автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Математическое моделирование гидротермических процессов в Телецком озере

/8 ОД

,, • На правах рукописи

- '. К-'--1

Квон Дмитрий Виссарионович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

ГИДРОТЕРМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В ТЕЛЕЦКОМ ОЗЕРЕ

05Л3.16 - применение вычислительной техники,

математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Барнаул - 1998

Работа выполнена в Институте водных и экологических проблем СО РАН

Научный руководитель -

доктор технических наук, академик РАН О.Ф.Васильев

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор В.В.Пененко, кандидат физико-математических наук, доцент С.С.Кузиков

Ведущая организация -

Лимнологический институт СО РАН

Защита диссертации состоится ^ ¿)Л'/77Д'15/?Я_ 1998 г. в

час мин на заседании диссертационного совета Д 064.45.02 в Алтайском государственном университете по адресу 656099, Барнаул-99, ул. Димитрова, 66.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Алтайского государственного университета.

Автореферат разослан М ¿УМЯ/УДЬ/? /¿><?4е.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук, професо

С.А.Безносюк

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.Телецкое озеро относится к числу крупных водоемов, изучение которых является предметом международных программ. Как уникальный природный объект с большим историческим прошлым, Телецкое озеро включено Институтом озероведения РАН в программу исследования истории озер. По инициативе Института океанологических исследований Канады Телецкое озеро рассматривается как первоочередной объект по всемирной программе изучения климата озер. В рамках международной программы "Глобальная система мониторинга окружающей среды: водные объекты" Роскомги-дромет оргапизовал станцию комплексного фонового мониторинга на базе существующей озерной станции Яйлю с программой, включающей химический и радиологический мониторинг поверхностных вод, почв, снежного покрова и атмосферных осадков*. Институт водных и экологических проблем СО РАН (ИВЭП СО РАН) проводит натурные исследования Телецкого озера по изучению гидрофизических и экологических процессов, в том числе термического режима. Параллельно в Институте ведутся работы по математическому моделированию гидротермического режима озера. Знание о гидротермических процессах в озере является гидрофизической основой для изучения экосистемы озера и качества воды в нем. Математическое моделирование является эффективным средством оценки термического состояния озера и прогноза его изменений под воздействием природных и антропогенных факторов, в частности, средством оценки влияния глобального изменения климата на термический режим озера.

Цель работы состоит в построении теоретической модели гидротермических процессов в глубоких озерах и в изучении на ее основе гидротермического режима Телецкого озера.

Научная новизна. Развита продольно-вертикальная модель, модифицированная для глубоких озер. Модель основана на законах сохранения массы, импульса и тепла, а также на балансах кинетической энергии турбулентности и скорости ее диссипации. В отличие от известных моделей подобного типа в данной модели учитывается сжимаемость воды. Модель адаптирована для Телецкого озера. На ее основе впервые проведено моделирование стратифицированных течений и продольно-вертикальных сезонных изменений температуры

в Телецком озере. В процессе тестирования модели на данных лабораторных экспериментов численно решены в двумерной постановке задачи о проникновении верхнего турбулентного перемешанного слоя в стратифицированную жидкость и движении внутренней волны в открытом канале.

Достоверность полученных результатов подтверждена прямым путем - сопоставлением результатов численного моделирования с данными лабораторных экспериментов и измерений в Телецком озере.

Научная и практическая ценность работы состоит в развитии научных основ и методов математического моделирования гидротермических процессов в глубоких озерах и в их применении к изучению гидротермического режима Телецкого озера. Предлагаемая модель может быть использована также при оценке влияния глобального изменения климата на гидротермический режим Телецкого озера. Выполнение законов сохранения массы, импульса и тепла, а также универсальность (е-эпсилои)- модели турбулентности делает предложенную модель перспективной для применения ее к другим водоемам для решения аналогичных задач.

Представленные в диссертации исследования проводились в рамках плановой темы Института. Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (грант Л2 96-01-01940), а также Международным научным фондом (грант 11М1000, грант К' КМ 1300).

Апробация работы. Результаты работы докладывались на следующих конференциях и симпозиумах: 1\'-ом Международном симпозиуме по стратифицированным течениям (Гренобль, Франция, 1994); на П-ой Всероссийской конференции по математическим проблемам экологии (Новосибирск, 1994); на Международном симпозиуме "Гидрологические и экологические процессы в водоемах и их водосборных бассейнах" (Новосибирск, 1995); на Международной конференции "Математические модели и численные методы механики сплошных сред" (Новосибирск, 1996); на Ш-ей Международной конференции "Математические проблемы экологии" (Новосибирск, 1996); на третьем Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-98, Новосибирск. 1998). Диссертационная работа прошла апробацию на объединенном семинаре Новосибирского филиала ИВЭП СО РАН, на научной сессии ИВЭП СО РАН, на семинаре отдела прикладной гидродинамики, руководимом чл.корр. РАН

В.В.Пухначевым, в Институте гидродинамики им.М. А.Лаврентьева СО РАН.

На защиту выносятся продольно-вертикальная модель для глубокого озера и результаты ее применения для анализа гидродинамических и гидротермических процессов в Телецком озере, в том числе специфического продольного термического бара в нем.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 15 работ.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, грех глав, заключения и списка литературы из 102 наименований. Полный объем диссертации составляет 134 страницы, включая 43 рисунка и одну таблицу.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении показывается актуальность темы. В первом параграфе приводится краткая характеристика Телецкого озера, описывается термическое поведение озера по данным наблюдений. Отмечаются две характерные особенности Телецкого озера, а именно, его большая длина (77.8 км) по отношению к его ширине (максимальная ширина 5.2 км, средняя 2.9 км) и его большая глубина (макс. 325 м и средняя 174 м).

Из-за значительной протяженности в продольном направлении и относительно малой ширины основные изменения в сезонной динамике термической структуры озера происходят в продольно-вертикальном направлении. Поэтому при моделировании этого озера основные уравнения задачи могут быть упрощены путем их осреднения по ширине озера.

