автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование газовых потоков в областях сложной формы методом ленточных адаптивных сеток

На правах рукописи

003478054

ЗАХАРОВ Андрей Алексеевич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ГАЗОВЫХ ПОТОКОВ В ОБЛАСТЯХ СЛОЖНОЙ ФОРМЫ МЕТОДОМ ЛЕНТОЧНЫХ АДАПТИВНЫХ СЕТОК

Специальности 05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

01.02.05 — Механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

- 1 ОКТ 2009

Москва - 2009

003478054

Работа выполнена в Московском государственном техническом университете имени Н.Э. Баумана

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Димитриенко Юрий Иванович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Шахов Евгений Михайлович

кандидат физико-математических наук, доцент

Пархоменко Валерий Павлович

Ведущая организация: ОАО «ВПК «НПО машиностроения»

Защита диссертации состоится «20» октября 2009 года в -/-3 час. ОО мин. на заседании диссертационного совета Д 212.141.15 при Московском государственном техническом университете им. Н.Э. Баумана по адресу: 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5. оф. 400вл Ш

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного технического университета им. Н.Э. Баумана.

Автореферат разослан «11» еЩя^ 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, ~ Аттетков А.В.

кандидат технических наук, старший научный сотрудник, доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Объект исследования и актуальность темы. В настоящее время для численного моделирования в газовой динамике применяются как коммерческие расчетные пакеты, так и собственные разработки компаний, занимающихся проектированием изделий, а также разработки университетов и научно-исследовательских институтов. Основная причина, почему коммерческие пакеты не вытеснили собственные разработки компаний, по-видимому, заключается в том, что универсальные методы вычислений, заложенные в коммерческие продукты, не гарантируют точности вычислений при решении сложных задач, которые не тестировались разработчиками. Постоянно возрастающая сложность задач требует постоянного совершенствования вычислительных алгоритмов. Узкоспециализированные программы позволяют добиваться превосходства над более универсальными пакетами как в вычислительном аспекте (быстродействие и требуемые ресурсы компьютера), так и с точки зрения удобства использования программ.

В последнее время активно развиваются методы адаптивных сеток, в которых важнейший элемент всех численных методов — разностная сетка — или выбирается согласованно с границами расчетной области задачи (геометрически-адаптивные сетки), или изменяется в ходе решения в зависимости от изменений параметров газового потока (динамически-адаптивные сетки). Преимущество адаптивных сеток заключается в согласованности линий сетки с линиями тока и, соответственно, с характером течения. Хорошо известны работы по методам построения адаптивных сеток и численному моделированию с их помощью: Годунова С.К., Забродина A.B., КрайкоА.Н., Прокопова Г.П., Воскресенского Г.П., Ба-бенкоК.И., БелоцерковскогоО.М., Гильманова А.Н., ТишкинаВ.Ф., Ли-сейкинаВ.Д., Иваненко С.А., Бураго Н.Г., АйсманаП.К., ЭриксонаЛ.Э., Томпсона Дж.Ф., Смита P.E. и многих других.

Существующие научные работы, в которых используются методы адаптивных сеток, в основном посвящены либо методам генерации таких сеток, без рассмотрения алгоритмов компьютерного задания расчетной области и рассмотрения работы с такими сетками при численном решении задач газовой динамики в сложных многомерных областях, либо описанию решений конкретных задач газовой динамики, без детализации процесса построения расчетной сетки, предполагая ее уже построенной. Важной и нерешенной проблемой остается проблема создания алгоритмов разбиения областей со сложной границей на криволинейные блоки.

Примером сложных многомерных областей с криволинейными границами являются области течения газа в каналах сверхзвуковых воз-

духозаборников (СВЗ). Одной из важных характеристик работы СВЗ является дроссельная характеристика. Задачи построения дроссельной характеристики и выявления неустановившихся режимов (помпажа) являются достаточно трудоемкими, и их решение с помощью существующих методов численного расчёта течений газа в каналах СВЗ может приводить к большим погрешностям расчёта, а в отдельных случаях вовсе оказывается невозможным.

Таким образом, актуальность темы определяется необходимостью моделирования нестационарных течений газа в сложных многомерных областях с использованием методов адаптивных сеток как для режимов с наличием установления, так и режимов без установления.

Цели работы и задачи исследования: !

1) разработка математической модели комбинированного (внутреннего и внешнего) нестационарного течения газа в областях сложной формы с криволинейными границами;

2) разработка метода ленточных адаптивных сеток (ЛАС) для расчёта многомерных нестационарных газодинамических процессов в областях сложной криволинейной формы типа областей каналов СВЗ;

3) разработка программного комплекса (ПК) на основе алгоритма метода ЛАС;

4) проведение численного моделирования течений газа в СВЗ, определение параметров течения и характеристик СВЗ при различных режимах дросселирования, сравнение осесимметричных и трехмерных течений.

Методы исследования. В диссертации применяются методы вычислительной гидро- и газодинамики, вычислительной геометрии, методы адаптивных сеток, численные и сеточные методы, методы тензорного исчисления, методы компьютерного моделирования и визуализации.

Достоверность и обоснованность результатов, полученных в работе, обусловлена корректностью постановки задачи, применением математически обоснованных методов ее решения, апробацией при решении тестовых задач, сравнением результатов расчетов с результатами, полученными другими методами, и экспериментальными данными.

Научная новизна:

1) предложена математическая модель нестационарных газодинамических процессов, которая позволяет исследовать установившиеся и неустановившиеся режимы течения газа в областях сложной формы с криволинейными границами;

2) предложен метод ЛАС для решения многомерных задач динамики идеального газа в областях сложной криволинейной формы типа областей каналов СВЗ, включающий в себя компьютерное построение области решения и генерацию трехмерной адаптивной сетки;

3) осуществлена реализация метода ЛАС и разработан программный комплекс, предназначенный для генерации ЛАС, решения задач динамики идеального газа в сложных областях и компьютерной визуализации результатов решения;

4) проведено численное моделирование процессов течения газа в СВЗ, показавшее, что разработанный метод и ПК позволяют как определять распределения параметров течения в каналах сложной формы с многократным отражением косых скачков уплотнения от твердых стенок, так и проводить расчет дроссельной характеристики СВЗ.

Практическая ценность. Разработан программный комплекс, предназначенный для моделирования нестационарных газодинамических потоков в СВЗ и исследования дроссельного эксперимента. Получены результаты численного моделирования течений газа в канале СВЗ при различных режимах дросселирования, построена дроссельная характеристика СВЗ, проведено моделирование течения газа в канале СВЗ с учетом геометрии пилонов канала, исследовано влияние геометрии пилонов на выходные значения газодинамических параметров. На защиту выносятся следующие положения:

• математическая модель многомерных нестационарных газодинамических процессов в областях сложной формы с криволинейными границами;

• метод генерации ЛАС, позволяющий осуществлять компьютерное задание геометрии сложных криволинейных областей типа каналов СВЗ на основе методов интерполяции сплайнами и генерировать адаптивные сетки для таких областей;

• метод решения задач динамики идеального газа в каналах СВЗ на основе ЛАС.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на: общеуниверситетской научно-технической конференции «Студенческая научная весна» (Москва, 2005, 2006 и 2007), научно-технической конференции «Аэрокосмические технологии» (Москва-Реутов, 2005 и 2009), 2-ой международной научной конференции «РКТ-2006» (Москва, 2006), конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Технологии Microsoft в теории и практике программирования. Центральный регион» (Москва, 2006), XIV международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2007» (Москва, 2007), 3-ей международной научной конференции «РКТ-2007» (Москва, 2007), 2-ой и 3-ей научно-методической конференции аспирантов и молодых исследователей «Актуальные проблемы фундаментальных наук» (Москва, 2008 и 2009), семинаре кафедры «Математического моделирования» МЭИ (Москва, 2009).

Публикации. Основные научные результаты диссертации опубликованы в 9 работах, в том числе в 3-х статьях перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий ВАК РФ [1, 2, 3], 5 тезисах докладов [4, 5, 6, 7, 8] и 1-м учебном пособии [9].

