автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Вариационные методы построения структурированных сеток и их приложения к газовой динамике

ÜÜ3478Ü6 1

На правах рукописи

Азаренок Борис Николаевич

Вариационные методы построения структурированных сеток и их приложения к газовой динамике

.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ - 1 ОКТ 2009

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 2009

003478061

Работа выполнена в Вычислительном Центре им. А.А.Дородницына Российской академии наук.

Официальные

оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Николай Георгиевич Бураго,

доктор физико-математических наук, профессор Владимир Иванович Мажукин,

доктор физико-математических наук, Геннадий Павлович Прокопов

Ведущая

организация: Институт математики и механики УрО РАН

Защита состоится " 26 " ноября 2009 г. в 11 ч. 00 мин. на заседании Диссертационного совета Д002.058.01 в Институте математического моделирования РАН по адресу: 125047 г. Москва, Миусская пл., д. 4А.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИММ РАН. Автореферат разослан " " сентября 2009 г.

Ученый секретарь Диссертационного совета доктор физико-математических наук

Общая характеристика работы

Диссертация посвящена разработке вариационного метода построения структурированных трехмерных сеток, вариационного метода построения структурированных подвижных адаптивных сеток, подстраивающихся к особенностям решения, разработке консервативной схемы расчета нестационарных двумерных течений газа с выделением химической энергии на подвижных сетках и разработке алгоритма консервативной интерполяции на гексаэдральных сетках.

Актуальность темы. Методы построения счетных сеток интенсивно развивались в течение последних пятидесяти лет. Это обусловлено большим числом приложений, связанных с моделированием физических процессов. Сеточные методы активно используются при численном решении задач гидродинамики, электродинамики, микроэлектроники, магнитной гидродинамики, при численном моделировании климата и океанических течений, а также в других областях.

Построение сетки состоит в разбиении физической области на ячейки. Это разбиение следует осуществлять таким образом, чтобы получить как можно точнее численное решение физической задачи. Существующие алгоритмы построения гексаэдральных сеток, реализованные в виде промышленных программных продуктов, не являются надежными. В областях сложной формы, с меняющейся в процессе моделирования геометрией, они генерируют вырожденные сетки, на которых не представляется возможным проводить моделирование физических задач. Поэтому существует необходимость в разработке надежных и универсальных сеточных алгоритмов построения сеток с заданной формой гексаэдральных ячеек.

Как правило, при моделировании физического процесса существенное и резкое изменение параметров происходит на небольших участках рассматриваемой области. В этих зонах необходимо сильно измельчать сетку, для того чтобы получить численное решение с требуемой точностью. С другой стороны, использование очень

подробной равномерной сетки (квазиравномерной сетки в областях сложной формы) во всей области привело бы к неоправданно большим затратам ресурсов ЭВМ, времени счета и оперативной памяти. Поэтому актуальным и важным разделом сеточных методов является построение адаптивных сеток, сгущающихся в зонах больших градиентов решения физической задачи. Адаптивные сетки должны быть подвижными, если моделируется эволюционный процесс, для которого структура решения меняется со временем.

При численном моделировании газодинамических течений на подвижных сетках необходимо использовать консервативные численные схемы расчета. Существует потребность разработки численных схем повышенного порядка аппроксимации на гладких решениях.

При моделировании реальных пространственных задач часто возникает потребность в некоторый момент времени перейти от расчета на одной сетке к расчету на другой. Для этого необходимо применять специальные алгоритмы консервативной интерполяции.

Целью работы является:

— разработка вариационного метода построения гексаэдральных сеток в областях со сложной геометрией с возможностью управления формой ячеек для использования в реальных физических и инженерных приложениях;

— разработка вариационного метода построения подвижных адаптивных гексаэдральных сеток, подстраивающихся к особенностям решения моделируемой задачи;

— разработка численного метода решения задач двумерного нестационарного течения невязкого газа при наличии химической реакции на подвижных сетках;

— разработка метода консервативной интерполяции с одной гек-саэдральной сетки на другую.

Достоверность результатов диссертации: результаты оформлены в виде строгих, при необходимости доказанных, математических утверждений и реализованных численных алгоритмов. Надежность алгоритмов продемонстрирована на многих примерах.

Научная новизна работы. В диссертации разработан и реализован новый вариационный метод построения гексаэдраль-ных разностных сеток для численного моделирования физических процессов. Для этого используется функционал, предложенный С.А.Иваненко1. Показано, что этот функционал является универсальным, т.е. с его помощью посредством выбора компонентов управляющего метрического тензора можно воспроизвести любое заданное невырожденное отображение, а, следовательно, и сетку. Свойство универсальности функционала позволяет получать ячейки сетки произвольной заданной формы. При построении сетки предложено вместо невырожденности гексаэдральной ячейки с линейчатыми гранями потребовать невырожденность двух 12-гранных ячеек с треугольными гранями, что сводится к требованию положительности объемов 10 тетраэдров. С помощью вычислительного эксперимента показана очень низкая вероятность появления вырожденных ячеек гексаэдральной сетки при выполнении этих условий. В практических примерах построения сеток предлагаемым вариационным методом выполнение этого условия обеспечивало невырожденность гексаэдральных сеток. Построена конечномерная функция, аппроксимирующая функционал и имеющая бесконечный барьер на границе множества невырожденных 12-гранных ячеек. По сравнению с предложенной ранее С.А.Иваненко процедурой аппроксимации функционала на 24 тетраэдрах2 минимизация рассмотренного в диссертации дискретного функционала значительно более экономична (число слагаемых у дискретного функционала меньше в 2.4 раза) и эффективна (процент охвата невырожденных гексаэдральных ячеек возрос почти в 9 раз). Предложено необходимое условие невырожденности гексаэдральной ячейки, используемое при проверке сетки на невырожденность совместно с достаточными условиями невырожденно-

'Иваненко С.А. Вариационные методы построения сеток//Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2003. Т. 43. № 6. С. 830-844.

2ИваненкоС.А. Адаптивно-гармонические сетки. М. ВЦ РАН. 1997. 181 С.

сти О.В.Ушаковой3. Предложен алгоритм перераспределения узлов сетки по граничным поверхностям и ребрам области. С использованием свойств универсальности и инвариантности функционала предложен алгоритм ортогонализации координатных линий и сгущения координатных поверхностей сетки к границе области, а также гладкого сопряжения приграничных слоев ячеек сетки к ячейкам, расположенным внутри области. Созданный комплекс программ обеспечивает построение сеток с управлением формы гекса-эдральных ячеек в областях со сложной геометрией.

Разработан и реализован новый вариационный метод построения подвижных адаптивных гексаэдральных сеток для численного моделирования физических процессов. Для этого используется функционал, предложенный С.А.Иваненко1. С помощью теоретического анализа, проведенного для одномерного, двумерного и трехмерного случаев, показано, что при адаптации сетки к разрывной монитор-ной функции необходимо использовать функционал с "замороженными" производными от мониторной функции для предотвращения схлопывания ячеек. На основе анализа свойств дискретных функционалов в одномерном и двумерном случаях показано, что они являются несогласованными между собой, т.е. осуществляемое с их помощью сгущение сетки к разрыву мониторной функции происходит по разному внутри области и на ее границе. При минимизации дискретного функционала эта несогласованность приводит к вырождению приграничных ячеек сетки. Аналогичная ситуация возникает в пространственном случае при использовании соответственно трехмерного функционала внутри области и двумерного на границе. Предложен алгоритм согласованной расстановки узлов адаптивной сетки внутри области и на ее границе. Алгоритм реализован в виде комплекса программ, позволяющего строить адаптивные подвижные сетки в областях сложной формы, в том числе с изменяющейся во времени границей.

Разработан численный метод расчета двумерных нестационарных

3УшаковаО.В. Условия невырожденности трехмерных ячеек. Формула для объема ячеек//Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2001. Т. 41. № 6. С. 881-894.

газодинамических течений с выделением химической энергии на подвижных сетках. Численный метод включает в себя элементы схемы С.К.Годунова4,5: аппроксимацию уравнений газовой динамики, записанных в виде интегральных законов сохранения, и решение задачи о распаде разрыва для определения потоков через границы подвижной ячейки. Для повышения порядка аппроксимации уравнений по пространственным координатам, параметры на сторонах ячейки сетки, служащие для вычисления потоков, находятся с помощью линейной интерполяции величин из центра ячеек и сглаживающего алгоритма. Рассмотрена задача о распаде разрыва для уравнения химической кинетики на подвижной сетке. Алгоритм реализован в виде комплекса программ, с помощью которых были проведены расчеты течений газа на адаптивных сетках, включая случаи течений с детонационными волнами.

Разработан новый алгоритм консервативной интерполяции с одной гексаэдральной сетки на другую. Центральной идеей алгоритма является замена построения области пересечения в пространстве гексаэдральных ячеек, у которых грани суть линейчатые поверхности второго порядка, на построение области пересечения 12-гранных ячеек с треугольными плоскими гранями. Предложен оптимальный алгоритм перебора ячеек сетки, позволяющий значительно сократить число операций и время счета. Проведен теоретический анализ ошибки интерполяции. Алгоритм реализован в виде комплекса программ и внедрен в заинтересованную организацию, что позволило провести численное моделирование ряда задач многокомпонентной гидродинамики.

Практическая значимость результатов диссертации состоит в следующем:

1) Метод построения гексаэдральных сеток может использоваться в реальных инженерных задачах со сложной геометрией обла-

4ГодуновС.К. Разностный метод численного расчета разрывных решений уравнений гидродинамики//Матем. сб. 1959. Т. 47. Вып. 3. С. 271-306.

5ГодуновС.К., Забродин A.B., Иванов М.Я., КрайкоА.М., Прокопов Г.П. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М.: Наука. 1976.

сти. Он является надежным и обеспечивает построение невырожденных сеток. Особый интерес представляет его использование в задачах, где априорно требуется управлять формой ячеек. Например, в задачах аэрогидродинамики, когда необходимо сильно сгущать координатные поверхности и ортогонализовать координатные линии сетки к границам области для разрешения пограничных слоев. Метод может быть использован в задачах с сильно меняющейся и неустойчивой границей раздела двух сред, когда форма границы сильно изгибается, для разрешения зон неустойчивости с помощью сетки.

2) Метод построения подвижных адаптивных четырехугольных сеток в двумерном случае и гексаэдральных сеток в трехмерном случае может применяться в эволюционных задачах для разрешения зон резкого изменения решения с помощью сгущения узлов сетки при сохранении регулярной структуры сетки. Регулярная структура сетки упрощает реализацию численных алгоритмов решения дифференциальных уравнений. Метод позволяет строить адаптивные сетки в реальных областях, в которых решаются инженерные и физические задачи.

3) Численный метод расчета двумерных нестационарных течений газа на подвижных сетках может быть использован для решения задач газовой динамики при наличии горения и детонации.

4) Алгоритм консервативной интерполяции может использоваться в трехмерных задачах, где необходимо перейти от расчета на одной гексаэдральной сетке к расчету на другой.

Апробация работы. Результаты диссертации были доложены на: VIII,IX Всероссийских совещаниях "Проблемы построения сеток для решения задач математической физики 2000, 2002г.; XII,XV,XVI,XVII Всероссийских конференциях "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики" памяти К.И.Бабенко, 1998, 2004, 2006, 2008г.; 7th Russian-Japanese Intern. Sympos. on CFD, Moscow Lomonosov Univ., 2000; Intern. Confer. "OFEA'2001. Optimization of finite-element approximations, splines and wavelets St.-Petersburg,

2001; Confer, on Numerical Methods for Fluid Dynamics, University of Oxford, UK, 1998; 8th International Symposium on CFD, Bremen, Germany, 1999; 2d Intern. Sympos. on Finite Volumes for Complex Applications - Problems and Perspectives, Duisburg, Germany, 1999; 7th,9th,10th,11th Intern. Conferences on Numerical Grid Generation, Whilster, Canada, 2000, San Jose, California, USA, 2005, Forth, Crete, Greece, 2007, Montreal, Canada, 2009; 1st Intern. Conference on CFD, Kioto, Japan, 2000; 2nd Intern. Confer. Applied Mathematics for Industrial Flows, Ciocco, Italy, 2000; 9th Intern. Confer, on Hyperbolic Problems, Theory, Numerics, Applications, California Institute of Technology, Pasadena, California, USA, 2002; Intern. Confer, on Scientific Computing and Partial Differential Equations, Hong Kong, 2002; Workshop "Grid Generation: Theory and Applications'^.: ВЦ РАН, 2002г., X Всероссийском семинаре "Современные проблемы численного моделирования Новороссийск, 2003; III Intern. Workshop on Scientif. Comput. and Applications, City Univ. of Hong Kong, 2003; VII,VIII Международных конференциях "Забабахинские Научные Чтения РФЯЦ-ВНИИТФ, Сне-жинск, 2003 и 2005; Всероссийских конференциях "Прикладная геометрия, построение расчетных сеток и высокопроизводительные вычисления ВЦ РАН, Москва, 2004 и 2006; 4-й Международной школе-семинаре "Внутрикамерные процессы, горение и газовая динамика дисперсных систем Балтийский гос. университет Воен-мех, С.-Петербург, 2004г.; V,VII Международных конференциях по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ-2004 и NPNJ-2008), Самара, 2004, и Алушта, 2008; XIV,XV Международных конференциях по Вычислительной Механике и Современным Прикладным Программным Системам (ВМСППС-2001, ВМСППС-2005 и ВМСППС-2007), Москва, 2001г., Алушта, 2005г. и 2007г.; International conference "Numerical geometry, grid generation and scientific computing ВЦ РАН, Москва, 2008; на семинарах ВЦ РАН им. А.А.Дородницына, ИПМ РАН им. М.В.Келдыша, Институте Математики им. С.Л.Соболева СО РАН, Институте Математики и Механики УрО РАН, Институте Математического Моделирова-

ния РАН, Институте Вычислительной Математики РАН, Karlsruhe University, Germany; Hong Kong Baptist University; Hong Kong University of Science and Technology.

Работа над диссертацией проводилась в рамках проектов РФФИ: "Конструирование алгоритмов построения адаптивных сеток на основе теории гармонических отображений"(1999-2001г., код проекта 99-01-00264), "Разработка алгоритмов построения многомерных сеток и их приложения в задачах математической физики"(2002-2004г., код проекта 02-01-00236), "Теоретические основы и алгоритмы построения многомерных сеток"(2009-2011, код проекта 09-01-00173); в рамках проекта Отделения Математических Наук РАН "Современные вычислительные и информационные технологии решения больших задач"(2005-2009г.).

Результаты диссертации использовались в совместных с зарубежными учеными исследованиях в Department oi Mathematics of Hong Kong Baptist University (Hong Kong Research Grant Council, Project code HKBU 2045/02P and HKBU 201/03P), International Research Team on Complex System, Chinese Academy of Sciences.

Публикации. Основные результаты опубликованы в 14 рецензируемых журнальных статьях, рекомендованных ВАК, 2 рецензируемых журнальных статьях, 2 монографиях (3 работы), 4 препринтах ВЦ РАН, 9 статьях в трудах всероссийских и зарубежных конференций, 25 публикациях тезисов докладов на всероссийских и зарубежных конференциях.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения и списка цитируемой литературы. Диссертация содержит 265 страниц, в общей сложности 102 рисунка и 8 таблиц. Список цитируемой литературы содержит 206 наименований.

Содержание работы

Введение содержит краткий обзор результатов по вариационным методам построения структурированных сеток, подвижных адаптивных сеток, методам расчета течений газа с выделением хими-

10

ческой энергии и методам консервативной интерполяции.

Алгоритмы построения сеток разрабатывались в работах российских ученых С.К.Годунова, Г.П.Прокопова, Н.Н.Яненко,

A.Ф.Сидорова, A.A.Самарского, С.А.Иваненко, В.Д.Лисейкина, H.H. Калиткина, JI.M. Дегтярева, A.A. Чарахчьяна, О.В. Ушаковой,

B.И. Мажукина, В.Ф. Тишкина и др., иностранными исследователями - A.Winslow, J.F.Thompson, Z.U.A. Warsi, C.W. Mastin, P.R. Eiseman, P.L. George, P. Knupp, G. Liao, и др.

В диссертации рассматриваются структурированные сетки. Для них упорядочивание узлов задается простейшим образом, посредством матрицы с двумя индексами в двумерном случае и матрицы с тремя индексами в трехмерном. Ячейками структурированной сетки являются четырехугольники в двумерном случае и шестигранники (гексаэдры) в трехмерном.

За рубежом создано большое число промышленных коммерческих программных пакетов для построения сеток. Следует отметить, что существующие алгоритмы построения структурированных трехмерных сеток, на которых аппроксимация дифференциальных уравнений осуществляется наиболее естественным образом, не являются надежными и в сложных областях генерируют вырожденные ячейки. Существует также потребность в сеточных алгоритмах с возможностью управления координатными линиями и поверхностями сеток. Таким образом, для проведения математического моделирования существует необходимость дальнейшего развития алгоритмов построения структурированных сеток.

