автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Комбинированный метод расчета плоских пластинчато-стержневых систем на основе методов конечного и граничного элементов

Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации

Дальневосточный государственный технический университет

1 О С <

На правах рукописи

ЯНКЕВИЧ КОНСТАНТИН АРТУРОВИЧ

УДК 624.04:539.3

КОМБИНИРОВАННЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЛОСКИХ ПЛАСТИНЧАТО-СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ МЕТОДОВ КОНЕЧНОГО И ГРАНИЧНОГО ЭЛЕМЕНТОВ.

05.23.17. Строительная механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Владивосток 1997

Работа выполнена в Магаданском филиале Хабаровского государственного технического университета.

Научный руководитель:

кандидат технических наук, доцент Г.С. Нечипорук

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор

B.И. Кулиш

кандидат технических наук, доцент

C.И. Доценко

Ведущая организация: Государственное научно-производственное

предприятие по строительству "СТРОЙНИП", г. Магадан.

Защита состоится " 2-0 " <р£Жрс1998 г. в /¿7 —^ часов на заседании специализированного Совета К 064.01.04 при Дальневосточном государственном техническом университете по адресу: г. Владивосток, проспект Красного Знамени, 66, ауд. 807.

Автореферат разослан

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке Дальневосточного государственного технического университета.

Просим Вас принять участие в защите и направить Ваш отзыв, заверенный печатью в двух экземплярах по адресу: 690014, г. Владивосток, проспект Красного Знамени, 66, Ученый Совет К 064.01.04.

Ученый секретарь специализированного

Совета, кандидат технических наук, доцент В.Т. Гуляев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Большинство задач расчета строительных конструкций связаны с проблемами учета совместной работы стержневых систем и континуальных областей. В практике строительного проектирования часто встречаются задачи расчета фундаментных балок (рандбалок) под "висячие" стены, балок на упругом основании, перемычек, рам с заполнением, задачи расчета подкреплений отверстий элементами работающими как стержневые конструкции и элементов многослойных подкреплений отверстий. Многие задачи инженерной практики приводят к необходимости расчета конструкций, находящихся в упругой среде (анкерные плиты, конструкции типа «стена в грунте» и т.п.)

В связи с достаточно сложной математической базой исследования напряженно-деформированного состояния пластинчато-стержневых систем (ПСС), получено большое количество аналитических и полуаналитических решений для ограниченного класса частных задач. В то же время, в научной и нормативной литературе, устанавливающей порядок расчета подобных конструкций, отсутствуют единый подход и единая методика расчета (способы и методы решения, используемые гипотезы, идеализация связей в расчетной схеме и т.п.). Таким образом, разработка единой методики расчета ПСС представляется актуальной проблемой.

Практически все задачи, связанные с учетом совместной работы пластин и стержней достаточно сложно рассчитывать с использованием метода конечных элементов (МКЭ), поскольку для двух- и трехмерных задач теории упругости точность решения по МКЭ во многом зависит от степени дискретизации области. Последнее десятилетие интерес ученых все больше привлекает метод граничных элементов (МГЭ), как эффективное средство решения задач теории упругости.

На сегодняшний день, многими исследователями признано, что МГЭ и МКЭ нельзя рассматривать как альтернативные методы, а наоборот, необходимо извлекать пользу из специфических особенностей и достоинств каждого из них. МГЭ, используемый для моделирования сплошных тел, в комбинации с МКЭ, используемым для моделирования стержневой системы, представляет достаточно мощный инструмент для расчета ПСС. Очевидно, что необходимость разработки алгоритмов расчета и вычислительных программных комплексов, реализующих МГЭ в комбинации с МКЭ для расчета ПСС, исследования и разработка рекомендаций по использованию указанного метода в инженерной практике достаточно актуальная проблема.

Задачам расчета ПСС комбинированным методом конечных и граничных элементов посвящено настоящее исследование.

Цель диссертации - разработка методики и алгоритма расчета плоских пластинчато-стержневых строительных конструкций на основе комбинации методов граничных и конечных элементов.

В связи с этим, сформулированы следующие задачи настоящего исследования:

- анализ особенностей работы строительных конструкций из пластин и стержней;

- анализ существующих методов исследования напряженно-деформированного состояния пластинчато-стержневых конструкций;

- построение расчетных схем ПСС строительных конструкций с учетом их особенностей;

- построение теоретических основ, разработка эффективного алгоритма и методики расчета ПСС на основе синтеза методов конечных и граничных элементов;

- разработка программного комплекса для анализа напряженно-деформированного состояния ПСС строительных конструкций на основе предлагаемого алгоритма;

- исследования предлагаемых алгоритма и методики расчета строительных конструкций из пластин и стержней (плоская задача) на основе анализа напряженно-деформированного состояния различных пластинчато-стержневых конструкций;

- внедрение разработанного программного комплекса в практику строительного проектирования.

Научная новизна. Получены следующие новые результаты.

1. Разработан алгоритм расчета плоских пластинчато-стержневых систем на основе синтеза метода конечных и граничных элементов, позволяющий учитывать совместную работу пластин и стержней.

2. Разработана методика расчета пластинчато-стержневых конструкций на основе предлагаемого алгоритма.

3. С помощью разработанного программного комплекса, реализующего предложенные алгоритм и методику расчета, изучено поведение различных типов пластинчато-стержневых систем. Получены новые результаты, отражающие реальное поведение рандбалок с различными конструктивными особенностями, стержней в упругой среде, рам с заполнением.

