автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование состояний гармонических сред

На правах рукописи

Харитоненко Анатолий Анатольевич

ООЗОБ71ЭВ

МОДЕЛИРОВАНИЕ СОСТОЯНИЙ ГАРМОНИЧЕСКИХ СРЕД

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Тула 2006

003067196

Работа выполнена на кафедре информатики в Липецком государственном техническом университете

Научный руководитель

Официальные оппоненты:

Ведущая организация

доктор физико-математических наук, профессор

Пеньков Виктор Борисович

доктор физико-математических наук,

доцент

Буркин Игорь Михайлович;

доктор физико-математических наук,

профессор

Ляхов Лев Николаевич

ГОУ ВПО «Орловский государственный

технический университет»

Защита состоится « 23 » января 2007г. в « 14 » часов на заседании диссертационного совета Д212.271.05 в ГОУ ВПО Тульского государственного университета по адресу: 300600, г. Тула, ГСП, Проспект Ленина, 92, 9 корп., ауд. 101.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тульского государственного университета.

Автореферат разослан « 14» декабря 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного Совета Д212.271.05

В.М. Панарин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования. При постановке краевых задач математической физики кроме разрешающих уравнений для среды используются дополнительные условия (граничные, начальные), призванные выделить единственное решение из всех возможных.

Общепринятые методы решения краевых задач (Ритца, конечных ■элементов, Бубнова-Галеркина, наименьших квадратов, Канторовича, Филоненко-Бородича, граничных интегральных уравнений, граничных элементов) имеют свои достоинства и недостатки. Эти методы, даже для самых простых задач, формируют погрешность решения, обусловленную самим .методом. Кроме того, механическое наращивание удерживаемого отрезка базиса во всех этих методах ведет к потере устойчивости. Разработка метода, лишенного этих недостатков, хотя бы на классах основных задач, является назревшей и актуальной задачей.

Метод, призванный выделить (распознать) единственное состояние из всего пространства состояний, получил название метода граничных состояний (МГС), идеология которого в применении к задачам механики деформируемого твёрдого тела была выдвинута сравнительно недавно. Центральными пунктами этого подхода для описания среды явилось понятие внутреннего состояния, а для описания тела - понятие граничного состояния. Таким образом, для МГС актуальными являются два аспекта: моделирование состояний среды и распознание состояния, соответствующего граничным условиям.

В данной диссертации метод граничных состояний разработан в применении к полям, ассоциированным с уравнением Лапласа. Поле или среду такого типа будем называть гармоническим полем или гармонической средой.

МГС обеспечивает возможность построения решения основных задач для тел разнообразных конфигураций простыми средствами. Кроме того МГС имеет достоинство, присущее всем общепринятым методам - он также является общим. Поэтому его можно положить в основу разработки специальных методов решения новых классов задач, таких, как задачи об оптимизации формы тел, задачи с подвижными фаницами и др. Эта возможность также свидетельствует об актуальности темы.

Целью диссертационной работы является разработка метода граничных состояний для гармонических сред, исходящего из

моделирования. гармонических сред и позволяющего идентифицировать состояние среды, отвечающее условиям на границе тела.

Объекты исследовании:

- метод граничных состояний в применении к гармоническим средам;

- конкретные физические среды: упругая среда, возникающая при кручении призматического тела, электростатическое поле, идеальная жидкость.

Задами диссертационной работы:

- конструирование изоморфных базисов пространств внутренних и граничных состояний гармонической среды;

- определение скалярных произведений и установление гильбертова изоморфизма пространств;

- постановка краевых задач для уравнения Лапласа в терминах МГ'С;

- адаптация понятий МГС к конкретным физическим средам (упругая среда, возникающая при кручении призматического тела, электростатическое поле, идеальная жидкость) и решение конкретных физических задач.

Научная новизна содержится:

- в способе построения скалярных произведений в пространствах внутренних и граничных состояний для гармонических сред;

- в формулировке краевых задач для гармонических сред в терминах МГС и в построении разрешающей системы уравнений;

- в адаптации понятий МГС к конкретным физическим средам (упругая среда, возникающая при кручении призматического тела, электростатическое поле, идеальная жидкость), постановке и решении конкретных новых задач (смешанные задачи электростатики и гидродинамики);

- в анализе влияния класса граничных условий на сходимость метода и обосновании устойчивости решения бесконечной системы уравнений методом усечения.

Теоретическая ценность заключена:

- в разработке МГС для решения разнообразных краевых задач для уравнения Лапласа;

- в построении единой идеологии для формулировки и решения различных задач;

- в решении новых задач для известных сред (смешанные задачи электростатики и динамики).

Практическая ценность заключена:

- в однократности построения «тела в смысле МГС» (под которым

понимается ортонормированный базис пространства внутренних состояний), после чего для него можно решать разнообразные задачи, исходя из единого подхода;

- в однократности построения «скелета задачи», под которым понимается совокупность «тела в смысле МГС» и структуры разбиения границы тела на классы по типу граничных условий, удерживаемых на каждом из классов. После этого варьирование условий на границах в пределах заданных классов не требует трудоёмкого пересчёта коэффициентов разрешающей системы уравнений, а всего лишь пересчёта правых частей уравнений;

- в анализе влияния класса функций (дважды дифференцируемые, гладкие, непрерывные), описывающих условия на границе, на сходимость решения и выработке практических рекомендаций по оценке длины удерживаемого отрезка базиса;

- в практически приемлемом способе обоснования устойчивост и решения бесконечных систем уравнений методом усечения;

- в обнаружении ситуаций, наблюдаемых в основных краевых задачах, ког да матрица коэффициентов системы линейных алгебраических уравнений оказывается скалярной и исчезает необходимость решения бесконечной системы алгебраических уравнений, так что решение задач сводится к рутинному вычислению квадратур, что позволяет уточнять решение посредством механического наращивания базиса без потери устойчивости;

- в решениях серии задач для конкретных физических сред.

Достоверность результатов решения гарантируется рядом факторов.

Во-первых, на этапе подготовки разрешающей системы уравнений проведена выверка промежуточных данных после каждой операции, что возможно благодаря их аналитическому виду. Во-вторых, граничное состояние, отвечающее решению, обязательно содержит в себе заданные граничные условия, как атрибут граничного состояния, что позволяет судить не только о достоверности решения, но и об уровне допущенных погрешностей. В-третьих, о достоверности позволяет судить традиционный подход, основанный на сравнении с известным решением, построенным другим методом.

Основные результаты, выносимые на защиту:

- Метод граничных состояний для анализа гармонических сред.

