автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Определение собственных значений и собственных функций краевых задач строительной механики на основе развития дискретно-континуального метода конечных элементов

На правах рукописи

Козырев Олег Александрович

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ И СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ НА ОСНОВЕ РАЗВИТИЯ ДИСКРЕТНО-КОНТИНУАЛЬНОГО МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Специальность 05.23.17 - Строительная механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

1 з [-;оя ?РПП

Москва - 2009

003483637

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования Московский государственный строительный университет.

Научный руководитель: член-корреспондент РААСН,

доктор технических наук Акимов Павел Алексеевич

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Косицын Сергей Борисович

кандидат технических наук, доцент Леонтьев Андрей Николаевич

Ведущая организация: ЗАО «Компьютерный центр Моспроект»

Защита состоится « у> 2009 г. в /$

дании диссертационного совета Д 2f2.138.12 при ГОУ ВП'

часов на

заседании диссертационного совета Д 212.138.12 при ГОУ ВПО Московский государственный строительный университет по адресу: 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, ауд. Щ /¿Г

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО Московский государственный строительный университет.

Автореферат разослан 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Анохин Н.Н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Проблема определения собственных значений и собственных функций краевых задач строительной механики возникает при нахождении собственных частот и форм собственных колебаний строительных конструкций. Изучение характеристик собственных колебаний конструкций важно для исследования их чувствительности к периодическим воздействиям. Решение данной проблемы в рамках настоящей диссертации осуществляется на основе развития дискретно-континуального метода конечных элементов (ДКМКЭ), предложенного в работах А.Б. Золотова и П.А. Акимова. Область применения ДКМКЭ составляют конструкции, здания и сооружения, в которых по одному из координатных направлений (условно называемому основным) имеется постоянство физико-геометрических характеристик (параметров) при произвольно меняющихся внешних нагрузках и любом характере закреплений. Такого рода объекты широко представлены в строительстве, что объясняется, в частности, высокой степенью технологичности их проектирования, изготовления, и монтажа. Метод является дискретно-континуальным в том отношении, что по основном}' («продольному») направлению сохраняется континуальный характер задачи и, соответственно, аналитический вид получаемого решения, в то время как по остальным («поперечным») направлениям производится дискретизация с использованием стандартной техники метода конечных элементов. В итоге расчетную схему конструкции составляет ансамбль дискретно-континуальных конечных элементов. Таким образом, построение решения осуществляется за счет эффективного сочетания численных и аналитических подходов. Определенная с помощью ДКМКЭ картина напряженно-деформированного состояния (НДС) развивает интуицию расчетчика и улучшает понимание работы конструкций, характера влияния на последние различных локальных и глобальных факторов. ДКМКЭ исключительно эффективен в зонах краевого эффекта, там, где часть составляющих решения представляет собой быстроизменяющиеся функции, скорость изменения которых не всегда может быть адекватно учтена традиционными численными методами. Преимуществами ДКМКЭ являются понижение размерности при численном решении и отсутствие при расчете практических ограничений на длину объектов вдоль основного направления. Диссертационная работа посвящена развитию численных методов, реализации подходов функционального анализа, в частности, методов теории операторов, вычисления их спектральных характеристик (собственных функций и собственных значений) применительно к решению практических задач расчета строительных конструкций.

Работа выполнялась в рамках Гранта Российского фонда фундаментальных исследований №09-08-13697, Гранта Президента Российской Федерации для государственной поддержки научных исследований молодых российских ученых МД-4641.2009.8 и Проекта №6414 Аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 годы)».

Цели и задачи работы. Целью работы является разработка эффективных подходов к определению собственных значений и собственных

функций краевых задач строительной механики на основе развития дискретно-континуального метода конечных элементов.

Начальной задачей работы является постановка краевых задач строительной механики с выделением основного направления (и соответствующих участвующих в формулировке производных) и использованием операторных подходов и обобщенных функций. В рамках общей континуальной постановки это приводит к формированию обыкновенного дифференциального уравнения с операторными коэффициентами, включающими краевые условия.

Следующая задача - это дискретная аппроксимация операторных коэффициентов основного уравнения на основе соответствующих им функционалов с использованием техники метода конечных элементов (МКЭ). Здесь требуется формирование нескольких нестандартных матриц жесткости, которые оказывается правильным строить на основе общематематических подходов.

Заключительный этап - это разработка шагового алгоритма вычисления собственных значений и собственных функций краевых задач строительной механики на основе корректного построения точного аналитического решения краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Перечисленные задачи отчасти могут соответствовать традиционным подходам, но в целом имеют более удобную математическую и алгоритмическую основу.

Научная новизна полученных в диссертационной работе результатов заключается в следующем:

1. Построены эффективные с точки зрения последующей вычислительной реализации математические формулировки и подходы, обеспечивающие дискретно-континуальные постановки проблем определения собственных значений и собственных функций краевых задач строительной механики, в частности, сведение исходных задач в начале к обыкновенному дифференциальному уравнению второго или четвертого порядка с операторными коэффициентами, включающими краевые условия, а затем к аналогичной системе уравнений первого порядка.

2. Построены дискретно-континуальные расчетные модели строительных конструкций на основе конечноэлементных аппроксимаций операторных коэффициентов, представляющих собой нетрадиционные сочетания дифференциальных операторов, включающих в себя краевые условия и обобщенные функции.

3. Предложены корректные универсальные формулы построения точного аналитического решения краевой задачи для разрешающей системы обыкновенных дифференциальных уравнений, учитывающие специфические математические особенности практических задач строительной механики. Здесь следует отметить такие «коварные» свойства матрицы коэффициентов системы как наличие в ее спектре собственных значений разных знаков, жордановых клеток неединичного порядка, жесткость системы, значительная размерность и т.д.

4. Построены эффективные подходы к определению собственных значений и собственных функций краевых задач строительной механики на

основе развития дискретно-континуального метода конечных элементов. Важнейшим этапом этих подходов является специальный шаговый алгоритм, использующий формулы корректного определения точного аналитического решения краевой задачи для разрешающей системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Практическая ценность работы состоит в:

• разработанных подходах к определению собственных значений и собственных функций краевых задач строительной механики на основе развития дискретно-континуального метода конечных элементов;

• создании авторских программных комплексов, которые могут стать составной частью при построении комплексов промышленного типа;

• выполненных расчетах реальных конструкций.

Внедрение работы состоит в использовании разработанных подходов, алгоритмов и программ для решения задач расчета конструкций и сооружений в ГОУ ВПО МГСУ и Научно-исследовательском центре «СтаДиО». На защиту выносятся:

1. Общий подход к определению собственных значений и собственных функций краевых задач строительной механики на основе теории операторов и обобщенных функций.

2. Сведение исходных проблем определения собственных значений и собственных функций краевых задач расчета строительных конструкций к соответствующим проблемам для обыкновенных дифференциальных уравнений с операторными коэффициентами, включающими краевые условия.

3. Дискретно-континуальные расчетные модели строительных конструкций на основе конечноэлементной аппроксимации в «поперечных» направлениях.

4. Корректные универсальные формулы построения точного аналитического решения краевых задач для разрешающих систем обыкновенных дифференциальных уравнений, учитывающие специфические математические особенности практических задач строительной механики.

5. Специальный шаговый алгоритм, использующий формулы определения точного аналитического решения краевой задачи для разрешающей системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

6. Эффективные подходы к определению собственных значений и собственных функций краевых задач строительной механики на основе развития дискретно-континуального метода конечных элементов. Апробация работы. Материалы диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: VI Научно-практическая и учебно-методическая конференция «Фундаментальные науки в современном строительстве» (Москва, 2008 г.); XI и XII Международная межвузовская научно-практическая конференция молодых ученых, докторантов и аспирантов «Строительство - формирование среды жизнедеятельности» (Москва, 20082009 гг.); II Международный симпозиум «Актуальные проблемы компьютерного моделирования конструкций и сооружений» (Пермь, 2008 г.); Междуна-

родная научно-практическая конференция «Теория и практика расчета зданий, сооружений и элементов конструкций. Аналитические и численные методы» (Москва, 2008 г.); XVIII Российско-Польско-Словацкий семинар «Теоретические основы строительства» (Архангельск, 2009 г.); XXIII Международная конференция «Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных и конечных элементов» (Санкт-Петербург, 2009 г.); Научные семинары научно-исследовательского центра «СтаДиО» (Москва, 2007-2009 гг.); Научные семинары кафедры информатики и прикладной математики МГСУ под руководством профессоров В.Н. Сидорова и А.Б. Золотова (Москва, 2005-2009 гг.); Научные семинары научно-образовательного центра компьютерного моделирования уникальных зданий, сооружений и комплексов МГСУ под руководством профессора A.M. Белостоцкого (Москва, 2008-2009 гг.).

Достоверность и обоснованность результатов основана на строгости используемого математического аппарата; сопоставлении полученных результатов с результатами проводимых параллельно контрольных расчетов с привлечением программных комплексов промышленного типа; сопоставлении результатов расчетов с решениями, полученными по другим аналитическим и численным методам; экспертной оценке точности решений специалистами в области НДС.

Публикации. По материалам и результатам исследований опубликовано 29 работ.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы, включающего 229 наименований, и семи приложений. 165 страниц основного текста и 55 страниц приложений включают 56 рисунков и 41 таблицу.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обоснование актуальности темы исследования, формулируются цели и задачи диссертационной работы, приводятся основные положения, составляющие научную новизну, и отмечается практическая значимость.

В первой главе приводится обзор и теоретические предпосылки некоторых основных численных и численно-аналитических методов решения, определения собственных значений и собственных функций краевых задач строительной механики.

Дается краткое описание основных видов постановок краевых задач строительной механики, указываются их преимущества и недостатки. Отмечаются исследования по данному вопросу JI.A. Розина, Б.Г. Коренева, В.Г. Корнеева, С.Г. Михлина, П.И. Перлина, А.Б. Золотова, В.И. Сливкера, О.В. Лужина, Э.С. Венцель, В.И. Травуша, Н.М. Хуторянского, Ю.Д. Копейкина, А.И. Цейтлина и др.

Среди ученых-механиков, использовавших аппарат обобщенных функций, отмечаются П.А. Акимов, М.В. Белый, В.Е. Булгаков, Н.М. Герсеванов, А.Б. Золотов, E.H. Курбацкий, Е.С. Лейтес, Д.В. Медведько, Л.Г. Петросян, В.Н. Сидоров, В.И. Травуш, А.И. Цейтлин, H.H. Шапошников, В.И. Ширинский и др.

В качестве основных методов статического расчета конструкций рассмотрены метод конечных элементов (МКЭ), метод граничных элементов (МГЭ) и вариационно-разностный метод (ВРМ).

Отмечается вклад в развитие МКЭ таких ученых как В.Г. Баженов, М.В. Белый, A.M. Белостоцкий, В.Г. Вельский, В.Е. Булгаков, П.П. Гайджу-ров, А.И. Голованов, К.П. Горбачев, A.C. Городецкий, А.Б. Золотов, В.А. Игнатьев, С.Б. Косицын, Е.М. Морозов, В.И. Мяченков, A.B. Перельмутер, В.А. Постнов, A.M. Проценко, Л.А. Розин, A.C. Сахаров, В.А. Семенов, В.Н. Сидоров, В.И. Сливкер, С.И. Трушин, А.Б. Фадеев, С.Ю. Фиалко, P.A. Хечумов, В.В. Шайдуров, H.H. Шапошников, К. Бате, Е. Внлсон, Р. Галлагер, О. Зенкевич, Л. Сегерлинд, Г. Стенг, М. Секулович, Дж. Оден , Ф. Сьярле и др.

Среди исследований в области МГЭ указываются работы С.М. Алейникова, A.B. Александрова, С.М. Белоцерковского, Н.П. Векуа, Э.С. Венцель, Ю.В. Верюжского, А.Б. Болотова, В.П. Клепикова, Ю.Д. Копейкина, Б.Г. Коренева, C.B. Кузнецова, В.Д. Купрадзе, М.И. Лазарева, A.M. Линькова, О.В. Лужина, В.З. Партона, М.Н. Перельмутера, П.И. Перлина, Л.Г. Петросяна, B.C. Рябенького, В.И. Травуша, А.Г. Угодчикова, Н.М. Хуторянского, А.И. Цейтлина, П. Бенерджи, Р. Батгерфилда, С. Крауча, А. Старфилда, С. Уокера и др.