Во введении показана актуальность и практическая значимость работы, сформулированы цели диссертации.

В диссертации рассматриваются вариационные методы построения сеток. Эти методы используются при построении сеток, удовлетворяющих ряду требований. Среди них невырожденность, гладкость, квазиравномерность, квазиортогональность и др. Развитие вариационных методов ведет свое начало в одномерном случае с работы А.Ф.Сидорова6 и в двумерном случае с работ

6СидоровА.Ф. Об одном алгоритме расчета оптимальных разностных cell

С.К.Годунова, Г.П. Прокопова7 и A. Winslow8.

В вариационных методах невырожденная сетка строится с помощью гомеоморфного отображения параметрической области V из пространства переменных .. .,£") (в двумерном случае

это прямоугольник, а в трехмерном - прямоугольный параллелепипед) с заданной квадратной (кубической) сеткой на физическую область fZ из пространства переменных х=(ж1,.. -,хп). Если отображение х(£) :V—>fî сохраняет ориентацию, т.е. оно гладкое и якобиан отображения J=detx'(£) сохраняет знак всюду в V, то оно может использоваться также и для построения криволинейной системы координат. Соответственно изначально ставилась задача поиска таких функционалов (или соответствующих им дифференциальных уравнений), чтобы функции доставляющие им минимум (являющиеся решением дифференциальных уравнений) обеспечивали гомеоморфное гладкое отображение параметрической области V на физическую область il.

Для двумерного случая согласно теореме Радб (сформулированной Radö9 и доказанной Kneser10) гармоническое отображение од-носвязной ограниченной области fii на односвязную ограниченную выпуклую область 0.2 является диффеоморфизмом при условии заданного гомеоморфизма границы ôQi на сЮг- Поскольку в общем случае физическая область ÇL невыпуклая, то рассматривают гармоническое отображение £(х) : >"Р, где V - параметрический прямоугольник с заданной квадратной сеткой. Для этого отображения условия теоремы Радо выполнены. Для построения сетки в физической области Ü проводится замена переменных, уравнения

ток//Тр. Матем. ин-та АН СССР. М. 1966. Т. 74. С. 147-151.

7ГодуновС.К., Прокопов Г.П. О расчетах конформных отображений и построении разностных сеток//Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1967. Т. 7. № 5. С. 1031-1059.

8WinslowA.M. Numerical solution of the quasi-linear Poisson equation in a nonuniform triangle mesh//J. Comput. Phys. 1966. V. 1. P. 149-172.

9Radö T. Aufgabe 41, Jahresber//Deutsche Math.-Verein. 1926. V. 35. P. 49.

10KneserH., Lösung der Aufgabe 41, Jahresber//Deutsche Math.-Verein. 1926. V. 35. P. 123-124.

Лапласа обращаются и решается краевая задача для квазилинейной системы дифференциальных уравнений с соответствующими граничными условиями для нахождения обратного отображения '■'Р—*^- В литературе использование этой системы уравнений для построения сеток принято называть методом Winslow8. Этот подход обеспечивает получение невырожденных сеток для довольно широкого класса областей. В силу известных свойств уравнений Лапласа координатные линии криволинейной сетки получаются гладкими, а сама сетка квазиравномерной.

Однако, практика построения сеток показала, что для областей с гладкими, но изогнутыми границами (см. Knupp11 и [1]) использование обращенных уравнений Лапласа не обеспечивает получение невырожденных структурированных сеток при разумно приемлемом для практических вычислений количестве ячеек сетки, а качество невырожденных сеток является неудовлетворительным [1]. Причина вырождения сеток состоит в ошибках аппроксимации квазилинейных дифференциальных уравнений, которые существенно возрастают в случае сильно изогнутых границ области [1]. Если же граница содержит направленные внутрь области изломы, то при любой степени измельчения сетки четырехугольные ячейки вырождаются в окрестности направленных внутрь углов2. Для построения невырожденных сеток в двумерных областях, состоящих из четырехугольных ячеек, был предложен вариационный барьерный метод12.

Другой важной задачей является дополнительный контроль за координатными линиями сетки, иными словами, за формой ячеек. Для этого вводилась замена координат в параметрической области Р7'13. Замену координат в параметрической области V иногда

"Knupp P., LuczakR. Truncation error in grid generation: a case study, Numerical

Methods for Partial Differential Equations. 1995. V. 11. P. 561-571.

12ИваненкоС.А., Чарахчьян A.A. Криволинейные сетки из выпуклых четырех-угольников//Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1988. Т 28. № 4. С. 503-514.

|3ГодуновС.К., Прокопов Г.П. Об использовании подвижных сеток в газодинамических расчетах//Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1972. Т. 12 № 2. С. 429-440.

удобно представлять в виде использования криволинейной сетки в канонической области С (вместо квадратной вР) и отображать ее на область (см. Thompson14).

Трехмерный случай оказался значительно сложнее двумерного. Непростым является вопрос о нахождении условий, при которых исследуемое гладкое отображение является гомеоморфизмом. Например, для гармонических отображений теорема Радо не обобщается на трехмерный случай15'16.

Поэтому для построения гомеоморфного отображения области V на область Q в диссертации используется следующий подход. Глобальное гомеоморфное отображение х(£) :V—ищется в виде склейки гладких гомеоморфных отображений каждой кубической ячейки Vi из области V на гексаэдральную ячейку SI* из области П.

Глава 1 диссертации посвящена описанию вариационного метода построения гексаэдральных сеток. Основные результаты опубликованы в [6] (J.Comput. Phys., 2006), [29] (Препринт ВЦ РАН, 2006), [2] (Математ. Моделирование, 2008), [17] (Энциклопедия низкотемпературной плазмы, 2008).

В разделе 1.1 дается определение невырожденной сетки, конструируемой с помощью отображения х(£): V—параметрической области V на физическую область ii.

В разделе 1.2 приведены вариационная постановка задачи построения сетки и функционал V в n-мерном случае, предложенный С.А.Иваненко1.

Рассматривается гомеоморфное, класса С1, отображение х(£): Rn—>R™ параметрической области V из пространства переменных £=(£\ .. •, £п) (куб или прямоугольный параллелепипед) на физическую область i) из пространства переменных х=(ж1,... ,хп).

14Thompson J.F., WarsiZ.U.A., Mastin,-;W. Numerical Grid Generation. North-Holland, N.Y. etc. 1985.

l5LiuH., LiaoG. A note on harmonic maps//Appl. Math. Lett. 1996. V. 9. № 4. P. 95-97.

16Laugesen R.S. Injectivity can fail for higher-dimensional harmonic extensi-ons//Complex Variables. 1996. V. 28. P. 357-369.

14

В области V задана кубическая сетка. Рассматривается дополнительное гомеоморфное, класса С1, отображение Х(£): К"—Л" области V на каноническую область С из пространства переменных Х=(Х1,..., Xй). На рис. 1 показан случай п=3.

¿V

Рис. 1. Случай п=3. V - параметрическая область с кубической сеткой, С - каноническая область, й - физическая область.

Для отображений х(£) и Х(£) метрические тензоры задаются следующим образом

А дх1 дх1 „ А дХ1 дХ1 . . , „

1=1

ае

йц называется управляющим метрическим тензором, поскольку отображение Х(£) задается с целью дополнительного управления формой ячеек сетки.

Для конструирования отображения используются инварианты тензора С~гд - контрвариантный тензор)

В функционале берется нормированное безразмерное отношение инвариантов 1\ к 1п, которое интегрируется по п-мерной области V (см. С.А.Иваненко1)

г"/2

/Г т'Ч*

... r-^de... de =

J in

V

- 1 f [ (trCG-W^v^tG !

(1)

Рассматривается следующая вариационная постановка задачи построения сетки.

Ставится задача о построении гомеоморфного, класса С1, отображения х(£): Еп—параметрической области V на физическую область при заданном отображении границ областей. Осуществляющие отображение функции х(£) находятся в результате минимизации функционала (1), где -элементы симметричной положительно определенной матрицы, заданной в каждой точке V.

Метрический тензор С?^ задается локальным отображением подобласти из V на область из пространства переменных Хг,Х2, ...,Хп. В частном случае отображением области V на область С.

Функционал (1) инвариантен относительно невырожденных координат х и X.

Следует отметить, что идея использовать отношение инвариантов метрического тензора в подынтегральном выражении принадлежит В.Д.Лисейкину17'18.

17Лисейкин В.Д. О построении структурированных сеток на n-мерных поверх-ностях//Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1991. Т. 31. № 11. С. 1670-1683. lsLiseikin V.D. Grid Generation Methods. Springer-Verlag. New York. 1999.

16

В разделе 1.3 приведен функционал V для трехмерного случая. Показывается, что V является универсальным функционалом, поскольку специальным заданием управляющего метрического тензора Gij, минимизируя Т>, можно воспроизвести любую заданную невырожденную сетку. Свойство универсальности V может быть использовано, например, в случае построения блочно-структурированных сеток. Координатные линии сеток соседних блоков, задаваемых разными отображениями, можно гладко сопрягать постепенным изменением управляющего метрического тензора Gij в окрестности границы раздела блоков. Выписаны уравнения Эйлера для функционала V.

Достаточное условие невырожденности разностной сетки приведено в разделе 1.4 и состоит в следующем19. При заданном отображении границы области &Р на 90, если граница каждого элемента сетки dVi (Pi - куб в области V), гомеоморфно отображается на границу элемента dÜí (üi - гексаэдр в области О) и для всех элементов якобиан J¿ отображения x¿(£) положителен, то-

гда глобальное кусочно-гладкое отображение х(£): Р—является гомеоморфизмом. Следовательно, необходимо иметь условия невырожденности гексаэдральной ячейки.

В разделе 1.5 приведены условия невырожденности гексаэдральной ячейки, задаваемой с помощью трилинейного отображения единичного куба из параметрического пространства

r=(i - eWia - £>2+e2r3] + (i - <ехж2г4 + а - е2)п]}+ +№((1 - + e2r7] + (i - е1)^ + (i - £>5]}, (2)

где гi={xi,yi,Zi) - координаты вершин ячейки (см. рис. 2а). Невырожденность ячейки означает положительность якобиана отображения (2)

J=г£1-(г£2хг£з) > О (3)

|9БобылевН.А., Иваненко С.А., КазунинА.В. О кусочно-гладких гомеоморф-ных отображениях ограниченных областей и их приложениях к теории сеток//Ж. вычисл. магем. и матем. фнз. 2003. Т. 43. № 6. С. 808-817.

всюду в параметрическом кубе. До настоящего времени не получено (и, по-видимому, не существует) условия, которое является одновременно необходимым и достаточным, обеспечивающее невырожденность гексаэдральной ячейки3.

первого (б) и второго (в) типа с теми же вершинами.

Предлагаются следующие условия невырожденности гексаэдральной ячейки. Гексаэдральная ячейка заменяется на два 12-гранника первого и второго типа с треугольными гранями (см. рис.2). Каждый 12-гранник состоит из 5 тетраэдров. Единичный параметрический куб разбивается на 10 базисных тетраэдров подобно разбиению двух 12-гранников (см. рис. 26,в): 8 угловых тетраэдров при вершинах куба и 2 внутренних. Трилинейное отображение (2) заменяется на набор линейных отображений 10 базисных тетраэдров, на которые разбивается параметрический куб, на соответствующие тетраэдры, из которых составлены два 12-гранника. Условие невырожденности ячейки (3) заменяется на условие невырожденности 10 линейных отображений гл(£), т.е. невырожденности двух 12-гранников. Это равносильно условию положительности объемов 10 тетраэдров, на которые разбиваются 12-гранники. Несмотря на то, что для отдельно взятой ячейки множество невырожденных гексаэдральных ячеек не совпадает с множеством невырожденных 12-гранников, практика построения сеток предложенным в диссертации методом показала, что это условие

обеспечивает невырожденность гексаэдральной сетки.

Приводится ряд необходимых условий невырожденности гексаэдральной ячейки. Часть из них рассматривалась О.В.Ушаковой3. Предложено необходимое условие НУ4, которое состоит в проверке знака якобиана отображения (2) на отрезках, соединяющих соответствующие точки противоположных граней гексаэдральной ячейки, разбитых на 10x10 четырехугольников, при том что каждая грань параметрического куба разбивается на 10x10 квадратов. Поскольку вдоль каждого отрезка 3 есть квадратичная функция одного параметра то зная значения 3 на концах и посередине отрезка, легко определить принимает ли он отрицательные значения на всем отрезке. Это необходимое условие вместе достаточным условием 2 из работы О.В.Ушаковой3 применяется для проверки невырожденности построенной гексаэдральной сетки.

В разделе 1.6 дискретизация функционала V в каждой гексаэдральной ячейке осуществляется усреднением его аппроксимаций на 10 базисных тетраэдрах. В результате получается дискретный аналог функционала, разностная функция Т)н.

В разделе 1.7 описывается квазиньютоновская процедура минимизации дискретного функционала Т>н. В матрице вторых производных удерживаются только диагональные элементы, что значительно сокращает время вычислений. Необходимые для этого расчетные формулы приводятся в разделе 1.8. Минимизация функции Т>к является значительно более экономичной и эффективной процедурой по сравнению с предложенной ранее С.А.Иваненко процедурой, использующей аппроксимацию функционала на другом множестве 24 базисных тетраэдров2.

В разделе 1.9 показывается, что Т>к имеет бесконечный барьер на границе множества невырожденных сеток, состоящих из 12-гранных ячеек первого или второго типа. Барьерное свойство дискретного функционала впервые в двумерном случае было использовано С.А.Иваненко и А.А.Чарахчьяном12, а в трехмерном случае С.А.Иваненко2.

В некоторых случаях, например когда во время моделирования

основной задачи граница области дО, движется и ее форма существенно изменяется, необходимо осуществлять перераспределение узлов на границе <ЭП. В разделе 1.10 рассматривается алгоритм расстановки узлов на границе дП. Для этого решается задача условной минимизации Vh при наличии ограничений типа равенств, задающих границу dQ. Если граница дП задана параметрически, то для перераспределения граничных узлов можно использовать процедуру безусловной минимизации T>h в параметрической форме, рассматриваемую там же.

В разделе 1.11 описывается способ сгущения и ортогонолизации сетки к границе д£2 с помощью задания управляющего метрического тензора Gy . Для этого используется свойство универсальности функционала V, т.е. способность воспроизводить заданную сетку.

В областях со сложной геометрией построение начальной невырожденной сетки представляет собой отдельную задачу. Для того чтобы попасть в допустимое множество невырожденных сеток, используется метод штрафа дискретного функционала в вырожденных ячейках2,20'21, описанный в разделе 1.12 Примеры построения сеток приведены в разделе 1.13. На рис. 3 представлена сетка в межлопаточном канале турбины. Сетка строится со сгущением координатных поверхностей к лопаткам и ортогонализацией координатных линий к поверхности лопаток.

В разделе 1.14 обсуждается вопрос о том, что функционал V не является единственно возможным. Любая функция <р(Е) (Е -подынтегральное выражение в V), монотонно возрастающая при Е> 1, также обладает свойством воспроизведения произвольной заданной невырожденной сетки при соответствующем назначении управляющего метрического тензора.

Глава 2 посвящена описанию вариационного метода постро-

20JaquotteO.-P. A mechanical model for a new grid generation method in computational fluid dynamics//Comp. Meth. Appl. Mech. and Engng. 1987. V. 66. P. 323-338.

2'ГаранжаВ.А„ КапоринИ.Е. Регуляризация барьерного вариационного метода построения разностных сеток//Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1999. Т. 39! № 9. С. 1489-1503.

о

Рис. 3. Сетка с числом узлов 81x41x31 в межлопаточном канале турбины.

ения подвижных адаптивных гексаэдральных сеток и некоторым вопросам построения одномерных и двумерных адаптивных сеток. Основные результаты опубликованы в [3, 10, 14] (ЖВМ и МФ, 2000,2003,2008), [12] (Int. J. Numer. Meth. Fluids, 2002), [11] (SIAM J. Numer. Anal., 2002), [5] (J. Comput. Phys., 2007), [26] (Препринт ВЦ РАН, 2007), [19] (Advances in Grid Generation, Chapt. 4,2007).

В разделе 2.1 приводится постановка задачи и функционал V в n-мерном случае, предложенный С.А.Иваненко1, используемый для построения адаптивных подвижных сеток. Пусть задано многообразие М в пространстве Rn+m переменных х=(хх,... ,хп, /\ ..., /тп)=(ж1, • • •, хп+т). Здесь п - размерность евклидова пространства Rn переменных х^ж1,... ,хп), т - число компонент мониторной вектор-функции f=(/\ ..., fm), по которой проводится адаптация сетки. Каждая компонента мониторной функции зависит от х: /р=/р(х\ ..., хп).

