автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Алгоритмы построения оптимальных сеток для локального расчета конструкций

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ИНЖЕНЕРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ им. В.В.КУЙБЫШЕВА

На правах рукописи

/

МЕДВВДБКО ДМИТРИИ ВАДИМОВИЧ

УДК 624.04:681.3

АЛГОРИТМЫ ПОСТРОШШЯ ОПТИМАЛЬНЫХ СЕТОК ДЛЯ ЛОКАЛЬНОГО РАСЧЕТА КОНСТРУКЦИЙ

05.23.17 - строительная механика

Автореферат диссертации на соискание ученой отепени кандидата технических наук

МОСКВА 1992

~ г -

Работа выполнена в ■ Московском ордена Трудового Красного Знамени инженерно-строительном институте им. В.В.Куйбышева.

Научный руководитель - доктор технических наук, профессор Л.Б.Болотов

Официальные оппоненты - доктор технических паук, зав.

Центром теории сооружений и численных методов расчета ЦНШСК В.Н.Сидоров - кандидат технических наук, доцент В.И.Шяринский

Ведущее предприятие - Московский научно-исследовательский

институт типового и экспериментального проектирования (ШШТЭП)

/7^

Защита состоится ^/¿(^.^ 1993 г. в ' *__часов на

заседании специализированного Совета в Московском инженерно-строительном институте им. В.В.Куйбышева по адресу: Москва, Шлюзовая на<3., 8, ауд

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института. Просим вас принять участив в защите и направить отзыв в двух экземплярах по адресу:

129337, Москва, Ярославское шоссе, 26, Ученый Совет.

Автореферат разослан ^£^££^1^1992 г.

Ученый секретарь специализированного Совета,

кандидат технических наук, доцент Н.Н.Анохин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Развитие методов расчета конструкций остается актуальной задачей, поскольку она связана как со строительством новых сооружений, так и реконструкцией старых, что особенно характерно в настоящее время. Последнее часто приводит к локальным изменениям конструкций, таких как устройство новых проходов, снос опор, локальные усиления в виде стоек, подкрепляющих балок, металлических стяжек и т.д. Очевидно таюке, что наиболее опасным с позиции прочности является напряженное состояние в небольшом количестве зон, как правило заранее известных. Все это приводит к необходимости локального расчета сооружений.

Другим фактором, стимулирующим развитие локалышх расчетов, является наличие большого парка персональных ЭВМ, обладающих сравнительно небольшой вычислительной мощностью, но имеющих богатой сервис, в частности графический, в свою очередь, локальный расчет при правильном выборе метода и алгоритма приводит к резкому уменьшению количества неизвестных и вычислительной работа. Целью работы является:

- построение базового алгоритма расчета конструкции на мелкой сетке, аппроксимирующей краевую задачу с заданной точностью и алгоритма решения задач на локалышх сетках, согласованных о исходной;

- построение математической модели с использованием теории дискретных краевых задач и свойств их фундаментальных функций для исследования влияния конфигурации локально-сгущающейся сетки на решение задачи ;

- практические рекомендации но ' выбору расположения узлов локальной сетки при их минимальном количестве;

- построение универсальных . программных комплексов решения краевых задач расчета конструкций с использованием локальных сеток, оптишзирупцип вычислительный процесс;

- исследование ' новых графических средств ПЭВМ для информационного и математического обеспечения многосеточных алгоритмов расчета конструкций; .

Н§хзнад_новизнд заключается в следупцем:

- использование оптимальной кусочно-линейной аппроксимации фундаментальной функции для построения локальной сетки о минимальным числом узлов, обеспечивающей точность, соответствующую решению на исходной мелкой сетке;

- построение математического аппарата с использованием множителей Лагрпнка (реакции связей на спрямление функции) и

дискретной фундаментальной функции для аналитического и численного исследования влияния укрупнения сетки на поведение решения;

- использование дискретной фундаментальной функции оператора Лапласа для практического построения локальных сеток в случае задачи теории упругости;

- разработка эффективных алгоритмов, обеспечивающих переход от базовой сетки к локальной на основэ сочетания математических средств и новых возможностей ПЭВМ;

- применение метода базисных вариаций и метода стандартной области для решения задачи с помощью локально-сгущающихся сеток;

- построение алгоритмов численного и аналитического решения одномерных краевых задач с сильным краевым эффектом. На_зоо^т2_БЫ!1осится:

