автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Дискретные постановки и алгоритмы решения краевых задач строительной механики в производных областях на регулярных сетках

ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ЦЕНТРАЛЬНЫЙ НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ И ПРОЕКТНО-ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫИ ИНСТИТУТ КОМПЛЕКСНЫХ ПРОБЛЕМ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИИ И СООРУШШ им.В.А.КУЧЕРЕНКО (ЩШИСК им.Кучеренко)

На правах рукописи УДК 624.04:681.3(043.3)

СИДОРОВ Владимир Николаевич

ДИСКРЕТНЫЕ ПОСТАНОВКИ И АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ В ПРОИЗВОЛЬНЫХ ОБЛАСТЯХ НА РЕГУЛЯРНЫХ СЕТКАХ

05.23.17 - Строительная механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Москва 1892

Рабата выполнена в Ордена Трудового Краевого Знамени Центрально» научна -исследовательском и проекгао-эксгоримевтальнсш институте комплексных проблем строительных конструкций им.В.А.Кучеренко.

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ.:

профэссор, доктор технических наук Г.И.ШЕНИЧНОВ

прсфессор, доктор технических наук Н.Н.ШАПОШНИКОВ

профессор, доктор технических наук В.А.СМИРНОВ

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ: М Н И И 1 Э П

Защита состоится

в " " часов на заседании сшвдализированного совета Д.033.04.02 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора технически наук при Ордена Трудового Красного Знамени Дяпрзльаои научно-исследовательском и проектно-зкетринентальнш институте комплексных пробей строительных конструкций им.В.А.Кучеренко по специальности 05.23.17 - Строительная механика, по адресу 109428, г.Москва, 2-я Институтская ул., д.6, конференц-зал.

С дассертациэа можно ознакомиться в библиотеке института.

Автореферат разослан " -22." ^ихл 1092г.

Ученый секретарь специализированного совета.

д.т.н.

■ В диссертации разработаны и развиваются катода расчета строительных конструкция на ЭВМ на основе дискретных постановок краевых задач строительной кеханики, в том числе в вдцэ граничных уравнений, и эффективных алгоритмов, к которым приводят эти постановки.

Актуальность теш. Разработка и развитою методов расчета конструктив и сооружений - одно из важных научных направлений, обеспечивающих повышение надежности и долговечности здания, улучшен® параметров конструкция и материалов зданий, влияющих на здоровье людей, экономию при финансировании строительных работ, минимальные затраты энергии при эксплуатации зданий и сооружений.

Расчетнные схемы многих ввдов строительных конструкций, а также элементов сложных конструкций и сооружений прэдставлякггся краввика задачами строительной механики. Учет в расчетах конструкция новых технических теорий, конструктивных решения,, свойств материалов, совершенствование математических моделей" определяют актуальность задачи по разработке и развито методов решения краевых задач строительной механики.

В расчетах строительных конструкций и сооружений широко используется вычислительная техника. Разработка новых эффективных алгоритмов численного расчета конструкций с одной стороны в значительной стегонк коишнсирует недостаток мощности современных ЭВМ при проведении, например традиционных динамических, вероятностных расчетов реальных конструкций, их оптимизации, расчетов сложных объемных конструкций. Это тем более важно в связи с массовой тенденцией использования в расчетах персональных компьютеров, удобных, но имеющих невысокие технические параметры. С другой стороны важно упрощений алгоритмов расчета конструкций, что снижает трудоемкость и сокращает общие сроки при разработке программ. Это существено в условиях регулярной смены покалэнкй и типов ЭВМ и с появлением новых языков программирования. Во многом на эффективность и простоту алгоритмов влияет вид постановок краевых задач.

Цэлыо диссертации является разработка общей методики численного расчета строительных конструкция на основе высокопроизводительных и простых алгоритмов, а также вариантов постановок краевых задач строительной механики, повышающих эффективность расчета конструкций на ЭВМ.

Практическая цэнность диссертации заключается в использовании результатов работ в вычислительных, комплексах расчета, проектирования конструкций и сооружений, числвнньп исследования новых видов строительных конструкций, технических теорий, строительных материалов.

Научная новизна заключается в:

- разработке дискретных постановок краевых задач строительной механики на расширенной области в терминах алгебры типа свертки, приводящих к векторным алгоритмам расчета конструкций;

- построении дискретных, в том числе самосопряженных граничных уравнений для задачи теории упругости и задачи для уравнения Пуассона на регулярных сетках из дискретных вариационной или операторной постановок краевых задач, а так»® на основе дискретных операторных представлений формул Грина-Бетти с использованием обобщенных функций;

- разработка Бветорных алгоритмов расчета конструкций, в том числе методом граничных уравневйй;

- сведении решения дискретного граничного уравнения к решению системы уравнений относительно граничных точек с разреженной, симметричной, имеющей диагональное преобладание матрицей коэффициентов;

- в численном исследовании строительных конструкций с учетом реальных конструктивных особенностей и поведения материалов с использованием разработанных в диссертации алгоритмов и программ.

Внедрение работы заключается в использовании разработанных алгоритмов и программ для расчета конструкций в организациях: ВДИИСК, МНИИТЭП, МИСИ (ВЦ, лаборатория исследования напряжений, лаборатория инженерного мерлзлотоведения), 1ЩШСМ (г.Хотьково), ГОЭФ,

Атомзнергопроекте, ВгИСИ, а также в других организациях, для которых производились расчеты.

На защиту выносятся:

- общая методика численного расчета .-строительных конструкций на основе дискретных постановок краевых задач строительной механики в том числа граничными уравнениями, а также векторных и локальных алгоритмов их решения;

дискретные постановки основных краевых задач строительной механики на расширенной области в терминах алгебры типа свертки, приводящие к векторным алгоритмам решения;

- дискретные граничные уравнения на примере задач теории упругости и уравнения Пуассона, в том числе самосопряженные;

- дискретные операторные выражения формул Грина-Бетти и полученные на их основе дискретные граничные уравнения в общэм виде и для задач теории упругости я уравнения Пуассона;

- векторный алгоритм численного расчета конструкций на основе быстрых векторных, операций свертки;

- базовые алгоритмы по диагональной матричной алгебры, оптимальные для краевых задач строительной механики;

- алгоритм расчета строительных конструкций на основе метода локальных' базисных вариаций;

- векторный алгоритм формирования и решения дискретных граничных уравнении строительной механики;

- алгоритм сведения решения дискретных граничных уравнений к решению систем линейных алгебраических уравнений относительно граничных точек с разреженной, симметричной матрицей коэффициентов при неизвестных, имеющей блочно-ленточнуга структуру и диагональное преобладания.

- программно-информационная система, выполняющая быстрые подиагональные операции над матрицами блочно-диагональной структуры, характерной дом задач строительной механики; программный комплекс численного решения краевых задач расчета строительных конструкций па векторным алгоритмам;

Апробация работа состоялась на следующих конгрессах, конференциях и семинарах:

- ^т и хи Международные конгрессы по применению математики в инженерных науках (Веймар) 1978,1990гг.

- Международный конгресс по применению оболочек в инженерных сооружениях. ПАСС'85 (Москва) 1985г.

