автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование гидродинамических процессов, транспорта взвесей и наносов в прибрежных системах

/

На правах рукописи

Чистяков Александр Евгеньевич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ, ТРАНСПОРТА ВЗВЕСЕЙ И НАНОСОВ-В ПРИБРЕЖНЫХ СИСТЕМАХ

Специальность: 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Таганрог-2014

005560188

005560188

Работа выполнена в Южном федеральном университете (ЮФУ). Научный консультант:

Сухинов Александр Иванович, доктор физико-математических наук, профессор, Южный федеральный университет, кафедра математического обеспечения суперкомпьютеров, заведующий кафедрой.

Официальные оппоненты:

Гущин Валентин Анатольевич, доктор физико-математических наук, профессор, член-корреспондент РАН, Институт автоматизации проектирования РАН, заместитель директора по научной работе.

Шхануков-Лафишев Мухамед Хабалович, доктор физико-математических наук, профессор, Кабардино-Балкарский государственный университет, кафедра вычислительной математики, заведующий кафедрой.

Якобовский Михаил Владимирович, доктор физико-математических наук, профессор, Институт прикладной математики РАН им. М.В. Келдыша, сектор «Программное обеспечение вычислительных систем и сетей», заведующей сектором.

Ведущая организация: Московский физико-технический институт

Защита состоится_201_ г. в_часов на заседании

диссертационного совета Д 212.208.22 ЮФУ по адресу: 347900, г. Таганрог, Некрасовский, пер., д.44.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета.

Автореферат разослан

2014 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Целых Александр Николаевич

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Мелководные водоемы представляют собой сложные многопараметрические системы; процессы, протекающие в них, являются пространственно-трехмерными, нестационарными и имеют существенно нелинейный характер. В России работы по математическому моделированию морских систем имеют более чем 40-летнюю историю и проводятся под научным руководством Г.И. Марчука, A.C. Саркисяна, В.П. Дымникова, P.A. Ибраева, В.Б. Залесного, В.М. Белолипецкого, О.М. Белоцерковского, В.А. Гущина, В.К. Дебольского, Р.В. Озмидова и др. Ряд интересных результатов получен применительно к мелководным водоемам в работах Л.А. Кру-киера, А.Л. Чикина и др. За рубежом математическим моделированием и исследованием прибрежных систем занимаются десятки крупных научных школ, сосредоточенных в университетах США (Arizona University, University of Maryland, University of California at San-Diego, University of Texas at Austin, University of Michigan, University of North Caroline и др.), Германии (University of Hamburg, Aachen University и др.), Франции (University Le Bourge, Marseille University, Lion University, 1FREMER и др.), Испании (University of Malaga), Нидерландов (Delft University) и т.д. Математические модели прибрежных и мелководных систем, рассматриваемые в работах зарубежных авторов предполагают упрощение при тех или иных предположениях уравнений Навье - Стокса (движения) и уравнения неразрывности и уже затем - математическое моделирование гидрофизических процессов. В то же самое время проблемам математического моделирования микротурбулентного обмена, в частности, в вертикальном направлении, образования застойных зон, зон кислородного голодания, а также развитию эффективных методов решения сеточных уравнений с несамосопряженными операторами, полученных в результате дискретизации уравнений диффузии-конвекции-реакции, уделяется явно недостаточное внимание. В прибрежных системах Юга России в последнее десятилетие увеличилась частота наступления неблагоприятных и катастрофических явлений, к числу которых следуют отнести возникновение обширных зон гипоксии и сероводородного заражения, впервые найденных в восточной части Азовского моря в 2001 г. в ходе экспедиционных работ под руководством Сухинова А.И., катастрофический шторм в ноябре 2006 г., штормовые нагоны в 2007 г., приведшие к человеческим жертвам и материальным потерям.

Единичными являются работы, посвященные параллельной численной реализации задач данного класса. В то же самое время, при наступлении условий для развития неблагоприятных и катастрофических явлений в прибрежных системах необходимо осуществлять прогноз развития подобных явлений и принятие решений в течение десятков минут - единиц часов, что, в свою очередь, требует моделирования гидрофизических процессов на супервычислительных системах в ускоренном масштабе времени. Следует отметить вклад в области разработки методов решения сеточных уравнений и в

теорк^о параллельных вычислений внесенной отечественными учеными A.A. Самарским, А.Н. Коноваловым, Б.Н. Четверушкиным, В.Ф. Тишкиным, М.В. Якобовский и др.

В последнее десятилетие, благодаря внедрению в практику современных методов экспериментального исследования и гидрофизических зондов типа Acoustic Doppler Current Profiler, электронных датчиков-профилографов растворенного кислорода, солености, температуры, мутности, появились надежные и высокоточные базы океанографических данных для мелководных и прибрежных систем, подобных Азовскому морю и Таганрогскому заливу, в частности, накопленные с 2001г. по настоящее время коллективом ЮФУ. Данные экспедиционных исследований показали, что в прибрежных системах течения имеют сложную пространственно-трехмерную структуру; коэффициент микротурбулентной диффузии в вертикальном направлении, определенный на основе мгновенных пульсаций вектора скорости водного потока, имеет сложный профиль, и его величина может изменяться по глубине во многие разы. Сказанное приводит к необходимости решения фундаментальных проблем, связанных с построением прецизионных пространственно-трехмерных моделей и обоснованием их параметризации.

Целью диссертационной работы является разработка простых и надежных методов решения задач гидрофизики, разработка пространственно-трехмерных математических моделей гидрофизических процессов в мелководных водоемах, подобных Азовскому морю, а также разработка быстрос-ходящихся алгоритмов решения сеточных задач диффузии-конвекции-реакции, сохраняющих эффективность в широком диапазоне изменения количества используемых процессоров.

В соответствии с поставленной целью решены следующие задачи:

В области математического моделирования:

1. Разработать непрерывные и дискретные математические модели гидродинамических процессов в мелководных водоемах применительно к мелководным водоемам на подробных расчетных сетках, учитывающих степень «заполненности» расчетных ячеек. Модели должны включать в себя уравнения движения по трем пространственным направлениям и учитывать такие физические факторы, как: сгонно-нагонные явления, сложная геометрия дна и береговой линии, ветровые течения и трение о дно, сила Кориолиса, турбулентный обмен, испарение, стоки рек.

2. Построить пространственно-двумерную математическую модель перемещения наносов в прибрежных системах, учитывающую следующие физические параметры и процессы: пористость донного материала, критическое значение тангенциального напряжения, при котором начинается транспорт донных материалов, динамически изменяемую геометрию донной поверхности за счет движения водной среды, турбулентный обмен.

В области численных методов:

3. Разработать подход для построения разностных схем, учитывающих степень заполненности ячеек на примере задачи диффузии-конвекции-

реакции и выполнит исследование устойчивости, консервативности и порядка погрешности аппроксимации предложенных разностных схем.

4. Построить схемы повышенного (четвертого) порядка точности для операторов конвективного и диффузионного переносов, учитывающие заполненность ячеек.

5. Построить и исследовать вариант модифицированного попеременно-треугольного итерационного метода минимальных поправок для решения сеточных уравнений с несамосопряженным оператором, и выполнить оценки скорости сходимости.

6. Разработать численный метод восстановления рельефа дна на основе гидрографической информации.

В области разработки программных комплексов:

7. Разработать комплекс программ, для численного решения, ввода и визуализации сеточных задач гидрофизики мелководных водоемов: гидродинамики, транспорта наносов на основе построенных дискретных моделей и адаптивного ПТМ, в том числе для супервычислительной систем!,I с распределенной памятью.

