Разработка и реализация двухслойной математической модели гидрофизических процессов в водоемах с обширными районами мелководья на высокопроизводительных вычислительных системах

Чикин, Алексей Львович

Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Разработка и реализация двухслойной математической модели гидрофизических процессов в водоемах с обширными районами мелководья на высокопроизводительных вычислительных системах

доктора физико-математических наук: Чикин, Алексей Львович
город: Москва
год: 2009
специальность ВАК РФ: 05.13.18

Диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению на тему «Разработка и реализация двухслойной математической модели гидрофизических процессов в водоемах с обширными районами мелководья на высокопроизводительных вычислительных системах»

Автореферат диссертации по теме "Разработка и реализация двухслойной математической модели гидрофизических процессов в водоемах с обширными районами мелководья на высокопроизводительных вычислительных системах"

На правах рукописи

ЧИКИН АЛЕКСЕЙ ЛЬВОВИЧ

РАЗРАБОТКА И РЕАЛИЗАЦИЯ ДВУХСЛОЙНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ГИДРОФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В ВОДОЕМАХ С ОБШИРНЫМИ РАЙОНАМИ МЕЛКОВОДЬЯ НА ВЫСОКОПРОИЗВОДИТЕЛЬНЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМАХ

Специальность 05.13.18 -математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 2009 год

* д ; - - -3 «-^д

003464571

Работа выполнена в Южно-Российском региональном центре информатизации ЮФУ и Южном научном центре РАН

Научный консультант: доктор физико-математических наук,

профессор Крукиер Лев Абрамович

Официальные оппоненты: член-корреспондент РАН,

доктор физико-математических наук, профессор Гущин Валентин Анатольевич

доктор физико-математических наук, профессор Карамзин Юрий Николаевич

доктор физико-математических наук, профессор Пененко Владимир Викторович Ведущая организация: Институт математики и механики УрО РАН,

г. Екатеринбург

С&

час. на заседании диссер-

Защита состоится </^ » 200? г. в

тационного совета Д 002.058.01 в Институте математического моделирования РАН по адресу: 125047, г. Москва, Миусская пл., д.4А

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИММ РАН Яа

Автореферат разослан «"¿^У

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физ.-мат. наук < ^ Н.В. Змитренко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Моделирование гидрофизических процессов в водоемах юга России, таких как Азовское море и Цимлянское водохранилище, имеет большое значение для экономики Южного федерального округа. Эти водоемы являются важными транспортными артериями, обладают уникальной рыбопродуктивностью, содержат большие запасы пресной воды. Кроме того, в районе Цимлянского водохранилища расположен энергетический узел юга России - Цимлянская ГЭС и Волгодонская АЭС. Любая авария на транспорте и промышленных объектах, приводящая к экологической катастрофе, такой как разливы нефтепродуктов или попадание химических веществ в водоемы, произошедшая в указанных водоемах, может оказать существенное влияние на социально-экономическую обстановку в данном регионе страны и требуют незамедлительного принятия решений по прогнозированию возможных последствий. Примером такой экологической катастрофы является гибель 13 судов в Керченском проливе во время шторма 11 ноября 2007 г. Для принятия правильного решения необходимо иметь в наличии методы, позволяющие оперативно смоделировать дальнейшее развитие экологической обстановки.

К настоящему времени уже накоплен достаточно большой опыт в решении задач гидро- и аэродинамики, тепломассопереноса методами математического моделирования с использованием высокопроизводительных вычислительных систем. Этот опыт отражен во многих работах отечественных научных коллективов, в частности, таких как ИММ РАН, ИВМ РАН, ИПМ РАН, ГОИН, НИВЦ МГУ, ИВМ и МГ СО РАН, ЮФУ.

под область и решение1. Решение задач в областях с такой сложной геометрией возможно с использованием гибридных2 или тетраэдальных3 сеток, позволяющих описывать область с необходимой точностью. Подобные задачи движения жидкости в водоеме можно также решать на равномерных прямоугольных сетках в их общей постановке4'5'б, но для этого по вертикали потребуется очень высокое разрешение сетки.

Данная работа посвящена построению двухслойной математической модели гидродинамики и переноса вещества в водоемах, содержащих одновременно обширные мелководные и глубоководные районы. Основной целью работы было построение такой математической модели, чтобы наряду с простой и быстрой ее численной реализацией гарантировалось достаточно адекватное отражение гидрофизических процессов в исследуемых водоемах.

Предлагаемая методика построения модели позволяет в кратчайшие сроки получить оценочные картины гидрофизических параметров. Простая численная реализация построенной модели осуществляется за счет использования конечно-разностных методов на равномерной прямоугольной сетке без предварительного преобразования расчетной области из нерегулярной в регулярную область. Время, затраченное на адаптацию программы для нового водоема, ее отладку, проведение тестовых расчетов и получение первых результатов, составляет всего несколько дней в зависимости от степени готовности входных данных, к которым относятся карта глубин исследуемого водоема, а также характерные для данного водоема метеорологические параметры.

1 Сидоров А.Ф., Ушакова О.В. Об одном алгоритме построения адаптивных сеток и его приложениях//Численкые методы механики сплошной среды, 1985, т.16, № 5, с.101-115.

2 Гущин В. А., Матюшин П. В. Математическое моделирование пространственных течений несжимаемой жидкости. Математическое моделирование. 2006, т. 18, JVL15, с. 5-20.

3 Карамзин Ю.Н., Попов И.В., Поляков C.B. Разностные методы в задачах механики сплошной среды на треугольных и тетраэдральных сетках // Матемематическое моделирование, 2003. Т.15, № 11, с. 3-12.

4 Марчук Г.И., Каган Б.А. Океанские приливы (математические модели и численные эксперименты). Л.: Гидрометеоиздат, 1977. 296 с.

5 Пененко В. В. Методы численного моделирования атмосферных процессов. - JI. : Гидрометеоиздат, 1981. - 352 с.

6 Цветова Е. А. Математическое моделирование циркуляций вод озера // Течения в Байкале. - Новосибирск : Наука, 1977. - С. 63-81.

Целью диссертации является разработка, численная и программная реализация математической модели, описывающей гидрофизические процессы в водоемах, содержащих как глубоководье, так и обширные мелководные районы и обладающей следующими особенностями:

• малыми трудозатратами при численной реализации модели на высокопроизводительных вычислительных системах;

• оперативным получением оценочных картин гидрофизических параметров исследуемых водоемов, адекватно отражающих происходящие процессы.

Для достижения поставленной цели было необходимо решить следующие задачи:

• построить гидродинамическую модель Азовского моря и его основных придаточных водоемов - Таганрогского залива и Керченского пролива;

• построить модели гидродинамики и переноса вещества южной части Цимлянского водохранилища;

• программно реализовать построенные модели на высокопроизводительных вычислительных системах.

Объектами исследования в представляемой работе являются Азовское море и его основные придаточные водоемы - Таганрогский залив и Керченский пролив, а также южная часть Цимлянского водохранилища.

Научная новизна. Построена трехмерная математическая модель гидрофизических процессов в водоемах, состоящих из обширных районов мелководья и глубоководной части. Из множества методов решения поставленной задачи были выбраны наиболее простые в реализации, но в то же время эффективные методы, обеспечивающие устойчивое и адекватное решение задач на высокопроизводительных вычислительных системах. На основе разработанных программных комплексов, реализующих предложенные алгоритмы, проведены вычислительные эксперименты на математических моделях гидродинамики и переноса вещества в Азовском море и Цимлянском водохранилище.

Методы исследования. За основу теоретического исследования взята методология математического моделирования и вычислительного эксперимента, предложенная академиком A.A. Самарским и развитая в работах ученых его научной школы, а также других российских и зарубежных исследователей.

Достоверность. Представленные в диссертации результаты имеют строгое математическое обоснование, полученные результаты вычислительных экспериментов хорошо согласуются с результатами других авторов. Оценка качества прогнозируемых значений7, вычисляемых с помощью пред-

7 Наставление по службе прогнозов (служба морских гидрологических прогнозов), раздел 3, часть 3. - Л: Гидрометеоиздат, 1975. 136 с.

лагаемой модели, показала, что метод расчета дает приемлемые результаты для оперативных прогнозов, а проведенный статистический анализ полученных результатов показал высокую корреляцию (>■ = (),7-^0,9) между расчетными и натурными данными как для перепадов уровня, так и для солености. Кроме того, погрешности расчетных значений с высоким уровнем значимости не отличаются от 0.

Практическая значимость. Рассмотренные в работе модели гидродинамики Керченского пролива и Таганрогского залива позволяют получать оперативную оценку текущего состояния природных объектов и делать прогноз развития экологической обстановки в случае возникновения нештатных ситуаций. Созданные программные комплексы, реализующие математические модели распределения солености и распространения загрязняющих веществ в водоеме, могут быть использованы для прогнозирования изменений полей распределения веществ во внутренних водоемах.

Разработанные в диссертации подходы и полученные результаты могут быть использованы при оценке климатических изменений в геосистемном мониторинге водоемов, выполнения сценарных прогнозов при изменении климатических факторов.

Результаты исследований могут быть использованы для целей планирования, разработки схем рационального природопользования и охраны природных ресурсов.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на международных конференциях:

• Czech Workshop on Iterative Methods and Parallel Computing, Czech Republic, 1997.

• Symposium at the University of Port Elizabeth. Port Elizabeth, 13-17 July 1998.

• 9th Conference "Physics of Estuaries and Coastal Seas". Matsuyama, Japan, 24-26 September 1998.

• International Conference on Environmental Mathematical Modeling and Numerical Analysis (EMMNA' 99), г.Ростов-на-Дону, 1999.

• International conference on Iterative Methods and Matrix Computations (IMMC), г.Ростов-на-Дону, 2002.

• XIX Международный семинар по струйным, отрывным и нестационарным течениям. С.-Петербург, 24-28 июня 2002 г.

• XII Международная конференция по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС'2003). Владимир, 30 июня-5 июля 2003 г

• VI Международная конференция по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ-2006), 26 июня - 1 июля 2006 г., С.-Петербург.

• International conference «Tikhonov and contemporary mathematics», MSU, Moscow, 2006.

• Международная научная конференция «Современные проблемы морской инженерной экологии (изыскания, ОВОС, социально-экономические аспекты)», Ростов-на-Дону, 9-11 июня 2008 г.