В области развития ВРМ в приложении к задачам строительной механики отмечаются разработки В.Г. Баженова, Р.Ф. Габбасова (метод последовательных аппроксимаций), А.Б. Золотова, М.Л. Мозгалевой, Б.Е. Победри, Л.А. Розина, В.А. Смирнова, С.И. Трушина, В.В. Филатова и др.

Рассматриваются основные методы определения собственных значений и собственных функций краевых задач строительной механики. Отмечаются труды М.В. Белого, A.M. Белостоцкого, В.Е. Булгакова, В.В. Болотина, O.A. Егорычева, О.О. Егорычева, А.Б. Золотова, Л.С. Ляховича, С.Ю. Фиалко, А.П. Филиппова, И.Г. Филиппова, Е. Вилсона, Р. Клафа, Дж. Пензиена и др.

Отдельно рассмотрен развиваемый в диссертации дискретно-континуальный метод конечных элементов (ДКМКЭ), предложенный в работах А.Б. Золотова и П.А. Акимова.

Во второй главе приводятся основные понятия и характеристика дискретно-континуальных методов расчета строительных конструкций, зданий и сооружений, обсуждаются математические особенности их реализации.

Дискретно-континуальный подход включает в себя два основных этапа:

1. Исходная задача сводится к обыкновенным дифференциальным уравнениям с операторными коэффициентами с сохранением общей континуальной постановки за счёт выделения производных по основному направлению;

2. Выполняется дискретизация операторных коэффициентов на основании соответствующих им функционалов. Здесь используется стандартная техника метода конечных элементов. Таким образом, формируется дискретно-континуальная расчетная модель объекта, причем на каждом дискретно-континуальном элементе искомые функции по «поперечным» направлениям аппроксимируются, как правило, полиномами, тогда как в основном направлении их вид остается искомым. В результате, эти функции, по сути, определяются своим поведением на ребрах дискретно-континуального элемента.

Все сложности реализации дискретно-континуальных методов напрямую связаны с характерными специфическими свойствами возникающих разрешающих систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами. Соответствующая многоточечная краевая задача (под которой понимается задача с «внутренними» граничными условиями, представляющая собой, таким образом, совокупность обычных краевых задач, рассматриваемых на областях, имеющих общие границы) имеет вид:

у'-Ау = /, хеЦ^.й,); (2.1)

»=1

в; у(х1 -0) + В+к + 0) = гк +1;. 2,1;

В^ у(х{ + 0) + 2?; К< - 0) = £Г + £,;, (2-2) где х - переменная, отвечающая основному направлению; у(х) - искомая п-мерная вектор-функция; А - матрица постоянных коэффициентов и-го порядка; В\, Щ, В1, к = 2,..., пк -1, - заданные матрицы граничных условий и-го порядка; , Я*, , к = 2,..., пк -1, - заданные л-мерные векторы правых частей граничных условий; /(х) - и-мерная вектор-функция правых частей.

Вычислительная специфика на этапе решения системы (2.1) определяется свойствами матрицы А с постоянными коэффициентами. Решение, его корректность и эффективность зависит, прежде всего, от спектра.

Стоит подчеркнуть, что спектр матрицы коэффициентов А для большинства задач строительной механики имеет следующие особенности:

• собственные значения имеют действительные части разных знаков;

• отношение максимального и минимального по модулю собственных значений («жёсткость») матрицы А является большим числом, т.е.

\Лт^\/\Лт^\>М, где М - большое число; (2.3)

• спектральное разложение матрицы А включает жордановы клетки неединичного порядка и присоединённые (корневые) вектора соответствующие нулевым собственным значениям;

• жордановы клетки неединичного порядка имеют конечный вид, мало зависят от густоты сетки дискретно-континуальных элементов, которые аппроксимируют конструкцию по «поперечному» направлению, количество таких жордановых клеток небольшое.

Также важен фактор количества дифференциальных уравнений. В рамках дискретно-континуальных методов оно может достигать нескольких тысяч.

Необходимо отметить, что очевидные преимущества сочетания качественных свойств замкнутых решений и общности численных методов, отмечались многими исследователями и ранее, но большинство разработок прежнего времени были либо не реализуемыми практически из-за недостаточного развития математического инструментария (теория обобщенных функций, теория операторов) и численных методов, относительно невысокого уровня производительности компьютерной техники, либо, в той или иной мере, не учитывалась сложная вычислительная специфика соответствующих задач и необходимость компьютерной реализации.

Традиционные численно-аналитические методы либо ориентированы главным образом на ручной счет и являются некорректными в общем случае (методы типа начальных параметров, начальных функций и т.д.), либо в них ищется не точное аналитическое решение в виде формулы со слагаемыми экспоненциального типа, а строятся разного рода приближения (методы JI.B. Канторовича и В.З. Власова, метод конечных полос, метод конечных полос, методы типа прогонки, ортогональной прогонки и т.д.). Следствием этого является ряд недостатков (прежде всего вычислительных), весьма существенно проявляющихся при расчетах реальных строительных конструкций.

Вектор-функцию решение задачи (2.1)-(2.2) на произвольном интервале (xbk,xbk+i), обозначается ук{х) предлагается определять формулой:

У к W = (£(х ~хк)-е(х- xLi ))Ск +£(*)* fk (х), хе{хьк,хьм), (2.4) где Ск - вектор постоянных коэффициентов п -го порядка, определяемых из условий (2.2); * - символ, обозначающий операцию свертки.

А(х)ш/(хЖх1х>,х!+1); 0(хУ1Уы) = 11' (2.5)

[О, х£(хк,хы);

е(х) - фундаментальная матрица-функция системы,

__ "пик"1 -J ,

e(x) = Tle0(x)Ti+z(xMPo+ £ 77Л]. (2-6)

к=\ л!

s0(x) = diag{z(x,Al)exp(^x), ..., ^(х,Я,)ехр(/.,х)}; (2.8)

величина пгтт конечна и небольшая; I = п++п_ - число ненулевых собственных значений матрицы А; п+ и п_ - соответственно количество ненулевых собственных значений с неотрицательными и отрицательными действительными частями; Р0 - проектор на подпространство, отвечающее собственным и присоединенным векторам, соответствующим нулевым собственным значениям; 7] и 7, - соответственно согласованные друг с другом матрицы размерности их/ и /хп, содержащие правые и левые собственные векторы, отвечающие ненулевым собственным значениям матрицы А.

Общий вид точного аналитического решения (2.4) является корректным при любых условиях и свободным от всех перечисленных выше недостатков.

В третьей главе имеется две условно выделенные части.

В первой части третьей главы описывается разработанная методика определения собственных значений и собственных функций краевых задач расчета балочных конструкций с использованием аппарата обобщенных функций.

Так, например, постановка задачи определения собственных значений и собственных функций двухточечной краевой задачи об изгибе балки Берну лли имеет вид (при однородных краевых условиях): У*\х) = Лу(х), хе(0, /) где д = В0у(Щ + В,т = 0, EJ '

у(х) - искомая собственная функция (прогиб балки); л - искомое собственное значение; х - координата вдоль оси балки; запись типа у<!\х) обозначает с!*у(х)/с1х!; / - длина балки; Ш - изгибная жесткость балки; р - плотность материала балки (распределенная масса); со2 - квадрат частоты собственных колебаний; Б0, В, - матрицы граничных условий 4-го порядка.

Введя новые неизвестные и производя замену переменных / = 5 ■ х, где «4 = Я, переходим от (3.1) к постановке:

у'(0-Ау(0 = 0, /6(0,/,); Я0К+0) + 5,Я/,-0) = 0, (3.2)

"0 1 0 0" Уо(Х) = У{Х);

где А = 0 0 0 0 1 0 0 1 II УЛХ) У2(х) Л(х) = /Сх); , (з.з) у2{х) = у(х);

1 0 0 0 Уз(х). УзЫ = Ут(х);

Общее решение задачи определяется формулой

у(1,з) = {е{1,з)-еЦ-1^))С, (3.4)

где - значение фундаментальной матрицы-функции в точке с коорди-

натой / при параметре 5; С = [ С, С2 С3 С4 ]г - вектор коэффициентов, определяемых из граничных условий.

Аналогично рассматривается решение задачи о поперечном изгибе балки Бернулли на упругом основании (предложен соответствующий переход).

Во второй части третьей главы рассматривается вопросы определения собственных значений и собственных функций второй краевой задачи для оператора Лапласа на основе дискретно-континуального метода конечных элементов. Это тем более актуально, что оператор Лапласа является составной частью многих задач расчета конструкций при стационарных и нестационарных воздействиях, выступает в качестве простейшего аналога различных задач и эквивалентного оператора в итерационных процессах.

Пусть х2 - переменная, отвечающая основному направлению. Для постановки и решения рассматриваемой краевой задачи исходная область П, на которой рассматривается краевая задача, окаймляется расширенной а>-{(х1,х2): Ос*! </,; -оо<х2 <+со}. Тогда постановка соответствующей краевой задачи имеет вид (двумерный случай): \-дг2и + $0и = Аи

1 и\х =0 =0; "\Х2=12 = 0 - краевые условия,

где %=д\вдх\ 5, =Э/&„ / = 1,2; д'=-д/дхр « = 1,2; (3.6)

х = (х,, х2) - координаты точки; в = в(х],х1) - характеристическая функция области Г2; 5Г = 6Г (х,, х2) - дельта-функция границы Г = 50.,

в = в{х1,х2) = ^бг=дг(хих2)^ (3.7)

п = [ и, п2]т - вектор составляющих внутренней нормали к границе.

Принимается следующая дискретно-континуальная модель: в поперечном направлении конструкции (ось Охх) производится сеточная аппрок-

симация, а в продольном (основном) (ось Ох2 ) - решается континуальная задача (рис. 3.1). Область т разбиваем на подобласти - дискретно-континуальные конечные элементы (ДККЭ) о,, ; = 1,2.....N (рис. 3.1).

Рис. 3.1. Схема дискретизации области.

В качестве основного неизвестного в узлах (узловых линиях) принимается функция и, т.е. для г -го узла это и,{хг) ■ Тогда глобальный вектор неизвестных, очевидно, имеет вид и =[щ иг и3 ... % ]г. В простейшем случае поля и по сечению рассматриваемого ДККЭ полагаются линейными. Следовательно (здесь Г = (х, - )//;,; / е[0,1 ]):

и = и(х2) = и!+1Аи1, ( = 1,2,...,N-1, где Ли,-= м;+1 -ы,. (3.8) С учетом введенной дискретно-континуальной модели после соответствующих преобразований при равномерной сетке можем переписать (3.5) в виде:

(3.9) (3.10)

й\х _0 = 0; и\х =/ = 0 - краевые условия,

= (£-1)л7/1т к = \, 2,...,И\

где

J = diag{svs1,...,sN - <7

д} = ^Щсов((к-1)(1-1)тг/(М-1)), / = 1,2,3,...,^, £ = 1,2,3.....ЛГ. (3.11)

Учитывая структуру матрицы 3 переписываем (3.9) в виде

V,. „=У4 ,

= о,

к = !,...,#, где v=Qтu■,v=[v^

уК?. (3.12)

После решения задачи (3.12) и преобразований получаются итоговые формулы для собственных значений и собственных функций.

В четвёртой главе рассматриваются вопросы определения собственных значений и собственных функций двумерной задачи теории упругости на основе дискретно-континуального метода конечных элементов.

Пусть х2 - переменная, отвечающая основному направлению. Тогда постановка задачи может быть представлена в виде

и' = %П, (4.1)

где

9> =

-эЕ) 92

Е

и = и(хих2) =

и(х ,,х2) у(х:,х2)

■»'мм 5 -"цу

^ =

0 9 = "о " И и "Я+2Д 0"

0 X +2/7 > '1Л* Ар 0 . . 0

(4.2)

(4.3) 5,; (4.4)

х = [х} х2]т - вектор координат; О - область, занимаемая конструкцией; и = [ к, и2 ]7 - вектор составляющих перемещений; С = с/1^{сис2} - матрица упругих характеристик опор (при наличии) вдоль основного направления;

у=[у, v2] = [д2щ д2и2] =52м:

и'=д2и-

(4.5)

0 = в(х1,х2) и 5Г = Зг(х\,х2) - характеристическая функция области О. и дельта-функция границы Г = дП, определяемые по (3.7); Х=вХ\ 'Д = 6/и; Л и ц — коэффициенты Ламе; « - искомое собственное значение.