Научная новизна заключается в разработке простых, надежных и технологичных методов решения задач гидрофизики, на сетках учитывающих заполненности ячеек; в разработке пространственно-трехмерных математических моделей гидрофизических процессов в мелководных водоемах, учитывающих уравнения движения по трем пространственным направлениям и динамическое перестроение геометрии расчетной области; а также в разработке эффективных алгоритмов вариационного типа решения сеточных уравнений с несамосопряженным оператором.

Материалы и методы исследования. Описание гидродинамических процессов, происходящих в мелководных акваториях, выполнено на основе системы уравнений состоящей из трех уравнений движения (системы уравнений Навье-Стокса) и уравнения неразрывности. Для решения поставленных задач использовался метод расщепления по физическим процессам. Аппроксимация задач гидродинамики по временному координатному направлению выполнена на основе метода поправки к давлению, при этом использованы схемы с весами. Дискретизация задачи по пространственным координатным направлениям производилась при помощи метода баланса (интегро-интерполяционного метода), при этом учитывалась степень заполненности ячеек. Для аппроксимации модели транспорта взвеси применены аддитивные двумерно - одномерные разностные схемы расщепления по пространственным координатным направлениям. На основе схем повышенного (четвертого) порядка точности реализован математический алгоритм, предназначенный для восстановления рельефа дна акватории. Оценка погрешности аппроксимации пространственно-трехмерного уравнения диффузии относительно шага по временному координатному направления получена путем разложения исходной задачи по базису из собственных векторов. Для проверки порядка погрешности

аппроксимации ва-внутренних узлах использовано представление функции в виде рядов Тейлора. Расчет погрешности аппроксимации граничных узлов был выполнен путем расширения области фиксированными узлами. Устойчивость построенных разностных схем исследована на основе сеточного принципа максимума. Сеточные уравнения решены адаптивным модифицированным попеременно-треугольным итерационным методом вариационного типа. Выполнены параллельные реализации математической трехмерной модели гидродинамических процессов на основе метода декомпозиции по одному и двум пространственным координатным направлениям.

Достоверность научных положений и выводов обоснована использованием фундаментальных принципов математического моделирования механики сплошной среды, численного анализа построенных математических моделей, корректностью применения численных методов, методов решения сеточных уравнений, теории разностных схем, а также корректностью использования апробированных специализированных программных сред.

Представленные в диссертации результаты имеют математическое обоснование: определен порядок погрешности аппроксимации, устойчивости, и проверена консервативность для построенных разностных схем. Точность математических расчетов достигается за счет использования схем второго порядка погрешности, аппроксимации по пространственным направлениям, применения подробных расчетных сеток, учитывающих степень заполненности ячеек и использования реальных физических параметров гидродинамических процессов, происходящих в мелководных водоемах, полученных на основе компьютерной обработки. При решении задач гидродинамики доказано, что используемые схемы удовлетворяют основным балансовым соотношениям.

Результаты численных экспериментов, полученные на основе разработанного комплекса программ, подтверждается многочисленными натурными экспериментами, проведенными на высокоточном оборудовании, а также сравнением полученных решений при помощи других программных комплексов, таких как «Mars3d» и Princeton Océan Models (РОМ).

Научная и практическая значимость работы.

Научная значимость работы состоит в создании и исследовании комплекса взаимосвязанных моделей, позволяющих более точно по сравнению с известными моделями моделировать процессы транспорта взвешенного и донного вещества, динамики наносов, распределении концентраций биогенных, загрязняющих веществ в мелководных водоемах, подобных Азовскому морю, со сложными пространственными структурами течений.

Разработанные численные алгоритмы и реализующий их комплекс программ имеют практическую значимость: позволяют проверить ряд гидрологических гипотез о ключевых механизмах транспорта взвешенного и донного вещества, динамики наносов, распределении концентраций биогенных, загрязняющих веществ.

Разработанные модели позволяют надеж: обнаруживать зоны с пониженным водообменом (коэффициентом микротурбулентного обмена) по вертикальному направлению, характеризующиеся дефицитом или полным отсутствием кислорода, и их распределение в толще воды и по акватории водоема. Построенные сеточные модели численно реализованы на основе разработанных быстросходящихся параллельных итерационных алгоритмов и иметь высокие значения коэффициента эффективности для систем с распределенной памятью, содержащих многие тысячи - сотни тысяч процессоров (ядер). Полученные результаты, а также разработанные методы могут быть использованы специалистами в области численного моделирования механики сплошных сред, морской гидротехнике, при строительстве сложных морских гидротехнических конструкций, а также при решении различных задач прикладной математики и математической физики.

Апробация работы. Результаты, полученные в рамках диссертационной работы, докладывались и обсуждались на следующих конференциях и научных семинарах: VI Всероссийской научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Молодежь и современные информационные технологии», г. Томск, 26-28 февраля 2008г; Международной научно-технической конференции (8-12 сентября, 2008, Таганрог, Россия), ТГПИ, Таганрог; IX Всероссийская научная конференция «Техническая кибернетика, радиоэлектроника и системы управления», ТТИ ЮФУ. Таганрог 2009г; Научный семинар кафедры высшей математики ТТИ ЮФУ (2 февраля, 2009, Таганрог, Россия); Научный семинар кафедры высшей математики ТТИ ЮФУ (12 марта, 2010, Таганрог, Россия); XII Международной научно-техническая конференция «МСОИ-2011», г. Москва; IX Всероссийская научная конференция молодых ученых, аспирантов и студентов «Информационные технологии, системный анализ и управление» (ИТСАиУ - 2011), г. Геленджик, 3 ноября 2011 г.; Международной научной конференции «Параллельные вычислительные технологии (ПаВТ2012)», Новосибирск, 26-30 марта 2012 г; Всероссийская научная конференция «Современные проблемы математического моделирования, супервычислений и информационных технологий» (СПМиИТ), г. Таганрог, 25-29 июня 2012 г.; XI Всероссийская научная конференция молодых ученых, аспирантов и студентов «Техническая кибернетика, радиоэлектроника и системы управления» г. Таганрог, 24-26 октября 2012 г; Международной науч.-практ. конференции «Преобразование Таганрога -ключ к возрождению России», 29-30 января 2013 г; Международной научной конференции «Параллельные вычислительные технологии (ПаВТ2013)», г. Челябинск, 1-5 апреля 2013 г. Международной научной конференции «Параллельные вычислительные технологии (ПаВТ2014)», Ростов-на-Дону, 1-3 апреля 2014 г, Школе-конференции молодых ученых с международным участием «X Владикавказская молодежная математическая школа», Владикавказ - Цей, 21-27 июля 2014 г.

Краткое содержание и структура работы. Работа состоит из введения, семи глав, заключения, списка литературы, содержащего 203 наимено-

вание. Работа содержит 191 рисунок, 12 таблиц. Полный объем диссертации составляет 416 страниц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении сформулирована цель исследования; обоснованы актуальность, научная новизна, практическая ценность; сформулированы основные положения диссертационной работы, выносимые на защиту; дан краткий обзор результатов других авторов, относящихся к теме диссертации; указываются новизна и практическая значимость проведенных исследований; приводится краткое изложение работы; обосновано соответствие результатов диссертации паспорту специальности 05.13.18.

Первая глава диссертационного исследования посвящена описанию предложенной методики построения разностных схем, учитывающих степень заполненности ячеек на примере задачи диффузии - конвекции - реакции.

В п. 1.1. была поставлена задача транспорта веществ может быть представлена уравнением диффузии-конвекции-реакции:

с;+ис>те;(!)