- х Всемщзный. конгресс Международного совета по строительству (Вашингтон) 1986г.

- Республиканская научно-техническая конференция "Эффективные численные метода решения краевых задач механики деформируемого твердого тела" (Харьков) 1989г.

- Межреспубликанская научно-техническая конференция "Численные метода решения задач строительной механики, теории упругости и пластичности" (Волгоград) 1990г.

- х научный и Всесоюзны^ научный семинары "Метода потенциала и конечных элементов в автоматизированных исследованиях инженерных конструкций" (Ленинград) 1969,1991гг.

- Всесоюзный научный семинар "Актуальные проблемы неоднородной механики** (Ереван) 1991г.

Достоверность результатов основана на:

сравнении. результатов численного расчета с результатами экспериментов и частных случзев расчета - с результатами аналитических решений;

- сопоставлении полученных новых дискретных постановок и формул с традиционными;

- практической направленности проведенных расчетов -тщательном анализе результатов заказчиками;

Личный вклад состоит в непосредственном построении описанных дискретных постановок краевых задач и дискретных граничных уравнений строительной механики, разработке приведенных в диссертации алгоритмов и программ.

Публикации. По материалам диссертации автором опубликовано 28 печатных работ, из них 19 - в соавторстве. Среди соавторов - профессор А.Б.Золотов, чьим учеником является автор диссертации, коллеги - специалисты в смешных научных направлениях и заказчики, формулирующие инженерную постановку решенных задач, и анализирующие результаты расчетов.

Объем и структура. Диссертация состоит из введения, 9 глав, заключения, списка литературы из 240 наименований. 269 страниц основного текста и 88 страниц приложений включают 106 рисунков.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе приводится обзор числэнных методов расчета строительных конструкций на основе известных публикаций в аспекте общей методики численного решения краевых задач, разрабатываемой в диссертации.

В диссертации рассмотрены три основных вида математических выражений, используемых при формулировке краевых задач строительной механики: дифференциальные уравнения в частных производных, определенные во всех точках области, занимаемой исследуемой конструкцией, вместе с условиями на границе, соответствующие этим уравнениям функционалы (вариационная постановка) и граничные уравнения, действующие на границе области. Формулировка в ввде дифференциальных уравнений наиболее градационна, но сложнее в реализации, в основном, в связи с дополнительным учетом естественных граничных условий.

В вариационной формулировке в вида функционала (при расчете конструкции методом перемещений - функционала работ), в два раза понижается высший порядок производных, входящих в подынтегральное выражение, естественные граничные условия учитываются автоматически, структура системы дискретных линейных уравнений, к решению которой сводится решение задачи, остается симметричной. Особенности вариационных формулировок краевых задач строительной механики описаны в работах С.Г.Михлина, Л.А.Розина, Л.С.Полака, Н.П.Абовского и ДР-

Прямая и непрямая формулировки граничных интегральных уравнений получаются либо на основе тождества Сомильяны применением к формулировка* задачи на полной области формул Грина, либо рассмотрением выражений для функции Грина на расширенной области (включающей область, занимаемую конструкцией) и фундаментальной функции. Размерность задач, формулируемых граничными интегральными уравнениями, ниже на единицу, количество неизвестных в дискретных уравнениях значительно меньше, но матрица коэффициентов при неизвестных в разрешающей системе уравнений , как правило, несимметрична и полностью заполена. Другие сложности при решении

сингулярность интегралов в исходных выражениях, получение фундаментальных решений. Использование фундаментального решения в постановке задачи определяет сложности решения уравнений с переменными коэффициентами. Формулировки краевых задач в виде граничных интегральных уравнений исследовались С.Г.Михлшьш, П.И.Иерлиным, А.И.Цейтлиным, Ю.Д.Кошйкиным, А.Кальдероном, Р.Сши, Б. С. Рябеньким, Н.М.Хуторянским, М.И.Лазаревым и др.

Использование при формулировке краевых задач аппарата обобщенных функций, понятие обобщенного решения сняли существенные юраничевия на выбор вида входящих в исходное выражение функция. Однако, включение в формулировку задачи дельта-функциа и их производных в точке, на линии или поверхности, имеюадн в строительной механике физический смысл сосредоточенных и импульсивных воздействий, применялось при расчете конструкций задолго до основопологаюцих результатов С.Л.Соболева, Л.Шварца, Ж.-Л.Лионса, И.М.Гельфанда и Г.Е.Шилова по создании теории обобщенных функция, в частности, в системе "функциональных прерывателей" Н.М.Герсеванова. Использование обобщенных решений, например, в работах В.И.Травуша, А.И.Цейтлина, Л.Г.Пзтросяна, сыграло значительную роль в развитии метода граничных интегральных уравнений. Свойства дельта-функции и ее производных использованы и в понятии п - кратного слоя, тракгуювдэм переход от ураввений, действующих на области, занимаемой конструкцией, к уравнениям на ее граница А.Б.Золотов применил обобщенные функции при формулировке и решении задач строительной механики на расширенной области, включающей область, занимаемую конструкцией. Задачи расчета конструкций формулировались и решались на расширенной области Б.Г.Кореневым, О.В.Луниным, Э.С.Бевцэлем, исследовались Л.А.Розиным, Г.И.Иарчуком. А.Б.Золотов и В.А.Харигонов строили решение краевых задач в расширенной области на множестве функций, своими значениями и значениями производных имеющих разрыв на граница исследуемой области.

Естественным обобщением .дифференциальных и интегральных уравнений являются псевдоди^ференциальные уравнения, состоящие во многих случаях из операций свертки. Постановки

краевых задач с применением алгебры типа свертки подробно, рассматривались М.И.Вишиком и Г.И.Эскиным. Такие постановки применительно к задачам строительной механики удобны и при дискретизации и приводят к быстрым векторным алгоритмам численного расчета конструкций.

Развитию численных методов строительной механики в значительной степени способствовали работы А.Ф.Смирнова,

A.П. Филина, А.В.Александрова, Б.Я.Лащэникова и др. по внедрении матричных методов представления и решения краевых задач. Эффективные матричные представления краевых задач расчета пластин получены в работах В.А.Смирнова.

Метод конечных разностей - один из первых активно разрабатываемых методов решения краевых задач на ЭВМ. Разработка метода и исследование его сходимости осуществлялись A.A.Самарским и его школой, С.К.Годуновым,

B.С.Рябеньким, В.Вазовом, Д».Форсайтом и др. В.С.Рябенький в предложенном им методе разностных потенциалов построил математический аппарат разностной аппроксимации и решения континуальных граничных уравнений, а А.А.Резник впервые применил его к решению краевой задачи теории упругости. Существенны в этом направлении результаты М.И.Лазарева. С позиции строительной механики варианты метода конечных разностей разрабатывались .С.П. Тимошенко и А.Р.Ржаницыным.

