алгебраических уравнений относительно компонент Фурье граничных 238 неизвестных.

4.18.4. Определение перемещений, деформаций и напряжений внутри области.

4.18.5. Программная реализация. Расчет гравитационной плотины в трехмерной постановке.

4.19. Численный алгоритм расчета конструкций с упругоподатливыми связями.

Часть 6. Использование смешанной аппроксимации рядами Фурье и полиномами в рамках дискретно-континуального метода граничных элементов.

4.20. Введение.

4.21. Схемы смешанной аппроксимации рядами Фурье и полиномами, их классификация, выбор и построение.

4.22. Модельный пример расчета балки на упругом основании.

4.23. Расчет бесконечной полосы на упругом основании.

Часть 7. Численные реализации дискретно-континуального метода ф граничных элементов с использованием преобразований

Фурье и частичной аппроксимации рядами Фурье.

4.24. Использование интегрального преобразования Фурье в ДКМГЭ

4.25. Использование дискретного преобразования Фурье в ДКМГЭ.

4.26. Вариант ДКМГЭ, основанный на использовании частичной аппроксимации рядами Фурье.

Часть 8. Численные реализации дискретно-континуального метода граничных элементов с использованием вейвлет-анализа.

4.27. Элементы и основные понятия кратномасштабного вейвлетанализа. Базис Хаара и разложения по базису в ДКМГЭ.

4.28. Вариант ДКМГЭ, основанный на совместном применении рядов Фурье и Хаара.

4.29. Вариант ДКМГЭ с использованием частичной аппроксимации рядами Хаара.

Часть 9. Программные реализации дискретно-континуального метода граничных элементов.

4.30. Программный комплекс ВСВЕМ2Б для решения двумерных задач расчета конструкций с использованием ДКМГЭ.

4.31. Программный комплекс БСВЕМЗО для решения трехмерных задач расчета конструкций с использованием ДКМГЭ.

• Глава 5. Дискретно-континуальный вариационно-разностный метод (ДКВРМ) для расчета строительных конструкций, зданий и сооружений.

5.1. Введение.

Часть 1. Общие принципы сеточной аппроксимации краевых задач.

5.2. Аппроксимация области и функций.

5.3. Аппроксимация операторов.

Часть 2. Численная реализация дискретно-континуального вариационно-разностного метода.

5.4. Двумерные задачи теории упругости.

5.4.1. Дискретно-континуальная аппроксимирующая модель конструкции. Дискретно-континуальный сеточный элемент (ДКСЭ).

5.4.2. Сеточные функции и операции над ними, их восполнение.

5.4.3. Аппроксимация операторов.

5.4.4. Учет граничных условий.

5.4.5. Формирование разрешающей многоточечной краевой задачи.

5.4.6. Программный комплекс DCVDM2D. Расчет балки-стенки.

5.5. Трехмерные задачи теории упругости.

5.5.1. Дискретно-континуальная аппроксимирующая модель конструкции. Дискретно-континуальный сеточный элемент.

5.5.2. Сеточные функции и операции над ними, их восполнение.

5.5.3. Аппроксимация операторов.

5.5.4. Учет граничных условий.

5.5.5. Формирование разрешающей многоточечной краевой задачи.

5.5.6. Программный комплекс DCVDM3D. Расчет бруса в трехмерной постановке.

