автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Метод построения адаптивных треугольных и призматических сеток для численного исследования задач механики сплошных сред со сложной структурой решения

На правах рукописи

Лиханова Юлия Викторовна

Метод построения адаптивных треугольных и призматических сеток для численного исследования задач механики сплошных сред со сложной структурой решения

05.13 18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ООЗ161561

Новосибирск 2007

003161561

Работа выполнена в Институте вычислительных технологий СО РАН

Научный руководитель- доктор физико-математических наук,

профессор Владимир Дмитриевич Лисейкин

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор Юрий Миронович Лаевский. кандидат физико-математических наук Ольга Васильевна Ушакова

Ведущая организация- Институт прикладной математики

им. М В. Келдыша РАН. г Москва

Защита состоится 9 ноября 2007 г. в 14-00 часов на заседании диссертационного совета ДООЗ 046 01 при Институте вычислительных технологий СО РАН по адресу 630090, г Новосибирск, пр Ак М.А Лаврентьева, 6

С диссертацией можно ознакомится в читальном зале вычислительной математики и информатики отделения ГПНТБ и ИВТ СО РАН по адресу 630090. г Новосибирск, пр Ак. М.А. Лаврентьева. 6

Автореферат разослан 8 октября 2007 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук, профессор/

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Разработка новых подходов к численному решению задач механики сплошных сред является актуальной проблемой. Это обусловлено тем, что ввиду появления мощных ЭВМ возникла необходимость создания высокопроизводительных алгоритмов для расчетов в областях со сложной геометрией границ Такие задачи возникают, например при моделировании загрязнения окружающей среды остатками ракетного топлива, в процессе конструирования перспективных форм летательных аппаратов для задач предсказания природных катастроф и др. Одновременно возросли требования к качеству разностных сеток и к времени их построения для обеспечения эффективных и экономичных численных экспериментов

Исследования газодинамических течений в областях с криволинейной границей около тел сложной формы требуют применения специальных сеточных разбиений расчетной области, т.к. эффективность таких исследований во многом зависит от качества используемых в расчетах сеток Например при численном изучении факторов влияющих на эффективность воздушных и подводных аппаратов, требуются разностные сетки с высокой концентрацией ячеек в зонах быстрого изменения характеристик физической среды (плотность, давление) В частности, такие ситуации имеют место при изучении многократных взаимодействий ударных волн, волн разрежения и контактных границ Для преодоления трудностей, возникающих при численном изучения плазмы, удерживаемой магнитным полем, необходимы невырожденные разностные сетки, согласованные с магнитным полем Также требуется сгущение узлов и ячеек сеток в тех зонах в которых численные алгоритмы приводят к большим погрешностям.

Как следствие, в последнее время получают все большее распространение методы построения сеток с разнообразными видами адаптации, использующие результаты теорий дифференциальных уравнений, вариационного исчисления, дифференциальной геометрии и вычисли-о тельной математики, поскольку такие сетки позволяют хорошо аппрок-\ ^ симировать области расчета со сложной геометрией границ (например, с малыми отверстиями) и подстраиваться под характерные особенности^^ физических явлений, что позволяет существенно повысить скорость и надежность решения задач и получать результаты высокой точности. Вместе с тем задача разработки методов и соответствующих численных алгоритмов построения адаптивных сеток является сложной математической проблемой Несомненно, исследования по этой проблеме являются востребованными при численном моделировании процессов механики

сплошных сред.

Цель работы.

1 Нахождение оптимальных параметров управляющих метрик и построение треугольных и призматических сеток с различными видами адаптации

2 Разработка методов построения гладких многоблочных треугольных и призматических сеток

3 Создание алгоритмов и комплекса компьютерных программ для построения адаптивных разностных сеток с треугольными (в двумерном случае) и призматическими (в трехмерном случае) ячейками и их использование для численного решения задач механики сплошных сред

4 Моделирование конвекционно-диффузионных процессов возникающих в газовой динамике, с использованием эффективных вычислительных алгоритмов на адаптивных сетках

Основные результаты, выносимые на защиту:

1 Построены треугольные и призматические адаптивные разностные сетки на поверхностях, в двумерных и трехмерных областях, реализующие разнообразные свойства В результате проведенных теоретических и численных исследований сформулированы управляющие метрики в частном виде для построения сеток с некоторыми видами адаптации

2 Разработаны и реализованы алгоритмы по сглаживанию блочных треугольных и призматических сеток

3 Разработаны численные алгоритмы и комплекс компьютерных программ для построения адаптивных разностных треугольных и призматических сеток, основанные на решении обращенных уравнений Бель-трами и диффузии относительно управляющей метрики.

4 Получены качественные оценки на производные решения одномерной сингулярно возмущенной задачи с негладкой правой частью Эти оценки были использованы в качестве управляющих метрик для нахождения численного решения рассматриваемой задачи

5 Решена конвекционно-диффузионная задача, моделирующая процессы газовой динамики, сформулированная в виде краевой задачи для двумерного сингулярно возмущенного уравнения с негладкой правой частью Задача решалась на адаптивной сетке построенной с помощью обобщения результатов, полученных для одномерного сингулярно возмущенного уравнения

Достоверность результатов подтверждается строгой теоретической обоснованностью используемой математической модели, сопоставлением результатов численных расчетов с результатами, полученными другими авторами Численное решение сингулярно возмущенных задач

совпало с предсказанным аналитически Сходимость разработанных алгоритмов была проверена при помощи измельчения сетки

Теоретическое значение и научная новизна. Результаты теоретических и численных исследований важны как для изучения вопроса взаимосвязей управляющих метрик и качественных свойств сеток, так и для развития методов построения разностных сеток, позволяющих эффективно, с высокой точностью решать на них не только задачи, возникающие при моделировании процессов механики сплошных сред но и более широкий класс задач с особенностями.

Впервые получены оценки на производные решения одномерной сингулярно возмущенной задачи с негладкой правой частью С помощью этих оценок задана управляющая метрика, использовавшаяся для нахождения численного решения модельной конвекционно-диффузионной задачи, сформулированной в виде краевой задачи для двумерного сингулярно возмущенного уравнения с негладкой правой частью.

Практическая ценность работы. Разработанные алгоритмы можно эффективно использовать для расчетов различных задач механики сплошных сред на поверхностях, в двумерных и трехмерных областях со сложной геометрией границ на сетках с треугольными и призматическими ячейками (например для расчета в областях с малыми отверстиями или областях, близких к треугольным).

Апробация работы. Разработанные алгоритмы были использованы для решения конвекционно-диффузионной задачи, моделирующей процессы газовой динамики и показали свою высокую эффективность

Представление на конференциях. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на XII Всероссийской школе-семинаре "Современные проблемы математического моделирования" (Абрау-Дюрсо. 2007) 7th Meeting on Applied Scientific computing and Tools (Italy. Rome 2007). Всероссийской конференции по вычислительной математике (Новосибирск. 2007). III Всероссийском совещании "Актуальные проблемы прикладной математики и механики", посвященном памяти академика А Ф. Сидорова (Абрау-Дюрсо, 2006), Third International Conference of Applied Mathematics (Plovdiv Technical University, 2006). 18th Chemnitz FEM Symposium (Germany. Schoneck. 2005). IX Всероссийском совещании по проблемам построения сеток для решения задач математической физики и XIV Всероссийской конференции "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов для решения задач математической физики "(Абрау-Дюрсо. 2002). Международной конференции по вычислительной математике (Новосибирск. 2002)

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 9 печатных работ, куда входят (в скобках в числителе указан общий объем

этого типа публикаций, в знаменателе — объем принадлежащий автору) 1 монография (11 5/2 2 печ. л ), 1 учебное пособие (15 1/7 5 печ л ), 2 статьи в изданиях, рекомендованных ВАК (2 1/0.6 печ л ). 4 статьи опубликованные в 2 журналах (2 1 /0 53 печ л ) и 2 изданиях трудов конференций (0 9/0 26 печ л ), а также 1 тезисы (0 125/0.03 печ л )

Личный вклад автора заключается в активном участии при формулировке частного вида некоторых управляющих метрик и их численном исследовании для нахождения оптимальных параметров [7] разработке алгоритмов построения адаптивных треугольных и призматических сеток на основе численного решения обращенных уравнений Бель-трами и диффузии относительно управляющих метрик [1,9], проведении численных экспериментов по построению треугольных и призматических сеток в областях и на поверхностях с различными видами адаптации [4-6,9], исследованиях по построению блочных сеток с оптимальным сглаживанием по линии склейки [1,3]; проведении теоретических и численных исследований одномерной сингулярно возмущенной задачи с негладкой правой частью [2,8], решении двумерной сингулярно возмущенной задачи, возникающей как модель конвекционно-диффузионных процессов с использованием адаптивной сетки [2,7]

Структура. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы Список литературы включает 112 наименования Общий объем работы - 132 страницы