Во втором параграфе описывается состояние вопроса. Используемый здесь подход с осреднением по ширине водоема впервые был предложен D работе Vasiliev O.F., К von V.l., ChernyshovaR.T. (1973). Далее такая математическая модель получила развитие при решении задач о соленом клине эстуариях рек, впадающих в море (P.Hamilton,1975; A.F. Blumberg,1977; J.C.Salomon, 1981; С.В.Думнов, 1985; O.F.Vasiliev, S.V.Dumnov, 1987; J.W.Lavelle, E.D.Cokelet, G.A.Cannon, 1991, и другие), о гравитационных течениях в проливах (D.P.Wang, 1985), о цир-куляциях в стратифицированном заливе (D.S. Dunbar, R.W. Burling, 1987), о гидрогермическом режиме водохранилищ (О.Ф.Васильев, В.И.

Квон, Р.Т.Чернышева, 1974; J.E.Edinger, E.M.Buchak, 1979; А.Н.Бугров, Т.В.Дунец, 1991; В.М.Белолипецкий, В.Ю.Костюк, Ю.И.Шокин, 1991; О.В.Бочаров, О.Ф.Васильев, Т.Э.Овчинникова, 1994 и др.) и о сбросе подогретой воды в озеро ( Б.А.Архипов, В.В.Солбаков, 1994). В этих работах предлагались различные конечно-разностные схемы, в том числе - полунеявные, использовались различные формулы для определения коэффициентов турбулентного обмена, а плотность в уравнении состояния принималась зависящей только от температуры, а значит, не учитывалось влияние сжимаемости воды.

В глубоких пресноводных озерах существенно сказывается влияние сжимаемости воды на гидрофизические процессы, в частности, на глубинную конвекцию. Как известно, глубинная конвекция является одним из гидрофизических механизмов доставки кислорода в придонные зоны глубоких озер и вентиляции глубинных вод. Глубинная конвекция экспериментально впервые обнаружена на Байкале в окрестности термобара (Шимараев М.Н., Гранин Н.Г., 1991; Sliimaraev M.N., Granin N.G., Zhdanov A.A., 1993, Шимараев M.H., Грачев М.А. и др.,1995). Построены теоретические модели байкальского термобара (Цветова Е.А., 1994, 1996; Tsvetova Е.А., 1995; О.Ф.Васильев, О.Б.Бочаров, Овчинникова Т.Э., 1996), в том числе с учетом влияния минерализации воды (Квон В.И., Д.В.Квон, 1997) и модель глубинной конвекции, генерируемой внутренними волнами (S.J.Walker and R.G.Watts, 1995). В этих моделях учитываются сжимаемость воды в уравнении состояния и связанное с нею уменьшение температуры максимальной плотности с возрастанием глубины (давления йоды). Сжимаемость воды проявляется также на процессах турбулентного перемешивания.

В диссертации развита теоретическая модель гидротермических процессов в глубоком озере применительно к Теледкому озеру с учетом сжимаемости воды. Работы по моделированию продольно-вертикальной термической структуры Телецкого озера до нас не проводились. Параллельно с данной работой в Институте водных проблем GO РАН А.Т.Зиновьевым (1996) разрабатывалась более простая одномерная вертикальная модель с осреднением по горизонтальным сечениям озера без учета сжимаемости.

В первой главе рассматривается турбулентное течение в относительно узком озере вытянутой формы, приводятся уравнения трехмер-

ной модели течений и процессов переноса тепла в океане, а также некоторые часто используемые для них краевые условия. На их основе в п. 1.1 показывается вывод уравнений продольно-вертикальной модели, получаемых в результате осреднения кинематических и динамических характеристик течения по ширине озера в его горизонтальном направлении в пределах отдельных поперечных сечений. Уравнения модели имеют следующий вид: уравнение импульсов -

дЬщ + дЪщщ + дЬщи2 __ _ + ? ¿х) +

д1 дх\ дх-2 дхх ро '

хг

д ,дщ . 8 , т, дщ . . ,„.

уравнение сохранения массы -

^ + ^ = (2) дхх дх-2.

уравнение состояния -Р = Р(Т); (3)

и уравнение перенос тепла -дЬТ + дЬщТ + дЪщТ _ 8Т_ + д_ш .

с?£ дху дх 2 дхг дх2 дх^

где Ъ = Ь1+Ь2, з = £ [1 + + -)2]1/2, % - время; и х2 -

оси декартовой системы координат, причем ось х\ направлена вдоль продольной оси водоема, а х2 - вертикально вверх; щ и и2 - компоненты скорости по Х\ и XI соответственно; р и ро - плотность воды; Т - температура воды; Ь - "ширина" озера; —Ь\ и 62 - ординаты боковых поверхностей озера; д - ускорение силы тяжести; 2 - отметка уровня водной поверхности, - ее постоянное значение; К л и Ку {Кит и Кут) - коэффициенты суммарной (турбулентной и молекулярной) вязкости (температуропроводности) соответственно в горизонтальном (Я) и вертикальном (V) направлениях; г - коэффициент сопротивления трения боковой поверхности озера.

К системе уравнений (1)-(4) необходимо присоединить начальные и граничные условия. На водной поверхности задаются кинематическое

условие, напряжение ветра и поток тепла. На дне водоема задаются условие непроницаемости, квадратичный закон сопротивления трения и равный нулю поток тепла. На входной вертикальной границе озера, через которую вода втекает в него, задаются скорость, расход воды и температура втекающей воды. На выходной вертикальной границе, через которую вода вытекает из озера, задается скорость воды и расход (или вместо расхода его связь с уровнем воды) и "мягкое условие" отсутствия диффузионного потока тепла. На " твердых" частях вертикальных границ водоема задаются равные нулю скорость воды и диффузионный поток тепла.

В п.1.2 описывается е — е - модель турбулентности, на основе которой в данной работе определяются коэффициенты вертикального турбулентного обмена, а именно, уравнения для энергии турбулентности е и скорости ее диссипации е:

дЬе дЬще дЪиге д , де д , де , ...

01 ОХ\ ОХ 2 ОХ 1 ОХ 1 ОХ-1 0X2

дЬе дЪщг дЪи-2Е д , тг де д , тг до + ~Б— + — = -к~ЬКЯе---Ь ~—ЬКУе— +

ОЪ ОХ\ ОХ 2 ОХ 1 ОХ 1 0X2 ОХ 2

2

£ ? +с1е~ь{р - (1 - с3е)с?) - с2ег>—. (6)

Здесь Кне {Кне) и К\'е (Куе) ~ коэффициенты суммарной диффузии энергии турбулентности (скорости ее диссипации) соответственно в горизонтальном (Я) и вертикальном направлениях; с^-, С2е и -константы;

ат — 1/Рп, Рп - турбулентное число Прандтля, ¡3 - коэффициент термического расширения.