с граничными условиями:

с'и{х,уъ1) = авс + ря, (2)

здесьи,у - составляющие вектора скорости,/ — функция, описывающая интенсивность и распределение источников, /и - коэффициент диффузионного (турбулентного) обмена.

Для программной реализации математической модели транспорта веществ вводится равномерная расчетная сетка:

где г - шаг по временному направлению, кх, А — шаги по пространству, Ы,, Мх, Л^. - границы по времени и по пространству.

Для аппроксимации уравнения (1) по временной переменной выполняется на основе схем с весами

л г '

~ + ис\ + УСУ = )х +(/<)+/, (3)

где с =<тс + (1 — сг)с, а е [0,1] - вес схемы.

Дискретные аналоги операторов конвективного и диффузионного переноса в случае частичной заполненности ячеек могут быть записаны в следующем виде:

|/ч , ч I ахси+Р* -£-'

где <?„,<?,,<?, - коэффициенты, описывающие степень заполненности контрольных областей. Значение г/() характеризует степень заполненности области £>0: хе(х^12,хМ12), уе(ун/1,у]+{/2), <?, - £>,: ле (х„х,+|/2),

Также была получена каноническая форма данной дискретной модели и решения сеточных уравнений для задачи диффузии-конвекции-реакции. Выполнена программная реализация поставленной задачи, а также были получены результаты численных расчетов по моделированию транспорта веществ. Представлены результаты работы построенного программного комплекса (рис 1).

Рис. 1. Распространения веществ от точечного источника в прямоугольной области, содержащей тонкую непроницаемую пластину.

В п. 1.2. приведено описание построенного комплекса программ, предназначенного для моделирования волновых процессов. Для решения поставленной задачи был выбран метод сеток. Дискретная модель построена при помощи интегро-интерполяционного метода, при этом осуществлялся учет заполненности расчетных ячеек. На основе построенных алгоритмов был построен комплекс программ, предназначенный для моделирования распространения волновых колебаний, происходящих в областях имеющих сложную геометрию границы.

В п.1.3. рассмотрена математическая модель системы хищник-жертва. Для системы дифференциальных уравнений, описывающих данную модель, составлены дискретные аналоги, описан разработанный комплекс программ.

Вторая глава посвящена разработке двух- и трехмерных математических моделей аэрогидродинамических процессов.

■-3 п. 2.1. на основе трехмерной гидростатической модели построена двумерная модель гидродинамики, учитывающая рельеф дна и функцию возвышения уровня.

Исходными уравнениями гидродинамики являются:

- система уравнений движения (Навье-Стокса):

1 ' ' '

у;+ш'х++т>;=—р'у+ (//у; )х + (/¿у; + (?/у_:),, (4)

Р

- уравнение неразрывности:

и'х+у'у+\у'г= 0, (5)

- уравнение гидростатики:

Р = Р8{г + ^). (6)

Система уравнений движения водной среды (4)-(6) рассматривается при следующих граничных условиях:

- на донной поверхности задается условие трения и непроницаемости: РЛ< = Тхь(0, РЛ\ = К = 0,

- на поверхности жидкости задаются ветровые напряжения и подъем

уровня:

- на боковых поверхностях задается условие свободного выхода: »:=0, V,', = 0, £ =0,

здесь К = {м,у,н>} - вектор скорости движения водной среды, р, т] - коэффициенты турбулентного обмена по горизонтали и вертикальному направлениям соответственно, £ - функция подъема уровня, Р - давление, £ - ускорение свободного падения, р — плотность водной среды, г^.г,, - составляющие касательного тангенциальное напряжения на дне водоема.

После преобразований, система уравнений движения водной среды (4)-(6) запишется в следующем виде:

((я+ф)' + (я+<?)««;+(//+<?>< = = ~8{н + + ((// + ^у + ((я++

■' > р р

(7)

е+((н+е)и)'х+((н+{)у)'у=о,

здесь Н - глубина водоема.

Разработан комплегл программ, предназначенный для моделирования распространения волновых процессов в мелководных водоемах. Проведен численный эксперимент по моделированию распространения волновых колебаний, при этом профиль волны приобретает параболическую форму за счет изменения скорости распространения волновых процессов, зависящей от глубины водоема (рельефа дна). На рис. 2 показана динамика изменения функции возвышения уровня, зависящая от рельефа дна.

Рис. 2 Функция возвышения уровня, зависящая от рельефа дна.

В п. 2.2. рассматривается задача волновой гидродинамики со свободной поверхностью. Исходными уравнениями движения водной среды являются: система уравнение Навье-Стокса, уравнение неразрывности. Для решения поставленных задач использовался метод расщепления по физическим процессам. Аппроксимация задач гидродинамики по временному координатному направлению выполнена на основе метода поправки к давлению, при этом использованы схемы с весами. Дискретизация задачи по пространственным координатным направлениям производилась при помощи метода баланса, при этом учитывалась степень заполненности ячеек.

Ячейки представлены прямоугольниками, которые могут быть заполненными, пустыми или частично заполненными. Центры ячеек и расчетные узлы сетки разнесены на /?г/2 и /г,,/2 по координатам направлениям х и у

соответственно. Если среднее давление в узлах, которые относятся к вершинам рассматриваемой ячейки, больше давления столба жидкости внутри ячейки, то ячейка считается заполненной полностью. В общем случае степень заполненность ячейки (о, , е[0,1]) вычисляется из формулы:

функция Хевисайда.

(8)

где Р - давление, Н (х) = |^

х < 0

Результаты численных экспериментов расчета движения водной среды в прибрежной акватории, на основе разработанного программного комплек-

са, представлены кч рис. 3, где изображены профили волны, накатывающейся на берег

Рис. 3 Динамика функции возвышения уровня жидкости в случае ступенчатой формы дна (вверху) и гладкого дна (внизу).

На изображениях слева квадратом отмечен участок, увеличение которого приведено справа.

Из рис. 3 видно, что на распределение скоростей течений, в случае отсутствия учета частичной «заполненности» ячеек, имеет неточности, связанные со ступенчатым представлением границы области на прямоугольной сетке. В тоже время алгоритм расчета, учитывающий частичную «заполненность» ячеек, лишен этого недостатка. Таким образом, удалось добиться повышения реальной точности решения, в случае расчета движения водной среды в области со сложной геометрией границы исследуемой области, за счет улучшения аппроксимации границы.

В п. 2.3. описаны разработанные непрерывные и дискретные математические модели гидродинамических процессов в прибрежных системам и мелководных водоемах, таких как Азовское море. Модели включают в себя уравнения движения по трем направлениям и учитывают такие физические факторы, как: сгонно-нагонные явления, сложная геометрия дна и береговой линии, ветровые напряжения и трение о дно, сила Кориолиса, турбулентный обмен, испарение, стоки рек.

Исходными уравнениями пространственно-трехмерной гидродинамики мелководных водоемов являются:

— система уравнений движения (Навье - Стокса): 1 ,

и, + НИ, + ум,, + м>иг =--рх +

V,' + т'х + + мгу': = +

+ +КХ -2Пивтд, (9)

1 ,

+ + УИ» + »Ш^ =--рг +

Г ' I

— уравнение неразрывности:

Р, + (Ри)х + (Ру)у + ~ 0' (Ю)

где V = {ы.у.м'} - компоненты вектора скорости движения водной среды, р -превышение давления над гидростатическим давлением 'невозмущенной жидкости, р - плотность, П - угловая скорость вращения земли, 8 - угол между вектором угловой скорости и вертикалью, - горизонтальная и вертикальная составляющие коэффициента турбулентного обмена.