Рассматривается гомеоморфное, класса С1, отображение х(£) : Rn—>R"+m параметрической области V (куб или прямоугольный параллелепипед) из пространства переменных ... , £п) на

многообразие М. Используется также вспомогательное гомеоморфное, класса С1, отображение X(£):Mn—>Rn области V на область С из пространства переменных Х=(Х1,..., Хп). Если в области V определена кубическая сетка, то ее образом в М будет невырожденная сетка, а проекция последней на физическую область Ü в пространстве Rn переменных х является адаптивной сеткой.

На рис.4 показан пример для случая п=2, т—1, т.е. скалярной мониторной функции /.

В функционале используется нормированное безразмерное отношение инвариантов 1\ к 1п тензора G~xg

X2

/ 1

-н

с/ /

Здесь компоненты метрического тензора дц равны

дхк дх1 . д/Р др

где ак1 = ^ + _ — ,

к,1 = р = 1,2,...,т, - символ Кронекера. д^ назы-

вается мониторным метрическим тензором. Мониторная метрика была введена В.Д. Лисейкиным17 при записи функционалов на мо-ниторном многообразии.

Используется следующая вариационная постановка задачи построения адаптивной сетки. Рассматривается задача о построении гомеоморфного, класса С1, отображения х(£): К"—>К"+т параметрической области V на многообразие М при заданном гомеоморфизме границ &Р-+дМ. Осуществляющие отображение функции

23

х(£) находятся в результате минимизации функционала (1), где <£*/(£) - элементы симметричной положительно определенной матрицы, заданной в каждой точке V.

В разделе 2.2 приведены одномерный и двумерный функционалы, получаемые непосредственно из функционала общего вида (4), если управляющий метрический тензор является единичным. Эти функционалы были предложены В.Д.Лисейкиным17. В разделе 2.3 проводится аппроксимация одномерного и двумерного функционалов.

Трехточечная модель адаптации представлена в разделе 2.4. Для нелинейного уравнения переноса показано, что при соблюдении некоторых условий значения сеточной мониторной функции в ячейках подвижной сетки остаются неизменными. Тогда задачу построения адаптивной сетки можно рассматривать отдельно от основной задачи, как если бы использовалась аналитически заданная мо-ниторная функция. Это позволяет исследовать некоторые важные свойства дискретного функционала Т>к, которые сохраняются и в общем случае, например, при расчете газодинамических течений с ударными волнами.

В разделе 2.5 рассматриваются свойства функционала Т>н в одномерном и частном двумерном случае с использованием трехточечной модели адаптации. Показано, что при наличии разрывов у мониторной функции необходимо "замораживать" производные от этой функции для сохранения бесконечного барьера у одномерного функционала Т>н. В двумерном случае замораживание производных от мониторной функции приводит к возникновению "барьерного" свойства у итерационной процедуры минимизации функционала Т>н, которое также препятствует вырождению ячеек сетки. Этот прием использовался С.А.Иваненко2, а причины возникновения барьерного свойства были изучены в [10,11]. Проведенный анализ свойств дискретных функционалов в одномерном и двумерном случаях показывает, что они являются несогласованными между собой, т.е. осуществляемое с их помощью сгущение сетки к разрыву мониторной функции происходит по разному внутри

области fí и на ее границе Ш. Следовательно, возникает задача согласованной расстановки узлов сетки в О, и на дй. Она решается в разделе 2.7.

В разделе 2.6 на одномерном примере показано, что при использовании уравнений Эйлера для функционала с целью построения сеток бесконечный барьер на границе множества невырожденных сеток отсутствует, что приводит к вырождению ячеек во время адаптации.

В разделе 2.7 описаны 5 способов перестроения узлов на границе области дГ1 при адаптации сетки. Для согласованной расстановки узлов сетки внутри Ü и на ее границе дй решается задача условной минимизации дискретного функционала Vh при наличии ограничений типа равенств, задающих Sil Примеры использования различных методов расстановки граничных узлов для аналитически заданных мониторных функций приведены в разделе 2.8.

В разделе 2.9 приведен трехмерный функционал Х>, записанный

на многобразии М в пространстве К3+т. Он имеет следующий 22

вид .

у ¿=1

(5)

где gij - метрический тензор, порождаемый отображением х(£) : К3—>R3 параметрической области V на физическую область Ü.

В разделе 2.10 описаны способ дискретизации функционала (5) и процедура минимизации дискретного функционала Vh. Расчетные формулы даны в разделе 2.11. В разделе 2.12 рассмотрен алгоритм расстановки граничных узлов, условная и параметрическая минимизация Vh. В разделе 2.13 приведены примеры построения адаптивных сеток. На рис.5 представлена сетка 81x61x41 в межлопаточном канале турбины. Заданием управляющего тензора Gij

22IvanenkoS.A. Selected Chapters on Grid Generation and Applications. Dorodnicyn Computing Center of RAS. 2004

25

Рис. 5. Адаптивная сетка (а); фрагмент граничной поверхности *=41 (б).

обеспечивается сгущение координатных поверхностей сетки к лопаткам турбины. Проводится адаптация сетки по аналитически заданной мониторной функции /.

В разделе 2.14 на модельном примере рассматривается особенность, которая возникает при адаптации пространственной сетки, если мониторная функция терпит разрыв.

В главе 3 представлен метод расчета двумерных нестационарных течений невязкого газа, включая случаи течений с выделением химической энергии, на подвижных сетках. Основные результаты опубликованы в [57] (Препринт ВЦ РАН,1997), [7,9,10,14] (ЖВМ и МФ, 2000,2003,2005), [13] (Comput. Methods in Applied Mech. and Engin., 2000), [12] (Intern. J. for Numer. Meth. in Fluids, 2002), [15] (Comm. Math. Sei.,2003), [8] (J. Comput. Phys., 2005), [16] (Comput. Fluid Dynamics J., 2001). Метод включает в себя элементы схемы С.К.Годунова4,5: аппроксимацию уравнений газовой динамики, записанных в виде интегральных законов сохранения, и решение задачи о распаде разрыва для определения потоков через границы ячейки. Зона горения газа разрешается сгущением узлов подвижной адаптивной сетки.

В разделе 3.1 приводится система уравнений, описывающая одномерное течение невязкого газа при наличии химической реакции. Численная схема расчета на подвижной сетке рассматривается в разделе 3.2. Проводится аппроксимация уравнений движения газа, записанных в виде интегральных законов сохранения. Задача о распаде разрыва на подвижной сетке для течений газа с выделением химической энергии рассмотрена в разделе 3.3. Здесь используется метод решения нелинейной системы уравнений для негорючего газа5 в момент времени in+1/"2, и решается задача о распаде разрыва для уравнения химической кинетики. В разделе 3.4 приводится условие устойчивости на шаг по времени при расчете на подвижной сетке. Система уравнений для двумерного нестационарного течения газа при наличии химической реакции выписана в разделе 3.5 в форме законов сохранения в интегральной форме. Разностная схема решения уравнений на подвижной

Рис. 6. Адаптивная сетка, полученная при расчете неустойчивой пересжатой волны в плоском канале в момент ¿=60.44 (а) и ¿=61.59 (б).

сетке рассматривается в разделе 3.6.

В разделе 3.7 приведены результаты расчетов течения газа без химической кинетики: задачи о распаде разрыва, сверхзвукового течения в плоском канале, обтекания крылового профиля, нестационарного течения в плоском канале со ступенькой, двумерной задачи о распространении взрыва. При расчете задачи о сверхзвуковом течении газа в плоском канале было показано, что использование адаптивных сеток позволило сэкономить память компьютера в 25 раз и уменьшить время счета в 50-60 раз по сравнению с расчетом на квазиравномерной фиксированной сетке. В разделе 3.8 приведены результаты расчетов течения газа с химической кинетикой: одномерной детонации в режиме Чепмена-Жуге, одномерного течения неустойчивой пересжатой волны, неустойчивой пересжатой волны в плоском канале (см. адаптивную сетку на рис.6).

В главе 4 описан алгоритм консервативной интерполяции с одной гексаэдральной сетки на другую. Основные результаты опубликованы в [4] (Матем. Моделирование,2008), [30] (Препринт ВЦ РАН,2006), [19] (Advances in Grid Generation, Chapt. 12, 2007).

В разделе 4.1 приведена постановка задачи интерполяции для кусочно-постоянного распределения консервативной функции в ячейках сетки. Задача интерполяции сводится к определению объема фигуры пересечения ячеек старой сетки и>0 и новой сетки шп. Для определенности рассматривается интерполяция плотности. Гексаэдральная ячейка с линейчатыми гранями заменяется на две 12-гранные с треугольными гранями (см. рис. 2). С помощью поверхностного интеграла вычисляется объем 12-гранников и показывается, что полусумма объемов двух 12-гранников равна объему гексаэдральной ячейки. Это равенство между объемами гексаэдральной ячейки и десяти тетраэдров, составляющих два 12-гранника, было получено О.В.Ушаковой3 непосредственным вычислением объемного интеграла. Построение фигуры пересечения двух гексаэдральных ячеек заменяется построением фигуры пересечения четырех пар 12-гранников. В каждой паре участвуют по одному 12-граннику от новой и старой гексаэдральных ячеек. Объем

фигуры пересечения гексаэдральных ячеек берется равным среднему от найденных 4 объемов фигур пересечения 12-гранников.

В разделе 4.2 дается общее описание метода, на примере интерполяции плотности. Алгоритм интерполяции состоит из 5 этапов. В разделе 4.3 описывается этап I, построение £оп, линии пересечения поверхностей 12-гранной ячейки Cln новой сетки шп и 12-гранной ячейки Ü0 старой сетки и>0. На этом этапе находится ломанная линия £оп> каждое звено которой является линией пересечения двух треугольных граней ячеек и CV Предполагается, что линия Con является контуром, без точек ветвления. Может существовать несколько линий Сгоп.

В разделе 4.4 описывается этап II, построение фигуры пересечения ячеек й0 и йп. Этот этап осуществляется одновременно с этапом I. На каждой из рассматриваемых треугольных граней ячеек й0 (или йп) строится многоугольник, высекаемый линией Соп и лежащий внутри ячейки йп (или Q0). Заключенная внутри него плоская поверхность есть часть границы искомой фигуры Í20n. Поскольку может существовать несколько линий Сгоп, то и многоугольников на рассматриваемой грани может быть больше одного (но не более двух). Объединение всех многоугольных поверхностей образует границу fion. Фигура ùon может состоять из двух симплексов.

В разделе 4.5 описывается этап III, вычисление объема и массы фигуры пересечения Slon.

В разделе 4.6 описывается этап IV, перебор ячеек сетки ui0. Необходимо найти окружение рассматриваемой новой ячейки йп, которое состоит из старых ячеек й$, 9=1,2,.. .,Qmoa:, имеющих в пересечении с ячейкой непустое множество. Для текущей ячейки йп предлагается оптимальный алгоритм перебора ячеек сетки и>0 с тем, чтобы проверять только ячейки окружения í)o- В разделе 4.7 описывается этап V, расчет массы гап, заключенной в ячейке новой сетки, и значения плотности в ней.

В разделе 4.8 рассмотрен вопрос построения слоев фиктивных ячеек. Ячейки и грани старой ш0 и новой шп сеток не должны

Рис. 7. Криволинейная сетка w0:29x29x49 (а), прямоугольная равномерная сетка ип\ 31x31x51 (б).

совпадать. Иначе задача определения линии пересечения совпадающих граней ячеек является неоднозначно определенной, что при вычислениях приводит к делению на ноль. Поэтому невозможно интерполировать величины с сетки на саму себя. Чтобы избежать ситуаций прерывания следует слегка сдвинуть одну сетку (например, новую и>п) относительно другой (ш0). Поскольку при сдвиге некоторые граничные ячейки сетки и>п выйдут за расчетную область, вводится дополнительный внешний слой фиктивных ячеек для старой сетки и>0 по всей границе области с экстраполяцией в них значений плотности23. Такая расширенная сетка обозначается u)gXt. Теперь ячейки сетки ип будут целиком лежать внутри

23Dukowicz J.K., Padial N.T. REMAP3D: A conservative three-dimensional remapping code. Los Alamos report. 1991.

31

О I п

■0.5

I -I

■М

Г1 1 1 1 и 1 1 1 0 05

(в)

(а) (б)

Рис. 8. Проекция координатной поверхности 1 сетки на плос кость х, г (а); изолинии р в слое сетки и>0 (б) и сетки шп (в).

области, занимаемой ячейками а^14, и потери массы после интерполяции не произойдет.

В разделе4.9 проводится анализ ошибки интерполяции. Она складывается из ошибок двух типов. Первая связана с ошибками округлений при вычислениях. При увеличении разрядной сетки компьютера эта ошибка будет стремиться к нулю. Вторая, систематическая ошибка, связана с тем, что сетка шп сдвинута относительно и0. Чтобы понять причину возникновения систематической ошибки рассматривается пример интерполяции с прямоугольной равномерной сетки ш0 на эту же сетку шп, сдвинутую относительно старой. Проводится оценка систематической ошибки.

В разделе 4.10 приведены численные примеры интерполяции. На рис.7а представлена старая сетка ш0 с числом узлов 29x29x49 в прямоугольной области 0<х,у<1, 0<г<4 (сетка была построена

О.В.Ушаковой) с распределением плотности Рь, если г<гь - 0.43

Ро(х, y,z) - ^ рь + {pt _ рь){1 _ еа;р[_а(2 _Zb + 0.43)2]}, иначе,

где рь—1, /9f=100, а=4. На рис. 76 показана новая прямоугольная сетка шп : 31x31x51, на которую осуществляется интерполяция массы.

Проекция координатной поверхности j—1 на плоскость x,z показана на рис.8а. На рис. 86,в представлены изолинии плотности в слое j=1 сеток и>0 и ип соответственно.

Основные результаты

1) Разработан новый вариационный метод построения структурированных сеток в пространственных областях со сложной геометрией.

2) Показано, что используемый функционал является универсальным. При минимизации этого функционала можно воспроизвести любое заданное невырожденное отображение, а на дискретном уровне любую заданную невырожденную сетку.

3) Предложен новый способ аппроксимации функционала на 10 тетраэдрах для каждой гексаэдральной ячейки. Предложены новые приближенные условия невырожденности гексаэдральной ячейки, которые в практических расчетах обеспечивают невырожденность гексаэдральных ячеек сетки.

4) Показано, что дискретный функционал обладает бесконечным барьером на границе множества невырожденных сеток, что препятствует вырождению сетки в процессе минимизации функционала.

5) Предложен метод расстановки узлов на границе области, заключающийся в условной минимизации функционала.

6) Предложены метод ортогонализации и заданного сгущения сетки около границы области, а также способ сглаживания сеточных линий соседних блоков сетки, основанные на использовании свойства универсальности функционала.

33

7) Разработан новый вариационный метод построения подвижных адаптивных гексаэдральных сеток для численного моделирования физических процессов.

8) На основе предложенной трехточечной модели адаптации проведен теоретический анализ свойств дискретных функционалов в одномерном, двумерном и трехмерном случае при наличии разрывов у мониторной функции. Анализ показал необходимость замораживания производных от мониторной функции при минимизации функционала.

9) Показана несогласованность двумерного и одномерного функционала при построении двумерных адаптивных сеток, а также трехмерного и двумерного функционала при построении трехмерных адаптивных сеток. Для осуществления согласованной расстановки узлов адаптивной сетки внутри области и на ее границе, предложено использовать метод условной минимизации функционала.

10) Разработан численный метод расчета двумерных нестационарных газодинамических течений с выделением химической энергии на подвижных сетках.

11) Разработан новый алгоритм консервативной интерполяции на гексаэдральных сетках.

12) Предложен оптимальный алгоритм перебора ячеек сетки, позволяющий значительно сократить число операций и время счета.

Публикации по теме диссертации

Статьи в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК.

1. АзаренокБ.Н. О построении структурированных сеток в двумерных невыпуклых областях с помощью отображений//Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2009. Т.48. № 5. С. 1-13.

2. АзаренокБ.Н. Вариационный метод построения гексаэдральных сеток с управляющей метрикой//Матем. моделирование. 2008. Т.20. № 9. С. 3-22.

3. АзаренокБ.Н. Вариационный метод построения пространственных адаптивных сеток//Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2008. Т.48. № 5. С. 100-119.

4. АзаренокБ.Н. Об одном методе консервативной интерполяции на гексаэдральных сетках//Матем. моделирование. 2008. Т.20. № 2. С. 59-75.

5. AzarenokB.N. A method of constructing adaptive hexahedral moving grids//J. Сотр. Phys. V. 226. Issue 1. 2007. P. 1102-1121.

6. AzarenokB.N. A variational hexahedral grid generator with control metric//.!. Сотр. Phys. V. 218. Issue 2. 2006. P. 720-747.

7. АзаренокБ.Н. Об одной схеме расчета детонационных волн на подвижных сетках//Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2005. Т.45. № 12. С. 2260-2282.

8. AzarenokB.N., Tang Т. Second-order Godunov-type scheme for reactive flow calculations on moving meshes/A Сотр. Phys. V. 206. Issue 1. 2005. P. 48-80.