Личный вклад соискателя. Все исследования, изложенные в диссертационной работе, проведены лично соискателем в процессе научной деятельности под руководством научного руководителя.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, 4-х глав, заключения, выводов и списка литературы. Полный объем составляет 127 страниц. Библиография включает 105 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность исследуемой проблемы, сформулирована цель и задачи диссертационной работы, перечислены полученные в диссертации новые результаты, их практическая ценность, представлены положения, выносимые на защиту и описана структура диссертации.

В первой главе диссертационной работы приведена концептуальная постановка задачи моделирования газодинамических процессов в СВЗ, представлена разработанная математическая модель течения газа в областях сложной формы с криволинейными границами, получены дивергентный и недивергентный виды записи системы уравнений газовой динамики в криволинейной неортогональной (адаптивной) системе координат; изложен способ приведения этих видов систем к безразмерной форме, а также даны постановки начальных и граничных условий для различных типов границ в векторном и координатном видах.

Рассмотрим 3 типа координат: х1 — декартовы; X* = ХЦх1) — криволинейные (адаптивные); Х'к = Х'к{х*) — ортогональные криволинейные (физические). Как правило, изначально задача газовой динамики ставится в физических координатах, и в этих же координатах требуется получить ее решение.

Введем обозначения: С}^ = дх^дХз, рзг = дХ]/дх\ =

= дх[/дх,к, р,кг = дх'к/дх\ дк} = дх'к/дхз = Р'к,д1}> Р3к =

- дХ*/дХ'к = РЬЯ'1к — якобиевы матрицы преобразований, е* — базис декартовой системы координат, г^ = г* — г'*, = «З'^е,, г>к _ _ локальные базисы, = Г^ • Г; = 0:трЯпФтп, д*1 - г^ ■ г1 = = Р1тР1п5тп, д'ы = Т'к ■ г', = </ы = г • г" = Р'ктР'1п5тп -

метрические матрицы, Я7 = у/^ = • г'7 — параметры Ламе, д = det(5,;J), д' = = (Я1Я2Я3)2 — определители метрических

матриц, V = г* д/дХ* — набла-оператор в криволинейных координатах X*, Гу = г'у/Ву — физический базис, 1Т — символы Кристоффеля

физического базиса:

Щ А,- л а7 _ 1 дна ^

дХ,*-Чо?и 7 Н^дХ"00'

Здесь и далее предполагается, что по совпадающим нижним и верхним латинским индексам идет суммирование, а по греческим индексам суммирования нет. Индексы пробегают значения 1,2,3.

Введем также обозначения для физических параметров задачи: р — плотность газа, £ — время, V = у'ег = ь^г^ = дкг1с — вектор скорости, р — давление: р — рВв, В = Яо/ц — удельная газовая постоянная, До = 8.3144 Дж/(моль • К) — универсальная газовая постоянная, ц — молекулярная масса газа, Е — метрический тензор, е — плотность полной энергии газа: е = сув + |у|2/2, |у|2 = V • V, ¿V — удельная теплоёмкость при постоянном объеме, 9 — температура газа.

Система уравнений динамики идеального сжимаемого нетеплопроводного газа, состоящая из уравнения неразрывности, уравнений движения и уравнения энергии и записанная в векторной форме, имеет следующий вид:

^- + У-(ру®у+рЕ) = 0, (1)

Дивергентный вид системы уравнений (1) в адаптивных криволинейных координатах получается на основании записи основных дифференциальных операторов, участвующих в (1), непосредственно адаптивных координатах X*. Если ввести координатные столбцы (комплексы): 11' = [у/др, V" = [^ргРР^, + +рдъР^), у/д{рьЧ + т/д{ру3уг ¿ду1Р^{р£+р)}, то дивергентный вид системы уравнений (1) может быть записан следующим образом:

аи7 дМ'] „

~~дГ + ¿Ш = (2)

Недивергентный вид системы уравнений (1) в адаптивных координатах получается из записи (1) в физических координатах Х'к и переходом к дифференцированию по адаптивным координатам при помощи матрицы Р:

а,0=1

где и = Vя - №ргР/На,

V?Дв2/Яa, ^ (ре + р) /На]\

№ = +рб°С-, \У = [О, £ £ '

а,/3=1 «,/3=1

¿^^гуя^о]. <1,0=1

Система (1) дополняется следующими граничными условиями:

1) на границе, являющейся жесткой стенкой, задается условие непротекания: V - п = 0, где п — вектор внешней нормали к поверхности;

2) на входной сверхзвуковой границе ставятся условия: р = рн, V = ун, р = рн, где ри, ун, рн — известные параметры набегающего потока;

3) на выходной сверхзвуковой границе граничные условия не задаются, а на дозвуковой задается одно условие, например, для давления: р = рд, где рд — заданное выходное давление. При моделировании дроссельного эксперимента в СВЗ предполагается, что в начальный момент времени дроссельная заслонка полностью закрыта (граница жесткой стенки). После открытия дроссельной заслонки в канале СВЗ устанавливается режим дросселирования, задаваемый противодавлением (давлением в выходном сечении) рд;

4) на границе, которая представляет собой плоскость симметрии расчетной области V и задачи (1), ставятся условия: др/дп = 0; V • п = 0; дут,/дп = 0, I = 1,2; др/дп=0, где: д/дп — п • V; ит, = V • т/, т/ — касательные векторы (г/ - п = 0).

Начальные условия к системе (1) имеют вид: р(0,х) = р3{х), V (0, х) = ^(х), р(0,х) = р.,(х), где рв(х), уДх), р4(х) — известные начальные параметры потока, х — радиус-вектор точки области V.

Система уравнений (2), (3) приводится к безразмерному виду при помощи характерных значений функций: хо, XI, Х'ц, г>о. и = Хо/ио, ро, 0о> й> = Ро^о» ео = «о. сУ0 = уЦб0.

Вторая глава диссертационной работы посвящена разработке метода ЛАС для областей сложной формы с криволинейными границами типа областей каналов СВЗ. Изложен способ генерации ЛАС для областей сложной формы. Представлен способ модификации конечно-разностной схемы типа Мак-Кормака, численной аппроксимации граничных и начальных условий для адаптивных сеток.

Рассмотрим криволинейный блок Уь представляющий собой замкнутую область в К3, ограниченную шестью гладкими поверхностями в, Ъ, с, ё, е, / (рис. 1), заданными в параметрическом виде:

х^4(Х\Х2), х' = хЦХ\Х3), х* = х,с(Х1,Х2), з* = зЪ(Х\Х3), х' = х\{Х\Хг\ х' = х)(Х2,Х3).

X3

f к4У

Щ с f

ш

X

Рис. 1. Преобразование криволинейного блока Vк в параллелепипед Щ

Для компьютерного построения функций (4) применяется интерполяция бисплайнами. В работе рассматривается построение линейных и кубических бисплайнов. Бисплайн строится по заданным (ЛГ+1)(М + 1) опорным точкам граничной поверхности криволинейного блока, для которых известны их декартовы х'ЗК и адаптивные (параметрические) ко-

ординаты: Х% Х|, Х\ где J = 0,1,..., N, К = 0,1,..., М, Ха, X>в -

адаптивные координаты, изменяющиеся вдоль граничной поверхности, а X7 = const — фиксированная координата, выделяющая конкретную граничную поверхность в блоке.