Основоположниками метода конечных элементов считаются

A.Хренникофф и Р.Курант. К настоящему вревени метод достаточно изучен и стал основным методом расчета строительных конструкций. В разработке и исслздованин МКЭ наиболее значимы результаты О.Зенкевича, Дв.Аргириса, К.Ю.Бате, Э.Вилсона, Л.А.Розина, А.П.Филина, В.А.Постнова,

B.Г.Корнеева, H.H.Шапошникова, А.С.Городецкого, А.С.Сахарова. Метод граничных элементов получил в последние года

широкое распространена во многом из-за того, что устраняет некоторые принципиальные неудобства использования МКЭ. МГЭ позволяет получить достоверную информацию о напряженном состоянии на поверхностях сплошных строительных конструкций. Расчет конструкций сводится к решению систем линейных уравнений значительно меньших порядков. Метод более эффективен при рассмотрении расчетных схем бесконечных и

полубесконечных сред, а также во многих случаях расчета сплошных конструкций замкнутого очертания. Недостаток традиционных алгоритмов МГЭ в том, что они приводят к решению систем линейных уравнений с заполненной и несимметричной матрицей коэффициентов при неизвестных. МГЭ стал развитием теории потенциала на основе современных методов аппроксимации, получивших совершенствование, главным образом, в рамках МХЭ. Впервые название метода появилось в 1977 году в работах П.Бенердаи и Р.Батерфидда, К.А.Бреббиа и Дк.Доминхоса. В развитие метода внесли большой вклад работы Ю.В.Вершского, Н.М.Хуторянского, А.И.Цейтлина, П.И.Перлина В.М.Лйховцэва, В.П.Клепикова а также С.Н.Атлури, Д.К.Ф.Теллеса и др.

Метод декомпозиции, разработанный Г.И.Пшеничновым, позволяет упрощать решение краевых задач, сводя его к решению нескольких простых вспомогательных задач.

Использование векторных алгоритмов - один из наиболее эффективных современных путей повышения производительное™ вычислительных программ решения прикладных задач. Процесс численного решения задачи по векторному алгоритму представляется последовательностью поэлементных операций над массивами чисел (векторами) только одинаковой дайны. Эти операции выполняются синхронно современными ЭВМ, оборудованными параллельными, векторными или матричными процессорами. В.В.Воеводиным, Дж-Ортегой и др. предложены эффективные векторные алгоритмы решения больших систем линаных уравнений. П.А.Бьорстад применил их при решении систем уравнений в программном комплексе расчета сложных строительных конструкций. В диссертации предложены векторные алгоригмы формирования разрешающих систем уравнений при численном расчете строительных конструкций, основанные на дискретных формулировках краевых задач строительной механики в терминах алгебры типа свертки на расширенной области, оптимальные по числу затрачиваемых арифметических операций и объему требуемой машинной памяти.

Во второй главе, превдэ всего в шлях необходимой полноты изложения разработанной в диссертации методики • расчета конструкций, предлагаемых дискретных постановок краевых задач и алгоритмов их решения изложен ряд основных, используемых в работе предпосылок.

Приводятся используемые при формулировке краевых задач обобщенные функции. Это характеристическая функция области о, занимаемой конструкцией: г 1, - х е л,

ес-х> = .)

(.0. - х в П, .. N - размерность о.

или, если рСх> = о - пронормированное уравнение границы области о (или р<*> = о - уравнение 5 - го участка гранили, з - 1.....к):

- рсх> > о, или x срхх> > 03 -

вСх)

J*«

р<Тх:> < 0, ИЛИ - „ - = /alse.

Дельта-функция, сосредоточенная на поверхности, описываемой уравнением рсх? = о, в частности - на поверхности конструкции - границе области о, Г =

f &Cp>VCx}dx = SvCxïdX, = ô<p>-1£- = 6CpicosCu,x J>,

R„ Г j j J

где - произвольная функция пространства r . и -

внутренняя нормаль к граню© Г. Функция лсР> и ее производные бк<Р> моделирует, например, воздействия, действующие на поверхности конструкции.

х.,- -, àôCpJ àCÔCp» ,., .

6 Сх> = »и • -вX --А'С/Ои^. где = cosCv.x J.

1

Характеристическая функция (индикатор) оператора х

характеристическая функция области, в которой действует этот

оператор, или минимального множества точек, в которых

справедливо равенство хх-р =

г 1, если лгв. * о. г 1, i=j.

хси = \ 1 где » - оргг, а » ср = ■{

I. о. если = о. 1 1 t о.

- его j-тая компонента; t=ct i. ¿г.....см->, j'=<JX• /2» ■ • •'../„•>■

Используется характеристическая функция оператора *, которая в единых дифференциальных выражениях, формулирующих задачи

расчета конструкций, при переходе к их дискретным аналогам выделяет области дейстия разных граничных условий.

Особенности разработанных в диссертации алгоритмов формирования систем линейных уравнений, к решению которых сводится расчет конструкций, определяются учетом ряда свойств операторов и функционалов, в частности взаимно-однозначного соответствия между билинейным функционалом и некоторым линейным оператором. Билинейный функционал по теореме Рисса может быть получен из соответствующего ему оператора:

ВСи.гО = = <Ги,:е*гО,

а в конечномерном, дискретном пространстве они взаимно-однозначно определяются матрицей. Элементы такой матрицы (матрицы жесткости конструкции, если в, например, -функционал работ внутренних сил, а £ - оператор уравнений равновесия) могут быть вычислены по формулам

а = ВС& ,©.;>, ИЛИ а. = ■

I 1.1 J '

Очевидно, в соответствии с этими формулами в численном расчете конструкций можно использовать, пожалуй, самые простые координатные функции - единичные.

Предлагаемые в работе дискретные постановки краевых задач формируются с использованием разработанного А.Б.Болотовым варианта метода расширенной (стандартной) области. Метод позволяет сформулировать краевую задачу всегда одним математическим выражением, справедливым не только в области, занимаемой исследуемой конструкцией, но и в любой, включающей ее области. Область, занимаемая конструкцией, может иметь любые сложные очертания, однако это не влияет на вид формулирующего задачу выражения. Например, формулировке задачи теории упругости со смешанными граничными условиями:

1

-г— с/ = Г, хеО,

ах V ^ I V} I J

хеГ. ' = ГиГ = «).

2 . I V 1 ¡2

^

дм ди.

ТЕГ

1=1

соответствует единое уравнение с самосопряженным оператором:

¿4 - СЕ-мУ6<- 1*СЕ-*56<р>и = У, (I)

I о ,

где

ы я ы м »

С1иЭ = 9Г -5— с + &Ср>Ч\г> <Г . = Г -4—в С .

0=« J )=» 1

" т 14

&ср>с(хо ^ е -3—0 . = ¿срр - оператор естественных

4 14 -1 14 граничных условий,

I - оператор, сопряженный с,

эг = вг. + нб<р>/. - г*с£-н>хр)в^, а * - характеристическая функция оператора граничных условий первого рода.

Т-е"• ' - если * « г

г

если ж е г

2

Вторая краевая задача фомулируется единым выражением:

= у. где у, = г + i=l.....N. (2)

Последней формулировке соответствует функционал энергии:

N

ф(и) = -Г. . . .Г <" — в С V Го в > - Г ^ > . . . йх .

О V =А Ъ=4

где « - расширенная (стандартная) область о е ш, как правило, простейшая по очертаниям для выбираемой системы координат.

