автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Методы граничных уравнений в задачах расчета конструкций на упругом основании



ГОССТРОЙ СССР Ордена Трудового Красного Знамени Центральный научно-исследовательский и проектно-экспериментальный институт комплексных проблем строительных конструкций и сооружений имени В.А. Кучеренко (ЦНИИСК им. В.А. Кучеренко)

На правах рукописи

ПЕТРОСЯН Левон Григорьевич

УДК 624.042.8:681.3

МЕТОДЫ ГРАНИЧНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЗАДАЧАХ РАСЧЕТА КОНСТРУКЦИЙ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ

Специальность 05.23.17-Строительная механика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

МОСКВА-1989

т

ж

Работа выполнена в ереванском ордена Трудового Красного Знамени политехническом институте имени К.шаржса.

Официальные оппоненты: - член-корр. АН Каз.ССР, доктор технических

наук, профессор Ш.М. Айталиев

- доктор технических наук, профессор ' - H.H. Леонтьев

- доктор технических наук, профессор В.И. Травуш

Ведущее предприятие - Всесоюзный научно-исследовательский

институт оснований и подземных сооружений (ВНШОСП им. Н.М.Герсеванова)

Защита состоится " "_ 1990 г. в_часов

на заседании специализированного совета Д.033.04.02 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора технических наук при ордена Трудового Красного Знамени Центральном научно-исследовательском и проектно-эксперииентальном институте комплексных проблем строительных конструкций и сооружений им. В.А.Кучеренко Госстроя СССР по специальности 05.23.17 - "Строительная механика" по адресу: 109389, Москва, 2-я Институтская ул., д.6.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ЦНИИСК им.Кучеренко.

Автореферат разослан " "_ 1990 г.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат технических наук

В.К.Сидоров

ОБЦАЯ иШТШ'£ИШ РАБОШ

Актуальность теш. Развитие социалистической индустрии страны на базе перестройки экономики и управления и на пути эффективного использования достижений научно-технического прогресса требует быстрого решения многих научных проблем, от которых зависит создание и внедрение новой техники в промышленности и строительстве. Среди таких проблем важнейшее место занимают вопросы автоматизации проектирования сооружений с помощью высокоскоростных ЭВМ, позволяющих проводить расчеты конструкций по весьма сложным расчетным схемам, что при "ручном" счете было технически неосуществимо.

Революционные сдвиги в разработке вычислительных машин последних поколений стимулировали разработку специфических методов расчета конструкций, обеспечивающих полный охват возможных расчетных схем с учетом таких факторов как пространственная работа конструкций, наличие неограниченных элементов, высокоградиентное изменение напряженно-деформированного состояния, контактные явления и т.д. Если для программ, реализуемых на первых поколениях ЭВМ, было характерно широкое использование метода конечных разностей (МКР) и особенно метода конечных элементов (МКЭ), то в дальнейшем внимание исследователей и разработчиков программ было привлечено к другим методам, имеющим перед МКР и ЖЭ ряд существенных преимуществ. Такие методы возникли на почве имеющих давнюю историю чисто аналитических построений теории потенциала и близких методов интегральных уравнений, которые в "домашинную" эпоху имели сравнительно мало шансов на эффективную численную реализацию. Основанные на сведении краевых задач расчета конструкций к решению интегральных уравнений на их граничных поверхностях, эти методы по аналогии с ГйКЭ получили в конце концов название методов граничных элементов (МГЭ). Хотя теоретические основы методов типа ЫГЭ закладывались

главным образом усилиями русских и советских ученых, в практической реализации их нам еще предстоит много работы. Поэтому вопросы универсализации методов, охватываемых термином МГЭ, расширение области их применения и реализации при решении практических задач является задачей весьма актуальной.

Еще одной актуальной проблемой строительной механики может быть признана теория расчета конструкций на упругом основании, обеспечивающая надежность и экономичность одних из самых массовых и ответственных конструкций в строительстве: фундаментов зданий и сооружений, дорожных и аэродромных покрытий, покрытий откосов гидротехнических сооружений, плотин, подстилающих слоев полов промзданий, силовых полов испытательных корпусов и т.д.

Настоящая диссертация посвящена, с одной стороны, разработке достаточно общих подходов для построения единой и универсальной методики применения метода граничных элементов к решению краевых и начально-краевых задач расчета конструкций, обобщению МГЭ на спектральные разложения, а также приложению этих методов к расчету конструкций, лежащих на связном упругом основании, где метода граничных элементов до настоящего времени практически не применялись.

Целью работы является создание методологических основ единого метода граничных элементов, строящихся на базе фундаментальных решений краевых задач, а также разработка спектрального метода граничных элементов, основанного на непрерывных или дискретных разложениях по собственным функциям. Основные приложения рассматриваемых методов концентрируются вокруг задач расчета конструкций на связном упругом основании и динамического расчета конструкций. Одной из целей работы является также разработка общей модели связного основания с регулярным ядром.

Научная новизна полученных в диссертационной работе результатов заключается в следующем:

- дается развитие обобщенного метода интегральных преобразований и общая схема построения методов типа граничных элементов;

- разработан спектральный метод граничных элементов, как результат применения общей схемы граничных уравнений при использовании спектральных разложений;

- предлагается новая регулярная модель связного упругого основания, допускающая при любом нагружении конечные перемещения и напряжения и переходящая при предельных значениях параметров в две основные модели основания - упругое изотропное полупространство (полуплоскость) и винклеровское основание;

- разработана методика экспериментального определения ядра предлагаемой модели упругого основания с помощью штамповых испытаний грунтов;

- разработана программа решения на ЭВМ контактных задач для жестких штампов, вдавливаемых в основание, описываемое предлагаемой в диссертации моделью;

- впервые решен ряд задач о неизолированных плитах со свободными краями, лежащих на связном упругом основании;

- предложена новая методика построения стандартной формы краевой задачи, обеспечивающая простой и доступный способ учета неоднородности в нагрузке, граничных и начальных условиях при статическом и динамическом расчете конструкций;

- получено решение нестационарной задачи для оснований, комплексная жесткость которых является произвольной функцией частоты;

- предложен новый метод исследования причинности моделей динамических систем;

- получены функции Грина (функции влияния) для ряда динамических задач с учетом различных моделей внутреннего трения.

На защиту выносятся следующие основные результаты:

- общая методика построения методов граничных элементов в скачках;

- развитие обобщенного метода интегральных преобразований;

- спектральный метод граничных элементов;

- обобщенная модель упругого основания;

- решение ряда контактных задач рассматриваемыми методами;

- построение функций Грина динамических задач для сред с частотно-независимым и частотно-зависимым внутренним трением.

Практическое значение работы заключается в разработке новых численных методов, которые могут быть использованы для алгоритмизации расчета различных конструкций, и новой модели основания, на базе которой можно разработать достоверную и экспериментально подтверждаемую методику расчета конструкций на упругом основании. Общая методика построения МГЭ и спектрального МГЭ может также послужить основой для методологически единого изложения теории МГО.

Достоверность результатов, полученных в диссертационной работе, обеспечивалась использованием строгих методов анализа, а также решением модельных задач и сравнением получаемых результатов с известными результатами других авторов.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на: Д Всесоюзной конференции по совершенствованию методов расчета зданий и сооружений на динамические воздействия (Тбилиси, 1982); Всесоюзном совещании и Ш научной сессии дальневосточной секции J/CCC (Владивосток, 1982); У1 Всесоюзной конференции по динамике оснований, фундаментов и подземных сооружений (г.Нарва, 1985); Всесоюзном семинаре по актуальным проблемам прикладной механики (Ленинград, 1986); Всесоюзном координационном совещании по интенсивным кратковременным воздействиям на здания и

вооружения (Томск, 1987); IX Международной конференции по сейсмостойкому строительству (Токио-Киото, Япония, 1988); научно-технических конференциях ЕрПИ им.К.Маркса (1982, 1984, 1985, 1986, 1987, 1988 гг.); секции по динамике сооружений ЦНЖСК им.Кучеренко, 1989 г.