Коэффициенты горизонтального турбулентного обмена определяются с использованием формулы Ричардсона.

В п.1.3 приводится описание численного алгоритма решения задачи. При численном решении уравнений движения предлагается алгоритм. основанный на схеме расщепления по физическим процессам.

На первом дробном шаге осуществляется перенос импульса адвекцией и диффузией, а на втором дробном шаге моделируется адаптация гидродинамических полей (Г.И.Марчук, 1964).

Для согласования гидродинамических полей значение скорости, определяемое на втором дробном шаге, подставляется в проинтегрированное по глубине уравнение неразрывности, которое дает разностное уравнение второго порядка для определения уровня водной поверхности. Последнее позволяет неявно определить уровень водной поверхности. Подстановка полученного таким образом уровня водной поверхности в уравнение для второго дробного шага дает численное решение для уравнения импульсов.

При составлении разностных уравнений для скорости на первом дробном шаге и 1С и температуры Т ((р = (щс, Т)) соответствующие дифференциальные уравнения записываются в дивергентной форме. Адвективные члены в них аппроксимируются с использованием "консервативного варианта" направленных разностей (вторая схема с разностями против потока, по терминологии Роуча, 1980). Остальные производные аппроксимируются центральными разностями. Тогда получаемые при этом полунеявные конечно-разностные уравнения принимают вид:

- (Мц. ^ - , --+. __ +

+ гМ\ = (8) к

где и - полные потоки импульсов и тепла соответственно по х\ и Х2, - правые части уравнений, г, - шаг по времени, Ах и Дг ~ шаги по пространству.

Для получения консервативной разностной схемы, разностные уравнения (8) записываются и на граничных ячейках сетки, причем полные потоки и в этих уравнениях заменяются их значениями на границах, определяемыми с помощью граничных условий.

Аналогично записываются разностные уравнения и для уровня водной поверхности и вертикальной скорости.

Разностные уравнения решаются методом прогонки.

Во второй главе изучаются простейшие модели сдвиговых турбулентных течений. Основной целью этих работ было тестирование модели, и в частности, краевых условий, на данных известных лабораторных экспериментов и тестирование численного алгоритма. Решение поставленных задач имеет также и научный интерес. В п. 2.1 рассматривается задача о движении внутренней волны, которая возникает при внезапном удачении перегородки, разделяющей жидкости разной плотности в горизонтальном замкнутом канале.

При численном решении данной задачи (О.Ф.Васильев, В.И.Квон, 1974; Vasiliev O.F., Chernishova R.T., 1975) коэффициент вертикального турбулентного обмена определялся по е-модели турбулентности. В диссертации задача решается с использованием полной (е-е)-модели турбулентности, учитывается горизонтальный турбулентный обмен. Предполагается, что плотность жидкости пропорциональна концентрации соли.

Расчеты были проведены для лабораторного канала длиной 54 м и высотой 0.3 м. Перегородка была расположена на расстоянии 10 м от левого торца канала. Более плотная соленая вода в начальный момент времени находилась слева от перегородки. Результаты расчетов вертикальных профилей скорости xij и разности плотности 5р — р— 1000 сопоставлялись с данными измерений (рис.1). Внутренняя волна (соленый клин) перемещается у дна, у водной поверхности имеет место компенсационное течение.

Процессы турбулентного перемешивания в поверхностных слоях глубоких водоемов играют важную роль в формировании их термической структуры, в возникновении термоклина. Термоклин является слоем, препятствующим переносу кислорода и питательных веществ в водоемах. В п.2.2 предлагаются математическая формулировка и численное решение двумерной задачи о заглублении турбулентного перемешанного слоя в линейно стратифицированной среде под действием напряжения трения. Эта задача экспериментально изучалась в работе Kato H. and Phillips O.M.(1969). Математическое моделирование процессов турбулентного перемешивания в условиях данного лабораторного эксперимента было проведено в ряде работ (Квон В.И.,1979; Зиновьева А.Т., Яковенко С.Н., 1994; Левеллен В., 1980) в предположении об однородности гидродинамических параметров по длине лотка (одномерная постановка задачи).

Предлагаемая в данной работе формулировка двумерной задачи более точно отражает течение в круговом лотке. На торцевых сечениях ставятся условие свободного протекания на выходной границе и условие того, что течение на входной границе является непрерывным продолжением течения на выходе из рассматриваемой области определения решения задачи. Процессы вертикального турбулентного перемешивания описываются на основе полной (е — е)-модели.

Сопоставление результатов расчета изменений толщины перемешанного слоя с экспериментальными данными показывает их хорошее согласие (рис.2). Результаты расчетов, проведенных с разными значениями параметра при силе плавучести в уравнении для скорости диссипации энергии турбулентности, мало между собой отличаются, но более предпочтительный результат дает расчет при с3е = 0,8.

В п.2.3 рассматривается турбулентное течение, индуцируемое напряжением ветра, в замкнутом канале (в ветровом лотке). В средней части такого канала приблизительно реализуется ветровое течение, имеющее место иногда в водоемах вдали от берега. Расчеты такого течения ранее были выполнены в ряде работ на основе одномерной вертикальной модели (Вагер Б.Г., Симонов В.В.,1970; Игнатова Г.Ш., Квон, 1977; Игнатова Г.Ш., Квон, 1978) и двумерной вертикальной модели (Svensson IT., 1978).

В данном параграфе задача рассматривается в вертикальной двумерной постановке, следуя работе Svensson U. Целью работы было тестирование ветрового воздействия и дополнительное тестирование вычислительного алгоритма на данных измерений.

Результаты расчетов вертикального профиля скорости в средней части лотка сопоставлялись с данными лабораторных экспериментов. Рассматриваемые эксперименты (Baines W.D., Knapp D.J., 1965) были проведены при двух значениях числа Рейнольдса: Rew = 1900 и 2870. Число Рейнольдса при этом определялось по формуле Rew — где и* = (Tw/p)0,5 - динамическая скорость воды на водной поверхности, h -глубина воды в лотке, rw - ветровое напряжение трения, р - плотность воды и V - кинематическая вязкость. Получено хорошее согласие результатов расчетов и данных измерений.

Третья глава посвящена Численному моделированию гидротермического режима Телецкого озера. В п. 3.1 приводятся исходные данные для численного расчета гидротермического режима озера. К

ним относятся морфометрические характеристики озера, расходы рек и температура воды в них, метеорологические данные и данные о солнечной радиации.

