автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математические модели и методы решения сеточных уравнений для задач гидрофизики мелководных водоемов

На правах рукописи

Шишеня Александр Владимирович

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЕТОЧНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ЗАДАЧ ГИДРОФИЗИКИ МЕЛКОВОДНЫХ ВОДОЕМОВ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Таганрог-2013

005545522

005545522

Работа выполнена в Федеральном государственном автономном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Южный федеральный университет».

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Сухинов Александр Иванович.

Официальные оппоненты:

Жуков Михаил Юрьевич, доктор физико-математических наук, доцент, ВГАОУ ВПО «ЮФУ», заведующий кафедрой вычислительной математики и математической физики.

Чикин Алексей Львович, доктор физико-математических наук, профессор, Южный научный центр РАН, г. Ростов-на-Дону, главный научный сотрудник.

Ведущая организация: Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша Российской академии наук, г. Москва.

Зашита диссертации состоится «14» ноября 2013 г. в 16:20 на заседании диссертационного совета Д 212.208.22 Южного федерального университета по адресу: 347928, ГСП-17А, Ростовская область, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44, ауд. Д-406.

С диссертацией можно ознакомиться в зональной научной библиотеке Южного федерального университета по адресу: ул. Пушкинская, 148, г. Ростов-на-Дону, 344049.

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. В современном мире водные объекты стали важнейшими природными ресурсам!. Водоемы подвергаются активному антропогенному воздействию, что оказывает влияние на гадрологические режимы, температуру, состав воды и, как следствие, подвергает изменениям экосистему водоема, поэтому охрана и мониторинг состояния водных объектов является необходимой составляющей их эксплуатации. Инструментом, позволяющим предсказывать возможные сценарии развития чрезвычайных ситуаций в водных системах является математическая модель гидрофизических процессов в водоеме. В то же время, в теории математического моделирования нелинейных задач гидрофизики остаются открытыми вопросы разработки математических моделей гидродинамики с уточненными граничными условиями на свободной поверхности, а также построения и исследования быетросходящихся методов решения сеточных уравнений типа диффузии-конвекции-реакции, допускающих эффективную реализацию на системах с массовым параллелизмом.

Работы по моделированию Азовского моря предпринимаются уже достаточно давно. Пионерской в этой области принято считать работы И. И. Воровича, Ю. А. Жданова, А. Б. Горстко, Ю. А. Домбровского, Ф. А. Суркова. В Институте вычислительной математики РАН исследования в области математического моделирования гидрофизики морей и океанов, а также разработка методов усвоения данных натурных экспериментов проводилась под руководством Г. И. Марчука. В настоящее время эти исследования продолжаются А. С. Саркисяном, В. Б. Залесным и др. Также в Институте вычислительной математики РАН под руководством В. П. Дымникова разработаны математические модели климатических изменений. В ТРТУ-ЮФУ разработка моделей гидродинамики, гидробиологии, транспорта растворенных веществ и взвешенных частиц проводится под руководством А. И. Сухинова. Также в ЮНЦ РАН построен ряд моделей и выполнены численные эксперименты по моделированию гидродинамики со свободной поверхностью, а также транспорта наносов под руководством А. Л. Чикина. Работы по моделированию процессов гидро- и аэродинамики на основе квазигидродинамической системы уравнений с применением суперкомпыотерных технологий проводятся в Институте прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН Б. Н. Четверушкиным, а также В. Ф. Тишкиным, Е. В. Шильниковым и ДР-

На сегодняшний день, существующие модели мелководных водоемов, учитывающие движение свободной поверхности, требуют численного решения уравнения переноса, что приводит к серьезным трудностям, либо предполагает использование каких-либо искусственных приемов расчета формы свободной поверхности.

Цели и задачи диссертационной работы.

Целью диссертационной работы является построение и исследование трехмерной математической модели гидрофизики мелководных водоёмов с уточненными граничными условиями на свободной поверхности, развитие численных методов решения сеточных уравнений задач гидрофизики мелководных водоемов, создание комплекса программ, реализующих эти модели и методы, а также проведение численных экспериментов. Модели должны учитывать переменную плотность среды, процессы переноса тепла и солей, а также более точно учитывать движение свободной поверхности.

Для достижения поставленной цели решены следующие задачи: В области математического моделирования:

1. Построить усовершенствованную непрерывную модель гидрофизики мелководных

водоемов, описывающую гидродинамику жидкости с переменной плотностью, со свободной поверхностью, а также перенос тепла и солей. Необходимо обеспечить учет таких факторов, как влияние силы Кориолиса и испарение жидкости с поверхности.

2. Разработать более точный по сравнению с известными, метод моделирования свободной поверхности;

3. Построить расщепленную непрерывную модель гидрофизики, наследующую основные свойства усовершенствованной непрерывной модели;

4. Выполнить исследование построенных непрерывных моделей на соответствие реальному физическому процессу.

В области численных методов:

5. Построить дискретную модель гидрофизики мелководных водоемов, описывающую гидродинамику жидкости с переменной плотностью, со свободной поверхностью, а также перенос тепла и солей;

6. Выполнено исследование построенной дискретной модели:

а. Исследовать консервативность дискретной модели;

б. Исследовать устойчивость дискретной модели, получить условия, при которой дискретная модель является устойчивой;

в. Исследовать точность, с которой дискретная модель аппроксимирует непрерывную модель гидродинамики;

7. Разработать и оптимизировать численные методы решения сеточных задач типа диффузии и диффузии-конвекции-реакции:

а. Построить и исследовать итерационный метод решения сеточных задач эллиптического типа с сильно меняющимися коэффициентами и линейной функцией источника;

б. Построить итерационный метод для решения сеточных задач диффузии-конвекции;

в. Выполнить оптимизацию весового коэффициента двухслойной разностной схемы с весами для уравнения диффузии с целью уменьшения погрешности аппроксимации при том же шаге сетки по времени;

В области создания комплексов программ:

8. Построить комплекс программ для моделирования задач гидрофизики мелководных водоемов, включая процессы гидродинамики и переноса тепла и солей, отличающийся от известных использованием усовершенствованных модели гидродинамики с уточненными граничными условиями на свободной поверхности.

Методы и средства проведения исследования. Математическая модель гидрофизики мелководного водоема, описывающая гидродинамику со свободной поверхностью и переменной плотностью среды и процессы тепломассопереноса, построена на основе уравнений Навье-Стокса, уравнения неразрывности, уравнения состояния, уравнений диффузии-конвекции для описания распространения тепла и солей. Уравнение состояния представляет собой зависимость плотности от температуры, солености и давления, однако, в силу того, то плотность достаточно слабо зависит от давления, в данной работе зависимость плотности от давления не учитывается. Расщепление модели выполнено с помощью модификации метода проекций Чорина, а для пространственной аппроксимации использовался интегро-интерполяционный метод, учитывающий частичную заполненность ячеек расчетной сетки. Для исследования непрерывной и расщепленной непрерывной моделей применены методы векторного анализа. Программная реализация построенного алгоритма расчета модели для операционных систем семейства Windows выполнена с помощью среды разработки

Microsoft Visual Studio 2008 Express Edition, для операционной системы Linux Ubuntu - с помощью среды разработки Qt Creator. Для программной реализации модели был выбран язык программирования С++. Визуализация результатов расчетов выполнена с помощью современных программных средств (MathCad, OpenDX Data Explorer и др.).

