автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование процессов массо-тепло переноса в мелководных водоемах на криволинейных сетках

На правах рукописи

0034ЬАоии

Колгунова Олеся Владимировна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ МАССО-ТЕПЛО ПЕРЕНОСА В МЕЛКОВОДНЫХ ВОДОЕМАХ НА КРИВОЛИНЕЙНЫХ СЕТКАХ

Специальность:

05.13.18 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 6 НОЯ 2009

Таганрог-2009

003484806

Работа выполнена в Технологическом институте Южного федерального университета кафедре Высшей математики.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор,

Сухинов Александр Иванович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор,

Куповых Геннадий Владимирович

доктор физико-математических наук, профессор, Илюхин Александр Алексеевич

Ведущая организация: НИИ ПМА КБНЦ РАН, г. Нальчик

Защита состоится «¿¿» и&м^Нг*- 2009 г. в /¿^¿'на заседании диссертационного совета 212.208.22 по защите диссертаций при ФГОУ ВПО «Южный федеральный университет» по адрес 347928, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44, ауд. Д-406

С диссертацией можно ознакомиться в Зональной научной библиотеке Южного федеральнс университета по адресу: 344000, Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148

Автореферат разослан «_»_2009 г.

Отзывы на автореферат в двух экземплярах, заверенные гербовой печатью, просим направлять адрес совета.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор технических наук, профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Для задач математического моделирования гидрофизических процессов в водоемах актуальной тяется проблема построения и практического использования вычислительно-эффективных методов, шрующихся на применении оптимальных криволинейных сеток, в том числе нерегулярных и строение сходящихся итерационных алгоритмов решения задач массо-тепло переноса для щественно изменяющейся плотности водной среды. Переход в методах дискретизации задач тематической физики, связанный с использованием вместо прямоугольных, сеток криволинейных, в м числе нерегулярных треугольных сеток, позволяет существенно сократить количество расчетных юек при заданной точности или значительно повысить точность моделирования при данном личестве ячеек.

Актуальность работы состоит в том, что на данное время не разработано эффективных горитмов решения задач гидрофизики водоемов, в случае существенно изменяющейся плотности дной среды. С другой стороны многие устьевые и прибрежные системы характеризуются высокими эдиентами для распределений солености и температуры, и как следствие, с существенно меняющейся плотностью водной среды, что и обуславливает практическую значимость работы, вменение криволинейных сеток при ограничениях на оперативную память вычислительных систем зволяет значительно лучше аппроксимировать сложную форму береговой линии и повысить апьную точность расчетов в случае существенно изменяющихся температур и соленостей, что ределяет и подтверждает актуальность данной работы. В случае сеток высокого разрешения, а также и проведении расчетов в реальном времени актуальной является рассмотренная в работе раллельная реализация численного алгоритма на кластере распределенных вычислений, сведенные численные эксперименты на реальном кластере под управлением MPI показали статочно высокую эффективность параллельного алгоритма на умеренном числе процессоров. Цели диссертационной работы:

разработка и исследование алгоритмов построения нерегулярных треугольных сеток, являющихся лее экономичными по сравнению с регулярными сетками для реальных водоемов со сложной ¡ницей расчетной области;

построение итерационно-разностных алгоритмов эффективного решения задач гидродинамики знспорта тепла и сопи для мелководных водоемов, в том числе с существенно изменяющейся этностью.

Основные задачи исследования. Для достижения поставленных целей решены следующие 1ачи;

построение нерегулярных треугольных расчетных сеток для численной реализации (родинамической модели;

построение, исследование и численная реализация двумерной гидродинамической модели методом зеднения по вертикальным направлениям в случае не существенно изменяющейся плотности водной гды;

построение, исследование и численная реализация двумерной модели распределения скоростей,

лператур и солености в случае существенно изменяющейся плотности водной среды;

численное моделирование распределения скоростей и температур в Азовском море и Таганрогском

шве применительно к реальным погодным условиям.

Научная новизна результатов исследования заключается в следующем:

разработаны алгоритмы построения нерегулярных треугольных расчетных сеток для численной

шизации гидродинамической модели, которые в отличие от регулярных сеток, гораздо более просты

эстроении и легко адаптируются к сложной геометрии области;

разработан итерационный алгоритм сглаживания нерегулярных треугольных расчетных сеток, ¡воляющий получить сетку более высокого качества;

построены и исследованы конечно-элементные модели гидрофизики водоемов, использующие югулярные треугольные сетки и базирующиеся на методе расщепления по физическим процессам;

4) построен итерационно-разностный алгоритм решения задачи гидрофизики водоемов, в случ существенно изменяющейся плотности водной среды и получены достаточные условия его сходимог

5) на основе разработанных алгоритмов, которые требуют меньших вычислительных затрат за а-использования экономичных (нерегулярных) сеток по сравнению с регулярными сетками, и програм выполнено численное моделирование распределения течений и температур в Азовском мо| результаты которого имеют практическую ценность и удовлетворительно согласуются с результата моделирования на основе использования употребительных комплексов программ, таких как Mars2 РОМ.

Достоверность научных результатов подтверждается корректным применением математическс аппарата теории разностных схем, методов решения сеточных уравнений, принципов параллельнс программирования, а также выполненным численным моделированием распределения течений температур в Азовском море, результаты которого согласуются с результатами моделирования основе использования употребительных комплексов программ, таких как Mars2D, РОМ.

Практическая ценность диссертационной работы состоит в разработке алгоритмов и создан программ для построения нерегулярных треугольных расчетных сеток, а также посвяще моделированию течений в Азовском море и Таганрогском заливе (двумерная модель).

Реализация и внедрение результатов работы. Теоретические и практические результа диссертационной работы внедрены в Научно-образователЬном центре комплексных исследований математического моделирования техногенных и экологических систем Технологического институ Южного федерального университета в г. Таганроге.

Апробация результатов работы. Основные результаты докладывались и обсуждались на . Международной конференции «Методы дискретных особенностей в задачах математической физик (Харьков, 2005); XI Международной конференции «Математические модели физических процессо (Таганрог, 2005); 12-ой Международной конференции «Математические модели физических процессо (Таганрог, 2007); VIII Всероссийской конференции молодых ученых по математическо моделированию и информационным технологиям (Новосибирск, 2007); IX Всероссийской конференц молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Кемеро! 2008); 55-ой научно-технической конференции ТТИ ЮФУ (Таганрог, 2008 г).

Публикации. По теме диссертации опубликованы пять статей, включая 2 статьи в журна1 рекомендованного ВАК и тезисы двух докладов.

Объем и структура диссертационной работы. Диссертация содержит 148 стран машинописного текста, включая введение, четыре раздела, заключение, список литературы из наименований, 52 рисунка, 2 таблицы.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы цели исследования, научн новизна, практическая ценность работы, основные положения, выносимые на защиту, достоверное^ обоснованность научных положений диссертации.

В первом разделе изложены теоретические основы расчета течений в многосвязных областях учетом стока рек, осадков, испарения, Рассмотрены уравнения теплового и водного баланс поверхности моря, уравнение состояния морской среды и обобщенное уравнение для плотности, также полуэмпирические модели начальных и граничных условий: модели ветра и его тангенциальнс напряжения; модели горизонтальной составляющей скорости течения; модели вертикальн составляющей скорости течения; модели глубины верхнего квазиоднородного слоя.

Приведены основные понятия теории теплопроводности. Рассмотрены основные компонен теплового баланса в водоеме. Изложен обзор литературы' по исследованию теплового режима водоеме.

Во втором разделе изложены общие определения и теоремы, касающиеся триангуляции Дело! Изложен алгоритм построения сетки на границе области, на основании которого нерегулярн треугольная сетка для области G строится в два этапа:

начальная аппроксимация границ;

построение треугольной сетки с одновременным улучшением аппроксимации границ.