Актуальность работы. Современный этап развития строительной механики, в частности задач определения напряженно-деформированного состояния (НДС) строительных конструкций, связан с широким использованием численных методов. Прогресс в компьютерной индустрии и вычислительной математике, продолжающийся последние десятилетия, обусловил изменение соотношения аналитических, экспериментальных (модельных и натурных) и численных подходов к анализу сложных конструкций, зданий и сооружений. Практика выдвигает задачи многовариантных исследований двумерных и трехмерных систем, адекватное решение которых может быть зачастую получено только численным путем. Как правило, найти замкнутое аналитическое решение для большинства проблем не представляется возможным, а экспериментальные исследования часто оказываются весьма дорогостоящими, а порой и неполными. Этим, в частности, и объясняется определенный крен в сторону численных методов, имеющий место, как в отечественной, так и в зарубежной расчетной практике. Вообще, на всех этапах изучения НДС сооружения математическая теория, исследования аналитическими и экспериментальными методами и численный расчет должны применяться совместно и согласовано. В настоящее время появляется определенный потенциал для расширения доли аналитических подходов. Достигнутый в начале 21 века уровень мощности ЭВМ и имеющийся в арсенале инструментарий математических средств, в сочетании с разнообразием математических моделей, позволяет ставить на повестку дня задачи разработки и исследования так называемых численно-аналитических или, следуя терминологии О. Зенкевича [111], полуаналитических методов. Преимущества привлекательного сочетания качественных свойств замкнутых решений и общности численных методов, разумеется, отмечались и раньше, но многие из разработок прежнего времени либо были не реализуемыми практически из-за отсутствия, по крайней мере, одного из перечисленных факторов, либо, в той или иной мере, не учитывали вычислительной специфики и необхо

Введение димости последующей компьютерной реализации. Полуаналитические методы позволяют получать решения в аналитической форме, способствующей улучшению качества исследования рассматриваемых объектов. Найденная с их помощью картина НДС развивает интуицию расчетчика и понимание работы конструкций, характера влияния на них различных локальных и глобальных факторов. Полуаналитические подходы особенно эффективны в зонах краевого эффекта, там, где часть составляющих решения представляет собой быстроиз-меняющиеся функции, скорость изменения которых не всегда может быть адекватно учтена традиционными численными методами. Кроме того, при численном решении сложных задач строительной механики предварительное аналитическое изучение отдельных локальных свойств проблемы может оказать большую помощь, а иногда и явиться решающим фактором для успешного построения и реализации алгоритма. Сравнение с аналитическими решениями сложной задачи в более простых и частных случаях позволяет дать оценку принятой расчетной схемы конструкции, используемого метода, алгоритма и полученного решения, в частности, его точности. Учитывая вышеизложенное, актуальной задачей является разработка и исследование так называемых дискретно-континуальных методов расчета строительных конструкций, зданий и сооружений. Областью применения этой группы полуаналитических методов являются конструкции, здания и сооружения, в которых имеется постоянство физико-геометрических характеристик по одному из координатных направлений. Это, например, задачи расчета балок, балок-стенок, тонкостенных стрежней, полос, длинных фундаментов, плит, пластин, оболочек, высотных и протяженных зданий, трубопроводов, плотин, рельсов, резервуаров и т.д. Заметим при этом, что допускаются произвольные законы изменения внешних нагрузок, и рассматриваются любые условия закрепления. Представленные в работе методы являются дискретно-континуальными в том смысле, что по выделяемому направлению постоянства характеристик (основное направление) сохраняется континуальный характер задачи и, соответственно, аналитический вид получаемого решения, в то время как по остальным производится дискретизация то

Введение го или иного рода. Вообще, само по себе понятие дискретно-континуальной системы в отношении строительных задач было введено В.З. Власовым. В частности, к ней он сводил расчет цилиндрической оболочки, приводя соответствующую систему дифференциальных уравнений в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений (вариационный метод перехода по-своему значим). В.З. Власов приписывал оболочке конечное число степеней свободы в поперечном направлении и бесконечное число в продольном. В получаемой схеме расчет для поперечного направления был элементарен, а для продольного получались дифференциальные уравнения типа, с которыми обычно оперировали в строительной механике стержневых конструкций.

Целью работы является развитие современных дискретно-континуальных методов расчета строительных конструкций, зданий и сооружений. Для достижения указанной цели поставлены и решаются следующие задачи:

Разработка метода аналитического решения многоточечных краевых задач строительной механики для обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, позволяющего преодолеть трудности, обусловленные явлениями типа краевого эффекта и наличием в решении экспоненциальных составляющих с положительными аргументами.