В общем случае постановка (I) несмотря на самосопряженность оператора не является положительно опрз деленной, поэтому на дискретном уровне удобнее использовать следующую постановку:

СЕ-хЭ\л = сг-»0с£-!0£ + нР, (3)

11351 гг. + вбСр>СЕ-хээи = вбсР>сЕ-к>е -1- (4)

где в&срЖЕ-хэ - штрафная функция.

В третьей главе рассматриваются формулировки краевых задач строительной механики в терминах алгебры типа свертки и вопросы их численной реализации. Численное решение уравнений, записанных в свертках, естественным образом сводится к последовательности операций над массивами чисел одинаковой дайны и приводит к применению быстрых векторных алгоритмов при решении краевых задач. Например, дифференциальное уравнение вида

1-й = г г -4—Со. Л—иУ * Г С1 + с Ли + с и = у

и " <»х рч дх ' Р Эх Р о '

р Ч р <3 Р р Р

можно записать как уравнение в свертках:

о. 6•« рч я

г/ + Г CÍ " р р *

+ 6'

с Эи + С &* V ~ /. р о

г.« = Е I •

Р ч

где <5 и <5^- дельта-функция и ее производная по направлению р. Так, развернутая формулировка краевой задачи теории упругости на расширенной области

в -

ах

и ■* (

а у 9

вх 9х

а - á .

записьюается в свертках:

N

гб:« и 6' * и ,+• es* * х б' * + ' £» 1 ' 1 1 J J

м -5;

*}v. = í"., j i

(5)

где

¿ = e», к = в\, i = I,2,...,N.

Дискретные операции свертки, в частности, с простыми дискретными аналогами дельта-функции и ее производных:

<5 •>• С...О 0 10 0 O..J>, 64 С...о 0-1 1 о O...J>.

i-2i о о...;> сводятся к операциями над матрицами характерной для задач строительной механики блочно-диагональшй структуры в одномерном случае - тешшцевыми, в «-мерном - "блочно-тешшцевыми" (см. рис.1>, а также блочными векторами. Для матриц блочно-даагона-льной структуры оптимальной по количеству затрачиваемых арифметических действий и требуемой памяти ЭВМ является не традиционная матричная алгебра ("по строкам и столбцам"), а подиагональная. Поскольку размеры Nm. квадратных блоков всех участвующих в задаче матриц постоянны cNm. ^П,*^. где размер дискретной регулярной сетки по направлению 3J, подиагональвые операции с такими матрицами (часто с одинаковыми элементами в каждой диагонали) могут выполняться синхронно, в рамках векторных алгоритмов. Для обеспечения подаагональных ошраций над матрицами блочно-диагональной структуры и блочными векторами автором разработана программно-информационная система holn. Система включает базу данных плотного хранения матриц и векторов, программные

рис. I

модули информационно-поисковых и сервисных операций и реализует основные матричные операции. Разработаны и реализованы в системе моьы алгоритмы двух базовых операций, лежащих в основе подиагональной матричной алгебры - умножение диагонали блока матрицу на диагональ блока другой матрицу и умножение диагонали блока матрицы на блок вектора. Почти все остальные выполняемые системой операции не содержат вычислений, а заключаются в обмене паспортными данными в рамках информационной службы о матрицах и векторах.

В четвертой главе изложена методика формирования дискретного аналога единого математического выражения, формулирующего краевую задачу в терминах свергочной алгебры на расширенной области.

На расширенную (стандартную) область включающую

произвольную, занимаемую исследуемой конструкцией область о (рис. 2), наносится регулярная дискретная сетка с

рассматривается в новой приведенной системе координат 1 =

с11Л2.....повторяющей направления координат основной

системы, но действующей локально в прэделах каждого элемента сетки. Ячейка новой приведенной сетки с единичными ортогональными сторонами делится на выбираемое количество долей, имеющих мультииндексы t, в общем случае разное в каждом направлении. Замена независимых переменных внутри элементов производится с помощью линейной функции формы

N

х1 = п сб* + I &• са (в)

э р = 1 ррв

Значения характеристической функции области в, определяющей

очертания конструкции, как и значения других известных, входящих в формулировку задачи функций, в общэм случае задастся в долях ячеек сетки. После замены переменных

операции дифференцирования В = .....Ъы>, входящие в

дискретный оператор краевой задачи Ъш<е а/эх^, представляются формулой: к

Ъ = ао, где о = с» о = * П сб* + е 6' *>,

' ^ 12 N • « р=1 р р

рХт

где а - матрица Якоби, <* = г?74 ^ = ^"р- Дискретный оператор

краевой задачи включает • только векторные операции и

формируется численным интегрированием по долям ячейки сетки.

В кем участвуют простейшие сеточные векторные операции:

разностей *, '*' * , с^., тождественный в в

е - 6Ь*, сдвига са= е. с;- е, осреднения та=са» е,

т~= е, численного интегрирования 1в= х^* = сб'ь *Г4.

= -I*, где 1 - х^со - дискретная функция Хевисаяда. Этим операциям свертки с простейшими сеточными функциями соответствуют теплицевы матрицы, в которых одна или несколько диагоналей состоят из единиц <или минус единиц), а остальные - нулевые. Например, оператор единого дискретного уравнения, формулирующего смешанную краевую осесимметричную задачу теории упругости в циллиндрических координатах, имеет ввд:

N1 N1

12 »

г. = Г Г Ее вГУо Ы М (7)

р р г г

I =1 г =1 р=г,г 1 я г

где О = Хе + ДЛЯ р=г.г,*>; с = ^е ОПврЭТОрЫ

р о р т т га л *

напряжений; х = хсх^,*^ и ^ = рСх^.х^ - коэффициенты Ламе;

х = <хг, х^> - КООрДИНаТЫ; = 2 £р ДЛЯ р - г. г:

сга= + \ЕГ: с0 = ег * * ~ операторы деформаций;

г:р <гр = г.2~> - операторы кинематических граничных условий:

Е = 1я , 03 ; Е = СО7 ; * = * 6 *, * = * <5* * = <"**->

г ц г V и и Ь V V Ь и V

характеристическая функция оператора кинематических краевых условий; Ъ = £ с. с ; а = гГ1- матрица Якоби, = -

якобиан; о * р . о =<5> » Р - восполненные по ячейке

* г Ь * в Ь г

сетки даскретные операторы производных э/гы , ау&х^; р = м > - оператор восполнения в направлении q;

4 1 1

_±_ = р р — , Я = р р х . К г г X г

г

Искомая функция и<т£.о имеет дискретные значения и<г о в узлах сетки и восполнена по локальным координатам по формуле, аналогичной (6). Эта функция восполнения еоответстует, но проще, например, линейной функции формы в методе конечных элементов.