Рассмотрим адаптивную систему координат Xj, в которой каждая часть границы рассматриваемой области является координатной поверхностью, и найдем преобразование криволинейного блока V/t в координа-

тах хг в прямоугольный параллелепипед ГЦ = [Х^, Х^] х [Х^п, Х2;У х х[Х^п,Х^] в координатах Xз (рис. 1): х* = В диссертации

получен следующий явный вид этих формул, базирующийся на методе трансфинитной интерполяции:

Г(Х\Х2,Х3) = Р'(Х\Х2,Х3) - [1 - a(Jf1)][Pi(X^IX2,X3)--4(Х2,Х3)] -а(Х!)[Рг(Х^х,Х2,Х3) -4(Х2,Х3)],

Положим, что прообраз расчетной области V в координатах X' представляет собой область П, составленную из совокупности параллелепипедов Щ, к = 1,2,...,К. Примером такого типа областей являются области течения газа в СВЗ. Поскольку рассматриваются только

Р*(Х\ X2, X3) = V(X\X2, X3) - [1 - а(Х2)] [Г (X1,X2fn, X3)--4(XU3)] -а(Х2)[Г(Х\Х^,Х3) -х^Х3)), Г(Х\Х2,Х3) = (1 -а(Х3))4(Х1,Х2) + а(Х3К(Х1,Х2),

max

(5)

ограниченные в R3 области, то существуют числа X3mia, пред-

ставляющие собой габариты области П. Для области параллелепипеда п = Kin.^iJ X х [^mm.^max] регулярная разностная сетка

р = 0,1,..., тг, q = 0,1,..., m, s = 0,1,..., I вводится тривиальным образом. Узлы, попавшие в параллелепипед П, но не принадлежащие области П, исключаются из дальнейшего рассмотрения.

Отличительной особенностью алгоритма генерации сетки является то, что для узлов разностной сетки вводится единая сквозная нумерация (сетка при этом описывается ленточным образом): Xгде т] = 0,..;, {п + 1)(т + 1)(/ + 1) - 1. Такой одноин-дексный способ перечисления узлов разностной сетки для, области, составленной из параллелепипедов, значительно эффективней чем традиционный трехин-дексный. При генерации сетки для каждого узла г), находятся номера узлов {Fn, Вп, Щ, Ln, Д,), являющихся соседями данного узла по всем координатным направлениям (см. рис. 2).

Воспользовавшись преобразованиями (5) для введенной разностной сетки в координатах можно получить ее образ — адаптивную сетку в координатах хг, а также вычислить якобиевы матрицы Q'j, Pji. Преобразование (5) относится к типу лагранжевых граничных интерполяций (отсутствуют ограничения на граничные значения производных от функций (4)). Преобразования с ограничениями на производные на границах блоков для многих практически важных случаев геометрических областей оказываются алгоритмически трудно реализуемыми. Поэтому в таких случаях используется недивергентная система (3) с ЛАС, построенной по методу (5).

В качестве разностной схемы для систем уравнений (2) и (3) использовалась разностная схема типа Мак-Кормака, обладающая высокой вычислительной эффективностью и состоящая из четырех шагов. Для системы уравнений (3) с учетом введенных обозначений разностная схема имеет следующий вид: Шаг 1 (предиктор):

3 \гк,т _лгк.т

иГ1/2 = и? -* Е yi у: pj

(F4, если j = 1;

R^, если j = 2;

U4, если j = 3.

Рис. 2. Узел разностной сетки с шестью соседни-

ми узлами

Шаг 2 (корректор):

1 г д ± 3 vk,m+1/2 vfc,m+1/2

иг1 = 5 [иг1/2 + и?] - т £

(В,, если j = 1;

L„, если j = 2;

D„ если j = 3.

Шаг 3 (учет правой части): U™+1 = U™+1 - AiW .

з

Шаг 4 (искусственная вязкость): TJ™+1 = U™+1 + £ (U™),

j=i

где: Cij (U™) = U™+ - 2U™ + — коэффициенты искусственной

вязкости.

Данная разностная схема обеспечивает второй порядок точности аппроксимации. Чтобы сохранить второй порядок точности и при расчёте значений в граничных_ узлах, вводятся «фиктивные» узлы, принадлежащие границе области V, отличающейся от области V дополнительным слоем ячеек сетки, а также целочисленные операторы A(rj), г] € dVUdV и 2(г}) = А2(??), rj е 9V, где

¡Br,, V € е; Fn, 77 € /;

Lv, rjeb; R,„ r] G d;

Dn, r? € c; Uv, rje a.

Аппроксимация граничных условий имеет следующий вид:

1) граничные значения для функций на границе непротекания аппроксимируются следующим образом: рп = pz{ny, vT,v = z(j?)> I = 1>2; Vnn = ~vnZ(n)' Pv = PZ(j,)'>

2) граничные значения для функций на входной сверхзвуковой границе аппроксимируются так: р„ = 2pu-pz(vy, ^ = 2v3H-v,z(v)] pv = 2pH-pz(v)\

3) на выходной дозвуковой границе используется следующая аппроксимация: рп — Pz{j])\ vij = Р?) — 2р9 — Pz(tj)- А на выходной сверхзвуковой - следующая: рц = рад; v3n = Р^ = Pzfr);

4) условия симметрии дают все необходимые соотношения для граничных функций и их разностная аппроксимация имеет вид:

1 Ьщ) - ЦАМ) „2 ЦА(,;)) - ftl(A(t,)) „3 ~ ^Р(А(г,)) _ п.

uTi yl VI 'S у"! V2 'S УЗ УЗ ~ и>

^F(A(,)) ЛВ<А(„)) R(A(»))) — L(A(ij)) AU(AW) ~ AD(A(^))

Vnr, = -vnz(7?); h = {p,vT[,p}; I = 1,2.

Рис. 3. Блок-схема алгоритма вычислений по методу ЛАС

Третья глава диссертации посвящена описанию работы основных модулей разработанного ПК, реализующего описанные во второй главе методы компьютерной генерации областей и ЛАС. Рассмотрена архитектура ПК, основные использованные алгоритмы. Приводится блок-схема алгоритма вычислений (рис. 3).

ПК позволяет проводить моделирование двумерных плоских, осе-симметричных и трехмерных течений газа в декартовых и цилиндрических системах координат. ПК имеет структуру, подобную общим системам обеспечения газодинамических расчетов. Он состоит из модуля трехмерного геометрического моделирования для задания облика конструкций, модуля задания свойств, параметров начальных и граничных условий, генератора адаптивной сетки (препроцессора), расчетного модуля (процессора); имеется поддержка интеграции с программами постпроцессорной обработки данных. Каждый модуль является независимым программным продуктом, реализованным с помощью объектно-ориентированного подхода, и поддерживает возможность создания расширений.

Модуль препроцессора имеет графический интерфейс, позволяющий визуально создавать геометрические образы, выделять границы и области для последующего задания на них граничных и начальных условий, запускать процесс генерации сетки. Графическая среда позволяет

создавать заготовку исходной области из блоков (примитивов) и затем модифицировать ее, приближая к форме реальной поверхности расчетной области. Такой способ позволяет избежать этапа разбиения геометрии на криволинейные блоки, поскольку полученные «деформированные» примитивы уже будут представлять собой криволинейные блоки.

С каждым примитивом связан определенный набор характеристик: тип начального условия в области, типы граничных условий, габариты примитива в адаптивных и физических координатах. На основании данных характеристик генератор сетки проводит распределение сеточных линий и заполняет соответствующие параметры в узлах ЛАС.

Расчетный модуль позволяет проводить расчет систем (2) и (3) методом Мак-Кормака на сгенерированной ЛАС. Модуль поддерживает возможность ведения расчета до определенного момента времени, сохранения результатов расчёта через заданные интервалы времени и возобновления расчета с сохраненного состояния. Вывод результатов может производиться целиком для всей расчетной области, а также в отдельных сечениях и точках.

В четвертой главе представлены постановки и решения тестовых задач, приведены результаты численного моделирования течений в СВЗ и их описание.

Для апробации разработанного программного комплекса и оценки качества численного метода были проведены расчеты задач распада разрыва, двумерных тестовых задач течения газа в канале со ступенькой и распространения ударной волны в канале клинообразной формы. Сравнение полученных процессов распространения разрывов и волн с аналитическими решениями (рис. 4), а также с решениями, полученными другими численными методами, показало достаточно высокую точность расчётов пространственных распределений и скоростей распространения разрывов, а также взаимодействий набегающих и отражённых ударных волн с твердой поверхностью.

При численном моделировании газодинамических процессов в канале СВЗ ставились задачи построения дроссельной характеристики СВЗ на заданном режиме, исследования торможения потока в системе скачков во входной части канала и оценка влияния геометрии пилонов СВЗ на характер течения. Задачи рассматривались в цилиндрической системе координат: X'1 = г, X'2 - у, X'3 = 2.