В рамках типовой двухточечной краевой задачи граничные условия задаются в сечениях х2 = 0 и х2 = /, где / - длина конструкции, и имеют вид:

Вои(х„0) + В1и(х1,1) = 0, (4.6)

где В0 и 5, - матрицы граничных условий.

Итак, задача формируется следующим образом: определить такую отличную от тождественного нуля вектор-функцию С/(х,,х2) и такое значение 5, при котором справедливы уравнение (4.1) и граничные условия (4.6).

Дискретно-континуальная модель, аналогична описанной ранее (рис. 3.1). В качестве основных неизвестных в узлах принимаются составляющие перемещений щ, и2 и их производные V, и у2 по х2, т.е. для ; -го узла это и\, и'2, у{, VI,. Поля неизвестных по сечению ДККЭ полагаются линейными, т.е.

где

и. = и ] (х2) = и) + Щ, Ч] = V, (х2) = V) + ?Ду), у = 1,2.

В пределах ДККЭ имеем:

и; О«)0, vj=N(t)v<¡i\ = 1,2, (х„х2)е©„

V/

ТУ-

(4.7)

(4.8)

(4.9) (4.10)

В соответствии со структурой (4.3)-(4.4) и техникой МКЭ формируются соответствующие поэлементные матрицы:

Л2,и=М*Г0); + (4.11)

А1М =м,к10Л)1 АШ=М1К£0); (4.12)

Л,1,( = ((Л +2/«/)//г,)л:о|'1); (4.13)

где = -

"2 Г • ЛГ(и> -> Ло ~~ " 1 -Г "-1 Г . ^(1,0) _ 1 ) -"-п-- -1 -Г

1 2 -1 1 0 2 -1 1 0 2 1 1

Далее по методу конечных вкладов формируются соответствующие глобальные матрицы А2Х, А22, Л,,, Л12, А13 ,А14, А0} ,А02,А£. Имеем соответствие:

где К =

2,1

-Су

О

А,2

А: • '£

А' • У

"т>> ии

К,„

К —К — к к ____

1111 111 1П1 5 * 1/11

4.2

Кщ

* 0 V ■ К 41 0"

_А< 0. » ии . 0 4О,2_

КЕ =

О

А?

Граничные условия могут быть представлены в виде: д0.г7л(0)+ад,(/) = 0,

где ип=ип(х2) =

и1л=и1,Лх2) = 1и\ и\

= V,2

2 ,п

у1,п

2,п

(4.14)

(4.15)

(4.16)

(4.17)

]Г; "2л="2л(^2) = ["2 "2 - Ы2 Г; (4-18)

2,п

/V 17".

(4.19)

где

К,

и^=д2и„-,

(4.20)

(4.21)

В0п и В/ п - матрицы граничных условий.

Итак, можем переписать постановку (4.1) следующим образом:

0 Е

. к;'(к

ии

+ Са-яКЕ) КтК, Сс = diag{ch^,..., с,..., с, дг, с21,..., с2..., с2ЛГ} - матрица характеристик опор. Общее решение задачи (4.20), (4.16) имеет вид:

и„ (х2) = (е, (х2) - е, (х2 - /))С,, (4.22)

где £;(х2) - фундаментальная матрица-функция системы (4.20), имеющая вид £!(х2) = Т1£^{х2)Т;\ где es¡0(x2) = diag{x(x2,Лs,i)eяp(ЛSjX2)}ыx^; (4.23) Т; - матрица, столбцы которой являются собственными векторами матрицы ; Л , р = 1,2,..., N - собственные значения матрицы К5;

в(х2), ШЛ1р)<0 [1, х2 > 0

0, х2 < 0.

(4.24)

С5 - вектор постоянных коэффициентов, определяемых из условий (4.16).

Нахождение С$ сводится к вычислению нетривиального решения системы Вг>Д=0, где Вг<1=В0^(Щ-В1<п£1(-0)-В0^П) + В,,п£Л1). (4.25)

Предлагаемая методика определения собственных значений и собственных функций рассматриваемой краевой задачи состоит в следующем:

1) Задаются (с некоторым постоянным или переменным шагом) значения (причем, очевидно, <52 <-53 <...).

2) Вычисляются с1х,с12,с1ъ,...,с1к,..., где с1к =ёе1(ДГл), к = 1,2,3,....

3) В интервалах на концах которых величина определителя меняет знак находится собственное значение краевой задачи. Если величина

- такая, что тк < Д, где Д - заданная точность определения, то соб-

П =5,

ы

ственное значение на интервале может быть найдено по формуле

1к = + 5ы)/2. В противном случае для нахождеши искомого собственного значения на интервале можно применить метод половинного деления.

Заметим, что важно выбирать величины тк таким образом, чтобы на каждом интервале [у*, ] находилось не более одного собственного значения. Разумеется, в случае с!к ■ с!ы =0 можно сделать очевидный вывод, что собственное значение краевой задачи совпадает с числом ^ и/или .

При решении задач большой размерности порядок матрицы ВГ1 может быть значительным, а ее определитель быть величиной весьма небольшой. Это, в свою очередь, может привести к трудностям при численной реализации. В этой связи предложен альтернативный подход:

1) Задаются (с некоторым постоянным или переменным шагом) значения 51,52>53'-">'у4>— (причем, очевидно, 5! <52 <$3 <...<■?* <...);

2) Вычисляются собственные значения матриц Вг , к = 1,2,3,..., т.е.

3) Если

среди собственных значений /.] ¿ , /о . л- .... ^ > имеются нулевые, то - искомое собственное значение с кратностью, равной числу нулевых собственных значений матрицы Вг. Заметим, что поиск нулевых собственных значений на практике ведется с некоторой точностью Д. Иными словами, если [ Л |< Д, то Я полагается нулевым.

В пятой главе описывается приложение дискретно-континуального метода конечных элементов для определения собственных значений и собственных функций задачи об изгибе плиты.

Пусть х2 ~ переменная, отвечающая основному направлению. Тогда постановка задачи может быть представлена в виде

¥' = £,?, (5.1)

(5.2)

(5.3)

(5.4)

где У(х2) =

Л (*г) 0 1 0 0"

Уг(хг) ; % = 0 0 1 0

Уг(х2) 0 0 0 1

0 0_

¿4 =Ж; % = -{д]в0у+2д16Щ-у)д1+60\д]]\ % = -д\вВд\;

У'(х2) = д2У(х2); у,(х1,х2) = ц>{х1 ,х2); у2(х1,х2) = ч>'(хих2)-, уэ(х1,х2) = м>"(х1,х2); у4(х1,х2) = м>т(хих2). (5.5) О - область, описываемая рассматриваемой плитой; х1, х2 - используемые координаты; И' - прогиб плиты (вдоль х3); Б и у - цилиндрическая жесткость и коэффициент Пуассона материала плиты; 5 - искомое собственное значение; с - упругая характеристика опоры (коэффициент отпора опоры по направленшо оси Охъ, при наличии); в и 8Г - характеристическая функция области О и дельта-функция границы Г = 80. (см. (3.7)).

В рамках типовой двухточечной краевой задачи граничные условия задаются в сечениях х2 = О и х2 = I, где I - длина конструкции, и имеют вид: S0F(x„0) + S,F(3f1,/) = 0, (5.6)

где В0 и В, - матрицы граничных условий.

Задача формируется следующим образом: определить такую отличную от тождественного нуля вектор-функцию Y(xt, х2) и такое значение s, при котором справедливы уравнение (5.1) и граничные условия (5.6).

Принимается дискретно-континуальная модель, аналогичная описанной в главе 3. В рассмотрение вводятся функции

Zj(xvx2) = 8^j(xux2), j = 1,2,3,4. (5.7)

В качестве основных неизвестных в узлах принимаются функции у{, У2> Уз> У4 и z,, z2, z3, z4, т.е. для /-го узла это у{, у2, у!3, у'4 и z\, z'2, z3, , Поля y2, y3, y4 по «поперечному» сечению рассматриваемого ДККЭ аппроксимируются кубическими полиномами. Имеем:

у/х„х2) = ЩОр^(х2), j = 1,2,3,4, (х,,х2)е^, (5.8)

где ЛГ,=ЛГ((0 = [^1 N0 ЛГ,,(0 = 1-3i2+2г3;

Ni2{t) = h,{t-2t1+tiy, 7V;.3(0 = 3?2-2i3; NiA(t) = h^t1 + /3); (5.9)

у)=у'Мг) = О^УУ, 2,3,4; fnJ = УДх2) = [у) z)f.(5.10)

В соответствии с техникой МКЭ сообразно (5.3) формируются поэлементные матрицы. Имеет место соответствие между континуальными операторами и их дискретно-континуальными аналогами на произвольном ДККЭ: 3>А=Ю^>К'А-, %=>К'2=К'и+КЬ+кЬ; ^=»^=^+<2,(5.11) где К\ - (0,ДЙ,/420)Н,АаН,; =-(e,D,v, IQOhftH,AUH(5.12) 4з = 1{ЪЩ))Н,А1гН1; K'22 = - ^/(Ш^Я^Я,.; (5.13)

41=(2^,Д.//г,3)Я/Л,1Я,; <2=(0(сД/42О)ЯЛгЯ,; (5л4)

" 156 22 54 -13" '-36 -3 36 - -3"

Л ~ Д),2 _ 22 54 4 13 13 156 -3 -22 ; ^2,2 - -33 36 -4 3 3 -36 1 3 ;

-13 -3 -22 4 _ 3 1 33 - 4

-36 -33 36 - 3" 6 3 -6 3

А - Ат - 2,3 _ 2,1 ~ -3 36 -4 3 - 3 1 36 33 5 \\ ~ 3 -6 2 -3 -3 6 1 -3

-3 1 3 - 4 3 1 -3 2

Формирование глобальных матриц К4,К2, К0 2Аг-мерного порядка для системы ДККЭ для всей конструкции осуществляется аналогично стандартной технике МКЭ. Континуальные операторы и матрицы сопоставлены так:

Т-2 => К2, 5?0 =>/С0. (5.15)

Пусть

1г,к >

¿ = 1,2,...,пк -координаты граничных поперечных сече-

ний конструкции. Граничные условия в них записываются в виде:

В;ихи-0)_ + В;¥„(хь2к+0) = ^+Гк, к = 2,3,...,пк-и (5.16) + = + (5-17)

где В~к,В1 - матрицы граничных условий 8Л^-го порядка; к-%Ъ,...,пк -1;

> ёп„ ~ заданные 8А-мерные векторы правых частей граничных условий;

К = их2) = [(Уп,1)Т (^,2)Г (Л,з)Г (Уп.*)ТТ, (5-18) = (у1уУ - У=1,2,3,4. (5.19)

Континуальной постановке соответствует дискретно-континуальная:

г'=к,гп, (5.20)

0 £ О О

О 0 £ О

О 0 0 £

_К;\К0 + Сс+ЗКЕ) о к;1к2 о Сс -diag{c^,0,c2,0,...,c¡N,Q}•, с,- - коэффициент отпора основания в /-м узле; КЕ - матрица, формируемая по алгоритму построения К0, в котором для всех дискретно-континуальных конечных элементов задается Д. = 0 и с, = 0.

Дальнейшее решение задачи ведется по описанной ранее методике.

В шестой главе рассматриваются вопросы определения собственных значений и собственных функций трехмерной задачи теории упругости на основе дискретно-континуального метода конечных элементов.

Пусть х3 - переменная, отвечающая основному направлению. Тогда постановка задачи может быть представлена в виде

где

где К.=

Г;(х2) = 82¥!(Х2)- (5.21)

где Ш,

Ш

О Е ^

Щп (^1/ц + С — 5 £) З^У-и-,

; и =г/(х,,х2,х3) =

М О О

О М О

О О

Л+2/2

2 '1 0 0"

Ки 0 1 0 +

0 0 1

О о д\л

= о о'2Л

д\]л д2]й 0

9,'/73, 32/73] 0 дх]лд2 д2]йд2 0 О 0 0

и(хих2,х3) у(х„х2,х3)

ф = д> -9* =-$ ■

9) ДЗ]

д,Лд2

д2Л31 д2Лд2

о о

(6.1) ; (6.2)

(6.3) ; (6.4)

х = [ х, х2 х3 ]г - вектор координат; О - область, занимаемая конструкцией; С = с/1^{с1,с2,с3} - матрица упругих характеристик опор (при наличии) вдоль основного направления; й = [ к, и2 щ]т - вектор составляющих перемещений; 3* = -3,, /' = 1,2,3; 5 - искомое собственное значение;

у=[у, v2 Vз]г=[ЗзUJ д3и2 д3и3]т =д3й = й'; и' = д311; (6.5)

Л и ц - коэффициенты Ламе; в = в(х1, х2,х3) и 8Г = <5Г,х2,х3) - характеристическая функция области П и дельта-функция границы Г = 50.,

в = в{хих2) = \Х; Зг=~- Л =вЛ\ р = в/и. (6.6)

" 2' [0, (х„д:2,Хз)гС}; г дп '

В рамках типовой двухточечной краевой задачи граничные условия задаются в сечениях хъ = 0 и х3 = I, где / - длина конструкции, и имеют вид: В0П(х3,О) + В1и(х3,1) = О, (6.7)

где В0 и В; - матрицы граничных условий.

