автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Использование адаптивных сеток нерегулярной структуры для расчета разрывных решений с повышенным порядком точности



На правах рукописи Неледова Анна Владимировна

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АДАПТИВНЫХ СЕТОК НЕРЕГУЛЯРНОЙ СТРУКТУРЫ ДЛЯ РАСЧЕТА РАЗРЫВНЫХ РЕШЕНИЙ С ПОВЫШЕННЫМ ПОРЯДКОМ ТОЧНОСТИ

(Специальность 05.13.18 - Теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ)

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва, 1997

Работа выполнена в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

проф. В. Ф. Тишкин Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

проф. Б. Н. Четверушкин доктор физико-математических наук проф. Ю. А. Повещенко Ведущая организация: Московский авиационный институт

(Технический университет)

Защита диссертации состоится "_"_1997 г. в__

на заседании диссертационного совета К 003.91.01 при Институте математического моделирования РАН по адресу 125047, Москва, Миусская пл., 4а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИММ РАН

Автореферат разослан "_"_1997 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук

Похилко В. И.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актз'алъность. Работа посвящена разработке методов построения двумерных неструктурированных динамически адаптирующихся расчетных сеток и применения их для численного решения задач газовой динамики.

Проблема правильного выбора расчетной сетки играет важную роль при численном моделировании задач из самых различных областей знания, ввиду того, что расчетная сетка является одним из ключевых элементов алгоритма, а количество ее узлов, достаточное для получения решения с заданными характеристиками, определяет вычислительную сложность алгоритма. Особенно важна эта проблема при решении задач, решения которых отличаются особенностями, такими, как контактные и свободные поверхности, ударные волны и Т.д.

В настоящее время развитием методов конструирования и адаптации расчетных сеток для решения задач математической физики занимается большое количество исследоватей как у нас в стране, так и за рубежом. Область вычислительной математики, связанная с генерацией сеток, развивается высокими темпами и происходит ее выделение в самостоятельный раздел науки со своими определениями, понятиями, методологией и классификацией.

Принцип оптимального по отношению к особенностям решения распределения узлов положен в основу методов построения так называемых адаптивных сеток.

Адаптивность к решению является важным свойством сетки. Основным и наиболее требуемым в приложениях к задачам с особенностями и к нестационарным задачам является следующее свойство адаптивной сетки: автоматическое сгущение ее узлов в переходных зонах с большими производными.

Концентрирование узлов адаптирующейся сетки в окрестности особенностей позволяет использовать однородные вычислительные алгоритмы, когда расчет в каждом узле проводится по единой схеме.

Большое распространение при решении нестационарных задач получили методы, связанные с построением различных подвижных адаптивных сеток. Отличительной чертой подобных сеток является движение узлов сетки с учетом движения среды и/или ее границы — динамическая адаптивность (см. работу Дарьин H.H., Мажукин В.И., Самарский A.A. Конечно-разностный метод решения одномерных уравнений газовой динамики на адаптивных сетках // ДАН СССР, 1988, т. 32, N 5, с. 1078-1081). Таким образом, распределение точек в расчетной области динамически переустанавливается с тем, чтобы точки концентрировались в регионах большой вариации решения в процессе его развития, с учетом (или без учета) предыдущих знаний о расположении подобных регионов.

Такие сетки позволяют при фиксированном общем числе узлов расчетной сетки за счет более рационального их расположения получать более точные численные решения.

При этом на каждом этапе видоизменения адаптивная сетка должна сохранять такие важные качественные характеристики, которыми являются гладкость сетки (плавная зависимость формы и размеров ячеек от расстояния между ними) и ее равномерность (выравнивание формы и размеров ячеек при неограниченном увеличении их общего числа).