Научная новизна. В области математического моделирования:

Для непрерывной модели гидрофизики мелководных водоемов использованы уточненные граничные условия на свободной поверхности, позволяющие более точно описывать механические свойства границ области. Предложена модификация метода volume of fluid для моделирования гидродинамики жидкости со свободной поверхностью в поле силы тяжести, не требующая решения уравнения переноса для расчета функции заполненности, что позволяет упростить численное решение. Выполнено расщепление построенной непрерывной модели с помощью модификации метода проекций Чорина, учитывающей, что величина плотности может сильно изменяться во времени. Также при выполнении расщепления особое внимание уделялось корректному переносу граничных условий от непрерывной модели к дискретной. Показано, что для расщепленной непрерывной модели также выполняется закон сохранения массы. В области численных методов:

Для дискретизации уравнений расщепленной непрерывной модели по пространственным направлениям используется интегро-интерполяционный метод, учитывающий частичную заполненность ячеек расчетной сетки. Это позволяет использовать для расчета движения свободной поверхности Эйлерову (а не Лагранжеву) систему координат и добиться более точного учета геометрии границ водоема по сравнению с обычно применяемым на практике интегро-интерполяционным методом в Эйлеровой системе координат. Показано, что при использовании обычно применяемого на практике интегро-интерполяционного метода, погрешности задания границы вносят константную ошибку, а в случае применения метода, учитывающего частичную заполненность ячеек сетки, погрешшность аппроксимации в граничных узлах имеет первый порядок по пространственным направлениям. Показано выполнение закона сохранения массы на дискретном уровне. Получены условия устойчивости дискретной модели. При аппроксимации уравнений модели по временной переменной использовались схемы с весами.

Получена оценка относительной погрешности решения уравнения диффузии с помощью схемы с весами. Разработан алгоритм вычисления значения веса, минимизирующего полученную оценку, что позволило увеличить шаг сетки по времени без потери точности решения.

Разработан модифицированный попеременно-треугольный метод для сеточного эллиптического уравнения с сильно меняющимися коэффициентами и линейной функцией источника. Сходимость построенного итерационного метода слабо зависит от отношения коэффициентов, участвующих в операторе второй разностной производной, а при некоторых естественных ограничениях на функцию источника количество итераций, требуемых для сходимости метода снижается в корень квадратный раз. Разработанный метод используется для решения сеточного уравнения Пуассона с сильно меняющимися коэффициентами и линейной функцией источника, которое возникает при аппроксимации предложенной модели гидродинамики мелководного водоема, с помощью интегро-интерполяционного метода, учитывающего заполненность ячеек расчетной сетки.

Получена улучшенная оценка нижней границы спектра предобуслоаленного оператора для попеременно-треугольного метода, что позволило асимптотически вдвое сократить число итераций, требуемых для сходимости метода.

Разработан вариант метода минимальных поправок для решения сеточных задач с несамоспоряженным оператором, а также получены оценки скорости сходимости метода. Разработанный метод является частью алгоритма адаптивного попеременно-треугольного метода для сеточных уравнений с несамосопряженным оператором, который позволяет автоматически рассчитывать итерационный параметр.

Разработанные итерационные методы допускают эффективную параллельную реализацию на многопроцессорных вычислительных системах с распределенной памятью.

В области создания комплексов программ:

Построен комплекс программ, отличающийся от известных тем, что для моделирования задач гидрофизики мелководных водоемов используются усовершенствованные модели с уточненными граничными условиями на свободной поверхности. Разработанный программный комплекс позволяет совместно моделировать гидродинамические процессы со свободной поверхностью и транспорт тепла и солей в водоемах;

Достоверность научных положений и выводов обосновывается строгостью методов построения модели. Показано, что поставленные граничные условия модели корректно отражают реальные физические процессы на границе. Показано, что при использовании интегро-илтерполяционного метода, учитывающего частичную заполненность ячеек расчетной сетки, погрешность аппроксимации на границе области имеет первый порядок по пространственным переменным, в то время как при использовании обычно применяемого на практике интегро-интерполяционного метода на границе возникает константная ошибка, вызванная погрешностью задания границы.

Научная и практическая значимость работы. На практике построенный программный комплекс может применяться для мониторинга и прогнозирования состояния мелководных водоемов, в том числе для прогнозирования возникновения и развития таких чрезвычайных ситуаций, как затопление прибрежных районов и попадание в водоем вредных загрязняющих веществ. Также разработанные программные средства могут являться составной частью программного комплекса для моделирования динамики развития планктона и ихтиофауны изучаемого водоема.

Построенные математические модели обладают значительной новизной. Непрерывная модель учитывает движение свободной поверхности и при этом не требует решения уравнения переноса, что облегчает её численное решение. Расщепление непрерывной модели выполнено таким образом, чтобы полученная модель на сколько это возможно наиболее точно учитывала колебания плотности среды. Дискретная модель получена с помощью интегро-интерполяционного метода, учитывающего частичную заполненность ячеек расчетной сетки, что позволяет моделировать движение свободной поверхности с применением Эйлеровой расчетной сетки.

В диссертации получен алгоритм вычисления близкого к оптимальному значению весового коэффициента для разностной схемы с весами для нестационарного уравнения диффузии, а также разработаны быстросходящиеся итерационные методы решения сеточных задач, в том числе с несамосопряженным оператором, допускающие эффективную реализацию на параллельных вычислительных системах с распределенной памятью, которые могут найти свое применение при математическом моделировании физических процессов, описываемых уравнениями типа диффузии-конвекции-реакции.

Основные результаты диссертационного исследования, выносимые на

защиту.

