автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Использование кинетического подхода при построении разностных схем газовой динамики

На правах рукописи

Абалакин Илья Владимирович

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КИНЕТИЧЕСКОГО ПОДХОДА ПРИ ПОСТРОЕНИИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ

Специальность 05 13 18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2007

Работа выполнена в Институте математического моделирования РАН

доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН Четверушкин Борис Николаевич, директор ИММ РАН доктор физико-математических наук, профессор Кобельков Георгий Михайлович, зав кафедрой вычислительной математики, механико-математический факультет МГУ им М В Ломоносова

доктор физико-математических наук, профессор Галкин Валерий Алексеевич, зав кафедрой прикладной математики, Обнинского государственного университета атомной энергетики Ведущая организация Институт автоматизации проектирования РАН

Защита диссертации состоится «25 » октября 2007 г в_на заседании

диссертационного совета № К 002 058 01 при Институте математического моделирования РАН по адресу 125047, г Москва, Миусская пл , 4а

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИММ РАН

Автореферат разослан «_»_2007 г

Научный руководитель

Официальные оппоненты-

Ученый секретарь диссертационного совета к ф -м н

Прончева Надежда Геннадьевна

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы

Широкий круг проблем, стоящих перед современной наукой и техникой,

связан с решением задач газовой динамики Одними из наиболее интересных и актуальных задач в индустриальной практике является изучение нестационарных течений около сложных многокомпонентных аэродинамических конструкций при различных скоростях набегающего потока (от дозвуковых течений с числом Маха равным 0 01 до гиперзвуковых с числом Маха порядка 10-15) Такие течения характеризуются возникновением различного типа физических не-устойчивостей, приводящих к крупно- и мелкомасштабной турбулентности, а при трансзвуковых и сверхзвуковых скоростях еще появлением и ударных волн, взаимодействующим с турбулентными пограничными слоями Для детального исследования таких сложных течений уже недостаточно только проведение натурных экспериментов, а также необходим вычислительный эксперимент или математического моделирование поставленной задачи В качестве математической модели для изучения этих процессов можно использовать систему уравнений Навье-Стокса для вязкого сжимаемого теплопроводного газа Фактически единственным эффективным способом решения этой сложной системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных являются численные методы С одной, как хорошо известно, прямое использование дискретизированных тем или иным способом уравнений Навье-Стокса (так называемое DNS - Direct Numerical Simulation) для расчетов течений с сильно развитой турбулентностью приводит к необходимости использовать разностные сетки с количеством узлов порядка 109, что превосходит возможности имеющейся на сегодняшний день вычислительной техники С другой стороны, использование осредненных по времени уравнений Навье-Стокса (RANS -Reynolds Average of Navier-Stokes) или использование подсеточных фильтров, применяемых в подходах типа LES (Large Eddy Simulation), требует эмпирических или полуэмпирических моделей, которые не могут быть универсальны даже в рамках одного моделируемого течения, что очень осложняет проведение

расчетов Поэтому в данной диссертационной работе будет рассматриваться изучавшаяся в течение последних 15 лет квазигазодинамическая система уравнений (КГУ), которую можно интерпретировать как физическую модель, описывающую течения вязкого газа и альтернативную уравнениям Навье-Стокса

Следующим важным звеном в математическом моделировании сложных аэродинамических задач, помимо физико-математической модели, является выбор численного метода для решения системы уравнений (Навье-Стокса или КГУ), который мог бы одинаково надежно работать в областях с разными типами течений В этом смысле хорошо зарекомендовали себя так называемые кинетически-согласованные разностные схемы (КСРС), полученные из дискретных кинетических моделей Но теоретическое обоснование успешности расчетов с помощью КСРС поводилось только на кинетическом уровне, что не вполне достаточно для выявления как слабых, так и сильных сторон данной схемы С другой стороны, проведение подробного анализа КСРС на макроскопическом уровне позволит глубже понять область их применимости и дальнейшего улучшения Здесь также отметим, что на сегодняшний день все более широкое распространение получают методы аппроксимации уравнений в частных производных на треугольных и тетраэдральных сетках Тетраэдральная сетка может иметь переменную плотность узлов по пространству, что позволяет сосредоточить большинство узлов расчетной сетки в тех подобластях, где необходимо получить решение с повышенной точностью, аппроксимируя с высокой точностью поверхности сложной формы

Таким образом, для расчета сложных разномасштабных течений, которые характерны для индустриально важных на сегодняшний день задач, актуальны следующие составляющие компоненты для проведения вычислительного эксперимента.

