автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Методы дискретных граничных уравнений для решения задач расчета сооружений

Введение.

Глава 1. Обзор численных методов решения краевых задач расчета конструкций.

1.1. Разностные методы.

1.2. Метод конечных элементов.

1.3. Метод граничных интегральных уравнений.

1.4. Метод дискретных граничных уравнений.

1.5. Численное решение.

1.6. Локальные решения и дискретные фундаментальные функции.

1.7. Выводы и результаты по первой главе.

Глава 2. Постановка и дискретизация краевых задач.

2.1. Основные понятия, используемые в формулировках краевых задач.

2.1.1. Характеристическая функция области.

2.1.2. Аппроксимация функций и области.

2.1.3. Определение фундаментального решения.

2.1.4. Традиционная и операторная постановки граничных уравнений. Основные соотношения для оператора краевой задачи.

2.2. Классификация и основные постановки краевых задач.

2.2.1. Постановка краевой задачи для уравнения Пуассона.

2.2.2. Постановка задачи теории упругости.

2.3. Дискретизация краевых задач методом конечных разностей.

2.3.1. Задача об изгибе балки.

2.3.2. Уравнение Пуассона.

2.3.3. Бигармоническое уравнение.

2.3.4. Задача теории упругости.

2.4. Выводы и результаты по второй главе.

Глава 3. Построение фундаментального решения для дискретных задач.

3.1. Фундаментальное решение для дискретного уравнения второго порядка.

3.2. Фундаментальное решение для задачи об изгибе балки.

3.2.1. Построение дискретного аналога.

3.2.2. Построение дискретного фундаментального решения для балки.

3.2.3. Аналитическое фундаментальное решение.

3.3. Построение фундаментального решения с помощью вспомогательных краевых задач.

3.3.1. Фундаментальное решение для уравнения Пуассона.

3.3.2. Фундаментальное решение для разностного бигармонического оператора.

3.3.3. Фундаментальное решение для разностного оператора задачи теории упругости.

3.4. Вычисление дискретной фундаментальной функции С.Л. Соболева для оператора Лапласа.

3.4.1. Построение фундаментальной функции на сетке по С.Л. Соболеву.

3.4.2. Построение фундаментальной функции на стандартной сеточной области.

3.5. Выводы и результаты по третьей главе.

Глава 4. Метод дискретных граничных уравнений и его применение при решении трехмерных задач теории упругости.

4.1. Основные операторные соотношения при прямом и непрямом подходах.

4.2. Явный вид граничного оператора.

4.3. Прямая формулировка дискретных граничных уравнений.

4.4. Непрямая формулировка дискретных граничных уравнений.

4.5. Стыковка конструкций.

4.6. Пример расчета.

4.7. Выводы и результаты по четвертой главе.

Глава 5. Дискретно-аналитический подход к расчету конструкций метод прямых для ВРМ).

5.1. Решение задачи для уравнения Пуассона для полосы.

5.1.1. Постановка краевой задачи.

5.1.2. Построение вариационно-разностного аналога.

5.1.3. Дискретно-аналитическое решение.

5.1.4. Аналитическое решение.

5.2. Решение задачи теории упругости.

5.2.1. Аналитическая формулировка.

5.2.2. Построение дискретного оператора вариационно-разностным методом.

5.2.3. Примеры расчета.

5.3. Выводы и результаты по пятой главе.