I. Предложен итерационный алгоритм разбиения границ об, точками р,, = на взаимно эстые участки:

начальное приближение: незамкнутые внутренние границы оС, считаем целыми участками )бавляем на них точки с координатами = 0 и х[.= /, ); замкнутые границы 5С, делим на три части вной длины (х'0 = 0, д-| = /, ■ 1/3, х'2 = /, • 2/3). Кроме этого разбиваем участки в тех точках х', в горых углы между сегментами изначально заданной границы острые;

те участки 80,дг'/2] границ, которые не являются простыми, либо с их выпуклой оболочкой

ресекаются другие участки, разбиваем на два равных по длине участка точкой 8С1{{^х']1+ х\г)12),

'вторяем этот пункт, пока все участки границ не станут простыми относительно друг друга. После ■о, как граница сС разбита на простые участки, все эти участки заменяются отрезками. Полученная проксимация об, определяет область <5.

II. В качестве начальной триангуляции области Ст взята триангуляция Делоне. Для получения начальной триангуляции Делоне построен следующий алгоритм:

создаем массив отрезков и помещаем в него отрезки всех границ 8С,;

выбираем из массива любой отрезок Дг./г], который касается еще не покрытого

эугольниками участка области <3 (если такого отрезка нет, то конец алгоритма). Определяем рпендикулярный к нему вектор п, направленный в сторону не покрытой треугольниками части ласти;

перебираем все точки р,, из 50, , находящиеся в направлении вектора п относительно отрезка Рл.1Дг.л]. и такие, что отрезки [/>„_ (1, р,,] и \_р,ъ1, рп /2] не пересекаются с отрезками их дСи; определяем для каждой точки р,, центр рс описанной окружности треугольника

Рч.п' /О■ и вектор V = рс-рл.А\ выбираем такую точку р,,, для которой скалярное произведение минимально. Полученный эугольник г.,2>/><./) добавляем к нашей триангуляции, а отрезки ^.А.,-] и

Р,.г Аг./г] добавляем в массив отрезков (см. рис. 1). !исанный алгоритм строит триангуляцию Делоне в области С (рис. 2.).

Предложен алгоритм построения сетки, позволяющий улучшать имеющуюся сетку (триангуляцию лоне (Р,Т)). добавляя в нее новые узлы. Узлы добавляются по одному. Это позволяет получать гку с любым наперед заданным числом узлов.

Точка в сетку добавляется с помощью следующего алгоритма:

1) находим треугольник г(еГ с максимальным значением параметра г

р, = у) Му - средняя плотность точек внутри треугольника г,е Т, Л, радиус описанн

окружности треугольника г,. Пусть вершинами треугольника являются точки

2) если с,, лежит внутри Т, то добавляем в триангуляцию (Р*Т) новую точку р = си где с,. — цеь описанной окружности.

Если точка с, не лежит внутри Г, то она «выскочила» за пределы какого-либо граничного реб \_Pt.fl* Риг\ из Т. В этом случае заменяем ребро [_ркЛ, Р,.ц~\ на два реб

[а.Л»50! (^л + ^И2)] и [^(.т^+.^^г), добавив точку р = дв,( ^л+х'/2\2)

триангуляцию. Поскольку все участки до и после разбиения остаются взаимно простыми, т пересечение ребер произойти не может.

3) удаляем из триангуляции все треугольники, в описанную окружность которых попала точка р (г делается быстро волновым алгоритмом, без перебора всех треугольников). После удален треугольников в триангуляции образуется «дырка», ограниченная многоугольником. Если соедини точку р ребрами со всеми вершинами этого многоугольника, то получим триангуляцию Делоне.

Приведенного алгоритма достаточно для построения сетки, но сетка получается не оче . высокого качества (рис. 3).

Поэтому после каждого добавления точки применяется итерационный алгоритм сглаживан сетки, который заключается в том, что каждая подвижная внутренняя точка р, перемещается в цент масс веера из треугольников, которым она принадлежит. Если подвижная точка граничная, то о смещается вдоль границы в место, ближайшее к центру масс веера. Смещение точки может нарушь триангуляцию Делоне, поэтому для того, чтобы сетка оставалась сеткой Делоне, после каждс смещения используется «переключение ребер»: рассматриваются попарно смежные треугольники, и тех, свободные вершины которых попадают в описанные окружности друг друга, общее реб «переключается» с общих вершин на свободные. Переключение ребер делается волнов! алгоритмом. «Волна переключений» быстро затухает, все треугольники не рассматривают! Смещение точек тоже производится волновым способом: смещение начинается со вновь добавлена точки, затем в волну включаются всё новые и новые точки, которые смещаются вновь и вновь, пс. средняя длина вектора смещения не станет в определенное число раз меньше смещения добавленн точки. Обычно достаточно около 10 итераций алгоритма смещения точек после добавления нов точки. За это количество итерации алгоритм смещения успевает захватить около 300 точек, Остальнк точки сетки не смещаются.

На (рис. 4) показана сетка, полученная после использования алгоритма сглаживания:

Рис 3. Сетка, полученная на первом Рис.4 Сетка, полученная на втором этапе построения

этапе построения. с использованием алгоритма сглаживания.

Для Азовского моря и Таганрогского залива были построены три сетки: с числом узлов 1270, 48; и 19165. Для построения сетки использовались данные о форме береговой линии и рельефе дна. Сет

>гут быть построены с любым заранее заданным числом треугольников, возможно задавать ебуемую плотность узлов в различных местах сетки. Был задан градиент плотности точек с запада на сток так, чтобы треугольники в заливе были в два раза мельче, чем в море. В третьем разделе построена и исследована двумерная модель гидродинамики мелководных доемов в случае постоянной плотности водной среды.

+ (и2) +(ту) =-ёС'т ~Р'\Р„) х +М(г"„ + %>) + К14)+

+ (иу) г + у +(г = -ёС'у-Р~'(Рс) ,, + р(у\х+ у"!у) + ф"„)-2С2иБтЛ, (3.1)

+ (ту) г + (ту) + (м>2) = р{у/"„+ »'",,,) + ) + 2£Ъсо5.9, ' + V', + V, = 0.

;истеме уравнений (3.1) добавлены начальные условия: [х, у, 0) = иа {х, у); у(а-, у, 0) = у0 (л\ у); р(х, у, 0) = р0 (х, у),

■раничные условия вида: условия непротекания и„\Г = 0, где и„ - нормальная составляющая ктора скорости к границе; либо потоки в устьевых районах и в проливах: и„ = £>{х,у), где Г]

1 свободной границе: — = 0, где и = (и. у).

СП

Двумерная модель гидродинамики водоемов получена из трехмерной гидродинамической модели, тем интегрирования системы уравнений (3.1) по вертикальной координате, в предположении, что мпоненты вектора скорости зависят от глубины по квадратичному закону, тематические условия на поверхности и дне:

~»,С ~ + К = С, + ар-х; иьИх + \„Иу + щ = -И,,

е а - испаряющаяся в единицу времени масса жидкости с площади единичной поверхности; сор~х — паряющийся в единицу времени слой жидкости. Введем коэффициенты Ст, Ст, С„, С„, С,.:

С С (

,,„ = Н ^ и2ск \ и2; С^ = Г1 $гтЬ\ (IV] Ст = у2«Ь \ V2] С„ = Ни,\и; Су = Яу5\К.

-I, -Н -Л

1эффициенты С„, С, отражают отношение скорости на поверхности водоема к средней по ртикали скорости.

В результате перегруппировки слагаемых в уравнениях, с учетом соответствующих «образований получена система уравнений, которая оказывается строго диссипативной за счет ¡йствия сил внутреннего вязкого трения.