Публикации. Результаты исследований, приведенные в настоящей диссертационной работе, опубликованы в двух монографиях и 17 статьях и докладах на всесоюзных и международной конференциях.

Объем работы, диссертация состоит из введения, семи глав, общих выводов, списка литературы и приложений. Общий объем работы 306 стр., она содержит 29С стр. машинописного текста, 24 иллюстрации на 16 стр., список литературы из ¿¿36 наименований на 24 стр., приложений на 14 стр.

Работа выполнялась в течение 1980-1989 гг. в Ереванском политехническом институте им.К.Маркса в рамках договоров о творческом содружестве между ЕрШ и ЦНШСК им.Кучеренко Госстроя СССР по тематике отраслевой программы Госстроя СССР № 055.16.013 "Разработать на основе экспериментальных и теоретических исследований комплекс нормативно-инструктивных документов по динамическому расчету и виброзащите сооружений" (I98I-I985 гг.) и координационных планов Госстроя СССР по динамике сооружении.

СОДЕРКАНИЕ РАБОТЫ

В первой обзорной главе дается анализ основных исследований по методу потенциала, МГЭ и близким методам строительной механики. Отмечается вклад советских и зарубежных ученых в теоретическое обоснование и развитие этих методов.

Развитию методов граничных интегральных уравнений (ШУ), находящих истоки в математической теории потенциала, в значительной мере способствовали работы русских и советских ученых А.М.Ляпунова,

В.А.Стеклова, С.Г.Михлина, Н.И.Мусхелишвили, И.Н.Векуа, Л.С.Соболева, В.Д.Купрадзе и др. дальнейшее совершенствование и приложение к решению различных прикладных задач эти методы нашли в работах А.Я.Александрова, Л.А.Алексеевой, М.А.Алексидзе, Ш.М.Айталиева, И.С.Аржаных, М.О.Башейлешвили, А.В.Бицадзе, С.м.Белоцерковского, Ю.Л.Бормот, Т.В.Бурчуладзе, Ю.д.Бураго, А.И.Вайдинера, Д.В.Вайн-берга, Н.П.Векуа, Э.С.Венцель, Ю.В.Верюжского, В.С.Владимирова, Г.Г.Гегелиа, Н.М. Гюнтера, С.С.Заргаряна, А.Б.Золотова, А.И.Калан-дия, В.П.Клепикова, Ю.д.Копейкина, Б.Г.Коренева, М.И.Лазарева, А.М.Линькова, В.М.Лиховцева, Я.Б.Лопатинского, О.В.Лужина.В.Г.Ма-зьи, С.Г.Михлина, С.Е.Михайлова, В.З.Партона, П.ИЛерлина.Ю.Г.Плотникова, Г.Я.Попова, Ж.А.Рухадзе, В.С.Рябенького, В.Н.Самарова, А.Г.Саркисяна, В.С.Саркисяна, В.Н.Сидорова, В.ИЛравутаа.А.Г.Угод-чикова, Н. 1л.Хуторянского, А.И.Цейтлина, Ю.Т.Чернова, Н.и.Шапошникова, И.С.Шейнина и др.

Построению эффективных методов решения 1ИУ и граничных задач

посвящены работы многочисленных зарубежных ученых, среди которых прежде всего следует отметить Т.А.Круза, Ф.Д.Еиццо, II.Бенерджи, Р.Баттерфилда, К.Бреббия, С.Уокера, Ф.М.Базунера, д.У.Сноу, Д.К.Ф.Теллеса, С.Крауча, А.Старфилда, Д.И.Сведлоу, Ж.К.Лаша, Д.О.Уотсона и др.

Базисным для анализа статических задач теории упругости методами потенциала стало классическое решение Кельвина, которое определяет поле смещений в упругом изотропном пространстве от единичной сосредоточенной силы. Для стационарных динамических задач матрица фундаментальных решений была получена В.Д.Купрадзе.

Построение функции Грина для задачи о гармонических колебаниях упругого полупространства и полуплоскости рассматривалось в работах К.М. СабеДВ.Наы^йпе, 1.И. М. КиюсНЛа , В.А.Ильичева, О.Я.Шехтер, Ю.Г.Плотникова, А.С.Саркисяна, Д.Р.Атадаанова.

Работы по приложению методов теории потенциала к решению краевых задач теории упругости далеко не исчерпывают всего многообразия исследований, проведенных в нашей стране и за рубежом. В зарубежных работах методы потенциала и граничных интегральных уравнений, получаемых с помощью формулы Грина или тождества Бетти, в совокупности с техникой решения разрешающих интегральных уравнений получили название метода граничных элементов. ЖЭ весьма тесно переплетен с методом потенциала, и трудно разделить эти два метода, относя те или иные работы к одному из них.

Далее в первой главе формулируются цели и задачи исследования. Отмечается, что анализ основных работ, относящихся к методам ГИУ и МГЭ, в том числе итоговых монографий, доказывает, что общей и достаточно полной теории граничных уравнений еще не создано. К основным аспектам такой общей теории следует отнести:

- оптимальный выбор вспомогательной задачи, для которой строится функция Грина, т.е. основной системы в терминах строительной механики;

- единообразный выбор граничных силовых и кинематических воздействий в зависимости от вида дифференциального уравнения задачи и граничных условий;

- единая методика построения всех видов граничных уравнений, включая интегральные и алгебраические;

- теория решения интегро-дифференциальных уравнений.

Одной из целей реферируемой работы является развитие теории

граничных уравнений, направленное на создание методологических основ достаточно общего единого построения любых разновидностей граничных уравнений. Б качестве основы для такого общего построения используется универсальный аппарат метода интегральных преобразований.

Еще одной задачей исследования является решение с помощью МГЭ краевых задач расчета конструкций, лежащих на упругом основании связного типа, формулируемых в виде интегро-дифференциальных систем

Вторая глава диссертационной работы посвящена изложению общих подходов к построению одномерных граничных уравнений, основанных на применении дельта-преобразования и обобщенных интегральных преобразований. Содержание главы носит вводный и в некоторой степени иллюстративный характер для дальнейших приложений граничных уравнений к решению многомерных задач. Приведенные в диссертации примеры наряду с иллюстративной функцией могут представлять и самостоятельный интерес.

Рассматривается одномерная краевая задача

Апх> = ц(.х) , ^a,<x<i) (I)

порожденная самосопряженной дифференциальной операцией

Я" (п-т) (п-т)

£ЪГ(Х) - £(р(Х)ъГ (х))

'т ««о

(2)

и самосопряженными граничными условиями А;ШХ)

= 0 ; АлГ«>] =0, (]= 1,2,... 6) (3)

я»а+о ' 'х " I • о

Для решения уравнения (I) достаточно получить частное решение неоднородного и общее решение соответствующего однородного уравнения. Идея методов типа ШУ может быть сформулирована как определение обоих этих решений через функции Грина уравнения (I), задаваемого в некоторой расширенной по сравнению с (О., ^ ), областью. Этой областью может быть минимально отрезок [а, , максимально - вся числовая ось.

