автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численное моделирование гидрофизических процессов в стратифицированных озерах

На правах рукописи

Белолипецкий Павел Викторович

Численное моделирование гидрофизических процессов в стратифицированных озерах

05 13 18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск - 2008

003169907

Работа выполнена в Институте вычислительного моделирования СО РАН

Научный руководитель член-корреспондент РАН,

доктор физико-математических наук Шайдуров Владимир Викторович

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор

Черных Геннадий Георгиевич

доктор физико-математических наук Шлычхов Вячеслав Александрович

Ведущая организация Южно-Российский региональный центр

информатизации Южного федерального университета (г. Ростов-на Дону)

Защита состоится 10 июня 2008 г в 14 00 часов на заседании диссертационного совета ДМ 003 046 01 при Институте вычислительных технологий СО РАН по адресу. 630090, г Новосибирск, проспект Академика М.А Лаврентьева, 6

С диссертацией можно ознакомиться в специализированном читальном зале вычислительной математики и информатики ГПНТБ СО РАН (проспект Академика М.А Лаврентьева, 6)

Автореферат разослан 8 мая 2008 г

И о. учёного секретаря диссертационного совета, доктор технических наук, профессор ^ АД Рычков

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Одна из важнейших проблем, которые ставит перед человечеством научно-технический прогресс, - проблема "чистой воды" Через несколько десятилетий чистая пресная вода станет важнейшим ресурсом Вода занимает особое положение среди природных богатств Земли - она незаменима К истощению водных ресурсов ведет не рост расходуемой воды, а ее загрязнение. Выделяют химическое, физическое, биологическое, тепловое, радиоактивное типы загрязнений Загрязнение воды представляет собой нередко чрезвычайно серьезную угрозу Если поток загрязнений превышает способности экосистемы водоема к самоочищению, они накапливаются в донных отложениях, и негативные процессы усугубляются так называемым вторичным загрязнением Каждый из водных объектов имеет определенный предел самоочищения и поэтому может выдержать только определенную нагрузку сточных вод, превышение которой разрушает его способность к самоочищению и ведет к катастрофическим последствиям

Актуальной задачей является математическое моделирование динамики водных экосистем Использование математического моделирования и проведение вычислительного эксперимента позволяют оценить аспекты и последствия реализации проектов, связанных с воздействием на природную среду, как в перспективе, так и при возникновении всевозможных кризисных и экстремальных ситуаций

Целью работы является разработка одномерной вертикальной и двумерной в вертикальной плоскости математических моделей гидрофизических процессов в озерах, создание компьютерных программ для моделирования гидрофизических и гидробиологических процессов в озерах, проведение численных расчетов по озеру Шира

Для достижения данной цели были поставлены и решены следующие задачи•

1 Разработать одномерную и двумерную модели гидрофизических процессов в озерах с использованием эффективных алгоритмов

2 Создать программный комплекс для моделирования гидрофизических и гидробиологических процессов в озерах

3 Провести численное моделирование гидрофизических процессов в озере Шира

Научная новизна диссертационного исследования заключается в разработке двумерной в вертикальной плоскости математической модели гидрофизических процессов в озерах на основе эффективного алгоритма, проведение численного моделирования гидрофизических процессов в озере Шира

Теоретическая и практическая значимость работы заключается в том, что разработанные численные модели и компьютерные программы могут быть использованы для исследования гидрофизических процессов в стратифицированных водоемах, проверки гипотез и прогноза при решении различных научно-исследовательских и практических задач, касающихся озерных экосистем

Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ-ККФН (проект № 05-01-97700_ р_енисей), РФФИ-НВО (проект № 05-058902 НВО), РФФИ (проект № 07-01-00153_ а), Министерства образования и науки Российской Федерации и Американского фонда гражданских исследований и развития (грант RUX0-002-KR-06, программа «Фундаментальные исследования и высшее образование»), интеграционного проекта СО РАН № 24

Достоверность полученных результатов обеспечивается строгим математическим обоснованием предложенных методов и алгоритмов и подтверждается согласованием результатов численных расчетов с натурными данными и решениями тестовых задач

На защиту выносятся разработанные одномерная и двумерная модели гидрофизических процессов в озерах с использованием эффективных алгоритмов, созданный программный комплекс для моделирования гидрофизических и гидробиологических процессов

в озерах, а также результаты их применения к моделированию гидрофизических процессов в озере Шира

Представление материалов диссертационной работы на конференциях. Основные результаты работы были доложены на IV Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Красноярск, 2003), на Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2004), на конференции-конкурсе молодых ученых ИВМ СО РАН (Красноярск, 2006), на VII Всероссийской конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Красноярск, 2006), на конференции-конкурсе молодых ученых ИВМ СО РАН (Красноярск, 2007), на VIII Всероссийской конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Новосибирск, 2007), на конференции-конкурсе молодых ученых ИВМ СО РАН (Красноярск, 2008)

Пубъикации. По теме диссертации опубликовано 7 работ, в том числе (в скобках в числителе указан общий объем этого типа публикации, в знаменателе - объем, принадлежащий лично автору) 2 статьи в издании, рекомендованном ВАК для представления результатов докторских диссертаций [1, 2] (21/15 стр ), 3 - в трудах международных и всероссийских конференций [3-5] (12/8 стр ), 2 -в материалах конференций молодых ученых [6, 7] (11/9 стр )

Личный внлад автора. В работе [2] автор участвовал в постановке задач, конструировании численных алгоритмов решения двумерных задач ветровых течений в стратифицированных водоемах, выполнил программную реализацию и провел численные эксперименты В работе [3] участвовал в конструировании численного алгоритма для одномерной вертикальной модели и его программной реализации В работе [6] автор участвовал в постановке задачи и реализации численного алгоритма решения задачи протекания

Структура и объём диссертации. Работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 101 наименова-

ний Полный объем диссертации составляет 112 страниц, включая 39 рисунков, 5 таблиц

Основное содержание работы Во введении показана актуальность темы, формулируются цель работы и основные результаты.