9. АзаренокБ.Н. Расчет задачи о взрыве на подвижной адаптивной сетке//Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2003. Т. 43. № 6. С. 856-865.

10. АзаренокБ.Н. О применении вариационного барьерного метода в гиперболических задачах газовой динамики//Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2003. Т. 43. № 7. С. 1072-1096.

11. AzarenokB.N. Variational barrier method of adaptive grid generation in hyperbolic problems of gas dynamics//SIAM J. Numer. Anal. 2002. V. 40. № 2. P. 651-682.

12. IvanenkoS.A., AzarenokB.N. Application of moving adaptive grids for numerical solution of nonstationary problems in gas dynamics//Int. J. Numer. Meth. Fluids. 2002. V. 39. P. 1-22.

13. AzarenokB.N. Realization of a second-order Godunov's method //Comput. Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2000. V. 189. № 3. P. 1031-1052.

14. АзаренокБ.Н., Иваненко С.А. О применении адаптивных сеток для численного решения нестационарных задач газовой дина-мики//Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2000. Т. 40. №9. С. 1386-1407.

Статьи в рецензируемых журналах.

15. AzarenokB.N., IvanenkoS.A., Tang Т. Adaptive mesh redistribution method based on Godunov's scheme//Comm. Math. Sci. 2003. V. 1. № 1. P. 152-179.

16. AzarenokB.N., IvanenkoS.A. Application of moving adaptive grids for simulation of supersonic gas flow//Comput. Fluid Dynamics Journ. Japan. 2001. V. 10. № 3. P. 400-404.

Главы в коллективных монографиях.

17. АзаренокБ.Н. Вариационный метод построения пространственных сеток//Энциклопедия низкотемпературной плазмы. Математическое моделирование в низкотемпературной плазме. Янус-К. Москва. 2008. Часть I. Раздел III. Глава 5. С. 265-284.

18. AzarenokB.N., IvanenkoS.A. Grid optimization and adaptation. In: Advances in Grid Generation. (Ushakova O.V. ed.). Nova Science Publishers. New York. 2007. Chapt. 4. P. 85-125.

19. AzarenokB.N. Conservative remapping on hexahedral meshes. In: Advances in Grid Generation. (Ushakova O.V. ed.). Nova Science. New York. 2007. Chapt. 12. P. 337-379.

Прочие публикации.

20. AzarenokB.N. A method of generating 2D structured grids. In: SoniB., HauserJ., EismanP., and Thompson J., eds. Proceedings

36

of the 11th International Conference on Numerical Grid Generation, Montreal, Canada , May 25-28, 2009. Birmingham. Alabama: International Society of Grid Generation.

21. АзаренокБ.Н., О вариационном методе построения гексаэд-ральных адаптивных сеток//Тезисы доклада на XVII Всероссийской конференции "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов для решения задач математической физики с приложением к многопроцессорным систе-мам"посвященная памяти К.И.Бабенко, 15-21 сентября 2008, Дюрсо, С. 3.

22. АзаренокБ.Н. К вопросу о построении пространственных адаптивных сеток//Ргос. of International conference "Numerical geometry, grid generation and scientific computing A. A. Do-rodnicyn Computing Center RAS, Moscow, June 10-13, 2008, P. 67-74.

23. АзаренокБ.Н. Об одном вариационном методе построения структурированных сеток в двумерных областях//Тезисы. VII Международная Конференция по Неравновесным Процессам в Соплах и Струях (NPNJ 2008). 25-31 мая 2008 г. Алушта. М.: Вузовская книга. 2008. С. 36-37.

24. AzarenokB.N. A variational approach to hexahedral mesh generation. In: SoniB., HauserJ., EismanP., and Thompson J., eds. Proceedings of the 10th International Conference on Numerical Grid Generation, Forth, Crete, Greece, 16-20 September, 2007. Birmingham. Alabama: International Society of Grid Generation. P. 3-12.

25. АзаренокБ.Н. О построении адаптивных подвижных гексаэд-ральных сеток//Тезисы. Материалы XV Международной Конференции по Вычислительной Механике и Современным Прикладным Программным Системам (ВМСППС-2007). 25-31 мая 2007 г. Алушта. М.: Вузовская книга. 2007. С. 38-39.

26. АзаренокБ.Н. О построении подвижных адаптивных пространственных сеток. М.: ВЦ РАН. 2007. 50 С.

27. АзаренокБ.Н. О построении пространственных сеток//Тезисы доклада на XVI Всероссийской конференции "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов для решения задач математической физики с приложением к многопроцессорным системам" посвященная памяти К.И.Бабенко. 4-10 сентября 2006. Дюрсо. С. 3.

28. АзаренокБ.Н. К вопросу о построении гексаэдральных се-ток//Труды Всероссийской Конференции "Численная геометрия, построение расчетных сеток и высокопроизводительные вычисления". М.: ВЦ РАН. 4-7 июля 2006. С. 100-107.

29. АзаренокБ.Н. Об одном вариационном методе построения пространственных сеток. М.: ВЦ РАН. 2006. 51 С.

30. АзаренокБ.Н. Алгоритм консервативной интерполяции на гексаэдральных сетках. М.: ВЦ РАН. 2006. 58 С.

31. AzarenokB.N. First-Order Algorithm of Conservative Interpolation on Hexahedral Meshes//In: PapadopolousP., SoniB., HauserJ., EismanP., Thompson J. (eds.) Proceedings of the 9th International Conference on Numerical Grid Generation, San Jose, California, 12-15 June 2005. Birmingham, Alabama: International Society of Grid Generation, pp. 3-12.

32. АзаренокБ.Н. Об одном алгоритме построения регулярных гексаэдральных сеток//Тезисы. Материалы XIV Международной Конференции по Вычислительной Механике и Современным Прикладным Программным Системам (ВМСППС-2005). 25-31 мая 2005. Алушта. М.: Вузовская книга. 2005. С. 31-32.

33. АзаренокБ.Н. Вариационный метод конструирования регулярных гексаэдральных сеток с управлением формы яче-ек//Тезисы. VIII Международная Конференция "Забабахин-

38

ские Научные Чтения". 5-10 сентября 2005. Снежинск. С. 216-217.

34. АзаренокБ.Н. О расчете течений газа с детонационными волнами на подвижных адаптивных сетках//Труды Всероссийской конференции "Прикладная геометрия, построение расчетных сеток и высокопроизводительные вычисления ВЦ РАН. Москва. 28 июня - 1июля 2004. Т. 1. С. 87-96.

35. АзаренокБ.Н. О расчете детонационных волн на адаптивных сетках//Тезисы. 4-я Международная Школа-Семинар "Внут-рикамерные процессы, горение и газовая динамика дисперсных систем Балтийский гос. университет Военмех. С.-Петербург. 27 июня - 3 июля 2004. Т. 2. С. 150-152.

36. АзаренокБ.Н. Моделирование распространения детонационных волн с использованием адаптивных подвижных се-ток//Тезисы. Материалы V Международной Конференции по Неравновесным Процессам в Соплах и Струях (ЫРШ-2004). 5-10 июля 2004. Самара. С. 17-18.

37. АзаренокБ.Н. Консервативная интерполяция гидродинамических параметров при расчетах на гексаэдральных сет-ках//Тезисы. Материалы V Международной Конференции по Неравновесным Процессам в Соплах и Струях (ЫРШ-2004). 5-10 июля 2004. Самара. С. 18-19.

38. АзаренокБ.Н. О консервативной интерполяции газодинамических параметров на гексаэдральных сетках//Тезисы доклада на XV Всероссийской Конференции "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов для решения задач математической физики с приложением к многопроцессорным системам"посвященная памяти К.И.Бабенко. 8-11 сентября 2004. Дюрсо. С. 4-5.

39. АзаренокБ.Н. Расчет течений с детонационными волнами на подвижных адаптивных сетках//Тезисы. VII Международная

39

Конференция "Забабахинские Научные Чтения". 8-12 сентября 2003. Снежинск. С. 115-116.

40. АзаренокБ.Н. Алгоритм консервативной интерполяции газодинамических полей на гексаэдральных сетках//Тезисы. VII Международная Конференция "Забабахинские Научные Чтения 8-12 сентября 2003. Снежинск. С. 114-115.

41. AzarenokB.N. Moving adaptive meshes and their application in hyperbolic problems of gas dynamics//Abstract of III Intern. Workshop on Scientif. Comput. and Applications. City University of Hong Kong. Jan. 6-9. 2003.

42. AzarenokB.N. Application of Moving Adaptive Meshes in Hyperbolic Problems of Gas Dynamics//Proceedings of the workshop "Grid Generation: Theory and Applications". Moscow, June 24-28, 2002. Computing Center Russian Academy of Sciences, P. 135-144.

43. AzarenokB.N., IvanenkoS.A. Moving Adaptive Meshes and Godunov's Scheme//Abstracts of 9th International Conference on Hyperbolic Problems, Theory, Numerics, Applications. California Institute of Technology. Pasadena. California. March 25-29. 2002. P. 153-154.

44. AzarenokB.N., TangT. Adaptive mesh redistribution method in hyperbolic problems of gas dynamics//International Conference on Scientific Computing and Partial Differential Equations. Book of Abstracts. Hong Kong Baptist University. December 12-15. 2002. P. 9-10.

45. АзаренокБ.Н. К расчету двумерных течений газа на адаптивных подвижных сетках//Тезисы доклада на IX Всероссийском совещании по проблемам построения сеток для решения задач математической физики. 8-11 сентября 2002. Дюрсо.

С. 4-5.

46. AzarenokB.N. Adaptive moving grids in problems of gas dynamics, Grid Generation: New Trends and Applications in Real-World Simulations, S.A.Ivanenko et al. (Eds.)//Proceedings of the minisimposium in Intern. Confer. "Optimization of finite-element approximations, splines and wavelets St.-Petersburg, June 25-29, 2001. P. 30-44.

47. AzarenokB.N., IvanenkoS.A. Moving grid technology for shock waves simulation//Abstracts of 7th Russian-Japanese Intern. Sympos. on CFD, July 31-Aug. 6, 2000, Russ. Acad, of Science, Mosc. Lomonosov Universty.

48. AzarenokB.N. Adaptive Moving Grids in Supersonic Flow Simulation/Numerical Grid Generation in Computational Field Simulations, Proceedings of the 7th International Conference, September 25-28, 2000, Whistler, British Columbia. Edited by B.K. Soni, J. Haeuser, J.F. Thompson, P. Eiseman. P. 629-638.

49. AzarenokB.N. Application of adaptive moving grids for Simula tion of supersonic gas flow in channel//Abstracts of the 2nd Intern. Confer. Applied Mathematics for Industrial Flows, 12-14 Oct., 2000, Ciocco, Italy. P. 25.

50. AzarenokB.N., IvanenkoS.A. Hypersonic flow simulation based on moving grid technology//Abstracts of the 1st Intern. Conference on CFD, 10-14 July, 2000. Kioto. Japan.

51. AzarenokB.N. Second-order Godunov's method for supersonic problems//Abstracts of the 1st Intern. Conference on CFD, 1014 July, 2000. Kioto. Japan.

52. АзаренокБ.Н. О вариационном барьерном методе построения сеток при решении гиперболических задач газовой динами-ки//Тезисы докл. на VIII Всероссийском совещании по проблемам построения сеток для решения задач математической физики. Пущино. 21-28 июля. 2000.

53. AzarenokB.N., IvanenkoS.A. Moving grid technology for finite volume methods in gas dynamics//In: Finite Volumes for Complex Applications II - Problems and Perspectives, R.Vilsmaeier, F.Benkhaldoum and D.Hanel (Eds.), Hermes, 1999, 795-802.

54. AzarenokB.N., IvanenkoS.A. Moving Grid Technology for Shock Waves Simulation/ 8th International Symposium on Computational Fluid Dynamics, Bremen, Germany, 5-10 September, 1999.

55. АзаренокБ.Н. О схеме С.К.Годунова второго порядка аппрок-симации//Тезисы доклада на XII Всероссийской "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов для решения задач математической физики" памяти К.И.Бабенко, 913 сент. 1998, Новороссийск, Дюрсо.

56. AzarenokB.N. Realization of a Second-Order Godunov's Method//Conference on Numerical Methods for Fluid Dynamics, 31 March - 3 April 1998, University of Oxford, UK.

57. АзаренокБ.Н. Об одной реализации схемы С.К. Годунова высокого порядка аппроксимации. М.: ВЦ РАН. 1997. 22 С.

Азаренок Борис Николаевич Вариационные методы построения структурированных сеток и их приложения к газовой динамике

Подписано в печать 15.07.2009 Формат бумаги 60x84 1/16 Уч.-изд. л. 1,8. Усл.-печ. 2,5 Тираж 100 экз. Заказ 28

Отпечатано на ротапринтах в Учреждении Российской академии наук Вычислительный центр им. A.A. Дородницына РАН 119991, Москва, ул. Вавилова, 40 Учреждение Российской академии наук Вычислительный центр им. A.A. Дородницына, 2009

Введение

ГЛАВА 1. Построение гексаэдральных сеток

1.1 Построение сеток с помощью отображений.

1.2 Постановка задачи и вывод функционала.

1.3 Свойство универсальности трехмерного функционала и уравнения Эйлера.

1.4 Условия невырожденности сетки.

1.5 Условия невырожденности шестигранной ячейки.

1.6 Аппроксимация функционала.

1.7 Минимизация функционала.

1.8 Расчетные формулы.

1.9 Барьерное свойство V

1.10 Расстановка узлов на границе

1.11 Сгущение и ортогонализация сетки вблизи границы.

1.12 Построение начальной невырожденной сетки.

1.13 Примеры построения сеток.

1.13.1 Область в форме всплеска.

1.13.2 Межлопаточный канал турбины.

1.14 Другие функционалы.

ГЛАВА 2. Построение адаптивных подвижных сеток

2.1 Постановка задачи и вариационный функционал.

2.2 Функционалы в одномерном и двумерном случаях.

2.3 Аппроксимация функционалов.

2.4 Трехточечная модель адаптации.

2.5 Свойства дискретного функционала.

2.6 Адаптация с помощью решения уравнения Эйлера.

2.7 Расстановка узлов на границе

2.8 Адаптация к аналитически заданной мониторной функции

2.9 Функционал в трехмерном случае.

2.10 Аппроксимация и минимизация функционала.

2.11 Расчетные формулы.

2.12 Расстановка узлов на границе

2.13 Примеры построения сеток.

2.13.1 Подковообразная область.

2.13.2 Область "матрешка".

2.13.3 Межлопаточный канал турбины.

2.14 Особенности при адаптации к разрывным функциям.

ГЛАВА 3. Численный метод расчета одномерного и двумерного течений газа и приложения

3.1 Постановка задачи для одномерного случая

3.2 Разностная схема.

3.3 Задача о распаде разрыва на подвижной сетке.

3.4 Устойчивость схемы.

3.5 Система уравнений для двумерного случая.

3.6 Разностная схема.

3.7 Расчеты течения газа без химической кинетики.

3.7.1 Задача о распаде разрыва 1.

3.7.2 Задача о распаде разрыва II.

3.7.3 Сверхзвуковое течение в канале.

3.7.4 Расчет обтекания крылового профиля.

3.7.5 Течение в плоском канале.

3.7.6 Расчет задачи о взрыве.

3.8 Расчеты течения газа с химической кинетикой.

3.8.1 Одномерная детонация в режиме Чепмена-Жуге.

3.8.2 Неустойчивая пересжатая волна в одномерном течении.

3.8.3 Неустойчивая пересжатая волна в плоском канале.

ГЛАВА 4. Алгоритм консервативной интерполяции на гексаэдральных сетках

4.1 Постановка задачи.

4.2 Общее описание метода.

4.3 Этап I. Построение линии пересечения Соп.

4.3.1 Шаг 1. Определение вершин ломаной Соп.

4.3.2 Шаг 2. Определение звеньев линии Соп.

4.4 Этап II. Построение фигуры пересечения ячеек . .к.

4.5 Этап III. Вычисление объема и массы Пт.

4.6 Этап IV. Алгоритм перебора ячеек сетки.

4.7 Этап V. Расчет массьГга^ заключенной в новой ячейке, и значения плотности в ней.

4.8 Построение слоев фиктивных ячеек.

4.9 Ошибка интерполяции.

4.10 Численные примеры.

4.10.1 Прямоугольная область.

4.10.2 Оболочка.

Диссертация посвящена разработке вариационного метода построения структурированных трехмерных сеток, вариационного метода построения подвижных адаптивных сеток, подстраивающихся к особенностям решения, разработке консервативной схемы расчета двумерных нестационарных течений газа с выделением химической энергии на подвижных сетках и алгоритма консервативной интерполяции на гексаэдральных сетках.

Методы построения счетных сеток интенсивно развивались в течение последних пятидесяти лет. Это обусловлено большим числом приложений, связанных с моделированием физических процессов. Сеточные методы активно используются при численном решении задач гидродинамики, электродинамики, микроэлектроники, магнитной гидродинамики, при численном моделировании климата и океанических течений, а также в других областях.