+(Сти\^И)х+(с.у!н) +{со!р)СХ VIН)

':+и'х + 1;+(а>/р) = 0. (3.2)

силу неравенства Коши-Буняковского, имеем следующие ограничения для коэффициентов Ст и

2 = { | <н]и2с/1=>Сш >11

V-/, ) -I, -1,

пилу положительной полуопределенности квадратичной формы

Н |(к-Г)2С£Г= Н ]и1с!2-2$иус1г+] угс1г 1= Ст,иг - 2СЮ11У + С„К2 > 0.

-А V—А -И -к ) .

имеем ограничение для С,„.: С„2„ < С„„С,,..

Доказана диссипативность системы уравнений (3.2) в предположении Сш, = Ст. = Сп = 1.

Проведено вычисление управляющих коэффициентов, с учетом трения о дно и воздух, предположении, что горизонтальные компоненты скорости и и V зависят от вертикальной координа г по квадратичному закону:

и(г) = аигг + Ь,1г + си; у(г) = а„гг + + (3

тогда:

+ с + С Г/ _2Н )Л = £/. ки- = К. (3

ин уН '3\" « «) -'ЗУ" «) 1

На дне условие прилипания: м(-/?) = аи/г2-ЬиИ + с„ =0; у(-/г) = ау/г2-¿„/; + с„ = 0. (3,

Производные от горизонтальных компонент скоростей по вертикальной координате поверхности:

/V

Р0Г

(3.

Из уравнений (3.3) - (3.6) получены нелинейные уравнения для С„ и Су: С к{С„Ху)Ух-Н2 + (>и +

" ¿/ (¿(С^СДЯ-М) ' " Г-(А(С„,Су)-Я + 4) '

(3.

РоУ

Уравнения (3.8) решаются методом простой итерации. Когда найдены Си и С,, из системы (3.7) - (3.8), можно получить выражения для производных горизонтальных компонент скорости по вертикали на поверхности и на дне:

уу! V ■ \ '/Ь ~ ^I ' V г'Ь '

Для силы трения воздуха о поверхность воды и силы трения о дно приняты следующие модели:

Проведена дискретизация гидродинамической модели по времени: явная схема, неявная схема, получение схемы на основе алгоритма метода поправки к давлению.

Получена конечно-элементная аппроксимация слагаемых схемы с выбором базисных функций <р, на нерегулярной треугольной сетке, состоящей из Ир узлов, составляющих множество Р.

В результате применения метода конечных элементов получена система сеточных уравнени которая решается методом Зейделя. В результате численного моделирования получен распределения скоростей (потоков) для двумерной модели, согласующиеся с натурными данными результатами численного моделирования на основе пакета программ Магз20, который предназнач< для численного решения задачи гидрофизики водоемов.

Приведены результаты моделирования.

В четвертом разделе построена и исследована двумерная модель гидрофизики водоемов в случ; изменяющейся плотности водной среды:

ассл')

а

д(рм')

+(pv)xu+(pvjv+(pvj:w=~f^'lg-(pa)y +p[pv"a+pv,!y)+y{pv'iz)-7Dpuán9, (4.1)

+ (pw)'xu + (pw)yv+ (piv)> = n(pw\+pw" }r) + y(pw"I¡) + 2Q.pucos8,

-£- + —(j>u)+—(pv) + —(pw) = 0. о/ от од» о;

Начальные и граничные условия: на границе используется условие непротекания, либо задается поток на жидкой границе, в качестве начальных условий берутся среднемноголетние значения скоростей (потоков) для данного периода времени.

Двумерная модель гидрофизики водоемов получена из трехмерной гидрофизической модели, путем интегрирования системы уравнений (4.1) по вертикальной координате, в предположении, что компоненты вектора скорости зависят от глубины по квадратичному закону. Кинематические условия на поверхности и дне:

- ^Л'у+ws = С+ар~х; "ьК + += -К ■ где а - испаряющаяся в единицу времени масса жидкости с площади единичной поверхности; ар'1 — испаряющийся в единицу времени слой жидкости.

Введем коэффициенты Сш, C„v, С„, С„, С„: С„ = и, \ Ю:; Cv = \ Ку;

_£ _ 2 С ___{■ _ ,

Cmi=p\pu2dz\[Kx) ; Ст= \pnvdz\KxKy\ ■ Cw=pjpv2cb\{Ky)'. -h -h -h Коэффициенты C„, Cv отражают отношение скорости на поверхности водоема к средней по вертикали скорости.

В результате перегруппировки слагаемых в уравнениях, с учетом соответствующих преобразований получена система уравнений, которая оказывается строго диссипативной за счет действия сил внутреннего вязкого трения.

(Ж^ +(с„&Щ х + jc„. UYy)1 j - сосХу = -PSHCy +М сХу4 - v„ д/г) + + (F¡)f - 2При sin S,

р,+(Щ+(Ку)+ш = 0. (4.2)

K(x,y,z,t)=(pu,pv,pw) - вектор импульса единичной массы, тогда осредненные по вертикали компоненты этого вектора с точностью до мультипликативного коэффициента Н есть:

| pudz = Кх\ J pvdz = Ку; J pwdz = Kz,

-h -h -А

и соответственно, осредненная аналогичным образом плотность имеет вид: J p{:)d: = р, где Н = ¿г + h - полная глубина.

В силу неравенства Коши-Буняковского, имеем следующие ограничения для коэффициентов Ст и

А,:

, (с А2 с , (< N2 f

Кх

■2

V-/i У -л V-íi

jpí/£¿ ¿Hjp2u2dz=iCm >1; Ку = fpváz < Hj p2v2dz => Q, > 1.

В силу положительной полуопределенности квадратичной формы

f Г ( С с \ _____

н ](ри-pvf dz = H\ ]p1a*dz- 2 J ргт<к + jp2v2ck = С„„ Кх2 - 2СтКхКу + СтКх*> 0

-А -й -Л j

имеем ограничение для С,„: С*. < С„„С)Т.

Проведено вычисление управляющих коэффициентов, с учетом трения о дно и воздух. Считаем, что на свободной поверхности жидкости: w, « , ws « vs. В отношении м, и v, использовано приближение И.Н. Соскина для вычисления скоростей поверхностных течений:

ua = Atlwa cos#0; v„ = ¿a\v„sm0o; 0o=0,-a„; <p = 180- (6?, -«?„), где 6», - направление ветра в системе координат, связанной с направлением к берегу; <р„ - направление нормали к берегу; w0 - модуль скорости ветра; Х„= Pfx(<p,p,H)\ аа =f2(p,H);

1, при 0< р < 180°

А =

1[0, и/и/ 180° <(/>< 360°. Считаем дно непроницаемым и пренебрегаем источниками воды на дне водоема, поэтому w„ = 0.

Для задания иь и v„ будем ориентироваться на три предположения. Первое состоит в том, что придонный слой воды толщиной в несколько десятков цМ связан с донными отложениями и тогда: иь = уь = 0.

Второе, в определенном смысле, противоположное предположение - придонный слой движется без трения, тогда: ди

= 0, ^

= 0.

Третье, наиболее общее предположение означает движение слоя с потерями кинетической энергии вдоль шероховатого дна. Это предположение приводит к соотношениям вида, аналогичным равенствам:

(К)1 = -2 гГХ3-^- (Х)у=-2 гТуЪ-^.

К начально краевой задаче, описывающей движение водной среды с переменной плотностью, добавлены уравнения транспорта тепла и солей с соответствующими начальными и граничными условиями, а также уравнение состояния, которое связывает плотность с температурой и соленостью водной среды.