- математическая модель, обосновывающая конфигурацию оптимальной локальной сетки, согласованную с исходной межой сеткой и поведением дискретной фундаментальной функции.;

- аналитическое и численноо исследование влияния величины укрупнения шага сетки на решение в локальной зоне в зависимости от расстояния до нее;

- алгоритмы построения разрешающих систем уравнений для базовой мелкой сетки и перехода к локально-сгущающейся сетке на основэ сочетания метода стандартной области и метода базисных вариаций;

- программная реализация методов и результаты решения конкретных задач. '. Практическая ценность состоит в следуицем:

- выдаются конкретные рекомендации по выбору расположения узлов локальных сеток, обеспечивающих получение решения с достаточной точностью; • .

- построен математический аппарат для исследования влияния изменения ~ шага сетки и приведены результаты соответствупцего численного исследования;

- построены соогласованные алгориш формирования разрешающих систем уравнений для базовой и локальной сеток;

- построен универсальный программный комплекс для получения решения произвольной краевой задачи расчета конструкции на исходной базовой сетке и для локальной сетки, реализующей получение решения в определенной зоне, но с меньшими затратами времени ПЭВМ;

-проведены численные исследования и расчет реальных конструкций. Достоверность полученных результатов подтверждается:

- сравнением результатов расчета на локальных сетках с результами расчетов на исходной межой сетке;

- сравнением результатов тестовых примеров с результатами аналитического решения;

- сравнением с результатами экспериментального исследования методами фотоупругости и анализом результатов 'квалифицированными специалистами среди заказчиков.

Апробация работы и публикации. Полученные результаты изложены в трех печатных работах, докладывались на семинарах в отделении вычислительной техники ЦНШСК им. В.А.Кучеренко, в отделах прочности и вычислительной техники МНИИГЭП, на семинарах кафедры прикладной математики МИСИ, на научно-технической конференции МИСИ (Москва, 1991), и научно-методической конференции "Компьютер в преподавании строительной механики и строительных конструкций" (Пенза, 1992). Реализация. Разработанные программы использовались для расчета панельных конструкций в МНИИТЭП, для расчета ТНДС оголовка плотины Вилюйской ГЭС в лаборатории ОНЮШМЭС и зоны опирания перекрытия шахта реактора в лаборатории фотоупругости МИСИ им. В.В.Куйоышева. Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шеста глав, заключения, списка литературы и приложений. Общий объем 190 страниц, из них 25 рисунков и 40 страниц приложений; библиография из 101 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Возведении обосновывается актуальность темы диссертации.

В первой главе содержится краткий , обзор постановок и методов решения краевых задач применительно к расчету конструкций.

Вариационные постановки представлены в работах С.Г.Михлина, Л.А.Розина и др. Операторные постановки, связанные о понятием обобщенного решения, представлены в работах О.Л.Соболева, Л.Шварца, Н.Л.Лионса и др. Граничным интегральным уравнениям посвящены работы

О.Г.Михлина, Б.Г.Коренева, А.И.Цейтлина, Э.О.Венцеля, В.Д.Купрадзе и Др.

А.Б.Болотовым сформулированы краевые задачи о позиций расширенной (стандартной) области, упрощающие алгоритмизацию решений.

Наиболее популярными численными методами для расчета конструкций являются разностные методы, (Вариационно-разностные и метод конечных элементов. Здеоь следует отметить работы Л.А.Самарского, В.Г.Дьяконова, В.В.Андреева, В.С.Рябенького, Дж.Аргириоа, О.Зенкевича, Н.Н.Шапошникова, А.0.Городецкого, Л.А.Розина, Е.Вилсона и др.

Отмечается, что локальным решениям, связанным с построением

специальных сеток хотя и уделяется значительное внимание с практических позиций, тем не менее литература по обоснованию таких подходов с позиции экономизации вычислительных процессов представлена сравнительно мало.

Во второй главе излагаются основы метода расширенной области, свойства характеристической функции и ее обобщенных производных, приводятся примеры постановок краевых .задач строительной механики с позиции метода расширенной области.

В случае использования метода стандартной области исходная область произвольной формы окаймляется расширенной областью стандартной формы, как правило прямоугольной. В пределах этой области задается сетка, топологически эквивалентная прямоугольной, что позволяет организовать регулярную нумерацию узлов, и приводит к построению удобных алгоритмов формирования разрешающих систем, упрощению процесса сбора информации и вывода результатов.