На конкретных примерах расчета показано, что расширение области рассматриваемой задачи и получение решений неоднородного уравнения в расширенной области, соответствующих заданной нагрузке

-Ills нагрузке, сосредоточенной в граничных точках, позволяет построить граничные уравнения без определения фундаментальной системы.

G целью обоснования методов построения граничных уравнений рассматриваются обобщенные интегральные преобразования. В классической схеме интегральное преобразование

\5(х)гмх,эос1х = Ctt, f) = F(X), i, (4)

oo

jF(?0U(x,30ctr(>.) = fcx),

-oo

применяют для решения краевых задач, порождаемых дафференвдальноГ* операцией , собственные функции которой определяют ядро преобразования:

^гих,х)«= \U(x,x) (х<х<хг). (5)

Здесь - неубывающая функция, непрерывная при непрерывном

спектре и ступенчатая при дискретном спектре разложения. В работе этот метод распространяется на более общий случай краевых задач, порождаемых близкими к L операторами. Вместо интегрирования по частям, характерного для интегральных преобразований, используется формула Лагранжа-Грина, справедливая на каждом интервале непрерывности )

Г2п

(/«¡«л + Единив . и(х,щ (6) Lj4J ln-i*l V

Мя решения уравнения (I) полагаем, что функция ?<Г(£) продолжена вне ( CL, i ) таким образом, что она удовлетворяет при X = Xt и X = Хг граничным условиям

fljlMX^*)- о, В-1КХ2,ХЬ 0, (jz IX... 5, п-6 S* 2П) (7)

где Bj - некоторые самосопряженные линейно-независимые дифференциальные формы. При S < 2п систему граничных форм Bj можно дополнить до полной системы S » Zti любыми линейно-независимыми

дифференциальными формами.

Если £ = , Ь^ = Ау и ) совпадает с (х^, ха), тс получаем стандартный результат

оО

~ г»Г(Ж)-^ми,(})шх,%)с1г(\). ^8)

- оО

Рассматриваются раздельно три возможные обобщения метода интегральных преобразований, когда эти условия не выполняются:

преобразования в расширенной (X , Х^) =э () и суженной (Х,,Хг) <= (.а,ё) области;

преобразование с близким ядром );

преобразование с близкими граничными условиями (-А-?4 В. ). В случае расширенной области, используя граничные условия (3), получаем систему граничных алгебраических уравнений

А,и<а*о>+ ¿ГдВ.шадА! .(х,а)1 + дВ.г«&АА (х,§>| 1= О, ^ п1 ^ |«.а*о' Iхк*о (9)

2п

Полученные граничные уравнения содержат в качестве коэффициентов спектральные разложения. Этот метод построения граничных уравнений близок по своему содержанию и к методам граничных элементов и методам типа потенциала, однако вместо функции Грина, он опирается по существу на ее спектральное разложение. Поэтому этот метод может быть назван спектральным методом граничных элементов.

Важнейшим фактом, влияющим на вид системы граничных уравнений (9), является наличие Ап неизвестных скачков при наличии всего лишь 2п граничных условий. Выбор тех или иных скачков в качестве неизвестных определяет структуру граничных уравнений.

Преобразование с близким ядром удобно в тех случаях, когда известно решение краевой задачи с близкой дифференциальной опера-

- 13 -

цией и такими же краевыми выражениями, как в заданной.

Во многих случаях трудности решения краевой задачи связаны с "неудобными" граничными условиями. Если известно решение аналогичной задачи при каких-либо других граничных условиях, то использование преобразования с собственным ядром этой задачи приводит к граничным уравнениям, решение которых тем проще, чем ближе граничные условия исходной и близкой задач.

Рассмотренные в работе обобщения метода интегральных преобразований особенно эффективны при решении многомерных задач. При выборе ядра, удовлетворяющего дифференциальному уравнению задачи, применение обобщенных интегральных преобразований сводит задачу к решению граничных уравнений - интегральных при непрерывном спектре и алгебраических при дискретном. Если ядро преобразования удовлетворяет только граничным условиям, то приходим к интегральным или алгебраическим уравнениям, получаемым во всей области определения оператора рассматриваемой задачи.

Приведенные обобщения метода интегральных преобразований не выходят за рамки идей, связанных с использованием в решении краевых задач ортогональных или биортогональных разложений с дискретным и непрерывным спектром. Существенно отличные по своей основе обобщения могут быть получены посредством введения в процедуру интегрального преобразования неортогональных ядер. В качестве таких ядер, в частности, во многих задачах можно использовать функцию Грина близких задач. Преобразование Грина, как таковое, по-видимому, вводится впервые.

построение функции Грина в большинстве случаев само по себе представляет трудоемкую задачу, поэтому в качестве близкого оператора желательно выбрать такой, для которого функция Грина либо может быть получена в замкнутом виде, либо построена с помощью

достаточно простого алгоритма. Наиболее просто решение краевых задач можно получить при определении Сг(.Х, х^ на бесконечном интервале. Б этом случае рассмотренный метод является аналогом классического метода потенциала, метода компенсирующих нагрузок и непрямого метода граничных элементов.

В качестве неортогонального ядра интегрального преобразования может быть принята дельта-функция, что приводит к методу дельта-преобразования А.К.Цейтлина.

Аля иллюстрации применения метода дельта-преобразования и преобразования Грина рассматривается традиционная задача об изгибе балки на упругом основании с анализом расчетных схем построения граничных уравнений.

Рассматриваются уравнения прямого и непрямого метода граничных элементов, а также другие варианты построения различных граничных уравнений. В частности, можно положить равными нулю все скачки силовых и кинематических параметров в точке X = 0 или точке X = I , а также рассмотреть точки, находящиеся вне интервала (о,£ ).

Во второй главе рассматривается также тесно связанный с граничными уравнениями вопрос о "стандартизированной" форме дифференциального уравнения с неоднородной правой частью и неоднородными краевыми условиями. Лается новый метод получения "стандартизированной" формы на основе дельта-преобразования.

Приводится краевая задача для оператора Ь

'0 (10) с неоднородными граничными условиями

А^|х.аг0 »и. (п)

А]ШХ)1 <Э1г. (;= Д2,... п)

к "стандартной" форме в виде неоднородного дифференциального уравнения (I) с однородными граничными условиями (3). Для этой цели в (10) осуществляется дельта-преобразование. Воспользовавшись далее формулой Лагранжа-Грина и используя свойства производных от дельта-функции, получаем на каждом интервале непрерывности 2л 2п

ХДА^Ы ,?(х-ё). (к.

Таким образом, краевая задача <Ю), (II) эквивалентна краевой задаче с неоднородным дифференциальным уравнением

А*« - £зАп_{+£<х-а) ♦ (13)

и однородными граничными условиями на концах интервала О. . Наиболее важен случай, когда

. В этом случае Алла,-о) = о , => о (14)

и эквивалентный оператор имеет стандартную форму (13), (14). Приводятся построения "стандартных" форм также и для задач Коши. Рассмотрены частные примеры.

Приведенные методы перехода от неоднородных граничных условий к неоднородному уравнению, т.е. перенос воздействий из граничных условий в нагрузку (правую часть) в виде дельта-функции и ее производных позволяют построить решение соответствующих задач в виде функции Грина и ее производных по параметру, характеризующему точку приложения сосредоточенной нагрузки. Этот вопрос является центральным в методах граничных элементов, так как именно использование функций Грина в расширенной области обеспечивает простоту и единообразие граничных уравнений. Далее изучается связь функций Грина самосопряженного дифференциального оператора с однородными решениями метода начальных параметров. Доказывается, что однородные решения Коши одновременно определяют граничные операции от функции Грина.