В области математического моделирования:

1. Построены усовершенствованные непрерывная и дискретная модели гидрофизики

мелководных водоемов, описывающие гидродинамику сжимаемой жидкости со свободной поверхностью, а также перенос тепла и солей. Показано, что граничные условия непрерывной модели соответствуют физическим свойствам границы, а для расщепленной модели выполняется закон сохранения массы (с. 27-40, с. 4247);

2. Разработан более точный по сравнению с известными, метод моделирования свободной поверхности, являющийся развитием метода volume of fluid, не требующий численного решения уравнения переноса для заполненности в отличии от известных методов (с. 78-80);

В области численных методов:

3. Построена дискретная модель гидрофизики мелководных водоемов, описывающая гидродинамику жидкости с переменной плотностью и со свободной поверхностью, а также перенос тепла и солей. Показано выполнение закона сохранения массы, получены условия устойчивости дискретной модели. Показано, что использование для аппроксимации уравнений модели интегро-интерполяционного метода, учитывающего частичную заполненность, позволяет достичь первого порядка погрешности аппроксимации на границе области, тогда как использование обычно применяемого на практике интегро-интерполяционного метода дает константную ошибку на границе области (с. 56-78, с. 81-99);

4. Разработаны и оптимизированы численные методы решения сеточных задач типа диффузии и диффузии-конвекции-реакции:

а. Построен и исследован модифицированный попеременно-треугольный метод решения сеточных уравнений эллиптического типа с линейной функцией источника и сильно меняющимися коэффициентами, требующий меньшего числа итераций по сравнению с известными (с. 116-125);

б. Получена улучшенная оценка нижней границы спектра предобусловленного оператора для попеременно-треугольного метода, что позволило асимптотически вдвое сократить число итераций, требуемых для сходимости (с. 111-113);

в. Построен вариант метода минимальных поправок для решения сеточных задач диффузии-конвекции. Получена оценка скорости сходимости и проведена оптимизация разработанного метода, что позволило сократить объем вычислительной работы по сравнению с известными вариантами метода (с. 125-133);

г. Построен алгоритм выбора оптимального весового коэффициента двухслойной разностной схемы с весами для уравнения диффузии, что позволяет увеличить шаг сетки по времени при сохранении той же точности решения (с. 100-108);

В области создания комплексов программ:

5. Построен комплекс программ, отличающийся от известных тем, что для моделирования задач гидрофизики мелководных водоемов используются усовершенствованные модели с уточненными граничными условиями на свободной поверхности. Разработанный программный комплекс позволяет совместно моделировать гидродинамические процессы со свободной поверхностью и транспорт тепла и солей в водоемах (с.139-142);

Основное содержание работы Во введении обосновывается значимость математического моделирования для научного познания, актуальность темы исследования, дается представление о современных подходах к моделированию гидродинамики жидкости со свободной поверхностью, а также о состоянии итерационных методов решения сеточных уравнений,

сформулированы цели и задачи работы, обосновывается научная новизна и значимость разработанных методов, практическая значимость работы, представлены основные результаты диссертационного исследования, выносимые на защиту.

Первая глава посвящена построению и исследованию непрерывной и расщепленной моделей гидродинамики со свободной поверхностью и тепломассопереноса. В параграфе 1.1 дана словесная формулировка задачи и перечислены те физические процессы, которые должна описывать разрабатываемая модель.

В параграфе 1.2 приведены уравнения, входящие в модель. Введем декартову прямоугольную систему координат следующим образом: ось Ог направим в сторону ускорения свободного падения, Ох - на восток, а Оу - на юг. Введем следующие обозначения: у=(и V \у) вектор скорости движения среды, Р - давление, р -функция плотности жидкости, р0 - плотность пресной воды при нормальных условиях, ср - изобарная удельная теплоемкость, §=;(оОд)Т - вектор ускорения свободного падения, а к - сила Кориолиса, f=к+g,V - коэффициенты динамической вязкости, г]т, ут - коэффициенты теплопроводности, ^ - коэффициенты диффузии в горизонтальном и вертикальном направлении, со - интенсивность испарений, п, п° - вектор нормали к поверхности Г и его орт.

В модель входят: • уравнения движения (Навье-Стокса):

У '

(pw)г+(puw)x+(pv^v)),+(pww)г=-P>(/7w,)x+(r/w),)y+(owl)2+pg+p г. Для краткости запишем эти уравнения в векторном виде. В прямоугольной системе координат градиент от вектора и дивергенцию матрицы будем представлять следующим образом:

Бгас!

и

V =

н

ГГ X 0„ а,2 013

СИУ а21 а22 -

а31 л а32 азз,

(01з)>(а2з)у+(0зз)г

Введем также следующие матрицы:

поо' Г]г00 п5 00

1= ОцО , Пг = 0г]т0 , П5= оъо

i00"] 00 ит 00о5)

тогда приведенную выше систему уравнений Навье-Стокса можно записать в виде:

(ру),+сИу(ру ут)=-§гас1Р+с1Ы|^гас1 у)+р£, Уравнение неразрывности:

р,+<Цу(р у)=0.

Уравнения переноса тепла и солей:

{рТЪ+йы^уТ^&Ц^гайТирГт,

Уравнение состояния:

(р5),+с11у(ру5)=с11у(рп5§гас15)+р/'5.

р (Г ,S) =р0+800,969062 • 10"4+ 588,194023-10~" Г+797,018644- ÍO^S-—811,465413-10~5Т2—325,310441-10~5 TS+131,710842-10~6S2+ + 476,600414-10~7Г3+ 389,187483-ИГ7 ST2+ + 287,971530-10"8S2T-611,831499- 10~10S3. Уравнение описывающее эволюцию функции заполненности:

qj+jgradq) -v = |gradq|-co • Параграф 1.3 посвящен постановке граничных условий для уравнений модели. Предположим, что уравнения модели выполнены на границе области. Также будем полагать что на начальное условие согласуется с граничными условиями. Разобьем границу расчетной области на подмножества ¿50 = yUírUfUi? , где у - дно водоема, л -свободная поверхность, e=U £¡ _ сечения русел втекающих рек, ^ U t? ¡ _ свободный выход.

• Твердая непроницаемая неподвижная граница (дно) у. Граничное условия для давления:

|n|-^|j,=-div(pv-vT) n+div(iigrad vj-n+pf-n ,

Такое граничное условие обеспечивает отсутствие потока жидкости через границу, то есть v-nl^O.

Условие Навье (скольжения с трением):

(ngradv)-n°|1,=-T,

где т - касательные напряжения на границе жидкости, которое определяется из закона Ван-Дорна.

Граничные условия для температуры и концентрации соли:

(%gradS)-n°|v=0, (nrgradr)-n°|y=fcy(rv-r).

• Свободная подвижная граница ж (поверхность). Граничное условие для давления:

|n|~|1,=-(pí?;) + (p|n|cd)j+ pv-n't-div(pv-vT)-n+ div(ngradv)-n+pf-n.

Для нахождения формы свободной поверхности (через функцию заполненности) будем использовать следующее условие:

q=e(p-pa),

при этом на характер течения накладывается ограничение вида ||v(||<s;g, где g -ускорение свободного падения. Условие скольжения с трением:

(qgradv)-n°|),=-T. Граничные условия для температуры и концентрации соли:

(nsgradS)-n°|It=pSct), (цт«сайТ)-п\=кя(Тя-Т).

• Фиксированный вход (русла рек) е. Граничное условие для давления:

|n|-4-^L=-(pvi|n|)'+pv-n;-div(pv-vT)-n+divjngradv)-n-i-pf-n.

on ' v

Это условие обеспечивает сохранение фиксированного расхода жидкости, то есть

Условие отсутствия трения:

(П£гас1у)-п0=0 . Граничные условия для температуры и солености на границе:

дт, =т?гт дБ. =££г£ 9п ■ / 'ап1' / '

где / - расстояние до точки впадающей реки, вде значения температуры и солености можно считать равными соответственно Т с< и .