В связи с постоянным развитием и практической значимостью строительства, большим объемом строительных работ и появлением новых материалов, совершенствование методов расчета конструкций остается актуальной задачей. Методика расчета конструкций в основном распадается на два этапа: создание расчетной модели и численное или аналитическое решение задачи в рамках заданной расчетной модели. Вторая часть методики является инструментом в процессе общей задачи расчета конструкций, поскольку основой в ней является построение или использование эффективных математических методов. Каждый из существующих методов имеет свои достоинства и недостатки, но самое главное свои объекты эффективного применения. В диссертации разрабатывается метод, тесно связанный с методом граничных интегральных уравнений для решения краевых задач расчета сооружений - это метод дискретных граничных уравнений. Так же как и метод граничных интегральных уравнений, он имеет полуаналитический характер, т.е. представляет решение в виде конечных формул, которым предшествует численное вычисление некоторых параметров или функций. Отличие дискретного подхода состоит в том, что исходная задача уже дискретная, т.е. задана на сетке, имеющей постоянные характеристики. Это позволяет в аналитической форме исключить неизвестные во внутренних точках конструкции и перейти к разрешающим уравнениям относительно неизвестных в граничных точках. Преимущество предлагаемого подхода заключается в том, что, в отличие от метода граничных интегральных уравнений, здесь отсутствуют проблемы, связанные с сингулярными интегралами и другими неинтегрируемыми в обычном смысле функциями. У предлагаемого подхода, -хотя он и достаточно универсален, есть эффективная область применения, это конструкции, состоящие из подконструкций прямоугольной формы, достаточно часто представленные в реальных сооружениях, в частности, в стыковых конструкциях зданий. 6

Еще одним фактором, оказывающим сильное влияние на развитие численных методов, является непрерывный рост производительности вычислительной техники наряду с широкими сервисными возможностями. Применение средств автоматизации уменьшает затраты труда проектировщиков, способствует повышению эффективности и надежности проектируемых конструкций. Кроме того, резкое увеличение количества быстродействующих персональных ЭВМ позволяет производить вычисления с большей скоростью для задач с большим количеством неизвестных, создавать программные комплексы, открывающие широкие возможности при практической реализации в области математического моделирования.

Целью представленной работы является построение методики, алгоритмов и программ, с помощью которых достаточно легко могут быть решены поставленные задачи, как в смысле математического описания, так и в смысле дискретного аналога. При этом учет всех условий требует экспериментальной и теоретической проверки в возможно более короткие сроки.

Заключение. Основные результаты и выводы.

1. Представлены основные подходы к построению фундаментальных функций. При построении дискретных фундаментальных функций с помощью вспомогательных краевых задач получены формулы для дискретного фундаментального решения уравнения Пуассона, бигармонического оператора, задачи теории упругости в двумерной и трехмерной постановках. На основании рекуррентных формул, предложенных C.JI. Соболевым, разработан алгоритм, позволяющий найти решение на стандартной сеточной области. Полученный алгоритм является хорошим контролирующим средством для узлов близких к нулю. Приведены формулы перехода от стандартной сетки к диагональной сетке, на которой вел решение C.JI. Соболев.

2. Из основных операторных соотношений получены прямые и непрямые формулировки дискретных граничных уравнений применительно к решению пространственной задачи теории упругости. Существенно упростить процесс нахождения решения может представленная явная форма граничного оператора.

3. Разработан дискретно-аналитический подход (метод прямых для ВРМ) для конструкций с постоянными физико-геометрическими характеристиками по одному из направлений. Приведены двумерные и трехмерные постановки для уравнения Пуассона и для задачи теории упругости. После дискретной аппроксимации краевой задачи на основе регулярной сетки, общее решение представляется через свертку с фундаментальной функцией с использованием формулировок в виде граничных уравнений, где все неизвестные сосредоточены на границе. Проведенное сравнение с аналитическим решением показало практическое совпадение результатов.

4. Разработаны программные комплексы:

- для решения краевых задач методом прямых;

- для решения краевых задач методом дискретных граничных уравнений для задач теории упругости в двумерной и трехмерной постановках.

106

5. Решены модельные и практические задачи, подтверждающие работоспособность метода.

По результатам работы можно сделать вывод, что использование дискретного математического аппарата при решении краевых задач методом дискретных граничных уравнений или методом прямых достаточно эффективно для целого ряда конструкций, имеет определенные математические преимущества по сравнению с традиционными подходами, приводит к построению практически полезных программ для исследования реальных сооружений.

107

1. Александров A.B., Лащенников Б.Я., Шапошников H.H., Смирнов В.А. Методы расчета стержневых систем, пластин и оболочек с использованием ЭВМ. Ч. 1 и 2. - М.: Стройиздат, 1976, 248 с.