Введем коэффициенты £>„ и Д., позволяющие от функций Кх и Ку, перейти к функциям:

и = — \и(х,у,1,(уОг\ У = —\у(х,у,г,Ос1г; тогда

ЯД КхН " КуН

- оТх[[ - оТуП

Ь = —1—; V = ' — .

Р Р

Двумерное уравнение транспорта тепла и соли (изменение осредненной по вертикальной

- 1 > - 1 4

координате г температуры т = —• I 7У- и солености 5 = — I Л/г) примет вид:

" -I: Н

(4.3)

сГ ох4 ' оу4 ' I дх су )

р = р„ + к,Т+к2 5, - (4.5)

Л=-йС„^ + Гг + й. _ (4.6)

Слагаемое в уравнении (4.6) определяет теплообмен через поверхность раздела вода -воздух Гт=Ат + В,(т"-га).

Слагаемое Я в уравнении (4.6) определяет формулу для определения интенсивности радиационного бюджета поверхности моря с учетом его суточного хода

(4.7)

где 5° - соленость морской воды на поверхности моря; Е [г- см'2 • - поток массы через поверхность раздела вода - воздух; е[г- см~2 - с"1] - интенсивность осадков на поверхности моря.

Начальные и граничные условия для транспорта тепла и солей: 7' = Г0,5 = 5'0 при^ = 0; ЗТ п 55 .

— = 0, — = 0 на границе;

СП СП

Т(х,у) = Мх.у), (.х,у)е Г; БЬ.у) = /${х,у), (л:,у)е Г. Для солености все границы считаем непроницаемыми, кроме двух участков:

'ерченский пролив и Сиваш — = С!$(х,у), Г, и Г,,

СП

где Г, - граница области Керченского пролива, г2 - граница области залива Сиваш,

В результате дискретизации получена система неявных конечноэлементных уравнений с положительно определенной матрицей, в общем случае не являющейся симметричной. Для решения сеточных уравнений были использованы методы Зейделевского типа.

Получено распределение температуры Азовского моря на основе вычислительного эксперимента для одних суток. Для расчета температурного режима Азовского моря была взята сетка с числом узлов 1270 и взят северо-восточный ветер, который бывает явно выражен по метеоданным в осенний период. Входные данные брались из таблиц для сентября месяца, и были согласованы и качественно и количественно с помощью пакета программ Магз20.

В четвертом подразделе построена модельная задача гидрофизики водоемов в случае существенно изменяющейся плотности. Течение жидкости рассмотрено в прямоугольной области б . Под областью С={$< х< /,,0< у< <т} подразумеваем прямоугольник, боковые границы которого непроницаемы.

ди , 1 дР Р ,д2и д2и. ог р ох р ох ду (4.4.1)

, Тъ 1 8Р Р,8** — + ей \-(уУ) =---+ — (—-+—г), Ы рду р дх ду (4.4.2)

^-+сИу(рТ) = 0, & (4.4.3)

дт ,. ,тГп ,д2т , е2т. —+ Лу(7Г) = цт (——), С1 ох' ду (4.4.4)

—+ = //4.(_+_), от дх ду (4.4.5)

(4.4.6)

(4.4.10)

с начальными условиями:

и(х,у,0) = и0(х,у); у(хуД)) = у0(л-,у); Р(х,у,0) = Рв(х,у)]

Т(х,у,0) = Т0(х,у)', 5(*,ЛО) = 5,0(ДГО'); р(ЗД) = Л>. (4.4.7)

и граничными условиями:

У(х,у,0 = иу(х,у,Ъ ? > 0, (дг,у)е Г, (4.4.8)

где У(х.у,0 = (и,у) - двумерный вектор скорости водной среды, 01(х,у,() - заданная векто функция граничных условий, Г - граница области С.

Т(х,у,1) = рт(х,у,0, '>0, (Х,у)е Г; 5(х,у,1~) = цх(х,у,О, о0, (х,у)еТ. (4.4.5 В приведенных выше соотношениях и, V - компоненты скорости V в направлении координатны осей ох, 0\' соответственно, Р - давление, 5 - соленость, т - температура, р = р{8,Т) плотность, зависящая от солености и температуры.

Построена схема расщепления по физическим процессам, которая является осново итерационного алгоритма, в случае существенно изменяющейся плотности водной среды, с учета: введенной временной сетки ат ={(„ =т, п = о,\,...,к;кт = т):

8и + ди2 + ему _ ц ^д2и + д2и^ 5у + йиу + 8v2 _ р ^д.2\> + <А> ^ 5? дх ду р дх2 о)'2 ' 61 дх ду р дх2 ду2 д2Р | д2Р р ^ди ; 8у^ дх2 ду2 г дх ду

о/ р дх д! р ду

+ + ^д2Т | д2Т^ + + + £!£).

51 дх ду дх2 ду2 ' дI дх ду ' дх2 ду2

р(5,Т) = ра + а^ + Ь{Г.

Граничные условия для системы уравнений (4.4.10) аналогичны граничным условиям исходной задачи (4.4.1) - (4.4.6). Начальные условия на каждом временном интервале г„<г<?„+1 ставятся

дополнительно. Если це{и,у,5,Т,р}, то ?('„) = <?(') г = ?„_,+г. Здесь q{t) - значение соответствующей функции, полученное на предыдущем временном шаге < г <, г„ для t = tn, п = \,2,...Л-2 или начальное условие, если и= 0.

Базируясь на расщепленной цепочке задач (4.4.10), которая является нелинейной системой уравнений с частными производными, опираясь на идею метода поправки к давлению, построена линейная итерационно-разностная схема, в которой верхний индекс«к» или «а + 1» обозначают номер итерации на текущем временном слое.

-—- + ии, + у и, = — + и- ); -—-+ «V, + уу, = — + (4.4.11)

Г х у Р Т I у Р

р,Г+Р^ =£^£ + 1(^4 + ^4); (4.4.12)

+ = рт(т£1 + Тм»\ —— + + у<+1^+1 = /л^' + (4.4.14)

г ;. V т ' -V >•

рш=р0 + а18ы + ь;ги\ (4.4.15)

где и = и[х,,у;,г„), у = у(х,,у,,г„) - горизонтальные компоненты вектора скорости, определенные для предыдущего (и-ого) временного слоя в узлах пространственно-двумерной сетки;

и = и(х,,у1,/„+у2} V = \\х1,у]лпА11) - компоненты вектора скорости, полученные на дробном ременном слое, не удовлетворяющие, в общем случае, уравнению неразрывности для случая временной плотности среды; , и>в. - симметричные разностные производные второго порядка от

пункции м/ по пространственным переменным д- и у соответственно; ж, и-, - центральные

азностные производные первого порядка от функции ш по пространственным переменным х и у оответственно.

¡сходная задача сводится к канонической форме для сеточных уравнений общего вида: А(Р)У(Р)= £ В(Р,0)У((2)+Р(Р), Ре. а^х о^х <от, £>е о^хш^ха,,

ОеШ'[Г)

эе подмножество ш <р) - окрестность узла Р.

1оскольку А(Р)> О, £(Р,0>О, О(Р) = А(Р)~ £ В(Р,(2)>0,

ига Б(Р)>-~ тах |ик+1 + ук+,|/ь > 0, ТО

ега^ю, 1 Ре(:)ьхо5Т I I/

0=Ш(Р)

[ИлЦ

При получении оценок норм 7?