В первой главе приводится обзор работ по математическому моделированию гидротермических процессов в озерах Основная задача состоит в определении гидротермодинамических характеристик водоема, влияющих на динамику водных экосистем Для этих целей могут использоваться различные модели - одномерные, двумерные, трехмерные Часто озёра являются достаточно однородными в горизонтальном плане и тогда применима одномерная вертикальная модель При невыполнении условия однородности в горизонтальном направлении применяются двумерные и трехмерные модели Часто в этих моделях используется гидростатическое приближение Важными частями моделей являются уравнение состояния, параметризация коэффициента вертикального турбулентного обмена, учёт ветрового напряжения и теплообмена с атмосферой К гидрофизическим процессам в водоемах, влияющим на функционирование экологических систем, относятся прежде всего перемешивание и теплообмен Важным гидрофизическим параметром также является солёность

Рассмотрены основные особенности стратифицированных озер Подробно описан объект исследования - соленое озеро Шира Отмечены основные процессы, происходящие в озерах Для моделирования турбулентных течений применяются уравнения Рей-нольдса Приведены различные полуэмпирические модели турбулентности Предлагается использование формулы Прандтля-Обухова для коэффициента вертикального турбулентного обмена Приведено уравнение переноса и диффузии для определения распределения температуры воды Выписаны различные соотношения для вычисления составляющих теплового баланса. Приведены математические модели гидротермики водоемов различного уровня

сложности трехмерные модели, двумерные модели (в вертикальной плоскости, плановые) и одномерные модели

Во второй главе описаны разработанные математические модели гидрофизических процессов в озерах Полученные в результате численных расчетов распределения гидрофизических компонентов должны служить входными данными для биологических моделей Основными гидрофизическими процессами, влияющими на экологию водоема, являются перемешивание и тепло- и массопере-нос Из анализа результатов натурных наблюдений на озере Шира следует, что в глубоководной части водоема концентрации исследуемых характеристик зависят в основном от глубины и практически не зависят от горизонтальных координат Таким образом, для достижения приемлемой для исследователей скорости расчетов и адекватного описания происходящих процессов можно использовать двумерные и одномерные вертикальные модели.

Формирование температурного режима в непроточном стратифицированном водоеме осуществляется вследствие ветровых течений и теплообмена с атмосферой Задача для температуры в одномерном приближении формулируется в виде

8( ~ дг

oz

+ ар(1)

С„Рп

с граничными условиями

(2)

5Т F К-т— =--— при г = О,

сРРч

дТ

Л, — = 0 при г = Я

Здесь Т- температура воды, KT(z) - коэффициент вертикального турбулентного обмена, F„ - полный тепловой поток через свободную поверхность, FI - приходящая коротковолновая радиация, /3 -коэффициент поглощения излучения, а - параметр, определяющий часть коротковолновой радиации, проникающей на глубину (о<а< i), ср — удельная теплоемкость воды, р,> - характерное значение плотности воды, Я - глубина водоема

Аналогично задача ставится для определения вертикального распределения солености

8t д:{ ^ 8: J ^

.и-

Здесь S - соленость воды, Ks(z) - коэффициент вертикального турбулентного обмена для солености, F$h - массообмен с дном, Fs -поток через свободную поверхность Необходимо также задать начальные распределения температуры и солености

Г(0, г)= т"(:), S(0, г) = s"(:)

Существенное влияние на тепломассоперенос оказывает турбулентность Для параметризации вертикального турбулентного обмена применяется формула, полученная на основе формулы Прандтля-Обухова и приближенного решения Экмана для ветровых течений

ПРИ В <

здесь ^—V-3" -—Г—\ т = </г;+г,2 - напряжение трения ветра,

1аД<> ; рЛ8= )

-^тш=0 02 см2/сек - минимальное значение коэффициента вертикального турбулентного обмена, ки =(0 05/г^1, а= I—, /¡,=я р*-, /-

2pJ \ 2К0 \ 2/

параметр Кориолиса

[К при К_Жтп, [о 1 К. при К. =

В описанной методике интенсивность вертикального турбулентного обмена определяется градиентом скорости и стратификацией

Для пресной воды плотность зависит только от температуры, уравнение состояния соленой воды принимается в приближении Буссинеска для морской воды т $

р = р„(е1+е2—+£,—), (б)

'и "п

где р0= 1 0254 г/см3, £,=0,9753, е2= -0 00317, е»=0,02737, Г0=17 5 °С, 50=35 %о

Согласно натурным измерениям, плотность соленой воды оз Шира отличается от рассчитанной по формуле (6) Поэтому коэффициенты £\, £2, £3 были уточнены согласно экспериментальным данным

е,=0,984156, £2= -0 007079, е3=0,0297595 Важными параметрами, влияющим на температурный режим водоема, являются тепловые потоки Полный тепловой поток через свободную поверхность находится по известным соотношениям (Белолипецкий и др , 1994, Belolipetskn, Genova, 1998)

F„ = (l-a)í", + F„ -F„c, (7)

где F^, - эффективное длинноволновое излучение, Fuc - теплоотдача испарением, F„¡ - конвективный теплообмен, F¡ -приходящая коротковолновая радиация

Известны различные формулы для вычисления составляющих теплового потока через свободную поверхность В данной работе использовались следующие с соотношения Коротковолновая радиация вычисляется по формуле F, =0 94 0(АД1-0 65//,;),

где

0(/0=|066+0 347-09+04sinAl ^^

0 1 + 0 4sm/ic Jp (sin/^ + 0 107) // = arcsm^sinpj sin у, + cos (pt cosy, cos^(i-f„)j^

y, =0 4+23 4 cos(~(d,+192)>0 4 cos(^j(rf-192)),

fç, 1 11-1 23 в зависимости от влагосодержания атмосферы, N„ -балл общей облачности в долях единицы, hc - высота солнца в градусах, р - плотность воздуха, у =0 94, <р к - широта местности в градусах, t= 0,1, ,23 - местное астрономическое время, t„= 12 - полуденное местное время, ji - склонение солнца, d - порядковый номер суток с начала года)

Длинноволновое излучение

^=446 10~"(1+0 17Лг02)(7,а +273 15)'-264-47 Г/, Турбулентный обмен между водной поверхностью и атмосферой.

