автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Аналитические и численные методы анализа ветровых течений в непроточных водоемах

На правах рукописи

ГАВРИЛОВА Людмила Владимировна

Аналитические и численные методы анализа ветровых течений в непроточных водоемах

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Красноярск — 2005

Работа выполнена в Красноярской государственной архитектурно-строительной академии и Институте вычислительного моделирования СО РАН

Научный руководитель кандидат физико-математических наук, доцент

Компанией Лидия Алексеевна

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук, профессор

Добронец Борис Станиславович

кандидат физико-математических наук, доцент Распопов Виталий Евгеньевич

Ведущая организация: Сибирский государственный технологический

университет (г. Красноярск)

Защита состоится 7 октября 2005 года в 14:00 на заседании диссертационного совета Д 212.098.04 при Красноярском государственном техническом университете по адресу: ул. академика Киренского, 26, Красноярск, 660074, ауд Д 501.

Факс: (3912)4 3-06-92 (КГТУ, для каф. САПР)

E-mail: sovet@front.ru

Телефон: (391-2) 49-77-28 (КГТУ, каф. САПР)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Красноярского государственного технического университета.

Автореферат разослан 6 сентября 2005 г.

Учёный секретарь диссертационного совета Д.т.н.

С. А. Бронов

79*39

Общая характеристика работы

Актуальность. Темпы развития цивилизации и ее воздействие на природные ресурсы привели к тому, что контроль и управление окружающей средой стали актуальнейшими проблемами современности. Одним из наиболее важных вопросов в деле защиты окружающей среды, рационального управления средой обитания человека является задача обеспечения экологического баланса существующих озер. Экологическое состояние водных объектов зависит от большого количества разнообразных факторов и процессов, которые можно разделить на следующие подсистемы: метеорологические факторы; гидрофизические процессы, гидрохимические и гидробиологические процессы; внешние антропогенные факторы. Гидрофизические параметры являются важнейшими факторами для химических и гидробиологических процессов.

Народно-хозяйственная задача состоит в необходимости исследования озер как резервуаров чистой пресной воды или лечебной соленой воды. Большую роль в гидробиологических процессах играют термические условия. Существенно зависит от температурного режима самоочищение водной среды. Для решения задачи определения гидротермического режима водоемов имеющихся полевых материалов и произведенных по ним обобщений для определения гидротермического режима озер, как правило, недостаточно.

Научная задача. Построение аналитических и численных моделей тепло-массопереноса для континентальных, в частности, непроточных озер.

Объект исследований. Данная работа является составной частью исследований экосистемы озера Шира и качества воды в нем. Необходимость такого исследования обусловлена тем, что вода озера Шира обладает уникальными лечебными свойствами, поэтому озеро относится к числу водоемов, изучение которых является предметом международных программ.

Предметом исследования является гидротермический режим оз. Шира.

Цель исследований состоит в построении аналитических и численных моделей ветровых течений в замкнутых водоемах и в изучении на этой основе гидротермического режима озера Шира.

В соответствии с этой целью в работе поставлены и решаются следующие задачи:

1) построить частные аналитические решения упрощенных гидрофизических моделей и проанализировать на их основе ветровые течения в замкнутом водоеме;

2) используя как известные, так и новые аналитические решения упрощенных моделей, осуществить тестирование построенного численного алгоритма;

3) провести численное исследование ветровых течений для озера Шира;

4) используя выявленные закономерности, дать оценку гидротермического режима оз. Шира.

Основная идея диссертации заключается в математическом описании гидротермических процессов и процессов переноса и диффузии примесей в замкнутых водоемах на основе уравнений ""1р/"~'Г*1'ч^1ГГ"*МЧК'И " "" *" вариантов.

И>с ИАЦИвНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА [ СПетерррг /-Г Л

О» Щ> А

Методы исследований. Методы математического моделирования гидротермодинамики; аналитические решения уравнений математической физики; численные решения уравнений математической физики. Научная новизна.

1. Найдены новые аналитические решения упрощенных моделей движения жидкости в трехмерном случае (случай однородной жидкости, стационарное течение) для переменного коэффициента вертикального турбулентного обмена

2. На основе двумерных в вертикальной плоскости расчетов по численной модели, адаптированной для озера Шира, выявлена картина течения (одно- и двух-циркуляционное) в зависимости от стратификации и силы ветра.

3. Выявлена структура трехмерного ветрового течения озер при различных ветрах, в частности, показано, что течение является «квазидвумерным» в вертикальной плоскости для сильно стратифицированной жидкости.

Значение для теории. Полученные аналитические решения упрощенных моделей движения жидкости в трехмерном случае (случай однородной жидкости, стационарное течение) для переменного коэффициента вертикального турбулентного обмена могут применяться для тестирования численного алгоритма и для анализа ветровых течений в случае однородной жидкости.

Значение для практики. Построенная численная модель является важным этапом на пути решения проблемы описания гидрофизических процессов в замкнутых водоемах. Предлагаемая модель может быть использована при оценке влияния антропогенного воздействия на гидробиологический режим озера Шира. Такая модель может также служить гидродинамической основой для разработки комплексной модели экосистемы малых озер.

Представленные в диссертации исследования проводились в рамках следующих проектов и фантов: проект № 33-137 «Комплексные исследования уникальных соленых озер юга Сибири: мониторинг, эксперименты, модели», ФЦП «Интеграция»; грант № REC-002 при поддержке Министерства Образования РФ и Американского фонда гражданских исследований и развития для независимых государств бывшего Советского Союза; проект РФФИ № 99-05-64695 - «Разработка математических моделей для исследования гидрофизических процессов в водоемах»; научно-исследовательский проект INTAS-97-0519 "Mechanisms of microalgae blooming in continental water ecosystems: ecophysiological approaches, mathematical simulation and space-borne monitoring"; молодежный грант № 10F230N «Математическая модель пространственного распределения планктона оз. Шира» при поддержке Красноярского краевого фонда науки.

Достоверность полученных результатов. Достоверность численного метода основана на сопоставлении численных результатов с найденными аналитическими решениями упрощенных моделей движения жидкости и частными результатами других авторов. Достоверность полученных результатов также подтверждается сопоставлением расчетных характеристик с натурными данными в задаче о формировании вертикальных распределений компонентов экосистемы озера Шира.

Использование результатов диссертации. Результаты работы использовались Институтом биофизики СО РАН для моделирования вертикального распреде-

ления фитопланктона в летний период в оз. Шира (отчеты о НИР «Экспертиза, мониторинг, прогноз качества воды и лечебных свойств уникального сибирского озера Шира», ФЦП Интеграция, per. № 73, № гос. per. 01.9.80 002279, Красноярск, 19982000 гг.).

Личный вклад автора заключается в разработке компьютерных моделей движения стратифицированной жидкости в непроточных водоемах, проведении численных расчетов, получении точного решения стационарной задачи ветрового движения однородной жидкости в трехмерном случае с переменным коэффициентом вертикального турбулентного обмена.

Рекомендации по использовании результатов диссертации. Найденные частные аналитические решения уравнений ветрового движения однородной жидкости могут применяться для тестирования численных алгоритмов, предназначенных для исследования ветрового движения жидкости.

Разработанные компьютерные программы могут быть использованы при создании пакетов прикладных программ для решения задач ветрового движения неоднородной жидкости в непроточном водоеме.

Программная реализация приведенного в Приложении численного алгоритма переноса и диффузии примеси может применяться для оценки распределения по глубине различных органических и неорганических веществ.

Апробация результатов диссертации. Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях: Конференции молодых ученых ИВМ СО РАН (Красноярск, 1998); Ш-ем Сибирском конгрессе по индустриальной и прикладной математике (Новосибирск, 1998); Конференции молодых ученых ИВМ СО РАН (Красноярск, 1999); V-ой конференции «Динамика и термика рек, водохранилищ и прибрежной зоны морей» (Москва, 1999); 1-ом Всесибирском конгрессе женщин-математиков (Красноярск, 2000); Международной конференции «Biodiversity and Dynamics of ecosystems in North Eurasia» (Novosibirsk, 2000); Международной конференции «Математические модели и методы их исследования» (Красноярск, 2001); Н-ом Всесибирском конгрессе женщин-математиков (Красноярск, 2002); Конференции молодых ученых ИВМ СО РАН (Красноярск, 2002) 8-ой Международной конференции по соленым озерам (пос. Жемчужный, Хакасия, 2002); Десятой международной конференции «Математика, Компьютер, Образование» (Пущино, 2003); Международной конференции «Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании» (Усть-Каменогорск, Казахстан, 2003); Ш-ем Всесибирском конгрессе женщин-математиков (Красноярск, 2004); Двенадцатой международной конференции «Математика, Компьютер, Образование (Пущино, 2005).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ, из которых: 2 статьи в периодических изданиях по списку ВАК, 1 статья в зарубежном рецензируемом журнале, 3 работы в трудах международных конференций, 2 работы в трудах всероссийских конференций.