т:>

тах < тах У.-1 + тах У,а

2 к 2 /г

1<1<Л"-1 ]</<Л'-1 К!««-! 2 к

5 , исходили из того, что

к •

После соответствующие преобразований получены достаточные условия сходимости итерационного процесса:

г 11

■<1,

(4.4.16)

где

М--

11

' к \рк~

1

Ь1 ........ ) " " \\р~

Было принято во внимание, что для устойчивости явных разностных уравнений (4.4.11) остаточно потребовать следующие ограничения на временной шаг г : к _ И

г<-

т<-

2(Н+МГ

Из неравенств (4.5.17) следует: -ц

гМи^+Л»'

4 А/

4 М

&Мт

I! *И к к Ь ' г/ + у "

г 2г

Поэтому, если выполняется неравенство: + 1,

где

к = -

+ 1 2 П »„*_,!, II 1

--- —I---1—+- + Л-Р ' —г-

2 т т т) 11 11 \рк-

11

'/'И

2г

+ ГР1'

(4.4.17)

(4.4.18)

(4.4.19)

(4.4.20)

то выполняется и исходное неравенство (4.4.16).

С учетом этого из (4.4.19) и (4.4.20) приходим к следующему условию сходимости итерационного процесса:

(ц^-1 7*"1 )~<1

где

к \\рк'

2 г

Учитывая два последних соотношения, и проводя очевидные преобразования, получим: 1

(4.4.2'

Таким образом, одновременное выполнение неравенств (4.4.16), (4.4.17) и (4.4,21) являете достаточным условием сходимости итерационного процесса.

Данный итерационный процесс целесообразно использовать в водоемах с существен изменяющейся плотностью водной среды. В частности, к таким водоемам относятся устьевые район крупных рек (Дон, Кубань, Волга), впадающих в море и др.

В пятом подразделе данной главы показано применение параллельного алгоритма мето,с циклической редукции для численного решения вычислительно трудоемких сеточных уравнена параболического (4.4.11), (4.4.14), и эллиптического (4.4.12) типов, который был реализован использованием библиотеки MPI на кластере распределенных вычислений.

При параллельной реализации алгоритма входная информация, разрезается на «вертикальные полосы и распределяется по узлам кластера (см. рис. 5).

J1 'L *

я ими: в в

ь: n а vt

J^itll

ЕЭ £3 ЕЯ

w VJ W •¡¡у

1 If' И | f I , ' И 5 ваши п паю Г ^ "ЙГ »" tt \

"У

Ы

•А- .

*вГ

}

Рис. 5. Схема выполнения прямого хода метода редукции на кластере а) с двумя процессорами, б) с четырьмя процессорами.

В процессор с номером т, 1<,т<, р загружаются элементы исходных массивов размерностью N со значениями индексов [л'\/7|1-(т-1) + 1<г<[л'\^р /п. Максимальный объем передаваемой информации между узлами на текущем уровне редукции составляет 2Ы, тогда общий объем переданных данных составит V = 2Ы * I, где I - показатель размерности входных данных, N = 21.

Анализ количества арифметических действий параллельного алгоритма и значение параметра £ = где - численные временные характеристики производительности процессора и каналов связи, соответственно, ?0 - время передачи одного мегабайта данных между двумя узлами, - характерное время выполнения усредненной арифметической операции, показали, что временные затраты на передачу данных много меньше, чем на выполнение вычислительных операций, что и объясняет экономичность параллельного решения. На размерности входных данных 2'-2'2 эффективность метода циклической редукции (см. рис. 6) является приемлемой (0.5-0.95), что говорит о целесообразности его использования.

Рис. 6. Эффективность решения модельной задачи гидрофизики водоемов методом циклической редукции, где Е2 - эффективность алгоритма, выполняемого на двух вычислителях, соответственно, !■:4 - на четырех вычислителях, £8 - на восьми вычислителях.

Заключение содержит выводы о работе.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Разработаны алгоритмы построения нерегулярных треугольных расчетных сеток для численной :ализации гидродинамической модели для реальных водоемов, которые в отличие от регулярных ток гораздо более просты в построении и легко адаптируются к сложной геометрии области.

Разработан итерационный алгоритм сглаживания нерегулярных треугольных расчетных сеток, |Зволяющий получить сетку более высокого качества.

Построены и исследованы конечно-элементные модели гидрофизики водоемов, использующие регулярные треугольные сетки и базирующиеся на методе расщепления по физическим процессам.

Построен итерационно-разностный алгоритм решения задачи гидрофизики водоемов, в случае щественно изменяющейся плотности водной среды и получены достаточные условия его сходимости.

На основе разработанных алгоритмов, которые требуют меньших вычислительных затрат за счет пользования экономичных (нерегулярных) сеток по сравнению с регулярными сетками, и программ, ■толнено численное моделирование распределения течений и температур в Азовском море, ¡зультаты которого имеют практическую ценность и удовлетворительно согласуются с результатами зделирования на основе использования употребительных комплексов программ, таких как Магв20, Ж

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ

Сухинов А.И., Колгунова О.В. Исследование сходимости итерационного процесса для задачи рмогидродинамики водоемов. II Материалы XII Международной конференции «Методы дискретных юбенностей в задачах математической физики».-Харьков, 2005, с. 142 -151. Сухинов А.И., КирильчикС.В., Колгунова О.В. Исследование сходимости метода поправки к давлению шения задачи термогидродинамики водоемов в случае сильно меняющейся плотности. II Материалы Международной конференции «Математические модели физических процессов». Т.1 Физико-атематические и физико-технические модели, проблемы технологии. - Таганрог, ТГПИ, 2005, с. 264 -'1.

Сухинов А.И., Сухинов A.A., Колгунова О.В. Алгоритмы построения нерегулярных сеток для юкретизации задач гидрофизики водоемов. II Труды 12-ой Международной конференции Математические модели физических процессов». - Таганрог, ТГПИ-ТРТУ, 2007, с. 126 -129. Колгунова О.В. Двумерная модель совместного движения водной среды транспорта тепла и солей. II атериалы VIII Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и |формационным технологиям. - Новосибирск, 2007, с. 54.

Колгунова О.В. Двумерная гидродинамическая модель для моделирования чрезвычайных ситуаций i мелких водоемах. II Материалы IX Всероссийской конференции молодых ученых по зтематическому моделированию и информационным технологиям. - Кемерово, 2008, с. 49. Сухинов А.И., Колгунова О.В., Зорина Д.А. Параллельный алгоритм решения задачи гидрофизики доемов на основе схем расщепления. II Материалы 55-ой научно-технической конференции ТТИ 'ФУ. Журнал «Известия ЮФУ. Технические науки». Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, №1 (90), 2009, с. 190 -)8.

Алексеенко Е.В., Сидоренко Б.В. Колгунова О.В., Чистяков А.Е. Сравнительный анализ классических неклассических моделей гидродинамики водоемов с турбулентным обменом II Журнал «Известия >ФУ. Технические науки. Тематический выпуск «Актуальные проблемы математического зделирования». Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, №8 (97), 2009, с. 6 -18.

В работах, опубликованных в соавторстве, лично автору принадлежат следующие результаты: в 1 предложен итерационный процесс, для задач термогидродинамики водоемов в случае существен: изменяющейся плотности водной среды; в [2] выполнено исследование допустимого шага итерационном процессе на основе принципа максимума и следствия из него; в [3] предложен подхо обеспечивающий корректную процедуру построения нерегулярных треугольных сеток при не жести ограничениях на границу области, как внутреннюю, так и внешнюю, а также построение невырожденнь нерегулярных сеток; в [6] предложен алгоритм расщепления, который использован для параллельнс реализации задач гидрофизики водоемов, а также выполнены численные эксперименты г определению эффективности параллельных алгоритмов; в [7] выполнен анализ классических моделе гидродинамики водоемов построенных на основе схем расщепления, которые послужили базе сравнения с неклассическими моделями.