Алгоритмы построения сеток разрабатывались в работах российских ученых С.К. Годунова, Г.П. Прокопова, H.H. Яненко, А.Ф. Сидорова,

A.A. Самарского, H.H. Калиткина, С.А. Иваненко, В.Д. Лисейкина, Л.М.Дегтярева, A.A. Чарахчьяна, О.В.Ушаковой, В.И. Мажукина,

B.Ф.Тишкина и др., иностранными исследователями - A. Winslow, J.F.Thompson, Z.U.A. Warsi, C.W. Mastin, P.R. Eiseman, P.L.George, P. Knupp, G. Liao, и др.

Построение сетки состоит в разбиении физической области, где необходимо проводить моделирование физического процесса, на подобласти, называемые ячейками (элементами) сетки. Ячейки сетки не должны налегать друг на друга и должны заполнять всю физическую область без зазоров. Структурированная сетка в двумерной области создается разрезанием ее двумя семействами линий, называемыми сеточными или координатными линиями, на четырехугольные ячейки, подобно разбиению прямоугольной области на прямоугольники. Структурированная сетка в трехмерной области создается разрезанием ее тремя семействами поверхностей, называемыми сеточными или координатными поверхностями, на шестигранные (гексаэдральные) ячейки, подобно разбиению прямоугольной области на прямоугольные параллелепипеды. Вершины ячеек называются узлами сетки. Нумерация ячеек и узлов структурированной сетки задается простейшим образом, подобно нумерации элементов матрицы с двумя индексами в двумерном случае и элементов матрицы с тремя индексами в трехмерном случае. Для неструктурированных сеток связь каждого узла сетки с соседними узлами организуется специальным образом, и число соседних узлов (следовательно, и форма ячеек) может быть разным.

Разбиение области на ячейки следует осуществлять таким образом, чтобы получить как можно точнее численное решение физической задачи. Классификация работ по различным способам построения сеток приведена, например, в [193] (Thompson, Warsi, 1982). Методы построения сеток могут быть разделены на три основных вида: 1) построение с помощью алгебраических преобразований, с использованием различных видов интерполяции-или специальных функций преобразований, 2) посредством решения дифференциальных уравнений (при этом дифференциальные уравнения могут быть различных типов: эллиптические, гиперболические, параболические, смешанного типа и др.), 3) посредством решения вариационных задач, основанные на минимизации функционалов.

Алгебраические методы просты, обеспечивают быстрое построение сетки и контроль густоты и наклона координатных линий с помощью коэффициентов в интерполяционных формулах. Однако, они обладают рядом существенных недостатков. В областях сложной формы координатные линии (поверхности) могут перехлестываться и выходить за границу области, что приводит к вырождению ячеек сетки. Они переносят особенности границы (например, изломы) вглубь области. Для устранения этих недостатков были развиты методы построения нерегулярных сеток, состоящих из треугольных ячеек в двумерном случае и тетраэдральных в трехмерном. Подробные описания некоторых алгебраических методов приведены в [193](Thompson, Warsi, 1982), [194](Thompson и др., 1985), [133](Eiseman, 1985), [157](Knupp, Steinberg, 1993), [169](Liseikin, 1999), [143](Handbook of Grid Generation, 1999), [138](Prey, George, 2000). Построение квазиравномерных сеток с помощью спецальных преобразований рассматривалось в [49](Калиткин и др., 2005). В [24, 25](Ваби-щевич, 1989,1991) сетка строилась посредством декомпозиции двумерной области на подобласти с использованием в приграничной подобласти гранично-адаптивной сетки.

При построении сеток в областях со сложной геометрией границ, как правило, используются методы, основанные на решении эллиптических и параболических дифференциальных уравнений [30, 32](Годунов, Прокопов и др., 1972,1976), [58](Прокопов, 1988), [44](Иваненко, 1997), [174](Nakamura, 1982), [56](Михалин, 1995), [194](Thompson и др., 1985), [157](Knupp, Steinberg, 1993), [74,169](Liseikin и др., 1999,2005), [143] (Handbook of Grid Generation, 1999), [201](Winslow, 1966)3~Досто-инством этих методов является гладкость координатных линий сетки. Принцип максимума, который выполняется для этих систем, обеспечивает корректность постановки задачи и невырожденность сетки для достаточно широкого класса двумерных областей с не слишком сложной формой границы (не сильно изогнутой и без острых углов, направленных внутрь области).

Гиперболические дифференциальные уравнения более просты при реализации, т.к. используют при построении сеток маршевые методы, позволяют получать ортогональные сетки [188] (Steger, Chaussee, 1980), [189](Tai и др., 1995), [143, Chapt. 5](Chan, 1999). Они удобны для построения сеток, когда внутренняя граница области (например, обтекаемый профиль) задана, а внешняя находится на "бесконечности". Но если вся граница области задана жестко, то эти методы не применимы из-за некорректной постановки задачи. К тому же гиперболические уравнения обладают свойством переносить особенности решения (например, изломы на границе) вдоль характеристик. В случае использования квазилинейных гиперболических уравнений негладкости и даже разрывы решения могут возникать и при гладких исходных данных [58] (Прокопов, 1988).

Отметим также методы, где сетка строится с помощью конформного отображения единичного квадрата на физическую область. Здесь решаются уравнения Лапласа с граничными условиями Неймана, см. [116](Chakravarty, Anderson, 1979), [172](Mastin, Thompson, 1984), [194](Thompson и др., 1985), [204] (Zhang и др., 2008). Но класс конформных отображений достаточно узок (согласно теореме Римана конформное отображение задается отображением трех точек на границе) и, как правило, эти сетки мало пригодны для расчетов.

Важными для приложений являются ортогональные сетки, когда координатные линии (поверхности) пересекаются под углом 90°, поскольку аппроксимация дифференциальных уравнений на таких сетках существенно проще. Методы построения двумерных ортогональных сеток рассматривались, например, в [66] (Сидоров, Шабашова, 1981), [57,60] (Прокопов, 1974,1998), [82](Ascoli и др., 1987), [182] (Ryskin, Leal, 1983), [194](Thompson и др., 1985), [152](Kang, Leal, 1992), [128](Duraiswami, Prosperetti, 1992), [143, Chapt.6,7](Khamayseh и др., Еда, 1999), [131](Еда, 1996), [76](Akcelik и др., 2001), [203] (Zhang и др., 2006). В [66](Сидоров, Шабашова, 1981), [60](Прокопов, 1998) было показано, что для ортогональных сеток соответствующая система дифференциальных уравнений имеет смешанный тип и ее применение для построения сеток может приводить к неустойчивым задачам. Поэтому на практике используется регуляризация уравнений, когда к ним добавляются эллиптические уравнения с малым весом [66](Сидоров, Шабашова, 1981), [60](Прокопов, 1998).

С помощью бигармонических уравнений двумерные сетки строились \J в [104,185](Bell и др., 1982) и трехмерные сетки в [83](Altas и др., 2002).

Вариационные методы используются при построении сеток, удовлетворяющих ряду требований. Среди них невырожденность, гладкость, квазиравномерность, квазиортогональность и др. Первый вариационный подход в одномерном случае построения квазиравномерных сеток рассматривался в [65](Сидоров, 1966), а двумерном случае конструирование сеток с помощью конформных отображений проводилось в [29] (Годунов, Прокопов, 1967) и с помощью обратного гамонического отображения в [201](Winslow, 1966).

В [60](Прокопов, 1988) рассматривались различные способы задания функционалов при построении квазиортогональных сеток, когда функционал ортогональности регуляризуется посредством добавки эллиптических функционалов. В [21, 67](Сидоров, Ушакова и др., 1997,2003) использовалась сумма функционала равномерности, ортогональности и адаптивности с весовыми добавками для получения оптимальных сеток. В [34](Годунов и др., 1995) рассматривались квазиизометрические отображения, при которых отношение расстояния между любыми достаточно близкими точками к расстоянию между их образами ограничено сверху и снизу равномерно, а в [119](Chumakov, Chumakov, 1998,), [140](Godunov и др., 2007) были предложены алгоритмы построения квазиизометрических сеток. В [111](Brackbill, Saltzman, 1982) рассматривался функционал гладкости (для него следствием уравнений Эйлера есть обращенные уравнения Лапласа), а так же его комбинация с функционалами ортогональности и адаптивности. В [127](Dulikravich, Kennon, 1986) при конструировании двумерного целевого функционала использовалась локальная мера гладкости, определяемая как сумма квадратов разности площадей соседних по обоим направлениям ячеек, и мера локальной ортогональности. В [123](De Almeida, 1999) рассматривался функционал, взятый из теории упругости. Из распространенных функционалов для построения сеток следует также отметить функционалы длины и объема (площади в двумерном случае), см. монографии [115](Castillo и др., 1991), [157](Knupp, Steinberg, 1993), [143](Handbook of Grid Generation, 1999), [169](Liseikin, 1999), в которых имеются ссылки на статьи. Во многих работах рассматривается линейная комбинация этих функционалов вместе с функционалами гладкости и ортогональности. В [117](Chen, Jiang, 2008) сетка строилась с помощью минимизации целевой функции, включающей контроль за углами и длинами сторон ячеек сетки.

Одна из важнейших задач при построении сетки заключается в обеспечении ее невырожденности. Это обусловлено необходимостью корректной аппроксимации дифференциальных уравнений, описывающих физическое явление. Невырожденная сетка не содержит самопересекающихся ячеек, координатных линий или поверхностей, слипшихся ячеек или узлов, и в большинстве случаев ячеек с разной ориентацией ребер и граней [198](Ushakova, 2004). В вариационном методе невырожденная сетка строится с помощью гомеоморфного отображения параметрической области V из пространства переменных . ■(в двумерном случае это квадрат или прямоугольник, а в трехмерном - куб или прямоугольный параллелепипед) с заданной квадратной (кубической) сеткой на физическую область из пространства переменных х=(а;1,.хп). Если отображение х(£): V—+Q, (Р, П - замыкания областей V, О) сохраняет ориентацию, т.е. оно гладкое, класса С1, и ^ якобиана отображения J=detx'(£) везде сохраняет знак, то оно может использоваться также и для построения криволинейной системы координат. Соответственно изначально ставилась задача поиска таких функционалов (или соответствующих им уравнений Эйлера), чтобы функции,доставляющие им минимум (являющиеся решением уравнений Эйлера)^обеспечивали гладкое гомеоморфное отображение параметрической области на физическую.

Для двумерного случая согласно теореме Радо (сформулирована в [180] (Rado, 1926) и доказана в [155](Kneser, 1926)) гармоническое отображение односвязной ограниченной области f2i на односвязную ограниченную выпуклую область Cl2 является диффеоморфизмом при условии заданного гомеоморфизма границы области dfti на dfh ■ Поскольку в общем случае физическая область Г2 невыпуклая, то на практике рассматривают гармоническое отображение £(х): где V - параметрический квадрат (прямоугольник) с заданной квадратной сеткой. Для этого отображения условия теоремы Радо выполнены. Для построения сетки в физической области £1 проводится замена переменных, уравнения Лапласа обращаются и решается задача Дирихле для квазилинейной системы дифференциальных уравнений с целью нахождения обратного гармонического отображения х(£):7В [201](Winslow, 1966) обращенные уравнения Лапласа применялись для построения неструктурированных треугольных сеток, а в [192](Thompson и др., 1974) для получения структурированных четырехугольных сеток. В литературе использование этой системы уравнений для построения сеток принято называть методом Winslow, а задаваемое ими отображение обратным гармоническим, см. [194](Thompson и др., 1985), [157](Knupp, Steinberg, 1993), ^¡(Иваненко, 1997), [169](Liseikin, 1999). Этот подход обеспечивает получение невырожденных сеток для довольно широкого класса областей'. В силу известных свойств уравнений Лапласа координатные линии криволинейной сетки получаются гладкими, а сама сетка квазиравномерной.

Однако, практика построения сеток показала, что для областей с гладкими, но сильно изогнутыми границами, см. [158](Knupp, Luczak), [16](Азаренок, 2009), использование обращенных уравнений Лапласа не обеспечивает получение невырожденных структурированных сеток при разумно приемлемом для практических вычислений количестве ячеек сетки, а качество невырожденных сеток является неудовлетворительным. Причина вырождения сеток состоит в ошибках аппроксимации квазилинейных дифференциальных уравнений, которые существенно возрастают в случае сильно изогнутых границ области [16](Азаренок, 2009). Если граница содержит направленные внутрь области изломы (острые углы), то при любой степени измельчения сетки четырехугольные ячейки вырождаются в окрестности направленных внутрь углов [157](Knupp, Steinberg, 1993), [44](Иваненко, 1997). В этом случае причина вырождения состоит в неустойчивости непрерывного отображения в окрестности особенностей границы области.

Для построения невырожденных структурированных сеток в двумерных областях в [42](Иваненко, Чарахчьян, 1988) был предложен вариационный барьерный метод. В нем аппроксимация функционала гладкости проводится таким образом, что при вырождении одного из четырех треугольников, на которые разбивается четырехугольная ячейка двумя диагоналями, площадь треугольника и, следовательно, якобиан линейного отображения, стоящий в знаменателе разностного функционала, стремятся к нулю, а сам функционал к бесконечности. Это является препятствием на пути вырождения четырехугольных ячеек в процессе минимизации дискретного функционала. Эта идея использовалась в [160](Knupp и др., 2002) при построении лагранжевых сеток с регулированием формы ячеек.

Другой важной задачей является дополнительный контроль за координатными линиями сетки, иными словами, за формой ячеек. Для этого в [29, 30](Годунов, Прокопов, 1967,1972) вводилась замена координат в параметрической области. Замену координат в параметрической области V иногда удобно представлять в виде использования криволинейной сетки в канонической области С (вместо квадратной в V) и отображение ее на О [194](Thompson и др., 1985). Эллиптические уравнения со второй пораматеризацией из [194], задаваемой локальным отображением, использовались, например, в [145](Hansen и др., 2004) для выглаживания сеток и в [153](Kaul, 2003), [199] (Villamizar и др., 2007) для управления сеточными линиями около границы области. Для управления сеточными линиями в [140](Годунов и др., 2007) использовалась суперпозиция двух отображений, квазиизометрического и конформного, а в [186](Spekreijse, 1999) композиция алгебраического и обратного гармонического отображений.

В [72] (Чарахчьян, 1999) с целью усиления контроля за формой ячеек в одном координатном направлении в качестве целевой разностной функции использовалась сумма разностного функционала гладкости из

42](Иваненко, Чарахчьян, 1988) и функция, зависящая от расстановки узлов по выделенному направлению. Использование управляющего метрического тензора вместе со свойством барьерности дискретного функционала позволило воспроизводить произвольно заданные невырожденные сетки в двумерных областях [46] (Иваненко, 2000).

Трехмерный случай оказался значительно сложнее двумерного. Непростым является вопрос о нахождении условий, при которых исследуемое гладкое отображение является гомеоморфизмом. Например, для гармонического отображения теорема Радо не обобщается на трехмерный случай, см. [166](Liao, Liu, 1995), [162](Laugesen, 1996), [120](Clement и др., 1996). До настоящего времени не получено (и, по-видимому, не существует) условия, которое является одновременно необходимым и достаточным, обеспечивающего невырожденность гексаэдральной ячейки (называемой также линейчатой), грани которой есть линейчатые поверхности второго порядка [69, 198](Ушакова, 2001,2004). Тем не менее^ важность проблемы построения структурированных трехмерных сеток в реальных сложных областях обусловила существенный прогресс вариационных методов, см. [143](Handbook of Grid Generation, 1999), [64](Сахабутдинов и др., 1989), [195](Thompson, 1987), [161](Knupp, 2003), [21, 70](Ушакова, 2003,2007), [9,15, 96])(Азаренок, 2006,2008). В [195] (Thompson, 1987) использовалась система эллиптических уравнений для получения блочных структурированных сеток с ортогонализа-цией около границы. В [161](Кпирр, 2003) рассматривался дискретный функционал, характеризующий качество метрики сетки, а в [21,70](Ушакова, 2003,2007) функционал, полученный суммированием функционалов равномерности и ортогональности с весовыми коэффициентами. В

146](Hansen и др., 2005) для выглаживания неструктурированных гек

4 1 саэдральных сеток используются уравнения Бельтрами, являющий :ся V уравнениями Эйлера функционала энергии для гармонических отображений между Римановыми многообразиями (теория гармонических отображений представлена, например, в [132], Eells, Lemaire, 1988, [184],

Schoen, Yau1, 1978). В [165](Lee, Soni, 2004) для этих целей использовались уравнения с управляющими коэффициентами, задаваемыми с помощью компонент метрического тензора дополнительного отображения из [194](Thompson и др., 1985). В [9,15,96](Азаренок, 2006,2008) был разработан вариационный барьерный метод построения гексаэдральных сеток с использованием функционала из [47] (Иваненко, 2003).