На Всероссийских и региональных конференциях и Школах-семинарах:

• Всероссийский симпозиум «Математическое моделирование и компьютерные технологии», Кисловодск, 1997 г.

• Конференция «Математика в индустрии», Таганрог, 1998.

• VIII Всероссийское совещание по проблемам построения сеток для решения задач математической физики, посвященное памяти академика А.Ф. Сидорова, Пущино 2000 г.

• Всероссийская конференция «Математическое моделирование и проблемы экологической безопасности», п. Абрау-Дюрсо, 2000 г.

• I, II, III Всероссийская конференция "Актуальные проблемы прикладной математики и механики", посвященная памяти академика А.Ф.Сидорова, п. Абрау-Дюрсо, 2002, 2004,2006 г.г.

• Молодежные школы «Комплексные гидробиологические базы данных: ресурсы, технологии и использование» и «Адаптация гидробионтов», Ростов-на-Дону, 2005

• I-XIV Всероссийские Школы-семинары«Современные проблемы математического моделирования », п. Абрау-Дюрсо, 1990 -2007 годы

• XIV, XV, XVI Всероссийская конференция «Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов и решение задач математической физики с приложением к многопроцессорным системам», посвященная памяти К.И. Бабенко, п. Абрау-Дюрсо, 2002, 2004, 2006, 2008 г.г.

• Совещания по программе Президиума РАН № 14 «Фундаментальные проблемы информатики и информационных технологий» Раздел II «Высокопроизводительные вычисления и многопроцессорные системы», Пущино, 2004 г., 2008г.

• XXXV, XXXVI школы-семинары «Математическое моделирование в проблемах рационального природопользования», 2007, 2008 гг. Ростов-на-Дону.

Публикации. По теме диссертации опубликованы 27 работ, из них 8 статей в ведущих научных журналах, рекомендованных ВАК. Имеется 3 сви-

детельства об официальной регистрации в Роспатенте созданных программ в Реестре программ для ЭВМ Российской федерации.

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы, содержащего 250 наименований и приложения. Работа содержит 99 рисунков, 15 таблиц, 3 диаграммы. Полный объем диссертации составляет 233 страницы.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному консультанту, доктору физико-математических наук профессору Л.А. Крукиеру за ценные советы и замечания при подготовке и написании диссертации. Автор также признателен коллективу сотрудников ЮГИНФО ЮФУ за помощь при численной реализации созданных программ, а также коллективу сотрудников ЮНЦ РАН за помощь в предоставлении необходимых исходных и натурных данных.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении изложены основные цели и задачи диссертации, показаны их актуальность, новизна и практическая значимость, дано краткое содержание работы и сформулированы основные положения, выносимые на защиту.

Первая глава посвящена обзору литературы по моделированию гидрофизических процессов и краткому описанию существующих моделей, а также математическому описанию рассматриваемых задач.

В первом разделе приводится обзор работ по моделированию гидрофизических процессов в водоемах. Особо отмечаются работы ученых Ростовского госуниверситета И.И. Воровича, А.Б. Горстко, Ф.А. Суркова, JI.A. Крукиера, посвященные проблемам Азовского моря и Таганрогского залива. Здесь же дается краткое описание основных существующих моделей и программ для расчета гидрофизических параметров в различных водоемах РОМ (Princeton Ocean Modelf, EFDC Hydro (Environmental Fluid Dynamics Code)9, ADCIRC {Advanced Circulation Model)10.

Во втором разделе первой главы описывается идея предлагаемой методики построения математической модели. Эта идея заключается в декомпозиции расчетной области, когда в одну область относится все мелководье, а в другую вся глубоководная часть. В этом случае возможно применение и уравнений мелкой воды, и трехмерных уравнений движения жидкости без предварительного преобразования расчетной области. При этом можно использовать конечно-разностные методы с применением равномерных прямоугольных сеток, что, несомненно, упрощает решение поставленной задачи.

Исходная трехмерная область моделирования Q- водная толща водоема - ограничена сверху экваториальной, а снизу донной поверхностями. Для декомпозиции пространственной области моделирования £2 проведем горизонтальную секущую плоскость Р, отстоящую от невозмущенной поверхности водоема Р0 на глубине, равной максимальной глубине мелководья

8 Blumberg, A.F., Mellor, G.L. A Description of a three-dimensional coastal ocean circulation model. In: Heaps, N.S. (Ed.), Three-Dimensional Coastal Ocean Models, American Geophysical Union, Washington, 1987,DC, pp. 1-16.

9 Hamrick, J.M. A Three-Dimensional Environmental Fluid Dynamics Computer Code: Theoretical and Computational Aspects. The College of William and Mary, Virginia Institute of Marine Science. Special Report, 1992, 317, 63 pp.

10 Luettich, R.A. Jr., Westerink, J.J., Scheffner, N.W. ADCIRC: An Advanced Three-Dimensional Circulation Model for Shelves, Coasts, and Estuaries. Report 1, Technical Report DRP-92-6, Dredging Res. Prog., USACE, 1992.

(Рис. 1). Таким образом плоскость Р разделила исходную область на две подобласти: верхний слой П) (слой I) -все мелководье и верхняя часть глубоководного слоя, и глубоководный слой £2г (слой II). Предполагается, что эффект осушения из-за сгона воды может присутствовать только в мелководных районах.

Границы расчетной области О могут быть твердыми (донная поверхность, переходящая в береговую линию), участками втекания или вытекания воды дС1я, свободной поверхностью .

Считается, что на движение воды в слое I влияет ветер, а движение в слое II инициируется как градиентами давления, так и движением слоя I. Предполагается, что эффект осушения из-за сгона воды может присутствовать только в мелководных районах.

Рис. 1. Вертикальный разрез исследуемого водоема

Считаем, что слой I достаточно мелкий (значения возможных возмущений уровня воды и глубины слоя близки), а и и V не зависят от г. Движение воды в слое I описывается уравнениями мелкой воды:

а дх 41

гд\

а*2

—+ С1и, = ~Я— + Л • ду 4

д V,

+ =-2

+ 12.-1^+р (х>у\ НИ '

(2)

дНи, 8Ну п — +-- +-- = 0.

дх ду

(3)

Здесь Н=И + £; к = к{х,у) - глубина мелководного слоя; м5 =и5(х,у,(), vJ =У5{х,у,() - скорости в слое I; функции Рх{х,у) и Ру(х,у) описывают взаимодействие верхнего и нижнего слоев между собой;

а - возмущение уровня воды; £2 -коэффициент Кориолиса; гы, т1у

- проекции на оси ОХ и ОУ силы трения ветра о поверхность водоема; тЬх, тЬу

- проекции на оси ОХ и ОТ силы трения жидкости о дно (или нижний слой воды). Эти величины зависят от скорости ветра }Уе= и течения \УТ = и определяются так:

где р{х,у) - коэффициент трения верхнего слоя жидкости о дно (или о глубоководный слой); у - коэффициент трения ветра о слой I.

Движение воды в глубоководном слое II описывается системой, состоящей из уравнений количества движения, уравнения неразрывности среды и уравнения гидростатического давления:

ди ди ди ди 1 др

— + м--1-У— + >у--12У =---— + V

81 дх ду дг рдх

д2и д2и дх2 + ду2

д ди

+ — V2 — дг\ & J

(4)

ду ду ду ду _ 1 др

— + и--1- V— + и»— + 42г/ =---— + V

д( дх ду дг рду

дх2 + ду2,

д ( ду

(5)

ди ду дю п

— + — + — = 0. (6) дх ду дг

р = 8р{£-г) + ра. (7)

Здесь и = и(х,у,г,1\у = у(х,у,г,1),м> = м{х,у,г,1) - компоненты вектора скорости; р(х,у,г,/) - давление; х, у, г, I - пространственные переменные и время соответственно; ра = ра(х,у) - атмосферное давление; у^,, у,(г) - коэффициенты горизонтальной и вертикальной вязкости соответственно; р-плотность воды; g = 9.8^t/c1 - ускорение силы тяжести.

Граничные условия на твердой границе дС1т задаются условиями скольжения:

= 0.

ЭУ

«I сяг ' ш

= 0,

гпт

где У„ - нормальная составляющая вектора скорости, Уг - касательная составляющая вектора скорости. В местах втекания или вытекания воды ВПК задаются соответствующие значения скоростей

"к =м"ук =у"и«к =и'>'у'к =

На границе между слоями 6П/ ставится условие равенства скоростей

Функции Гх(х,у) и Еу(х,у), описывающие взаимодействие I и И слоя, задаются следующим образом:

В качестве начальных данных можно задавать известное распределение скоростей и уровня воды

"1=0 = м°' и.и = м°> у1=0 = у°' 4=о = 4=о = ¿1м> =

или считать эти значения нулевыми.

Ветровое поле над всей водной поверхностью задается линейной интерполяцией наблюденных значений, полученных на береговых метеостанциях, расположенных вокруг исследуемого водоема

В третьем разделе первой главы описывается модель переноса вещества. Процесс переноса взвешенного вещества в водной среде состоит из размывания донного осадка, если скорость течения достаточно большая, оседания взвешенных частиц в случае малой скорости течения и собственно самого переноса взвеси водной средой.

Пусть все донные отложения состоят из к фракций {к = 1,...,/У). Перенос взвешенных частиц описывается уравнением конвекции-диффузии

дск , 5Ц) . 8(уск) |

дх

ду

дг

+—

дг

= £„

дгс„ 82с, л

дх2 ду2

где ск - концентрация к-он фракции; и,у, и' - компоненты скорости, и^ -собственная скорость оседания к-ой фракции; £ху,£2 - коэффициенты горизонтальной и вертикальной турбулентной диффузии соответственно. На свободной поверхности задается условие

д£к ' дг

+ ™зкск= 0.

(9)

На нижней границе области взвешенных наносов ставится условие

дс

Ег-± = ЕЬк-0Ьк, (10)

дг

где ЕЬк - расход эрозии (или размывания), а Вък - расход оседающих частиц.

Приведенные граничные условия учитывают процессы взмучивания и оседания вещества, поступление его через открытые границы. Расход оседания вычисляется по формулам

Оьк=Рк^вкскь

(11)

р» =

^ i-.dk

г* < г,Л

о,

ск =с

1 +

Ре

1,25 + 4,75(А2-5)

(12)

Здесь Ре представляет число Пекле, рк - так называемая вероятность оседания.

