автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Решение задач строительной механики с учетом анизотропии, трещинообразования и неоднородности среды на основе развития метода граничных уравнений

На правах рукописи

ХОДЖИБОЕВ Абдуазиз Абдусатторович

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ С УЧЕТОМ АНИЗОТРОПИИ, ТРЕЩИНООБРАЗОВАНИЯ И НЕОДНОРОДНОСТИ СРЕДЫ НА ОСНОВЕ РАЗВИТИЯ МЕТОДА ГРАНИЧНЫХ УРАВНЕНИЙ

05.23.17-Строительная механика

АВТОРЕФЕРАТ ции на соискание учено!* доктора технических наук

диссертации на соискание ученой степени ^ ^^ ^013

Москва 2013

005533857

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Московский государственный строительный университет» и Таджикском техническом университете

Научный консультант: доктор технических наук, профессор

Габбасов Радек Фатыхович

Официальные оппоненты: Косицын Сергей Борисович

доктор технических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Московский государственный университет путей сообщения» (МГУПС «МИИТ»), заведующий кафедрой теоретической механики

Иванов Вячеслав Николаевич доктор технических наук, профессор ФГБОУ ВПО «Российский университет дружбы народов» (РУДН) профессор кафедры прочности материалов и конструкций Пассек Вадим Васильевич доктор технических наук, профессор ОАО Научно-исследовательский институт транспортного строительства, заведующий лабораторией инженерной теплофизики

Ведущая организация: ОАО «НИЦ «Строительство» ЦНИИСК

им.В.А. Кучеренко г. Москва

Защита состоится «25» октября 2013 г. в 12.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.138.12, созданного на базе ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» по адресу: 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д.26, ауд. №.9 «Открытая сеть».

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет»

Автореферат разослан « /¿» С 13 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Анохин Николай Николаевич

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Определение напряженно-деформированного состояния проектируемых зданий и сооружений в районах со сложными горногеологическими условиями является актуальной задачей строительной механики. К сложным горно-геологическим условиям относятся условия строительства зданий и сооружений в сейсмически активных районах, на просадочных грунтах, на вечномерзлых грунтах, на подрабатываемых территориях, на карстовых грунтах и другие. На здания и сооружения и на их отдельные конструктивные элементы также могут воздействовать динамические нагрузки в виде удара, мгновенного импульса, вибрационная нагрузка и другие.

В строительной механике получили существенное развитие точные и приближенные аналитическое методы решения широкого круга проблем о напряженно-деформированном состоянии односвязных и многосвязных, однородных и неоднородных областей, которые моделируют сложные процессы, происходящие при совместной работе подземного сооружения с окружающей средой горного массива. Одной из актуальных проблем современности является обеспечение комплексной безопасности плотин крупных водохранилищ и гидроэлектростанций, так как от надежности таких сооружений зависит жизнь народов целого региона.

Решение теоретических и практических задач взаимодействия здания и сооружения с основанием является актуальной задачей по следующим направлениям:

-взаимодействие сооружения с основанием в виде совместной работы плотины с упругим полупространством;

-задача взаимодействия диафрагм жесткости многоэтажных зданий с фундаментом и основанием;

-взаимодействие зданий и сооружений с. основанием и вопросы распределения напряжений и деформаций на контактных и в приконтактных зонах.

В связи со строительством крупных гидротехнических сооружений, гидроэлектростанций, транспортных и инженерных туннелей, освоением подземного пространства в городских условиях задачи проектирования и строительство сооружений на различных глубинах от поверхности земли приобретают особую значимость,

Поставлены следующие задачи.

1. Вывод граничных уравнений для статических и динамических задач строительной механики с учетом свойств анизотропии тел.

2. Разработка математических моделей и алгоритмов численной реализации метода граничных уравнений для задачи по определению напряженно-деформированного состояния контуров подкрепленных и неподкрепленных выработок, устраиваемых в теле анизотропной среды.

3. Разработка математических моделей и алгоритмов численной реализации метода граничных уравнений для задач механики разрушения и теории трещин. 4 Построение математической модели и алгоритма численной реализации на основе метода граничных уравнений задачи взаимодействия неоднородного сооружения с упругой полуплоскостью.

5. Построение математических моделей и алгоритмов численной реализации метода граничных уравнений для задачи взаимодействия неоднородного сооружения с упругой полуплоскостью, имеющей подкрепленное и двухслойно подкрепленное отверстие.

Цель диссертационной работы. Целью диссертации является развитие метода граничных уравнений для решения задач строительной механики с учётом анизотропии, трещинообразования и неоднородности среды. Научная новизна диссертационной работы:

• метод граничных уравнений развит и применен для решения задач строительной механики анизотропных тел при действии статических и динамических нагрузок;

• разработанные на основе метода граничных уравнений математические модели и алгоритмы расчета использованы для решения задач механики разрушения и теории трещин;

• разработаны математические модели и алгоритмы расчета по определению напряженно-деформированного состояния контуров отверстий в трещиноватых горных массивах при различных воздействиях;

• метод граничных уравнений впервые использован для решения задач строительной механики неоднородных тел;

• составлены разрешающие уравнения задач взаимодействия неоднородного сооружения с упругой полуплоскостью;

• полученные разрешающие уравнения использованы для решения задач взаимодействия неоднородного сооружения с упругой полуплоскостью, имеющей подкрепленное отверстие;

• разработанные математические модели и алгоритмы расчета метода граничных уравнений впервые использованы для решения задач взаимодействия подкрепленного отверстия, двухслойно подкрепленного отверстия и незамкнутой крепи с бесконечной плоскостью.

Достоверность полученных результатов определяется четкостью и конкретностью использования основных известных закономерностей строительной механики, устойчивости и сходимости используемых методов аппроксимации, а также многочисленными сравнениями результатов с существующими решениями некоторых рассматриваемых задач.

Практическое значение диссертационной работы заключается в следующем: - разработанные математические модели и алгоритмы могут быть использованы в инженерных расчетах взаимодействия сооружения с основанием;

4

- разработанные разрешающие уравнения метода граничных уравнений используются для определения напряженно-деформированного состояния анизотропных и неоднородных тел;

- предлагаемые методы решения внутренних и внешних, трехмерных и двумерных, статических и динамических задач строительной механики рекомендуются для решения практических задач.

Реализация работы. Результаты разработок, проведенных в рамках диссертационной работы, использовались:

- для исследования напряженно-деформированного состояния контуров выработки машзала и помещения трансформаторов Рогунской ГЭС;

- для исследования напряженно-деформированного состояния контуров галереи Нурекской ГЭС;

- для исследования напряженно-деформированного состояния контуров выработки транспортного тоннеля «Истиклол»;

- для исследования напряженно-деформированного состояния системы «плотина-основание» Шурабской ГЭС;

внедрены в практику проектирования подземных сооружений в Таджикистане.

Защищаемые положения:

1. Математическая модель и алгоритм численного решения задач по определению напряженно-деформированного состояния контуров неподкрепленной выработки в теле горного массива с трещинами методом граничных уравнений.

2. Составлены на основе метода граничных уравнений математическая модель и алгоритм численного решения задач концентрации напряжений вокруг отверстий произвольной формы в анизотропной среде.

3. Получены граничные уравнения, разработанные для первой, второй и смешанной задач теории упругости анизотропного тела и построен алгоритм численного решения.

4. Разработаны математические модели и алгоритмы численного решения метода граничных уравнений для задач взаимодействия однородного и неоднородного сооружения с упругим полупространством.

5. Разработаны методом граничных уравнений математические модели и алгоритмы численного решения задач механики разрушения и теории трещин.

6. Построены математические модели и алгоритмы численного решения задач по определению напряженно-деформированного состояния контуров подкрепленного отверстия, двухслойно подкрепленного отверстия и незамкнутой крепи, устраиваемой в теле бесконечной плоскости, от различных воздействий.

Публикации. По материалам данной работы опубликовано 57 статей. Из них 24 - в рецензируемых ВАК РФ изданиях.

Внедрение. Методика, алгоритм и программы расчёта на основе метода граничных уравнений, разработанные в диссертации, внедрены в практику исследования и реального проектирования институтов: Государственное

унитарное предприятие «Научно-исследовательский институт строительства и архитектуры», Государственное унитарное предприятие «Научно-исследовательский и проектный институт «Душанбешахрсоз», проектного института «Саноатсоз», Государственное унитарное предприятие «Научно-исследовательский и проектно-изыскательский институт» министерства транспорта республики Таджикистан и Республиканское Государственное унитарное предприятие «Научно-исследовательский и проектный институт «Нурофар» министерства энергетики и промышленности республики Таджикистан.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, восьми глав, общих выводов, списка литературы и приложения. Объём работы 518 страниц, включая 169 рисунков, 54 таблиц и список литературы из 355 наименований.

Автор выражает глубокую благодарность доктору техн. наук профессору Д. Низомову за ценные советы, данные им в ходе работы над настоящей диссертацией.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, излагаются цели диссертационной работы, научная новизна, практическая ценность и достоверность полученных результатов.

Разработка новых эффективных моделей взаимодействия зданий и сооружений с основанием, составление алгоритмов их расчета, обеспечивающих надежность и эксплуатационную пригодность в течение заданного срока службы, снижение стоимости объектов являются важнейшими направлениями строительной механики.

Первая глава посвящена обзору работ по концентрации напряжений с учётом анизотропии, трещин и неоднородности в телах.

