автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Численное исследование дискретных граничных уравнений краевых задач расчета конструкций



На правах рукописи

ШИРИНСКЛЯ Ирана Витальевна

Ч___——'

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ДИСКРЕТНЫХ ГРАНИЧНЫХ УРАВНЕНИЙ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ РАСЧЕТА КОНСТРУКЦИЙ

05.23.17 - строятеяьаая механика

Автореферат диссертации ва соасканяе ученой степени кандидата технических наук

Москва 1995

Работа выполнена в Московской государственном строительном университете.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ:

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

доктор технических наук, профессор Золотов А.Б. доктор технических наук, профессор Андреев В.И. кандидат технических наук, . старший научный сотрудник Белостоцкпй A.M. Институт проблем механики РАН

995 г. в "¿ivL* часов на заседании диссертационного Совета К 053.11.08 в Московском государственном строительном университете по адресу: 113114, г. Москва, Шлюзовая набережная, д. 8, аудитория N ^

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ: Защита состоится ".яГ"

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета.

Автореферат разослан ".¿."^SMv lQBb г.

Ученый секретарь диссертационного Совета

Н.Н. Анохин

-------------------- ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ-----------------------------------

Диссертационная работа посвящена разработке эффективных численных методов решения краевых задач строительной механики, основанных на использовании дискретных аналогов граничных интегральных уравнений.

Актуальность чгмы.

Ссзргггезгал расчетЕпя практика вцдоЕггст з ид зля гсслсдозолття сложных конструкций, решение которых, как правило, может быть получено лишь численными методами. Наиболее универсальным и широко распространенным методом расчета строительных конструкций является метод конечных элементов (МКЭ). Однако, при использовании достаточно подробных конечяоэлемептяых аппроксимаций численное решение краевых задач строительной механики является весьма дорогостоящим. Это обусловлено тем, что с увеличением алгебраической размерности системы разрешающих урадвен^Э МКЭ- резке роз-рвотают вычнелятельгае затраты на ее решение. Другой альтернативный подход связан с аспользоганпеп метода граничных элементов (МГЭ). При этой задача формулируется виде системы гранитных зн-тогральяых уравнений, аппроксимация хоторы?; также приводит ¡с системе линейных уравнений, правда существенно мейьшей, чем з МКЭ. К еожалепгло, плагой за это является ш^бходкмеегь алпрскспмзции сингулярных интегральных операторов. Рассматриваемый в диссертации подход сочетает положительные стороны МКЭ И МГЭ. Решение краевой задали производится в рзмкзх конечночлементяой аппроксимации. Так ле ках в МГЭ задача сводится к система уравнений относи-тапьпо пеютёстпых, сосредоточ-^ттых па границе области, причем ято сведение является точным и не требует аппроксимации сингулярных операторов, т.к. все операции производятся на дискретном алгебраическом уровне. Предлагаемые в диссертации методы ориентированы

на Еспольэоэ&нне ЭВМ малоЁ в средней мощвосхр г представляются сущгстгешго более эффективными, чем стацдартгше подходы.

Целью работы является:

в пывод днскрстишс граничных уршшепдй, аяалогапшьс; граянчпьщ снтетральтш уравсепняи краевых задач строительной ыехашапн;

в разработка эффективаьис алгорйтаов дпа сычнслешш фундаментальных рошешИ ддскрзтшдс задач;

в арогр&шяаая реадизадая раэработаяЕых са^азгов метода дво крсглых грашчзшх уравЕШзй;

о чвеланиоа рг&шчгшк -дасарвтаых гра-

иачяыхургде&звй Ерт&шатвякЕок реетеашэнраюгла задач сгро-отельвой ишшош.

Ноучаая вотвв соош вз •

» построешш пряиых в взврзшых формулароэзз грашгЕшх урвв-неявй для даслрегяых кртшх задач, асалолгашг гр&шптае иптегргжтмур&явешвшвкотшэъж^хслучйб;

© разработке эффективных шходр& вычаслзстя фуодадожшьвагс решешш маогаьяфЕой дпсгротзой задача с состояшшшг котффп-цпеетамн;

» разработеейлгоргж.етвдяярвшеаеткра^ механики методом дас&реяшх граштшх уравнений.

