автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численное моделирование в задачах горения и дифракции ударных волн

На правах рукописи

0050073»*

Мартюшов Сергей Николаевич

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЗАДАЧАХ ГОРЕНИЯ И ДИФРАКЦИИ УДАРНЫХ ВОЛН. АЛГОРИТМЫ НА ОСНОВЕ МЕТОДА КОНЕЧНОГО

ОБЪЕМА

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

1 2 Я Н В 2012

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск - 2011

005007392

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институте вычислительных технологий Сибирского отделения РАН

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессо

академик РАН, Шокин Юрий Иванович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Куропатенко Валентин Федорович

доктор физико-математических наук, профессор Хакимзянов Гаяз Салимович

доктор физико-математических наук, профессор Баутин Сергей Петрович

Ведущая организация: Государственный научный центр

Российской Федерации - Федеральное государственное унитарное предприятие «Центральный институт авиационного моторостроения им. П.И.Баранова»

Защита состоится «Р/ъ февраля 2012 г. в часов на заседани диссертационного совета ДМ 003.046.01 по защите диссертаций на соискани ученой степени доктора йаук при Учреждении Российской академии нау Институте вычислительных технологий Сибирского отделения РАН п адресу 630090, Новосибирск, проспект Академика М.А. Лаврентьева, (dsovet@ict.nsc.ru).

С диссертацией можно ознакомиться в специализированном читальном зал вычислительной математики и информатики ГПНТБ СО РАН.

Автореферат разослан «¿¿0»

г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук Л.Б.Чубаров

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. К числу задач газовой динамики, которые традиционно исследуются методами численного моделирования, относятся задачи инициации и распространения детонационных волн в реагирующей газовой среде. Причина этого в том, что механизм возникновения и распространения детонации, перехода горения в детонацию сложен и до конца не изучен, несмотря на значительный объем натурных экспериментов.

Источником получения новой информации о детонационных и дифракционных явлениях в газовых смесях являются лабораторные эксперименты, однако инструментальные измерения в условиях быстропротекающих процессов с огромными перепадами плотности, давления и температуры характеризуются сложностью подготовки, дороговизной и трудоемкостью их проведения. Поэтому в настоящее время возрастающую роль при исследовании газодинамических течений со сложной динамически меняющейся структурой приобретает метод вычислительного эксперимента, для успешной реализации которого вместе с созданием адекватных математических моделей необходима разработка экономичных численных алгоритмов с высокой разрешающей способностью и программного обеспечения расчета и обработки его результатов.

Этой актуальной в научном и практическом плане теме - выбору и анализу математической модели течений горения и детонации, конструированию новых конечно-объемных ТУО-схем с высокой разрешающей способностью, построению на их основе алгоритмов численного решения жестких систем уравнений гиперболического типа с источниковыми членами, разработке алгоритмов конструирования криволинейных эллиптических структурированных сеток, созданию научно-исследовательских комплексов прикладных программ и применению разработанных методик для решения важных для приложений многомерных

задач быстрого горения газовых смесей и дифракции ударных волн в каналах сложной конфигурации посвящена диссертационная работа.

При конструировании численных алгоритмов автором были проведены исследования математических моделей нескольких уровней. На первом уровне сравнивались математические модели физических процессов горения и детонации, начиная с наиболее простой одностадийной модели - гипотезы Аррениуса о виде зависимости концентрации одной горючей компоненты. Далее автором была выбрана достаточно простая двухстадийная математическая модель горения и детонации, учитывающая, однако, период накопления в реагирующей смеси радикалов (период индукции) и наличие обратных реакций по образованию реагирующих компонент. Разработанные автором численные алгоритмы могут без изменения быть использованы для математических моделей многокомпонентых реагирующих газовых смесей с полной цепочкой кинетических уравнений. Данные модели и алгоритмы описаны в главе 2 диссертации. В дальнейшем автор предполагает совершить такой переход и модернизировать разработанные программы для математических моделей многокомпонентных реагирующих сред.

Вторым уровнем определения математической модели был выбор автором метода конечного объема и последовательная его реализация в разработанных алгоритмах. Конечно-объемная аппроксимация, основанная на прямой аппроксимации законов сохранения, имеет ряд преимуществ перед конечно-разностной аппроксимацией, основным из которых является точное выполнение в процессе сквозного счета законов сохранения на сильных разрывах: ударных и детонационных волнах, фронтах горения. Сравнение конечно-объемного и конечно-разностного подхода в численном моделировании, проведенное в главе 4 работы, имеет принципиальный характер, реализация численных алгоритмов может представлять собой некий компромисс между этими двумя подходами. Автор поставил своей целью реализацию разработанных алгоритмов последовательно в рамках метода конечного объема.

Наконец, при реализации численного алгоритма была выбрана математическая модель в виде системы уравнений эллиптического типа со специальными правыми частями для конструирования расчетных сеток. Вид контрольных функций (правых частей системы уравнений) для трехмерного случая предложен автором. Целью работы являются

- разработка численных алгоритмов для проведения вычислительного эксперимента в задачах горения и детонации и дифракции ударных волн путем использования последовательно усложняющихся моделей течений горения и детонации на основе применения современных численных схем и методов;

- создание алгоритмов и программ построения эллиптических двух- и трехмерных структурированных сеток, в том числе блочных;

- создание на основе этих методов программ, позволяющих проводить численные исследования в рамках моделей горения и детонации, организации на основе созданных программ долговременного комплекса программ для научных исследований, адаптирующегося под новые классы задач и используемой вычислительной техники.

Достоверность полученных результатов вытекает из использования разностных схем и алгоритмов, являющихся модификациями известных разностных схем и алгоритмов, прошедших всестороннее теоретическое тестирование и проверенных в многочисленных работах различных авторов. Полученные результаты соответствуют общепринятым представлениям об особенностях течений газовых смесей с горением и детонацией и газодинамических течений дифракции ударных волн. Научная новизна.

В диссертации предлагаются разработанные автором модификации разностных схем Хартена и метода коррекции потоков, а также реализация схемы Чакраварти-Ошера совместно с временной аппроксимацией по методу Рунге-Кутты для численного моделирования течений горения и детонации.

Автором разработан алгоритм расщепления по физическим процессам газовой динамики и кинетики, сохраняющий полную консервативность и порядок аппроксимации алгоритма в целом. Эти модификации известных разностных схем и разработанные на их основе численные алгоритмы являются новыми.

Предложенные автором алгоритмы построения двух и трехмерных эллиптических сеток ко времени их разработки являлись новыми. Алгоритм конструирования блочных структурированных сеток с сохранением свойства гладкости сеточных линий является новым.

Созданный на основе этих алгоритмов комплекс программ на момент создания являлся новым. Этот комплекс позволяет проводить численные исследования широкого круга задач горения и детонации реагирующих газовых смесей, дифракции ударных волн, и является перспективным для дальнейшего развития.

Практическая значимость результатов исследований, вошедших в диссертационную работу, определяется возможностью использования созданных автором алгоритмов и комплекса программ для исследования различных задач газовой динамики, в особенности, крайне актуальных для современной экономики и недостаточно изученных задач с детонацией газовых смесей, численном моделировании течений в детонационных водородных двигателях и задач с прогнозированием возникновения и развития аварийных ситуаций на промышленных объектах.

Идея энергетического использования детонационного горения начала разрабатываться в 40-гг. прошлого века. Я.Б. Зельдович [1] впервые указал на то, что детонационное сгорание топлива способствует более эффективному использованию энергии сжигаемого топлива.

Одним из преимуществ водорода по сравнению в обычными видами топлива является широкий диапазон детонационных режимов его горения . Использование водорода в качестве экологически чистого вторичного энергоносителя, аккумулятора энергии и топлива в энергетике и транспорте

будущего является одним из наиболее вероятных сценариев развития энергетики. Концепция водородной энергетики возникла в 70-х годах прошлого века как естественная реакция на надвигающуюся "экологическую катастрофу" и на ограниченность мировых запасов углеводородного топлива.

В последние годы за рубежом, в первую очередь в США, в Японии, странах ЕЭС, развернуты крупномасштабные исследовательские работы по применению водорода в качестве альтернативного топлива, создаются структуры управления, выделяются необходимые средства для масштабных исследований. В Российской Федерации, благодаря исследованиям 70-80 - х годов прошлого века, существует серьезный задел научных и конструкторско-технологических разработок в области водородных технологий. Энергетической стратегией РФ до 2030 г. предусмотрено создание систем производства водорода за счет энергии АЭС и ТЭС, и создание систем водородного аккумулирования электроэнергии на АЭС и ТЭС. Использование водорода в качестве моторного топлива требует решения трех основных проблем: энергетически выгодного получения дешевого водорода, безопасного хранения и транспортировки больших объемов водорода и конструирования перспективных конструкций водородных двигателей. Одним из перспективных решений третьей проблемы, наряду с использованием топливных элементов, является разработка детонационных двигателей.

В соответствии с изложенным результаты предлагаемой работы по численному моделированию работы детонационных двигателей и моделированию аварийных ситуаций, связанных со взрывами водорода, служат выработке будущих технологических решений в области водородной энергетики, внедрение которых должно внести значительный вклад в развитие энергетики и экономики страны в целом. Представление результатов.

Результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:

Всесоюзной конференции "Теоретические основы конструирования алгоритмов задач математической физики", Горький, 1986 г., конференции "Фундаментальные проблемы физики ударных волн", Черноголовка, 1988 г., Школе по комплексам программ Красноярск, ИВТ Красноярского НЦ СО АН СССР, 1990 г., Всесоюзной конференции "Актуальные задачи прикладной математики", Саратовский ун-т, Саратов 1991 г., конференции "Вычислительные технологии" Ростовский университет, Ростов -на Дону 1992 г., Третьем российско-японском симпозиуме по вычислительной гидродинамике, Владивосток 1992 г., 15th IMACS World Congress on Scientific Computation, Modelling and Applied Mathtmatics Berlin 1997 r.,. 6-th International Conference Grid generation in Computational Field Simulation, University of Greenwich, 1998 г., 2-м Всероссийском семинаре «Сеточные методы для краевых задач и приложения», Казань 1998 г., 5-м Всероссийском семинаре «Сеточные методы для краевых задач и приложения», Казань, 2004 г., Международной конференции «Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании» 2004 г. Алматы, Международной конференции «Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании» 2008 г. Алматы, Казахстан, Third International Conference on Finite Difference methods: Theory and Applications, Rousse, Bulgaria, 2006 г., Fourth Conference on Numerical Analis and Application, Rousse, Bulgaria, 2008 г., Международной конференции МИТ-2009 "Математические и информационные технологии" Копаоник, Сербия 2009 г., 27 International Simposium on Shock Waves - Москва 2009 г., 22 International Colloquium on the Dynamics of Explosions and Reactive Systems - Минск 2009 г., 19-th International Shock Interaction Simposium-Москва 2010 г., Международной конференции «Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика», посвященная 90-летию со дня рождения академика Н.НЛненко., 2011 г., 23 International Colloquium on the Dynamics of Explosions and Reactive Systems - Los Angeles 2011 г.,

s

8-th Pacific Symposium on Flow Visualization and Image Processing. Moscow. 2011, Международной конференции МИТ-2011 "Математические и информационные технологии" Врнячка Баня, Сербия 2011 г. Публикации. Результаты диссертации опубликованы в монографии, 8 статьях в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК, 7 статьях в реферируемых журналах и сборниках, 1 препринте, 6 полнотекстовых докладах на международных конференциях и 8 тезисах всероссийских и международных конференций. Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, 7 глав, заключения, приложения и перечня цитируемой литературы. Диссертация содержит 256 страниц, в общей сложности 54 рисунков и 3 таблицы. Список цитируемой литературы содержит 208 наименований.

Личный вклад автора. Основные результаты диссертации получены автором лично. Автор выражает глубокую признательность Мартюшовой Янине Германовне, супруге и соавтору, за помощь в подготовке и оформлении совместных работ.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Введение начинается с краткого обзора нелинейных разностных схем. Для решения нестационарных задач механики сплошной среды естественными преимуществами обладают разностные алгоритмы, основанные на моделировании распада разрыва - схемы типа Годунова (Godunov-type schemes в международной терминологии) высокого порядка аппроксимации, реализованные в рамках метода конечного объема. Наиболее перспективными среди существующих разностных схем сквозного счета являются нелинейные противопоточные методы повышенного (второго и выше) порядка аппроксимации, при построении которых так или иначе, используются характеристические свойства решаемой системы уравнений. Для обеспечения квазимонотонности решения подавляющее большинство этих схем построены с использованием принципа невозрастания полной

9

вариации решения, т.е. принадлежат к семейству TVD (Total variation diminishing). Последний термин, предложенный А. Хартеном, объединяет алгоритмы, которые, будучи примененными к решению нелинейных скалярных уравнений или систем уравнений с постоянными коэффициентами, обеспечивают невозрастание полной вариации численного решения; иными словами, исключают возможность как возникновения новых, так и усиления существующих экстремумов решения.

Далее во введении дается краткий обзор разностных методов и алгоритмов, используемых для численного моделирования течений горения и детонации в газовых смесях. Задачи инициации и распространения детонационных волн в реагирующей газовой среде относятся к числу задач газовой динамики, которые традиционно исследуются методами численного моделирования. Механизм возникновения и распространения детонации, перехода горения в детонацию и обратно сложен и до конца не изучен, несмотря на значительный объем натурных экспериментов. Численные эксперименты в этих условиях служит для дополнения данных натурных экспериментов и моделирования процесса там, где натурные измерения и визуализация затруднены.

Во введении обсуждается также развитие алгоритмов построения расчетных сеток. Сформулированы основные требования, предъявляемые к качеству расчетных сеток: гладкость или равномерность расчетной сетки, ортогональность или близость к ортогональности координатных сеточных линий, невырожденность и малая деформация ячеек (размеры ячеек в разных координатных направлениях должны быть близкими или соизмеримыми), адаптация расчетной сетки к виду расчетной области или особенностям решения основной задачи. Указывается, что приведенные критерии носят по существу противоречивый характер и удовлетворение этим критерием на практике является результатом компромисса, то есть искусства вычислителя.

Дается определение регулярных или структурированных и неструктурированных расчетных сеток.

Перечислены основные подходы к построению математических моделей, служащих для построения расчетных сеток:

вариационный подход к построению расчетных сеток, заключающийся в прямой минимизации суммы нескольких функционалов, отвечающих за различные оптимальные свойства сеток;

- алгебраический подход, состоящий в использовании интерполяции граничных данных для расчета внутренних узлов сетки

метод конформных и квазиконформных преобразований, переводящих криволинейную расчетную область в прямоугольную область в криволинейных координатах;

• - дифференциальные (гиперболические, параболические и эллиптические) сетки, которые строятся на основе решения дифференциальных уравнений в частных производных;

Обсуждаются преимущества использования блочных сеток для проведения параллельных вычислений в областях сложной формы и различных геометрических размеров.

Обсуждаются проблемы и закономерности разработки комплексов и пакетов проблемно-ориентированных программ. Дается описание истории разработки комплекса программ, являющегося инструментом получения результатов, приведенных в диссертации.

В главе 1 работы приводится описание основных используемых в комплексе программ разностных алгоритмов. Изложены некоторые сведения из теории разностных схем, необходимые для понимания места указанных алгоритмов среди известных методов.

В § 1.1 излагаются основные положения теории ТУБ-схем и приводятся соображения, приведшие к разработке А. Хартеном его ТУО схемы, являющейся обобщением схемы Годунова.

Исходная система уравнений идеального газа в интегральной форме может быть представлена в следующем виде:

+ = = Г = (т,(тт)/р + Н,т(е + р)/р, (1)

V X

где v - величина контрольного объема; 5 - величина площади ограничивающей этот объем поверхности; и - вектор консервативных переменных; Н = (0,ЕР,0);Р- давление, р - плотность, т = (ри,рк) - вектор импульса, е = р(е + Уг/2), е -полная и удельная энергия соответственно, Е— единичная матрица третьего порядка; Р - тензор потоков размерности 3x5. Пусть Р = Рп — вектор потока в направлении нормали к грани контрольного объема в (I). Тогда А = дР/ди - матрица Якобиана вектора Р = Рп. Матрицы ее правых и левых собственных векторов и вектор собственных значений обозначим соответственно Я,Ь,А, Л = (о,,...,я5).

Для реализации в рамках описываемого комплекса программ выбран а - вариант схемы Хартена, в рамках которой вектор потоков в направлении нормали к грани Р = Рп вычисляется по следующей схеме:

^»п = 11Щ + + £ д;1/2[1 / 2Ч>(а^/2)^ + - + г,+1/2)<]/2;I) (2) /=1

= ЦтЫеМ^-^ У>^п = {^»М]« - ¿¡) I ос'1+т, а)+т

7+1/2 '

л. 14 N^

(.z2+â2)/2S, \z\<5,

где -и/), — вектор характеристических переменных в

дельта-форме. В качестве операторов-ограничителей limiter использовались операторы minmod и superbee'.

minmod (х, у) = sgn(x) max [0, min(|x), у sgn(x)] (3)

superbee (х,у) = minmod [minmod(2x,y), minmod (x,2y)]. (4)

Для определения газодинамических параметров на грани ячейки при вычислении потоков использовалось осреднение Ройе:

• и ■ V = а- У^Г^+У^« (5)

1 * ' У[рь+Л[РЁ ' л/рГ + Л/л^ Л/РГ + Л/Р«"

Автором предложены следующая модификация схемы Хартена (2).

1. Процедура осреднения Ройе (5) определяет значение скорости звука с^у2 по осредненному значению энтальпии или внутренней энергии:

с;11;2 = (/■-1) / 2 • а(1 - а)(Ру11 - V/ + ас,2 + (1 - а)с%, (а е [0,1]),

которое может лежать вне интервала [с;,с7Л], что дает неверные значения

собственных векторов, а вычисленные при этом собственные значения могут иметь другой знак в окрестности звуковых точек. В используемом в рамках комплекса варианте схемы Хартена эта возможность проверяется и в случае, когда су+1/2 оказывается вне интервала [су,с/+1], осреднение Ройе заменяется

полусуммой газодинамических величин в центрах соседних ячеек.

2. При вычислении характеристических величин на грани j+l/2 по схеме Хартена используются геометрические и газодинамические величины из ячеек.),}-2, j+l,}+2 (пятиточечный шаблон). Для уменьшения влияния в схеме геометрических особенностей удаленных ячеек вместо характеристических величин сс_1П =£_1/2Л£У_1/2, аз/2 ~ ^3/2^^3/2 в описываемой реализации алгоритма используются псевдо -характеристические величины а_т =1лп&и_У2, аУ2 = 1лпАиУ2,

°3/2 = А/2^^3/2 '

В § 1.2 излагается второй используемый в комплексе программ Т\Т> алгоритм Чакраварти-Ошера.