Классические аналитические методы решения задач позволяют решать ограниченный круг вопросов. С помощью аналитических методов можно решать задачи распределения напряжений и перемещений вокруг отверстий круглой и эллиптической форм в плоскости или полуплоскости под действием различных сил.

Возможности современной компьютерной техники позволяют использовать численные методы решения задач строительной механики, и поэтому в практику проектирования всё шире внедряется метод граничных элементов (МГЭ), который является развитием классического метода потенциала.

При исследовании краевых задач в теории уравнений с частными производными одним из основных методов является сведение краевой задачи к решению линейного интегрального уравнения с помощью потенциалов, построенных на основе фундаментальных решений. Метод потенциала, начало которого заложено в работах Ф.Э.Фредгольма и К.Неймана, несмотря на широкое применение новых методов в современных исследованиях решения уравнений с частными производными, сохранил свое значение.

Н.П.Векуа, Ю.В.Верюжский, К.Ф.Гаусс, Д.Гильберт, Д.Грин, Н.М.Гюнтер, П.Г. Л.Дирихле, В.Д.Купразде, Ж.Лагранж, Г.Лауричелл,

A.М.Ляпунов, С.Г.Михлин, Н.И.Мусхелишвили, К.Г.Нейман, Ж.Пуанкаре, В.И. Смирнов, В.А.Стеклов, Ф.Трикоми, Ф.Э.Фредгольм, Д.И.Шерман и др. внесли огромный вклад в развитие теории потенциала.

Метод потенциала не только обеспечивает универсальность, характерную для других общих методов, но и при численной реализации на ЭВМ выгодно отличается лаконичностью исходных данных и меньшим количеством неизвестных, определяемых в результате прямых или итерационных решений систем алгебраических уравнений. Это принципиальное преимущество является следствием того, что в методах потенциала любые усилия и перемещения по произвольному множеству точек объекта могут быть найдены на основе дискретного анализа разрешающих сингулярных уравнений, сформулированных относительно граничных значений неизвестных функций плотностей.

Свойство неоднородности и анизотропии материалов и сред рассматривается в работах С.Г. Лехницкого, Г.Н.Савина, С.М.Алейникова,

B.И. Андреева, Л.Н. Нагибина, Б.Куюнджича, Е.К.Ашкенази, Э.В.Ганова, А.Л.Рабиновича и др.

По С.Б. Ухову наиболее часто встречающимися типами анизотропии скальных пород являются ортогональная и трансверсальная изотропия.

Л. Мюллер приводит данные о весьма значительных отношениях модулей деформации: до 2.5 раз (глинистые сланцы), до 3 раз - трещиноватые граниты.

М.В.Рацом рассмотрена геологическая природа неоднородности горных пород, феноменологические и статистические аспекты неоднородности.

Н.Н.Фотиевой изложен метод расчета крепи горных выработок и тоннелей некруглого поперечного сечения на сейсмические воздействия, основанный на решениях квазистатических контактных задач о взаимодействии крепи с линейно-деформируемым массивом при действии длинных сейсмических волн сжатия и сдвига.

Исследованию по взаимодействию сооружения с основанием посвящены работы М.М.Гришина, Н.П.Розанова, С.Б Ухова, Л.А. Розина, A.A. Храпкова, И.А.Константинова, И.И.Гудушаури, К.Т. Хуньбы и др.

Изменчивость механических характеристик материалов, сред и горных пород описаны в трудах Л.Мюллера, Е.С. Ватолина, С.Б. Ухова, Е.И. Ильницкой, Н.Линка, Д.Д.Сапегина, И.Н.Терновского, И.И.Черкасова,

A.И.Савича, В.Б.Лапкина, Н.Н.Маслова, Э.С.Бобинского, А.В.Количко,

B.В.Семёнова, Ю.Р.Перкова, А.Г.Лыкошина, Б.П.Беликова.

Вопросы, связанные с концентрацией напряжений, занимают очень важное место при оценке напряженно-деформированного состояния элементов, конструкций, зданий и сооружений. Г.В.Колосов, Н.И.Мусхелишвили,

C.П.Тимошенко, Г.Н.Савин, Р. Петерсон , А. Надаи, А. Фёппль, Фойхт, В.В.Панасюк, М.М. Стадник, В.П.Силованюк, Д.В.Вайнберг в своих исследованиях на это обратили внимание.

Работы Р.Ф.Габбасова посвящены вопросу определения напряжённо-деформированного состояния оболочек и пластин с отверстиями разностными уравнениями метода последовательных аппроксимаций и обобщёнными уравнениями метода конечных разностей, применительно к решению дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка.

Механика разрушения включает в себя ту часть науки о прочности материалов и конструкций, которая связана с изучением несущей способности тела без учета, либо с учетом начального распределения трещин, а также с изучением различных закономерностей развития трещин. С появлением механики разрушения наука о прочности пополнилась еще одним направлением. Решение задач с учетом трещин, зачастую связанное с большими математическими трудностями, содержит гораздо больше информации, чем требуется для этой проблемы. Г.В.Колосов, А.А.Гриффитс, Н.И. Мусхелишвили, В.З. Партон, Е.М. Морозов, Г. П. Никишков, Желтов Ю. П., Христианович С. А , Г.И.Баренблатт, М. Я.Леонов, В. В.Панасюк, П. А. Ребиндер в своих исследованиях занимались этими вопросами.

Метод конечных элементов неэффективен в случае удлиненных областей вследствие невозможности описания с необходимой точностью поведения модели при дискретизации.

МГЭ имеет следующие важные свойства: уменьшенный порядок системы уравнений; простота подготовки данных для решения задач; достоверное моделирование задач на бесконечных и полубесконечных областях; выборочное вычисление внутренних напряжений и перемещений; эффективное решение задач о концентрации напряжений. В свою очередь такие методы могут быть подразделены на непрямые и прямые. В непрямой формулировке интегральные уравнения представляются для единичного сингулярного решения дифференциального уравнения, распределенного по границе с некоторыми неизвестными плотностями. Такие функции плотности не имеют физического смысла, но, единожды получив их значения, можно без труда вычислить перемещения и напряжения.

Монография известных специалистов К. Бреббия, Ж. Теллеса и Л. Вроубела посвящена теории и приложениям метода граничных элементов.

В работах Низомова Д. систематизирован и обобщён опыт, накопленный автором и другими исследователями в области применения метода граничных интегральных уравнений в решении задач строительной механики изотропных тел. Изложены методы сплайн аппроксимации и исследованы устойчивость, сходимость и точность различных схем аппроксимации.

Во второй главе автором выведены граничные интегральные уравнения для нижеследующих задач строительной механики, где рассматриваются изотропные тела:

- динамической задачи относительно внутренних перемещений;

- взаимодействия сооружения с упругим полупространством, которое имеет на определённой глубине полость;

- взаимодействия двух тел с разными механическими характеристиками, имеющими общей контактной поверхности;

8

- внутренних задач;

взаимодействия неоднородного сооружения с упругим полупространством, имеющим на определённой глубине включения.

Интегральное уравнение динамической задачи относительно внутренних перемещений получено в виде

¡№-(£,х)Р1(х,1)с1а(х) = рх)Мх) , (1)

ПО V

где Ру(д.х) - фундаментальные решения для перемещений и

напряжений,

д,=5г№Хх,(-&) + (а^А1)Щх,1-А1) + а3Щх,1-А1) + (1/р)Г,(х,1) , (2)

52 = а, / &12; Р^х, 0 - напряжения; р - плотность материала; акоэффициенты аппроксимации; Д/ - шаг по времени; нагрузка.

Аппроксимация ускорения производится по формуле

= Ы1) Щх,0-Щх,Г-А() -(а2/А/Щ(х,(-&/)-а3Щ(х,(-А/). (3)

При стремлении точки £ (точка £ в, общем случае, находится внутри области V ) к границе П области V из (1) можно получить граничное интегральное уравнение

п п

(4)

где с0=3!;/ 2 для гладкой границы; 5Н - символ Кронекера.

Уравнение (4) является сингулярным граничным интегральным уравнением с неизвестными перемещениями и напряжениями на поверхности тела. Если предположить, что на одной части поверхности тела С1№ заданы перемещения, а на другой ее части Пр- напряжения, то уравнение (4) представляется в виде:

с^,0+ ¡Р;(£,х)1У,(х,1)<Ю(х)- ¡{Г-(4,х)Р/х,1)с1а(х) =

о, а.

= -\р;<£,х)&,(х,1)с1С1{х-)+ | IV; (<?,*)/> (х, ОсКХх) + р ¡IV" х)й, (х, I - Л/)Л(х), (5) а. а,

где Р) - заданные перемещения и напряжения, П = 0„, . При решении первой краевой задачи, когда на контуре тела заданы напряжения, уравнение (4) принимает вид

с,1ГД,0+ ¡Р'(с,х)1^(х,1)с10.(х) = ^(*,х)Р/х,1)с1П(х) +\\¥Цг,х)й1(х,{)ск(х), (6)

П П V

где неизвестными являются компоненты перемещения на контуре тела.