Использование адаптивных сеток для решения задач математической физики позволяет добиться существенного повышения точности в тех случаях, когда решение сильно зависит от формы области и имеет нерегулярный характер. Например, при решении следующих (по имеющимся особенностям решения) классов задач:

— задач с наличием больших градиентов внутри области решения;

— задач с наличием больших градиентов вблизи границы области: задач типа пограничного слоя, горения;

— задач с наличием подвижных грагощ. К ним относятся задачи со свободной поверхностью, плавления, испарения и т.п.;

— задач с наличием линий и поверхностей разрывов, контактных границ внутри области: задач газовой динамики с наличием ударных волн, сдвиговых течений, движением областей вещества с сильно различающимися свойствами; :

— задач с наличием зон фазовых превращений и химических реакций, переходных слоев в полупроводниках и т.п.

В таких задачах размер зон высоких градиентов решения существенно меньше размера области и поэтому адаптивная сетка с узлами, сгущающимися в окрестности этих зон, позволяет отслеживать расположение и движение разрывов и эффективно локализовывать область расчетов, что может значительно сэкономить ресурсы- ЭВМ при проведении вычислительного эксперимента.

На процесс расчета и адаптации многомерных сеток, предназначенных для решения практически важных стационарных и, особенно, нестационарных задач математической физики в областях произвольной формы с фиксированными или движущимися границами, большое влияние оказывает структура сетки.

Следует отметить, что для описания сложных и многосвязных областей, а также при высокой степени сгущения узлов использование принятой первоначально в большинстве методов построения адаптивных разностных сеток регулярной топологии связано с несколькими трудностями: сетки регулярной структуры зачастую недостаточно точно передают геометрию реальных задач, а их адапта-

ция нередко приводит к сильной деформации ячеек, что сказывается на точности расчета.

В связи с этим в последниюю декаду лет возрос интерес к развитию методик, базирующихся на нерегулярных (неструктурированных) расчетных сетках, в которых порядок расположения ячеек не устанавливается заранее. В этом случае ячейки могут свободно перемещаться в процессе адаптации (в отличие от регулярных сеток, где заданный порядок ограничивает их движение). Отметим, что на данный момент в мировой литературе наиболее широко представлены результаты исследований по построению треугольных нерегулярных адаптивных сеток.

Удобными для решения вычислительных задач метрическими свойствами обладают нерегулярные сетки, состоящие из ячеек Дирихле. Ячейки Дирихле имеют важное свойство — при смене соседства форма ячеек меняется непрерывным образом, что позволяет эффективно использовать их при аппроксимации уравнений математической физики методом контрольных объемов. Кроме того, при выборе прямоугольной системы узлов ячейки Дирихле приобретают прямоугольную форму, и вводимые на них операторы приобретают хорошо изученный вид, удовлетворяющий таким свойствам, как, например, принцип максимума и т.д.

Исходя из вышесказанного, можно утверждать, что тема диссертации, связанная с построением подвижных адаптивных сеток Дирихле, является актуальной и представляет в настоящее время научный интерес.

Целью диссертации является: разработка методов построения неструктурированных эйлеровых динамически адаптирующихся расчетных сеток из ячеек Дирихле, построение класса однородных квазимонотонных разностных схем для решения двумерных задач ди-

намикп сжимаемого невязкого нетеплопроводного газа на нерегулярных сетках Дирихле с повышенным порядком точности и применение их для численного моделирования течений, обладающих особенностями.

Научная новизна.

— разработана и апробирована новая оригинальная методика динамической адаптации неструктурированной расчетной сетки из ячеек Дирихле;

— предложен класс однородных квазимонотонных разностных схем для решения задач двумерной газовой динамики на нерегулярных адаптивных расчетных сетках Дирихле с повышенным порядком точности;

— проведено математическое моделирование развития неустойчивости Рихтмайера-Меншова с использованием разработанной методики. Получено совпадение с экспериментальными результатами.

Практическая ценность.

Разработанная методика может быть применена для решения с повышенным порядком точности широкого класса практически важных задач газовой динамики, в том числе, нестационарных задач, решения которых включают особенности: распространяющиеся ударные волны, контактные границы сложной конфигурации, зоны перемешивания и т.д.