Типография Технологического института Южного федерального университета ГСП 17А, Таганрог, 28, Энгельса, 1

заказ № 36Z , тираж 100 экз. 2009 г.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАСЧЕТА ТЕЧЕНИЙ В МНОГОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЯХ С УЧЕТОМ СТОКА РЕК, ОСАДКОВ, ИСПАРЕНИЯ.

1.1. Особенности решения гидродинамических задач с учетом протекания жидкости через поверхность раздела вода - воздух.

1.1.1 .Уравнения тепловго и водного балансов поверхности моря.

1.1.2.Уравнение состояния морской среды и обощенное уравнение для плотности.

1.2. Полуэмпирические мождели начальных и граничных условий.

1.2.1. Модели ветра и его тангенциального напряжения.

1.2.2. Модели горизонтальной составляющей скорости течения.

1.2.3. Модели вертикальной составляющей скорости течения.

1.2.4.Модели глубины верхнего квазиоднородного слоя.

1.3. Краткий обзор сведений из теори и теплопроводности.

1.4. Основные компоненты теплового баланса.

1.4.1. Конвективный теплообмен.

1.4.2. Теплообмен с дном водоема.

1.4.3. Турбулентная теплопроводность.

1.4.4. Влияние радиации на теплообмен в водоеме.

1.4.5. Теплота фазового перехода.

1.4.6. Молекулярная теплопроводность.

1.4.7. Диссипация кинетической энеогии.

1.4.8. Соленость.

1.5.0бзор литературы по тепловому режиму в водоемах.

ГЛАВА 2. ПОСТРОЕНИЕ НЕРЕГУЛЯРНОЙ ТРЕУГОЛЬНОЙ СЕТКИ.

2.1. Общие определения и теоремы.

2.1.1. Триангуляция и ее элементы.

2.1.2. Простые участки границ.

2.2. Алгоритм построения сетки.

2.2.1. Построение сетки на границе области.

2.2.2. Улучшение (оптимизация) сетки.

2.3. Результаты построения сеток для акватории Азовского моря и Таганрогского залива.

ГЛАВА 3. ДВУМЕРНАЯ МОДЕЛЬ ГИДРОДИНАМИКИ ВОДОЕМОВ В СЛУЧАЕ ПОСТОЯННОЙ ПЛОТНОСТИ ВОДНОЙ СРЕДЫ.

3.1. Трехмерная система уравнений гидродинамики.

3.2. Получение и исследование двумерной модели.

3.2.1. Интегрирование двумерной модели по вертикали.

3.2.2. Уравнение баланса аналога полной механической энергии.

3.2.3. Вычисление управляющих коэффициентов. Трение о дно и воздух.

3.3. Дискретизация гидродинамической модели по времени.

3.3.1. Явная схема.

3.3.2. Неявная схема.

3.3.3. Получение схемы на основе алгоритма метода поправки к давлению.

3.4. Конечно-элементная аппроксимация слагаемых схемы.

3.4.1. Конечно-элементная аппроксимация уравнений для потоков.

3.4.2. Модели источников и стоков.

3.4.3. Конечно-элементная аппроксимация уравнения для функции возвышения уровня.

3.4.4. Решение полученных СЛАУ.

Результаты моделирования.

ГЛАВА 4. ДВУМЕРНАЯ МОДЕЛЬ ГИДРОФИЗИКИ ВОДОЕМОВ В СЛУЧАЕ ИЗМЕНЯЮЩЕЙСЯ ПЛОТНОСТИ ВОДНОЙ СРЕДЫ.

4.1. Трехмерная система уравнений гидрофизики водоемов.

4.2. Получение и исследование двумерной модели.

4.2.1. Интегрирование двумерной модели по вертикали.

4.2.2. Вычисление управляющих коэффициентов. Трение о дно и воздух.

4.3. Определение распределения температуры Азовского моря на основе вычислительного эксперимента.

4.4. Итерационно - разностный алгоритм решения задачи гидрофизики водоемов, в случае существенно изменяющейся плотности водной среды.

4.5.параллельный алгоритм решения модельной задачи гидрофизики водоемов на кластере распределенных вычислений.

Математическое моделирование природных систем, в том числе мелководных водоемов - дополняет, а во многих случаях позволяет исключить дорогостоящие и опасные натурные эксперименты с реальной экосистемой. Если мы можем рассчитать уровень воды в водоеме при различном ветре, то мы можем предсказать зоны возможного затопления прибрежных областей. Использование математических моделей позволяет предсказать возможные последствия искусственного изменения рельефа дна или другого вмешательства в экосистему водоема.

Актуальность

Для задач математического моделирования гидрофизических процессов в водоемах актуальной является проблема построения и практического использования вычислительно-эффективных методов, базирующихся на применении оптимальных криволинейных сеток, в том числе нерегулярных и построение сходящихся итерационных алгоритмов решения задач массо-тепло переноса для существенно изменяющейся плотности водной среды. Переход в методах дискретизации задач математической физики, связанный с использованием вместо прямоугольных, сеток криволинейных, в том числе нерегулярных треугольных сеток, позволяет существенно сократить количество расчетных ячеек при заданной точности или значительно повысить точность моделирования при данном количестве ячеек. Применение криволинейных сеток при ограничениях на оперативную память вычислительных систем позволяет значительно лучше аппроксимировать сложную форму береговой линии и повысить реальную точность расчетов в случае существенно изменяющихся температур и соленостей, что определяет и подтверждает актуальность данной работы. В случае сеток высокого разрешения, а также при проведении расчетов в реальном времени актуальной является рассмотренная в работе параллельная реализация численного алгоритма на кластере распределенных вычислений. Проведенные численные эксперименты на реальном кластере под управлением MPI показали достаточно высокую эффективность параллельного алгоритма на умеренном числе процессоров.

Целями диссертационной работы являются:

1. Разработка и исследование алгоритмов построения нерегулярных треугольных сеток, являющихся более экономичными по сравнению с регулярными сетками для реальных водоемов со сложной границей расчетной области.

2. Построение итерационно-разностных алгоритмов эффективного решения задач гидродинамики транспорта тепла и соли для мелководных водоемов, в том числе с существенно изменяющейся плотностью.

Для достижения поставленных целей в диссертационной работе решаются следующие задачи:

1) построение нерегулярных треугольных расчетных сеток для численной реализации гидродинамической модели;

2) построение, исследование и численная реализация двумерной гидродинамической модели методом осреднения по вертикальным направлениям в случае не существенно изменяющейся плотности водной среды;

3) построение, исследование и численная реализация двумерной модели распределения скоростей, температур и солености в случае существенно изменяющейся плотности водной среды;

4) численное моделирование распределения скоростей и температур в Азовском море и Таганрогском заливе применительно к реальным погодным условиям.

Научная новизна результатов исследования отражается в следующих исследованиях и разработках:

1) разработаны алгоритмы построения нерегулярных треугольных расчетных сеток для численной реализации гидродинамической модели, которые в отличие от регулярных сеток гораздо более просты в построении и легко адаптируются к сложной геометрии области;

2) разработан итерационный алгоритм сглаживания нерегулярных треугольных расчетных сеток, позволяющий получить сетку более высокого качества;

3) построены и исследованы конечно-элементные модели гидрофизики водоемов, использующие нерегулярные треугольные сетки и базирующиеся на методе расщепления по физическим процессам;

4) построен итерационно-разностный алгоритм решения задачи гидрофизики водоемов, в случае существенно изменяющейся плотности водной среды и получены достаточные условия его сходимости;

5) на основе разработанных алгоритмов, которые требуют меньших вычислительных затрат за счет использования экономичных (нерегулярных) сеток по сравнению с регулярными сетками, и программ, выполнено численное моделирование распределения течений и температур в Азовском море, результаты которого имеют практическую ценность и удовлетворительно согласуются с результатами моделирования на основе использования употребительных комплексов программ, таких как Магз2В, РОМ.