В случае несвязанного осадка скорость оседания (гидравлическая крупность частиц) вычисляется по формуле Стокса

Рл ~ А, Я

где рл, рк - плотности частиц и воды соответственно; g - ускорение свободного падения; V - коэффициент кинематической вязкости;^- диаметр частиц.

Величина сдвигового напряжения ть вычисляется через скорость иь у основания с учетом коэффициента донного трения

т„=лхиь|иь|. (14)

Расход поднявшихся со дна частиц Еьк также есть функция сдвигового напряжения:

г \тек{ть-тсЛ), гь>тсек

1«. «И*«*

где тл - экспериментальная постоянная тек =0,0002-0,002, гсек-критическое сдвиговое напряжение для размывания, вычисляемое по формуле

Тсек = 0,015(р^ - Ю00)0'73 , (16)

здесь рА - плотность к-ой фракции донного осадка.

Толщина ила задается уравнением деформации основания

р$(\-<т)^ = Оь-Еь, (17)

от

где а - пористость дна; рв - осредненная плотность донного ила, ВЬ,ЕЪ -суммарные расходы всех фракций, 2, - эффективная толщина придонного ила. Пористость грунтов изменяется в пределах от 0,30 до 0,55, рэ = 2650 кг/м3, р„, = 1000 кг/м3.

Вторая глава диссертации посвящена численной реализации построенной математической модели. В ней дается описание общего алгоритма дискретизации области и индексации полученных ячеек, а также используемых разностных схем и методов решения СЛАУ.

В первом разделе приводятся основные понятия теории разностных схем, дается обзор работ по решению уравнений Навье-Стокса, а также по численным методам решения получаемых СЛАУ.

Во втором разделе второй главы описывается построение разностной сетки в расчетной области, идентификация расчетных ячеек. Отдельно приводятся используемые при расчетах конечно-разностные схемы, а также алгоритмы их применения.

Учитывая разностный шаг по вертикали и значения глубин в узлах плоской сетки, определяются ячейки-параллелепипеды, находящиеся в воде или на суше. Логический массив, характеризующий тип ячеек («вода», «суша»), задает конфигурацию всей расчетной области.

После определения конфигурации области расчета проводится индексация расчетных ячеек (для каждой переменной своя) в каждом из двух слоев - мелководном и глубоководном с учетом разнесения переменных по сторонам разностных ячеек (Рис. 2). При индексации надо учитывать тот факт, что ширина ленты в получаемой после аппроксимации матрицы СЛАУ, зависит от порядка перебора индексов. Для сужения ленты необходимо начинать перебор узлов по индексу, имеющему самый короткий интервал изменения, и заканчивать индексом, имеющему самый длинный интервал изменения.

—о—

•»•"►«..к..

I _

'' л-

■Ум

• • "и

о - и м ^ а - »V.

Рис. 2. Разнесение переменных по сторонам разностных ячеек

В процессе расчета некоторые ячейки из мелководного слоя с малой глубиной могут осушаться в силу сгонного явления и переходить в разряд «суша». Это происходит в том случае, если величина Н + £ перестает быть положительной. Кроме того, ячейки, перешедшие в разряд «суша», в силу нагонного явления могут возвращаться в разряд «вода». Это происходит в том случае, если средняя по соседним ячейкам глубина становится больше 0,05 м. Значение глубины в текущей ячейке задается с учетом закона сохранения массы.

В третьем разделе второй главы дается общее описание алгоритма расчета гидродинамических параметров, приводится его блок-схема, приводятся разностные схемы для вычисления всех параметров течения и переноса вещества. Конвективные слагаемые в уравнениях движения и уравнении переноса аппроксимируются разностями против потока и вычисляются по неявным схемам. Численно установлено, что в силу взаимной зависимости перепада уровня и компонентов скорости возможно проявление неустойчивости при расчете гидродинамики. Проведенные расчеты показали, что даже полностью неявные схемы не делают алгоритм вычисления гидродинамических параметров абсолютно устойчивым. Было предложено вычислять величину уровня водной поверхности по схеме

Я"+1-Я" м,..+к

Я"+1-Я"+' и

1-и [ '■->

Я"+1 -Я"+1

'♦1.7_____'■/

+ V.

Я — Я

I 1.1 и-'

К IЯ"+ -Я"

| >.] | »,/ + 1 I,

(18)

(Лу'и+|<йу"и|) - |Лу"и|)

+н--'-^ - я;,. ----^=о,

2 4 2

тт т 1 1- „ ди дг

Наличие в данном уравнении разностного аналога выражения

( ди

ди

дх ду

/ , „ „ ,. ¥Т ди дх .

, который выносится на (п+1)-ыи слои, если апи = — + — > 0,

дх ду

и берется с п-го слоя в противном случае, усиливает диагональное преобладание в получающейся матрице системы уравнений.

В работе показано, что достаточным условием устойчивости схемы

для уравнения (18) является условие О<т<—I—¡, где - отрицательные

тъхЩ

значения разностного аналога дивергенции. Это позволило увеличить (примерно в 1,3 раза) шаг по времени, однако, ограничение на него существует.

Алгоритм вычисления параметров гидродинамики на (п+1)-ом временном слое имеет следующий вид:

Первый шаг: перепад уровня на (и + 1)-м временном слое вычисляется из разностного уравнения (18).

Второй шаг: на слое I значения компонентов скорости и5 и V, находятся из разностных аналогов уравнений (1) и (2). При конечно-разностной

аппроксимации уравнении количества движения используются неявные «противопотоковые»схемы, например, для уравнения (1):

и -ы и1 + и и — и -и г/ -и,

'¡.1 5 1.1 '¡.1 | 51.1 51-1.; '¡.1 | 5 1.1 1 *М.) 5 Ц

г 2 /г, 2 /г,

/1+1 «+1

V" +

и/+1

1 __ >»л+1

+ V-

2 Ъ2 2

( Я+1 « «+1 . Л+1 Я+1 г» И+1 , И+1 \

и. -2 и. 4и, и. -2м„ + м_

'+!,/ /./ ¿-1,} , 5 ».у+1 Л ».у Л /,у-1

^—Пк =

(19)

н \н н

*<•/ Д\ '-и

Третий шаг: вычисляется давление по всей области из (7):

Рш =Р«т +ёр{Г\,1+Нй(КЛ-Щ)

(20)

Четвертый шаг: вычисляются значения горизонтальных компонентов скорости в слое II. При конечно-разностной аппроксимации уравнений (4) -(5) используются неявные "противопотоковые" схемы, например, для уравнения (4):

--1--■■--1----у-

X "Г ————————————

го" Л>\лл)" *.п+1 лл>п то" 1

| Ча + Гл/дI иш -^ -Г/.УД 1 Ищ+1 -Ц/.уя = (2П

2 /г3 2 /г3 и-*

1 „"+1 _ р ь

+ +у< J-l.it)'

Пятый шаг: вычисляется вертикальный компонент скорости и' из разностного аналога уравнения неразрывности (6) начиная с ячеек на дне водоема:

Ь к

П\ "2

Затем цикл 1) - 5) повторяется на новом временном слое, пока не будет выполняться условие окончания счета. Таким условием может быть либо определенный промежуток времени (в часах, сутках и т.д.), в течение которого надо проводить расчет, либо расчет до получения установившегося решения, когда все параметры во времени перестают изменяться.

Расчет распределения концентрации переносимого вещества можно проводить после того, как получено поле скоростей, а можно включать этот модуль шестым шагом в описанный выше алгоритм, если проводится исследование формирования поля концентрации совместно с полем скоростей. При пространственной аппроксимации уравнения переноса (8) выбрана про-тивопотоковая схема:

-г" и" +1 и" I и" -Iи" I -г"+1

сщ СЩ "',/■*! СЩ С;-Щ | иШ \и1.М\ см.1,к сщ

т 2 ' \ 2 ' \

2 И2 2 й2

Км +Гш\

л+1

Чм-1

(23)

= /<7

С __ 1-."+1 -Ог"*1 А-г"*' ^

с1+1 ,],к ^Чу.* <-lj.it ^ 4j4-I.it ^Чу.* ¡,]-1,к

2 _( цг _1_ I,2 + ^ //2

И*и,к*1сШ+1 \Msljjn-l "¡к; ij.it "и/.^дЧли

йз2

Граничные условия 1-го рода задаются точно. Производные в условиях 2-го и 3-го рода задаются односторонними разностями. Так условия (9) и (10) записывается соответственно в виде

А,

После аппроксимации уравнений движения и переноса вещества про-тивопотоковыми конечными разностями получаются системы уравнений с пятидиагональными М-матрицами для уравнения (19), и семидиагональными М-матрицами для уравнений (21) и (23).

В четвертом разделе второй главы приводятся результаты сравнения на тестовой задаче предлагаемой модели с трехмерной моделью и двухмерной, основанной на уравнениях мелкой воды. Сравнивались как время счета, так и получаемые картины течений.

В качестве модельной задачи был выбран водоем прямоугольной формы с выступом, имитирующим мелководную область (Рис. 3). Течение инициировалось действием ветра на обе половины поверхности водоема, но в противоположных направлениях. Таким образом, в водоеме образовывалось

ветер

+ р.

-А

А-А

»»нтттнттг

Рис. 3. Схема водоема в модельной задаче

Все задачи решались конечно-разностными методами на равномерных прямоугольных сетках. Число узлов по горизонтали было равно 200 в каждом направлении. Число узлов по вертикали было различным для каждой из моделей.

Численное исследование показало, что все три модели достаточно подобны между собой. Трехмерная модель позволяет определить поле скоростей на любом горизонте от поверхности до дна. В то же время двумерная модель, основанная на уравнениях мелкой воды, считает гораздо быстрее других моделей, но дает картину течений только на поверхности водоема. Двухслойная же модель описывает течения как на поверхности водоема, содержащего глубоководные и мелководные районы, так и на всех горизонтах до самого дна.

Величина изменения уровня воды для всех моделей примерно одинаковая. На (Рис. 4, Рис. 5) показано поведение уровня воды в точках его минимума и максимума. Различие наблюдается только в первые 20-30 минут после начала движения, затем, при установлении, значения перепадов уровня

Рис. 4. Поведение перепада уровня воды Рис. 5. Поведение перепада уровня воды в точке его минимума в точке его максимума

Если двумерную модель взять за точку отсчета трудозатрат, то двухслойная модель содержит неизвестных в 8-15 раз больше (в зависимости от шага по вертикали) и требует большее время счета в такое же количество раз. Число неизвестных в трехмерной модели может быть в 30-50 раз больше, чем в двухмерной, и в 5-10 раз больше, чем в двухслойной модели. Соответственно, время счета увеличивалось в такое же количество раз.