Общая характеристика диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех разделов, заключения и приложения. Работа состоит из 133 страниц основного текста, включая 82 рисунка. Список использованных источников включает 116 наименований.

Содержание работы

Введение представляет цели и задачи диссертационной работы, раскрывает ее актуальность, новизну полученных результатов, практическую значимость и апробацию, методологию исследования. Здесь же приводится краткая характеристика озера Шира. Батиметрия озера, а также типичное распределение температуры в летний и весенний периоды приведены на рис. 1.

--» т.-

Рис 1 Батиметрия озера Шира, распределение температуры в летний и весенний периоды

В начале раздела 1 приводится обзор литературы по математическому моделированию ветрового движения однородной и неоднородной жидкостей

При численном моделировании гидрофизических процессов в озерах как правило применяют упрощенный вариант уравнений движения жидкости с переменной плотностью. Уравнения рассматриваются в приближении Буссинеска и гидростатики. Будем исходить из следующей упрощенной системы уравнений (Г. И Марчук, А С. Саркисян, 1988), включающей: уравнения движения

ди ди ди ди , 1 дР д ( „ ди\ д( ди~\ д( ди

— + и-+ V--+ ■*>---/V =---— + —

3/ дх ду дг р0 дх дг

ду Эу ду ду , \ дР д

— + и — + V — + и» — + /м = -----+ —

3/ дх ду дг р0 ду дг

дР

дЛ

дг д.

дх

дх) ду

д ( ду

+ —\ц- -

дх

ду ду

д

+ —| ¡л ЗД ду

0)

уравнение статики — = -р%\ дг

уравнение неразрывности несжимаемой жидкости

ди ду ди> .

— + — + -— = 0; дх ду д:

уравнения переноса тепла и солей

(2)

дТ дТ дТ

— +и-+ V— + и»

31 дх ду

35 35 дЯ

— + и--+ V - + к

ду

д( дх уравнение состояния

дТ _ 3 ( УС дТ

'дг дг т \ дг

дЯ (к 35

дг ~дг дг

Эх

дх

а ЯГ) д

Ах--\+---

* дх] ду 38)

* дх

А дГ '¿У

, Ж

дА ду

р = ахкТ + + а)кТ + а4к32 + а5кТ8 + а6кТъ + а1кБ2Т +...

6

(3)

Здесь х,у,г — прямоугольная система координат, ось Ох направлена на восток, ось Оу — на север, ось Ох направлена вертикально вверх; (и,у,н-) — вектор скорости течения; / — параметр Кориолиса; Р = Р{!,х,у,г) — давление, отсчитываемое от гидростатического; g — ускорение свободного падения; //, Ах, Ау — коэффициенты горизонтального турбулентного обмена;^,, Кт, Кв — коэффициенты вертикального турбулентного обмена для скорости, температуры и солености; р — плотность воды, р0 — некоторое среднее значение плотности; Т — температура воды; 5— соленость воды.

Система уравнений дополнена граничными условиями. На водной поверхности при г = £(1,х,у) ставятся следующие условия:

Р = Р„ (5)

= (6)

дг

д.I дх ду'

К К дС

Щ-^От. ? = & или Т = Т0(/,х,у), 5 = (8)

а: о:

Здесь V - (и, V) — вектор горизонтальных составляющих вектора скорости; г" =(гх,г„) — напряжение ветра на свободной поверхности; Ра— атмосферное давление; ()т, <2$ — потоки тепла и солености через свободную поверхность; Т0, 50 — значения температуры и солености на поверхности

На дне водоема, при г = ~Н(х,у), для скоросги течения принимается условие прилипания

и ~ V — О

или условие скольжения без трения

За Зу „ дН дН

-—= — = 0, -ын--\>н--,

дп дп дх ду

где и — нормаль к поверхности дна океана.

Учет трения на дне может осуществляться также через локальные скорости

дУ дУ

К — = кьУ (или квадратичная зависимость К — = кьУ | У |), (9)

дг дг

где кь — коэффициент придонного трения, при кь=<*> получаем условие прилипания на дне. Учет трения на дне может осуществляться и через усредненные скорости (К. Боуден, 1988).

Для температуры и солености на дне задаются условия - г=!- -

Выбор того или иного варианта граничных условий осуществляется в зависимости от постановки конкретной задачи

Боковые границы рассматриваемой области предполагаются вертикальными. На твердой части границы для скоростей ставятся условия прилипания или скольжения. Для температуры и солености

где N — нормаль к боковой границе.

Уравнения (1)-(4) конкретизируются в зависимости от решаемой задачи Приведенные выше уравнения могут служить основой для решения той или , иной задачи динамики водных течений. Например, в работе Р. А. Ибраева и Д. И. Трухчева, 1996, модель, включающая в себя полные уравнения динамики моря в стандартных для океанологии приближениях, применялась для оценки сезонной из- 4 менчивости климатической циркуляции Черного моря В работах В. И. Квона, Д В. Квона опускаются члены, учитывающие горизонтальный турбулентный обмен, линеаризуется граничное условие (7), учет давления осуществляется следующим обра-

дР дд я }др, дР д$ 8°(др. зом — = £-— + — I --- аг, — = g — + — I — 02 и возвышение свободной по-дх дх р0\дх ду ду р0 \ ду

верхности находится из уравнения

Данная модель применяется для расчета течений в однородном Чудском озере и неоднородных водоемах-охладителях. В работах Y. Wang и др для расчета ветровых течений в Боденском озере используется приближение «твердой крышки» (т е. уравнение (7) имеет вид и> = 0). При использовании в условии на дне усредненных скоростей, приближения медленных течений и пренебрежении членами горизонтальной турбулентной вязкости в уравнениях движения получается модель, по которой Г. П Астраханцев, J1 А Руховец и др исследовали гидротермический режим Ладожского озера.

Далее рассматриваются известные аналитические решения задачи ветрового движения однородной и неоднородной жидкости и обсуждаются вопросы параметризации определяющих параметров

В разделе 2 рассматривается система уравнений (1)-(2) в приближении медленных течений при следующих упрощающих предположениях: жидкость является однородной, движение является стационарным и опущены члены горизонтальной турбулентной вязкости. Данная система сводится к уравнениям Экмана

первое решение для которых получено Экманом в 1905 г. для случая Кг - canst и условия прилипания на дне:

— = 0 или Т = ТЬ, S = St

3N

(Ю)

W = и + /V =

(И)

аг а/" __

где г* =г.+т„, — = + • При этом £) = л-]2К1/1—глубина слоя Экма-у дп ах ду

на (глубина, на которой вектор скорости принимает направление, противоположное направлению на поверхности).

Уравнение для функции тока, позволяющее найти д£/дх, д(Цду, получается стандартным образом (Р. \Velander, 1957).

В диссертационной работе для системы (10) найдено новое аналитическое решение в случае переменного коэффициента вертикального турбулентного обмена и условия проскальзывания на дне, если силами Кориолиса можно пренебречь (/ = 0). Локальное решение (зависящее от х, .у только параметрически) имеет вид

u = g

v = g

* f + } + --Al

dx}HK,(t) Po }„Kt(£) k„

dy}„KM) Po i KM) К

В случае, когда силы Кориолиса учитываются (1*0), для системы (10) найдено аналитическое решение трехмерной модели Экмана при постоянном коэффициенте вертикального турбулентного обмена (К, = const) и условии проскальзывания на дне, решение выписано в комплексной форме:

w cosh (a (z + H)) + —sinh (a (z + H))

W = H + Iv=r

р0 Кга sinh (аН) + kb cosh (аН)

ig( kb cosh (a z)____W ¡JL (l2)

l{K,asmh(aH)+kbcosh(aH) )дп' у AT, K }

В случае условия прилипания на дне (kh = «) найденное решение совпадает с известным решением Экмана (11).

Для произвольного Kt при / Ф 0 решение в общем случае найти невозможно,

_ д Г ЭИО

так как нельзя выписать общее решение уравнения — Кг —

дг\ дг

-tlW = g?f. Для дп

частных случаев изменения Kz (Kz линейная и экспоненциально убывающая функция) решение известно (F. J. Witten, 1976).

Для случая дрейфового течения (д£/дп = 0) легко сравнить классическое решение Экмана в случае условия прилипания на дне (11) с новым аналитическим решением (12) в случае условия проскальзывания на дне (рис 2, 3). Сравнение проводилось при следующих параметрах- / = 1.1810-4, К2 = 2-10~3 м2/с, r = 5.510~s, Н = 20 м и Н = 8 м, коэффициент придонного трения кь = 0.007. В этом случае число Этана E = DjH в случае Н = 20 м равно 0 21, в случае Н = 8 м число Экмана равно 0.51 (т. е. имеем водоем конечной глубины).