В пятой главе изложен векторный алгоритм формирования систем линейных алгебраических уравнений, к разовому или многократному решению которых сводится численный расчет строительных конструкций, а также вопросы численной реализации алгоритма. Алгоритм состоит из последовательности элементарных операций над векторами-массивами чисел одинаковой джины. Значительная доля этих операций не зависит от вида основного дифференциального или интегро-дафференциального выражения, формулирующего краевую задачу, от вида краевых условий, геометрических и физических характеристик расчитываемого объекта. Основное действие алгоритма формирования дискретного оператора в уравнении ¿и = я* (или матрицы коэффициентов при неизвестных в соответствующей системе алгебраических уравнений) заключается в численном вычислении в приведенных локальных координатах ? определенного интеграла вида ь = п... т ¡е ль ¿7. ... аП ,

12 N

а

где а - приведенный элемент дискретной сетки. Участвуксд® в формировании £ даскретные операторы и функции представляются матрицами блочно-диагональной структуры, как правило, с небольшим количеством диагоналей. Формирование единого дискретного уравнения, формулирующего, например, двумерную задачу теории упругости для случая плоского деформированного состояния, заключается в последовательном выполнении векторных подиагояальных операций над такими матрицами:

£ Е

Ы I г

Л* *

0 р

1 2

г 2 б*

&* X <5*

<5*

6*

J в

х+г* а

X

6«

6*

6*

6«

<5«

В (3 3*3

г.

и

а

а

11

Здесь:

<5 » л

<5 * 2

матрица восполненных операция производных,

б*

б »

Г> $ о

рд рч

_ матрица восполнения, п

тождественная матрица,

« = г<

3-0о- ^

вектор

координат узлов регулярной дискретной сетки в направлении р;

По разработанному алгоритму создан универсальный программный комплекс япуен , предназначенный для решения краевых задач расчета строительных конструкций. В качестве базовой комплекс использует систему мся-ы и ее базу данных. В нем реализованы только векторные операции.

В шестой главе описывается наиболее удобный в программной реализации и в использовании составленных программ подход к численному решению краевых задач

о

п

п

п

2

+ £

строигельной механики, основаный на методе локальных базисных вариаций. Здесь предложен, пожалуй, самый простой принцип формирования разрешающих систем уравнений, к решению которых сводится расчет конструкций. Метод можно рассматривать как вариант метода конечных элементов. Его алгоритм при соблюдении изложенных правил аппроксимации по результату полностью соответствует алгоритму формирования разрешающей системы уравнений в рамках МКЭ для конечных элементов с линейной функцией формы.

Операторные уравнения и функционалы, формулирующие задачи расчета конструкций, записываются на дискретной расширенной области единым выражением, включающим естественные и главные граничны© условия. Алгоритмическая запись для вычисления, например, левой части такого выражения ьч = г , в виде формулы а = ¿V с формальным участием функции и и подстановка при вычислении а вместо -и единичной функции определяет алгоритм вычисления произвольного коэффициента системы уравнений по формулам а = С£.» ^ или а = ВСе.еЗ , в ЗЭВИСИМОСТИ ОТ ТОГО,

Ч 1 ь V] I 1

сформулирована задача дифференциальным операторным уравнением или функционалом. Элементы матрицы коэффициентов уравнений, соответствующей квадратичному функционалу работ Эсгь> = вси.ьо вычисляются по формуле а = во - Эсе- «о .

При решении нелинейных задач корни разрешающей системы нелинейных уравнении вычисляется итерациями методом Ньютона-Рафсона по схеме:

й,<*', = - т /Г' С>\ где ик = гйк - г . Элементы матрицы ли вычисляются как элементы матрицы Гессе для функционала вида Эсч> = г/2<п-и.-иУ-с-и.гэ приближенно по конечно-разностным формулам да смешанных производных с малым шагом « , например:

ак = а Е Е ( £ э^й" + <Г£ е » « е

11 4« 1 2 IV 2 }

I ^ I = I =».-1

4 2

а элементы вектора невязки тоже из условия стационарности функционала его численным дифференцированием:

С" = л Е £ Эсс«к «■ ;>

\ 3X1 . I

I 1=1,-4

Использование метода локальных базисных вариаций эффективно если необходимо решать краевые задачи с индивидуальной математической постановкой в короткий календарный срок. При этом вид исходного дифференциального оператора задачи, или - в случае вариационной постановки задачи - подынтегрального выражения функционала задаются среди исходных данных алгоритмически, на уровне формальных параметров стандартной программы. В соответствии с методом автором, А.Б.¡Болотовым, В.А.Харитоновым, А.Ю.Островским и другими разработано большое количество "опорных" и специализированных программ, решены несколько сот прикладных задач.

В седьмой главе даются постановки краевых задач строительной механики для эллиптических уравнений в виде дискретных граничных уравнений, определенных на регулярных сетках. Исходными при выводе дискретных граничных уравнений являются дискретные формулировки краевых задач на расппфвнноа области в ввде дифференциальных операторных выражений, либо вариационные, а такие дискретные формулы Грина-Бетга.

Рассматривается дискретный, восполненный по ячейкам ортогональной сетки оператор краевой задачи х, определенный на расширенной области « и включающий условия внутри области о, занимаемой конструкцией и на ее границе:

{1-й = F, х tv. = /, X

fc о .

хи = a также оператор

f, x « о ,

Считается, что существует формула или простой алгоритм вычисления л?"1/.

В первом случае при выводе граничных уравнений вводятся кусочно-постоянные по ячейкам ортогональной сетки характеристические функции в и в_ - области о, занимаемой конструкцией, и области п_ , дополняющей ее до расширенной области « (рис. 3). Таким образом е * е_= или в + е_= 1. Вводится восполненный по ячейкам ортогональной сетки дискретный оператор х_ , имеющий тот же вад, что и дискретный аналог оператора краевой задачи х, определенный в м, но в котором вместо е в качестве коэффициента участвует е_ = 1-е. Вводятся также характеристические

ттттп?:

-А г

1-А,

рис. 3

функции (индикаторы) операторов % и х_ - х и У

операторов х и х_ есть общая область определения "приграничные" относительно узлы дискретной сетки.

Дискретная функция хг = является их характеристической функцией. Решение краевой задачи для эллиптических уравнений с естественными граничными условиями определяется по формуле:

" = С*-*г"г +

по значениям искомой функции на границе -иг = = ягг«г . Значения получаекггся из решения дискретного граничного уравнения для прямого метода:

или (с учетом х - '£)\

у£ £Х = уХ Э> . Г <•> Г Г Г <0

(8)

(9)

Уравнения (8) и (9) несложно представляются в самосопряженном виде:

хх* х^ - хт* = ~ или (9')

1>г - Г^-'Г"^ = сХг - Г = Г*= * *г, Гс= Тхг

В другом случае рассматривается основные дискретные операторные соотношения, составляющие формулы Грина-Бетти для

эллиптических уравнений: исходный оператор краевой задачи

I = Е Е 3 а а Р=1 <,=« р рч 4

где а

а

Эх

и оператор

= Е £ <» 6> а 3

. , Р РЧ Ч

эллиптического уравнения хи = су = вг + включающий

естественные краевые условия:

N N

г = Е Е у « * ■

. > Р РЧ ч р = 1 я=1

Здесь <5Г - дельта-пункция, сосредоточенная на границе.

Можно записать, что:

„ ~ * *

х = вь * Г, где Г = бг-г, а Г = -г <5Г, * = -е £ а а » .