-16 -

В третьей главе рассматриваются различные схемы граничных уравнений для многомерных задач. Вначале рассматриваются интегральные уравнения методов граничных элементов применительно к решению пространственной задачи теории упругости, затем приводится достаточно общий метод построения граничных уравнений в скачках.

В трехмерном пространстве А задается ограниченная область В с гладкой границей Г . Обозначим через Г* предельную поверхность при стремлении точек В* к Г , а через Г - то же для В , являющейся дополнением В У Г до всего Я . Рассмотрим в

В*

краевую задачу теории упругости

Ч*тр) = о , (.ре В*) (15)

осищ) * рТ^Шр = «I € Г) (16)

Здесь - константы; V* ~ матричный оператор линейной

теории упругости; Тп - оператор напряжений по площадке с нормалью П ,

Введем в пространстве К расширенную область £2 .включающую в себя 1)+ . Минимальным расширением области В является присоединение к ней границы Г , максимальным - пространство Л . Продолжим некоторым образом И- (/Э ) в расширенную область и осуществим дельта-преобразование. Будем полагать, что в О- компоненты функций и> дважды дифференцируемы повсюду, кроме границы Г . Тогда, используя формулу Грина-Бетти в областях непрерывности Вф Ж £ \ в иг , получим

^ШрчЪр.рХ&г (И" (17)

Здесь Г * - внешняя граница области ¿2 .

В силу свойств дельта-функции последнее уравнение, рассматриваемое в Г , дает (для простоты далее звездочку у р* опус-

каем)

Ш(р) = ¡[АЩ}Г\р) - ьТлШ<рЩ,рЩ + г

+ 1 - Щ.рЯ&Ч^.Т*, (реП).

Г

где Д - означает скачки на Г . Таким образом, вместо уравнения (15) в области , мы получили уравнение (18) в области О. , такое, что решение обоих уравнений в В совпадает. При этом уравнение (18) содержит в правой части дополнительные члены в виде дельта-функций и ее производных, представляющих собой "компенсирующие" силовые и кинематические воздействия. Для решения уравнения (18) воспользуемся функцией Грина краевой задачи (15) в расширенной области £2 . Тензор Грина (ж (р,<£ ) удовлетворяет уравнению

У*С(р.Ср + = о (19)

и некоторым граничным условиям на Г# .

Решение уравнения (17) можно представить в виде:

иср) - ащиЛ^шд) - ая<р,д)Аи(^(1Т% + (20)

Т -п*

Граничные условия для тензора Грина на (и одновременно

для И- )произвольны; их можно выбрать таким образом, чтобы построение тензора Грина осуществлялось наиболее просто. Поскольку Шр> и на Г* удовлетворяют одинаковым граничным ус-

ловиям, последний интеграл в (¿0) обращается в нуль и окончательно получаем

и<р) = ¡[СщмТ^тр - . (21)

Г ( Ре П\Г)

- 18 -

Итак, получено стандартное представление функции Ц-{р), аналогичное ф-ормуле Сомильяны. Такая формулировка граничных интегралов позволяет дать четкое механическое представление формулы (21) в рамках классических методов строительной механики. Б частности, полагая какие-либо скачки равными нулю, т.е. считая, что на границе области непрерывны перемещения или напряжения, мы приходим по существу к пространственному аналогу метода сил или метода перемещений, причем основную систему определяет расширенная область и принятые на ее границе краевые условия. Б зависимости от сохранения тех или иных скачков мы можем придти к непрямому или прямому методу граничных элементов, а также к различным уравнениям метода потенциалов.

Если принять ДМ- = 0, т.е. на Г считать непрерывными перемещения и приложить силовые воздействия, то для первой краевой задачи ( ^ = 0, оС = I) и второй краевой задачи ( оС = 0, £ = I) приходим к интегральным уравнениям

(I) ¡о^дт^хл; = *сР) . (2г)

г

(П) 0>5дТ^(р) ♦ 50ср,фдТ><я><й; - *Р>. (23)

Г

соответственно первого и второго рода. Уравнения (22), (23) совпадают с уравнениями теории потенциала, когда разыскивается решение в виде потенциала простого слоя. К аналогичным уравнениям приводит и непрямой метод граничных элементов.

Если же дТпи> = 0, т.е. на границе Г принимаются непрерывными напряжения и прикладываются кинематические воздействия, дающие скачок в перемещениях, то для первой и второй краевых зада* соответственно получим следующие интегральные уравнения

(I) О.БАШр) ~ = (р) (24)

<П) - ¡С <Р4)ДИ'«1>с1Г - <$(р) (25)

У ЯР »

которые при У = - совпадают с уравнениями метода потенциала.

Анализ формулы (21) показывает, что кроме двух рассмотренных случаев ( А1Л> = О, ДТ^М- = 0) возможны еще два варианта: З.А'И^

дТ^ Ф 0 (этот случай соответствует продлению функции IV(.р) нулем в расширенную область = 0 (отсут-

ствие воздействий на границе Г ).

¡тлее подробно рассматриваются случай, когда оба скачка не равны нулю, т.е. на границе области И* прикладываются распределенные силовые и кинематические воздействия, и случай, когда все скачки принимаются равными нулю, т.е. на Г не задается никаких воздействий - ни силовых, ни кинематических.

Использование метода дельта-преобразования в расширенной области для вывода граничных интегральных уравнений позволяет развить дальнейшие обобщения МГЭ, связанные с произвольным выбором дифференциальных форм на границе. Для иллюстрации рассматривается это обобщение на примере трехмерной самосопряженной краевой задачи эллиптического типа. Для получения интегральных уравнений второго рода необходимо выбирать "основную систему", т.е. расширенную область так, чтобы на границе были непрерывны скачки дифференциальных операций, сопряженные к операциям граничных условий рассматриваемой краевой задачи.

Приведенное в работе обобщение может быть распространено и на прямой МГЭ или ГИУ посредством продолжения вектор-функции Щр) нулем вне области В+. При этом мы получим обобщение ГНУ пространственной задачи теории упругости, полученных выше, а также обобщение функциональных уравнений В.А.Купрадзе. Аналогично могут быть построены обобщения метода компенсирующих нагрузок при размещении

- 20 -

скачков дифференциальных форм вне Г в области В .

В заключении главы приводится весьма простое доказательство полной эквивалентности двух основных вариантов мГЭ - прямого и непрямого.

В четвертой главе на основе подходов к построению достаточно общих граничных уравнений, изложенных в главе Ш, формулируется новая разновидность метода граничных элементов - спектральный МГЭ. Спектральный метод граничных элементов (СкГЭ) может рассматриваться как дальнейшее развитие результатов Б.Г.Коренева, Р.В.Серебря-ного, В.И.Травуша и особенно Г.Я.Попова по применению интегральных преобразований в неканонических областях, а также как обобщение этих результатов, акцентирующее гранично-элементную основу применяемых этими авторами методов, которые в конце концов сводят краевую задачу к интегральным уравнениям на границе области.

Суть спектрального метода граничных элементов для одномерных задач, вкратце изложенная во второй главе, заключается в построении граничных уравнений не с помощью функции Грина, а на основе спектральных разложений дифференциальных операторов, рассматриваемых в расширенной области.В частности, для этой цели может использоваться преобразование Фурье и ланкеля, а также широко применяемые в строительной механике разложения по балочным функциям.Спектральный метод особенно удобен в тех случаях, когда построение функции Грина затруднено или может быть осуществлено только с помощью интегральных или дискретных разложений.