Практическое значение работы состоит в следующем:

- разработанные алгоритм и методика позволяют производить расчет широкого класса ПСС строительных, машиностроительных и других конструкций;

- разработанный программный комплекс по расчету строительных конструкций методом граничных элементов и комбинированным методом граничных и конечных элементов может быть рекомендован для практического использования в проектной практике и научных исследованиях;

- проведенные исследования по расчету рандбалок, рам с заполнением и стержней в упругой среде могут быть использованы при пересмотре нормативных документов по расчету указанных конструкций.

Достоверность полученных результатов и предлагаемого алгоритма обеспечивается применением математически обоснованных численных алгоритмов, сравнением результатов большого количества численных экспериментов, выполненных автором, с известными аналитическими и численными решениями.

Апробация работы. Программный комплекс по расчету троительных конструкций, разработанный автором, внедрен и применяет-я в Государственном научно-производственном предприятии СТРОЙЙИП" в г. Магадане для расчета свайных ростверков и стен зда-

[ИЙ.

Результаты работы вошли в отчет по теме № 9/6 ДВ Государственной [аучно-технической и социальной программы "Дальний Восток России" за 993, 1994, 1995, 1996 г.г. Регистрационный номер темы - 0195000395.

Основные результаты, полученные в работе, докладывались и обсуж-(ались на следующих конференциях:

- конференция "Прогрессивные строительные конструкции для усло-!ий Дальнего Востока", Хабаровск, ХГТУ, 1995;

- ежегодная научно-практическая конференция "Научно-технический фогресс и политехническое образование на Северо-Востоке России", Ма-•адан, Магаданский филиал ХГТУ, 1993 - 1997;

- I международная научно-практическая конференция "Международ-гое сотрудничество и образование молодежи на Севере", Магадан, Между-гародный педагогический университет, 1995;

- конференция "Расчетные методы механики деформируемого твер-юго тела", Новосибирск, Сибирская государственная академия путей со-¡бщения, 1995;

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 8 пе-итных работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложений. Эбщий объем работы состоит из 159 страниц машинописного текста, 76 ри-:унков и 5 таблиц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении показана актуальность темы диссертации, сформу-тирована цель работы, поставлены задачи исследования, дана краткая ха-эактеристика работы.

Первая глава содержит постановку задачи расчета ПСС. Приведена классификация пластинчато-стержневых конструкций и особенности их расчета.

С точки зрения конструктивных, проектных решений и расчетных схем 1ластинчато-стержневые конструкции можно классифицировать следующим образом:

1. Конструкции подкрепления отверстий в бесконечных и полубеско-кчных пластинах и средах.

2. Конструкции стержней в упругой среде.

3. Комбинированные конструкции.

К первой группе относятся задачи расчета однослойных и многослойных конструкций обделок тоннелей и шахт, подкрепления пластинок упругими тонкими кольцами, ребрами и накладками. Одной из серьезных

трудностей при проектировании таких конструкций является необходимость моделирования бесконечных и полубесконечных сред ослабленных отверстиями вырезами и выступами.

Ко второй группе относятся задачи расчета изгибаемых и сжато-изгибаемых стержней находящихся в упругой среде. Практическими аналогами таких задач являются горизонтально нагруженные сваи, анкерные плиты, конструкции типа "стена в грунте" и, как частный случай, балки на упругом основании. Существенным при работе этих конструкций является то, что при изгибе на контакте межу стержневой конструкцией и упругой средой не могут возникать растягивающие реактивные напряжения. Следствием этого является образование щели, или разрыв сплошности упругой среды. Поэтому задача расчета стержней в упругой среде становится конструктивно нелинейной.

Рис. 1. Некоторые виды конструкций, моделируемые как пластинчато-стержневые системы.

К третьей группе относятся конструкции рандбалок, перемычек, рам с шолнением и с диафрагмами жесткости, а также другие конструкции, в оторых пластины конечных размеров находятся в непосредственном онтакте со стержневыми системами, выполняющими роль несущего карка-1.

Некоторые виды конструкций, приводящие к задачам расчета пла-гинчато-стержневых систем приведены на рис. 1.

В общем случае связи на контакте пластины и стержня должны обес-ечивать взаимное перемещение границы контакта без разрывов и сдвигов, [о своей работе их можно разделить на два вида: связи сдвига, восприни-:ающие сдвигающие усилия, которые возникают на границе контакта, и оперечные связи, препятствующие отрыву стержней от пластины и вос-ринимающие контактные напряжения, направленные по нормали к грани-е тела (рис. 2).

В зависимости от условий работы связей на контакте пластинчато-тержневые системы можно классифицировать следующим образом.

1.По обеспечению взаимного перемещения границы контакта без раз-швов и сдвигов. Соответственно должны соблюдаться условия равенства юрмальных и касательных к границе тела напряжений, отнесенных к еди-1ице толщины пластины и внешних нормальных и касательных к оси :тержня распределенных воздействий (рис. 2), т.е. сгп=яп, ст5=д5.

2. По обеспечению взаимного перемещения границы контакта только в юперечном к оси стержня направлении. Таким образом моделируется жольжение на контакте, т.е. а5=я3=0.

3.По обеспечению взаимного перемещения границы контакта только по сасательной к оси стержня. Таким образом моделируется стержень в виде ибкой нити с пренебрежимо малой жесткостью на изгиб, Е1—>0, стп=дп=0.

4. По обеспечению контакта на границе с учетом трения, ег5=ч3 < I ттах I

5.По обеспечению любого из контактов указанных в п.п. 1-3 с учетом >дносторонности связи на контакте.

Существующие методы расчета пластинчато-стержневых конструкций характеризуются отсутствием единого подхода, большим разнообразием способов и методов решения.

В нормативной литературе методам расчета таких конструкций отводится очень мало внимания, а большинство существующих методик расчета связанно со значительными упрощениями расчетной схемы и условий на контакте конструкций, которые практически не отражают реальной работы комбинированных систем.