Семейство схем Чакраварти-Ошера, удовлетворяющих условию ТУБ имеет вид:

^ Д + <5~, », ч.,+ , у + 1-<? . .¡+ , ,,,

где а1,т+У2 = 'от+1/2 (2м — йп-1) > а2,т+1/2 = 'т+1/2 (2т+1 _ бт ) >

^З.т+Уг = 'т+1/2 (йл+2 — Qm^■l) >

«Ui/2 =mínmodKm+i/2>¿<M+1/2}: «2.m+i/2 = minmod {<m+V2,6a,'m+1/2};

«i-w = minmod {<тИ/2,й<т+1/2}; а\т+т = minmod {<m+1/2,6<„+1/2};

при этом 6 = (3 - S) / (1 - S), а параметр 3 определяет схемы различного порядка точности.

В § 1.3 излагается использовавшийся на начальном этапе разработки комплекса программ вариант метода коррекции потоков FCT (Flux Correction Transport). Автором была разработана модификация схемы FCT, предполагающая отдельную аппроксимацию неконвективной части тензора потоков, соответствующей шаровому (для невязкого газа) тензору напряжения, пропорциональному давлению.

Алгоритм для расчета оператора шага по времени L, (At), аппроксимирующего систему (1), имеет вид [10-13,17]:

1) этап предиктора

и,=(цгог - aí{f;siv2 - f?J;_U2)) / v0rl - (ß; - bu)f;_m ■ (7)

2) этап корректора

иг=mvori+u';vor-А-те1/2))/ For1 -(^ - СЮ

где ß = /'(0,it,i>„i2,0); T"+V2 = f"+U2At / ar"+1/2 - конечноразностная аппроксимация неконвективной части вектора потоков, <1/2 = 4 / (ÍS"+V2 + s;_v2) / Voll, + (sm,2 + Sim)1 VoO > С/2 - направление координатной линии в центре грани 5"1/2;

3) на этапе сглаживания на криволинейной сетке вводятся весовые множители к значениям диффузионных потоков:

фмп = 2qSUM/2Slll2 / (¿;;|/2 + <>,"„2) (9)

Алгоритм применялся автором в 80-х, - начале 90-х годов прошлого столетия для численного моделирования двумерного секториального распада разрыва [10-13,17] и для расчета дифракции ударных волн на летящих

14

осесимметричных телах со стабилизаторами в широком диапазоне геометрий и параметров потока [10-17,24].

В § 1.4 излагаются применявшиеся при построении явных численных алгоритмов методы дискретизации по времени: метод переменных направлений и явный метод Рунге-Кутты. Областью применения рассматриваемых в работе алгоритмов и программ являлись нестационарные течения газовой динамики (в первую очередь для реагирующих смесей газов), поэтому был сделан выбор использования явных вариантов разностных алгоритмов. Преимущество неявных схем - большой шаг по времени - в данном случае не может быть реализовано, так как величина расчетного шага по времени определяется скоростью распространения возмущений в нестационарной задаче и не может быть выбрана большой без потери информации о нестационарной структуре течения.

Метод переменных направлений, сохраняющий второй порядок точности по времени, может быть представлен в виде оператора двойного шага по времени, который расщепляется на симметричную последовательность операторов шага в координатном направлении:

и^ = (АОА (довело А (ЛО^Г; 0°)

где £у(Д?) — оператор шага в направлении, имеющий второй порядок

точности по времени, С/*£2 - значения газодинамических переменных на п+2 шаге по времени.

При разбиении расчетной области на отдельные блоки и проведении параллельных вычислений в подобластях существенным источником погрешности являются краевые условия сшивки на границе подобластей.

Расщепление оператора шага (10) в методе переменных направлений на симметричную последовательность операторов шага в координатном направлении предоставляет возможность полностью исключить этот источник погрешности на границе подобластей.

Рис.1 Организация оператора шага метода переменных направлений алгоритма при расчетах на блочных сетках.

Рассмотрим блочную расчетную область на рис.1. Оператор шага

будет состоять из двух операторов шага в координатном направлении j для

подобластей 1 (назовем ее S,) и 2 (назовем ее S2 \ соответственно, и пяти

операторов шага в координатном направлении I: в подобласти 3 -ABCD

о

(назовем ее 3) и в частях подобластей 1и 2 вне подобласти 3:

(Д/) = 1,(^X5, -S3) + Z,(A/)(S2 -S3) + I,(A/)GSY); (11)

(Л/) = L}(A'X^i) + Lj(At)(S2); = Z,,(A/)^.(A/)Ly(A/)L,(A/)t^.

Из вида (1.5.4) следует, что никакие краевые условия на линии сшивки подобластей EF (рис. 1 ) не ставятся и источник погрешности отсутствует.

При реализации алгоритмов также использовался явный метод Рунге-Кутты 3-го порядка точности:

а(1) = а(0)+л'це/0));

а(2)=|а(0)+^аС1>+дл(е«)]; (12)

для коэффициентов которого имеет место соотношение У.огд = 1,

к

обеспечивающее положительность разностной схемы.

В § 1.5 излагаются некоторые особенности задания краевых условий в

рассматриваемом комплексе программ. Последовательное использование

автором метода конечного объема дает в этом вопросе определенные

преимущество, так как разностный алгоритм на основе метода конечного

объема требует задания только потоков на границе расчетной области и не

16

требует определения газодинамических параметров для фиктивных слоев ячеек. В параграфе приводятся краевые условия, реализованные в программных модулях рассматриваемого комплекса программ.

В главе 2 дается краткое описание актуальности исследования течений горения и детонации, перечислены основные области применения. Рассмотрены математические модели горения и детонации разного уровня сложности. Представлены численные алгоритмы расчета течений горения и детонации газовых смесей на основе двухстадийной модели с одной основной реакцией энерговыделения, а также с расщеплением системы уравнений газовой динамики и кинетики и организации временного цикла.

В § 2.1 обосновываются преимущества цикла с детонационным горением по сравнению с обычным изобарическим горением, используемым в ракетных и авиационных двигателях. Детонация является крайне эффективным видом горения. Ввиду преимущества почти изохорического горения детонация обладает более высокой термодинамической эффективностью по сравнению с изобарическим горением. При комнатном давлении и температуре изохорическое горение стехиометрической смеси кислорода и водорода на 18-37 % эффективнее по сравнению с изобарическим горением. Более того, детонация дает более интенсивное и стационарное сгорание, что означает возможность получения значительной тяги двигателя при небольших размерах. Все эти преимущества обусловливают общемировую распространенность исследований в области детонационного двигателя. В последние два десятилетия значительные усилия предприняты в исследованиях импульсного детонационного двигателя.

Разработка различных конструкций детонационных двигателей осложняется тем, что в реальности после поджига смеси переход дефлаграции в детонацию происходит на значительном расстоянии. В связи с этим актуальными являются исследования по инициации детонации, в частности, путем:

- инициирования детонации за слабыми ударными волнами;

- прямым инициированием детонации за сильными ударными волнами;

- применение специальных инжекторов;

- инициирование детонации в широком канале при переходе в него сформировавшейся детонации в узком канале.

В § 2.2 дается описание и сравнительный анализ математических моделей течений газовых смесей с горением и детонацией. Наиболее полная математическая модель включает в себя уравнения газовой динамики с учетом вязкости, теплопроводности и энерговыделения за счет химических реакций в интегральной форме, являющейся исходной для метода конечного объема, и уравнения химической кинетики для возможно более полного учета протекающих химических реакций. Так для смесей кислород—водород и кислород-воздух используются системы уравнений кинетики для 14, 21 или 36 реакций.

В рассматриваемом комплексе программ для численного моделирования горения и детонации в двухкомпонентных газовых смесях (кислород-водород и кислород-ацетилен) использовалась математическая модель с одной упрощенной модельной двухстадийной химической реакцией, включающей в себя индукционный период и последующую экзотермическую реакцию. Газ предполагался идеальным, невязким и не теплопроводным:

+ = 0, (13)

УЗУ

где = (т,(тт)/р+Р1,т(е + р)/р,тВ), В = (р,а), <2 = (р,т,ре,р[3,рос), Ф = (0,0,0,0,рч!р,рм>а), Р = рЯТ, е = ЛГ/(у-1) + У2 12 +Рц.

К = ГГ = — :=~£,рехр(-£,/ЯГ), = (14)

Л т.л

йр \-к2Рг [р1 ехр(-А) - (1 - р)1 ехр(-^=% и>=0 = ЯГ Ш

М [ 0, здесь р,Р,е,т,Т,К - плотность, давление, удельная энергия, вектор количества движения, температура и газовая постоянная соответственно.

Параметры а, (5 характеризуют продвижение экзотермической реакции: в периоде индукции 0 = \,0<а <\, на стадии экзотермической реакции « = 0,0</?<1, у - отношение удельных теплоемкостей -постоянная равная 1.4 для разбавленных смесей кислорода с водородом, ц-удельный тепловой эффект химической реакции, кл,к2,Е1,Е2 - константы реакции.

Проводится сравнение различных математических моделей, описывающих горение и детонацию газовых смесей. Делается вывод о зависимости выбора математической модели от специфики решаемой задачи и достаточности математической модели (13), (14) для описания существенно нестационарных задач с большим количеством разрывов и для задач с большим пространственным масштабом.

В § 2.3 описываются варианты разностного алгоритма на основе схемы Хартена для численного моделирования течений смеси реагирующих невязких газов. Рассматриваются алгоритм без расщепления и с расщеплением на систему для газодинамических переменных и уравнения для кинетических переменных. В первом случае алгоритм аналогичен описанному в главе 1 за исключением другого набора собственных векторов и собственных чисел Якобиана 8р/б[).

В алгоритме с расщеплением на основе единой схемы Хартена или Чакраварти-Ошера отдельно решаются система уравнений газовой динамики и каждое уравнение для кинетических переменных. Этот вариант алгоритма пригоден для решения полной системы уравнений кинетики. Программная реализация позволяет задавать произвольное число компонент газовой смеси,

что упрощает переход к более сложным математическим моделям, описывающим течения горения и детонации.

При совместном решении уравнений газовой динамики и уравнений кинетики порядок суммарной точности алгоритма зависит от организации шага по времени и представляет определенную проблему при конструировании численного алгоритма. Для использованного варианта алгоритма без расщепления этот вопрос не возникает, для временной дискретизации использовался метод Рунге-Кутты третьего порядка точности по времени. Для варианта алгоритма с расщеплением автором предложен явный оператор шага по времени, основанный на методе переменных направлений, сохраняющий свойство консервативности, состоящий из следующей последовательности шагов:

1) вычисление потоков через грани ячейки в координатном направлении]: /^ВД;

2) вычисление новых значений концентраций реагирующих компонент при помощи интегрирования упрощенной системы обыкновенных дифференциальных уравнений кинетики.

3) вычисление новых значений газодинамических переменных с учетом конвективных потоков и новых значений концентраций

реагирующих компонент и изменения полной энергии за счет энергии реакций.

В § 2.4 описывается процедура получения собственных векторов и собственных чисел для нерасщепленной системы уравнений газовой динамики и кинетики. Поскольку выбор наборов собственных векторов и собственных чисел является неединственным, проводится сравнение свойств таких систем векторов и предлагается оптимальный для устойчивости численного алгоритма выбор собстаенных векторов и собственных чисел.

В главе 3 описываются алгоритмы конструирования расчетных сеток.

В § 3.1 приводится вывод системы уравнений Пуассона, являющейся математической моделью для конструирования двумерных эллиптических расчетных сеток на плоскости и определяющей координаты точек сетки в декартовых координатах х.у через координаты узлов сетки в криволинейной системе координат % определенной линиями сетки:

8а(Гя +P-ri)+gn(rn+Q-rtl)-2gnrSl! =0, (15)

где gl2 = {х(хп +у„у(), £„ =(х<2 + у(2), g22 = (х,2 + у2).

Приводится также вывод системы уравнений Бельтрами, являющихся математической моделью для конструирования двумерных эллиптических расчетных сеток на поверхности. Отличием этих уравнений от уравнений Пуассона для двумерного случая является наличие в правой части оператора Бельтрами:

Sjfu +P-r() + gn(rm^Q-rn)-2gnr(n=nR. (16)

nil = пС(к, +к2) = nG[{ 1 + q2)r -2pqs + (1 + p2)t] / (1 + p2 + q2f2, где p = fx, q = fy, r = fa, j = , q = fwв случае, когда форма поверхности

задается явно в виде функции г = f(x,y).

Для обеих математических моделей определяется вид контрольных функций, управляющих распределением координатных линий и узлов в соответствии с геометрическими особенностями расчетной области, а именно, осуществляющих сгущение или разрежение сеточных линий и узлов в различных частях расчетной области:

P(t,i1) = -fjalSign(Z-{!)eM-cl\{

ы

В § 3.2 описывается численный алгоритм для решения систем уравнений Пуассона и Бельтрами, являющийся вариантом итерационного метода верхней релаксации. Сходимость этого метода в определенной

степени зависит от выбора начального приближения. В качестве начального приближения строилась алгебраическая сетка, полученная методом трансфинитной интерполяции. В некоторых примерах при построении сетки на поверхности обтекаемого тела начальное приближение определялось квадратичной интерполяцией.

Описывается способ построения сеток размерности «2,5»: в этом случае одно из семейств координатных поверхностей задается фиксированным, и на этих поверхностях строятся двумерные сетки. В качестве примера можно рассматривать трехмерные сетки, полученные вращением двумерной сетки вокруг оси симметрии, или образованной набором конических поверхностей с вершинами на оси симметрии обтекаемого тела.

В § 3.3 описывается использовавшаяся в комплекса программ математическая модель в виде системы трех уравнений Пуассона для конструирования расчетных сеток в пространстве:

вп(д27/д*2 + Рд7/д£)+822(д2г/дг]2+<2д'г/дф+8„(д1г/д£2+ке'г/до- (18)

где г{£,т],д) - радиус-вектор узла сетки в декартовых координатах, ¿¡,г/,д -криволинейные координаты, соответствующие сеточным линиям (в разностной аппроксимации выбирается единичный шаг и эти переменные становятся целочисленными координатами, соответствующими номеру точки); ёп=дг1д$-дг1д%, 8п=д~г/д%-дг/дг], %22=дг1дг1-дг1дг1, = дг1дд-дг1дд, I дд-8~г ! 8т], =дг1д£-д?/дд.

Для геометрической адаптации сетки к особенностям расчетной области по аналогии с двумерным случаем автором вводятся контрольные функции р,0,я, которые служат для сжатия или растяжения (в зависимости от знаков коэффициентов) координатных линий семейств:

ьС) = ) - х

х*^ - &) ехр(-^ ((# - ^ )2 + (77 - 77, )2 )1/2) -

-2>„ - - #„)2+- с,)2)"2)

- #,)ехр(-й,((#- + (77 - 77,)2 + - £,)2)"2)

у

В качестве примера приведена расчетная сетка для расчета дифракции ударной волны на сфере в ударной трубе квадратного сечения. Задача имеет несколько плоскостей симметрии, поэтому расчетная область сводится к 1/8 физической области и изображена на Рис.2.

В § 3.4 описывается построение блочных структурированных сеток для расчета течений в областях сложной формы и разномасштабных течений. Обычным приемом построения криволинейных структурированных сеток является построение преобразования односвязной криволинейной расчетной области к прямоугольной области в некоторой криволинейной системе координат.

Рис.2. Пример расчетной сетки: а-схема расчетной области, б- нижний блок сетки для расчета дифракции ударной волны на шаре в ударной трубе квадратного сечения в аксонометрической проекции.

При этом расчетная сетка может содержать ячейки: с существенно тупыми и острыми углами, с большим различием в размерах по координатным направлениям, ячейки в разных частях расчетной области, значительно различающиеся по размерам (что особенно существенно для расчета нестационарных задач явными методами).

а

6

Последний случай характерен для расчета течений с комбинацией внутренних течений в каналах и внешних крупномасштабных течений. Начиная с некоторого уровня сложности расчетной области разбиение ее на несколько подобластей, существенно упрощает задачу построения расчетной сетки и дает блочную сетку на порядок лучшего качества, чем единая криволинейная структурированная сетка. В рамках рассматриваемого комплекса программ реализован простой алгоритм построения блочных структурированных сеток, состоящий из двух этапов:

- разбиение области сложной формы на элементарные подобласти и построение в каждой подобласти структурированной сетки;

- объединение пограничной части двух или более таких простых сеток в новую сетку и сглаживание координатных линий на границе между элементарными подобластями посредством нескольких итераций основного алгоритма.

При расчете на блочных сетках некоторых классов задач, в частности нестационарных течений с существенно различными по размеру частями (например, задачи взаимодействия внутреннего и внешнего обтекания), такая организация позволяет сохранить необходимую точность расчета и существенно повысить его экономичность.

В § 3.5 приведены формулы для вычисления геометрических величин структурированных сеток в рамках метода конечного объема. В методе конечного объема используются уравнения в интегральной форме в виде законов сохранения. При конструировании алгоритма в рамках этого метода приближенное вычисление геометрических величин: площадей граней, величины контрольного объема, векторов нормалей к граням проводится отдельно от аппроксимации искомых функций - газодинамических величин, поэтому формулы аппроксимации геометрических величин, для того, чтобы не увеличивать суммарную погрешность алгоритма, должны удовлетворять своим условиям консервативности.

Глава 4 работы посвящена сравнению математических моделей метода конечного объема и конечных разностей. В главе не содержится оригинальных результатов автора, тем не менее, она носит принципиальный характер, в ней аргументируется выбор автором математической модели метода конечного объема в качестве основы для конструирования всех используемых в комплексе алгоритмов и программ.

В § 4.1 проводится сравнение метода конечного объема, основанного на аппроксимации математической модели в интегральной форме законов сохранения и метода конечных разностей, основанного на аппроксимации системы уравнений в частных производных для газодинамических переменных в криволинейных координатах. Главной мотивацией использования уравнений сохранения или интегральной формы уравнений газовой динамики является улавливание разрывов в невязких течениях. Условия на таких разрывах соответствуют законам сохранения. Разрывы в значениях газодинамических переменных сопровождают как ударные, так и детонационные волны.

В § 4.2 рассмотрены способы задания краевых условий в рамках метода конечных разностей и метода конечного объема. Так краевые условия на стенке в рамках метода конечного объема сводятся к равенству нулю потоков через соответствующие граничные грани контрольного объема. Конечно-разностный подход, как правило, требует процедур экстраполяции искомых величин за границу расчетной области и определения этих величин для фиктивных слоев ячеек. Проведенное сравнение математических моделей метода конечного объема и конечных разностей показывает преимущество метода конечного объема в вопросах:

-сохранения консервативности численных алгоритмов для криволинейных систем координат;

-простоты и компактности аппроксимации градиента скорости при моделировании уравнений Навье-Стокса;

-сохранения консервативности при задании краевых условий на стенке.