Введением системы локальных координат внутри образуемых элементов, можно перейти к квадратной сетке с единичным шагом. В этом случае замена переменных в элементе производится по формуле и

хк(г) = [} (Е + г1)л)хуа), где хк(1) - к-я координата 1-го узла

о* 1, 0хкги = хк(1а+1) -При переходе от решения континуальной исходной задачи к дискретной, поиск решения ведется на множестве функций, определяемых в узлах выбранной сетки, т.е. сеточных функций с кусочно-линейным (полилинейным) восполнением внутри ячейки сетки.

В К - мерном случае функция для кусочно-линейного восполнения

монет быть записана следующим образом

N

и(1,г) = [] (Шк\)и(1); <= Iхк(1),хк(1к+1)] И=1,2,...,Я

Формирование разрешащей системы определяется формулам д*$(и) ^(и+ЬелЬв.) - Ф(и+7хв1) - + <$(и) а .=——-—=11т-;-

о ди.ди. ь-+о J

£ =

д$(и)

К1

) - Ф (и-Ьв. )

Эи. ь-ю 2п

1.

Процесс вычисления функционала на сеточном элементе распадается на два этапа: первый этап - вычисление восполненных сеточных функций и их производных. Этот этап не зависит от вида решаемой задачи. Следующий этап, связанный с вычислением подынтегрального выражения, наоборот, зависит только от кошсретной задачи и фактически просто копирует формулы ее вариационной постановки. Тем самым достигается значительная универсальность такого подхода и простота его настройки на конкретную задачу.

ё_главе_ТЕ§тьей на примере одномерных модельных задач, а также балки на упругом основании строятся базовая мелкая и оптимальная локальная сетка. Здесь основным результатом является практическое совпадение расположения узлов локальной сетки с узлами кусочно-линейной аппроксимации фундаментальной функции. Показывается, что для балки на упругом основании с любыми характеристиками и загруженном достаточно локальной сетки с 6-7 узлами и она практически не зависит от расстояния между интересующей точкой и краем ба л си.

Для эффективного анализа одномерных задач построена методика, алгоритм и программа получения аналитического решения о учетом быстрого изменения функции (краевые эффекты) при произвольной правой части.

Аппроксимация 5 узлами

-во -во -100 -130

/У

//

//

У

/У

0_15§!§_2§таортой исследуются вопросы, связашша с построением и анализом поведения дискретных фундаментальных функций в зависимости от расстояния до нулевой точки, поскольку основная идея построения локальной сетки состоит в том, что она повторяет оптимальную аппроксимацию дискретной фундаментальной функции сеткой с минимальным количеством узлов.

Дискретная фундаментальная функция определяется уравнением

1С = <5ioEM . где саысрча))рл__1г.....м;

Ем - единичная матрица порядка Ы; L - дискретный оператор

Основное качественное отличие дискретной фундаментальной функции от континуальной заключается в отсутствии особенностей в нулевой точке. По сути дискретная функция с позиций обобщенных функций является регуляризацией континуальной. Как показывается в диссертации, обе функции практически совпадают при удалении от нулевой точки, что позволяет делать аналитичеcrate оценю! асимптотического поведения дискретных функций.

Основным численным приемом построения дискретной фундаментальной функции является решение задачи Дирихле в достаточно широкой области и доопределение ее аппроксимацией континуальной функции в удаленных точках.

250 20О ISO 100 SO

О

О 12 3 4 5 в 7 в » 10 — /ШАЛИТ. —• ДИСКРЕТ. - АППРОКС.

В диссертации приводятся формулы представления обратного оператора дискретной теории упругости через более простой обратный оператор, близкий к оператору Лапласа, определяющие эквивалентную связь фундаментальных функций. Например, фундаментальная функция для оператора теории упругости еупр при единичном шаге выражается через фундаментальную функцию са скалярного оператора В по формуле

С =— У"Р ц

V*Б

Х.+М

I? где

где -

4(\+2ц)

&А

х£ л - центральная и вторая разности в з-м направлении,

V* V*

Поскольку качественно поведение фундаментальной функции для операторов Лапласа и теории упругости совпадает, то все сценки и выбор шага локальной сетют достаточно вести на основе аппроксимации первой.