Как правило, при моделировании физического процесса существенное и резкое изменение физических параметров происходит на небольших участках рассматриваемой области. В этих зонах необходимо сильно измельчать сетку, для того чтобы получить численное решение с требуемой точностью. С другой стороны расчет на очень мелкой равномерной (или квазиравномерной) сетке для всей физической области привел бы к неоправданно большим затратам ресурсов ЭВМ, времени счета и оперативной памяти. Поэтому актуальным и важным разделом сеточных методов является построение адаптивных сеток, сгущающихся в зонах больших градиентов решения физической задачи. Вг настоящей работе рассматриваются только сетки с подвижными узлами. Такие методы позволяют сохранять регулярную структуру сетки, что, в свою очередь, существенно облегчает задачу аппроксимации дифференциальных уравнений, описывающих физический процесс. Описание некоторых методов построения адаптивных подвижных сеток и их приложения можно найти в монографиях [194](Thompson и др., 1985), [101](Baines, 1994), [44] (Иваненко, 1997), [143] (Handbook of Grid Generation, 1999), [169](Liseikin и др. 1999, 2005), [27](Гильманов, 2000), [49](Калиткин и др., 2005), [77](Advances in Grid Generation, 2007), обзорах [193] (Thompson, Warsi, 1982), [134](Eiseman, 1987), [144](Hawken и др., 1991), [54](Liseikin, 1996), [45](Иваненко, Прокопов, 1997), [191](Tang, 2005) и др.

В одномерном случае подход построения подвижных адаптивных сеток, основанный на оценке для ошибки (т.е. разности приближенного и точного решений) развивался, например, в [17] (Бахвалов, 1969),

41](Емельянов, 1994), [68](Тихонов, Горбунов, 1964), [108](DeBoor, 1973), [183](Rüssel, Christiansen, 1978), [168](Lipnikov, Shashkov, 2006).

Был предложен принцип равномерного распределения узлов, основанный на создании такого распределения узлов, чтобы некоторая положительная весовая функция, умноженная на шаг сетки, была равна коэффициенту (в частном случае константе), в свою очередь зависящему от решения физической задачи, см. [200](White, 1979), [130](Dwyer и др., 1980), [III](Brackbill, Saltzman, 1982), [134](Eiseman, 1987), [101](Baines, 1994).

Методы построения сеток, основанные на оценке ошибки аппроксимации, рассматривались, например, в [173] (Miller, Miller, 1981), [38](Дегтярев, Иванова, 1993), [49](Калиткин и др., 2005).

В [36,37,55](Самарский, Мажукин, и др. 1988, 1989, 1993), [51] (Ма-жукин, Королева, 2007) был предложен и использовался метод динамической адаптации сеток для нестационарных задач. Этот подход основан на преобразовании координат, в результате которого решается система дифференциальных уравнений, где неизвестными являются как искомые сеточные функции, так и координаты узлов подвижной сетки.

В двумерном случае развивался подход связанный с получением априорных оценок. Для линейных эллиптических задач это было сделано в работе [100](Babuska, Rheinbold, 1978). Но его применение для нелинейных задач затруднено тем что ошибка решения не ограничивается ошибкой невязки уравнения. Другой подход основан на оценках ошибки интерполяции [176](Oden и др., 1986). В одномерном случае находится ошибка, которая есть разность между линейной и квадратичной аппроксимациями решения на интервале сетки, при том что решение задано в узлах сетки. Шаг "оптимальной" сетки находится из условия постоянства ошибки интерполяции решения на каждом интервале. Это требует вычисления вторых производных от искомого решения задачи и такая процедура была предложена в [205](Zienkiewicz, Morgan, 1983). Данный метод обобщается на многомерный случай, см., например, [78](Ait-Ali

Yahia и др., 1996), [143, Chapt. 35](Handbook of Grid Generation, 1999).

Принцип равномерного распределения узлов сетки вдоль каждой из координат для уравнений Пуассона из [192](Thompson и др., 1974) с весовыми коэффициентами был предложен в двумерном случае для построения адаптивных сеток в [79, 80](Anderson, 1987, 1990). На трехмерные адаптивные сетки эта идея была обобщена в [81](Anderson, Munipalli, 1996) с использованием функции Грина.

В [75](Яненко и др., 1977) для построения адаптивных сеток в задачах газовой динамики был предложен функционал, сочетающий меру близости сетки к лагранжевой, меру деформации и меру концентрации сетки. В [129](Dvinsky, 1991) было предложено использовать теорию гармонических отображений многообразий для построения двумерных адаптивных сеток. Эта идея с использованием различных функций при конструировании мониторной метрики применялась в [190] (Tang, Tang, 2003). В [112](Brackbbill, 1993) построение адаптивных сеток выводилось из вариационной формулировки диффузионного метода [202](Winslow, 1981) и функционала с управлением по направлениям. Принцип равномерного распределения ошибки применялся, например, в [l02](Baines, 1998), [113](Rüssel и др., 1999) и др. В [20](Дегтярев и др., 2001) использовался функционал в виде комбинации функционалов ортогональности и адаптации сетки. В [114](Rüssel и др., 2002), [103] (Baines и др., 2004) рассматривался закон сохранения площади области для получения скорости движения узлов сетки. В [23](Бураго, 2004) для адаптации сетки к решению было предложено использовать уравнения нелинейной термоупругости. В [53,169](Liseikin, 1991,1999)^было предложено для построения адаптивных сеток функционал^ зависящий от отношения инвариантов метрического тензора, записывать на графике поверхности мониторной функции или мониторном многообразии. В [43,44](Иваненко, 1993,1997) рассматривался алгоритм минимизации дискретного аналога для этого функционала в двумерном и трехмерном случаях. В [46,47](Иваненко, 2000,2003,2004) было предложено в функционале, записанном на мониторном многообразии из [53](Liseikin, 1991), использовать дополнительное отображение для управления формой ячеек. В [5, 89](Азаре-нок, 2002,2003) рассматривался способ движения узлов по граничному контуру физической области, использующий процедуру условной минимизации дискретного функционала из [53](Liseikin, 1991) в двумерном случае. В [197] (Tu, Thompson, 1991) использовались уравнения Пуассона из [194](Thompson и др., 1985) с управляющей функцией для построения блочно-структурированных гексаэдральных адаптивных сеток. В [142](Hagmeijer, 1994) было предложено адаптировать сетку в параметрической области. Деформационный метод для расчета двумерных сеток был предложен в [106](Bochev и др., 1996), а его модификация с использованием линий уровня была рассматривалась и применялась для двумерных и трехмерных сеток в [167](Liao и др., 2000). В [175](Nakahashi, Deiwert, 1986) трехмерные адаптивные сетки строились на основе принципа равномерного распределения, когда наряду с контролем положения узлов в пространстве посредством весовых функций использовался контроль за скошенностью сетки с помощью механической модели, в которой узлы сетки связаны пружинами, работающими на растяжение и изгиб. В [12,14,99](Азаренок, 2007,2008) был разработан метод построения трехмерных адаптивных сеток с использованием функционала из [47,149](Иваненко, 2003, Ivanenko 2004).

Существующее алгоритмы построения гексаэдральных сеток, реализованные в виде промышленных программных продуктов, не являются / 7 надежными/В областях сложной формы, с меняющейся в процессе мо/ делирования геометриеи, они генерируют вырожденные сетки, на которых не представляется возможным проводить моделирование физических задач. Поэтому существует необходимость в разработке надежных X и универсальных сеточных алгоритмов для построения сеток с заданной формой гексаэдральных ячеек^Этим требованиям отвечают предложенные в диссертации методы построения сеток на основе вариационного ч подхода.

- л « 18

Численное моделирование распространения детонационных волн в газе имеет свои трудности, поскольку ширина зоны реакции значительно меньше характерного размера счетной области. Для разрешения зоны горения потребовалось бы использовать квазиравномерную разностную сетку с десятками и даже сотнями тысяч узлов в направлении движения волны. В [73](Черкашин, 1974) при расчете без выделения фронта детонации на грубых сетках энерговыделение, имитирующее процесс детонации, производилось в точках области по критерию равенства внутренней энергии продуктов взрыва энергии в точке Жуге. При этом правильная скорость "размазанной" детонационной волны автоматически не формируется. При выделении фронта волны ее скорость определялась точно, но при этом необходимо было проводить расчеты в области с изменяющимися границами, т.е. на подвижных сетках. Здесь использовалась схема С.К.Годунова первого порядка аппроксимации, см. [32](Годунов и др., 1976). В [118](Chorin, 1976) выделение химической энергии учитывалось при решении задачи о распаде разрыва. В [39] (Дерюгин и др., 1990) моделирование одномерного движения волны проводилось на лагранжевой сетке методом С.К.Годунова. Одним из распространенных алгоритмов расчета является метод дробных шагов, когда на первом шаге вычисления проводятся на основе уравнений движения идеального газа, а на втором решается обыкновенное дифференциальное уравнение для уравнения химической кинетики, см., например, [39](Дерюгин и др., 1990), [109](Bourlioux и др., 1990), [122](Colella и др., 1986), [105](Ben-Artzi, 1989), [147](Hwang и др., 2000), [178](Pember R.B., 1993), [179](Quirk, 1994), [196](Ton, 1996). Во всех указанных работах расчет проводился на основе схем типа Годунова, т.е. с использованием решения задачи о распаде разрыва. Некоторые другие алгоритмы приведены в монографии [177](Oran, Boris, 1987).

Для более точного расчета детонационных волн следует измельчать разностную сетку. В целях экономии времени счета можно проводить измельчение сетки локально в областях больших градиентов параметров течения. Для этого требуется, во-первых, уметь считать на подвижной сетке, поскольку расчет на фиксированной сетке с последующей переинтерполяцией параметров течения на подвижную сетку на каждом временном шаге приводит только к ухудшению точности решения даже по сравнению с расчетами на фиксированной сетке. Во-вторых, нужно уметь конструировать адаптивную сетку, узлы которой сгущаются 1 к особенностям решения: ударным волнам, контактным разрывам, зонам горения и т.д. При моделировании газодинамических течений на подвижных сетках, включая адаптивные, необходимо использовать консервативные численные схемы расчета. В диссертации рассматривается консервативная численная схема расчета двумерного нестационарного течения газа с выделением тепла на подвижных сетках.

При расчете реальных задач, в частности гидродинамических течений, часто возникает потребность в некоторый момент времени перейти от вычислений на одной сетке к расчету на другой. Для этого разрабатываются специальные алгоритмы консервативной интерполяции. В двумерном случае такие работы осуществлялись, например, в [124](Вико-шсг, 1984), [181](Ramshaw, 1985). В трехмерном случае для интерполяции с одной гексаэдральной сетки на другую в [126](Вико"шсг, РасИа1, 1991) был предложен метод второго порядка точности. Интерполяционная задача сводилась к построению фигуры пересечения гекса-эдральных ячеек старой и новой сеток. Линии пересечения линейчатых поверхностей в пространстве находились при решении дифференциальных уравнений. Эти уравнения могут иметь особенности в областях, где грани ячеек старой и новой сеток пересекаются и почти параллельны, в местах соприкосновения граней и т.д. В [141](Сгапс1у, 1999) гексаэдраль-ная ячейка заменялась 24-гранником с треугольными гранями, имеющим такой же объем. 24-гранник делился на 48 тетраэдров и определялись объемы фигур пересечения каждого из 48 тетраэдров новой ячейки с каждым из 48 тетраэдров старой ячейки. Этот интерполяционный метод имеет первый порядок точности. В диссертации рассматривается алгоритм консервативной интерполяции при замене гексаэдральной ячейки на два 12-гранника с треугольными гранями. [10,13, 94, 98](Азаренок, 2005-2008).

Целью работы является: разработка вариационного метода построения гексаэдральных сеток в областях со сложной геометрией с возможностью управления формой ячеек для использования в реальных физических и инженерных приложениях; разработка вариационного метода построения подвижных адаптивных гексаэдральных сеток, подстраивающихся к особенностям решения моделируемой задачи; разработка численного метода решения задач двумерного нестационарного течения невязкого газа, в том числе при наличии химической реакции, на подвижных сетках и его применение; разработка метода консервативной интерполяции с одной гексаэдральной сетки на другую.

Основные результаты диссертации:

1) Разработан новый вариационный метод построения структурированных сеток в пространственных областях со сложной геометрией.

2) Показано, что используемый функционал является универсальным. При минимизации этого функционала можно воспроизвести любое заданное невырожденное отображение, а на дискретном уровне любую заданную невырожденную сетку.

3) Предложен новый способ аппроксимации функционала на 10 тетраэдрах для каждой гексаэдральной ячейки. Предложены новые приближенные условия невырожденности гексаэдральной ячейки, которые в практических расчетах обеспечивают невырожденность гексаэдраль-ных ячеек сетки.

4) Показано, что дискретный функционал обладает бесконечным барьером на границе множества невырожденных сеток, что препятствует вырождению сетки в процессе минимизации функционала.

5) Предложен метод расстановки узлов на границе области, заключающийся в условной минимизации функционала.

6) Предложены метод ортогонализации и заданного сгущения сетки около границы области, а также способ сглаживания сеточных линий соседних блоков сетки, основанные на использовании свойства универсальности функционала.

7) Разработан новый вариационный метод построения подвижных адаптивных гексаэдральных сеток для численного моделирования физических процессов.

8) На основе предложенной трехточечной модели адаптации проведен теоретический анализ свойств дискретных функционалов в одномерном, двумерном и трехмерном случае при наличии разрывов у мониторной функции. Анализ показал необходимость замораживания производных от мониторной функции при минимизации функционала.

9) Показана несогласованность двумерного и одномерного функционала при построении двумерных адаптивных сеток, а также трехмерного и двумерного функционала при построении трехмерных адаптивных сеток. Для осуществления согласованной расстановки узлов адаптивной сетки внутри области и на ее границе, предложено использовать метод условной минимизации функционала.

10) Разработан численный метод расчета двумерных нестационарных газодинамических течений с выделением химической энергии на подвижных сетках.

11) Разработан новый алгоритм консервативной интерполяции на гексаэдральных сетках.

12) Предложен оптимальный алгоритм перебора ячеек сетки, позволяющий значительно сократить число операций и время счета.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации предложены вариационные методы построения гексаэд-ральных регулярных сеток и адаптивных подвижных сеток в областях со сложной реальной геометрией для математического моделирования физических процессов. Сетка строится с помощью реализации гомеоморф-ного кусочно-гладкого отображения, являющегося склейкой гомеоморф-ных гладких отображений каждой ячейки из параметрической области в соответствующую ячейку из физической области. Использование топологических теорем позволило сформулировать условия невырожденности сетки через условия невырожденности для каждой из ее ячеек. Барьерное свойство дискретного функционала обеспечивает невырожденность сетки в процессе минимизации, что позволяет автоматизировать алгоритм, сводя к минимуму ручное управление пользователем процесса построения сетки. Использование управляющей метрики позволяет получить произвольную заданную невырожденную сетку, т.е. осуществлять дополнительный контроль за формой ячеек сетки. В частности строить ортогональные сетки в окрестности границы со сгущением координатных поверхностей. При конструировании многоблочных сеток, он позволяет гладко сопрягать координатные линии сеток соседних блоков.

Метод построения адаптивных сеток является эффективным вычислительным инструментом при моделировании физических явлений, позволяя значительно повысить точность численного решения в локальных областях резкого изменения физических величин без увеличения ресурсов ЭВМ, памяти и быстродействия. Эффективность адаптивных сеток продемонстрирована на примере решения ряда задач о двумерном течении невязкого газа, в том числе при наличии выделения химической энергии, приводящего к возникновению детонационных волн. Для решения такого рада задач был разработан численный метод расчета на подвижных сетках.

Разработан алгоритм консервативной интерполяции на гексаэдраль-ных сетках, который, например, может использоваться при решении задач гидродинамики, когда требуется перейти от использования одной разностной сетки к другой. Алгоритм реализован в виде комплекса программ и внедрен в заинтересованную организацию, что позволило провести численное моделирование ряда задач многокомпонентной гидродинамики.

1. АзаренокБ.Н. Об одной реализации схемы С.К.Годунова высокого порядка аппроксимации. М.: ВЦ РАН. 1997. 22 С.

2. Азаренок Б.Н., Иваненко С.А. О применении адаптивных сеток для численного решения нестационарных задач газовой динамики//Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2000. Т. 40. №9. С. 1386-1407.

3. АзаренокБ.Н. Расчет задачи о взрыве на подвижной адаптивной сетке//Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2003. Т.43. №6. С.856-865.

4. АзаренокБ.Н. О применении вариационного барьерного метода в гиперболических задачах газовой динамики//Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2003. Т. 43. №7. С. 1072-1096.

5. АзаренокБ.Н. О расчете течений газа с детонационными волнами на подвижных адаптивных сетках. Тр. всероссийской конф. "Прикладная геометрия, построение расчетных сеток и высокопроизводительные вычисления". М.: ВЦ РАН. 2004. Т. 1. С. 87-96.