Граничное уравнение (6) решается шаговым методом, где при известных значениях перемещений, скорости и ускорения на предыдущем шаге (-А/, определяются их значения в момент времени г , а затем вычисляются деформации и напряжения. Уравнение (6) справедливо как для трехмерных, так и для двумерных динамических задач и представляет собой соотношение,

которое должно выполняться между перемещениями и напряжениями на поверхности, а также обобщенными объемными силами

<2 (хл) = pQ¡ (х, I) = ^ (х, 1) + [V И-Г (х, г - ДО + (а2 / М)Щх, 1-М)+а3Щх,1-М)]р- (7) Поскольку обобщенные объемные силы (7) считаются известными, то при заданных граничных условиях уравнение (6) представляет собой интегральное уравнение относительно значений функций на границе. Все сказанное относится к внутренней задаче, когда рассматривается конечное тело V с поверхностью С!. При этом тело может быть также многосвязным, т.е. иметь внутри себя полости.

Если рассматривается бесконечная область, где V является объемом полости с поверхностью О, то в уравнении (6) объемный интеграл обратится в нуль. Тогда граничное интегральное уравнение для решения внешней динамической задачи представляется в виде

г,о+ ^ч^ж/^Ойкад = ¿>о. (8)

п о

В случае полупространства с полостью О и когда на части поверхности П0 полупространства действует внешняя нагрузка, интегральное уравнение (8) принимает вид

0+ \р'(Л,х)№1(х,1)аа(х)= ¡ж;(£х)Р](х, /уод + + ¡щ;<>',у)Ч,{у,Г)<ю.,(У), (9) по п

где ей, .уеП0, ¡>0, перемещение в точке х в у-м направлении

от действия сосредоточенной силы, действующей в точке £ в / -м направлении.

Решение задачи взаимодействия сооружения с упругим полупространством, которое имеет на определённой глубине полость (рис.1), сводится к совместному рассмотрению трех интегральных уравнений, одно из которых описывает сооружение, а два других связаны с полупространством с полостью. Этих уравнений связывают граничные условия на поверхности П0. При этом поверхность О,-С50 может быть нагружена на определенном участке. Интегральное уравнение для внутренней задачи с областью V и поверхностью Пс = О0 + П, записывается в виде

0+ } Р"(£х)№1 (х, 1)с!Ос(х)- }ЯГ(£ х)Р1 {х,Г)с1Па(х) = п,

= \w;i(4,x)PJ[x,t)dCi1{x)+ /и£(£*)е,(*>'Жлг) , (10)

ii, V

где используются фундаментальные решения Кельвина. Второе интегральное уравнение связано с полупространством и записывается на основе (9):

¡P'(c,xW,(x,Q^Xx)~ ¡Wi;(i,x)PJ(x,t)dn0(x) = П О,

\w;j(^x)PJ(x,t)dQ(x)+ J W;(£,y)qj(y,t)dfl(y). (11)

В (11) используются фундаментальные решения Миндлина. Третье интегральное уравнение получим из рассмотрения полупространства, когда точка f будет принадлежать контактной границе С10:

\Р;(д,х)№/х,0с1П(х)- \w-(£,x)Pl(xJ)dC\(x) = п п,

= \w;^,x)Pl{x,t)dil(x)+ \ w;^,y)qj(y,t)dn(y), (12)

Л 02-f^j

где на поверхности полубесконечного пространства П0 интеграл от функций Р' будет тождественно равен нулю, поскольку фундаментальное решение получено из условия, когда напряжения на границе равны нулю.

Таким образом, имеем систему из трех интегральных уравнений, где неизвестными являются перемещения Wj(£,t) на поверхностях Q, ft,, а также перемещения и напряжения на контактной поверхности Q0.

Если в полупространстве отсутствует полость, то решение задачи сводится к совместному рассмотрению интегральных уравнений (10) и (12), которое приобретает вид

¡fr;(i,x)Pj(x,t)dn0= \ W;^,y)q{y,t)dQ{y). (13)

В этой задаче неизвестными будут перемещения Wj(x,t) на границе Ои +fi, и напряжения Pt(x,t) на Q0. В (13) используются фундаментальные

решения Миндлина.

Система «грунт-сооружение» (рис.2) решается как задача о взаимодействии двух тел с контактной поверхностью П0 на основе фундаментальных решений Кельвина. Из совместного решения интегральных уравнений

с^М?,0+ J Pl{c.,xW,(x,i)dQ.(x)- ;

П. "i

cJVfaf)- *)/>(*,С)- ¡w;^,x)P/x,t)dn(x) +

Oj "о

+jp;(i,xWj(x,odn(x) =

Ц, v2

определяются перемещения и напряжения на контактной границе, а также на П, и П2 соответственно.

Рис.2

Алгоритм численного решения внутренних задач при разбивке границ на N элементов, в пределах которых искомые величины считаются постоянными, сводится к решению матричного уравнения

[Т

А,

Аг

Аг 42

А з Ви Аз К

(Г2

~Р2 -д

Щг

Щз

В» в•

Д2 Аз" [а|

А, 022 Я* а ; (14)

А. °31 Аз. а

здесь (/.у =1,2,3), Л,- прямоугольная матрица размера п+п,, где п- общее число элементов, на которые разбивается контур 0 = ^+0,, л, - число элементов на гр'анице П,,Вц- прямоугольная матрица размера п+па, где число элементов на границе О0, Щ- прямоугольная матрица размера л+л,, прямоугольные матрицы правой части имеют размер л«, где т- число ячеек, на которые разбивается объем тела V. Векторы неизвестных перемещений Щ / = 1,2,3 и напряжений Р, имеют соответственно л, и л0 элементов, векторы заданных напряжений Р° и объемных сил имеют л, и т элементов соответственно.

Коэффициенты блочных матриц в (14), которые выражаются интегралами в пределах у-го граничного элемента при фиксированном узле ¡, имеют вид: < = { , ¡ТУШМП,, <= ¡К&Л^, (15)

1,7=1,2,...,^, ¿,« = 1,2,3, 1 = 1,2,...,^, у = 1,2,..., М, где П- число граничных элементов, М- число ячеек, 0^0',7) и перемещения и напряжения, возникающие в точке } в х - м направлении от сосредоточенной нагрузки, действующей ъ к-и направлении и приложенной в точке ;. Тогда матрицы Аь, вь и в общем виде представляются так:

4,=[<], К^Ь »,=[<], (16)

где количество строк и столбцов зависит от схемы разбивки на элементы. Общая структура матричного уравнения (14), в зависимости от граничных условий, может изменяться.

Граничное интегральное уравнение (4) для внешней задачи, в нашем случае приобретает вид

CW: (f, f) + \Р- хЩ (х,1)с1П(х) = ¡К-;(?,х)Р/х,1)с!П(х), (17)

п о

у = 1,2,3 £,хвП, /> О, где черточками обозначены компоненты перемещения и напряжения дополнительного состояния.

Полные значения тангенциальных напряжений на контуре отверстия записываются в виде

а =—!— 2G-s -vascos2 a, -van sin2 a, -2vct°, coso, -sin», +vqn + » 1-v

+cr"u sin2 a, + <Ja eos2 a, - 2cr¡2 sin a, • eos a,, (18)

где = dWJdS - деформация контура. Полные значения нормальных напряжений на контуре ат = а'п eos2 a¡ + а'21 sin2 ar, - 2an cos or, ■ sin a¡ +

+^+cr;icos2cf, + (r;2sin2Qr1+2<T;2cosai-sina1 =qn. (19)

Отсюда следует, что если контур отверстия не загружен, нормальные напряжения равны нулю. На рис.1: П-поверхность отверстия; П,- поверхность внутренней задачи, П.-внешней.

В третьей главе рассмотрены основные уравнения анизотропных тел. В данной работе рассматриваются ортотропные и трансверсально-изотропные тела. Фундаментальные перемещения, соответствующие ортотропной среде в плоском напряженном состоянии, обусловленные единичной сосредоточенной силой, приложенной в начале системы координат, имеют вид

х)=Kj/A2 inñ - М2 br2],w¡2^,x)=w] ,(£,*)=-кал,А2((>1 -е2),

w22(t,x)=-кд1/ In ¡;-(1/?-г)ЛгЦ1. (20)

здесь К« = \1[2я(у1-гЖЪ ,г,=№+Х12'Г?> - arctg[x2 /(х, //)],

у, и г2 - действительные положительные корни характеристического

уравнения (коэффициенты анизотропии).

Компоненты фундаментальных напряжений на поверхности

записываются в виде

п, =cos(n,x,),«2 =cos(n,x2)-направляющие косинусы, М, = y,x¡n2-Q./yl)x1ni,i-\,2 .

Пусть задана анизотропная область V с поверхностью О, где действуют поверхностные силы Р, и объемные силы F, . Погружая область V с поверхностью О в неограниченное анизотропное пространство, на основе теоремы взаимности работ можно написать

|>у№*Л2+ р>'и>/Пче,ч>,, г,7 = 1,2,3. (22)

п

В первой основной задаче теории упругости требуется найти упругое равновесие тела, если заданы внешние напряжения, действующие на поверхность тела. При этом считается, что объемные силы априори заданы. В случае второй основной граничной задачи определяется упругое равновесие тела, если заданы смещения точек его поверхности. Когда заданы смещения на одной части поверхности, на остальной же - внешние напряжения, то уравнения (22) представляется в виде

где фиксированная точка, в которой действуют единичные силы е,, х-переменная. Из (23) следует, что зная распределение объемных сил ^(х), а также перемещения »,(*) и нагрузки Р,(х) на п , можно определить перемещение и>, в точке Если точка £ лежит вне области V, то =

£ е V' - V, где V' - бесконечная область.