- Формулировка краевых задач для уравнения Лапласа в терминах метода граничных состояний (задача Дирихле, задача Неймана, смешанная

граничная задача, основная смешанная задача).

- Решение серии задач: о кручении стержня, о восстановлении электростатического поля, о прохождении жидкости через кубическую область с различными дебетными режимами.

- Исследование влияния класса граничных условий на точность результата при фиксированном отрезке базиса пространства состояний и феноменологическое обоснование устойчивости.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались: на Воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтения-XVII» (Воронеж, 2006); на МНТК «Прогрессивные технологии и оборудование машиностроении и металлургии» (Липецк, 2006); на МНТК «Энергетика и энергоэффективные технологии» (Липецк, 2006); на МНТК «Современная металлургия начала нового тысячелетия» (Липецк, 2006); на МНК «Современные проблемы математики, механики, информатики» (Тула, 2006); на региональной научно-практической конференции «Молодые ученые - производству» (Старый Оскол, 2006); на конференции «Роль естественных наук в инновационном развитии региона» (Липецк, 2006); на объединённом научном семинаре кафедр прикладной математики, информатики, теоретической механики (Липецк, 2006).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 8 научных статей, в том числе 3 без соавторов. Одна работа опубликована в издании рекомендованном ВАК. В работах, опубликованных в соавторстве, лично соискателю принадлежит: в [2], [3] - разработка метода и компьютерных алгоритмов решения задачи восстановления внутреннего состояния по информации, содержащейся в граничном состоянии для гармонических полей; в [4] - алгоритм и компьютерная реализация метода генерирования базиса внутренних состояний; в [5] - постановка задач для физических гармонических сред в терминах МГС; в [8] - постановка основных задач в терминах МГС и построение решений.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 56 наименований и содержит 92 страницы, 39 рисунков, 4 таблицы, 3 приложения.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационного исследования, даётся краткая характеристика работы и излагается её основное содержание.

Глава 1 посвящена построению МГ'С для анализа гармонических полей.

Определено понятие внутреннего состояния гармонической среды, под которым понимается совокупность гармонического потенциала среды и его градиента, определенных в каждой точке области, занимаемой телом:

£,= {ф, ётас! ф).

Совокупность всех возможных внутренних состояний образует пространство внутренних состояний, которое оказывается линейным относительно введенных операций суммирования состояний и умножения состояния на число:

+ = ¡ф(|) + ср(2), ёгас1ф(|) + ягас1ф(2)! е 2 а£, = {аф, а ¡>га(1 (ф)| е Е

Установлен нулевой элемент пространства и противоположный для любого конкретного. Наличие счетной системы гармонических многочленов устанавливает факт сепарабельности пространства. Отрезки базисов гармонических многочленов с целыми коэффициентами на случай двух и трех измерений построены и приведены в таблицах.

След внутреннего состояния на границе тела принимается за граничное состояние. Атрибутами его являются распределение потенциала по границе тела и производная потенциала по направлению внешней нормали к границе

дп

По построению, пространство граничных состояний также является линейным и сепарабельным:

(I) (2) , (I) (2) 5ф(1) Зф(2) у\ч + _ + ф*.-^ _!---+--------| е Г,

Эп дп

I дф г

ау = ¡аф, а —, е I дп

Единственность решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа устанавливает изоморфизм между пространствами Е<-> Г.

В основу построения скалярных произведений пространств внутренних и граничных состояний положена теорема Гаусса - Остроградского: | (Ну рас! и (IV = | рас! и • п (Ю

V д\

Определение фигурирующей здесь функции как произведения двух

произвольных гармонических функций и = ср^ф^ редуцирует формульную запись теоремы Гаусса - Остроградского к виду:

2|ёгас1 ср(|)-егас1 <р(2)с1У= | (ф(1) цгас1ф(2) + ф(2) ёгас1ф(|))-пс!8

V дУ

Таким образом, в каждом из пространств состояний определено скалярное произведение

=2|ёгас1 ф(1)-ёгас1 ф(2)ёУ, V

(у<'>,Г(2))г= [ (Ф(1)а(р(^ + Ф(2,ар<1))с18,

,,, дп Эп

('V

причем выполняются свойства изоморфизма в гильбертовом смысле, поскольку скалярные произведения соответствующих пар элементов из обоих пространств равны между собой:

Л§(2)>Е=(У(,),Г(2))Г-

Оба пространства - евклидовы, предгильбертовы.

Наличие их метрики позволяет выполнить операцию замыкания множеств, после чего пространства становятся изоморфными сепарабельными гильбертовыми. Любое состояние (и внутреннее, и граничное) может быть представлено рядом Фурье по элементам базиса, который можно полагать ортонормированным благодаря конструктивности теоремы Гильберта-Шмидта:

У = 1ску(к), ск =(у,у(к))г к

Формулировка краевой задачи предполагает частичное определение граничного состояния. В терминах МГС задача переформулируется как задача вычисления коэффициентов Фурье по неполной информации о граничном состоянии. Рассмотрены постановки следующих задач: Дирихле, Неймана, с условиями смешанного типа, основная смешанная задача.

В задаче Дирихле на транице тела задано распределение потенциала:

Решение задачи сводится к решению системы линейных уравнений:

= ЬЬ к = 1,2,3...,

I

где 8- символ Кронекера.

в

Коэффициенты а,Ь определяются следующими квадратурами:

сУ

Ьк = 1 Фо ЛУ

Зф

дп (к)

дп

dS

В задаче Неймана на границе задано распределение производной потенциала по направлению внешней нормали:

5<р дп

= дфр (IV 6,1

Задача также сводится к решению системы линейных уравнений

~Рк])с] = ак' к = 1,2,3...

Коэффициенты Р,а находятся следующими соотношениями:

(ЧУ

дп

.(к)

Г (к) 5<Р0 ,с ак = ] ФИ —(1Ь

ЙУ

Зп

В смешанной граничной задаче задана линейная комбинация производной потенциала по направлению внешней нормали и потенциала на границе тела:

<3п

дфО

«V

где X - непрерывный функциональный коэффициент, не обращающийся в нуль на границе тела.

Решение снова сводится к системе линейных уравнений

=ек, к = 1,2,3...

Коэффициенты Е|ф е^ находятся следующими соотношениями:

^ 1 дф(к) С?ф^'

X дп дп

г 1 5ф(к) (к) (¡),

ек] = ] (-—Л--т—+ V

, А. 611 011

В основной смешанной задаче граница тела разбита на два класса: 5У = 8фи8ф, Бф оБф =0.