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обсуждается актуальность темы диссертации, приводится обзор научной литературы по изучаемой проблеме, дана краткая аннотация разделов диссертации

В главе 1 описывается математическая модель построения многомерных адаптивных сеток, основанная на численном решении обращенных уравнений Бельтрами и диффузии, включающих управляющую метрику Приведены формулы управляющих метрик позволяющих конструировать сетки с различными индивидуальными и сбалансированными свойствами

В разделе 1.1 представлена математическая модель построения разностных сеток которая формулируется для произвольной п-мерной физической геометрии 8ХГ1 с П.™"1"* (кривая, область поверхность) задаваемой локально параметризацией

х(з)

Х=(ш1, ,Хп+к). 8=(з\ ,8П). П> 1

где 571 - п-мерная параметрическая область х(в) - гладкая вектор-функция ранга п в каждой точке в 6 При к = 0 поверхность является областью Хп С В.". В этом случае в качестве параметрической области можно рассматривать Хп

Сетка в физической геометрии строится при помощи промежуточного невырожденного преобразования

(2)

между параметрической областью Яп и соответствующей вычислительной (логической) областью Н" (рис 1) При этом узлы сетки в Бхп определяются отображением эталонной сетки, заданной в Нга. при помощи преобразования

х[в(£)] Еп С Кп+& (3)

Форма вычислительной области Еп и ячеек эталонной сетки выбирается в зависимости от формы Зхп и того, какой численный алгоритм применяется для решения физической задачи

Рис 1 Схема метода отображений для построения сетки в трехмерной области

В разделе 1.2 вводятся сеточные уравнения, основанные на эллиптических операторах Бельтрами и диффузии.

Промежуточное преобразование э(£) в рассматриваемой версии метода отображений определяется как обратное к вектор-функции

€(8) = К1 (В), ,£»],

являющейся решением задачи Дирихле

rlas« = г — 1, ,п

где д1к — контравариантные компоненты управляющей метрики дяг] в координатах з1, ,вп д* = ¿еЬ(д^). дЯп и дЗп — границы 5П и 2ге соответственно а ^(й) = [(/З1 (в), , (^"(в)] — взаимно-однозначное преобразование между 95" и <ЭЕга (рис. 1).

Уравнения в (4) называются уравнениями Бельтрами относительно управляющей метрики з® Функции С1 (в), . ,£п(в) являющиеся решением задачи (4), задают сеточную координатную систему в 5" и 5Ж" Краевая задача (4) корректна при любой невырожденной метрике А тале как значение оператора Бельтрами Дв [£] инвариантно относительно выбора координатной системы в 5ЖП, то сетка, полученная с помощью преобразования обратного решению задачи (4), не зависит от выбора параметризации (1)

Система уравнений в (4) является эллиптической и имеет дивергентную форму, следовательно, ее решение удовлетворяет принципу максимума. Соответственно узлы сетки полученные решением задачи Дирихле (4), будут находиться внутри ,3хп в том случае, когда вычислительная область Н™ выпукла (рис 1) Более того, при п = 2 справедлива теорема Радо из которой, в частности следует, что преобразование полученное решением задачи (4) с произвольной метрикой является невырожденным, если область Н2 выпукла и отображение границ 82 и Е2, заданное условием Дирихле, взаимно-однозначное Эти свойства служат основной причиной того, что в задаче (4) базисная система уравнений Бельтрами сформулирована для преобразования £(э), обратного к промежуточному отображению

Замена л/д® на «/(в) в системе уравнений (4) приводит к более общей системе уравнений

где д{ — контравариантные элементы управляющей метрики в координатах s1,. ,sn. a iu(s) > 0 — весовая функция, усиливающая или уменьшающая влияние метрики в нужных зонах Sxn Уравнения (5) называются уравнениями диффузии

Хотя любое невырожденное дважды дифференцируемое промежуточное преобразование (2) может быть найдено как обратное к решению уравнений Бельтрами, уравнения диффузии (5) позволяют в более

(5)

простой форме особенно при п = 2, реализовывать необходимые сеточные свойства в различных зонах физической геометрии 5х™ Однако необходимо помнить что решение уравнений (5) зависит от выбора параметризации (1).

В разделе 1.3 вводится общая формула управляющей метрики, с помощью которой уравнения Бельтрами и диффузии позволяют конструировать сетки с различными свойствами

Наиболее общая и простая формулировка управляющей метрики в Бхп в координатах в1, , б,п имеет следующий вид-

9% = + ^(8)^(8) 1,3 = 1, . ,П. к = 1, . (6)

где «(э) > 0 — весовая функция; д** = х5. • — метрика Эхп, а г = 1, . ,п. — компоненты некоторого ковариантного вектора ¥к (в)

Функции 2 (в) и (в) в (6) должны удовлетворять условию ) >

О В частности. (1е1;(<7® ) > 0 при г (в) > О

Кроме того, в этом разделе приводятся формулы управляющих метрик для построения сеток, сгущающихся в окрестности больших значений функций, больших градиентов согласованных с векторным полем, со сбалансированными свойствами

В разделе 1.4 выписываются обращенные уравнения Бельтрами и диффузии

Для нахождения узлов сетки следует обратить уравнения Бельтрами и диффузии, чтобы получить уравнения относительно промежуточного преобразования Численное решение обращенных уравнений на эталонной сетке в Еп определяет узлы промежуточной сетки в 5" Отображение этих узлов при помощи х(в) дает искомую сетку в Бхп

Таким образом, краевая задача (4) преобразуется к следующему виду относительно зависимых переменных вг(£)

= = 1' •»• (7)

вг|эн» =-фг(€)- г = 1, . ,п

Уравнения в (7) называются обращенными уравнениями Бельтрами

Заменяя в (7) у/д* на ад (в), получаем обращенные уравнения диффузии

д2вг 1 д ( \

В главе 2 представлены разработанные численные алгоритмы и комплекс программ для построения адаптивных структурированных

треугольных и призматических сеток, основанные на решении обращенных уравнений Бельтрами и диффузии относительно управляющей метрики

В разделе 2.1 обращенные уравнения Бельтрами (7) и диффузии (8) приводятся к виду, удобному для численной реализации.

В разделе 2.2 в кратком виде приводится алгоритм для конструирования адаптивных сеток в одномерном случае

В разделе 2.3 представлен алгоритм для конструирования адаптивных треугольных сеток в двумерных областях и на поверхностях.

В разделе 2.4 представлен алгоритм для конструирования адаптивных призматических сеток в трехмерном случае

В разделе 2.5 приводится краткое описание разработанного комплекса программ для построения адаптивных треугольных и призматических сеток с различными видами адаптации, предназначенного для дальнейшего его использования при решении задач математической физики Комплекс написан на языке С++.

В главе 3 представлены результаты по построению одноблочных сеток с разнообразными видами адаптации и блочных сеток со сглаживанием по линии склейки

Рис 2 Сетки, адаптирующиеся к кривым и областям в двумерных и трехмерных областях и удовлетворяющие сбалансированным свойствам Для трехмерных областей сетка на граничных сегментах строилась при помощи двумерного алгоритма

В разделе 3.1 приведены основные базисные слойные функции, использующиеся для задания управляющих метрик Приведены примеры управления степенью сгущения сеток при помощи варьирования параметров этих функций Представлены примеры сконструированных одноблочных сеток в двумерных и трехмерных областях и на поверхностях, сгущающихся в окрестности заданных кривых и областей Также демонстрируются сетки, согласованные с модельным векторным полем и удовлетворяющие сбалансированным свойствам Эти сетки были построены при помощи численного решения обращенных уравнений Бельтрами и диффузии (7) и (8) с использованием управляющих метрик.

А

к

представленных в разд. 1.3, согласно алгоритмам, описанным в гл. 2.

В разделе 3.2 представлено 2 способа построения блочных сеток со сглаживанием по линии склейки: 1. при помощи интерполяции, 2. при помощи уравнений. Демонстрируются результаты, показывающие высокую эффективность данных способов сглаживания.

Рис. 3. Сетки на поверхности О-типа, построенные без сглаживания по линии склейки (слева) и со сглаживанием при помощи интерполяции (справа).

Рис. 4■ Блочные сетки в двумерной области, построенные без сглаживания по линии склейки (слева) и со сглаживанием при помощи уравнений (справа).

В главе 4 излагаются результаты решения одномерной и двумерной сингулярно возмущенных задач с негладкой правой частью с непосредственным использованием адаптивных сеток, конструируемых с помощью численного решения обращенных уравнений Бельтрами и диффузии.

Сингулярно возмущенные задачи - это задачи, описываемые сингулярно возмущенными уравнениями, т. е. уравнениями, имеющими малый параметр е перед старшими производными. Такие задачи обладают высокой прикладной значимостью как элементы математических моделей при исследовании разнообразных процессов в физике, химиии, биологии.

