автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Динамика турбулентного следа за буксируемым телом в линейно стратифицированной среде

На правах

Фомина Анжелла Владимировна

ДИНАМИКА ТУРБУЛЕНТНОГО СЛЕДА ЗА БУКСИРУЕМЫМ ТЕЛОМ В ЛИНЕЙНО СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ СРЕДЕ

05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск - 2005

Работа выполнена в Институте вычислительных технологий СО РАН (г. Новосибирск) и Кузбасской государственной педагогической академии (г. Новокузнецк).

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

доцент Мошкин Николай Павлович Научный консультант: доктор физико-математических наук,

профессор Черных Геннадий Георгиевич Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Воеводин Анатолий Федорович;

доктор технических наук,

профессор Рычков Александр Дмитриевич

Ведущая организация — Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, г. Новосибирск.

Защита диссертации состоится "1" июля 2005 г. в "17-00" часов на заседании диссертационного совета Д 003.046.01 при Институте вычислительных технологий СО РАН по адресу: 630090, г. Новосибирск, проспект академика М.А. Лаврентьева, 6.

С диссертацией можно ознакомиться в специализированном читальном зале вычислительной математики и информатики ГПНТБ СО РАН (проспект академика М.А. Лаврентьева, 6).

Автореферат разослан "30" мая 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук, профессор

Л.Б. Чубаров

)ьм-ч & МЛ*

$ О ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Турбулентные следы за телами вращения являются классическим объектом исследования теоретической, вычислительной и прикладной гидродинамики, имеющим весьма важные приложения. Следам и сле-доподобным локальным турбулентным образованиям отводится существенная роль в задачах обтекания тел, энергетики и экологии, динамики атмосферы и океана. Инструментальные измерения параметров следов и следоподобных образований в неоднородной по плотности (температуре) среде даже в лабораторных условиях представляют собой труднорешаемую задачу. Имеющиеся математические модели недостаточно полны. В связи с этим разработка надежных и эффективных численных моделей и исследование на их основе турбулентных течений в следах за буксируемыми телами в линейно стратифицированной среде является весьма актуальной проблемой.

Цель работы состоит:

— в разработке усовершенствованных численных моделей динамики турбулентного следа за буксируемым телом в линейно стратифицированной среде, основанных как на применении алгебраических представлений для рейнольд-совых напряжений и потоков, так и более сложной модели турбулентности, включающей дифференциальные уравнения переноса нормальных рейнольдсо-вых напряжений;

— в численном моделировании эволюции турбулентного следа с малым суммарным избыточным импульсом в линейно стратифицированной среде;

— в численном анализе динамики пассивного скаляра в турбулентных следах за телами, движущимися в линейно стратифицированной среде.

Научная новизна изложенных в диссертационной работе результатов за-

ключается в следующем:

• построены усовершенствованные численные модели турбулентного следа за буксируемым телом в линейно стратифицированной среде; осуществлено тестирование численных моделей на известных экспериментальных данных; изучена динамика турбулентного следа за буксируемым телом в линейно стратифицированной среде в сопоставлении с динамикой безымпульсного турбулентного следа; выполнено численное моделирование анизотропного вырождения турбулентности в следе за буксируемым телом в линейно стратифицированной среде;

• построена численная модель турбулентного следа с малым суммарным избыточным импульсом в линейно стратифицированной среде;

• выполнено численное моделирование динамики пассивного скаляра в тур-

булентных следах за телами, движуи

С О»

•Згш

ной среде; построена упрощенная диффузионная модель переноса пассивного скаляра в дальних турбулентных следах.

Достоверность полученных результатов подтверждается привлечением иерархии моделей турбулентного движения, проведением многочисленных тестовых расчетов, контролем сходимости решений на последовательности сеток, удовлетворительным согласованием результатов с экспериментальными данными и результатами расчетов других авторов.

Научная и практическая ценность работы. Разработанные численные модели могут быть использованы для численного моделирования динамики турбулентных следов за буксируемыми телами и других сдвиговых свободных турбулентных течений в линейно стратифицированной среде; для анализа известных лабораторных экспериментов и планирования новых.

Тема диссертационной работы является составной частью плановых исследований Института вычислительных технологий СО РАН "Информационно-вычислительные технологии в задачах поддержки принятия решений"(№ гос. регистрации 0120.0408295). Представленные в диссертации исследования поддержаны РФФИ (код проекта 04-01-00209а ) и грантом НШ 2314.2003.1 Президента РФ.

На защиту выносятся:

• численные модели и результаты численного моделирования турбулентного следа за буксируемым телом в линейно стратифицированной среде;

• результаты численного моделирования турбулентного следа с малым суммарным избыточным импульсом в линейно стратифицированной среде;

• численная модель распространения пассивного скаляра в турбулентных следах за телами, движущимися в линейно стратифицированной среде

Апробация работы.

Основные результаты диссертации докладывались на международных конференциях: СНТ-04 Advances in Computational Heat Transfer 3 (Норвегия, 19-24 апреля 2004), "Методы аэрофизических исследований"(Новосибирск, 28 июня-3 июля 2004), 7-й Всероссийской научной конференции "Краевые задачи и математическое моделирование" (Новокузнецк, 4-5 декабря 2004); 4-th International Conference on Computational Heat and Mass Transfer (Париж, 17-20 мая 2005); обсуждалась на семинарах Института Вычислительных Технологий СО РАН (рук. академик Ю.И. Шокин и профессор В.М Ковеня), Института Гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН (рук. проф. А.Ф. Воеводин).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 7 работах,

список которых приведен в конце автореферата (полный перечень публикаций

содержится в диссертации). В совместных публикациях диссертант занималась обсуждением постановок задач на дифференциальном и конечно разностном уровнях, реализацией численных алгоритмов; принимала участие в анализе результатов расчетов. Ею самостоятельно проведены численные эксперименты.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, четырех

глав, заключения и списка литературы из 109 наименования. Полный объем диссертации — 124 страницы, включая 31 рисунок и 24 таблицы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении дан обзор работ, посвященных теоретическому и численному изучению турбулентных следов в стратифицированных жидкостях. Судя по известным публикациям, исследования таких течений проводились в Институте гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, Институте вычислительной математики и математической геофизики СО РАН (ВЦ СО АН СССР), Институте теоретической и прикладной механики СО РАН, Институте теплофизики им. С.С. Кутателадзе СО РАН, Институте вычислительных технологий СО РАН, Институте проблем механики РАН, Вычислительном центре РАН, Институте океанологии им. П.П. Ширшова РАН, Институте автоматизации проектирования РАН, Тихоокеанском океанологическом институте ДВО РАН, Институте прикладной физики РАН, Московском физико-техническом институте и других отечественных организациях, а также за рубежом (Великобритания, США, Франция, Белоруссия, Украина, Казахстан).

Анализ известных работ позволил выделить ряд малоизученных вопросов в области численного моделирования турбулентных следов за буксируемым телом в линейно стратифицированной среде. Отмечена недостаточная полнота численных моделей динамики турбулентного следа за буксируемым телом в линейно стратифицированной среде В частности, отсутствует подробный анализ применимости алгебраических моделей турбулентных напряжений и потоков, а также более общей модели, включающей в себя дифференциальные уравнения переноса нормальных рейнольдсовых напряжений. Отсутствует анализ автомодельного вырождения следов за буксируемыми телами в пассивно стратифицированной среде. Недостаточно полным является сопоставление параметров турбулентных следов за буксируемым и самодвижущимся телами в линейно стратифицированной среде. Отсутствует анализ анизотропного вырождения турбулентности в дальнем турбулентном следе за буксируемым телом вращения в линейно стратифицированной среде. Представляет интерес численное моделирование турбулентного следа с малым суммарным избыточным импульсом в линейно стратифицированной среде. Практически неизученной является дина-

мика пассивного скаляра в турбулентных следах за самодвижущимся и буксируемым телами в линейно стратифицированной среде.

Во введении также обосновывается актуальность темы диссертационной работы, сформулированы цели работы и дано краткое описание диссертации по главам.

В Первой главе диссертации приводится краткий обзор полуэмпирических моделей турбулентности второго порядка. Основное внимание в этой главе уделено моделям турбулентности, включающим в себя дифференциальные уравнения переноса компонент тензора рейнольдсовых напряжений {и[и'3) и алгебраическим моделям рейнольдсовых напряжений и потоков.

Вторая глава посвящена построению усовершенствованных численных моделей турбулентного следа за буксируемым телом в линейно стратифицированной среде и изложению результатов численного моделирования.

В первом параграфе, содержащем математическую постановку задачи о динамике дальнего турбулентного следа, приводится трехмерная параболизован-ная система осредненных уравнений Навье-Стокса в приближении Обербека-Буссинеска:

(4)

ду dz дх '

В уравнениях (1) — (5) величина Ud = Щ — U — дефект осредненной продольной компоненты скорости; U,V,W — компоненты скорости осредненного движения в направлении осей x,y,z соответственно; (pi) — отклонение давления от гидростатического, обусловленного стратификацией ps(z); Uq — скорость набегающего невозмущенного потока; g — ускорение силы тяжести, (р\) — осредненный дефект плотности: р\ = р—ра, ps = Ps{z) — плотность невозмущенной жидкости, которая полагается линейной: ps(z) — /э0(1 - az),a = const > 0; штрихом обозначены пульсационные компоненты, символ ( ) — осреднение. В

уравнениях (1) - (4) отброшены в предположении малости члены с молекулярной вязкостью и диффузией; отброшены также производные по х в правых частях. Система уравнений (1) - (5) незамкнута. Рассмотрены четыре полуэмпирические модели, каждая из которых вместе с уравнениями (1) - (5) образует замкнутую модель течения.