Перейдем к рассмотрению интегралов в (23) при условии, что точка £ устремится к границе п . Будем исследовать сингулярные интегралы, соответствующие двумерной задаче теории упругости. В этом случае вместо поверхностных интегралов рассмотрим интегралы по контуру, а интеграл по объему превратится в интеграл по двумерной области. Из точки £, , находящейся на контуре, как из центра проведем окружность малого радиуса с.

Рассмотрим полярную систему координат е , <р (рис.3), где гр- угол, образованный лучом, идущим из точки Е, в точку х, с осью х\. Область с радиусом е обозначим и., а её границу - Осуществим предельный переход при £->0 и полученный предел будем называть сингулярным значением интеграла или главным значением в смысле Коши.

о а

Рис. 3

Интеграл с ядром w'.(g,x) в (23) можно представить (в обозначениях рис.3) в виде суммы интегралов

\w¡l(c,x)Pl(x)dn(x)= J w¡(t,x)Pj(x)dn(x)+ \у>1(4,хЩШП(х), (24)

где второй интеграл по контуру полуокружности П, с учетом теоремы о среднем можно представить в виде

= Pj . (25)

Здесь Pj среднее значение функции Р/х) на границе sc- так что Hm Т) = Р, (í), так как Р/*)- непрерывная функция, которая удовлетворяет условию Гельдера в точке Если учесть, что в соответствии с рис.3 на границе st имеем

x¡=£cosa, х2 -ssina, а = <р-<ра, d(p-da, £-, = e^cos2 а + sin2 а / у\ , с2 = sáfeos2 а + sin2 а / у\ , 1пг, =lnr+ ln^cos2a+sin2«/^,2 ,lnc2 = lnc + ln^cos2 a + sin2 а I у\ , то предел интеграла от логарифмической функции будет равняться:

lim fin = lim eins®, + Шпе f In Jcos2 a + sin2 aly;da = Q.

£->0 J 1 c->0 » c->0 J 4

0 -9b

Следовательно, первый интеграл в правой части (23) не содержит сингулярности и понимается в обычном смысле. Второй интеграл в (23), ядром которого является функция P¡(4,x), может быть представлен так же, как сумма из двух интегралов.

Рассмотрим интегралы от компонентов тензора контурных напряжений в отдельности. Интеграл по границе se от функции Р',(д,х) записывается в виде

V

\p^,x)^{x)dQ = ¡P^ndip,

0

где Р{\ из (21) на контуре ñ„ , причём rl=ei , r2=e2 , xln¡+x2n2=e , и представляется так:

ълк (л^-алы^ I Ua m)

A,arctg(^)-A2wctS^) Уг У\ 1

при <ра=о =ка

—-) - Л1аг^(-

Гг К .

(26)

Далее, рассматривая интегралы ^(х)с1П в (23) с ядрами х) ,

п

получим аналогичные (26) формулы.

Таким образом, при предельном переходе точки £, к границе рассматриваемой области анизотропного тела уравнение (23) в развернутом виде представляется в виде системы граничных интегральных уравнений:

$ Я V

и>2 + + |Р2>2ЛП + Д,-», + р22щ = [(и^ + и-ц^Л, (27)

г з д * у

где Рн = 1т \р;<1С1е, = 1,2.

Уравнения (27) представляют собой соотношения, которые выполняются между перемещениями и напряжениями на поверхности, а также объемными силами. Так как объемные силы известны, то при заданных граничных условиях уравнения (27) являются граничными интегральными уравнениями относительно значений функций , Р/ на контуре плоской задачи теории упругости. Систему интегральных уравнений (27) можно записать в матричной форме

Ри Рп 1А А.

и

<ю= ]

1"2> 22

Г2

' (28)

Разбивая контур 5 рассматриваемого тела на N граничных элементов, в пределах которых искомые величины постоянны, а область на - М ячеек, матричное уравнение (28) можно представить в таком виде

2>Н-=2>Л+Е/А+1/Л,;

у«1

V ЛГ лг N УК А/ _

(29)

здесь = А, +4(1+Д2) с' =с,у + 4(1+/?21),

+ (30)

«,= Калл*,, 4=

7,7=1,2,

' Д ^ ^

; = 1,2,...,АГ, у = 1,2,...,Л/.

Исходя из полученных результатов вычисления сингулярных интегралов значения коэффициентов Д, в (30) представляются так:

/2 П .

КЛУг ,п (1-у22)8т2й»2+г22

У\ 2 у\

2/, (1 2/2

/,2 А

(33)

к ^ .

где ю- внутренний угол границы в точке # (рис.3), который изменяется в пределах от лг/2 до л- в изотропном теле. Для анизотропного тела а, =«//,, аг=т!уг ■

Таким образом, при заданных на контуре тела напряжениях из решения систем уравнений (29) определяются компоненты перемещения, а затем вычисляются компоненты тензора деформации и на последнем этапе определяются компоненты напряжений. Получены граничные уравнения для первой, второй и смешанной задач теории упругости анизотропного тела и разработан алгоритм численного интегрирования граничных уравнении.

Четвёртая глава посвящена численному моделированию задач с учетом анизотропии. Исследована концентрация напряжений на контуре неподкреплённого круглого отверстия (рис.4) радиусом Я, устроенного в теле неограниченного трещиноватого горного массива с шириною раскрытия трещин <5 и расстояния между трещинами Ь , постоянным коэффициентом £ = 3 • 1 О*4 . С использованием фундаментальных решений Грина получены граничные сингулярные интегральные уравнения. Эти уравнения сведены к системе алгебраических уравнений:

ЛХ = В, ^

где Л- матрица коэффициентов, элементы которой отражают свойства анизотропии среды; Х-вектор искомых перемещений; 5-вектор свободных членов.

В табл. 1 приведены результаты расчета в виде напряжений и нормальных перемещений в зависимости от расстояния между трещинами, при следующих данных: V, = 0.2, Я = 200си, 5 = О.ОЗси, Е,=6-104 МПа-модуль упругости, в = 0", 5 = 310"4, где в - угол, образуемый трещинами /'- той системы с горизонтом; сгх„ = 1 Мпа- напряжение, действующее на бесконечности.

Таблица 1. Зависимость тангенциальных напряжений и нормальных

перемещений от расстояния меяеду трещинами

К См Тангенциальное напряжение (т,, Мпа Нормальное перемещение и„ -103, см

Точка А Точка В Точка А Точка В

50 -1.616 4.267 -0.9342 0.372

100 -1.334 3.785 -0.8003 0.2955

150 -1.224 3.596 -0.7476 0.2654

200 -1.163 3.494 -0.7190 0.2491

250 -1.126 3.430 -0.701 0.2389

300 -1.1 3.385 -0.6885 0.2319

3000 -0.9727 3.169 -0.6278 0.1977

Из анализа табл. 1 можно сделать вывод, что с увеличением ширины ненарушенного слоя результаты сходятся к решению Кирша.

В пятой главе исследованы поля напряжений и перемещений в телах с трещинами общего вида. Для вывода разрешающих граничных уравнений рассматривается упругое двухмерное тело с криволинейными трещинами в условиях плоской деформации под действием заданных напряжений на поверхности 5, (рис.5). При этом, поверхности трещин и считаются незагруженными, и выполняются граничные условия а„ =0, гга = 0.

Исходя из теоремы о взаимности работ, получаем интегральные уравнения, которые записываются в виде тождества Сомильяна:

Р = /[л к р'к +ру к "у р'к 3й*- 1 р'к к + Р" Р'к "у к

Л,"*';

"у Р = к "" р'к +ру к "уу Р'к I р'к к +Р'№ р,к "у к

¿55 , реП, 5 = 5,+5,, +Б,. (35)

Для конечной области (рис.5) разрешающие уравнения (35) можно представить как систему алгебраических уравнений (количество граничных элементов на

поверхности трещины х, равняется ш„, на5ь-ть; всегот = та+ть)-» * * *

2>Л+ЕаЛ= I! + ¡ = 12,...,к, т = та+ть

)=.\ )-\ у=т+1

к к к к

2>Л = И 8*1рч + Е V»> (36)

* I» СОЭ У

где 2 ' 4, =4,Ч72 > в,=-Ь I с + —,

ТЧ ¿5, ГЧ ГЧ ТЧ

й9 = —а 3-4У 1пг„ -т2]^, (37)

созу9 =со5а1;-со5Д, + со5а2-со5^2, вт = сое аг2у - сое Д, - сое а,у -а» Д,, к -общее

количество граничных элементов на поверхностях трещин и тела. Из решения системы алгебраических уравнений (36) при заданных напряжениях рч и рина контуре конечного тела я, (рис.5) определяется вектор перемещений размера 2к, компонентами которого являются перемещения ы„, иу, на контурах трещин , .?„и тела Я, .Контуры трещин и Л'4 свободны от нагрузок и поэтому вектор свободных членов (правая часть), при решении уравнения (36), начинает формироваться от элемента j = m + l (первого

Система уравнений (36) применительно к бесконечной области с трещинами и я,, может быть записана в виде

>1 .Н

У-1 у-1 у«]

где /=1,2п1 = со5«,; п2 = сси; т = та+ть - число элементов на контурах трещин и . При заданных напряжениях на бесконечности а], <т° и г°, из решения (38) определяются компоненты перемещения на контурах трещин £ои . Затем можно приступить к вычислению полей деформаций и напряжений.