В научно-технической и нормативной литературе отсутствуют методы решения, позволяющие учитывать все возможные случаи контакта пластины и стержня при определении напряженно-деформированного состояния ПСС, нет единых подходов и методов решения подобных задач.

Рассматривается общая математическая постановка задачи. Задачи расчета плоских ПСС сводятся к решению системы 10 дифференциальных уравнений (5 уравнений плоской задачи теории упругости, 5 уравнений описывающих напряженно-деформированное состояние плоского криволинейного стержня подверженного действию нормальных и касательных к оси стержня нагрузок) с учетом граничных условий задачи и 4-х соотношений, выражающих условия взаимности напряжений и перемещений на контакте стержня и пластины.

Точное решение в аналитической форме уравнений, описывающих напряженно-деформированное состояние ПСС при соблюдении граничных условий, что составляет, так называемую, краевую задачу, возможно лишь в некоторых частных случаях нагружения и условий закрепления и контакта, и сопряжено с достаточно сложной математической базой. Для инженерной практики получение таких решений неэффективно, поэтому важное значение имеет разработка численных методов для расчета ПСС.

Вторая глава содержит краткий исторический обзор и анализ научных работ, посвященных расчету пластинчато-стержневых конструкций и численным методам решения задач расчета строительных конструкций.

Тонкие пластинки с подкрепляющими их ребрами впервые появились в работах И.Г. Бубнова и Б.Г. Галеркина. Первые результаты по исследованию подкрепления отверстий в пластинках получил С.П. Тимошенко, в работах которого методами сопротивления материалов рассмотрены задачи о подкреплении кругового и квадратного отверстий.

Началом широких исследований отверстий подкрепленных кольцами являются работы Г.Н. Савина, В.И. Тульчий, Н.П. Флейшман и др.

Одной из самых распространенных задач контакта стержневой конструкции и сплошного тела являются задачи о балках и плитах на упругом основании. В развитии теории расчета балок на упругом основании большую роль сыграли работы отечественных ученых - А.Н. Крылова, И.Г. Бубнова, Н.П. Пузыревского, П.Ф. Папковича и др.

Задача об изгибе бесконечной балки на упругом полупространстве без гипотезы Винклера впервые решена Н.М. Герсевановым и М.Я. Мачеретом. Применительно к основанию в виде упругого слоя и при загружении пе-

жодической нагрузкой решение этой задачи затем было получено Б.Н. Кемочкиным, Г.Я. Поповым, A.A. Паскаленко. Однако, эти решения в ряде :лучаев представляют большие математические трудности для проекти-ювщиков при решении частных задач.

Жемочкин Б.Н. значительно упростил задачу расчета балок на упругом >сновании путем замены непрерывного контакта точечным, воображая, что лежду балкой и основанием помещен ряд абсолютно жестких стержней. Задача сводилась к решению статически неопределимой системы методом :ил. Работы в этом направлении продолжили Синицин А.П., Лужин О.В. и Ф-

Работы Б.Н. Жемочкина и его последователей по расчету рандбалок, 1еремычек и конструкций на упругом основании, задач включения стерж-гей в упругую область оказали огромное влияние на становление практи-геских инженерных методов расчета конструкций и нашли отражение в юрмативной строительной документации. Однако, теория Жемочкина при эасчете рандбалок под висячие стены, фундаментных балок и перемычек в эяде случаев приводит к весьма приближенным результатам расчета конфетных строительных конструкций, например при учете проемов в стенах ?даний.

Задачу о равновесии прямоугольника, подкрепленного стержнями ребрами жесткости) рассматривали Э.Н. Григолюк, В.М. Хачикян, В.М. Голкачев. Э.Н. Григолюк, В.М. Толкачев рассматривали пластину находящуюся в условиях плоского напряженного состояния с прикрепленным, растягиваемым продольной силой стержнем.

Решение задач расчета комбинированных систем, пластин с ребрами кесткости, рам с диафрагмами жесткости, МКЭ было получено A.B. Александровым, H.H. Шапошниковым, Музыченко Ю. Н. Однако, в ряде случа-гв, применение к задачам расчета ПСС МКЭ приводит к неоправданно громоздким системам разрешающих уравнений, вследствие необходимости танесения очень мелкой сетки конечных элементов для получения прием-1емого решения.

Приводится обзор и анализ численных методов расчета строительных конструкций, таких как вариационные методы, метод конечных разностей, МКЭ, МГЭ. Отмечается большой вклад в развитие МКЭ А.Р. Ржаницына, \.Ф. Смирнова, А.П. Филина, В.А. Постнова, Л.А. Розина, P.A. Хечумова, З.Н. Шапошникова, A.B. Александрова, О. Зенкевича, Р. Галлагера и многих других.

Очевидный толчок для развития и становления метода граничных интегральных уравнений дали исследования Н.И. Мусхелишвили, С.Г. Мих-шна, Ц.О. Левина, А.Я. Георгадзе, А.К. Рухадзе, В.Д. Купрадзе. Большую золь в развитии МГЭ сыграли работы А.Я. Александрова, Н.М. Хуторян-жого, А.Г. Угодчикова, П.И. Перлина, В.Н. Самарова, Джесуона и Симма, Уотсона, Мендельсона, Д.КФ. Теллеса С. Крауча, А. Старфилда, П. Бе-нерджи, Р. Баттерфилда, К Бребия, Т. Круза и др.