В Модели 1 величины компонент тензора рейнольдсовых напряжений (и[и'-) (кроме (и'2и'3) = (г/и/)) аппроксимируются "изотропными" алгебраическими соотношениями; турбулентных потоков (и[р') и дисперсии флуктуаций плотности (//2) — с применением локально равновесного приближения.1 После проведения упрощений с учетом особенностей рассматриваемого течения получаются выражения:

(«V) =

С1 е Эу ~уду' „2

С it

Ро £'

Сг£ 1 -

(1 ~ Сз) g е2 д{р) CICit ро£2 dz

)

Wd_KdUd

dz ~ z 8z '

2 e,..JJS9(P)

<П =

CT£

dz'

1 e

/in

\v!w+ (1 - CrrWp')%

(6)

(7)

(8) (9)

(10)

(П)

С\тСт Рое2 дг )

Для определения значений энергии турбулентности е, скорости диссипации е и касательного рейнольдсова напряжения (г/и/) привлекаются дифференциальные уравнения переноса1:

-(w'p>) =

С its

,/2\ д(р) Суге"" ' ду "п'ду '

z{w'2)

С1Т£ 1-2

I - С2Т g е2 d(p)\ dz

9{Р) _ к д(р)

~ pz dz '

де ^тде

rde d

де

de

Uo^ + V- + W- = -Key- + irKez- + P + G-e,

de

dx rde

dy rde

dz dy dy dz dz

(12)

de d

de

JZKTO + ТГК-ТГ. + +'G) " C«T, (13)

dy

dz dy dy dz dz

'Rodi W. Examples of calculation methods for flow and mixing in stratified fluids. J. Geophys. Res., 1987.-T. 92.-N C5.-P. 5305-5328

d{v'w') | Vd(v'w') | Wd{v'w') д K djv'w') дх dy dz ду ey dy

+TzKez^r + (1" Ci)F23 + {1~ Сз)°23 ~

Gij = ~{{v!J)gj + («>')<?,), i,j,k = 1,2,3;

Po

$ = (0,0, -g), 2P = Ptt, 2G = G„, Щ = U,U2 = V, U3 = W,

«.-H?+<-»>£).

Коэффициенты турбулентной вязкости в уравнениях (16)—(18) равны = К у, = = кеу/а, КВ2 = Kez/(T.

Величины Сх = 2.2, С2 = 0.55, С3 = 0.55, С1Т = 3.2, Cd = 1.44, Cs2 = 1.92, Су = 1.25, Сгт = 0.5, а = 1.3 являются общепринятыми эмпирическими константами.

В результате, Модель 1 дальнего турбулентного следа представляет собой систему дифференциальных уравнений (1)-(5), (12)—(14) с учетом (6)—(11).

Основное отличие Модели 2 от Модели 1 заключается в использовании для определения компонент тензора рейнольдсовых напряжений (вместо "изотропных" соотношений1) упрощенного (P + G = е) локально-равновесного приближения:

(«X) _ 2(1-С2-Сх) (1 -Са)Р„ (1-C3)G,, е 3 Сх 4 Сг е Ci г '

Коэффициенты турбулентной вязкости Ку,Кг при этом определялись из упрощенных соотношений (15):

_ 2С1+С2-1 1-С2е2 ""3 Сх Сх е'

2С1 + С2-1

^ 1 — С2 е 3 Ci л, =

ве, / /ХЛ 1-С2 , 1-С2Л

С! е 1 1 — С2 д е2 д(р)

Сх • Сц ро е2 Зг

В Модели 3 (в отличие от Модели 1) используется представление коэффициентов турбулентной вязкости

Кеу = Св——Кег — С8——Св — 0.25.

В остальном Модель 3 аналогична Модели 1

В Модели 4 величины (и12) (г = 1,2,3) вычисляются путем решения соответствующих дифференциальных уравнений переноса с упрощенными представлениями коэффициентов турбулентной вязкости:

д(и'2> д(и») д(и") _ д а д<«*>

ио—5--1- V —Г--1- УУ —-— —Кеу—--—Лег—---1- Гц + Оц-

дх ду ох ду ду дг дг

4 - (<-*> - Iе) -Сг - И - (с" - И • <i6>

)—3--1- --' - — ~я~Кеу~я--Г —я-

ох ду dz ду оу oz dz

4 _ (<,'2> -§е) - С2 (р22 -\р) - С2 (с22 - ,

(17)

дх ду dz ду еу ду dz ez dz

-Ь - (<w'2> - Iе) -- И -С2 - Н ■ <18>

Key = Cee-(v12}, Кег = cA(w12), e=((U'2) + (t;'2) + (W'2))/2. Здесь Pn = 2 • ^ (j^j2 + К2 (j^J^ = 2Р, Gn = О, Р22 = О,

G22 = О, Р33 = 0, G33 = -2-t(w'p') = 2G, Р = (u'v1)^ + =

Ро оу dz

Уравнение переноса скорости диссипации е оставалось аналогичным (13); Кеу = Кеу/сг, Kez - Ke2/a.

Детальный анализ применимости Моделей 1 — 4 к численному моделированию динамики безымпульсного турбулентного следа осуществлен Черных Г.Г., Воропаевой О.Ф.2,3

2Chemykh G G., Voropayeva O.F. Numerical modelling of momentumless turbulent wake dynamics in a linearly stratified medium. Computers and Fluids, 1999.-T 28.-N 3.-P 281 306.

3Воропаева О.Ф., Черных Г.Г. Численная модель динамики безымпульсного турбулентного следа в пикноклине. ПМТФ, 1997.-Т. 38.-N З.-С. 69-86.

Маршевая переменная х в уравнениях (1) - (5), (12) — (14) играет роль времени. На расстоянии х = хо от тела задаются начальные условия (на примере Моделей 1—3):

е(х0, у, г) = Ф!(г),£(х0,у, г) = Ф2(г), II¿(х0, у, £) = Ф3(г), г2 = у2+г2,0 < г < оо;

(г/и/) — (рх) = V = И^ = 0, —оо < г < оо, -оо < у < оо,х = хо.

Здесь Ф1(г),Ф2(г),Ф3(г) — функции, согласующиеся с экспериментальными данными об эволюции турбулентного следа в однородной жидкости. Для Модели 4 дополнительно задавались начальные условия для нормальных рейнольд/ 2

совых напряжений {и'2),1 = 1,2,3, при х = хо полагалось (и,2) = -е.

О

При г2 = у2 + г2 -4- оо ставились условия невозмущенного потока

\]л = У = = (рг) =е = е= (у'ш1) = 0,х> х0.

Нулевые краевые условия, соответствующие г оо, сносились на границы достаточно большого прямоугольника. Из соображений симметрии решение отыскивается лишь в первом квадранте плоскости (у, г). Граничные условия на осях симметрии принимаются следующими:

Ыи;'\ = ^М = у = — = ^- = — = — = 0 =0 2>0

ду ду ду ду ду ' ~

Переменные задачи обезразмериваются с применением масштаба длины Г> — диаметра тела и масштаба Щ — скорости невозмущенного потока. При этом в обезразмеренных уравнениях вместо д появится величина 47Г2/^2, где Рл — плотностное число Фруда, определяемое равенством

р ЩГ т= 2* __ /1 \*р.

в ' т/Щ/' \Ро/

Для удобства интерпретации результатов расчетов используется время связанное с расстоянием от тела соотношением:

^ х ^ t хВ х*

Щ' т ЩВТ П

где Т — период Вяйсяля — Брента.

Во втором параграфе излагается численный алгоритм. Посредством преобразования

х' = х, { = Х1 (у), Ч = Х2(г)

х = х', У = ф\{£), Z = <f>2{v)-

осуществляется переход к новой системе координат. Функции ф\ (£), фг (rj) задавались таблично. Выбор этих функций позволял сгущать расположение узлов сетки в окрестности турбулентного следа. В новой системе координат {x',Ç,Tj) узлы расчетной сетки на плоскости (£, rf) распределялись равномерно.

Алгоритм решения задачи сводится к последовательному интегрированию уравнений на каждом слое по х', играющем роль времени. Из уравнения (1) отыскиваются значения дефекта осевой компоненты скорости Ud"*1- Все остальные неизвестные берутся с предыдущего слоя п. Для определения компонент вектора скорости V, W и дефекта давления (pi) используются уравнения переноса этих величин (2), (3) и уравнение несжимаемости (5), которые интегрируются с применением явного метода расщепления по физическим процессам 4 С применением неявного метода расщепления по пространственным переменным из уравнений (4), (12), (13) последовательно определяются сеточные функции (^l)"^1 > > s*1 Вычисленные на очередном этапе алгоритма переменные участвуют в определении неизвестных на последующих этапах Интегрирование дифференциальных уравнений для определения е, е, (pi) проводится по неявной схеме расщепления с центрально-разностными аппроксимациями конвективных членов Конечно-разностные уравнения решаются поочередно с использованием метода прогонки

В третьем параграфе проведены тестовые расчеты на последовательности сеток. Результаты численных экспериментов сопоставлялись с экспериментальными данными Линя и Пао5 о вырождении турбулентного следа в однородной и линейно стратифицированной средах за самодвижущимся и буксируемым телами. В качестве первого теста осуществлено численное моделирование динамики турбулентных следов в условиях экспериментов Линя и Пао. На Рис 1 (а) рассчитанные с применением Моделей 1—3 осевые значения энергии турбулентности для турбулентного следа за буксируемым телом сопоставляются с экспериментальными данными Линя и Пао и результатами расчетов Хесси-да. Все модели дают удовлетворительное соответствие с экспериментальными данными.

Более тонкими характеристиками турбулентного следа являются интенсивности турбулентных флуктуаций продольной и вертикальной компонент скорости и плотности. Известны измерения этих величин лишь в безымпульсных следах.6 Детальное сопоставление с результатами вышеупомянутых измерений, ос-

4Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред. М.: Наука,

1977.

6Hassid S Collapse of turbulent wakes in stable stratified media. J. Hydronautics, 1980.-T. 14.-N l.-P. 25-32.

6Lin J.T., Pao Y.H. Wakes in stratified fluids. Annu. Rev. Fluid Mech., 1979.-V. 11.-P. 317-336.