Для большей наглядности схема спектрального метода иллюстрируется на решении модельных задач, в частности, задачи об изгибе свободной балки, лежащей на упругом основании. В качестве расширенной области применяется вся ось. Осуществление преобразования Фурье с последующим интегрированием по частям и обращением приво-

дит к решению задачи, выраженному через восемь скачков неизвестных функиий в краевых сечениях - перемещения, угла поворота, момента и поперечной силы. Тот или иной выбор скачков, определяющий основную систему, и дальнейшее удовлетворение граничных условий дает систему граничных уравнений соответствующего типа.

Рассмотрим краевую задачу

lu-ip) = о , (р еД*) (26) Imp) » f<p). ip е г*)

в трехмерном пространстве R при допущениях о характере дифференциального оператора I, , принятых в предыдущей главе. Осуществим такое че расширение области до О и определим на границе расширенной области Г краевые условия

Sjl>(p) - о , «7)

т.е. будем разыскивать решение, удовлетворяющее в уравнению (26) и граничным условиям (27) на ее границе. Одновременно выберем какую-либо систему собственных функций оператора Z# в о. , удовлетворяющих уравнению ¿У =АУ и условиям (27). Эта система может быть дискретной, если спектр оператора If в дискретен, и непрерывной пои непрерывном спектре.

Обобщая задачу и не разделяя два основных случая, когда п неограниченна или конечна, будем пользоваться единым трехмерным интегральным преобразованием

Ffx) » J-J(p>y(x,p)dQP ,

£ (28)

j(p-) = Jft*)y(\p)A:(M ,

-oo

имея в виду, что она охватывает оба случая, и для ограниченной области считая *С ( А) Функцией скачков. Осуществляя в расширенной области интегральное преобразование с ядром У (\р)» прихо-

дам с учетом того, что ДМ(.р) = 0 (р е Г ), к интегральному уравнению первого рода

со _ _

\ь.1шу ¡¿Уусщ^Уа.р^гтс!^ = ^9)

Г -оо —

Если же на границе области Б* заданы краевые условия¿Шр)= = (р) ( ре Г+), то выписывая выражения для 8шр) , £у£(р) и суммируя их, получим интегральное уравнение второго рода

±д£и>(р) -^¿и(у1\$9а,ср1у>аур)с1г(\)с1Гя = $(р>. {30) г

Интегральные уравнения (29) и (30) полностью эквивалентны интегральным уравнениям, приведенным в третьей главе настоящего исследования, так как они имеют одинаковые ядра.

Еще одну модификацию спектрального 1ЯЭ можно построить при предположении А Миф) =дА/и-(р) = 0, {ре Г*) и размещении внешних возмущений, определяющих скачки дифференциальных форм, вне области Л * и ее границы Г , т.е. в пределах области В . В этом случае интегральные уравнения будут регулярными, однако получение интегральных уравнений второго рода здесь уже невозможно.

В диссертации получены интегральные уравнения спектрального МГЭ двух типов. Первый тип уравнений характеризуется тем, что они являются спектральными аналогами граничных интегральных уравнений вследствие того факта, что их ядра представляют собой спектральные разложения соответствующих функций Грина. Другой тип интегральных уравнений не имеет аналогов среди ШУ. Существенным обстоятельством при этом оказывается, что интегрирование в уравнении происходит не по граничной поверхности (кривой) Г , а по спектральной оси Л .

Наряду с системами дифференциальных уравнений в обыкновенных и частных производных многие задачи механики сплошной среды форму-

лируются в виде интегро-дифференциальных уравнений (или систем). К таким задачам, в частности, относится весьма широкий класс контактных задач, имеющий широкие приложения в теории конструкций на упругом основании, механике грунтов, теории конструктивных форм, динамике и прочности машин и т.д.

В качестве примера в работе рассматривается контактная задача для плоской конструкции, напряженно-деформированное состояние которой в области В* описывается линейным дифференциальным оператором X в частных производных 2п - го порядка

¿ШХ. 1/> » ^(Я,^) -/>(Я,у> , (Х,^ е Л*), (31)

граничными условиями

= о, (я.у € г*; у - ) (32)

и условиями контакта с линейно-деформируемой средой

щх,у) (1,уеЛ). (33)

Здесь операторы I* и ^ имеют те же свойства, что и в предыдущих главах; и{Х,у) - функция перемещений; Ц,{Х,у), р (Х,у) -функции внешних воздействий и контактных напряжений; (З&С.у^,^) - функция Грина линейно-деформируемой среда в областиЯэО , Выберем в качестве расширенной области К и продолжим в нее и (ЦХ,у ) шз В таким образом, чтобы уравнение

(31) удовлетворялось в расширенной области. Осуществляя в уравнениях (31), (33) преобразования с ядром у» ) и используя формулы обращения для У - преобразования, получим

где 6 ) - спектральные функции распределения У - пре-

образования.

Выбирая п скачков дифференциальных форм , а N11 рав-

ными нулю, используя граничные условия (32) и условие р (X, 2/ ) = = О (Х,^ 6 В ), получаем из (34) систему разрешающих интегральных уравнений для определения (■£,1^) Т(£,т]_):

(Х,у е Г), (Х,^ е Б"),

^ .и рад *

¿(ад,-- Щеп (37)

Система уравнений (35), (36) имеет ту особенность, что первое интегральное уравнение может быть решено гранично-элементными методами., а второе конечно-элементными.

Имеется большой класс контактных задач, для которых уравнение (36) удовлетворяется тождественно, и поэтому для их решения может быть применен спектральный МГЭ в чистом виде. Этот класс задач характеризуется отсутствием бесконтактных зон и размещением конструкций, соединяемых тем или иным образом по всей области Л , т.е. случай так называемых неизолированных (по Б.Г.Кореневу) конструкций на упругом основании.

Таким образом, спектральный метод граничных уравнении может быть применен для решения интегро-дифференциальных уравнений,описывающих напряженно-деформированное состояние сложных систем, в частности, конструкций и сред, контактирующих друг с другом по

некоторым областям. В таких задачах метода потенциалов ж МГЭ неприменимы в общей схеме решения, и могут быть использованы лишь для расчета каждой отдельной конструкции (или среды), а затем сшиванием отдельных решений по контактным зонам может быть получено полное решение задачи. В отличие от этих методов спектральный МГЭ дает прямое решение в чистом виде для неизолированных конструкций и с дополнительным интегральным уравнением по неконтактной области в случае изолированных конструкций. СМГЭ строится на основе обобщенного метода интегральных преобразований и в этом смысле он вписывается в общую схему 1ИУ различных типов, излагаемую в диссертационном работе.

В качестве примера приложения СМГЭ к решению динамических задач рассматриваются колебания пластинки произвольной формы, лежащей на винклеровском основании и находящейся под действием нагрузки с^ (х.^Д ).

Пятая глава содержит подготовительные материалы для дальнейшего применения спектрального МГЭ к расчету конструкций на связном упругом основании. Предлагается новая регуляризованная модель связного упругого основания, позволяющая решать практически любые задачи о расчете изолированных и неизолированных конструкций на упругом основании.

Ядро этой модели имеет вид

В предельных случаях ядро (38) переходит в ядра однородного изотропного полупространства 06= 0, ? =0), Б.Г.доренева (9 = 0) и Г.К.Клейна (6 =0). Вместе с тем введение параметров 6 и 5 позволяет получить при решении различных задач сходящиеся интегралы и учесть в известной степени за счет "сглаживания" решений такие явления, как местные пластические деформации, естественные скруг-

(38)

ления в угловых точках и т.п.