На одной части границы задано распределение потенциала, на другой распределение производной потенциала по направлению внешней нормали:

д<р0

вн

5п

Система линейных уравнений будет иметь вид:

1(8к]-Фк])С]=Гк, к = 1,2,3... .1

Коэффициенты фД" находятся следующими соотношениями:

-ей,

йЧ> йп

Во всех случаях установлена разрешающая система уравнений, в общем виде имеющая параметры бесконечной. Ее коэффициенты определяются квадратурами, фигурирующими в скалярном произведении пространства граничных состояний.

Глава 2 посвящена использованию МГС для анализа кручения призматического тела.

Основными характеристиками упругого состояния скручиваемого стержня являются функция напряжений 1Дх,у) (гармоническая) и касательные напряжения:

ди Зи

----, СТ™ =------

ду у дх

Относительно II разрешающим является уравнение Пуассона:

Ли = -2рк, (1.2)

д2 д2

где Д =-+ —— - оператор Лапласа.

дх2 ду~

"у/ ^ " - (Ы)

Преобразуя соотношения (!.!),(1.2), угадывая частное решение уравнения Пуассона, и проводя декомпозицию

и = ф-/Кмк(х2 +у2), приходим к разрешающему уравнению Лапласа относительно гармонической функции ср:

Аф = О,

ау2 =ту2+рк.х,

где через тХ7, ту2 обозначены доли напряжений, отвечающие гармонической

Эф Эф

составляющей: тХ7 =—, ту7 =--.

Эу Эх

Набор из функции напряжений и компонентов тензора напряжений составляет внутреннее состояние:

^ = {ф,тхг,ту7!.

Граничное состояние определено также граничным значением функции напряжений и касательным напряжением, ориентированным вдоль образующей тела на площадке, пересекающее контур по нормали:

у = {ф,тП2,т5г).

Установлен конкретный вид скалярных произведений в обоих пространствах, использующий понятия теории упругости:

8

58

Физический смысл скалярного произведения в пространстве внутренних состояний есть энергия упругого деформирования стержня единичной протяженности.

Задача о кручении стержня приводится к задаче Дирихле с граничными условиями вида

ф|а8 =^Цк(х2 +У2) и соответствующей системе уравнений относительно коэффициентов Фурье: 1(5к1-«к])с.1=Ьк, к = 1,2,3...

Коэффициенты системы определяются следующими выражениями:

Ьк J(x2 + y2)x^)dl,

~ rS

akj=-j<P(k)^dl,

öS

В качестве пробной задачи рассмотрено состояние скручиваемого стержня квадратного сечения. Выполнены все процедуры по формированию базисов, ортогонализации с применением вычислительных сред MathCAD 12, Mathematica 5.0. Метод тестировался на частных задачах, в которых граничные условия отвечали поочередно всем базисным граничным состояниям. При этом восстанавливалось именно изоморфное граничному внутреннее состояние. Результаты решения задачи о кручении стержня квадратного сечения подверглись тестированию двумя способами. Во-первых, построенное решение должно содержать в себе атрибуты, совпадающие с заданным в граничных условиях. По невязке можно судить о достаточности или недостаточности длины удерживаемого отрезка базиса. Во-вторых, выполнено сравнение с известным решением этой задачи Н.Х. Арутюняпа, построенное в рядах по тригонометрическим и гиперболическим функциям. Несмотря на относительно короткий базис в МГС, отличие двух приближенных решений составило не более 1 %.

Выделилась примечательная особенность: матрица коэффициентов разрешающей системы уравнений оказалась скалярной с образующим элементом 0.5. Это позволило коэффициенты Фурье считать через квадратуры:

ск=2Ьк=-цк j(x2+y2)T^dl

as

Все это положительно сказывается как на устойчивости метода (точнее, вопрос об устойчивости снимается), так и на погрешности вычислений (базис можно наращивать механически, квадратуры от многочленов берутся «компьютерной аналитикой» с высокой точностью).

Глава 3 посвящена применению МГС для анализа электростатического

поля.

Основные соотношения электростатики приводятся к разрешающему уравнению Лапласа относительно потенциала электростатического поля.

Содержание внутреннего состояния электростатической среды

с _im ri

наполняют потенциал поля и его напряженность - вектор, равный в каждой точке поля антиградиенту потенциала:

Е = -grackp

Потенциал электростатического поля определяет все характеристики поля и является гармонической функцией:

Лф = 0.

Граничное состояние представляет набор из потенциала на границе и нормальной напряженности:

у = {ф,Еп}.

Скалярное произведение имеет физический смысл энергии электростатического поля:

¡j(2))==2j^-E<2>dV,

V

oV

Задачи о восстановлении поля по распределению на границе тела потенциала либо нормальной напряженности сформулированы в терминах МГС. Построен «электростатический куб в смысле МГС», т.е. выполнена ортогонализация базиса пространств внутренних состояний для тела кубической конфигурации. Совокупность коэффициентов разрешающей системы уравнений

ck=Xk+ KU)fdS 5V

(задача Дирихле) оказались скалярной матрицей с диагональными элементами 0.5. Это позволило свести решение задачи к рутинному вычислению квадратур.

Метод тестировался на частных задачах, в которых граничные условия отвечали поочередно всем базисным граничным состояниям. При этом восстанавливалось (с высочайшей точностью) именно внутреннее состояние, изоморфно соответствующее граничному состоянию.

Было выполнено исследование следующего плана. Был зафиксирован отрезок базиса пространства внутренних состояний достаточно короткой длины в 16 ортонормированных элементов. Рассматривалась задача о

восстановлении поля по граничному условию; варьированию подвергался класс функций, в которых задавались граничные условия.

В первом варианте на границе задавалась линейная комбинация потенциалов поля из базиса пространства граничных состояний. Решение получено с точностью, объяснимой погрешностью представления десятичного числа разрядной сеткой компьютера.

Во втором варианте брался класс гладких функций, для качественной аппроксимации которых отрезка базиса заведомо не достает. Обнаружена достаточно высокая погрешность в решении. Отсюда вывод: точностью вычислений можно управлять, механически наращивая базис. При этом нет потери устойчивости.

В третьем варианте удерживался класс непрерывных функций. На границе закон изменения потенциала имеет ребра и коническую точку. Погрешность решения на коротком» базисе еще более возросла, по все принципиальные выводы сохранили свою силу.

Третий вариант задачи был решен также при отрезке базиса, увеличенном на два порядка (порядок 6, 48 элементов) и погрешность решения также снизилась вдвое. При порядке 10 она составила 5%.