Р 0.8 0.6 0.4 0.21_

' 0.2 0.4 0.6 0.8 х1 Рис. 4. Распределения плотности для задачи об ударной трубе а = 0.25)

\

\

\

1* .....|.М,И..ТТГГТТТТ,,,|тт,,,.гТг„,,,,.,Ттг,......,........<|........I.........I........I

-0.367 0.0977 0.562 1.03 1.49 1.96

2.42 2.88

11666 41790 71915 102039 132164 162288

а) давление р [Па]

0.312

0.024 -^ГГи.н-............

-0.367 0.0977

0.562

1.03 1.49 1.96 2.42

2.88

206

400

б) температура, 9 [К]

595

-359

-203

-48

108

263

419

в) радиальная скорость уг [м/с] Рис. 5. Распределения параметров в режиме рд/рн = 12 (Ь = 73.07 мс)

Дроссельный эксперимент заключался в проведении серии расчетов осесимметричных течений в двумерной (осесимметричной) области V, представляющей собой одно из угловых сечений канала СВЗ, для последовательно увеличивающихся значений противодавления: рд/рн = 9, 10, 11, 12, 13 и 14 вплоть до выхода на режим, когда прямой скачок выходил из входного сечения канала. Также был рассмотрен режим свободного выхода потока из канала, когда выходное давление рд не фиксировалось.

Расчеты были выполнены для следующих параметров набегающего потока газа: рн = 0.195 кг/м3, угн = 0 м/с, угя = 767 м/с, рн = 12112 Па. Начальные условия в области V имели вид: ро = 0.195 кг/м3, г/го = 0 м/с, г;го = 0 м/с, ро = 12112 Па. Форма границы входа потока выбиралась после предварительных расчетов из условия того, что в область V попадает отошедшая ударная волна. Сетка содержала 51 727 узлов.

Процессы установления параметров и стабилизации положения замыкающего прямого скачка носили колебательный характер, затухание которых происходило тем медленнее, чем больше было заданное противодавление рд в выходном сечении СВЗ. В режиме свободного выхода потока установление наступало через 26.7 мс, прямой скачок в канале

не формировался и поток в выходном сечении оставался сверхзвуковым. В режимах с дросселированием рд/рн = 9,10 прямой скачок устанавливался в области диффузора канала, время установления составляло 33-35 мс; при рд/рн = 11,12 установление прямого скачка происходило в области горла канала (рис. 5) через 70-75 мс. В режиме рд/рн = 13 прямой скачок устанавливался в начальной части горла канала за время 92.4 мс. Таким образом, времена установления газодинамических параметров в канале для расчетных режимов могут возрастать в несколько раз по сравнению с временами установления режимов с малым дросселированием, а также при отсутствии дросселирования.

При дальнейшем повышении противодавления в выходном сечении канала на режиме рд/ря — 14 прямой скачок выходил из канала в область внешнего обтекания. Далее течение носило колебательный характер с возрастающей амплитудой колебаний. Выхода на установившийся режим не происходило, наблюдался эффект помпажа.

На дроссельной характеристике (рис. 6) представлено распределение коэффициента восстановления полного давления а = Род/Рон в зависимости от значений коэффициента расхода / = Рц/Ее, где Я,, .Ре — площади поперечного сечения струи на бесконечности перед СВЗ и во входном сечении канала СВЗ соответственно. Сопоставление результатов численного моделирования и экспериментальных данных позволяет говорить о достаточно хорошей точности численного моделирования: относительная погрешность составила не более 2% при сравнении данных по значению коэффициента расхода /.

С целью выяснения детальной картины течения на входе в канал СВЗ было проведено моделирование течения газа в областях внешнего обтекания и входа в канал.

На рис. 7 приведены линии равных плотностей, соответствующие установившемуся режиму течения (£ = 6.98 мс) без дросселирования, они получены на сетке с 41 258 узлами. Полученные результаты показали, что после перехода на более мелкую сетку для области входа в канал происходит существенное уменьшение зоны размазывания скачков и «выявление» новых скачков внутри канала.

В реальных конструкциях СВЗ, из-за наличия пилонов в канале происходит формирование трехмерного неосесимметричного течения.

0.6

0.55

0.5

»

1 •

»

■

•

»

0.4 0.6 0.8 /

♦ — численное решение

• — экспериментальные

данные

Рис. б. Дроссельная характеристика

Рис. 7. Изолинии плотности р в области входа в канал

.-'■'-йЙЙЁЁ;

.''.'хзэвашвммнвнн - I I пич————■—■

10790 69250 127703 205 438 671

а) давление р [Па] б) температура, 9 [К]

Рис. 8. Результаты моделирования трехмерного течения (4 = 5.1 мс)

Для моделирования трехмерных эффектов, как и при исследовании течения во входной части канала, использовалась область усеченной геометрии канала (см. рис. 7).

Предполагалось, что центральное тело СВЗ закреплено с помощью трех пилонов, отстоящих равномерно друг от друга. При численном моделировании рассматривался участок симметрии, образованный лучами ф — 0 и (р = 120°. Сетка содержала 154 327 узлов.

В результате моделирования получено, что при обтекании пилонов образовывались локальные участки повышенных значений плотности и давления (рис. 8,а) во всей области сужения канала; пилоны затормаживали осевое течение, образовывалось небольшое угловое течение. В непосредственной близости у границ пилонов резко возрастала температура (рис. 8,6).

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Построена математическая модель комбинированных нестационарных газодинамических процессов в областях сложной формы с криволинейными границами.

2. Разработан метод ЛАС для решения многомерных нестационарных задач динамики идеального газа в областях сложной формы типа каналов сверхзвуковых воздухозаборников.

3. Разработан программный комплекс, реализующий предложенный метод ЛАС, для решения задач газовой динамики в областях сложной криволинейной формы.

4. Проведены тестовые исследования разработанного метода и программного комплекса при решении задач о распаде разрыва, обтекании ступеньки и клина, показавшие хорошее совпадение с известными аналитическими и численными решениями.

5. Проведено двумерное и трехмерное численное моделирование течения газа в сверхзвуковом воздухозаборнике, которое показало, что разработанный метод ЛАС и программный комплекс позволяют получать распределения параметров течения газа в сверхзвуковых воздухозаборниках и определять их дроссельные характеристики. Сравнение с экспериментальными данными показало достаточно хорошую точность расчетных данных на дроссельной характеристике.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОТРАЖЕНЫ В РАБОТАХ

1. Численное моделирование трехмерных газодинамических процессов в камерах сгорания РДДТ па основе метода геометрически-адаптивных сеток / Ю.И. Димитриенко, С.Г. Изотова, С.Н. Ануфриев, A.A. Захаров // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Естественные науки. 2005. №3. С. 45-58.

2. Димитриенко Ю.И., Захаров A.A. Разработка метода ленточных адаптивных сеток для решения трехмерных задач течения газов в воздухозаборниках // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Естественные науки. 2006. №3. С. 44—56.

3. Димитриенко Ю.И., Захаров A.A. Автоматизированная система для моделирования газовых потоков методом ленточных адаптивных сеток // Информационные технологии. 2009. №6. С. 12-16.

4. Ануфриев С.Н., Дзагания А.Ю., Захаров A.A. Применение технологий Microsoft для численного моделирования многомерных нестационарных газодинамических процессов // Технологии Microsoft в теории и практике программирования: Труды Всероссийской конференции студентов, аспирантов и молодых ученых. М„ 2006. С. 50-52.

5. Метод ленточно-адаптивных сеток для моделирования многомерных нестационарных газодинамических процессов в двигательных системах ракетной техники / Ю.И. Димитриенко, С.Н. Ануфриев, A.A. Захаров, JI.JI. Кукленков // Ракетно-космическая техника. Фундаметальные и прикладные проблемы механики: Материалы Международной конференции, посвященной 90-летию В.И. Феодо-сьева. М„ 2006. С. 75.