Задача формируется следующим образом: определить такую отличную от тождественного нуля вектор-функцию П{х1,х2,х1) и такое значение 5, при котором справедливы уравнение (6.1) и граничные условия (6.7).

Принимается дискретно-континуальная модель следующего типа: в поперечном направлении конструкции (вдоль осей Охх и Ох2) производится сеточная аппроксимация, а в продольном (основном) (вдоль оси Ох-,) - решается континуальная задача. Область со разбиваем на подобласти - дискретно-континуальные конечные элементы (ДККЭ) а)у, I = 1, ]=\,...,И2.

Рассмотрим произвольный у-й элемент модели. Переходим из исходной системы координат в элементную: (хих2,х3) => (г,Г,,,х3), где £[0,1]; ¡2 е [0,1] - локальные координаты. Произведем локальную перенумерацию узлов ДККЭ: г,7=>1, 1; г' + 1,у=>2,1; /,7+1 =>1,2; /' + 1,7 + 1 =>2,2.

Формула преобразования координат записывается имеет вид:

х-х" +/,Д,х +/2Д2х + (6-8)

где х = [х1 х2]г; Д>х = х21-х"; Д2х = ^2-3с"; Д12х = х„22-х21-Д2х. Здесь х'1, I™ - векторы координат узла элемента в исходной и элементной системах координат соответственно, / = 1,2,...,^,; 7 = 1,2,...,И2; р,д = 1,2.

В качестве основных неизвестных в узлах принимаются составляющие перемещений щ,и2,и3 и их производные v1,v2,vз по переменной х3,

т.е. длярд-го узлах это и("',,и3', V,",,. Поля неизвестных по сечению ДККЭ аппроксимируются билинейно:

и = +г1Д1й + Г2Д2м + Г1Г2Д12г<; V = ^1 + ^А^ + /2Д2У + ^гА^г?, (6.9) где Д,м=«21-^1; Д2Й = й„12-мли; Д,2й = м22-г721 -Д2г7; (6.10) = Д2У=У'2-у''; Д!2* = Г22 -V21 -Д2у. (6.11)

Формирование матрицы жесткости ДККЭ К'', имеющей 24-й порядок, производится методом базисных вариаций по следующей формуле:

(А:&")„ +в<)-Фр(ё,)-Ф(,(ё()+Ф|,Сё0), лт = 1,2.....24; / = 1,2.....24, (6.12)

где Ф(й) - квадратичная часть функционала энергии на элементе,

= т.е. = (6.13)

2 а '=1 Н

где Су - компоне1ггы тензора напряжений; £у - компоненты тензора деформаций; е1,ёй - 24-х мерные векторы с элементами (ниже 5-к - символ Кронекера), {е])к=8]у, (е0)к = 0, к = 1,2,..., 24; Кь -матрица жесткости ДККЭ,

к,!, к,

К,, к,

К'1

11 ии Кии Г]2 Ки* Кии Г13 ГА14 И4 1

•11 V и ЛУУ Луи V12 -^УУ га14 Л™ гаН

21 ии ИГ21 V22 к72 га 23 Кии Г23 га 24 Лш< га 24 ¡/V

21 VI/ Кт К22 Кп га 23 Лу и кт ¡Г 24 га 24 Л-уу

31 ии га 32 ЛШ( га 32 т- г33 г33 г'34 Л„„ ГА 34 Л«у

31 •ш Г32 га 32 Луу Г33 г33 га 34 Л™ га 34 АУУ

41 ии га41 киу га 42 у 42 га 43 га 43 га 44 Л!ш га 44

41 V« га41 га 42 Луи га 42 га 43 га 43 Г14 ^ 44 ЛУУ .

к к

Здесь К*, К!2, А"'"', , /, т = 1,2,3,4 - матрицы 3-го порядка.

На основании матрицы жесткости ДККЭ (6.14) формируются матрицы

(6.14)

К'1 =

¿Г</ =

Г12 га14 " Г Vй га12 г13 ГА 14

Г21 Кии Г22 Кии Кю га 24 Л>« ■ к'] = К22 КУ /Г23 Л «У ГА 24 Л»У

Кии Кии га34 ни Г31 ЛИУ ьаЗЗ ЛИУ г34

га41 г 42 га43 ГА 44 га41 га42 ГА 43 ЛВУ ГА 44

А-11 г13 УИ га14 " ЛУИ Г12 ЛУУ Л-13 ЛУУ га14 " ЛУУ

Г21 га 22 ЛУ!, ГА 23 ш га 24 II ЛУУ кп Кт га 24 ЛУУ

^32 г33 га 34 Лга ^УУ К; гаЗЗ ЛУУ га34

г41 •Кто ГА 43 Ли/ га 44 КУ и. га41 . ЛУУ га 42 ЛУУ ГА 43 ЛУУ га 44 ЛУУ.

(6.15)

(6.16)

ии' ^-ну >

к.

Далее формируются соответствующие глобальные матрицы К и Кп, ЗЛ'-мерного порядка. Имеем сопоставление матриц и операторов

У К ■ V =>А" • V => К • Я>

(6.17)

Граничные условия (6.7) на дискретно-континуальном уровне имеют вид:

в%пи„ф) + вКпип{1)=0,

■ матрицы граничных условий; и„ = ип(х3) = [ (и„) (\п)

где В0 п и

йя=Ц.(хз)=Ш")т {€)т... (ч^У Г; V.

(6.18) ,-т \Т 1 т .

пг. -

Постановка (6.1), (6.7) переходит в следующую:

и:=к.и„

где К

О

К{Кт+Са-зКЕ) к^кя

К — к —К

и:

(6.19) = 53С7„; (6.20)

Со-

КЕ - матрица Кт, построенная при условии, что всюду = 1; = 1; глобальная матрица характеристик упругоподатливых опор.

Дальнейшее решение задачи ведется по описанной ранее методике. В приложениях 1-7 приводятся сведения о программных реализациях разработанных подходов к определению собственных значений и собственных

функций краевых задач теории упругости, основанных на развитии дискретно-континуального метода конечных элементов. Представлены расчеты балок, балок-стенок, плит и железнодорожного рельса (рис. П.1), имеются сопоставления получаемых результатов с результатами, определенными по программным комплексам промышленного типа (АШУЯ, СТАДИО).

Рис. ПЛ. Некоторые примеры решенных задач.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Сформулированы континуальные постановки проблем определения собственных значений и собственных функций краевых задач строительной механики с выделением основного направления в рамках дискретно-континуального подхода.

2. Разработаны дискретно-континуальные расчетные модели строительных конструкций на основе конечноэлементной аппроксимации операторных коэффициентов, включающих в себя краевые условия.

3. Предложены корректные универсальные формулы построения точного аналитического решения краевых задач для разрешающих систем обыкновенных дифференциальных уравнений, учитывающие специфические математические особенности практических задач строительной механики.

4. Разработаны и реализованы на ЭВМ эффективные подходы к определению собственных значений и собственных функций краевых задач строительной механики на основе развития дискретно-континуального метода конечных элементов

5. На основе разработанных методов и программных комплексов решен ряд задач расчета строительных конструкций, в частности, определе-

ны собственные значения и собственные функции краевых задач расчета балок, балок-стенок, плит, рельса. 6. Полученные результаты позволяют получить устойчивые и универсальные методы определения собственных частот и форм колебаний строительных конструкций, которые могут использоваться при создании программных комплексов промышленного типа, расширить область применения дискретно-континуальных методов расчета строительных конструкций, зданий и сооружений.

Основные положения и результаты диссертации опубликованы в

следующих работах (ниже перечислено - 7; всего - 29):

1. Козырев O.A. Сравнительный анализ методик повышения точности при вычислении собственных частот и форм собственных колебаний строительных конструкций. // Вопросы прикладной математики и вычислительной механики: Сб. научн. тр. №12. -М.: МГСУ, 2009, с. 208-212.

2. Акимов П.А., Сидоров В.Н., Козырев O.A. Определение собственных значений и собственных функций краевых задач строительной механики на основе дискретно-континуального метода конечных элементов. // Вестник МГСУ, 2009, №3, с. 255-259.

3. Золотов А.Б., Акимов П.А., Сидоров В.Н., Козырев O.A. Применение дискретно-континуального метода конечных элементов для определения собственных значений и собственных функций краевых задач расчета плит. // XVIII Russian - Slovak - Polish Seminar "Theoretical Foundation of Civil Engineering". Proceedings. Moscow - Arhangelsk, 01.07.2009 - 05.07.2009. Warszawa, 2009, pp. 43-50.

4. Золотов А.Б., Сидоров B.H., Акимов П.А., Козырев O.A. Дискретно-континуальные подходы для определения собственных значений и собственных функций краевых задач расчёта строительных конструкций. // International Journal for Computational Civil Structural Engineering. Volume 4, Issue 2, 2008, pp. 65-66.

5. Золотов А.Б., Акимов П.А., Сидоров B.H., Козырев O.A. Дискретно-континуальный подход к определению собственных значений и собственных функций для плоской задачи теории упругости. // «Теория и практика расчета зданий, сооружений и элементов конструкций. Аналитические и численные методы». Сб. трудов международной научно-практической конференции. М.: МГСУ, 2008, с. 267-276.

6. Золотов А.Б., Акимов П.А., Козырев O.A. Определение собственных значений и собственных функций второй краевой задачи для оператора Лапласа на основе дискретно-континуального подхода. // Вестник МГСУ, 2008, №1 (спецвыпуск), с. 578-585.

7. Золотов А.Б., Акимов П.А., Сидоров В.Н., Козырев O.A. Об одном дискретно-континуальном подходе к определению собственных значений и собственных функций краевых задач расчёта элементов конструкций. // Вестник отделения архитектуры и строительных наук. Том 1. - Москва-Орел: РААСН, АСИ ОрелГТУ, 2009, стр. 126-136.

КОПИ-ЦЕНТР св. 7:07:10429 Тираж 100 экз. г. Москва, ул. Енисейская, д.36 тел.: 8-499-185-7954, 8-906-787-7086

Введение.

Глава 1. Обзор и характеристика некоторых основных численных и численно-аналитических методов решения, определения собственных значений и собственных функций краевых задач строительной механики.

1.1. Виды постановок краевых задач.

1.2. Краткий обзор исследований в области постановок краевых задач строительной механики и математической физики.

1.3. Основные методы решения краевых задач расчёта строительных конструкций.

1.4. Основные подходы к определению собственных значений и собственных функций краевых задач расчёта строительных конструкций.

1.5. Применение аппарата обобщённых функций в строительной механике.

1.6. Дискретно-континуальный метод конечных элементов для расчёта строительных конструкций.