Аппробация работы. Основные результаты работы, проделанной в ходе подготовки диссертации, докладывались на

семинаре 4, 5, 10 отделов ИММ, кафедры математического моделирования МФТИ, под руководством Е.И. Леванова;

заседании кафедры вычислительных методов факультета ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова;

III международном форуме "Тепломассообмен-ММФ-96", 20-24

мая 1996 г., г.Минск;

VI Всероссийском совещании "Проблемы построения сеток для решения задач математической физики", 9-15 сентября 1996 г., пос.Дюрсо;

XXXIX юбилейной научной конференции МФТИ "Современные проблемы фундаментальной и прикладной физики и математики", 29-30 ноября 1996 г., г.Долгопрудный.

Публикации. Приводимые в представленной диссертации результаты отражены в 5 печатных работах.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Текст изложен на 142 страницах, диссертация содержит 37 рисунков, 2 таблицы. Список литературы включает 276 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении описаны цели представленной работы и отмечена актуальность темы. Дана структура и общая характеристика диссертации. Сформулированы основные результаты, выносимые на защиту.

Первая глада посвящена вопросам построения адаптивных сеток, а именно, неструктурированных эйлеровых адаптивных сеток из ячеек Дирихле. Глава состоит из шести параграфов.

Во первом параграфе основное внимание уделяется проблемам, возникающим при построении, генерации и адаптации расчетных сеток для задач математической физики. Приводится понятие расчетной сетки на поверхности или в области и наиболее общие требования, предъявляемые к алгоритму ее построения. Далее обсуждается процедура построения динамически адаптирующейся к решению

вычислительной сетки при численном моделировании задачи математической физики. Выдвигаются принципы, которым должна удовлетворять такая сетка, и указываются основные средства, необходимые для генерации соответствующей перечисленным принципам расчетной сетки.

Во втором параграфе приводится обзор литературы по основным направлениям конструирования адаптивных расчетных сеток. Кратко обсуждаются наиболее распространенные способы построения структурированных адаптивных сеток и более подробно — методики, связанные с генерацией и адаптацией нерегулярных расчетных сеток. Отмечается оригинальность представляемой методики адаптации и указываются ее преимущества по сравнению с описанными алгоритмами.

В третьем параграфе приводится базовый алгоритм динамической адаптации вычислительной сетки для одномерного случая, известный под названием алгоритма равнораспределения весовой функции.

В четвертом параграфе описываются топология используемой расчетной сетки, ячейки Дирихле и их важнейшие свойства.

В пятом параграфе одномерный алгоритм равномерного распределения весовой функции обобщается на двумерную нерегулярную сетку из ячеек Дирихле, что приводит к получению системы нелинейных уравнений для нахождения координат узлов расчетной сетки. На каждом слое по времени разностная сетка перестраивается заново, при этом используется численное решение, полученное на предыдущем временном слое, и характеристики старой сетки.

Благодаря специальному выбору весовой функции в ходе расчета сетка автоматически сгущается в областях больших изменепий градиентов решения. Кроме того, при этом обеспечиватся гладкое

распределение точек сетки и тот факт, что сгущение сетки в одних областях не приводит к чрезмерному разрежению сетки в других.

Движение узлов адаптивной сетки определяется эволюцией численного решения физической задачи. Отмечается, что указанный выбор алгоритма адаптации и правильное задание весовой функции обеспечивают непрерывность и равномерность этого движения.

Рассматриваемая процедура носит достаточно общий характер, однако, в первую очередь ориентирована на решение вычислительных задач газовой динамики.

В шестом параграфе обсуждается выбор параметров адаптации расчетной сетки, в том числе при сгущении ее в два раза.

Вторая глава посвящена построению разностных схем, используемых в диссертации. Для решения двумерных задач динамики сжимаемого невязкого нетеплопроводного газа на адаптивной сетке используется класс однородных квазимонотонных разностных схем повышенной точности. Глава состоит из трех параграфов.