Кроме того, использование в поверхностном слое уравнений мелкой воды, то есть применение двухслойной модели, значительно упрощает процедуру переопределения ячеек в силу сгонно-нагонного явления. Значения глубины мелководья h{x,y), по которым определяются осушаемые или затапливаемые ячейки, входят в уравнения движения и не зависят от количества разностных шагов по вертикали, как это происходит в случае применения трехмерных уравнений по всей области. Такое переопределение ячеек значительно сокращает количество процедур переиндексации, что также сокращает время счета.

В пятом разделе второй главы дается краткое описание библиотеки прикладных программ Aztec для решения СЛАУ параллельными методами. Aztec включает в себя процедуры, реализующие ряд итерационных методов подпространства Крылова:

• метод сопряженных градиентов (CG),

• обобщенный метод минимальных невязок (GMRES),

• квадратичный метод сопряженных градиентов (CGS),

• метод квазиминимальных невязок (TFQMR),

• метод бисопряженных градиентов со стабилизацией (BiCGSTAB).

Третья глава посвящена описанию численных расчетов гидродинамики различных водоемов.

В первом разделе третьей главы приводятся результаты расчетов течений в Азовском море. По известным натурным данным, полученным на береговых метеостанциях (Рис. 6), осуществлялась настройка гидродинамической модели. Сравнение с наблюденными значениями проводилось как по перепадам уровней воды, так и по картинам течений в море в целом.

Метеорологические наблюдения показали", что при длительном действии ветров восточного направления в море возможно циркуляционное течение. На (Рис. 6) показана картина линий тока, полученная при действии северо-восточного ветра в течение 24 часов. Приведенные результаты расчета хорошо согласуется с картиной течений в Азовском море, полученной ранее с помощью двухмерной математической модели12, однако, если необходимо исследовать процессы накопления донного осадка или определить гидродинамические параметры в районах подходных судоходных каналов (там, где существует большая неоднородность глубин) целесообразно использовать приведенную двухслойную модель.

Рис. 6. Картина линий тока после действия северо-восточного ветра в течение 24 часов

—Нотуримсаапим* - • Вычисл**«*»« шачепи*

Рис. 7. Сопоставление вычисленных (штриховая кривая) и натурных (сплошная) значений уровня Азовского моря в районе г. Геническа (0124.10.1974)

На Рис. 7 показано поведение уровня воды относительно его среднего значения в течение 24 суток (данные снимались через каждые 6 ч) на метеорологическом посту в районе г. Геническа. Варьирование коэффициентов по-

'' Бронфман A.M. Современный гидролого-гидрохимический режим Азовского моря и возможные его изменения. Труды АзНИИРХ, 1972, вып. 10, с.20-40

12 Крукиер Л.А. Математическое моделирование гидродинамики Азовского моря при реализации проектов реконструкции его экосистемы // Математическое моделирование. 1991. Т. 3. № 9. С. 3-20.

зволило добиться наилучшего согласования результатов расчета с натурными данными. Из Рис. 7 видно качественное совпадение вычисленных и наблюденных значении. Аналогичные исследования были проведены для метеостанций г. Ейска и г. Темрюка.

Оценку качества прогнозируемых значений, вычисляемых с помощью предлагаемой модели, проводили согласно «Наставлению...»13. В (Таблица 1) приведены значения стандартной ошибки S рассчитанных значений, среднего квадратического отклонения о наблюденных значений от среднего их значения, отношения — и коэффициенты корреляции г между натурными данны-сг

ми и расчетными значениями по перепадам уровня воды. Согласно пп.6.2.5. и 6.9.1. «Наставления...» предлагаемый метод расчета дает приемлемые результаты при соотношении S/a <0,67 для п >25. Полученные результаты

более чем удовлетворяют данному условию.

Таблица 1. Значения основных параметров оценки точности метода для пере-

пада уровня воды

Станции п а S S а г

Геническ 96 0,134 0,089 0,665 0,77

Ейск 48 0,096 0,045 0,473 0,99

Темрюк 48 0,105 0,051 0,484 0,98

Во втором разделе третьей главы даются результаты расчета течений при различных ветровых ситуациях в Таганрогском заливе. Установлено, что при продолжительном действии западных ветров возможно возникновение циркуляционных течений в заливе.

Расчеты показали, что при действии ветра западного направления (8 м/с) в первые часы движение воды направлено к восточной части залива, но при более длительном действии ветра течение замедляется, и в восточной части образуется слабое циркуляционное течение. Со временем такая зона продолжает формироваться в восточной части залива, затем в центральной части, а затем в западной части Таганрогского залива. Азовоморское течение располагается ближе к северному берегу Таганрогского залива, а компенсационное течение - ближе к южному берегу (Рис. 8).

Численно установлено, что возникновение циркуляционных зон происходит быстрее при неоднородном распространении ветрового поля: если действие западного ветра у южного берега Таганрогского залива ослабевает, в то время как у северного берега продолжает действовать ветер той же силы,

13 Наставление по службе прогнозов (служба морских гидрологических прогнозов), раздел 3, часть 3. - Л: Гидрометеоиздат, 1975. 136 с.

то возможно образование нескольких циркуляционных зон сразу во всем заливе.

М аГ>11>[|П'ть

Рис. 8. Картина линий тока через 18 часов действия западного ветра

Если направление ветра изменить на юго-юго-западное (8 м/с), то циркуляционная зона начинает образовываться сначала в западной части залива, затем эти зоны появляются на востоке и в центре. Компенсационное течение при таком действии ветра проходит ближе к северному берегу, а Азо-воморское ближе к южному (Рис. 9). Такое поле течений, рассчитанное с помощью предлагаемой математической модели, хорошо согласуется с наблюденной картиной течений, полученной учеными Южного научного центра14 (Рис. 10).

Рис. 9. Картина линий тока через 18 часов действия юго-юго-западного ветра

Рис. 10. Наблюденная схема течений в Таганрогском заливе

В третьем разделе третьей главы исследуются течения в Керченском проливе. В начале раздела дается обзор литературы по изучению течений в данном проливе и по моделированию течений в проливах вообще.

14 Матишов Д.Г., Ильин Г.В., Моисеев Д.В. Сезонная термохалинная изменчивость водных масс в Таганрогском заливе Азовского моря. Вестник южного научного центра РАН, Т.3,№ 1,2007, с.28-35.

Особенностью моделирования гидродинамики Керченского пролива является наличие косы Тузла. Так как после строительства дамбы в 2003 г. натурные данные по гидродинамики не собирались, то настройка модели проводилось без учета современной береговой линии по натурным данным, полученным до 2003 года, когда Тузловская коса была размыта. Натурные данные были выбраны с четырех метеорологических станций (Рис. 11), при этом выбирались те даты, когда существовали наблюдения хотя бы на трех рассматриваемых станциях одновременно. Предполагалось, что ветровое поле над всей акваторией равномерно.

Оценка погрешности проводилась с одновременным учетом данных

. Рассчи-

по всем четырем метеостанциям: ^ = у/

танные при различных ветровых ситуациях поля скоростей принимались к рассмотрению, если погрешность не превышала 50%. В противном случае считалось, что при рассматриваемой ветровой ситуации на течение в проливе сильное влияние оказывают факторы, которые математическая модель не учитывает. Полученные поля скоростей могли использоваться в качестве начального распределения для последующих расчетов.

! ШШ}»!: "ЩШшШ^

:::!!! ) Шй::

, агштшшт.-л

. .. МУЛ:

и I

Рис. 11

: я,»,«,,.

11111«

Картина течения в Керченском проливе через 3 часа после смены ветра с северного на южное направление

Характерной ситуацией в Керченском проливе является смена течений с Азовоморского на Черноморское или наоборот. С помощью построенной математической модели была численно исследована возможная динамика изменения течения в указанные дни. Сначала было рассчитано Азовомор-ское течение под действием северо-восточного ветра силой 3 м/с. Затем под действием юго-юго-западного ветра силой 3,5 м/с проводился расчет течений на протяжении 7 часов модельного времени.

В течение первого часа направление течения изменилось, в основном, в примыкающих к проливу заливах. Через три часа после смены направления ветра Черноморское течение занимает почти всю южную часть пролива, исключение составляет течение через створ между о. Тузла и Таманским полуостровом. Очень слабые течения наблюдаются в северной (разрез п. Крым-п. Кавказ) и Павловской (разрез о. Тузла-п-ов Крым) узостях (Рис. 11). К концу седьмого часа Черноморское течение полностью формируется.

Трехмерность модели позволяет рассчитать скорость течения на любом горизонте от поверхности до дна. Численно получена динамика изменения эпюры скоростей в центре Павловской узости при описанной выше смене течений (Рис. 12). В первые три часа происходит ослабление северного течения, затем, начиная с четвертого часа, начинает набирать силу южное течение. Это происходит на всех горизонтах - от поверхности до дна.

ер ном

зрское

Лювоъ орскск: течен

0,2 0,2

0 2 03 0,4 0,5 0.6 0/>

скорость течения, (м.'с)

Рис. 12. Изменение во времени эпюры скоростей в Павловской узости

Рис.13. Поле скоростей (см/с) в Керченском проливе при отсутствии дамбы вдоль

косы Тузла

Рис. 14. Поле скоростей (см/с) в Керченском проливе при наличии дамбы вдоль косы Тузла

Сравнивая поля течений при наличии и отсутствии дамбы, установлено подобие этих течений в проливе в целом. Исключение составляет окрестность о. Тузла. При отсутствии дамбы (Рис.13) в случае действия юго-западного ветра основная масса воды через восточный створ нагоняется в Таманский залив. Часть воды движется вдоль северной стороны острова Тузла на север. При наличии дамбы (Рис. 14).в Таманский залив вода поступает, в основном, с северной стороны о. Тузла, но двигаясь уже в южном направлении.

Численно установлено, что наличие или отсутствие дамбы не оказывает существенного влияния на расход воды в центральной части Керченского пролива. Однако дамба влияет на перераспределение потока в районе о. Тузла. Наличие дамбы естественным образом резко сократило поступление воды через протоку между о.Тузла и Таманским полуостровом и, в то же время, увеличило расход воды через протоку между о. Тузла и Крымским полуостровом.