2.2. Основные этапы дискретно-континуального подхода. 30

2.3. Характерные математические особенности реализации корректных дискретно-континуальных методов. Недостатки традиционных численно-аналитических подходов. 32

2.4. О построении точных аналитических решений многоточечных краевых задач строительной механики для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. 38

2.5. Основные результаты и выводы по Главе 2. 40

Глава 3. Определение собственных значений и собственных функций краевых задач расчёта балочных конструкций и второй краевой задачи для оператора Лапласа на основе дискретно-континуального подхода. 41

3.1. Введение. 41

Часть I Определение собственных значений и собственных функций краевых задач расчёта балочных конструкций с использованием аппарата обобщённых функций. 42

3.2. Реализация для двухточечной краевой задачи. 42

3.3. Сведения о программной реализации. Примеры расчёта. 46

Часть II Определение собственных значений и собственных функций второй краевой задачи для оператора Лапласа на основе дискретно-континуального метода конечных элементов. 50

3.4. Традиционные и операторные постановки краевой задачи, в том числе с выделением основного направления. 50

3.5. Дискретно-континуальная постановка задачи. 51

3.6. Определение собственных значений и собственных функций краевой задачи. 55

3.7. Сведения о программной реализации. Примеры расчёта. 58

3.8. Основные результаты и выводы по Главе 3. 59

Глава 4. Определение собственных значений и собственных функций двумерной задачи теории упругости на основе дискретно-континуального метода конечных элементов. 61

4.1. Введение. 61

4.2. Операторная постановка краевой задачи с выделением основного направления. 61

4.3. Дискретно-континуальная постановка задачи. 64

4.4. Алгоритм нахождения собственных значений и собственных функций краевой задачи. 77

4.5. Сведения о программной реализации. Примеры расчёта. 79

4.6. Основные результаты и выводы по Главе 4. 88

Глава 5 Определение собственных значений и собственных функций краевых задач расчёта тонких плит на основе дискретно-континуального метода конечных элементов. 89

5.1. Введение. 89

5.2. Операторная постановка краевой задачи с выделением основного направления. 90

5.3. Дискретно-континуальная постановка задачи. 93

5.4. Алгоритм нахождения собственных значений и собственных функций краевой задачи. 120

5.5. Сведения о программной реализации. Примеры расчёта. 120

5.6. Основные результаты и выводы по Главе 5. 125

Глава 6 Определение собственных значений и собственных функций трёхмерной задачи теории упругости на основе дискретно-континуального метода конечных элементов. 127

6.1. Введение. 127

6.2. Операторная постановка краевой задачи с выделением основного направления. 127

6.3. Дискретно-континуальная постановка задачи. 130

6.4. Алгоритм нахождения собственных значений и собственных функций краевой задачи. 137

6.5. Основные результаты и выводы по Главе 6. 138

Заключение. 139

Литература. 143

Приложение 1. Сведения об авторском программном комплексе, реализующем разработанные подходы к определению собственных значений и собственных функций краевых задач строительной.механики на-основе развития дискретно-континуального метода конечных элементов. 166

Приложение 2. Сведения о программных комплексах промышленного типа, используемых для сопоставлений и контроля результатов. 172

Приложение 3. Примеры определения собственных значений и собственных функций краевых задач расчёта балочных конструкций. 176

Приложение 4. Примеры определения собственных значений и собственных функций второй краевой задачи для оператора Лапласа. 181

Приложение 5. Примеры определения собственных значений и собственных функций краевых задач расчёта балок-стенок. 183

Приложение 6. Определение собственных значений и собственных функций приведённой двумерной краевой задачи расчёта рельса. 191

Приложение 7. Примеры определения собственных значений и собственных функций краевых задач расчёта тонких плит. 195

Введение

Актуальность исследования. Проблема определения собственных значений и собственных функций краевых задач строительной механики возникает при нахождении собственных частот и форм собственных колебаний строительных конструкций. Изучение характеристик собственных колебаний конструкций важно для исследования их чувствительности к периодическим воздействиям. Решение данной проблемы в рамках настоящей диссертации осуществляется на основе развития дискретно-континуального метода конечных элементов (ДКМКЭ), предложенного в работах А.Б. Золотова и П.А. Акимова. Область применения ДКМКЭ составляют конструкции, здания и сооружения, в которых по одному из координатных направлений (условно называемому основным) имеется постоянство физико-геометрических характеристик (параметров) при произвольно меняющихся внешних нагрузках и любом характере закреплений. Такого рода объекты широко представлены в строительстве, что объясняется, в частности, высокой степенью технологичности их проектирования, изготовления, и монтажа. Метод является дискретно-континуальном в том отношении, что по основному («продольному») направлению сохраняется континуальный характер задачи и, соответственно, аналитический вид получаемого решения, в то время как по остальным («поперечным») направлениям производится дискретизация с использованием стандартной техники метода конечных элементов. В итоге расчетную схему конструкции составляет ансамбль дискретно-континуальных конечных элементов. Таким образом, построение решения осуществляется за счет эффективного сочетания численных и аналитических подходов. Определенная с помощью ДКМКЭ картина напряженно-деформированного состояния (НДС) развивает интуицию расчетчика и улучшает понимание работы конструкций, характера влияния на последние различных локальных и глобальных факторов. ДКМКЭ исключительно эффективен в зонах краевого эффекта, там, где часть составляющих решения представляет собой быстроизменяющиеся функции, скорость изменения которых не всегда может быть адекватно учтена традиционными численными методами. Преимущества

Диссертация Козырева О.А. Введение ми ДВСМКЭ являются понижение размерности при численном решении и отсутствие при расчете практических ограничений на длину объектов вдоль основного направления. Диссертационная работа посвящена развитию численных методов, реализации подходов функционального анализа, в частности, методов теории операторов, вычисления их спектральных характеристик (собственных функций и собственных значений) применительно к решению практических задач расчета строительных конструкций.

Работа выполнялась в рамках Гранта Российского фонда фундаментальных исследований №09-08-13697, Гранта Президента Российской Федерации для государственной поддержки научных исследований молодых российских ученых МД-4641.2009.8 и Проекта №6414 Аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 годы)».

Цели и задачи работы. Целью работы является разработка эффективных подходов к определению собственных значений и собственных функций краевых задач строительной механики на основе развития дискретно-континуального метода конечных элементов.

Начальной задачей работы является постановка краевых задач строительной механики с выделением основного направления (и соответствующих участвующих в формулировке производных) и использованием операторных подходов и обобщенных функций. В рамках общей континуальной постановки это приводит к формированию обыкновенного дифференциального уравнения с операторными коэффициентами, включающими краевые условия.

Следующая задача - это дискретная аппроксимация операторных коэффициентов основного уравнения на основе соответствующих им функционалов с использованием техники метода конечных элементов (МКЭ). Здесь требуется формирование нескольких нестандартных матриц жесткости, которые оказывается правильным строить на основе общематематических подходов.

Заключительный этап — это разработка шагового алгоритма вычисления собственных значений и собственных функций краевых задач строительной механики на основе корректного построения точного аналитического решения краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Диссертация Козырева О.А. Введение

Перечисленные задачи отчасти могут соответствовать традиционным подходам, но в целом имеют более удобную математическую и алгоритмическую основу.

Научная новизна полученных в диссертационной работе результатов заключается в следующем:

1. Построены эффективные с точки зрения последующей вычислительной реализации математические формулировки и подходы, обеспечивающие дискретно-континуальные постановки проблем определения собственных значений и собственных функций краевых задач строительной механики, в частности, сведение исходных задач в начале к обыкновенному дифференциальному уравнению второго или четвертого порядка с операторными коэффициентами, включающими краевые условия, а затем к аналогичной системе уравнений первого порядка.

2. Построены дискретно-континуальные расчетные модели строительных конструкций на основе конечноэлементных аппроксимаций операторных коэффициентов, представляющих собой нетрадиционные сочетания дифференциальных операторов, включающих в себя краевые условия и обобщенные функции.

3. Предложены корректные универсальные формулы построения точного аналитического решения краевой задачи для разрешающей системы обыкновенных дифференциальных уравнений, учитывающие специфические математические особенности практических задач строительной механики. Здесь следует отметить такие «коварные» свойства матрицы коэффициентов системы как наличие в ее спектре собственных значений разных знаков, жордановых клеток неединичного порядка, жесткость, системы, значительная размерность,и т.д.

4. Построены эффективные.подходы к определению собственных значений и собственных функций краевых задач строительной механики на; основе -развития дискретно-континуального метода конечных элементов. Важнейшим этапом этих подходов является специальный шаговый алгоритм, использующий формулы корректного определения точного аналитиче

Диссертация Козырева О.А. Введение ского решения краевой задачи для разрешающей системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Практическая ценность работы состоит в:

• разработанных подходах к определению собственных значений и собственных функций краевых задач строительной механики на основе развития дискретно-континуального метода конечных элементов;

• создании авторских программных комплексов, которые могут стать составной частью при построении комплексов промышленного типа;

• выполненных расчетах реальных конструкций.

Внедрение работы состоит в использовании разработанных подходов, алгоритмов и программ для решения задач расчета строительных конструкций в ГОУ ВПО МГСУ и Научно-исследовательском центре «СтаДиО».

Достоверность и обоснованность научных положений основана на строгости используемого математического аппарата; сопоставлении полученных результатов с результатами проводимых параллельно контрольных расчетов с привлечением программных комплексов промышленного типа; сопоставлении результатов расчетов с решениями, полученными по другим аналитическим и численным методам; экспертной оценке точности решений специалистами в области НДС.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: VI Научно-практическая и учебно-методическая конференция «Фундаментальные науки в современном строительстве» (Москва, 2008 г.); XI и XII Международная межвузовская научно-практическая конференция молодых ученых, докторантов и аспирантов «Строительство - формирование среды жизнедеятельности» (Москва, 2008-2009 гг.); II Международный симпозиум «Актуальные проблемы компьютерного-моделирования конструкций и сооружений» (Пермь, 2008 г.); Международная научно-практическая конференция «Теория и практика расчета зданий, сооружений и элементов конструкций. Аналитические и численные методы» (Москва, 2008 г.); XVIII Российско-Польско-Словацкий семинар «Теоретические основы строительства» (Архангельск, 2009 г.); XXIII Международная конференция

Диссертация Козырева О.А. Введение

Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных и конечных элементов» (Санкт-Петербург, 2009 г.); Научные семинары научно-исследовательского центра «СтаДиО» (Москва, 20072009 гг.); Научные семинары кафедры информатики и прикладной математики МГСУ под руководством профессоров В.Н. Сидорова и А.Б. Золотова (Москва, 2005-2009 гг.); Научные семинары научно-образовательного центра компьютерного моделирования уникальных зданий, сооружений и комплексов МГСУ под руководством профессора A.M. Белостоцкого (Москва, 2008-2009 гг.).

Личный вклад автора заключается в развитии дискретно-континуального метода конечных элементов применительно к определению собственных значений и собственных функций краевых задач строительной механики, а также, в построении реализующего программного обеспечения.

Публикации. Основные положения диссертационной работы опубликованы в 29 работах, 6 из которых опубликованы в изданиях, входящих в Перечень ВАК РФ ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени доктора и кандидата наук.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы, включающего 229 наименований и семи приложений. 165 страниц основного текста и 35 страницы приложений включают 56 рисунков и 41 таблицу.

Основные результаты и выводы:

1. Сформулированы континуальные постановки проблем определения собственных значений н собственных функций краевых задач строительной механики с выделением основного направления в рамках дискретно-континуального подхода.

В рамках дискретно-континуального подхода автором сформулированы эффективные с точки зрения последующей вычислительной реализации операторные континуальные постановки проблем определения собственных значений и собственных функций краевых задач расчета балочных конструкций, второй краевой задачи для оператора Лапласа, двумерной задачи теории упругости, краевой задачи расчета тонких плит, трехмерной задачи теории упругости, при этом использовался аппарат метода расширенной (стандартной) области (характеристическая функция области, дельта-функция границы, ее производные, основные операторные соотношения и т.д.) и теория обобщенных

Диссертация Козырева О.А. Заключение функций. В предположении, что физико-геометрические характеристики рассматриваемых объектов постоянны вдоль выделяемого основного направления, описаны процедуры переходов от исходных операторных постановок к системам дифференциальных уравнений первого порядка с операторными коэффициентами, включающими краевые условия.

2. Разработаны дискретно-континуальные расчетные модели строительных конструкций на основе конечноэлементной аппроксимации операторных коэффициентов, включающих в себя краевые условия.

По сути, предложенные дискретно-континуальные модели рассмотренных объектов состоят в том, что по основному координатному направлению конструкции решается континуальная задача, тогда как по другим координатным направлениям (другому координатному направлению) производится сеточная (конечноэлементная) аппроксимация. Таким образом, рассматриваемая область разбивается на подобласти — дискретно-континуальные конечные элементы. Дискретная аппроксимация операторных коэффициентов основных уравнений осуществлена на основе соответствующих им функционалов с использованием техники метода конечных элементов. На данном этапе выполнено формирование нескольких нестандартных матриц жесткости, которые оказалось правильным строить на основе общематематических подходов. Сформулированные в результате дискретно-континуальные постановки проблем определения собственных значений и собственных функций краевых задач строительной механики представляют собой краевые задачи (в общем случае многоточечные, зависящие от некоторого параметра) для систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами.

3. Предложены корректные универсальные формулы построения точного аналитического решения краевых задач для разрешающих систем обыкновенных дифференциальных уравнений, учитывающие специфические математические особенности практических задач строительной механики.