• Свободный выход. (Керченский пролив) д. Граничное условие для давления:

дР, о Рн-Р

где Рн - гидростатическое давление. Условие отсутствия трения:

(ПЕгас1у)-п\=0. Граничные условия для температуры и солености:

дТ, _ТвГТ дБ, дп|1,~ / ' 5пЬ" / ' В параграфе 1.4 выведено и исследовано уравнение, описывающее поле плотности кинетической энерги. Показано, что граничные условия для давления соответствуют реально протекающему физическому процессу.

В параграфе 1.5 дано представление о турбулентности и приведена формула для модели турбулентности Смагоринского.

Параграф 1.6 посвящен расщеплению построенной непрерывной модели по физическим процессам. Поставлены граничные условия для расщепленной модели. Показано, что граничные условия для расщепленной модели соответствуют граничным условиям непрерывной модели. В результате получена следующая расщепленная модель: Уравнение для расчета промежуточного поля импульса:

с граничными условиями:

(п дгас! у")• п° =дгас! ягас! Р"п°- т, (п вгас! у")- п° |я=§гас! §га(1 Р"| п°- т,

{ц&гайуп)-пХ=&ай^упётйРл^п°, (П%гайу")-п°=8гас18гас1 Р .

Такая постановка граничных условий расщепленной модели является более точной по сравнению с более ранними работами.

Уравнение для расчета поля давления с граничными условиями: г-с11у(§гас1 Р")=р;'+сЫр" у"),

с граничными условиями:

Л Г»П п — п _

I оР , _ р V -п

, ■ дР" I _р"у"-п р"+1(р;-р1,)|п1 | рп+11п1о). П 5п т т |§гас1(Р—Р„)| т

п

Уравнение для расчета поля импульса на новом временном слое:

В параграфе 1.7 показано, что из растепленной модели следует уравнение, выражающее закон сохранения массы. Из него следует, что масса жидкости, втекающая в единицу времени, а также изменение массы, вызванное изменением плотности жидкости уравновешивается вытекающей из свободного выхода жидкостью, испарением жидкости и поднятием свободной поверхности, то есть выполняется закон сохранения массы вещества.

В параграфе 1.8 выполнено построение уравнения для нахождения приближенного поля давления. Приведен алгоритм расчета расщепленной модели. Для более точного расчета поля скорости вначале выполняется расчет поля импульса на новом временном слое, на его основе полей температуры и солености, после чего находятся поле плотности на новом временном слое, которое позволяет вычислить скорости на основе поля импульса.

Вторая глава посвящена построению и исследованию полностью дискретной модели гидрофизики мелководного водоема. В параграфе 2.1 изложены общие принципы аппроксимации уравнений модели с помощью метода конечных объемов, учотывающего частичную заполненность ячеек расчетной сетки, что позволяет более точно учитывать геометрию границы области и движение свободной поверхности. Аппроксимация выполнена на равномерной прямоугольной сетке.

С помощью изложенного метода получены дискретные аналоги всех уравнений расщепленной модели. Основные модели относятся к классу уравнений диффузии-конвекции-реакции, поэтому приведем аппроксимационные формулы для операторов, входящих в уравнения такого типа. Контрольный объем, по которому производится интегрирование обозначим , а заполненную его часть - П,1')'^. В центрах ячеек

введем сеточную функцию заполненности по формуле:

тогда аппроксимация операторов уравнения примет вид:

{рф\.).к~(р<р\,.

т

аппроксимация оператора конвективного переноса в направлении оси Ох:

аппроксимация оператора диффузионного переноса в направлении оси Ох:

В параграфе 2.2 рассматривается аппроксимация уравнений модели в граничных узлах первого, второго и третьего рода. При построении дискретных аналогов уравнений (1.8.19) возникают погрешности аппроксимации. Такие ошибки приводят к нарушению таких свойств границы, как непроницаемость твердой границы и сохранение расхода жидкости в устьях рек. Для решение этой проблемы воспользуемся граничными условиями для уравнения расчета давления, которые фактически задают точное значение нормальной составляющей градиента давления на границе.

В параграфе 2.3 приведен вывод формулы для расчета функции заполненности. Параграф 2.4 посвящен исследованию консервативности построенной дискретной модели. Показано выполнение закона сохранения массы для дискретной модели.

В параграфе 2.5 с помощью принципа максимума получены ограничения на шаги по пространству и времени, обеспечивающие устойчивость дискретной модели:

re<2n, м+н+гт т<1> т> 2 2 2-■

\М М И/ а|п|ш

Параграф 2.6 посвящен исследованию порядка погрешности аппроксимации дискретной модели, при этом учитывается также погрешность, возникающая при аппроксимации границы. Показано, что при аппроксимации с использованием классического инегро-интерполяционного метода порядок погрешности аппроксимации с учетом граничных условий равен нулю, для метода учитывающего частичную заполненность, порядок погрешности аппроксимации по пространственным направлениям равен одному.

В параграфе 2.7 приводится оценка погрешности схемы с весами для уравнения диффузии:

__е-*)1+ха

I X

а также способ нахождения оптимально веса, который позволяет достичь максимально возможной точности схемы при данном шаге по времени. Рассчитаны значения шага сетки, оптимального веса схемы и оценки погрешности решения.

Третья глава посвящена разработке и обзору итерационных методов решения сеточных уравнений, которые применяются для решения уравнений дискретной модели. В параграфе 3.1 получена улучшенная оценка нижней границы спектра предобусловленного оператора для попеременно-треугольного итерационного метода:

У1=[л+а>+с°21

Показано, что улучшенная оценка позволяет асимптотически вдвое сократить количество итераций, необходимых для достижения заданной точности, что подтверждается численными экспериментами в параграфе 3.2.

В параграфе 3.3. построен модифицированный попеременно-треугольный итерационный метод для решения разностной задачи Дирихле для уравнений

ф'.< шах |сх;—гН тах /¿=о..л-1\ <\ /¿фд]

эллиптического типа с сильно меняющимися коэффициентами и линейной функцией

Рис. 1. Графики зависимости требуемого количества итераций от от размера сетки. (1 МПТМ для эллиптического уравнения, 2 - МПТМ для уравнения с линейной

функцией источника.)

В случае, когда накладывается ограничение асимптотической устойчивости схемы с весами для уравнения теплопроводности т<0(||й||), имеет место следующая оценка для количества итераций, необходимых для достижения заданной точности:

Результаты численных экспериментов продемонстрированы на рис. 1.

Параграф 3.5 посвящен изложению варианта метода минимальных поправок для решения сеточных уравнений с несамосопряженным оператором, а также построена оценка скорости сходимости разработанного метода:

у0(л/СТ+К) -1

у0(л/1+к2+к) +1

где к=||С1С01||, ~ спектральное число обусловленности оператора С0 .