• максимально универсальная математическая модель, более или менее адекватно описывающая возможно большее число типов течения,

• простая в реализации, экономная и надежно работающая разностная схема, аппроксимирующая уравнения математической модели,

• адаптация к областям сложной формы, в частности, за счет применения неструктурированных сеток

Одна из возможностей удовлетворения перечисленным выше этапам лежит в кинетическом подходе при построении моделей вычислительного эксперимента в газовой динамике

Цели и задачи диссертационной работы

Основной целью данной диссертационной работы является обоснование и

улучшение существующих на сегодняшний день кинетически-согласованных разностных схем, а также проведение сравнения результатов, полученных при моделировании по уравнениям Навье-Стокса и системе КГУ, с целью выявления классов течения, где их решения мало отличаются, а где система КГУ превосходит по точности моделирования уравнения Навье-Стокса Для ее достижения решаются следующие задачи

• представление КСРС, как схемы принадлежащей классу схем расщепления вектора потока для аппроксимации системы невязких уравнений Эйлера,

• изучение свойств КСРС относительно семейства схем расщепления вектора потока, а также построения схем повышенного порядка точности на основе базовых КСРС первого порядка,

• построение кинетически согласованной аппроксимации на неструктурированных сетках (треугольных и тетраэдральных),

• построение аппроксимации системы КГУ на тетраэдральной сетке и проведение расчетов обтекания сферы при различных параметрах течения и сравнение с аналогичными расчетами, полученными при решении уравнений Навье-Стокса

Научная новизна и практическая ценность работы

В диссертации предложены следующие оригинальные разработки 1) выведены новые аппроксимации уравнений Эйлера на основе кинетического расщепления вектора потока,

2) построены схемы повышенного порядка аппроксимации на основе базовых схем кинетического расщепления

3) проведено обобщение кинетически-согласованных разностных схем как первого, так и повышенного порядка точности на неструктурированные сетки,

4) на основе смешанного метода конечных объемов и метода конечных элементов построена аппроксимация квазигазодинамической системы уравнений

Разработанные алгоритмы были внедрены в комплекс параллельных программ по решению задач газовой динамики Используя этот комплекс программ, были проведены расчеты тестовых задач по системе КГУ и уравнениям Навье-Стокса на тетраэдральных сетках Выполнено сравнение полученных результатов с точным решением соответствующих задач, экспериментальными данными и результатами расчетов, выполненных по другим методикам

На примере численного моделирования задачи обтекания летательного аппарата невязким газом показана возможность эффективного использования полученных кинетических алгоритмов при выполнении научных исследований и производственных расчетов

Апробация работы

Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на научно-технических конференциях и семинарах, в частности

■ Second European Fluid Dynamics Conference, 5-8 September 1994, Stuttgart, Germany Устный доклад "Kinetically-Consistent Difference Schemes for the Prediction of Moderately Rarefied Gas Flows" (co-authors В N Chet-verusbkm)

■ Применение математического моделирования для решения задач в науке и технике, ММТ-96, 1996, Ижевск Устный доклад "Кинетически-согласованные разностные схемы на нерегулярных сетках" (соавторы Жохова А В Четверушкин Б Н)

■ Всероссийская школа-семинар "Современные проблемы математического моделирования", 1997, Ростов-на-Дону Устный доклад " Кинетиче-

ски-согласованная аппроксимация газодинамических уравнений на треугольных сетках (соавторы Жохова А В Четверушкин Б Н)

■ Семинары кафедры вычислительных методов ф-та ВмиК МГУ

■ Семинары ИММ РАН

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в 9 работах, список которых приведен в конце данного автореферата

Достоверность результатов.

Достоверность результатов, полученных в работе, подтверждается тем, что для выполненных в работе численных расчетов наблюдается качественное совпадение полученных результатов с точным решением соответствующих задач, экспериментальными данными и результатами других авторов Эффективность предложенных кинетических алгоритмов подтверждается результатами тестирования разработанных на их основе программ

Реализация результатов.

Результаты диссертации получены в ходе выполнения ряда работ, поддерживаемых РФФИ, в которых автор принимал участие в качестве основного исполнителя (гранты 94-01-01526-а "Кинетически-согласованные разностные схемы газовой динамики", 97-01-01032-а "Кинетически-согласованные разностные схемы как модель для описания течения вязкого теплопроводного газа", 00-01-00263-а "Моделирование течений вязкого газа на основе кинетически- согласованных разностных схем") Разработанные численные методики внедрены в комплекс параллельных программ являющихся составной частью пакета моделирования задач механики сплошной среды, разрабатываемого в ИММ РАН в рамках государственного контракта № 10002-251ЮМН-03/026-023/240603-806 от 30 апреля 2003 г

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы Объем составляет 120 машинописных страниц, текст содержит 40 рисунков и 10 таблиц

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка используемой литературы

Во введении обоснована актуальность рассматриваемых в работе проблем, сформулированы основные цели диссертации и дано ее краткое содержание по главам Приведен обзор существующих на сегодняшний день в мире методов и подходов к решению системы уравнений газовой динамики и методов пространственной дискретизации расчетной области Особое внимание уделено различным кинетическим алгоритмам Также приведено краткое изложение построения и исследований квазигазодинамической системы

В первой главе рассматриваются базовые принципы построения кинетически-согласованных разностных схем для невязкого уравнения Бюргерса в качестве модельной задачи и уравнений одномерной газовой динамики Далее показано, что КСРС можно интерпретировать как схему из класса схем вектора расщепления потока для аппроксимации уравнений Эйлера Затем на основе этого расщепления были построены схемы повышенного порядка точности Все построения иллюстрируются расчетами тестовых задач

Одним из методов построения КСРС является использование модели расщепления по физическим процессам уравнения Больцмана для одночастич-ной функции распределения молекул по скоростям /

f(/„г.