Ядро (30) имеет достаточно простой вид и при конечных 5 ,6 не имеет особенностей на всей полуоси 0 < у < °о . Дня плоской задачи соответствущее ядро имеет вид

Полагая ? —2 и 6 —0, можем придти к винклеровскому основанию (?—2, 6—" 0). Однако осуществить непосредственно предельные переходы в формуле (39) нельзя, так как при этом нарушаются условия сходимости интегрального представления для К (5). Чтобы обойти эту трудность в работе определяется производная ядра - угол наклона поверхности основания. После чего осуществляются предельные перехода, а затем интегрированием восстанавливаются ядра для предельных случаев.

В диссертации приводятся графики функций влияния К(Х) для

о

предлагаемой модели при различных значениях ? и 6 с учетом реальных свойств грунтового основания. Важной особенностью рассматриваемой модели является возможность адекватного описания свойств грунтов с быстрозатухающими вне нагруженной площади осадками, которые обычно описываются моделями винклеровского типа.

Наряду с ядрами основания для пространственной и плоской задачи, рассматриваемых в декартовой системе координат, получены соответствующие выражения для задач, формулируемых в полярных координатах.

В диссертации разработана методика экспериментального определения параметров предлагаемой модели по результатам испытаний реальных грунтов. Приведен пример определения характеристик модели на основе экспериментальных данных, полученных Л.И.1ианвеловым и Э.С.Бартошевичем. Из этого примера следует, что предлагаемая мо-

дель дает весьма близкие к эксперименту результаты. Характеристики модели для различных расчетных случаев восстанавливаются по экспериментальным данным достаточно просто.

Приводится также численное решение контактной задачи для плоского и осесимметричного жесткого штампа, опирающегося на основание с предлагаемым ядром, и новый итерационный метод решения контактных задач.

Уравнения контактной задачи сформулированы в виде парных интегральных уравнений. В случае осевой симметрии они имеют вид

ТКфРЯ)20аЫ$ * (0<1^го).

I 9 (40)

- о.

о

где - преобразование Ханкеля контактного напряжения р(1) ;

гУ0 - перемещение штампа; Ъ - радиус штампа. } Для получения универсального численного решения используется метод, предложенный Ю.Г.Плотниковым, который дает весьма эффективный алгоритм решения контактных задач. Аппроксимация контактного давления для осесимметричной и плоской задачи принята соответственно в виде

Рш - V Ь -V Щ • (41)

р(х)я V н<*"хг (42)

где Н(г) - единичная функция Хевисайда.

Дальнейшие операции с парными уравнениями приводят к системе алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов

А».

Для оценки точности численного решения осесимметричной и плоской контактных задач одновременно вычислялось среднее кон-

тактное давление под штампом, что обеспечивало проверку условия равновесия. С этой же целью при предельных значениях параметров проводились вычисления для идеально упругой полуплоскости.

Анализ результатов вычислений показывает, что при различных значениях параметров 9 и 6 , предлагаемая модель позволяет получить эпюры давления, являющиеся промежуточными между эпюрами, характерными для винклеронекого основания и упругого полупространства. Таким образом, предлагаемая модель позволяет описать практически любые грунтовые основания, рассматриваемые в рамках линейной теории и обладащие различной связностью. При этом они могут иметь неоднородное строение по глубине.

Предлагаемая обобщенная модель упругого основания вследствие регулярности своего ядра открывает путь для применения эффективного метода решения контактных задач и задач расчета конструкций на упругом основании, связанного с различными способами"прямого сведения формулируемой задачи к решению интегрального уравнения Фред-гольма второго рода. Эффективность этого метода определяется возможностью применения простой итерационной процедуры для получения важнейшей характеристики - контактного давления, после чего расчет конструкций может быть произведен на совместное действие внешней нагрузки и найденного контактного давления.

Для иллюстрации рассматриваемого метода расчета приводится решение задачи об изгибе балки конечной длины, свободно лежащей на упругом основании, описываемом обобщенной моделью.

Уравнение равновесия балки имеет вид

ЕЭу'(Х) = рх) - р(х),

Уравнения (43) могут быть приведены к следувдеиу виду

р(Х) * 0 ДО^Сх^/ХХдХзЦ = усх)

где

где

для решения этого уравнения строится итерационная процедура, которая выражается формулой

Приводятся результаты вычислений.

Шестая глава диссертации посвящена приложению спектрального МГЭ к расчету конструкций на упругом основании. Рассматривается равновесие мембраны, изгиб неизолированных балок и плит со свободными краями, лежащих на основании с предлагаемым ядром. Введение новой модели основания позволило впервые решить задачи о неизолированных балках и плитах с указанными граничными условиями. Здесь же приводится решение задачи о колебаниях прямоугольной пластины на упруго-вязком основании, даются численные результаты.

Вначале приводится решение неоднородного уравнения, описывающего задачи динамического расчета мембран, некоторые двумерные волновые задачи, задачи расчета упругого основания с двумя упругими характеристиками и т.п., с помощью преобразования Фурье в неограниченной расширенной области. Затем рассматривается расширенная область в виде прямоугольника. Для построения граничных уравнений используется конечное синус-преобразование. Переходя в уравнении равновесия мембраны к синус-трансформантам и осуществляя все операции спектрального МГЭ, приходим к уравнению

I

(45)

- чад * 5(дэТ с - • (46)

в котором функция Грина имеет над дискретного разложения.

В качестве примера применения СМГЭ рассматривается решение задачи г

- Т^гЛЯ, 1/) + КгГ(х,у) = (¿(X,у),

и-Ъ.р* (47)

в треугольной области. Здесь Т, К - натяжение мембраны и коэффициент постели основания; ц - внешнее воздействие. Функция { (СС, у ) на сторонах треугольника X = 0 и у =0 обращается в нуль, а на диагонали задана по закону треугольника. В качестве расширенной области принимается прямоугольник со сторонами 1Х и ^ , на которых выполняется граничное условие. Граничное уравнение имеет вид

Здесь 9.т<пР) - известные функции; Д-иПср - функция, подлежащая определению; Ц^/э) - решение, соответствующее основной области (прямоугольнику). Приводятся численные результаты.

Адлее для иллюстрации возможностей предлагаемой модели основания рассматривается задача об изгибе двух полубесконечных неизолированных плит, примыкающие края которых не закреплены.Впервые получено решение этой задачи для связной модели основания.

Уравнения равновесия плиты, лежащей на упругом основании, и

граничные условия записываются в виде г а

оо Э771*Г(х,у) » - (-°°''Х,у<оо),

Цр^рКсх-х^-рах^ = гт,у>, (49)

¿¡/Г + о, ¿£+(2-6) = о.

Эх* сйр ' ЭХ» ЭхЭ^*

(х = *0, во)

Решение задачи (49) получено с помощью спектрального КГЭ, реализуемого посредством применения преобразования Фурье. Сходимость интегралов, получаемых при проведении соответствующих выкладок, обеспечена регулярностью предлагаемой модели основания.

Более подробно изучается задача о цилиндрическом изгибе неизолированных плит или об изгибе двух свободных полубесконечных неизолированных балок, лежащих на упругом основании, описываемом предлагаемой обобщенной моделью. Используется спектральный метод граничных элементов. Приводятся результаты вычисления прогибов балки, лежащей на обобщенной модели основания с параметрами, определенными по результатам экспериментов Л.И.Манвелова и Э.С.Барто-шевича. Характерно, что концевые сечения балок имеют скачок перемещений, что не допускают другие модели связного основания.