^ =0 459 /([У,) (Т,-Г ), Поток тепла, обусловленный испарением

здесь

гл'то 5278

= 25 4схр(17 62 - __>, = 25 4ехр(17 62 - ,

^Ь)-273 15'

- температура поверхности воды (°С), Та - температура воздуха (°С), N0 - облачность (доли единицы), е5- давление насыщенного пара при данной температуре водной поверхности (Мб), еа - давление насыщенного пара в атмосфере, измеренное на одной высоте с температурой (Мб), \¥2 - скорость ветра на высоте 2 м (м/сек), у/относительная влажность воздуха Напряжение ветра определяется по формуле Давтян Н А

?=д,(09+0 107|^2|) нгЧЙ?,!^, (8)

где д, - плотность воздуха, (г, = (»■„ ) - вектор скорости ветра на высоте 2 м (м/с)

Численный метод решения дифференциальных уравнений состоит в последовательном расчете конвективного переноса и диффузии. Конвективный перенос рассчитывается с помощью явной конечно-разностной схемы против потока Диффузия рассчитывается с помощью неявной центральной конечно-разностной схемы, а получающаяся система уравнений решается методом прогонки Имеется возможность расчета на неравномерных сетках.

Математическая модель двумерных в вертикальной плоскости ветровых течений в замкнутых стратифицированных водоемах основывается на уравнениях турбулентных течений неоднородной жидкости в приближениях Буссинеска и "твердой крышки", на уравнениях конвекции-диффузии для температуры и солёности воды

зи .,ди шди 1 Эр д „ эи д „ эи

— + и + - =—+ - + - к--,

51 Эх д: ридх д: д: дх 5 х Э! дх 3: р0Эг д: д= Зх ' Эх р/'

(Ю)

ОХ о -

¿г „аг н/5г 5 . дт э „ эг

— + с/—+ и'—— = -—а..г —— + —л: т —, 81 дх Э: Э: 1 Э: 5х 'т д х

55 .,55 и/55 5 „ 55 5 „ 55 п п

— + + №-— = — К,— + — К.-, (11)

81 дх д: 5г ¿V 4 '

р = р0(1 + р,(Г,5))

Здесь и,(У - составляющие скорости течения воды в направлениях Ох и От, ось Ог направлена вниз, I - время, р - плотность воды, р„ -характерная плотность воды, р - давление, § - ускорение свободного падения, т - температура воды, 5 - соленость воды,

К^гТ" г , К. , К у , К ч

- коэффициенты турбулентного обмена Введем функцию р* •

р' = (12)

о

тогда уравнения (9) приводятся к виду

эи ..эи эи I Эр- э „ эи Э „ эи 8 } ,

-+ (/—— + —— =---- + —-К.-+ —К—--g— р.сЬ,

81 дх д: Ро Э х 5г 5 г Эл 5л Эх;

ЭШ ГГЭ№ шЭШ 1 Эр' д дШ Э „ Э\¥

—— + (/ — + iv-- =---— +—к — + —к,—— + е, (13)

Э1 дх Эг р„ Эг 5 г 5 г дх " дх 5 4 у

Уравнения (13), (10), (11) дополняются начальными и граничными

условиями Граничные условия на водной поверхности (г=0)

" Э: р„

= __£_, (14)

д- сер„ д: срр0 на дне и на боковой поверхности (г=Н или х=х,)

¡7 = 0, IV = о,

ая(п,х)Кя ^ + соз(«,г)А: т ~ =

5 т 5 г с„р0

+ (15>

дх 5 г с,р„

Здесь п - внешняя нормаль к поверхности, г - напряжение трения ветра, - полный поток тепла через свободную поверхность, -теплообмен с ложем водоема, - поток соли через свободную поверхность, гл - массообмен с ложем водоема.

Для определения коэффициента вертикального турбулентного обмена применяется формула Прандтля-Обухова-

гДе - фоновое значение коэффициента вертикального турбулентного обмена, к - глубина верхнего квазиоднородного слоя, которая определяется по первой от поверхности расчетной точке, в которой выполняется условие

Если И получается больше половины максимальной глубины водоема, то И приравнивается этой половине

Коэффициенты горизонтального турбулентного обмена к„ считаются постоянными. К.т=атК., = а, К., где а,,а, -

турбулентные числа Прандтля

Для построения численного алгоритма применяются метод расщепления по физическим процессам, метод конечных элементов и схема с разностями против потока В соответствии с методом расщепления, на каждом временном шаге вначале рассчитываются течения при известном поле плотности, затем по найденной картине течения рассчитываются распределения температуры и солености, и по ним находится новое распределение плотности В каждом из этих шагов отдельно рассчитываются конвекция и диффузия Для расчёта конвективного переноса используется конечно-разностная схема против потока Диффузия и другие процессы рассчитываются с помощью метода конечных элементов Разработан алгоритм по-

——< о, Ро 3-

(16)

строения квазиравномерной прямоугольной конечно-элементной сетки на непрямоугольных областях Используются билинейные базисные функции и экономичный алгоритм для хранения матрицы жесткости

Для движений, горизонтальный масштаб которых много больше вертикального, применимо гидростатическое приближение

(17)

сг

В приближении гидростатики уравнения гидродинамики для исследования двумерных в вертикальной плоскости течений имеют следующий вид

<Ш д . ди д „ ди <?«■ (др, , Пйч

£¡^.-=0, (19)

ф™, (20)

а г ох

где д = ди,х) - функция, описывающая положение водной поверхности

Для решения уравнений (17) - (20) используется метод расщепления (или как он еще называется - метод проекций) В соответствии с ним решение системы разбивается на ряд последовательных этапов, в каждом из которых решается одно уравнение Этап 1:

(21)

АС Эх д: К /

Этап 2-

Д/ с\ ах д: д: г. дх

■Ь., и-1 (22)

и-1

I с?г Эг

Этап 3

Этап 4

</■" + V"' (24)

дх ; З.Т Я * дх

Этапы 3 и 4 упрощаются. Проинтегрируем уравнение (23) относительно $ по х и с учетом граничных условий для непроточного водоема из(24) получим. Этап За

+ (25)

Н{ I дх Н{ В г

Таким образом, исключается этап численного решения задачи (23), компоненты вектора скорости определяются в результате последовательного выполнения этапов 1, 2 и За

В третьей главе описываются разработанный комплекс программ и результаты численных экспериментов, выполненных для озера Шира.1

На основе описанных численных алгоритмов разработан комплекс программ для исследования стратифицированного водоема Программы позволяют проводить расчеты, изменяя начальные данные, метеоданные, расчётные параметры, сетку С помощью небольших и понятных изменений кода программы можно изменять уравнения модели, добавлять или удалять расчетные переменные и параметры

Для проверки адекватности моделей, алгоритмов и программ и возможности их применения проведено сравнение рассчитанных распределений с результатами натурных измерений на озере Шира Следует отметить, что из гидрофизических параметров имеются данные только по вертикальным распределениям температуры и солености в глубоководной части озера. Эти измерения проводились в течении нескольких лет в различные периоды года сотрудниками Института биофизики СО РАН Эти данные использовались для ве-