Введем дискретное время tk с шагом A tk = tk+l -tk и на этом интервале определим два процесса бесстолкновительный разлет за время т&ее и релаксацию, имеющую время тге1ах При предположении xfree»тге1ах модель расщепления

сводится к решению задачи Коши для бесстолкновительного уравнения Больц-мана и с начальным условием в момент времени 1к, определяемым начальной локально-максвелловской функцией распределения (рисунок 1)

Бесстолкновительный разлет (время т^е)

дГ

дг

Релаксация (время тге|ау)

Предположение

дt

Локально-максвелловское распределение

_

с=

Задача Коши

Рисунок 1 Схематическое изображение модели расщепления Решением начальной задачи Коши в Ш пространственном случае с равномерной сеткой с шагом Ах есть балансное соотношение

/к+1=(/ ^ Е ~ М ~ ^ ^~м +

ы 2 Ах 2 Ах

После интегрирования этого соотношения с сумматорными инвариантами получаем кинетически-согласованную разностную схему

Получить аналогичную КСРС, а также целый класс подобных схем можно не прибегая к рассмотрению кинетического уравнения, а используя метод расщепления вектора потока Основная идея этого метода опирается на свойство однородности вектора потока в уравнениях Это означает, что вектор потока в уравнении Эйлера есть однородная функция степени один от вектора консервативных переменных <2 Следовательно, поток Г в уравнении Эйлера есть произведение матрицы Якоби А = д¥/д(} на вектор <2 Расщепляя собственные значения матрицы А на положительную и отрицательную части, полу-

чаем расщепленный вектор потока Р* = А±0 Дальнейшая аппроксимация «положительного» потока левой разностью, а «отрицательного» потока правой разностью дает так называемую схему расщепления вектора потока, аппроксимирующую систему уравнений Эйлера с первым порядком В зависимости от метода расщепления имеем целый класс схем В таблице 1 приведены законы расщепления для стандартной схемы расщепления Стегера -Уорминга и три схемы кинетического расщепления КР1, КР2, КРЗ

А*=8А±8_| А = с1ищ(Х1Д2Д3) К = |и + с|

А* = ёт§

2 V /

КР1 А1 = Лав ' \ ± (а,, егад + ехр (-52)/Рл/л )

2 \ /

КР2 А* = <±1ай 2 ч \ У

КРЗ А* = (1-1^ (К^/г+г/*)) 2 \

Таблица 1: Расщепление собственных значений матрицы Якоби для различных схем

Отметим, что расщепленные собственные значения в КР1, КРЗ сохраняют знак и следовательно являются обобщением схем с разностью против потока на нелинейные уравнений Эйлера При этом схему КР1 можно рассматривать как бесконечно непрерывно-дифференцируемое приближение к схеме (рисунок 2а) Наличие недифференцируемой особенности в звуковых точках (число Маха равно М = ±1) в схеме приводит к возникновению большой вычислительной ошибки в окрестности этих точек даже в случае непрерывного течения Так, на рисунке 26 показано распределение локального числа Маха при расчете изотермического течения в сопле Лаваля в режиме «дозвук-сверхзвук» по схемам SW и КР1 и точного решения Видно, что численное решение по схеме

имеет характерный излом по сравнению с решением по схеме КР1, которое более близко к точному решению

07

0

Число Маха

з

4.0

4,5

50

5,5 X

60

65

70

Рисунок 2: а) расщепленные собственные значения для схем SW и КР1, б) распределение числа Маха в изотермическом течении в сопле Лаваля

Одним из способов повышения порядка аппроксимации для схем расщепления вектора потока первого порядка является замена кусочно-постоянного распределения консервативного вектора газодинамических параметров в расчетной ячейке О, на кусочно-линейное распределение (метод МШСЬ)

для правой разности в схеме расщепления («отрицательные потоки») Здесь функция Lim(a,6) есть функция-ограничитель, зависищая от разностных градиентов, и такая, что Lim(a,6) = 0, если аЪ< 0 В случае выбора параметра 0 < /с < 1 и кФ\/Ъ порядок пространственной аппроксимации равен двум на монотонных участках решения (при А: = 1/3 - порядок аппроксимации равен трем) В окрестности точек разрыва и экстремальных точек порядок схемы понижается до 1, что обусловлено поведением функции-ограничителя То есть полученная схема удовлетворяет свойству TVD (Total Variation Diminishing) На рисунке 3 приведены графики плотности в численном решении задачи о распаде произвольного сильного разрыва по схемам повышенного порядка с

■1+1/2

для левой разности в схеме расщепления («положительные потоки») и

' к

различным выбором функции-ограничителя и параметра к, а также график точного решения

X

Рисунок 3: Распределение плотности в задаче о распаде произвольного разрыва Видно, что кинетические схемы повышенного порядка неплохо согласуются с точным решением для различного вида разрывных решений (ударная волна, контактный разрыв)

Второй способ повышения порядка точности осуществляется за счет добавления антидиффузионных потоков или, другими словами, экстраполяции (интерполяции) не переменных <2, потоковых переменных Ж

Во второй главе рассматриваются вопросы, связанные с обобщением полученных кинетических схем для аппроксимации конвективной части уравнений Навье-Стокса на неструктурированные треугольные (двумерный случай) или тетраэдральные сетки (трехмерный случай) Для аппроксимации вязкой части уравнений Навье-Стокса используется метод конечных элементов

В общем случае для произвольного контрольного объема (расчетная ячейка) может быть выписано балансное соотношение аналогичное одномерному случаю (рисунок 4)