Пратвчшсвя ц аввооь состоят в:

• разработано универсальной программы для вычисления фуадамеа тальаого решения дискретов задачи с постоянными коэффкцяея ТОШН

• разработке пакета программ для решения краевых задач расчета конструкций методом дискретных граничных уравнений;

в результатах решения практических задач расчета конструкций.

Внедрение работы состоит в использовании разработанных методов, алгоритмов и программ для расчета конструкций и МГСУ, ЦНИНСК им.В.А.Кучереяко, Научно-инженерном центре "СТЛДИО".

На загадту аьшосятся:

о прямые а непрямые формулировки граничных уравнение для дискретных краевых задач;

• методы вычисления фуццаментального решения дискретной зада-чис постоянными коэффициентами; :

в алгоритмы и пакет программ для решения краевых задач расчета конструкций методом дискретных граничных уравнений.

Апробация работы состоялась на следующих конференциях а семинарах:

в 2-я Европейская конференция по механике твердого тела, 1994г., Генуя, Йтлия; ...

• 3-й Международный конгресс по промышленной и прикладной маг тематике, 1995г., Гамбург, .Гершппя;

• Семинар кафедры информатики н прикладной математикиМГСУ под руководством профессора В.В.Кучеренко, 1995 г.;

о Рорсийско-полыжий семинар ГТеоретические основы строительства", МГСУ, 1995. .

Д остоверность результатов основана на:

• строгости используемого математического аппарату •'•

• сопоставлении формулировок дискретных граничных уравнений < их непрерывными аналогами; •

о сопоставлении результатов решения задач с известными аналитическими решениями в решениями с помощью других численныа методов.

Публикации.

По материалам и результатам исследований опубликовано 8 статей.

Объем работы. - -

Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения, списка лиге: ратуры из 85 наименований, изложена на 130 страницах машинописного текста, содержит 52 рисунка.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во ЕЕедешш сформулированы дели и задачи работы, обосновала актуальность темы диссертации.

В ;:-рвой главе содержится обзор численных мстодоз решения красных задач строительной кеяалики. Наибольшее распространение в практике расчетов конструкций получили метод конечных элементов (МКЭ), метод граничных элементов (МГЭ).

Популярность в распространение МКЭ сбъасняютсяего физической наглядностью, простотой адпроаэтмадпн гралпчныг условий в автоматизмом построения ссстемы разрешающих уравнений. К важным. досгоанствам МКЭ отетсЕтса то, -nexo матрица скстешл разрешающих уравнений нсшучается симметржчвоЁ-и спльео разрешенной, что позволяет конструировать аффективные алгори-шы.- Первой работой, содержащей современную трактовку МКЭ, щшвято считать обзор Р.Куранта, опубликованный в 1£43 г. Большой вклад в становление п развитее МКЭ внесли Л.А.Розин, В. А. Постнов,Н.Н.Шапошников, Дж-Аргприс, 0.2анЕеаич, РТаллагер, Б.Вилсон, К. Бате в многие друг

гпе отечественные и зарубежные ученые. Серьезный недостаток МКЭ состоит в том, что метод неприменим для решения краевых задач я неограниченных областях.