"т

На основе полученной оценки в параграфе 3.6 выполнено построение адаптивного попеременно-треугольного метода для уравнений с несамосопряженным оператором.

Четвертая глава посвящена программной реализации алгоритма расчета математической модели тепломассопереноса с учетом движения свободной поверхности, описанию входных и выходных данных, интерфейса программы, а также анализу результатов численных экспериментов В параграфе 4.1 приводится общее описание программного комплекса для расчета тепломассопереноса и движения свободной поверхности в мелководных водоемах. В параграфе 4.2 описываются принципы работы с

программным комплексом, о формате входных и выходных данных, а также выполненные численные эксперименты. Входные параметры тестовых задач для удобства сведены в таблицу I.

Тестовая задача №1. Рассмотрим заполненный жидкостью резервуар в форме параллелепипеда. Через часть одной из стенок втекает фиксированный объем жидкости, а на противоположной стенке имеется перешеек, через который жидкость может свободно вытекать в другой резервуар большего размера. Значения входных параметров приведено в таблице 1.

источником и свободным выходом. Векторами показано поле скорости, а поле давления показано цветом. Для наглядности вектора скорости были масштабированы.

Поля скорости и давления, полученные в результате моделирования, представлены на рис. 2. На рис. 2 наблюдается образование вихрей по обе стороны от основного потока, что согласуется с физикой процесса. Также было показано, что масса втекающей жидкости равна массе вытекающей с точностью 1()"9, то есть выполняется закон сохранения массы.

Таблица 1. Значения входных параметров для тестовых задач.

Размер области расчета 20м х 20м х 40м

Размер расчетной сетки 41x41x41 узел

Коэффициенты турбулентной вязкости 800 Пас

Объем втекающей жидкости для задачи 1 60 м3/с

Объем втекающей жидкости для задачи 2 30 м3/с

Тестовая задача №2. Рассмотрим резервуар в форме прямоугольной призмы с

основанием в виде прямоугольного треугольника. На боковых перпендикулярных стенках расположены источник и сток жидкости.

Рис. 3. Результаты моделирования течения жидкости в скошенном резервуаре а -без учета частичной заполненности ячеек расчетной сетки, Ь — с учетом частичной заполненности ячеек расчетной сетки. Векторное поле соответствует полю скорости, градиентом показано поле давления.

Был выполнен расчет описанной модели с использованием подхода, учитывающего частичную заполненность ячеек расчетной сетки, и для сравнения был выполнен расчет этой же модели без учета частичной заполненности. Результаты численных экспериментов приведены на рис. 3.

При моделировании течения в скошенном резервуаре с помощью обычно прменяемого на практике интегро-интерполяционного метода (то есть без учета частичной заполненности ячеек расчетной сетки), скошенная стенка заменяется на ступенчатую, что приводит к сеточному эффекту в виде падения скорости течения вдоль стенки (рис. 3 а). Этого эффекта удается избежать, если использовать для аппроксимации уравнений метод конечных объемов с учетом частичной заполненности ячеек расчетной сетки (рис. 3 Ь).

Для моделирования гидрофизики Азовского моря использовалась расчетная сетка размером 706x463x16 узлов, при этом область расчета протянулась на 355 км с Запада на Восток и на 236 км с Севера на Юг, а максимальная глубина моря составляет 14 м. Данные водного баланса Азовского моря приведены в таблице 2.

Таблица 2. Данные водного баланса Азовского моря.

Водные источники (стоки) Интенсивность источников

Гирла Свиное, Кривое и Богдан +82 м3/с

Гирло Песчаное +199 м3/с

Гирло Мериновое + 105 м3/с

Гирло Мокрая Кутерьма + 185 м3/с

Гирло Кутерьма +424 м3/с

Гирла Мертвый Донец и Средняя Кутерьма +390 м3/с

Кубань +923 м3/с

I

I

Черное море -1587 м3/с

Сиваш -115 м3/с

Испарение -606 м3/с

Рис. 4. Поле скорости, полученное при моделировании гидродинамики Азовского

моря в случае северо-восточного ветра 5 м/с. На рис. 4 представлено поле скорости течений, полученное в результате

моделирования гидродинамики Азовского моря с помощью разработанного комплекса программ. В северо-восточной части моря наблюдается образование вихря, вэторый сязан с формированием зоны анаэробного заражения в этом районе моря в летнее время. Результаты моделирования согласуются с более ранними исследованиями.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Работа содержит следующие научные результаты: В области математического моделирования:

1. Построена усовершенствованная непрерывная модель гидрофизики мелководных водоемов, описывающая гидродинамику сжимаемой жидкости со свободной поверхностью, а также перенос тепла и солей (с. 27-37);

2. Разработан более точный по сравнению с известными, метод моделирования свободной поверхности, являющийся развитием метода volume of fluid, не требующий численного решения уравнения переноса для заполненности в отличии от известных методов (с. 78-80);

3. Построена расщепленная непрерывная модель гидрофизики, наследующая основные свойства усовершенствованной непрерывной модели (с. 42-46);

4. Выполнено исследование построенных непрерывных моделей. Показано, что граничные условия непрерывной модели соответствуют физическим свойствам границы. Исследована консервативность модели, расщепленной по физическим процессам - показано выполнение закона сохранения массы (с. 37-40, с. 47);

В области численпых методов:

5. Построена дискретная модель гидрофизики мелководных водоемов, описывающая гидродинамику жидкости с переменной плотностью и свободной поверхностью, а также перенос тепла и солей. Аппроксимация уравнений модели выполнена с использованием интегро-интерполяционного метода, учитывающего частичную заполненность ячеек расчетной сетки (с. 56-78);

6. Выполнено исследование построенной дискретной модели:

а. Исследована консервативность дискретной модели - показано выполнение закона сохранения массы (с. 81-86);

б. Исследована устойчивость дискретной модели, получены условия, при которой дискретная модель является устойчивой (с. 87-93);

в. Исследована точность, с которой дискретная модель аппроксимирует непрерывную модель гидродинамики. Показано, что использование для аппроксимации уравнений модели интегро-интерполяционного метода, учитывающего частичную заполненность, позволяет достичь первого порядка погрешности аппроксимации на границе области, тогда как использование обычно применяемого интегро-интерполяционного метода дает константную ошибку на границе области (с. 93-99);

7. Разработаны и оптимизированы численные методы решения сеточных задач типа диффузии и диффузии-конвекции-реакции:

а. Построен и исследован модифицированный попеременно-треугольный метод решения сеточных уравнений эллиптического типа с линейной функцией источника и сильно меняющимися коэффициентами, требующий меньшего числа итераций по сравнению с известными (с. 116-125);

б. Получена улучшенная оценка нижней границы спектра предобусловленного оператора для попеременно-треугольного метода, что позволило асимптотически вдвое сократить число итераций, требуемых для сходимости (с. 111-113);