Рис. 2 Классическое решение Экмана (пунктирная линия) и аналитическое решение (8) (сплошная линия), Н = 20 м

Рис. 3 Классическое решение Экмана (пунктирная линия) и аналитическое решение (8) (сплошная линия), Н — 8 м

Анализ рисунков показывает, что для глубин порядка 20 м отличие аналитического решения с условием проскальзывания на дне от классического решения Экмана наблюдается только вблизи дна, а для глубин порядка 8 м отличие существенно и на поверхности водоема.

В двумерном случае дС/дх легко исключается, и решение (12) имеет вид = const, Н = const)

(К

т(х)

, кь 2

2+ к„ \Н

+ Z +

2 1 / 3 6 *

2 +-к,

Н

(13)

В частном случае движения жидкости в бассейне цилиндрической формы уравнение для функции тока решается элементарно и получено аналитическое решение модели Экмана в целом, т. е. возможен полный анализ решения, а не только дрейфовой составляющей, как это делалось ранее. В частности, в случае / = 0 имеем линейное распределение скорости по глубине

(z + tf)

(14)

Ро ^

Сравнение полученного аналитического решения и его дрейфовой составляющей показывает, что ранее применявшееся для анализа ветровых течений решение, в котором считается, что наклоны свободной поверхности равны 0, дает завышенный по сравнению с реальной ситуацией поворот течения на поверхности по отношению к направлению ветра. Если параметр Кориолиса не учитывается, то направление течения на поверхности в точности совпадает с направлением ветра.

В разделе 3 описываются используемые модели и численные алгоритмы для них в трехмерном и двумерном в вертикальной плоскости случаях, проводится анализ численных алгоритмов.

Ввиду того, что диссертационная работа является составной частью исследования экосистемы озера Шира, при выборе математических моделей принимались во внимание особенности этого водоема:

1) единственным притоком этого озера является река Сон, имеющая малый расход, поэтому была выбрана модель замкнутого водоема;

2) озеро Шира относится к стратифицированным по температуре и солености водоемам, поэтому рассматривались различные уравнения состояния в виде (4), где зависимость от температуры рассматривалась до четвертого порядка, зависимость от солености — до третьего порядка;

3) так как площадь озера относительно невелика (34.7 км2), считается, что величина и направление ветра одинаковы по всей акватории.

Основные результаты получены по трехмерной модели гидротермики замкнутого водоема в приближении Буссинеска и гидростатики (В. И. Квон, 1979). На поверхности для скоростей используется условие (6), на дне — граничное условие (9). Между напряжением ветра на поверхности и скоростью ветра принимается следующая связь (К. Боуден, 1988):

где 1Р(1) = (-н>х(х,у,1), -н>^(х,у,1)) — вектор скорости ветра, ра— плотность атмосферы. Коэффициент вертикального турбулентного обмена вычислялся по формуле Прандтля-Обухова (А. С. Монин, 1981)

где а = 0.05, И — толщина верхнего квазиоднородного слоя, чаще всего определяемая по первой по глубине точке, в которой коэффициент турбулентного обмена становится меньше заранее заданного числа Ктт (если подкоренное выражение становится меньше нуля или К1 < Ктт, то Кг = Ктт).

Для расчета течения была введена равномерная сетка с шагами А/, Дд-, Ду, Дг по времени, горизонтальным направлениям и вертикальному направлению соответственно. Для аппроксимации уравнений количества движения применялась схема стабилизирующей поправки (Н. Н. Яненко, 1967). Для аппроксимации уравнения переноса и диффузии тепла использовалась разностная схема с разностями против потока для дивергентной формы записи конвективных членов и схема с центральными разностями для вторых производных.

В двумерном случае численный алгоритм проверялся на аналитическом решении (13). Расчеты проводились при следующих параметрах: К. =10~3м2/с, ветер 5 м/с. На дне ставилось условие скольжения без трения, в начальный момент времени в численных расчетах и = 0, = 0, ^ = 0. На рис. 5 изображены аналитическое и разностное решение для батиметрии, соответствующей двумерному сечению озера Шира (рис. 4). Сплошная линия на рис. 5 соответствует аналитическому решению, пунктирная линия — разностному решению. Разностное решение получено на момент времени, когда движение жидкости становится практически стационарным. Скорости выведены в сечениях, отмеченных на рис. 4 пунктирной линией.

г" = 1.25-\0~} ра1¥ |ЙП,

■) -»133

Рис 4 Батиметрия

«ж б).".

и, м/с

и, и/с

И, и

Н,м

Рис 5 Распределение скорости по глубине а) - в сечении .Л, б) - в сечении -Л

В трехмерном случае численный алгоритм проверялся на аналитическом решении (14) в частном случае движения жидкости в бассейне цилиндрической формы (рис 6, а) радиуса /? = 35()м с ровным дном, Н = Юл/, тх!р0 = -а ■ у, ту/ р0~а-х,

а = 10~*, / = О, Кх = 10'гм2/с. На дне ставилось условие прилипания.

и, и/с

К и

Рис 6 а) модальный водоем, б) распределение горизонтальной составляющей вектора скорости « по глубине

На рис 6, б) представлено распределение горизонтальной составляющей вектора скорости и по глубине в точке, отмеченной на рис. 6, а) квадратом. Прямой ли-

нией обозначено решение, полученное по разностной схеме на момент времени, когда движение жидкости становится практически стационарным, пунктирной линией — аналитическое решение, найденное по формуле, выведенной в разделе 2.

Для верификации модели было проведено сравнение с результатами, полученными для Боденского озера в работе Y. Wang, 2001 Тестирование численного алгоритма на точных решениях и сравнение с результатами других авторов показало работоспособность численного алгоритма.

Анализ численных расчетов в трехмерном случае и анализ цитированной литературы показал, что течение существенно зависит от батиметрии. Для озер типа Боденского озера с его резко меняющейся береговой линией возможно появление внугренних вихрей. Для озер, имеющих втекающие и вытекающие реки, появление вихрей в этих областях возможно и при гладкой береговой линии (Г. П Астраханцев и др , 2003). Для ряда ситуаций, например, в случае движения неоднородной жидкости в «кубике», возможен вариант «квазидвумерного» течения (3 Н. Добровольская и др., 1981). В монографии А. С. Судольского, 1991 также отмечается, что в водоемах простых очертаний с плавным рельефом дна осуществляется движение с преобладанием макроциркуляции вод в вертикальной плоскости. Такие же результаты наблюдаются и при расчетах для оз. Шира с его достаточно гладкой береговой линией и плавно меняющейся батиметрией.

Для батиметрии озера Шира был проведен ряд расчетов для определения влияния сил Кориолиса на течение Расчеты проводились с учетом и без учета сил Кориолиса. Сравнение расчетов для однородной и неоднородной жидкости показало, что есть существенная связь между величиной и направлением течения и глубиной перемешанного слоя- при увеличении глубины перемешанного слоя течение на поверхности все больше отклоняется от направления ветра, как это имеет место для однородной жидкости Это позволяет выдвинуть гипотезу о том, что движение жидкости в сильно стратифицированном озере происходит следующим образом- нижний слой практически покоится, а верхний слой движется как однородная жидкость в фиетивном озере, глубина которого определяется глубиной перемешанного слоя и для которого справедливы все точные решения, полученные в разделе 2. Эту гипотезу подтверждают методические расчеты и расчеты для оз Шира (рис 7).

-мв ш

гт>— и, и/с

Рис 7 Распределение горизонтальной составляющей вектора скорости по глубине в центральном сечении бассейна, сплошная линия — неоднородная жидкость, Н ^ =21м, на дне ставилось условие проскальзывания, кь = Ю-3, пунктирная линия — однородная жидкость, «фиктивное озеро», Н^ —9 м, на дне ставилось условие прилипания Ветер западный 7 м/с, Кг = 2 • 10~3л?!с.

В разделе 4 приводится анализ различных уравнений состояния соленой воды, и анализируются результаты двумерных и трехмерных численных расчетов для бассейна с батиметрией, аппроксимирующей батиметрию озера Шира, для различной температурной стратификации воды.

Численные расчеты показывают, что при изменении солености от 18 до 72 г/л в летний и весенний период даже при больших ветрах реализуется двухциркуляци-онное течение, когда верхний слой движется, а нижний практически покоится (рис. 8).

и, ¡м/с

— ветер 2 м/с ветер 5 м/с

— ветер 10 м/с

— - ветер 12 м/с ветер 14 м/с

-3,г/л

в) -им

Н,м

— ветер 2 м/с ветер ¡м/с

— ветер 9м/с ветер 10 м/с ветер 12 м/с

-Яг/а

Н.м

Н, л

Рис 8 Распределение скорости и и солености 5 по глубине в центральной точке бассейна через 2 суток а) в летний период, б) в весенний период; соленость изменяется от 18 до 22 г/л

При уменьшении градиента солености (соленость изменяется от 16.6 до 18.3 г/л) при ветрах около 12 м/с в весенний период за двое суток происходит перемешивание жидкости практически до дна (рис. 9).