В завершение главы рассматриваются вынужденные колебания прямоугольной плиты на упругЬм винклеровском основании. Уравнение гармонических колебаний прямоугольной плиты, лежащей на дискретном инерционном основании при действии нагрузки , записывается в виде + . ,

ЦЛ1

" > (50)

где Я (¿-Т) - ядро дискретной модели, описывающее упругие, инерционные и диссипативные свойства основания; о) - круговая частота нагрузки.

Уравнение относительно комплексных амплитуд перемещений имеет

вид

* кш)-иГ(х.у) - сцх,у), (51)

где

-¿coz

к <о» = - tma* + $R«>e dx.

° с

для решения уравнения (51) при граничных условиях, соответствующих свободным краям, используется двумерное конечное косинус-преобразование, что соответствует выбору расширенной области в виде прямоугольника с краевыми условиями гида Нэвье. Далее, следуя спектральному методу ведется интегрирование по частям с использованием граничных условий. В уравнении равновесия выделяются "компенсирующие" воздействия, содержащие неизвестные плотности в виде некоторых дифференциальных выражений от W (Х,у ) и распределенные вдоль контура плиты, включая и угловые точки.

Решение задачи - функция ЪГ(Х,у) определяется по формуле

22 tn+л т л (52)

+ (-iH9-AKo6m+>n)B(m) + (-1) (2-2S)CJCos«£3C .

Коэф|ициенты разложений "компенсирующих" воздействий A (Tí), Ь(Ш) отыскиваются из системы граничных уравнений.

В качестве примера рассматривается квадратная плита с приведенными размерами 2x2 при следующих вариантах нагружения:

1) сосредоточенная в центре плиты сила Р = I;

2) равномерная нагрузка q. = 100, распределенная по площади размером 0,1 х 0,1 в центре плиты. -

Значения прогиба ЪГ = 0,272 и изгибающего момента И = = 0,2987 в центре плиты при втором варианте нагружения отличаются от полученных другим методом в работе Гравуша В.И., Сангаджие-вз В.К. значений менее, чем на 1%. •

Аля последнего варианта нагружения было проведено исследование зависимости прогибов плиты от частоты нагрузки. Увеличение частоты нагрузки приводит к уменьшению приведенной жесткости Ка<п, следовательно, к увеличению абсолютного значения при-

веденной длины I .

Последняя, седьмая глава содержит решения ряда динамических задач, связанных с построением стационарных и нестационарных функций Грина для сред, обладающих частотно-независимым и частотно-зависимым внутренним трением. Важным результатом, приведенным в этой главе, является решение нестационарной динамической задачи для системы с одной степенью свободы.материал которой характеризуется комплексным модулем, произвольно (в рамках принципа причинности) зависящего от частоты возмущения.

Из теории динамических систем следует, что между вещественной и мнимой частями передаточной функции причинной системы должны существовать определенные интегральные зависимости, которые определяют собой взаимные формулы преобразования Гильберта. В диссертации излагается новый способ вычисления преобразования Гильберта через преобразования Фурье соответствующих функций, что упрощает задачу, так как для преобразований Фурье имеются обширные таблицы. Рассматриваются несколько примеров вычисления преобразования Шль-берта для дельта-функций, функции Хевисайда и степенной функции. Описанный выше способ вычисления преобразования Гильберта применяется для анализа динамических моделей оснований, внутреннее трение в которых описывается гипотезами Фойхта, Е.С.Сорокина и Шлиппе-Бока.

Приведенный способ вычисления преобразования Гильберта позволяет сравнительно легко производить анализ априорных моделей динамических систем, основанных на построении комплексной жесткости или комплексной податливости системы. Этот способ позволяет также аналитически определять одну из составляющих комплексной жесткости по экспериментально определенной другой составляющей.

Дэлее рассматривается построение функции Грина для неограни-

ченной плиты, лежащей на упруго-вязком основании винклеровского типа с произвольной зависимостью параметров комплексного коэффициента постели от частоты. Уравнение установившихся колебаний плиты в комплексных амплитудах (51) при <{<& = 8(Х~ - Х^) , определяющее функцию Грина стационарной задачи, с помощью двойного преобразования Фурье приводится к виду

С35^2"- V*+ К(а}) - -С2,г)1 (53)

Передаточная функция плиты в пространстве трансформант Фурье, определяемая из (53), совпадает с передаточной функцией системы с одной степенью свободы, имеющей комплексную жесткость

21ГКЫ) = 2зг[®(^+11)2+К(Ю)] . (54)

В связи с этим в диссертации рассматривается важная с практической точки зрения задача о колебаниях системы с одной степенью свободы, упруго-вязкие свойства которой зависят от частоты колебаний. Исследуются системы с комплексной жесткостью типа К(и» -

«С I

- |о)| К (и)) К (0) > о ). Импульсная переходная функция

-сто

представляется в виде интеграла Меллина, подинтегральная функция которого имеет точку ветвления р = 0 и два полюса, лежащих в левой полуплоскости. Использование теории вычетов позволяет вычислить этот интеграл в виде гладкой функции, имеющей гладкую составляющую, которая соответствует малым квазистатическим деформациям последействия, и осциллирующей относительно этой составляющей затухающей синусоиды, для амплитуды и фазы которой получены замкнутые выражения.

Нестационарная функция Грина плиты на упругом основании определяется затем по формуле

В этой главе рассматривается также вопрос о построении функции Грина для одномерных динамических систем с демпфированием, описываемым различными моделями частотно-независимого и частотно-зависимого внутреннего трения. Вначале рассматривается стационарная одномерная волновая задача на примере продольных колебаний изотропного однородного неограниченного стержня, в центральном сечении которого действует единичная гармоническая нагрузка, или поперечных колебаний струны.

Исследуются следующие основные модели среды: а) общая линейная модель; б) упруго-вязкая модель Фойхта; в) модель частотно-независимого упруго-вязкого сопротивления.

В заключение решается задача о построении функции Грина для нестационарных поперечных колебаний стержня и пластинки с учетом частотно-независимого упруго-вязкого сопротивления.

В приложении к диссертации приводятся распечатке программ решения контактной задачи для основания с регулярным ядром и таблицы контактных напряжений, полученных при решения плоской и осе-симметричной контактных задач.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ЕЫВОЛУ

1. ¿эно развитие обобщенного метода интегральных преобразований, связанное с использованием собственных функций близких операторов, формул Лагранжа-Грина и неортогональных ядер, приводящее при решении краевых задач статического и динамического расчета конструкций к методам типа граничных элементов.

2. На основе единого подхода - проведения интегрального преобразования в расширенной области с использованием формул Лагран-

жа-Грина предлагается общая схема построения методов типа граничных элементов, ¿ля случаев, когда ядро интегрального преобразования неортогонально, получены в общем виде ШУ в скачках, охватывающие все известные и некоторые ноше уравнения, характерные для методов потенциала, граничных элементов, компенсирующих нагрузок. Исходя из общей схемы, дана классификация известных ШУ, используемых в теории упругости. Указаны способы получения интегральных уравнений первого и второго рода.

3. На основе указанного единого подхода при использовании интегрального преобразования с ядром, ортогональным в расширенной области, разработан спектральный метод граничных элементов, применение которого к решению краевых задач для статического и динамического расчета конструкций эффективно в тех случаях, когда прямое построение функции Грина затруднено или когда наряду с дифференциальными в уравнения задачи входят также и интегральные операторы. Получены новые граничные уравнения, не имеющие аналогов в литературе.