в. Построен вариант метода минимальных поправок для решения сеточных задач

диффузии-конвекции. Получена оценка скорости сходимости и проведена оптимизация разработанного метода, что позволило сократить объем вычислительной работы по сравнению с известными вариантами метода (с. 125-133);

г. Построен алгоритм выбора оптимального весового коэффициента двухслойной разностной схемы с весами для уравнения диффузии, что позволяет увеличить шаг сетки по времени при сохранении той же точности решения (с. 100-108);

В области создания комплексов программ:

8. Построен комплекс программ, отличающийся от известных тем, что для моделирования задач гидрофизики мелководных водоемов используются усовершенствованные модели с уточненными граничными условиями на свободной поверхности. Разработанный программный комплекс позволяет совместно моделировать гидродинамические процессы со свободной поверхностью и транспорт тепла и солей в водоемах (с. 139-142);

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИОННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ

Публикации в журналах перечня ВАК:

1. Сухинов А. И., Шишеня А. В. «Улучшение оценки параметра уг попеременно-треугольного итерационного метода с априорной информацией». Известия ЮФУ. Технические науки. Тематический выпуск «Теоретические и прикладные аспекты математического моделирования». - Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2010, №6(107), с 7-15.

2. Шишеня А. В. «Трехмерная модель гидродинамики и процессов переноса тепла и солей в акватории Азовского моря с учетом сгонно-нагонных явлений». Известия ЮФУ Технические науки. Тематический выпуск «Актуальные задачи математического моделирования». - Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2011, №8(121), с 44-56.

3. А. И. Сухинов, А. В. Шишеня, «Повышение эффективности попеременно-треугольного метода на основе уточнённых спектральных оценок», Матем. моделирование, 24:11 (2012), 20-32.

4. А. И. Сухинов, А. Е. Чистяков, Е. Ф. Тимофеева, А. В. Шишеня, «Математическая модель расчета прибрежных волновых процессов», Матем. моделирование, 24:8 (2012), 32-44.

5. Сухинов А. И., Чистяков А. Е., Шишеня А. В., «Вариант метода минимальных поправок для решения сеточных уравнений с несамосопряженным оператором» Известия ЮФУ. Технические науки. Тематический выпуск «Актуальные проблемы математического моделирования». - Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2013. №4 (141), с. 194 - 202.

Публикации в других журналах:

6. Сухинов А. И., Чистяков А. Е., Шишеня А. В. «Оценка погрешности решения уравнения диффузии на основе схем с весами», Матем. Моделирование, 13 стр. (в печати)

7. Сухинов А. И., Шишеня А. В., «Параллельная реализация трехмерной модели гидродинамики мелководных водоемов на супервычислительной системе», Альманах современной науки и образования, № 1 (68), 2013, 10 стр.

8. Шишеня А. В., Колгунова О. В. «Двумерная модель процессов переноса тепла и солей в мелководных водоёмах на примере Азовского моря с использованием нерегулярных сеток». Материалы 5-й Международной конференции по новым технологиям и приложениям современных физико-химических методов, Азов,

2009 г.

9. Шишеня А. В., Сухинов А. И. «Моделирование процессов переноса тепла и солёности в мелководных водоёмах на примере Азовского моря», Всероссийская конференция Техническая кибернетика, радиоэлектроника и системы управления 2008г., стр. 276-277.

10. Сухинов А. И., Чистяков А. Е., Шишеня А. В. «Изучение механизма образования зон анаэробного заражения в Азовском море с помощью трехмерной модели гидродинамики мелководных водоемов», Всероссийская конференция Техническая кибернетика, радиоэлекгроника и системы управления 2012, 1 стр.

11. Шишеня А. В. Сухинов А. И. «Применение ПТМ к численному решению эллиптических уравнений», «Неделя науки - 2010» Материалы научных работ, Таганрог, 2010.

12. Шишеня А. В. «Моделирование тепломассопереноса в мелководном водоеме с учетом движения свободной поверхности», Материалы девятнадцатой Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых, 2013 г, стр. 429-430.

13. A.I. Sukhinov, A.V. Shishenya "Increasing Efficiency of Alternating Triangular Method Based on Improved Spectral Estimates", Mathematical Models and Computer Simulations, 2013, Vol. 5, No. 3, pp. 257-265. О Pleiades Publishing, Ltd., 2013.

Личный вклад соискателя в работах, опубликованных в соавторстве: [1] -получена улучшенная оценка нижней границы спектра для ПТМ, выполнены численные эксперименты, [3] - выполнено усовершенствование модифицированного ПТМ для эллиптического уравнения с переменными коэффициентами и линейной функцией источника, [4] - разработка метода моделирования свободной поверхности, визуализация результатов, [5] - разработка метода оценки скорости сходимости, [6] - решена задача оптимизации погрешности решения уравнения диффузии на основе схем с весами, [7] -реализация параллельного алгоритма моделирования гидродинамики, [8] - построение двумерной модели транспорта тепла и солей в мелководном водоеме, [9] - построение трехмерной модели транспорта тепла и солей в мелководном водоеме, [10] -моделирование гидродинамики Азовского моря, [11] - разработка методов улучшения сходимости ПТМ для уравнений с эллиптическим оператором, [13] - английский перевод

статьи [3].

Соискатель

А. В. Шишеня

Формат 60 х 84116. Бумага офсетная. Усл. П. л. -1,00 Уч. -изд. - 1,25 Заказ №/У<РГираж 100 эю.

Типография Южного федерального университета ГСП 17А, Таганрог, 28, Энгельса, 1

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО

ОБРАЗОВАНИЯ ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

04201365244

На правах рукописи

ШИШЕНЯ АЛЕКСАНДР ВЛАДИМИРОВИЧ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЕТОЧНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ЗАДАЧ ГИДРОФИЗИКИ МЕЛКОВОДНЫХ ВОДОЕМОВ

Специальность 05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и

комплексы программ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических

наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

профессор А. И. Сухинов

Таганрог 2013

Содержание

Введение 5

Глава 1. Построение и исследование непрерывной модели гидродинамики и тепломассопереноса с учетом движения свободной поверхности . 26

1.1 Постановка задачи 26

1.2 Уравнения непрерывной модели 27

1.3 Постановка граничных условий . 29

1.4 Выполнение закона сохранения механической энергии 37

1.5 Модель турбулентности 40

1.6 Расщепление по физическим процессам 42

1.7 Консервативность расщепленной непрерывной модели 47

1.8 Упрощение модели гидродинамики 48

1.9 Выводы 55 Глава 2. Построение и исследование дискретной модели гидродинамики и тепломассопереноса с учетом движения свободной поверхности 56