Разработка метода аналитического решения многоточечных краевых задач строительной механики для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, позволяющего преодолеть трудности, связанные также с явлениями типа краевого эффекта (жесткие системы), различием знаков собственных значений матрицы коэффициентов, наличием в жордановом разложении этой матрицы жордановых клеток неединичного порядка.

Разработка дискретно-континуального метода конечных элементов (ДКМКЭ) для расчета строительных конструкций, зданий и сооружений.

Разработка дискретно-континуального метода граничных элементов (ДКМГЭ) для расчета строительных конструкций, зданий и сооружений, в частности его непрямого (НДКМГЭ) и прямого (ПДКМГЭ) вариантов.

Разработка дискретно-континуального вариационно-разностного метода

Введение

ДКВРМ) для расчета строительных конструкций, зданий и сооружений.

Разработка дискретно-континуальных методов расчета сооружений при микроциклических и квазистатических воздействиях.

Программная реализация и приложение разработанных методов к решению тестовых и практически важных задач расчета конструкций.

Под многоточечной краевой задачей (МКЗ), следуя терминологии из [145], понимается задача с «внутренними» граничными условиями, представляющая из себя, таким образом, совокупность обычных краевых задач, рассматриваемых на областях, имеющих общие границы. В частности, МКЗ представляют расчетную схему широкого спектра практических задач строительной механики (конструкции и конструктивные элементы с промежуточными опорными закреплениями, шарнирами, прочими связями и т.д.).

Необходимость решения обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами возникает при изучении самых разнообразных технических задач расчета конструкций, зданий и сооружений (балочных систем, пластин, составных стержней, тонкостенных стержней, оболочек) на различные виды воздействий, к ним сводятся многие существующие методы расчета. Процесс решения таких уравнений всегда сопряжен с целым рядом принципиальных трудностей, возникающих, главным образом, из-за специфики рассматриваемого круга задач, а именно, из-за наличия характерного для строительных задач расчета конструкций так называемого явления краевого эффекта (эффекта малого параметра), издержек используемого математического аппарата и т.д. Это приводит к большим сложностям, как со стороны численных методов, так и аналитических в смысле корректности вычисления параметров (постоянных) и точности решения в целом.

Проблема решения систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами в строительной механике является не менее, если не сказать более, актуальной. К ней, так или иначе, сводятся такие методы расчета, как метод Л.В. Канторовича, метод В.З. Власова, метод начальных функций, метод составных стержней А.Р. Ржаницына расчета зданий, различные вариан

Введение ты метода прямых и прочие [89,92,101,185,186]. Порядки разрешающих систем при этом могут быть очень большими и составлять несколько тысяч дифференциальных уравнений. Эта причина, а также характерная для строительных задач жесткость системы, обусловленная явлением краевого эффекта, наличие собственных значений разных знаков у матрицы коэффициентов, присутствие в разложении Жордана последней жордановых клеток неединичного порядка вызывают значительные трудности при практической реализации того или иного метода, выявляя порой его недееспособность для данного класса задач.

Вообще, необходимо заметить, что представляемые в настоящей диссертации методы отчасти имеют свою предысторию, связанную с расчетом (вернее пересчетом) зданий на Калининском проспекте, осуществленном ЦНИИСКом в 70-х годах с использованием алгоритмов и программ, предложенных А.Б. Золо-товым с участием В.Н. Медведько, их развитие представлено в работе.

Подчеркнем, что первые две из перечисленных целей работы являются предварительными по отношению к общей теме диссертации и при этом имеют самостоятельное учебно-методическое значение. Дело в том, что к многоточечным краевым задачам сводятся предлагаемые в работе дискретно-континуальные методы расчета строительных конструкций, зданий и сооружений и в этом смысле разработка общих методов решения таких задач является весьма актуальным вопросом, более того, она обязательна с точки зрения полноты подхода.