4. Разработана новая универсальная регулярная модель связного упругого основания, йздель обеспечивает ограниченные перемещения в плоской задаче и при сосредоточенных нагрузках, допускает скачки перемещений на поверхности основания, не приводит к бесконечным напряжениям на границах контактных зон. Один из параметров модели характеризует зависимость между нагрузкой и перемещением, два других - связность основания и его неоднородность по глубине. Модель может применяться для описания упругих свойств широкого круга реальных грунтовых оснований, так как при предельных значениях параметров она переходит в две крайние по отношению к связности модели - винклеровское основание и упругое изотропное полупространство .

- 37 -

5. Для предлагаемой модели разработана методика экспериментального определения характеристик основания на основе ппгампошх испытаний грунтов. Использование дая этой цеди результатов экспериментальных исследований показывает, что реальным грунтам отвечают значения параметров, значительно отличающиеся от предельных значений, соответствующих винклеровскоыу основанию и упругому полупространству.

6. На основе предлагаемой модели составлена программа и получено численное решение контактной задачи для жесткого штампа, вдавливаемого осевой силой в упругое основание. Анализ полученных эпюр контактных давлений показывает, что они близки к наблюдаемым в экспериментах.

7. Предложен итерационный метод решения контактных задач для конструкций на упругом основании, сходимость которого обеспечивается при использовании предлагаемой регулярной модели основания.

8. Предлагаемая модель позволяет получить решения контактных задач для расчета свободно лежащих неизолированных конструкций на упругом основании (полы цромзданий, покрытия дорог, аэродромов и откосов гидротехнических сооружений и др.). В работе впервые даны решения таких задач для неизолированных балок и плит спектральным методом граничных элементов.

9. Решена задача о стационарных колебаниях прямоугольной плиты на упруго-вязком основании винклеровского типа с помощью спектрального !£ГЭ, Приведенные вычисления показывают хорошее согласование результатов при нулевой частоте с результатами статического расчета аналогичных плит, полученными В.И.Травушек и

В.К .Сангаджиевым.

1С. Предложен новый метод анализа физической реализуемости динамических систем, основанный на вычислении преобразований Гиль-

берта действительной и мнимой частотных характеристик через их преобразования Фурье. Метод проиллюстрирован на примере упруго-вязкого основания, обладавдего внутренним трением, описываемым моделями Фойхта и Е.С.Сорокина.

11. Впервые получено решение динамической задачи для основания с частотно-зависимыми упруго-вязкими характеристиками. На примере построения функции Грина для плиты, лежащей на упруго-вязком основании винклеровского типа, показана возможность получения замкнутого решения уравнения колебаний для обобщенной координаты во временной области, если известны экспериментально определенные параметры комплексной жесткости основания.

12. Получены замкнутые выражения для функций Грина ряда одно-и двумерных динамических задач с учетом частотно-независимого внутреннего трения.

13. Приведенная в диссертационной работе общая методика построения методов типа граничных элементов может быть использована для решения любых линейных краевых задач, встречающихся при расчете строительных конструкций.

14. Предлагаемый спектральный метод граничных элементов предоставляет широкий выбор интегральных и дискретных граничных" уравнений для решения краевых задач, формулируемых в виде интегро-дафференциальных уравнений. Он может быть положен в основу алгоритмов, исключающих определение фундаментальных решений или функций Грина, что в случае сложных по структуре сред или отличных

от всего пространства областей может существенно упростить решение задач статического и динамического расчета сооружений, находящихся в контакте с упругой или упруго-вязкой средой.

Основные положения диссертации опубликованы в монографиях:

I. Цейтлин А.И., Петросян Л.Г. Методы граничных элементов в

строительной механике .-Ереван: Изд-во Луис, 1967.- 200с.

2. Петросян Л.Г. Вопросы статического и динамического расчета конструкций на упругом основании. - Ереван: Изд-во Луйс, 1989.68 с.

а также статьях и материалах всесоюзных и международных конференций:

3. Цейтлин А.И., Басилая В.М., Кусаинов A.A., Петросян Л.Г. динамический расчет конструкций методом дельта-преобразования// П Всесоюзная конференция "Совершенствование методов расчета зданий и сооружений на динамические воздействия". Тез.докл. - Тбилиси, 1982.- С.42-43.

4. Цейтлин А.И., Неустроев Э.А., Петросян Л.Г. Сейсмическое взаимодействие сооружений с грунтом // Тез.докл. Всесоюзного совещания и Ш научной сессии дальневосточной секции I.CCCC, Владивосток. 1982.- С.95-97.

5. Петросян Л.Г. Обобщенный метод конечных интегральных преобразований в расчетах стержневых систем // Исследование по бетону и железобетону. ЕрПИ, Ереван, IS64.- С.32-38.

6. Цейтлин А.И., Петросян Л.Г. О некоторых обобщениях метода интегральных преобразований и их связи с методом граничных уравнений // Строительная механика и расчет сооружений. 1984.- Л 3.-

С.18-23.

7. Цейтлин А.И., Петросян Л.Г., Басилая В.М. Динамический расчет плит на упругом основании методом граничных уравнений // Тез.докл. У1 Всесоюзной конференции по динамике оснований, фундаментов и подземных сооружений. Нарва-Ленинград, 1985.- С.63-66.

8. Петросян Л.Г. Спектральный метод граничных элементов // Строительная механика и расчет сооружений. 1986.- Л 4. - С.45-50.

9. Петросян Л.Г. О приведении краевых и начальных задач к

и стандартной" форме с помощью дельта-преобразования // Изб. АН Арк.ССР, сер. Механика (БШЛИ) & 3955-Б86, 1986.- 12 с.

10. Цейтлин А.И., Кусаинов А.А., Петросян Л.Г. Свободные колебания дассипативных систем // Вестник АН Каз.ССР, Л 9, 1966.-С.50-56.

11. Петросян Л.Г. Об одном способе применения преобразования Гильберта для исследования динамических систем // Изв. АН Арк.ССР, Механика, М I, 1967.- С.17-24.

12. Петросян Л.Г. Эквивалентность прямого и непрямого методов граничных элементов // Строительные конструкции. ЕрПИ, Ереван, 1987.- С.75-86.

13. Петросян Л.Г., Басилая В.М., Хаселев М.Е. Применение обобщенных конечных интегральных преобразований к динамическому расчету плит на упругом основании // Строительная механика и расчет сооружений. 1987, й 5,- С.51-56.

14. Петросян Л.Г. Учет внутреннего трения в одномерных динамических системах // Межвузовский тематический сборник научных трудов ЕрПИ, 1987.- С.40-44.

15. Цейтлин А.И., Петросян Л.Г., Атаджанов Д.Р. 0 методах расчета конструкций, основанных на применении граничных уравнений // Исследования по динамике сооружений.- М.:ЦНИИСК им.Кучеренко, 1987,- С.4-18.

16. Петросян Л.Г. Контактная задача для жесткого штампа на обобщенном упругом основании // Изв. АН Арм.ССР, Механика, 1988, ■К 3.- С.59-64.

17. Петросян Л.Г. Об одной модели упругого основания // Строительная механика и расчет сооружений. - 1988, 5.- С.7-11.

18. Петросян Л.Г. Расчет плоских фундаментных конструкций с помощью обобщенной модели основания // Изв. АН Арм.ССР, Механика,

1988, ¡i 6.- С.51-58.

19. Tsevtü.tv A.I., Petrosyai» LA, Kusavnov A.A., Mamaeva&V. On íaiúna into Account the dampinq iv stvutital design fob dynamic and seismic act. 9 Vf CEF. Ttiiid G.<.cu£w tfe Ninth Woí£o¿ Gmfetßwce on EanikpLdie. Eng¿meeM.-n/j. Toßyo- Kyoto, xJap&v , /988