6. Моделирование многомерных нестационарных газодинамических процессов методом ленточно-адаптивных сеток / A.A. Захаров, С.Н. Ануфриев, А.И. Левина, А.Ю. Дзагания // Материалы докладов XIV Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов 2007». М., 2007. С. 30.

7. Захаров A.A. Математическое моделирование многомерных газодинамических процессов в канале воздухозаборника СПВРД методом ленточно-адаптивных сеток // Актуальные проблемы фундаментальных наук: Сборник трудов 2-ой научно-методической конференции аспирантов и молодых исследователей. М., 2008. С. 91—95.

8. Захаров A.A. Разработка метода ленточных адаптивных сеток для численного моделирования газовых потоков в сверхзвуковых воздухозаборниках // Актуальные проблемы фундаментальных наук: Сборник трудов 3-ей научно-методической конференции аспирантов и молодых исследователей. М., 2009. С. 18—21.

9. Димитриенко Ю.И., Захаров A.A. Метод ленточных адаптивных сеток в газовой динамике. М.: Изд-во НТЦ Университетский, 2008. 175 с.

Подписано к печати 14.09.09. Заказ № 546 Объем 1,0 печл. Тираж 100 экз. Типография МГТУ им. Н.Э. Баумана 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д.5 (499) 263-62-01

Введение

1. Математическая модель нестационарных газодинамических процессов в областях сложной формы с криволинейными границами

1.1. Концептуальная постановка задачи моделирования газодинамических потоков в сверхзвуковых воздухозаборниках

1.2. Математическая постановка задачи трехмерного моделирования газодинамических процессов.

1.3. Постановка граничных и начальных условий.

1.4. Приведение системы уравнений газовой динамики к дивергентному виду в адаптивной системе координат

1.5. Система уравнений газовой динамики в недивергентном виде в адаптивной системе координат.

1.6. Обезразмеривание систем уравнений газовой динамики

1.7. Граничные и начальные условия в адаптивных координатах

2. Разработка метода ленточных адаптивных сеток для моделирования газовых потоков в областях сложной формы с криволинейными границами

2.1. Построение адаптивной сетки для криволинейного блока

2.2. Интерполяция бисплайнами границ криволинейных областей

2.3. Метод построения произвольной криволинейной области

2.4. Генерация адаптивной сетки для произвольной криволинейной области.

2.5. Вычисление производных в адаптивной системе координат

2.6. Конечно-разностная аппроксимация производных для адаптивных сеток

2.7. Разностные схемы для уравнений газовой динамики в методе ленточных адаптивных сеток.

2.8. Аппроксимация и устойчивость разностной схемы типа Мак-Кормака.

2.9. Консервативность схем типа Мак-Кормака.

2.10. Численная аппроксимация граничных условий в адаптивных координатах.

2.11. Численная аппроксимация граничных условий со вторым порядком точности.

Разработка программного комплекса для генерации ленточных адаптивных сеток и решения задач газовой динамики

3.1. Архитектура программного комплекса

3.2. Создание геометрии расчетной области.

3.3. Задание типов граничных и начальных условий

3.4. Генерация сетки.

3.5. Описание работы расчетного модуля

4. Численное моделирование газовых потоков в сверхзвуковых воздухозаборниках на основе метода ленточных адаптивных сеток

4.1. Одномерные тестовые задачи: задача о распаде разрыва

4.2. Двумерные тестовые задачи

4.3. Результаты численного решения задачи торможения невязкого газа в осесимметричном канале воздухозаборника

4.4. Построение дроссельной характеристики воздухозаборника

4.5. Результаты моделирования трехмерного течения в воздухозаборнике

Объект исследования и актуальность темы. В настоящее время для численного моделирования в газовой динамике применяются как коммерческие расчетные пакеты (получившие общее название Computer Aided Engineering - CAE-системы, например: STAR-CD, ANSYS ICEM CFD, FLOTRAN, FLUENT, PHOENICS, Flow Vision, GasDynamicsTool), так и собственные разработки компаний, занимающихся проектированием изделий, а также разработки университетов и научно-исследовательских институтов. Основная причина, почему коммерческие пакеты не вытеснили собственные разработки компаний, по-видимому, заключается в том, что универсальные методы вычислений, заложенные в коммерческие продукты, не гарантируют точности вычислений при решении сложных задач, которые не тестировались разработчиками. Хорошо известно, что ни один из вычислительных методов не обладает абсолютными преимуществами по качеству получаемого решения и не является универсальным, пригодным для всего широкого набора задач газовой динамики. Узкоспециализированные программы позволяют добиваться превосходства над более универсальными пакетами типа FLUENT, PHOENICS, ANSYS ICEM CFD и т.д. как в вычислительном аспекте (быстродействие и требуемые ресурсы компьютера), так и с точки зрения удобства использования программ. Из недостатков крупных коммерческих пакетов также можно выделить сложность их освоения.

Преобладающей тенденцией для программных средств по вычислительной механике твердого и жидкого тела, согласно [42], является все большее включение нелинейных алгоритмов и более богатый инструментарий по моделированию нестационарных (transient), динамических процессов. В [42] общие требования, предъявляемые к любому продукту на современном рынке, формулируются как: «минимизация временных затрат при максимальном количестве принятых инженерных решений и максимальной всесторонности и глубине анализа». Однако, постоянно возрастающая сложность подобных задач требует использования все более мощных компьютеров. В этой связи требуется постоянно совершенствовать вычислительные алгоритмы.

В последнее время активно развиваются методы адаптивных сеток, в которых важнейший элемент всех численных методов — разностная сетка — выбирается согласованно с границами расчетной области задачи газовой динамики, то есть для нее каждая часть границы рассматриваемой области является координатной поверхностью (геометрически-адаптивные сетки); а иногда даже изменяется в ходе решения, изменяя свою «разрешающую способность» в зонах, где параметры газового потока меняются наиболее интенсивно (динамически-адаптивные сетки). Преимущество адаптивных сеток заключается в согласованности сетки с линиями тока и, соответственно, с характером течения. Научные исследования с помощью адаптивных сеток ведутся весьма активно. Хорошо известны работы по методам построения адаптивных сеток и численному моделированию с их помощью: Годунова С.К. [8, 26, 27], Забродина А.В. [8, 19, 27], КрайкоА.Н. [27, 57],

ПрокоповаГ.П. [8, 26, 27, 75, 76, 77], Воскресенского Г.П. [6, 7, 19], БабенкоК.И. [6, 7, 8], Белоцерковского О.М. [11, 12, 13], Гильмано-ваА.Н. [23, 24, 25], ТишкинаВ.Ф. [14, 21], ЛисейкинаВ.Д. [62, 63, 64], ИваненкоС.А. [2, 49, 50, 51], БурагоН.Г. [17], АйсманаП.К. [96, 97], Эриксона Л.Э. [100], Томпсона Дж.Ф. [102, 103], Смита P.E. [100], Андерсона Д. А. [4] и многих других.

Существующие научные работы, в которых используются методы адаптивных сеток, в основном посвящены либо методам генерации таких сеток, без детального рассмотрения алгоритмов компьютерного задания расчетной области и рассмотрения работы с такими сетками при численном решении задач газовой динамики в сложных многомерных областях; либо описанию решений конкретных задач газовой динамики, без детализации процесса построения расчетной сетки, предполагая ее уже построенной. Здесь одной из важных и нерешенных проблем, как сказано в [63], является проблема создания алгоритмов разбиения областей со сложной границей на криволинейные блоки. Такой процесс разбиения сложных областей на блоки пока что не автоматизирован. Одним из путей преодоления данной проблемы является предлагаемый в работе метод «обратного» построения области, когда она изначально строится из криволинейных блоков (примитивов).

Примером сложных многомерных областей с криволинейными границами могут являться области течения газа в каналах сверхзвуковых и гиперзвуковых воздухозаборников. Традиционно, процесс проектирования воздухозаборников опирался на теорию квазиодномерных течений [1, 16] и эксперимент. Однако, вследствие больших материальных затрат, возможности для экспериментальных отработок новых конструкций в настоящее время сокращаются. Квазиодномерные формулы полезны для понимания взаимосвязи между производительностью двигателя и газодинамическими параметрами потока, оценок пределов производительности реальных двигателей и получения начальных рекомендаций для проектирования. Однако, они, в общем, не дают результатов количественного характера, потому что в них не включается влияние многомерных газовых взаимодействий в воздухозаборнике.