Кусочно-постоянная по пространству функция распределения на ячейке V,

дг*

Функции распределения на грани ячейки в„

Решение локальной 1Р начальной задачи

81 "дп

о

Л-1Л4 ^ + ^

Балансное соотношение

/Г=(ЛД*

К уеО,

—^--—^—

Рисунок 4: Балансное соотношение для произвольного контрольного объема Дальнейшая вариация зависящего от скорости коэффициента при диффузионном члене в балансном соотношении приведет к локально одномерным относительно грани контрольного объема схемам, рассмотренным в первой главе Повышение порядка аппроксимации также достигается заменой кусочно-постоянного распределения газодинамических параметров в расчетной ячейке на кусочно-линейное распределение В это главе также приведен анализ точности схемы в линейном приближении для различного типа расчетных ячеек (ба-рицетрические и ячейки, построенные на основе описанных окружностей) В качестве тестовой задачи выбрано обтекание двумерного аэродинамического профиля потоком вязкого газа с числом Маха набегающего потока равным 0 8

В третьей главе приводится вывод полудискретной квазигазоднамиче-ской системы уравнений, исходя из модели «бесстолкновительный разлет-максвеллизация» Далее проводится анализ полученной квазигазодинамической системы уравнений (КГУ) и показывается ее отличие от системы уравнений Навье-Стокса наличием членов второго порядка малости относительно времени бесстолкновительного разлета

Аналогично уравнениям Навье-Стокса для аппроксимации системы КГУ используется смешанный метод метод конечных объемов и кинетическая схема для аппроксимации конвективного переноса, метод конечных элементов для вычисления вязких членов

Для сравнения поведения разностного решения уравнений Навье-Стокса и КГУ решается ряд тестовых задач Одна из этих задач - это обтекание сферы при числе Маха равном 0 1 и числе Рейнольдса равном 25 Расчет проводился на грубой (149802 тетраэдра) и подробной (786952 тетраэдра) сетках Как можно видеть из таблицы 2, где приведен коэффициент лобового сопротивления сферы Св, результаты расчетов по обеим системам очень близки друг к другу и не сильно отличаются от аналитического значения (рассчитанного для несжимаемой жидкости)

Система

Сетка (тетраэдры) Навье-Стокс КГУ

149802 2 29 2 32

786952 2 49 2 48

Аналитическое решение Св = 2 218

Таблица 2: Коэффициенты лобового сопротивления при обтекании сферы Проведенный расчет подтверждает вывод о том, что при числах Кнудсена, определяемых как отношение числа Маха к числу Рейнольдса порядка 0 001, решение уравнений Навье-Стокса и квазигазодинамической системы совпадают

В заключении диссертационной работы сформулированы основные выводы и приведены выносимые на защиту результаты

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1 Предложены новые методы кинетического расщепления Проведен анализ кинетически-согласованных разностных как схем расщепления вектора потока

2 Разработаны алгоритмы повышения порядка точности кинетически согласованных разностных схем с использованием методики МЦБСЬ и с помощью введения антидифузионных потоков

3 Построены кинетических схемы, аппроксимирующие уравнения Эйлера с повышенным порядком аппроксимации на неструктурированных треугольных и тетраэдральных сетках

4 Проведена аппроксимация квазигазодинамической системы на неструктурированных тетраэдральных сетках

5 Проведена серия модельных расчетов, демонстрирующих возможности кинетически согласованных разностных схем и квазигазодинамической системы для моделирования задач газовой динамики

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1 Абалакин И В , Четверушкин Б Н Кинетически-согласованные разностные схемы как модель для описания газодинамических течений, Математическое моделирование, 1996 Т 6, № 8

2 Абалакин И В, Жохова А В, Четверушкин Б Н Кинетически-согласованная аппроксимация газодинамических уравнений на треугольных сетках, Тезисы докладов VII Всероссийской школы-семинара "Современные проблемы математического моделирования", Ростов-на-Дону, 1997, с 1-4

3 Абалакин И В, Жохова А В, Четверушкин Б Н Кинетически-согласованные разностные схемы на нерегулярных сетках, Математическое моделирование, 1997 Т 9, № 7

4 Абалакин И В , Жохова А В , Четверушкин Б Н Кинетически согласованный алгоритм для расчета газодинамических течений на треугольных сетках, Математическое моделирование, 1998 Т 10, № 4, с 51-60

5 Абалакин И В , Жохова А В Кинетически-согласованные разностные схемы с коррекцией на треугольных сетках, Дифференциальные уравнения, 1998, Т 34, №7, с 904-910

6 Абалакин И В , Жохова А В , Четверушкин Б Н Разностные схемы на основе кинетического расщепления вектора потока, Математическое моделирование, 2000 Т 12, № 4, с 73-82

7 Абалакин И В, Жохова А В, Четверушкин Б Н Кинетически-согласованные схемы повышенного порядка точности, Математическое моделирование, 2001 Т 13, № 5, с 53-61

8 IV Abalakm, A Dervieux, Т К Kozubskaya A vertex centered high order MUSCL scheme applying to linearised Euler acoustics, INRIA report, № 4459, 2002

9 Абалакин И В , Суков С А, Моделирование внешнего обтекания тел на многопроцессорных системах с использованием тетраэдрических сеток В сб "Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-технологических систем", вып 7, под ред JIА Уваровой М, Изд-во "Janus-К", 2004, с 52-57

Заказ № 196/09/07 Подписано в печать 18 09 2007 Тираж 100 экз Усд пд 1,0

ООО "Цифровичок", тел (495) 797-75-76, (495) 778-22-20 \v\vw с/г ги, е-тай ш/о@с/г ги

Введение

1 Кинетически-соласованные схемы для одномерной газовой динамики

1.1 Кинетические схемы для уравнения Бюргерса.