В п.3.2 дана математическая постановка задачи для Телецкого озера. Система уравнений (1) -(4) при учете притоков и сжимаемости воды принимает вид:

дЬщ дЬи\щ

дь

дх\

+

+

дЪщи^ ^ д дхч дх

1 г°

-{г Л--/рйх) +

1 Ро I

д дщ д ащ . .

—ЬКИ---Ь ——оКу—--яг «1 \щ;

ОХ\ 0X1 ОХ2 ОХ 2

(9)

дЬщ дЬи2 _ дх\ 8x2 ''

(10)

Р = Рш/(1.0- р/кРУ, дЬТ дЬщТ дЪи2Т д1 дх\ дх2

д дТ д дТ _

-^—ЬКцт---Ь -^—оКут^— + q^in,

ОХх ОХ1 0X2 ОХ 2

(И)

(12)

где q - распределение удельного расхода боковых притоков; Т171 - температура воды боковых притоков; р - плотность воды и ро - постоянное ее значение; - плотность воды при стандартном атмосферном

давлении; кр(Т,3,р) - объемный модуль упругости воды; р - давление воды, определяемое по формуле гидростатики; 5 - соленость (минерализация) воды, принимаемая здесь постоянной и равной 75 мг/л.

Здесь используется формула (11) с эмпирическими функциями для рт(Т, 5) и кр(Т,3,р), предложенными Миллсро, Ченом и др. (1980, 1981). Отметим, что она рекомендована Объединенной комиссией по океанографическим таблицам и стандартам при ЮНЕСКО (см.А.Гилл. Динамика атмосферы и океана. 4.2. М.: Мир, 1986).

Члены генерации турбулентности в уравнениях модели турбулентности (5) - (6) в случае учета сжимаемости воды имеют вид:

дТ

(13)

коэффициент термического расширения определяется по формуле

рдТ

7о ~ адиабатический градиент температуры, равный 10~э (такое его значение имеет пресная озерная вода, по данным Д.Фармера, 1975 г.). Для параметризации влияния поперечного сдвига скорости дщ/дх2 на генерацию турбулентности Р, следуя идее Б.В.Архипова и В.В.Солба-кова (1994), используется математическая модель ветрового течения (Игнатова Г.Ш., Квон В.И., 1979).

Расчеты термической структуры Телецкого озера и анализ их результатов (п.3.3) проведены для промежутка времени от 20 мая до 30 августа 1968 года, данные измерений по которому наиболее полно представлены в литературе.

По данным наблюдений, характерными в поведении термического режима Телецкого озера являются возникновение фронтов термобара на его концах (на северо-западном и южном участках озера) и их продвижение к центральной части озера. Это явление обусловлено тем, что на концах озера вода более прогрета, чем в его глубоководной центральной части, где в период развития термобара температура воды меньше 4"С. На северо-западном конце озера вода быстрее прогревается из-за относительно малой его глубины, а на южном его конце -прогрев воды происходит также за счет втекания более теплого стока реки Чулышман. В зонах смешения теплых и холодных вод (в окрестности фронтов термобара), где температура воды достигает температуры максимальной плотности 4°С, развивается термогравитационное течение с нисходящим потоком. Результаты расчетов согласуются с данными наблюдений (рис.3). Перед фронтами термобара возникают термогравитационные циркуляционные течения, которые могут доставлять обогащенные кислородом поверхностные воды в глубинные слои озера. На данном рисунке большая стрелка показывает направление нисходящего потока у северо-западного фронта термического бара. На термогравитационные течения, сопровождающие термобар, накладываются стоковые течения, порождаемые стоками рек Бия и Чулышман, и ветровые течения. Воздействие ветра проявляется в основном в верхних слоях озера.

Напомним, что справа втекает в озеро р.Чулышман. слева вытекает из него р.Бия. Как данные наблюдений, так и результаты расчетов показывают, что несмотря на то, что стоковое течение, обусловленное стоком реки Бия, выносит тепло из озера, фронт тепла перемещается в обратную сторону, к средней части озера. Как и в наблюдениях, ре-

зультаты расчетов обнаруживают формирование фронтов термобара на обоих концах озера и их продвижение к его центральной части с последующим их слиянием в его средней части (рис.4). По данным наблюдений, "к 15 июля фронт смыкается и озеро становится однородным" (Селегей В.В., Селегей Т.С., 1978) в продольном направлении. В натурных наблюдениях точно не установлен момент смыкания фронтов термобара. По расчету, их смыкание наступает 11 июля, а однородность озера по длине по крайней мере в значительной части озера имеет место с примерно с 13 - 15 июля.

На рис.5 приводится сопоставление вычисленных и измеренных профилей температуры на рейдовой вертикали в центральной части озера для 20 июня, 20 июля и 20 августа последовательно (слева направо). Согласно результатам расчетов, на 20 августа значения температуры воды в придонной зоне озера составляют 3.6 — 3.8°С, что соответствует данным измерений.

Напомним, что термический режим озера в основном формируется под воздействием потоков радиации (солнечной и длинноволновой), метеорологических факторов и стоков рек в озеро и из него. Эти воздействия являются внешними по отношению к озеру. Для анализа влияния стоковых течений были проведены расчеты без учета притока в озеро и оттока из него при других идентичных входных данных модели, а именно, предполагалось, что расходы реки Чулышман и других рек, втекающих в озеро, и расход вытекающей из озера реки Бия равны нулю. Проведенный сопоставительный анализ результатов расчетов показывает, что в формировании термического режима Телецкого озера радиационные потоки и метеорологические факторы играют доминирующую роль, хотя немаловажно (и необходимо) учесть стоковые течения. По-видимому, модель менее чувствительна к вариациям величины стоков в озеро и из него, чем к вариациям величины радиации и метеорологических данных.

В параграфе 3.4 анализируется устойчивость глубинных вод Телецкого озера по данным измерений температуры воды с использованием условия устойчивости Осборна и Леблонда (1974). Показывается, что при пренебрежении сжимаемостью воды нарушается условие устойчивости глубинных вод озера, что не вполне согласуется с данными измерений вертикальных профилей температуры воды в озере.