В некоторых других отношениях оба метода равноценны. Существуют способы аппроксимации искомых величин и геометрических элементов, являющихся промежуточными между последовательно конечно-объемным и конечно-разностным подходами.

В главе 5 описываются результаты численных исследований течений горения и детонации. Цель исследования - дополнение натурных экспериментов по переходу от горения к детонации и получению устойчивых циклов работы детонационных двигателей.

В § 5.1 описаны результаты численного моделирования течений в инжекторах. Использование инжекторов специальной формы служит для турбулизации течений газовых смесей и с помощью турбулизации -ускорения инициации детонации. Внутренние течения в инжекторах и ближайшей к ним окрестности не содержат областей горения или фронтов детонации, поэтому численное моделирование проводилось в рамках математической модели идеального нереагирующего газа. Результаты вычислений сравнивались с картинами натурного эксперимента, проводившегося в Институте высоких температур АН РАН. Исследовались три конфигурации инжекторов: сверхзвуковое сопло, насадок с резонаторной полостью и звуковой генератор Гартмана. Сопло с резонатором состоит из сверхзвукового сопла рассчитанного на число Маха 2 и соосного резонатора. Само сопло также использовалось как самостоятельный инжектор в экспериментах.

По результатам серии расчетов наблюдается качественно совпадающая с экспериментом картина течения.

Для одновременного расчета внутреннего течения в резонаторе Гартмана и сопле с резонатором и внешнего течения расчеты проводились с использованием блочных сеток и разбиения расчетной области на подобласти параллельного счета внутреннего и внешнего течения. Турбулизация течения звуковыми волнами есть один из факторов, способствующих возникновению детонационной волны. Визуализация

26

течения внутри резонатора по результатам расчетов дополняет в этом случае экспериментальные данные по визуализации внешнего течения и объясняет их природу.

В § 5.2 приводятся результаты численного моделирования инициации детонации в осесимметричных каналах с одним или двумя сужениями специальной формы. Прохождение реагирующей смеси через каналы с препятствиями или каналы с сужениями является еще одним способом подготовки реагирующей смеси к последующему воспламенению и переходу к детонации. Такие каналы представляют собой существенную составную часть конструкций импульсных и ротационных детонационных двигателей.

Поведенный цикл расчетов показал качественное совпадение с имеющимися экспериментальными и численными результатами. Визуализация результатов расчетов проводилась построением картин изолиний плотности и плотности горючей компоненты смеси. Картины изолиний показывают, что для канала с одним сужением фронт горения отстает от головной ударной волны, а для двух сужений переходит в детонационную волну, которая догоняет головную ударную волну. Детонация первоначально возникает в камере между двумя сужениями. Устойчивую детонационную волну удалось получить для канала с одним сужением при больших значениях давления и плотности в камере высокого давления.

В § 5.3 представлены результаты численного моделирования течений в резонаторе импульсного детонационного двигателя. На рис.3 приведена схема резонатора импульсного детонационного двигателя, представляющего собой полузамкнутую сферическую полость около среза которой (на экваторе) установлено кольцевое сопло. В газодинамическом резонаторе, периодически заполняющемся топливовоздушной смесью, пульсирующий процесс возникает за счет возбуждения резонансных автоколебаний. Амплитуда колебаний усиливается за счет выделения тепла при детонационном сгорании смеси в ударно-волновых структурах.

а б

Рис. 3. а- схема резонатора импульсного детонационного двигателя; 6-визуализация численного моделирования изолиниями плотности горючей компоненты и плотности

смеси.

Был проведен цикл расчетов по численному моделированию течений в резонаторе. По результатам расчетов обнаружено два основных режима течения. При больших значениях отношения давления в выходном сечении кольцевого сопла к давлению в критическом сечении (Рег11 / Рстса1 =0.8) в расчетах наблюдается установление стационарного режима течения (рис.2,б), при малых значениях отношения давления в выходном сечении кольцевого сопла к давлению в критическом сечении (в расчетах Рш1 / Рсппт, =0.08) наблюдается пульсационный характер течения.

В § 5.4 обсуждаются результаты численного моделирования течений в спиновом детонационном двигателе. Спиновый или ротационный детонационный двигатель является еще одной перспективной технической идеей, которая, наряду с импульсным двигателем, в настоящее время отрабатывается и исследуется рядом авторов. В диссертации проведено численное исследование компоновка спинового двигателя с раздельной подачей подготовленного воздуха и горючей компоненты с образованием ротационной детонационной волны на конусе. Для численного исследования оптимизации геометрии области были выбраны сужения специальной формы, аналогичные описанным в § 5.2. Целями оптимизации были: улучшение перемешивания горючей компоненты с потоком воздуха; ускорение инициации горения и детонации смеси; повышение концентрации

горючей компоненты смеси на конической поверхности; обеспечение нераспространения горения и детонации вверх по потоку.

Расчет производился в несколько этапов. На первом этапе на установление рассчитывалось протекание не реагирующего газа высокого давления и плотности через исследуемую конструкцию слева направо. На втором этапе осуществлялся "вбрызг" под различными углами к основному потоку горючей компоненты через сверхзвуковое сопло, расположенное в "детонационном мешке" между сужениями специального вида. На третьем этапе запускалась в конической части спиновая детонационная волна. На рис.3 изображена расчетная сетка и картина изолиний плотности (в криволинейной системе координат на конической поверхности) при третьем этапе расчета (моделирование спиновой детонационной волны)

Рис.4, а - трехмерная расчетная сетка размером 60x120x150 узлов (изображена каждая десятая координатная линия), б — изолинии плотности водорода на конической поверхности (движение спиновой детонационной волны)

По результатам серии расчетов была определена компоновка, развивающая наибольшую тягу. Для отработки и оптимизации рассматриваемой конструкции потребуются дальнейшие численные эксперименты

В § 5.5 представлены результаты расчета течений горения и детонации водородсодержащей газовой смеси под оболочкой ядерного реактора. После аварии на Три-Майл Айленд, в которой имело место горение водорода, и аварии на Чернобыльской АЭС для обеспечения безопасности работы АЭС уделяется внимание даже маловероятным ситуациям, в том числе связанным с проблемой выделения водорода (хотя существуют достаточно надежные

29

методы борьбы с накоплением водорода под оболочкой реакторного зала). Хроника развития аварий на блоках АЭС «Фукусима» подтверждает, что взрывы водорода под оболочкой реакторов являются весьма вероятной, если не неотъемлемой частью развития тяжелой аварии.

Проведено численное моделирование различных режимов горения и детонации смеси воздух-водород под защитной оболочкой (контейнментом) реакторного зала АЭС для реакторов типа ВВР. Расчетная область представляет собой цилиндр (реакторная шахта), сопряженный с полусферой (купол контейнмента) первоначально заполненная водородо-воздушной смесью. Самопроизвольное возгорание и детонация смеси моделировались частью расчетной области, в которой в нулевой момент времени происходит моментальное выгорание водорода. Целью расчета являлась оценка пиковых значений давления на стенках защитной оболочки для прогноза ее разрушения. В соответствии с этим оценивались превышения значения давления и импульса вдоль купола контейнмента в различные моменты времени. Проектный запас прочности конструкции предполагает сохранение ее целостности до превышения значения давления в 30—40 раз. По результатам серии расчетов определены сценарии развития аварии (инициация горения в середине купола и на границе купола с шахтой реактора) при которых достигается 30—35-кратное превышение давления на куполе, что может привести к его разрушению.

В главе 6 описываются результаты численных исследований течений дифракции ударных волн на свободном и закрепленном теле.

В § 6.1 приводятся результаты численного исследования дифракции плоской ударной волны на сфере в ударной трубе. Взаимодействие ударной волны со сферой — один из известных тестов в ударной газовой динамике. Несмотря на многочисленные эксперименты, нестационарная смещающая сила на сфере, установленной в ударной трубе, в процессе прохождения ударной волны, в экспериментах количественно не определена.

Наиболее существенным параметром, определяющим течение в данном случае, является коэффициент сопротивления Си.

Для вычислений течений газа с частицами (запыленный газ) или при анализе траектории частицы в сверхзвуковом потоке обычно используется величина коэффициента сопротивления частицы как некая средняя величина в предположении стационарности течения. В некоторых случаях, однако, предположение о стационарности течения вызывает сомнения. Современные исследования по ускорению микрочастиц посредством прохождения ударных волн требуют понимания природы сопротивления во время нестационарного взаимодействия. Смещающая сила частицы может существенно отличаться от той, которую испытывает частица при стационарном обтекании, благодаря отражению ударной волны, дифракции ее на частице и фокусировке за ней.

Были проведены расчеты дифракции ударной волны на закрепленной сфере в двумерной цилиндрической постановке (ударная труба полагалась имеющей круговое сечение).

Сравнение результатов натурных экспериментов и расчетов проводилось для значений Мфмк=\ .22. На рис. 5 представлены графики безразмерных значений давления Ср=(Р-Ра)/(Д- Р0), (Р, — давление в передней точке торможения, Р0 - давление в камере низкого давления перед ударной волной) вдоль поверхности сферы по результатам расчетов с нанесенными значениями давления (белые кружки), полученными из эксперимента в датчиках на поверхности сферы в моменты времени 1 =140, 208, 296, 380 те.

Проведено сравнение результатов расчетов с данными эксперимента по определению соответствующего смещающей силе безразмерного коэффициента Сд =2/ /{р^лЯ2)для того же значения М1коск=1.22.

На рис. 6 показан график Са по результатам расчета, а результаты эксперимента обозначены белыми кружками. Отрицательные значения Сп (интервал времени (3-5 гт)) определенные в расчетах и эксперименте

объясняются схлопыванием ударной волны в окрестности задней точки торможения и появлением в этот промежуток времени отрицательной смещающей силы.

К.-. а

14-0 ОС

с,»

О к

о ,в _ _ 46 <»0 136

са <5 I 1 •• 208

0.7О

90 V С-К

1 С .. п

О__ 1 - 296 А сУ.

0.879 /

0.576

0.293 »0 135

1 °п Г

^_ _

0.861 —°— г

0.В7Ч с*

0.26 7 аи 135

Рис. .5 Графики безразмерного давления в последовательные моменты времени, результаты расчета — сплошная линия, экспериментальные данные -белые кружки.

результаты эксперимента

В § 6.2 приведены результаты трехмерных расчетов дифракции плоской ударной волны на сфере в ударной трубе. Трехмерные расчеты проводились для различных отношений размеров сферы к размерам поперечного сечения ударной трубы для свободной сферы, расположенной в центре поперечного сечения ударной трубы. По результатам вычисления смещающей силы получены графики зависимости пути, скорости и

ускорения сферы от времени. Результаты расчетов демонстрируют пригодность алгоритмов и программ для проведения расчетов по определению нестационарных аэродинамических нагрузок при воздействии на летательные аппараты ударных волн.

В § 6.3 приводятся результаты численных исследований перехода регулярное - маховское отражение при дифракции ударной волны на цилиндре и цилиндрическом сегменте. Взаимодействие ударной волны с цилиндром относительно интенсивно изучалось последние десятилетия. При прохождении ударной волны по поперечному выпуклому цилиндру отражение возникает вначале как регулярное отражение, которое затем переходит в маховское отражение при уменьшении угла между поверхностью цилиндра и падающей ударной волной. Были проведены многочисленные эксперименты по определению критических значений утла перехода от регулярного к маховскому отражению для цилиндра и от маховского к регулярному для вогнутой стенки для широкого диапазона чисел Маха. При переходе от регулярного отражения к маховскому возникновение ножки Маха и контактного разрыва точно определяло точку перехода. При переходе от маховского отражения к регулярному исчезновение линии контактного разрыва определяло точку перехода. Предложено несколько критериев определения точки перехода регулярное-маховское отражение. По результатам экспериментов рядом авторов было сделано заключение, что критический угол перехода для заданного числа Маха ударной волны на криволинейной стенке зависит от радиуса кривизны стенки (в частности, от величины радиуса цилиндра), не согласующееся с аналитическими результатами, сделанными на основе невязкой модели, в которой игнорируется существование на стенке пограничного слоя. Впоследствии была установлено определяющее влияние вязкости на величину угла перехода регулярное-маховское отражение. Задача первоначально была поставлена автору профессором W.H.HeiHg'oм в 1994 году, позднее постановка задачи была сформулирована автору в 1995-1996

33

гг. профессором Л.Г.Гвоздевой. Исследование проводилось по предположениям о зависимости значения угла перехода от первоначального радиуса кривизны. Исследования проводились во второй половине 1990-х годов и в тот момент были актуальны.

В главе 7 диссертации приведено описание комплекса программ для расчета течений горения и детонации газовых смесей. Обсуждаются также некоторые вопросы разработки исследовательских проблемно-ориентированных комплексов программ.

В § 7.1 представлены структура и возможности описываемого комплекса, перечислены проведенные с его помощью ранее численные исследования газодинамических задач (не вошедшие в результаты диссертации), обсуждаются направления его дальнейшего развития.

Программы, разработанные по описанным в главах 1-3 диссертации алгоритмам численного моделирования газодинамических течений и построения расчетных сеток, объединены в комплекс программ для расчета двух- и трехмерных течений газа, а также течений горения и детонации газовых смесей. Указанный комплекс, содержащий также небольшую системную часть, состоящую из программ визуализации и подготовки данных, эксплуатировался и развивался более 15 лет [2,14-16,24].

Относительно долгая жизнь комплекса обусловлена прежде всего удачным перспективным выбором основных используемых численных алгоритмов — разностной схемой Хартена второго порядка точности по пространству и времени для уравнений Эйлера и относительно простым в реализации алгоритмом построения эллиптических расчетных сеток на основе решения системы уравнений Пуассона.

В § 7.2 обсуждаются некоторые вопросы разработки исследовательских комплексов программ. Целью обсуждение является определение места и назначения описываемого комплекса среди имеющихся программных продуктов, в частности универсальных коммерческих пакетов для расчета задач газовой динамики (например, Fluent, Ansys CFX, Star-CD и др.).

Дается определение исследовательского комплекса программ, который, подобно лабораторному оборудованию, при высоких требованиях на точность и надежность работы, мог бы быть быстро скомпонован из отдельных проверенных в работе блоков и при необходимости быстро переделан для решения новых, качественно отличных, задач.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Разработана модификация схем Хартена [3,5,6,18,19] и Чакраварти-Ошера [20,21,30] с временной аппроксимацией по методу Рунге-Кутты третьего суммарного порядка точности, заключающаяся в поправке формул Ройе.

2. Разработана модификация метода коррекции потоков [10-13,17], заключающаяся в отдельной аппроксимации неконвективной части тензора потоков, соответствующей тензору напряжений.

3. Проведено сравнение различных математических моделей, используемых для моделирования течений горения и детонации газовых смесей. Дано обоснование выбора автором упрощенной модели двухстадийной химической реакции. Для выбранной модели предложена реализация ТУБ-схемы Хартена для моделирования течений газовых смесей с горением и детонацией в двух вариантах: без расщепления с общим решением уравнений газовой динамики и уравнения кинетики и с раздельным решением на основе схемы Хартена системы уравнений газовой динамики и уравнений кинетики [7,22,23,29].

4. Получена модификация математической модели Томпсона для конструирования многомерных криволинейных эллиптических сеток, заключающаяся в задании специального вида контрольных функций, управляющих геометрической адаптацией сетки. Разработан алгоритм построения двумерных и трехмерных эллиптических сеток на основе этой модификации математической модели . Предложен алгоритм построения двух и трехмерных блочных сеток, сохраняющих гладкость на границе сшивки блоков [3,17-19].

5. Указанные численные методы и алгоритмы были реализованы в виде комплекса проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента для течений горения и детонации и дифракции ударных волн. С помощью указанного комплекса программ были проведены циклы расчетов по:

- численному моделированию течений в инжекторах и каналах с сужениями;

- численному моделированию течений горения и детонации в пульсационном детонационном [6,7] и ротационном детонационном двигателе [29];

- численному моделированию взрыва водородно-воздушной смеси под оболочкой (контейнментом) атомного реактора [20];

- осесимметричной дифракции ударной волны на сфере в ударной трубе [17,20,21,30];

- определению точки перехода регулярного и маховского отражения ударной волны на цилиндрическом сегменте [3].

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Монография

1. Численное моделирование на основе метода конечного объема в задачах горения и дифракции ударных волн/ С.Н. Мартюшов. — Новосибирск: Наука, 2011 — 216 с.

Статьи в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК.

2. Мартюшов С.Н. Методика «МОДАМС» для расчета осесимметричных задач обтекания методом конечных объемов,- // Вопросы атомной науки и техники. Методики и программы численного решения задач математической физики—1988.— вып. 2, М. С. 49-56.

3. Мартюшов С.Н. Расчет двух нестационарных задач дифракции на основе явной ТУР схемы Хартена. Журнал "Вычислительные технологии" Новосибирск, 1996.—Т. 1, № 2,— С. 82-89.

4. Мартюшов С.Н. Построение двух- и трехмерных сеток для задач газодинамики на основе решения уравнений Пуассона // Изв. вузов. Механика. -1997-№ 4.-С. 108-114.

5. Мартюшов С.Н. Расчет двумерной дифракции по схеме Хартена второго порядка точности // Вычислительные технологии Новосибирск, 1991.—Т. 2, № 6.-С. 53—60.

6. Мартюшов С.Н., Мартюшова Я.Г. Численное моделирование струйных течений методом конечного объема на основе Т\Ш схемы 2-го порядка точности // Вычислительные технологии. Новосибирск, 2004.-Т. 9, № 4.-С. 57-65.

7. Мартюшов С.Н., Мартюшова Я.Г. Численное моделирование течений детонации газовых смесей методом конечного объема // Вычислительные технологии. Новосибирск, 2008—Т. 13, № 1. -С. 88-97.

8. Мартюшов С.Н., Мартюшова Я.Г. Численное моделирование течений в детонационном двигателе // Вычислительные технологии. Новосибирск, 2011 .—Т. 16, № 4 —С. 72-79.

9. Мартюшов С.Н. Использование водорода в качестве моторного топлива и конструирование детонационных двигателей // Автогазозаправочный комплекс и альтернативное топливо. Москва, 2011 № 5,—С. 13-19.

Статьи в рецензируемых журналах и сборниках

10. Мартюшов С.Н. Области эллиптичности в задаче об угловом поршне // Численные методы механики сплошной среды.-1984. -Т. 15, № 5.-С. 118-131.

11. Мартюшов С.Н. Модификация метода конечного объема для расчета внешних задач обтекания // Моделирование в механике. -Новосибирск, 1989. -Т. 3(20), № 6 - С. 126-130.

12. Мартюшов С.Н. Расчет пространственных задач обтекания на основе Т\Т> схемы Хартена II Вычислительные технологии. - Новосибирск, 1995. Т. 14, № 12. С. 219-228.