Научная новизна полученных в диссертационной работе результатов заключается в следующем:

1. Разработан метод аналитического решения многоточечных краевых задач строительной механики для обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

2. Разработан метод аналитического решения многоточечных краевых задач строительной механики для систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

3. Разработан дискретно-континуальный метод конечных элементов для расчета строительных конструкций, зданий и сооружений.

Введение

4. Разработан дискретно-континуальный метод граничных элементов для расчета строительных конструкций, зданий и сооружений, в частности его непрямой и прямой варианты.

5. Разработан дискретно-континуальный вариационно-разностный метод для расчета строительных конструкций, зданий и сооружений.

6. Разработан дискретно-континуальный метод расчета системы «плита - грунтовое основание» с учетом микросейсмических и гравитационных процессов в основании.

7. Сформулированы постановки ряда актуальных задач расчета конструкций применительно к разработанным дискретно-континуальным методам.

Предлагаемые в диссертации подходы к решению многоточечных краевых задач строительной механики преодолевают все перечисленные осложняющие факторы, сохраняя при этом, что особенно важно, аналитический характер решения и обладая ориентированным на программную реализацию алгоритмом.

Суть предложенных дискретно-континуальных методов расчета состоит в том, что, в частности, в ДКМКЭ, ДКМГЭ и ДКВРМ вводятся соответственно понятия дискретно-континуального конечного элемента (ДККЭ), дискретно-континуального граничного элемента (ДКГЭ) и дискретно-континуального сеточного элемента (ДКСЭ). Ансамбль дискретно-континуальных элементов, аппроксимирующих объект (или его границу), образует дискретно-континуальную расчетную модель метода. Построение алгоритмов решения осуществляется за счет разумного сочетания численных и аналитических подходов. Перечисленные дискретно-континуальные методы обладают отмеченными выше достоинствами полуаналитических подходов и являются в полной мере адаптированными для программной реализации, которая, в частности, выполнена в рамках данной диссертационной работы. К важным преимуществам ДКМКЭ и ДКВРМ следует отнести также и отсутствие каких-либо практических ограничений на длину рассматриваемых объектов по основному направлению. ДКМГЭ отличается от других методов двукратным понижением размерности задачи - дискретизации подвергается не вся расчетная область, а только граница ее поперечного сечения, т.е. решается, по сути, одномерная задача и задается лишь шаг по контуру.

Личный вклад соискателя состоит в:

1. разработке и программной реализации метода аналитического решения многоточечных краевых задач строительной механики для обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами;

2. разработке и программной реализации метода аналитического решения многоточечных краевых задач строительной механики для систем обыкновенных дифференциальных уравнений;

3. разработке и программной реализации дискретно-континуального метода конечных элементов для расчета строительных конструкций, зданий и сооружений;

4. разработке и программной реализации дискретно-континуального метода граничных элементов для расчета строительных конструкций, зданий и сооружений, в частности его непрямого и прямого вариантов;

5. разработке и программной реализации дискретно-континуального вариационно-разностного метода для расчета строительных конструкций, зданий и сооружений;

6. разработке и программной реализации дискретно-континуального метода расчета системы «плита - грунтовое основание» с учетом микросейсмических и гравитационных процессов в основании;

7. формулировке постановок ряда актуальных задач расчета конструкций применительно к разработанным дискретно-континуальным методам.

Практическая ценность работы состоит в: методике, алгоритмах и программном комплексе, реализующих метод аналитического решения многоточечных краевых задач строительной механики для обыкновенных дифференциальных уравнений; методике, алгоритмах и программном комплексе, реализующих метод аналитического решения многоточечных краевых задач строительной механики для систем обыкновенных дифференциальных уравнений; методике, алгоритмах и программном комплексе, реализующих дискретно-континуальный метод конечных элементов для расчета строительных конструкций, зданий и сооружений; методике, алгоритмах и программном комплексе, реализующих дискретно-континуальный метод граничных элементов для расчета строительных конструкций, зданий и сооружений; методике, алгоритмах и программном комплексе, реализующих дискретно-континуальный вариационно-разностный метод для расчета строительных конструкций, зданий и сооружений; методике, алгоритмах и программном комплексе, реализующих дискретно-континуальный метод расчета системы плита - грунтовое основание с учетом микросейсмических и гравитационных процессов в основании.