Для более детального анализа влияния сжимаемости воды на ги-

дротермический режим Теледкого озера в его сезонной динамике были проведены также численные расчеты без учета сжимаемости (давление р = 0 в уравнении состояния воды, что соответствует атмосферному давлению в нем) при идентичных входных данных. Результаты расчетов показывают (рис.6), что при пренебрежении сжимаемостью воды глубинные зоны озера в численном решении перемешиваются более интенсивно, чем при ее учете. В этих зонах под изотермой 4°С имеет место однородное распределение температуры со значением около 4°С, точнее со значением 3.98°С, согласно численному решению. Это связано с потерей устойчивости и возникновением турбулентной конвекции. Механизм проникающей турбулентной конвекции хорошо известен (см., например, С.С.Зилитинкевич, 1989). Суть его заключается в возникновении турбулентности при гидростатической неустойчивости. В модели этот механизм реализован через генерацию турбулентности за счет силы плавучести. При учете сжимаемости воды (верхний рисунок), глубинные области озера меньше подвергаются конвективному перемешиванию, связанному с потерей гидростатической устойчивости. При этом вычисленные значения температуры воды в глубинной зоне равны 3.6 — 3.8°С, что соответствуют данным наблюдений. Хотя разница по температуре небольшая, качественно отличаются процессы турбулентного обмена, а значит, теплообмен (газообмен, в том числе перенос кислорода) в глубинных зонах озера.

Заключение

Основные результаты работы состоят в следующем.

1. Разработана продольно-вертикальная математическая модель гидротермичсских процессов в глубоком проточном озере. Модель содержит уравнения сохранения импульсов, сохранения массы, уравнение переноса тепла и уравнение состояния воды, а также уравнения для кинетической энергии турбулентности и скорости ее диссипации. В отличие от известных моделей подобного типа в данной модели учитывается сжимаемость воды. Модель применена для анализа гидротермического режима Телецкого озера.

2. Для численной реализации модели построен вычислительный алгоритм на основе метода расщепления по физическим процессам с использованием полунеявной консервативной разностной схемы.

3. Проведено тестирование модели и вычислительного алгоритма

на данных известных лабораторных экспериментов о проникновении верхнего турбулентного перемешанного слоя в стратифицированную жидкость и движении внутренней волны в открытом канале. Численно исследована чувствительность модели к вариациям параметра при силе плавучести в уравнении для скорости диссипации энергии турбулентности.

4. Проведены расчеты формирования термического режима Те-лецкого озера в весенне-летний период с учетом стокового течения в озере, обусловленного речным притоком и оттоком (по р. Бия), а также метеорологических факторов. Результаты расчетов и их сравнение с натурными данными измерений в озере показали, что математическая модель описывает основные черты термического режима Телецкого озера, в том числе поведение имеющего место в озере специфического продольного термобара, динамику продвижения и слияния его фронтов, которые вначале появляются в северо-западной и южной частях озера. Численные расчеты также показали, что в период развития продольного термобара (в весенне-летний период продолжительностью 1.5-2 месяца) перед его фронтами возникают вертикальные термогравитационные циркуляционные течения, которые могут доставлять обогащенные кислородом поверхностные воды в глубинные слои озера. Ветровые течения доминируют у водной поверхности.

5. Проведены сопоставительные расчеты по оценке влияния стоковых течений на гидротермический режим Телецкого озера. Показано, что при пренебрежении стоковыми течениями качественное поведение термического режима в целом сохраняется. Влияние стоковых течений носит в основном локальный характер. Доминирующим фактором, формирующим термический режим озера, является поток тепла через водную поверхность.

6. Выполнен анализ влияния сжимаемости воды на результаты численных расчетов. Показано, что для более точного и адекватного описания термического режима озера и процессов переноса в нем следует учесть сжимаемость воды в модели Телецкого озера.

Продольно-вертикальная модель гидротермических процессов в глубоком озере построена здесь впервые. Новыми являются результаты численного моделирования гидротермического режима Телецкого озе-

pa. Впервые получено численное решение задачи о продольном термобаре в Телецком озере. Впервые дана оценка влияния сжимаемости воды на термический режим и процессы переноса в глубинной области Телецкого озера.

Автор выражает глубокую признательность научному руководителю академику О.Ф.Васильеву. Автор благодарит также к.б.н. В.В.Кириллова, инженера C.B. Вахненко за предоставление отдельных данных по Телецкому озеру и д.ф.-м.н. В.И.Квона за консультации и полезные обсуждения при выполнении работы.

Список работ по теме диссертации.

1. O.F.Vasiliev, V.I.Kvon, D.V.Kvon. Mathematical modeling of wind-induced turbulent flows in stratified water body // Fourth International Symposium on Stratified Flows, vol.2(A4), Grenoble, France, 1994, -P.l-8.

2. О.Ф.Васильев, В.И.Квон, Д.В.Квон. Математическое моделирование индуцироваиных ветром течений в стратифицированном водоеме // Сб.: "Математические проблемы экологии". Тезисы докладов Всероссийской конференции по математическим проблемам экологии, Новосибирск, 1994, -С.17-18.

3. В.И.Квон, Д.В.Квон. Математическое моделирование ветровых течений в приплотинной части Новосибирского водохранилища и Бердского залива // Сб.: "Математические проблемы экологии"'. Тезисы докладов Всероссийской конференции по .математическим проблемам экологии, Новосибирск, 1994, -С.40-41.

4. О.Ф.Васильев, В.И.Квон, Д.В.Квон. Математическое моделирование индуцированных ветром течений в стратифицированном водоеме // Сб.: "Математические проблемы экологии", Ин-т математики СО РАН, Новосибирск, 1994, -С.27-36.

5. В.И.Квон, Д.В.Квон. Математическое моделирование ветровых и стоковых течений в приплотинной части Новосибирского водохранилища // Сб.: "Вычислительные технологии, т.4, N 13, ИВТ СО РАН, Новосибирск, 1995, -С.204-211.

6. В.И.Квон, Д.В.Квон. Математическое моделирование динамики весенне-летнего термобара в Телецком озере: предварительный расчет // Материалы международного симпозиума " Гидрологические и экологические процессы в водоемах и их водосборных бассейнах", Те-

зисы докладов, Новосибирск, 1996, -С.37-38.

7. В.И.Квон, Д.В.Квон. Численное исследование термохалинных процессов в прибрежной зоне глубокого озера // Международная конференция "Математические модели и методы механики сплошных сред", Тезисы докладов, Новосибирск, 1996, -С.319-320.