нованное на применении иерархии полуэмпирических моделей турбулентности осуществлено Черных Г.Г., Воропаевой О.Ф 2 Иерархия моделей турбулентности включала Модели 1,2,4. Модель 3 также использовалась Воропаевой О.Ф , Черных Г.Г.3 Однако алгоритм расчета2,3 был основан на двумерном аналоге уравнения несжимаемости (в котором ди^/дх = 0). В рассмотрение вводились функция тока и завихренность, и алгоритмы расчета отличались весьма существенно. Таким образом, сопоставление результатов расчетов с расчетами авторов2,3 можно рассматривать как тест (Рис. 1 (б)) Удовлетворительное соответствие получено и для вырождения интенсивностей горизонтальной и вертикальной турбулентных флуктуаций поля скорости. Дальнейшие расчеты проводились по Модели 1 (близкие результаты получаются и по другим моделям).

В четвертом параграфе описаны результаты численного моделирования динамики дальних турбулентных следов в пассивно стратифицированной жидкости. В этом случае задача имеет автомодельное решение

11и = иЛт ■ /и(г/£1/2), е = е0 • 1е{г/Ь1/2), Р\ = РоаЬ1/2 ■ Н{у/Ь1/2, г/Ьу2) ,

(р12) = (роаЬх/ъ)2 • Д(у/1ч/2, г/Ь\/2) (здесь характерная полуширина следа определяется из соотношения е(х,^1/2) = е(х,0)/2 ,г = у/у2 + г2). Получены автомодельные распределения дефекта продольной компоненты скорости, энергии турбулентности и функции Н(0, г/Ьх^), характеризующие степень перемешивания жидкости для безымпульсного следа и следа за буксируемым телом Анализировалось изменение осевых значений и<1т{х) дефекта продольной компоненты скорости, энергии турбулентности ео(я), характерной ширины следа ¿1/2 в однородной жидкости в зависимости от расстояния от тела в безымпульсном следе и следе за буксируемым телом. Законы автомодельного вырождения отличаются весьма значительно.7 В связи с этим делается вывод о том, что турбулентность в следе за буксируемым телом приводит к перемешиванию значительно большей (чем в случае безымпульсного следа) массы жидкости.

Осуществлено также численное моделирование динамики (р12) в пассивно стратифицированной среде с применением дифференциального уравнения переноса этой величины Показано, что алгебраическое соотношение (8) и дифференциальное уравнение переноса (р'2) приводят к несколько различающимся результатам. Тем не менее, соотношение (8) может использоваться для оценки величины (ра).

В пятом параграфе выполнено численное моделирование динамики турбулентных следов в линейно стратифицированной среде. Показано, что турбулентный след за буксируемым телом характеризуется существенно большими

'Городцов В.А. Автомодельность и слабые замыкающие соотношения для симметричной свободной турбулентности. Известия АН СССР Сер. МЖГ.-1979.-И 1 -С 43-50

геометрическими размерами, чем в безымпульсном следе (Рис 2). Последнее обусловлено тем, что в турбулентном следе за буксируемым телом имеется порождение энергии турбулентности за счет градиентов осредненной продольной компоненты скорости. В безымпульсном следе вклад порождения за счет градиентов осредненной продольной компоненты скорости несущественен. В §5 выполнено также численное моделирование анизотропного вырождения турбулентного следа за буксируемым телом в линейно стратифицированной среде (Рис. 3). Приведены изолинии и амплитудные характеристики избыточного давления (Р1)*. Получено, что буксируемому телу соответствуют существенно большие значения (рх)*{у*, что обусловлено большими возмущениями, вносимыми турбулентным следом за буксируемым телом в стратифицированную жидкость (Рис. 4). Представлены результаты расчетов характеристик турбулентного следа на больших временах вырождения.

В Третьей главе диссертации изложены результаты численного моделирования турбулентного следа с малым суммарным избыточным импульсом в линейно стратифицированной среде. Для описания течения в дальнем турбулентном следе за осесимметричным телом в стратифицированной среде привлекается Модель 1 предыдущей главы

В первом параграфе дается математическая постановка задачи. Конечно-разностный алгоритм задачи подробно изложен в Главе 2 Тестирование численной модели проводилось путем сравнения результатов расчетов с экспериментальными данными Линя и Пао5 о вырождении турбулентных следов в однородной и линейно стратифицированной средах за самодвижущимся и буксируемым телами. Следствием уравнения (1), начальных и граничных условий является закон сохранения импульса

оо оо

и0р0 У J и<1<1у(1г - и = Тоо о

Начальные условия при х = хо задавались в виде функций, согласованных с данными лабораторных экспериментов Линя и Пао5 В случае следа за самодвижущимся телом начальные данные были следующими (жо = 8Г*):

е(х0,у, г) = Ео- ехр(-4г2//?2), е(х0,у, г) = л/12Я03/2 • ехр(-6г2/£>2), (19)

ил{хо, у, г) = ит{ 1 - 8г2/Б2) ехр(-8г2/1)2). (20)

В случае, когда тяга тела не равна его избыточному импульсу, возникает раз-балансировка импульса. В численных экспериментах разбалансировка достигалась путем сдвига начальных данных для дефекта средней скорости (20) на постоянную величину а, которая выбирается из условия, что разбалансировка

импульса составляет до 10% от величины импульса в следе за буксируемым телом.

В следе за буксируемым телом используются следующие распределения

(®о = ИХ>):

e(x0,y,z) = Е0 • ехр(-г2/(£>2 ■ Ло)),

фо,y,z) = • ехр(—3 • г2/(2А0 • D2)), (21)

Ud{x0,y,z) = ¡7D0exp(-r2/(A0 • D2)).

х = xQ, -oo < у < oo, -oo < г < oo, A0 = cdD2-U0/(8-UD0),UD0 = [/¿(жоДО).

Здесь cd — коэффициент сопротивления тела. Величины Eq, Udo, ^o выбираются из условий согласования при х = xq с экспериментальными данными Линя и Пао. Число Фруда полагалось равным 31.

Во втором параграфе показано,что малый ненулевой избыточный импульс сказывается в большей степени на поведении дефекта продольной компоненты скорости (Рис. 5). Характеристики турбулентности слабо зависят от малого ненулевого избыточного импульса и близки к характеристикам безымпульсного турбулентного следа (для рассмотренного интервала значений t/T < 10)

В третьем параграфе показано, что турбулентный след с малым избыточным импульсом (порядка ±10% от величины избыточного импульса в следе за буксируемым телом) генерирует внутренние волны, незначительно отличающиеся от индуцируемых безымпульсным турбулентным следом (Рис б).

В Четвертой главе построена численная модель динамики пассивного скаляра в турбулентных следах за телами, движущимися в однородной и линейно стратифицированной средах

Постановка задачи излагается в первом параграфе. В дополнение к системе осредненных уравнений (1) — (5), (12) — (14) привлекаются достаточно хорошо известные уравнения переноса осредненной концентрации пассивного скаляра Q и дисперсии флуктуаций концентрации пассивного скаляра (в12) (см., например, Роди8):

„ дв т,3в Яв д „ д& д т. дв ,„„.

д{в'2) Э(0'2> die'2) _ д д{в>2) д д(в>2)

U0~Z--1- у —Т.--г W —д- = ву—Z--Г --

ох оу dz оу dy dz dz

-2W—2 (23)

8Роди В. Модели турбулентности окружающей среды. Методы расчета турбулентных течений. М.: Мир, 1984. С. 227-322.

В этих уравнениях

_ (у'2)е _К)е

К1ву = С^ ^С^е е е

(у'е1) = -Кву<«/*') = ^ =

Величины С\т = 3.2, Ст = 1.25, С,, = 0.13 являются общепринятыми эмпирическими константами. Алгоритм решения задачи аналогичен приведенному в Главе 2. С применением неявного метода расщепления по пространственным переменным из уравнений (22),(23) последовательно определяются сеточные функции в"^1 , (0'2)"*1 • Маршевая переменная х в уравнениях (22), (23) играет роль времени. На расстоянии х = х$от тела задаются следующие начальные условия:

в(х0, у, г) = Ф4(г), (6'2)(хо, у, г) = Ф5(г), г2 = у2 + г2, 0 < г < оо;

Здесь функции Ф^г), Фб(г) — некоторые финитные колоколообразные функции. При г2 = у2 + г2 оо ставились условия невозмущенного потока:

В = (в12) =0, х > х0. Граничные условия на осях симметрии принимаются следующими-

д® д(в'2) п „ 39 д{9'2) п п ^ п

Переменные задачи обезразмериваются с применением масштаба длины £> — диаметра тела, масштаба Щ — скорости невозмущенного потока и характерной осредненной концентрации воо = Ф4(0).

Во втором параграфе приводятся результаты расчетов динамики пассивного

скаляра в турбулентных следах в однородной и линейно стратифицированной средах. Результаты расчетов в однородной жидкости демонстрируют автомодельное поведение характеристик пассивного скаляра на больших расстояниях от тела. Полученные в численных экспериментах законы автомодельного вырождения для безымпульсного следа и следа за буксируемым телом различаются весьма существенно и согласуются с результатами асимптотического анализа других авторов. Результаты расчетов в линейно стратифицированной среде иллюстрируют воздействие силы тяжести. Осуществлено моделирование

полей пассивного скаляра по плотностному числу Фруда9. Анализировалось выполнение законов сохранения суммарного избыточного импульса и суммарного запаса пассивной примеси.

В третьем параграфе обоснована применимость упрощенной диффузионной модели переноса характеристик пассивного скаляра в дальних турбулентных следах в линейно стратифицированной среде

В Заключении сделаны следующие выводы:

1. Построены усовершенствованные численные модели динамики турбулентного следа за буксируемым телом в линейно стратифицированной среде. Модели основаны на применении иерархии полуэмпирических моделей турбулентности, включающей в себя модель с дифференциальными уравнениями переноса нормальных рейнольдсовых напряжений. Конечно-разностные аналоги получены с использованием методов расщепления по пространственным переменным и физическим процессам. Осуществлено тестирование численных моделей Выполнен численный анализ автомодельного вырождения турбулентного следа за буксируемым телом в пассивно стратифицированной среде. Осуществлено численное моделирование анизотропного вырождения турбулентности в следе за буксируемым телом в линейно стратифицированной среде.