В_пятой_главэ излагаются основные теоретичесюте соображения, определяющие конфигурацию локальной сетки исходящие из анализа поведения обратного оператора краевой задачи и его простейшего представителя - свертки с фундаментальной функцией.

Локальная сетка трактуется как результат представления задачи на исходной мелкой сетке с заданным кусочно-линейным поведением искомой функции в узлах, не совпадающих с узлами локальной сетки. Такое "спрямление" функции в узлах не принадлежащих локальной сетке трактуется как результат действия реакции связей, обеспечивающих линейное поведение функции. Исследуя задачу на исходной мелкой сетке с учетом таких реакций можно получить оценку погрешности, связанной с рассмотрением задачи на локальной сетке. Налагаете связи с позиции вариационной постановки являются множителями Лаграшш и их влияние на решение определяется сверткой с дискретной фундаментальной функцией или совместным интегрированием с диасретной функцией Грина.

Рассмотрим основные случаи спрямления функции, представленные на рисунке. Ограничения спрямления записываются в вадэ Йи(1)=-0,

где в1и(1)=и(1л+1 )-2иа)+иаш-1). Общая матрица ограничений имеет вид

М; ТЛ1 ттг

/ 1Г

ГГГГ

Л

•■I

где х. - характеристическая функция спрямляемых узлов в е-ом направлении.

Задача на мелкой сетке, точно совпадающая по решении с задачей на локальной сетке, представляется определением стационарной точки функционала

9(и,Ю - | (Аи.и) - (Р,и) у (Я.Ои) где А и Р матрица и правая часть исходной задачи на полкой сотка, П -

с

реакция связей на спрямление функции (множители Лагранка).

П)

Решение задачи и. совпадавшее с решением на локальной сетке определяется из уравнений

лй - I + а*я = о ой = О

Если обозначить столбцы матрицы О* как векторы ф, первое условие системы примет вид Аи = Р + Е Я^1, где каждый член является

N

силовой реакцией, обеспечивающей спрямление д1

В одномерном случае такая реакция имеет вид

1-1

1Г1

С

а в двумерном ее можно представить следующим образом 3 -Д А о П

у /1\

о1и(1)=о ; 1?гиа)=о чьгиа)=о

Пусть в точке I приложена сила Р, а в точке (в - имеет место спрямление. Для получения практических оценок целесообразно перейти к использованию дискретной фундаментальной функции, поскольку тогда А'* заменяется свэрт-£*. В втом случае величина реакции спрямления яаи) - с*'(О) г?с(1л-1р) р

, а погрешность решения определяется формулой

Ди(и=2£еоев; с"(0) Р.

Поскольку, как показывает исследование, вторая разность от дискретное фундаментальной функции убывает пропорционально 1/г*,

1?шс(1) * 1/{гп г>(1))

где г - расстояние между точками, то влляние спрямления убывает пропорционально квадрату расстояния от сшш до веста спрямления в от места спрямления до интересующей точки. . 4 .

1

Яал) » Р/{2п г*ал-1р)); Ьии) « ^т р Если нас интересует &-ая производная в точке, то влияние

(I г'(1я-1р)

спрямления монет быть выражено формулой

д£иги * 75"1 ^ Г

гагг г:"'а -1Л) г'(1я-1р)

Это позволяет достаточно ,эффективно оценить совместное влияние Енепшей силы и одиночного спрямления на решение в произвольной точке, поскольку оно обратно пропорционально квадрату расстояния между ними.

В главе показывается, что использование фундаментальней функции для оценки влияния спрямления в ограниченной области также остается справедливым, поскольку эта область методом компенсирующих нагрузок мозет быть сведена к задаче з бесконечности.

Выбор шага можно производить исходя из нескольких соображений. Первое заключается в следующем. Общее решение для краевой задачи записывается • в виде и(1) = с*Р = Е c(l-J) где с - фунда-

J

ментальное дискретное решение для мелкой сотки, ?— суша заданных и компенсирующих нагрузок, а также реакций связей.

Поскольку при решении задачи нас в большей степени интересует производная функции и в локальной зоне (в точке 1=0), т.е. величина

» » I

и (0) = £ »? = К с (I) то наибольшей точности п экономичности

вычислений будет соответствовать шаг, связанный с заменой функции с ломаной, хорошо аппроксимирующей эту функцию.

Другое соображение связано с оценкой влияния реакции спрямления на решение задачи в интересующей точке, в зависимости от ее удаленности. Для этого случая рассмотрим следующую одномерную схему.