Таким образом, для отечественной аэрокосмической промышленности, имеет особое значение разработка эффективных методов и средств численного моделирования для изучения особенностей поведения изделий и оценки их аэродинамических характеристик. В существующих методах численного расчёта течений газа в воздухозаборниках как правило проводят либо раздельный расчет внешней и внутренней области течения [58, 93], что может приводить к большим погрешностям расчёта; либо в расчетах используется стационарная схема [1, 27], не позволяющая моделировать эффекты дросселирования; либо расчет начинается с явного выделения первой ударной волны от носовой части воздухозаборника специальным алгоритмом [1, 58], что также может являться достаточно трудоемкой задачей. Во всех случаях становится невозможно смоделировать явление помпажа в канале. В работах [54, 74] расчет производился в областях неосесимметричных воздухозаборников простой формы с прямолинейными границами, в работах [1, 24] рассматривались осесимметричные воздухозаборники сложной формы с прямолинейными границами; в работе [93] моделирование проводилось для гиперзвуковых осесимметричных воздухозаборников сложной формы с криволинейными границами. Во всех работах внутренние области течения ограничиваются областью горла воздухозаборника. Кроме того, в большинстве работ используется двумерная постановка задачи, что сокращает область применения методов двумерными или осесимметричными течениями. Расчеты же с помощью коммерческих программных пакетов как правило основываются на нерегулярных сетках или регулярных прямоугольных сетках.

В связи с вышеизложенным, целью диссертационной работы является разработка математической модели, численного метода и программного комплекса для исследования течений газа в областях сложной формы с криволинейными границами типа областей каналов сверхзвуковых воздухозаборников, которые учитывают комбинированное (внутреннее и внешнее) течение, позволяют вести расчет с заранее неизвестной формой ударных волн и условий на скачках и позволяют исследовать нестационарные неустановившиеся режимы.

В соответствии с целью исследования были поставлены следующие конкретные задачи:

1) разработка математической модели комбинированного нестационарного течения газа в областях сложной формы с криволинейными границами;

2) разработка метода ленточных адаптивных сеток для расчёта многомерных нестационарных газодинамических процессов в областях сложной криволинейной формы типа областей каналов сверхзвуковых воздухозаборников;

3) разработка программного комплекса на основе алгоритма метода ленточных адаптивных сеток;

4) проведение численного моделирования течений газа в сверхзвуковом воздухозаборнике. Определение параметров течений и характеристик воздухозаборника при различных режимах дросселирования; сравнение осесимметричных и трехмерных течений.

Методы исследования. В диссертации применяются методы вычислительной гидро- и газодинамики, вычислительной геометрии, методы адаптивных сеток, численные и сеточные методы, методы тензорного исчисления, методы компьютерного моделирования и визуализации.

Научная новизна:

1) предложена математическая модель нестационарных газодинамических процессов в сверхзвуковых воздухозаборниках, которая позволяет исследовать установившиеся и неустановившиеся режимы течения газа в областях сложной формы с криволинейными границами;

2) предложен метод для решения многомерных задач динамики идеального газа в областях сложной криволинейной формы типа областей каналов сверхзвуковых воздузаборников, включающий в себя компьютерное построение области решения и генерацию трехмерной адаптивной сетки;

3) осуществлена реализация метода ленточных адаптивных сеток и разработан программный комплекс, предназначенный для генерации ленточных адаптивных сеток, решения задач динамики идеального газа в сложных областях и компьютерной визуализации результатов решения;

4) проведено численное моделирование процессов течения в сверхзвуковом воздухозаборнике, показавшее, что разработанный метод и программный комплекс позволяют как определять распределения параметров течения в каналах сложной формы с многократным отражением косых скачков уплотнения от твердых стенок, так и проводить расчет важных для практического применения дроссельных характеристик воздухозаборников.

Личный вклад автора заключается в:

1) разработке математической модели комбинированного течения газа в областях сложной формы типа областей каналов сверхзвуковых воздухозаборников;

2) разработке методов генерации ленточных адаптивных сеток в трехмерных областях с криволинейными границами;

3) разработке численных алгоритмов метода ленточных адаптивных сеток;

4) программной реализации метода ленточных адаптивных сеток;

5) проведении численного моделирования процессов течения газа в многомерных областях типовых геометрий сверхзвуковых воздухозаборников.

Практическая ценность. Разработан программный комплекс, предназначенный для моделирования нестационарных газодинамических потоков в сверхзвуковых воздухозаборниках и исследования дроссельного эксперимента. Получены результаты численного моделирования течения газа в канале сверхзвукового воздухозаборника на режимах дросселирования, построена дроссельная характеристика воздухозаборника, проведено моделирование течения газа в канале воздухозаборника с учетом геометрии пилонов канала, исследовано влияние геометрии пилонов на выходные значения газодинамических параметров. На защиту выносятся следующие положения:

• математическая модель многомерных нестационарных газодинамических процессов в областях сложной формы с криволинейными границами;

• метод генерации ленточных адаптивных сеток, позволяющий осуществлять компьютерное задание геометрии сложных областей типа каналов сверхзвуковых воздухозаборников на основе методов интерполяции сплайнами, а также генерировать адаптивные сетки для таких областей;

• метод решения задач динамики идеального газа в каналах сверхзвуковых воздухозаборников на основе ленточных адаптивных сеток.

Обоснованность и достоверность результатов обусловлена корректностью постановки задачи, применением математически обоснованных методов ее решения, апробацией при решении тестовых задач, сравнением результатов расчетов с результатами, полученными другими методами, и экспериментальными данными.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на: общеуниверситетской научно-технической конференции «Студенческая научная весна» (Москва, 2005, 2006 и 2007), научно-технической конференции «Аэрокосмические технологии» (Москва-Реутов, 2005 и 2009), 2-ой международной научной конференции «РКТ-2006» (Москва, 2006), конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Технологии Microsoft в теории и практике программирования. Центральный регион» (Москва, 2006), XIV международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2007» (Москва, 2007), 3-ей международной научной конференции «РКТ-2007» (Москва, 2007), 2-ой и 3-ей научно-методической конференции аспирантов и молодых исследователей «Актуальные проблемы фундаментальных наук» (Москва, 2008 и 2009), семинаре кафедры «Математического моделирования» МЭИ (Москва, 2009).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 9 работах, в том числе в 3-х статьях перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий ВАК РФ [34, 36, 38], 5 тезисах докладов [5, 35, 45, 46, 47] и 1-м учебном пособии [37].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 4-х глав, заключения и списка литературы, содержащего 105 наименований, включая работы автора. Общий объем работы — 127 страниц.

Основные выводы и результаты работы

1. Построена математическая модель комбинированных нестационарных газодинамических процессов в областях сложной формы с криволинейными границами.

2. Разработан метод ленточных адаптивных сеток для решения многомерных нестационарных задач динамики идеального газа в областях сложной формы типа каналов сверхзвуковых воздухозаборников.

3. Разработан программный комплекс, реализующий предложенный метод ленточных адаптивных сеток, для решения задач газовой динамики в областях сложной криволинейной формы.

4. Проведены тестовые исследования разработанного метода и программного комплекса при решении задач о распаде разрыва, обтекании ступеньки и клина, показавшие хорошее совпадение с известными аналитическими и численными решениями.

5. Проведено двумерное и трехмерное численное моделирование течения газа в сверхзвуковом воздухозаборнике, которое показало, что разработанный метод ленточных адаптивных сеток и программный комплекс позволяют получать распределения параметров течения газа в сверхзвуковых воздухозаборниках и определять их дроссельные характеристики. Сравнение с экспериментальными данными показало достаточно хорошую точность расчетных данных на дроссельной характеристике.