2. Решена задача о динамике турбулентного следа с малым ненулевым суммарным избыточным импульсом в линейно стратифицированной среде. Показано, что турбулентный след с малым избыточным импульсом (порядка ±10% от величины избыточного импульса в следе за буксируемым телом) генерирует внутренние волны, незначительно отличающиеся от индуцируемых безымпульсным турбулентным следом. Как и в случае однородной жидкости, малый ненулевой избыточный импульс существенно влияет на вырождение дефекта осредненной продольной компоненты скорости.

3. Выполнено численное моделирование динамики пассивного скаляра в турбулентных следах за телами, движущимися в линейно стратифицированной среде. Построена упрощенная диффузионная модель переноса пассивного скаляра в дальних турбулентных следах.

Автор выражает глубокую признательность научному руководителю доценту, к.ф.-м.н. Николаю Павловичу Мошкину и научному консультанту профессору, д.ф.-м.н. Геннадию Георгиевичу Черных за постоянное внимание и помощь на всех этапах работы над диссертацией.

8Лыткин Ю.М., Черных Г.Г. Подобие течения по плотностному числу Фруда и баланс энергии при эволюции зоны турбулентного смешения в стратифицированной среде. Матем. проблемы механики сплошных сред, Динамика сплошной среды, Новосибирск- Ин-т гидродинамики СО АН СССР.-1980.-вып. 47.-С. 70-89

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Мошкин Н.П., Фомина А.В., Черных Г.Г О численном моделировании динамики турбулентного следа за буксируемым телом в линейно стратифицированной среде// Вестник НГУ, Серия: матем., механика, информ.-2004.-Т. 4.-вып.З/4.-С. 63-92.

2. Chernykh G.G., Moshkin N.P., Fomina A.V Dynamics of turbulent wake with small excess momentum in stratified media // Proceedings of ICHMT Int. Symp. on Advances in Computational Heat Transfer., April 19-24, 2004, Norway. Published by Begell House Inc., CHT-04-167, 12 p.

3. Chernykh G.G., Moshkin N.P., Fomina A.V. On the influence of small total momentum imbalance on turbulent wake dynamics in the linearly stratified medium. // Proceedings of Int. Conf. on the Methods of Aerophysical Research, 28 June - 3 July, 2004, Novosibirsk, Russia. Publishing House "Nonparel", 2004. Pt.IV. - P. 100-105.

4. Фомина А.В. Численные модели динамики турбулентного следа за буксируемым телом в линейно стратифицированной среде//Сб. тр. 7-й Всероссийской научной конференции "Краевые задачи и математическое моделирование", 4-5 декабря 2004, Новокузнецк, НФИ КемГУ.-С. 19-22.

5. Фомина А.В. Численная модель динамики пассивного скаляра в турбулентных следах за телами, движущимися в линейно стратифицированной среде//Сб. тр. 7-й Всероссийской научной конференции "Краевые задачи и математическое моделирование", 4-5 декабря 2004, Новокузнецк, НФИ КемГУ.-С. 22-24.

6 Мошкин Н.П., Черных Г.Г., Фомина А.В О влиянии малого суммарного избыточного импульса на динамику турбулентного следа в линейно стратифицированной среде// Математическое моделирование.-2005.-Т.17.^ 1,-С. 19-33.

7. Moshkin N.P., Chernykh G.G., Fomina A.V. Dynamics of drag turbulent wake in a linearly stratified media//Progress in Computational Heat and Mass Transfer (Proceedings of 4-th ICCHMT, May 17-20, 2005, Paris-Cachan, France; Eds. R. Bennacer, A.A Mohamad, M. Ganaoui, J.Sicard). LAVOISIER, 2005.-V.1.-P. 535-540.

Рис. 1: Сопоставление рассчитанных с применением Моделей 1 — 3 осевых значений энергии турбулентности е0(х) в следе за буксируемым телом с экспериментальными данными Линя и Пао и результатами расчетов Хессида (а); изменение во времени интенсивности турбулентных флуктуаций плотности на оси следа (6) = у/(рп(<к, 0,0))/а£>/зо^4).

Рис. 2: Изолинии е/е0 = const для турбулентных следов за самодвижущимся и буксируемым телами.

Рис. 3: Поведение осевых значений дисперсий турбулентных флуктуаций продольной и вертикальной компонент скорости для безымпульсного следа (а) и следа за буксируемым телом (б); Model 4 (avt) — результаты расчетов по Модели 4 с автомодельными начальными данными.

Рис. 4- Изменение во времени (¿/Г = 1 0,3 0,5.0) линий (р\)*{у*,г1,1), ^ = 2 в безымпульсном следе (а) и следе за буксируемым телом (б).

Чо ий

012 -01 ■ 0 08 • 0 06 ■ 004 • 0 02 -

о г* 1_т 1Р«о

• Ьп & Рао

V 9=0 тотеп№т1евв

▼ ^=31 тотегёит1е»

> 9=0 гтрЫве +10%

► рь=31 .Г0 ■гпри|ББ +10%

<1 |три1» -10%

Ч 1три1м -10%

□ 0=0 |тои1зв + 5%

■ 1три1м +5%

0 ♦ Р- |три!св - 5% ¡трШзв - 5%

Н(ВЯ(1

"0 20 40 60 80 */£>

Рис 5: Изменение в зависимости от расстояния от тела значений дефекта осевой скорости [/да = в случае безымпульсного следа и следа с избыточным импульсом ±5% и

±10% от величины избыточного импульса за буксируемым телом.

Рис б Динамика изолиний р0 - (р)* — ра - р*(г*) для Ь/Т = 1; 3,5, р0 = 1/(аО), г* = гс/£) = 0.07 (сплошные линии — безымпульсный след, сплошные жирные линии — след за буксируемым телом; штрих-пунктирные — след за телом с избыточным импульсом ±10% от величины импульса за буксируемым телом).

Отпечатано в ЗАО РИЦ «Прайс-курьер», теп 307-202, зак N5 372 .тираж ¿00

j 11 8 9 1

РНБ Русский фонд

2006-4 5700

/

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ИЕРАРХИЯ ПОЛУЭМПИРИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

ТУРБУЛЕНТНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА.

§1. Основные уравнения гидродинамики несжимаемых жидкостей

§2. Осреднение полей гидродинамических величин.

§3. Уравнения переноса одноточечных корреляционных моментов второго порядка.

§4. Модель с одним уравнением баланса энергии турбулентности

§5. Двухпараметрическая (е ~ е)- модель турбулентности.

§6. Модели с дифференциальными уравнениями переноса компонент тензора рейнольдсовых напряжений вектора потоков (и\Т'), дисперсии флуктуации температуры (Т/2).

§7. Алгебраические модели для напряжений (потоков)

ГЛАВА 2. ДИНАМИКА ТУРБУЛЕНТНОГО СЛЕДА ЗА БУКСИРУЕМЫМ ТЕЛОМ В ЛИНЕЙНО СТРАТИФИЦИРОВАН-'

НОЙ СРЕДЕ.

§1. Постановка задачи .■.;

§2. Алгоритм решения задачи.

§3. Тестирование и сопоставление моделей

§4. Динамика дальних турбулентных следов в пассивно стратифицированной жидкости.

§5. Динамика турбулентных следов в линейно стратифицированной ф среде.

ГЛАВА 3. ТУРБУЛЕНТНЫЙ СЛЕД С МАЛЫМ СУММАРНЫМ ИЗБЫТОЧНЫМ ИМПУЛЬСОМ В ЛИНЕЙНО СТРАТИФИ

ЦИРОВАННОЙ СРЕДЕ

§1. Постановка задачи.

§2. Влияние малого суммарного избыточного импульса на характеристики турбулентного следа в линейно стратифицированной среде.

§3. Внутренние волны, генерируемые турбулентными следами с малым суммарным избыточным импульсом в линейно стратифицированной среде.

ГЛАВА 4. ДИНАМИКА ПАССИВНОГО СКАЛЯРА В ТУРБУЛЕНТНЫХ СЛЕДАХ ЗА БУКСИРУЕМЫМ ТЕЛОМ В ЛИНЕЙНО СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ СРЕДЕ.

§1. Постановка задачи и алгоритм решения.

§2. Динамика пассивного скаляра.

§3. Упрощенная математическая модель динамики пассивного скаляра в дальнем турбулентном следе.

Свободные турбулентные течения являются классическим объектом исследования теоретической, вычислительной и прикладной гидродинамики. Такие течения играют существенную роль в задачах океанологии, геофизики и экологии, в технических устройствах. Интересным примером пространственного свободного турбулентного течения является турбулентный след за телом вращения в устойчиво-стратифицированной среде.

Течение, возникающее в турбулентном следе за телом, движущимся в стратифицированной жидкости, весьма своеобразно. При сравнительно слабой стратификации турбулентный след вначале развивается почти так же, как и в однородной жидкости, и расширяется симметрично. Однако турбулентной диффузии в вертикальном направлении препятствуют архимедовы силы, поэтому на больших расстояниях от тела след приобретает сплющенную форму и наконец совсем перестает расти в вертикальном направлении. Поскольку вследствие турбулентного перемешивания плотность жидкости в пределах следа распределена более равномерно, чем вне его, архимедовы силы стремятся восстановить прежнее состояние устойчивой стратификации. В результате в плоскости, перпендикулярной оси следа, возникают конвективные течения, приводящие к интенсивной генерации внутренних волн в окружающей жидкости.

Предметом исследования в данной работе являются турбулентные следы за буксируемыми телами вращения, движущимися горизонтально равномерно в бесконечном потоке линейно стратифицированной жидкости. Турбулентные следы и генерируемые ими внутренние волны, будучи достаточно подробно изученными в лабораторных экспериментах, представляют интерес как тест для проверки применимости математических моделей. Весьма важная роль следоподобным течениям отводится в задачах динамики океана [46].