2.1 Пространственная аппроксимация уравнений 56

2.2 Аппроксимация уравнений модели в граничных узлах . 74

2.3 Метод нахождения функции заполненности 78

2.4 Консервативность дискретной модели . 81

2.5 Исследование устойчивости дискретной модели тепломассопереноса 87

2.5.1 Принцип максимума 87

2.5.2Исследование устойчивости модели гидродинамики 87

2.6 Исследование порядка погрешности аппроксимации дискретной модели . 93

2.7 Выбор оптимальных параметров при решении нестационарного уравнения диффузии на основе схем с весами .100

2.8 Выводы 110

Глава 3. Методы решения сеточных уравнений 111

3.1 Улучшение оценки yi попеременно-треугольного метода с априорной информацией 111

3.2 Численные эксперименты по сходимости попеременно-

треугольного метода с улучшенной оценкой . 114

3.3 Модифицированный попеременно-треугольный метод решения разностной задачи Дирихле для уравнения эллиптического типа с линейной функцией источника 116

3.4 Численные эксперименты по сходимости модифицированного попеременно-треугольного метода для уравнения Пуассона с линейной функцией источника 124

3.5 Метод минимальных поправок для решения сеточных уравнений с не самосопряженным оператором . 125

3.6 Адаптивная оптимизация попеременно-треугольного итерационного метода с несамосопряженным оператором . 133

3.7 Выводы 135 Глава 4. Программная реализация алгоритма расчета математической модели тепломассопереноса с учетом движения свободной поверхности и результаты численных экспериментов 137

4.1 Описание программного комплекса для расчета тепломассопереноса и движения свободной иоьерхносш в мелководных водоемах 137

4.1.1 Общие сведения о программном комплексе 137

4.1.2Функциональные возможности программного комплекса 138

4.1.3 Алгоритм расчета модели и его программная реализация 139

4.1.4 Архитектура программного комплекса 140

4.1.5 Используемые технические средства . 142

4.2 Описание работы с программным комплексом . 143

4.2.1 Формат входных данных 143

4.2.2Формат выходных данных 146

4.2.3 Верификация модели на тестовых задачах . 147

4.3 Выводы 156

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 157

Библиографический список 160

\

ч

Введение

В настоящее время основным подходом, который применяется для изучения сложных природных и техногенных систем, является сочетание математического моделирования и натурных экспериментов. Натурные эксперименты позволяют получить актуальную информацию об изучаемой системе с достаточной степенью точности, однако, недостатком такого подхода зачастую являются значительная трудоемкость и высокая стоимость таких измерений. Также в ходе натурного эксперимента невозможно измерить все параметры системы одновременно, а некоторые из них могут быть измерены лишь косвенно. При выполнении натурных измерений гидродинамических параметров Азовского моря это означает, что в реальности значения вектора скорости, величин давления, солености, температуры невозможно измерить одновременно в количестве точек, достаточном для построения достаточно подробной картины течений. На практике экспедиционные исследования Азовского моря могут занимать порядка недели. За это время может произойти изменение направления ветра и других погодных условий, которые оказывают влияние на гидрологический режим водоёма. Математическое моделирование является гибким инструментом изучения сложной системы. С помощью математического моделирования одновременно может быть получена полная информация о состоянии изучаемой системы, однако, для этого требуется некоторая исходная информация о системе и внешние условия, которые оказывают влияние в данный момент времени. Использование математического моделирования позволяет прогнозировать состояние изучаемой системы, а также строить альтернативные варианты развития системы в зависимости от изменения входных параметров. При моделирования Азовского моря входными данными модели выступает карта рельефа дна моря, информация о гидрологическом режиме рек. Внешними условиями, оказывающими влияние на систему, являются интенсивность осадков, сила и направление

ветра, а также другие погодные условия. Использование этих двух подходов - натурных экспериментов и математического моделирования - позволяет сочетать их преимущества и элиминировать недостатки. Входными параметрами для математической модели являются данные, полученные при проведении натурных измерений.

Актуальность темы исследования. В современном мире водные объекты стали важнейшими природными ресурсами. Водоемы подвергаются активному антропогенному воздействию: происходит строительство каналов, водозаборов, гидроэлектростанций, портов; производственные предприятия и заводы используют воду в качестве охлаждающей жидкости или как растворитель; происходит сброс сточных вод. Все это оказывает воздействие на гидрологические режимы, температуру, состав воды и, как следствие, подвергает изменениям экосистему водоема, поэтому охрана и мониторинг состояния водных объектов является необходимой составляющей их эксплуатации. Также водные объекты представляют опасность в случае возникновения чрезвычайных ситуаций, таких как попадание в водоемы и распространение опасных веществ, затопление прибрежных районов и т. д. Инструментом, позволяющим предсказывать возможные сценарии развития чрезвычайных ситуаций в водных системах является математическая модель гидрофизических процессов в водоеме. В то же время, в теории математического моделирования нелинейных задач гидрофизики остаются открытыми вопросы разработки математических моделей гидродинамики с уточненными граничными условиями на свободной поверхности, а также построения и исследования быстросходящихся методов решения сеточных уравнений типа диффузии-конвекции-реакции, допускающих эффективную реализацию на системах с массовым параллелизмом.

Обзор литературы по моделированию гидродинамики, тепломассопереноса и свободной поверхности, а также по сеточным методам.

Работы по моделированию Азовского моря предпринимаются уже достаточно давно. Пионерской в этой области принято считать работы И. И. Воровича, Ю. А. Жданова, А. Б. Горстко, Ю. А. Домбровского, Ф. А. Суркова. В Институте вычислительной математики РАН исследования в области математического моделирования гидрофизики морей и океанов, а также разработка методов усвоения данных натурных экспериментов проводилась под руководством Г. И. Марчука [1-4]. В настоящее время эти исследования продолжаются А. С. Саркисяном, В. Б. Залесным и др. [5-15]. Также в Институте вычислительной математики РАН под руководством В. П. Дымникова разработаны математические модели климатических изменений [16,17]. В ТРТУ-ЮФУ разработка моделей гидродинамики, гидробиологии, транспорта растворенных веществ и взвешенных частиц проводится под руководством А. И. Сухинова. Также в ЮНЦ РАН построен ряд моделей и выполнены численные эксперименты по моделированию гидродинамики со свободной поверхностью, а также транспорта наносов под руководством А. Л. Чикина. Работы по моделированию процессов гидро- и аэродинамики на основе квазигидродинамической системы уравнений с применением суперкомпьютерных технологий проводятся в Институте прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН Б. Н. Четверушкиным, а также В. Ф. Тишкиным, Е. В. Шильниковым и др. [18-31]

Существует несколько подходов к моделированию процессов гидродинамики [31-35]. Одним из наиболее распространенных методов описания динамики движения жидкости является использование системы гидродинамики на основе уравнений Навье-Стокса [36-40]. Несмотря на большое количество работ в области моделирования гидродинамики на основе уравнений Навье-Стокса, до сих пор существует ряд нерешенных проблем. Открытым остается вопрос о способе описания свободной поверхности при численном моделировании гидродинамики со свободной поверхностью. В настоящее время наиболее распространенным является