1.2 Кинетически согласованные схемы для уравнения Эйлера

1.3 Кинетические согласованные схемы как схемы расщепления вектора потока

1.4 Кинетические схемы повышенного порядка.

2 Кинетические схемы на неструктурированных сетках

2.1 Кинетически-согласованная аппроксимация на нерегулярной сетке.

2.2 Кинетически-согласованные схемы повышенного порядка точности на нерегулярных сетках.

2.3 Кинетические схемы для описания вязкого теплопроводного газа

3 Вывод и анализ квазигазодинамической системы уравнений

3.1 Модельное кинетическое уравнение

3.2 Квазигазодинамическая система.

3.3 Асимптотика квазигазодинамической системы.

3.4 Разностная аппроксимация и пример численного расчета.

Многие современные проблемы, стоящие перед наукой и техникой в той или иной мере связаны с решением уравнений газовой динамики. Полное решение большинства актуальных задач аэродинамики и, прежде всего, получение количественных характеристик предполагает использование новейших численных методов и их реализацию на быстродействующих вычислительных машинах. В последнее время математическое моделирование явлений и процессов является эффективным средством теоретического анализа задач, выдвигаемых наукой и техникой [1]. Вычислительный эксперимент является во многих случаях практически единственным способом решения сложных систем нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих процессы движения жидкости и газа, уравнений Эйлера и Навье-Стокса. То есть, на основе математической модели при помощи непосредственного численного решения соответствующих уравнений количественно определяется поведение газодинамических течений в тех или иных условиях.

Общих методов решения газодинамических задач в настоящее время не существует. Особенности уравнений газовой динамики, такие как нелинейность и возможность появления разрывных решений, зачастую делают именно численные методы исследования наиболее предпочтительными и эффективными. В тоже время, именно нелинейность порождает многие явления, с которыми приходится считаться в практически важных случаях — ударные волны, погранслойные, отрывные, осциллирующие течения, наконец, турбулентность. В последнее время интенсивно развивается новое направление в науке — вычислительная гидродинамика.

Одним из численных алгоритмов, используемых для моделирования течений вязкого теплопроводного газа, являются кинетически-согласованные разностные схемы (КСРС), полученные в 1983 году [2]. В отличии от традиционных подходов, в которых вычислительные алгоритмы для расчета газодинамических течений строятся на основе полной или определенным образом упрощенной систем уравнений Эйлера и Навье-Стокса, кинетически-согласованные разностные схемы учитывают тот факт, что сами уравнения гидродинамики могут быть получены как следствие более сложного уравнения переноса для одночастичной функции распределения [3]. В свою очередь КСРС получаются путем осреднения по скоростям молекул с сумматорными инвариантами дискретных моделей для одночастичной функции распределения. По сравнению с традиционными алгоритмами, в КСРС меняется порядок процедуры осреднения и дискретизации в последовательности, начинающейся с дифференциального уравнения Больцмана. То есть, в отличии от других алгоритмов решения уравнений газовой динамики, в данном случае вначале идет процедура разностной дискретизации, а потом уже осреднение разностной функции распределения [4, 5].

Связь уравнений газовой динамики с уравнением Больцмана хорошо известна, поэтому попытки построения вычислительных алгоритмов, обращаясь непосредственно к кинетическим моделям, осуществлялись и ранее. Например, в работе [6] была предложена феноменологическая модель, описывающая перенос частиц в газе как последовательность процессов бес-столкновительного разлета молекул с последующей мгновенной максвел-лизацией и построена разностная схема решения задач газовой динамики в лагранжевой системе координат. Позднее появилась серия публикаций, в которых макроскопические газодинамические параметры определялись путем осреднения функции распределения после решения уравнения переноса [7, 8]. В работе [9] прослежена связь между одной из полученных таким образом схем и численным решением уравнения Больцмана.

Однако, хотя данные подходы показывали их принципиальную применимость для нахождения газодинамических параметров, но качество расчетов, с учетом вычислительных затрат, уступало уже существующим традиционным методам решения задач о течении идеального газа. В то же время, полученный в работе [2] алгоритм сразу же показал свою конкурентноспособность с традиционными подходами. Проведенные ранее на основе КСРС расчеты газодинамических течений показали перспективность их использования. Следует отметить, что аналогичные схемы были получены в 1986 году в работе [10, И].

Уравнения Навье-Стокса являются теоретической основой для описания течений реального газа. Первоначально эти уравнения были получены феноменологическим путем, опираясь на известный экспериментальный закон о пропорциональности силы трения между движущимися слоями газа производной скорости. Впоследствии эти уравнения были получены, используя асимптотическое разложение Чемпена-Энскога решения кинетического уравнения Больцмана для одночастичной функции распределения [3]. Однако, известны неоднократно предпринимаемые попытки получить описание поведения вязкого газа уравнениями, отличными от традиционных уравнений Навье-Стокса [12, 13]. В работе [14, 15] впервые была получена обобщенная квазигазодинамическая система уравнений, объединяющая газодинамический и кинетический подход. В дальнейшем проводилось много работ в этом направлении, что отражено в монографии [16].