2. Астраханцев Г.П. Метод фиктивных областей для эллиптических уравнений второго порядка с естественными граничными условиями. ЖВМ и МФ, 1978, т. 18, №1, с. 118-125.

3. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. М.: Стройиздат, 1982, 442 с.

4. Бахвалов Н.С. О сходимости одного релаксационного метода при естественных ограничениях на эллиптический оператор. // ЖВМ и МФ, 1966, т. 6, №5, с. 861 -883.

5. Белый М.В., Булгаков В.Е., Золотов А.Б. Полуитерационный многосеточный метод и его программная реализация для решения пространственных краевых задач. // ЖВМ и МФ, 1987, т.27, №6, с. 875-888.

6. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. М.: Мир, 1984, 494 с.

7. Бреббия К., Таллес Ж., Вроубел JI. Методы граничных элементов. М.: Мир, 1987, 524 с.

8. Вазов В., Форсайт Дж. Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. М.: Издательство иностр. лит., 1963, 215 с.

9. Вайнберг Д.В., Вайнберг Е.Д. Пластины, диски, балки-стенки (прочность, устойчивость и колебания). Киев: Госстройиздат УССР, 1959, 1049 с.

10. Варвак П.М. Развитие и приложение метода сеток к расчету пластинок. Некоторые задачи прикладной теории упругости в конечных разностях. -Киев: Изд. АН УССР, ч. 1,1949, 136 с, ч. 2,1952, 115 с.

11. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. М.: Мир, 1987, 544 с.

12. Венцель Э.С. Решение некоторых линейных краевых задач теории упругости со сложным оператором с помощью краевых задач. // Докл. АН УССР, сер. А, №8, 1980, с. 35 38.

13. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1988, 512 с.

14. Власов В.З. Избранные труды. М.: Издательство АН СССР, т. 1,1962.

15. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. -М.: Мир, 1984, 428 с.

16. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. -М.: Наука, 1967, 576 с.

17. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. Вып. 1. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1959, 470 с.

18. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. М.: Гостехиздат, 1952, 480 с.

19. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разносные схемы. М.: Наука, 1977, 440 с.

20. Городецкий A.C. Численная реализация метода конечных элементов. // Сопротивление материалов и теория сооружений. Киев: Будивильник, 1977, вып. XX, с. 31-42.

21. Городецкий A.C., Завороцкий В.И., Лантух-Лященко А.И., Рассказов А.О. Метод конечных элементов в проектировании транспортных сооружений. -М.: Транспорт, 1981, 143 с.

22. Длугач М.И. Метод сеток в смешанной плоской задаче теории упругости. -Киев: Наукова думка, 1964, 260 с.

23. Дьяконов Е.Г. Разностные методы решения краевых задач. М.: Издательство МГУ, 1971, вып. 1, 242 с.

24. Дьяконов Е.Г. Минимизация вычислительной работы. Асимптотически оптимальные алгоритмы для эллиптических задач. М.: Наука, 1989.

25. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975, 539 с.

26. Золотов А.Б. К расчету трехмерных конструкций на ЭВМ. Строительная механика и расчет сооружений, 1969, №6, с. 22-27 с.

27. Золотов А.Б., Ларионов A.B., Мозгалева М.Л., Мсхалая Ж.И. Постановка и аппроксимация краевых задач методом расширенной области. М.: МГСУ, 1992, 86 с.

28. Золотов А.Б., Ширинская И.В., Белый М.В. Дискретный аналог граничных интегральных уравнений. // Сб научных трудов МГСУ: «Вопросы математики, механики сплошных сред и применения математических методов в строительстве». М.: 1995, с. 97-100.

29. Кайтуков Т.Б., Мозгалева М.Л., Золотов А.Б. Метод прямых в дискретных задачах строительной механики. // БУ Депонированные научные работы №12. М., 2000.

30. Кайтуков Т.Б., Мозгалева М.Л., Золотов А.Б. Построение фундаментального решения для дискретной задачи теории упругости применительно к методу прямых. // БУ Депонированные научные работы №2. М., 2001.

31. Кайтуков Т.Б., Мозгалева М.Л., Золотов А.Б. Построение фундаментального решения с помощью вспомогательных краевых задач. // Сб научных трудов МГСУ №4: Вопросы прикладной математики и вычислительной механики. -М. 2001, с. 134- 138.