Система уравнений (9) - (10) рассматривается при следующих граничных условиях:

— на входе (устье рек) задаются водные потоки: и(х,у,г,1) = г/(0, у(х,у,г,0 = у(Г), р'в(х,у,г,Ц = 0,

— на боковой границе (берег и дно) задаются касательные тангенциальные напряжения:

Р*ри'„(х,У<2,0 = -т1(0, р^'п{х,у,2,1) = -ту(1\ (11)

= -гД/), Уп(х,у,г,1) = 0, р'п{х,у,2,1) = 0,

— на верхнее границе задаются ветровые напряжения и подъем уровня водной среды:

р^и'п{х,у,г,г) = -гх(Г), р^'„(х,у,2,() = -ту(0,

■ р„/т'я(х,у,2,0 = -тг(1), у,0 = -<и- р\ / рё, р'п(х,>',Г) = 0,

— на выходе задается следующее условие: р'„(х,у,2,0 = 0, у'п(х,у,г,0 = 0,

где со - интенсивность испарения водной среды, гх,г - составляющие касательного тангенциального напряжения (закон Ван-Дорна), р^— плотность взвеси. Также должны быть заданы начальные условия.

Составляющие тангенциального ветрового напряжения для свободной поверхности задается следующим образом:

= РаСр (И) N > ХУ = РаСр (Н) У у Щ , где и- — вектор скорости движения воздушной среды относительно воды,

. . Г0.0088, х<6,6 м / с

р — плотность воздушной среды, С (х) = < — безразмер-

р [0.0026, д:>6,6м/с ..

ный коэффициент.

Составляющие касательного тангенциального напряжения на /..-¡е е. учетом введенных обозначений запишутся:

тх=рСр(\й\)и\й\,ту = рСр{\й\)у\й\.

На основе проведенного анализа результатов расчетов турбулентности можно сделать вывод о том, что рассмотренная ниже аппроксимация наиболее адекватно описывает турбулентные процессы в мелководных водоемах, подобных Азовскому морю:

(12)

где и,У - пульсации горизонтальных компонент скорости осредненные по времени, Д - характерный шаг сетки, С5 - безразмерная эмпирическая константа, значение которой может быть определено на основе расчета процесса затухания однородной изотропной турбулентности.

Для численной реализации дискретной математической модели поставленной задачи гидродинамики вводится равномерная сетка:

ч={'" = "г,*, = ¡К, у,=Л>г*=Ч-;п==<Щ,

} = 0.лг,к = 0..^;ЛГ,г = 7',ЛГЛ =/„ЛГД =/1„Л'Л = '.-}>

где г - шаг по времени, Их, Иу А. - шаги по пространству, Nl - количество временных слоев, Т — верхняя граница по временной координате, Ых, Му N. - количество узлов по пространственным координатам, 1Х, /1. /. - границы по параллелепипеда в направлении осей Ох, Оу и Ог соответственно.

Для решения задачи гидродинамики использовался метод поправки к давлению. Вариант данного метода в случае переменной плотности примет

вид:

и-и

— +иих +уиу -(/лй'х)х + +(уК)г +2П^зтв-м>со5в), V ~~ V ' ' /

— IV ' ' '

-— + ий>'х + + = (мК)х + )у + +2Писозд, (13)

. р-р (рй)' {&) V (рй)'

Т Т X т

й-й 1 У-У 1 „, Й>-Н> 1

-=--Рх> -=--Ру> -=--Рг,

Г р т р * т р

где У = {и,у,м'} — компоненты вектора скорости, {¿,у,й>} ,{й,у,\1>} -

компоненты полей вектора скорости на «новом» и промежуточном

временных слоях соответственно, й" = (м + н)/2, р и р - распределение

плтгности водной среды на новом ч предыдущем временных слоях соответственно.

При построении дискретных математических моделей гидродинамики учитывалась «заполненность» контрольных ячеек, что позволяет повысить реальную точность решения в случае сложной геометрии исследуемой области за счет улучшения аппроксимации границы.

Через о! 1 к обозначена «заполненность» ячейки (г,у'Д). Степень «заполненности» ячейки определяется давлением столба жидкости внутри данной ячейки и рассчитывается по следующей формуле:

р л. р + р + р

4 Р&К

где Р = р + pgz - давление.

На рис. 4 приведена картина установившихся течений при восточном ветре, рассчитанная на основе разработанного программного комплекса. Цветом показана интенсивность течений.

Рис. 4 Поле вектора скорости движения водной среды при восточном ветре 5 м/с (баротропные течения).

В п. 2.4. приведены результаты сопоставления натурных экспериментов и верификация моделей гидродинамики. На рис 5 построены профили горизонтальных составляющих вектора скорости (тонкая гладкая линия - результаты численных экспериментов, толстая ломаная линия - натурных).

I и 0 5 1

Рис. 5 Профили горизонтальной компоненты вектора скорости (слева составляющая вектора скорости направленная с запада на восток, справа - с севера на юг).

В третьей главе описана разработанная двумерная математическая модель транспорта донного материала в прибрежных системах, учитывающая следующие физические параметры и процессы: пористость донного материала, критическое значение тангенциального напряжения, при котором начинается транспорт донных материалов, динамически изменяемую геометрию донной поверхности за счет движения водной среды, турбулентный обмен. Рассмотрены пространственно-двумерная и трехмерная модели гидродинамики в прибрежной зоне водоемов, модель транспорта взвешенных частиц. Приведены результаты численных экспериментов.

В п. 3.1. описана разработанная двумерная математическая модель транспорта донного материала в прибрежных системах.

Для описания динамики изменения рельефа дна в работе использованы уравнения, описывающие переформирование прибрежной зоны водоемов, где твердые частицы перемещаются в направлении движения жидкости.' Уравнения процесса транспорта наносов могут быть записаны в следующем виде:

,дН , 3& , 30, Зу

3/ дх ду (15)

\Amd\iy\

1/8-1 - I I

где Н- глубина водоема; е - пористость донных материалов; -в = {&,&„} . -расход наносов, ть - касательное тангенциальное напряжение на дне водоема; тЬс - критическое значение тангенциального напряжения, при котором начинается транспорт донных материалов, Щ = 2 ; у - горизонтальные ко-

ординатные направления; у/ - параметр Шильдса; ет - частота волны; А и р - безразмерные постоянные (А равна 19.5, р равна 3); й - характерные размеры частиц грунта.

Показано, что система уравнений (15) можно записать в виде:

/1 чдН

(I -£)-+

&

Ашс1

(ср, -Р^т

-gradH

= сИУ

Атс!

где к ■■

((А ~ Ра)ё^) Агпс1

- grad.ll

51П <р„

БШ <р0

-gradH

51П(Р0

-gradH

(16)

р-\

И

-gradH

Построена консервативная конечно-разностная схема, аппроксимирующая предложенную двумерную модель транспорта донного материала (16) со вторым порядком точности относительно шага по пространственной переменной и с первым порядком относительно шага по времени, и исследована устойчивость построенной разностной схемы. Описан построенный комплекс программ, предназначенный для расчета динамического изменения донной поверхности, областью применения которого является расчет поля скоростей водной среды и прогнозирование изменения рельефа дна мелководных водоемов.

На рис. 6-7 приведены результаты численных экспериментов моделирования динамики изменения рельефа дна. На рис. 6 представлен начальный рельеф дна (снизу) и положение свободной поверхности (сверху).

У. М

Рис. 6 Начальный рельеф дна и положение свободной поверхности. На рис. 7 показана геометрия дна и функция уровня через 80 минут.

У. М

Рис. 7 Ггометрия дна и функция возвышения уровня через 80 минут.