Решена основная смешанная задача для конкретных условий на границе куба. Феноменологически исследована устойчивость решения бесконечной системы уравнений, решаемой методом усечения. Зависимость суммы Бесселя от размерности базиса представлена на рнс.1, где кружками отмечены точки, полученные в результате численного эксперимента. Характер кривой свидетельствует об имеющем место практическом насыщении суммы Бесселя с ростом отрезка базиса, что свидетельствует в пользу устойчивости.

Рис. 1. Исследование насыщения неравенства Бесселя

Глава 4 посвящена анализу безвихревого течения идеальной жидкости.

Все характеристики поля рассчитываются через потенциал скорости:

У = £гас1ф.

В силу несжимаемости идеальной жидкости, разрешающим является уравнение Лапласа:

Дф = 0.

Внутреннее состояние определяет потенциал и вектор скорости:

£ = {Ф,У},

граничное - уровень потенциала на границе и нормальная к границе составляющая скорости:

у = (ф> }.

Скалярные произведения, записанные в терминах среды, выражают собой кинетическую энергию выделенного объема среды:

V

(г0),У(2))г= 1(ф(Ч(2)+Ф(2Ч^)с18. ау

Была рассмотрена серия задач о протекании жидкости через выделенный кубический объем. В ряде задач на одной из сторон куба был зафиксирован входной поток с постоянной плотностью расхода сечения. Расходы через грани - кусочно-постоянные.

В первой задаче (рис.2 а,б) поток проходит через объем преимущественно прямо, боковые поверхности участвуют в дебете равноправно. Во второй задаче (рис.2 в,г) все дебетирующие грани куба равноправны. В третьей задаче (рис.2 д,е) равноправный дебет установлен только для боковых граней, грань, противоположная входной грань -непроницаема. В четвертой задаче (рис.2 ж,з) постоянной интенсивности дебет был установлен лишь для одной грани («дно» куба), остальные грани непроницаемы. Все эти задачи дали конечное, строгое решение, о чем можно судить по низкому порядку аппроксимации в решении (второй при заказанном шестом) и рациональному характеру коэффициентов аппроксимации.

В пятом варианте (рис.3) построено решение задачи о двух трубах, соединённых в «колено» посредством кубической полости. Аппроксимация выполнена многочленами 10-го порядка.

В шестой задаче (рис.4 а,б) дебет «дна» разрешен только на его удаленной половине. Решение получено приближенное, наибольшие искажения наблюдаются в окрестности сингулярностей границы тела.

В седьмой задаче (рис.5) для «дна» установлен режим фильтрации по направлению по нормали. Такой набор условий формулирует основную смешанную задачу. Матрица коэффициентов отлична от скалярной. Анализ результатов при шестом порядке аппроксимации обнаружил довольно: высокий уровень погрешности, о чем можно судить по невязке решения с граничным условием. Качественный уровень решения для интерпретации приемлем.

Рис. 2. Экви потенциал и и векторные диаграммы скоростей

Рис. 3, Эквипотен ци ал и в задаче о двух трубах.

Рис. 4. Эквипотенциали (а) и векторная диаграмма (б) скоростей в задаче о полудонном дебете.

Рис. 5. Эквипотен ци ал и в смешанной задаче.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Разработан метод граничных состояний для анализа гармонических сред, исходящий из понятия внутреннего состояния среды. Показано, что пространство внутренних состояний является линейным и сепарабельным.

2. Построено линейное сепарабельное пространство граничных состояний, изоморфное пространству внутренних состояний.

3. В обоих пространствах определены скалярные произведения. Доказано, что оба пространства определяют пару изоморфных сепарабельных гильбертовых пространств. Любое состояние может быть представлено в виде ряда Фурье по ортонормированному базису.

4. В терминах МГС сформулированы задача Дирихле, задача Неймана, смешанная граничная задача, основная смешанная задача для уравнения Лапласа. Показано, что в общем случае МГС любую задачу приводит к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов Фурье. В случаях основных задач (Дирихле, Неймана) искомые коэффициенты рутинно подсчитываются через квадратуры.

5. Разработанный метод применён к решению задачи о кручении стержня квадратного сечения, задачи о восстановлении электростатического поля по заданному на границе куба уровню потенциала, задачи о прохождении жидкости через кубическую область с различными дебетными режимами. Выполнен анализ влияния класса граничных условий на точность результата при фиксированном отрезке базиса пространства состояний при использовании предлагаемого метода.

6. Решена основная смешанная задача электростатики для куба и для идеальной жидкости с боковым дебетным режимом и фиксированным уровнем потенциала на одной из граней. Феноменологически обусловлена устойчивость метода по отношению к решению бесконечной системы уравнений.

7. Проведен анализ влияния длины базисного отрезка на результаты решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа при граничных условиях из класса непрерывных с сингулярностями типа ребер и конусных точек. Наибольшие неудобства в рассогласование решений доставляют конические точки. Установлено, что наращивание базиса нивелирует отличие, но характер отличия вблизи сингулярностей сохраняется.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Харитоненко A.A. Анализ кручения призматического тела методом граничных состояний // Сборник научных трудов международной научно-технической конференции «Прогрессивные технологии и оборудование в машиностроении и металлургии». 4.II - Липецк: ЛГТУ, 2005. - С.252-255.

2. Харитоненко A.A., Пеньков В.Б. Анализ гармонических полей методом граничных состояний // Материалы региональной научно-практической конференции «Молодые ученые - производству». - Т.2. -Старый Оскол: СТИ-МИСИС,2006. -С.183-186.

3. Пеньков В.Б., Харитоненко A.A. Моделирование состояний гармонических сред и разработка метода- распознавания состояний // Материалы конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики». - Тула: ТулГУ, 2006. - С. 169-171.

4. Пеньков В.Б., Харитоненко A.A. Организация пространств состояний для гармонических сред // Современные методы краевых задач. Материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения - XVII». - Воронеж: ВГУ, 2006. - С. 127-128.

5. Пеньков В.Б., Харитоненко A.A. Пространства состояний: фундаментальный подход к решению задач математической физики // Вестник Липецкого государственного педагогического университета. Серия: Математика, Информационные технологии, Физика, Естественные науки. -Т. 1. - В.2. - Липецк: Л ГПУ, 2006. - С. 132-134.

6. Харитоненко A.A. Новый метод анализа электростатических полей // Сборник докладов международной научно-технической конференции, посвященной 50-летию ЛГТУ: «Энергетика и энергоэффективные технологии». 4.1. - Липецк: ЛГТУ, 2006. - С. 130-134.