32. Кайтуков Т.Б., Мозгалева М.Л., Ширинская И.В. Решение трехмерных задач теории упругости методом дискретных граничных уравнений. // Сбнаучных трудов МГСУ №4: Вопросы прикладной математики и вычислительной механики. М. 2001, с. 139- 143.

33. Капорин И.Е., Николаев Е.С. Метод фиктивных неизвестных для решения разностных уравнений эллиптического типа в областях сложной формы. // Докл. АН СССР, т. 251, №3, с. 544 548.

34. Коренев Б.Г. Некоторые задачи теории упругости и теплопроводности, решаемые в бесселевых функциях. -М.: Физматгиз, 1960, 458 с.

35. Корнеев В.Г. Схемы метода конечных элементов высоких порядков точности. Издательство ЛГУ, 1977, 206 с.

36. Крузо Т. Метод граничных интегральных уравнений. М.: Мир, 1978, с. 46 -67.

37. Купрадзе В.Д., Гегелия Т.Г., Валейшвили М.О., Бурчуладзе Т.В. Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости. -М.: Наука, 1976, 664 с.

38. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. -М.: Мир, 1971, 371 с.

39. Лужин О.В. Расчет плиты при сложном очертании края. // Сб. Исследования по теории сооружений, вып. XII. -М.: Гостройиздат, 1963.

40. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1977, 455 с.

41. Михлин С.Г. Интегральные уравнения. М. - Л.: Гостехиздат, 1947.

42. Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. -М.: Физматгиз, 1962, 254 с.

43. Михлин С.Г. Курс математической физики. М.: Наука, 1968.

44. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966, 707 с.

45. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.

46. Мяченков В.И., Мальцев В.П., Майборода В.П. и др. Расчеты машиностроительных конструкций методом конечных элементов. М.: Машиностроение, 1989.

47. Никифоров С.Н. Теория упругости и пластичности. М.: Государственное издательство литературы по строительству и архитектуре, 1955, 284 с.

48. Образцов И.Ф., Савельева Л.М., Хазанов Х.С. Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов. М.: Высшая школа, 1985.

49. Оганесян Л.А. Метод Федоренко Бахвалова для двумерного эллиптического уравнения в случае условий Дирихле. // Изв. АН Армянской ССР. Сер. Матем, 1963, т. 18, №2, с. 97-115.

50. Оганесян Л.А., Руховец Л.А. Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений. Ереван: Издательство АН Армянской ССР, 1979, 234 с.

51. Партон В.З., Перлин П.И. Интегральные уравнения теории упругости. М.: Наука, 1977,312 с.

52. Постнов В.А., Дмитриев С.А., Елтышев Б.К., Родионов A.A. Метод суперэлементов в расчетах инженерных сооружений. Л.: Судостроение, 1979, 288 с.

53. Постнов В. А., Хархурим И .Я. Метод конечных элементов в расчете судовых конструкций. Л.: Судостроение, 1974.

54. Ржаницын А.Р. Строительная механика. М.: Высшая школа, 1991, 439 с.

55. Рихтмайер М., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. М.: Мир, 1972,418 с.

56. Риццо Ф. Метод граничных интегральных уравнений современный вычислительный метод. // Метод граничных интегральных уравнений. - М.: Мир, 1978, с. 11-17.

57. Розин JI.А. Расчет гидротехнических сооружений на ЭЦВМ методом конечных элементов. Л.: Энергия, 1971.

58. Розин Л.А. Метод конечных элементов в применении в упругим системам. -М.: Стройиздат, 1977, 129 с.

59. Рябенький B.C. Метод разностных потенциалов для некоторых задач механики сплошных сред. -М.: Наука, 1987, 320 с.

60. Рябенький B.C. Граничные уравнения с проекторами. УМН, т. 40, вып. 2 (242), 1985, с. 121 - 149.

61. Самарский A.A. Введение в теорию разностных схем. М: Наука, 1971, 552 с.

62. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977.