Р-* Ч= * Ч ЧР р

а также, с учетом г. = г.* и л? = .¡?* в операторном виде первую:

в! = х - Г , или 1-е = х - Г*, и вторую формулу Грина-Бетти:

ег. - ¿е = Г* - Г. Отсюда, в операторном виде можно записать тождество душ определения решения задачи:

ви = ¿."V - .

и граничное уравнение для определения иг в соответствии с прямым методом:

вь!г + ^г = '

Например, в случае двумерной задачи теории упругости

операторы, составляющее приведенные записи формул

Грина-Бетти, представляются следующими последовательностями

дискретных векторных операций:

X = СО (л® * О /и£> ;>

м1»В , р р

Р=1

Г = исТ* Т>

Г Г

Ъ О иС 1 11 2 1

» и£> С ий 2 2 2-*

+

.1 1

£> о 1 1

А 12

Г Г 11

Г Г , 12 ¿2-

о о I 2 2

4 12 22

«

где

г = с-в - Лгв * 4-0 о JD*. Г = с-в - 4-« + 4-е о :>£>*. »1 i 2 12 2 2 1 1 22 2 2 12 2 1 2 2

Г = ~с-в т + 0 д - е , г =4-/~е t * в d ~в ,

21 4 2 1 1 2 12 2 1 12 4 1 2 2 1 12 1 2

s = D в , е = £>*е , в = D*D*e . 11 2 2 12 1 2

При численном решении дискретных граничных уравнений оказалось удобнее использовать не характеристическую функцию области е, имеющую постоянные значения в пределах каждой ячейки регулярной сетки, а характеристическую функцию (индикатор) ха оператора, действующего в узлах сетки внутри области о, занимаемой конструкцией: ы

1. если П т*в = 2м,

я -1 •

о, в противном случае.

Если х - характеристическая функция оператора х (т.е. х = = * х х), тогда *о= х - xv- Иначе х = x0¡- + Г, при чем в этом случае Г = хгх. Первую формулу Грина-Бетти можно представить выражением:

xj- = х ~ *гГ, или LX(, ' х ' Г*хг * а вторую формулу - равенством:

xoL - Lxo = Г\ ~ ХТС-

Граничное уравнение дая второй краевой задачи будет иметь вид:

а общее решение определяться по формуле:

хам » £ - £.~*r*xrur, где $ = L'^xJ + XjJ> ■

Аналогично, например, дая краевой задачи с кинематическими граничными условиями, самосопряженное граничное уравнение:

*r¿"1;Vr = *Г^> ' гдэ "г = ^г1" ' и тождество для определения ее общего решения:

V * ^d + г-"1*гиг ' гда К = L'í(xaF ~ Для смешанной краевой задачи граничное уравнение имеет вид:

v-~Vr4 - v= *А •

И = * и>.

из решения которого вычисляются = и

Здесь = - Г х^. *г - характеристическая

функция кинематических, а - характеристическая функция естественных граничных условий. Общее решение смешанной краевой задачи определяется по формуле:

V = К +- •

В восьмой главе рассматриваются вопросы, связанные с построением обратных операторов, участвующих в дискретных граничны! уравнениях. Для эллиптических уравнений, наиболее просто организовать вычисление элементов матрицы, соответствующей обратному оператору, по. явным формулам: аналитическим - по С.Л.Соболеву, либо вычисляя значения функции Грина на расширенной области суммированием тригонометрических функций дискретного аргумента:

мм ы . .

1 2 N 1

-С" 2 • ■ ■ Е х--г ' •

к г! к =1 к —1 к .к ,...,к 1 N

12 К 12 N

где = . в =1.....N. Если на границе области «

принимаются граничные условия Дирихле элементы собственных векторов вычисляются го формуле:

, п к N гх к. С р + N 5

1 . ее. вея

1Ге1п т + 1 -И^Т--

а Э Э в

а собственные значения для оператора Лапласа по формуле:

N ГС *

^ = \ , , = Е — О - С05 „ V-?. _2 к ,к ,...,к ,2 М + 1

V 1 2 N • = ! Л в

в

Здесь ^ - равномерные шаги, а и# = да - 1 - размеры дискретной сетки, на которой уже для сетки с размерами ^ строится фундаментальная функция. Причем м^ мгх.'.. х мн » % юых Iп.* 1*2 х... х т.н, а «>в- дискретные размеры стандартной области, "экономно" наложенной на о. Если, например, решается двумерная задача теории упругости, обратный дискретный оператор формируется по формуле:

. .,* . 1

1

х - =

(Ю)

а собственные числа для вспомогательного оператора в

вычисляются следующим образом:

х = хг - а х х <х 4-хх. :>,

в 1 г 412

где « = ^N • х = ъ2 х , х = х + х .

Ац С X + 21-1> • • • 1 2

Матрица, соответствующая обратному оператору относительно "приграничных" узлов дискретной сетки в задачах строительной механики, как правило, симметрична, положительно определена, имеет диагональное преобладание, но полностью заполнена. Излагается алгоритм, позволяющий с заданной погрешностью заменять заполненную матрицу /Г1 разреженной матрицей, имеющей блочно-даагональную структуру. В формулировках краевых задач строительной механики граничными уравнениями, как правило, участвуют производные от фундаментальной функции, например, в двумерном дискретном граничном уравнении для уравнения Пуассона:

I_I

(П)

- с^ >>['*

Вторая первообразная ? фундаментальной функции е для двумерного гармонического оператора имеет вид:

* = где « = ^ = —+ ± Ж.

Ее использование позволяет избежать при аппроксимации особенности выражений для фундаментальной функции и ее производных. Далее уже численно вычисляется дискретный аналог е: £ь= V* е и выполняется дискретная операция ■

Вычисленные численно функции вторых производных от фундаментальной функции хорошо набирают гладкость при удалении от нулевой точки <тг=со. Гладкая функция заменяется кусочно-линейным по направлениям координат приближением, имеющим переломы в узлах некоторой укрупненной

-Зо-

сетки, наложенной на исходную, равномерную, с разбегающимися с увеличением г шагами. Численным дифференцированием по нацравлениям координат такой функции получается функция, имеющая ненулевые значения только в узлах укрупненной сетки.

Дискретная операция свертки с полученным приближением производных от фундаментальной функции соответствует перемножению с разреженной ленточной матрицей. Матрица разрешакщэг системы линейных уравнений относительно граничных точек в этом случае не только симметрична, но имеет диагональное преобладание и разреженную блочно-доагональную структуру.

Другой вариант алгоритма включает только дискретные операции. Фундаментальная функция здесь не задается аналитическим выражением, а вычисляется численно суммированием тригонометрических рядов.