В первом параграфе приводится общая методика построения дискретной модели, для чего применяется интегро-интерполяционный подход.

Второй описывает процедуру повышения порядка аппроксимации указанной модели, в том числе две модификации (при помощи двух видов лимитеров) способа интерполяции газодинамических переменных на ребро ячейки Дирихле.

В третьем параграфе обсуждаются особенности использования итоговой разностной схемы в связи с движением в ходе адаптации расчетной сетки Дирихле и происходящей при этом смены соседств сеточных узлов.

В третьей главе приводятся примеры построения адаптивных сеток Дирихле и обсуждаются результаты расчетов для модельной за-

дачи об отражении ударной волны и задачи о развитии неустойчивости Рихтмайера-Мешкова. Глава состоит из двух параграфов.

Первый параграф посвящен описанию решения модельной задачи об отражении косой ударной волны от жесткой стенки. Для проведения сравнительного анализа сначала приводятся результаты расчетов на неподвижных равномерных прямоугольных сетках. Затем описываются решения, полученные на адаптивных расчетных сетках при использовании нескольких вариантов квазимонотонных разностных схем (первого и повышенного порядка аппроксимации, с различными лимитерами). Расчеты показали, что использование рассмотренной методики адаптации позволяет повысить порядок точности решения модельной задачи в 1.5-2.5 раза. Кроме того, обсуждаются различные варианты задания граничных условий и их влияние на установление стационарного решения.

Во втором параграфе приводится решение задачи о развитии неустойчивости Рихтмайера-Мешкова. Сначала описываются соответствующий физический эксперимент и наблюдаемое в ходе пего течение. Затем приводятся расчетные данные, полученные при использовании различных вариаций методики адаптации. Проводится анализ их достоинств и недостатков, сравнение между собой и с результатами экспериментальных исследований, обсуждаются качественные характеристики адаптивных сеток, на основе чего обосновывается выбор соответствующих принципов адаптации. Отмечается совпадение расчетных решений с экспериментальными данными.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

— получен алгоритм динамической адаптации нерегулярной расчетной сетки Дирихле для расчета нестационарных течений с особенностями;

— разработаны однородные квазимонотонные разностные схемы повышенного порядка точности для решения задач газовой динамики на неструктурированных адаптивных сетках, при решении модельной задачи об отражении косой ударной волны действительно получен повышенный порядок точности решения;

— проведено математическое моделирование развития неустойчивости Рихтмайера-Мешкова с использованием предложенной методики/Полученные результаты совпадают с экспериментальными данными.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Неледова A.B., Тишкин В.Ф. Использование адаптивных сеток нерегулярной структуры для расчета разрывных решений с повышенным порядком точности. Дифференциальные уравнения, 1996, т. 32, N 7, с. 976-985.

2. Неледова A.B., Тишкин В.Ф. Квазимонотонные разностные схемы повышенного порядка точности на адаптивных сетках нерегулярной структуры. М.: Инст. Математ. Моделир. РАН, 1995, N 17, 21 с.

3. Неледова A.B., Тишкин В.Ф. Генерация подвижных адаптивных сеток нерегулярной структуры. Тезисы XXXIX юбилейной научной конференции МФТИ "Современные проблемы фундаментальной и прикладной физики и математики", 29-30 ноября 1996 г., г .Долгопрудный.

4. Лебо И.Г., Неледова A.B., Тишкин В.Ф. Решение задачи о развитии неустойчивости Рихтмайера-Мешкова на нерегулярных адаптивных сеткахчМ., 1996. (Препр./ ФИАН РАН; N 46).

5. Неледова A.B., Тишкин В.Ф., Филатов А.Ю. Нерегулярные адаптивные сетки для решения задач математической физики. Математическое моделирование, 1997, Т.9, N 2, с.13-