рификации моделей Характерные распределения температуры и солености зимой, весной, летом и осенью представлены на рис. 1

ТСС) 5 (Г/Л)

5 0 5 10 15 20 25 7 12 17

Рис 1 Характерные распределения температуры и солености в

озере Шира

Для разных сезонов распределения существенно различные Летом формируется устойчивая стратификация с двумя различными слоями верхним и нижним Выполнены численные эксперименты по динамике вертикальных распределений температуры и солености воды Как двумерная, так и одномерная модель показали хорошие результаты Разработанные компьютерные модели позволяют определять качественную вертикальную структуру, положение переходной зоны для температуры и солености, значения гидрофизических параметров в нижнем и верхнем слоях Для примера, на рис 2 приведен результат расчета по одномерной модели, на рис 3 - по двумерной модели Результаты расчетов хорошо согласуются с данными натурных измерений

Рассчитанная! температура, ' °С

Измеренная

температура,

°С

Рассчитанная солёность, %о.

Измеренная соленость, %о

Рис 2 Сравнение натурных и расчётных данных (08 10 02) Одномерная модель

Т(°С), Б(%о) 5 10 15 20 25

] •■ Рассчитанная температура, "С

— Измеренная температура, °С

- Рассчитанная солёность, %о

Измеренная сочйиость, %1

Рис 3 Сравнение натурных и расчетных данных (08 10 02) Двумерная модель

В одномерной модели перемешивание происходит только под влиянием турбулентности, в двумерной модели на перемешивание оказывают влияния еще и течения Согласование расчетных данных с натурными говорит об адекватном моделировании ветровых течений Картина ветровых течений зависит от силы ветра, стратификации и геометрии водоема Для однородной жидкости в водоеме формируется одна циркуляционная зона, причем с увеличением длины водоема возрастает максимальное значение скорости течения воды Влияние размеров водоема, силы ветра и стратификации было рассмотрено на следующих примерах Пресноводное озеро длиной 500 м и максимальной глубиной 20 м, с линейным перепадом температуры от 7 до 4 градусов Цельсия в верхнем восьмиметровом слое и далее на глубине постоянном В данном случае при скорости ветра более 9 м/с формируется одна циркуляционная зона с небольшими вихрями у дна (рис 4, 5) При скорости ветра 5 м/с в водоеме образуются две циркуляционные зоны (рис 6, 7) Для соленой воды при том же перепаде температуры и постоянной солености и для скорости ветра 20 м/с формируются две циркуляционные зоны Для пресноводного водоема длинной 5000 м, максимальной глубиной 20 м и тем же профилем температуры формируется одна циркуляционная зона с небольшими по размеру вихрями у дна Для соленой воды такого же водоема формируются две циркуляционные зоны

-4 528 -2 9В1 1433 0114 1662 3 203 4 757 6 304 7 852 9 399 10 947

Рис 5 Вертикальный профиль горизонтальной компоненты скорости в глубоком створе для течений с одной циркуляционной зоной

Рис 6 Картина течений с двумя циркуляционными зонами

-2 <53 -1 774 -1 096 -0 <17 0 2Б2 0 941 1 Б20 2 299 2 977 3 Б5Б 4 335

Рис 7 Вертикальный профиль горизонтальной компоненты скорости в глубоком створе для течений с двумя циркуляционными зонами

В летний период в озере Шира формируется ярко выраженная температурная стратификация С учетом неравномерной минерализации воды по глубине образуется стратификация, близкая к двухслойной Значительные градиенты температуры в термоклине (4-6°С м-1) препятствуют проникновению в глубь ветровой циркуля-

ции и ограничивают ее распространение верхним квазиоднородным слоем На основании проведенных расчетов можно сделать предположение о возможности перемешивания всей толщи воды в озере Шира в весенний и осенний периоды, когда нет ярко выраженного термоклина В летний период вовлечение придонных слоев в циркуляционное движение возможно только при очень сильных и продолжительных ветрах

В Заключении сформулированы основные результаты работы

1 Разработана двумерная в вертикальной плоскости математическая модель гидрофизических процессов в озерах Построен численный алгоритм на основе метода расщепления по физическим процессам, методов конечных элементов и конечных разностей. Численный алгоритм проверен на специально построенных задачах с точными аналитическими решениями.

2 Разработан эффективный алгоритм на основе гидростатического приближения и метода расщепления, позволивший сохранить приемлемую точность на грубых в горизонтальном направлении сетках и увеличить скорость расчётов

3 Разработан комплекс компьютерных программ, реализующий одномерные и двумерные гидрофизические модели для стратифицированного водоема Разработана программная платформа для реализации моделей водной экосистемы Комплекс программ позволяет проводить численные исследования вертикальной структуры водоема для заданных метеоданных, начальных данных, батиметрии, расчетных параметров и сетки С помощью небольших и понятных изменений кода программы можно изменять уравнения модели, добавлять или удалять расчетные переменные и параметры Комплекс передан в Институт биофизики СО РАН для исследования вертикальной структуры водной экосистемы озера Шира.

4 Выполнено численное моделирование гидрофизических процессов в озере Шира Результаты численных экспериментов согласуются с натурными данными Компьютерная модель позволяет прогнозировать динамику верхнего квазиоднородного слоя (эпи-лимниона) в зависимости от метеоданных, в частности, определить

20

вертикальную плотностную стратификацию, которая оказывает решающее влияние на пространственно-временные распределения гидрохимических компонент и динамику планктонных организмов в глубоких озерах Достаточно хорошее согласование расчетов с полевыми данными позволяет использовать предлагаемую модель для прогноза динамики соответствующих характеристик водной толщи при гипотетических сценариях метеоусловий, например, при моделировании поведения экосистемы озера в ответ на погодные аномалии, вызванные глобальными изменениями климата (слишком теплые или холодные сезоны, ураганные ветры и т п )

Список основных работ по теме диссертации. Публикации в издании, рекомендованном ВАК:

1 Белолипецкий П В Численное моделирование двумерных в вертикальной плоскости ветровых течений в стратифицированных водоемах методом расщепления // Вычислительные технологии 2005 Т 10, №5 С 19-28

2 Белолипецкий В M , Белолипецкий П В Численное моделирование ветровых течений в стратифицированных водоемах методом расщепления Гидростатическое приближение // Вычислительные технологии 2006 Т 11, №5, С 21-31