• . л{ а я1

"1-1-1-—I-1-1--1-1-1-1—г—-

*о I, 'р 1И и

+-Е-+

Пусть в зоне (<-р>1р„] происходит спрямление искомой функции.

Тогда влияние спрямлений относительно точки О выразится формулой

1р*"р

Ли (ОМ I [»„Ссг^яги

"р

В случав двумерной задачи число точек, удаленных от точки О на величину 1=шг('| Л равно 81.

1а I 1„+Н,

тт

Учитывая, что й£(1) * 1/(2п1) получим общую погрешность на р-м слое

" я р[ 1р 1р+Вр-1 J

где Яр - средняя величина Я(и.

4ЯР Нр

83--—

Я 1„

Одно из требований, предъявляемых к локальной сетке заключается в том, чтобы на каждом шаге при его увеличении погрешность была одинаковой. Это приводит к следующему критерию выбора шага

Н . И

——= — = сог^ V* Л

Рекурентная формула для выбора шага вытекает из асимптотического поведения фундаментальной функции и, как показывается в работе, хорошо согласуется с п&рвым требованием. Поэтому основным правилом выбора шага для локально-сгущающейся сетки, .справедливым и для начальных узлов, является его полное соответствие, оптимальной аппроксимации производной от фундаментальной функции.. В частности для оператора Лапласа и задачи теории упругости целесообразно локальную сетку строить ' следующим образом: первые два шага всегда делать одинаковыми и равными шагу исходной мелкой сетки, а затем текущий шаг удваивать.

I_I_I_I_I_»

1 = 012 р = О 1 2

4

3

8 4

16 5

Такой шаг хорошо согласуется с поведением спрямления производной от фундаментальной функции.

В том случае, если интересует решение в некоторой локальной зоне, в пределах .этой зоны, расширенной на один шаг мелкой сетки, необходимо оставить исходный мелкий шаг, а звтем увеличивать шаги по полученной формуле. .

Суммарная погрешность относительно производной в • точке оценивается формулой

N N

* . * 1 ■ ■

, ; : с . (О) я ? ~ >.' ; .'•

р»0 Р»а г '■

где Ир - число шагов локальной оетки; Л - средняя величина реакции спрямления.

При выводе этих оценок в случав бесконечной области нэ учтено

убывание величины Яр. Этого убывания нет только в случав не уменьшаю-

щегося нагружения на бесконечности, что в практических задачах не имеет места. В этом случае Ир конечно и не велико (менее 10).

В главе шестой приводится структура основных локальных сеток, согласованных с исходной мелкой. Задача на локальной сетке трактуется как сужение исходной задачи на множество сеточных функций, значение которых задается их величиной в узлах локальной сетки, а в остальных узлах межой сетки доопределяется кусочно-линейным восполнением. Такой подход тагаке упрощает передачу исходной информации с межой сетки на локальную и формирование разрешающей систем;.

Разумное использование локальной сетки приводит к необходимости правильной нумерации ее узлов. Построен алгоритм организации такой нумерации.

Формирование разрешающей системы уравнений также имеет свои алгоритмические особенности, связанные с некоторой нерегулярностью тшсих сеток.

В приложении приводится описание базового комплекса для решения краевых задач строительной механики, примеры расчета-' тестовых и практических задач. По заказу лаборатории прочности МНИИТЭП с использованием предложенной методаки построения локально-сгущающихся сеток был произведен расчет по определению НДС в стеновых - панелях в местах пробивки новых дверных проемов.

НЛПРЯЯЕНИЯ X10(1,1» 01

0-бЭО ки/л в-3» НИЛ ег^эо кН/П

Касательные напряжения 0.8 +.0 6.1 16.4 24.5 23.8 13.2

мелкая сетка Напряжения по 2 напр&влеяпго

-78.1 -79.8 -В0.8 -79.3 -БЭ.9 -43.1 -27.6

Касательные напряжения 1.9 5.3 7.1 12.2 20.3 18.8 10.7

5—ти элементная сетка Напряженна по 2 направлению -7Л1 -79.8 -В0.8 —79.3 -69.9 -43.1 -27.6

мелкая сетка

5—ти элементная сетка

Основные результаты.и выводы.