Многоточечные краевые задачи для систем первого порядка с постоянными коэффициентами, к которым сводится на промежуточном этапе дискрет

Диссертация Козырева О.А. Заключение но-континуальный метод конечных элементов, имеют свои характерные специфические свойства, присущие практическим приложениям в строительной механике. Их полное или частичное игнорирование приводит к неработоспособности в общем случае многих традиционных численно-аналитических методов расчета строительных конструкций, зданий и сооружений. Особо подчеркнуто, что вычислительная специфика на этапе решения разрешающей системы обыкновенных дифференциальных уравнений определяется свойствами матрицы коэффициентов, а решение, его корректность и эффективность, прежде всего, зависит от спектра. В диссертации сформулированы «коварные» особенности спектра матрицы коэффициентов для большинства задач строительной механики (наличие в спектре собственных значений разных знаков, жордановых клеток неединичного порядка, жесткость системы, значительная размерность и т.д.). Автором описан корректный универсальный метод точного аналитического решения многоточечных (в частном случае двухточечных) краевых задач строительной механики для систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами, учитывающий все выявленные характерные специфические свойства. Словосочетание «точное аналитическое решение» в данном случае призвано подчеркнуть, тот факт, что решение ищется не в рядах, а в виде явной аналитической формулы, позволяющей определить искомые величины в любой точке области. Предложенный метод в полной мере адаптирован к компьютерной реализации.

4. Разработаны и реализованы на ЭВМ эффективные подходы к определению собственных значений и собственных функций краевых задач строительной механики на основе развития дискретно-континуального метода конечных элементов.

Важнейшим этапом разработанных подходов является специальный шаговый алгоритм, использующий формулы корректного определения.точного аналитического решения краевой задачи для разрешающей системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Предложено два варианта данного алгоритма. Первый, по сути, сводится к поиску параметров, обнуляющих значе

Диссертация Козырева О.А. Заключение ния определителя соответствующей матрицы и являющихся собственными значениями рассматриваемой задачи, с последующим определением собственных векторов. Однако при решении задач большой размерности порядок матрицы может быть значительным, а ее определитель величиной весьма небольшой, что в свою очередь, чревато трудностями при численной реализации. Кроме того, последние могут возникнуть и при наличии кратных собственных значений. В этой связи разработан свободный от указанных недостатков второй вариант алгоритма, предусматривающий поиск параметров, при которых соответствующая матрица имеет нулевые собственные значения. Оба варианта алгоритма реализованы на ЭВМ при создании авторского программного обеспечения.

5. На основе разработанных методов и программных комплексов решен ряд задач расчета строительных конструкций, в частности, определены собственные значения и собственные функции краевых задач расчета балок, балок-стенок, плит, рельса.

Сопоставления полученных результатов с результатами проводимых параллельно контрольных расчетов с привлечением верифицированных программных комплексов промышленного типа (ANSYS (версия 11.0), СТАДИО (версия 2009)), с решениями, найденными по другим аналитическим и численным методам, а также экспертные оценки точности решений специалистами в области напряженно-деформированного состояния позволяют сделать вывод о достаточной эффективности и надежности разработанных подходов к определению собственных значений и собственных функций краевых задач строительной механики на основе развития дискретно-континуального метода конечных элементов.

6. Полученные результаты позволяют получить устойчивые и универсальные методы определения собственных частот и форм колебаний строительных конструкций, которые могут использоваться при создании программных комплексов промышленного типа, расширить область применения дискретно-континуальных методов расчета строительных конструкций, зданий и сооружений.

1. Агапов В.П. Метод конечных элементов в статике, динамике и устойчивости пространственных тонкостенных подкреплённых конструкций. — М.: Изд. АСВ, 2000. - 152 с.

2. Акимов П.А. Дискретно-континуальные методы расчета сооружений. // «НТТ наука и техника транспорта», 2005, №1, с. 56-59.

3. Акимов П.А., Золотов А.Б. Численно-аналитические методы расчета строительных конструкций: перспективы развития и сопоставления. // САПР и графика, 2005, №1, с. 78-82.

4. Акимов П.А., Сидоров В.Н., Козырев О.А. Определение собственных значений и собственных функций краевых задач строительной механики на основе дискретно-континуального метода конечных элементов. // Вестник МГСУ, Москва, №3/2009, с.255-259.

5. Диссертация Козырева О.А. Литература

6. Александров A.B., Лащеников Б.Я., Шапошников H.H., Смирнов А.Ф. Методы расчета стержневых систем, пластин и оболочек с использованием ЭВМ. М.: Стройиздат, 1976. 248 с. (ч.1), 258 с. (ч. 2).

7. Александров А.В., Потапов В.Д. Сопротивление материалов. Основы теории упругости и пластичности. — М.: Высшая школа, 2002. — 400 с.

8. Александров А.В., Потапов В.Д., Косицын С.Б., Долотказин Д.Б. Строительная механика. М.: Высшая школа, 2007. — 511 с.

9. Андреев В.И. Некоторые задачи и методы механики неоднородных тел. М.: АСВ, 2002.-288 с.

10. Астраханцев Г.П. Итерационные методы решения вариационно-разностных схем: Автореф. дис. на соиск. учен. степ, д-ра физ.-мат. наук: 01.01.07. ЛГУ. Л., 1989.-20 с.

11. Бабаков И.М. Теория колебаний. М.:ГИТТЛ, 1958. - 628 с.

12. Баженов В.Г., Чекмарев Д.Т. Решение задач нестационарной динамики пластин и оболочек вариационно-разностным методом. Н. Новгород: Издательство ННГУ, 2000. - 107 с.

13. Бартеньев О.В. Современный Фортран. М.: Диалог-МИФИ, 1998.-397с.

14. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. М.: Стройиздат, 1982. — 446-с.

15. Бахвалов Н.С., Жидков Н:П., Кобельков Г.М. Численные методы. — М.: Бином. Лаборатория знаний, 2008. 640 с.

16. Бахвалов Н.С., Кузнецов Ю.А. (ред.). Вариационно-разностные методы в математической физике. Сб. науч. тр. АН СССР, Отд. вычисл. ма

17. Диссертация Козырева О.А. Литературатематики; Под ред. М.: Отд. вычисл. математики АН СССР, 1984. 242 с.

18. Безухов Н.И., Лужин О.В. Приложение методов теории упругости и пластичности к решению инженерных задач.-М.: Высшая школа, 1974— 200с.

19. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях и их применение в аэродинамике, теории упругости, электродинамике. М.: Наука, 1985. — 253 с.

20. Белый М.В. Численные методы статического и динамического расчета конструкций на основе многоуровневых подходов. Автореф. дис. на со-иск. учен. степ, д-ра техн. наук: 05.23.17. МГСУ. М., 1994. 34 с.

21. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных задачах. М.: Мир, 1984. 494 с.

22. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. М.: Физматлит, 1959. - 464 с. (т. 1); 1960. - 620 с. (т. 2):

23. Бёзухов Н.И., Лужин О.В., Колкунов Н.В; Устойчивость и динамика сооружений в примерах и задачах. Mi: Высшая школа, 1987. - 264с.

24. Бидерман В1Л. Теория механических колебаний. — М.: Высшая школа, 1980.-408 с.

25. Диссертация Козырева О.А. Литература

26. Бидерман B.JI. Применение метода прогонки для численного решения задач строительной механики. // Изв. АН СССР, МТТ, 1967, №2, с. 6266.

27. Бреббиа К., Уокер С. Применение метода граничных элементов в технике. М.: Мир, 1982. 248 с.

28. Брычков Ю.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования обобщенных функций. М.: Наука, 1977. - 288 с.

29. Ванюшенков М.Г., Синицын С.Б., Малыха Г.Г. Расчёт строительных конструкций на ЭВМ методом конечных элементов. М.: МИСИ, 1988. -115 с.

30. Вайнберг Д.В., Вайнберг Е.Д. Пластины, диски, балки-стенки. Киев: Госстройиздат, 1959. — 1049 с.

31. Варга Р. Функциональный анализ и теория аппроксимации в численном анализе. -М.: Мир, 1974. 126 с.

32. Варданян Г.С., Андреев В.И., Атаров Н.М., Горшков А.А. Сопротивление материалов с основами теории упругости и пластичности. — М.: АСВ, 1995.-572 с.

33. Васндзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. -М.: Мир, 1987.-542 с.

34. Верпань А.Ф., Снзиков B.C. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы. АН УССР, Ин-т пробл. моделирования в энергетике. Киев: Наук, думка, 1986.-544 с.

35. Верюжский Ю.В. Численные методы потенциала в некоторых задачах прикладной механики. Киев.: Вища школа, 1978. 183 с.

36. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. -М.: Наука, 1979.-320 с.

37. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1967.-436 с.

38. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложение в технике. М. -JL: Гостехиздат, 1949. - 784 с.

39. Диссертация Козырева О.А. Литература

40. Власов В.З. Строительная механика тонкостенных пространственных систем. М.: Госстройиздат, 1949. - 435 с.

41. Власов В.З., Леонтьев Н.Н. Балки, плиты и оболочки на упругом основании. -М.: Физматгиз, 1960. -491 с.

42. Габбасов Р.Ф. Численное решение задач строительной механики с разрывными параметрами. Автореф. дис. на соиск. учен. степ, д-ра тех. наук: 02.02.03 Моск. инж.-строит. ин-т им. В.В. Куйбышева М., 1989 47 с.

43. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. — М.: Мир, 1984.-428 с.

44. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967. — 576 с.

45. Гельфанд И.М., Локуциевский О.В. Метод «прогонки» для решения разностных уравнений. — В кн.: Годунов С.К., Рябенький B.C. Введение в теорию разностных схем. — М.: Физматгиз, 1962. 99 с.

46. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. Выпуск 1. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1959. 470 с.

47. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. М.: Наука, 1967.-376 с.

48. Годунов С.Г. О численном решении краевых задач для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. // Успехи математических наук, т. XVI, ГИФМЛ, М., 1961, вып. 3, с. 171-174.51*. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М.:Наука,1977-440с.

49. Голованов А.И., Бережной Д.В. Метод конечных элементов в механике деформируемых твердых тел. Казан, гос. ун-т Казань: ДАС, 2001. 300 с.

50. Голуб Дж., Ван Лоун.Ч. Матричные вычисления. М.: Мир, 1999.-548 с.

51. Горбачев К.П. Метод конечных элементов в расчетах прочности. — Л.: Судостроение, 1985. 154 с.

52. Диссертация Козырева О.А. Литература

53. Горбачев К.П., Попов А.Н., Восковщук Н.И., Уложенко А.Г. Вариационно-разностная версия метода конечных элементов. Владивосток: Изд-во Дальневост. ун-та, 1987 152 с.

54. Горбунов-Посадов М.И., Маликова Т.А., Соломин В.И. Расчет конструкций на упругом основании. М.: Стройиздат, 1984. - 679 с.

55. Городецкий А.С., Зоворицкий В.И., Лантух-Лященко А.И., Рассказов А.О. Метод конечных элементов в проектировании транспортных сооружений. М.: Транспорт, 1981 143 с.

56. Гюнтер Н.М. Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики. М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1953. 415 с.

57. Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения. -М.: Мир, 2001.-430 с.

58. Дукарт А.В., Олейник А.И. Динамический расчёт балок и рам. М.: Издательство АСВ, 2002 г. 144 с.

59. Егорычев О.О. Колебания плоских элементов конструкций. М: Изд-во АСВ, 2005. 240 с. ^

60. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике.-М.: Мир, 1975.— 511с.

61. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. — М.: Мир, 1986.-318 с.

62. Золотов А.Б. Постановка и алгоритмы численного решения краевых задач строительной механики методом стандартной области: Автореф. дис. на соиск. уч. степ. докт. техн. наук: 05.23.17. МГСУ. М.: 1989. 39 с.

63. Золотов А.Б., Акимов П.А. Дискретно-континуальный метод конечных элементов для определения напряженно-деформированного состояния трехмерных конструкций. // «НТТ — наука и техника транспорта», №3, 2003, с.72-85.

64. Диссертация Козырева О.А. Литература

65. Золотов А.Б., Акимов П.А. Некоторые аналитико-численные методы решения краевых задач строительной механики: Монография М.: Издательство АСВ, 2004. - 200 стр.