8. Д.В.Квон. Численный расчет термической структуры Телецкого озера на основе продольно-вертикальной модели // Международная конференция "Математические модели и методы механики сплошных сред", Тезисы докладов, Новосибирск, 1996, -С.321-321.

9. Копылов Ю.Н., Квон Д.В. Математическое моделирование переноса взвешенных наносов в стратифицированном водоеме // Аннотации докл. 3-й Международной конференции "Математические проблемы экологии (МАПЭК-96)". - Новосибирск, 1996. -С.7.

10. Кврн Д.В. Численное моделирование сезонных изменений температуры воды в Телецком озере // Вычислительные технологии, г.1, N 1, 1996, -С.48-56.

11. В.И.Квон, Д.В.Квон. Математическое моделирование процесса заглубления перемешанного слоя в стратифицированной жидкости // Прикладная механика и техническая физика, 1997, N 1, -С.82-85.

12. В.И.Квон, Д.В.Квон. Численное моделирование движения внутренней волны в открытом канале // Метеорология и гидрология, 1997, N 2, -С.84-91.

13. В.И.Квон, Д.В.Квон. Численный анализ механизма глубокого проникновения поверхностных вод в прибрежной зоне озера в период весенне-летнего термобара. Вычислительные технологии, т.2, N 5, 1997, -С.48-59.

14. O.F.Vasiliev, V.V.Kirillov, J.M.Klerkx, V.V.Selegei, V.I.Kvon, A.A. Rilov, A.A.Kuzmin, O.B.Bocharov and D.V.Kvon. Hydrophysïcal Behaviour ofLake Teletskoye (Altai Mountains) // 17th Annual International Symposium of the North American Lake Management Society. Houston, Texas. December 2-6, 1997, -P.130-130.

15. Д.В.Квон, В.И.Квон. О влиянии сжимаемости воды на гидротермический режим глубоких озер / / Третий Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-98). Тезисы докладов, часть И. Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 1998, -С.63-63.

-1Б -10 -Б 0 u,, см/с

30 m

10 Лр, кг/м1

Рис. 1. Профили скорости (а) и профили плотности (б). 1 - данные измерений (Abraham G., Eysink W.D., 1971), 2 - расчет при значении сзЕ = 0.8 (Hossain M.S., 1979), 3 - расчет при значении сз£ = 1.0 (при устойчивой стратификации) и с?,, — 0.0 (при неустойчивой стратификации) (Viollet P.L., 1988).

Рис. 2: Изменение толщины перемешанного слоя во времени.

1 - данные измерений (Kato.H., Phillips О.М., 1969),

2 - расчет при значении сз£ = 0.8 (Hossain M.S., 1979),

3 - расчет при значении сзЕ = 1.0 (Viollet P.L., 1988).

р. Бия р. Чулышь

Длина, м

р. Бия р. Чульщл

Длина, м

Рис. 3. Поля температуры и скорости течений в Телепком озере (в продольном сечении по оси озера) на 20 июня 1968 года.

Длина, м

Длина, м

Рис. 4. Распределения температуры воды в озере перед смыканием фронтов термического бара (8 июля) и после (15 июля).

Температура, 'С Температура, 'С Температура, "С

0.0 1.0 2.1 3.2 0.0 5.3 10.616.0 0.0 4.8 9.7 14.(

Рис. 5. Сопоставление вычисленных (кривые) и измеренных (квадратики) вертикальных профилей температуры в Телецком озере на 20.06.68, 20.07.68 и 20.08.68 для рейдовой вертикали №26.

Длина, м

Длина, м

Рнс. 6. Вычисленные изотермы на 20 августа с учетом сжимаемости (верхний рисунок) и без учета сжимаемости.

1- 94-1-1361,-?

4

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ

ИНСТИТУТ ВОДНЫХ И ЭКОЛОГИЧЕСКИХ ПРОБЛЕМ

На правах рукописи

Квон Дмитрий Виссарионович

Математическое моделирование

гидротермических процессов в Теледком озере

05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов

в научных исследованиях.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

Научный руководитель: академик Васильев О.Ф.

Барнаул - 1998

Оглавление

Общая характеристика работы 3

Введение 6

0.1 Краткая характеристика Телецкого озера.......... 6

0.2 Состояние задачи........................ 11

1 Основные уравнения гидротермодинамики водоемов и метод их решения для водоемов вытянутой формы 20

1.1 Уравнения движения и переноса тепла для водоемов вытянутой формы и граничные условия............. 24

1.2 Модель турбулентности: уравнения для энергии турбулентности и скорости ее диссипации............. 33

1.3 Конечно-разностные аналоги дифференциальных уравнений задачи и численные алгоритмы их решения ...... 38

2 Математическое моделирование некоторых сдвиговых турбулентных течений (на примерах лабораторных экспериментов) 49

2.1 Движение внутренней волны в открытом канале (эксперименты Абрахама и Иезика).................... 50

2.2 Заглубление турбулентного перемешанного слоя в стратифицированной жидкости (эксперименты Като и Филлипса

в круговом лотке)........................ 62

2.3 Турбулентное течение, индуцируемое напряжением ветра,

в замкнутом канале (эксперименты Бенса и Кнеппа) .... 69

3 Численное моделирование гидротермического режима Те-ледкого озера 74

3.1 Подготовка входных данных модели для численного расчета гидротермического режима Телецкого озера...... 74

3.2 Математическая постановка задачи для Телецкого озера

(с учетом притоков и сжимаемости воды).......... 86

3.3 Результаты расчетов гидродинамического и термического режимов Телецкого озера.................... 94

3.4 Анализ влияния сжимаемости воды на гидротермический режим Телецкого озера.....................113

Заключение 118

Литература 121

Общая характеристика работы

Актуальность темы.Телецкое озеро относится к числу крупных водоемов, изучение которых является предметом международных программ. Как уникальный природный объект с большим историческим прошлым, Телецкое озеро включено Институтом озероведения РАН в программу исследования истории озер. По инициативе Института океанологических исследований Канады Телецкое озеро рассматривается как первоочередной объект по всемирной программе изучения климата озер. В рамках международной программы "Глобальная система мониторинга окружающей среды: водные объекты" Роскомгидромет организовал станцию комплексного фонового мониторинга на базе существующей озерной станции Яйлю с программой, включающей химический и радиологический мониторинг поверхностных вод, почв, снежного покрова и атмосферных осадков. Институт водных и экологических проблем СО РАН (ИВЭП СО РАН) проводит натурные исследования Телецкого озера по изучению гидрофизических и экологических процессов, в том числе термического режима. Параллельно в Институте ведутся работы по математическому моделированию гидротермического режима озера. Знание о гидротермических процессах в озере является гидрофизической основой для изучения экосистемы озера и качества воды в нем. Математическое моделирование является эффективным средством оценки термического состояния озера и прогноза его изменений под воздействием природных и антропогенных факторов, в частности, средством оценки влияния глобального изменения климата на термический режим озера.