По договорам с рядом научно-исследовательских и проектных организаций (ГУЛ ВНИИЖТ, Московский государственный строительный университет (МГСУ), НИИ Экспериментальной механики МГСУ (НИИЭМ МГСУ), Научно-исследовательский центр СтаДиО и др.), в рамках грантов и программ научно-инновационного и межотраслевого сотрудничества Министерства образования и науки Российской Федерации Федерального агентства по образованию с другими федеральными органами исполнительной власти (Федеральное агентство по атомной энергии РФ, Федеральная служба специального строительства РФ) выполнены расчеты широкого класса строительных конструкций, зданий, сооружений.

Внедрение работы состоит в использовании разработанных методов, алгоритмов и программ для решения задач расчета строительных конструкций, зданий и сооружений в МГСУ, НИИ Экспериментальной механики МГСУ, Научно-исследовательском центре СтаДиО и других организациях.

На защиту выносятся:

1. Метод аналитического решения многоточечных краевых задач строительной механики для обыкновенных дифференциальных уравнений.

2. Метод аналитического решения многоточечных краевых задач строительной механики для систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

3. Методика частичного разложения Жордана матрицы коэффициентов разрешающей системы дифференциальных уравнений, учитывающая специфику задач строительной механики.

4. Методики построения дискретно-континуальных аппроксимирующих моделей конструкций и их границ.

5. Дискретно-континуальный метод конечных элементов для расчета строительных конструкций, зданий и сооружений.

6. Дискретно-континуальный метод граничных элементов для расчета строительных конструкций, зданий и сооружений, в частности его непрямой и прямой варианты.

7. Дискретно-континуальный вариационно-разностный метод для расчета строительных конструкций, зданий и сооружений.

8. Дискретно-континуальный метод расчета системы «плита - грунтовое основание» с учетом микросейсмических и гравитационных процессов в основании.

9. Постановки некоторых актуальных задач расчета конструкций применительно к разработанным дискретно-континуальным методам.

Ю.Решения актуальных задач расчета конструкций дискретно-континуальными методами.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: VII, X и XI Польско-Российский семинар «Теоретические основы строительства» (Варшава, 1998 г.; Иваново, 2001 г., Варшава, 2002 г.); XVII, XIX и XX Международная конференция «Математическое моделирование в механике сплошных сред на основе методов граничных и конечных элементов ВЕМ&РЕМ» (Санкт-Петербург, 1999, 2001, 2003 гг.); Научно-техническая конференция по итогам научно-исследовательских работ студентов и молодых ученых факультета ПГС МГСУ (Москва, 2000 г.); III, IV, V, VI и VII Традиционная (I и II Международная) научно-практическая конференция молодых ученых, аспирантов и докторантов «Строительство - формирование среды жизнедеятельности» (Москва, 2000-2004 гг.); Всероссийская научно-практическая конференция молодых ученых «Строительные конструкции - 2000». (Москва, 2000 г.); Международная научно-практическая конференция «Строительные конструкции XXI века» (Москва, 2000 г.); Науч