В последние годы большое распространение получил метод граничных интегральных уравнений (ГИУ) с дискрегазацией границы, ¿взываемый также МГЭ. Большой популярности МГЭ способствуют уменьшение объема вычислений, связанное с тем, что дискретнзируется не вся рассматриваемая область, а только ее граница; ¡возможность решения задач для бесконечных областей; сравнительная простота и естественность решения разнообразных контактных задач, в том числе задач о трещинах. Теоретический фундамент для МГЭ составляет математическая теория интегральных уравнений в делом н ГИУ в частности, подробное изложение которой с приложениями к задачам механики можно найти в работах Н.М. Гюнтера, С.Г. Мпхлина, Н.И. Му-схелишвшга, В.Д. Куирадзе, Т.Г. Гегелея, М.О.Вагеелййшсрли и Т.В. Вурчуладзе, В.З. Партона и П.й. Перляна. Разработке различных вариантов ГИУ для краевых задач расчета конструкций развитию МГЭ посвящены работы В.Г. Коренева, Ю.Д. КопеЗкина, Ю.В. Верюжско-го, А.И. ЦейтлнЕа и Л.Г. Петрссзша, М.И. Лазарева, А.Г. Угодчихсва и Н.М. Хуторяпского, П. Бенердзш я Р. Ватерфплдз, С. Крауча и А. Старфилда, К. Бреббня, Ж. Таллеса и Л. Вроубела и многих других отечественных з зарубежных апторов. Параду с достоанстгамп МГЭ отметим серьезные иахематдчесгие трудности, которые возникают при построении квадратурных формул для сингулярных интегралов, входящих в ГИУ.

Большое распространенна в кснечЕОзлемегагчых расчетах сложных инженерных сооружений получил метод суиерзлемектов (МСЭ). Система уравнений равновесия супервлемента является рззультатом исключения внутренних стенаний свободы д ля подконсгрукцин, которые

однозначно выражаются через граничные степени свободы. С матема-' тической точки зрения такая процедура исключения неизвестных эквивалентна сведению задачи на границу с помощью дискретной функции -Грина. Поэтому уравнения равновесия суперэлемента представляют « собой дискретные граничные уравнения, аналогичные ГИУ> Большой вклад в развитие МСЭ внесли B.C. Пржемницкий, Дж. Аргирис, В.А» Постнов, З.И. Бурман, A.C. Вольмир, Н Л. Шапошников и др. ..

Наиболее близким поидеологии к МГЭ методом решения дискрет- - -ных краевых задач является разработанныйВ.С-Рябенькимметодраз-.;. постных потенциалов (МРИ). МРП обладает всеми преимуществами,., присущими МГЭ, од нако при его реализации не возникает сложностей,..¿, связанных с вычислением сингулярных интегралов, т.к. все построения производятся на дискретном уровне, соответствукнцемразностной аппроксимации краевой задачи. Отметив, что все известные варианты МРП приводят к системам алгебраических уравнений с несимметричными матрицами, что осложняет их решение-и создает трудности для совместного использования МРП и МКЭ.

Во второй главе рассматриваются системы дискретных уравнений . с постоянными коэффициентами, которые возникают при численном г • решении задач-расчета конструкций методами конечных разностей и конечных элементов на регулярных сетках, а также при расчете регулярных стержневых систем методами строительной цехлиита Всбсуем. случае система дискретных уравнений с постоянными коэффициента^, ми записывается в виде: . / '

: ; £« = /. (1)

Здесь« = .«(г») и / =-/(«) есть вектор-функции дискретБОГО аргумента (мультииадекса) п = ... именто: :; *

f(n) = {/i(r»),. -., /,)}т - заданная вектор-функция, u(n}= {ui(n),.:. .,Uj(r)}t г искомая вектор-функция.-^ ■

Дискретный оператор задачи £ определяется равенством:

(£а)(п) = 2 Аь<п + к),

■ .- .....

где к — (4ь . . ,Д?#), множество допустимых значений мультиин-дексак - "шаблон уравнения"; Ак - квадратные матрицы рхрс постоянными элементами. Порядок этих матриц р равен числу компонент вектор-функций/ии.

В работе приведены примеры, операторной записи дискретных уравнений для регулярных стержневых, систем, хонечлоразностных и ко-нечноэлементных аппроксимаций задач строительной механики.