Идея комбинирования МГЭ и МКЭ, по-видимому, принадлежит Векс-iepy, который применил метод интегральных уравнений для задач с бесконечной областью еще в 1970 году. Граничные элементы в комбинации с ко-

нечными элементами использовались для случаев бесконечной области, области с большими градиентами напряжений и потенциала, а конечные элементы для описания других частей тела, где легче получить решение в таких случаях как слоистая среда, анизотропные и нелинейные материалы и т.п. Однако для сопряжения пластин и стержней комбинация МГЭ и МКЭ до сих пор не применялась.

В работе приводится анализ и классификация существующих способов совместного использования МКЭ и МГЭ:

- комбинированный способ: характеризуется преобразованием уравнений метода граничных элементов и метода конечных элементов в однотипные уравнения и "их совместным решением в рамках одной системы линейных уравнений;

- итерационный комбинированный способ: характеризуется использованием итерационной процедуры связи без прямого объединения уравнений метода граничных и конечных элементов;

- структурное масштабирование: не итерационная процедура связи без прямого объединения уравнений метода граничных элементов и конечных элементов.

В третьей главе приводится, предлагаемый автором, алгоритм комбинированного метода граничных и конечных элементов для расчета ПСС.

Показано, как задача плоской теории упругости, сформулированная в виде полной системы уравнений линейной статической теории упругости, сводится к сингулярному граничному интегральному уравнению, допускающему численную реализацию в рамках прямого МГЭ. Приводится матричная формулировка МГЭ. Приведены особенности построения разрешающей системы уравнений метода граничных элементов для неоднородных конструкций, а также алгоритм учета односторонности связи на контакте тел.

На основе детального анализа способов объединения методов граничного и конечного элементов, автор предлагает использовать для расчета пластинчато-стержневых конструкций модифицированный комбинированный способ объединения метода граничных и конечных элементов, который позволяет применять практически любые типы конечных элементов. Общая процедура объединения состоит в следующем:

- построение глобальной матрицы жесткости конечно-элементной модели стержневой конструкции;

- построение системы разрешающих уравнений метода граничных элементов;

- построение глобальной матрицы комбинированного метода граничных и конечных элементов посредством объединения матрицы МКЭ, в форме матрицы жесткости конечно-элементной системы, и матрицы МГЭ в одну квазидиагональную матрицу;

- преобразование нулевых подматриц, находящихся на побочной диагонали глобальной матрицы, путем введения элементов выражающих условия совместности и равновесия на границе контакта.

и

Следует отметить, что в отличии от существующего комбинированного метода объединения конечных и граничных элементов, в предлагаемом модифицированном способе матрицы МКЭ и МГЭ входят в глобальную матрицу без каких-либо преобразований.

Для моделирования и построения разрешающей системы уравнений расчета ПСС рассматривается конструкция в которой сплошное плоское тело (пластина) описывается гранично-элементной' моделью, а стержневая конструкция - конечно-элементной моделью. Таким образом, система состоит из п граничных элементов сопряжённых со стержневой системой с т степенями свободы (рис. 3).

1

Рис. 3. Дискретная модель пластинчато-стержневой системы.

Количество граничных элементов, связанных с узлами конечно-элементной стержневой системы, обозначено через р.

Разрешающая система уравнений для метода граничных элементов в матричной форме имеет вид:

мм = и (1)

где (XI- матрица коэффициентов С/9 и при неизвестных перемещениях и напряжениях на граничных элементах. Для представленной задачи она будет иметь размерность 2п+2р столбцов и 2п строк.

{X}, {Р} - соответственно матрица-столбец искомых значений перемещений и напряжений на границе тела и матрица-столбец суммы произведений известных значений перемещений и напряжений на границе тела на соответствующие коэффициенты и и й:Г

В качестве конечного элемента используется плоский сжато-изгибаемый стержневой конечный элемент. Форма и размеры поперечного сечения конечного элемента, а также упругие свойства материала считаются постоянными по длине элемента.

Представим систему разрешающих уравнений МКЭ для стержневой части рассматриваемой конструкции в следующем виде:

№) = {*}, (2) где [Л]- матрица коэффициентов системы уравнений метода конечных элементов размерностью т строк и т+2р столбцов. Поскольку для узлов

конечно-элементной системы, сопряженных с граничными элементами вектор внешних силовых воздействий не определен (рис. 4), матрицу [А] можно представить в виде квазистроки

И = [[я) [Я], (3)

где: - матрица коэффициентов при неизвестных значениях и размерностью то строк и 2р столбцов. Коэффициенты каждого ^'-го столбца этой матрицы состоят из 0 и -1, в зависимости от того, какому внешнему силовому воздействию отвечает ¿-я строка матрицы [Я];

[Я] - матрица жесткости конечно-элементной системы.

2- конечные элементы стержневой системы

Рис. 4. Схема сопряжения граничного элемента с узлом конечно-элементной системы

Вектор {Г} содержащий неизвестные значения перемещений и неизвестные внешние силовые воздействия можно представить квазистолбцом с общей размерностью т+2р элементов

и-й

где - матрица-столбец неизвестных значений внешних силовых воздействий;

{2} - матрица-столбец неизвестных перемещений узлов конечно-элементной системы;

{В} - матрица-столбец внешних силовых воздействий, в которой неизвестные заменены нулями.

В соответствии с уравнениями (1) и (2), строится глобальная система уравнений рассматриваемой комбинированной системы (рис. 3):

[К]

.К]

[о.]'

[Л]

¡{X}

1м

И Ш

где - глобальная матрица пластинчато-стержневой системы раз-

мерностью 2п+т строк и (2п+2р)+(т+2р)=(2п+т)+4р столбцов, [о,] и [о2] -гулевые матрицы. Таким образом, 4р неизвестных остаются лишними. В :илу условия непрерывности перемещений и условия равновесия узлов в лестах контакта конечно-элементной и гранично-элементной систем можно ¡аписать 4 условия совместности для каждого граничного элемента сопря-кенного со стержневой системой:

где и[,и'у и и"х,и'у - перемещения соответственно граничного элемента и узла сопряженной конечно-элементной системы; 2а - длина граничного элемента; 8 - толщина пластины.