Достаточно полные экспериментальные данные о динамике турбулентного следа за буксируемым телом вращения в линейно стратифицированной среде получены Линем и Пао и представлены в работе Хессида [86].

Серия работ [52, 65, 68, 81, 87, 92, 101, 106] посвящена течению, возникающему при движении буксируемой сферы в линейно стратифицированной жидкости. Изучались различные режимы течения в зависимости от чисел Фруда и Рейнольдса как в ближнем, так и в дальнем следах. В [65] экспериментально и теоретически исследованы внутренние волны, генерируемые при движении сферы в линейно стратифицированной жидкости. Рассмотрена волновая составляющая следа, связанная с когерентными структурами. Подробный анализ экспериментальных данных о вырождении турбулентных следов за буксируемыми и самодвижущимися телами в линейно стратифицированных жидкостях и теоретические оценки параметров волн выполнены в [68, 109].

Теоретически начальная стадия развития следа в линейно стратифицированной среде изучена в [47, 48] с применением разработанной алгебраической модели рейнольдсовых напряжений и потоков. Численное моделирование турбулентного следа за буксируемым телом в линейно стратифицированной среде, основанное на локально-равновесном приближении для рейнольдсовых напряжений и потоков, осуществлено в [86]. Получено удовлетворительное соответствие с экспериментальными данными Линя и Пао, приведенными в этой работе. Внутренние волны не рассматривались. В работах [43, 70, 73] выполнено численное моделирование не только характеристик собственно турбулентного следа за буксируемым телом в линейно стратифицированной среде, но и генерируемых им внутренних волн. В [29] на основе алгебраической модели рейнольдсовых напряжений и потоков и метода интегральных соотношений получены данные о поведении размеров турбулентного следа как в устойчиво стратифицированной среде, так и в среде с неустойчивой стратификацией.

Подробное сопоставление характеристик внутренних волн, генерируемых турбулентными следами за буксируемым и самодвижущимся телами осуществлено в [15,16]. Показано, что турбулентный след за буксируемым телом генерирует внутренние волны существенно большей амплитуды. Дана физическая интерпретация полученного результата.

Как уже отмечалось выше, важная роль следоподобным и турбулентным течениям отводится в задачах динамики океана. Так, в работе Р.В. Озмидова и В.Н. Набатова [46] описаны наблюдения за трансформацией гидрофизических полей и турбулентностью, возникающими при обтекании океаническим потоком горы Ампер в Атлантическом океане. Проведены измерения тонкой структуры осредненных характеристик гидрофизических полей и турбулентности вдоль турбулизованного следа. Вблизи вершины горы, при ее обтекании, происходила генерация турбулентности и формировался турбулентный след, простирающийся от горы вдоль направления течения. В качестве основного механизма генерации турбулентности отмечается генерация за счет сдвиговых эффектов и неустойчивости внутренних волн, порожденных при обтекании горы. На расстояниях от вершины порядка 500 — 700 метров роль порождения турбулентности незначительна и происходит вырождение турбулентности в следе. Отмечается, что на начальной стадии, когда энергия турбулентности велика, след в поперечном сечении растет приблизительно одинаково как в горизонтальном, так и вертикальном направлении. По мере вырождения начинает сказываться воздействие сил плавучести и след, перестает расти в вертикальном направлении (полная аналогия с турбулентными следами за телами, обтекаемыми стратифицированной жидкостью). Построена интегральная модель следа. Получен закон убывания скорости диссипации энергии турбулентности в следе в зависимости от расстояния от горы, согласующийся с результатами натурных измерений. Эти результаты, их интерпретация и обобщение, оценка роли следоподобных турбулентных образований в динамике океанов, были представлены в докладе Р.В. Озмидова на заседании международной рабочей группы "Процессы переноса в океане и их лабораторные модели"[97].

В последние годы турбулентные следы за телами по-прежнему интенсивно изучаются. Целая серия исследований выполнена в Институте прикладной физики РАН. Так, в работе Г.Н. Баландиной, В.В. Папко, Д.А. Сергеева, Р.А.

Сударикова, Ю.И. Троицкой [3] осуществлено экспериментальное исследование следа за телами различной формы в стратифицированной жидкости. Эксперименты проводились в одном из бассейнов ИПФ РАН, в качестве метода наблюдения использовался метод PIV (Particle Image Velocimetry). Основное внимание было уделено исследованию динамики следа за телами на больших временах вырождения в зависимости от их формы. Рассматривались режимы течения, соответствующие достаточно большим значениям чисел Рейнольдса и Фруда. Продемонстрирована существенная зависимость параметров следа (максимума дефекта продольной компоненты скорости и полуширины следа) от формы тела. Результаты измерений сопоставлены с теоретическими данными одного из авторов (Ю.И. Троицкой).

Серия лабораторных экспериментов выполнена В.И. Казаковым, Ю.И. Троицкой, Э.Н. Шабалиной [32]. Эксперименты посвящены изучению турбулентных следов за эллипсоидом вращения (также для больших значений чисел Рейнольдса и Фруда) в Большом экспериментальном бассейне ИПФ РАН с температурной стратификацией термоклинного типа. Получены экспериментальные данные о поведении ряда осредненных гидродинамических величин в следе и их пульсационных значений. Особое внимание уделялось измерению осредненной продольной компоненты скорости течения. Условия экспериментов позволяли проводить измерения вплоть до очень больших значений времени. Как и в предыдущей работе результаты измерений сопоставляются с теоретическими, полученными Ю.И. Троицкой. Согласие с экспериментальными данными достаточно хорошее.

Работа Д.А. Сергеева и Ю.И. Троицкой [51] посвящена разработке упрощенной модели следа на больших временах вырождения. След рассматривается как квазистационарное струйное течение, на котором развиваются нарастающие за счет гидродинамической неустойчивости возмущения. Нарастание этих возмущений сопровождается передачей им импульса от среднего течения, в результате чего происходит уменьшение осевых значений дефекта продольной компоненты скорости и увеличение его ширины. Процесс эволюции следа описывается в квазилинейном приближении. Квазилинейное приближение используется и за границами его применимости. Как показали оценки авторов, квазилинейное приближение дает хорошее описание наблюдаемых в эксперименте полей скорости до тех пор, пока характерный масштаб нелинейного критического слоя, определяемого по всему спектру возмущений, меньше или порядка характерного поперечного размера следа. По мнению авторов, следует ожидать, что учет вертикального переноса импульса приведет к более быстрому убыванию амплитуды возмущений и даст возможность применять квазилинейное приближение на больших временах. Результаты теоретического анализа сопоставляются с экспериментальными данными Спеддинга [103], Бонниера [66] и результатами прямого численного моделирования Гоурлея, Арендта, Фритца и Берне [85]. Получено удовлетворительное соответствие. Расхождение наблюдается на достаточно больших временах. Авторы объясняют их ограничениями модели, не учитывающей вертикальный перенос импульса. Для не очень больших значений времени такое допущение оправдано, т. к. можно считать, что возмущения на различных горизонтах развиваются независимо. Однако (по мнению авторов) со временем возрастает вертикальный сдвиг скорости, что приводит к увеличению вертикального переноса импульса и более быстрому уменьшению скорости в центре следа. Отмечается, что, по-видимому, учет вертикального переноса импульса позволит объяснить более быстрое убывание возмущений скорости, наблюдаемое в экспериментах. Дальнейшее обобщение исследования получили в работах Г.В. Баландиной, В.В. Папко, Д.А. Сергеева, Ю.И. Троицкой, Е.Н.Захаровой [64] и Г.Н. Баландиной, В.В. Папко, Д.А. Сергеева, Ю.И. Троицкой [4]. К сожалению, экспериментальные данные о вырождении характеристик турбулентности в следе и генерируемых ими внутренних волн существенно неполны. В частности, отсутствуют экспериментальные данные об анизотропном вырождении турбулентности в следах за телами в стратифицированной жидкости.

В работе Гоурлея, Арендта, Фритса и Берне [85] осуществлено прямое численное моделирование (DNS) динамики турбулентных следов в однородной и стратифицированной жидкостях на больших временах вырождения (late wake, long time evolution, late times of degeneration). Основное внимание уделяется когерентным вихрям. Принципиально могут быть рассмотрены турбулентные следы как за самодвижущимся, так буксируемыми телами, но основное внимание уделено моделированию турбулентных следов за буксируемыми телами в однородной и стратифицированной жидкостях. Турбулентный след в однородной жидкости характеризовался числом Рейнольдса, равным Re о = 104.В стратифицированной жидкости Re о = 104; Fr = 10. Обсуждаются и меньшие значения числа Fr. Дано описание численной модели. Представлены результаты численных экспериментов и их обсуждение. Тестирование численной модели осуществлялось на задаче о быстровращающем-ся турбулентном конвективном течении Рэлея — Бернара [89]. Вычисления при решении основной задачи осуществлялись на суперкомпьютере, включающем 64 процессора 195 MHz MIPS R 10000. Впечатляющими являются затраты компьютерного времени — 25000 часов CPU на каждый вариант, без учета времени обработки и визуализации. Уравнения Навье — Стокса (в приближении Обербека — Буссинеска) решались с применением спектрального метода. Интегрирование по времени осуществлялось на основе метода Рунге — Кутта 3-го порядка точности. Весьма интересным является вывод о том, что в отличие от случая однородной жидкости возникающие в "позднем 11 стратифицированном следе вихревые структуры не расходятся друг от друга. Стратификация создает более регулярную структуру течения.