■ и. м/с

- ветер 2 м/с ветер Л м/с

- - ветер 10м/с

- ветер 12 м/с ветер 14 м/с

- S.i/n

Н.м

Н.м

— ветер 2 м/с ветер S м/с

— ветер 9 м/с

— ветер 10м/с —» ветер 12 M/t

Н.м

■ S, 2J/1

Н.м

Рис 9 Распределение скорости и и солености 5 по глубине в центральной точке бассейна через 2 суток а) в летний период, б) в весенний период, соленость изменяется от 16 6 до 18 3 г/л

В случае отсутствия градиента солености для летней стратификации переход от двухциркуляционного течения к одноциркуляционному наблюдается для силы ветра около 12 м/с (рис. 10, а), а для весенней стратификации переход к одноциркуляционному течению наблюдается уже для скорости ветра около 9 м/с (рис. 10, б).

К м/с

1» —г---

--ветер 10 м/с

I - . «мир 12м/С \ >1 ееяир 14 м/с

— ветер 2 м/с ветер 3 м/с

— ветер 2 и/с ■■ ветер 5 м/с

Г, — ветер 9 м/с

- ветер 10 м/с

— ветер 12 м/с

и

V

д

И.м

Рис. 10 Распределение скорости и по глубине в центральной точке бассейна через 2 суток в случае отсутствия градиента солености

Анализ расчетов показывает, что наблюдаемое уменьшение градиента солености в озере в осенне-весенний период, когда температурная стратификация мала, при сильных ветрах делает вероятным вариант одноциркуляционного течения Это означает, что если тенденция к уменьшению градиента солености в озере сохранится, то возможно изменение типа этого озера, согласно существующей классификации (А И. Тихомиров, 1982), — оно из меромиктического (озера, в котором циркуляция охватывает только верхний слой меньшей плотности) может стать димикти-ческим (с полным перемешиванием воды по глубине в осенний и весенний период), что может привести к соответствующим последствиям для экологии оз. Шира.

Приложение содержит численное решение системы уравнений для переноса и диффузии примесей и его применение к исследованию механизма формирования вертикального распределения водорослей в озере Шира Программная реализация приведенного в Приложении численного алгоритма переноса и диффузии примеси может применяться для оценки распределения по глубине различных органических и неорганических веществ.

В заключении перечислены основные результаты: 1. Для упрощенных моделей в трехмерном случае для бассейна конечной глубины построены:

- аналитическое решение задачи типа Экмана в случае произвольного коэффициента вертикального турбулентного обмена, условий проскальзывания на дне, без учета сил Кориолиса;

- аналитическое решение задачи Экмана в случае постоянного коэффициента вертикального турбулентного обмена, условий проскальзывания на дне, с учетом сил Кориолиса.

2 На основе найденных аналитических решений и анализа численных расчетов для моделей движения жидкости в замкнутом водоеме различного уровня сложности получены следующие результаты для бассейна, моделирующего стратифицированное по температуре и солености озеро Шира:

- движение жидкости в трехмерном случае является квазидвумерным в вертикальной плоскости,

- если тенденция к уменьшению градиента солености в озере сохранится, то возможно изменение типа этого озера с меромиктического на димиктиче-ский.

3 На основе разработанной компьютерной модели вертикального распределения фитопланктона озера Шира изучены механизмы формирования вертикальной структуры водорослей, типичных для озера Шира.

Публикации автора по теме диссертации

1. Гаврилова, Л В. Расчет динамики течений малых озер на примере озера Шира / Л В. Гаврилова, Л. А. Компанией // Вычислительные технологии. — 1999. — Т. 4,—№6.—С. 58-67.

2. Компаниец, Л. А. О точных решениях одной модели движения однородной жидкости с переменным коэффициентом вертикального турбулентного обмена (трехмерный случай) / Л. А. Компаниец, Л. В. Гаврилова // Вестник Крас-ГУ — 2004. — Вып. 3. — С. 79-84.

3. Гаврилова, Л. В. Проверка механизмов формирования вертикальной структуры фитопланктона на оз. Шира при помощи математической модели / Л. В. Гаврилова, Т. А. Зотина // Труды международной конференции «Математические модели и методы их исследования» — Красноярск: КГУ. — 2001. — С. 148-150.

4. Гаврилова, Л. В. Аналитическое решение одной модели движения однородной жидкости в мелком водоеме (2D и 3D случай) / Л. В. Гаврилова, Л. А Компаниец, Т. В. Якубайлик // Вычислительные технологии — 2003. — Т. 8. — Региональный вестник Востока. — 2003 — № 3 — (Совм. выпуск по материалам Международной конференции «Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании». Ч. 4 ) — С. 125-131.

5. Гаврилова, Л. В. О точном решении задачи ветрового движения жидкости в замкнутом водоеме (трехмерный случай) / Л. В. Гаврилова, Л. А Компаниец // Труды X Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование». — Москва, Ижевск. Научно-издательский центр «Регулярная и хаотическая динамика». — 2003. — Вып. 10 — Ч. 2. — С. 227-233.

6. Компаниец, Л. А. Численный алгоритм расчета ветровых течений стратифицированной жидкости / Л. А. Компаниец, Л. В. Гаврилова // Труды V Всероссийской конференции «Динамика и термика рек, водохранилищ и прибрежной зоны морей». — Москва. — 1999. — С. 51-54.

7. Компаниец, Л А. Расчет ветровых течений в соленом озере (двумерный в вертикальной плоскости случай) / Л. А. Компаниец, Л. В. Гаврилова II Труды Всероссийской конференции «II Всесибирский конгресс женщин-математиков». — Красноярск — 2002. — С. 71-76.

8. Belolipetskii, V. M. Mathematical models and computer programmes for the investigation of hydrophysical processes in Lake Shira / V. M. Belolipetskii, S. N Genova, L. V. Gavrilova, L. A. Kompaniets // Aquatic Ecology. — 2002. — Vol. 36

- P. 143-152.

Гаврилова Людмила Владимировна Аналитические и численные методы анализа ветровых течений в непроточных водоемах Автореф дисс на соискание ученой степени кандидата физ -мат наук Подписано в печать 25 08 2005 Заказ № .//У Формат 60*90/16 Уел печ л 1 Тираж 100 экз Типография Красноярской государственной архитектурно-строительной академии

1

», il

V

P1S387

РНБ Русский фонд

2006-4 19939

Введение

1 Основные подходы к изучению ветровых течений неоднородной жидкости

1.1 Определяющие уравнения задачи ветрового движения неоднородной жидкости.

1.2 Аналитические решения уравнений ветрового движения однородной жидкости.

1.3 Параметризация некоторых параметров уравнений гидротермодинамики .'.

2 Новые аналитические решения уравнений ветрового движения однородной жидкости

2.1 Решения модели типа Экмана с условием проскальзывания на дне и их сравнительный анализ.

2.2 Решение задачи о движении жидкости в цилиндрическом бассейне

2.3 Выводы к главе 2.

3 Описание и анализ численных алгоритмов для модели гид-ротермики замкнутого водоема

3.1 Описание используемых моделей.

3.2 Описание численного алгоритма.

3.3 Верификация численного алгоритма на аналитических решениях в случае однородной жидкости.

3.4 Анализ численного алгоритма в двумерном случае.

3.4.1 Оценка влияиия нелинейных членов переноса в уравнениях движения.

3.4.2 Различные модификации разностной схемы для уравнения теплопроводности.

3.5 Анализ численных расчетов в трехмерном случае.

3.5.1 О влиянии сил Кориолиса.

3.5.2 Оценка влияния нелинейных членов переноса.

3.5.3 Сравнительный анализ течения в прямоугольном бассейне и его двумерном сечении.

3.6 Выводы к главе 3.

4 Анализ численных результатов для соленого озера Шира

4.1 Анализ различных уравнений состояния соленой воды .10G

4.2 Численные расчеты для бассейна, моделирующего вертикальное сечение озера Шира (двумерный случай).

4.3 Численные расчеты для озера Шира (трехмерный случай)

4.4 Вы вод i)i к главе 4.11G

Актуальность темы. Темпы развития цивилизации и ее воздействие на природные ресурсы привели к тому, что контроль и управление окружающей средой стали актуальнейшими проблемами современности. Одним из наиболее важных вопросов в деле защиты окружающей среды, рационального управления средой обитания человека является задача обеспечения экологического баланса существующих озер. Экологическое состояние водных объектов зависит от большого количества разнообразных факторов и процессов, которые можно разделить на следующие подсистемы: метеорологические факторы; гидрофизические процессы, гидрохимические и гидробиологические процессы; внешние антропогенные факторы. Гидрофизические параметры являются важнейшими факторами для химических и гидробиологических процессов.

Народно-хозяйственная задача состоит в необходимости исследования озер как резервуаров чистой пресной воды или лечебной соленой воды. Большую роль в гидробиологических процессах играют термические условия. Существенно зависит от температурного режима самоочищение водной среды. Для решения этой задачи имеющихся полевых материалов и произведенных по ним обобщений для определения гидротермического режима озер, как правило недостаточно (Ладожское озеро, [9]; Боденское озеро, [110]; Чудское озеро, [20]).