Достоверность научных результатов подтверждается корректным применением математического аппарата теории разностных схем, методов решения сеточных уравнений, принципов параллельного программирования, а также выполненным численным моделированием распределения течений и температур в Азовском море, результаты которого согласуются с результатами моделирования на основе использования употребительных комплексов программ, таких как Магз20, РОМ.

Практическая значимость диссертационной работы состоит в разработке алгоритмов и создании программ для построения нерегулярных треугольных расчетных сеток, которые в отличие от регулярных сеток просты в построении и легко адаптируются к сложной геометрии области, а также посвящена моделированию течений в Азовском море и Таганрогском заливе (двумерная модель).

Использование криволинейных сеток вместо прямоугольных, в том числе нерегулярных треугольных сеток, позволяет существенно сократить количество ячеек при заданной точности или значительно повысить точность моделирования при данном количестве ячеек. Треугольные сетки были получены для акватории Азовского моря и Таганрогского залива. Алгоритмы позволяют строить нерегулярные треугольные сетки с-малым числом нерегулярностей для областей сложной формы. Для построения сеток используются данные о форме береговой линии и рельефе дна. Сетки могут быть построены с любым заранее заданным числом треугольников. Имеется возможность задавать требуемую плотность узлов в различных местах сетки.

Теоретические и практические результаты диссертационной работы внедрены в Научно-образовательном центре комплексных исследований и' математического моделирования техногенных и экологических систем Технологического института Южного федерального университета в г. Таганроге.

Апробация результатов работы. Основные результаты докладывались и обсуждались на XII Международной конференции «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики» (Харьков, 2005); XI Международной конференции «Математические модели физических процессов» (Таганрог, 2005); 12-ой Международной конференции «Математические модели физических процессов» (Таганрог, 2007); VIII Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Новосибирск, 2007); IX Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Кемерово, 2008); 55-ой научно-технической конференции ТТИ ЮФУ (Таганрог, 2008 г).

Диссертация состоит из введения, четырех разделов, заключения и списка литературы.

Заключение

В данной работе для численной реализации гидродинамической модели были разработаны алгоритмы и программы для построения нерегулярных треугольных расчетных сеток, которые в отличие от регулярных сеток, гораздо более просты в построении и легко адаптируются к сложной геометрии области. Треугольные сетки были получены для акватории Азовского моря и Таганрогского залива. Разработанные алгоритмы позволяют строить нерегулярные треугольные сетки с малым числом нерегулярностей для областей сложной формы. Для построения сеток использовались данные о форме береговой линии и рельефе дна. Сетки могут быть построены с любым заранее заданным числом треугольников. Имеется возможность задавать требуемую плотность узлов в различных местах сетки.

Была получена двумерная модель гидродинамики водоемов в случае постоянной плотности водной среды из трехмерной интегрированием по вертикальной координате, в предположении, что компоненты вектора скорости зависят от глубины по квадратичному закону, а так же был учтен профиль коэффициента турбулентного обмена по вертикали, характерный для мелководных водоемов. Преимущества модели заключаются в том, что модель учитывает испарение и выпадение осадков не только в уравнении баланса массы, но и в уравнениях движения, что важно для уравнений мелкой воды в жарком климате. В модели не изменялся порядок следования операций дифференцирования по горизонтальному направлению и операций интегрирования по вертикальному направлению, что позволило избежать получения фиктивных источников энергии и импульса. Модель учитывает стоки рек, зависящий от координат уровень воды в водоёме, сложный рельеф дна, вертикальный и горизонтальный турбулентный обмен, силу Кориолиса, атмосферное давление, испарение и осадки, трение о дно и воздух (ветер).

На основе данной модели были рассчитаны течения в Азовском море и функция возвышения уровня для типичных направлений ветра. Эти данные могут быть использованы для предсказания наводнений и расчета последствий выброса загрязняющих веществ в море.

Кроме того, выполнено моделирование на сетках различной подробности. Показано, что все три метода на различных сетках дают практически одинаковые результаты. Программы, реализующие данную модель, являются универсальными и могут быть применены для любого другого мелководного водоема.

Также была построена двумерная модель гидрофизики водоемов в случае изменяющейся плотности водной среды из трехмерной интегрированием по вертикальной координате, в предположении, что компоненты вектора скорости зависят от глубины по квадратичному закону, а так же учитывается профиль коэффициента турбулентного обмена по вертикали, характерный для мелководных водоемов. На основе вычислительного эксперимента было определено распределение температуры Азовского моря на сентябрь месяц для одних суток, с временным интервалом в один час.

В работе построена и исследована двумерная модель гидрофизики водоемов в случае существенно изменяющейся плотности водной среды транспорта тепла и соли для водоема прямоугольной формы и разностный метод ее решения, который базируется на схемах расщепления и методе поправки к давлению (варианте MAC - метода). Построен итерационно-разностный алгоритм решения задачи гидрофизики водоемов, в случае существенно изменяющейся плотности водной среды и определены достаточные условия его сходимости. Система условий, полученная на основе сеточного принципа максимума и следствий из него, накладывает одновременно ограничения сверху на шаг по времени, а снизу - на величину нормы шага по пространству. Изложена параллельная реализация численного алгоритма на кластере распределенных вычислений. Проведенные численные эксперименты на реальном кластере под управлением MPI показали достаточно высокую эффективность параллельного алгоритма на умеренном числе процессоров.

1. Азовское море // Гидрометеорология и гидрохимия морей СССР. С - П.:

2. Гидрометеоиздат. 1991. - С. 6-73.

3. Альтман Э. Ю., Безбородов А. А. Практическая экология морских регионов.

4. Черное море. Киев: Наук, думка, 1990. - 10 с.

5. Барков А. С. Словарь справочник по физической географии. М.:1. Учпедгиз. 1954. 110 с.

6. Беляев В. И. О построении математической модели морской экосистемы на основе развития гидротермодинамической модели моря // Биология мира. 1977. -Вып.40. С.5 - 9.

7. Беляев В. И. Моделирование морских систем. Киев: Наук, думка, 1987. — 3 с.

8. Беляев Н. М., Рядно А. А. Методы теории теплопроводности. М.:1. Высшая школа, 1982. 7с.

9. Богомолов В. Г. Жизнь моря. М.: Молодая гвардия, 1954. С. 284 - 287.

10. Богуславский С. Г. Годовой ход коэффициента турбулентной температуропроводности по вертикали / Тр. МГИ АН СССР. М., 1958.-Т.13. С. 3 - 13.

11. Браславский А. П., Вакулина 3. А. Нормы испарения с поверхности водохранилищ. Л.: Гидрометеоиздат, 1954. - 212с.

12. Бубнов М. А. О разрешимости задачи динамики приливов в стратифицированном океане. Новосибирск, Препринт ВЦ Сиб. отд. АН СССР, №70. 1977.-25 с.

13. Будыко М. И. Тепловой баланс земной поверхности. Л.: Гидрометеоиздат, 1956.-255 с.

14. Варзи А. Консервативная форма уравнений Навье-Стокса в произвольной нестационарной системе координат // Ракетная техника и космонавтика, 1981.-Т. 19, №3. С. 135 137.

15. Васильев A.C. Основы морских гидробиофизических прогнозов: В 4 т. Т.1 Теоретические основы мониторинга основных физических и биохимических полей морского региона. М., 1988. Деп. в ВИНИТИ, № 910-В88. 174 с.

16. Васильев A.C. Основы прикладной экологии океана. Владивосток: ДВО АН СССР, 1992.-282 с.

17. Васильев A.C. Адаптивно-обучающаяся система прогнозирования классов природных процессов. Ч. 1. Создание и введение региональных специализированных банков океанографической информации: Руководящие указания. СПб.: Гидрометеоиздат, 2001. 136 с.