Публикации в трудах международных и всероссийских конференций:

3 Белолипецкий П В , Генова С H , Грицко В В Компьютерная модель вертикальной структуры водоема // Вычислительные технологии -2004 -Т 9 -Вестник КазНУ им аль-Фараби, сер математика, механика, информатика №3 (42) - Совместный выпуск Ч 1 - С 289-294

4 Белолипецкий П В Численное моделирование двумерных ветровых течений в стратифицированных водоемах // Материалы Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» Математика / Новосиб гос университет Новосибирск, 2004 С 20-21

5 Белолипецкий П.В Численное моделирование ветровых течений в стратифицированных водоемах методом конечных элементов //

Труды VI конференции «Динамика и термика рек, водохранилищ и прибрежной зоны морей» - 2004, Москва - С 26-29 Публикации в трудах конференций молодых ученых: 6 Белолипецкий П В , Осипов М В Численное моделирование двумерных в вертикальной плоскости стратифицированных течений в проточных водоемах // Материалы конференции молодых ученых ИВМ СО РАН Красноярск ИВМ СО РАН, 2006 С 5-9 7. Белолипецкий П В Комплекс компьютерных программ для исследования гидробиологических и гидрофизических процессов в озерах // Материалы конференции молодых ученых ИВМ СО РАН -Красноярск ИВМ СО РАН, 2007 -С 4-9

Белоптеикий Павеп Викторович ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ГИДРОФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В СТРАТИФИЦИРОВАННЫХ ОЗЕРАХ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 05 05 2008 Формат 60x90/16 Уел печ л 1 Тираж 100 экз

Введение.

Глава 1. Озёра. Обзор математических моделей гидротермодинамики озер.

1.1. Стратифицированные озёра, Озеро Шира.

1.2. Перемешивание и течения.

1.3. Тепломассообмен.

1.4. Методы решения задач гидротермики.

1.5. Трёхмерные модели.

1.6. Двумерные в вертикальной плоскости модели.

1.7. Плановые модели.

1.8. Одномерные модели.

Выводы.

Глава 2. Комплекс математических моделей и численных алгоритмов для исследования гидрофизических процессов в стратифицированных водоемах.

2.1. Одномерная модель.

2.2. Двумерная в вертикальной плоскости модель.

2.3. Гидростатическое приближение.

Выводы.

Глава 3. Комплекс компьютерных программ. Численные эксперименты.

3.1. Комплекс программ 8ЫхаМос1е1.

3.2. Результаты численных расчетов.

Выводы.

Антропогенное эвтрофирование, т. е. увеличение первичной продуктивности озер в результате обогащения их вод биогенными элементами, главным образом фосфором, стало во второй половине XX в. повсеместным явлением, охватившим около 90 % всех озер мира, включая крупнейшие из них. Большая часть озер мира расположена в зоне умеренных широт северного полушария. Общей особенностью природных вод этой зоны в естественных условиях является слабая насыщенность их фосфором, который, как правило, и является одним из основных факторов, лимитирующих развитие автотрофных организмов - первичных продуцентов. Рост поступления биогенов, а также увеличение сброса загрязнений, как следствие промышленного роста и интенсификации сельского хозяйства, привели к развитию процесса антропогенного эвтрофирования озер. Необходимость борьбы с антропогенным эвтрофированием водоемов и их загрязнением, принявшими глобальный характер,, стимулировала проведение широкого круга исследований в области лимнологии, математического моделирования, экономики, связанных с проблемой сохранения, восстановления и эффективного использования природных ресурсов озер. Экологическое состояние водных объектов зависит от большого числа разнообразных факторов и процессов: гидрофизических, гидробиологических, гидрохимических, метеорологических и антропогенных. Гидрофизические процессы в значительной мере формируют среду обитания гидробионтов, определяют перепое и седиментацию веществ, интенсивность загрязнения и самоочищения водоёмов.

Проблема качества воды является комплексной проблемой. Вода - это сложная физическая, биохимическая и экологическая система. Для того чтобы уметь предсказывать последствия тех или иных решений, необходим соответствующий инструмент, с помощью которого можно проанализировать массу весьма разнообразной информации. Таким инструментом является вычислительный эксперимент, основанный на математическом моделировании и численных методах. Эффективным средством анализа возникающих проблем являются методы, основанные на построении и совместном изучении математических моделей природных систем. Использование математического моделирования и проведение вычислительного эксперимента позволяют оценить аспекты и последствия реализации проектов, связанных с воздействием па природную среду, как в перспективе, так и при возникновении всевозможных кризисных и экстремальных ситуаций.

В настоящее время в прикладной математике при решении задач на ЭВМ сложилась технологическая цепочка, описывающая основные этапы вычислительного эксперимента: объект исследования — физическая модель — математическая модель - численный алгоритм - программа - расчёт на ЭВМ, сравнение с экспериментальными и другими данным [19, 79,91].

Решение задачи начинается, как правило, с формализации объекта и построения соответствующей математической модели, основным требованием к которой является адекватное описание физических процессов, протекающих в исследуемых системах. Однако охватить всё многообразие физических явлений чрезвычайно трудно. Необходимо упростить проблему и рассмотреть только основные процессы, первостепенность которых определяется, в первую очередь, свойствами изучаемой системы и кругом моделируемых физических явлений. Известен ряд общих требований, предъявляемых к каждой математической модели: соответствующая система уравнений должна быть замкнутой и непротиворечивой; модель должна описывать широкий класс физических явлений и допускать конструирование реализуемого численного алгоритма.

На втором этапе вычислительного эксперимента для решения входящих в математическую модель уравнений при различных краевых условиях используется основной аппарат вычислительной математики - численные методы. Разрабатывается численный алгоритм и проводится его исследование.

На третьем этапе составляется вычислительная программа, реализующая построенный алгоритм. Далее проводятся вычисления на ЭВМ, выполняется анализ результатов, сопоставление их с теоретическими прогнозами, натурными данными и результатами физических экспериментов.

Одним из критериев выбора алгоритма, используемого при численном моделировании той или иной физической задачи, является объем вычислительной работы, необходимый для его реализации. Существует правило, что этот объем должен быть пропорционален реальным физическим изменениям, происходящим в моделируемой системе. Если алгоритм требует большого количества тяжелой вычислительной работы для расчета слабого эффекта или очень медленного физического процесса, то от такого «затратного» алгоритма следует, отказаться, выбрав более эффективный. Примером могут служить решения нестационарных задач, с шагом по времени (выбор которого диктуется условиями устойчивости) много меньшим масштаба реального изменения решения. Из вышесказанного можно сделать вывод, что создание адекватных математических моделей на основе «незатратных» алгоритмов является важной научной задачей.