1. Азарёнок Б.Н., Иваненко С.А. О применении адаптивных сеток для численного решения нестационарных задач газовой динамики // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2000. Т. 40, № 9. С. 1386-1407.

2. Амосов A.A., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров. М.: Высшая школа. 1994. 544 с.

3. Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен. В 2 т. М.: Мир. 1990. Т.1. 384 е.; Т.2. 392 с.

4. Бабенко К.И., Воскресенский Г.П. Численный метод расчета пространственного обтекания тел сверхзвуковым потоком газа // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1961. Т. 1, № 6. С. 1051-1060.

5. Пространственное обтекание гладких тел идеальным газом /К.И. Бабенко и др. М.: Наука. 1964. 505 с.

6. Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов задач математической физики /К.И. Бабенко и др. М.: Наука. 1979. 296 с.

7. Бабенко К.И. Основы численного анализа. Москва-Ижевск: НИЦ Регулярная и хаотическая динамика. 2002. 848 с.

8. Численные методы в задачах физики быстропротекающих процессов /A.B. Бабкин и др. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана. 2006. 520 с.

9. Белоцерковский О.М., Давыдов Ю.И. Метод крупных частиц в газовой динамике. М.: Наука. 1982. 391 с.

10. Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред. М.: Физматлит. 1994. 442 с.

11. Белоцерковский О.М., Опарин A.M., Чечеткин В.М. Турбулентность: новые подходы. М.: Наука. 2003. 286 с.

12. Богомолов K.J1., Дегтярев Л.М., Тишкин В.Ф. Вариационный метод построения высокоаспектных регулярных адаптивных сеток // Математическое моделирование. 2001. Т. 12, № 5. С. 11-28.

13. Бондаренко Ю.А., Башуров В.В., Янилкин Ю.В. Математические модели и численные методы для решения задач нестационарной газовой динамики. Обзор зарубежной литературы. Саров. 2003. 53 с. (Препринт РФЯЦ-ВНИИЭФ, № 88).

14. Бондарюк М.М., Ильяшенко С.М. Прямоточные воздушно-реактивные двигатели. М.: Государственное издательство оборонной промышленности. 1958. 392 с.

15. Бураго Н.Г. Численное решение задач МСС с подвижными границами раздела: дис. .докт.физ.-мат.наук. М., 2003. 222 с.

16. Вабищевич П.Н. Вычислительные методы математической физики. Стационарные задачи. М.: Вузовская книга. 2008. 196 с.

17. Воскресенский Г.П., Забродин А.В. Некоторые вопросы численного моделирования сверхзвукового обтекания летательных аппаратов // Успехи механики. 1989. Т. 12, № 2. С. 99-119.

18. Власова Е.А., Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики. М.: Изд-во МГТУ им.Н.Э.Баумана. 2001. 700 с.

19. Вязников К.В., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П. Построение монотонных разностных схем повышенного порядка аппроксимации для систем уравнений гиперболического типа // Математическое моделирование. 1989. Т. 1, № 5. С. 95-120.

20. Применение ШШй метода для численного решения задач газовойдинамики / Галанин М.П. и др. М., 2006. 24 с. (Препринт ИПМ им.М.В.Келдыша РАН, №52).

21. Гильманов А.Н., Кулачкова H.A. Численное исследование двумерных течений газа со скачками методом TVD на физически адаптивных сетках // Математическое моделирование. 1995. Т. 7, № 3. С. 97-106.

22. Гильманов А.Н. Методы адаптивных сеток в задачах газовой динамики. М.: Физматлит. 2000. 248 с.

23. Гильманов А.Н. Применение динамически адаптивных сеток к исследованию течений с многомасштабной структурой потока // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2001. Т. 41, № 2. С. 311-326.

24. Годунов С.К. Об использовании подвижных сеток в газодинамических расчетах // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1972. Т. 12, № 2. С. 429-440.

25. Численное решение многомерных задач газовой динамики / С.К. Годунов и др. М.: Наука. 1976. 400 с.

26. Граур И.А. Разностные схемы расщепления для решения уравнений Эйлера, построенные на основе квазигазодинамических уравнений // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2004. Т. 44, № 1. С. 166-178.

27. Flow-3D в проектировании машиностроительной гидравлики

28. Я.Даршт и Äp.//SAPR.RU:CAnP и графика. 2000. №8. URL.http:sapr.ru/article.aspx?id=7690 (дата обращения 21.02.2009)

29. Визуализация линий тока и методы комплексной визуализации дискретных векторых полей / К.В. Дедкова и др. // Вопросы атомной науки и техники. Математическое моделирование физических процессов. 2005. № 1.С. 71-79.

30. Димитриенко Ю.И. Тензорное исчисление. М.: Высшая школа.2001. 575 с.

31. Димитриенко Ю.И., Димитриенко И.Д. Численное моделирование процессов горения смесевых твердых топлив // Вестник МГТУ им.Н.Э.Баумана. Естественные науки. 2001. № 2. С. 9-22.

32. Димитриенко Ю.И., Изотова С.Г. Численное исследование нестационарных газодинамических процессов горения твердых топлив в камере РДТТ // Аэрокосмические технологии: Сб. науч. тр. М.,2002. С. 144-153.

33. Численное моделирование трехмерных газодинамических процессов в камерах сгорания РДДТ на основе метода геометрически-адаптивных сеток / Ю.И.Димитриенко и др. // Вестник МГТУ им.Н.Э.Баумана. Естественные науки. 2005. № 3. С. 45-58.

34. Метод ленточно-адаптивных сеток для моделирования многомерных нестационарных газодинамических процессов в двигательных системах ракетной техники / Ю.И.Димитриенко и др.

35. Ракетно-космическая техника. Фундаментальные и прикладные проблемы механики: Тез. докл. Междунар. конф. М., 2006. С. 75.

36. Димитриенко Ю.И., Захаров A.A. Разработка метода ленточных адаптивных сеток для решения трехмерных задач течения газов в воздухозаборниках // Вестник МГТУ им.Н.Э.Баумана. Естественные науки. 2006. № 3. С. 44-56.

37. Димитриенко Ю.И., Захаров A.A. Метод ленточных адаптивных сеток в газовой динамике. М.: Изд-во НТЦ Университетский. 2008. 175 с.

38. Димитриенко Ю.И., Захаров A.A. Автоматизированная система для моделирования газовых потоков методом ленточных адаптивных сеток // Информационные технологии. 2009. № 6. С. 12-16.

39. Дьяченко В.Ф. Основные понятия вычислительной математики. М.: Наука. 1977. 128 с.

40. Ершов С.В. Квазимонотонная ENO-схема повышенной точности для интегрирования уравнений Эйлера и Навье-Стокса // Математическое моделирование. 1994. Т. 6, № 11. С. 63-75.

41. Ехонович A.C. Справочник по физике и технике. М.: Просвещение. 1976. 175 с.

42. Жеков К. САЕ-системы в XXI BeKe//SAPR.RU:CAnP и графика.2000.№ 2.URL.http:sapr.ru/article.aspx?id=6796 (дата обращения 21.02.2009)

43. Зарубин B.C. Математическое моделирование в технике. М.: Изд-во МГТУ им.Н.Э.Баумана. 2003. 496 с.

44. Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Математические модели механики и электродинамики сплошной среды. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана. 2008. 512 с.

45. Моделирование многомерных нестационарных газодинамических процессов методом ленточно-адаптивных сеток / А.А.Захаров и др. // Ломоносов-2007: Тез. докл. Междунар. конф. М., 2007. С. 30.

46. Захаров A.A. Математическое моделирование многомерных газодинамических процессов в канале воздухозаборника СПВРД методом ленточно-адаптивных сеток // Актуальные проблемы фундаментальных наук: Тез. докл. науч.-мет. конф. М., 2008. С. 91-95.

47. Захаров A.A. Разработка метода ленточных адаптивных сеток для численного моделирования газовых потоков в сверхзвуковых воздухозаборниках // Актуальные проблемы фундаментальных наук: Тез. докл. науч.-мет. конф. М., 2009. С. 18-21.