В частности, простейшая вариационно-разностная аппроксимация оператора плоской задачи теории упругости имеет вид:

10 О 1

+ (А» + А)

2>? Ц1А

где = рЛ^» Ац — АА^, /*,Л - константы Ламе, оператор центральной разности, который определяется формулой:

»о.. _ +1) - у>(п,- - 1) --

Дискретный оператор может быть записан в виде (2). При этом матричные коэффициенты Ли принимают следующие значения:

"о

/(А + 2л)Лг М >

>1-1,0 = ^1,0 =

(Х + 2ц)Ь 'Л«'

О

0

аЬ. ы

•¿0,-1 = =

Г

Н,

А-»,-1 = =

0 4

А+ц

4 ■ ■ О

А-1,1 = =

0

> 4- 2ц)Нх Аа

Х + ц

А + ц 4

Другой пример дает расчет балки с учетом деформаций поперечного сдвига по теории Тимошенко, который сводится к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений:

= Ф)

-GkF~- + GkF~~ dx3 dx

-GkF~-EI^£ + GkF<p = т(х)

где СкР - сдвиговая жесткость, к - коэффициент, учитывающий форму поперечного сечения, д(х)- силовая, а т(х) - момектная распределенная нагрузка, ю и <р - соответственно перемещение и угол поворота поперечного сечения при изгибе.

Локальная матрица жесткости конечного элемента балки Тимошенко может быть получена методом перемещений и имеет вид:

К-0EI

12/Л3 в/Л3 -12/Л3 в/Л*

в/Л2 (1 + 3P)/0h -в/А2 (30-1 )/0h

-12/Л3 -в/Л» 12/Л3 -б/Л'

6/Л* (3p-l)/ph -в/Л1 (1 + 30)/0Л

где Л - длипа елемента, /? =

1 +

1

W-

/ ' < кретноа уравнение МКЭ для данной задачи засасывается в форме:

Матрицы коэффициентов дискретного оператора задачи в форме (2) кмеют вед:

Г -12/Л2 -6/Л

tOo-l Wn 1=1 Rn

Уя-1 I I Мп

А-1

0EI

6/Л (3(3-1)/(3

> Л)

Л

24/Л1 О 0 2(1 + 3^

Ai =

В работе используется следующий общий подход ^построению коэффициентов дискретного оператора конечкоэлемеятяых задач па регулярной прямоугольной сетке. Локальная матрица жесткости прямоугольного конечного элемента в общем случае имеет вид:

Кп Кп К\ з Кц

„ Кц Кп Кгз К и Ä = - »

КS! Kfi i<S3 Ä 34 Ä41 К< 3 Ä"« Ku

где Kij - блоки размером рх р, р - число компонент вектор-функции {число степеней свободы для одного узла), Кц = К^. Дискретный оператор системы уравнений МКЭ для регулярной прямоугольной сетки, состоящей из одинаковых конечных элементов, записывается в виде:

1 »

fei«* —1

где и(») - вектор-функция узловых переыещепий.

Выражения для матриц-коэффициентов At,*, размером р х р могут быть получены с помощью процедурм конечноэлемептаой сборки четырех конечных элементов, примыкающих к.узлу с ыультЕивдексом

A-j,-t = Kai, Ao,_i = Кзз + Кц, = Ä"«,

= Кц + Ло,а = Кц + /Г2? + £зз + -4,,0 = + А-1,: = Kjj, i4o,i = Кцз + Кц, ^м = К i$.

В третьей главе разрабатываются методы вычисления фундаментальных решений дискретных задач.

Вели матричная.функция мультииндекса п - (пцпз,. . . ,п,)

ец • • •

е = е(п) =

■ «

Ср1 ••• ®я>

удовлетворяет уравненшо

£е = £ -М» + *) = ¿2/, » (3)

Ыс ■'.'■.■

где - символ Кронекера, а 7 - единичная матрица порядка р, то такая. функвдя называется фундаментальным решением оператора Ь.

С помощью фундаментального решения операгор,обратный к дао- , кретному онератору Ь записывается в виде: Ь~1 = -е*. Знак.* обозначал ет операцшо дискретной сверши по всем компонентам мультшщдекса п. Это свойство фундаментального решения иенользуетеяв главе4 для. построения дискретных граничных уравнений.