Математические модели для расчета течений и температурного режима в озерах стали создаваться уже достаточно давно вслед за моделями циркуляции океана в 60-х годах. В 70-е годы были разработаны первые математические модели экосистем для американских Великих озер, озер Байкал и Ладожского. Но каждый гидрологический объект -река, озеро и т.д. - является частью географического ландшафта и одновременно комплексом взаимосвязанных физических явлений, происходящих внутри данного объекта. Взаимодействие же этого объекта с окружающей средой определяется метеорологическими условиями, разностью свойств и характеристик данного скопления воды и окружающей среды, физическими процессами, происходящими в данном объекте. Тесная связь окружающей среды и гидрологического объекта, их взаимное влияние делают задачи гидрофизических расчётов достаточно разнообразными и сложными, а методы их решения часто зависят не только от необходимой точности решения этих задач, но и от индивидуальных особенностей рассматриваемого объекта, не говоря уже об ограничениях, накладываемых имеющимися в распоряжении исследователя материалами наблюдений и трудоёмкостью расчётов.

При изучении характеристик качества воды необходимо исследование всей совокупности процессов - химических, биологических и гидрофизических. Гидрофизические процессы в значительной мере формируют среду обитания гидробионтов, определяют перенос и седиментацию веществ, интенсивность процессов загрязнения и самоочищения водоемов. Гидрофизические модели обеспечивают химико-биологические модели информацией о температуре воды в характерных зонах, водо- и массообмене между зонами.

В непроточных водоемах течения и перемешивание в основном происходят под действием ветрового напряжения. Картина ветровых течений зависит от геометрии водоема, направления и силы ветра, глубины и стратификации. Плотностная стратификация озера связана с неравномерными распределениями температуры и солености воды.

Известно, что существует связь между вертикальным распределением температуры и распределениями химических и биологических характеристик воды. Термоклин является слоем, препятствующим переносу кислорода и питательных веществ в гиполимнион. Кроме того, высокая температура сама оказывает существенное воздействие на физические и химические свойства воды и связанные с ними биологические процессы. В частности, при повышении температуры снижается растворимость кислорода. Для озера Шира имеются данные измерений сотрудников Института биофизики СО РАН по распределениям температуры, солёности и других компонентов водной системы в глубоководной части водоема. Из этих данных следует, что концентрации исследуемых величин зависят в основном от глубины, а не от горизонтальных координат. Хотя к настоящему времени созданы трёхмерные модели термогидродинамических процессов в водоёмах, они являются весьма ресурсоёмкими и не всегда удобными в использовании. Применение таких моделей значительно ограничивает скорость проведения вычислительных экспериментов. Следует отметить, что для использования трёхмерных моделей требуется большое количество входных данных, а при недостатке информации результаты моделирования не будут более точными, чем при использовании моделей с меньшей размерностью. Для достижения приемлемой для исследователей скорости расчёта и адекватного описания происходящих явлений в данной работе используются двумерные и одномерные модели.

Целью работы является разработка одномерной вертикальной и двумерной в вертикальной плоскости математических моделей гидрофизических процессов в озёрах, создание компьютерных программ для моделирования гидрофизических и гидробиологических процессов в озёрах, проведение численных расчётов по озеру Шира.

Для достижения данной цели были поставлены и решены следующие задачи:

1. Разработать одномерную и двумерную модели гидрофизических процессов в озёрах с использованием «незатратных» алгоритмов.

2. Создать программный комплекс для моделирования гидрофизических и гидробиологических процессов в озёрах.

3. Провести численное моделирование гидрофизических процессов в озере Шира.

Научная новизна диссертационного исследования заключается в разработке двумерной в вертикальной плоскости математической модели гидрофизических процессов в озёрах на основе «незатратного алгоритма», проведение численного моделирования гидрофизических процессов в озере Шира.

Теоритическая и практическая значимость работы заключается в том, что разработанные численные модели и компьютерные программы могут быть использованы для исследования гидрофизических процессов в стратифицированных водоемах, проверки гипотез и прогноза при решении различных научно-исследовательских и практических задач, касающихся озёрных экосистем.

Достоверность полученных результатов обеспечивается строгим математическим обоснованием предложенных методов и алгоритмов и подтверждается согласованием результатов численных расчетов с натурными данными и решениями тестовых задач.

Работы выполнены совместно с Институтом биофизики СО РАН и при поддержке грантов РФФИ-ККФН (проект № 05-01-97700 ренисей), РФФИ-НВО (проект № 05-058902 НВО), Министерства образования и науки Российской Федерации и Американского фонда гражданских исследований и развития (грант RUX0-002-KR-06, программа «Фундаментальные исследования и высшее образование»), интеграционного проекта СО РАН 24 «Роль микроорганизмов в функционировании живых систем», РФФИ (проект № 07-01-00153 а).

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Разработана двумерная в вертикальной плоскости математическая модель гидрофизических процессов в озёрах.

2. Разработан эффективный алгоритм на основе гидростатического приближения и метода расщепления, позволивший сохранить приемлемую точность на грубых в горизонтальном направлении сетках и увеличить скорость расчётов.

3. Разработан комплекс компьютерных программ, реализующий одномерные и двумерные гидрофизические модели. Компьютерная модель позволяет исследовать динамику вертикальных распределений гидрохимических и гидробиологических компонентов водной экосистемы.

4. Проведено численное моделирование гидрофизических процессов в озере Шира. Представление материалов диссертационной работы на конференциях. Основные результаты работы были доложены на IV Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Красноярск, 2003), на Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2004), на конференции-конкурсе молодых учёных ИВМ СО РАН (Красноярск, 2006), па VII Всероссийской конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Красноярск, 2006), на конференции-конкурсе молодых учёных ИВМ СО РАН (Красноярск, 2007), на VIII Всероссийской конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Новосибирск, 2007), на конференции-конкурсе молодых учёных ИВМ СО РАН (Красноярск, 2008).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 работ, в том числе (в скобках в числителе указан общий объём этого типа публикации, в знаменателе — объём, принадлежащий лично автору) 2 статьи в издании, рекомендованном ВАК для представления результатов докторских диссертаций [15, 10] (21/15 стр.), 3 - в трудах международных и всероссийских конференций [12, 13, 14] (12/8 стр.), 2 - в материалах конференций молодых учёных [16, 18] (11/9 стр.)