Исходя из условий совместности (6), (7) преобразуем систему уравнений (6) следующим образом. Из квазиматрицы [А] столбцы подматрицы [Г] перенесем в столбцы нулевой матрицы [ог ] соответствующие напряжениям связанных граничных элементов в соответствии с (6). Обозначим полученную преобразованием матрицы [о2] новую матрицу через [к,]. Таким образом, квазиматрица [А] будет содержать только матрицу жесткости конечно-элементной системы - [Н], т.е. [Л]=[Н]. Поскольку вектор неизвестных внешних силовых воздействий конечно-элементной системы окажется выраженным через напряжения в связанных граничных элементах, необходимо из квазистолбца {У} исключить вектор . Тогда {7} = {г}. Столбцы матрицы [/:], отвечающие перемещениям связанных граничных элементов, необходимо перенести в столбцы нулевой матрицы [о,], соответствующие перемещениям узлов конечно-элементной системы, связанных с граничными элементами. Обозначим полученную преобразованием матрицы [о,] новую матрицу через [аг,]. В результате перепишем уравнение (5), с учетом приведенных преобразований, в следующем виде:

На рис. 5 приведена схема полученной глобальной матрицы.

Таким образом, система уравнений пластинчато-стержневой системы становится разрешима и содержит 2п+т уравнений с 2п+т неизвестными. По найденным перемещениям узлов конечно-элементной системы определяются усилия в узлах конечных элементов (8), которые, в свою очередь, позволяют получить внутренние усилия в любом сечении конечного элемента.

(6) (7)

(5')

где: } - вектор узловых сил к-го конечного элемента;

[нк] - матрица жесткости к-го конечного элемента; - вектор перемещений к-го конечного элемента.

-1

Ла8)

иг(иК)

2п-

[К]

и

м

[Я]

2п т

Рис. 5. Схема матрицы коэффициентов системы уравнений комбинированного метода граничных и конечных элементов

Когда к стержневой конструкции приложены внешние нагрузки к сопрягаемому узлу, вектор внешних, для конечного элемента, силовых воздействий ¥ раскладывается на две части. Известную часть, внешнюю нагрузку, необходимо учесть в соответствующих элементах вектора {В}.

В случае, когда в одном узле стыкуются две области и узел конечного элемента, например при расчете заполненных рам, фундаментных балок на упругом основании и т.д., условия совместности на контакте примут вид:

Р' Р'

ГХ . V

_ЧЧ _ . Ст' "2 а,

,Л2]

2а 8т ;

ТЛ!]

2 а,8т

р; 2 а,6™

(9)

(10)

где индексы I и з указывают на соответствующий граничный элемент (рис. 6). Как и в предыдущем случае система уравнений (5) преобразуется к виду (5'), используя соотношения (9), (10). Схема полученной матрицы приведена на рис. 7.

При учете односторонней работы связи на контакте стержня и пластины необходимо ввести дополнительные условия на контакте:

¿7-°' 5:0 С11)

где: /•»' - соответственно напряжение на граничном элементе и внешнее силовое воздействие в узле сопряженного конечного элемента, выраженные в локальных координатах граничного элемента;

и', иЦ - перемещения граничного элемента и сопряженного узла конечно-элементной системы, направленные по нормали к граничному элементу.

] - граничные элементы, к- конечные элементы стержневой системы

Рис. 6. Схема сопряжения узла конечно-элементной системы с двумя граничными элементами.

2п т

Рис. 7. Схема матрицы коэффициентов системы уравнений комбинированного метода граничных и конечных элементов при сопряжении двух граничных элементов с узлом конечно-элементной системы.

Для решения этой задачи, в данной работе, используется итерационная процедура метода последовательных приближений, учитывающая условия (11) и соответствующим образом корректирующая исходную матрицу.

Показанный алгоритм объединения МГЭ и МКЭ реализован в программном комплексе "ВЕМ". На основе сравнения результатов, полученных по описанному алгоритму и аналитических решений, приводится анализ точности и сходимости метода. Сходимость и точность комбинированного метода конечных и граничных элементов при расчете ПСС, в основном, зависит от степени дискретизации континуальной области, поскольку решение по методу конечных элементов для стержней дает практически точные результаты. Для -большинства конструкций с достаточно гладкими либо прямолинейными границами, при небольших градиентах напряжений отношение линейного размера конструкции к длине граничного элемента для обеспечения достаточной точности составляет около 25ч-30. При появлении же в расчетной схеме пластины углов, резких перепадов напряжений на границе вследствие моделирования нагрузок в виде сосредоточенных сил или точечных опор, необходимо уменьшать размеры граничных элементов, поскольку такие условия на границе вызывают появление значительных градиентов напряжений.

В качестве одной из тестовых задач приведен расчет подкрепления круглого отверстия тонким кольцом в упругой односторонне растянутой области, Решение сравнивается с аналитическим, полученным Г.Н. Савиным, В.Н. Тульчий. При количестве граничных элементов равном 68 значения напряжений, полученные по предлагаемому алгоритму, практически совпадают с аналитическими. Для неподкрепленного отверстия решение сходится при количестве элементов близком к 50.

В четвертой главе приведена методика расчета ПСС на примере анализа напряженно-деформированного состояния некоторых строительных конструкций, расчет которых с помощью других методов вызывает значительные затруднения.