13. Мартюшов С.Н. Расчет нестационарных задач обтекания методом конечного объема на блочных регулярных сетках // Совместный выпуск по материалам Междунар. конф. «Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании», Журнал «Вычислительные технологии» Том 13, и Вестник КАЗНУ им. Фараби, № 3 (58), часть 2 Алматы; Новосибирск, 2008. —С. 398—405.

14. Мартюшов С.Н., Мартюшова Я.Г. Численное моделирование горения и детонации газовых смесей методом конечного объема // Вычислительные технологии. 2004. Алматы; Новосибирск. —Т. 9, ч. 3.—С. 136—139. (По материалам

Международной конф. «Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании»),

15. Мартюшов С.Н. О равномерном движении углового поршня в политропном газе // Точные и приближенные методы исследования задач механики сплошной среды. Свердловск: УНЦ АН СССР,1983. -С. 78-92.

16. Мартюшов С.Н. Плоский секториальный распад разрыва идеального газа. -Свердловск, 1989.—(Препр. Ин-та математики и механики Уральского отделения АН СССР) —69 с.

17. Мартюшов С.Н. О встречной и догонной осесимметричной дифракции на сфере // Приближенные методы исследования нелинейных задач механики сплошной среды. -Свердловск: Изд-во УНЦ, 1992. -С. 23—33.

Прочие публикации

18. Мартюшов С.Н. Комплекс программ для расчета задач обтекания невязкого газа //Тез. Школы по комплексам программ. —Красноярск: Ин-т выч. техн. КНЦ СО АН СССР, 1990.

19. Мартюшов С.Н. Алгоритм и комплекс программ «МОДАМС» для расчета пространственных задач обтекания в идеальном газе для трансзвукового диапазона Тез. конф. «Актуальные задачи прикладной математики», Саратов, 1991. — Т. 1.

20. Мартюшов С.Н. Комплекс программ «МОДАМС» для расчета задач обтекания для невязкого газа // Тез. конф. «Вычислительные технологии», Ростов н/Д, 1992.— Т. 1, ч. 2

21. Мартюшов С.Н. Расчет двух нестационарных задач дифракции на основе явной TVD схемы Хартена // Тез. конф. «Математические модели и численные методы механики сплошной среды» под ред. Ю.И. Шокина. Новосибирск, 1996,— С.388-389.

22. Мартюшов С.Н. Расчет нестационарной дифракции как тест на точность по времени явного алгоритма // Тр. Междунар. конф. МИТ-2009 «Математические и информационные технологии» - Копаоник, Сербия, 2009. -С. 216-220.

23. Мартюшов С.Н., Мартюшова Я.Г. Моделирование течений горения и детонации на основе TVD схемы Хартена 2-го порядка точности // Материалы 5-го Всерос. семинара «Сеточные методы для краевых задач и приложения»,—Казань, 2004.—С. 154-158.

24. Martyushov S.N. Complex of codes «Modams» for streamproblem calculations for spatial bodies in book of abstract, 2, // Third Russian—Japan Joint Symposium on Computational Fluid Dynamics-Vladivostok. Russia.-1992.-P. 139.

25. Martyushov S.N. Construction of calculation grids on the basis of Poisson equation decision. // Proc. of 15—th IMACS World Congress on Scientific Computation, Modelling and Appl.Maths.— Berlin.-1997.-Vol. 2.-P. 191-195.

26. Martyushov S.N. Numerical grid generation in computational field simulation // Proc. of the 6-th International Conf. Greenwich.— 1998.-P. 249-256.

27. Martyushov S.N. Numerical simulation of gas mixed detonation flows by finite volume method II Proc. of 3-rd International conference on finite difference methods: Theory and Applications. Rousse, Bulgaria.—2006. —P. 16.

28. Martyushov S.N., Martyushova Y.G. Numerical simulation of shock wave diffraction on the sphere in the shock tube // Proc. of 4-th International conference on numerical analys and its application., ed. S. Margelov, L. Vulkov, J. Wasniewski,—Lectures Notes in Computer Science. Rousse, Bulgaria. Springer, 2009,—P. 408-414.

29. Мартюшов C.H. Численное моделирование детонации в импульсном детонационном двигателе // Тезисы докладов Международной конференции «Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика». - Новосибирск, 2011, с. 76.

30. Martyushov S.N. Visualization in complex of codes for numerical simulation of deglagration and difraction of shock waves // Proc. of the 8-th Pacific Symposium on Flow Visualization and Image Processing. Moscow.Lomonosov Moscow State University. 2011.n46.

31. Martyushov S.N. Numerical simulation of flows in detonation engines devices // Abstracts of International Conference Mathematical and Informational Technologies. Vrnyachka Banya. Serbia.2011. P. 104.

Автореферат:

Формат 60x84/16. Объем 2,0 усл. печ. л. Подписано к печати 05.12.2011 Тираж 100 экз. Заказ № 1292.

Отпечатано ЗАО РИЦ «Прайс-курьер» ул. Кутателадзе, 4г, т. 330-7202

Введение

Глава 1. Нелинейные разностные алгоритмы для численного моделирования течений невязкого идеального газа

§ 1.1 Разностный алгоритм Хартена.

§ 1.2 Схема Чакраварти - Ошера.

§ 1.3 Метод коррекции потоков.

§ 1.4 Дискретизация по времени.

§ 1.5 Особенности задания краевых условий в нестационарных разностных задачах настоящего комплекса программ.

Глава 2. Моделирование течений горения и детонации

и детонации, основные области применения. 65

§ 2.2 Описание математических моделей течений горения 72 и детонации газовых смесей.

§ 2.3 Разностный алгоритм на основе схемы Хартена для численного моделирования течений смеси реагирующих невязких газов. 77

§ 2.4 Некоторые особенности вычисления собственных векторов и собственных значений матрицы потоков в разностных алгоритмах.83

Глава 3. Алгоритмы построения расчетных сеток. 91

§3.1 Уравнения Пуассона для построения эллиптических сеток. 92

§ 3.2 Описание алгоритма построения двумерных сеток 99 § 3.3 Построение трехмерных сеток и сеток на 103 поверхности.

§ 3.4 Построение блочных структурированных сеток для расчета течений в областях сложной формы и разномасштабных течений. 105

§ 3.5 Вычисление геометрических величин структурированных сеток в рамках метода конечного объема. 109

Глава 4. Сравнение моделей конечного объема и конечных разностей 114

§4.1 Сравнение метода конечного объема и метода конечных разностей. 114

§ 4.2 Рассмотрение краевых условий в конечно

Объемной и конечно разностной постановке. 129

Глава 5. Численное моделирование течений горения и детонации газовых смесей. 139

§ 5.1 Численное моделирование течений в инжекторах. 143 § 5.2 Численное моделирование инициации детонации в каналах сложной формы. 150

§ 5.3 Численное моделирование работы импульсного детонационного двигателя. 157

§ 5.4 Численное моделирование течений в спиновом детонационном двигателе. 167

§ 5.5 Расчет горения и детонации водородсодержащей газовой смеси под оболочкой реакторного зала. 172

Глава 6. Расчет течений дифракции ударных волн на свободном и закрепленном теле. 181

§ 6.1 Дифракция плоской ударной волны на сфере в ударной трубе .182

§ 6.2 Дифракция плоской ударной волны на сфере в ударной трубе. Трехмерные расчеты. 191

§ 6.3 Переход регулярное — маховское отражение при дифракции ударной волны на цилиндре и цилиндрическом сегменте. 196

Глава 7. Некоторые вопросы разработки исследовательских комплексов программ. Описание комплекса программ для расчета течений горения и детонации газовых смесей. 207

§ 7.1 Описание комплекса программ.207

§ 7.2 Некоторые вопросы разработки исследовательских комплексов программ.214

Заключение.223

Приложение к главе 3.230

Библиографический список.237

Введение

Численное моделирование и вычислительный эксперимент в последние 20-30 лет стали не только одним из основных инструментов научных исследований, но и основой проектно-конструкторской работы. Сегодня проектирование современных машин и механизмов, зданий и сооружений невозможно без использования результатов вычислительного эксперимента. Более того, цифровые фотографии результатов натурных научных экспериментов для получения количественных данных в современных Р1У-технологиях обрабатываются численными математическими методами.

При всем многообразии методов и подходов в численном моделировании можно выделить необходимые составные части этого процесса. Это выбор математической модели в виде систем уравнений или неравенств, адекватно описывающей исследуемые физические процессы, разработка вычислительного алгоритма, или совокупности алгоритмов для численного решения уравнений математической модели, создание на основе этих алгоритмов программ, комплексов или пакетов программ.

Совокупность численных алгоритмов делится на алгоритмы временной и пространственной дискретизации и алгоритмы построения расчетных сеток для получения решения в дискретных точках. В свою очередь комплексы и пакеты программ содержат более или менее развитые системы обработки и визуализации результатов численного эксперимента.

Нелинейные разностные схемы

Численное моделирование многих практически важных задач газовой динамики, связанных с исследованием течений достаточно сложной структуры, целесообразно выполнять на основе модели невязкого нетеплопроводного газа в интегральной форме, допускающей существование обобщенных решений и не требующей явного выделения возникающих в течении разрывов, в сочетании с разностными схемами сквозного счета (РССС) - схемами, основанными на использовании уравнений газовой динамики в интегральной форме (метода конечного объема). В такой постановке обычно рассчитываются как стационарные течения с более или менее многочисленными сильными и слабыми разрывами (в том числе и взаимодействующими между собой), так и нестационарные, при моделировании которых применение РССС особенно оправданно вследствие возможного качественного изменения всей структуры течения со временем.

Для решения нестационарных задач механики сплошной среды естественными преимуществами обладают разностные алгоритмы, основанные на моделировании распада разрыва - схемы типа Годунова (Godunov-type schemes в международной терминологии) высокого порядка аппроксимации. Однако, как было показано С.К. Годуновым [95], задача построения монотонной схемы порядка аппроксимации выше первого на фиксированном шаблоне не имеет решения. Поэтому развитие схем типа Годунова в направлении повышения порядка аппроксимации происходило в нескольких направлениях: методы фильтрации сеточных функций [5], подавляющие высокочастотные гармоники решения, методы введения в областях больших градиентов дополнительных диссипативных членов (члены с "искусственной вязкостью"), сглаживающих решение, либо использование нелинейных алгоритмов расчета, обеспечивающих противопоточный характер схем высокого порядка аппроксимации.

По-видимому, наиболее перспективными среди существующих РССС являются противопоточные методы повышенного (второго и выше) порядка аппроксимации, при построении которых так или иначе, используются характеристические свойства решаемой системы уравнений. К ним относятся схемы с "плюс-минус" расщеплением вектора потока [100,167,182,200], а также все разновидности разностных методов, основанных на использовании точного или приближенного решения задачи о распаде разрыва [120,130,132,172]. Для обеспечения квазимонотонности решения подавляющее большинство этих схем построено с использованием принципа невозрастания полной вариации решения, т.е. принадлежат к семейству TVD (Total Variation Diminishing). Последний термин, предложенный А. Хартеном, объединяет алгоритмы, которые, будучи примененными к решению нелинейных скалярных уравнений или систем уравнений с постоянными коэффициентами, обеспечивают невозрастание полной вариации численного решения; иными словами, исключают возможность как возникновения новых, так и усиления существующих экстремумов решения. Отметим, что в случае гиперболических систем нелинейных уравнений свойство квазимонотонности TVD-схем не доказано и может быть проверено только численными экспериментами.

В последнее 15 лет нелинейные разностные схемы сквозного счета высокого порядка точности, в частности семейства TVD и ENO-схем, находят широкое применение в расчетах газодинамических течений. В настоящей работе описываются вопросы применения TVD-схем, а именно схем Хартена (с работ которого и началось развитие TVD-схем) и Чакраварти к расчетам течений быстрого * горения и детонации газовых смесей и задачам дифракции ударных волн.

Все TVD-схемы, по самому способу их построения, являются существенно нелинейными (даже в случае линейных уравнений с постоянными коэффициентами) и гибридными. Нетрудно показать, что любую из TVD-схем повышенного порядка аппроксимации можно представить в виде комбинации некоторой диссипативной схемы (обычно схемы с разностями против потока o(h)) и дополнительных слагаемых, уменьшающих ее диссипативность. Выделенные слагаемые (по смыслу аналогичные антидиффузионным потокам в методе коррекции потоков Бориса-Бука [108]) обеспечивают повышение порядка аппроксимации схемы от o(h) до o(hp). Однако для придания схеме свойств квазимотонности в соответствии с TVD-принципом антидиффузионные слагаемые (потоки) должны быть ограничены. Способ ограничения антидиффузионных потоков не единственен. Выбор этого способа во многом определяет свойства построенной TVD-схемы. Подробно различные типы ограничителей рассмотрены в работе [36].

Обобщение ТУО-схем на случай систем гиперболических уравнений производится посредством расщепления рассматриваемой системы на уравнения для характеристических переменных и применения к каждому отдельно взятому уравнению построенной в скалярном случае схемы [36,108,120,130,172]. Переход от консервативных переменных к характеристическим и обратно осуществляется локальным образом и является, по сути дела, вариантом приближенного решения задачи о распаде газодинамического разрыва на грани расчетной ячейки.

Использование при сквозном счете интегральных уравнений газовой динамики для консервативных переменных расширяет класс возможных решений уравнений до обобщенных. Однако выполнение условия невозрастания полной вариации не решает единственным образом вопрос о выборе в ходе расчета физически верного решения. В получаемых по ТУЭ-схемам результатах могут возникать так называемые "скачки разрежения" (т.е. разрывы, сопровождающиеся уменьшением энтропии) вместо гладких решений (волн разрежения). При этом для отбора истинного решения приходится привлекать дополнительные соображения: например, требовать неубывания энтропии на разрывах.

Дискретизация по времени. С точки зрения дискретизации по времени разностные схемы метода контрольного объема могут быть явным или неявными. Следует отметить, что физически некорректное моделирование распространения возмущений, связанное с типом разностной схемы, приводит к ухудшению качества численного решения. Явные схемы оказываются лучше согласованными с конечной скоростью распространения возмущений, характерной для гиперболических уравнений, ограничивая их перенос одним шагом сетки за один шаг по времени. Рост мощности современных многопроцессорных вычислительных систем делает оправданным использование простых явных конечно-разностных схем.

Дискретизация по пространству. Различные версии метода контрольного объема отличаются способом вычисления потоков. Одна из характерных особенностей решений системы уравнений газовой динамики состоит в возможности возникновения и распространения разрывов в первоначально непрерывном решении. Наличие этой особенности накладывает определенные требования на численный метод, претендующий на возможность использования в широком диапазоне скоростей течения газа. При расчете высокоскоростных течений важной представляется консервативность разностной схемы, обеспечивающая правильное определение скорости распространения ударных волн и контактных разрывов. В областях малого изменения искомых функций (например, при распространении слабых акустических колебаний) желательно использовать разностные схемы с хорошими дисперсионными и диссипативными свойствами, когда амплитудные и фазовые ошибки при переносе гармоник невелики. К другим требованиям относятся отсутствие нефизических осцилляций решения и достижение как минимум второго порядка, точности в областях, где отсутствуют большие градиенты искомых функций.

В методе Годунова [24] для вычисления газодинамических величин на гранях использовалось точное решение задачи о распаде произвольного разрыва. В дальнейшем стали применяться приближенные решения задачи о распаде произвольного разрыва (одними из первых были получены схемы Ройе [172] и Ошера [164]).

Основная проблема при построении разностных схем расчета потоков заключается в желании повысить порядок аппроксимации и одновременно обеспечить получение монотонного численного решения при наличии слабых и сильных разрывов.

Свойством монотонности обладает схема Годунова [24], имеющая первый порядок точности, а также ее различные модификации. Схема Годунова основана на кусочно-постоянном распределении параметров течения на нижнем временном слое и точном решении задачи о распаде произвольного разрыва.

Как указывалось выше, С.К. Годуновым [23] показано, что не существует линейной монотонной разностной схемы выше первого порядка точности (теорема Годунова). Выход из противоречия между необходимостью получения монотонного решения и повышением порядка аппроксимации предложен в работе В.П. Колгана [40] и независимо в работах А. Хартена [37,130,131,206,207]. Смысл этих и последующих работ данного направления заключается в создании нелинейных механизмов, обеспечивающих непрерывный переход от немонотонной схемы второго порядка аппроксимации с центральными разностями к монотонной схеме первого порядка с односторонними разностями в узлах сетки. Разностные схемы с повышенным порядком аппроксимации используются в узлах, в которых численное решение является гладким, а в точках, решение в которых имеет разрывы, используются монотонные разностные схемы низкой точности.

Принцип минимальных значений производных, применяемый в схеме Колгана [40] позволяет повысить порядок схемы Годунова до второго по всем направлениям, за исключением направления интегрирования. Схема Колгана является неоднородной, но сохраняет свойство монотонности, позволяя уменьшить размывание контактных разрывов и слабых скачков уплотнения, а также достичь большей точности в областях непрерывного изменения решения.

Другой вариант принципа минимальных производных для построения разностных схем второго порядка представлен в работе [204]. Для повышения порядка аппроксимации базовой схемы первого порядка применяются подходы, согласованные с условием неубывания энтропии и его следствиями [154].

Развитие монотонизированных разностных схем повышенного порядка точности связано с работами Ван Лира [196-199]. Недостатки этих подходов (flux limited method). а также метода коррекции потока Бориса-Бука [108, 109] (flux correction transport) связаны с тем, что в них делается попытка добиться монотонности физических переменных (например, скорости и давления), которые, в принципе, не обязаны быть монотонными. Дифференциальные уравнения газовой динамики удовлетворяют принципу максимума для инвариантов Римана, в то время как принцип максимума для физических переменных в уравнениях газовой динамики не имеет места (даже для гладких решений).

Общим для всех методов подобного класса является использование разнообразных монотонизирующих ограничителей потоков с переключателями, зависящими от локальных свойств решения. Имеется много различных ограничителей, начиная от простого ограничителя Ван Лира [200] до сложных, с большим числом переключений [18].

Большинство ограничителей имеют дискретные переключатели типа ma\(fi,f2), что приводит к разрыву первой производной и снижению точности использование абсолютных значений контрольных функций имеет тот же смысл и приводит к тем же последствиям), в связи с чем применяются гладкие ограничители.

В методе FCT на шаге предиктора вносится сильная диффузия, а на шаге корректора - равная ей антидиффузия [109]. Шаг предиктора осуществляется с использованием схемы низкого порядка, гарантирующей отсутствие нефизических осцилляций решения. Ограничение антидиффузии проводится таким образом, чтобы в решении не возникало новых максимумов или минимумов, а имеющиеся экстремумы не усиливались. Несмотря на эффективность метода FCT, дать его теоретическое обоснование достаточно трудно [109].