В п. 3.2. разработана непрерывная двумерная математическая модель движения многокомпонентной воздушной среды, которая учитывает такие факторы, как транспорт ЗВ и тепла; влияние растительного покрова; изменение коэффициента турбулентного обмена; переход воды из жидкого в газообразное состояние; осаждение вещества; изменение температуры за счет конденсации и испарения аэрозоли; турбулентное перемешивание многокомпонентной воздушной среды; теплообмен между жидкими и газообразными состояниями; наличие распределенных источников вещества и температуры; силу Архимеда; тангенциальное напряжение на границах раздела сред; переменную плотность, зависящую от концентрации загрязняющих веществ, температуры и давления; сжимаемость среды за счет: изменения температуры, испарения и конденсации жидкости, изменения давления, наличия источников. Отличительной особенностью разработанной математической модели движения воздушной среды является учет влияния растительного покрова и турбулентного перемешивания в уравнении неразрывности среды.

В п. 3.3. построена трехмерная математическая модель для расчета транспорта взвеси и переформирования донной поверхности применительно к мелководным акваториям, которая учитывает процессы диффузии-конвекции, движение водной среды, процессы подъема, переноса и осаждения донного материала, турбулентный обмен по вертикальному и горизонтальному направлениям. При разработке математической модели использованы аддитивные двумерно- одномерные разностные схемы для описания задач гидродинамики и диффузии-конвекции-реакции с учетом заполненности ячеек сетки, имеющие более высокую точность по сравнению с одномерными схемами расщепления. Построен проблемно-ориентированный комплекс программ, реализующий алгоритм математической модели транспорта взвеси и переформирования донной поверхности, выполнены численные эксперименты с учетом данных натурного эксперимента.

В п. 3.4. на основе разработанного комплекса транспорта взвеси и

переформирования донной поверхности бы.:, выполнен расчет ущерба рыбному хозяйству за период ремонтного черпания подходного судоходного канала к причалам Архангельского терминала.

Исходными данными являются: глубина водоема 10 м; объем загрузки 741 м3; скорость течения 0,2 м/с; скорость осаждения 2,042 мм/с; плотность грунта 1600 кг/м3; процентное содержание пылеватых частиц (с1 меньше 0,05 мм) в песчаных грунтах - 26,83%.

Параметры расчетной области: длина 3 км; ширина 1,4 км; шаг по горизонтальной пространственной координате 20 м; шаг по вертикальной пространственной координате 1 м; расчетный интервал 2 часа.

На рис. 8 приведены зависимости от времени (час) объемом воды (млн. мЗ) с содержанием взвешенных частиц (1 - более 100 мг/л, 2 - более 20 мг/л, 1 - более 0,75 мг/л).

Рис. 8. Зависимости от времени объемов воды с содержанием взвешенных частиц: / - более 100 мг/л, 2 - более 20 мг/л, 3 - более 0,75 мг/л

Результаты эксперимента позволяют проанализировать динамику изменения геометрии дна, образования структур и наносов, переноса взвесей в акватории, а также уровень загрязнения вод.

Четвертая глава посвящена исследованию предложенных разностных схем. Общим моментом разработанных математических моделей является использованный интегро-интерполяционный метод, учитывающий заполненность контрольных ячеек.

В п. 4.1. рассматривается задача нахождения оптимального параметра схемы с весами для трехмерного уравнения диффузии.

В качестве относительной погрешности в заданной точке берется абсолютное значение погрешности, деленное на установившееся решение. Для схемы с весами оценка примет вид:

где х - К Л К = 11,1 Лтах, И, - шаг по временной переменной, Л - собственные числа оператора коэффициентов.

На рис. 9 представлены функции зависимости относительной погрешности аппроксимации ф от шага И, в случаях а = {0;0.5;1}. Из рисунка видно, что кривая, соответствующая весу а = 0.5 проходит существенно ниже остальных двух кривых. В работе рассматривается задача нахождения оптимального параметра схемы с весами для трехмерного уравнения диффузии. Получена оценка погрешности аппроксимации уравнения диффузии по временной переменной. Получены зависимости оптимального веса и шага схемы от величины относительной погрешности. На рис. 10 представлены функции зависимости относительной погрешности аппроксимации ср от шага /г, в случаях: а = 0.5 и оптимального веса.

К

V

•Г

Рис. 9. Функция зависимости относительной погрешности аппроксимации от /г, в случаях: 1) <т = 0; 2) сг = 1; 3) сг = 0.5.

Рис. 10. Зависимость ошибки аппроксимации <р от шага сетки ИТ в случаях 1) симметричной схемы а = 0.5, 2) оптимального веса.

В п. 4.2. исследована погрешность аппроксимации разработанных математических моделей. Общим моментом разработанных математических моделей является использованный интегро-интерполяционный метод, учитывающий заполненность контрольных ячеек. Погрешность аппроксимации рассмотрена на примере дискретного уравнения диффузии-конвекции-реакции. Показано что представленные аппроксимации имеют второй порядок погрешности по пространственной переменной.

В п. 4.3. выполнено исследование устойчивости разностных схем, предназначенных для математического моделирования транспорта веществ. Приведено описание дискретной математической модели транспорта веществ, устойчивость которой проверена на основе сеточного принципа максимума. Предложенные сеточные уравнения записаны в канонической форме. Показана условная устойчивость разностных схем по начальным данным, граничным условиям и правой части.

Достаточным условием устойчивости и монотонности разработанной модели на шаг по пространственным координатам является:

кх<\2/л/и\, Иу <\2/л/у\, И, <|?.г/11'| или 11е<2ЛГ, где 11е = |к|-И/л - число Рейнольдса, / - характерный размер области, N = шах{^1,//>1,7Уг}.

В п. 4.4. проверена устойчивость разностных схем, предназначенных для математического моделирования трехмерных течений водной среды.

В п. 4.5. выполнена проверка основных балансовых соотношений математических моделей, описывающих процессы транспорта веществ. Приведено описание дискретной математической модели транспорта веществ и показана консервативность оператора диффузионного переноса.

В п. 4.6. проверено выполнение основных балансовых соотношений трехмерной математической модели гидродинамики. Приведено описание дискретной математической модели гидродинамики и показано сохранение потока на дискретном уровне.

Пятая глава посвящена построению дискретных аналогов операторов конвективного и диффузионного переноса четвертого порядка погрешности аппроксимации в случае частичной заполненности ячеек.

В п. 5.1. было установлено, что для аппроксимации оператора конвективного переноса ис' разностной схемой, обладающей четвертым порядком погрешности аппроксимации, необходимо аппроксимировать оператор

ис' - с'и"1г / 4 - ис'"И2 / 6 - и с"И2 / 4 схемами второго порядка точности, а для аппроксимации оператора диффузионного переноса (//с') разностной схемой, обладающей четвертым порядком погрешности аппроксимации, необходимо аппроксимировать оператор ( АС')' - /12- р." с И2 / 4 - /а'с" И2 / б - р'с'к2 / 6

схемами второго порядка точности.

В п. 5.2. построен дискретный аналог оператора конвективного переноса на основе схем четвертого порядка точности в случае частичной заполненности ячеек.

В п. 5.3. построен дискретный аналог оператора диффузионного переноса на основе схем четвертого порядка точности в случае частичной заполненности ячеек.

В п. 5.4. предложен алгоритм, предназначенный для восстановления рельефа дна акватории на основе гидрографической информации (глубины водоема в отдельных точках или изолиний уровня), и выполнена его численная реализация.

Для получения функции рельефа дна используем решение уравнения диффузии, к которому сводится уравнение, описывающее транспорт наносов. Функция глубины рассчитывается на основе уравнения Лапласа:

АН = 0, (17)

где Н - глубина водоема.