7. Харитоненко A.A. Особенности применения нового «энергетического» метода для расчета электростатического поля // Сборник докладов международной научно-технической конференции, посвященной 50-летию ЛГТУ: «Современная металлургия начала нового тысячелетия». 4.4. - Липецк: ЛГТУ, 2006. - С.80-84.

8. Пеньков В.Б., Харптоненко Л.Л. Анализ безвихревого движения идеальной жидкости методом граничных состояний // Известия ТулГУ. Серия: Актуальные вопросы механики. - Вып. 2. -Тула: ТулГУ, 2006. - С. 167-175.

Подписано в печать 05.12.2006г. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ № 956. Типография ЛГТУ. 398600, Липецк, ул. Московская, 30.

ВВЕДЕНИЕ

1. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ГРАНИЧНЫХ СОСТОЯНИЙ ДЛЯ АНАЛИЗА ГАРМОНИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ.

1.1. Пространство внутренних состояний гармонической среды

1.2. Пространство граничных состояний.

1.3. Скалярные произведения в пространствах состояний.

1.4. Решение краевых задач методом граничных состояний

1.4.1. Задача Дирихле.

1.4.2. Задача Неймана.

1.4.3. Смешанная граничная задача.

1.4.4. Основная смешанная задача.

Выводы по главе.

2. АНАЛИЗ КРУЧЕНИЯ ПРИЗМАТИЧЕСКОГО ТЕЛА МЕТОДОМ ГРАНИЧНЫХ СОСТОЯНИЙ.

2.1. Постановка задачи кручения призматических стержней

2.2. Пространства состояний в задаче кручения стержней.

2.3. Формулировка метода граничных состояний для задач кручения стержней.

2.4. Кручение стержня квадратного сечения.

Выводы по главе.

3. АНАЛИЗ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ МЕТОДОМ ГРАНИЧНЫХ СОСТОЯНИЙ.

3.1. Основные соотношения электростатики.

3.2. Пространства состояний электростатической среды.

3.3. Формулировка метода граничных состояний для задач электростатики.

3.4. Решение задач электростатики для куба.

3.4.1. Задача с граничным значением потенциала из базиса

3.4.2. Задача с гладким значением потенциала.

3.4.3. Задача с непрерывным значением потенциала.

3.4.4. Смешанная задача.

3.5.Асимптотическое и феноменологическое исследование устойчивости метода граничных состояний.

Выводы по главе.

4. АНАЛИЗ БЕЗВИХРЕВОГО ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ

ЖИДКОСТИ МЕТОДОМ ГРАНИЧНЫХ СОСТОЯНИЙ.

4.1. Основные соотношения потенциального течения идеальной жидкости.

4.2. Пространства состояний в задаче о потенциальном течении идеальной жидкости.

4.3. Формулировка метода граничных состояний для задач о потенциальном течении идеальной жидкости.

4.4. Движение жидкости в кубическом объеме.

4.4.1. Преимущественно прямой дебет.

4.4.2. Равномерный дебет.

4.4.3. Боковой дебет.

4.4.4. Донный дебет.

4.4.5. Полудонный дебет.

4.4.6. Задача о двух трубах.

4.4.7. Основная смешанная задача.

Выводы по главе.

Концепция состояний среды впервые была выдвинута в 1998 г. в ходе работы Международной научной конференции в Туле по теории приближений и гармоническому анализу [31]. Она возникла из потребностей разработки новых методов решения краевых задач, возникающих в механике деформируемого твердого тела, в первую очередь - математических задач теории упругости. Центральными пунктами этого подхода явились для описания среды понятие внутреннего состояния, а для описания тела — понятие граничного состояния.

Под состоянием среды понимается достаточный набор полевых характеристик среды, удовлетворяющий ее определяющим соотношениям. Другими словами — это любое частное решение (и его следствия) разрешающих уравнений среды. Понятие состояния среды трансформируется в понятие внутреннего состояния, если речь заходит о конкретном теле, имеющем свои границы. Тот след, отпечаток, который оставляет на границе тела внутреннее состояние, воспринимается как граничное состояние, соответствующее внутреннему.

При постановке краевых задач математической физики кроме разрешающих уравнений для среды используются дополнительные условия (граничные, начальные), призванные выделить единственное решение из всех возможных. Совокупность операций по выделению частного решения можно понимать как процедуру распознавания искомого внутреннего состояния по тем признакам, которые содержатся в наборе начальных и граничных условий. Метод, призванный выделить единственное состояние из всего пространства состояний, получил название метода граничных состояний (МТС).

Таким образом, для метода граничных состояний актуальными являются два аспекта: 1) моделирование состояний среды; 2) распознание состояния, соответствующего граничным условиям. Ниже выполнена проработка этих вопросов в применении к излюбленному объекту математической физики — уравнению Лапласа, чем, собственно, и объясняется присутствие в названии темы слова «гармоническое». Для краткости, условимся поле или среду, описание которых подчиняется уравнению Лапласа, называть гармоническим полем или гармонической средой.

Целью диссертационной работы является разработка метода граничных состояний для гармонических сред, позволяющего идентифицировать состояние среды, отвечающее условиям на границе тела.

Аспект моделирования состояний среды включает в себя цикл исследований: поиск способов конструирования разнообразных гармонических состояний; обоснование свойств линейности, сепарабельности пространства внутренних состояний; построение изоморфного пространства граничных состояний; построение скалярного произведения, обоснование евклидовости пространств состояний; пополнение пространств и построение сепарабель-ных изоморфных гильбертовых пространств внутренних и граничных состояний; конструирование и ортогонализация счетного базиса пространства внутренних состояний и изоморфного базиса пространства граничных состояний. Результатом этого этапа является «гармоническое тело в смысле МГС».

Отчасти некоторые ответы на поставленные вопросы можно найти в серии публикаций последнего времени [31], [20], [24], [31], [43], [45], [9]. В частности, конструирование элемента пространства состояний можно вести как по пути эксплуатации общего решения для среды [45], [8], [1], так и используя фундаментальное решение (теоретическое обоснование сепарабельности можно обнаружить в руководствах по иным методам (см., например, [9], [Ю]).

Второй аспект — распознание состояния, — по сути представляет собой метод выполнения расчетов. МГС реализует идеологию теории гильбертовых пространств, согласно которой любой элемент сепарабельного гильбертова пространства имеет представление в виде ряда Фурье по элементам ортонормированного счетного базиса. Процесс распознания сводится к определению значений коэффициентов Фурье, исходя из особенностей граничных (и начальных) условий, присутствующих в краевой задаче.