Рис. 16. Картина установившегося течения в южной части Цимлянского водохранилища при действии постоянного ветра восточного направления

Рис. 15. Картина течения в южной части Цимлянского водохранилища в первые 2 часа действия восточного ветра

В четвертом разделе третьей главы приводятся результаты расчетов течений в южной части Цимлянского водохранилища при различных ветровых ситуациях. Южная часть Цимлянского водохранилища (эта часть еще называется Приплотинным плесом) была выбрана по той причине, что она входит в 30-ти километровую зону ВоАЭС и представляет особый интерес.

р.Цимпа

ВоАЭС

• Волгодонск

Численно установлено, что для любого направления ветра при постоянном его действии возможно образование двух совершенно разных типов течений. Первый тип носит характер поступательного по всей акватории движения жидкости без появления каких-либо зон циркуляции. Такое течение наблюдается в первые часы действия ветра (Рис. 15). Второй тип течения возникает при продолжительном действии ветра. Течение имеет несколько циркуляционных зон и носит установившийся характер (Рис. 16). Расчеты переноса и оседания вещества проводились с учетом этих двух типов течения.

В четвертой главе рассматриваются различные случаи использования модели переноса вещества в водоемах.

В первом разделе четвертой главы приводятся результаты применения построенной математической модели переноса вещества к задаче восстановления неполных натурных данных на примере Азовского моря. Подобная задача возникает, когда необходимо провести исследования гидрофизических процессов во всем водоеме, а измерения проведены лишь в ограниченном числе точек моря.

Второй раздел четвертой главы посвящен исследованию основных случаев поступления загрязняющего вещества в Цимлянское водохранилище:

- залпового выброса загрязнения из трубы АЭС на водную поверхность водохранилища;

- поступления загрязнения в водохранилище через береговую линию;

- поступления загрязнения с притоками малых рек, например, р. Цимла;

- поступления загрязнения из створа р. Дон;

- поступления загрязнения через всю водную поверхность.

Построенная для данного района роза ветров указывает на преобладание ветров восточного направления. Численно установлено, что распределения по акватории взвешенного вещества и донного осадка для одного и того же поля скоростей часто подобны.

Расчеты показали, что для течений I типа при восточных ветрах накопление взвешенного вещества для указанных видов выброса происходит, в основном, в районе порта Волгодонск, г. Цимлянска и ВоАЭС (Рис. 17).

Для течений II типа при действии восточного ветра наибольшее накопление осадка происходит в центральной части Приплотиниого плеса, уменьшаясь при приближении к плотине ГЭС (Рис. 18), и лишь малая часть оседает в районе створа р.Дон.

Проведенные замеры проб извлеченного грунта учеными лаборатории ядерной физики НИИФ ЮФУ показали, что в случае поступления взвешенного вещества из створа р. Дон основная часть взвеси оседает вдоль старого

русла Дона15. С этим фактом хорошо согласуются результаты вычислительного эксперимента (Рис. 19).

Рис. 17. Характерное распределение концентрации вещества после его выброса при действии ветра восточного направления

Рис. 18. Характерное распределение донного осадка при действии ветра восточного направления

Рис. 19. Распределение донного осадка при поступлении вещества из створа р. Дон под действием северного ветра

В пятой главе дается описание созданных программных комплексов для расчета гидрофизических процессов в водоемах описанного типа, ис-

15 Бессонов O.A., Давыдов М.Г. и др. Содержание радионуклидов в донных отложениях Цимлянского водохранилища. Атомная энергия, 1994. т.77, вып. 1. С.48-50.

пользующихся на высокопроизводительных вычислительных системах и зарегистрированных в Реестре программ для ЭВМ.

В суперкомпьютерном центре Южного Федерального Университета существует единый гетерогенный вычислительный кластер, работающий под управлением общей диспетчерской системы управления заданиями OpenPBS (Portable Batch System) с использованием протокола MPI (Message Passing Interface). В кластер сконфигурированы следующие вычислительные системы.

IBM-кластер 1350 состоит из управляющего компьютера и 12 вычислительных узлов, производительность всего кластера в целом 252 Gflops.

INFINI-кластер состоит из управляющего компьютера и 21-го вычислительного узла, производительность всего кластера в целом 115 Gflops.

QUAD - рабочая станция представляет собой компьютер с 4-х ядерным процессором, производительность вычислительного узла составляет порядка 40 Gflops.

Диспетчерская система позволяет одновременно обрабатывать до 34 обычных однопроцессорных программ или объединять мощности нескольких процессоров для решения одной задачи.

В первом разделе описываются используемые при расчетах вычислительные системы, приводятся результаты сравнения этих систем по производительности, а также даются краткие сведения о счетных модулях, составленных на языке FORTRAN 90. Кроме того, сравнивалась эффективность программ, написанных на Фортране 77 и Фортране 90. Для тестирования использовалась задача расчета течений в Керченском проливе.

Таблица 2. Сравнение производительности различных вычислительных ____платформ ______

Пр INFINI (сек.) Sp Sp/np (%) IBMX (сек.) Sp Sp/np (%) QUAD (сек.) Sp

1 1858 1,0 100 1677 1,0 100 1203 1,0

2 971 1,9 97 853 2,0 100 1008 1,2

3 714 2,6 87 570 2,9 98 -

4 545 3,4 85 435 3,9 97 -

S 470 4,0 80 357 4,7 94 -

6 405 4,6 77 313 5,4 90 -

7 362 5,1 73 273 6,1 87 -

Численно установлено, что эффективнее всего работает кластер IBMX, хотя однопроцессорная задача быстрее выполняется на QUADe. Наибольшее ускорение (Sp) наблюдается на кластере IBMX (Таблица 2), а максимально возможное ускорение на этой платформы сохраняется для числа узлов пр < 4. На кластере INFINI эта величина сохраняется только для пр< 2. На машине QUAD вообще не имеет смысла решать подобные задачи на двух ядрах и более.

Проведено сравнение времени выполнения программ, написанных на Фортране 77 и Фортране 90 и реализованных на кластерах INFINI и IBMX для (Рис. 20). Видно значительное преимущество языка Фортран 90, которое увеличивается с числом используемых узлов.

7,0

1 2 3 4 5 6 7

Количество узлов кластера

Рис. 20. Сравнение производительности кодов, написанных на Фортране 77 и

Фортране 90

Во втором разделе описывается программный комплекс для Цимлянского водохранилища, а в третьем разделе для Азовского моря.

Данные программные комплексы подобны, и отличаются, в основном, формами для ввода данных. В предлагаемых программных комплексах пользовательский интерфейс реализован в виде Web-интерфейса, организованного в виде HTML-форм. Пользователю необходимо заполнить поля формы для конкретизации расчета и формирования входных файлов: задать шаг по времени, временной интервал расчета; задать поле скоростей, файл с начальным распределением вещества; указать вычислительную платформу, метод расчета и т.п.

Все данные из HTML-форм, поступающие от клиента на сервер, обрабатываются CGI-скриптами, которые написаны на языке Perl. Во время выполнения счетная программа постоянно обновляет созданную ранее HTML-страницу, на которой выдается информация о проценте выполненной работы.

Все используемые программы на сервере, а именно, интерпретатор языка Perl, GnuPlot, OpenPBS, MPI являются свободно распространяемыми.

В заключении приведены основные результаты, полученные в диссертационной работе.

К ЗАЩИТЕ ПРЕДСТАВЛЕНЫ СЛЕДУЮЩИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ:

1. Разработана, численно и программно реализована математическая модель гидрофизических процессов в водоемах, содержащих обширные мелководные районы.

2. Построены математические модели гидродинамики Азовского моря в целом, Таганрогского залива, Керченского пролива и Южной части Цимлянского водохранилища. По имеющимся натурным данным выполнена верификация построенных моделей и проведены вычислительные эксперименты.

3. Построена математическая модель переноса и оседания взвешенного вещества для водоемов описываемого типа. С помощью данной модели выявлены зоны возможного накопления загрязняющего веществ в южной части Цимлянского водохранилища.

4. Созданы программные комплексы, реализующие предложенные математические модели на высокопроизводительных вычислительных системах.

Основные результаты исследования опубликованы в следующих работах:

1. Матишов Г.Г., Архипова О.Е., Чикин А.Л. Модельный подход к восстановлению пропущенных данных по солености на примере Азовского моря. ДАН, 2008, т. 420, № 5, с. 687-690

2. Чикин А.Л. Построение и численное исследование 3D модели гидродинамики Азовского моря. Труды Международной конференции, посвященной 80-летию академика Н.Н. Яненко «Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика». Новосибирск, Академгородок, 24 - 29 июня 2001 года. Вычислительные технологии, Новосибирск, 2001, т.6, спецвыпуск, с. 686-692.

3. Чикин А.Л. Трехмерная задача расчета гидродинамики Азовского моря.//Математическое моделирование. Т.13. № 2, 2001. С.86-92.

4. Чикина Л.Г., Чикин А.Л. Моделирование распространения загрязнения в Мобилском заливе (США).// Математическое моделирование. Т.13. № 2,2001. С.93-98.

5. Shabas I.N., Chikin A.L. A 3D sediment transport model.// Математическое моделирование. Т.13. № 3,2001. С.85-88.

6. Чикин А.Л., Крукиер Л.А. Численное исследование поведения некоторых разностных схем при решении уравнений мелкой воды. Вычислительные технологии, Новосибирск, 1995, т. 4, № 10, с. 300 - 311.

7. Крукиер Л.А., Муратова Г.В., Чикин А.Л. ППП "Pollution" для расчета распространения загрязнения в мелких водоемах. Вычислительные технологии, Новосибирск, 1993, т. 2, № 6, с. 133 -146.

8. Чикин АЛ. Об одном из методов расчета параметров течений в водоемах с большой неоднородностью глубин. Водные ресурсы, 2005, т. 32. № 1, с. 55-60.

9. Чикин А.Л., Шабас И.Н., Сидиропуло С.Г. Моделирование процесса переноса загрязняющего вещества в Цимлянском водохранилище. Водные ресурсы, 2008, т. 35. № 1, с. 53-59.

10.A.JI. Чикин, И.Н. Шабас, С.Г. Сидиропуло. Математическая модель распространения радионуклидов в Цимлянском водохранилище в случае их залпового выброса //Вестник Южного научного центра РАН, Т.2, №3, 2006, с.78-81.