VOF-метод, который вытеснил достаточно популярный в прошлом МАС-метод. Идея VOF-метода заключается в том, чтобы описывать расчетную область с помощью индикаторной функции множества. При этом для расчета индикаторной функции используется уравнение конвекции. Дискретизация уравнений такого типа при их численном решении приводит к возникновению сеточной вязкости и, как следствие, потере четкости границы раздела двух сред. В работах последних лет предлагается множество вариантов решения данной проблемы. В статье Suho Shin и Woo II Lee [41] для расчета заполненности ячеек расчетной сетки на основе уравнения конвекции применяется донорно-акцепторный механизм, который фактически представляет собой способ расчета потока жидкости через грани ячейки. В работах J. Lopez, J. Hernandez, P. Gomez, F. Faura [42], Yang Wei, Li Shu-hong, Wu Yu-lin [43], G. D. Weymouth, Dick K.-P. Yue [44] рассматривается метод решения уравнения конвекции для функции заполненности при расчете гидродинамики со свободной поверхностью, основанный на восстановлении свободной поверхности сплайнами или ломаными и более точном расчете потоков через грани ячеек расчетной сетки. В статье Chunwu Wang, Huazhong Tang, Tiegang Liu [45] рассматривается течение двух не смешивающихся жидкостей. Функции скорости и давления терпят разрыв первого рода на границе раздела двух сред. Для более точного расчета искомых функций используется метод фиктивных узлов. Идея метода заключается в том, чтобы рассчитывать поля давления и скорости каждой жидкости для всей расчетной области, а затем использовать только найденные значения в зависимости от типа жидкости в каждой точке.

Трудности, возникающие при численным моделировании мелководных водоемов связаны со значительной разницей масштабов по вертикальному и горизонтальному направлениям, что приводит к возникновению плохо обусловленой СЛАУ для вычисления сеточной

функции давления. В работах А. JI. Чикина [46-48] выполняется декомпозиция области водоема на мелководье с верхней частью глубоководного слоя и на глубоководную область. Движение жидкости в первой подобласти описывается уравнениями мелкой воды, а во второй используется гидростатическое приближение. Другой подход применяется в работах А. И. Сухинова и А. Е. Чистякова [49,50]. Для всей расчетной области используется полная трехмерная система уравнений Навье-Стокса, а при вычислении сеточной функции давления используется начальное приближение, вычисленное на основе двумерной модели.

Во всех цитированных работах применяются дополнительные численные методы, направленные на сохранение четкости интерфейса раздела двух сред. Однако, зачастую такие построения являются искусственными и требуют дополнительных временных затрат.

При аппроксимации уравнений гидродинамики получаются СЛАУ с разреженными матрицами, называемые сеточными уравнениями. Одними из наиболее эффективных и распространенных методов решения уравнений такого типа являются итерационные методы. В последнее время многие работы по итерационным методам решения сеточных уравнений сосредоточены на построении алгоритма расчета оптимального параметра предобуславливателя. Так, в работе А. Н. Коновалова [511 предложен способ нахождения оптимального итерационного параметра попеременно-треугольного итерационного метода для уравнений с самосопряженным оператором. В статье А. И. Сухинова, А. Е. Чистякова [52] этот подход был расширен для несамосопряженных операторов. В работе А. Н. Коновалова [53] рассматривается общий подход к нахождению параметра предобуславливателя при некоторых ограничениях на его структуру. В цикле статей под авторством Л. А. Крукиера, Б. Л. Крукиера, Т. С. Муратовой, Г. В. Субботиной, Т. Н. Пичугиной, О. А. Мартыноваой [54-58] предлагается способ вычисления параметра предобуславливателя попеременно-

треугольного итерационного метода для систем уравнений с сильно несимметричными операторами.

Таким образом, на сегодняшний день созданы непрерывные и дискретные математические модели гидрофизики, которые учитывают движение свободной поверхности и эффективные итерационные методы решения сеточных уравнений, возникающих при аппроксимации этих моделей. Однако, существующие модели мелководных водоемов, учитывающие движение свободной поверхности, требуют численного решения уравнения переноса, что приводит к серьезным трудностям, либо предполагает использование каких-либо искусственных приемов расчета формы свободной поверхности.

Цели и задачи диссертационной работы.

Целью диссертационной работы является построение и исследование трехмерной математической модели гидрофизики мелководных водоёмов с уточненными граничными условиями на свободной поверхности, развитие численных методов решения сеточных уравнений задач гидрофизики мелководных водоемов, создание комплекса программ, реализующих эти модели и методы, а также проведение численных экспериментов. Модели должны учитывать переменную плотность среды, процессы переноса тепла и солей, а также более точно учитывать движение свободной поверхности.

Для достижения поставленной цели решены следующие задачи: В области математического моделирования:

1. Построить усовершенствованную непрерывную модель гидрофизики мелководных водоемов, описывающую гидродинамику жидкости с переменной плотностью, со свободной поверхностью, а также перенос тепла и солей. Необходимо обеспечить учет таких факторов, как влияние силы Кориолиса и испарение жидкости с поверхности.

2. Разработать более точный по сравнению с известными, метод моделирования свободной поверхности;

3. Построить расщепленную непрерывную модель гидрофизики, наследующую основные свойства усовершенствованной непрерывной модели;

4. Выполнить исследование построенных непрерывных моделей на соответствие реальному физическому процессу.

В области численных методов:

5. Построить дискретную модель гидрофизики мелководных водоемов, описывающую гидродинамику жидкости с переменной плотностью, со свободной поверхностью, а также перенос тепла и солей;

6. Выполнено исследование построенной дискретной модели:

а. Исследовать консервативность дискретной модели;

б. Исследовать устойчивость дискретной модели, получить условия, при которой дискретная модель является устойчивой;

в. Исследовать точность, с которой дискретная модель аппроксимирует непрерывную модель гидродинамики;

7. Разработать и оптимизировать численные методы решения сеточных задач типа диффузии и диффузии-конвекции-реакции:

а. Построить и исследовать итерационный метод решения сеточных задач эллиптического типа с сильно меняющимися коэффициентами и линейной функцией источника;

б. Построить итерационный метод для решения сеточных задач диффузии-конвекции;

в. Выполнить оптимизацию весового коэффициента двухслойной разностной схемы с весами для уравнения диффузии с целью уменьшения погрешности аппроксимации при том же шаге сетки по времени;

В области создания комплексов программ:

8. Построить комплекс программ для моделирования задач гидрофизики мелководных водоемов, включая процессы гидродинамики и переноса

тепла и солей, отличающийся от известных использованием усовершенствованных модели гидродинамики с уточненными граничными условиями на свободной поверхности.

Методы и средства проведения исследования. Математическая модель гидрофизики мелководного водоема, описывающая гидродинамику со свободной поверхностью и переменной плотностью среды и процессы тепломассопереноса, построена на основе уравнений Навье-Стокса, уравнения неразрывности, уравнения состояния, у