66. Золотов А.Б., Акимов П.А. Практические методы расчета строительных конструкций. Численно-аналитические методы: Монография М.: Издательство АСВ, 2006. - 208 с.

67. Золотов А.Б., Акимов П.А., Козырев О.А. Определение собственных значений и собственных функций второй краевой задачи для оператора Лапласа на основе дискретно-континуального подхода. // Вестник МГСУ, 2008, №1 (спецвыпуск), с. 578-585.

68. Золотов А.Б., Акимов П.А., Сидоров B.H., Козырев О.А. Приложение дискретно-континуального метода конечных элементов для определения

69. Золотов А.Б., Акимов П.А., Сидоров B.H., Козырев О.А. О применении дискретно-континуального метода конечных элементов для определения собственных значений и собственных функций краевой задачи

70. Золотов А.Б., Акимов П.А., Сидоров В.Н., Мозгалева МЛ. Математические методы в строительной механике (с основами теории обобщенных функций). М.: Издательство АСВ, 2008. - 336 с.

71. Золотов А.Б., Акимов П.А., Сидоров В.Н., Мозгалева M.JI. Численные и аналитические методы расчета строительных конструкций. М.: Издательство АСВ, 2009. - 336 с.

72. Золотов А.Б., Ларионов А.В., Мозгалева М.Л., Мсхалая Ж.И. Постановка и аппроксимация краевых задач методом расширенной области.1. М.: МИСИ, 1992. — 86 с.

73. Золотов А.Б., Лейтес Е.С. Об одном подходе к решению систем диффеf

74. Строительная механика и расчет сооружений». — 1976. — №3.

75. Диссертация Козырева О.А. Литература

76. Игнатьев В.А., Игнатьев А.В., Жиделев А.В. Смешанная форма МКЭ в задачах строительной механики. — Волгоград, ВолгГАСУ, 2006. 171 с.

77. Ильин В.П., Карпов В.В., Масленников A.M. Численные методы решения задач строительной механики. — Мн, Выш. шк.,1990 г. 349 с.

78. Кайтуков Т.Б. Методы дискретных граничных уравнений для решения задач расчета сооружений: Автореф. дис. на соиск. уч. степ. канд. техн. наук: 05.13.18. Моск. гос. строит, ун-т. М.: 2002. 20 с.

79. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. М.: Гостехтеориздат, 1962. - 708 с.

80. Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и программное обеспечение. М.: Мир, 1998 г. - 575 с.

81. Кеч В., Теодореску П. Введение в теорию обобщенных функций с приложениями в технике. М.: Мир, 1978. 518 с.

82. Киселёв В.А. Строительная механика: Специальный курс. Динамика и устойчивость сооружений. — М.: Стройиздат, 1980. — 616 с.

83. Клаф Р., Пензиен Дж. Динамика сооружений: Пер. с англ. М.: СТрой-издат, 1979 г. - 320 с.

84. Козырев О.А. Сравнительный анализ методик повышения точности при вычислении собственных частот и форм собственных колебаний строй

85. Диссертация Козырева О.Л. Литературательных конструкций. // Вопросы прикладной математики и вычислительной механики: Сб. научн. тр. №12. -М.: МГСУ, 2009, с. 208-212.

86. Диссертация Козырева О.А. Литература

87. Козырев О.А., Золотов А.Б., Акимов П.А., Мозгалёва М.Л., Кайту-ков Т.Б. Некоторые постановки одномерных краевых задач строительной механики. // Вопросы прикладной математики и вычислительной механики: Сб. научн. тр. №11. -М.: МГСУ, 2008, с. 245-259.

88. Козырев О.А., Золотов А.Б., Мозгалёва? M.JI. Вычисление собственных чисел и собственных функций многоточечных краевых задач с использованием обобщённых функций. // Вопросы прикладной математи

89. Диссертация Козырева OA. Литератураки и вычислительной механики: Сб. научн. тр. №10. М.: МГСУ, 2007, с. 218-222.

90. Коренев Б.Г. Метод компенсирующих нагрузок в приложении к задачам равновесия, колебаний и устойчивости плит и мембран. ПММ, 1940, т.4, №5-6.

91. Коренев Б.Г. Приложение функций Грина к расчету конструкций на упругом основании методом компенсирующих нагрузок. В кн.: Труды Днепропетровского инженерно-строительного института. Днепропетровск, 1936, №4.

92. Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р. Алгоритмы: построение и анализ. М.: МЦНМО, 2000. 960 с.

93. Корчинский И.Л., Бородин Л.А., Гроссман А.Б., Преображенский B.C., Ржевский В.А., Ципенюк И.Ф., Шепелев В.Ф. Сейсмостойкое строительство зданий. М.:Высшая школа, 1971, 320с.

94. Косицын С.Б. Неклассические криволинейные конечноэлементные модели в линейных и нелинейных задачах строительной механики. Авто-реф. дис. на соиск. учен. степ, д-ра техн. наук: 05.23.17. МИИТ. М., 1993.-48 с.

95. Крауч С., Старфнлд А. Методы граничных элементов в механике твердого тела. М.: Мир, 1987. 328 с.

96. Диссертация Козырева О А. Литература

97. Крылов А.Н. О расчете балок, лежащих на упругом основании. JL: Издательство АН СССР, 1931. - 154 с.

98. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов. М.: Наука, 1967. -500 с.

99. Кузнецов С.В. Метод граничных интегральных уравнений в механике анизотропных упругих тел. Автореф. дис. на соиск. учен. степ, д-ра физ.-мат. наук: 01.02.04 Институт проблем механики. М., 1992. 30 с.

100. Купрадзе В.Д., Гегелиа Т.Г., Башелейшвили М.О., Бурчуладзе Т.В. Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости. -М.: Наука, 1976.-664 с.

101. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики, т.1. М.: Гос. издательство технико-теоретической литературы, 1951. 476 с.

102. Курбацкий Е.Н. Метод решения задач строительной механики и теории упругости, основанный на свойствах изображений Фурье финитных функций. Автореф. дис. на соиск. уч. степ, д.т.н. 05.23.17. МИИТ. М., 1995.-38 с.

103. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1978. - 280 с.

104. Ланцош К. Практические методы прикладного анализа. — М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит-ры. 1961. 524 с.

105. Лебедев В.И. (ред.). Вариационно-разностные методы в математической физике: Материалы всесоюз. конф. окт. 1980 г.. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1981.- 156 с.

106. Леонтьев Н.Н., Соболев Д.Н., Амосов А.А. Основы строительной механики стержневых систем. — М.: Издательство АСВ, 1996. — 541 с.

107. Линьков A.M. Комплексный метод граничных интегральных уравнений теории упругости. СПб.: Наука, 1999. — 382 с.

108. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. -М.: Мир, 1971.-371 с.

109. Манжиров А.В., Полянин А.Д. Методы решения интегральных уравнений. М.: Факториал, 1999. 272 с.

110. Диссертация Козырева О.А. Литература

111. Микеладзе Ш.Е. Новые методы интегрирования дифференциальных уравнений. -М.: ГТТИ, 1951. -291 с.

112. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970.-512 с.

113. Михлин С.Г., Морозов Н.Ф., Паукшто М.В. Интегральные уравнения в теории упругости. СПб.: Изд-во Санкт-Петербург, гос. ун-та, 1994. -271 с.

114. Моисеенко Р.П. Оптимизация ребристых пластин при заданной первой частоте собственных колебаний : автореферат дис. . доктора технических наук : 05.23.17. Томск, Томский ГАСУ, 2008. 38 с

115. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. - 707 с.

116. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. - 872 с.

117. Норри Д., Де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. М.: Мир, 1981.-304 с.

118. Образцов И.Ф., Онанов Г.Г. Строительная механика скошенных тонкостенных систем. М.: Машиностроение, 1973. — 660 с.

119. Обэн Ж.-П. Приближенное решение эллиптических краевых задач. -М.: Мир, 1977.-383 с.

120. Оганесян Л.А., Руховец Л.А. Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений. Ереван: Изд-во АН Армянской ССР, 1979. -335 с.

121. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. М.: Мир, 1976.-464 с.

122. Пановко Я.Г. Основы прикладной теории колебания и удара. Л.: Машиностроение, 1976. - 320с.

123. Партон В.З., Перлин П.И1 Интегральные уравнения теории упругости. М.: Мир, 1983 -323 с.

124. Диссертация Козырева О.А. Литература

125. Пастушихин В.Н. Колебания пластинок и оболочек из нелинейных почти упругих материалов. Диссертация на соискание уч. степени доктора техн. наук. М., 1967. - 322 с.

126. Перельмутер А.В., Сливкер В.И. Расчетные модели сооружений и возможности их анализа. Киев: Сталь, 2002. — 445 с.

127. Перельмутер А.В., Сливкер В.И. Расчетные модели сооружений и возможности их анализа. — М.: ДМК Пресс, 2007. 600 с.

128. Петросян Л.Г. Спектральный метод граничных элементов. // Строительная механика и расчет сооружений. 1986, №4, с. 45-50.

129. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. -М.: Издательство МГУ, 1995. 366 с.

130. Полянин А.Д., Манжиров А.В. Справочник по интегральным уравнениям. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. 608 с.

131. Попов Г.Я. Концентрация упругих напряжений возле штампов, разрезов, тонких включений и подкреплений. М.: Наука, 1982. — 342 с.

132. Постнов В.А. (ред.). «Математическое моделирование в механике сплошных сред на основе методов граничных и конечных элементов». Труды XIX Международной конференции, т.1-3 СПб.: НИИХ СПбГУ, 2001.

133. Постнов В.А. (ред.). «Математическое моделирование в механике сплошных сред на основе методов граничных и конечных элементов». Труды XX Международной конференции, т. 1-3 СПб.: НИИХ СПбГУ, 2003.

134. Постнов В.А. Численные методы расчета судовых конструкций. — Л.: Судостроение, 1977. 280 с.

135. Постнов В.А., Хархурим И.Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций: Л.: Судостроение, 1974. — 342 с.

136. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979.-744 с.

137. Диссертация Козырева О.А. Литература

138. Репин С.И. Вариационно-разностные методы в математических задачах теории пластичности. Дис.д-ра физ.-мат. наук: 01.01.07. СПб., 1994 — 307 с.

139. Ржаницын А.Р. Строительная механика.- М.: Высшая школа, 1982 — 400с.

140. Розин JI.A. Задачи теории упругости и численные методы их решения. -СПб.: Издательство СПбГТУ, 1998. 532 с.

141. Розин JI.A. Метод конечных элементов в применении к упругим системам. -М.: Стройиздат, 1977. 129 с.

142. Рябенький B.C. Метод разностных потенциалов и его приложения. -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. 496 с.

143. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971.-552 с.

144. Самарский А.А., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. М.: Наука, 1976. - 352 с.

145. Саргсян А.Е., Демченко А.Т., Дворянчиков Н.В., Джинчвелашвили

146. Г.А. Строительная механика. Основы теории с примерами расчетов. -М.: Высшая школа, 2000. -415 с.

147. Сегерлинд JI. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979.-392 с.

148. Секулович М. Метод конечных элементов. М.: Стройиздат, 1993. 664 с.

149. Серебряный Р.В. Расчет тонких шарнирно-соединенных плит на упругом основании. — М.: Госстройиздат, 1962. — 64 с.

150. Сидоров В.Н. Лекции по сопротивлению материалов и теории упругости. М.: Редакционно-издательский центр Генерального штаба Вооруженных Сил Российской Федерации, 2002. — 352 с.

151. Сидоров В.Н. Векторный алгоритм численного решения краевых задач с использованием алгебры свёрток. // Вестник МГСУ, №3, 2006, с. 148 -157

152. Диссертация Козырева О.А. Литература

153. Сидоров В.Н., Золотов А.Б., Акимов П.А., Мозгалёва M.JI. Дискретно-континуальный метод конечных элементов для расчета строительных конструкций, зданий, сооружений. // Известия ВУЗов. Строительство, №10, 2004, с. 8-14.

154. Слесарев И.С., Сироткин A.M. Вариационно-разностные методы расчета ядерных реакторов. М.: Энергоиздат, 1981. — 113 с.

155. Сливкер В.И. Строительная механика. Вариационные основы. М.: Издательство Ассоциации строительных вузов, 2005. — 736 с.

156. Слободянский М.Г. Способ приближенного интегрирования уравнений с частными производными и его применение к задачам теории упругости. ПММ, 1939, т.З, вып. 1, с. 75-82.