Для численной реализации алгоритма решения задач о концентрации напряжений рассмотрена бесконечная область с центральной трещиной длиной 2а, растянутой перпендикулярно плоскости трещины. Решение Инглиса К. для трещины эллиптической формы представляется в виде максимального напряжения в вершине большой оси эллипса, где радиус кривизны р = ь2/а наименьший (Ъ -размер трещины в направлении оси у ).

(39)

В табл. 2 приведены значения нормальных перемещений и тангенциальных напряжений в точках контура трещины эллиптической формы при различных разбиениях четверти поверхности на N граничных элементов, в пределах которых искомые величины принимаются постоянными. Численные результаты соответствуют точкам >> = 0 и х = а и получены при Ь/а = 0.1, Ь/а = 0.01 , V = 0.25 для задачи в условиях плоской деформации. При указанном радиусе кривизны максимальное напряжение по формуле Инглиса К. (39) получается равным сг>.ш«=21-р • Сравнение результатов показывает, что с увеличением N

напряжение на кончике трещины сг, а (тангенциальное напряжение в точках с координатами _у = о и х = ±а) последовательно приближается к решению Инглиса К.

Таблица 2. Сравнение результатов при Ь/а = 0.1, у = 0.25

N и„ 0 в) Ра ип а в/Ра <7, 0/Р <т5 а ¡Р Относительная погрешность, %

8 -0.6630 0.2186 -0.9044 24.0384 12.64

12 -0.6888 0.2299 -0.9382 23.4522 10.45

16 -0.7031 0.2350 -0.9532 22.8720 8.91

20 -0.7120 0.2378 -0.9625 22.4110 7.29

24 -0.7180 0.2397 -0.9687 22.0621 4.81

Из полученных данных следует, что предлагаемый алгоритм численного расчета на основе метода граничных уравнений даёт удовлетворительные

результаты и может быть использован для исследования полей напряжений и перемещений в окрестности вершины трещины эллиптической формы.

В шестой главе рассмотрены задачи взаимодействия сооружения с полупространством.

Практический интерес представляют задачи, связанные с исследованием напряженного и деформированного состояния подкрепленных отверстий произвольной формы, расположенных вблизи прямолинейной границы полубесконечной области.

Рассмотрим взаимодействие с массивом пород крепи горизонтальной выработки произвольного сечения, находящейся на небольшой глубине от горизонтальной поверхности полубесконечной области (рис.6). Для полубесконечной области с подкрепленным отверстием, где на участке поверхности Г0 может быть задана нагрузка, тождество Сомильяны, полученное из теоремы взаимности работ, без учета объемных сил записывается в виде:

",(#)= ¡и;(4,х)р}(х)ЫГ(х)~ ¡Р;(4,х)и;(х)4Г(х), (40)

г

здесь Г = Г4.+Г0 , Г,=Г,+Г2 , Г, , Г2 - контуры кольца подкрепления, и}1(£,,х\ р1(£,х)- фундаментальные решения Миндлина для полупространства и Мелана для полуплоскости. Уравнение (40) определяет компоненту и перемещений в точке £, , расположенной в области О,+О2 + Г0 . При устремлении точки £ к границе Г„ из (40) получаем граничное интегральное уравнение, которое в случае гладкой поверхности представляется в виде:

0,5•[£]{[/}+ |[{/']{Р}^Г= |[г7"]{Р°}с/Г, (41)

г, г, г,

где {Ц},{Р}~ векторы искомых перемещений и напряжений, соответствующие контурам кольца подкрепления, {Р0} - вектор заданных напряжений, [£] -единичная матрица. Разработан алгоритм численного решения задачи.

В качестве тестовой задачи рассмотрим подкрепленное отверстие круглого сечения, которое находится на глубине й от поверхности земли. Кольцо с внутренним радиусом г0 и внешним г,, модулем упругости Еа взаимодействует с деформируемым массивом горных пород. Задача рассматривается для двух случаев нагружения: нормального давления действующего на внутренней поверхности кольца, и растягивающего напряжения рх , направленного параллельно прямолинейному краю. Для обоих случаев нагружения возникающие на внутреннем контуре кольца и на свободной от нагрузки границе напряжения сопоставляются с результатами аналитического решения для отверстия без подкрепления.

Были проведены численные эксперименты при различных разбиениях контуров и установлена сходимость численного решения. Результаты удовлетворительно совпадают с аналитическим решением. При ¿//г0 =15 мы получаем решение Кирша от действия растягивающих напряжений и ет,=ч'„ от гидростатического давления. С уменьшением ¡1 возрастает влияние полуплоскости на характер распределения тангенциальных напряжений.

По разработанной методике решена задача о напряжённо-деформированном состоянии (НДС) подкреплённых контуров машинного зала и помещения трансформаторов Рогунской ГЭС. В частности установлено, что при глубине заложения 100 м и более граница полуплоскости не влияет на НДС контуров и результаты для полубесконечной плоскости совпадают с результатами бесконечной плоскости.

В седьмой главе излагается решение динамических задач теории упругости.

С целью построения алгоритма численного решения динамической задачи используем аппроксимацию по оси времени на отрезке [/„_,,/„]. Для первой и второй производных искомой функции Д. Низомовым получены:

= А /г..(42)

ип=а, 1/„-Г/_ (43)

гае = а,=а2=4, «з = 1, Д = 2,/?2 = 1,/?3 = 0- коэффициенты

аппроксимации. Записав дифференциальное уравнение движения без учета объемных сил в момент времени /„ и используя (43), получаем

(с1-с1)&ас1сИуи„+с1Аип= !р, (44)

^ = «1 ' г1> £?„-, = р «Л-1 / +/ г„ + , где с,,е2-скорости продольных и поперечных волн; р- плотность материала. Фундаментальное решение (44), полученное на основе преобразования Лапласа, представляется в виде

аярс\

„ дг дг

^'"'гмьГ,

' 1J

r = (r,rf\ r,=x,(x)-x,(£),

где для двумерных задач or = 2, функции у/ и хравны:

if = К0(г2) + [К, г2 -&Kx(r,)]lr2, , X = K1{r2)-SlK1ft),

7[ = ir/c1, r2=sr/c2, ^ = - безразмерные параметры, Кт-

модифицированные функции Бесселя второго рода и порядка m . Фундаментальное решение (45) удовлетворяет системе дифференциальных уравнений, соответствующих бесконечной области от действия единичной силы

(с,2 -c22)ulj + с\и\а -s2u] = -S(Ç,х)е, /р, где после запятой производится дифференцирование и суммирование по дважды повторяющемуся индексу.

Теоретическая часть седьмой главы разработана во второй главе. Численное моделирование динамической задачи теории упругости на основе метода граничных уравнений сводится к решению уравнения (6). Исходя из начальных условий, и в соответствии с граничными условиями формируется вектор свободных членов, соответствующий моменту времени t0. Из решения

системы уравнений

АХ„ = В„Л, (46)

где вл1-вектор правой части, соответствующий моменту времени i„_, ; X,-вектор неизвестных, соответствующий моменту времени /„ ; А- блочная матрица 2N -го порядка ( N- общее число элементов); определяются напряжения и перемещения на контуре, соответствующие моменту времени /,. По формуле (47) определяем поле перемещений внутри области:

(47)

i-1 toi

где p]t,ulk- контурные напряжения и перемещения, полученные из решения (46); qjt - сила инерции. Полученное поле перемещений позволяет по формулам (42) и (43) определять компоненты векторов скоростей и ускорений, соответствующие моменту времени f,. Для этого же момента времени по формуле (48) получаем силу инерции:

где и{"\и'"',>-компоненты вектора перемещений в моменты времени и , г-шаг по времени, ^""''(кН/м3) - сила инерции единицы объема в момент времени . Полученные данные позволяют сформировать вектор правой части и из решения (46) определять контурные параметры, соответствующие моменту времени 12, Далее процесс последовательно повторяется.

По разработанному алгоритму исследуются вынужденные колебания земляной плотины треугольного профиля с размерами основания а+Ь, высотой И , с наклонами граней т, =а/й=г£а1 , тг=Ык=^аг (здесь а, и а2 - углы наклона граней к вертикали) от действия гармонической нагрузки. На рис. 7 показано дискретное представление плотины, материал которой обладает следующими характеристиками: Е = 5,713-102 МПа ( 5,713-Ю4 тс/м2), и = 0,45 , р=0,647т/м3. Внутренняя область плотины содержит 20 прямоугольных и 10 треугольных ячеек. Проведенные численные эксперименты от действия горизонтальной вибрационной нагрузки позволили определить основные периоды свободных колебаний трех видов плотин. На рис. 8 представлены результаты, полученные для плотины с размерами а+Ь =150+150=300м, А =100м, наклонами граней т1 = т2 = 1,5, при разбивке граней АВ, ВС и СА на 45 граничных элементов в пределах которых искомые величины считаются постоянными и г = Дх/с, =0,01655с. Из приведенных данных следует, что при периоде возмущающей нагрузки Тр = 0,25 с наступает резонанс, а при Тр = 0,23 с и Г, = 0,26 с наблюдаются биения, что свидетельствует об околорезонансном состоянии динамического процесса. Следует отметить, что при периоде гармонической нагрузки Тр =0,20 с максимальная амплитуда горизонтальных колебаний плотины, получается равным их 2Я =А,Ъ7д0 / Е.