Характерной чертой сингулярно возмущенных уравнений является то, что их решения и/или производные решений имеют особые узкие зоны (внутренние и пограничные слои), в которых происходит резкий

переход от одного устойчивого состояния к другому или к заданным граничным значениям Такие ситуации возникают, например, в гидродинамике в течении вязкой жидкости в области пограничных слоев, где вязкая жидкость переходит с граничных значений, заданных условием прилипания к невязкой жидкости, или, например в окрестности ударных волн, где газ переходит из дозвукового в сверхзвуковое состояние Как правило, производные решения сингулярно возмущенного уравнения в центре внутренних и/или пограничных слоев достигают порядка £~к, к > 0 т е стремятся к бесконечности при стремление малого параметра к нулю Вне слоев производные оцениваются некоторой положительной константой, не зависящей от е Вследствие этих особенностей сингулярно возмущенные уравнения достаточно трудны для решения посредством стандартных методов в случае, когда параметр е очень мал Используемый автором метод позволяет на основе знаний о качественном поведении решения задачи строить сетки, адаптирующиеся к структуре решения а затем на этих сетках решать сами задачи что позволяет получить хорошую аппроксимацию решения сингулярно возмущенных уравнений во всей области определения, в том числе и внутри слоев, на сетках с небольшим числом узлов, что повышает скорость и точность расчетов

Некоторые сингулярно возмущенные уравнения возникают как модели конвекнционно-диффузионных процессов в задачах газовой динамики Типичной моделью такого процесса является краевая задача с

" д2

малым параметром е перед оператором Лапласа А = ^^-•

Здесь Хп - ограниченная область, а(х, и) - конвективный вектор, ((х, и) - некоторая вектор-функция; е > 0 - коэффициент диффузии, который может быть мал по сравнению с а(х, и) При анализе слоев обычно предполагается. что есть достаточная согласованность между коэффициентами уравнения и граничными условиями в углах Xчтобы решение задачи не имело особенностей в окрестностях граничных узлов

В разделе 4.1 представлены теоретические и численные результаты по решению одномерного сингулярно возмущененного уравнения

Многомерные сингулярно возмущенные задачи в общем случае слишком сложны для эффективного теоретического анализа их решений Однако уравнения можно упростить без потери общности, если производные решения принимают большие значения только вдоль одного

—еДи + а(х,и) Уи + Г(х,и)=0, х € Хп . и(х,е) = 0, хедА""

(9)

координатного направления В этом случае качественное поведение решений в слоях может быть смоделировано при помощи обыкновенных дифференциальных уравнений

Частным случаем сингулярно возмущенного уравнения является би-сингулярное уравнение, которое характеризуется тем, что вырожденная исходная сингулярно возмущенная задача имеет особенность Такая задача более трудна для аналитического исследования и как следствие менее изучена, хотя имеет большую прикладную значимость В работе исследуется следующая самосопряженная бисингулярная краевая задача

L[u] = -eu" + хад(х, и) = О

О < ж < 1, 0<е<1 0 < а < 1 (ю)

r[u] = [u(0,e)>u(l,e)] = (J4o,Ai).

где

g(x,u)GC2>2([ 0,1]хД)

Эта задача является бисингулярной из-за негладкости правой части Для задачи (10) верна следующая теорема Теорема 1

Пусть и(х, е) является решением задачи (10) и пусть выполняется условие ди(х, и) > с > 0. тогда имеют место следующие неравенства

\и'{х,е)\ < Ф! = ехр(-тх/е^) +

+ M2e~i exp[s(a; - 1 )/es] + М3

(H)

|ix"(x,e)| < Ф2 = Mis ехр(-т.ж/е«+2) 4-+ M'as-1 exp[s(x - 1 )/eî],

здесь 0 < ж < 1. 0 < s < I с j, m - произвольная константа, не зависящая от ж и g

Зная оценки при помощи численного алгоритма для решения одномерных уравнений Бельтрами. описанного в разд 2 2. строятся сетки с узлами, сгущающимися в слоях сингулярно возмущенной задачи (10)

При переходе от узла к узлу на этой сетке функция и(х, е) не будет сильно меняться поскольку узлы сгущаются в областях слоев, поэтому можно иснользовать обычные вычислительные методы Для численного решения задачи (10) использовалась схема с направленными разностями

В разделе представлены результаты численных экспериментов

В разделе 4.2 демонстрируются результаты применения разрабатываемых алгоритмов построения адаптивных разностных сеток для решения двумерной сингулярно возмущенной задачи (частный случай конвекционно-диффузионной задачи (9))

—еДм + a(s) Vu + f(s,u) = 0. s е S2.

(12)

и(s) = -uo(s) s G dS2 , Д . д2и „ _ _ / ди ди \

S2 С R2 - некоторая ограниченная область: dS2 = S2 \ S2 - ее граница: a(s) - конвективный вектор: /(s, и) - некоторая функция, 0 < е -С 1 - коэффициент диффузии

Рассмотрим задачу (12) со следующими условиями

a(s) = О,

/(s,u) = (e1)0^2)^,«). $„(s,u) > m > О

О < а, /3 < 1. m — некоторая константа ^^

S2 = SJ = [0,1] х [0,1],

Процесс нахождения численного решения задачи (12) с условиями (13) разбивается на два этапа-

1) задание метрики обеспечивающей сгущение сетки в области S2 в окрестности больших градиентов решения u(s) рассматриваемой задачи, и построение такой сетки:

2) численное решение задачи на полученной сетке

Компоненты метрики задаются при помощи обобщения одномерных

оценок (11)

Теперь при помощи сформулированной метрики используя численный алгоритм, описанный в разд 2.3. строим сетки, сгущающуюся в зонах больших градиентов решения и(s, е) задачи (12) с условиями (13) внутри соответствущих областей S2

Отметим что для получения более эффективных результатов необходимо также сгустить сетку не только внутри области S2. но и на ее границах (точнее сначала на границах, а потом уже внутри области) Это делается при помощи алгоритма, описанного в разд. 4 1. где для

нахождения сгущения на каждой из границ Ф берется из соответствующих оценок.

Теперь, построив адаптивную сетку, решаем саму сингулярно возмущенную задачу (12) на ней. Для этого преобразуем ее к более подходящему виду, а именно, перейдем к производным по переменным , £2 € Н2, где 52 - эталонная вычислительная область. Решая получившиеся уравнения с использованием схемы стабилизирующей поправки, описанной в гл. 2, находим численное решение задачи (12) с условиями

Рис. 5. Сетка, построенная в области сгущающаяся в окрестности больших градиентов решения и(в) задачи (12) с условиями (13) (слева) и решение этой задачи (справа).

В разделе приведены результаты численных расчетов, которые демонстрируют эффективность использования адаптивных сеток для решения сингулярно возмущенных задач - они позволяют аппроксимировать решение, имеющее погранслои, равномерно на всей области при небольшом количестве узлов, что демонстрируется на рис. 5.

В заключении сформулированы основные результаты работы:

1. Построены треугольные и призматические адаптивные разностные сетки на поверхностях, в двумерных и трехмерных областях, реализующие разнообразные свойства. В результате проведенных теоретических и численных исследований сформулированы управляющие метрики в частном виде для построения сеток с некоторыми видами адаптации.

2. Разработаны и реализованы два алгоритма по сглаживанию блочных треугольных и призматических сеток:

• при помощи интерполяции;

• при помощи обращенных уравнений Бельтрами и диффузии.

3. Разработаны численные алгоритмы и комплекс компьютерных программ для построения адаптивных разностных треугольных и приз-

(13).

матических сеток,основанные на решении обращенных уравнений Бель-трами и диффузии относительно управляющей метрики.