Данный подход обладает существенным недостатком, связанным с отсутствием гладкости в точках, где задаются значения поля глубин. Для уст-

раненил данной проблемы можно использов.гъ решения следующего уравнения:

Д2*/ = 0. (18)

К недостаткам этого подхода относят большие выбросы (отклонение от линейной функции). При помощи первых двух подходов можно получать гладкие функции, которые не обладают выделенностью направлений, но каждый из них обладает недостатками.

Для получения гладкой функции рельефа предложено использовать решение уравнения, применяемого для получения схем повышенного порядка погрешности аппроксимации для задачи диффузии:

ДЯ - —А2// = 0. (19)

12

В одномерном случае фундаментальной системой решений уравнения (17) является следующая функция:

Я,(х) = 1, Н2(х) = х, (20)

для уравнения (1 8):

Я,(х) = 1, Я2(х) = х,Я,(х) = х2,ЯДх) = х3, (21)

для уравнения (19):

Я, (х) = 1, Я2(х) = х, Я3(х) = сИ(кх),Я4(х) = 5/г(Ах),к = 712 / к (22) В первом случае, интерполяция осуществляется отрезками прямых, проходящих через соседние точки. Во втором случае, интерполяция выполняется на основе кубических сплайнов. В третьем случае - на основе сплайнов функции (22). Построен алгоритм, предназначенный для одномерной интерполяции на основе функции (22), и проведено сравнение предложенных подходов (рис. 11).

Рис. 11 Результат интерполяции: 1 - линейная интерполяция, 2- кубический сплайн, 3 -на основе предложенного алгоритма.

Из рис. 11 видно,- что интерполяция, полученная на осзове предложенного алгоритма, имеет меньшую погрешность при сохранении гладкости в точках склейки функций. На рис 12. приведено изображение рельефа дна Азовского моря, полученное на основе уравнения (19).

Рис. 12 Восстановленная поверхность дна Азовского моря.

Шестая глава посвящена построению и описанию варианта модифицированного попеременно-треугольного итерационного метода минимальных поправок для решения сеточных уравнений с несамосопряженным оператором, для которого выполнены оценки скорости сходимости.

В п. 6.1.- п. 6.4. приведены общие сведения о двухслойных итерационных методах решения сеточных уравнений, и описан алгоритм модифицированного попеременно - треугольного метода. Описаны методы решения сеточных уравнений вариационного типа. Выполнена минимизация итерационных параметров, и оценка числа обусловленности матрицы коэффициентов при использовании модифицированного попеременно-треугольного метода. Выполнены оценки скорости сходимости модифицированного попеременно-треугольного метода с несамосопряженным оператором.

Полученные сеточные уравнения можно записать в виде:

Ах = /, (23)

где А - линейный, положительно определенный оператор (А> 0). Для нахождения решения задачи (23) будем использовать неявный итерационный процесс

уИ + 1 _ г1"

В--— + Ахт =/. (24)

Гм+|

В уравнении (24) т - номер итерации, г > 0 — итерационный параметр, а В - некоторый обратимый оператор, который называется предобуславливате-лем или стабилизатором. Обращение оператора В в (24) должно быть

существенно прощ:. чем непосредственное обращение исходного оператора А в (23). При построении В исходили из аддитивного представления оператора Ап- симметричной части оператора А:

Л0 = Я,+Я2, «,=й2\ (25)

где А = Аи + А,, Аа = А0°, А, = -А,'.

Оператор предобуславливатель запишется в следующем виде:

5 = + + 0 = П" >0, ю>0, (26)

где О - некоторый оператор.

Соотношения (25)-(26) задают модифицированный попеременно-треугольный метод (МПТМ) решения задачи, если определены операторы Л,,Л, и указаны способы определения параметров гт+1, со и оператора О.

Алгоритм адаптивного модифицированного попеременно- треугольного метода минимальных поправок для расчета сеточных уравнений с несамосопряженным оператором имеет вид:

I (Ом>т,

Г = Ах'" - /, В(ат)м>т = Г, ¿3 = , т',„л , (27)

¡(о-'ру,^'")1

:1-

1 (л<у>м) 2 (В~'АУ,АУ")

(5-ЧУ\Л0и/") 1' ! '

где г

0+*Л (ЛУ>'")

= х--г^,

вектор невязки, м-'" - вектор поправки, в качестве оператора О используется диагональная часть оператора А.

Оценка скорости сходимости разработанного метода имеет вид:

V +1 V > (В-\сот,А0соту

где V - число обусловленности оператора С0, С0 = В^и1А0В'и2.

Следует отметить, что данный метод обладает такой же скоростью сходимости, в самосопряженном случае, как и алгоритм адаптивного модифицированного попеременно- треугольного метода, предложенный А.Н. Коноволовым.

В п. 6.5. описано применение модифицированного попеременно - треугольного метода для решения задач гидродинамики.

На рис. 13 изображены графики зависимости равномерной нормы вектора невязки от номера итерации. Нижний график представляет зависимость нормы вектора невязки от номера итерации для алгоритма (27), верхний -для алгоритма минимальных поправок (В = о).

27 24 21 18 15 12 9 б

О 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Рис. 13 Зависимость нормы вектора невязки от номера итерации.

Из графика видно, что алгоритм (27) сходится существенно быстрее метода минимальных поправок.

В п. 6.6. приведены основные параметры вычислительной многопроцессорной системы, на которой выполнены численные эксперименты.

В п. 6.7. приведено описание параллельного алгоритма, полученного на основе метода декомпозиции расчетной области по одному пространственному направлению.

Схема расчета вектора поправки изображена на рис. 14. Показана передача элементов после расчета двух слоев первым процессоров.

Рис. ¡4 Схема для расчета вектора поправки

На рис 14. показаны рассчитываемые слои расположенные перпендикулярно одному из координатных направлений и передачи данных.

В п. 6.8. приведено описание параллельного алгоритма, полученного на основе метода декомпозиции расчетной области по двум пространственным направлениям.

Результаты использовать многопроцессорных технологий для-расчета полей течений приведены в таблице 1.

__Табтица 1.

Количество процессоров Время, с. Ускорение Эффективность

1 7,490639 1 1

2 4,151767 1,804 0,902

4 2,549591 2,938 0,734

8 1,450203 5,165 0,646

16 0,882420 8,489 0,531

32 0,458085 16,351 0,511

64 0,265781 28,192 0,44

128 0,171535 43,668 0,341

Из таблицы видно, что алгоритм попеременно-треугольного итерационного метода скорейшего спуска и его параплельная реализация на основе декомпозиции по двум пространственным направления могут эффективно применяться для решения задач гидродинамики при достаточно большом числе вычислительных узлов.

В п. 6.9. выполнен теоретический и практический расчеты эффективности и ускорения параллельной реализации модифицированного попеременно - треугольного метода.

Рис. 15 Зависимость ускорения от числа процессоров. Сплошная кривая - теоретическая зависимость, ломаная — экспериментальная.

На рис. 15 изображены графики зависимости ускорения от количества процессоров, рассчитанные теоретически и экспериментально.

Теоретический анализ позволяет оценить значения ускорения и эффективности и выбрать оптимальные значения параметров параллельного алгоритма.

Седьмая глава посвящена о .псанию некоторых задач решенных при помощи разработанного экспериментального программного обеспечения «Azov3d», предназначенного для расчета поля скоростей водной среды путем новых расчетных функций. В данный программный комплекс были встроены программные блоки, предназначенные для моделирования динамики популяций (Никитина A.B.), и решения прямой и обратной задачи транспорта веществ (Лапин Д.В.), расчета транспорта солей и тепла (Шише-ня A.B.), поля коэффициентов турбулентного обмена (Алексеенко Е.В.).