с

Рис. 7

Для сравнения получены результаты колебательного процесса двух других плотин, имеющих такой же профиль поперечного сечения (рис.7), с размерами а = 140м, 6 = 140м, Л=90м и а = 137,2м, 6 = 137,2м, />=91,4м, с наклонами граней от, =т2 =1,55 и т1—тг = 1,501 соответственно, при разбиении их контуров на 45 граничных элементов, в пределах которых искомые величины считаются постоянными. В этих плотинах резонанс наступает при действии гармонической нагрузки с периодами 7), = 0,235 с и Г = 0,23 с соответственно. При периодах, близких к резонансным колебаниям, здесь также наблюдается

24

эффект биения. Сравнение показывает, что с уменьшением объема тела плотины (в условиях плоской деформации при примерно одинаковом наклоне граней) на 16-18%, основной период свободных колебаний уменьшается примерно на 7-9% . Основные частоты свободных колебаний вышерассмотренных плотин соответственно равняются: 3,96; 4,25; 4,34 Гц.

Рис.Х

Восьмая глава посвящена численной реализации метода граничных уравнений в решении задач неоднородных тел и решению реальных задач. Исследованием напряженно-деформированного состояния контуров крепи и отверстия в бесконечной плоскости (рис.9) начинаем решения задач неоднородных тел.

Рис.9

Разбивая контуры £„„ и (рис.9) соответственно на уУ00 и Л^, граничных элементов, в пределах которых искомые величины считаются постоянными, из граничного интегрального уравнения (17) получаем систему алгебраических уравнений:

а) для упругого кольца

лг„ ЛГ0 Л'ц, Л'о, //о А'и "оо ЛГ00

Ёал -Ё/л=-ЁеХ; -ЁЛР*;

л'о Л'о Л'о, ы00 ыии

Ёсл +Ё - Ё -Ё Ал=-Ё - Ё V?;+X я А+XV»; (49)

^0=Л'1В+ЛП, /=1,2,.

б) для контура отверстия в бесконечной области

-¿ла, =-£«Х-ЁЛК'

Коэффициенты уравнений (49) и (50) определяются на основе фундаментальных решений Кельвина. Механические характеристики материалов крепи и бесконечной области входят в состав выражений этих коэ ф фициентов.

Таблица 3. Радиальные и тангенциальные напряжения на контурах крепи и отверстия (рис.9) в горном массиве от действия равномерного внутреннего давления р (плоская деформация) при ио = у,=0.25, Ыа = 2, /^//^=2

Разбиение sm, sm, S,, <yj р а, / р

^оо ^01 ^00 Sm

16 1.3021 0.4051 0.1750 —1.00 -0.1654 -0.1654

32 1.2492 0.3934 0.1690 —1.00 -0.1660 -0.1660

64 1.2325 0.3903 0.1674 -1.00 -0.1664 -0.1664

Аналитическое решение(Крауч, 1987; Мусхелишвили, 1966) 1.2222 0.3888 0.1666 -1.00 -0.1666 -0.1666

Здесь v0,pTj,v},/.i[- коэффициенты поперечной деформации и модуль сдвига для материала крепи и горной породы соответственно; а,Ъ- внутренний и внешний радиус кольца крепи. Результаты расчёта показывают сходимость к аналитическому решению.

По просьбе дирекции Нурекской ГЭС нами по разработанной методике оценивалось напряженно-деформированное состояние контуров смотровой галереи в теле плотины.

Рассматривалось двухслойное подкрепление выработки в теле горного массива, находящееся в условиях плоской деформации. Алгоритм реализован для анализа концентрации напряжений в конструкции смотровой галереи плотины Нурекской ГЭС (рис.10), находящейся при двухосном сжатии напряжениями

67° = -2,52МПа ( сг° = -25,2 кгс/см2); <т° = -4,65 МПа ( = -46,5 кгс/см2). Конструкция галереи состоит из железобетонного массива марки М300 (модуль упругости е2 ) с внутренним диаметром d = 220 см и железобетонной трубы

(первое кольцо) с внешним диаметром а = 220 см, толщиной стенки г = 10 см (модуль упругости £,). Модуль упругости материала, окружающего большое кольцо горной породы,- £3 . Результаты расчета получены для следующих данных:

Л, =100 см, ^ =110 см, дз = 180 см; £, =2,15-10,МПа, ег = 2,75• 10"МПа, е3 = 1,ЗЫ03МПа, у,=у2= 0,25, у3 =0,44.

Рис. 11. Эпюра тангенциальных напряжений на внутренней поверхности первого кольца 5,,-а), и на внешней поверхности первого кольца 512-б).

Результаты расчёта по разработанному алгоритму на основе метода граничных уравнений показывают, что наибольшие тангенциальные напряжения, из пяти рассматриваемых поверхностей (рис.10), возникают на внешней поверхности первого кольца ^рис. 11,6).

В рамках госбюджетной темы научно-исследовательских работ Института геологии, сейсмостойкого строительства и сейсмологии АН Республики Таджикистан, где автор по совместительству работает ведущим научным сотрудником и является ответственным исполнителем темы, выполнено исследование напряженно-деформированного состояния контуров подземных сооружений Рогунской ГЭС.

Рассматривалась обусловленная трещинообразованием анизотропная модель массива горных пород, окружающих подземные сооружения Рогунской ГЭС (рис.12). Системы граничных интегральных уравнений, описывающие напряжённо-деформированное состояние контуров подземных сооружений в анизотропной среде, имеют вид (27). Они преобразованы в систему алгебраических уравнений (29). Коэффициенты уравнений (29) определяются по формулам (30),(31),(32) и (33).

11а основе предлагаемого алгоритма разработана нро1рамма и получены результаты концентрации напряжений и подземных сооружениях Рогунской ГЭС.

Для площадки строительства Рогунской ГЭС основанием и средой почти всех сооружений гидроузла являются песчаники и алевролиты с £ = 2,6-10" -3,8-104 МПа. Для трещиноватого горного массива механические характеристики по рассматриваемой модели определяются методикой К.В.Руппенейта.

Машинный зал и помещение трансформаторов располагаются в едином тектоническом блоке, где сжимающие горизонтальные и вертикальные напряжения соответственно равны <т° = -35 МПа, = -26 МПа. Пласты горного массива расположены под углом 70-75° от горизонта. На основе численных экспериментов при различных разбиениях исследована сходимость разработанного алгоритма. На рис.13 приведено распределение

тангенциальных напряжений по контуру выработки машинного зала (слева) и помещения трансформаторов (справа) для следующих данных: (// = 7я-/12 , £, =3,8-10" МПа, I--, =0,3, А = 40 см, ¿=0,03 см.

По предлагаемой нами модели расчёты производились также при расположении пластов под углом ц/ = л!2 и у/ = 0соответственно. Для сравнения получены результаты расчета по квазиизотропной модели геосреды с модулем деформации е = 9000 МПа, V = 0,3 . Сравнение показывает, что наибольшие напряжения в поперечных сечениях стен и кровель подземных сооружений возникают при горизонтальном расположении пластов. На поперечных сечениях стен подземных сооружений при расположении пластов под углами (е = 7тг/12 и у/ = л72 возникают растягивающие напряжения.

Рис. 14

На рис.14 приняты следующие обозначения: 1, 3-упорные призмы из галечника; 2-ядро из суглинка; 4-деформируемое основание; Qi - собственный вес; -сейсмическая сила; Щ -гидростатическое давление; -фильтрационное

противодавление.

По заданию научно-исследовательского и проектного института «Нурофар» Министерства энергетики и промышленности Республики Таджикистан предлагаемым методом исследовано напряженно-деформированное состояние плотины Шурабской ГЭС (рис.14) на основе неоднородной модели. Акт внедрения приводится в диссертации.

160и

Изучено напряженно-деформированное состояние плотины от совместного действия собственного веса, гидростатического давления, фильтрационного противодавления и сейсмической нагрузки.

На рис. 15 приведены эпюры касательных напряжений на линии контакта сооружения с полуплоскостью (М1-М4). Номера элементов показаны справа налево. Расчеты выполнены при следующих данных: 1- £'„ = 240 МПа; ц=е} = 120 МПа; £,=60 МПа; 2- е0 = е1=е1=ег = 240 МПа; 3-£0 =120 МПа; £, = е3 = 120 МПа; е, = 240 МПа.

Рис. 15

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. На основе анализа существующих методов расчета показано преимущество метода граничных элементов в решениях задач строительной механики с учетом анизотропии, неоднородности и трещин по сравнению с методами конечных элементов и конечных разностей: снижается порядок системы алгебраических уравнений.

2. Получены граничные уравнения для первой, второй и смешанной задач теории упругости анизотропного тела, и разработан алгоритм численного интегрирования граничных уравнений.

3. Впервые построен алгоритм численного решения задач концентрации напряжений вокруг отверстия произвольной формы в анизотропной среде методом граничных уравнений.

4. Разработаны математическая модель и алгоритм численного решения задач механики разрушения методом граничных уравнений.

5. Построена система граничных уравнений и разработан алгоритм решения задачи методом граничных уравнений по определению напряженно-деформированного состояния вокруг вершин различных по формам концентраторов напряжений при растяжении пластины.

6. На основе метода граничных уравнений разработаны математическая модель и алгоритм расчёта зданий и сооружений с учётом их совместной работы с основанием, что позволяет исследовать напряженно- деформированное состояние объекта при различных внешних воздействиях, в том числе сейсмических.