В девятой главе изложен алгоритм численного решения дискретных граничных уравнений. Полученным дискретным граничным уравнениям вида (9), (9-> соответствует система уравнений ли = г относительно значений искомой функции в узлах регулярной сетки с размерами наложенной на

расширенную область. В рамках алгоритма выполняется переход к решению системы уравнений = г относительно

приграничных узлов сетки с уменьшением размерности задачи:

а„ = р*ар . = р*р ,

г г

где элементы рсч .о равны единица при соответствии пары индексов ¿г и I = <Г11. ¿2,• • ■.одному из приграничных узлов сетки и нулю в противном случае. В разработанной автором программе решения дискретных граничных уравнений реализованы алгоритмы автоматической перенумерации приграничных узлов от 1 к ¿г в порядке, максимально обеспечивающем диагональное преобладание малой системы -4гиг = гг. После ее решения формула к = р позволяет вернуться к начальной размерности задачи. Формирование малой системы выполняется векторными операциями. При этом матрица а и вектор г, например для уравнения Пуассона формируются в соответствии с формулой (II), а для задачи теории упругости с естественными граничными условиями

используется, например, соответствующее (81) выражение:

<А У< А

где

(А > =

* *

ГС О 1 2

* * (

о о I

I. 2 1 '

Х+2^ ц

2м

о &

г 1

х = е_х, £ = а матрица формируется по формуле (10).

В работе приведены примеры численной реализации разработанной методики - результаты решения практических задач. Определен характер концентрации напряжений в неоднородном грунте вблизи подземной сферической полости, предназначенной для хранения жидкости под давлением (рис. 4);

I ) I I I ). I

крышка

корпус реактора

рис.4 рис.5

в связи с проблемой вибрации сооружений вблизи тоннелей метрополитенов мелкого заложения численно исследован характер распространения вода в грунте и на его поверхности (в том числе неоднородном, с внутренним трением); исследован характер изменения напряженно-деформированного состояния в элементах конструкций с учетом неоднородности и вязкоупругих свойств их материалов, проведен расчет цилиндрической оболочки на ударное воздействие, исследовано напряженно-деформированное состояние в зоне примыкания верхнего перекрытия центральной шахты атомного реактора (см. рис. 5).

основные результаты и вывода

1. Получены дискретные постановки краевых и граничных задач строительной механики, приводящие к эффективным и простым векторным и локальным алгоритмам численного расчета строительных конструкций. В формулировках задач, полученных для конкретных систем координат и различных схем интегрирования, используется вариант метода расширенной (стандартной) области, предложенного А.Б.Золотовым. Формулировки состоят из единого выражения, включающего условия как внутри области, так и на ее границе, а также геометрическое описание исследуемой конструкции. Единый оператор краевой задачи внешне почти повторяет основной дифференциальный оператор исходной формулировки, но входящие в него коэффициенты представляются обобщенными функциями. Производные от обобщенных функций выделяет в операторном выражении условия на границе и три этом обесточивают согласованность весовых характеристик всех условий, входящих в постановку краевой задачи.

2. Получены дискретные постановки основных краевых задач строительной механики (трехмерной, плоской задач теории упругости в декартовых и циллиндрических координатах, задач для уравнения Пуассона, изгиба анизотропной плиты) в терминах алгебры типа свертки, приводящие к скоростным векторным алгоритмам расчета строительных конструкций. Построены основные сверточвые операторы (дифференцирования, осреднения, интегрирования, сдвига, умножения на функцию), составляющие своими комбинациями единые дискретные операторы формулировок краевых задач строительной механики. Эти общие операторы задачи восполнены по ячейкам регулярной сетки, накладываемой на стандартную область, и включают векторные операции численного интегрирования по ячейке с произвольной точностью. Матрицы, соответствующие итоговому и составляющим его дисзфетным операторам, имеют блочно-даагональную структуру, удобную для привлечения к выполнению действий над ними оптимальных по количеству затрачиваемых арифметических операций векторных алгоритмов.

3. Получены дискретные граничные уравнения, формулирующие задачи расчета строительных конструкция и соответствующие традиционной записи граничных интегральных уравнений в континуальном вида, решаемых прямым методом, а также самосопряженные дискретные граничные уравнения. Дискретная формулировка граничных задач получается редукцией на границу уже дискретных выражений, формулирующих соответствующие краевью задачи и определенных во всех узлах дискретной сетки, аппроксимирующей исследуемую область. В этом, случае исчезают все основные сложности решения интегральных уравнения, связанные с сингулярностью ядер, получением фундаментальных решений, заполненностью и несимметричностью матриц разрешающих систем уравнений относительно граничных точек. Дискретные граничные уравнения получены как из операторной, так и из вариационной дискретных формулировок исходной краевой задачи. Самосопряженному варианту дискретных граничных уравнений соответствует система с симметричной матрицей, имеющей существенное диагональное преобладание, что значительно улучшает вычислительный процесс решения граничной задачи.

4. Получены операторные формы записи формул Грина-Бетти для эллиптических операторов в дискретном виде, характерные участием в ней обобщенных функций. Показано соответствие полученных выражений традиционной записи формул Грина-Бетти. Дискретные операторные выражения формул Грина-Бетти на примере формулировок краевой задачи теории упругости представлены в виде комбинаций элементарных сеточных операций над функциями (сдвиг, разность, осреднение).

На основе дискретных операторных представлений формул Грина-Бетти получены в виде единых операторных равенств дискретные граничные уравнения на примерах первой, второй и смешанной краевых задач в общем виде для эллиптических уравнений, а также на примерах уравнения Пуассона и формулировки задачи теории упругости.

5. Разработан экономичный алгоритм решения краевых задач строительной механики, состоящий из последовательности векторных дискретных сверточных операция. Краевые задачи формулируются в терминах сверточной алгебры. Формирование

разрешающей системы уравнений фактически сводится к быстрым векторным операциям свертки с дискретными аналогами дельта-функции, ее производных или дискретных интегралов от нее (дискретными функциями типа Хевисайда). Алгоритм реализуется в виде последовательности подиагональных матричных операций над матрицами блочно-ленточной структуры и блочными векторами.

6. Разработаны базовые алгоритмы подиагональной матричной алгебры. Алгоритмы оптимальны по количеству выполняемых арифметических действий при выполнении операций над матрицами, имеющими блочно-ленточную структуру характерную для краевых задач строительной механики.

Разработаны векторные алгоритмы численной реализации основных дискретных операций, составляющих процесс решения краевых задач (дифференцирования, умножения на функцию, интегрирования и их сочетаний).

7. Построен алгоритм решения краевых задач строительной механики., основанный на методе локальных базисных вариаций. Алгоритм нагляден и наиболее удобен как в программной реализации, так и в дальнейшем использовании составленных программ. Вид исходного выражения, формулирующего краевую задачу, задается среди исходных данных на уровне формальных параметров. В алгоритме используется, пожалуй самый простой способ вычисления коэффициентов разрешающей системы уравнений, основанный на математическом факте взаимно-однозначного соответствия дискретного линейного оператора, билинейного функционала и матрицу.

8. Разработан и изложен на примере задачи теории упругости и задачи дая уравнения Пуассона алгоритм формирования и решения дискретных граничных уравнений. Алгоритм реализует полученные формулы редукции постановок краевых задач на граничные точки, прием перенумерации значений искомой функции на границе. Алгоритм предусматривает решение граничных задач путем последовательного выполнения только векторных операций над матрицами блочно-ленточной структуры и блочными векторами. Если в решении граничной задачи используется итерационный процесс, алгоритм формирования дискретного оператора задачи упрощается, и

отпадает необходимость в специальных требованиях к перенумерации граничных узлов.