4 Получены качественные оценки на производные решения одномерной сингулярно возмущенной задачи с негладкой правой частью Эти оценки были использованы в качестве управляющих метрик для нахождения численного решения рассматриваемой задачи

5 Решена конвекционно-диффузионная задача, моделирующая процессы газовой динамики, сформулированная в виде краевой задачи для двумерного сингулярно возмущенного уравнения с негладкой правой частью Задача решалась на адаптивной сетке, построенной с помощью обобщения результатов, полученных для одномерного сингулярно возмущенного уравнения

Дальнейшим направлением работы является разработка алгоритмов построения подвижных сеток, интерактивно адаптирующихся к особенностям решения задач математической физики со сложной геометрией границ, и решение этих задач Также планируется развитие направления построения многоблочных сеток со сложной топологией не только с треугольными и призматическими, но также и с гибридными ячейками. Для этой цели предполагается разработанные расчетные модули для построения треугольных и призматических сеток интегрировать в комплекс компьютерных программ разработанный для построения сеток с четырехугольными и гексаэдральными ячейками

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Монография

1. Глассер А Г, Лисейкин ВД, Шокин ЮИ, Васева И А, Лиханова Ю.В Построение разностных сеток с помощью уравнений Бельтрами и диффузии Новосибирск- Наука, 2006

Учебное пособие

2. Лисейкин В.Д, Лиханова Ю В Метод координатных преобразований для численного решения сингулярно возмущенных уравнений Новосибирск НГУ. 2006

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК

3 Likhanova Yu V, Liseikm V D , Patrakhvri D V, Vaseva IA Generation of Block Structured Smooth Grids // Вычислительные технологии. 2006 Т. 11 № 4 С 3-12

4 Лисейкин В Д, Baceea И. А , Лиханова Ю В Конструирование разностных сеток с помощью численного решения обращенных уравнений

Бельтрами и уравнений диффузии / / Вычислительные технологии 2006 Т 11 специальный выпуск, часть 2 С. 13-20

Прочие публикации

5 Glasser А Н, Liseikm V D , Vaseva LA , Likhanova Yu V Some Computational Aspects on Generating Numerical Grids // Russian Journal of Numerical Analisys and Mathematical Modelling 2006 Vol 21 No 6 P 481-505

6 Glasser A H., Liseikm V D, Kitaeva IA , Likhanova Yu V Specification of Monitor Metrics for Generating Balanced Numerical Grids, Joint Bulletin of NCC and IIS 2005 Vol 13 P. 1-13.

7. Глассер А Г., Лисейкин В Д, Васева И А , Лиханова Ю.В Некоторые аспекты построения адаптивных сеток // Труды Всероссийской конференции "Численная геометрия, построение расчетных сеток и высокопроизводительные вычисления" Вычислительный центр РАН, Москва 2006 С 23-32

8. Kitaeva IА , Liseikm V D , Lihanova Y V Numerical grid generation based on qualitative analysis of singularities, Proceeding of the International Conference on Computational Mathematics Новосибирск 2002 P 621-625

9 Vaseva IA , Liseikm V D , Morokov Yu N, Lihanova Yu V Application of Beltrami and Diffusion Equations to the Development of Grid Codes Book of Abstracts. IAC Report. Italy 2007 P 82-83

Тираж 100 экз. Заказ № 772.

Формат 60x84 1/16 05 10 2007

Отпечатано в ЗАО РИЦ "Прайс-курьер" 630090. г Новосибирск пр. Ак Лаврентьева. 6

Введение

1. Математическая модель

1.1. Схема методов отображений

1.2. Базисные уравнения.

1.2.1. Уравнения Бельтрами.

1.2.2. Уравнения диффузии.

1.3. Управляющая метрика.

1.3.1. Формулировка элементов управляющей метрики

1.3.2. Вычисление метрических компонент.

1.3.3. Формулы основных управляющих метрик.

1.4. Обращенные уравнения.

1.4.1. Обращенные уравнения Бельтрами.

1.4.2. Обращенные уравнения диффузии.

2. Описание численных алгоритмов

2.1. Приведение обращенных уравнений Бельтрами и диффузии к виду, удобному для численной реализации.

2.2. Вычислительный алгоритм для одномерного уравнения . 44 2.2.1. Итерационная схема.

2.3. Вычислительный алгоритм для двумерного уравнения

2.3.1. Итерационная схема.

2.3.2. Начальное приближение.

2.3.3. Особенности численного нахождения метрических компонент

2.3.4. Построение сеток с плохих начальных данных

2.4. Вычислительный алгоритм для построения пространственных сеток.

2.4.1. Итерационная схема.

2.4.2. Начальное приближение.

2.5. Программный инструментарий.

3. Численная реализация

3.1. Построение одноблочных сеток.

3.1.1. Использование функций слойного типа для управления качественными свойствами управляющей метрики.

3.1.2. Конструирование сеток, согласованных с векторным полем.

3.1.3. Конструирование сгущающихся сеток.

3.1.4. Конструирование сбалансированных сеток.

3.2. Построение гладких блочных сеток

3.2.1. Сглаживание при помощи интерполяции.

3.2.2. Сглаживание при помощи сеточных уравнений

3.2.3. Пример использования сеток с отверстиями.

4. Решение сингулярно возмущенных уравнений с использованием адаптивных сеток

4.1. Одномерное сингулярно возмущенное уравнение.

4.1.1. Метод координатных преобразований для нахождения численного решения сингулярно возмущенных уравнений.

4.1.2. Связь с обращенными уравнениями Вельтрами

4.1.3. Понятие обратной монотонности.

4.1.4. Оценки на производные решения.

4.1.5. Численная реализация.

4.1.6. Решение задачи без использования оценок

4.2. Решение двумерной сингулярно возмущенной задачи

4.2.1. Задание метрики.

4.2.2. Преобразование задачи

4.2.3. Результаты расчетов.

Разработка новых подходов к численному решению задач механики сплошных сред стало весьма актуальной проблемой, поскольку в настоящее время, ввиду появления мощных ЭВМ, остро стоит вопрос создания высокопроизводительных алгоритмов для расчетов в областях со сложной геометрией границ, например при решении задач загрязнения окружающей среды остатками ракетного топлива для обеспечения экологической безопасности ракетно-космической техники, для численных экспериментов по исследованию перспективных форм летательных аппаратов, для задач предсказания природных катастроф и др. Кроме того, это обусловлено ужесточением требований на качество разностных сеток и время их построения для обеспечения эффективных и экономичных численных экспериментов.

Исследования газодинамических течений в областях с криволинейной границей около тел сложной формы требуют применения специальных сеточных разбиений расчетной области, т.к. эффективность таких исследований во многом зависит от качества используемых в расчетах сеток. Например, при численном изучении факторов, влияющих на эффективность воздушных и подводных аппаратов, требуются разностные сетки с высокой концентрацией ячеек в зонах быстрого изменения характеристик физической среды (плотность, давление). В частности, такие ситуации имеют место при изучении многократных взаимодействий ударных волн, волн разрежения и контактных границ. Для преодоления трудностей, возникающих при численном изучения плазмы, удерживаемой магнитным полем, необходимы невырожденные разностные сетки, согласованные с магнитным полем. Также требуется сгущение узлов и ячеек сеток в тех зонах, в которых численные алгоритмы приводят к большим погрешностям.

Как следствие, в последнее время получают все большее распространение методы построения сеток с различными видами адаптации, использующие результаты теорий дифференциальных уравнений, вариационного исчисления, дифференциальной геометрии и вычислительной математики, поскольку такие сетки позволяют хорошо аппроксимировать области расчета со сложной геометрией границ (например, с малыми отверстиями) и характерные особенности физических явлений, что позволяет существенно повысить скорость и надежность решения задач и получать результаты высокой точности. Вместе с тем задача разработки методов и соответствующих численных алгоритмов построения адаптивных сеток является сложной математической проблемой. Несомненно, исследования по этой проблеме являются актуальными и востребованными не только при численном моделировании процессов механики сплошных сред, но и при решении более широкого класса задач [33].

Первые работы, в которых было обращено внимание на проблему построения сеток в сложных областях и предложены идеи их построения с помощью конформных и оптимальных преобразований, появились в 70-х годах [30,110]. Подробное описание наиболее популярных методов построения разностных сеток представлено в монографиях [69,75,77,102] и в обзорных статьях [21,53,96,99,101]. Результаты, связанные с построением подвижных сеток, применением техники растягивающих преобразований для численного решения сингулярно возмущенных задач, применением нестационарных сеточных методов и методов эквираспределения в задачах распространения волн, были предложены в монографиях [1,26,34,76,112].

При решении задач математической физики численными методами обычно используется два основных класса сеток — структурированные (регулярные) и неструктурированные (нерегулярные).

Методы построения адаптивных структурированных сеток впервые были исследованы в работах [37, 97, 98]. Затем серия работ, посвященных общим адаптивным методам, была представлена в статьях [39,54,61,74]. Адаптивные методы построения подвижных сеток были описаны в [62, 112]. Методы построения неструктурированных сеток были рассмотрены в работах [17,39,44,63,94,103]. Подробное описание структурированных и неструктурированных методов дано в обзоре [103].

Наиболее эффективными среди сеток являются сетки, полученные взаимно однозначным преобразованием : Нп Б", которое отображает границу вычислительной области Еп на границу параметрической области 5П. Такие сетки называются согласованными с границей. Согласованная с границей сетка обычно строится сначала на выбранных ребрах, затем на гранях и, наконец, внутри области. Поэтому на каждом шаге преобразование з(£) известно на границе области, и это граничное преобразование продолжается с границы во внутреннюю часть области. Данный процесс аналогичен интерполяции функции по ее граничным значениям или решению краевой задачи Дирихле. Для нахождения промежуточного отображения : Еп ->• 5" при заданном граничном преобразовании <9з(£) : дЕп <95" : были разработаны три базисные группы методов:

- алгебраические методы, использующие различные виды интерполяций или специальные функции;

- дифференциальные методы, основанные главным образом на решении эллиптических, параболических и гиперболических уравнений в выбранной вычислительной области Н";

- вариационные методы, основанные на оптимизации качественных свойств разностных сеток.