7. Впервые выведены разрешающие граничные уравнения метода граничных уравнений, позволяющие определить параметры напряженно-деформированного состояния системы «неоднородное сооружение - упругая полуплоскость» и реализованы на примере Шурабской плотины.

8. Впервые разработан алгоритм численного метода для решения граничных уравнений задачи взаимодействия неоднородного сооружения с упругой полуплоскостью, имеющей на какой-либо глубине подкрепленное отверстие.

9. Разработанные математическая модель и алгоритм решения задачи позволяют исследовать напряженно-деформированное состояние вокруг контуров закрепленной выработки, устраиваемой в упругом полупространстве.

10. Разработаны математическая модель и алгоритм численного решения задач по определению напряженно-деформированного состояния контура незакрепленной выработки в теле анизотропного горного массива с трещинами.

11. Выявлена закономерность изменения напряженно-деформированного состояния контуров выработки в теле горного массива в зависимости от геометрических параметров трещин.

12. Разработаны математическая модель и алгоритм решения задач методом граничных уравнений для составления тензоров деформаций от действий сосредоточенных сил статического характера.

13. Для неограниченной упругой среды получены выражения фундаментальных напряжений, которые используются при составлении разрешающих граничных уравнений трёхмерной статической задачи теории упругости.

14. Сформированы компоненты тензора напряжений от единичной сосредоточенной силы в упругом полупространстве, которые позволяют определить напряженно-деформированное состояние тела.

15. На основе теоремы взаимности работ получены граничные уравнения, позволяющие построить различные алгоритмы численного решения динамической задачи теории упругости.

16. Выведены интегральные формулы для определения поля перемещений точек упругого тела (с определёнными объёмом и поверхностью) со смешанными граничными условиями для динамической и статической задач теории упругости.

17. Разработан алгоритм численного решения внутренних задач для конечного тела с соответствующими граничными условиями под воздействием статических или динамических сил.

18. Получены напряженно-деформированные состояния подземных сооружений Рогунской ГЭС с учетом анизотропии окружающих горных пород, обусловленной трещиноватостью и напластованием.

Основные положения и результаты диссертации отражены в следующих публикациях:

В периодических изданиях, включенных в перечень рекомендованных ВАК РФ:

1. Влияние параметров трещин на концентрации напряжений на контуре незакрепленной выработки устраиваемой в горном массиве // Вестник МГСУ, №1.Т.1.2011, Москва, с. 244-249.

2. Растяжение анизотропной пластины под углом к главному направлению // Вестник МГСУ, №1. Т.1. 2011, Москва, с. 250-255.

3. Исследование напряженно деформированного состояния неоднородных тел методом граничных уравнений // Вестник МГСУ, №7. 2012, Москва, с. 96 -100.

4. Исследование концентрации напряжений в пластинке с выточками методом граничных уравнений//Вестник МГСУ, №8. 2012, Москва, с. 121 -124.

5. Анизотропия трещиноватых горных массивов //Доклады Академии наук Республики Таджикистан.-Душанбе, 2008.- Т. 51.- №2.-С. 153-159.

6. Концентрация напряжений на контуре отверстия в анизотропной пластине при растяжении под углом к главному направлению // ДАН Республики Таджикистан. - Душанбе, 2008.- Том 51 №3 стр. 223-229.

7. Алгоритм численного решения динамических плоских задач теории упругости//Вестник Томского государственного архитектурно-строительного университета, Томск, 2013, №1(38). С.77-82.

8. Решения задач анизотропной пластины с отверстием // Известия академии наук Республики Таджикистан, Отделение физико-метематических, химических, геологических и технических наук №1 (130) 2008г. стр. 70-81.

9. Трансверсально-изотропная модель массива пород подземных сооружений Рогунской ГЭС //ДАН Республики Таджикистан 2011 Том 54 №5 стр. 420-426. (Соавторы Низомов Д., Ходжибоев O.A.).

10. Концентрации напряжений на контурах обделок смотровой галереи плотины Нурекской ГЭС // ДАН Республики Таджикистан 2011 Том 54 №6 стр. 497-503. (Соавторы Низомов Д., Ходжибоев O.A.).

11. Концентрация напряжений вокруг отверстия в анизотропной пластине // Вестник МГСУ, №6. 2011, Москва, с. 307-311. (Соавторы Низомов Д., Ходжибоев O.A.).

12. Численное решение плоской задачи теории упругости с учетом анизотропии материала // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений, №1. 2012, Москва, с. 3 - 7. (Соавторы Низомов Д., Ходжибоев O.A.).

13. Перемещения и напряжения на контурах подземных сооружений в трещиноватых горных массивах // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений, №1. 2012, Москва, с. 8 - 16. (Соавторы Низомов Д., Ходжибоев O.A.).

14. Система разрешающих уравнений метода граничных уравнений для полупространства с подкреплённым отверстием// Строительная механика

инженерных конструкций и сооружений, №2. 2012, Москва, с. 20 - 24. (Соавторы Низомов Д., Ходжибоев O.A., Саломов Н.Г.).

15. Концентрация напряжений вокруг отверстия в полуплоскости, растягиваемой на бесконечность // Вестник МГСУ, №7. 2011, Москва, с. 596601. (Соавторы Низомов Д., Ходжибоев O.A.).

16. Пространственная модель многоэтажных зданий с учётом жёсткости реальных связей //ДАН Республики Таджикистан, 2008, Том 51, №6 стр. 469476. (Соавторы Низомов Д., Каландарбеков И., Ходжибоев O.A.).

17. Моделирование напряженно-деформированного состояния контура выработки в трещиноватых горных массивах // Вестник МГСУ, №4. 2012, Москва, с. 108-115. (Соавторы Низомов Д., Ходжибоев O.A.).

18. Численное моделирование задачи двухслойного подкрепления//Вестник МГСУ, №5. 2012, Москва, с. 68-71. (Соавтор Низомов

Д.). й „ „

19. Взаимодействие крепи с массивом пород вблизи прямолинейной границы полуплоскости // Вестник МГСУ, №6. 2012, Москва, с. 68-72. (Соавтор Низомов Д.).

20. Концентрация напряжений на контуре незамкнутой крепи // Известия АН Республики Таджикистан, Отделение физико-метематических, химических, геологических и технических наук №2 (147) 2012г. С. 58-64.(Соавторы Низомов Д. Н. ,Зарифов С.С.).

21. Исследование напряжённо-деформированного состояния плотины Шурабской ГЭС на основе неоднородной модели с учётом податливости основания // ДАН Республики Таджикистан, том 55,- Душанбе: Дониш, 2012, № 4.- с.305-310. (Соавтор Низомов Д.).

22. Алгоритм расчёта взаимодействия сооружения с полупространством, ослабленное выработкой в условиях плоской деформации // Научный журнал Вестник Российского университета дружбы народов. Серия инженерные исследования.№1,2012. с.24-32. (Соавторы Низомов Д., Ходжибоев O.A.).

23. Решение задачи взаимодействия конечного тела с полуплоскостью // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений, Москва. №1. 2013, с. 19 - 24. (Соавторы Низомов Д., Ходжибоев O.A.).

24. Концентрация напряжений в подземных сооружениях Рогунс.кой ГЭС // Строительная механика и расчёт сооружений, Москва. №1. 2013, с. 53 - 57. (Соавтор Низомов Д.).

Публикации в иных изданиях:

25. Численное моделирование плоской задачи нестационарной динамики и дифракции волн // ДАН Республики Таджикистан. - Душанбе, 2010.- Том 53.-№ 4.-С. 279 - 284. (Соавторы Низомов Д., Ходжибоев O.A.).

26. Алгоритм расчета взаимодействия сооружения с полупространством в условиях плоской деформации//ДАН Республики Таджикистан. - Душанбе, 2010,- Том 53,- № 5.-С. 364 -371. (Соавторы Низомов Д., Ходжибоев O.A.).

27. Поля напряжений и перемещений вблизи вершины трещины в линейной теории упругости //ДАН Республики Таджикистан, 2010, Том 53, №11 стр.856-864. (Соавторы Низомов Д., Ходжибоев O.A.).

28. Учет трещиноватости в массивах горных пород //Актуальные проблемы научных исследований сейсмоактивных территорий. Материалы республиканской научной конференции. «100-лет со дня Каратагского землетрясения (21 октября 1907 года) и современные проблемы сейсмостойкого строительства и сейсмологии», г.Душанбе, 19-20 октября 2007 г. с. 159-165. (Соавторы Низомов Д., Ходжибоев O.A.).

29. Численное решение задач концентрации напряжений с учетом анизотропии // Актуальные проблемы научных исследований сейсмоактивных территорий. Материалы республиканской научной конференции. «100-лет со дня Каратагского землетрясения (21 октября 1907 года) и современные проблемы сейсмостойкого строительства и сейсмологии», г.Душанбе, 19-20 октября 2007 г. с. 165-171. (Соавторы Низомов Д., Ходжибоев O.A.).

30. Влияние параметров анизотропии на деформированное состояние массива горных пород // Актуальные проблемы научных исследований сейсмоактивных территорий. Материалы республиканской научной конференции. «100-лет со дня Каратагского землетрясения (21 октября 1907 года) и современные проблемы сейсмостойкого строительства и сейсмологии», г.Душанбе, 19-20 октября 2007 г. с. 171-175. (Соавторы Низомов Д., Ходжибоев O.A.).