В п. 7.1. описана задача биологической реабилитации мелководных водоемов, и представлены результаты моделирования возможных сценариев развития экосистемы Азовского моря.

В п. 7.2. описана математическая модель взаимодействия планктона и популяции промысловой рыбы пеленгас.

В п. 7.3. рассмотрены двумерные обратные задачи транспорта веществ, необходимость оперативного решения которых возникает при ретроспективном анализе техногенных и природных экологических катастроф. Описан численный алгоритм решения обратных некорректных задач диффузии-конвекции, основанный на методе квазиобращения и последующего итерационного уточнения начального условия.

В заключении кратко перечислены основные результаты диссертационной работы.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ:

1. Разработаны дву- и трехмерные математические модели аэрогидродинамических процессов в мелководных водоемах и приземном слое атмосферы. Отличительными особенностями разрабатываемых алгоритмов являются: высокая производительность, достоверность и точность получаемых результатов. Высокая производительность достигается за счет использования эффективных численных методов решения сеточных уравнений, адаптированных для применения на высокопроизводительных вычислительных системах в реальном и ускоренном масштабах времени. Достоверность достигается за счет учета определяющих физических факторов, таких как сгонно-нагонные явления, сложная геометрия дна и береговой линии, ветровые течения и трение о дно, сила Кориолиса, турбулентный обмен, испарение, стоки рек, а также за счет учета отклонения значения поля давления от гидростатического приближения. Точность достигается применением подробных расчетных сеток, учитывающих степень «заполненности» расчетных ячеек, использованием разностных схем с высоким порядком погрешности аппроксимации, а также отсутствием неконсервативных диссипативных слагаемых и нефизичных источников поля, возникающих в результате конечно-разностных аппроксимаций, (с 120-133)

2. Построена двумерная математическая модель транспорта донного материала в прибрежных системах, удовлетворяющая основным законам сохранения. Новизна результатов заключается в том, что предложенная мате-

маил-еская модель описывает движение н-гюсов по двум пространственным направлениям, а также следующие физические процессы и параметры: пористость донного материала, критическое значение тангенциального напряжения, при котором начинается транспорт донных материалов, динамически изменяемую геометрию донной поверхности за счет движения водной среды, турбулентный обмен, (с 168-171)

3. Предложен подход для построения разностных схем, учитывающих степень заполненности ячеек на примере задачи диффузии - конвекции - реакции. При использовании подобной методики получаются достаточно гладкие решения даже на грубых сетках. Такой подход имеет ряд преимуществ по сравнению с методами, использующими о-сетки. Во-первых, на основе предложенного в работе подхода можно аппроксимировать задачу со сложной геометрией границы на структурированных сетках с расположением расчетных узлов по центру контрольных объемов, что в итоге позволяет получить более точные аппроксимации. Во-вторых, на основе предложенного подхода существенно упрощается разработка программных комплексов по сравнению с методами, использующими о-сетки при тех же условиях применимости, что позволяет строить более сложные модели, (с 35-42)

4. Выполнено исследование устойчивости, консервативности и погрешности аппроксимации предложенных разностных схем. Показана условная устойчивость разностных схем по начальным данным, граничным условиям и правой части. Показано выполнение основных балансовых соотношений разностными схемами на дискретном уровне, (с 277-302)

5. Впервые получена оценка погрешности аппроксимации пространственно-трехмерного уравнения диффузии относительно шага по временному координатному направлению. Получены зависимости оптимального веса и шага схемы от величины относительной погрешности, (с 265-277)

6. Построены схемы повышенного (четвертого) порядка точности для операторов конвективного и диффузионного переносов, учитывающие заполненность ячеек, (с 304-317)

7. Построен и описан вариант модифицированного попеременно-треугольного итерационного метода минимальных поправок для решения сеточных уравнений с несамосопряженным оператором, и выполнены оценки скорости сходимости, (с 327-361)

8. Предложен и численно реализован алгоритм, предназначенный для восстановления рельефа дна акватории на основе гидрографической информации (глубины водоема в отдельных точках или изолиний уровня), и выполнена его численная реализация. На основе предложенного метода решения задачи получена подробная карта рельефа дна на примере Азовского моря. Показано, что в одномерном случае разработанный алгоритм обладает достаточной степенью гладкости в точках склейки функций и обладает меньшими выбросами по сравнению с кубической функцией, (с. 317-325)

9. Выполнена программная реализация математической модели гидродинамических процессов применительно к мелководным водоемам на многопроцессорной вычислительной системе с распределенной памятью. Выпол-

нены теоретические расчеты ускорения и эффективности параллельных алгоритмов. Разработанный комплекс программ допускает внедрение новых расчетных функций, в частности, в данный комплекс были встроены программные блоки, предназначенные для моделирования динамики популяций и расчета транспорта веществ, (с 133-164)

10. Выполнена программная реализация математической модели перемещения наносов в прибрежных системах, учитывающая следующие физические параметры и процессы: пористость донного материала, критическое значение тангенциального напряжения, при котором начинается транспорт донных материалов, динамически изменяемую геометрию донной поверхности за счет движения водной среды, турбулентный обмен. На основе разработанного комплекса был выполнен расчет ущерба рыбному хозяйству за период ремонтного черпания подходного судоходного канала к причалам Архангельского терминала, (с 208-263)

ПУБЛИКАЦИИ И ЛИЧНЫЙ ВКЛАД АВТОРА

По теме исследования опубликовано 63 печатных работ, из них 29 статей в отечественных реферируемых журналах, входящих в список изданий, рекомендованный ВАК. Имеется 5 свидетельства об официальной регистрации в Роспатенте созданных программ в Реестре программ для ЭВМ Российской федерации.

Работы в изданиях, рекомендованных ВАК

1. Чистяков А.Е., Алексеенко Е.В., Колгунова О.В. Вычислительные эксперименты с математическими моделями турбулентного обмена в мелководных водоемах// Известия ЮФУ. Технические науки. - 2008. №10 (87).- С 171175.

2. Алексеенко Е.В., Сидоренко Б.В., Колгунова О.В., Чистяков А.Е. Сравнительный анализ классических и неклассичнских моделей гидродинамики водоемов с турбулентным обменом// Известия ЮФУ. Технические науки. -2009. №8 (97).-С 6-18.

3. Лапин Д.В., Черчаго A.A., Чистяков А.Е. Совместные экспедиционные исследования гидрофизических параметров Азовского моря на многоцелевой яхте «Буревестник» и НИС т/х «Платов» // Известия ЮФУ. Технические науки. -2009, №8 (97). - С 82-89.

4. Чистяков А.Е. Трехмерная модель движения водной среды в Азовском море с учетом транспорта солей и тепла// Известия ЮФУ. Технические науки -2009. №8 (97). - С 75-82.

5. Чистяков А.Е. Теоретические оценки ускорения и эффективности параллельной реализации ПТМ скорейшего спуска// Известия ЮФУ. Технические науки. - 2010. №6(107). - С 237-249.

6. Чистяков А.Е. Об аппроксимации граничных условна трехмерной модели движения водной среды// Известия ЮФУ. Технические науки. - 2010. №6(107). - С 66-77.

7. Сухинов А.И., Чистяков А.Е., Алексеенко Е.В. Численная реализация трехмерной модели гидродинамики для мелководных водоемов на супервычислительной системе// Математическое моделирование. — 2011. -Т.23, №3, - С. 3-21.