Алгебраические методы просты; они позволяют быстро строить сетку; сгущение и наклон координатных линий контролируются задаваемыми значениями градиентов в граничных точках и переходными коэффициентами в формулах трансфинитной интерполяции. Однако, в областях со сложной геометрией координатные поверхности, полученные алгебраическими методами, могут вырождаться или ячейки сетки могут перекрывать друг друга или пересекать границу. Кроме того, они, как правило, сохраняют особенности граничных поверхностей, в частности изломы. Поэтому алгебраические методы как правило используются для построения сеток в областях с гладкими и не сильно деформированными границами или для начальной аппроксимации в итерационном процессе при построения сеток эллиптическими методами. Исследование и описание алгебраических методов представлено в работах [52,55,75,85,86,102].

Для построения сеток в областях и на поверхностях с произвольной границей обычно используются дифференциальные методы, основанные на решении эллиптических и параболических уравнений. Такие уравнения позволяют получать гладкие сетки; они учитывают распределение узлов сетки на границе физической геометрии (области, поверхности), не распространяют граничные особенности внутрь; для них существует меньшая опасность перекрывания ячеек сетки и их можно эффективно решать различными хорошо разработанными методами. Использование параболических и эллиптических систем позволяет получать ортогональные и сгущающиеся координатные сеточные линии, причем во многих случаях принцип максимума, который выполняется для дивергентных форм этих систем, обеспечивает невырожденность промежуточного преобразования. Эллиптические уравнения также используются для сглаживания неструктурированных сеток или сеток, полученных алгебраическими и гиперболическими методами.

Двумерная система уравнений Лапласа, записанная относительно параметрических координат, была предложена в работах [10,36,40]. Общая эллиптическая система для построения структурных сеток сеток была рассмотрена Чу [46]. Двумерная система обращенных уравнений Лапласа была предложена в [49,110].

Двумерная система уравнений диффузии для построения адаптивных сеток была введена в работах [14,111] и развивалась в работах [54,83].

Метод построения адаптивных сеток на основе обращенных уравнений Бельтрами и диффузии относительно управляющих метрик подробно описан в монографиях [75,77] и является естественным продолжением подходов, предложенных в работах [10,49,50,105,110]. Метод эквираспределения для построения сеток применяется в работах [28,67].

Система уравнений Пуассона была предложена [11] в предположении, что ее решение является композицией конформного и растягивающего преобразований. Более общая система Пуассона была обоснована в монографиях [100,102]. Разработка методов управления сеточными свойствами при помощи уравнений Пуассона проводилась в работах [90,93,95,104,106,109]. Обращенные уравнения Пуассона для построения ортогональных сеток используются в работах [72,87].

Гиперболические уравнения позволяют использовать маршевые методы и конструировать ортогональные координатные системы. Однако методы, основанные на решении гиперболических уравнений, не всегда математически корректны. Кроме того, они неприменимы в случае, когда граничные узлы сетки заданы на всей границе. Поэтому гиперболические методы в основном используются для простых областей с выделенными боковыми гранями, для которых не требуется никакого специального распределения узлов. Этот метод развивался в работах [45,48,66,88,89,92].

Метод построения двумерных сеток при помощи параболической схемы, аппроксимирующей обращенные уравнения Пуассона, был впервые предложен в работе [79], вариация этого метода разработана в [81]. Развитие метода для построения адаптивных сеток было проведено в [51,82].

Комбинация гиперболической и параболической схем предложена в [80].

Вариационные методы широко используются для построения сеток, удовлетворяющих нескольким свойствам. Они учитывают условия, которым должна удовлетворять сетка, при помощи специальных функционалов, определенных на множестве гладких или дискретных преобразований. Компромиссная сетка со свойствами, близкими к требуемым, получается при нахождении оптимального преобразования для комбинации этих функционалов. Основная задача вариационного подхода заключается в том, чтобы описать все важные характеристики искомой сетки в подходящей функциональной форме и составить комбинированный функционал, который обеспечил бы корректную задачу минимизации.

Функционал энергии в метрике вычислительной области Еп был предложен в [10]. Исследованию и развитию этого подхода посвящены работы [5,12,47]. Вариационный принцип для построения адаптивных и оптимальных сеток использовался в работах [14,15, 27, 31,32,41,43, 56,64,65]. Вариационная формулировка сеточных свойств описана в [108].

Хотелось бы заметить, что несмотря на различие имеющихся технологий построения сеток, между ними существуют тесная взаимосвязь. Часто характеризуя метод, можно выделить в нем использование элементов различных направлений [8,75].

Представленная диссертационная работа посвящена разработке метода построения адаптивных треугольных и призматических сеток, основанного на применении обращенных уравнений Бельтрами и диффузии, для решения задач механики сплошных сред.

Системы уравнений Бельтрами и диффузии обладают следующими достоинствами:

- краевая задача Дирихле для уравнений Бельтрами и диффузии корректна, поскольку они являются линейными и эллиптическими;

- уравнения Бельтрами (в отличии от уравнения Пуассона и двумерных уравнений диффузии) инвариантны относительно выбора координатной системы;

- для уравнений Бельтрами и диффузии выполняется принцип максимума, поэтому для выпуклой вычислительной области узлы сетки будут гарантированно попадать внутрь физической геометрии;

- в двумерном случае для уравнений Бельтрами выполняется теорема Радо, согласно которой сеточные преобразования, полученные решением уравнений Бельтрами будут невырожденными, если вычислительная область выпукла. Уравнения Пуассона и двумерные уравнения диффузии не дают гарантии невырожденности решения;

- с помощью управляющей метрики реализуются произвольные невырожденные сеточные преобразования.

- уравнения Бельтрами эквивалентны уравнениям Эйлера-Лагранжа для функционала энергии;

- система уравнений Бельтрами и диффузии позволяет единообразно строить сетки в областях и на поверхностях произвольной размерности.

Таким образом, преимуществом математической модели, основанной на базе этих уравнений, является то, что она позволяет в единообразной форме и независимо от параметризаций областей строить как стационарные, так и подвижные сетки в областях произвольной размерности и на их границах, и в то же время обеспечивать требуемые характеристики с помощью задания управляющей метрики. Операторы и уравнения Бельтрами и диффузии и их свойства хорошо изучены в теории Римановой геометрии, что существенно помогает формулировать в явном виде необходимую метрику для управления свойствами разностных сеток.

Такие достоинства математической модели построения адаптивных сеток, базирующейся на обращенных уравнениях Бельтрами и диффузии, делают перспективной работу по ее развитию. Теоретические и численные исследования этой модели имеют большое значение как для развития методов построения сеток в целом, так и для решения задач механики сплошных сред и более широкого класса задач.

Целью диссертационной работы являляется:

- Проведение теоретических и численных исследований по нахождению оптимальных параметров управляющих метрик для построения сеток с различными видами адаптации.

- Разработка методов построения гладких многоблочных треугольных и призматических сеток.

- Проведение теоретических и численных исследований для решения сингулярно возмущенных уравнений, моделирующих конвекционно-диффузионные процессы, возникающие в газовой динамике, на адаптивных сетках. одномерном и двумерном случаях.

- Создание алгоритмов и комплекса компьютерных программ для построения адаптивных структурированных сеток с треугольными (в двумерном случае) и призматическими (в трехмерном случае) ячейками и их использование для моделирования процессов, возникающих в механики сплошных сред с помощью численного решения обращенных уравнений Бельтрами и диффузии. Внимание было уделено построению сеток именно с такими элементами, т.к. они позволяют более корректно представлять физические области, в которых противоположные границы сильно различаются по длине, например кольцо с малым внутренним диаметром или области, близкие к треугольным.

Направленность создаваемых алгоритмов на построение структурированных сеток обосновывается тем, что они более просты в использовании по сравнению с неструктурированными, т.к. имеют единую нумерацию (а для неструктурированных сеток для каждого узла требуется описывать и учитывать связи с другими узлами, что ведет к усложнению вычислительных алгоритмов). Кроме того, структурированные сетки позволяют обеспечивать гладкость координатных линий и гиперповерхностей, что существенно повышает точность решения дифференциальной задачи и позволяет отслеживать возникновение и развитие особенностей. Координатные линиии и гиперповерхности структурированных сеток совпадают с границами физических областей, позволяя более точно аппроксимировать граничные условия, что также является важным фактором в решении задач [9,33].

В гл. 1 подробно описывается математическая модель построения многомерных адаптивных сеток, основанная на численном решении обращенных уравнений Бельтрами и диффузии, включающих управляющую метрику. Приведены формулы управляющих метрик, позволяющих конструировать сетки с различными индивидуальными и сбалансированными свойствами.