Перспективный путь создания схем повышенного порядка точности -использование нелинейных разностных схем, в которых аппроксимация может локально ухудшаться - схем TVD (Total Variation Diminishing), или схем, в которых монотонность выполняется только в некотором смысле - схем ENO (Essentially Non-Oscillatory). Схемы TVD и ENO позволяют получить монотонное решение без чрезмерного измельчения сетки, хотя и требуют дополнительных операций на каждом шаге интегрирования по времени.

Схемы TVD. В работах А.Хартена [37, 130,131,206,207] разработан TVD-метод, который обеспечивает выполнение принципа максимума для характеристических переменных (для инвариантов Римана в одномерной газовой динамике) и более точно передает характер поведения разрывных решений.

В противоположность методу FCT, схемы TVD одношаговые, а выбор свободных параметров сводится к выбору ограничителя потока. Простая структура ограничителя и одношаговая структура алгоритма ограничения потоков обеспечивают экономичность схем TVD.

Кроме требования монотонности или требования невозрастания полной вариации, большое влияние на точность расчетов оказывают дополнительные ограничения, в частности условие неубывания энтропии [164]. Это требование необходимо тем или иным способом учитывать при построении разностных схем газовой динамики, чтобы не возникало ударных волн разрежения в звуковой точке при описании сверхзвуковых течений в переменных Эйлера. Требование неубывания энтропии накладывает дополнительные ограничения на разностные

TVD-схемы, а также конструкции ограничителей потоков, усложняя вид переключателей.

Подробный обзор развития ENO-идеологии построения разностных схем дан в работе [82].

Широкое распространение получила нелинейная схема MUSCL [122] и ее модификации, базирующаяся на несколько другой идеологии. Помимо техники ограничения потоков, при построении монотонизированных разностных схем повышенного порядка аппроксимации используется техника монотонной интерполяции сеточных решений (Monotonie Upwind Scheme for Conservation Lows -MUSCL). Вместо потоков из соседних ячеек экстраполируются переменные, величина их производных ограничивается, а уточненные значения подставляются в выражения для потоков. Преимущество схемы MUSCL состоит в возможности повышения точности схемы за счет изменения порядка интерполяции в пределах ячейки.

Другим широко используемым представителем класса TVD - схем является схема Чакраварти-Ошера, основанная на кусочно-параболическом распределении искомых переменных в пределах ячейки [94,119].

Необходимо отметить широкое распространение в последние годы отечественных нелинейных схем высокого порядка точности [17,80,81].

В настоящей работе описываются предложенные автором модификации разностных схем.

Модификация автором а-варианта схемы Хартена [60-62,64,69] заключается в уточнении алгоритма приближенного расчета распада разрыва на границе контрольного объема, предложенного P.L.Roe [172], в соответствии с требованием монотонности профиля скорости звука, установленного M.Vinokur'oM [201]. Указанная модификация была разработана в 1995-1997 гг. Предложена оригинальная реализация TVD-схемы Чакраварти-Ошера в комбинации с временной аппроксимацией по методу Рунге-Кутты третьего суммарного порядка точности (6) [42,65,66,159]. Предложена модификация схемы SHASTA, смысл которой заключается в использовании различной аппроксимации в рамках метода конечного объема для тензора напряжений и для интеграла от тензора потоков через поверхность контрольного объема [51,52,54,55,59]. В целом данная модификация соответствует идее расщепления уравнений по физическим процессам [39, 98] и обеспечивает повышение устойчивости расчетов. Кроме того, автором были введены упрощенные значения весовых множителей к значениям диффузионных потоков.

Конструирование эллиптических расчетных сеток для расчета внутренних течений и течений реагирующих газов.

Прогресс развития численного моделирования в газовой динамике, повышение точности расчетов, качественный скачок в разрешающей способности алгоритмов в последние годы связан в большей степени с прогрессом в конструировании расчетных сеток и включении алгоритма построения сеток в структуру численного алгоритма, чем с повышением порядка точности моделирующего разностного алгоритма [10,106]. В этом смысле можно утверждать, что алгоритм построения расчетной сетки стал частью численного алгоритма решения газодинамической задачи, причем иногда определяющей точность и качество алгоритма в целом.

Основные требования к качеству сетки были сформулированы еще в первых теоретических работах, провозгласивших конструирование расчетных сеток частью вычислительной науки [16,26,193]:

- гладкость или равномерность расчетной сетки, этим свойством харктеризуется небольшое различие в форме и размерах соседних ячеек;

- ортогональность или близость к ортогональности координатных сеточных линий (иногда это свойство снижается до ортогональности на границе или части границы расчетной области);

- невырожденность и малая деформация ячеек (размеры ячеек в разных координатных направлениях должны быть близкими или соизмеримыми);

- адаптация расчетной сетки к виду расчетной области или особенностям решения основной задачи (имеется в виду и сгущение сетки в областях больших градиентов искомых функций, например ударных волн и контактных разрывов, в погранслоях и внутренних слоях, а также согласованность сеточных линий с векторными полями решения, например магнитными полями).

Последнее требование-свойство вызывает необходимость использования подвижных сеток, [26] перестраивающихся в процессе расчета нестационарных течений, и учета движения узлов и граней ячеек сетки в основном алгоритме расчета.

Это же последнее требование устанавливает место построения расчетных сеток в процессе численного моделирования. Расчетная сетка не может быть хорошей или плохой вне зависимости от задачи, которая с ее помощью решается и которая определяет понятие "оптимальности" сетки. Сетка оптимальная для решения одной задачи может быть полностью непригодна для решения другой. Это требование обусловливает в конечном счете и метод построения и выбор типа расчетной сетки. Необходимо отметить, что указанные требования -ортогональность или близость к ортогональности, невырожденность, равномерность и адаптация - являются противоречивыми и построение сетки, оптимально сочетающей эти свойства, составляет само по себе проблему.

В то же время, поскольку задача построения расчетной сетки для многих вычислителей по-прежнему представляется вспомогательной, возникает требование автоматизации процесса построения расчетных сеток [192] и разработки программного обеспечения, которое обеспечивало бы вычислителя оптимальной в некотором смысле расчетной сеткой с минимальными затратами [191].

Одним из источников снижения точности в численном моделировании является использование готовых пакетов программ с целью скорейшего построения расчетных сеток для решения прикладных задач. При этом подчас используются сетки, "оптимальные" совсем для другой постановки задачи.

Сетки различаются идеологией построения, или типом сетки (регулярные или структурированные, неструктурированные, блочные, гибридные) и методами построения, выбором алгоритма построения сетки.

Регулярные сетки широко применяются при решении задач газовой динамики (структурированные сетки с четырехугольными или треугольными ячейками на поверхности и шестигранными в пространстве). Регулярность заключается в том, что сетка представляет собой упорядоченную по определенным правилам структуру данных с выраженными сеточными направлениями [193]. На структурированных сетках сравнительно легко реализуются вычислительные алгоритмы на основе метода конечных разностей или метода конечных объемов и современных монотонных методов высокого порядка точности. Регулярные сетки позволяют использовать методы расщепления для решения многомерных задач и реализовать сравнительно простую векторизацию программы.

Для построения регулярной сетки в сложной области применяется преобразование координат общего вида, основная цель которого состоит в получении равномерной сетки в вычислительном пространстве, представляющем собой прямоугольник. При этом физические границы расчетной области совпадают с координатными линиями в вычислительном пространстве.

Методы построения регулярных сеток делятся на алгебраические, дифференциальные, методы с использованием теории функций комплексной переменной (методы конформных и квазиконформных отображений [6,25,27,175]) и вариационные методы. При этом различные типы методов построения нацелены на удовлетворение одному или нескольким из перечисленных выше противоречивых требований к построению сетки.

Вариационный подход построения расчетных сеток заключается в прямой минимизации суммы нескольких функционалов, отвечающих за различные оптимальные свойства сеток: близости к равномерной, близости к ортогональной, адаптации к решению [50,93,101,140].

Основная идея алгебраических методов [181] состоит в использовании интерполяции граничных данных для расчета внутренних узлов сетки. Контроль за размещением узлов сетки осуществляется с помощью функций растяжения (stretching function). Широкое применение находят метод двух границ (two boundary method), метод многих поверхностей (multi surface method) и метод трансфинитной интерполяции (transfinite interpolation). Алгебраические сетки удовлетворяют критериям гладкости или равномерности расчетной сетки, а также требованиям автоматизации процесса построения расчетных сеток и минимизации затрат.

Для построения конформных сеток применяется преобразование Шварца-Кристоффеля [6,25,27]. К недостаткам конформных сеток относятся: ограничение на размерность сетки (двумерные), нетривиальность выбора последовательности конформных отображений для области сложной конфигурации, сложность построения обратного преобразования (из вычислительного пространства в физическое). Эти методы удовлетворяют критерию ортогональности.

Ортогональные сетки строятся либо методом конформных отображений с последующим растяжением узлов [175] (конформность нарушается, но требование ортогональности соблюдается), либо дифференциальными методами [192,193] (во многих случаях они приводят к сильной деформации сетки в физической области). Уравнения для построения локально ортогональных сеток получаются на основе принципов вариационного исчисления [93].

Дифференциальные сетки строятся на основе решения дифференциальных уравнений в частных производных [83,110,121,192,193,202]. Этот тип сеток удовлетворяет критерию равномерности расчетной сетки. В зависимости от типа решаемых уравнений выделяют гиперболические, параболические и эллиптические сетки.

Гиперболические сетки строятся на основе численного решения системы гиперболических уравнений. Уравнения решаются эффективными маршевыми методами и требуют сравнительно небольших затрат времени. Гиперболические уравнения лишены механизма диффузионного сглаживания, поэтому разрывы в начальных данных (угловые точки на границе расчетной области) сохраняются во всей расчетной области, что, вообще говоря, неприемлемо для построения качественной сетки. Граничные условия в физической области используются не в полной мере, что оказывается существенным для ряда задач.

Алгоритмы построения гиперболических расчетных сеток по экономичности не уступают алгебраическим алгоритмам.

Параболические сетки также строятся маршевым методом, что обеспечивает вычислительную эффективность. Вместе с тем параболические уравнения имеют многие свойства эллиптических уравнений, в частности механизм диффузионного сглаживания, который гарантирует отсутствие изломов координатных линий (слабых разрывов в решении). К их недостаткам относится невозможность использования всех граничных условии в физической области, поскольку для параболических уравнений в маршевом направлении граничные условия не ставятся.

Эллиптические сетки строятся при помощи численного решения системы эллиптических уравнений. Эллиптические системы уравнений (обычно используются уравнения типа Пуассона [192,193] либо, в последнее время, уравнения Бельтрами [83,151]) позволяют получить гладкое решение и учесть граничные условия на всех границах физической области. В силу принципа максимума для эллиптических уравнений обеспечивается взаимно -однозначность отображений физической и вычислительной областей. При этом реализуется достаточно гибкий механизм контроля за размещением внутренних узлов сетки [192,193]. Недостатком подхода является необходимость решения больших систем алгебраических уравнений с помощью итерационных методов, что приводит к увеличению времени, необходимого для построении сетки. Кроме удовлетворения критерию равномерности расчетной сетки, эллиптические сетки за счет задания краевых условий могут удовлетворять условию ортогональности на границе или ее части.

С точки зрения вычислительной эффективности предпочтительнее применение алгебраических методов [181], которые позволяют обеспечить условие локальной ортогональности сетки и ее быструю перестройку. Взаимно-однозначность отображений физической и вычислительной областей обеспечивают методы последовательных конформных отображений [6,25,27] и дифференциальный метод на основе решения эллиптических уравнений в частных производных [83,151,192,193,202].

В остальных случаях взаимно-однозначность отображений не гарантируется, поэтому требуется интерактивный процесс генерации сетки с использованием графических средств. В общем случае этот интерактивный процесс требуется для любых подходов к построению сеток в случае областей достаточно сложной формы, а также в связи с тем, что требования к сетке зависят от специфики решаемых задач.

Требование адаптации к решению основной задачи при построении сетки учитывается в рамках вариационного подхода 116,203] и может реализовываться в рамках дифференциального подхода.

Необходимо отметить, что разделение методов построения сеток на эти основные категории во многом условно: так метод Брэкбилла-Зальцмана [110] адаптации сетки к решению основной задачи может реализовываться как на основе принципов вариационного исчисления, так и в рамках построения дифференциальных эллиптических сеток. Построение алгебраических сеток составляет необходимый этап построения дифференциальных эллиптических сеток, а именно: алгебраическая сетка используется как начальное условие для решения системы эллиптических уравнений.

В то же время для достаточно сложных областей и моделирующих физические процессы систем уравнений становится затруднительным построение единой регулярной сетки. В этом случае критерий адаптации к решению требует более сложных алгоритмов конструирования сеток.

Наиболее наглядно представление об уровне развития алгоритмов построения расчетных сеток и их соответствия критерию адаптации можно составить при рассмотрения многосеточных методов (multigrid methods) для структурированных и неструктурированных сеток [10,106]. При использовании многосеточного метода расчета с чередованием расчетов на грубой сетке (coarse grid) и уточняющей сетке (refining grid) [10,106], последняя строится для уточнения структуры подвижных разрывов, многосеточная структура выделяет движущиеся разрывы и возобновляет расчеты на грубой сетке после прохождения фронтов разрывов. При этом производится построение и последующее уничтожение иерархии сеток в трех или четырех уровнях.

Для таких алгоритмов существенным становится вопрос влияния алгоритма построения сетки на численное решение, в частности его единственность. Для многосеточных методов характерно применение в рамках метода конечного объема более простых разностных схем. Достижение точности моделирования течения достигается в большей степени использованием адаптивной многоуровневой разностной сетки, а не повышением порядка точности алгоритма.

Для некоторых классов задач значительного повышения точности расчета без применения многосеточных методов можно достичь выделением отдельных блоков

- подобластей с резким изменением газодинамических параметров и проведения расчетов на блочных сетках.

Блочные сетки. Для построения сетки в сложной области проводится разделение поля течения на подобласти, в каждой из которых генерируется своя сетка [93]. Выделяют метод многоблочного структурирования (multi-block structuring или zonal block) и метод вложенных сеток (embedding grid) или многосеточный метод [10, 11].

Сетки в разных блоках могут иметь различные топологические характеристики (возможно также решение различных моделирующих систем уравнений в разных блоках).

В методе многоблочного структурирования физическая область разбивается на несколько зон, или блоков. В соответствии с граничными условиями для каждой подобласти, для каждого блока строится своя сетка (zonal block). Различают два подхода к организации обмена данными между соседними блоками: сетки из разных блоков стыкуются но поверхности раздела физической области на зоны (patched grid) или сетки из соседних блоков частично перекрывают друг друга (overlapped grid). В случае совпадения границ блоков при переходе от одной зоны к другой сохраняется консервативность разностной схемы и не требуется интерполяция между соседними блоками (однако требование точного совпадения границ блоков накладывает некоторые дополнительные условия на сетку). В случае пересечения границ блоков каждый блок допускает перемещение относительно других блоков, а при переходе от одного блока к другому консервативность схемы не гарантируется и требуется интерполяция искомых функции в пересекающихся областях.

Метод иерархических блочных структур [106] (многосеточный метод) подразумевает иерархическую вложенность блоков сетки друг в друга. Нижестоящие по иерархии сетки погружаются в вышестоящие. Реализация подхода требует, чтобы подобласти не были разъединены и включали одна другую полностью или частично. Многосеточный метод успешно применяется и при использовании неструктурированных сеток [11].

В настоящей работе приводится описание реализованного автором алгоритма построения эллиптических сеток [63,156,157] (1998-2005 гг.). Для конструирования сеток использовалась система уравнений Пуассона. В рамках единого подхода реализованы алгоритмы построения двумерных сеток на плоскости, на поверхности, трехмерных сеток в пространстве, блочных двумерных и трехмерных сеток.

Общая идея алгоритма описана в работе [193], новым является предложенный автором для трехмерного случая вид контрольных функций, управляющих распределением узлов сетки в расчетной области.

Предложена (2005-2006 гг.) также процедура построения двух- и трехмерных блочных сеток с сохранением гладкости координатных линий на границах сопряжения блоков [65,66,69,159]. Представляется перспективным использование этой простой процедуры совместно с методом переменных направлений для одновременного расчета явным методом течений в областях, разделенных на блоки.

Использование детонации газовых смесей в технике и численное моделирование течений горения и детонации газовых смесей.

К числу задач газовой динамики, которые традиционно исследуются методами численного моделирования, относятся задачи инициации и распространения детонационных волн в реагирующей газовой среде. Причина этого в том, что механизм возникновения и распространения детонации, перехода горения в детонацию и обратно сложен и до конца не изучен, несмотря на значительный объем натурных экспериментов. Численные эксперименты в этих условиях служит для дополнения данных натурных экспериментов и моделирования процесса там, где натурные измерения и визуализация затруднены.

Особый интерес исследования детонации связан с возможностью использования детонации в перспективных двигателях новых конструкций. Сгорание топлива при детонации дает примерно 30%-ый выигрыш энергии по сравнению с топливным циклом горения в современных конструкциях двигателей различных типов. Современные исследования сосредоточены на двух основных направлениях разработки детонационного двигателя: различные конструкции импульсного детонационного двигателя [44,48,49,147] и ротационный детонационный двигатель [13, 76].

В отечественных работах, в частности исследованиях горения и детонации группой В.А.Левина, В.В.Маркова и соавторов [46,47], а также М.Ф.Иванова и соавторов [19], применяются численные схемы метода крупных частиц и схемы Годунова

В зарубежной литературе необходимо отметить широкое использование в 1990-е годы для численного моделирования течений горения и детонации на основе уравнений Эйлера с добавлением уравнений, описывающих горение и детонацию газовых смесей, FCT - метода коррекции потоков [77,144,165] в виде схемы SHASTA (в версии одного из разработчиков схемы SHASTA Оран) и в настоящее время - схем ENO высокого порядка аппроксимации.

Автором предложено применение к системе уравнений, описывающих течения горения и детонации смеси реагирующих газов, TVD-схемы Хартена [67,68,70,158]. Алгоритм на основе метода Хартена реализован в двух вариантах: без расщепления с общим решением уравнений газовой динамики и уравнения кинетики и с раздельным решением на основе схемы Хартена уравнений газовой динамики и уравнения кинетики.

Расчет течений дифракции ударных волн на свободном и закрепленном теле.

Взаимодействие ударной волны со сферой - один из известных тестов в ударной газовой динамике. Несмотря на многочисленные эксперименты, нестационарная смещающая сила на сфере, установленной в ударной трубе, в процессе прохождения ударной волны в экспериментах количественно не определена. Наиболее существенным параметром, определяющим течение в данном случае, является коэффициент сопротивления Со. Для вычислений течений газа с частицами (запыленный газ) или при анализе траектории частицы в сверхзвуковом потоке обычно используется коэффициент сопротивления частицы как некая средняя величина в предположении стационарности течения. В некоторых случаях, однако, предположение о стационарности течения вызывает сомнения.