9. Построены векторные алгоритмы численного формирования обратных дискретных операторов в составе дискретных граничных уравнения, формулирующих задачу теории упругости и задачу для уравнения Пуассона. Обрати.© операторы строятся на расширенной области, как на ограниченной по размерам (стандартной), немногим больше области, занимаемой расчитываемой конструкцией, так и на относительно большой, увеличение размеров которой практически не влияет на значения элементов соответствующих обратным дискретным операторам матриц. Элементы матриц вычисляются как значения функции Грина путем суммирования членов тригонометрического ряда (дискретного преобразования Фурье). Если в качестве расширенной берется "большая" окаймляющая область, формируемые дискретные обратные операторы соответствуют операции свертки с тригонометрическими фундаментальными функциями, поскольку влияние граничных условий на их значения в центральных точках области незначительно.

10. Разработан алгоритм сведения решения дискретного граничного уравнения к решению системы уравнений со значительно разреженной матрицей коэффициентов, имеющей блочно-ленточную структуру и диагональное преобладание. В этом случае учитывается то, что участвующие в операторе граничного уравнения вторые производные от фундаментальной функции быстро сглаживаются с удалением от нулевой точки, и их можно приближенно заменить кусочно-линейными по направлениям координат функциями с быстро увеличивающимся шагоы. Заполненная матрица, соответствующая операции свертки с фундаментальной функцией с заданной точностью заменяется эквивалентной разреженной матрицей. Получены формулы формирования редаозаполненных матриц.

11. Разработана программно-информационная система moln, реализующая быстрые векторные алгоритмы подаагональных операций над матрицами блочно-дизгональной структуры и блочными векторами и имеющая базу плотного паспортированного хранения матриц и векторов. Система предназначена для создания на ее основе специализированных и универсальных

программных комплексов для численных исследований и расчетов строительных конструкций.

По разработанным в диссертации алгоритмам создан программный комплекс reiver, предназначенный для решения краевых задач расчета строительных конструкций. Комплекс использует в качестве базовой систему moln и в нем реализованы только векторные операции. Математические выражения, формулирующие краевые задачи, могут быть заданы на уровне формальных параметров, что позволяет пользователю комплексом легко настраиваться на новую краевую задачу.

Приведены примеры расчетов ряда строительных конструкций и сооружений с использованием разработанных в диссертаций дискретных постановок, алгоритмов и программ.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих публикациях:

1. Сидоров В.Н. Автоматизация расчета анизотропных плит на ЭВМ при проектировании строительных конструкций. "Организация, метода и технология проектирования", Реферативный сборник ЦИНИС, вып.5, М., 1975г.

2. Сидоров В.Н. Алгоритмизация расчета анизотропной плиты на изгиб. "Теоретические и экспериментальные исследования строительных конструкций", Труда ЦНЖСК, М., 1976г.

3. Сидоров В.Н. К численному расчету плит с раскрывающимися стыками. "Прикладные и теоретические исследования строительных конструкций", Груды ЦНШСК, М., 1981г.

4. Сидоров В.Н. К алгоритмизации численного решения стохастических краевых задач строительной механики. Доклада х Меадународного конгресса по применению математики в инженерных науках. Веймар, 1984г.

5. Сидоров В.Н. Алгоритмы и программно-информационное обеспечение алгебры дискретных операторов. "Численные методы расчета и оптимизации строительных конструкций", Труда ЦНШСК, М., 1989г.

6. Сидоров В.Н. Численны© исследования строительных копструкций с использованием алгоритмов дискретной алгебры сверток. Доклада хн Меадународного конгресса по применению математики в инженерных науках. Веймар, 1990г.

7. Сидоров В.Н. Алгоритм свертки с дискретными фундаментальными функциями для формирования и решения граничных уравнений строительной механики. "Методы расчета и оптимизации строительных конструкций на ЭВМ", Труды ЦНШСК, М., 1990г.

8. Сидоров В.Н. Векторный алгоритм решения неоднородных краевых задач механики. Материалы Всесоюзного научного семинара "Актуальные проблемы неоднородной механики", Ереван, 1991г.

9. Золотов А.Б., Сидоров В.Н. Алгоритм вычисления элементов матрицы произвольного линейного конечномерного оператора. "Численные методы и алгоритмы". Труды ЦНИИСК, вып.46, М., 1975г.

10. Золотов А.Б., Сидоров В.Н. Алгоритмизация решения краевых задач строительной механики на ЭВМ. "Строительная механика и расчет сооружений", 1975г., Мо.

11. Золотов А.Б., Сидоров В.Н. О решении краевых задач механики сплошных сред на ЭВМ. "Некоторые вопросы математики и механики сплошной среды", Труда ММСИ, JSI30, М., 1975г.

12. Сидоров В.Н., Мозгалева И.Л. Алгоритмизация решения линейных и нелинейных краевых задач для расчета строительных конструкций и сооружений. Доклады vi и Международного конгресса по применению математики в инженерных науках. Веймар, 1978г.

13. Золотов А.Б., Андреев В.И., Прокопьев В.И., Сидоров В.Н. Определение напряжений в упругом полупространстве со сферической полостью с учетом неоднородности среды. Строительная механика и расчет сооружений", 1980г., Ji6.

14. Сидоров В.Н., Пвдашев Ш.С., Булгакова М.В. Колебания полуплоскости с внутренним трением. "Численные методы и алгоритмы",Труда ЦНИИСК, М., 1981г.

15. Милейковскиг И.Е., Сидоров В.Н., Трушин С.И., Булгакова М.В., Кислов В.В. Численные методы расчета оболочек с учетом геометрической и физической нелииейностей и деформаций поперечного сдвига. Труды Международного конгресса по применению оболочек в инженерных сооружениях. ИАСС85, М., 1985г.

16. Золотов А.Б., Сидоров В.Н. Числэнное решение краевых задач механики твердого тела методом стандартной области с применением алгоритмов дискретной сверточной алгебры. Тезисы докладов Республиканской научно-технической конференции "Эффективные численные методы решения краевых задач механики твердого деформируемого тела", Харьков, 1989г.

17. Золотов А.Б., Сидоров В.Н. Постановка и численное решение краевых задач строительной механики с использованием алгебры типа свертки. "Строительная механика и расчет сооружений", 1991г. №3.

18. Белый М.В., Горбунова Т.Н., Сидоров В.Н. Шаговый алгоритм решения краевых задач расчета конструкций с учетом ползучести. "Строительная механика и расчет сооружений", 1991г. лее.

19. Sidorov V.N.. Trushin S.I. An Efficient Method for Algorithmization of Boundary Problem Solutions and Its Application in Elastoplastic Analysis. "Innovative Numerical Analysis for the Engineering Sciences", The University Press of Virginia, USA. 1980.

20. Zolotov A.В., Sidorov V.N. Computerization of Engineering Calculations in Studying of Structures. "Advancing Building Technology", Proceedings of the 10th Triennial Congress of the CIB. Washington, D.C., USA, 1906.