63. Самарский A.A. Введение в численные методы. М.: Наука, 1987, 286 с.

64. Самарский A.A., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. М: Наука, 1976, 352 с.

65. Саульев В.К. Интегрирование уравнений параболического типа методом сеток. М.: Физматгиз, 1960, 324 с.

66. Соболев С.Л. Уравнения математической физики. М.: Гостехиздат, 1954.

67. Соболев С.Л. Об единственности решения разностных уравнений эллиптического типа. ДАН, 87, №2, 1952, с. 179 182.

68. Соболев С.Л. Об одном разностном уравнении. ДАН, 87, №3, 1952, с. 341 -343.

69. Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло. М.: Наука, 1973.

70. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977, 349 с.

71. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М.: Мир, 1980,512 с.

72. Угодчиков А.Г., Хуторянский Н.М. Граничные интегро-дифференциальные уравнения нестационарных динамических задач теории упругости. // Актуальные проблемы механики деформируемых сред. Днепропетровск: ДГУ, 1979, с. 197-204.

73. Угодников А.Г., Хуторянский Н.М. Метод граничных элементов в механике твердого деформируемого тела. Казань: Издательство Казанского университета, 1986, 292 с.

74. Усюкин В.И. Строительная механика конструкций космической техники. -М.: Машиностроение, 1988.

75. Федоренко Р.П. О скорости сходимости одного итерационного процесса. // ЖВМ ИМФ, 1964, т. 4, №3, с. 559 564.

76. Филин А.П. Современные проблемы использования ЭЦВМ в механике твердого деформируемого тела. Л.: Стройиздат, 1974, 73 с.

77. Цейтлин А.И. Прикладные методы решения краевых задач строительной механики. -М.: Стройиздат, 1984, 334 с.

78. Цейтлин А.И., Петросян Л.Г. Методы граничных элементов в строительной механике. Ереван: Луйс, 1987, 199 с.

79. Шайдуров В.В. Многосеточные методы конечных элементов. М.: Наука, 1989, 288 с.

80. Шапошников Н.Н., Тарабасов Н.Д. и др. Расчет машиностроительных конструкций на прочность и жесткость. М.: Машиностроение, 1981, 333 с.

81. Шварц Л. Математические методы для физических наук. М.: Мир, 1965.

82. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс. М.: Наука, 1965, 327 с.

83. Argiris J.H. Energy theorems and structural analysis, part 1:. Aircraft Engineering, 1954, v. 26, p. 347 - 356, 383 - 387, 394; 1955, v. 27, p. 42 - 58, 80-94,125-134,145-158.

84. Babuska I., Miller A. The post-processing approach in the finite element method. Part 1: Calculation of displacements, stresses and other higher derivatives of the displacements. // Int. J. Numer. Meth. Engineering. 1984, v. 20, p. 1085 1109.

85. Babuska I., Miller A. The post-processing approach in the finite element method. Part 2: The calculation of stress intensity factors. // Int. J. Numer. Meth. Engineering. 1984, v. 20, p. 1111 1129.114

86. Babuska I., Zienkiewicz O.C., Gago J., de A. Oliveira E.R. Accuracy estimates and adaptive refinement in finite element computations. Wiley, 1986.

87. Calderon A.P. Boundary value problems for elliptic equation. Сб. трудов советско-американского симпозиума по уравнениям с частными производными в Новосибирске. М.: Физматгиз, 1963, с. 303 - 304.

88. Courant R. Variational methods for the solution of problems of equilibrium and vibration. Bull. Amer. Math. Soc., 1943, v. 49, p. 1 -43.

89. Hackbush W. Multi-grid methods and applications. Berlin, N.Y.: SpringerVerlag, 1985.

90. Hrennikoff A. Solution of problems of elasticity by frame work method. J. Appl. Mech., 1941.

91. Seeley R.T. Singular integrals and boundary value problems. Amer. J. Math., 1966, v. 88, №4, p. 781 -809.

92. Turner M.J., Clough R.W., Martin H.C., Topp L.J. Stiffness and deflection analysis of complex structures. J. Aeronaut, Sci., 1956, v. 28, p. 805 - 823.