Введение ный семинар при кафедре «Строительная механика» МИИТ под руководством профессоров A.B. Александрова и В.Д. Потапова (Москва, 2000 г.); Научные семинары ГУП ВНИИЖТ (Москва, 2000-2001 гг.); I, II, III и IV Научно-практическая и учебно-методическая конференция «Фундаментальные науки в современном строительстве» (Москва, 2001-2004 гг.); International IASS Symposium "Lightweight Structures in Civil Engineering - Contemporary Problems", IASS/LSCE 2002 (Warsaw, 2002); XII, XIII Польско-Российско-Словацкий семинар «Теоретические основы строительства» (Нижний Новгород, 2003 г.; Братислава, 2004 г.); 16th International Conference on the Applications of Computer Science and Mathematics in Architecture and Civil Engineering, IKM 2003 (Weimar, 2003); Костинские чтения «Экспериментальная механика и расчет сооружений» (Москва, 2004 г.); Научные семинары кафедры информатики и прикладной математики МГСУ под руководством профессоров М.В. Белого, В.Н. Сидорова и А.Б. Золотова (Москва, 1998-2004 гг.); Объединенный научный семинар кафедр «Сопротивление материалов», «Строительная механика», Информатики и прикладной математики МГСУ под руководством профессоров Г.С. Варданяна, H.H. Леонтьева и В.Н. Сидорова (Москва, 2004 г.); Научно-практическая отчетная конференция-выставка по результатам реализации в 2004 году Межотраслевой программы научно-инновационного сотрудничества Министерства образования и науки РФ и Федерального Агентства Специального строительства РФ «Наука, инновации, подготовка кадров в строительстве» на 2001-2005 г.г. (Москва, 2004 г.).

Достоверность и обоснованность результатов основана на строгости используемого математического аппарата; сопоставлении полученных результатов с результатами проводимых параллельно контрольных расчетов с привлечением программных комплексов промышленного типа; сопоставлении результатов расчета с решениями, полученными по другим аналитическим и численным методам; сопоставлении с экспериментальными данными; экспертной оценке точности решений специалистами в области НДС.

Публикации. По материалам и результатам исследований опубликова

Введение но 95 работ, в том числе 1 монография (в соавторстве с А.Б. Золотовым).

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы, включающего 367 наименований, и 13 приложений. 369 страниц основного теста и 91 страница приложений включают 251 рисунок и 30 таблиц.

Основные результаты и выводы:

1. Разработан и реализован на ЭВМ метод аналитического решения многоточечных краевых задач строительной механики для обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, позволяющий

Заключение

6. Разработаны дискретно-континуальные методы расчета устойчивости сооружений при микроциклических и квазистатических воздействиях. В частности, предложен и реализован на ЭВМ дискретно-континуальный метод расчета системы «плита — грунтовое основание» с учетом микросейсмических и гравитационных процессов в основании (см. Приложение 11). Приведены сведения о геологической эффективности микросейсмических процессов в основаниях строительных объектов, обоснована актуальность и высокая значимость соответствующей проблематики. Сформулирована постановка задачи для проведения статического и квазистатического расчетов, как в рамках линейной теории упругости и линейной теории ползучести, так и с привлечением модели грунта проф. д.т.н. З.Г. Тер-Мартиросяна и проф. к.т.н. Л.И. Черкасовой, учитывающей развитие пластических деформаций, а также нелинейной модели поведения грунта проф. д.т.н. З.Г. Тер-Мартиросяна с переменным модулем упругости, актуальной при циклических нагружениях системы. Даны основные уравнения дискретно-континуального метода расчета при этом отдельно рассмотрены расчет на переменную и постоянную нагрузки, а также на их совместное действие, описаны интеграция принятых моделей поведения грунта в построенную методику расчета, итерационные алгоритмы пересчета и пр. Разработано реализующее программное обеспечение. Представлена серия решенных прикладных задач в постановках, учитывающих неоднородную ползучесть, пульсирующий характер нагрузок и развитие пластических деформаций.

7. На основе разработанных методов и программных комплексов решен представительный набор модельных, тестовых и практически важных задач, в частности, проведены расчеты рельса с учетом взаимодействия с верхней частью пути и подвижным составом, как прямолинейного, так и криволинейного, в том числе в постановке с односторонними связями, балок-стенок, полос, трехмерных брусьев, балочных систем, плоских слоев, оболочек, гравитационной и арочно-гравитационной плотин, системы «подпорная стена - грунтовый массив», системы «плита — грунтовое основание» и модели НИНЭМ с учетом микросейсмических и гравитационных процессов в основании и др. (в том числе в постановках, учитывающих неоднородную ползучесть, пульсирующий характер нагрузок и развитие пластических деформаций; см. Приложения 1-13). Сопоставления полученных результатов с результатами проводимых параллельно контрольных расчетов с привлечением программных комплексов промышленного типа {Лира 9.О, СТАДИО 2003, Атув/СтШЕМ), с решениями, найденными по другим аналитическим и численным методам, а также с данными экспериментов и экспертные оценки точности решений специалистами в области напряженно-деформированного состояния позволяют сделать вывод о достаточной эффективности и надежности разработанных дискретно-континуальных методов расчета строительных конструкций, зданий и сооружений.