Научная задача. Построение аналитических и численных моделей тепло-массопереноса для континентальных, в частности, непроточных озер.

Объект исследований. Данная работа является составной частью исследований экосистемы озера Шира и качества воды в нем. Необходимость такого исследования обусловлена тем, что вода озера Шира обладает уникальными лечебными свойствами, поэтому озеро относится к числу водоемов, изучение которых является предметом международных программ.

Озеро Шира представляет собой бессточное озеро без островов, в которое впадает одна речка Сон. В силу малости притока все влияние реки сосредоточено в приустьевой зоне, поэтому основным внешним фактором, определяющим течение в озере, является ветровое воздействие.

Основные характеристики озера: озеро имеет овальную форму, длина — 9,4 км, ширина —5 км, площадь водного зеркала —34,7 км2, средняя глубина—11,2 м, максимальная глубина меняется со временем от 21 м до 24 м, естественный среднемноголетний водосток —1,6 млн. куб. м/год, подземный водообмен составляет 9% от общего водопоступления.

На рис. 1 показана батиметрия озера Шира по данным измерений 1958 г. В 2000 году были проведены замеры глубины озера с помощью многофункционального эхолота LMS - 350 А (с выводом информации на персональный компьютер). Сравнение данных показало, что уровень воды заметно повысился и наибольшая глубина составила 24,3 м по сравнению с 21,7 м в 1958 г.

Рис. 1. Батиметрия оз.Шира.

Минерализация воды меняется в сторону уменьшения (от 18-22 г/л по наблюдениям 1958 г. до 11-13 г/л по наблюдениям 2004 г.). Согласно распространенному в лимнологии определению, оз. Шира относится к малым озерам (к большим озерам принято относить водоемы со средней глубиной более 25 м и площадью поверхности не менее нескольких сотен квадратных километров).

В непроточных водоемах динамические процессы в основном происходят под действием ветрового напряжения. Картина ветровых течений зависит от геометрии водоема, направления и силы ветра, глубины и стратификации. Плотностная стратификация озера связана с неравномерными распределениями температуры и солености воды. Поля температуры и солености зависят от течений и турбулентного перемешивания.

Наиболее важным физико-химико-биологическим параметром в моделях качества воды озер является температура воды и в особенности — ее распределение (изменение) по глубине водоема [74J.

На рис. 2 показан характерный летний профиль температуры в озере Шира. Вверху образуется слой конечной толщины, определяемой пределом эффективности механизма турбулентной диффузии в переносе тепловой энергии. Указанный слой (называемый эпилимнионом) в летний период с ростом температуры воды медленно расширяет свою нижнюю Гранину в глубину водоема. При этом температура придонных слоев тоже повышается, но весьма незначительно. Эта область носит название гиполимниона и может быть определена как глубинный слой, в котором вертикальный градиент температуры воды пренебрежимо мал. Между гиполимнионом и эпилимнионом обычно располагается слой воды (металимнион), в пределах которого градиент dTfdz очень велик. Этот слой часто называют областью термоклина, хотя, строго говоря, термоклин — это горизонт, на котором d2T/dz2 — 0.

В летний период в озере формируется плотностная стратификация. В эпи-лимнионе более высокая температура воды (15-25 °С), в гинолимнионе — бо

Рис. 2. Характерный летний профиль температуры в озере Шира лее высокая соленость (21-22 г/л) и холодная вода (2-3 °С).

Предмет исследований. Предметом исследования является гидротермический режим озера Шира.

Цель исследований состоит в построении математических и численных моделей ветровых течений в замкнутых водоемах и в изучении на этой основе гидротермического режима озера Шира.

В соответствии с это целью в работе поставлены и решаются следующие задачи:

1. построить частные аналитические решения упрощенных гидрофизических моделей и проанализировать на их основе ветровые течения в замкнутом водоеме;

2. используя как известные, так и новые аналитические решения упрощенных моделей, осуществить тестирование построенного численного алгоритма;

3. провести численное исследование ветровых течений для озера Шира;

4. используя выявленные закономерности, дать оценку гидротермического режима озера Шира.

Основная идея диссертации заключается в математическом описании гидротермических процессов и процессов переноса и диффузии примесей в замкнутых водоемах на основе уравнений гидротермодинамики и их упрощенных вариантов.

Методы исследований. Методы математического моделирования гидротермодинамики; аналитические решения уравнений математической физики; численные решения уравнений математической физики.

Основные результаты.

1. Для упрощенных моделей в трехмерном случае для бассейна конечной глубины построены: аналитическое решение задачи типа Экмана в случае произвольного коэффициента вертикального турбулентного обмена, условий проскальзывания на дне, без учета сил Кориолиса; аналитическое решение задачи Экмана в случае постоянного коэффициента вертикального турбулентного обмена, условий проскальзывания на дне, с учетом сил Кориолиса.

2. На основе найденных аналитических решений и анализа численных расчетов для моделей движения жидкости в замкнутом водоеме различного уровня сложности были сделаны следующие выводы для бассейна, моделирующего стратифицированное по температуре и солености озеро Шира: движение жидкости в трехмерном случае является квазидвумерным в вертикальной плоскости; если тенденция к уменьшению градиента солености в озере сохранится, то возможно изменение типа этого озера с меромиктического на димиктический.

3. На основе разработанной компьютерной модели вертикального распределения фитопланктона озера Шира изучены механизмы формирования вертикальной структуры водорослей, типичных для озера Шира.

Научная новизна.

1. Найдены новые аналитические решения упрощенных моделей движения жидкости в трехмерном случае (случай однородной жидкости, стационарное течение) для переменного коэффициента вертикального турбулентного обмена.

2. На основе двумерных в вертикальной плоскости расчетов по численной модели, адаптированной для озера Шира, выявлена картина течения (одно- и двухциркуляционное) в зависимости от стратификации и силы ветра.

3. Выявлена структура трехмерного ветрового течения озера при различных ветрах, в частности, показано, что течение является «квазидвумерным» в вертикальной плоскости для сильно стратифицированной жидкости.

Значение для теории. Полученные аналитические решения упрощенных моделей движения жидкости в трехмерном случае (случай однородной жидкости, стационарное течение) для переменного коэффициента вертикального турбулентного обмена могут применяться для тестирования численного алгоритма и для анализа ветровых течений в случае однородной жидкости.

Значение для практики. Построенная численная модель является важным этапом на пути решения проблемы описания гидрофизических процессов в замкнутых водоемах. Предлагаемая модель может быть использована при оценке влияния антропогенного воздействия на гидробиологи чески й режим озера Шира. Такая модель может также служить гидродинамической основой для разработки комплексной модели экосистемы малых озер.

Представленные в диссертации исследования проводились в рамках следующих проектов и грантов: проект JV? ЭЗ-1Э7 «Комплексные исследования уникальных соленых озер юга Сибири: мониторинг, эксперименты, модели», ФЦП «Интеграция»; грант N« REC-002 при поддержке Министерства Образования РФ и Американского фонда гражданских исследований и развития для независимых государств бывшего Советского Союза; проект РФФИ № 99-0564695 — «Разработка математических моделей для исследования гидрофизических процессов в водоемах»; научно-исследовательский проект INTAS-97-0519 "Mechanisms of microalgae blooming in continental water ecosystems: eco-physiological approaches, mathematical simulation and space-borne monitoring"; молодежный грант 10F230N «Математическая модель пространственного распределения планктона оз. Шира» при поддержке Красноярского краевого фонда науки.

Достоверность полученных результатов. Достоверность численного метода основана на сопоставлении численных результатов с найденными аналитическими решениями упрощенных моделей движения жидкости и частными результатами других авторов. Достоверность полученных результатов также подтверждается сопоставлением расчетных характеристик с натурными данными в задаче о формировании вертикальных распределений компонентов экосистемы озера Шира.

Использование результатов диссертации. Результаты работы использовались Институтом биофизики СО РАН для моделирования вертикального распределения фитопланктона в летний период в оз. Шира (отчеты о НИР «Экспертиза, мониторинг, прогноз качества воды и лечебных свойств уникального сибирского озера Шира», ФЦП Интеграция, per. № 73, Л"2 гос. per.

01.9.80 002279, Красноярск, 1998-2000 гг.).

Личный вклад автора заключается в разработке компьютерных моделей движения стратифицированной жидкости в непроточных водоемах, проведении численных расчетов, получении точного решения стационарной задачи ветрового движения однородной жидкости в трехмерном случае с переменным коэффициентом вертикального турбулентного обмена.

Рекомендации по использованию результатов диссертации. Математическое и численное моделирование является эффективным средством оценки термического состояния озера и прогноза его изменений под воздействием природных и антропогенных факторов, в частности, средством оценки влияния загрязнения на термический режим озера.