При измерениях с помощью доплеровского лазерного анемометра прохождения частиц пыли через ударную волну в экспериментах в аэродинамических трубах наблюдается сильное воздействие ударной волны на частицы. С другой стороны, при прохождении ударной волны через запыленный газ сам фронт ударной волны может сильно изменяться под влиянием взаимодействия с частицами. Эти два процесса эквивалентны с точки зрения принципа Галилея. Современные исследования по ускорению микрочастиц посредством прохождения ударных волн требуют понимания природы сопротивления во время нестационарного взаимодействия. Смещающая сила частицы может существенно отличаться от той, которую испытывает частица при стационарном обтекании благодаря отражению ударной волны, дифракции ее на частице и фокусировке за ней.

Имеется небольшое число экспериментальных данных в доступной литературе о нестационарных нагрузках при дифракции ударной волны на теле. В основном эти данные получены оптическими методами.

Дополнением натурных экспериментов служат численные расчеты на основе современных численных методов высокого порядка точности.

Проведенные расчеты осесимметричной дифракции ударной волны на сфере на основе алгоритма Чакраварти-Ошера с использованием дискретизации по времени Рунге-Кутты с суммарным третьим порядком точности [59,65,66,159], показали хорошее совпадение с результатами экспериментов и пригодность алгоритмов для моделирования дифракции ударной волны на сферах малого радиуса (2007-2009 гг.).

Выполнены расчеты трехмерной дифракции ударной волны на сфере для двух вариантов: радиус сферы близок к размерам поперечного сечения ударной трубы (методический расчет) и сфера занимает небольшую часть сечения ударной трубы вдоль ее оси симметрии (2008 г.).

В 1995-1997-гг. проведены расчеты перехода регулярное - маховское (для цилиндрического сегмента) отражение и маховсое - регулярное (для вогнутого криволинейного угла), имевшие целью определение зависимости угла перехода от значений угла сопряжения горизонтальной плоскости и криволинейной поверхности (сегментов выпуклого и вогнутого цилиндра). Такая постановка задачи соответствовала имевшимся на тот момент моделям и гипотезам механизмов перехода регулярное - маховское отражение. Результаты расчетов подтверждали зависимость угла перехода регулярное - маховское (для цилиндрического сегмента) и маховское - регулярное (для вогнутого криволинейного угла) от значений угла сопряжения горизонтальной плоскости и криволинейной поверхности (сегментов выпуклого и вогнутого цилиндра).

Комплекс программ

Описываемые в настоящей работе алгоритмы численного моделирования двух- и трехмерных течений идеального газа, а также течений горения и детонации двухкомпонентных газовых смесей и построения расчетных сеток реализованы в виде программ, объединенных в комплекс программ, который эксплуатировался и развивался более 15 лет [53,56-58,155].

Относительно долгая жизнь комплекса обусловлена прежде всего удачным перспективным выбором основных используемых численных алгоритмов -разностной схемой Хартена второго порядка точности по пространству и времени для уравнений Эйлера и относительно простым в реализации алгоритмом построения эллиптических расчетных сеток на основе решения системы уравнений Пуассона. Схема Хартена положила начало развитию целого направления ТУБ-схем в вычислительной газовой динамике. Применение уравнений Пуассона для конструирования расчетных сеток было достаточно продолжительным и широко распространенным, и лишь в последнее время уступило место использованию уравнений Бельтрами.

Время эксплуатации комплекса совпало с периодом быстрой смены вычислительных машин, структурных изменений, переходом на персональные компьютеры. В работе с комплексом программ важное место занимала переработка его составляющих для переноса на другие вычислительные машины. В первую очередь это касалось программ графического интерфейса и в меньшей степени непосредственно вычислительных программ.

В связи с необходимыми процессами переходов, а также назначением комплекса для численного моделирования газодинамических задач при проведении научных исследований и спецификой рассчитываемых задач с существенно различной постановкой и небольшим объемом расчетов по каждой, комплекс не был оснащен оболочкой для представления его в виде пакета или информационной системы. Этот недостаток, однако, позволяет проще адаптировать программы комплекса для решения новых задач и эксплуатации на новой технике.

На момент разработки комплекса его структура и функциональные возможности представляли научную новизну.

Назначение описанного комплекса определяется как исследовательский комплекс программ, комплекс программ для численного моделирования при проведении научных исследований. В соответствии с этим определяются дальнейшие перспективы его использования и развития.

Необходимо отметить, что основные представленные в работе численные результаты: расчеты течений детонации и быстрого горения [67,68,70,158], расчеты течений в инжекторах [69], расчеты течений в каналах на блочных сетках [65,66,159] были получены в последние 5-6 лет и являются новыми. Программные блоки для расчета этих задач - определенная "модернизация" комплекса программ.

Актуально проведение с использованием комплекса программ расчетов новых задач в области горения и детонации, в каналах и областях сложной формы, на подвижных сетках с определением "обратной связи" - влияния рассчитываемого решения на параметры движения расчетной области.

Также актуально дальнейшее расширение возможностей комплекса модулями расчета течений вязкого сжимаемого газа для ламинарных и турбулентных течений.

Целью работы является разработка численных алгоритмов для проведения вычислительного эксперимента в задачах горения и детонации и дифракции ударных волн путем использования последовательно усложняющихся моделей течений горения и детонации, разработки на основе этих алгоритмов программ в составе долговременного комплекса программ для научных исследований, адаптирующегося под новые классы задач и используемой вычислительной техники.

В работе представлены следующие основные результаты:

1. Разработана модификация «-варианта схемы Хартена [60-62,64,69], которая заключается в уточнении алгоритма приближенного расчета распада разрыва на границе контрольного объема.

2. Предложена оригинальная реализация TVD-схемы Чакраварти-Ошера в комбинации с временной аппроксимацией по методу Рунге-Кутты третьего суммарного порядка точности.

3.Разработана модификация схемы SHASTA (метода коррекции потоков), смысл которой заключается в использовании различной аппроксимации в рамках метода конечного объема для тензора напряжений и для интеграла от тензора потоков через поверхность контрольного объема [51,52,54,55,59].

4. Предложена реализация TVD-схемы Хартена для решения системы уравнений сохранения, соответствующих упрощенной двухстадийной модели, описывающей течения горения и детонации Алгоритм на основе метода Хартена реализован в двух вариантах: без расщепления с общим решением уравнений газовой динамики и уравнения кинетики и с раздельным решением на основе схемы Хартена системы уравнений газовой динамики и уравнений кинетики.

5. Получена модификация математической модели для конструирования многомерных криволинейных эллиптических сеток, заключающаяся в задании специального вида контрольных функций, управляющих геометрической адаптацией сетки. Разработан алгоритм построения двумерных и трехмерных эллиптических сеток на основе этой модификации математической модели. Предложен алгоритм построения двух и трехмерных блочных сеток, сохраняющих гладкость на границе сшивки блоков.

7. Указанные численные методы и алгоритмы были реализованы в виде комплекса проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента для течений горения и детонации и дифракции ударных волн.

С помощью указанного комплекса программ были проведены следующие циклы расчетов.

8. Проведен цикл расчетов по численному моделированию течений в инжекторах и каналах с сужениями.

9. Проведен цикл расчетов по численному моделированию течений горения и детонации в пульсационном детонационном двигателе и в пульсационном ротационном детонационного двигателя [117].

10. Проведены расчеты по численному моделированию взрыва водородно-воздушной смеси под оболочкой (контейнментом) атомного реактора.

11. Проведен цикл расчетов осесимметричной дифракции ударной волны на сфере в ударной трубе.

12. Проведен цикл расчетов перехода регулярное - маховское (для цилиндрического сегмента) отражение и маховское- регулярное (для вогнутого криволинейного угла).

Диссертация состоит из введения, 7 глав, заключения и приложения к 3-ей

Основные результаты главы

1. Приводится описание структуры и возможностей комплекса программ расчета нестационарных течений и течений реагирующего газа, составляющих его программ и основных задач, решавшихся с его помощью.

2. Определяется назначение описанного комплекса как исследовательского комплекса программ. В соответствии с этим намечаются дальнейшие перспективы его использования и развития.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Сформулируем основные результаты диссертационной работы.

Предложена модификация а-варианта схемы Хартена [60-62,64,69], которая заключается в уточнении алгоритма приближенного расчета распада разрыва на границе контрольного объема, предложенного Ройе [172], в соответствии с требованием монотонности профиля скорости звука, установленного Vinokur'oM [201].

Указанная модификация схемы Хартена использовалась для расчетов задач дифракции ударной волны на летящем теле и теле в ударной трубе с учетом движения обтекаемого тела под действием ударной волны. Математическая постановка этой задачи представляет самостоятельный теоретический интерес, так как непостоянная скорость обтекаемого тела (входящая в интегральную форму уравнений газовой динамики) является функцией от интеграла по времени и по поверхности тела от искомых газодинамических параметров течения.

Реализован алгоритм третьего порядка точности с использованием для пространственной аппроксимации разностного алгоритма Чакраварти-Ошера и для временной аппроксимации - алгоритма Рунге-Кутты третьего порядка точности. Этот алгоритм применялся для моделирования на основе уравнений Эйлера невязкого газа, а также для проведения расчетов в рамках вязкой модели уравнений Новье-Стокса.

Предложена модификация разностной схемы метода коррекции потоков (FCT) в реализации схемы SHASTA Бориса-Бука. Модификация схемы SHASTA заключается в использовании различной аппроксимации в рамках метода конечного объема для конвективной части тензора потоков и членов с давлением, соответствующих шаровому тензору напряжений, через грани контрольного объема [51,52,54,55,59], а также применении предложенных автором более простых весовых множителей к значениям диффузионных потоков. Данная модификация в большей степени соответствует идеологии метода конечного объема [201].

Описан явный алгоритм расчета течений на блочных сетках методом переменных направлений без понижения порядка точности расчета на линиях сшивки областей.

Приведены консервативные краевые на границах сшивки блочной области, понижающие порядок точности до первого, являющиеся аппроксимацией законов сохранения.

Разработан численный алгоритм для решения системы уравнений, описывающих течения горения и детонации смеси реагирующих газов [67,68,70,158]. Алгоритм на основе схемыа Хартена реализован в двух вариантах: без расщепления с общим решением уравнений газовой динамики и уравнения кинетики и с раздельным решением на основе схемы Хартена уравнений газовой динамики и уравнения кинетики.

В первом случае новым является получение измененного вида характеристических переменных. Выписана общая процедура получения матрицы правых и левых собственных векторов моделирующей системы уравнений сохранения, соответствующая [201]. Данная процедура применима для матриц, соответствующих системам уравнений, описывающих газовые смеси с произвольным числом компонент. Это делает возможным распространение алгоритма на более сложные модели, учитывающие все составляющие процесс горения и детонации реакции, описываемые цепочкой кинетических уравнений.

При раздельном решении уравнений газовой динамики и уравнений кинетики новым является организация общего явного оператора шага по времени.

Оператор шага по времени в координатном направлении раскладывался на три последовательных процедуры: расчет газодинамических потоков и потоков кинетических переменных на основе схемы Хартена, расчет изменения концентраций реагирующих компонент в ячейке контрольного объема алгоритмом Гира решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений и получение новых значений переменных по результатам первых двух шагов.

В рамках этого алгоритма возможно использование как полной системы уравнений кинетики для произвольного числа компонент, так и системы трехмерных уравнений газовой динамики, а также уравнений Навье-Стокса для моделирования вязкости.

Получена модификация математической модели и реализован алгоритм построения эллиптических сеток [63,156,157]. Для конструирования сеток использовалась система уравнений Пуассона. В рамках единого подхода реализованы алгоритмы построения двумерных сеток на плоскости, на поверхности, трехмерных сеток в пространстве, блочных двумерных и трехмерных сеток.

Общий вид математической модели описан в работе [193], новым является предложенный автором для трехмерного случая вид контрольных функций, управляющих распределением узлов сетки в расчетной области.

Предложена процедура построения на основе решения уравнений Пуассона двух- и трехмерных блочных сеток с сохранением гладкости координатных линий на границах сопряжения блоков [65,66,69,159].

Проведены циклы расчетов по моделированию течений горения и детонации:

1) течений в инжекторах и каналах с сужениями; указанные течения во многом определяют характер течения в камерах горения и детонации проектируемых конструкций детонационных двигателей; малые размеры инжекторов и подводящих каналов не позволяют в натурном эксперименте провести визуализацию течений;

2) течений горения и детонации, возникающих при запуске пульсационного детонационного двигателя [67,68,70,158]; результаты расчетов дополняют данные экспериментов на стенде и могут служить для доработки конструкции двигателя; полученные результаты дополняют результаты ранее проведенных расчетов [48, 49, 74, 147, 148, 187] (в них использовались другие значения параметров, определяющих течение) и качественно совпадают с ними;

3) течений горения и детонации, возникающих в спиновом детонационном двигателе [117]; результаты расчетов являются начальным приближением для оптимизации геометрии такого двигателя.

4) взрыва водородо-воздушной смеси под оболочкой (контейнментом) атомного реактора; определены случаи наибольшего приращения давления на свод контейнмента; полученные результаты также качественно совпадают с результатами ранее проведенных расчетов [19].

Проведены циклы расчетов течений горения и детонации:

1) осесимметричной дифракции ударной волны на сфере, показавшие хорошее совпадение с результатами экспериментов [184,188];

2) трехмерной дифракции ударной волны на сфере для двух вариантов: радиус сферы близок к размерам поперечного сечения ударной трубы и сфера занимает небольшую часть сечения ударной трубы вдоль ее оси симметрии;

3) перехода регулярное - маховское (для цилиндрического сегмента) нестационарного отражения и маховское - регулярное (для вогнутого криволинейного угла) (в 1995—1997 гг.), имевшие целью определение зависимости величины угла перехода от значений угла сопряжения горизонтальной плоскости и криволинейной поверхности (сегментов выпуклого и вогнутого цилиндра); такая постановка задачи соответствовала имевшимся на тот момент моделям и гипотезам механизмов перехода регулярное - маховское отражение; результаты расчетов подтверждали виды зависимости угла перехода регулярное - маховское (для цилиндрического сегмента) и маховское - регулярное (для вогнутого криволинейного угла) от значений угла сопряжения горизонтальной плоскости и криволинейной поверхности (сегментов выпуклого и вогнутого цилиндра), определенные в

104,105,113,134,135,137,143,145,146,162,183,185,186]; вычисленные значения точек перехода лежат в границах выявленных в [76] зависимостей.

В заключение сформулируем основные направления развития описанных алгоритмов и возможное направления дальнейших исследований. Развитие используемых в описанном комплексе программ алгоритмов предполагается в следующих основных направлениях.

В части совершенствования используемых алгоритмов - переход к многосеточной идеологии для более точного моделирования конфигураций разрывов в течении. Повышение на этой основе точности численного моделирования как по времени, так и по пространству. То же самое относится к процедуре построения расчетных сеток: планируется разработка программы построения многоуровневой расчетной сетки, адаптирующейся к особенностям моделируемого течения.

В области моделирования течений горения и детонации необходимо, в первую очередь, определить математическую модель для дальнейших численных исследований.

Вид основных формул для скоростей реакции при использовании полной цепочки кинетических уравнений для реакции водород-кислородных смесей существенно различается в различных публикациях. Так, например, в статьях H.H. Смирнова с соавт. в сборнике [89], A.M. Старика и Н.С. Титовой в [173], работах [149, 150], а также в [88] существенно различаются не только значения констант в формулах скоростей реакций, но и сам вид этих функций. Дополнительного исследования требует и выбор способа введения безразмерных величин в этих формулах. Применение процедуры введения безразмерных величин представляется автору обязательной ввиду большого разброса значений констант в различных реакциях.

Необходимым этапом дальнейшего совершенствования комплекса программ должен стать переход к модели вязкой реагирующей смеси газов для моделирования ламинарных и турбулентных течений горения и детонации газовых смесей.

Описанные в гл. 2 алгоритмы расчетов течений горения и детонации, а также нестационарных газодинамических течений (гл. 1, 3), алгоритмы построения расчетных сеток, организации блочных расчетов по подобластям и возможности (см. гл. 7) комплекса программ предполагается использовать в дальнейшем для расчета течений горения и детонации, моделирования перехода горения в детонацию и возникновения детонационной волны при прохождении ударной волны по горючей смеси. Такие течения реализуются, в частности, в различных моделях детонационных двигателей. Моделирование работы данных двигателей представляется наиболее интересным и перспективным направлением использования описанного комплекса программ.

Наряду с этим представленные программы и алгоритмы предполагается использовать и в дальнейшем для моделирования течений нереагирующего газа в экспериментальных установках, исследующих движение ударных волн в запыленных средах (дифракция ударной волны на свободной сфере малого размера). Для дальнейших исследований в этом направлении нужен переход к использованию полных уравнений Навье-Стокса как для ламинарных, так и для турбулентных течений.

Необходимой составной частью дальнейшего применения описанных алгоритмов и программ представляется переход к расчетам вычислительной технике, обладающей существенно большей производительностью, в частности, путем использования распределенных вычислений.

Рассмотренные в настоящей работе алгоритмы и программы расчета могут быть использованы для расчета широкого круга задач численного моделирования течений нереагирующего газа, а также течений горения и детонации газовых смесей.

1. Баженова Т.В., Бакланов Д.И., Голуб В.В. и др. Получение газовой детонации с повышенными параметрами на установках с раздельной подачей реагентов // Хим. физика.—2003.—Т. 22. -С. 38-^4.

2. Баженова Т.В., Булат О.В., Голуб В.В. и др. Трехмерная дифракция ударной волны // Изв. РАН. МЖГ. —1993 —№ 1. -С. 200-201.

3. Баженова Т.В., Брагин М.В., Голуб В.В., Иванов М.Ф. //

4. Теплофизика высоких температур,—2007.—Т. 45, № 5,—С. 733.

5. Бакланов Д.И., Гвоздева Л.Г. Нестационарные процессы при распространении детонационных волн в каналах переменного сечения // Теплофизика высоких температур. —1995. —Т. 33, №6. -С. 958-966.

6. Балакин В.Б., Буланов В.В. Численное решение задачи о взаимодействии ударной волны с цилиндром в сверхзвуковом потоке // Инж.-физ. журн. -1971. -Т. 24, № 6. -С. 1033-1039.

7. Белинский П.П., Годунов С.К., Иванов Ю.В., Яненко И.К. Применение одного класса квазиконформных отображений для построения разностных сеток в областях с криволинейными границами // Журн. вычисл. математики и мат. физики. —1975. -Т. 15.-С. 1499-1511.