8. Полученные результаты позволяют оценить влияние краевого эффекта на НДС строительных конструкций, зданий и сооружений, получить устойчивые и универсальные методы расчета, позволяющие создать программные комплексы промышленного типа, расширить область аналитических и полуаналитических подходов в расчете и исследовании конструкций, имеющих постоянные физико-геометрические характеристики по одному из направлений.

Заметим, что пункты 1 и 2 из перечисленных выше являются предварительными по отношению к общей теме диссертации и при этом имеют самостоятельное учебно-методическое значение. Дело в том, что, как отмечалось, к многоточечным краевым задачам сводятся предлагаемые в работе дискретно-континуальные методы расчета строительных конструкций, зданий и сооружений и с данных позиций рассмотрение общих методов решения таких задач имеет несомненный смысл, более того, это надо делать обязательно с точки зрения полноты подхода. Разработанные методы аналитического решения многоточечных краевых задач вообще наиболее эффективны для решения именно многомерных (в частности, двумерных и трехмерных) проблем, хотя их преимущества проявляются даже при исследовании простейших, модельных примеров.

1. Акимов П.А. Дискретно-континуальные методы расчета сооружений. // «НТТ наука и техника транспорта», 2005, №1.

2. Акимов П.А. Полуаналитический вариационно-разностный метод трехмерного расчета конструкций. // Сб. материалов IV Традиционной научно-практической конференции «Строительство формирование среды жизнедеятельности». -М.: МГСУ, 2001, с. 13-15.

3. Акимов П.А., Золотов А.Б. Численно-аналитические методы расчета строительных конструкций: перспективы развития и сопоставления. // САПР и графика, 2005, №1, с. 78-82.

4. Акимов П.А., Золотов А.Б., Мозгалева МЛ., Мсхалая Ж.И. Вариационно-разностный вариант метода прямых для решения трехмерной задачи теории упругости. //М.: Деп. ВИНИТИ 29.06.2001 №1560. В, 2001.- 8 с.

5. Акимов П.А., Золотов А.Б., Мозгалева МЛ., Мсхалая Ж.И. Дискретно-континуальный вариационно-разностный метод расчета балки-стенки. //М.: Деп. ВИНИТИ 29.06.2001 №1561. В, 2001. 12 с.

6. Акимов П.А., Золотов А.Б., Мозгалева M.JL, Мсхалая Ж.И. Расчет балки-стенки полуаналитическим вариационно-разностным методом (метод прямых для ВРМ). // Вопросы прикладной математики и вычислительной механики: Сб. науч. тр. №3. М.: МГСУ, 2000, с.5-14.

7. Акимов П.А., Золотов А.Б., Савостьянов В.Н., Хлыстунов М.С. Дискретно-континуальные методы расчета в динамике сооружений. // Вопросы прикладной математики и вычислительной механики: Сб. науч. тр. №7. М.: МГСУ, 2004, с. 24-50.

8. Акимов П.А., Золотов А.Б., Сидоров В.Н. Дискретно-континуальный вариационно-разностный метод для расчета трехмерных конструкций. // Вопросы прикладной математики и вычислительной механики: Сб. науч. тр. №7. М.: МГСУ, 2004, с. 51-61.

9. Акимов П.А., Золотов А.Б., Ширинский В.И. Дискретно-континуальный метод конечных элементов для расчета трехмерных криволинейных конструкций. // Вопросы прикладной математики и вычислительной механики: Сб. науч. тр. №5. М.: МГСУ, 2002, с. 27-44.