В данной работе разработаны три подхода к вычислению дискретно-- ; го фундаментального решения. Первый подход основан на следующем ; интегральном представлении фундаментального ретения^полученном , В.С. Рябеньким:

•• Ф ...^а-ЧШ'-1 -в1-1 • (4)

* ' \iibrj : ; ■ ..л".,

где - характеристическая матрица-функция дискретного оператора. ."•' . •'•":■'•. ; V

М0= £ (б)

которая предполагается удовлетворяющейусловию <1е^А({) ^ 0. В ка- -честве контуров интегрированияв формуле- (5) принимаются окруж- . ности = г/, для которых справедливо неравенство если = = г,. Возможность такого выбора в общем случае ;

всегда существует.

Как правилоне удается аналитически вычислить контурные интегралы в формуле (5) для фундаментального решения. Поэтому для вычисления фундаментального решения необходимо использовать приближенные квадратурные формулы.

Для вычисление дискретного фундаментального решения в общем «-мерном случае предлагается следующая формула; -

• - -/гцД\

-»,+»,+-+». . sm 1-5—I и и ...

*(*) = м, П JAV S -Е(б)

м ь.1 f * ■ j *i-i *.-»

где г - радиус, общий для всех а контуров интегрирования в комплексной плоскости, М - числошагов интегрирования для каждого контура, Д = jßt я • i'= njij +... + п,к,.-

В качестве второго подхода- рассматривается использование дискретного преобразования Фурье д ля решения уравнения (3). Получена следующая формула д ля вычисления значений фундаментального решения:

-1

ехр{2ттщ • п/М). (7)

Ф) = ТПЕ* • •.' Е* [ Е Акехр(2щ. к/М) м «,-о «.«о Uex

На самом деле столбцы матрицы-функции (7) представляют собой решения дискретных краевых задач всеточномпараллелепипе-де (0, М] х ... х [0, М] с граничными условиями периодичности. Однако, для значений мультииндекса я, для которых выполняются условия |r»j| < Af, j = формулу (?) можно использовать для вычисления значений дискретного фундаментального решения. Отсюда следуют теоретические сграничешш прнменкмоста метода дискретного преобразования Фурье (ДПФ) для вычисления фундаментальных решений. Действительно, использование ДПФ возможно лишь в том случае, когда существует решение задачи в неограниченной области OTJ

одного знака, расположенных периодически. Поэтому для таких важных задач как: плоская задача теории упругости, задача изгиба пластинки и др., применение ДПФ оказывается невозможным. Среди задач, д ля которых метод ДПФ является аффективным отметим задачи-расчета балок и плит на упругом основании. Эти задачи характеризуются тем, что дискретное фундаментальное решение е представляет собой экспоненциально убывающую матрицу-функцию. Такие задачи, следуя B.C. Рябенькому, будем называть задачами с локализованным влиянием правой части. Для задач с локализованным влиянием правой части метод ДПФ можно рассматривать как точный метод вычисления дискретного фундаментального решения.

Фундаментальное решение определено неоднозначно, а лишь с точностью до слагаемого, являющегося решением соответствующего однородного уравнения. Поэтому в качестве третьего подхода к вычислений таблицы значений фундаментального решения можно использовать решение любой краевой задачи на подходящей сеточной области, охватывающей интересующее множество узлов. Такой подход оказыва» ется эффективным, если вспомогательная дискретная задача на окай« мляющей области допускает простое аналитическое решение. Например, для вычисления значений дискретной фундаментальной функции для двумерного разностного оператора Лапласа, удовлетворяю-, щей уравнению:

где Vi = D}+Dl D]<p(n) = ~ [ф/ +1) - + <p(rij 41)], предают гается следующая формула, основанная на решении задачи Дирихле на окаймляющей области методом разложения по собственным функциям дискретного оператора: -

W« « 4 V %1 kt*{ni + Ml) fc37r(7l3 + Ma)

е[ГЧ,П3) = -rr-rjr ¿J 2, -г-SHI-—-83П-rr--, (8)

JViJva fcf-i fe^i .Ni ,. . N2

. 4 . , к\« 4 . , к3я

1, ¿=1,5,9,...

О, к = 2,4,6.....

-1, А = 3,7,11,...

С помощью формулы (8) фундаментальная функция может быть затгйулироваяа для значений мультгатдекса п = (пьПг), удовлетворяющих условиям < М^ j = 1,2.