8. Бондаренко Ю.А., Башуров И.И., Янилкин Ю.В. Математические модели и численные методы для решения задач нестационарной газовой газодинамики: Обзор зарубежной литературы,—Саров, 2003.—(Препр. РФЯЦ ВНИИЯФ; 88-2003).

9. Бохон Ю.А., Гальбурт В.А., Гостинцев Ю.А. и др. Развитие взрыва газовой смеси за ударными волнами. М. 1998. (Препр. ИВТАН; №2-416).

10. Васильев A.A., Митрофанов В.В., Топчиян М.Е.

11. Детонационные волны в газах // Физика горения и взрыва. — 1987.—№ 5. —С. 109-131.

12. Войнович П.А., Шаров Д.М. Неструктурированные сетки в методе конечных объемов расчета разрывных течений газа. -Л. 1991.- (Препр. ФТИ им. А.Ф.Иоффе АН СССР № 1534).

13. Войнович П.А., Шаров Д.М. Неструктурированные сетки в методе конечных объемов расчета разрывных течений газа. II. Нестационарная локальная адаптация.—Л. 1991.—(Препр. ФТИ им. А.Ф.Иоффе АН СССР № 1547)

14. Войнович П.Л., Жмакин А.И., Фурсенко A.A. Программа расчета нестационарных разрывных течений идеального газа-Л. 1988.-(Препр. ФТИ им. А.Ф.Иоффе АН СССР № 1268).

15. Войцеховский Б.В. Стационарная детонация // ДАН СССР.-1959-Т. 129, №6-С. 1251-1256.

16. Войцеховский Б.В., Митрофанов В.В., Топчиян М.Е.

17. Структура фронта детонации в газах.—Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1963.

18. Волков К.Н. Дискретизация конвективных потоков в уравнениях Навье—Стокса на основе разностных схем высокой разрешающей способности // Вычислительные методы и программирование,—2004,—Т. 5,—С. 120—145.

19. Волков К.Н. Применение метода контрольного объема для решения задач механики жидкости и газа на неструктурированных сетках // Вычислительные методы и программирование—2005 Т. 6, № 1,—С. 47—64.

20. Волков К.Н. Разностные схемы расчета потоков повышенной разрешающей способности и их применение для решения задач газовой динамики // Вычислительные методы и программирование. —2005.—Т. 6.—С. 146—167.

21. Вязников К.В., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П. Квазимонотонные разностные схемы для уравнений газодинамики — М., 1987.-(Препр. ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР; № 175).-24 с.

22. Гальбурт В.А., Иванов М.Ф., Минеев В.Н., и др. Воздействие взрыва водорода на защитную оболочку реакторного зала АЭС // Математическое моделирование,— 2002.-Т. 14, № 1. -С. 73-86.

23. Ганжело А.Н., Крайко А.Н., Макаров В.Е., Тилляева H.H. О повышении точности численного решениягазодинамических задач // Соврем, проблемы аэродинамики. М.: Машиностроение, 1987.-С. 87-103.

24. Гвоздева Л.Г. Экспериментальное исследование дифракции детонационных волн в стехиометрической смеси метана с кислородом // Журн. прикл. механики и техн. физики.-1961.-№ 5. -С. 53-56.

25. Годунов С.К. Разностный метод численного расчета разрывных решений уравнений гидродинамики // Математический сборник.-1959.-Т. 47, № З.-С. 271-306.

26. Годунов С.К. Уравнения математической физики—М.: Наука, 1971.

27. Годунов С.К., Забродин A.B., Прокопов Г.П. Разностная схема для двумерных нестационарных задач газовой динамики и расчет обтекания с отошедшей ударной волной // ЖВМиМФ,—1961 .—Т. 1, № 6.—С. 1020-1050.

28. Годунов С.К., Прокопов Г.П. О расчетах конформных отображений и построении разностных сеток // ЖВМиМФ.— 1967.—Т. 7, № 5.-С. 1031-1059.

29. Годунов С.К., Прокопов Г.П. Об использовании подвижных сеток в газодинамических расчетах // ЖВМиМФ,— 1972.—Т. 12. -С. 429-440.

30. Годунов С.К., Роменский Е.И., Чумаков Г.А. Построение сеток в сложных областях с помощью квазиконформных отображений // Тр. Ин-та математики СО АН СССР. Новосибирск: Наука, 1990.-Т. 18.-С. 75-84.

31. Головизнин В.М., Самарский A.A. Разностная аппроксимация конвективного переноса с пространственным расщеплением временной производной // Математическое моделирование.—1998.—Т. 10, № 1.-С. 86-100.

32. Голуб В.В., Баженова Т.В. Импульсные сверхзвуковые струйные течения. —М.: Наука, 2008.—279 с.

33. Жмакин А.И., Фурсенко A.A. Об одном классе монотонных разностных схем сквозного счета. —Л. 1979.— (Препр. ФТИ им. А.Ф.Иоффе АН СССР № 623) 36 с.

34. Жмакин А.И., Фурсенко A.A. Об одной монотонной разностной схеме сквозного счета // ЖВМиМФ.—1980,—Т. 20, № 4. -С. 1021-1031.

35. Зайцев С.Г., Солоухин Р.И. К вопросу о воспламенении адиабатически нагретой газовой смеси. // Докл. АН СССР.— 1958. -Т. 122, № 6,—С. 1039-1043.

36. Зельдович Я.Б. Об энергетическом использовании детонационного сгорания. // Журн. техн. физики. 1940.-№ 1(17). -С. 1453-1461.

37. Зельдович Я.Б., Когарко С.М., Симонов Н.И.

38. Экспериментальное исследование сферической детонации // Журн. техн. физики. -1957.-Т. 26, вып. 8.-С. 1744-1752.

39. Иванов М.Я., Нигматуллин РЗ. Неявная схема С.К.Годунова повышенной точности для численного интегрирования уравнений Эйлера // ЖВМиМФ.-1987.-Т. 27, № 11. -С. 1725-1735.

40. Ильин С.А., Тимофеев Е.В. Сравнение квазимонотонных разностных схем сквозного счета. II. Линейный перенос возмущений. -JI. 1991,—(Препр. ФТИ им. А.Ф.Иоффе АН СССР № 1550).

41. Ии Х.С., Хартен А. Неявные схемы TVD для гиперболических систем уравнений, записанных в консервативной форме относительно системы криволинейных координат// АКТ. -1987.- Т. 5, № 11.-С. 11-21.

42. Карамышев В.Б. Монотонные схемы и их приложение в газовой динамике. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1994,—99 с.

43. Ковеня В.М., Яненко H.H. Метод расщепления в задачах газовой динамики. — Новосибирск: Наука, 1981. — 304 с.

44. Колган В.П. Применение принципа минимальных значений производной к построению конечно-разностных схем для расчета разрывных решении газовой динамики // Учен. зап. ЦАГИ.-1972. -Т. 3, № 6.-С. 68-72.

45. Копченов B.II., Крайко А.П. Монотонная разностная схемы второго порядка для гиперболических систем с двумя независимыми переменными // ЖВМиМФ—1983.—Т. 23, № 4,— С. 848-859.

46. Копысов С.П., Краснопёрое П.Н., Рынков В.Н.

47. Объектно-ориентированный метод декомпозиции области // Вычислительные методы и программирование.—2003.—Т. 4, № 1.-С. 175-193.

48. Крайко А.Н. Некоторые вопросы построения численных алгоритмов для расчета течений идеального газа//Конструирование алгоритмов и решение задач математической физики М.: ИПМ АН СССР-1987.-С. 33-55.

49. Крайко А.Н. Теоретическое и экспериментальное обоснование концепции пульсирующего двигателя с детонационной волной, движущейся против сверхзвукового потока // Импульсные детонационные двигатели под ред. С.М.Фролова, М: ТОРУС-ПРЕСС 2006,- 592 с.

50. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теоретическая физика. Т. VI: Гидродинамика. М: —2001,-736 с.

51. Левин В.А., Марков В.В. Возникновение детонации при концентрированном подводе энергии // Физика горения и взрыва. -1975,- Т. 11, № 4.-С. 623-633.

52. Левин В.А., Марков В.В., Осинкин С.Ф. Инициирование детонации в водородовоздушной смеси взрывом сферического заряда ТНТ // Физика горения и взрыва.-1995,— Т. 31, № 2.-С. 91-95.

53. Левин В.А., Нечаев Ю.И., Тарасов А.И. Новый подход к организации рабочего процесса пульсирующих детонационных двигателей // Хим. физика. -2001,- Т. 20, № 6.-С. 90-98.

54. Левин В.А., Смехов Г.Д., Тарасов А.И. и др. Численные и экспериментальные исследования модели устройства с пульсирующей детонацией М. 1998.—(Препр. Инст. Мех. МГУ № 42-98).

55. Лисейкин В.Д. О вариационном методе построения адаптивных сеток на п-мерных поверхностях // Докл. АН СССР. -1991,-Т. 319, № 3,— С. 546-549.

56. Мартюшов С.Н. О равномерном движении углового поршня в политропном газе // Точные и приближенные методы исследования задач механики сплошной среды. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1983.-С. 78-92.

57. Мартюшов С.Н. Области эллиптичности в задаче об угловом поршне // Численные методы механики сплошной среды.-1984. -Т. 15, №5.-С. 118-131.

58. Мартюшов С.Н. Методика «МОДАМС» для расчета осесимметричных задач обтекания методом конечных объемов.- // Вопросы атомной науки и техники. Методики и программы численного решения задач математической физики.—1988.— вып. 2, М. С. 49-56.

59. Мартюшов С.Н. Модификация метода конечного объема для расчета внешних задач обтекания // Моделирование в механике. -Новосибирск, 1989. -Т. 3(20), № 6,- С. 126-130.

60. Мартюшов С.Н. Плоский секториальный распад разрыва идеального газа. —Свердловск, 1989.—(Препр. Ин-та математики и механики Уральского отделения АН СССР) —69 с.

61. Мартюшов С.Н. Комплекс программ для расчета задач обтекания невязкого газа //Тез. Школы по комплексам программ. —Красноярск: Ин-т выч. техн. КНЦ СО АН СССР, 1990.

62. Мартюшов С.Н. Алгоритм и комплекс программ «МОДАМС» для расчета пространственных задач обтекания в идеальном газе для трансзвукового диапазона Тез. конф. «Актуальные задачи прикладной математики», Саратов, 1991. — Т. 1.

63. Мартюшов С.Н. Комплекс программ «МОДАМС» для расчета задач обтекания для невязкого газа // Тез. конф. «Вычислительные технологии», Ростов н/Д, 1992,—Т. 1, ч. 2

64. Мартюшов С.Н. О встречной и догонной осесимметричной дифракции на сфере // Приближенные методы исследования нелинейных задач механики сплошной среды. —Свердловск: Изд-во УНЦ, 1992. -С. 23—33.

65. Мартюшов С.Н. Расчет пространственных задач обтекания на основе ТУР схемы Хартена // Вычислительные технологии. —Новосибирск, 1995. Т. 14, № 12. С. 219228.

66. Мартюшов С.Н. Расчет двух нестационарных задач дифракции на основе явной Т\/Т) схемы Хартена. Журнал "Вычислительные технологии" Новосибирск, 1996.—'Т. 1, № 2.— С. 82-89.

67. Мартюшов С.Н. Расчет двух нестационарных задач дифракции на основе явной ТУТ) схемы Хартена // Тез. конф. «Математические модели и численные методы механики сплошной среды» под ред. Ю.И. Шокина. Новосибирск, 1996 — С. 388-389.

68. Мартюшов С.Н. Построение двух- и трехмерных сеток для задач газодинамики на основе решения уравнений Пуассона // Изв. вузов. Механика. -1997—№ 4.—С. 108—114.

69. Мартюшов С.Н. Расчет двумерной дифракции по схеме Хартена второго порядка точности // Вычислительные технологии Новосибирск, 1997.—Т. 2, № 6.—С. 53—60.

70. Мартюшов С.Н. Расчет нестационарной дифракции как тест на точность по времени явного алгоритма // Тр. Междунар. конф. МИТ-2009 «Математические и информационные технологии» —Капаоник, Сербия, 2009. —С. 216—220.

71. Мартюшов С.Н., Мартюшова Я.Г. Моделирование течений горения и детонации на основе ТУЭ схемы Хартена 2-го порядка точности // Материалы 5-го Всерос. семинара «Сеточные методы для краевых задач и приложения»,—Казань, 2004.-С. 154-158.

72. Мартюшов С.Н., Мартюшова Я.Г. Численное моделирование струйных течений методом конечного объема на основе ТУЭ схемы 2-го порядка точности // Вычислительные технологии. Новосибирск, 2004.—Т. 9, № 4,—С. 57-65.

73. Мартюшов С.Н., Мартюшова Я.Г. Численное моделирование течений детонации газовых смесей методом конечного объема // Вычислительные технологии. Новосибирск, 2008.—Т. 13, № 1. -С. 88-97.

74. Мартюшов С.Н. Численное моделирование детонации в импульсном детонационном двигателе // Тезисы докладов Международной конференции «Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика». Новосибирск, 2011, с. 76.

75. Мартюшов С.Н., Мартюшова Я.Г. Численное моделирование течений в детонационном двигателе // Вычислительные технологии. Новосибирск, 2011.—'Т. 16, № 4 — С.72-79.

76. Мартюшов С.Н. Использование водорода в качестве моторного топлива и конструирование детонационных двигателей // Автогазозаправочный комплекс и альтернативное топливо. Москва, 2011 № 5,-С.13-19.

77. Марчуков Е., Нечаев Ю., Полев А., Тарасов А. Пульсирующие детонационные двигатели // Двигатель. —2003.— Т. 1. -С. 14-17.

78. Некоторые методы исследования высокоскоростных процессов и их применение к исследованию формирования детонации / Г.Д. Саламандра, Т.В. Баженова, С.Г. Зайцев и др. -М.: Изд-во АН СССР, 1959.-92 с.

79. Нестационарные взаимодействия ударных и детонационных волн в газах / Т.В. Баженова, Л.Г. Гвоздева, Ю.П. Лагутов и др. -М.: Наука, 1986.-206 с.

80. Оран Э., Борис Дж. Численное моделирование реагирующих потоков. —М.: Мир, 1990. —661 с.

81. Пеанов М.Я., Крупа В.Г., Нигматуллин Р.З. Неявная схема С.К. Годунова повышенной точности для интегрирования уравнений Навье—Стокса // ЖВМиМФ. —1989. -Т. 29, № 6.-С. 1521-1532.

82. Пинчуков В.И. О численном решении уравнений вязкого газа неявной схемой Рунге—Кутты третьего порядка // ЖВМиМФ. -2002. -Т. 42, № 6.-С. 896-904.

83. Пинчуков В.И. О численном моделировании нестационарных течений на больших интервалах по времени с использованием неявных схем высоких порядков // Математическое моделирование. —2004.—'Т. 16, № 8.—С. 59-69.

84. Пинчуков В.И. Математическое моделирование колебаний, возникающих при втекании струи в полость // Вычислительные технологии. —2007.—Т. 6, № 2.-С. 73-80.

85. Пинчуков В.И., Шу Ч.-В. Численные методы высоких порядков для задач аэрогидродинамики.—Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000.-232 с.

86. Построение разностных сеток с помощью уравнений Бельтрами и диффузии / А.Г. Глассер, В.Д. Лисейкин, Ю.И. Шокин и др. —Новосибирск: Наука, 2006.—254с.

87. Родионов A.B. Монотонная схема второго порядка аппроксимации для сквозного расчета неравновесных течений // ЖВМиМФ. -1982. -Т. 27, № 4.-С. 585-593.

88. Родионов A.B. Повышение порядка аппроксимации схемы С.К.Годунова // ЖВМиМФ. -1982. -Т. 27, № 12.-С. 1853-1860.

89. Саламандра Г.Д., Баженова Т.В., Набоко И.М.

90. Формирование детонационной волны при горении газа в трубах //ЖТФ.-1959.-Т. 29, № 11.-С. 1354-1359.

91. Семенов И.В.,. Ухкин П.С., Марков В.В. Численное моделирование двумерных детонационных течений на многопроцессорной вычислительной технике // Вычислительные методы и программирование.—2008,—Т. 9.—С. 119-128.

92. Скребков О.В., Мягков Ю.П., Каркач С.П. Механизм образования возбужденных радикалов ОН при воспламенении газовых смесей Н2—02 ударной волной // ДАН. Физическая химия. -2002, -Е. 383,-Т. 6, № 6.-С. 1^1.

93. Смирнов H.H., Никитин В.Ф., Шурехдели Ш.А. Самоподдерживающиеся волны в метастабильных системах // Импульсные детонационные двигатели, под ред. С.М. Фролов. М.: Торус-Пресс 2006.-592 с.

94. Таки С., Фудзивара Т. Численный анализ двумерных нестационарных детонационных волн // Ракетн. техн. и космонавтика,—1978.—Т. 16, № 1.-С. 93-98.

95. Тарнавский Г. А., Алиев A.B. Математическое моделирование, основные моменты, их особенности ипроблемы // Вычислительные методы и программирование. — 2007.-Т. 8. -С. 297-310.

96. Тилляева Н.И. Обобщение модифицированной схемы С.К.Годунова на произвольные нерегулярные сетки // Учен, зап. ЦАГИ.-1986.-Т. 17, № 2.-С. 18-26.

97. Хайруллина О.Б. Метод расчета блочных оптимальных сеток в двумерных многосвязных областях // Вопросы атомной науки и техники. Сер. математическое моделирование физических процессов.—1992.—№ 1.—С. 62—66.

98. Чакраварти С.Р., Жем K.JI. Расчет трехмерных сверхзвуковых течений с дозвуковыми зонами на основе уравнений Эйлера // АКТ.-1987.-Т. 5, № 11.-С. 22-35.

99. Численное решение многомерных задач газовой динамики / под ред. С.К.Годунова. — М.: Наука, 1976. — 400 с.

100. Численное моделирование на основе метода конечного объема в задачах горения и дифракции ударных волн/ С.Н. Мартюшов. — Новосибирск: Наука, 2011 — 216 с.

101. Щелкин К.И. Два случая нестационарного горения // Журн. эксперим. и теорет. физики.—1959.—№ 36(2).—С. 600-609.

102. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. — Новосибирск: Наука, 1967. 167 с.

103. Achasov O.V., Pushkin R.M., Tarasov A.I. et al. Focusing of the shock waves reflected from concave nonlinear surfaces //J. Engineering Physics.-1993.-Vol. 65(5).-P. 548-552.

104. Anderson W.K., Thomas J.L., Van Leer B. Comparison of finite volume flux vector splittings for the Euler equations // AIAA J.—1986. -Vol. 24, N 9.-P. 1453-1460.