10. Акимов П.А., Золотов А.Б., Ширинский В.И. Дискретно-континуальный вариационно-разностный метод для расчета двумерных конструкций. // Вопросы прикладной математики и вычислительной механики: Сб. науч. тр. №7. М.: МГСУ, 2004, с. 62-74.

11. Акимов П.А., Зоткин С.П., Купфер A.M., Мсхалая Ж.И. MATLAB. Объектно-ориентированные технологии. VISUAL С++. M.: МГСУ, 2003 -72 с.

12. Акимов П.А., Сидоров В.Н., Ширинский В.И., Пржебельский В.В.

13. Расчет балки-стенки полуаналитическим методом конечных элементов (метод прямых для МКЭ). // Вопросы прикладной математики и вычислительной механики: Сб. науч. тр. №3. М.: МГСУ, 2000, с. 15-25.

14. Алейников С.М. Метод граничных элементов в контактных задачах для упругих пространственно-неоднородных оснований. М.:АСВ, 2000.-754с.

15. Александров A.B., Лащеников Б.Я., Шапошников H.H., Смирнов А.Ф. Методы расчета стержневых систем, пластин и оболочек с использованием ЭВМ. М.: Стройиздат, 1976. 248 с. (ч.1), 258 с. (ч. 2).

16. Александров A.B., Потапов В.Д. Основы теории упругости и пластичности. М.: Высшая школа, 1990. - 400 с.

17. Алексеев Д.Н. Численные методы исследования локального напряженно-деформируемого состояния конструкций и вейвлет-анализ. Автореф. дис. . канд. техн. наук: 05.13.18 Моск. гос. строит, ун-т. М.: 2002 24 с.

18. Алексидзе М.А. Решение граничных задач методом разложения по неортогональным функциям. М.: Наука, 1978. - 352 с.

19. Альбрехт В.Г., Шиладжян A.A. Работа рельсов в крутых кривых. // Сб. научн. трудов ВНИИЖТ: Повышение надежности работы верхнего строения пути в современных условиях эксплуатации. М.: Интекст, 2000, с. 33-41.

20. Андреев В.И. Некоторые задачи и методы механики неоднородных тел. M.: АСВ, 2002.-288 с.

21. Астафьева H. М. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения // Успехи физических наук. 1998. т. 166. № ll.c. 1145-1170.

22. Астраханцев Г.П. Итерационные методы решения вариационно-разностных схем: Автореф. дис. на соиск. учен. степ, д-ра физ.-мат. наук:0101.07. ЛГУ. Л., 1989.-20 с.

23. Баженов В.Г., Чекмарев Д.Т. Решение задач нестационарной динамики пластин и оболочек вариационно-разностным методом. Н. Новгород: Издательство ННГУ, 2000. - 107 с.

24. Бари Н.К. Тригонометрические ряды. М.: Физматгиз, 1961. - 936 с.

25. Бартеньев О.В. Современный Фортран.-М.: Диалог-МИФИ, 1998 397с.

26. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. М.: Стройиздат, 1982. - 446 с.

27. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Лаборатория Базовых знаний, 2000. - 624 с.

28. Бахвалов Н.С., Кузнецов Ю.А. (ред.). Вариационно-разностные методы в математической физике. Сб. науч. тр. АН СССР, Отд. вычисл. математики; Под ред. М.: Отд. вычисл. математики АН СССР, 1984. 242 с.

29. Башилов Г. Левкович-Маслюк Л.И. Мелковолновый анализ // Компьютерра, №8 (236), 1998.

30. Безухов Н.И. Некоторые обобщения методов строительной механики в динамике сооружений. // Сб. Исследования по теории сооружений. Гос-стройиздат, 1939, №3, с. 172-213.

31. Безухов Н.И., Лужин О.В. Приложение методов теории упругости и пластичности к решению инженерных задач.-М.: Высшая школа, 1974.-200с.