Найденные частные аналитические решения уравнений ветрового движения однородной жидкости могут применяться для тестирования численных алгоритмов, предназначенных для исследования ветрового движения жидкости.

Разработанные компьютерные программы могут быть использованы при создании пакетов прикладных программ для решения задач ветрового движения неоднородной жидкости в непроточном водоеме.

Программная реализация приведенного в Приложении численного алгоритма переноса и диффузии примеси может применяться для оценки распределения по глубине различных органических и неорганических веществ.

Апробация результатов диссертации. Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях: Конференции молодых ученых ИВМ СО РАН (Красноярск, 1998); Ш-ем Сибирском конгрессе по индустриальной и прикладной математике (Новосибирск, 1998); Конференции молодых ученых ИВМ СО РАН (Красноярск, 1999); V-ой конференции «Динамика и термика рек, водохранилищ и прибрежной зоны морей» (Москва, 1999); 1-ом Всесибирском конгрессе женщин-математиков (Красноярск, 2000); Международной конференции «Biodiversity and Dynamics of ecosystems in North Eurasia» (Novosibirsk, 2000); Международной конференции «Математические модели и методы их исследования» (Красноярск, 2001); 11-ом Всесибирском конгрессе женщин-математиков (Красноярск, 2002); Конференции молодых ученых ИВМ СО РАН (Красноярск, 2002); 8-ой Международной конференции по соленым озерам (пос. Жемчужный, Хакасия, 2002); Десятой международной конференции «Математика, Компьютер, Образование» (Пущино, 2003); Международной конференции «Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании» (Усть-Каменогорск, Казахстан, 2003); Ш-ем Всесибирском конгрессе женщин-математиков (Красноярск, 2004); Двенадцатой международной конференции «Математика, Компьютер, Образование» (Пущино, 2005).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ, из которых: 2 статьи в периодических изданиях по списку ВАК, 1 статья в зарубежном рецензируемом журнале, 3 работы в трудах международных конференций, 2 работы в трудах всероссийских конференций.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех разделов, заключения и приложения. Работа состоит из 133 страниц основного текста, включая 82 рисунка. Список использованных источников включает 116 наименований.

Основные результаты

1. Для упрощенных моделей в трехмерном случае для бассейна конечной глубины построены: — аналитическое решение задачи типа Экмана в случае произвольного коэффициента вертикального турбулентного обмена, условий проскальзывания на дне, без учета сил Кориолиса; аналитическое решение задачи Экмана в случае постоянного коэффициента вертикального турбулентного обмена, условий проскальзывания на дне, с учетом сил Кориолиса.

2. На основе найденных аналитических решений и анализа численных расчетов для моделей движения жидкости в замкнутом водоеме различного уровня сложности были сделаны следующие выводы для бассейна, моделирующего стратифицированное по температуре и солености озеро Шира: движение жидкости в трехмерном случае является квазидвумерным в вертикальной плоскости; если тенденция к уменьшению градиента солености в озере сохранится, то возможно изменение типа этого озера с меромиктического на димиктический.

3. На основе разработанной компьютерной модели вертикального распределения фитопланктона озера Шира изучены механизмы формирования вертикальной структуры водорослей, типичных для озера Шира.

Программная реализация приведенного в Приложении численного алгоритма переноса и диффузии примеси может применяться для оценки распределения по глубине различных органических и неорганических веществ.

Заключение

1. Акопян, М. А. Прогностическая модель и расчет сезонной циркуляции оз. Севан Текст] / М. А. Акопян // Моделирование и экспериментальные исследования гидрологических процессов в озерах : сб. Л. : Нау.ка, Ленинградское отделение, 1986. - С. 24-28.

2. Архипов, Б. В. Двумерная вертикальная модель температурного режима водоема-охладителя Текст] / Б. В. Архипов, В. В. Солбаков, Д. А. Шапочкин // Водные ресурсы. 1994. - Т. 22. - №6. - С. 653-666.

3. Архипов, Б. В. Расчет термогидродинамического режима водоема по двумерной модели Текст] / Б. В. Архипов, В. В. Солбаков // Известия АН. Физика атмосферы и океана. 1994. - Т. 30. - №5. - С. 671-685.

4. Астраханцев, Г. П. Моделирование течений и термического режима Ладожского озера Текст] / Г. П. Астраханцев, Н. Б. Егорова, Л. А. Руховец. -Ленинград, 1988. 44 с. - (Препринт / Институт озероведения АН СССР).

5. Астраханцев, Г. П. Моделирование экосистем больших стратифицированных озер Текст] / Г. П. Астраханцев, В. В. Меншуткин, Н. А. Петрова, Л. А. Руховец. СПб. : Наука, 2003. - 363 с.

6. И. Баклановская, В. Ф. О краевых задачах для системы уравнений Сен-Венана на плоскости Текст] / В. Ф. Баклановская, Б. В. Пальцев, И. И. Чечель // ЖВМиМФ. 1979. - Т. 19. - № 3. - С. 708-725.

7. Белолипецкий, В. М. Численное моделирование ветровых течений в стратифицированных водоемах Текст] / В. М. Белолипецкий // Труды V конференции «Динамика и термика рек, водохранилищ и прибрежной зоны морей». Москва, 1999. - С. 20-23.

8. Белолипецкий, В. М. Численное моделирование задач гидроледо-термики водотоков Текст] / В. М. Белолипецкий, С. Н. Генова, В. Б.

9. Туговиков, Ю. И. Шокин. Новосибирск : Сиб. отд. РАН, ИВТ, ВЦ (г.Красноярск), 1994. - 135 с.

10. Бердников, В. С. Тепловая гравитационно-капиллярная конвекция в прямоугольной полости Текст] / В. С. Бердников, А. Г. Забродин, В. А. Марков // Гидромеханика и процессы переноса в невесомости : сб. 1983.- С. 136-151.

11. Бирих, Р. В. О термокапиллярной конвекции в горизонтальном слое жидкости Текст] / Р. В. Бирих // ПМТФ. 1966. - №3. - С. 69-72.

12. Боуден, К. Физическая океанография прибрежных вод Текст] : [пер. с англ.] / К. Боуден. М. : Мир, 1988. - 324 с.

13. Бочаров, О. Б. Двумерная вертикальная модедь гидротермических процессов в температурно-стратифицированных водоемах Текст] / О. Б. Бочаров, О. Ф. Васильев, Т.Э . Овчинникова // Доклады Академии Наук.- 1994. Т. 339. - №3. - С. 327-330.

14. Бочаров, О. Б. Об однородных численных алгоритмах при сопряжении полной и гидростатической моделей гидротермики водоемов Текст] / О. Б. Бочаров, Т. Э. Овчинникова // Вычислительные технологии. 2003. -Т. 8. - №3. - С. 23-31.

15. Васильев, О. Ф. Математическое моделирование гидротермических процессов в глубоководных водоемах Текст] / О. Ф. Васильев, О. Б. Бочаров, А. Т. Зиновьев // Гидротехническое строительство. 1991. - №7. -С. 3-5.

16. Волкова, Г. Б. Численное моделирование ветровых течений в Чудском озере Текст] / Г. Б. Волкова, В. И. Квон, Т. Н. Филатова // Водные ресурсы. 1981. - No 3. С. 91-99.

17. Вольцингер, Н. Е. Длинные волны на мелкой воде Текст] / Н. Е. Вольцингер. J1. : Гидрометеоиздат, 1985. - 160 с.

18. Вольцингер, Н. Е. Теория мелкой воды. Океанологические задачи и численные методы Текст] / Н. Е. Вольцингер, Р. В. Пясковский. Л. : Гидрометеоиздат, 1977. - 207 с.

19. Гаврилова, JI. В. Расчет динамики течений малых озер на примере озера Шира Текст] / Л. В. Гаврилова, Л. А. Компаниец // Вычислительныетехнологии. 1999. - Т. 4. - Ж>. - С. 58-67.

20. Генова, С. Н. Двумерная в вертикальной плоскости модель гидротермического режима непроточного водоема Текст] / С. Н. Генова, П. Н. Лукавенко // Вычислительные технологии. 2002. - Т. 7. - №4. - С. 9-17.

21. Даценко, Ю. Ц. Математическая модель динамики вод и распространения загрязняющих веществ в Иваньковском водохранилище Текст] / Ю. Ц. Даценко, С. А. Иваненко, П. П. Корявов, К. К. Эдельштейн // Водные ресурсы. 2000. - Т. 27. - №3. - С. 292-304.

22. Демин, Ю. Л. Гидродинамический диагноз течений в крупных озерах и водохранилищах Текст] / Ю. Л. Демин, И. О. Ахвердиев, Д. В. Белецкий, Н. Н. Филатов. Москва, 1990. - (Препринт / Отдел вычислительной математики АН СССР).

23. Добровольская, 3. Н. Математические модели для расче-та динамики и качества сложных водных систем Текст] / 3. Н. Добровольская, Г. П. Епихов, П. П. Корявов, Н. Н. Моисеев // Водные ресурсы. 1981. - №3. - С. 33-51.