8. Сухинов А.И., Чистяков А.Е., Бондаренко Ю.С. Оценка погрешности решения уравнения диффузии на основе схем с весами// Известия ЮФУ. Технические науки - 2011. №8 (121). - С 6-13.

9. Сухинов А.И., Тимофеева Е.Ф. Чистяков А.Е. Построение и исследование дискретной математической модели расчета прибрежных волновых процессов// Известия ЮФУ. Технические науки. -2011. №8 (121). - С 22-32.

10. Сухинов А.И., Чистяков А.Е., Проценко Е.А. Построение дискретной двумерной математической модели транспорта наносов// Известия ЮФУ. Технические науки. - 2011. №8 (121). -С 32-44.

11. Сухинов А.И., Чистяков А.Е., Проценко Е.А. Двумерная гидродинамическая модель, учитывающая динамическое перестроение геометрии дна мелководных водоемов// Известия ЮФУ. Технические науки. -2011. №8(121). -С 159-167.

12. Сухинов А.И., Чистяков А.Е. Адаптивный модифицированный попеременно-треугольный итерационный метод для решения сеточных уравнений с несамосопряженным оператором// Математическое моделирование. - 2012. - Т.24, №1, - С. 3-20.

13. Дегтярева Е.Е., Чистяков А.Е. Моделирование транспорта наносов по данным экспериментальных исследований в Азовском море// Известия ЮФУ. Технические науки. -2012. №2 (127). - С 112-118.

14. Сухинов А.И., Чистяков А.Е, Параллельная реализация трехмерной модели гидродинамики мелководных водоемов на супервычислительной системе// Вычислительные методы и программирование: Новые вычислительные технологии. - 2012. - Т.13. - С. 290-297.

15. Сухинов А.И., Дегтярева Е.Е., Чистяков А.Е. Математическое моделирование транспорта донных отложений с учетом гидродинамических процессов// Известия ЮФУ. Технические науки. -2012. №6 (131). - С 57-62.

16. Никитина A.B., Чистяков А.Е., Фоменко H.A. Применение адаптивного модифицированного попеременно-треугольного итерационного метода для численной реализации двумерной математической модели движения водной среды// Инженерный вестник Дона. - 2012, - Т.20, №2, - С. 335-339.

17. Сухинов А.И., Чистяков А.Е., Тимофеева Е.Ф., Шишеня A.B. Математическая модель расчета прибрежных волновых процессов// Математическое моделирование. - 2012. - Т.24, №8, - С. 32-44.

18. Сухинов А.И., Никитина A.B., Чистяков А.Е. Моделирование сценария биологической реабилитации Азовского моря // Математическое моделирование. - 2012. - Т.24, №9, - С. 3-21.

19. Дегтярева Е.Е., Проценко Е.А., Чистяков А.Е. Программная реализация трехмерной математической модели транспорта взвеси в мелководных акваториях// Инженерный вестник Дона. 2012. Т. 23. № 4-2. С. 30.

20. Чистяков А.Е., Першина Ю.В. Решение задачи динамики популяций на основе модели хищник-жертва // Известия ЮФУ. Технические науки. 2013. № 1.С. 142-149.

21. Сухннов А.И., Никитина A.B., Чистяков А.Е., Семенов И.С. Математическое моделирование условий формирования заморов в мелководных водоемах на многопроцессорной вычислительной системе// Вычислительные методы н программирование: Новые вычислительные технологии. - 2013. - Т. 14. - С. 113-122.

22. Чистяков А.Е., Хачунц Д.С. Программная реализация двумерной задачи движения воздушной среды// Известия ЮФУ. Технические науки. -2013. №4. -С 15-21.

23. Чистяков А.Е., Семенякина A.A. Применение методов интерполяции для восстановления донной поверхности// Известия ЮФУ. Технические науки. -2013. №4.-С 21-28.

24. Чистяков А.Е., Кузнецова И.Ю. Задача расчета и прогнозирования процесса подъема уровня воды в мелководных водоемах// Известия ЮФУ. Технические науки. -2013. №4. - С 28-36.

25. Сухинов А.И., Чистяков А.Е., Фоменко H.A. Методика построения разностных схем для задачи диффузии-конвекции-реакции, учитывающих степень заполненности контрольных ячеек// Известия ЮФУ. Технические науки. -2013.№4.-С 87-96.

26. Сухинов А.И., Чистяков А.Е., Чекина М.Д. Описание математической модели процесса перемещения сыпучих веществ с использованием уравнения Сен-Венана// Известия ЮФУ. Технические науки. -2013. №4. - С 96-104.

27. Сухинов А.И., Чистяков А.Е., Шишеня A.B. Модификация метода минимальных поправок для решения сеточных уравнений с несамосопряженным оператором// Известия ЮФУ. Технические науки. -2013. №4. - С 194-202.

28. Сухннов А. И., Чистяков А. Е., Шишеня А. В. Оценка погрешности решения уравнения диффузии на основе схем с весами// Матем. моделирование, 25:11 (2013), 53-64.

29. Сухинов А. И., Чистяков А. Е., Проценко Е. А. Математическое моделирование транспорта наносов в прибрежной зоне мелководных водоемов// Матем. моделирование, 25:12 (2013), 65-82.

Свидетельства об официальной регистрации программ

30. Сухинов А.И., Чистяков А.Е. Свидетельство об официальной регистрации программ для ЭВМ №2012616604 «Расчет распределения скоростей, давлений, функции возвышения в прибрежных системах и мелководных водоемах». Зарегистрировано в реестре программ для ЭВМ 11 июля 2012 г.

31. Сухинов А.И., Чистяков А.Е. Свидетельство об официальной регистрации программ для ЭВМ №2012614948 «Параллельное численное решение трех-

мерной задачи гидродинам.гш для мелководных водоемов на основе адаптивных методов вариационного типа». Зарегистрировано в реестре программ для ЭВМ 1 июня 2012 г.

32. Сухинов А.И., Никитина A.B., Чистяков А.Е., Царевский В.В., Фоменко H.A. Свидетельство об официальной регистрации программ для ЭВМ №2012614680 «Программный комплекс решения сеточных уравнений для трехмерных задач диффузии-конвекции-реакции итерационными методами». Зарегистрировано в реестре программ для ЭВМ 25 мая 2012 г.

33. Чистяков А.Е., Фоменко H.A. Свидетельство об официальной регистрации программ для ЭВМ №2012614002 «Программный комплекс эффективного решения сеточных уравнений для двумерной задачи диффузии-конвекции—реакции итерационными методами». Зарегистрировано в реестре программ для ЭВМ 28 апреля 2012 г.

34. Никитина A.B., Чистяков А.Е., Семенов И.С. Расчет распространения токсичной водоросли в Азовском море на вычислительной системе с использованием многопоточности в среде Windows. Зарегистрирован в Реестре программ для ЭВМ N2012614681 от 25 мая 2012 г.

Личный вклад автора в работах, опубликованных в соавторстве:

[1,2,13,15,18,21] - гидродинамическая часть работы; [3] - построение профилей солей, тепла и растворенного кислорода; [7,9,10,11,14,19,29] - построение дискретной математической модели проведении вычислительного эксперимента; [8,16,20,22] - постановка задачи, анализ результатов; [25,26] - постановке задачи, разработка разностных схем; [23,24] - разработка разностных схем, программная реализация; [12,27] - оценка скорости сходимости метода; [19] - построение математической модели, программная реализация численного алгоритма, [28] - получена оценка погрешности решения уравнения диффузии.

Соискатель

Чистяков А.Е.

Типогр. ИПК ЮФУ Заказ

КЗ.