105. Azarenok B.N. Variational barrier method of adaptive grid generation in hyperbolic problems of gas dynamics // SIAM J. Numer. Anal.-2002.-Vol. 40, N 40.-P. 651-682.

106. Baklanov D.I., Bormotova T.A., Golub V.V., et al. The influence of shear layer control on DDT // AIAA paper-2003. — P.1207.

107. Bazhenova T.V., Soloukhin R.I. Gas ignition behind the shock wave. / VII Int. Symposium on combustion. London, —1959 — P. 866-875.

108. Ben-Dor G. Shock wave reflection phenomena. Springer Verlag New York. -1992.

109. Ben-Dor G., Takayama K., Kawauchi The transition from regular to Mach reflection and Mach to regular reflection in truly non-stationary flows // J. Fluid Mech.-1980.-Vol. 100.-P. 147-160.

110. Berger M.J., Collela P. Local adaptive mesh refinement for shock hydrodynamics 11 J. Comp. Phys.-1989.-Vol. 82-P. 64-84.

111. Billett S.J., Toro E.F. On WAF-type schemes for multidimensional hyperbolic, conservation laws // J. Comp. Phys.-1997.-Vol. 130, N l.-P. 1-24.

112. Boris J.P., Book D.L. Flux-corrected transport. I: SHASTA, a fluid transport algorithm that works. // J. Comp.Phys.-1973.-Vol. 11, N 1. -P. 38-69.

113. Boris J.P., Book D.L., Hain K. Flux-corrected transport: Generalization of the method // J. Comp.Phys.-1975.-Vol. 18, N 3. -P. 248-283.

114. Brackbill J.U., Saltzman J. Adaptive zoning for singular problems in two directions // J. Comp. Phys. —1982. —Vol. 46. —P. 342-368.

115. Bredin M.S., Skews B.W. The measurement of drag in unsteady compressible flow // Proc. 23rd Int. symp. on shock waves. Arlington, —2001—P. 463^-71.

116. Britan A., Elperin T., Igra O., Jiang J.P. Acceleration of a sphere behind planar shock waves // Experiments in Fluids—1995.— Vol.20.-P.84.

117. Bryson A., Gross W. Diffraction of strong shocks by cones, cylinders, and spheres // J. Fluid Mech. -1961- Vol.lO-P. 1-16.

118. Bykovskii F.A., Mitrofanov V.V., Vedernikov E.F. Continuous detonation combustion of fuel — air mixtures // J. Combust., Expl, Shock Waves.-1997.-Vol. 33(3).-P. 344-353.

119. Bykovskii F.A., Vedernikov E.F. Continuous detonation of a subsonic flow of a propellant // J., Combust.,Expl., Shock Waves. -2003. Vol.39(3) .—P.323-334.

120. Bykovskii F.A., Zhdan S.A., Vedernikov E.F. Continuous spin detonations. //J. Propulsion and Power.—2006,—Vol.22(6).-P. 1204-1216.

121. Bykovskii F.A., Zhdan SA., Vedernikov F.F. Continuous spin and pulse detonation of hydrogen-air mixtures in supersonic flow generated by a detonation wave. Proceedings of 22 ICDERS, Minsk, Belarus, 2009.

122. Chakravarthy S.R., Osher S. High resolution applications of the Osher upwind scheme for the Euler equations //Proc. AIAA 6-th Comp. Fluid Dynamics Conf.-1983.-P. 363-372.

123. Chakravarthy S.R., Osher S. A new class of high-accuracy TVD schemes for hyperbolic conservation laws // AIAA Paper, N 85-0363. -1985.

124. Chakravarthy S.R., Osher S. Computing with highresolution upwind schemes for hyperbolic equations // Lectures in Applied Mathematics.-1985.-Vol. 22, pt. l.-P. 57-86.

125. Chakravarthy S.R., Szema K.-Y., Goldberg U.C. et al. Application of a new class of high accuracy TVD- schemes to the Navier-Stokes equations // AIAA Paper, N 85-0165. -1985.

126. Collela P., Woodward P.R. The piecewise parabolic miethod (PPM) for gas-dynamical simulations // J. Comp. Phys.-1984.-Vol. 54, N l.-P. 174-201.

127. Cordulla A., Vinokur M. //AIAA J.-l983- T. 21. P. 917

128. Davidenko D.M., Gokalp I., Kudryavtsev A. Numerical study of the continuous detonation wave rocket engine // AIAA Paper N 2008-2080.-2008.

129. Davies B., Salmond D.J. // AIAA J.-1985.-T. 23.-P. 954

130. Desbordes D., Danian E., Zitoun R. Pulsed Detonation Prupalsion: Key Issues // High-Speed Deflagration and Detonation: Fundamentals and Control-Moscow: ELEX-KM Publishers,-2001. -384 p.

131. Doudov V.G., Maksirnov V.P. Thermal acoustics of semiclosed volumes.—1986—(Prepr. № 28-86, Institute of theoretical and Applied mechanics, The Syberian Division of of the USSR vAcademy of Sciense).

132. Drella W., Thompkins W.T. // Pros of AIAA 7-th Computational Fluid Conference.—Cincinatti, Ohio,—1985,—P.394.

133. Eidelman S., Grossman W. Pulsed detonation engine. Experimental and theoretical Review // AIAA Paper, 92-3168.— 1992.

134. Harten A. A high resolution scheme for the computation of weak solutions of hyperbolic conservation laws // J. Comp. Phys.— 1983.—Vol. 49.—P. 357-393.

135. Harten A. On a class of high resolution total-variation-stable finite-difference schemes // SIAM J. of Numer. Anal.-1984.-Vol. 21, N1. -P. 1-23.

136. Harten A., Lax P.D., Van Leer B. On upstream differencing and Godunov-type schemes for hyperbolic conservation laws // SIAM Reviev.-1983.-Vol. 25, N l.-P. 35-62.

137. Harten A., Osher S. Uniformly high-order accurate essentially non-oscillatory scheme // SIAM J. of Numer. Anal.— 1987.—Vol. 24, N 2. -P. 279-309.

138. Heilig W.H. High speed interferometric study of unsteady shock wave processes // Proc. 15th Int. Cong, on high speed photography and photonics.—1982.

139. Heilig W.H. Diffraction of a shock wave by a cylinder // Physics Fluid Suppl.-1969.-Vol. 12, N l.-P. 154.

140. Helms A., Tong S.S. // ASME J. Engrg. Gas Turb. Power.-1985. -Vol. 107.-P.258.

141. Henderson L.F., Lozzi A. Experiments on transition of Mach reflection // J. Fluid Mech.-1975.- Vol.68.-P. 139.

142. Hey wood J.D. Internal Combustion engine fundamentals. Mc.Grow-Hill. N.Y.-1988.

143. Hishida M., Fujiwara T., Wolanski P. Fundamentals of rotating detonations // J. Shock Waves.-2009.-Vol. 19. P. 1-10.

144. Huang W. Variational mesh adaptation: Isotropy and equidistribution//J. Comp. Phys.-2001.-Vol. 174.-P. 903-924.

145. Igra O., Takayama K. Shock tube study of the drag coefficient of a sphere in a nonstationary flow // Proc. Ro. Soc. London A. —1993.—Vol.442.—P.231.

146. Itoh K., Takayama K. Unsteady drag over circular cylinders and aerofoils in transonic shock tube flows // Rep. Inst. High Speed Mech., Tohoku Univ.-Vol. 51.-1986.

147. Itoh S., Okazaki N., Itaya M. On the transition from regular to Mach reflection and Mach to regular reflection in truly non-stationary flows // J. Fluid Mech. 1981-Vol.l08, -P. 383.

148. Jones D.A., Kemister G., Sichel M., Oran ES. The Influence of Cellular Structure on Detonation Transmission // J. Shock Waves—1996. -V. 6.-P. 119-130.

149. Kitade M. Numerical and experimental study of viscous effects on transitions of reflected shock waves. Master thesis, Japan (in Japanese)— Tohoku Univ.—2001.

150. Kosugi T. Experimental study of transition delay in shock wave reflection at various obstacle geometries. Master thesis, , Japan (in Japanese. Tohoku Univ.—2000.

151. Levin V.A., Nechaev Y.N., Tarasov A.L. A new approach to organizing operation cycles in pulsed detonation engines // Control of detonation processes. / ed. G. Roy.— Moscow: Elex-KM Publishers. 2000. -P. 197-201.

152. Levin V.A., Afonina N.E., Gromov V.G. et al. Dynamics of combustion products flow in ring nozzle with semienclosed cavity// Proc. of International colloquim on the dynamics of explosion and reactive system, Minsk, Belarus, 2009. N 185

153. Liberman M.A. Introduction to Physics and Chemistry of Combastion. Berlin: Heidelberg: Shpringer—Verlag—2008.

154. Liberman M.A., Ivanov M.F., Peil O.E. et all. // Combust. Theory Modelling.-2003. -Vol.7-P. 653-676.

155. Liseikin V.D. A computational differential geometry approach to grid generation. Berlin: Springer.-2004.

156. Lucsh P. Parallel and distributed implementation of large industrial applications // Future generation computer Systems— 2000.-Vol.16. -P.649—663.

157. Mahmoudi Y., Mazaheri K. Operator splitting in simulation of detonation structure // Proc. of International colloquim on the dynamics of explosion and reactive system. Minsk, Belarus.-2009.

158. Majda A. Osher S. Numerical viscosity and the entropy condition // Communications on Pure and Applied Mathematics.— 1979,-Vol. 32. -P.797-838.

159. Martyushov S.N. Complex of codes «Modams» for streamproblem calculations for spatial bodies in book of abstract, 2, // Third Russian-Japan Joint Symposium on Computational Fluid Dynamics.—Vladivostok. Russia.-1992.-P. 139.

160. Martyushov S.N. Construction of calculation grids on the basis of Poisson equation decision. // Proc. of 15—th IMACS World Congress on Scientific Computation, Modelling and Appl.Maths.-Berlin.-1997.-Vol. 2.-P. 191-195.

161. Martyushov S.N. Numerical grid generation in computational field simulation // Proc. of the 6-th International Conf. Greenwich.-1998. -P. 249.

162. Martyushov S.N. Numerical simulation of gas mixed detonation flows by finite volume method // Proc. of 4-th International conference on finite difference methods: Theory and Applications. Rousse, Bulgaria.—2006. —P. 16.

163. Martyushov S.N. Numerical simulation of flows in detonation engines devices// Abstracts of International Conference Mathematical and Informational Technologies. Vrnyachka Banya. Serbia.2011. P. 104.

164. Matsuo K., Aoki T., Kashimura H. Diffraction of a shock wave around a convex corner // Curr. Top. Shock Waves.—1990,— Vol. 208. -P. 252-257.

165. Nettleton M.A. Recent work on gaseous detonations // J. Shock Waves.-2002.-Vol. 12, N l.-P. 3-12.

166. Osher T.S. Riemann solvers, the entropy condition, and difference approximation // SIAM J. of Numer. Anal. -1984,-Vol. 21, N 2.—P. 217-235.

167. Pantov E.G., Fisher M., Kratzel T. Decoupling and recoupling of detonation waves associated with sudden expansion // J. Shock Waves. T1996.-T. 6.-P. 131-137.

168. Pegg R.J., Couch B.D., Hunter L.G. Pulse detonation engine air induction system analysis // FIFF Paper N 96-2918.-1996.

169. Reklis R.P., Thomas P.D. Shock-capturing algorithm for the Navier-Stokes equations // AIAA J.-1982.-Vol. 20, N 9.-P. 12121218.

170. Rizzi A.//AIAA J.-1982. T. 20. P. 1321.

171. Rodi W. Simulation of turbulence in practical flow calculation // Proc. of European congress on computational methods in applied sciences and engineering.—Barcelona.—2000.

172. Rodriguez G., Grandeboueuf P., Khelifi M., Haas J.F. Drag coefficient masurement of spheres in a vertical shock tube and numerical simulation // Proc. 20-th Int. symp. on Shock waves.— Marseille, -1995.-Vol. 3.-P. 43-48.

173. Roe P.K. High resolution TVD—scheme using flux limiters // Lectures in Applied Mathematics.-1985.-Vol. 22, pt. 2.-P. 289309.

174. Roe P.L. Approximate Riemann solvers, parameter vectors and difference schemes // J. Comp. Phys.-1981. Vol. 43.-P. 357372.

175. Roy G.D., Frolov S.M., Borisov A.A., Netzer D.W. Highspeed deflagration and detonation. Moscow: ELEX-Publishers. — 2001.-284 p.

176. Roy G.D., Frolov S.M., Borisov A.A., Netzer D.W. Pulse detonation propulsion: chellenges, current status and future perspective // Progress in energy and combastion science.—2004.— Vol. 30.-P. 545-672.

177. Ryskin G., Leal L.G. Orthogonal mapping // J. Comp. Phys. —1983.—Vol. 50.-P. 71-100.

178. Semenov I., Frolov S., Markov V., Utkin P. Shock -to -detonation transition in tubes with shaped obstacles // Pulsed and continuous detonations. Moscow: Torus Press. 2006.—P. 159-169.

179. Shu C.W. Essentially non-oscillatory and weighted essentially non-oscillatory schemes for hyperbolic conservation laws // ICASK Report. N97-65.-1997.

180. Shu C.W., Osher S. Efficient implementation of essentially non-oscillatory shock-capturing schemes. I. // J. Comp. Phys.—1988.—Vol. 77, N 2.—P. 439-471.

181. Shu C.W., Osher S. Efficient, implementation of essentially non-oscillatory shock-capturing schemes. II. // J. Comp. Phys.—1989.—Vol. 83, N l.-P. 32-78.

182. Smirnov N.N., Nikitin V.F., Boichenko et al. Control of deflagration to detonation transition in gaseous systems // Control of detonation processes, ed. G. Roy, Moscow: ELEX-KM Publishers.-2000. -P. 2-6.

183. Smith R.E., Eriksson L.E. Algebraic Grid Generation // Comp. Meth. Appl. Mech. Ing.-1987.-Vol. 64.-P. 285-300.

184. Steger J.L., Warming R.P. Flux-vector splitting of the inviscid gas dynamic equations with application to finite- difference methods // J. Comp. Phys.-1981.-Vol. 40, N 2.-P. 263-293.

185. Sun M., Nakayama K. A note of numerical simulation of vorthical structures in shock diffraction // J. Shock Waves. -2003.-Vol. 13.-P. 25-32.

186. Sun M., Saito T., Tokayama K., Tanno H. Unsteady drag on a sphere by shock wave loading // J. Shock Waves.—2005.-Vol. 14 — P. 3-9.

187. Takayama K., Inoue O. Shock wave diffraction over a 90 degree sharp corner // J. Shock Wave-1991.-N l.-P. 301-312.

188. Takayama K., Sasaki M. Effect of radius of curvature and initial angle on the shock transition over concave and convex walls // Rep. Inst. High Speed Mech. Tohoku Univ. -1983.-Vol. 46

189. Taki S. Fujivara T. A numerical study of detonation resonator, analyses of two-dimensional non stationary // Pulse and continuous detonation propulsion / Eds. G. Roy, S. Frolov. Moscow: TORUS PRESS.-2006.—P. 309-320.

190. Tanno H., Itoh K., Saito T., et al. Interaction of a shock with a sphere suspended in a vertical shock tube // J. Shock Waves.— 2003. -Vol. 13.-P. 191-200.

191. Thomas C., Lombard K. // AIAA Jornal.-1979.-Vol. 17. -P. 1030.

192. Thomas G.O., Jones A. // Comb, and flame -2000. Vol.120. —P.392.

193. Thompson J.F. Reflection on grid generation in 90-s: trends, needs, influences // Numerical Grid Generation in CFD. -Mississippi State University. -1996,-Vol. l.-P. 1029-1100.

194. Thompson J.F., Thames F.C., Mastin C.W. Automatic numerical generation of body-fitted curvilinear coordinate system for field containing any number of arbitrary two-dimensional bodies //J. Comp. Phys.-1974.-Vol. 15.-P. 299-319.

195. Thompson J.F., Warsi Z.U.A., Mastin C.W. // Numerical Grid Generation. -N.-Y.: North Holland, 1985.

196. Tsuboi N., Daimon Y., Hayashi A.K. Three-dimensional numerical simulation of detonations in coaxial tubes // J. Shock Waves. -2008,-Vol. 18.-P. 379-392.

197. Tsuhoi N., Hayashi A.K. Numerical study on spinning detonations J., // Proceedings of the combustion institute-2007.— Vol. 31:—P. 2389-2396.

198. Van Leer B. Towards the ultimate conservative finite difference scheme. II. Monotonicity and conservation combined in a second order scheme // J. Comp. Phys.-1974.-Vol. 14, N 4.-P. 361376.

199. Van Leer B. Towards the ultimate conservative difference scheme. V. A second order sequel to Godunov's methods // J. Comp. Phys.—1979. -Vol. 32, N l.-P. 101-136.

200. Van Leer B. Towards the ultimate conservative difference schemes. III. Upstream-centered finite-difference schemes for ideal compressible flow // J. Comp. Phys.-1977.-Vol. 23, N 3.-P. 263275.

201. Van Leer B. Towards the ultimate conservative finite difference scheme. IV. A new approach to numerical convection // J. Comp. Phys. -1977. 23. N 3. P. 276-298.

202. Van Leer B. Flux-vector splitting for the Euler equations // Lecture Notes in Phys.-1982.-Vol. 170.-P. 507-512.

203. Vinokur M. An analysis of finite-difference and finite-volume formulations of conservation lows // J. Comp. Phys—1989—Vol. 81. -P. 1-52.

204. Warsi Z.U.A. Numerical grid generation in arbitrary surfaces through a second-order differential — geometric model // J. Comp. Phys. —1986,—Vol. 64.-P. 82-96.

205. Winslow A.M. Adaptive mesh zoning by the equipotential method. UCID-19062. Lowrence Livermore National Labor atories.-1981.

206. Woodward P.B., Colella P. The numerical simulation of two-dimensional fluid flow with strong shocks // J. Comp. Phys.-1984. -Vol. 54, N l.-P. 115-173.

207. Vang H. An artificial compression method for ENO scheme: the slope modification method // J. Comp. Phys.-1990.-Vol. 89.-P.

208. Yee H.C., Warming R.P., Harten A. Implicit total variation diminishing (TVD) schemes for steady-state calculations // AIAA Paper. 83-1952.-1983.

209. Yee H.C., Warming R.P., Harten A. Application of TVD-schemes for the Euler equations of gas dynamics // Lectures in Applied Mathematics.-1985.-Vol. 22, pt. 2.-P. 357-377.

210. Zhdan S.A., Bykovskii F.A., Vedernikov E.F. Mathematical modeling of a rotating detonation wave in a hydrogen-oxygen mixture // Combustion, Explosion and Shock Waves.-2007.-Voi.43(4).—P. 449^59.125.160.