Здесь уместно сравнение в некоторых вопросах вновь разрабатываемого метода с известными ранее и широко используемыми «энергетическими» методами.

Разработанные к настоящему времени методы решения краевых задач имеют свои достоинства и свои недостатки. Например, метод Ритца [14], [15], минимизирующий квадратичный функционал (вместе со всеми модификациями, включая основное оружие инженера-расчетчика — метод конечных элементов (МКЭ)), сводит проблему к системе линейных алгебраических уравнений, точность решения которой зависит не только от ее порядка, но и от ее обусловленности. МКЭ, кроме этого, имеет еще одну «инструментальную» причину для формирования ошибки вычислений — необходимость дискретизации области, занимаемой телом. Метод Бубнова-Галеркина [3] сводит к системе линейных алгебраических уравнений непосредственно само операторное уравнение. Метод наименьших квадратов минимизирует среднеквадратичную невязку граничных условий с решением и также приводит к системе линейных алгебраических уравнений. Метод Канторовича реализует минимизацию квадратичного функционала градиентными перемещениями (в функциональном пространстве) и здесь ошибка формируется за счет самого итерационного процесса. Метод М.М. Филоненко-Бородича (П.Ф. Папкови-ча, В.Н. Ионова, П.М. Огибалова [4], [5]), как показал С.Г. Михлин [14], эквивалентен методу Ритца. Метод граничных интегральных уравнений (вместе с его дискретным вариантом — методом граничных элементов (МГЭ)) также приводит к системе линейных алгебраических уравнений. Таким образом, все общие методы решения даже самых простых — основных задач, формируют погрешность метода. Кроме этого, механическое наращивание базиса функций во всех этих методах ведет к потере устойчивости.

Разработка метода, лишенного таких недостатков хотя бы на классах основных задач, является назревшей и актуальной задачей. Метод граничных состояний обеспечивает возможность построения решения основных задач механики для тел разнообразных конфигураций простыми средствами. Кроме этой особенности МГС имеет достоинство, присущее всем перечисленным методам — он также является общим. Поэтому его можно положить в основу разработки специальных методов решения новых классов задач, таких, как задачи об оптимизации формы тел, задач с подвижными границами и др. Эта возможность также свидетельствует об актуальности темы.

Идеология МГС в применении к задачам механики деформируемого твердого тела в основе своей разработана и отражена в ряде публикаций: [20], [25], [26], [27], [30], [41], [43], [44], [42], [29], [28], [33], [35], [23], [22], [34], [47], [32]. Непосредственно к теме диссертации имеют отношение публикации [38], [51], [52], [50], [53], [39], [40], [37], [36], [54].

Выше сказанное определяет круг задач диссертационной работы, которые следует решить для достижения цели.

Целью диссертационной работы является разработка метода граничных состояний для гармонических сред, исходящего из моделирования гармонических сред и позволяющего идентифицировать состояние среды, отвечающее условиям на границе тела.

Задачи диссертационной работы:

• конструирование счетного базиса пространства внутренних состояний гармонической среды;

• конструирование изоморфного счетного базиса пространства граничных состояний среды;

• определение скалярного произведения для каждого из пространств состояний, установление гильбертова изоморфизма пространств, ортогонали-зация базисов;

• постановка краевых задач для уравнения Лапласа в терминах МГС;

• адаптация понятий МГС к конкретным физическим объектам (упругость при кручении стержня, электростатика, идеальная жидкость) и решение конкретных физических задач.

Научная новизна содержится:

• в способе построения скалярного произведения для каждого из пространств (внутренних и граничных) состояний, основанном на теореме Гаусса - Остроградского;

• в формулировке краевых задач для гармонических сред (задача Дирихле, задача Неймана, задача со смешанными условиями, основная смешанная задача) в терминах МТС и построении разрешающей системы, - в общем случае - бесконечной системы линейных алгебраических уравнений, для каждой из задач;

• в адаптации понятий МТС к конкретным физическим объектам (кручение упругих призматических стержней, электростатика, идеальная жидкость), постановке и решении ряда конкретных новых задач;

• в анализе влияния класса граничных условий на сходимость метода и обосновании устойчивости решения бесконечной системы уравнений методом усечения.

Теоретическая ценность заключена:

• в разработке МТС для решения разнообразных краевых задач для уравнения Лапласа;

• в построении единой идеологии для формулировки и решения различных задач;

• в решении новых задач для известных сред (смешанные задачи электростатики и динамики).

Практическая ценность заключена:

• в однократности построения «тела в смысле МГС», после чего для него можно решать разнообразные задачи, исходя при этом из единого подхода;

• в однократности построения «скелета задачи», под которым понимается совокупность «тела в смысле МГС» и структуры разбиения границы тела на классы по типу граничных условий, удерживаемых на каждом из классов. После этого варьирование условий на границах в пределах заданных классов не требует трудоёмкого пересчёта коэффициентов разрешающей системы уравнений, а всего лишь пересчёта правых частей уравнений;

• в анализе влияния класса функций, описывающих условия на границе, на сходимость решения и выработке практических рекомендаций по оценке длины удерживаемого отрезка базиса для обеспечения необходимой точности;

• в практически приемлемом способе обосновании устойчивости решения бесконечных систем уравнений методом усечения;

• в обнаружении ситуации, возникающей в основных задачах для уравнения Лапласа, при которой исчезает необходимость решения бесконечной системы алгебраических уравнений, так что решение задач сводится к рутинному вычислению квадратур. Последнее позволяет уточнять решение посредством механического наращивания базиса без какой-либо опасности в отношении потери устойчивости;

• в решениях серии задач для конкретных физических сред, имеющих «прозрачный» смысл.

Основные результаты, полученные в диссертационной работе, заключены в нижеизложенном.

1. Разработан метод граничных состояний для анализа гармонических сред, исходящий из понятия внутреннего состояния среды, под которым понимается набор полевых характеристик, удовлетворяющих определяющим уравнениям среды безотносительно к содержанию граничных условий. Пространство внутренних состояний является линейным и сепарабель-ным. Указан способ конструирования его счетного базиса.

2. Построено линейное сепарабельное пространство граничных состояний, изоморфное пространству внутренних состояний. Каждый его элемент представляет собой «след» соответствующего внутреннего состояния. Обратное соответствие обусловлено теоремой единственности решения задачи Дирихле (или Неймана) для уравнения Лапласа.