Для вычисления фуцд^.тсптзлх-зого ршеная дла варшщзоаво - разностного оператора теории упругости предлагается использовать ело-дующую формулы, полученную А.Б.Золотовым :

мл \

1 0 Ак +

0 1 Ал +

(9)

где е» - фундаментальная функция для разностного оператора 5:

»ндамеитальная функция мо&ет быть получена с помощью решения вспомогательной зэдгугя Д'дркхле аналогично случаям для оператора Лапласа.

Разработанные методы вычисления даскретлых фу пдамеиталькы^ решений реализовалкы з вода универсальной программы, с помощью которой было проведено чяслегшоз исследование предлагаемых алго-рптмов. Рассмотрение вычисление фундаментальных решений для задач расчета стержней, балок, задает тсорпп уоругостя я изгиба яластшх. На рис. 1 представлены графики компонент фундамрнтального решения плоской задачи теория упругости, вычисленного с йспользованл->--.; третьего подхода. Вычяслесзк проводилась для заплошгЗ «эдуля упругости В -- 1МПа н коэффициента Пуассона V — 0.3 на сетке с шагами к3 ^ к3 — 1м.

Таблица (1) содержат дашше о точности эытаслеяия фундаментального решения той же задачи по формуле (б) прп увеличении числа шагов интегрирования но двум контурам.з комплексной плоскости.

Рис*. 1.

Таблица!

м ЕяЫ VETKF max„ |rn|

100 0.052642 0.003010 0.000833

200 0.025840 0.001554 0.000254

500 0.027099 0.000662 0.000059

Здесь * - невззка, определяемая формулой r — Le — Sil.

Глава завершается сравнительной характеристикой разработанных методов. Первый из трех подходов обладает большой универсальностью и может быть использован для вычисления фундаментального решения любой дискретной задачи с постоянными коэффициентами. Главным недостатком этого метода является его большая вычислительная трудоемкость. Например, для вычисления фундаментального решения варпациснш-ргзиостной системы уравнений теории упругости в сеточной области —20 < nj < 20, рассмотренного выше, при разбиении каждого из д вух контуров яа 500 участка? требуется более 3-х часов машинного времена на ЭВМ PC-AT 486 DX4-100. В противовес этому, метод, основанный на формуле A.B. Золотоза, дает решение >тсй -Z& задача менее чем за 1 минуту на той же ЭВМ. Второй я третий юдаоды поззолают вычислить фундаментальнее решение дискретной. ¡адачисузцествеяноСагсгрееп практически точно. Область применения ШФ ограничивается дашь тема механическими системами, для кото->ых существует решение краевой задача с условиями периодичности яр действия несаьюуровновешанной нагрузки. Третий подход является ффсЕтнзным лишь в том случае, когда удается подобрать вспомога-ельную задачу, допускающую простое решение.

Четвертая глаза посвящена выводу дискретных граничных урав-енпй дяа краевых задач строительной механики.

Обозначим Со оператор второй краевой задачи для системы уравне-ий с днекретным оператором L. Пусть х -характеристическая функ-

ция области определения оператора Сц. Введем характеристическую функцию хо> которая определяется равенством '

Хо£ = ХйСй, (10)

т.е. хо есть характеристическая функция тех узлов, для которых шаблоны операторов Ь и Со и коэффициенты соответствующих дискретных уравнений совпадают. С помощью характеристических функций х ■ и хо определим характеристическую функцию граничного множества узлов хг:

Хг = X - Хо- (И)

Определим граничный оператор Г равенством

4> = Хо£ + ХгГ, - (12)

которое представляет собой дискретный аналог первой формулы Грина.... для оператора Ь. Поскольку Со — С^113 формулы (12) следует,что

£о = 1хо + Г*хг (13)

Объединяя формулы (12) я (13), получаем дискретный аналог второй формулы Грина для оператора

Х*о« = ХоХ-« + ХгГи - Г*хги, (14)

где и-произвольная сеточная-функция.

Рассмотрим дискретную смешанную краевую задачу .