Доммермус, Роттман, Иннис и Новиков [82] выполнили численное моделирование турбулентного следа за сферой в слабостратифицированной жидкости. Рассмотрены случаи однородной жидкости и однородной (с постоянной частотой Вяйсяля) стратификации; Re = 104; 105. Для числа Re = 104 результаты расчетов сопоставляются с экспериментальными данными. Числу Re = 105 соответствует более тонкая структура турбулентности в следе, однако основные черты течения не изменяются в сравнении с более низким числом

Re. В качестве метода численного моделирования используется метод крупных вихрей (LES). Анализируется поведение крупномасштабных турбулентных вихрей и их эволюция в.квазидвумерные вихревые структуры, наблюдаемые в "поздних" следах. По мнению авторов, интересным является также взаимодействие индивидуальных вихрей со стратификацией, приводящей к генерации случайных внутренних волн, наблюдаемых в экспериментах Гиль-реаса и Брандта [84]. По мнению авторов, известные подходы к численному моделированию (полуэмпирические модели турбулентности, основанные на привлечении уравнений переноса рейнольдсовых напряжений; прямое численное моделирование) не позволяют детализировать вихревую структуру в перемежающемся режиме динамики следа. Результаты расчетов демонстрируют зарождение когерентных вихрей в "позднем" следе, несмотря на их полное отсутствие в начальный момент времени. Как и в предыдущей работе наблюдался режим течения в дальнем следе, названный "pancake eddies". Результаты исследования согласуются также с экспериментальными данными Spedding et al [107], Spedding [103], Chomaz et al [81].

Турбулентные следы с малым (ненулевым) суммарным избыточным импульсом в однородной жидкости рассматривались в целом ряде работ [28, 39, 40, 43, 54]. Анализ выполненных в них исследований показывает, что малый ненулевой импульс приводит к существенному изменению поведения дефекта продольной компоненты скорости. Однако, как это показано, например, в [54], суммарная (в поперечном сечении следа) энергия турбулентности слабо зависит от малых вариаций нулевого избыточного импульса по крайней мере до расстояний в несколько сотен диаметров. Асимптотическое (на предельных расстояниях от тела) поведение таких следов определяется знаком суммарного избыточного импульса [28, 40].

Безымпульсные турбулентные следы в устойчиво стратифицированной жидкости изучены достаточно подробно [7]-[16], [18, 19, 21, 22, 41, 69, 72, 73, 80, 108]. С привлечением иерархии математических моделей второго порядка выполнено численное моделирование безымпульсного турбулентного следа и генерируемых им внутренних волн в линейно стратифицированной среде. Осуществлено детальное сопоставление результатов расчетов с экспериментальными данными Линя и Пао о вырождении турбулентности в безымпульсном турбулентном следе в линейно стратифицированной среде. Удовлетворительное описание анизотропного вырождения интенсивностей турбулентных флуктуаций продольной и вертикальной компонент скорости получено с использованием математических моделей, включающих дифференциальные уравнения переноса нормальных рейнольдсовых напряжений. Применение усовершенствованных аппроксимаций тройных корреляций поля скорости и уравнения переноса скорости диссипации позволило более детально описать поведение вертикального размера турбулентного следа и интенсивностей турбулентных флуктуаций продольной и вертикальной компонент скорости [12]-[14]. Выполнен численный анализ характеристик внутренних волн, генерируемых безымпульсным следом в линейно стратифицированной среде. Показано, что параметры внутренних волн слабо зависят от применяемой модели турбулентности, а рассчитанная фазовая картина внутренних волн достаточно хорошо согласуется с результатами лабораторных измерений Чашечкина [80]. Построены упрощенные математические модели дальнего турбулентного следа и генерируемых им внутренних волн. В [41, 59, 72, 80] показано, в частности, что при t/T > 1 течение в следе в линейно стратифицированной среде расщепляется на волновой и диффузионный процессы, причем лишь малая часть заданной в начальном сечении следа суммарной энергии турбулентности переходит в энергию внутренних волн.

Влияние начальной закрутки на эволюцию безымпульсных следов за шарообразными телами в линейно стратифицированной жидкости оценено в работе Глушко, Гумилевского, Полежаева [23]. Плоские следы за самодвижущимся и буксируемым телами в линейно стратифицированной жидкости рассмотрены в [2].

Цикл исследований [17, 20] посвящен численному моделированию распространения пассивного скаляра от мгновенного локализованного источника в плоской зоне турбулентного смешения в устойчиво стратифицированной среде.

Анализируя цитированную литературу, можно сделать вывод о недостаточной полноте численных моделей динамики турбулентного следа за буксируемым телом в линейно стратифицированной среде. Отсутствует подробный анализ применимости алгебраических моделей турбулентных напряжений и потоков, а также более общей модели, включающей в себя дифференциальные уравнения переноса нормальных рейнольдсовых напряжений. Отсутствует анализ автомодельного вырождения следов за буксируемыми телами в пассивно стратифицированной среде. Недостаточно полным является сопоставление параметров турбулентных следов за буксируемым и самодвижущимся телами в линейно стратифицированной среде. Отсутствует анализ анизотропного вырождения турбулентности в дальнем турбулентном следе за буксируемым телом вращения в линейно стратифицированной среде. Представляет интерес численное моделирование турбулентного следа с малым суммарным избыточным импульсом в линейно стратифицированной среде (такое течение достаточно подробно изучено в случае однородной жидкости [28, 39, 40, 54]). Практически неизученной является динамика пассивного скаляра в турбулентных следах за самодвижущимся и буксируемым телами в линейно стратифицированной среде. Рассмотрению этих вопросов посвящена настоящая работа.

Турбулентные следы за телами вращения являются классическим объектом исследования теоретической, вычислительной и прикладной гидродинамики, имеющим весьма важные приложения. Следам и следоподобным локальным турбулентным образованиям отводится существенная роль в задачах обтекания тел, энергетики и экологии, динамики атмосферы и океана. Инструментальные измерения параметров следоподобных образований в неоднородной по плотности (температуре) среде даже в лабораторных условиях представляют собой труднорешаемую задачу. Имеющиеся математические модели недостаточно полны. В связи с этим разработка надежных и эффективных численных моделей и исследование на их основе турбулентных течений в следах за буксируемыми телами в.линейно стратифицированной среде является весьма актуальной проблемой.

Цель работы состоит: в разработке усовершенствованных численных моделей динамики турбулентного следа за буксируемым телом в линейно стратифицированной среде, основанных как на применении алгебраических представлений для рейнольд-совых напряжений и потоков, так и более сложной модели турбулентности, включающей дифференциальные уравнения переноса нормальных рейнольд-совых напряжений; в численном моделировании эволюции турбулентного следа с малым суммарным избыточным импульсом в линейно стратифицированной среде; в численном анализе динамики пассивного скаляра в турбулентных следах за телами, движущимися в линейно стратифицированной среде.

Научная новизна изложенных в диссертационной работе результатов заключается в следующем:

• построены усовершенствованные численные модели турбулентного следа за буксируемым телом в линейно стратифицированной среде; осуществлено тестирование численных моделей на известных экспериментальных данных; изучена динамика турбулентного следа за буксируемым телом в линейно стратифицированной среде в сопоставлении с динамикой безымпульсного турбулентного следа; выполнено численное моделирование анизотропного вырождения турбулентности в следе за буксируемым телом в линейно стратифицированной среде;

• построена численная модель турбулентного следа с малым суммарным избыточным импульсом в линейно стратифицированной среде;

• выполнено численное моделирование динамики пассивного скаляра в турбулентных следах за телами, движущимися в линейно стратифицированной среде; построена упрощенная диффузионная модель переноса пассивного скаляра в дальних турбулентных следах.

Достоверность полученных результатов подтверждается привлечением иерархии моделей турбулентного движения, проведением многочисленных тестовых расчетов, контролем сходимости решений на последовательности сеток, удовлетворительным согласованием результатов с теоретическими, экспериментальными данными и результатами расчетов других авторов.

На защиту выносятся:

• численные модели и результаты численного моделирования турбулентного следа за буксируемым телом в линейно стратифицированной среде;

• результаты численного исследования турбулентного следа с малым суммарным избыточным импульсом в линейно стратифицированной среде;

• численная модель распространения пассивного скаляра в турбулентных следах за телами, движущимися в линейно стратифицированной среде.

Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались на международных конференциях: СНТ-04 Advances in Computational Heat Transfer 3 (Норвегия, 19-24 апреля 2004), "Методы аэрофизических исследований"(Новосибирск, 28 июня-3 июля 2004), 7-й Всероссийской научной конференции "Краевые задачи и математическое моделирование" (Новокузнецк, 4-5 декабря 2004), 4th International Conference on Computational Heat and Mass Transfer (Париж, 17-20 мая 2005); обсуждались на семинарах Института Вычислительных Технологий СО РАН (рук. академик Ю.И. Шокин и профессор В.М. Ковеня), Института Гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН (рук. проф. А.Ф. Воеводин).

Публикации

По теме диссертации опубликовано 11 работ [44, 45, 56, 57, 75, 76, 77, 78, 79, 95, 96]. В совместных публикациях диссертант занималась обсуждением постановок задач на дифференциальном и конечно разностном уровнях, реализацией численных алгоритмов; принимала участие в анализе результатов расчетов. Ею самостоятельно проведены численные эксперименты.

Научная и практическая ценность работы

Разработанные численные модели могут быть использованы для численного моделирования динамики турбулентных следов за буксируемыми телами, свободных сдвиговых турбулентных течений в линейно стратифицированной среде; для анализа известных лабораторных экспериментов и планирования новых.

Диссертационная работа является составной частью плановых исследований Института вычислительных технологий СО РАН "Информационно-вычислительные технологии в задачах поддержки принятия решений"(N гос. регистрации 0120.0408295). Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (код проекта 04-01-00209а) и грантом НШ 2314.2003.1 Президента РФ.

Структура и объем диссертации

Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 109 наименования. Полный объем диссертации — 124 страницы, включая 31 рисунок и 24 таблицы.