3. В обоих пространствах определены скалярные произведения, основанные на теореме Гаусса - Остроградского. Процедура пополнения пространств и равенство скалярных произведений соответствующих элементов определяют пару изоморфных сепарабельных гильбертовых пространств. Любое внутреннее состояние, как и соответствующее ему по изоморфизму граничное состояние, может быть представлено в виде ряда Фурье по ор-тонормированному базису; коэффициенты Фурье определяются скалярными произведениями раскладываемых состояний с базисными состояниями.

4. В терминах метода граничных состояний сформулированы задача Дирихле, задача Неймана, смешанная граничная задача, основная смешанная задача для уравнения Лапласа. В общем случае любая задача приводится к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов Фурье. В простейших случаях искомые коэффициенты рутинно подсчитываются через квадратуры скалярного произведения в пространстве граничных состояний.

5. МГС можно эффективно применять для решения задач о кручении стержней, для расчета электростатических полей, анализа движения идеальной жидкости и др. Ортонормированные базисы пространств внутренних и граничных состояний формируются с применением средств компьютерной алгебры, интегрированных в распространенные вычислительные среды.

6. Решена задача о кручении стержня квадратного сечения. Процесс вычисления коэффициентов Фурье сведен к рутинному вычислению квадратур. Построены распределения напряжений по сечению стержня.

7. «Доведены до числа» задачи о восстановлении электростатического поля по заданному на границе куба уровню потенциала (задача Дирихле) для серии граничных условий, выбираемых из различных классов. Выполнен анализ влияния класса граничных условий на точность результата при фиксированном отрезке базиса пространства состояний.

8. Решена электростатическая задача со смешанными граничными условиями. Проведено численное исследование устойчивости решения усеченной бесконечной системы уравнений.

9. «Доведена до числа» серия задач о прохождении жидкости через кубическую область с различными дебетными режимами: преимущественно прямой дебет, равномерный дебет, боковой дебет, донный дебет, «полудонный» дебет, задача о двух трубах, нормальная донная фильтрация. Решения иллюстрированы графиками эквипотенциалей и диаграммами распределения скоростей.

10.Достоверность результатов решения гарантируется рядом факторов. Во-первых, на этапе подготовки разрешающей системы уравнений проведена выверка промежуточных данных после каждой операции, что возможно благодаря их аналитическому виду. Во-вторых, граничное состояние, отвечающее решению, обязательно содержит в себе заданные граничные условия, что позволяет не только о достоверности решения, но и судить об уровне допущенных погрешностей. В-третьих, о достоверности позволяет судить традиционный подход, основанный на сравнении с известным решением, построенным другим методом. 11. Проведен анализ влияния длины базисного отрезка на результаты решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа при граничных условиях из класса непрерывных с сингулярностями типа ребер и конусных точек. Сингулярности вносят существенный вклад в рассогласование приближенного решения с истинным, причем наибольшие неудобства в этом смысле доставляют конические точки. Наращивание базиса нивелирует отличие, но характер отличия вблизи сингулярностей сохраняется.

Отметим некоторые ближайшие перспективы развития МГС.

В первую очередь следует расширять не столько «геометрию» гармонических объектов (здесь можно ожидать чисто технические трудности), сколько топологию областей: принципиальные вопросы связаны с конструированием счетных базисов пространств состояний для неограниченной одно-связной, двусвязной, многосвязной конфигурации.

Вторая очередь работ может быть связана с варьированием физических сред (теория фильтрации, мембраны, гравитационное поле,.).

Третья серия исследований может быть посвящена усложнению моделей на предмет учета анизотропии, решению задач о пограничном сопряжении гармонических тел.

Контекстно через все этапы проходит вопрос о построении коллекции объектов, создании информационного комплекта тел с различными физико-геометрическими свойствами. С позиций МГС, под конкретным телом следует понимать ортонормированный базис пространства внутренних состояний. Поэтому решение любой задачи распадается на два этапа. Первый этап есть «конструирование тела». Второй этап - исследование состояния тела в конкретных условиях его существования (т.е. - решение той или иной задачи о состоянии).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Аржаных И.С. Интегральные уравнения основных задач теории поля и теории упругости. — Ташкент: Изд-во АН УзбССР, 1954.

2. Арутюнян Н.Х., Абрамян Б.Л. Кручение упругих тел. М.: ГИФМЛ, 1963.-686 с.

3. Галеркин Б.Г. Собрание сочинений. Т. 1,2. — М.,1952.

4. Ионов В.Н., Огибалов П.М. Прочность пространственных элементов конструкций. — М.: Высшая школа, 1972. — 752 с.

5. Ионов В.Н., Огибалов П.М. Прочность пространственных элементов конструкций. Т.2. — М.: Высшая школа, 1972. — 536 с.

6. Колмогоров А.Н., Фомин С.Н. Элементы теории функций и функционального анализа. 7-е изд. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 572 с.

7. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики. М.: Высшая школа, 1970. - 710 с.

8. Крутков Ю.А. Тензор функций напряжений и общие решения в статике теории упругости. — М.: Изд. АН СССР, 1949. 200 с.

9. Купрадзе В.Д., Бурчуладзе Т.В. Граничные задачи термоупругости // Дифференциальные уравнения. — 1969. — Т.5. — №1. — С.3-43.

10. Купрадзе В.Д., Гегелия Т.Г., Башелейшвили М.О., Бурчуладзе Т.В. Трехмерные задачи математической теории упругости. — М.: Наука, 1976. —664 с.

11. Лейбензон Л.С. Вариационные методы решения задач теории упругости. М.: Гостехиздат, 1943.

12. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1987. - 840 с.

13. Математическая энциклопедия / Гл. ред.: И.М. Виноградов, в 5-ти томах. М.: «Советская энциклопедия», 1984 с.

14. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. — М.: Наука, 1970. —512 с.

15. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов. — М.: Наука, 1966. —432 с.

16. Моисеев Н.Н. Математика ставит эксперимент. М.: Наука, 1979.

17. Моисеев Н.Н. Математические задачи системного анализа. М.: Наука, 1981.

18. Моисеев Н.Н. Человек, среда, общество. М.:Наука, 1982. - 240 с.

19. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. — М.: Наука, 1966. — 707 с.

20. Пеньков В. Б., Пеньков В. В. Метод граничных состояний для решения задач линейной механики. // Дальневосточный математический журнал. — 2001. — Т.2, №2. — С.115-137.

21. Пеньков В. Б., Пеньков В.В. Метод граничных состояний для решения задач линейной механики // Материалы международного симпозиума по теории упругости, посвященного памяти А.А. Ильюшина. — М.: МГУ, 2001. —С.363.