ХоЬи = хо^,

вёгГи в а5г/, (15)

®ги =.

где гер - характеристическая функция естественных краевых условий (2-го рода), ®г = хг - аег - характеристическая функция главных правых условий (1-го рода).

В работе калугенпы следующие формулировки дискретных граничных уравнений для смешанной краевой задачи (15), аналогичные гра-2йчйьш китегральяьш уравнениям в континуальном случае. Ниже используется обозначение L~x для оператора, образного к дискретному оператору L, в качества которого ио:хво использовать, например, свертку с дискретным фундаментальным решением.

1. Прямые формулировки дасхретиых гр&ыкчаых уравнений. Несимметричная формулировка:

- ®r)wr « XrL-\x<iF + ®г/-Г&гд). (16) Симметричная формулировка;

езгГгггюг - (ггтГ - ^¿^(Г'агг - &r)wr

^ гвс(/ - ГХгд) - (®гГ - ¡&r)L'\xoF + ®г/~ Г*&rg). (17)

Здесь rúe - сосредото^ешгая на гракгще дискретная функция, GütHVV'-ляемая рааенегасгл u>r я эгг«г + где уг ~ £&гГ« » «г = гег«.

После онредеяежш wr яз уравнен:«« (Í6) или пз уравнения (17) ре-merme краевой задачи (15) вычисляется яо формуле:

« = L'1^ - (Г'^г - + »rwr -f &vg,

где T - xqF + гаг/ -

2. Непрямые формулировки дискретных гр&шчлых уравнений. Низе для каздой формулировки приводится система дискретных

граничных уразнсапй и формула для восставозления решения краевой задачи по решению этой системы. Симметричная формулировка:

ЖгГаегДшг — (асгГ — г&г)£~1(Г",эег - &r)Awr = .

u = L~lxoF - L~1(r*aer _ &г)Д«!г + aarAtor.

Несимметричные формулировки.

Вариант 1:

аегГ&гДгг ~ (»гГ - аг)Г~1(Г*®г - «т)Д*г =

= аег/ - (аегГ - 2bc)L~lXoF - .

и = Ь~1хо& - ¿""'(Р&г - юг)Д*г + &гДгг, -

Вариант 2:

(агГ — ®r)L~1xrAeir = аег/ — («гГ - &r)L~1xoF - &гд. м » L^xoF + Ь~1хгДчг

Вариант 3:

(аегГ-абг)хгД«г - («агГ - аг)£-1Г*хгД«г = = asrf-(аегГ — &r)L~lxoF — &гд.

и = L~lx<tF - 1Г1Г*хгД«г + ХгА«г

". Полученные дискретные граничные уравнения аналогичны транш ным интегральным уравнениям для непрерывных краевых задач.:.' частности, граничные уравнения Ans второго н третьего несимметри1 ных вариантов непрямой формулировки аналогичны континуальны граничным интегральным уравнениям классической теории потенцв ла, когда решение краевой задачи ищется в виде потенциала просто] слоя или потенциала-двойного слоя, соответственно. •

В конце четвертой главы содержится аналитическое исследоваш полученных формулировок дискретных граничных уравнений на ш дельной задачи для разностного уравнения Пуассона в полуплоскосг

В штгой глаае содержится оппсапао алгорппгопи пакета программ дяа решения краевых задач расчета конструкций разработанным методом дискретных граничных уравнений. Глава содержит примеры решенных моделышх а практических краевых задач строительной межлака, в частЕвстя, плоская задач теории упругости, задач яэгоба плгхтяз, задач расчета властна на упругом осяовашш н др. Приведено ерашю результатов реякишя модельных задач с ааалнтнческнмн регяетяами в р^шеввчми с хюмошью других чеслсезый методов.

Для иллюстрация возможностей метода дискретных грашгшых урад-п-глаЗ на рис. 2 предегэвлгпа расчетная схема п результаты решета модельной плоской задача тооршх упругости. Задача решалась ерэ следующих значения нэдуля упругости п коэффвцюш Пуассона: Б ЗООООМПа, V = 0.2.