Основные результаты Главы 4 сводятся к следующему. Результаты расчетов в однородной жидкости демонстрируют автомодельное поведение характеристик пассивного скаляра на больших расстояниях от тела. Полученные в численных экспериментах законы автомодельного вырождения для безымпульсного следа и следа за буксируемым телом различаются существенно и согласуются с результатами асимптотического анализа других авторов. Результаты расчетов в линейно стратифицированной среде иллюстрируют воздействие силы тяжести. Построена упрощенная диффузионная модель динамики пассивного скаляра в дальних турбулентных следах.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Построены усовершенствованные численные модели динамики турбулентного следа за буксируемым телом в линейно стратифицированной среде. Модели основаны на применении иерархии полуэмпирических моделей турбулентности, включающей в себя модель с дифференциальными уравнениями переноса нормальных рейнольдсовых напряжений. Конечно-разностные аналоги получены с использованием методов расщепления по пространственным переменным и физическим процессам. Осуществлено тестирование численных моделей. Выполнен численный анализ автомодельного вырождения турбулентного следа за буксируемым телом в пассивно стратифицированной среде. Осуществлено численное моделирование анизотропного вырождения турбулентности в следе за буксируемым телом в линейно стратифицированной среде.

2. Решена задача о динамике турбулентного следа с малым ненулевым суммарным избыточным импульсом в линейно стратифицированной среде. Показано, что турбулентный след с малым избыточным импульсом (порядка ±10% от величины избыточного импульса в следе за буксируемым телом) генерирует внутренние волны, незначительно отличающиеся от индуцируемых безымпульсным турбулентным следом. Как и в случае однородной жидкости, малый ненулевой избыточный импульс существенно влияет на вырождение дефекта осредненной продольной компоненты скорости.

3. Выполнено численное моделирование динамики пассивного скаляра в турбулентных следах за телами, движущимися в линейно стратифицированной среде. Построена упрощенная диффузионная модель переноса пассивного скаляра в дальних турбулентных следах.

1. Алексенко Н.В., Костомаха В А. Экспериментальное исследование осе-симметричного безымпульсного турбулентного струйного течения// nMTO.-1987.-N 1.- С. 65-69.

2. Бабенко В.А. Моделирование квазиоднородной свободной турбулентности в стратифицированных и реагирующих потоках: Дисс. докт. физ,-мат. наук, Минск, 2001.-375с.

3. Баландина Г.Н., Папко В.В., Сергеев Д.А., Троицкая Ю.И. Эволюция дальнего турбулентного следа за объектом, буксируемым в стратифицированной жидкости при больших числах Рейнольдса и Фруда// Известия РАН, Сер.ФАиО.-2004.-Т. 40.-N 1.-С. 112-127.

4. Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред// М.: Наука, 1977.

5. Бруяцкий Е.В. Турбулентные стратифицированные струйные течения// Киев: Наук. думка.-1986.-295 с.

6. Васильев О.Ф., Кузнецов Б.Г., Лыткин Ю.М., Черных Г.Г. Развитие области турбулизованной жидкости в стратифицированной среде// Известия АН СССР, Сер. M>KI\-1974.-N З.-С. 45-52.

7. Воропаева О.Ф. Дальний безымпульсный турбулентный след в пассивно стратифицированной среде// Вычислительные технологии.-2003.-Т. 8.-N З.-С. 32-46.

8. Воропаева О.Ф. Численные модели динамики безымпульсного турбулентного следа в устойчиво стратифицированной среде// Вычислительные технологии.-2004.-Т. 9.-N 4.-С. 15-41.

9. Воропаева О.Ф. Численное моделирование динамики безымпульсного турбулентного следа в устойчиво стратифицированной среде: Дисс. . докт. физ.-мат. наук, Новосибирск, 2004.-258с.

10. Воропаева О.Ф., Зудин А.Н., Мошкин Н.П., Черных Г.Г. Внутренние волны, генерируемые турбулентными следами в устойчиво стратифицированной среде// Вычислительные технологии.-2003.-Т. 8.- спецвыпуск.-С. 36-48.

11. Воропаева О.Ф., Илюшин Б.В., Черных Г.Г. Численное моделирование дальнего безымпульсного турбулентного следа в линейно стратифицированной среде// Докл. РАН.-2002.-Т. 386.-N 6.-С. 756-760.

12. Воропаева О.Ф., Илюшин Б.Б., Черных Г.Г. Анизотропное вырождение турбулентности в дальнем безымпульсном следе в линейно стратифицированной среде // Мат. моделирование. 2003.-Т. 15.- N 1.-С. 101-110.

13. Воропаева О.Ф., Мошкин Н.П., Черных Г.Г. Внутренние волны, генерируемые турбулентными следами за буксируемым и самодвижущимся телами в линейно стратифицированной среде// Математическое моделирование.-2000.-Т. 12.-N 10.-С. 77-94.

14. Воропаева О.Ф., Мошкин Н.П., Черных Г.Г. Внутренние волны, генерируемые турбулентными следами в устойчиво стратифицированной среде// Доклады РАН.-2003.-Т. 392.-N 2.-С. 190-194.

15. Воропаева О.Ф., Чашечкин Ю.Д., Черных Г.Г. Диффузия пассивной примеси от мгновенного локализованного источника в зоне турбулентного смешения// Докл. РАН.-1997.-Т. 356.-N 6.-С. 759-762.

16. Воропаева О.Ф., Черных Г.Г. Эволюция зоны турбулентного смешения в жидкости с нелинейной стратификацией // Моделирование в механике: Сб. науч.тр. / АН. Сиб. отд-е. ВЦ, ИТПМ.-1989.-Т. 3(20).-N 5.-С. 3-29.

17. Воропаева О.Ф., Черных Г.Г. О численном моделировании динамики областей турбулизованной жидкости в стратифицированной среде// Вычислительные технологии: Сборник научных трудов, РАН Сиб. отд-ние, Ин-т вычислит. технологий-1992.-Т. 1.-N 1.- С. 93-104.

18. Воропаева О.Ф., Черных Г.Г. Распространение пассивной примеси от мгновенного локализованного источника в зоне турбулентного смешения в пикноклине// ПМТФ.-1998.-Т. 39.-N 4.-С. 76-83

19. Воропаева О.Ф., Черных Г.Г. Внутренние волны, генерируемые безымпульсным турбулентным следом в линейно стратифицированной жидкости// Математическое моделирование.-1998.-Т.10.-М 6.-С. 75-89.

20. Воропаева О.Ф., Черных Г.Г. Численная модель-динамики безымпульсного турбулентного следа в пикноклине // ПМТФ.-1997.-Т. 38.-N З.-С. 69-86.

21. Глушко Г.С., Гумилевский А.Г., Полежаев В.И. Эволюция турбулентных следов за шарообразными телами в устойчиво стратифицированных средах // Изв. РАН. M>Kr.-1994.-N 1. С. 13-22.

22. Городцов В.А. Автомодельность и слабые замыкающие соотношения для симметричной свободной турбулентности// Известия АН СССР. Сер. M)Kr.-1979.-N 1.-С. 43-50.

23. Даниленко А.Ю., Толстых А.И. Неявный метод для расчета нестационарных движений вязкой жидкости// Численные методы динамики вязкой жидкости (Труды 9-й Всесоюзной школы семинара).- Новосибирск, 1983.-С. 110-114.

24. Даниленко А.Ю., Костин В.И., Толстых А.И. О неявном алгоритме расчета течений однородной и неоднородной жидкости// М., 1985. 40с. (Препринт ВЦ АН СССР).

25. Даниленко А.Ю. Численное моделирование некоторых океанологических задач. М., 1988. 40 с. "(Препринт ВЦ АН СССР).

26. Деменков А.Г. Численное моделирование турбулентных следов в однородной жидкости: Дисс. . канд. физ.-мат. наук, Новосибирск, 1997.-123с.

27. Джаугаштин К.Е., Шалабаева B.C. Пространственный след в стратифицированной несжимаемой жидкости// Известия РАН, Сер. МЖГ.-1996.-N 4.-С. 71-77.

28. Илюшин Б.Б. Математическое моделирование распространения примеси в пограничном слое атмосферы. Дисс. . канд. физ.-мат. наук. Новосибирск: ИТПМ СО РАН, 1994.-166 с.

29. Илюшин Б.Б., Курбацкий А.Ф. Новые модели для вычисления моментов третьего порядка в пограничном планетарном слое// Изв. РАН. Физика атмосферы и океана.-1998.-Т. 34.-N 6.-С. 772-781.

30. Климентенок У.А., Коробицына Ж.Л., Черных Г.Г. О численной реализации асимптотического решения Лойцянского-Миллионщикова// Математическое моделирование.-1995.-Т. 7.-N 1.-С. 69-80.

31. Коловандин Б.А., Лучко Н.Н. Влияние внешней турбулентности на поле скорости в следе за эллипсоидом вращения // ИФЖ.-1985. Т. 48.-N 4.-С. 538-546.

32. Курбацкий А.Ф. Физико-математическое моделирование турбулентности: Учеб. пособие. Новосибирск: Новосиб. ун-т, 1987.- 84 с.

33. Курбацкий А.Ф. Моделирование нелокального переноса турбулентного импульса и тепла// Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние.-1988.-240 с.

34. Курбацкий А.Ф., Онуфриев А.Т., Моделирование турбулентного переноса в следе за цилиндром с привлечением уравнений для третьих моментов// Журнал ПМТФ.-1979.-Т.6. -С. 99-107.

35. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. -736 с.

36. Левеллен В., Теске М., Дональдсон К. Применение полуэмпирических уравнений пульсационного движения к расчету осесимметричных следов// Ракетная техника и космонавтика.-1974.-Т. 12.-N 5.-С.56-62.

37. Лучко Н.Н. Влияние погрешности определения избыточного импульса на развитие осесимметричного турбулентного следа// Структура турбулентных течений (Сборник научных трудов ИТМО АН БССР)- Минск, 1982.-С. 35-48.

38. Монин А.С., Яглом A.M. Статистическая гидромеханика.- С.-Петербург: Гидрометеоиздат, 1992.-Ч. 1.- 694 с.

39. Мошкин Н.П., Федорова Н.Н., Черных Г.Г. О численном моделировании турбулентных следов// Вычислительные технологии.-Новосибирск ИВТ СО РАН, 1992.-Т. l.-N 1.-С. 70-92.