Глава 2 посвящена описанию разработанных численных алгоритмов и комплекса программ для построения адаптивных структурированных треугольных и призматических сеток, основанных на решении обращенных уравнений Бельтрами и диффузии относительно управляющей метрики.

В гл. 3 представлены результаты численных экспериментов по конструированию одноблочных разностных треугольных и призматических сеток с различными видами адаптации на основе модели, описанной в гл. 1. Также подробно описываются 2 способа сглаживания блочных сеток по линии склейки. Демонстрируются результаты.

В гл. 4 излагаются результаты решения одномерной и двумерной сингулярно возмущенных задач с негладкой правой частью с непосредственным использованием адаптивных сеток, конструируемых с помощью численного решения обращенных уравнений Бельтрами и диффузии.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации и направления дальнейшей работы.

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Построены треугольные и призматические адаптивные разностные сетки на поверхностях, в двумерных и трехмерных областях, реализующие разнообразные свойства. В результате проведенных теоретических и численных исследований сформулированы управляющие метрики в частном виде для построения сеток с некоторыми видами адаптации.

2. Разработаны и реализованы алгоритмы по сглаживанию блочных треугольных и призматических сеток.

3. Разработаны численные алгоритмы и комплекс компьютерных программ для построения адаптивных разностных треугольных и призматических сеток,основанные на решении обращенных уравнений Бельтрами и диффузии относительно управляющей метрики.

4. Получены качественные оценки на производные решения одномерной сингулярно возмущенной задачи с негладкой правой частью. Эти оценки были использованы в качестве управляющих метрик для нахождения численного решения рассматриваемой задачи.

5. Решена конвекционно-диффузионная задача, моделирующая процессы газовой динамики, сформулированная в виде краевой задачи для двумерного сингулярно возмущенного уравнения с негладкой правой частью. Задача решалась на адаптивной сетке, построенной с помощью обобщения результатов, полученных для одномерного сингулярно возмущенного уравнения.

Результаты теоретических и численных исследований важны для изучения вопроса взаимосвязей управляющих метрик и качественных свойств сеток, а также являются вкладом в развитие методов построения разностных сеток, позволяющих эффективно, с высокой точностью решать на них не только задачи, возникающие при моделировании процессов механики сплошных сред, но и более широкий класс задач с особенностями.

Впервые получены оценки на производные решения одномерной сингулярно возмущенной задачи с негладкой правой частью. С помощью этих оценок сформулирована управляющая метрика, использовавшаяся для нахождения численного решения двумерной сингулярно возмущенной задачи с негладкой правой частью. Такие задачи важны, поскольку возникают при численном моделировании конвекционно-диффузионных процессов в механике сплошных сред.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на: XII Всероссийской школе-семинаре "Современные проблемы математического моделирования" (Абрау-Дюрсо, 2007), 7th Meeting on Applied Scientific Computing and Tools (Italy, Rome, 2007), Всероссийской конференции по вычислительной математике (Новосибирск, 2007), III Всероссийском совещании "Актуальные проблемы прикладной математики и механики", посвященном памяти академика А.Ф. Сидорова (Абрау-Дюрсо, 2006), Third International Conference of Applied Mathematics (Plovdiv, Technical University, 2006), 18th Chemnitz FEM Symposium (Germany, Schoneck, 2005), IX Всероссийском совещании по проблемам построения сеток для решения задач математической физики и XIV Всероссийской конференции "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов для решения задач математической физики "(Абрау-Дюрсо, 2002), Международной конференции по вычислительной математике (Новосибирск, 2002).

По материалам диссертации опубликовано 9 печатных работ, куда входят (в скобках в числителе указан общий объем этого типа публикаций, в знаменателе - объем, принадлежащий автору): 1 монография (11.5/2.2 печ. л.), 1 учебное пособие (15.1/7.5 печ. л.), 2 статьи в изданиях, рекомендованных ВАК (2.1/0.6 печ. л.), 4 статьи, опубликованные в 2 журналах

2.1/0.53 печ. л.) и 2 изданиях трудов конференций (0.9/0.26 печ. л.), а также 1 тезисы (0.125/0.03 печ. л.).

Диссертационная работа была поддержана РФФИ (проект № 06-01-08009) и интеграционным проектом СО РАН-2006 (проект № 1.8).

Автор выражает глубокую признательность и благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук Владимиру Дмитриевичу Лисейкину.

Основные результаты данной диссертационной работы:

1. Построены треугольные и призматические адаптивные разностные сетки на поверхностях, в двумерных и трехмерных областях, реализующие разнообразные свойства. В результате проведенных теоретических и численных исследований сформулированы управляющие метрики в частном виде для построения сеток с некоторыми видами адаптации.

2. Разработаны и реализованы алгоритмы по сглаживанию блочных треугольных и призматических сеток.

3. Разработаны численные алгоритмы и комплекс компьютерных программ для построения адаптивных разностных треугольных и призматических сеток, основанные на решении обращенных уравнений Бельтрами и диффузии относительно управляющей метрики.

4. Получены качественные оценки на производные решения одномерной сингулярно возмущенной задачи с негладкой правой частью. Эти оценки были использованы в качестве управляющих метрик для нахождения численного решения рассматриваемой задачи.

5. Решена конвенционно-диффузионная задача, моделирующая процессы газовой динамики, сформулированная в виде краевой задачи для двумерного сингулярно возмущенного уравнения с негладкой правой частью. Задача решалась на адаптивной сетке, построенной с помощью обобщения результатов, полученных для одномерного сингулярно возмущенного уравнения.

Дальнейшим направлением развития метода является разработка алгоритмов построения подвижных сеток, интерактивно адаптирующихся к особенностям решения задач математической физики. Также планируется развитие направления построения многоблочных сеток со сложной топологией, не только с треугольными и призматическими, но также четырехугольными и гексаэдральными ячейками. Для этой цели предполагается разработанные расчетные модули для построения треугольных и призматических сеток интегрировать в имеющийся комплекс компьютерных программ, разработанный для построения сеток с четырехугольными и гексаэдральными ячейками.

Заключение

В диссертации представлен метод, разработанный для построения двумерных и трехмерных треугольных и призматических структурированных адаптивных сеток. Внимание было уделено построению сеток именно с такими элементами, т.к. они позволяют более корректно представлять физические области, близкие к треугольным, или с особенностями, такими, например, как малые отверстия.

Разработанные алгоритмы и проведенные тестовые расчеты на основе созданных программ показали свою работоспособность и эффективность.

1. Алалыкин Г.Б., Годунов С.К., Киреева Л.Я., Плинер Л.А. Решение одномерных задач газовой динамики в подвижных сетках. Москва: Наука, 1970.

2. Багаев Б. М., Шайдуров В. В. Сеточные методы решения задач с пограничным слоем. Новосибирск: Наука. Сиб. предприятие РАН, 1998. Ч. 1.

3. Багаев Б. М., Карепова Е. Д., Шайдуров В. В. Сеточные методы решения задач с пограничным слоем. Новосибирск: Наука, 2001. Ч. 2.

4. Бахвалов К. С. К оптимизации методов решения краевых задач при наличии пограничного слоя // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1969. - Т. 9. - т. - С. 842-859.

5. Белинский П.П., Годунов С.К., Иванов Ю.В., Яненко И.К. Использование класса квази-конформных отображений для построения разностных сеток в областях с криволинейными границами. // Журн. вычисл. математики и мат. физики. — 1975. — Т. 15. С. 1499-1511.

6. Глассер А., Лисейкин В. Д., Китаева И. А. Контролирование свойств разностных сеток с помощью мониторной метрики // Журн. вычисл. математики и мат. физики. — 2005. — Т. 45 — № 8. — С. 1466-1483.

7. Глассер А.Г., Лисейкин В.Д., Шокин Ю.И., Васева И.А., Лиханова Ю.В. Построение разностных сеток с помощью уравнений Бельтрами и диффузии. Новосибирск: Наука, 2006.

8. Годунов С.К., Забродин A.B., Иванов М.Я., Крайко А.Н., Прокопов Г.П. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М.: Наука, 1976.

9. Годунов С.К., Прокопов Г.П. О расчетах конформных отображений и построении разностных сеток // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1967. - Т. 7. - С. 1031-1059.

10. Годунов С.К., Прокопов Г.П. Об использовании подвижных сеток в газодинамических расчетах // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1972. - Т. 12. - С. 429-440.

11. Годунов С.К., Роменский Е.И., Чумаков Г.А. Построение сеток в сложных областях при помощи квазиконформных отображений // Труды ИМ СО РАН, Новосибирск: Наука, 1990. Т. 18. - С. 75-84.

12. Данаев Н.Т. О возможности построения изометрических сеток на поверхностях. Успехи Казах, гос. унив. Каз. Г. У, 1994. С. 110-116.

13. Данаев Н. Т., Лисейкин В. Д., Яненко H.H. О численном расчете движения вязкого газа вокруг тела вращения на подвижной сетке // Числ. методы механики сплошной среды. 1980. Т. 11, J\rs 1. С. 51-61.