11 .Чикин A.JI., Шабас И.Н. Построение трехмерной гидрофизической модели Азовского моря. Известия ВУЗов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. № 3, 2001. С.33-37.

12.Чикин A.JL, Шабас И.Н., Никитенко О.Б. Трехмерная модель гидрофизических процессов Азовского моря и ее численное исследование. Известия ВУЗов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. Спецвыпуск, 2001. С.158-160.

13.Сидиропуло С.Г., Чикин A.JI. Трехмерная математическая модель переноса загрязнения в Цимлянском водохранилище. В Сб. трудов XII Всероссийской школы-семинара «Современные проблемы математического моделирования». Ростов-на-Дону, ЮФУ, 2007, с.263-267.

14.Чикин A.JI., Шабас И.Н., Циркунова М.В. Восстановление пропущенных натурных данных с помощью математической модели (на примере солености Азовского моря). В Сб. трудов XII Всероссийской школы-семинара «Современные проблемы математического моделирования». Ростов-на-Дону, ЮФУ, 2007, с.306-312.

15.Чикина Л.Г., Чикин А.Л. Математическая модель процесса оседания взвеси в водоемах с судоходным каналом. В Сб. трудов XII Всероссийской школы-семинара «Современные проблемы математического моделирования». Ростов-на-Дону, ЮФУ, 2007, с.313-320.

16.Чикин А.Л., Сидиропуло С.Г. Математическая модель процесса заиления подводных судоходных каналов. В сб. Исследования по математическому анализу, математическому моделированию и информатике. Владикавказ: Владикавказский научный центр РАН и РСО-А, 2007, с. 237-244.

17.Чикин А.Л., Шабас И.Н., Сидиропуло С.Г. Моделирование переноса загрязнения при его залповом выбросе в Цимлянское водохранилище в районе Ростовской АЭС. В сб. Исследования по математическому анализу, математическому моделированию и информатике. Владикавказ: Владикавказский научный центр РАН и РСО-А, 2007, с. 245-248.

18.Чикина Л.Г., Чикин А.Л. Трехмерная модель распространения вещества в Мобилском заливе. // Сборник трудов XI Всероссийской школы-семинара «Современные проблемы математического моделирования» - Ростов-на-Дону: Изд. РГУ, 2005 - с. 428-436.

19.Чикин А.Л., Сидиропуло С.Г. Математическая модель гидродинамики Цимлянского водохранилища. // Сборник трудов XI Всероссийской школы-семинара «Современные проблемы математического моделирования» - Ростов-на-Дону: Изд. РГУ, 2005 - с. 399-406.

20.Крукиер Л.А., Муратова Г.В., Никитенко О.Б., Чикин А.Л. Модель термического режима водоема. В кн. Экосистемные исследования Азовского моря и побережья. Отв. ред. Матишов Г.Г. Издательство КНЦ РАН, Апатиты, 2002. С. 139-150.

21.Крукиер Л.А., Чикин А.Л., Шабас И.Н. Трехмерная модель гидродинамики Азовского моря и ее численная реализация. В кн. Среда, биота и моделирование экологических процессов в Азовском море. Отв ред. Матишов Г.Г. Издательство КНЦ РАН, Апатиты, 2001. С. 282-297

22.Крукиер Л.А., Чикин А.Л., Шабас И.Н. Трехмерная модель гидродинамики Азовского моря и ее численная реализация. В кн. Среда, биота и моделирование экологических процессов в Азовском море. Отв ред. Матишов Г.Г. Издательство КНЦ РАН, Апатиты, 2001. С. 282-297

23.Чикин А.Л. Численное исследование математической модели гидродинамики Азовского моря и Таганрогского залива. Труды IX Всероссийской школы-семинара «Современные проблемы математического моделирования», 17-21 сентября 2001 г., п. Абрау-Дюрсо, С.405-409.

24.Дацюк В.Н., Чикин А.Л. Современные технологии при решении задач математического моделирования// Труды Всероссийской конференции «Математическое моделирование и проблемы экологической безопасности», 2000, Ростов-на-Дону, с.84 -88.

25.Чикин А.Л. Трехмерная математическая модель гидродинамики Азовского моря.// Труды Всероссийской конференции «Математическое моделирование и проблемы экологической безопасности», 2000, Ростов-на-Дону, с.222 -229.

26.Шабас И.Н., Чикин А.Л. Трехмерная задача распределения солености и распространения примеси в водоеме.// Труды Всероссийской конференции «Математическое моделирование и проблемы экологической безопасности», 2000, Ростов-на-Дону, с.238 -244.

27.Чикин А.Л. Трехмерная модель гидродинамики Азовского моря. Сборник трудов VIII Всероссийской школы-семинара «Современные проблемы математического моделирования». Абрау-Дюрсо, 6-12 сентября 1999 г, с. 246-250.

28.Чикин А.Л., Шабас И.Н., Сидиропуло С.Г. Свидетельство об официальной регистрации программ для ЭВМ №2008611654 «Расчет гидродинамических параметров, переноса и оседания вещества в Цимлянском водохранилище на многопроцессорных вычислительных системах с использованием \УеЬ-интерфейса». Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 29 мая 2008 года

29.Шабас И.Н., Чикин A.JL, Мерзляков В.А., Белоконь O.A., Чикина Л.Г. Свидетельство об официальной регистрации программ для ЭВМ № 2005612496 «Расчет распространения примесей в Азовском море на многопроцессорных вычислительных системах с использованием WEB-интерфейса». Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 26 сентября 2005 года.

ЗО.Чикин А.Л., Шабас И.Н., Чикина Л.Г. Свидетельство об официальной регистрации программ для ЭВМ № 2005612497 «Расчет гидродинамических параметров в Азовском море на многопроцессорных вычислительных системах с использованием WEB-интерфейса». Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 26 сентября 2005 года.

Вклад автора в совместные работы заключается в постановке проблемы в целом [1, 9, 10,13, 14, 19], в постановке гидродинамической составляющей, проведении вычислительных экспериментов и анализе результатов [4, 5, 12, 15, 16, 17, 18, 20, 21, 26], в проведении вычислительных экспериментов [6, 7, 24], в описании гидродинамического модуля [28,29,30].

Издательство «ЦВВР». Лицензия ЛР № 65-36 от 05.08.99 г. Сдано в набор 12.01.09 г. Подписано в печать 12.01.09 г. Формат 60*84 1/ 16 Заказ № 1006. Бумага офсетная. Гарншура «Тайме». Оперативная печать. Тираж 100 экз. Печ. Лист 2,18. Усл.печл. 2,02. Типография: Издательско-полиграфическая лаборатория УНИИ Валеологии

«Южный федеральный университет» 344091, г. Ростов-на-Дону, ул. Зорге, 28/2, корп. 5 «В», тел (863) 247-80-51. Лицензия на полиграфическую деятельность № 65-125 от 09.02.98 г.

Оглавление автор диссертации — доктора физико-математических наук Чикин, Алексей Львович

Введение.

Глава 1. Математическое описание рассматриваемых задач.

1.1. Краткий обзор работ по моделированию гидрофизических процессов в водоемах.

1.2. Двухслойная математическая модель гидродинамики в водоемах с большой неоднородностью глубин.

1.2.1. Граничные условия.

1.2.2. Задание ветрового поля.

1.3. Модель переноса, взмучивания и оседания взвеси.

Введение 2009 год, диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению, Чикин, Алексей Львович

Моделирование гидрофизических процессов в водоемах юга России, таких как Азовское море и Цимлянское водохранилище, имеет большое значение для экономики Южного федерального округа. Эти водоемы являются важными транспортными артериями, обладают уникальной рыбопродуктивностью, содержат большие запасы пресной воды. Кроме того, в районе Цимлянского водохранилища расположен энергетический узел юга России. Любая авария на транспорте и промышленных объектах, приводящая к экологической катастрофе, такой как разливы нефтепродуктов или попадание химических веществ в водоемы, произошедшая в указанных водоемах, может оказать существенное влияние на социально-экономическую обстановку в данном регионе страны и требуют незамедлительного принятия решений по прогнозированию возможных последствий. Примером такой экологической катастрофы является гибель 13 судов в Керченском проливе во время шторма 11 ноября 2007 г. Для принятия правильного решения необходимо иметь в наличии методы, позволяющие оперативно смоделировать дальнейшее развитие экологической обстановки.

Естественным средством объективного анализа возникающих в природе проблем являются методы, основанные на построении и изучении математических моделей природных систем.

Современное оснащение океанологических экспедиций, а также накопленный уровень знаний позволяют глубже анализировать материалы наблюденных данных и делать более совершенными прогностические выводы [86, 87, 89]. Но в то же время по-прежнему триада «модель - алгоритм - программа» [114] является для исследователя универсальным, гибким и недорогим инструментом, который вначале отлаживается и тестируется в «пробных» вычислительных экспериментах.

Математическое моделирование гидрофизических процессов проводилось по классической схеме:

• выражение в математической форме важнейших связей и законов, присущих изучаемому природному объекту (водоему);

• разработка алгоритмов для реализации модели на современной ЭВМ;

• создание и отладка программного обеспечения, необходимого для проведения большого числа расчетов и реализующего выбранные математические модели и алгоритмы на высокопроизводительных вычислительных системах;

• установление адекватности построенной модели исходному объекту;

• проведение вычислительных экспериментов, дающих все требуемые качественные и количественные свойства и характеристики объекта.

Метод математического моделирования в настоящее время применяется во всех областях знаний, описывая различные процессы [51, 79, 122]. Используя аналогии с квазигазодинамической системой уравнений, моделируются потоки автомобильного транспорта на улицах больших городов и автострадах. В работе [49] на приближении сплошной среды предлагается двумерная модель потоков автомобильного транспорта, позволяющая рассчитывать потоки в области, соответствующей реальной геометрии многополосной магистрали. Данная модель является аналогом кинетически-согласованных разностных схем, которые используются для описания вязких сжимаемых и несжимаемых газодинамических течений. Широкое применение математическое моделирование получило в экологии [72, 123, 158, 205, 219], а среди проблем экологии особое место занимают проблемы сохранности качества природных вод. Наиболее масштабным и значительным загрязнением водоемов является их химическое загрязнение. По этой причине особое внимание 5 уделяется моделированию распространения и оседания взвесей [31, 145, 154, 168, 212, 214]. Наличие современной высокопроизводительной вычислительной техники дает возможность определения последствий строительства и эксплуатации тех или иных промышленных и технических сооружений, используя современные математические модели различных экологических процессов [58, 62, 76, 82, 95, 116, 246, 250].