40. Мошкин Н.П., Фомина А.В., Черных Г.Г. О численном моделировании динамики турбулентного следа за буксируемым телом в линейно стратифицированной среде// Вестник НГУ, Серия: матем., механика, информ.-2004.-Т. 4.-вып. 3/4.-С. 63-92.

41. Мошкин Н.П., Черных Г.Г., Фомина А.В. О влиянии малого суммарного избыточного импульса на динамику турбулентного следа в линейно стратифицированной среде// Математическое моделирование.-2005.-Т. 17.-N 1.-С. 19-33.

42. Озмидов Р.В., Набатов В.Н. Гидрофизическая модель турбулентного следа за подводной горой// Известия АН, Сер. ФАиО.-1992.-Т. 28.-N 9.-С. 981-987.

43. Онуфриев А.Т. Турбулентный след в стратифицированной среде.//. Журнал ПМТФ.-ШО.-N 5.-С. 68-72.

44. Онуфриев А.Т. Описание турбулентного переноса. Неравновесные модели: Учеб. пособие. М.: МФТИ, 1995. 172 с.

45. Роди В. Модели турбулентности окружающей среды// Методы расчета турбулентных течений. М.: Мир, 1984. С. 227-322.

46. Самарский А.А. Теория разностных схем// М.: Наука.-1977.-656 с.

47. Сысоева Е.Я., Чашечкин Ю.Д. Вихревая структура следа за сферой в стратифицированной жидкости// Журнал nMTO.-1986.-N 2.-С. 40-46.

48. Таунсенд А. А. Структура турбулентного потока с поперечным сдвигом// М.: ИЛ.-1959.-399 с.

49. Федорова Н.Н., Черных Г.Г. О численном моделировании безымпульсного турбулентного следа за сферой// Моделирование в механике (Сборник научных трудов СО РАН. Вычислительный центр. Ин-т теор. и при-кл. механики.)-1992.-Т. 6(23).-N 1.-С. 129-140.

50. Федорова Н.Н., Черных Г.Г. О численном моделировании осесиммет-ричных турбулентных следов // Моделирование в механике (Сборник научных трудов СО РАН. Вычислительный центр. Ин-т теор. и прикл. механики.)-1992.-Т. 6(23).-N З.-С. 141-159.

51. Харша П. Модели переноса кинетической энергии // Турбулентность: принципы и применения. М.: Мир.-1980.-С. 207-261.

52. Черных Г.Г. Введение в численное моделирование свободных турбулентных течений// Учебное пособие, Новосибирск,НГУ, 1996.-84 с.

53. Шашмин В.К. Гидродинамика и теплообмен в турбулентных безымпульсных следах// Инженерно-физический журнал-1983.-Т 42.-N 4.-С. 640-647.

54. Шец Дж. Турбулентное течение. Процессы вдува и перемешивания// М: Мир, 1984.-247 с.

55. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики// Новосибирск: Наука, 1967.

56. Bonneton P., Chomaz J.M., Hopfinger E.J. Internal waves produced by the turbulent wake of a sphere moving horizontally in a stratified fluid// J. Fluid Mech.- 1993.-V.254.-P. 23-40.

57. Bonnier M., Eiff O. Experimental investigation of the collapse of a turbulent wake in a stably stratified fluid // Phys. Fluids.-2002.-V.14,- N 2, P. 791-801.

58. Browand F.K., Guyomar D., Yoon S.-C. The behavior of a turbulent front in a stratified fluid: experiments with an oscillating grid // J. Geophys. Res.-1987.-V. 92. N C5. P. 5329-5341.

59. Chernykh G.G., Demenkov A.G., Moshkin N.P., Voropayeva O.F. Numerical Models of Turbulent Wakes in Homogeneous and Stratified Fluids // Proceed, of Third ECCOMAS CFD Conf., Paris, 9-13 Sept.,1996.Published by J. Wiley and Sons, Ltd. P. 160-166.

60. Chernykh G.G, Fedorova N.N, Moshkin N.P. Numerical simulation of turbulent wakes// Russian J. Theoret. and Appl. Mech., 1992.-V. 2.-P. 295304.

61. Chernykh G.G., Korobitsina Zh.L., Kostomakha V.A. Numerical simulation of isotropic turbulence dynamics// Int. J. of Computational Fluid Dynamics.-1998.-N l.-C. 141-159.

62. Chernykh G.G., Moshkin N.P., Fomina A.V. Dynamics of turbulent wake with small excess momentum in stratified media. // CHT-04. Advances in Computational Heat Transfer III. 19-24 April, 2004, Norway. Book of Abstract. Begel House, Inc. 2004.- P. 39.

63. Chernykh G.G., Fomina A.V., Moshkin N.P. Dynamics of drag turbulent wake in a linearly stratified media// Proceedings of 4-th ICCHMT, May 17-20, 2005, Paris-Cachan, France.

64. Chernykh G.G., Fomina A.V., Moshkin N.P. Динамика пассивного скаляра в турбулентных следах за телами, движущимися в линейно стратифицированной среде// Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling, 2005 (в печати).

65. Chernykh G.G., Voropayeva O.F. Numerical modelling of momentumless turbulent wake dynamics in a linearly stratified medium// Computers and Fluids, 1999.-V. 28.-N 3.-P. 281-306.

66. Chomaz J.M., Bonneton P., Butet A., Hopfinger E.J. Vertical diffusion of the far wake of a sphere moving horizontally in a stratified fluid// Phys. Fluids A, 1993.-V.5.-N 11.-P. 2799-2806.

67. Domermuth D.G., Rottman J.W., Innis G.E., Novikov E.A. Numericalsimulation of the wake of a towed sphere in a weakly stratified fluid// J. Fluid Mech., 2002.-V. 473.-P. 83-101.

68. Gibson M.M., Launder B.E. On the calculation of horizontal turbulent free shear flows under gravitational influence// Trans. ASME, 1976.-V. С 98.-N l.-P. 81-87.

69. Gilreath H.E., Brandt A. Experiments on the generation of internal waves in a stratified fluid// AIAA J., 1985.-V.23.-P. 693-700.

70. Gourlay M.J., Arendt S.C., Fritts D.C., Werne J. Numerical modelling of initially turbulent wakes with net momentum// Phys. Fluids, 2001.-V.13.-N 12.-P. 3782-3802.

71. Hassid S. Collapse of turbulent wakes in stable stratified media// J. Hydro-nautics, 1980.-V. 14.-N l.-P. 25-32.

72. Hopfinger E.J., Flor J.B., Chomaz J.M., Bonneton P. Internal waves generated by a moving sphere and its wake in stratified fluid// Exps. Fluids., 1991.-V. ll.-P. 255-261.

73. Ilyushin B.B. Higher-moment diffusion in stable stratification// Closure Strategies for Turbulent and Transition Flows / Eds B.E. Launder, N.D. Sandham.-Cambridge: Univ. Press, 2003.- P. 424-448.

74. Julien K., Legg S., McWilliams J., Werne J. Rapidly rotating turbulent Rayleigh Benard convection// J. Fluid Mech., 1996.-T. 322.-N 243.-P. 243273.

75. Launder B.E. On the effect of a gravitational field on the turbulent transport of heat and momentum// J. Fluid Mech., 1975.-V. 67.- P. 569-581.

76. Launder B.E. Second-moment closure: present and future? Review // Int. J. Heat and Fluid Flow.-1989.-V. 10.-N 4.-P. 282-300.

77. Lin Q., Boyer D.L., Fernando J.S. Turbulent wakes of a linearly stratified flow past a sphere// Phys. Fluids'A, 1992.-V. 4.-N 8.-P. 1687-1696.

78. Lin J.T. , Pao Y.H. Wakes in stratified fluids// Annu. Rev. Fluid Mech., 1979.-V. ll.-P. 317-336.

79. Mellor J.L., Yamada T. A hierarchy of turbulence models for planetary boundary layers // J. Atmos. Sci.-1974.-V. 31.-N 7.- P. 1791-1806.

80. Moshkin N.P., Fomina A.V, Chernykh G.G. Dymamics of passive scalar in turbulent wakes in density stratified fluids// Proceedings of 8-th Annual National Symposium on Computational Science and Engineering, July 2123, 2004, SUT, Thailand. P. 307-310.

81. Pope S.B. Turbulent flows// Cambridge University Press, 2000.-771 p.

82. Rodi W. A new algebraic relation for calculating the Reynolds stresses// ZAMM, 1976.-V.56.-P. 219-221.

83. Rodi W. Examples of calculation methods for flow and mixing in stratified fluids// J. Geophys. Res., 1987.-V. 92.-N C5.-P. 5305-5328

84. Speziale C.G. Analytical methods for the development of Reynolds stress closures in turbulence // Ann. Rev. Fluid Mech.-1991.-V. 23.-P. 107-157.

85. Spedding G.R. The evolution of initially-turbulent bluff-body wakes at high internal Froude number // J.Fluid Mech., 1997.-V. 337.-R 283-301.

86. Spedding G.R. Anisotropy in turbulence profiles of stratified wakes// Phys. Fluids, 2001.-V. 13.-N 8.-P. 2361-2372.

87. Spedding G.R. Vertical structure in stratified wakes with high initial Froude number// J. Fluid Mech., 2002.-V. 454.-P. 71-112.

88. Spedding G.R, Browand F.K., Fincham A.H. The long-time evolution of the initially turbulent wake of a sphere in a stable stratification// Dyn. Atmos. Oceans., 1996.-V. 23.-P. 171-182.

89. Vasiliev O.F., Kuznetsov B.G., Lytkin Y.M., Chernykh G.G. Development of the turbulent mixed region in a stratified medium // Intern. Seminar Turbulent Buoyant Convection. Yugoslavia, Dubrovnic, 1976.-P. 123-136.

90. Voisin B. Rayonnement des ondes internes de gravite. Application aux corps en mouvement, University Pierre et Marie Curie, Ph. doctor thesis, 1991.