157. Смелов В.В. (ред.) Вариационно-разностные методы в задачах численного анализа Сб. науч. тр. АН СССР, Сиб. отд-ние, ВЦ. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1988. 172 с.

158. Смирнов В.А., Иванов С.А., Тихонов М.А. Строительная механика. -М.: Стройиздат, 1984-208 с.

159. Снитко Н.К. Динамика сооружений. М. - Л.: Госстройиздат, 1960. -356с.

160. Соболев С.Л. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1992. -431 с.

161. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977.-349 с.

162. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М.: Мир, 1980.-512 с.

163. Теллес Д.К.Ф. Применение метода граничных элементов для решения неупругих задач. М.: Стройиздат, 1987 160 с.

164. Тимошенко С.П., Янг Д.Х., Уивер У. Колебания в инженерном деле. — М.: Машиностроение, 1985. 472 с.

165. Титчмарш Е. Теория функций. — М.: Наука, 1980. 464 с.

166. Диссертация Козырева О.А. Литература

167. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. -М: Наука, 1966. 724 стр.

168. Травуш В.И. Расчет строительных конструкций на деформируемом основании. Дис. . д-ра техн. наук: Москва, 1976.

169. Трушин С.И. Решение задач устойчивости гибких упруго-пластических оболочек с учетом деформаций поперечного сдвига. Дис. . д-ра техн. наук: 05.23.17. М., 1999.-277 с.

170. Трушин С.И. Метод конечных элементов. Теория и задачи. М.: Издательство АСВ, 2008. - 256 с.

171. Угодников А.Г., Хуторянский Н.М. Метод граничных элементов в механике деформируемого твердого тела. Казань: Издательство Казанского университета, 1986. -295 с.

172. Уилкинсон Дж.Х. Алгебраическая проблема собственных значений. — М.: Наука, 1970.-564 с.

173. Фадеев А.Б. Метод конечных элементов в геомеханике. М.: Недра, 1987.-221 с.

174. Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику. М.: Издательство Московского физико-технического института, 1994. - 528 с.

175. Фиалко С.Ю. Агрегатный многоуровневый метод решения конечно-элементных задач строительной механики. Автореф. дис. на соиск. уч. степ. докт. техн. наук: 05.23.17. Киевский национальный университет строительства и архитектуры, Киев, 2004. — 36 с.

176. Фиалко С.Ю. Прямые методы решения систем линейных уравнений в современных МКЭ-комплексах. М.: Издательство СКАД СОФТ, Издательство Ассоциации строительных вузов (АСВ), 2009. 160 с.

177. Филин А.П. Приближенные методы математического анализа, используемые в механике деформируемых тел. — Л.: Стройиздат, 1971.

178. Филиппов А.П. Колебания деформируемых систем. — М.: Машиностроение, 1970. — 736 стр.

179. Диссертация Козырева О.А. Литература

180. Филлипов И.Г., Чебан В.Г. Математическая теория колебания упругих и вязкоупругих пластин и стержней. Кишинёв: ШТИИНЦА, 1988. 190 с.

181. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970.-720 с.

182. Хемминг Р.В. Численные методы. М.: Наука, 1968. - 400 с.

183. Хечумов Р.А., Кепплер X., Прокопьев В.И. Применение метода конечных элементов к расчету конструкций. М.: АСВ, 1994. 351 с.

184. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир, 1989. - 655 с.

185. Цейтлин А.И. Некоторые методы расчета конструкций, лежащих на упругом основании. // Автореф. дис. на соиск. уч. степ. д.т.н. (022). М.: 1968.

186. Цейтлин А.И., Петросян Л.Г. Методы граничных элементов в строительной механике. Ереван: Луйс, 1987 г. - 199 с.

187. Цейтлин А.И., Петросян Л.Г. О некоторых обобщениях метода интегральных преобразований и их связи с методом граничных уравнений. // Строительная механика и расчет сооружений, 1984, №3.

188. Чигарев А.В., Кравчук А.С., Смалюк А.Ф. ANSYS для инженеров. -М.: Машиностроение, 2004. — 512 с.

189. Чувиковский B.C. Изгибно-крутильные колебания непризматических балок с учетом деформаций сдвига от перерезывающих сил и рассеивания энергии. // Изв. АН СССР, ОТН. «Механика и машиностроение», 1959, №3, с. 72-77.

190. Чувиковский B.C. Численные методы расчетов в строительной механике корабля. Л.: Судостроение, 1976. - 374 с.

191. Чувиковский B.C., Палий О.М., Спиро В.Е. Оболочки судовых конструкций. — Л.: Судостроение, 1966.

192. Шварц Л1 Математические методы для физических наук. М.: Мир, 1965.-412 с.

193. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс. М.: Наука, 1965.-327 с.

194. Диссертация Козырева О.А. Литература

195. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Эдиториал УРСС, 2000. - 320 с.

196. Bathe K.J. Finite Element Procedures. Prentice Hall, 1995, 1037 pages.

197. Chandler S., Donaldson B.K., Negm H.M. Improved extended field method numerical results. // J. of Sound S. Vibration. 1979, vol. 66, №1.

198. Cheung Y.K. Finite Strip Method of Analysis of Elastic Slabs. // Proc. Am. Soc. Civ. Eng., 94, EM6, 1968. p. 1365-1378.

199. Cheung Y.K. Folded plate structures by the Finite Strip Method. // Proc. Am. Soc. Civ. Eng., 95, ST, 1969. p. 2963-2979.

200. Cheung Y.K. The Finite Strip Method in the Analysis of Elastic Plates with Two Opposite Simply Supported Ends. //Proc. Inst. Civ. Eng., 40, 1968. p. 17.

201. Cook R.D., Malkus D.S., Plesha M.E. Concepts and Applications of Finite Element Analysis. John Wiley & Sons, 2001, 784 pages.

202. Crisfield M.A. Non-Linear Finite Element Analysis of Solids and Structures. John Wiley & Sons, 1996, 501 pages (Vol. 1); 508 pages (Vol. 2).

203. Fried I. Finite Element Analysis of Problems Formulated by an Integral Equations; Application to Potential Flow, Inst, fur Static und Dynamik, Luf-tund Raumfahrtsanstalt, Stuttgart, 1968.

204. Grafton P:E., Strome D.R. Analysis of Axi-Symmetric Shells by the Direct Stiffness Method. // JAIAA, 1, 1963. p.2342-2347.

205. Heinrich.B. The Fourier-finite-element method for elliptic problems in axi-symmetric domains. // Notes on Numerical Fluid Mechanics, vol. 51, pp. 59- 72, Vieweg Verlag 1995.

206. Диссертация Козырева О.Л. Литература

207. Heinrich В. The Fourier-finite-element method for Poisson's equation in axisymmentric domains with edges. // SIAM J. Num. Anal., vol. 33, pp. 1885-1911, 1996.

208. Heinrich В., Nicaise S., Weber B. Elliptic interface problems in axisymme-tric domains, Part II: The Fourier-fmite-element approximation of nonten-sorial singularities. // Adv. Math. Sci. Appl., vol 10, 2000, No. 2, pp. 571 -600.

209. Heinrich В., Weber В. Fourier-finite-element approximation of elliptic interface problems in axisymmetric domains // in Math. Meth. Appl. Sci., vol 19, 909-931, 1996.

210. Massonnet C.E. Numerical Use of Integral Procedures. // Ch. 10 in: Stress Analysis, Zienkiewics O.C., Hollister G.S., eds., Wiley, 1965.

211. Morley L.S.D. A Finite Element Application of Modified Rayleigh -Ritz Method. // Int. J. Num. Meth. In Eng., 2, 1970. p.85-98.

212. Nkemzi B. Numerische Analysis der Fourier-Finite-Elemente-Methode fur die Gleichungen der Elastizitatstheorie. PhD thesis, Tectum Verlag Marburg, 1997, 109 Seiten.

213. Nkemzi В., Heinrich B. Partial Fourier Approximation of the Ьатё Equations in Axisymmetric Domains. // Math. Meth. Appl. Sci., vol. 22, 1999, pp. 1017-1041.

214. Stricklin J.A., De Andrade J.C. Linear and Non Linear Analysis of Shells of Revolution with Asymmerical Stiffness Properties. // Proc. 2nd Conf. Matrix Methods Struct Mech., Air Force Inst. Of Techn., Wright Patterson A.F. Base, Ohio, 1968.

215. Tenek L.T. .and Argyris J. Finite Element Analysis for Composite Structures. Kluwer Academic Publ., Dordrecht, 1998, 352 pp.

216. Weber B. Die Fourier-Finite-Elemente-Methode fur elliptische Interface-probleme in axialsymmetrischen Gebieten, Dissertation, TU Chemnitz-Zwickau, Fakultat fur Mathematik, 1994.

217. Диссертация Козырева О.А. Литература

218. Wilson E.L. Structural Analysis of Axi-Symmetric Solids. 11 JAIAA, 3, 1965., p. 2269-2274.

219. Zienkiewicz O.C., Gerstner R.W. Stress Analysis and Special Problems of Prestressed Dams // Proc. Am. Soc. Civ. Eng., 87, POI, 1961. p. 7-43.

220. Zienkiewicz O.C., Gerstner R.W. The Method of Interface Stress Adjustment and Its Uses in Some Plane Elasticity Problems. // Int. J. Mech. Sci., 2, 1961, p. 267-276.

221. СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРСКОМ ПРОГРАММНОМ КОМПЛЕКСЕ, РЕАЛИЗУЮЩЕМ РАЗРАБОТАННЫЕ ПОДХОДЫ К ОПРЕДЕЛЕНИЮ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ И СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ КРАЕВЫХ

222. ЗАДАЧ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ НА ОСНОВЕ РАЗВИТИЯ ДИСКРЕТНО-КОНТИНУАЛЬНОГО МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

223. Комплекс DCFEMPC включает в себя следующие программы:

224. DCFEMB — программа для определения собственных значений и собственных функций краевых задач расчёта балочных конструкций с использованием аппарата обобщённых функций (см. Главу 3);

225. DCFEML — программа для определения собственных значений и собственных функций второй краевой задачи для оператора Лапласа на основе дискретно-континуального подхода (см. Главу 4);

226. DCFEMBS программа для определения собственных значений и собственных функций плоской задачи теории упругости на основе дискретно-континуального метода конечных элементов (см. Главу 5);

227. DCFEMP— программа для определения собственных значений и собственных функций краевой задачи расчёта тонких плит на основе дискретно-континуального метода конечных элементов (см. Главу в).

228. Использование каждого из перечисленных программных комплексов состоит из трёх этапов:

229. Этап 1: Задание исходных данных. При разработке программ большое внимание уделялось удобству ввода исходных данных. Ввод данных осуществ

230. При задании физических характеристик конструкции следует учитывать тот факт, что в программах в рамках одного конечного элемента характеристики считаются постоянными.

231. Этап 2: Решение задачи. Решение задачи производится на основе алгоритмов и формул, изложенных в главах 3-6 диссертации.

232. Диссертация Козырева О А. Приложение 1того» нуля (если не задействовать в программном комплексе соответствующиепроцедуры) практически невозможно.

233. В; процессе задания исходных данных следует соблюдать порядок ввода информации, описанный далее: общие сведения о решаемой задаче (MAIN.DAT); координаты узлов сетки разбиения конструкции (MESH.DAT);

234. Диссертация Козырева О.А. Приложение 1описание области задачи (DOMAIN.DAT); физические характеристики каждого КЭ (.ELEMENTS.DAT); граничные условия для данной 3zjwik{BOUNDS.DAT).

235. Координаты узлов сетки разбиения конструкции задаются в соответствии с принятой нумерацией.

236. Принимается что физические характеристики отдельного элемента постоянны по всему выбранному элементу.

237. Граничные условия задаются в соответствии с описанными в главах 3-6 диссертации алгоритмами.

238. На рис. П. 1.1 относительно приближенно показана условная схема работы программы DCFEMBS.1. ПОЛЬЗОВАТЕЛЬ

239. Рис. П. 1.1. Условная схема работы программы DCFEMBS.

240. СВЕДЕНИЯ О ПРОГРАММНЫХ КОМПЛЕКСАХ ПРОМЫШЛЕННОГО ТИПА, ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ДЛЯ СОПОСТАВЛЕНИЙ И КОНТРОЛЯ1. РЕЗУЛЬТАТОВ

241. Диссертация Козырева О.А. Приложение 2

242. Рис. П.2.1. Программный комплекс ANSYS (версия 11.0).6