Рассматриваются четыре группы задач: подкрепление различных по форме отверстий в упругой бесконечной и полубесконечной среде, расчет стержней в упругой среде, расчет рандбалок и расчет рам с заполнением.

Общая численная методика расчета ПСС сводится к следующему.

1. Граница рассматриваемой континуальной области (пластины) дис-кретизируется серией граничных элементов, на которых перемещения и напряжения являются кусочно-постоянными и выбираются интерполированием между узловыми точками элемента. Применяется два типа граничных элементов. Для моделирования тел конечных размеров и отверстий в бесконечной среде применяются граничные элементы, использующие фундаментальное решение Кельвина, для моделирования задач в упругой полуплоскости - решение Мелана. (Решение Мелана взято с учетом исправлений, приведенных М.И. Горбуновым-Посадовым)

2. Стержневая конструкция, сопряженная с континуальной системой, расчленяется на стержневые сжато-изгибаемые конечные элементы таким образом, чтобы в местах сопряжения стержневой и континуальной систем

ждый узел конечно-элементной системы совпадал с центром граничного емента.

3. Накладываются граничные условия в виде внешних нагрузок и пе-мещений, заданных на граничных элементах и узлах конечно-ементной системы.

4. Задаются условия контакта области и стержневой системы.

5. В соответствии с алгоритмом приведенным в'главе 3 настоящей ра-гы, составляются системы разрешающих уравнений метода конечных и аничных элементов, которые затем объединяются в единую систему авнений с учетом условий совместности на контакте стержневой и кон-нуальной систем.

6. В случае необходимости учета односторонности связи на контакте гржневой и континуальной систем, организуется итерационный процесс :Тода последовательных приближений, который на каждой итерации, с етом условия односторонности связи на контакте, соответствующим об-зом корректирует исходную систему уравнений. Процесс приближений канчивается когда на контакте отсутствуют растягивающие напряжения.

7. После решения глобальной системы уравнений ПСС, вычисляются илия в стержневой конструкции, напряжения и перемещения во внут-нних точках области.

Исследуется задача о подкреплении кругового отверстия в бесконечной [астине тонким кольцом при одностороннем растяжении ау = Р. Результа-i решения при различных параметрах жесткости кольца и радиуса от-рстия сравниваются с аналитическими решениями, предлагаемыми Г.Е. шиным, A.A. Курдюмовым и др. Получено решение задачи об оптималь-м подкреплении круглого отверстия кольцом постоянного поперечного се-ния и влияние изгибной жесткости кольца на деформации отверстия.

На рис. 8 приведены эпюры главных максимальных напряжений вбли-: отверстия для случаев: подкрепления очень малой жесткости - рис. 8(а), укрепления с жесткостью ЕА=7.5'106 кг. - рис. 8(6) и подкрепления с беспечно большой жесткостью - рис. 8(в). На рис. 9 приведены эпюры мо-:нтов, продольных сил в кольце и эпюра нормальных напряжений на кон-'ре отверстия при ЕА=7.5,106 кг. и Е1=3-105 кг-см2.

В работе рассматриваются задачи расчета подкрепления прямоуголь-.IX отверстий и отверстий ломаного контура с многокомпонентным под-)еплением.

С помощью предлагаемой методики и алгоритма были решены задачи поведении стержня в упругой среде с учетом разрыва сплошности уп-^гой среды. Сравнения результатов расчета анкерных плит неглубокого .ложения при различной жесткости и различной глубине заложения шш-.1 хорошо согласуются с результатами теоретических и эксперименталь-.IX исследований других авторов.

При расчете горизонтально нагруженных конструкций типа "стена в |унте" в упругой среде с учетом разрыва сплошности среды М.И. Горбу->в-Посадов и А.Б. Огранович впервые ввели определение "точка нулевых шряжений" для характеристики точки а (рис. 10(а)), как точки раздела

Эпюры главных максимальных напряжений ата

134

29

гггШ

43

84

СО

ттг

89

(а)

7.6

Ь-лЛТ

СП1ЕШ

127

\120

\106

(б)

Рис. 8

Эшора изгибающих моментов в кольце Эпюра продольных сил

в кольце

109

сг

,67

ш

т~

(В)

Эпюра нормальных напряжений а„ на контуре отверстия

Рис. 9

раничных условий. При такой расчетной схеме принимается что нижняя ■очка стержня не перемещается, в то время, как именно там будет наибольшая концентрация напряжений, а значит и наибольшие деформации :реды.

(а)

J

(б) (в)

Р=1 .<.

}Зона нулевых напряжений

1.8

2.5

/

s>

0.6 0.5

эис. 10. Горизонтально нагруженный стержень в упругой среде. Расчетная схема предложенная М.И. Горбуновым-Посадовым и A.B. Ограно-вичем - (а), деформационная схема и эпюра контактных напряжений, полученные с помощью программного комплекса "ВЕМ" - соответственно (б) и (в).

При проведенном автором численном эксперименте установлено, что 1дя упругого тела с внедренным горизонтально нагруженным стержнем :уществует не одна точка, а зона "нулевых напряжений", которая умень-пается по мере увеличения жесткости стержня. При этом, верхняя зона давления при увеличении жесткости стержня растет очень быстро, а ниж-1яя уменьшается практически до нуля, в результате чего в нижней точке :тержня напряжения стремятся к бесконечности. При уменьшении жестко-:ти стержня нижняя зона давления на контакте сначала увеличивается, а затем начинает подниматься вверх, при этом нижний конец стержня ока-5ывается в нейтральном положении. На рис. 10 показаны: деформационная :хема (рис. 10(6)) и эпюра контактных напряжений (рис. 10(в)), получен-гые с помощью предлагаемого программного комплекса "ВЕМ".