14. Иваненко С.А., Чарахчъян A.A. Об алгоритме построения криволинейных сеток, состоящих из выпуклых четырехугольников. // ДАН -1988. Т. 36. № 1. - С. 51.

15. Ковеня В.М., Яненко H.H. Метод расщепления в задачах газовой динамики. Новосибирск: Наука, 1981.

16. Круглякова JI.B., Неледова A.B., Тишкин В.Ф., Филатов А.Ю. Неструктурные адаптивные сетки в задачах математической физики // Мат. моделирование. 1998. - Т. 10. № 3. - С. 93-116.

17. Лаевский Ю.М. О структуре решений эллиптических задач с сильной анизотропией // Сибирский математический журнал. 2000. - Т. 41. № 3. - С. 648-673.

18. Лисейкин В.Д. О построении регулярных сеток на n-мерных поверхностях // Там же. 1991. Т. 31, № 12. С. 1670-1689.

19. Лисейкин В.Д. О вариационном методе построения адаптивных сеток на n-мерных поверхностях // Докл. АН СССР. 1991. - Т. 319, № 3. -С. 546-549.

20. Лисейкин В.Д. Методы построения трехмерных сеток в аэродинамике // Вопросы атомной науки и техники. Сер. Мат. моделирование физических процессов. 1991. - Т. 3. - С. 31-45.

21. Лисейкин В.Д. Об универсальной мониторной метрике для построения разностных сеток // Докл. РАН. 2005. - Т. 400, Ш 1. - С. 21-25.

22. Лисейкин В.Д., Васева И.А., Лиханова Ю.В. Конструирование разностных сеток с помощью численного решения обращенных уравнений Бельтрами и уравнений диффузии // Вычислительные технологии. 2006. Т. 11, специальный выпуск, часть 2. С. 13-20.

23. Лисейкин В. Д., Лебедев А. С., Китаева И. А. Универсальный эллиптический метод построения разностных сеток: Учеб. пособие. Новосибирск: НГУ, 2004.

24. Лисейкин В. Д., Лиханова Ю.В. Метод координатных преобразований для численного решения сингулярно возмущенных уравнений: Учеб.пособие. Новосибирск: НГУ, 2006.

25. Лисейкин В. Д., Петренко В. Е. Адаптивно-инвариантный метод численного решения задач с пограничными и внутренними слоями. Новосибирск: Вычисл. центр СО АН СССР, 1989.

26. Лисейкин В.Д., Яненко H.H. О построении оптимальных разностных сеток // Числ. методы механики сплошной среды. 1977. - Т. 8. Xй- 7.- С. 100-104.

27. Молородов Ю.И., Хакимзянов Г. С. Построение и оценка качества регулярных сеток для двумерных областей // Вопросы атомной науки и техники. Сер. Мат. моделирование физических процессов. 1998. -Т. 1. - С. 19-27.

28. Прокопов Г. П. Об организации сравнения алгоритмов и программ построения регулярных двумерных сеток // Вопросы атомной науки и техники. Сер. Мат. моделирование физических процессов. 1989. Т. 3.- С. 98-107.

29. Сидоров А.Ф. Об одном алгоритме расчета оптимальных разностных сеток // Тр. матем. ин-та АН СССР. 1966. - Т. 74. - С. 147-151.

30. Сидоров А.Ф., Ушакова О.В., Хайрулина О.Б. Вариационные методы построения оптимальных сеток. Сидоров А.Ф. Избранные труды: Математика. Механика. М. Физ.мат.лит. 2001. - С. 512-538.

31. Ушакова О. В. Алгоритм построения двумерных оптимальных адаптивных сеток // Математическое моделирование. 1997. - Т. 9. №2. -С. 103-108.

32. Ушакова О. В. Метод построения трехмерных оптимальных сеток. Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. Екатеринбург, 2007.

33. Хакимзянов Г.С., Шокин Ю.И., Барахнин В.Б., Шокина Н.Ю. Численное моделирование течений жидкости с поверхностными волнами.- Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2001.

34. Яненко Н. Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1967.

35. Amsden A.A., Hirt С. W. A simple scheme for generating general curvilinear grids // J. Comput. Phys. 1973. - Vol. 11. - P. 348-359.

36. Anderson D.A. Adaptive grid methods for partial differential equations. In Ghia, K.N., Ghia U. (eds.): Advances in Grid Generation. ASME, Houston. - 1983. - P. 1-15.

37. Azarenok B.N. Variational barrier method of adaptive grid generation in hyperbolic problems of gas dynamics // SIAM J. Numer. Anal. 2002. -Vol. 40, N 40. - P. 651-682.

38. Baker T.J. Mesh adaptation strategies for problems in fluid dynamics // Finite Elements Anal. Design. 1997. - Vol. 25. - P. 243-273.

39. Barfield W.D. An optimal mesh generator for Lagrangian hydrodynamic calculations in two space dimensions. //J. Comput. Phys. 1970. - Vol. 6.- P. 417-429.

40. Bell J.В., Shubin G.R. An adaptive grid finite-difference method for conservation laws //J. Comput. Phys. 1983. - Vol. 52. - P. 569-591.

41. Brackbill J. U. An adaptive grid with directional control // J. Comput. Phys. 1993. Vol. 108. P. 38-50.

42. Brackbill J.U., Saltzman J. Adaptive zoning for singular problems in two directions // J. Comput. Phys. 1982. - Vol. 46. - P. 342-368.

43. Carey G.F. Computational Grids. Generation, Adaptation, and Solution Strategies. Taylor and Francis, London, 1997.

44. Chan W.M., Steger L.G. Enhancement of a three-dimensional hyperbolic grid generation scheme // Appl. Maths. Comput. 1992. - Vol. 51. - No 1. - P. 181-205.

45. Chu W.H. Development of a general finite difference approximation for a general domain // J. Comput. Phys. 1971. - Vol. 8. - P. 392-408.

46. Chumakov G.A., Chumakov S.G. A method for the 2-D quasi-isometric regular grid generation // J. Comput. Phys. 1998. - Vol. 133. - P. 1-28.

47. Cordova J.Q., Barth T.J. Grid generation for general 2-D regions using hyperbolic equations, AIAA Paper 88-0520, 1988.

48. Crowley W.P. An Equipotential Zoner on a Quadrilateral Mesh. Memo, Lawrence Livermore National Lab., 5 July 1962.

49. Dvinski A.S. Adaptive Grid Generation from Harmonic Maps on Riemannian Manifolds //J. Comput. Phys. 1991. - Vol. 95. - P. 450-476.

50. Edwards T.A. Noniterative three-dimensional grid generation using parabolic partial differential equations. AIAA Paper 85-0485, 1985.

51. Eiseman P.R. Geometric methods in computational fluid dynamics. ICASE Report 80-11 and Von Karman Institute for Fluid Dynamics Lecture Series Notes, 1980.

52. Eiseman P.R. Grid generation for fluid mechanics computations // Ann. Rev. Fluid Mech. 1985. - Vol. 17. - P. 487-522.

53. Eiseman P.R. Adaptive grid generation // Comput. Methods. Appl. Mech. Engng. 1987. - Vol. 64. - P. 321-376.

54. Eriksson L.E. Generation of boundary-conforming grids around wing-body configurations using transfinite interpolation // AIAA Journal. 1982. -Vol. 20. - P. 1313-1320.

55. Ghia K.N., Ghia U., Shin C.T. Adaptive grid generation for flows with local high gradient regions. In Ghia, K.N., Ghia, U. (eds.): Advances in Grid Generation. ASME, Houston TX. 1983. - P. 35-47.

56. Giannakopoulos A.E., Engel A.J. Directional control in grid generation // J. Comput. Phys. 1988. - Vol. 74. - P. 422-439.

57. Glasser A. H., Liseikin V. D., Kitaeva I. A., Likhanova Yu. V., Lukin V. S. Specification of Monitor Metrics for Generating Balanced Numerical Grids // Bulletin of NCC, Numerical Analysis. 2005. Vol. 13. P. 1-13.

58. Glasser A. H., Liseikin V. D., Vaseva I. A., Likhanova Yu. V. Some Computational Aspects on Generating Numerical Grids // Russian J. of Num. Anal, and Math. Model. 2006. Vol. 21, No 6. P. 481-505.

59. Glasser A. H., Tang X. Z. The SEL macroscopic modeling code // Comp. Phys. Comm. 2004. Vol. 164. P. 237-243.

60. Hawken D.F., Gottlieb J. J., Hansen J.S. Review of some adaptive node-movement techniques in finite-element and finite-difference solutions of partial differential equations // J. Comput. Phys. 1991. - Vol. 95. -P. 254-302.

61. Hedstrom G. W., Rodrigue C.M. Adaptive-grid methods for time-dependent partial differential equations // Lect. Notes Math. 1982. - Vol. 960. - P. 474-484.