24. Добровольская, 3. Н. Расчет течений в Онежском озере с учетом антропогенного воздействия Текст] / 3. Н. Добровольская, П. П. Корявов, А. И. Симонов // Водные ресурсы. 1981. - №3. С. 100-104.

25. Зотина, Т. А. Механизмы формирования структуры фитопланктона в условиях стратифицированного водоема Текст] : автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата биологических наук / Зотина Татьяна Анатольевна. Красноярск, 2001. - 16 с.

26. Ибраев, Р. А. Сезонная изменчивость климатической циркуляции Черного моря Текст] / Р. А. Ибраев, Д. И. Трухчев // Доклады Академии наук. 1996. - Т. 350. - №4. - С. 541-543.

27. Иваненко, С. А. Современые вычислительные технологии для расчета динамики открытых потоков Текст] / С. А. Иваненко, П. П. Корявов, А. Н. Милитеев // Водные ресурсы. 2002. - Т. 29. - №5. С. 49-56.

28. Игнатова, Г. Ш. О модели турбулентного течения со скольжением на дне водотока Текст] / Г. Ш. Игнатова, В. И. Квон // Метеорология и гидрология. 1977. - К0-8. С. 49-56.

29. Игнатова, Г. Ш. Одномерная модель сезонного термоклина в озерах Текст] / Г. III. Игнатова, В. И. Квон // Водные ресурсы. 1979. - №6. С. 119-126.

30. Квон, В. И. Гидротермический расчет водоемов-охладителей Текст] /

31. B. И. Квон // Известия АН СССР. Энергетика и транспорт. 1979. - №5.1. C. 129-137.

32. Квон, В. И. Математическое моделирование процесса заглубления перемешанного слоя в стратифицированной жидкости Текст] / В. И. Квон, Д. В. Квон // ПМТФ. 1997. - Т. 38. - т. - С. 82-85.

33. Квон, В. И. Температурно-стратифицированное течение в проточном водоеме Текст] / В. И. Квон // Метеорология и гидрология. 1979. - №6. - С. 74-79.

34. Квон, В. И. Численное моделирование трехмерных стратифицированных течений в водоемах при больших тепловых нагрузках Текст] / В. И. Квон // Вычислительные методы прикладной гидродинамики (динамика сплошной среды 84). 1988. - С. 62-73.

35. Квон, В. И. Численный анализ механизма глубокого проникновения поверхностных вод в прибрежной зоне озера в период весенне-летнего термобара Текст] / В. И. Квон, Д. В. Квон // Вычислительные технологии.- 1997. Т. 2. - №5. С. 46-56.

36. Квон, Д. В. Математическое моделирование гидротермических процессов в Телецком озере Текст] : автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук / Квон Дмитрий Виссарионович. -Барнаул, 1998. 16 с.

37. Кирдяшкин, А. Г. Термокапиллярная и термогравитационная конвекция в горизонтальном слое жидкости Текст] / А. Г. Кирдяшкин // Гидромеханика и процессы переноса в невесомости : сб. 1983. - С. 126-135.

38. Компанией;, Л. А. Аналитическое решение одной модели ветрового движения жидкости Текст] / Л. А. Компаниец, Т. В. Якубайлик // Вычислительные технологии. 2003. - Т. 8. - № 5. - С. 78-83.

39. Компаниец, Л. А. Расчет ветровых течений в соленом озере (двумерный в вертикальной плоскости случай) Текст] / Л. А. Компаниец, Л. В.

40. Гаврилова // Труды Всероссийской конференции «II Всесибирский конгресс женщин-математиков». Красноярск. - 2002. - С. 71-76.

41. Компанией,, Л. А. Численный алгоритм расчета ветровых течений стратифицированной жидкости Текст] / J1. А. Компаниец, Л. В. Гаврилова // Труды V конференции «Динамика и термика рек, водохранилищ и прибрежной зоны морей». Москва, 1999. - С. 51-54.

42. Кочергин, В. П. Теория и методы расчета океанических течений Текст] / В. П. Кочергин. М. : Наука, 1978. - 127 с.

43. Ксенофонтов, А. С. Расчет параметров турбулентности в приповерхностном слое оз. Байкал Текст] / А. С. Ксенофонтов, И. Д. Лозовацкий // Гидрофизика и гидрология водоемов : сб. Новосибирск : Наука, Сибирское отделение, 1991. - С. 17-23.

44. Ляпидевский, В. Ю. Математические моделираспространения длинных волн в неоднородной жидкости: Монография Текст] / В. Ю. Ляпидевский, В. М. Тешуков. Новосибирск : Изд-во СО РАН, 2000. - 420 с.

45. Лятхер, В. М. Гидравлические исследования численными методами Текст] / В. М. Лятхер, А. Н. Милитеева // Водные ресурсы. 1981. - №3. - С. 61-79.

46. Макаров, И. И. Моделирование гидротермических процессов водохранилищ-охладителей ТЭС и АЭС Текст] / И. И. Макаров, А. С. Соколов, Г. С. Шульман. М. : Энергоатомизд, 1986.

47. Марчук, Ан. Г. Численное моделирование волн цунами Текст] / Ан. Г. Марчук, JI. Б. Чубаров, Ю. И. Шокин. Новосибирск : Наука, 1983. -176 с.

48. Марчук, Г. И. Математическое моделирование циркуляции океана Текст] / Г. И. Марчук, А. С. Саркисян. М. : Наука, 1988.

49. Методы расчета турбулентных течений Текст] : [пер. с англ.] / под ред. В. Колльмана. М. : Мир, 1984. - 463 с.

50. Монин, А. С. Океанская турбулентность Текст] / А. С. Монин, Р. В. Озмидов. Ленинград : Гидрометеоиздат, 1981. - 319 с.

51. Овсянников, Л. В. К обоснованию теории мелкой воды Текст] / Л. В. Овсянников // Динамика сплошной среды : сб. Новосибирск: изд. ИГ СО АН СССР, 1973. - Вып. 15. - С. 104-125.

52. Овчарова, А. С. Численное решение стационарной задачи Стефана в области со свободной границей Текст] / А. С. Овчарова // Вычислительные технологии. 1999. - Т. 4. - №1. - С. 88-99.

53. Перминов, С. М. Исследование течений, горизонтальной циркуляции вод и водообмена между восточной и западной частями Северного Каспия Текст] / С. М. Перминов, И. И. Чечель // Гидрофизика Северного Каспия : сб. М. : Наука, 1986. - С. 6-10.

54. Поддубный, С. А. О влиянии горизонтальной циркуляции вод на распределение фитопланктона в оз. Плещеево Текст] / С. А. Поддубный, И. М. Балонов, Е. В. Краснопер // Водные ресурсы. 1987. - №2. С. 119-123.

55. Поддубный, С. А. О моделировании перемещения скоплений гидро-бионтов в водохранилищах Текст] / С. А. Поддубный, Э. В. Сухова // Водные ресурсы. 2000. - Т. 27. - №2. - С. 457-465.

56. Робилар, JI. Нестационарный теплообмен при естественной конвекции воды с учетом эффектов максимума плотности и переохлаждения Текст] / JI. Робилар, П. Вассер // Теплопередача. 1981. - №3. - С. 149-156.

57. Самарский, А. А. Введение в теорию разностных схем Текст] / А. А. Самарский. М. : Наука, 1971. - 552 с.

58. Самолюбов, Б. И. Придонные стратифицированные течения Текст] / Б. И. Самолюбов. М. : Научный мир, 1999. - 464 с.

59. Стокер, Дж. Дж. Волны на воде Текст] / Дж. Дж. Стокер. М. : ИЛ, 1959. - 617 с.

60. Судольский, А. С. Динамические явления в водоемах Текст] / А. С. Судольский. Л. : Гидрометеоиздат, 1991. - 264 с.

61. Тарунин, Е. Л. Вычислительный эксперимент в задачах свободной конвекции Текст]: учеб. пособие / Е. Л. Тарунин. Изд-во Иркутского ун-та, 1990. - 226 с.

62. Тихомиров, А. И. Термика крупных озер Текст] / А. И. Тихомиров. Л. : Наука, 1982. - 232 с.

63. Фельзенбаум, А. И. Теоретические основы и методы расчета установившихся морских течений Текст] / А. И. Фельзенбаум. М. : Изд-во АН СССР, 1960. - 128 с.

64. Филатов, II. II. Динамика озер Текст] / Н. Н. Филатов. Л. : Гидрометеоиздат, 1983. - 167 с.

65. Филиппов, Ю.Г. Моделирование длинноволновых процессов в баро-клинном море с использованием универсального вертикального распределения плотности Текст] / Ю.Г. Филиппов // Метеорология и гидрология.- 1993. т. - С. 63-68.

66. Хендерсон-Селлерс, Б. Инженерная лимнология Текст] / Б Хендерсон-Селлерс. JI. : Гидрометеоиздат, 1987. - 335 с.