Проблема долгосрочного экологического прогнозирования с помощью математического моделирования с использованием доступной фактической информации о многолетней динамике климата обсуждается в [98]. Здесь же описывается методика количественных оценок риска на основе прямого и обратного моделирования и методов теории чувствительности, а также приведены примеры расчетов областей риска для озера Байкал.

К настоящему времени уже накоплен достаточно большой опыт в решении задач гидродинамики и тепломассопереноса с помощью математических моделей и анализа фактической информации, активно ведутся работы по фундаментальным вопросам и методам математического моделирования с использованием высокопроизводительных вычислительных систем. Этот опыт представлен, например, в работах [9, 26, 36, 98, 99, 100, 108, 137, 139].

Реализации любых проектов, связанных с существенным воздействием на природную среду, должно предшествовать создание математической модели и проведение серии вычислительных экспериментов, позволяющих оценить все аспекты этого воздействия как в перспективе, так и при возникновении всевозможных кризисных и экстремальных ситуаций [124, 126].

Определенный интерес представляют водоемы с морфологическими особенностями донной поверхности, в частности, водоемы, где наряду с относительно глубоководными районами присутствуют большие по площади районы мелководья (прибрежная зона, лиманы, заливы и т.д.), глубина которых соразмерна с величиной перепада уровня воды при сгонно-нагонных явлениях. Применение уравнений мелкой воды к моделированию течений в таких водоемах не даст достоверной картины течений в глубоководных районах [27, 62, 185, 186]. Для подобных водоемов наиболее распространенные методы моделирования гидрофизических процессов связаны с предварительным преобразованием области, таким как переход к ст-координатам [169, 172, 203]. Другие методы решения данной задачи основаны на использовании криволинейных или сгущающихся в определенной области сеток [57, 118]. Для более точного описания границы вводятся специальные координатные системы, хорошо согласуемые с границей, или строятся специальные адаптивные сетки, которые подстраиваются в процессе расчетов под область и решение [117, 119, 200]. Решение задач в областях с такой сложной геометрией возможно с использованием тетраэдальных сеток, позволяющих описывать .область с необходимой точностью [49]. Подобные задачи движения^ жидкости в водоеме можно также решать на равномерных прямоугольных сетках в их общей постановке [79, 80, 137, 138], но для этого по вертикали потребуется очень высокое разрешение сетки.

В данной работе представлены исследования, проведенные автором диссертации совместно с сотрудниками Южно-Российского Регионального Центра информатизации Южного федерального университета (ЮГИНФО ЮФУ) и Южного научного центра РАН (ЮНЦ РАН), главным результатом которых является создание трехмерной двухслойной математической'модели для изучения гидрофизических процессов, протекающих во внутренних водоемах.

Объектами исследования в представляемой работе являются Азовское море и его основные придаточные водоемы — Таганрогский залив и Керченский пролив, а также южная часть Цимлянского водохранилища.

Основной идеей модели является декомпозиция всей расчетной области на два слоя - верхний, определяемый максимальной глубиной мелководья, и нижний, представляющий оставшуюся глубоководную часть водоема. Модель описывается уравнениями движения вязкой несжимаемой жидкости, которые решаются конечно-разностными методами и численно реализуется на высокопроизводительных вычислительных системах.

Построенная модель имеет модульную структуру. После введения массива глубин, определяющего конфигурацию исследуемого водоема, отдельные модули проводят идентификацию расчетных ячеек и их индексацию в зависимости от типа решаемой задачи. Затем заполняются массивы, отвечающие за формирование матриц систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), получающихся в результате конечно-разностной аппроксимации дифференциальных уравнений, а также их правые части. Получаемые СЛАУ решаются с помощью пакета параллельных программ Aztec. Рассчитанные гидродинамические параметры используются в блоках, отвечающих за перенос вещества, в качестве входных данных.

Для наглядного представления рассматриваемых гидрофизических процессов получаемые результаты расчетов визуализируются с помощью программы «ВизаЭффект» [8], разработанной в ЮГИНФО ЮФУ.

Представляемый метод построения двухслойной трехмерной математической модели гидрофизических процессов в водоемах ранее никем не применялся. Использование горизонтальной плоскости для декомпозиции всей области расчета на мелководный слой и глубоководную область с последующим применением конечно-разностных методов представляет элемент новизны.

Представленные в диссертации результаты имеют строгое математическое обоснование, полученные результаты вычислительных экспериментов хорошо согласуются с результатами других авторов. Оценка качества прогнозируемых значений [92], вычисляемых с помощью предлагаемой модели, показала, что метод расчета дает приемлемые результаты для оперативных прогнозов, а проведенный статистический анализ полученных результатов показал высокую корреляцию (г = 0,7 ч- 0,9) между расчетными и натурными данными как для перепадов уровня, так и для солености. Кроме того, погрешности расчетных значений с высоким уровнем значимости не отличаются от 0.

Содержание работы

В первом разделе приводится обзор работ по моделированию гидрофизических процессов в водоемах. Особое внимание уделяется работам, посвященным проблемам Азовского моря в целом и Таганрогского залива в частности. Здесь же дается краткое описание существующих моделей и программ для расчета гидрофизических параметров в различных водоемах.

Во втором разделе первой главы описывается гидродинамическая составляющая модели. Автор диссертации предлагает проводить разбиение всей расчетной области на две подобласти: верхний слой, куда относится все мелководья и нижний слой, содержащий глубоководные районы. Течение воды в верхнем слое осуществляется под действие ветра и учитывает движение глубоководного слоя водоема. Оно описывается уравнениями мелкой воды с добавлением членов, описывающих влияние глубоководного слоя на мелководный. Движение воды в нижнем слое инициируется движением верхнего слоя, а также перепадом давления, и описывается трехмерными, уравнениями движения несжимаемой жидкости. Полученные уравнения замыкаются соответствующими граничными условиями: на твердой границе для скоростей задаются условия скольжения, на участках втока рек задаются ненулевые условия 1 рода, на участках свободной границыставятся краевые условия 3 рода, описывающие втекания или вытекания воды, между слоями используются условия равенства скоростей по горизонтали. Такой подход, по мнению автора, существенно упрощает как постановку задачи, так и последующее численное ее решение, сохраняя при этом адекватность полученной модели. В этом же разделе приводится описание способа задания ветрового поля над всей акваторией исследуемого водоема.

В третьем разделе первой главы описывается модель переноса вещества, основанная на уравнении конвекции-диффузии. Приведенные граничные условия учитывают процессы взмучивания и оседания вещества, поступление его через открытые границы. Постановка задачи допускает возможность содержания в донном осадке нескольких фракций, отличающихся гранулометрическими свойствами. В случае расчета поля солености учитывается поступление соленой воды через Керченский пролив в Азовское море.

Во втором разделе второй главы описывается построение разностной сетки в расчетной области, разнесение неизвестных по счетной ячейке и идентификация расчетных ячеек. Отдельно приводятся используемые при расчетах конечно-разностные схемы, а также алгоритмы их применения.

Учитывая разностный шаг по вертикали и значения глубин в узлах плоской сетки, по количеству вершин, находящихся в водной толще, определяются ячейки-параллелепипеды «вода» и «суша». Логический массив, характеризующий тип ячеек («вода», «суша»), задает конфигурацию всей расчетной области. Кроме того, более подробная информация о месте расположения конкретной ячейки в расчетной области содержится в специальном целочисленном массиве. В процессе расчета некоторые ячейки из мелководного слоя с малой глубиной могут осушаться в силу сгонного явления* и переходить в разряд «суша». Кроме того, ячейки, перешедшие в разряд «суша», в силу нагонного явления могут возвращаться в разряд «вода». Значение глубины в текущей ячейке задается с учетом закона сохранения массы.

В третьем разделе второй главы дается общее описание алгоритма расчета гидродинамических параметров, приводится его блок-схема. Здесь же приводятся разностные схемы для вычисления всех параметров течения и переноса вещества. Конвективные слагаемые в уравнениях движения и уравнении переноса аппроксимируются разностями против потока и вычисляются по неявным схемам. Численно установлено, что в силу взаимной зависимости перепада уровня и компонентов скорости возможно проявление неустойчивости при расчете гидродинамики. Проведенные расчеты и исследования других авторов показали, что даже полностью неявные схемы не делают алгоритм вычисления гидродинамических параметров абсолютно устойчивым.

Было предложено вычислять величину уровня водной поверхности по модифицированной неявной схеме. Это позволило увеличить шаг по времени, однако, ограничение на него существует. Здесь же дается теоретическое обоснование выбираемой схемы, а также определяется условие ее устойчивости.

В четвертом разделе второй главы приводятся результаты сравнения на тестовой задаче предлагаемой модели с трехмерной моделью и двухмерной. основанной на уравнениях мелкой воды.

В пятом разделе второй главы дается описание библиотеки прикладных программ Aztec для решения СЛАУ параллельными методами. Aztec включает в себя процедуры, реализующие ряд итерационных методов подпространства Крылова:

• обобщенный метод минимальных невязок (GMRES),

• квадратичный метод сопряженных градиентов'(CGS),

• метод квазиминимальных невязок (TFQMR),

• метод бисопряженных градиентов (BiCGSTAB) со стабилизацией.

В третьей главе дается подробное описание численных расчетов гидродинамических параметров течения воды в различных водоемах.

В первом разделе третьей главы приводятся результаты расчетов течений в Азовском море. По известным натурным данным для этого водоема проводится настройка всей гидродинамической модели. Сравнение с наблюденными значениями проводится как по перепадам уровней воды, так и по картинам течений в море в целом.

В третьем разделе третьей главы исследуются течения в Керченском проливе. В начале раздела дается обзор литературы по течениям в данном проливе и по моделированию течений в проливах вообще. Настройка представляемой математической модели течений проводилась по натурным данным, полученным в период, когда Тузловская коса была размыта (период 1925 — 2003 гг.). Затем проводились расчеты течений с учетом построенной в 2003 г. дамбы.

В четвертом разделе третьей главы приводятся результаты расчетов течений в южной части Цимлянского водохранилища. Численно установлено существование двух типов течений в зависимости от продолжительности действия ветра.

В четвертой главе рассматриваются различные случаи переноса вещества в водоемах.