Расчет рандбалок под "висячие" стены является достаточно сложной задачей, особенно для многосвязных областей. Теоретических работ по рас-гету рандбалок немного. Основной метод, используемый проектировщиками 1 заложенный в нормативных документах, это метод предложенный Б.Н. >Кемочкиным. При расчете рандбалок под стены с проемами нормами гредлагается весьма приближенная методика определения напряжений в зоне контакта. Кроме того, при переменной жесткости стены и рандбалки эта методика приводит к большим погрешностям, но за неимением лучшей эна используется проектировщиками.

Сравнение результатов расчета рандбалки под стены без проемов ползало, что для средних пролетов решение по предлагаемой методике и эешение Б.Н. Жемочкина отличаются не более чем на 2.5%. Следует отметать, что у крайних опор наблюдаются различия в напряжениях до 20%

в сторону увеличения, поскольку Б.Н. Жемочкин рассматривал бесконечную многопролетную балку и не учитывал краевые эффекты.

Исследование влияния проемов на распределение напряжений на контакте рандбалки и стены показали, что приближенная методика, предлагаемая нормативными документами, приводит в ряде случаев к совершенно неверным результатам. Погрешность в расчетах по нормативным документам, в большинстве случаев, достигает 20-30%, а в ряде случаев наблюдается не только количественное, но и качественное расхождение результатов. На рис. 11 показаны эпюры напряжений на контакте рандбалки и стены с различным расположением проемов. Пунктиром показано решение, полученное по методике нормативных документов.

J,

1.950

0.410 ( I

a. i

0JI0

1.980

4

! -3

1.950

А-

0.410 ?

;

7ÚÍ7

2.06

2.08'

--3

"X

0.398_

2.002 f1;

Рис. 11. Эпюры напряжений на контакте рандбалки и стены при различном расположением проемов.

Учет заполнения рам каркасных зданий предусмотрен нормами только при оценке перемещений каркасов для определения периода собственных колебаний, вызванных ветровой и сейсмической нагрузками. При расчете же элементов каркаса по несущей способности на вертикальные нагрузки нормами не предусматривается учет заполнения рам и оно учитывается только как дополнительная нагрузка на ригели рамы. Очевидно, такое положение связано со сложностями достаточно точного определения напряженно-деформированного состояния комбинированных конструкций рам и отсутствием эффективных численных и аналитических методов их расчета. Теоретические исследования по расчету рам с заполнением и рам с диа-

фагмами жесткости, в основном, ограничиваются расчетом рам на гори-энтальные ветровые и сейсмические нагрузки.

Проведенные численные эксперименты по расчету рам с заполненени-м на вертикальные и горизонтальные нагрузки показывают, что с поморю предлагаемой методики в подобных конструкциях можно с достаточ-ой для инженерных расчетов точностью определять напряженно-еформированное состояние таких конструкций. Учет заполнения рам в элыдинстве случаев приводит к значительным снижениям усилий в эле-ентах рамы, а следовательно, позволяет проектировать менее дорогостояще конструкции.

Заполнение рам может выполняться с жесткой связью элементов кар-аса, находиться в условиях одностороннего контакта, а также контакта со кольжением и трением. Как уже указывалось выше, вычислительный омплекс "ВЕМ", при необходимости может учитывать односторонность вязи на контакте, благодаря чему, можно с достаточной степенью досто-ерности моделировать реальные конструкции.

В условиях Северо-Востока, с достаточно сложными условиями строи-ельства (повышенная сейсмическая активность, вечная мерзлота), камен-ые многоэтажные здания проектируются чаще всего с несущим железобе-онным каркасом. Причем, по условиям сейсмичности района, нормативные окументы требуют, чтобы связь конструкции заполнения и элементов аркаса была достаточно жесткой. Это обеспечивается дополнительными ыпусками и анкеровкой арматуры каркаса в стены. Таким образом, рама в еальных условиях работает в тесной связи со стеной, благодаря чему, в лементах каркаса сильно снижаются значения усилий. Однако, при проек-ировании и расчете элементов каркасов это обстоятельство ни в коей мере е учитывается, как уже отмечалось, в виду отсутствия достаточно точных [етодов расчета таких конструкций и отсутствия каких-либо рекомендаций нормативной литературе.

В качестве примера расчета комбинированных конструкций приводит-я сравнительный расчет поперечной рамы жилого здания с учетом и без чета заполнения на действие вертикальных и горизонтальных нагрузок, ыполненный на вычислительном комплексе "ВЕМ".

Отмечается, что учет заполнения рам в расчетной схеме конструкции аркаса здания приводит к снижению усилий в элементах рамы почти в 6 1аз. Особенно это обстоятельство важно в условиях строительства в рай-нах с повышенной сейсмической активностью, поскольку нормами требу-тся жесткая связь элементов заполнения и каркаса, а расчет рам ведут ез учета заполнения, в силу отсутствия эффективных методов по расчету аких конструкций.

Показано, что с помощью вычислительного комплекса "ВЕМ" возможно >ассчитывать не только рамы с заполнением, но и рамы со сборными платанами диафрагмами, например, навесными панелями, которые имеют не [епрерывный контакт, а несколько точек сопряжения. Получаемые резуль-■аты усилий в точках сопряжения могут послужить основными показате-[ями для расчета узловых соединений элементов и закладных деталей с юмощью которых панели крепятся к каркасу. Приведенные примеры по-

называют, что внедрение в практику проектирования эффективных методов расчета конструкций рам с заполненением и рам с диафрагмами жесткости позволит получить значительный экономический эффект в снижение материалоемкости конструкций.