6. АзаренокБ.Н. Об одной схеме расчета детонационных волн на подвижных сетках//Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2005. Т. 45. №12. С. 2260-2282.

7. АзаренокБ.Н. Об одном вариационном методе построения пространственных сеток. М.: ВЦ РАН. 2006. 51 с.

8. АзаренокБ.Н. Алгоритм консервативной интерполяции на гекса-эдральных сетках. М.: ВЦ РАН. 2006. 58 С.

9. АзаренокБ.Н. К вопросу о построении гексаэдральных сеток// Тр. Всероссийской конф. "Численная геометрия, построение расчетных сеток и высокопроизводительные вычисления". М.: ВЦ РАН. 4-7 июля 2006г. С. 100-107.

10. АзаренокБ.Н. О построении подвижных адаптивных пространственных сеток. М.: ВЦ РАН. 2007. 50 с.

11. АзаренокБ.Н. Об одном методе консервативной интерполяции на гексаэдральных сетках//Мат. Моделирование. 2008. Т. 20. №2. С.59-75.

12. АзаренокБ.Н. Вариационный метод построения пространственных адаптивных сеток//Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2008. Т. 48. №5. С. 100-119.

13. АзаренокБ.Н. Вариационный метод построения гексаэдральных сеток с управляющей метрикой//Матем. моделирование. 2008. Т. 20. №9. С. 3-22.

14. АзаренокБ.Н. Вариационный метод построения пространственных сеток//Энциклопедия низкотемпературной плазмы. Математическое моделирование в низкотемпературной плазме. Янус-К. Москва. 2008. Часть I. Раздел III. Глава 5. С. 265-284.

15. АзаренокБ.Н. О построении структурированных сеток в двумерных невыпуклых областях с помощью отображений//Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2009. Т.48. № 5. С. 826—839.

16. Бахвалов Н.С. К оптимизации методов решения краевых задач при наличии пограничного слоя//Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1969. Т. 9. № 4. С.841-859.

17. Белинский П.П., Годунов С.К., Иванов Ю.Б., ЯненкоИ.К. Применение одного класса квазиконформных отображений для построения разностных сеток в областях с криволинейными граница-ми//Журнал вычисл. матем. и матем. физ. 1975. Т. 15. №6. С. 1499-1511.

18. Бобылев H.A., Иваненко С.А., КазунинА.В. О кусочно-гладких го-меоморфных отображениях ограниченных областей и их приложениях к теории сеток//Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2003. Т. 43. № 6. С. 808-817.

19. Богомолов К.JL, Дегтярев JI.M., ТишкинВ.Ф. Вариационный метод построения высокоаспектных регулярных адаптивных се-ток//Матем. Моделирование. 1999. Т. 13. № 5. С. 11-28.

20. БронинаТ.Н., ГасиловаИ.А., Ушакова О.В. Алгоритмы построения трехмерных структурированных сеток//Журнал вычисл. матем. и матем. физики. 2003. Т. 43. № 6. С. 875-883.

21. БронинаТ.Н., Ушакова О.В. Расчеты трехмерных структурированных сеток в конфигурациях с особенностями//Тр. Всероссийск. конф. "Численная геометрия, построение расчетных сеток и высокопроизводительные вычисления". М.: ВЦ РАН. 4-7 июля 2006г. С. 190-199.

22. БурагоН.Г., Иваненко С.А. О применении уравнений нелинейной термоупругости к генерации адаптивных сеток//Тр. всерос. копф. "Прикладная геометрия, построение расчетных сеток и высокопроизводительные вычисления". М.: ВЦ РАН. 2004. Т. 1. С. 107-118.

23. Вабищевич П.Н. Адаптивные сетки составного типа в задачах математической физики//Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1989. Т. 29. № 6. С.902-914.

24. Вабищевич П.Н. Численное решение эллиптических краевых задач на составных сетках//Матем. моделирование. 1991. Т. 3. №8. С. 112-123.

25. ГаранжаВ.А., КапоринИ.Е. Регуляризация барьерного вариационного метода построения разностных сеток//Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1999. Т. 39. № 9. С. 1489-1503.

26. Гильманов А.Н. Методы адаптивных сеток в задачах газовой динамики. М.: Наука. Физматлит. 2000. 248 с.

27. ГлассерФ., КитаеваИ.А., ЛисейкинВ.Д. Контролирование свойств разностных сеток с помощью мониторной метрики//Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2005. Т. 45. №8. С. 1466-1483.

28. Годунов С.К., Прокопов Г.П. О расчетах конформных отображений и построении разностных сеток//Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1967. Т. 7. № 5. С. 1031-1059.

29. Годунов С.К., Прокопов Г.П. Об использовании подвижных сеток в газодинамических расчетах//Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1972. Т. 12 № 2. С. 429-440.

30. Годунов С.К. Разностный метод численного расчета разрывных решений уравнений гидродинамики//Матем. сб. 1959. Т. 47. Вып. 3. С. 271-306.

31. Годунов С.К., Забродин A.B., Иванов М.Я., КрайкоА.М., Прокопов Г.П. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М.: Наука. 1976.

32. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М.: Наука, 1977.

33. Годунов С.К., ГордиенкоВ.М., Чумаков .Г.А. Квазиизометрическая параметризация криволинейного четырехугольника и метрика постоянной кривизны. Siberian Advances in Mathematics. 1995. Т. 5. № 2. С. 1-20.

34. Годунов C.K. Воспоминания о разностных схемах. Новосибирск: Научн. книга. 1997.

35. ДарьинН.А., МажукинВ.И. Об одном подходе к построению адаптивных сеток для нестационарных задач//Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1988. Т. 28. № 3. С. 454-460.

36. Дарьии H.A., Мажукин В.И. Математическое моделирование нестационарных двумерных краевых задач на сетках с динамической адаптацией//Мат. моделирование. 1989. Т. 1. № 3. С. 29-43.

37. Дегтярев JI.M., ИвановаТ.С. Метод адаптивных сеток в одномерных нестационарных задачах конвекции-диффузии//Дифф. уравнения. 1993. Т. 29. № 7. С. 1179-1192.

38. Дерюгин Ю.Н., КопышевВ.П., ПрошинМ.М., Тихомиров Б.П. К расчету детонации по модели Forest Fire методом Годунова// Вопр. ат. науки и техн. М., 1990. Т. 1. С. 48-52.

39. Зельдович Я.Б., Компанеец A.C. Теория детонации. М.: Гостехиз-дат. 1955.

40. Емельянов К.В. Применение оптимальных разностных сеток к решению задач с сингулярным возмущением//Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1994. Т.34. № 6. С. 936-943.

41. Иваненко С.А., Чарахчьян A.A. Криволинейные сетки из выпуклых четырехугольников//Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1988. Т 28. № 4. С. 503-514.

42. Иваненко С.А. Адаптивные сетки и сетки на поверхностях//Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1993. Т. 33. № 9. С. 1333-1351.

43. Иваненко С.А. Адаптивно-гармонические сетки. М.: ВЦ РАН. 1997.

44. Иваненко С.А., Прокопов Г.П. Методы построения адаптивно-гармонических сеток//Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1997. Т. 37. № 6. С. 643-662.

45. Иваненко С.А. Управление формой ячеек в процессе построения сеток//Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2000. Т. 40. № 11. С. 16621684.

46. Иваненко С.А. Вариационные методы построения сеток//Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2003. Т. 43. № 6. С. 830-844.

47. Иванов М.Я., Корецкий В.В., Курочкина Н.Я. Исследование свойств разностных схем сквозного счета второго порядка ап-проксимации//Числепные методы механики сплошной среды. 1980. Т.Н. №2. С.41-63.

48. Калиткин H.H., АлыпинА.Б., АлыпинаЕ.А., Рогов Б.В. Вычисления на квазиравномерных сетках. М.: Физматлит. 2005.

49. КолганВ.П. Применение принципа минимальных значений производной к построению конечноразностных схем для расчета разрывных решений газовой динамики//Уч. зап. ЦАГИ. 1972. Т. 3. № 6. С. 68-77.

50. Королева О.Н., МажукинВ.И. Математическое моделирование лазерного плавления и испарения многослойных материалов///Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2007. Т. 47. № 5. С. 887-901.

51. КотеровВ.Н. Построение пространственных сеток в многоступенчатых турбинах с использованием вариационного барьерного мето-да//Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2005. Т. 45. № 8. С. 1375-1383.

52. ЛисейкинВ.Д. О построении структурированных сеток на п-мер-ных поверхностях//Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1991. Т. 31. № 11. С. 1670-1683.

53. ЛисейкинВ.Д. Обзор методов построения структурных адаптивных сеток//Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1996. Т. 36. № 1. С. 3-41.

54. МажукинВ.В., Самарский A.A., КастельяносО., ШапрановА.В. Метод динамической адаптации для нестационарных задач с большими градиентами//Матем. Моделирование. 1993. Т4. №4. С.32-56.

55. МихалинВ.А. Модификация параболического генератора сеток// Вопросы атомной науки и техники, сер. Мат. модел. физ. проц. № 1-2. 1995. С. 91-94.

56. Прокопов Г.П. О расчете разностных сеток, близких к ортогональным, в областях с криволинейными границами. Препринт № 17. М.: ИПМ АН СССР. 1974.

57. Прокопов Г.П. Некоторые общие вопросы конструирования алгоритмов построения разностных сеток//Вопросы атомной науки и техники, сер. Методики и программы числ. реш. задач матем. физ. № 1. 1998. С. 3-13.

58. Прокопов Г.П. Об организации сравнения алгоритмов и программ построения регулярных сеток//ВАНТ, 1989. Сер. Мат. моделир. физ. процессов. Вып. 3. С. 98-108.

59. Прокопов Г.П. Методология вариационного подхода к построению квазиортогональных сеток.//ВАНТ, 1998. Сер. Мат. моделир. физ. процессов. Вып. 1. С. 37-46.

60. Прокопов Г.П. Универсальные вариационные функционалы для построения двумерных сеток//Препринт ИПМ РАН. 2001. № 1. 36 С.

61. Прокопов Г.П. Реализация вариационного подхода к расчету двумерных сеток в нестационарных задачах//Препринт ИПМ РАН. 2005. № 116. 36 С.

62. Родионов A.B. Монотонная схема второго порядка аппроксимации для сквозного расчета неравновесных течений//Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1987. Т.27. № 4. С. 585-593.

63. Сахабутдинов Ж.М., Петров Г.А., Майгурова C.B. Построение и оптимизация трехмерных криволинейных сеток//Вопр. атомной науки и техники. Сер. Матем. моделир. физических процессов. 1989. Вып. 1. С. 9-18.

64. Сидоров А.Ф. Об одном алгоритме расчета оптимальных разностных сеток//Тр. Матем. ин-та АН СССР. М. 1966. Т. 74. С. 147-151.

65. Сидоров А.Ф., ШабашоваТ.И. Об одном методе расчета оптимальных разностных сеток для многомерных областей//Числ. методы мех. спл. среды. 1981. Т. 12. № 5. С. 106-124.

66. Сидоров А.Ф., Ушакова О.В., ХайрулинаО.Б. Вариационные методы построения оптимальных сеток//Екатеринбург. Ин-т Матем. и Мех. УрО РАН. 1997. 50 С.

67. Тихонов А.Н., Горбунов А.Д. Оценки погрешности методов Рунге-Кутта и выбор оптимальных сеток//Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1964. Т 4. № 2. С.232-242.

68. Ушакова О.В. Условия невырожденности трехмерных ячеек. Формула для объема ячеек//Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2001. Т. 41. № 6. С. 881-894.

69. Ушакова О.В. Метод построения трехмерных оптимальных сеток. Дис. . д-ра физ.-мат. наук. Ин-т Математики и Механики УрО РАН. Екатеринбург. 2007.

70. Ушакова О.В. Классификация шестигранных ячеек//Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2008. Т. 48. № 8. С. 1-24.

71. Чарахчьян A.A. Эллиптический сеточный генератор на базе квазиодномерных сеток//Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1999. Т. 39. № 5. С. 832-837.

72. ЧеркашинВ.А. Численное моделирование детонационных волн//М.: ИПМатем. РАН, 1974.

73. ШокинЮ.И., ЛисейкинВ.Д., Лебедев A.C., ДанаевН.Т., Китае-ваИ.А. Методы римановой геометрии в задачах построения сеток. Новосибирск: Наука. 2005.

74. ЯненкоН.Н., ДанаевН.Т., ЛисейкинВ.Д. О вариационном методе построения сеток//Числен, методы механ. сплошн. среды. Новосибирск. 1977. Т. 8. № 4. С. 157-163.

75. AkcelikV., JaramazB., GhattasO. Nearly orthogonal two-dimensional grid generation with aspect ratio control//J. Comput. Phys. 2001. V. 171. P. 805-821.

76. Advances in Grid Generation. UshakovaO.V. (Ed.), Nova Science Publishers. New York. 2007.

77. Ait-Ali-YahiaD., HabashiW.G., TamA. A directionally adaptive methodology using an edge-based error estimate on quadrilateral grids//International Journal for Numerical Methods in Fluids. 1996. V. 23. P. 673-690.

78. Anderson D.A. Equidistribution schemes, Poisson generators, and adaptive grids//Appl. Math. Comput. 1987. V. 24. P. 211-227.

79. Anderson D.A. Grid cell volume control with an adaptive grid generator//Appl. Math. Comput. 1990. V. 35. P. 209-217.

80. Anderson D.A., MunipalliR. An adaptive grid scheme using the boundary element method//J. Comput. Phys. 1996. V. 127. P. 452463.

81. AscoliE.P., Dandy D.S., LealL.G. On distortion functions for the strong constraint method of numerically generating orthogonal coordinate grids//J. Comput. Phys. 1987. V. 72. P. 513-519.

82. AltasL, ErhelJ., GuptaM.M. High accuracy solution of three-dimensional biharmonic equations//Num. Algorithms. 2002. V. 29. P. 1-19.

83. AzarenokB.N. Realization of a second-order Godunov's method// Comput. Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2000. V. 189. № 3. P. 1031-1052.

84. AzarenokB.N., IvanenkoS.A. Application of moving adaptive grids for simulation of supersonic gas flow//Comput. Fluid Dynamics Journ. Japan. 2001. V. 10. № 3. P. 400-404.

85. Azarenok B.N. Adaptive moving grids in problem of gas dynamics, Grid Generation: New Trends and Applications in Real-World Simulations. Материалы мииисимпозиума международной конференции OFEA-2001. 25-29 июня 2001, С.-Петерб. С. 30-44, М.: ВЦ РАН 2001.

86. AzarenokB.N. Variational barrier method of adaptive grid generation in hyperbolic problems of gas dynamics//SIAM J. Numer. Anal. 2002. V. 40. № 2. P. 651-682.

87. AzarenokB.N. Application of moving adaptive meshes in hyperbolic problems of gas Dynamics. Построение Расчетных Сеток: Теория и Приложения. Тр. Семинара. 24-28 июня 2002г. М.: ВЦ РАН. С. 169176.

88. AzarenokB.N., IvanenkoS.A., TangT. Adaptive mesh redistribution method based on Godunov's scheme//Comm. Math. Sci. 2003. V. 1. № 1. P. 152-179.

89. AzarenokB.N., TangT. Second-order Godunov-type scheme for reactive flow calculations on moving meshes//Report. http:// www.math.ntnu.no/conservation/2003/043.html

90. AzarenokB.N., TangT. Second-order Godunov-type scheme for reactive flow calculations on moving meshes//J. Comp. Phys. V. 206. Issue 1. 2005. P. 48-80.

91. AzarenokB.N. A variational hexahedral grid generator with control metric//J. Comp. Phys. V. 218. Issue 2. 2006. P. 720-747.

92. AzarenokB.N., IvanenkoS.A. Grid optimization and adaptation. In: Advances in Grid Generation. (Ushakova O.V. ed.). Nova Science Publishers. New York. 2007. Chapt. 4. P. 85-125.

93. AzarenokB.N. Conservative remapping on hexahedral meshes. In: Advances in Grid Generation. (Ushakova O.V. ed.). Nova Science. New York. 2007. Chapt. 12. P. 337-379.

94. AzarenokB.N. A method of constructing adaptive hexahedral moving grids//J. Comp. Phys. V. 226. Issue 1. 2007. P. 1102-1121.

95. Babuskal., Rheinbold W.C. A-posteriory error estimates for the finite element method//Intern. J. Numer. Meth. Engrg. 1978. V. 12. P. 15971615.

96. BainesM.J. Moving Finite Elements. Clarendon Press, Oxford, 1994.

97. BainesM.J. Grid adaptation via node movement//Applied Numer. Mathem. 1998. V. 26. P. 77-96.

98. BainesM.J., HubbardM.E., JimackP.K. A moving mesh finite element algorithm for the adaptive solution of time-dependent partial differential equations with moving boundaries//Appl. Numer. Math. 2005. V. 54. P. 450-469.