22. Пеньков В.Б. Пространства состояний в задачах математической физики // Современные методы в теории краевых задач. «Понтрягинские чтения XI». - Воронеж: ВГУ, 2000. - С. 117.

23. Пеньков В.Б. Системы гильбертовых пространств линейного континуума // Юбилейная научно практическая конференция «Прикладная математика - 99». - Тула: ТулГУ, 1999. - С. 90 - 91.

24. Пеньков В.Б. Теорема взаимности для квазистатической ньютоновской среды // II международная научно-техническая конференция "Проблемы пластичности в технологии": тезисы докладов. — Орел, ОГТУ, 1998. —С. 10-11.

25. Пеньков В.Б., Пеньков В.В. Метод граничных состояний в решении основных задач для упругого параллелепипеда // Воронежская весенняя математическая школа "Понтрягинские чтения — X" "Современные методы в теории краевых задач". Воронеж: 1999. — С. 194.

26. Пеньков В.Б., Пеньков В.В. Метод граничных состояний для основной смешанной задачи линейного континуума // Всероссийская конференция. Тезисы докладов. — Тула, ТулГУ, 2000. — С. 108-110

27. Пеньков В.Б., Пеньков В.В. Метод граничных состояний для решения задач линейной механики // Материалы международного симпозиума по теории упругости, посвященного памяти А.А. Ильюшина. — М.: МГУ, 2001. —с.363.

28. Пеньков В.Б., Пеньков В.В. Метод граничных состояний: рождение, развитие, перспективы // Проблемы нелинейной механики. Сб. статей. К 80-летию Л.А. Толоконникова. Тула: ТулГУ, 2003. - С.262-271.

29. Пеньков В.Б., Пеньков В.В. Обоснование сходимости метода граничных состояний // Известия ТулГУ. Сер.: Математика. Механика. Информатика. -Т.7. -В.2. Тула: ТулГУ, 2001. - С. 157-160.

30. Пеньков В.Б., Пеньков В.В. Применение метода граничных состояний для решения основной смешанной задачи линейного континуума // Известия ТулГУ. Серия Математика. Механика. Информатика. — 2000. — Т.6. — Вып.2. — С. 124-127.

31. Пеньков В.Б., Пеньков В.В. Пространства состояний в задачах механики континуума // Международная конференция "Теория приближений и гармонический анализ": Тезисы докладов (Россия, Тула, 26-29 мая 1998 г).

32. Пеньков В.Б., Пеньков В.В., Рожков А.Н. // Решение основных задач для упругой изотропной пирамиды // Известия ТулГУ. Серия: Актуальные задачи механики. Тула: ТулГУ, 2005. - С.238-249.

33. Пеньков В.Б., Рожков А.Н. Метод граничных состояний в основной контактной задаче теории упругости // Известия ТулГУ. Серия Математика. Механика. Информатика. Т. 11. Вып.2. Механика. Тула: ТулГУ, 2005. С.101-106.

34. Пеньков В.Б., Харитоненко А.А. Анализ безвихревого движения идеальной жидкости методом граничных состояний // Известия ТулГУ. Серия: Актуальные вопросы механики. Вып. 2. - Тула: ТулГУ, 2006. -С.

35. Пеньков В.Б., Харитоненко А.А. Моделирование состояний гармонических сред и разработка метода распознавания состояний // Материалы конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики». Тула: ТулГУ, 2006. - С. 169-171.

36. Пеньков В.Б., Харитоненко А.А. Организация пространств состояний для гармонических сред // Современные методы краевых задач. Материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения XVII». - Воронеж: ВГУ, 2006. - С. 127-128.

37. Пеньков В.Б., Харитоненко А.А. Применение метода граничных состояний для анализа гармонических полей // Известия ТулГУ. Серия: Математика, механика, информатика. Т. 12, Вып.1: Математика. - Тула: ТулГУ, 2006. - С.

38. Пеньков В.В. Асимптотики параллелепипеда // Юбилейная научно-практическая конференция "Прикладная математика — 99" (Тула, 03— 05.05.99). Тезисы докладов. — Тула, ТулГУ, 1999. — С. 92-93.

39. Пеньков В.В. Метод граничных состояний в задачах линейной механики: Дисс. канд. физ.-мат. наук. Тула: ТулГУ, 2002. - 91 С.

40. Пеньков В.В. Метод граничных состояний для ньютоновской среды // И международная научно-техническая конференция "Проблемы пластичности в технологии": тезисы докладов. — Орел, ОГТУ, 1998. — С. 11-12.

41. Пеньков В.В. Метод граничных состояний для упругого параллелепипеда // Зимняя школа по механике сплошных сред (двенадцатая) (Пермь, 25—31. 01.99). Тезисы докладов. — Пермь: 1999. — С.250.

42. Пеньков В.В. Метод граничных состояний: формирование базиса пространства внутренних состояний среды // Известия ТулГУ. Серия Математика. Механика. Информатика. — 1998. — Т.4. — Вып.2. — С. 128134.

43. Ремизов А.Н., Потапенко А.Я. Курс физики: Учеб. для ВУЗов. М.: Дрофа, 2002. 720 С.

44. Рожков А.Н., Пеньков В.В. Компьютерная алгебра в методе граничных состояний // Современные проблемы механики и прикладной математики: Сборник трудов международной школы семинара. 4.2. - Воронеж: ВГУ, 2005.-С. 134-141.

45. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами / Под ред. М. Абрамовича и И. Стиган: Пер. с англ. М.: Наука, ГРФМЛ, 1979. - 832 С.

46. Тимошенко С.П. Курс теории упругости. Киев: «Наукова Думка», 1972.-508 с.

47. Толоконников Л.А., Пеньков В.Б. Метод граничных представлений в двумерных задачах механики. Тула: ТВАИУ, 1966.

48. Харитоненко А.А. Новый метод анализа электростатических полей // Сборник докладов международной НТК, посвященной 50-летию ЛГТУ: «Энергетика и энергоэффективные технологии». 4.1. Липецк: ЛГТУ, 2006. - С.130-134.

49. Харитоненко А.А., Пеньков В.Б. Анализ гармонических полей методом граничных состояний // Материалы региональной научно-практической конференции «Молодые ученые производству» (Старый Оскол, 2006). Т.2. - Старый Оскол: СТИ-МИСИС,2006. - С. 183186.

50. Нянь Вей-чан, Линь Хунь-сунь, Ху Хай-чан и Е Кай-юань. Теория кручения цилиндрических тел (на китайском языке). Пекин, 1956.

51. Saint-Venant В. Sur la torsion des prismes. Compt. Rend., 24 (1847), 847849.