"»¡челстчеипа ефорггулнровахш осношшз знведаг ко работе н с&згпдаэтгся шэмозстас'га дальнейшего развитая метод а дискретных грашгчпык ураавешзй.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ Н ВЫВОДЫ Основные теорзкзчеагае а практические результаты и вывода, тЬ-лугеплыо а дассертацшз, состоит а следующем:

1. Для двсхретыэс краевые задач расчета конструкций получены

гракггшыэ уравнения, апалеттгпшз граничным ннтегральным урав-пенпям краевых задач для уравнений в частных производных. Получены различные варианты формулировок котах уравнений: пряиш а пепршше, саляказпразгеянме н иесакосопряжевные.

2. Разработаны аффективные методы вычисления фундаментальных решений дискретных операторных уравнений с постоянными коэффициентами.

3. Предложены эффективные алгоритмы ■ структура данных для

Расчетная схема конструкции.

q=0,1 MH/m

Дискретизация области.

777777 /77777/

тт

Горизонтам.mío воршлышв ошфсжетм- Ша. В«ртвшшш« ворашшшв валря*«ВЕя ШЬ

К

Рис- 2.

реализации метода дискретных граничных уравнений.

1 Раз работай пакет программ для расчета конструкций методом дискретных граничных уравнений.

5. Проведено численное исследование л сравнение различных вариантом дискретных 1ранпчных уравнений на модельных краевых

.задачах.

*3. Получены чяслегеше решения ряда прзетэтзскнх жрзевых задач расчета конструкций на основе предлагаемых подходов. >

Содержание диссертации отражено в работах:

1. Ширинская И.В. Модельная программа решения краевых задач строительной механики // Сб. научн. трудов ЦНИИСК: "Вычислительные методы в последов алиях строительных конструкц ий", М.: 1987. с.160-168.

2. Шярянская И.В. Алгоритмизация численного исследования варп-аптгопшжс постановок краевых задач строительной механик:- //В материалах 11-го ие;кдукародкого научного симпозиума студентов п молодик научных работников, Зелена Гура, Польша, 1989. с.99-109.

3. Ширннсяая ИЗ., Белый М.В. Решение задач о концентрации на-

прдлеяЕЙ з ортотрошшх Еояструкцшпс, сслаблешшх подкрештеп-ньшя отверстаямн Ц Сб. научн. трудов МИСИ: "Вопросы математики, механики сплошных сред и применения математических «»годов в стрстггелъстзс", М.: 1092. C.156-1S0.

4. ЗЫгтзкауа I.V., Zolotov А.В., Beiyi M.V Discrete analogs of boundary integral equations for the theory of elasticity boundary value problems // 2nd European Solid Mechanics Conference (Genoa, September 12-16 1994), Abstract Book, p. B6,

5. Золотов A.B., Шнрннскаа И.В., Белый M.B. Дискретный аналог граничных интегральных уравнений // Сб. научи, трудов МГСУ: "Вопросы математики, Механики сплошных сред в применения ма-тематическнх методов в строительстве", М.: 1995. с. 97-100.

в. Белый М.В., Ширввская ИЗ. Об одной модификации метода суперэлементов для статического расчета конструкций // Сб. научн. трудов МГСУ: "Вопросы математики, механики сплошных сред а применения математических методов в строительстве", М.: 1995. с. 142-140.

7. Shirinskaya l.V., ZoJotov A.B., Belyi M.V.. Discrete analogs of boundary integral equation« for elliptic boundary value problems // The third International Congress on Industrial and Applied Mathematics (Hamburg, 3-7 July 1995), Book of Abstracts, p. 439.

8. Белый M.B, Золотов A.B., Ширннскаа И.В. Масленные методы расчета конструкций на основе дискретных граничных уравнений, // Сб. трудов Росскйско - Польского семинара "Теоретические основы строительства", М: 1995 г., с, 29-32.

Подписано в печать 25.10.95 Формат 60x84 1/16 Печ. офс, *

И-168 Объем 1 уч.-иэд. л. Т. 05 Заказ 3С'i>'Бесплатно.

Типография МГСУ