99. Bell J.B., ShubinG.R., Stephens A.B. A segmentation approach to grid generation using biharmonics//J. Comput. Phys.l982.V.47. P.463-472.

100. Ben-ArtziM. The generalized Riemann problem for reactive flows// J. Comput. Phys. 1989. V. 81. P. 70-101.

101. BochevP., LiaoG., dela PenaG. Analysis and computation of adaptive moving grids by deformation//Numerical Methods for Partial Differential Equations. 1996. V. 12. P. 489.

102. BourliouxA., MajdaA.J., Roytburd V. Theoretical and numerical structure for unstable one-dimensional detonations//SIAM J. Appl. Math. 1991. V. 51. №. 2. P. 303-343.

103. DeBoorC. Good approximation by splines with variable knots II. Conference on numerical solution of differential equations. Lecture Notes in Mathematics. 1973. N 363. Berlin. Springer-Verlag. P. 12-20.

104. BourliouxA., MajdaA.J., Roytburd V. Theoretical and numerical structure for unstable one-dimensional detonations// SI AM J. Appl. Math. 1991. V. 51. №. 2. P. 303-343.

105. BourliouxA., MajdaA.J. Theoretical and numerical structure for unstable two-dimensional detonations//Combustion and Flame. 1992. V. 90. P. 211-229.

106. Brackbill J.U., Saltzman J.S. Adaptive zoning for singular problems in two dimensions//J. Comput. Phys. 1982. V. 46. № 3. P. 342-368.

107. Brackbill J.U. An adaptive grid with directional control//J. Comp. Phys. 1993. V. 108 № 1. P. 38-50.

108. CaoW.M., Huang W.Z., RusselR.D. A study of monitor functions for two dimensional adaptive mesh generation//SIAM J. Sci. Comput. 1999. V. 20. P. 1978-1994.

109. CaoW.M., HuangW.Z., RusselR.D. A moving mesh method based on the geometric conservation law//SIAM J. Sci. Comput. 2002. V. 24. № 1. P. 118-142.

110. Castillo J.E. Discrete variational grid generation//in Mathematical Aspects of Numerical Grid Generation. (Castillo J.E. Ed.). SIAM. Philadelphia. 1991. Chapter 4. P. 35-58.

111. Chakravarty S., Anderson D. Numerical conformal mapping//Math. Comp. 1979. V. 33. P. 953-969.

112. Chen Y., JiangS. An Optimization-Based Rezoning for ALE Methods//Commun. Comput. Phys. 2008. V. 4. №. 5. P. 1216-1244.

113. ChorinA.J. Random choice solution of hyperbolic systems// J. Comput. Phys. 1976. V. 22. P. 517-531.

114. Chumakov G.A., Chumakov S.G. A Method for the 2-D Quasi-Isometric Regular Grid Generation//J. Comput. Phys. 1998. V. 143. P. 1-28.

115. Clément Ph., HagmeijerR., SweersG. On the invertibility of mappings arising in 2D grid generation problems//Numerische Mathematik. 1996. V. 73. P. 37-51.

116. ColellaP., Woodward P.R. The numerical simulation of two-dimensional fluid flow with strong shocks//J. Comput. Phys. 1984. V. 54. № 1. P. 115-173.

117. ColellaP., MajdaA.J., RoytburdV. Theoretical and numerical structure for reacting shock waves//SIAM J. Sci. Statist. Comput. 1986. V. 7. P. 1059-1080.

118. De Almeida V.F. Domain Deformation Mapping: Application to Variational Mesh Generation//SIAM J. Sci. Comput. 1999. V. 20.4. P. 1252-1275.

119. DukowiczJ.K. Conservative rezoning (remapping) for general quadrilateral meshes//J. Comp. Phys. 1984. V. 54. P. 411-424.

120. DukowiczJ.K. Efficient volume computation for three-dimensional hexahedral cells//J. Comp. Phys. 1988. V. 74. P. 493-496.

121. DukowiczJ.K., PadialN.T. REMAP3D: A conservative three-dimensional remapping code. Los Alamos report. 1991.

122. Dulikravich G.S., KennonS.R. Generation of computational grids using optimization//AIAA Journal. 1986. № 7. P. 1069-1073.

123. Duraiswami R., ProsperettiA. Orthogonal mapping in two dimensions//J. Comput. Phys. 1992. V. 98. P. 254-268.

124. DvinskyA.S. Adaptive grid generation from harmonic maps on Riemannian manifolds//J. Comput. Phys. 1991. V. 95. P. 450-476.

125. DwyerH.A., SmookeM.O., KeeR.J. Adaptive grid method for problems in fluid mechanics and heat transfer//AIAA J. 1980. V. 18. P. 1205-1212.

126. EgaL. 2D orthogonal grid generation with boundary point distribution control//J. Comput. Phys. 1996. V. 125. P. 440-453.

127. EellsJ.E., LemaireL. Another report on harmonic maps. Bulletin of the London Mathematical Society. 1988. V. 20. №. 86. P. 387-524.

128. EisemanP.R. Grid generation for fluid mechanics computations//Ann. Rev. Fluid Mech. 1985. V. 17. P. 487-522.

129. EisemanP.R. Adaptive grid generation//Comput. Methods in Appl. Mech. and Engineering. 1987. V. 64. P. 321-376.

130. ErpenbeckJ.J. Stability of idealized one-reaction detonations//Phys. Fluids. 1964. V. 7. P. 684-696.

131. Fickett W., WoodW.W. Flow calculations for pulsating one-dimensional detonations//Phys. Fluids. 1966. V. 9. P. 903-916.

132. Fickett W., Davis W.C. Detonation. Berkeley. CA: Univ. of California Press. 1979.

133. FreyP.J., George P.L. Mesh Generation: Application to Finite Elements. Hermes. Paris. 2000.

134. GarimellaR.V., ShashkovM.J., Vachal P. Untangling of 2D meshes in ALE simulations//J. Comput. Phys. 2004. V. 196. P. 627-644.

135. GodunovS.K., ZhukovV.T., FeodoritovaO.V. On one class of quasi-isometric grids. In: O.V. Ushakova (Ed.). Advances in Grid Generation. Nova Science Publishers. New York. 2007. Chapter 2. P. 53-69.

136. Grandy J. Conservative remapping and regions overlays by intersecting arbitrary polyhedra//J. Comp. Phys. 1999. V. 148. P. 433-466.

137. HagmeijerR. Grid adaptation based on modified anisotropic diffusion equations formulated in the parametric domain//J. Comput. Phys. 1994. V. 115. P. 169-183.

138. Handbook of Grid Generation (Thompson J.F., SoniB.K., WeatherillN.P. Eds.). CRC Press. Boca Raton. FL. 1999.

139. HawkenD.F., Gottlieb J. J., Hansen J.S. Review of some adaptive node-movement techniques in finite-element and finite-difference solutions of partial differential equations//J. Comput. Phys.l991.V.95. P.254-302.

140. Hansen G., ZardeckiA., Greening D., BosR. A finite element method for unstructured grid smoothing//J. Comput. Phys. 2004. V. 194. P. 611-631.

141. HansenG., ZardeckiA., GreeningD., BosR. A finite element method for three-dimensional unstructured grid smoothing//J. Comput. Phys. 2005. V. 202. P. 281-297.

142. Hwang P., FedkiwR., MerrimanB. Karagozian A.R., OsherS.J. Numerical resolution of pulsating detonation waves//Combustion Theory and Modeling. 2000. V. 4. № 3. P. 217-240.

143. IvanenkoS.A., AzarenokB.N. Application of moving adaptive grids for numerical solution of nonstationary problems in gas dynamics//Int. J. Numer. Meth. Fluids. 2002. V. 39. P. 1-22.

144. IvanenkoS.A. Selected Chapters on Grid Generation and Applications. Dorodnicyn Computing Center of RAS. 2004.

145. Jaquotte O.-P. A mechanical model for a new grid generation method in computational fluid dynamics//Comp. Meth. Appl. Mech. and Engng. 1987. V. 66. P. 323-338.

146. Jacquotte O.-P. Grid optimization methods for quality improvement and adaptation//Chapt. 33 in: Handbook of Grid Generation. Thompson J.F. et al (Eds.). CRC Press. Boca Raton. Fl. 1999.

147. Kangl.S., LealL.G. Orthogonal grid generation in a 2D domain via the boundary integral technique//J. Comput. Phys. 1992. V. 102. P. 78-87.

148. KaulU.K. New boundary constraints for elliptic systems used in grid generation problems//J. Comput. Phys. 2003. V. 189. P. 476-492.

149. Knabner P., KorotovS., Summ G. Conditions for the invertibility of the isoparametric mapping for hexahedral finite elements//Finite Elements in Analysis and Design. 2003. V. 40. № 2. P. 159-172.

150. KneserH., Losung der Aufgabe 41, Jahresber//Deutsche Math.-Verein. 1926. V. 35. P. 123-124.

151. P. Knupp, On the invertibility of the isoparametric map, Comp. Meth. in Appl. Mech. and Engng. 78 (1990) 313-329.

152. Knupp P., SteinbergS. Fundamentals of Grid Generation. CRC Press. Boca Raton. FL. 1993.

153. Knupp P., LuczakR. Truncation error in grid generation: a case study, Numerical Methods for Partial Differential Equations. 1995. V. 11. P. 561-571.

154. Knupp P. Hexahedral and tetrahedral mesh untangling//Engineering with Computers. 2001. V. 17. № 3. P. 261-268.

155. Knupp P., Margolin L.G., ShashkovM.J. Reference Jacobian Optimization-Based Rezone Strategies for Arbitrary Lagrangian Eulerian Methods//J. Comp. Phys. 2002. V. 176. P. 93-128.

156. Knupp P. A method for hexahedral mesh shape optimization//Int. J. Meth. Engng. 2003. V. 58. P. 319-332.

157. LaugesenR.S. Injectivity can fail for higher-dimensional harmonic extensions//Complex Variables. 1996. V. 28. P. 357-369.

158. Langseth J.O., LeVequeR.J. A wave propagation method for 3D hyperbolic conservation laws//J. Comp. Phys. 2000. V. 165. P. 126-166.

159. LeeH.I., Stewart D.S. Calculation*of linear detonation instability: one-dimensional instability of plane detonation//J. Fluid Mech. 1990. V. 216. P. 103-132.

160. LeeS.H., SoniB.K. The enhancement of an elliptic grid using appropriate control functions//Applied Mathematics and Computation. 2004. V. 159. P. 809-821.

161. LiaoG., LiuH. A note on harmonic maps//Appl. Math. Lett. 1996. V. 9. № 4. P. 95-97.

162. LiaoG., LiuF., PenaG.D., PengD., OsherS. Level-set-based deformation method for adaptive grids//J. Comput. Phys. 2000. V. 159. P. 103-122.

163. LipnikovK., ShashkovM. The Error-Minimization-Based Strategy for Moving Mesh Methods//Commun. Comput. Phys. 2006. V. 1. № 1. P. 53-80.

164. LiseikinV.D. Grid Generation Methods. Springer-Verlag. New York. 1999.

165. LiseikinV.D. A Computational Diferential Geometry Approach to Grid Generation. Springer-Verlag. New York. 2004.

166. Mackenzie J.A., Russell R.D. and Stockie J.M. A moving mesh method for one dimensional hyperbolic conservation law//SIAM J. Sci. Comput. 2000. V. 22. P. 1791-1813.

167. MastinC.W., Thompson J.F. Quasiconformal mappings and grid generation//SIAM J. Sci. Stat. Comput. 1984. V. 5. № 2. P. 305-310.

168. Miller K., Miller R.N. Moving finite elements. I//SIAM J. Numer. Anal. 1981. V. 18. № 6. P. 1019-1032.

169. NakamuraS. Marching grid generation using parabolic differential equations//Appl. Comput. 1982. V. 10-11. P. 775-786.

170. Nakahashi K., Deiwert G.S. Three-dimensional adaptive grid method// AIAA Journal. 1986. № 6. P. 948-954.

171. OranE., Boris J.P. Numerical simulation of reactive flow. New York. Elsevier. 1987.

172. PemberR.B. Numerical methods for hyperbolic conservation laws with stiff relaxation I. Spurious solutions//SIAM J. Appl. Math. 1993. V. 53. P. 1293-1330.

173. Quirk J.J. Godunov-type schemes applied to detonation flows//Com-bustion in High-Speed Flows. Dordrecht: Kluwer. 1994. P. 575-596.

174. RadöT. Aufgabe 41, Jahresber//Deutsche Math.-Verein.1926. V.35. P.49.

175. RamshawJ.D. Conservative resoning algorithm for generalized two-dimensional meshes//J. Comp. Phys. 1985. V. 59. P. 193-199.

176. RyskinG., LealL.G. Orthogonal mapping//J. Comp. Phys. 1983. V. 50. P. 71-100.

177. RusselR.D., Christiansen J. Adaptive mesh selection strategies for solving boundary value problems//SIAM J. Numer.Anal. 1978. V. 15. № 1. P. 59-80.

178. SchoenR., YauS.T. On univalent harmonic maps between surfaces// Invent. Math. 1978. V. 44. P. 265-278.

179. ShubinG.R., Stephens A.B., Bell J.B. Three dimensional grid generation using biharmonics//in Numerical Grid Generation, Thompson J.F., ed. North-Holland. New-York. 1982. P. 761-774.

180. SpekreijseS.P. Elliptic generation systems. In Handbook of Grid Generation (ThompsonJ.F., SoniB.K., WeatherillN.P. Eds.). CRC Press. Boca Raton. FL. 1999. Chapter. 4. P. 4-1-4-48.

181. Sritharan S.S. Mathematical aspects of harmonic grid generation, in Mathematical Aspects of Numerical Grid Generation, J.E. Castillo (Ed.), SIAM, Philadelphia, 1991 (Chapter 10).

182. Steger J.L., ChausscD.S. Generation of body-fitted coordinates using hyperbolic partial differential equations//SIAM J. Sci. Comput. 1980. V. 1. № 4. P. 431-437.

183. TaiC.H., YinS.L., SoongC.Y. A novel hyperbolic grid generation procedure with inherent adaptive dissipation//J. Сотр. Phys. 1995. V. 116. P. 173-179.

184. TangH.Z., TangT. Adaptive mesh methods for one- and two-dimensional hyperbolic conservation laws//SIAM J. Numer. Anal. 2003. V. 41. P. 487-515.

185. TangT. Moving mesh methods for computational fluid dynamics// Contemporary mathematics. 2005. V. 383. P. 141-173.

186. Thompson J.F., MastinC.W., Thames F. Automatic numerical generation of body-fitted curvilinear coordinate system for field containing any number of arbitrary two-dimensional bodies//J. Сотр. Phys. 1974. V. 15. P. 299-319.

187. Thompson J.F., WarsiZ.U.A., Boundary-fitted coordinate systems for numerical solution of partial differential equations//J. Сотр. Phys. 1982. V. 47. № 2. P. 1-108.

188. Thompson J.F., WarsiZ.U.A., Mastin,^W. Numerical Grid Generation. North-Holland, N.Y. etc. 1985. (доступна на http:// www.hpc.msstate.edu/publications/gridbook/)

189. Thompson J.F. A general three-dimensional elliptic grid generation system on a composite block structure//Comp. Meth. in Appl. Mech. and Engin. 1987. V. 64. P. 377-411.

190. TonV.T. Improved shock-capturing methods for multicomponent and reacting flows//J■ Comput. Phys. 1996. V. 128. P. 237-253.

191. TuY., Thompson J.F. Three-dimensional solution-adaptive grid generation on composite configurations//AIAA Journal. 1991. V. 29. № 12. P. 2025-2026.

192. UshakovaO.V. On nondegeneracy of three-dimensional grids//Pro-ceedings of the Steklov Institute of Mathematics. Suppl. 1. 2004. P. S78-S100.

193. Villamizar V., Rojas O., Mabey J. Generation of curvilinear coordinates on multiply connected regions with boundary singularities//J. Comp. Phys. 2007. V. 223. P. 571-588.

194. White A.B. On selection of equidistributing meshes for two-point boundary-value problems//SIAM J. Numer. Anal.l979.V.16. №3. P.472-502.

195. WinslowA.M. Numerical solution of the quasi-linear Poisson equation in a nonuniform triangle mesh//J. Comput. Phys.1966.V.l. P.149-172.

196. WinslowA.M. Adaptive mesh zoning by the equipotential method. UCID-19062. Lawrence Livermore National Laboratories. University of California. 1981.

197. ZhangY.X., JiaY.F., WangS.S.Y., 2D nearly orthogonal mesh generation with controls on distortion functions//J. Comp. Phys. 2006. V. 218. № 2. P. 549-571.

198. Zhang Y.X., JiaY.F., WangS.S.Y., ChanH.C. Boundary treatment for 2D elliptic mesh generation in complex geomatries//J. Comp. Phys. 2008. V. 227. № 2. P. 7977-7997.

199. ZienkiewiczO.C., Morgan K. Finite elements and approximation, Wiley, 1983.