В работах [17, 18, 19] на основе кинетических моделей были получены квазигазодинамические дифференциальные уравнения и их дискретизация — кинетически-согласованные разностные схемы, использованные затем для численного моделирования течений вязкого теплопроводного газа. Данные уравнения отличаются от обычных уравнений Эйлера и Навье-Стокса наличием в правой части дополнительной вязкости специального вида, являющейся схемной искусственной вязкостью, влияющей на устойчивость разностной схемы.

Кинетически-согласованный подход обеспечивает естественное обобщение разностной схемы для линейного уравнения переноса на систему нелинейных газодинамических уравнений. С другой стороны, аппроксимацию уравнения переноса схемой с направленными разностями можно интерпретировать как физическую модель переноса кусочно-постоянной функции распределения. Получающиеся после осреднения разностные макроуравнения в дифференциальном приближении можно рассматривать как обобщение уравнений Эйлера и Навье-Стокса — квазигазодинамическая система уравнений [4, 5].

Кинетически-согласованные разностные схемы показали свою эффективность при решении задач газовой динамики. Целью диссертации является рассмотрение кинетически-согласованных разностных схем с точки зрения классических методов и подходов, используемых при построении аппроксимаций уравнений газовой динамики. И на этом пути выявить возможные варианты модификации и улучшения существующих на сегодняшний день кинетических схем, а также возможность построения новых высокоэффективных алгоритмов на основе кинетического подхода.

Ниже приводится краткое содержание работы по главам. В первой главе рассматриваются базовые принципы построения кине-тически-согласованных разностных схем для невязкого уравнения Бюргерса в качестве модельной задачи и уравнений одномерной газовой динамики на основе использование модели расщепления по физическим процессам уравнения Больцмана для одночастичной функции распределения молекул по скоростям. Отмечено, что вид разностной схемы для макроскопических уравнений зависит не только от способа аппроксимации уравнения переноса для функции распределения, но и от вида функции распределения. Далее было показано, что КСРС можно интерпретировать как схему из класса схем вектора расщепления потока для аппроксимации уравнений Эйлера и предложена новая схема из этого класса. Затем на основе этого расщепления были построены кинетические схемы повышенного порядка точности, не прибегая к рассмотрению кинетического уравнения. Все построения иллюстрируются расчетами тестовых задач.

Во второй главе рассматриваются вопросы, связанные с обобщением полученных кинетических схем для аппроксимации конвективной части уравнений Навье-Стокса на неструктурированные треугольные сетки. Приведен вывод кинетически согласованной схемы на основе метода конечных объемов путем обобщения модели «бесстолкновительный разлетмгновенная максвеллнзация» на произвольные треугольные сетки. Были сконструированы кинетические схемы повышенного порядка точности по пространственной переменной на треугольных сетках, аппроксимирующие невязкие уравнения Эйлера. Проведена аппроксимация диффузионных членов уравнения Навье-Стокса с использованием метода конечных объемов. В качестве примера использования кинетических схем для моделирования сложных задач был сделан расчет задачи обтекание двумерного аэродинамического профиля потоком вязкого газа с числом Маха набегающего потока равным 0.8 с использованием неструктурированных адаптивных сеток.

В третьей главе приводится вывод полудискретной квазигазод-намической системы уравнений, исходя из модели "бесстолкновительный разлет-максвеллизация". Далее проводится анализ полученной квазигазодинамической системы уравнений (КГУ) и показывается ее отличие от системы уравнений Навье-Стокса наличием членов второго порядка малости относительно времени бесстолкновительного разлета. Далее система КГУ аппроксимируется с использованием смешанного метода: метод конечных объемов и кинетическая схема для аппроксимации конвективного переноса, метод конечных элементов для вычисления вязких членов. Для сравнения поведения разностного решения уравнений Навье-Стокса и КГУ решается задача об обтекание сферы при числе Маха равном 0.1 и числе Рейнольдса равном 25.

В заключении приведены основные результаты диссертации. Цели и задачи диссертационной работы:

Основной целью данной диссертационной работы является обоснование и улучшение существующих на сегодняшний день кинетически-согласованных разностных схем, а также проведение сравнения результатов, полученных при моделировании по уравнениям Навье-Стокса и системе КГУ, с целью выявле-ния классов течения, где их решения мало отличаются, а где система КГУ пре-восходит по точности моделирования уравнения Навье-Стокса. Для ее дости-жения решаются следующие задачи:

• представление КСРС, как схемы принадлежащей классу схем расщепления вектора потока для аппроксимации системы невязких уравнений Эйлера;

• изучение свойств КСРС относительно семейства схем расщепления вектора потока, а также построения схем повышенного порядка точности на основе базовых КСРС первого порядка;

• построение кинетически согласованной аппроксимации на неструктурированных сетках (треугольных и тетраэдральных);

• построение аппроксимации системы КГУ на тетраэдральной сетке и проведение расчетов обтекания сферы при различных параметрах течения и сравнение с аналогичными расчетами, полученными при решении уравнений Навье-Стокса.