48. Зибаров А., Бабаев Д., Шадский A. GasDynamicsTool 4.0: передовые CFD-технологии для персонального компьютера//САПР и графика.2000.№ 10.URL.http:sapr.ru/article.aspx?id=7982 (дата обращения 21.02.2009)

49. Иваненко С.А., Чарахчьян A.A. Криволинейные сетки из выпуклых четырехугольников // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1988. Т. 28, № 4. С. 503-514.

50. Иваненко С.А. Адаптивные сетки и сетки на поверхностях // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1993. Т. 33, № 9. С. 1333-1351.

51. Иваненко С.А. Управление формой ячеек в процессе построения сеток // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2000. Т. 40, № 11. С. 1662-1684.

52. Иванов И.Э., Крюков И.А., Терехов И.В. Объектно-ориентированная программная система подготовки данных и визуализации результатов газодинамических расчетов // Математическое моделирование. 2001. Т. 13, № 7. С. 110-115.

53. Иванов И.Э., Крюков И.А., Терехов И.В. Особенности построения программной системы обеспечения газодинамических расчетов // Математическое моделирование. 2002. Т. 14, № 8. С. 28-30.

54. Королева М.Р. Прямое численное моделирование турбулентных течений в нессиметричном диффузоре: автореф. дис. .канд.физ.-мат.наук. М., 2006. 19 с.

55. Калиткин H.H. Численные методы. М.: Наука. 1978. 512 с.

56. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. В 2 ч. М.: Физматгиз. 1963. 4.1. 584 е.; 4.2. 728 с.

57. Газовая динамика. Избранное. В 2 т. /Под ред. А.Н. Крайко. М.: Физматлит. 2005. Т.1. 720 е.; Т.2. 752 с.

58. Кузьмина A.B. Расчет полей течения на входе в воздухозаборник сверхзвукового самолета (СПС) маршевой схемой второго порядка аппроксимации // Математическое моделирование. 2000. Т. 12, № 6. С. 79-84.

59. Кулачкова H.A., Сахабутдинов Ж.М. Построение расчетных сеток для областей сложной конфигурации // Числ. методы механ. сплошной среды. 1985. Т. 16, №3. С. 68-78.

60. Куликовский А.Г., Погорелов Н.В., Семенов А.Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. М.: Физматлит. 2001. 608 с.

61. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Физматлит. 2003. 736 с.

62. Лисейкин В.Д. О конструировании регулярных сеток на п-мерных поверхностях // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1991. Т. 31, № 11. С. 1670-1683.

63. Лисейкин В.Д. Обзор методов построения структурных адаптивных сеток // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1996. Т. 36, № 1. С. 3-41.

64. Лисейкин В.Д. Метод алгебраической адаптации // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1998. Т. 3, № 10. С. 1692-1709.

65. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука. 1989. 608 с.

66. Мышенков Е.В., Мышенкова E.B. Интерактивная адаптация сетки в расчетах течений вязкого газа // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2002. Т. 42, № 12. С. 1881-1890.

67. Никулин Е.А. Компьютерная геометрия и алгоритмы машинной графики. СПб.: БХВ-Петербург. 2005. 576 с.

68. Петров И.Б., Лобанов А.И. Лекции по вычислительной математике. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний. 2006. 523 с.

69. Пирумов У.Г., Росляков Г.С. Численные методы газовой динамики. М.: Высшая школа. 1987. 232 с.

70. Пирумов У.Г., Росляков Г.С. Газовая динамика сопел. М.: Наука. 1990. 368 с.

71. Пирумов У.Г. Численные методы. М.: Дрофа. 2003. 224 с.

72. Победря Б.Е., Георгиевский Д.В. Основы механики сплошных сред. М.: Физматлит. 2006. 272 с.

73. Попов Д.Н., Панаиотти С.С., Рябинин М.В. Гидромеханика. М.: Изд-во МГТУ им.Н.Э.Баумана. 2002. 384 с.

74. Прозорова Э.В. Математическое моделирование процессов механики с большими градиентами. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун.-та. 2005. 339 с.

75. Прокопов Г.П. Универсальные вариационные функционалы для построения двумерных сеток. М., 2001. 36 с. (Препринт ИПМ им.М.В.Келдыша РАН, №1).

76. Прокопов Г.П. Вариационные методы расчета двумерных сеток при решении нестационарных задач. М., 2003. 32 с. (Препринт ИПМ им.М.В.Келдыша РАН, №4).

77. Прокопов Г.П. Реализация вариационного подхода к расчету двумерных сеток в нестационарных задачах. М., 2005. 36 с. (Препринт ИПМ им.М.В.Келдыша РАН, №116).

78. Пушкина И.Г., Тишкин В.Ф. Адаптивные расчетные сетки из ячеек Дирихле для решения задач математической физики: методика построения, примеры // Математическое моделирование. 2000. Т. 12, № 3. С. 97-109.

79. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. М.: Мир. 1972, 418 с.

80. Роуч П. Вычислительная гидромеханика. М.: Мир. 1980. 612 с.

81. Рычков А.Д. Математическое моделирование газодинамических процессов в каналах и соплах. Новосибирск: Наука. 1988. 222 с.

82. Рябенький В.С. Введение в вычислительную математику. М.: Физ-матлит. 2008. 288 с.

83. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука. 1989. 616 с.

84. Самарский A.A., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. М.: Едиториал УРСС. 2004. 424 с.

85. Самарский A.A., Михайлов А.П. Математическое моделирование. М.: Физматлит. 2005. 320 с.

86. Стернин JI.E. Основы газовой динамики. М.: Вузовская книга. 2008. 332 с.

87. Стулов В.П. Лекции по газовой динамике. М.: Физматлит. 2004. 192 с.

88. Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику. М.: Изд-во МФТИ. 1994. 528 с.

89. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей. М.: Мир. 1991. Т.1. 504 е.; Т.2. 552 с.

90. Формалев В.Ф., Ревизников Д.Л. Численные методы. М.: Физматлит. 2006. 400 с.

91. Юн A.A. Теория и практика моделирования турбулентных течений. М.: Книжный дом Либроком. 2009. 272 с.

92. Яцкевич Н.С. Вязкие турбулентные течения в сверхзвуковых воздухозаборниках на режимах дросселирования // Математическое моделирование. 2000. Т. 12, № 6. С. 39-46.

93. Anderson J.D. Computational fluid gynamics: The basics with applications. N.Y.: McGraw-Hill. 1995. 547 p.

94. Angrand F. Numeral methods for Euler equations of fluid dynamics. Philadelphia: SIAM. 1985. 508 p.

95. Eisman P.R. Adaptive grid generation // Computer Methods in Applied Mechanics and Engeneering. 1987. V.64. P. 321-376.

96. Eisman P.R. Grid generation for fluid mechanics computations // Ann. Rev. Fluid Mech. 1987. V.17. P. 487-522.

97. Farrashkhalvat M., Miles J.P. Basic structured grid generation with an introduction to unstructured grid generation. Oxford: ButterworthHeinemann. 2003. 242 p.

98. Ferziger J.H., Peric M. Computational methods for fluid dynamics. Berlin: Springer. 2002. 431 p.

99. Smith R.E., Ericsson L.E. Algebraic grid generation // Computer Methods in Applied Mechanics and Engeneering. 1987. V.64. P. 285300.

100. Toro E.F. Riemann Solver and Numeral Methods for Fluid Dynamics. Berlin: Springer. 1999. 624 p.

101. Thompson J.F., Warsi Z.U.A., Mastin C.W. Numeral grid generation. Foundations and applications. N.Y.: North-Holland. 1985. 330 p.

102. Thompson J.F., Soni B.K., Weatherill N.P. Handbook of grid generation. London-N.Y.-Washington: CRC Press. 1998. 1096 p.

103. Versteeg H.K., Malalasekera W. An introduction to computationalfluid dynamics. The finite volume method. N.Y.: Longman Scien-tific&Technical. 1998. 257 p.

104. Woodward P., Colella P. The numeral simulation of two-dimensional fluid flow with strong shock // Journal of Computational Physics. 1984. V.54. P. 115-173.