1. Исследованы вопросы постановки краевых задач с позиций построения локальных реиений. За основу принята вариационная постановка краевой задачи по варианту метода стандартной области предложенного А.Б.Золотовым и ее дискретный аналог на сетке, топологически- эквивалентной прямоугольной с использованием алгоритма поэлементного накопления коэффициентов, разрешающей матрицы. Такая постановка имеет существенные преимущества, связанные с регулярностью сетки, разрешавшей системы уравнений, использования грвфичегашх средств представления информации. В то же время, такая сетка хорошо описывает достаточно широкий класс конструкций.

2. Для одномерной задачи построены алгоритмы аналитического решения, эффективные для случая локальных особенностей типа краевого эффекта. Эти алгоритмы основаны на построении общего решения в специально выбрашюй формо и представлешш частного решения в виде свертки правой части с фундаментальной функцией.

Разработаны и исследованы алгоритмы построения локальных сеток, согласованных с шагом достаточной аппроксимации фундаментальной функции. Сравнение с аналитическими решениями показало правильность и эффективность такой позиции.

Разработан пакет программ решения и исследования одномерных задач.

3. Приведены основные формулы и разработаны алгоритмы вычисления фундаментальных функций для континуального и дискретного случаев. Для построения дискретных функций используется задача Дирихле в расширенной области и связь дискретных операторов теории упругости со скалярными операторами типа оператора Лапласа.

Построены варианты аппроксимации дискретных фундаментальных функций, приводящие к построению локальных сеток для общей задачи расчета конструкций;

4. Для двумерного случая разработан математический подход исследования влияния увеличения шага сетки на решение в локальной зоне. Здесь используется система самоуравповешенныя симметричных сил с множителем, равным множитела Лагранка для условия спрямления функции и свертки этой системы с фундаментальной функцией.

Основной результат состоит в том, что при действии на конструкцию заданной силы, влияние увеличения шага сейся (спрямление функции в этом месте) нэ локальную зону пропорционально убыванию второй производной от фундаментальной функции на расстоянии от силы до места спрямления и пропорционально убыванию второй производной от места спрямления до интересу щей локальной зоны.

В случав исследования производных от функции, второй фактор пропорционален соответствующей производной от второй производной фундаментальной функции.

В работе даются практические рекомендации по построению локальной сетки и назначению шагов, приводятся формулы для оценки погрешности при счете на локальной сетке по отношению к результатам счета на базовой мелкой сетке.

Проведена численная проверка приведенных выводов.

5. Разработаны два программных комплекса для ПЭВМ типа PC ЛР. Первый комплекс, являицийся в данной работе базовым, предназначен для решения широкого класса краевых задач. В качестве формального параметра в, нем выступает запись подынтегрального выражения применительно к методу стандартной области, т.е. содержащая характеристическую функцию области. В программе имеется графическая сервисная часть и возможность вырезания фрагментов конструкции с масштабированием, что существенно для локального анализа конструкции.

Второй комплекс, являющийся основным для исследования и получения локальных решений, предусматривает сбор и выдачу информации о задаче на исходной мелкой сетке. Здесь полностью автоматизировано вычисление коэффициентов уравнений для разрешающей системы относительно локальной сетки. • Комплекс расчитвн на несколько вариантов локальных сеток. Там же осуществляется перенумерация узлов, обеспечивающая быстрое решение. Этот комплекс является прообразом комплекса "промышленного,типа".

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Золотов А.Б., Ыедведько д.в. О влиянии шага сетки на локальное решение задач строительной механики.// Ыоск. инж.-строит, ин-т.- Ы., 1992.-. Деп. во 2 вып. библиогр. указателя депонир. рукописей ВНИИНТПИ

2. Медведько Д.В. К вопросу о получении локальных решений для одномерных задач строительной механики.// Моск. инк.-строит, ин-т.-М., 1992.- Деп. во 2 вып. библиогр. указателя депонир. рукописей ВНИИНТПИ •

а. Золотов A.B., Медведько Д.В., Мельник Т.В. Получение аналитического решения одномерных краевые вадач строительной механики о сильным краевым эффектом.// Тезисы докл. межреспубл. научно-технич. конференции: Компьютер в преподавании строительной механики а строительных конструкций.- Пенза.- 1992.- с.96.

• Подписано в печать 18.11.92 Формат 60хИА/16 Печать --Щс. • И-260 Объем I уч.-мад.л. Т. 100 Заказ Бесплатно

Ротапринт 1МСИ им.В .В. Куйбыиева