62. Ho-Le Finite element mesh generation methods: a review and classification // Computer-Aided Design. 1998. - Vol. 20. - P. 27-38.

63. Huang W. Variational mesh adaptation: isotropy and equidistribution // J. Comput. Phys. 2001. - Vol. 174. - P. 903-924.

64. Huang W., Ren Y., Russel R.D. Moving mesh PDEs based on the equidistribution principle // SIAM J. Numer. Anal. 1994. - Vol. 31. - P. 709-730.

65. Jeng Y.N., Shu Y.-L. Grid combination method for hyperbolic grid solver in regions with enclosed boundaries // AIAA Journal. 1995. - Vol. 33. -No 6. - P. 1152-1154.

66. Khakimzyanov G.S., Shokina N.Yu. Equidistriburion method for the construction of adaptive grids // Russian Journal of Numerical Analysis and Math. Modelling. 1999. - Vol. 14. - No 4. - P. 339-358.

67. Khamayseh A., Mastin C.W. Computational conformal mapping for surface grid generation //J. Comput. Phys. 1996. - Vol. 123. -P. 394-401.

68. Knupp P., Steinberg S. Fundamentals of Grid Generation. Boca Raton: CRC Press, 1993.

69. Lee K.D., Loellbach J.M. Geometry-adaptive surface grid generation using a parametric projection //J. Aircraft. 1989. - Vol. 2. - P. 162-167.

70. Likhanova Yu.V., Liseikin V.D., Patrakhin D.V., Vaseva I.A. Generation of Block Structured Smooth Grids // Вычислительные технологии. 2006. Т. 11. № 4. С. 3-12.

71. Lin K.L., Shaw H.J. Two-dimensional orthogoal grid generation techniques 11 Comput. Struct. 1991. - Vol. 41. - No 4. - P. 569-585.

72. Liseikin V.D. On a variational method of generating adaptive grids on n-dimensional surfaces 11 Soviet Math. Docl. 1992. - Vol. 44. - No 1. -P. 149-152.

73. Liseikin V.D. Construction of structured adaptive grids a review // Comput. Math. Math. Phys. - 1996. - Vol. 36. - No 1. - P. 1-32.

74. Liseikin V. D. Grid Generation Methods. Berlin: Springer, 1999.

75. Liseikin V. D. Layer Resolving Grids and Transformations for Singular Perturbation Problems. Utrecht: VSP, 2001.

76. Liseikin V. D. A Computational Differential Geometry Approach to Grid Generation. Second edition. Berlin: Springer, 2006.

77. Liseikin V. D., Kitaeva I. ALikhanova Yu. V. Numerical grid generation based on qualitative analysis of singularities // Proc. of the International Conference on Computational Mathematics. Novosibirsk, 2002. P. 621-625.

78. Nakamura S. Marching grid generation using parabolic partial differential equations // Appl. Math. Comput. -1982. Vol. 10. - No 11. - P. 775-786.

79. Nakamura S., Suzuki M. Noniterative three-dimensional grid generation using a parabolic-hyperbolic hybrid scheme // AIAA Paper 87-0277. -1987.

80. Noack R. W. Inviscid flow field analysis of maneuvering hypersonic vehicles using the SCM formulation and parabolic grid generation // AIAA Paper 85-1682. 1985.

81. Noack R. W., Anderson D.A. Solution adaptive grid // AIAA Journal. -1990. Vol. 28. - No 6. - P. 1016-1023.

82. Reed C.W., Hsu C.C., Shiau N.H. An adaptive grid generation technique for viscous transonic flow problems // AIAA Paper 88-0313. 1988.

83. Ryskin G., Leal L.G. (1983) Orthogonal mapping //J. Comput. Phys. -1983. Vol. 50. - No 3. - P. 71-100.

84. Smith R.E. Two-boundary grid generation for the solution of the three-dimensional Navier-Stokes equations // NASA TM-83123. 1981.

85. Smith R.E., Eriksson L.E. Algebraic grid generation // Comp. Meth. Appl. Mech. Eng. 1987. - Vol. 64. - P. 285-300.

86. Soni B.K., Huddleston D.K., Arabshahi A., Yu. B. A study of CFD algorithms applied to complete aircraft configurations // AIAA Paper 930784. 1993.

87. Steger J.L., Rizk Y.M. Generation of three-dimensional body-fitted coordinates using hyperbolic partial differential equations. NASA, TM 86753, June, 1985.

88. Steger J.L., Sorenson R.L. Automatic mesh-point clustering near a boundary in grid generation with elliptic partial differential equations // J. Comput. Phys. 1979. - Vol. 33. - P. 405-410.

89. Vaseva I.A., Liseikin V.D., Morokov Yu.N., Lihanova Yu.V. Application of Beltrami and Diffusion Equations to the Development of Grid Codes. Book of Abstracts. IAC Report, Italy. 2007. P. 82-83.

90. Tai C.H., Chiang D.C., Su Y.P. Three-dimensional hyperbolic grid generation with inherent dissipation and Laplacian smoothing // AIAA Journal. 1996. - Vol. 34. - No 9. - P. 1801-1806.

91. Tamamidis P., Assanis D.N. Generation of orthogonal grids with control of spacing // J. Comput. Phys. 1991. - Vol. 94. - P. 437-453.

92. Thacker W.C. A brief review of techniques for generating irregular computational grids // Int. J. Numer. Meth. Engng. 1980. - Vol. 15. - No 9. - P. 1335-1341.

93. Thomas P.D., Middlecoff J.F. Direct control of the grid point distribution in meshes generated by elliptic equations // AIAA Journal. 1980. - Vol. 18. - No 6. - P. 652-656.

94. Thompson, J.F. Grid generation techniques in computational fluid dynamics // AIAA Journal. 1984. - Vol. 22. - No 11. - P. 1505-1523.

95. Thompson J.F. A survey of dynamically-adaptive grids in the numerical solution of partial differential equations // AIAA Paper 84-1606. 1984.

96. Thompson J.F. A survey of dynamically-adaptive grids in the numerical solution of partial differential equations // Appl. Numer. Math. 1985. -Vol. 1. - P. 3-27.

97. Thompson, J.F. A reflection on grid generation in the 90s: trends, needs influences. In Soni, B.K., Thompson, J.F., Hauser, J., Eiseman, P.R. (eds.): Numerical Grid Generation in CFD. Mississippi State University. 1996.- Vol. 1. P. 1029-1110.

98. Thompson J. F., Thames F. C., Mastin C. W. Automatic numerical generation of body-fitted curvilinear coordinate system for field containing any number of arbitrary two-dimensional bodies //J. Comput. Phys. 1974. Vol. 15. P. 299-319.

99. Thompson, J.F., Warsi, Z.U.A., Mastin C.W. Boundary-fitted coordinate systems for numerical solution of partial differential equations- a review // J. Comput. Phys. 1982. - Vol. 47. - P. 1-108.

100. Thompson J.F., Warsi Z.U.A., Mastin C.W. Numerical grid generation. Foundations and applications. New York: Elsevier Science Publisher, 1985.

101. Thompson, J.F., Weatherill, N.P. Aspects of numerical grid generation: current science and art // AIAA Paper 93-3539. 1993.

102. Visbal M., Knight D. Generation of orthogonal and nearly orthogonal coordinates with grid control near boundaries // AIAA Journal. 1982. -Vol. 20. - No 3. - P. 305-306.

103. Warsi Z. U. A. Tensors and Differential Geometry Applied to Analytical and Numerical Coordinate Generation. Starkville: MSSU-EIRS-81-1, Aerospace Engineering, Missisippi State University, 1981.

104. Warsi Z.U.A. Basic differential models for coordinate generation. In Thompson, J.F. (ed.): Numerical Grid Generation. North-Holland, New York. -1982. P. 41-78.

105. Warsi Z.U.A. Numerical grid generation in arbitrary surfaces through a second-order differential-geometric model //J. Comput. Phys. 1986. -Vol. 64. - P. 82-96.

106. Warsi Z.U.A., Thompson J.F. Application of variational methods in the fixed and adaptive grid generation

107. Comput. Math. Appl. 1990. - Vol. 19. - No 8/9. - P. 31-41.

108. White A.B. Elliptic grid generation with orthogonality and spacing control on an arbitrary number of boundaries // AIAA Paper 90-1568. 1990.

109. Winslow, A.M. Equipotential zoning of two-dimensional meshes //J. Comput. Phys. 1967. - Vol. 1. - P. 149-172.

110. Winslow A.M. Adaptive mesh zoning by the equipotential method. UCID-19062. Livermore: Lawrence Livermore Nat. Labs, 1981.

111. Zegeling P.A. Moving-Grid Methods for Time-Dependent Partial Differential Equations. CWI Tract 94, Centrum voor Wiskund en Informática, Amsterdam, 1993.