В первом разделе четвертой главы приводятся результаты применения построенной математической модели гидрофизических процессов к восстановлению неполных данных по солености на примере Азовского моря; Подобная задача возникает, когда необходимо провести исследования гидрофизических процессов во всем водоеме, а термохалинные измерения проведены лишь в ограниченном числе точек моря.

Результаты расчетов по модели хорошо совпадают с результатами метода пространственной интерполяции, наиболее распространенного для решения подобной задачи.

Второй раздел четвертой главы посвящен исследованию основных случаев поступления загрязняющего вещества в Цимлянское водохранилище: после залпового выброса загрязнения из трубы АЭС на водную поверхность водохранилища; поступления загрязнения в водохранилище через береговую линию; поступления загрязнения с притоками малых рек, например, р. Цимла; поступления загрязнения из створа р. Дон; поступления загрязнения через всю водную поверхность.

Проведены расчеты распределения в воде концентрации взвешенного вещества; а также распределения донного осадка в южной части водохранилища. Дан анализ полученным результатам.

В пятой главе дается описание созданных программных комплексов для расчета гидрофизических процессов в водоемах указанного типа, реализованных на высокопроизводительных вычислительных системах и зарегистрированных в Реестре программ для ЭВМ.

Во втором разделе описывается реализация программного комплекса для Цимлянского водохранилища, а в третьем разделе - для Азовского моря.

Данные программные комплексы подобны, и отличаются, в основном, формами для ввода данных. В предлагаемых программных комплексах пользовательский интерфейс реализован в виде Web-интерфейса, организованного в виде HTML-форм. Пользователю необходимо заполнить поля формы для конкретизации расчета и формирования входных файлов: задать шаг по времени, временной интервал расчета; задать начальное поле скоростей, файл с начальным распределением вещества; указать вычислительную платформу, метод расчета и т.п.

В конце каждой главы кратко приводятся основные выводы.

В заключении приведены основные результаты, полученные в диссертационной работе.

К ЗАЩИТЕ ПРЕДСТАВЛЕНЫ СЛЕДУЮЩИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ:

2. Построены математические модели гидродинамики Азовского моря в целом, Таганрогского залива, Керченского пролива и Южной части Цимлянского водохранилища. По имеющимся натурным данным проведена верификация построенных моделей и проведены вычислительные эксперименты.

3. Построена математическая модель переноса и оседания взвешенного вещества. С помощью данной модели выявлены зоны возможного накопления загрязняющего веществ в южной части Цимлянского водохранилища.

Заключение диссертация на тему "Разработка и реализация двухслойной математической модели гидрофизических процессов в водоемах с обширными районами мелководья на высокопроизводительных вычислительных системах"

5.4. Основные выводы по Главе 5

В рамках представленного диссертационного исследования были созданы программные комплексы, реализующие предложенные математические модели на высокопроизводительных вычислительных системах. Данные комплексы позволяют рассчитывать гидродинамические параметры, распределение вещества в Азовском море в целом и Цимлянском водохранилище, при этом у пользователя имеется возможность выбирать ту или иную вычислительную систему.

Проведенное сравнение вычислительных систем, а также двух версий языка Фортран позволило сделать вывод о более высокой производительности кластера IBMX для задач подобного класса. При составлении программ для данных задач несомненно следует использовать язык программирования Фортран 90 вместо языка Фортран 77.

Заключение

Предложен метод построения математической модели гидрофизических процессов в водоемах, содержащих как глубоководные районы, так и обширные районы с мелководьем. Основная идея метода заключается в декомпозиции расчетной области горизонтальной плоскостью, которая отделяет верхний, мелководный слой от нижнего глубоководного. Такое разбиение позволяет применять конечно-разностные методы с применением равномерных прямоугольных сеток без предварительных преобразований расчетной области и входящих в модель уравнений.

Проведен обзор численных методов решения задач расчета гидродинамических параметров течения и задач переноса вещества. Для решения поставленной в работе задачи выбраны наиболее удобные для этой цели конечно-разностные схемы. Это противопотоковые неявные схемы для-решения уравнений движения и уравнения переноса. Применение модифицированной схемы для вычисления перепада уровня воды позволило увеличить шаг по времени. Приведено теоретическое обоснование используемой схемы, а также определено условие ее устойчивости.

Подробно описана классификация ячеек, позволяющая легко определять нужный тип ячеек при составлении матриц получаемых СЛАУ.

Проведенное сравнение предлагаемой двухслойной модели с трехмерной и двухмерной (основанной на уравнениях мелкой воды) моделями показало, что все три модели достаточно подобны между собой. Трехмерная модель позволяет определить поле скоростей на любом горизонте от поверхности до дна. В то же время двумерная модель, основанная на уравнениях мелкой воды, считает гораздо быстрее других моделей, но дает картину течений только на поверхности водоема. Двухслойная же модель описывает течения как на поверхности водоема, содержащего глубоководные и мелководные районы, так и на всех горизонтах до самого дна, и считает на порядок быстрее, чем трехмерная модель.

Анализ итерационных методов, содержащихся в пакете Aztec, позволил выбрать для решения гидродинамической задачи метод CGS, а для решения задачи переноса метод BiCGStab как наиболее эффективные для данных задач методы.

Разработана математическая модель гидродинамики Азовского моря. Сравнение результатов расчета с натурными данными показало, что модель адекватно описывает гидрофизические процессы, протекающие в Азовском море. Результаты проведенных расчетов удовлетворительно согласуются с натурными данными, с результатами, полученными ранее другими авторами, и не противоречат наблюдаемым в водоемах процессам.

Подобная модель была использована для расчета течений в,Таганрог-ском заливе. Вычислительные эксперименты на построенной модели выявили возможность образования компенсационных течений в Таганрогском заливе при продолжительном действии ветров западного направления. Циркуляционные зоны в заливе могут возникать также, если ветровое поле над акваторией распределено неравномерно.

Численное исследование течений в Керченском проливе показало, что построенная модель достаточно хорошо согласуется с натурными данными, полученными в разные годы наблюдений за течением в проливе. Проведенные вычислительные эксперименты показали, что наличие дамбы вдоль косы Тузла оказывает существенное влияние на течение в проливе в центральной его части.

С помощью представленной математической модели были рассчитаны ветровые течения в южной части Цимлянского водохранилища. Численно установлено, что поступательное по всей акватории движение жидкости образуется в первые часы действия ветра. При более длительном действии ветра

1 • I 1 происходит образование циркуляционных зон, что объясняется возникновением компенсационного течения.

С помощью математической модели распределения солености в Азовском море была решена задача восстановления пропущенных натурных данных. Полученные результаты хорошо согласуются с, результатами широко распространенного метода пространственной интерполяции.

Метод пространственного распределения океанографических данных, обычно'Применяемый для построения1 полей, проще в реализации и позволяет получать поле распределения субстанции с высокой точностью при наличии достаточно равномерной сети экспедиционных измерений, однако обладает большей зависимостью от количества и распределения натурных данных.

Метод математического моделирования позволяет определить при заданном* ветре не только поле распределения вещества, ноги характер течения, наличие циркуляционных зон: Одним из результатов вычислительного эксперимента может быть отражение динамики изменения (гидрофизических явлений» на мелководном шельфе Азовского моря. Однако численная реализация данного метода требует значительных усилий.

В результате проведенных вычислительных экспериментов установлено, что в Цимлянском водохранилище для течений второго типа, когда существует множество циркуляционных зон, распределение концентрации вещества и донного осадка от направления действия ветра зависит не так сильно, как для течений первого типа.

Учитывая, что по среднегодовой розе ветров преобладающими являются ветра северо-восточного и западного направления, наиболее ожидаемыми районами накопления взвешенного вещества и донного осадка являются акватория порта Волгодонск, плотина ГЭС и Терновская балка.

Предлагаемая математическая модель не учитывает влияние ветрового волнения на взвешивание и перенос наносов в мелководной части водохранилища. Учет данного фактора, несомненно, позволил бы получать более точные результаты, однако это существенно усложняет как постановку задачи, так и ее численную реализацию. Вместе с тем, полученные результаты вычислительного эксперимента на построенной математической модели показывают возможность появления в южной части Цимлянского водохранилища застойных зон, где происходит процесс оседания взвешенного вещества. Данные зоны могут возникать при определенных ветровых ситуациях и, следовательно, накапливать в себе повышенное содержание различных взвесей и растворенного вещества.

Проведенное сравнение вычислительных систем, а также двух версий языка Фортран позволило сделать вывод о более высокой производительности кластера 1ВМХ для задач подобного класса. При составлении программ для данных задач несомненно следует использовать язык программирования Фортран 90 вместо языка Фортран 77.

Библиография Чикин, Алексей Львович, диссертация по теме Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

1. Аксенов A.A. Предстоящие изменения в гидрологическом режиме Азовского моря/Яруды ГОИН, 1955. Вып. 20, с.27-59.

2. Альтман Э.Н. Водообмен через Керченский пролив в условиях зарегу-лиованного стока рек Азовского бассейна/Юкеанология, 1973, т. 13, вып. 3, с. 416-423.

3. Альтман Э.Н.' Исследование водообмена между Черным и Азовским морями//Сб. работ ЛЮМ ГОИН, 1972. Вып. 11, с.3-47.

4. Альтман Э.Н. Об изменчивости уровня и уклонах водной поверхности в Керченском проливе//Сб. работ БГМО ЧАМ, 1966. Вып: 4, с.49-74.

5. Альтман Э.Н. Структура течений Керченского пролива//Труды ГОИН, 1975. Вып. 125, с.3-16.

6. Альтман Э.Н. Турбулентный обмен в Керченском проливе//Труды ГОИН, 1976. Вып. 132, с. 17-28.

7. Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен, т.1. М.: Мир, 1990, 384 с.

8. Аниканов A.A. Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ «ВизАЭффект 1.1» № 2003612270. Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 6 октября 2003 г.

9. Аристова Е. Н., Асоцкий> Д. И., Тишкин В. Ф. О параллельном алгоритме расчета течений излучающего газа LATRANT-P. Математическое моделирование, 2004, т. 16, № 4, с. 105-113

10. Ю.Белолипецкий В.М., Генова С.Н. Вычислительный алгоритм для определения динамики взвешенных и донных наносов в речном русле // Вычислительные технологии, Т.9, № 2, 2004, с.9-25.

11. П.Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред. М.: Физматлит, 1994, 442 с.I

Похожие работы

Информатика, вычислительная техника и управление
05.13.00