Достоверность результатов

Достоверность результатов, полученных в работе, подтверждается тем, что для выполненных в работе численных расчетов наблюдается качественное совпаде-ние полученных результатов с точным решением сои ответствующих задач, экспериментальными данными и результатами других авторов. Эффективность предложенных кинетических алгоритмов подтверждается результатами тестирования разработанных на их основе программ.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту

1. Кинетически-согласованных схем как новый класс схем расщепления вектора потока.

2. Кинетически-согласованных схемы повышенного порядка точности.

3. Аппроксимация. кинетически-согласованными схемами уравнений Эйлера и Навье-Стокса на неструктурированных сетках.

4. Кинетически-согласованных схемы повышенного порядка точности на неструктурированных сетках.

5. Аппроксимация трехмерной квазигазодинамической системы уравнений на тетраэдральной сетке.

Публикации автора по теме диссертации

1. Абалакин И.В., Четверушкин Б.Н. Кинетически-согласованные разностные схемы как модель для описания газодинамических течений, Математическое моделирование, 1996. Т.6, № 8.

2. Абалакин И.В., Жохова А.В., Четверушкин Б.Н. Кинетически-согласованная аппроксимация газодинамических уравнений на треугольных сетках, Тезисы докладов VII Всероссийской школы-семинара "Современные проблемы математического моделирования", Ростов-на-Дону, 1997, с. 1-4.

3. Абалакин И.В., Жохова А.В., Четверушкин Б.Н. Кинетически-согласованные разностные схемы на нерегулярных сетках, Математическое моделирование, 1997. Т.9, № 7.

4. Абалакин И.В., Жохова А.В., Четверушкин Б.Н. Кинетически согласо-ванный алгоритм для расчета газодинамических течений на треугольных сетках, Математическое моделирование, 1998. Т. 10, № 4, с.51-60.

5. Абалакин И.В., Жохова А.В. Кинетически-согласованные разностные схемы с коррекцией на треугольных сетках, Дифференциальные уравнения, 1998, Т.34, № 7, с.904-910.

6. Абалакин И.В., Жохова А.В., Четверушкин Б.Н. Разностные схемы на основе кинетического расщепления вектора потока, Математическое модели-рование, 2000. Т.12, № 4, с.73-82.

7. Абалакин И.В., Жохова А.В., Четверушкин Б.Н. Кинетически-согласованные схемы повышенного порядка точности, Математическое моделирование, 2001. Т.13, № 5, с.53-61.

8. I.V. Abalakin, A. Dervieux, Т.К. Kozubskaya A vertex centered high order MUSCL scheme applying to linearised Euler acoustics, INRIA report, № 4459, 2002.

9. Абалакин И.В., Суков С.А., Моделирование внешнего обтекания тел на многопроцессорных системах с использованием тетраэдрических сеток. В сб. "Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-технологических систем", вып. 7, под ред. JI.A. Уваровой. М., Изд-во "Janus-K", 2004, с. 52-57.

Автор выражает благодарность своему научному руководителю Борису Николаевичу Четверушкину за формирование своих научных взглядов и постоянное внимание в ходе работы над диссертацией; Татьяне Геннадиевне Елизаровой, чьи советы и полезные замечания способствовали написанию диссертации; Людвигу Вацлавовичу Дородницыну и Сергею Александровичу Сукову за помощь в постановке граничных условий и параллельной реализации кинетических схем на многопроцессорной вычислительных системах.

Заключение

В заключении кратко суммированы основные результаты работы, выносимые на защиту:

1. Предложены новые методы кинетического расщепления. Проведен анализ кинетически-согласованных разностных как схем расщепления вектора потока. Выведены новые аппроксимации уравнений Эйлера на основе кинетиче-ского расщепления вектора потока.

2. Разработаны алгоритмы повышения порядка точности кинетически согласованных разностных схем с использованием методики MUSCL.

3. Построены кинетических схемы, аппроксимирующие уравнения Эйлера с повышенным порядком аппроксимации на неструктурированных треугольных и тетраэдральных сетках.

4. Проведен сравнительный анализ квазигазодинамической системы уравнений и системы уравнений Навье-Стокса как системы уравнений. Построена аппроксимация квазигазодинамической системы на неструктурированных тетраэдральных сетках.

1. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. М.: Наука, 1997.—320с.

2. Волчинская М.И., Павлов А.Н., Четверушкин Б.Н. Об одной схеме интегрирования уравнения уравнений газовой динамики. — М.: Препринт ИПМ АН СССР им. М.В. Келдыша №113, 1983, 12с.

3. Коган М.Н. Динамика разреженного газа. М.: Наука, 1967 — 440 с.

4. Четверушкин Б.Н. Кинетически-согласованные схемы в газовой динамике. М.: МГУ, 1999 232 с.

5. Четверушкин Б.Н. Кинетические схемы и квазигазодинамическая система уравнений. М.: Макс Пресс, 2004.— 332 с.

6. Поткин В.В. Кинетический анализ разностных схем для газовой динамики. //Журнал вычислительной математики и математической физики -1975. т. 15, М.- С. 1492-1498.

7. Аристов В. В., Черемисин Ф. Г. Консервативный метод расщепления для уравнения Больцмана. //Журнал вычислительной математики и математической физики -1980. т. 20, №1- С. 191-207.

8. Аристов В. В., Черемисин Ф. Г. Решение уравнений Эйлера и Навье-Стокса на основе операторного расщепления кинетического уравнения. // Доклады АН СССР 1983.- т. 272, вып. 3.- С. 555-559.