Цель работы состоит в построении теоретической модели гидротер-

мических процессов в глубоких озерах и в изучении на ее основе гидротермического режима Телецкого озера.

Научная новизна. Развита продольно-вертикальная модель, модифицированная для глубоких озер. Модель основана на законах сохранения массы, импульса и тепла, а также на балансах кинетической энергии турбулентности и скорости ее диссипации. В отличие от известных моделей подобного типа в данной модели учитывается сжимаемость воды. Модель адаптирована для Телецкого озера. На ее основе впервые проведено моделирование стратифицированных течений и продольно-вертикальных сезонных изменений температуры в Телецком озере. В процессе тестирования модели на данных лабораторных экспериментов численно решены в двумерной постановке задачи о проникновении верхнего турбулентного перемешанного слоя в стратифицированную жидкость и движении внутренней волны в открытом канале.

Достоверность полученных результатов подтверждена прямым путем - сопоставлением результатов численного моделирования с данными лабораторных экспериментов и измерений в Телецком озере.

Научная и практическая ценность работы состоит в развитии научных основ и методов математического моделирования гидротермических процессов в глубоких озерах и в их применении к изучению гидротермического режима Телецкого озера. Предлагаемая модель может быть использована также при оценке влияния глобального изменения климата на гидротермический режим Телецкого озера. Выполнение законов сохранения массы, импульса и тепла, а также универсальность (е-эпсилон)- модели турбулентности делает предложенную модель перспективной для применения ее к другим водоемам для решения аналогичных задач.

Представленные в диссертации исследования проводились в рамках плановой темы Института. Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (грант № 96-01-01940), а также Международным научным фондом (грант № 11М1000, грант № 11М1300).

Апробация работы. Результаты работы докладывались на следующих конференциях и симпозиумах: 1У-ом Международном симпозиуме по стратифицированным течениям (Гренобль. Франция, 1994); на П-ой Всероссийской конференции по математическим проблемам экологии (Новосибирск, 1994); на Международном симпозиуме "Гидрологические и экологические процессы в водоемах и их водосборных бассейнах" (Новосибирск, 1995); на Международной конференции "Математические модели и численные методы механики сплошных сред" (Новосибирск, 1996); на Ш-ей Международной конференции "Математические проблемы экологии" (Новосибирск, 1996); на третьем Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-98, Новосибирск, 1998). Диссертационная работа прошла апробацию на объединенном семинаре Новосибирского филиала ИВЭП СО РАН. на научной сессии ИВЭП СО РАН, на семинаре отдела прикладной гидродинамики, руководимом чл.корр. РАН В.В.Пухначевым, в Институте гидродинамики им.М.А.Лаврентьева СО РАН.

На защиту выносятся продольно-вертикальная модель для глубокого озера и результаты ее применения для анализа гидродинамических и гидротермических процессов в Телецком озере, в том числе специфического продольного термического бара в нем.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 15 работ.

Введение

0.1 Краткая характеристика Телецкого озера

Данный параграф носит вспомогательный характер и составлен в основном по материалам книги В.В.Селегея и Т.С.Селегей, 1978г. [57].

Телецкое озеро - один из крупнейших водоемов Южной Сибири, расположенный в северно-восточной части Горного Алтая на высоте 424м над уровнем моря. Озеро имеет вытянутую руслообразную форму и состоит как бы из двух частей: южной (меридиональной), протяженностью 50 км и северной (28 км), имеющей широтное направление (см. рис.01). Основные морфометрические характеристики озера следующие:

площадь зеркала, кв.км 223

длина, км 77.8

ширина, км

средняя 2.9

максимальная 5.2

глубина, м

средняя 174

максимальная 325

объем, км3 40

Острова и полуострова практически отсутствуют, за исключением незначительных по площади скальных выступов, расположенных у м. Ажи, Чичелган, Айран, у залива Айраташ. Бухт и заливов мало.

kpuftm

Самые большие заливы Камгинский (площадь 6.5 км2), Кыгинский (3.1 км2), Колдор (2.15 км2), Чедор (2.0 км2), Ыдып (1.0 км2), Кокши (0.75 км2), Айраташ (0.25 км2).

Телецкое озеро - проточный водоем. Основная часть стока в озеро поступает через р.Чулышман в южном его конце и вытекает в противоположном через р. Бию. Отметим, что в озеро впадает около 70 притоков [57], стр.15.

Многие особенности режима озера определяются формой котловины. Котловина Телецкого озера в основном правильной трапецеидальной формы с бортами высотой 100 - 300 м.

Термический режим озера обусловлен в основном поступлением и расходом тепла через поверхность озера, поступлением тепла с водами притоков и выносом тепла из озера водами р.Бии. Распределение тепла в водной массе происходит за счет его переноса течением и процессами диффузии.

Телецкое озеро относится к озерам умеренного типа. В таких озерах дважды в год весной и осенью при температуре максимальной плотности (4 градусов) возникает гидростатическая неустойчивость и развиваются вертикальные циркуляции.

В среднем переход температуры воды через 0.2 градуса весной происходит в течение первых двух декад апреля, осенне-зимний процесс перехода длится с середины января (северный конец озера) до первой декады февраля (центральные участки озера). Прогрев поверхности воды до 4 градусов происходит неравномерно. Сначала прогревается северный мелководный участок, затем южный район озера и в последнюю очередь переход через 4 градуса происходит в центральных участках и в районе стыка меридиональной и широтной частей озера. После достижения

максимальных значений (по данным съемок 1969 года, первая декада августа) температура поверхности воды начинает падать. По данным 1969 года, температура поверхности воды к 31 августа была однородна по всему озеру и составляла около 10 градусов. Максимальное значение температуры поверхности воды в районе поселка Яйлю за период 19651975 г.г. составляло 21 градусов. Оно было зафиксировано 31 июля 1969 году. Среднее максимальное значение за указанный период было равно 18.7 градусам.