31. Концентрация напряжений в полуплоскости, ослабленной отверстием // Актуальные проблемы научных исследований сейсмоактивных территорий. Материалы республиканской научной конференции. «100-лет со дня Каратагского землетрясения (21 октября 1907 года) и современные проблемы сейсмостойкого строительства и сейсмологии», г.Душанбе, 19-20 октября 2007 г. с. 175-179. (Соавторы Низомов Д., Ходжибоев O.A.).

32. Статический и динамический расчет перекрестных балок на упругом основании методом перемещений // Вестник технического университета. Душанбе, 2008 г. №1, с.82-84. (Соавторы Низомов Д., Ходжибоев O.A.).

33. Трехмерное моделирование методом сосредоточенных деформаций //ДАН Республики Таджикистан 2008 Том 51 №5 стр. 388-398 (Соавторы Низомов Д., Каландарбеков И., Ходжибоев O.A.).

34. Вероятностный метод расчета зданий на случайно увлажняемых просадочных грунтах // Вестник технического университета, 2008 г. №2, с.61-64. (Соавтор Ходжибоев O.A.).

35. Анализ поля напряжений в анизотропной среде, ослабленной отверстием // Труды международной конференции по снижению сейсмического риска, посвященной шестидесятилетию со дня Хаитского землетрясения 1949 года в Таджикистане, г. Душанбе, 9-11 июля 2009 г. с. 133-137. (Соавторы Низомов Д., Ходжибоев O.A.).

36. Анализ сходимости, устойчивости и точности численного решения задачи изгиба плит // Труды международной конференции по снижению

сейсмического риска, посвященной шестидесятилетию со дня Хаитского землетрясения 1949 года в Таджикистане, г. Душанбе, 9-11 июля 2009 г. с. 137143. (Соавторы Низомов Д., Каландарбеков И., Ходжибоев O.A.).

37. Матрица жесткости изгиба плит // Труды международной конференции по снижению сейсмического риска, посвященной шестидесятилетию со дня Хаитского землетрясения 1949 года в Таджикистане, г. Душанбе, 9-11 июля 2009 г. с. 143-146. (Соавторы Низомов Д., Каландарбеков И., Ходжибоев O.A.).

38. Моделирование смещений и напряжений вокруг подземных сооружений в трещиноватых породных массивах // Труды международной конференции по снижению сейсмического риска, посвященной шестидесятилетию со дня Хаитского землетрясения 1949 года в Таджикистане, г. Душанбе, 9-11 июля 2009 г. с. 147-156. (Соавторы Низомов Д., Ходжибоев O.A.).

39. Напряженное и деформированное состояние угловых зон в плоской задаче теории упругости // Труды международной конференции по снижению сейсмического риска, посвященной шестидесятилетию со дня Хаитского землетрясения 1949 года в Таджикистане, г. Душанбе, 9-11 июля 2009 г. с. 157163. (Соавторы Низомов Д., Каландарбеков И., Ходжибоев O.A.).

40. Учет особенностей угловых точек в расчетах плит // Труды международной конференции по снижению сейсмического риска, посвященной шестидесятилетию со дня Хаитского землетрясения 1949 года в Таджикистане, г. Душанбе, 9-11 июля 2009 г. с. 163-171. (Соавторы Низомов Д., Каландарбеков И., Ходжибоев O.A.).

41. Численная реализация алгоритмов для решения плоской задачи теории упругости с учетом анизотропии материала // Труды международной конференции по снижению сейсмического риска, посвященной шестидесятилетию со дня Хаитского землетрясения 1949 года в Таджикистане, г. Душанбе, 9-11 июля 2009 г. с. 171-175. (Соавторы Низомов Д., Ходжибоев O.A.).

42. Влияние параметров анизотропии на нормальные перемещения вокруг незакрепленной выработки // Материалы республиканской научно-практической конференции, посвященной «Году образования и технической культуры» и 50-летию кафедры «Водоснабжение и водоотведение», г. Душанбе, 15 мая 2010 г. с. 97-102 (Соавторы Низомов Д., Ходжибоев O.A.).

43. Концентрация напряжений вокруг незакрепленного отверстия в полуплоскости // Материалы республиканской научно-практической конференции, посвященной «Году образования и технической культуры» и 50-летию кафедры «Водоснабжение и водоотведение», г. Душанбе, 15 мая 2010 г. сЮЗ-109. (Соавторы Низомов Д., Ходжибоев O.A.).

44. Концентрация напряжений вокруг открытых выработок с учетом анизотропии // Материалы республиканской научно-практической конференции, посвященной «Году образования и технической культуры» и 50-

летию кафедры «Водоснабжение и водоотведение», г. Душанбе, 15 мая 2010 г. с.109-117. (Соавторы Низомов Д., Ходжибоев O.A.).

45. Учет трещиноватости горных пород при определении напряжённо-деформированного состояния вокруг выработки // Материалы республиканской научно-практической конференции, посвященной «Году образования и технической культуры» и 50-летию кафедры «Водоснабжение и водоотведение», г. Душанбе, 15 мая 2010 г. с.117-127. (Соавторы Низомов Д., Ходжибоев O.A.).

46. Система разрешающих уравнений метода граничных уравнений для задачи взаимодействия конечного тела с полуплоскостью // Материалы IV международной научно-практической конференции «Перспективы развития науки и образования», г. Душанбе, 20-22 мая 2010г. с. 82-86. (Соавторы Низомов Д., Ходжибоев O.A.).

47. Напряженное состояние на контуре отверстия в анизотропной пластине при растяжении под углом к главному направлению // Материалы республиканской научно-практической конференции, посвященной 20-летию государственной независимости Республики Таджикистан и 55-летию Таджикского технического университета имени академика М.С.Осими «Наука и строительное образование на современном этапе» 14 мая 2011г - Душанбе -2011. с. 416-427.

48. Концентрации напряжений смотровой галереи первого яруса плотины Нурекской ГЭС // Материалы научной конференции, посвященной 20-летию государственной независимости Республики Таджикистан и 60-летию образования Академии наук Республики Таджикистан», г. Душанбе - 2011. с. 116-125. (Соавтор Низомов Д.).

49. Трансверсально-изотропная модель массива пород подземных сооружений Рогунской ГЭС // Материалы научной конференции, посвященной 20-летию государственной независимости Республики Таджикистан и 60-летию образования АН Республики Таджикистан», г. Душанбе - 2011. с. 126-135. (Соавтор Низомов Д.).

50. Программа численного решения на ЭВМ статической задачи плотины на основе неоднородной модели с учётом податливости основания // Министерство экономического развития и торговли Республики Таджикистан. Государственное учреждение Национальный патентно-информационный центр. Свидетельство о государственной регистрации информационного ресурса. № государственной регистрации №1671200241. (Соавторы Низомов Д., Ходжибоев O.A.).

51. Программа численного решения на ЭВМ задачи концентрации напряжений в подземных сооружениях с подкреплениями // Министерство экономического развития и торговли Республики Таджикистан. Государственное учреждение Национальный патентно-информационный центр. Свидетельство о государственной регистрации информационного ресурса. № государственной регистрации №1671200240. (Соавторы Низомов Д., Ходжибоев O.A.).

52. Программа численного решения на ЭВМ задачи концентрации напряжений в подземных сооружениях с учётом анизотропии массива горных пород // Министерство экономического развития и торговли Республики Таджикистан. Государственное учреждение Национальный патентно-информационный центр. Свидетельство о государственной регистрации информационного ресурса. № государственной регистрации №1671200242. (Соавторы Низомов Д., Ходжибоев O.A.).

53. Программа численного моделирования на ЭВМ двумерных динамических задач теории упругости // Министерство экономического развития и торговли Республики Таджикистан. Государственное учреждение Национальный патентно-информационный центр. Свидетельство о государственной регистрации информационного ресурса. № государственной регистрации №1671200243. (Соавторы Низомов Д., Ходжибоев O.A.).

54. Численное моделирование напряженно-деформированного состояния неоднородной плотины с учетом податливости основания методом граничных уравнений // Материалы республиканской научно-практической конференции, посвященной 16 сессии Верховного Совета, 15-летию мира и национального согласия Республики Таджикистан и 2012г. - года развития энергетики, г. Курган-тюбе-2012. с.95 - 100.

55. Исследование напряженно-деформированного состояния подземных сооружений Рогунской ГЭС методом граничных уравнений // Материалы республиканской научно-практической конференции, посвященной 16 сессии Верховного Совета, 15-летию мира и национального согласия Республики Таджикистан и 2012г. - года развития энергетики, г. Курган-тюбе - 2012. с.101 -105.

56. Алгоритм решения задачи взаимодействия конечного двухсвязного неоднородного тела с упругой полуплоскостью методом граничных уравнений// Материалы международной научно-практической конференции «Актуальные проблемы современного строительства». ФГБОУ ВПО «Пензенский государственный университет архитектуры и строительства». Сборник научных статей. Пенза,2013. С.350-353.

57. Определение напряжённо-деформированного состояния контура отверстия в анизотропной пластине методом граничных уравнений// Материалы XVII Московской международной межвузовской научно-технической конференции студентов, магистрантов, аспирантов и молодых учёных. ФГБОУ ВПО Московский государственный строительный университет. Сборник научных статей. Москва,,2013. С.135-137. (Соавтор Ходжибоев O.A.).

КОПИ-ЦЕНТР св.: 77 007140227 Тираж 100 г. Москва, ул. Енисейская, д. 36. тел.: 8-499-185-79-54, 8-906-787-70-86 www.kopirovka.ru