18. Винников С. Д., Проскуряков Б. В. Гидрофизика. Л.: Гидрометеоиздат, 1988. С. 67- 191.

19. Гидрометеорологический справочник Азовского моря. / Ленинград, 1962. С. 19 - 723.

20. Дмитриев Н. В., Сухоруков В. А. Сравнительный анализ моделей вертикального турбулентного обмена в океане. Сб. Мат. модели в исследовании динамики океана. Новосибирск, 1988. С. 18 - 30.

21. Дрогайцев Д.А. Построение поля ветра над морем //Тр. ИО АН СССР. 1954. Т. 9. С 23 53.

22. Зилитинкевич С. С., Лайхтман Д.Л., Монин A.C. Динамика пограничного слоя атмосферы //Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана, 1967. Т.З, №3.

23. Зубов H.H. Океанологические таблицы. Л.: Гидрометеоиздат, 1956. 406 с.

24. Котовщиков Б. Б. Особенности годовых температурных волн деятельного слоя Черного моря / Сб. Теоретические исследования волновых процессов в океане. Севастополь, 1983. С. 57 62.

25. Кочергин В. П., Сухоруков В. А., Цветова Е. А. Моделирование процессов вертикальной турбулентной диффузии в океане // Численные методы расчета океанических течений. — Новосибирск. 1974. С. 129 152.

26. Кочергин В. П., Климок В. И., Сухоруков В. А. Однородный слой океана в рамках дифференциальных моделей. // Численные методы механики сплошной среды, 1977. Т.8, - С. 102 - 114.

27. Курбаткин Г. П. и др. Спектральная модель среднесрочного прогноза // Докл. АН СССР.- 1987.-Т. 294. С. 321 329.

28. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т.У1.Гидродинамика. -М.: Наука, 1988. С. 137-330.

29. Линейкин П.С. Основные вопросы динамической теории бароклинного слоя моря. Л.: Гидрометеоиздат, 1970. -139 с.

30. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1978. С. 522 -527.

31. Лыков А. В. Тепломассообмен / Справочник. М.: Энергия, 1972. - 239 с.

32. Лыков А. В. Теория теплопроводности. М.: Гостехиздат, 1967. - 392 с.

33. Любимова Е. А., Александров А. Л., Дучков А. Д. Методы изучения тепловых потоков через дно океанов. М.: Наука, 1973, 18с.

34. Мамаев О.И. Упрощенная зависимость между плотностью, температурой и соленостью морской воды // Изв. АН СССР. Сер. Геофиз., 1964. № 2. С. 309 -311.

35. Мамаев О.И. Т, 8 анализ вод Мирового океана. - Л.: Гидрометеоиздат, 1970.-364 с.

36. Марчук Г. И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана. Л.: Гидрометеоиздат, 1974. С. 131 138.

37. Марчук Г. И., Кочергин В. А. Математические модели циркуляции в океане. Новосибирск: Наука, Сиб. отделение, 1980. - 285с.

38. Марчук Г.И., Саркисян А. С. Математическое моделирование циркуляции океана // Известия Северо-Кавказского научного центра высшей школы. Наука. 1988.

39. Матишов Г. Г, Макаревич П. Р и др. Комплексные экологические исследования Азовского моря (препринт) Кольский научный центр, Мурманск, 1997. С. 9 - 17.

40. Мишон В. М. Практическая гидрофизика. Л.: Гидрометеоиздат, 1983. С. 8 -295.

41. Монин А. С. О взаимодействии между вертикальной и горизонтальной диффузией примеси в море. // Океанология. 1969. №1. С. 76-81.

42. Монин А. С. Основные особенности морской турбулентности // Океанология, 1970. Т. 10, № 9.

43. Монин А. С., Красицкий В. П. Явления на поверхности океана.- Л.: Гидрометеоиздат, 1969. 243 с.

44. Монин А. С., Каменкович В. М., Корт В. Г. Изменчивость Мирового океана. Л.: Гидрометеоиздат, 1974. - 261 с.

45. Музыченко А. Г. Анализ структуры сезонной изменчивости потоков явного и скрытого тепла в Северной части Тихого океана: Сб. Математические модели в исследовании динамики океана. Новосибирск, 1988. С. 60-81.

46. Праудмэн Дж. Динамическая океанография. М.: Изд-во. иностр. лит., 1957.-418 с.

47. Приходько М. Г., Смирнов В. С., Эйдельман Ю. 3. Общая и синоптическая метеорология. М.: Воен. издат. МО СССР, 1959. С. 5 - 385.

48. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Наука, 1980. - 298 с.

49. Рхи С. М., Чоу У. Л. Численный расчет обтекания профиля с отрывом у задней кромки // Аэрокосмическая техника, 1984. — Т.2, №7. С. 33 — 43.

50. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. - 197 с.

51. Самарский А. А., Гулин А. В. Устойчивость разностных схем. М.: Наука, 1973.-344 с.

52. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы. М.: Наука, 1989. — 294 с.

53. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы математической физики. 2-е изд. М.: Научный мир, 2003. — 316 с.

54. Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978. - 592 с.

55. Самойленко В. С. Современная теория океанического испарения и ее практическое применение. // Тр. ГОИН. 152. Вып. 21 (33).

56. Самойленко В. С. Формирование температурного режима моря. Л.: Гидрометеоиздат, 1959. С. 5-57, 144.

57. Саркисян A.C. Об одном обобщении теории Экмана. // Изв. АН СССР. Сер. геофиз. 1956. № 6. С. 669 672.

58. Соскин И. Н. Эмпирические зависимости для расчета ветровых течений // Тр. ГОИН. 1962. Вып. 70. С. 3 27.

59. Сухинов А. И. Двумерные схемы расщепления и некоторые их приложения. М.: МАКС Пресс, 2005. - 408 с.

60. Сухоруков В. А., Дмитриев Н.В., Лихачев С.М. Моделирование перемешанного слоя океана. Новосибирск, 1986. - 23с. - (Препринт //АН СССР. Сиб. отд-ние, ВЦ; № 675).

61. Сычев В. В. О течении вязкой жидкости около вращающегося эллиптического цилиндра // Ж. Вычислительная математика и математическая физика, 1995. Т. 35, № 6. С 1001 - 1008.

62. Теплотехнический справочник / ред. Юренева В.Н., Лебедева П.Д., М.: Энергия, 1976. -23 с.

63. Тимофеев Н. А. Радиационный режим океанов. Киев.: Наук, думка, 1983. С. 6-213, 248.

64. Указания по расчету испарения с поверхности водоемов. Л.: Гидрометеоиздат, 1969. - 83 с.

65. Угрюмов А. И. Тепловой режим океана и долгосрочные прогнозы.- Л.: Гидрометеоиздат, 1981. 4 с.

66. Федоров К. Н. Мезомасштабная изменчивость поля температуры в океане. -М.: Наука, 1977. 13 с.

67. Фельзенбаум А. И. Динамика морских течений // Гидродинамика. М., 1970. С. 97-338.

68. Физика океана / Под ред. Ю.А. Доронина. Л.: Гидрометеоиздат, 1978. С. 35 -90.

69. Физический энциклопедический словарь / Под ред. В.М. Прохорова. М.: Изд. Большая Российская Энциклопедия, 1995. - 58с.

70. Чеботарев А. И. Общая гидрология.- Л.: Гидрометеоиздат, 1975. С. 57 -143.

71. Чеботарев А. И. Гидрологический словарь. Л.: Гидрометеоиздат, 1978. С. 3-273.

72. Шулейкин В. В. Физика моря. М.: Наука, 1968. - 108 с.