67. Хубларян, М. Г. Моделирование процессов интрузии в эстуариях и подземных водоносных горизонтах Текст] / М. Г. Хубларян, А. П. Фролов.- М. : Наука, 1988. 142 с.

68. Цветова, Е. А. Влияние сил Кориолиса на конвекцию в глубоком озере: вычислительный эксперимент Текст] / Е. А. Цветова // ПМТФ. 1981.- Т. 39. №4. - С. 127-134.

69. Цветова, Е. А. Численное моделирование межкотловинного тепломассообмена в озере Текст] / Е. А. Цветова //Вычислительные технологии. 2001. - Т. 6. - Ч. 2. - Спец. выпуск : труды международной конференции RDAMM-2001. - С. 675-679.

70. Чеблакова, Е. А. Моделирование конвекции в областях со свободными границами Текст] / Е. А. Чеблакова // Вычислительные технологии. -2000. Т. 5. - №6. С. 87-98.

71. Чикин, A. JI. Построение и численное 3-D модели гидродинам и кит Азовского моря Текст] / A. J1. Чикин // Вычислительные технологии.- 2001. Т. 6. - Ч. 2. - Спец. выпуск : труды международной конференции RDAMM-2001. - С. 686-691.

72. Яненко, Н. Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики Текст] / Н. Н. Яненко. Новосибирск : «Наука», 1967. - 195 с.

73. Braga, S. L. Transient natural convection of water near its density ex-tremum in a rectangular cavity Текст] / S. L. Braga, R. Viskanta // Int. J. Heat Mass Transfer. 1992. - Vol. 35. - JVM. - P. 861-875.

74. Belolipetskii, V. M. Numerical modelling of hydrothermal processes in well-drained basins Текст] / V. M. Belolipetskii, S. N. Genova // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 1997. - Vol. 12. - №. - P. 319 - 334.

75. Carrier, G. F. On the theory of the wind-driven ocean circulation Текст] / G. F. Carrier, A. R. Robinson // J. Fluid Mech. 1961. - Vol. 12. - P. 49-80.

76. Chubarenko, В. V. Wind-driven current simulations around the Island Mainau (Lake Constance) Текст] / В. V. Chubarenko, Y. Wang, I. P. Chubarenko, K. Hutter // Ecological Modelling. 2001. - Vol. 138. - P. 55-73.

77. Degermendzhy, A. G. Formation of the vertical heterogeneity in the Lake Shira ecosystem: thebiological mechanisms and mathematical model Текст]

78. A. G. Degermendzhy, V. M. Belolipetsky, Т. A. Zotina, R. D. Gulati // Aquatic Ecology. 2002. - Vol. 36. - №. - P. 271-297.

79. Ekman, V. W. On the influence of the Earth rotation on ocean currents Текст] / V. W. Ekman // Arkiv Mat., Astron., Fysik. 1905. - Bd. 2. - №11.- S. 1-52

80. Friedrichs, К. O. On the derivation of the shallow water theory. Appendix to the formation of breakers and bores by J.J. Stoker Текст] / К. О. Friedrichs // Comm. Pure Appl. Math. 1948. - Vol. 1. - P. 109-134.

81. Gill, A. E. Atmosphere-Ocean Dynamics Текст] / A. E. Gill // Academic Press. 1982. - Vol. 2. - P. 256-278.

82. Kalacheva, G. S. Chemical analysis of Lake Shira water (19997-2000) Текст] / G. S. Kalacheva, V. G. Gubanov, I. V. Gribovskaya, I. A. Glad-chenko, G. K. Zinenko, S. V. Savitsky // Aquatic Ecology. 2002. - Vol. 36.- №. P. 123-141.

83. Heaps, N. S. Wind effects on the water in a narrow two-layer lake Текст] / N. S. Heaps, A. E. Ramsbottom // Phil, trans, of the Royal. Soc. of London.- 1966. Ser. A. - Vol. 259. - №1102. - P. 391-430.

84. Hutter, K. Forced motion response in enclosed lakes Текст] / К. Hutter, G. Bauer, Y. Wang, P. Giiting // Physical Processes in Lakes and Oceans, Coastal and Estuarine Studies. 1998. - Vol. 54. - P. 137-166.

85. Ilutter, К. The role of advection and stratification in wind-driven diffusion problems of alpine lakes Текст] / К. Hutter, Y. Wang // Journal of Lake Sciences. 1998. - Vol. 10 : Suppl. - P. 447-475.

86. Jordan, T. F. Vertical structure of time dependent flow dominated by friction in well-mixed fluid Текст] / Т. F. Jordan, V. Baker //J. Phys. Oceanorr.- 1980. Vol. 10. - P. 1118-1311.

87. Kato, H. On the penetration of a turbulent layer in stratified fluid Текст] / H. Kato, О. M. Phillis // J. Fluid Mech. 1969. - Vol. 37. - Pt. 4. - P. 643-655.

88. Keller, J. B. The solitary wave and periodic waves in shallow water Текст] / J. B. Keller // Comm. Pure Appl. Math. 1948. - Vol. 1. - P. 323-339.

89. Moallemi, M. K. Prandtl number effects on laminar mixed convection yeat transfer in a lid-driven cavity Текст] / M. K. Moallemi, K. S. Jang // Int. J. Heat Mass Transfer. 1992. - Vol. 35. - №. - P. 1881-1892.

90. Munk, W. On the wind-driven ocean circulation Текст] / W. H. Munk // J. of Meteorology. 1950. - Vol. 7. - №2. - P. 79-93.

91. Munk, W. II. Notes on the Theory of the Thermocline Текст] / W. H. Munk, E. R. Anderson //J. Marine Res. 1948. - Vol. 7. - Ж 3. - P. 25-29.

92. Prasad, A. R. Reynolds number and end-wall effects on a lid-driven cavity flow Текст] / A. R. Prasad, J. R. Koseff // Phys. Fluid A. 1989. - Vol. 1.- Pt. 2. P. 208-217.

93. Sundaram, T. R. The seasonal thermal structure of deep temperature lakes Текст] / Т. R. Sundaram, R. G. Rehm // Tellus XXV. 1973. - Vol. 2. - P. 157-167.

94. Tong, W. Density inversion effect on transient natural convection in a rectangular enclosure Текст] / W. Tong, J. Koster // Int. J. Heat Mass Transfer. 1994. - Vol. 37. - №. - P. 927-938.

95. Umlauf, L. Comparing two topography-following primitive equation models for lake circulation Текст] / L. Umlauf, Y. Wang, K. Hutter // Journal of Computational Physics. 1999. Vol. 153. - P. 638-659.

96. Wang, D. P. A semi-implicit two-dimensional model of estuarine circulation Текст] / D. P. Wang, D. W. Kravitz // J. Phys. Oceanogr. 1980. - № 10. - P. 441-454.

97. Wang, D. P. Numerical study of gravity currents in a channel Текст] / D. P. Wang // J. Phys. Oceanogr. 1985. - № 15. - P. 299-305.

98. Wang, Y. A semi-implicit semispectral primitive equation model for lake circulation dynamics and its stability perfomance Текст] / Y. Wang, K. Hutter // Journal of Computational Physics. 1998. - Vol. 139. - P. 209-241.

99. Wang, Y. Barotropic response in a lake to wind-forcing Текст] / Y. Wang, K. Hutter, E. Bauerle // Annales Geophysicae. 2001. - Vol. 19. - P. 367-388.

100. Wang, Y. Comparing different numerical treatments of advection terms for wind-induced circulations in Lake Constance Текст] / Y. Wang // Continuum Mechanics and Applications in Geophysics and the Environment. 2001. - P. 368-393.

101. Wang, Y. Methods of substructuring in lake circulation dynamics Текст] / Y. Wang, K. Hutter // Advances in Water Resources. 2000. - Vol. 23. -P. 399-425.

102. Wang, Y. Three-dimensional wind-induced baroclinic circulation in rectangular basins Текст] / Y. Wang, K. Hutter, E. Bauerle // Advances in Water Recources. 2001. - Vol. 24. - P. 11-27.

103. Welander, P. Wind action on a shallow sea: some generalisations of Ek-man's theory Текст] / P. Welander // Tellus. 1957. - Vol. 9. - P. 45-52.

104. Welander, P. Wind-driven circulation in one- and two-layer oceans of variable depth Текст] / P. Welander // Tellus XX. 1968. - Vol. 1. - P. 1-16.

105. Witten, F. J. Steady wind-driven currents in a large lake with depth-dependent eddy viscosity Текст] / F. J. Witten, J. Thomas //J. Phys. Oceanogr. 1976. - Vol 6. - P. 85-92.

106. Wu, Y. A mass concervative 3-D numerical model for predicting solute fluxes in estuarine waters Текст] / Y. Wu, R. A. Falconer // Advances in Water Resources. 2000. - Vol. 23. - P. 531-543.