Личный вклад автора. В работе [10] автор участвовал в постановке задач, конструировании численных алгоритмов решения двумерных задач ветровых течений в стратифицированных водоёмах, выполнил программную реализацию и провёл численные эксперименты. В работе [14] участвовал в конструировании численного алгоритма для одномерной вертикальной модели и его программной реализации. В работе [16] автор участвовал в постановке задачи и реализации численного алгоритма решения задачи протекания.

Структура и объём диссертации. Работа состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы из 101 наименований. Полный объём диссертации составляет 112 страниц, включая 39 рисунков, 5 таблиц.

Основные результаты, полученные в диссертационной работе:

1. Разработана двумерная в вертикальной плоскости математическая модель гидрофизических процессов в озёрах. Построен численный алгоритм на основе метода расщепления по физическим процессам, методов конечных элементов и конечных разностей. Численный алгоритм проверен на специально построенных задачах с точными аналитическими решениями.

2. Разработан эффективный алгоритм на основе гидростатического приближения и метода расщепления, позволивший сохранить приемлемую точность на грубых в горизонтальном направлении сетках и увеличить скорость расчётов.

3. Разработан комплекс компьютерных программ, реализующий одномерные и двумерные гидрофизические модели для стратифицированного водоема. Разработана программная платформа для реализации моделей водной экосистемы. Комплекс программ позволяет проводить численные исследования вертикальной структуры водоема для заданных метеоданных, начальных данных, батиметрии, расчётных параметров и сетки. С помощью небольших и понятных изменений кода программы можно изменять уравнения модели, добавлять или удалять расчётные переменные и параметры. Комплекс передан в Институт биофизики СО РАН для исследования вертикальной структуры водной экосистемы озера Шира.

4. Выполнено численное моделирование гидрофизических процессов в озере Шира. Результаты численных экспериментов согласуются с натурными данными. Компьютерная модель позволяет прогнозировать динамику верхнего квазиоднородного слоя (эпилим-ниона) в зависимости от метеоданных, в частности, определить вертикальную плотност-ную стратификацию, которая оказывает решающее влияние на пространственно-временные распределения гидрохимических компонент и динамику планктонных организмов в глубоких озерах. Достаточно хорошее согласование расчетов с полевыми данными позволяет использовать предлагаемую модель для прогноза динамики соответствующих характеристик водной толщи при гипотетических сценариях метеоусловий, например, при моделировании поведения экосистемы озера в ответ на погодные аномалии, вызванные глобальными изменениями климата (слишком теплые или холодные сезоны, ураганные ветры и т.п.).

Заключение

1. Андреев, O.A. Ветровая и стоковая циркуляция Ладожского озера (численные эксперименты) Текст. / O.A. Андреев, Л.В. Воробьева // Сб. Моделирование и экспериментальные исследования гидрологических процессов в озерах. — Ленинград: Наука, - 1986.-С. 17-21.

2. Аникиенко, A.M. Решение нестационарной задачи переноса методом конечных элементов Текст. / A.M. Аникиенко, О.Н. Литвин // Инженерно-физический журнал. 1979. - Т. 36. № 10. - С. 1080-1088.

3. Аникиенко, A.M. Использование метода конечных элементов для решения уравнения переноса Текст. / A.M. Аникиенко, О.Н. Литвин, И.А. Шеренков // Водные ресурсы. 1981. - № 3. - С. 80-84.

4. Астраханцев, Г.П. Моделирование экосистем больших стратифицированных озёр Текст. / Г.П. Астраханцев, В.В. Мсншуткин, H.A. Петрова, Л.А. Руховец. Санкт-Петербург: Наука, 2003. - 363 с.

5. Баклановская, В.Ф. О краевых задачах для системы уравнений Сен-Венана на плоскости Текст. / В.Ф. Баклановская, Б.В. Пальцев и И.И. Чечель // ЖВМиМФ. -1979. Т.19. № 3. - С.708-725.

6. Белолипецкий, В.М. Численное моделирование задач гидроледотермики водотоков Текст. / В.М. Белолипецкий, С.Н. Генова, В.Б. Туговиков, Ю.И. Шокин. Новосибирск: Сиб.отд. РАН, ИВТ, ВЦ (г. Красноярск), 1994. - 135 с.

7. Белолипецкий, В.М. Численное моделирование ветровых течений в стратифицированных водоемах Текст. / В.М. Белолипецкий // Водные ресурсы. 2001. - Т. 28. №2. - С. 133-137.

8. Белолипецкий, В.М. Численное моделирование ветровых течений в стратифицированных водоемах методом расщепления. Гидростатическое приближение Текст.

9. В.М. Белолипецкий, П.В. Белолипецкий // Вычислительные технологии. 2006. -Т.11,№ 5. - С. 21-31.

10. Белолипецкий, П.В. Численное моделирование ветровых течений в стратифицированных водоемах методом конечных элементов Текст. / П.В. Белолипецкий // Вычислительные технологии. 2005. - Т. 10, № 5. - С. 19-28.

11. Белолипецкий, П.В. Комплекс компьютерных программ для исследования гидробиологических и гидрофизических процессов в озерах Текст. / П.В. Белолипецкий

12. Материалы конференции молодых ученых ИВМ СО РАН. Красноярск: ИВМ СО РАН. - 2007. - С. 4-9.

13. Белоцерковский, О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред Текст. / О.М. Белоцерковский. Москва: Наука, 1984. - 520 с.

14. Бочаров, О.Б. Численное моделирование явления термобара в озере Байкал Текст. / О.Б. Бочаров, Т.Э. Овчинникова // Вычислительные технологии. 1996. -Т. 1,№3. - С. 21-28.

15. Бочаров, О.Б. Об однородных численных алгоритмах при сопряжении полной и гидростатической моделей гидротермики водоемов Текст. / О.Б. Бочаров, Т.Э. Овчинникова // Вычислительные технологии. 2003. - Т. 8, № 3. - С. 23-31.

16. Боуден, К. Физическая океанография прибрежных вод Текст. / К. Боуден; пер. с англ. Москва: Мир, 1990. 660 с.

17. Бреббиа, К. Применение метода граничных элементов в технике Текст. / К. Бреб-биа, С. Уокер; пер. с англ. Москва: Мир, 1982. - 248 с.