В диссертации рассматривается реальная задача расчета свайного ростверка крупнопанельного здания серии 1-464 по ул. Ямской, д. 4 г. Магадана, проект привязки которого выполнял проектный институт "Магадангражданпроект". Расчет выполнялся по заданию Государственного научно-производственного предприятия "СТРОЙНИП" в г. Магадане, которое производило обследование причин разрушения продольного ростверка в одном из. углов здания и выполняло проектные работы по усилению конструкции ростверка. Полученная картина напряженно-деформированного состояния ростверка и, на основании ее выполненный прочностной расчет по несущей способности, практически полностью подтвердили характер и причины разрушения. Подобный расчет, на сегодня, с помощью других программных комплексов для расчета строительных конструкций выполнить было практически невозможно.

В заключении приведены основные результаты, полученные в диссертации:

1. Проведен анализ и классификация пластинчато-стержневых систем. Выявлены особенности моделирования и расчета строительных конструкций состоящих из пластин и стержней. Построены расчетные схемы.

2. Учитывая, что метод граничных элементов отличается явными преимуществами перед другими методами при расчете континуальных систем, а метод конечных элементов идеально подходит для моделирования стержневых конструкций, в данной работе предложено использовать комбинацию методов конечных и граничных элементов для расчета пластинчато-стержневых систем и разработаны теоретические основы комбинированного метода. Построен матричный алгоритм расчета плоских пластинчато-стержневых систем, на основе которого разработана методика расчета пластинчато-стержневых строительных конструкций.

3. Разработан программный комплекс по расчету пластинчато-стержневых систем комбинированным методом конечных и граничных элементов.

4. Проведены исследования сходимости и точности метода для расчета задач строительных конструкций путем сопоставления полученных численных результатов с существующими аналитическими и полуаналитическими решениями.

5. Проведены исследования по анализу напряженно-деформированного состояния конструкций подкреплений отверстий в упругой среде, рандба-лок, стержней в упругой среде и рам с заполнением.

6. Программный комплекс "ВЕМ" по расчету пластинчато-стержневых систем комбинированным методом конечных и граничных элементов, разработанный автором, внедрен в государственном научно-производственном предприятии "СТРОЙНИП" (г. Магадан) и используется для расчета свайных ростверков и рам с заполнением.

Проведенные исследования показали значительные преимущества мо-ифицированного комбинированного метода граничных и конечных элемен-эв перед другими методами в расчете ПСС. Разработанный алгоритм рас-ета ПСС составляет базу для углубленного исследования напряженно-еформированного состояния строительных конструкций, состоящих из ластин и стержней.

В целях повышения эффективности и точности, необходима дальней-[ая работа по усовершенствованию метода путем применения численных ппроксимаций, включающих граничные элементы высших порядков, кри-элинсйные элементы.

Необходимы дальнейшие исследования по расширению комбинирован-эго метода граничных и конечных элементов на трехмерные контактные 1дачи теории упругости, нелинейные задачи пластичности и динамики энструкций. Возможно дальнейшее усовершенствование программного эмплекса путем его оснащения модулями прочностных расчетов.

Основные результаты диссертационной работы изложены в следующих угбликациях:

1. Нечипорук Г.С., Янкевич К.А. Исследование напряженного состоя-ге балки-стенки с учетом местных напряжений // Моделирование и рас-;ты на прочность искусственных сооружений. -Хабаровск: Изд-во Хаба-звского гос. техн. ун-та, 1993. - С. 85-93

2. Нечипорук Г.С., Янкевич К.А. Применение метода граничных эле-энтов к расчету строительных конструкций // Прогрессивные строитель-ле конструкции для условий Дальнего Востока. -Хабаровск: Изд-во Хаба-)вского гос. техн. ун-та, 1994. - С. 22-30

3. Нечипорук Г.С., Янкевич К.А. Программный комплекс для изучения шряженного состояния балок-стенок / / Научно-технический прогресс и шитехническое образование на Северо-Востоке России: Материалы науч-ьпрактической конференции. В 2 ч. - Ч. 2. Прогрессивные технологии и юблемы политехнического образования. - Магадан: Магаданский филиал ГТУ, 1995. - С. 6-7.

4. Янкевич К.А. Реализация метода граничных интегральных уравне-ш для решения двумерных задач теории упругости // Международное трудничество и образование молодежи на Севере, I Международная на-шо-практическая конференция. - Магадан: Изд-во Международного пе-1гогического университета, 1995. - С. 185-186

5. Нечипорук Г.С., Янкевич К.А. Метод граничных элементов при рвении задач механики деформируемого твердого тела // Конференция 'асчетные методы механики деформируемого твердого тела", 11-14 сен-:бря 1995: Тезисы докладов / Сибирская государственная академия путей общения, - Новосибирск: Изд-во СГАПС, 1995. - С. 52.

6. Янкевич КА. Реализация метода граничных элементов при реше-[И задач расчета строительных конструкций // Конференция "Расчетные ;тоды механики деформируемого твердого тела", 11-14 сентября 1995: Те-сы докладов / Сибирская государственная академия путей сообщения, -эвосибирск: Изд-во СГАПС, 1995. - С. 71-72.

7. Нечипорук Г.С., Янкевич К.А., Рябоконь А.Ю. Применение метода граничных элементов при исследовании концентрации напряжений // Научно-технический прогресс и политехническое образование на Северо-Востоке России: Материалы научно-практической конференции "Проблемы геологии, строительства и автотранспорта на Северо-Востоке. - Магадан: Магаданский филиал ХГТУ, 1996. - С. 53.

8. Янкевич К.А. Моделирование и расчет задач теории упругости методом граничных элементов // 3-я международная конференция "Математика, компьютер, образование", Дубна, 29 января - 3 февраля 1996: Тезисы докладов. - Москва, РИИС ФИАН, 1996. - С. 151.