Вся толща озера в течение 7 месяцев охлаждена ниже 4 градусов, а свыше 5 месяцев - ниже 3 градусов. Температура свыше 10 градусов ежегодно наблюдается только в верхних 10-20 метрах и то в течение непродолжительного времени: на поверхности до 2.5 месяцев, на глубине 20 м - до одной декады.

Температура воды прибрежной зоны и открытых участков озера мало отличается друг от друга. Из-за значительной протяженности в продольном направлении и относительно малой ширине основные изменения в годовой динамике термической структуры озера происходят в продольно-вертикальном направлении.

К моменту начала весеннего нагревания температура поверхности воды в озере достигает 0.4-0.8 градуса, у дна - 2.2-2.8. Имеет место обратная термическая стратификация. По мере поступления тепла через водную поверхность распределение температуры по глубине выравнивается. Весенняя гомотермия в глубоководной части озера наступает в конце мая - начале июня при температуре 2.8-3.0 градуса, на северозападном участке - в первой декаде июня при температуре 3-4 градусов, в заливе Камга - в середине мая при температуре 2.2-3.0. Температура воды в озере остается ниже 4 градусов.

Температура воды у дна озера изменяется за год от 2 до 4 градусов Цельсия.

В озере дважды в год в весенне-летний и осенне-зимний периоды наблюдаются термобары, продвигающиеся к средней части озера с обеих его концов в продольном направлении.

Природа термического бара такова. Весной после вскрытия ото льда в озерах средних широт начинается прогрев воды. Поток тепла, поступающий через водную поверхность, определяется в основном метеорологическими факторами и мало изменчив по горизонтали. Поэтому мелководная прибрежная зона нагревается быстрее, чем удаленная от берега глубоководная. Вследствие горизонтальной неоднородности температурного поля, стратификация плотности по разные стороны от изотермы Т = Тт (0 < Тт < 4°С), соответствующей максимуму плотности, оказывается противоположной: гидростатически устойчивой в мелководной зоне и гидростатически неустойчивой - в глубоководной. В окрестности изотермы Т = Тт развивается двухячейковая термогравитационная конвекция с мощным нисходящим течением в узкой зоне между ячейками. Связанный с ним фронтальный раздел и носит название термического бара. По мере прогрева область термического бара смещается все дальше от берега (мелководной зоны), и этот процесс продолжается до тех пор, пока температура глубоководной зоны не достигнет величины Тт [22]. Аналогичное явление происходит осенью [57, 22].

В Телецком озере из-за того, что имеются значительные продольные изменения глубины, а поперечные сечения озера правильной трапецеидальной формы, термический бар развивается в основном в его продольном направлении. Продолжительность весенне-летнего термобара составляет приблизительно 1.5-2.0 месяца.

За даты начала образования весеннего термического бара на Телец-ком озере принимаются даты устойчивого перехода температуры воды через 4 градуса. Термический бар возникает в середине мая прежде всего в прибрежных районах северо-западного мелководного участка. В среднем к 10 июня начинает прогреваться и южная часть озера. В течение почти двух месяцев Телецкое озеро превращается как бы "в два разных озера, из которых одно,внутреннее, вставлено в рамки другого, внешнего"(Калесник C.B. [26], 1968). Эти озера различаются по термическому режиму, прозрачности, цвету, химическому составу воды, распределению живых организмов. Продвижение фронта на последнем этапе идет очень быстро. По данным за 1968 год, к 15 июля фронт смыкается и озеро становится по горизонтали термически почти однородным. Южный термобар взаимодействует с плотностным течением, обусловленным стоком более плотной воды р.Чулышман. Весенне-летние термобары отделяют устойчиво стратифицированные прогретые воды на концах озера от гидростатически неустойчивой холодной воды средней части озера.

0.2 Состояние задачи

Изучение Телецкого озера было начато в 17 веке [57]. Детальные сведения о термическом режиме опубликованы в работах Алекина O.A. ([1], 1934), Лепневой С.Г. ([46], 1937 ) и в книге Селегея В.В. и Селегей Т.С.([57], 1978).

Телецкое озеро относится к числу крупных водоемов, изучение которых является предметом международных программ. Как уникальный природный объект с большим историческим прошлым, Телецкое

озеро включено Институтом озероведения РАН в программу исследования истории озер. По инициативе Института океанологических исследований Канады Телецкое озеро рассматривается как первоочередной объект по всемирной программе изучения климата озер. В рамках международной программы "Глобальная система мониторинга окружающей среды: водные объекты" Роскомгидромет организовал станцию комплексного фонового мониторинга на базе существующей озерной станции Яйлю с программой, включающей химический и радиологический мониторинг поверхностных вод, почв, снежного покрова и атмосферных осадков. Институт водных и экологических проблем СО РАН располагает на озере лимнологическим стационаром, проводит натурные исследования Телецкого озера по изучению гидрофизических и экологических процессов, в том числе термического режима. (Данный абзац составлен по материалам, предоставленным зав. лабораторией ИВЭП СО РАН к.б.н. В.В.Кирилловым.)

Параллельно в Институте водных и экологических проблем СО РАН ведутся работы по математическому моделированию гидротермического режима озера. Накоплен значительный материал натурных исследований, который мог бы быть подвергнут более тщательному теоретическому анализу, в том числе с применением современных математических методов и математических моделей. Знание о гидротермических процессах в озере является гидрофизической основой для изучения экосистемы озера и качества воды в нем. Математическое моделирование является эффективным средством оценки термического состояния озера и прогноза его изменений под воздействием природных и антропогенных факторов.

Работы по моделированию изменений температуры воды Телецкого

озера как в вертикальном, так и в продольном направлениях до нас не проводились. Параллельно с данной работой в Институте водных проблем СО РАН А.Т.Зиновьевым ( [22],1996) разработана более простая одномерная вертикальная модель с осреднением по горизонтальным сечениям озера без учета сжимаемости воды.

Используемый здесь подход с осреднением по ширине водоема вытянутой формы впервые был предложен в работе [94] (Vasiliev О.F., Kvon V.l., Chernyshova R.T., 1973). Далее математическая модель с осреднением по ширине использовалась в ряде работ для моделирования динамики течений и продольно-вертикальной термической структуры водоемов вытянутой формы, в которых совершенствовались методы численной реализации, предлагались постановки различных задач, в частности, задачи о соленом