18. Васильев, О.Ф. Температурно-стратифицированное течение в водоёме вытянутой формы Текст. / О.Ф. Васильев, В.И. Квон, Р.Т. Чернышева // Гидротехническое строительство. 1974 - № 4 - С. 35-38.

19. Васильев, О.Ф. Гидротермический режим водоёмов-охладителей тепловых и атомных электростанций Текст. / О.Ф. Васильев, В.И. Квон, И.И. Макаров // Изв. АН СССР. Сер. Энергетика и транспорт. 1976. - № 4. - С. 102-111.

20. Васильев, О.Ф. Численное моделирование температурно-стратифицированных течений в системах глубоких озер Текст. /О.Ф. Васильев, А.Ф. Воеводин, B.C. Никифоровская // Вычислительные технологии. 2005. - Т. 10, № 5. - С. 29-38.

21. Верболов, В.И. Гидрометеорологический режим и тепловой баланс озера Байкал Текст. / В.И. Верболов, В.М. Сокольников, М.Н. Шимарёв. Москва: Наука, 1965. -373 с.

22. Винников, С.Д. Гидрофизика Текст. / С.Д. Винников, Б.В. Проскуряков. Ленинград: Гидрометеоиздат, 1988. - 248 с.

23. Волкова, Г.Б. Численное моделирование ветровых течений в Чудском озере Текст. / Г.Б. Волкова, В.И. Квон, Т.Н. Филатова// Водные ресурсы. 1981. - № 3. -С. 91-100.

24. Вольцингер, Н.Е. Теория мелкой воды. Океанологические задачи и численные методы Текст. / Н.Е. Вольцингер, Р.В. Пясковский. Ленинград: Гидрометеоиздат, 1977.-207 с.

25. Гарнич, Н.Г. О скорости заглубления квазиоднородного слоя Текст. / Н.Г. Гар-нич, С.А. Китайгородский // Изв. АН СССР. Сер. Физика атмосферы и океана. -1977. Т. 13, № 12. - с. 1287-1295.

26. Генова, С.Н. Двумерная в вертикальной плоскости модель гидротермического режима непроточного водоема Текст. / С.Н. Генова, П.Н. Лукавенко // Вычислительные технологии. 2002. - Т. 7, № 4. - С. 9-17.

27. Грушевский, М.С. Неустановившееся движение воды в реках и каналах Текст. / М.С. Грушевский. Ленинград: Гидрометеоиздат, 1982. - 288 с.

28. Добровольская, З.Н. Расчет течений в Онежском озере с учетом антропогенного воздействия Текст. / З.Н. Добровольская, П.П. Корявов, А.И. Симонов // Водные ресурсы. 1981 - № 3. - С. 100-104.

29. Добровольская, З.Н. Математические модели для расчета динамики и качества сложных водных систем Текст. / З.Н. Добровольская, Г.П. Епихов, П.П. Корявов, H.H. Моисеев // Водные ресурсы. 1981. - № 3. - С. 32-51.

30. Доронин, Ю.П. Взаимодействие атмосферы и океана Текст. / Ю.П. Доронин. -Ленинград: Гидрометеоиздат, 1981. 288 с.

31. Зайков, Б.Д. Очерки по озёроведению Текст. / Б.Д. Зайков. Ленинград: Гидрометеоиздат, 1955. - 271 с.

32. Запевалов, A.C. Сезонная изменчивость вертикальных распределений температуры и солености в Мраморном море Текст. / A.C. Запевалов // Метеорология и гидрология. 2005. - № 2. - С. 78-83.

33. Игнатова, Г.Ш. Одномерная модель сезонного термоклина в озёрах Текст. / Г.Ш. Игнатова, В.И. Квон // Водные ресурсы. 1979. - № 6. - С. 118-127.

34. Калиткин, H.H. Численные методы Текст. / H.H. Калиткин. Москва: Наука, 1987.-512 с.

35. Караушев, A.B. Расчёт ветрового нагона в водохранилищах Текст. / A.B. Карау-шев // Труды ГГИ. 1952. - Вып. 35 (89). - С. 94-123.

36. Квон, В.И. Гидротермический расчёт водоёмов-охладителей Текст. / В.И. Квон // Изв. АН СССР. Сер. Энергетика и транспорт. 1979 - №6. - С. 74-80.

37. Квон, В.И. Температурно-стратифицированное течение в проточном водоёме Текст. / В.И. Квоп // Метеорология и гидрология. 1979. - № 6. - С. 74-80.

38. Квон, В.И. Численное моделирование трехмерных стратифицированных течений в водоемах при больших тепловых нагрузках Текст. / В.И. Квон // Вычислительные методы прикладной гидродинамики. Институт гидродинамики СО АН СССР. — 1988.-В. 84.-С. 62-75.

39. Квон, В.И. Численный расчет течений идеальнего переноса примеси в равнинных речных водохранилищах Текст. / В.И. Квон, Д.В. Квон, С.Д. Зонов, В.Б. Карамы-шев //ПМТФ. 2003. - Т.44, № 6. - С. 158-163.

40. Кириллова, Т.В. Радиационный режим озёр и водохранилищ Текст. / Т.В. Кириллова. Ленинград: Гидрометеоиздат, 1970. - 253 с.

41. Кобзарь, А.И. Математическая модель процесса смешения при поверхностном сбросе подогретых вод в глубокие и относительно вытянутые водоёмы Текст. / А.И. Кобзарь // Тр. коорд. Совещаний по гидротехнике. 1977. - Вып. 115. - С. 99103.

42. Компаниец, Л.А. Модели экмановского типа в задачах гидродинамики Текст. / Л.А. Компаниец, Т.В. Якубайлик, Л.В. Гаврилова, К.Ю. Гуревич. Новосибирск: Наука, 2007.- 156 с.

43. Кочергин, В.П. Теория и методы расчета океанических течений Текст. / В.П. Ко-чергин. Москва: Наука, 1978. - 128 с.

44. Лавриенко, Л.И. Моделирование распространения тепла и загрязняющих веществ в мелководных водоёмах при установившемся движении Текст. / Л.И. Лавриенко // Гидравлика и гидротехника. Киев. - 1981. - Вып. 32. - С. 37-43.

45. Линейкин, П.С. Теория главного термоклина Текст. / П.С. Линейкин // Океанология. 1974. - Т. 14. - С. 965-981.55