9. Лукшин А.В. Разностные аналоги уравнения Больцмана и уравнения макроскопической динамики. // Дифференциальные уравнения —1985.- т. 21, №7.- С. 1202-1208.

10. Deshpande S.M. On the maxwellian distribution symmetric form and entropy conservation for Euler equations. // NASA Technical Paper 2583,1986.

11. Deshpande S.M. Kinetic theory based new upwind methods for inviscid compressible flow. // AIAA Paper 86-0275, 1986.

12. Алексеев Б.В., Полев В.В. Расчет структуры ударной волны с помощью уравнений газовой динамики высокой точности. В сб.: Механика и электродинамика. М.: Ин-т механики МГУ, 1980, с.37-43.

13. Климонтович Ю.Л. О необходимости и возможности единого описания кинетических и гидродинамических процессов. //Журнал теоретической и математической физики —1992. — т. 92, №2.— С. 312-330.

14. Елизарова Т.Г., Шеретов Ю.В. Инвариантный вид и асимтотические свойства обобщенной квазигазодинамической системы. //Журнал вычислительной математики и математической физики —1991. — т. 31, т.- С. 1042-1050.

15. Шеретов Ю.В. Уравнения Навье-Стокса как асимптотика обобщенной квазигазодинамической системы — М.: Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, №46, 1990,12с.

16. Елизарова Т.Г. Квазигазодинамические уравнения и методы расчета вязких течений. М.: Научный мир, 2007.— 352 с.

17. Елизарова Т.Г., Четверушкин Б.Н. Кинетические алгоритмы для расчета газодинамических течений. //Журнал вычислительной математики и математической физики —1985. — т. 25, №10.— С. 526-533.

18. Елизарова Т.Г. О классе кинетически-согласованных разностных схем газовой динамики. //Журнал вычислительной математики и математической физики -1987. т. 27, №11- С. 1753-1757.

19. Елизарова Т.Г., Четверушкин Б.Н. Кинетически-согласованные разностные схемы для моделирования течений вязкого теплопроводного газа. //Журнал вычислительной математики и математической физики -1988. т. 28, Ml- С. 695-710.

20. Steger J.L., Warming R.F. Flux Vector Splitting of the Inviscid Gasdynamic Equations with Application to Finite-Difference Methods. // J. Comput. Phys.- 1981.- vol. 40 P. 263-293.

21. Osher S., Solomon F. Upwind Difference Schemes for Hyperbolic Systems of Conservation Laws. // Mathematics of Computation.— 1982.— vol.38, №158.-P. 339-374.

22. Гиршфелъдер Дж., Кертисс Ч., Берд Р. Молекулярная теория газов и жидкостей. М.: Иностранная литература, 1961.— 928 с.

23. Четверушкин Б.Н., Елизарова Т.Г. Об одном вычислительном алгоритме для расчета газодинамических течений. // Доклады АН СССР 1984.- т. 279, вып. 1.- С. 80-83.

24. Численное решение многомерных задач газовой динамики. Под ред. Годунова С.К. М.: Наука, 1976.- 400 с.

25. Елизарова Т.Г., Четверушкин Б.Н. Использование кинетических моделей для расчета газодинамических течений. В сб.: Математическое моделирование. Процессы в нелинейных средах. — М.: Наука, 1986, с.261-278.

26. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. М.: Мир, 1972. 418 с.

27. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычмслений. Том I. М.: ГИФМЛ, 1962.- 464 с.

28. Абалакин И.В., Жохова А.В., Четверушкин Б.Н. Разностные схемы на основе кинетического расщепления вектора потока. // Математическое моделирование -2000 т. 12, №4 - С. 73-82.

29. Harten A. High Resolution Schemes for Hyperbolic Conservation Laws. //J. Сотр. Phys.- 1983.- vol. 49, P. 357-393.32. van Leer B. Flux-Vector Spliting for the Euler Equations. // Lecture Notes in Physics- 1982. vol. 170, P. 507-512.

30. Roe Ph.L. Approximate Riemann Solvers, Parameter Vectors and Difference Schemes. //J. Comput. Phys-1981 vol. 43,P 357-372.

31. Абалакин И.В., Четверушкин В.Н. Применение кинетически-согласованных разностных схем для моделирования течений умеренно разреженного газа. // Математическое моделирование —1992 — т. 4, №11 — С. 20-35

32. Harten A. On the symmetric form of systems of Conservation Laws with Entropy. //J. Comput. Phys 1983.- vol.49, P. 151-164.

33. Колган В.П. Применение принципа минимальных значений производных к построению конечно-разностных схем для расчета разрывных решений газовой динамики, Ученые записки ЦАГИ —1972.— т. 3, №6.— С. 68-77.

34. Вязников К.В., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П. Построение монотонных разностных схем повышенного порядка аппроксимации для системуравнений гиперболического типа. //Математическое моделирование -1989.- т. 5, М- С. 95-120.

35. Неледова А.В., В.Ф. Тишкин В.Ф. Использование адаптивных сеток нерегулярной структуры для расчета разрывных течений с повышенным порядком точности. //Дифференциальные уравнения —1996.— т. 32, №7.- С. 976-985.

36. Mulder W.A. and van Leer В. Experiments with Implicit Upwind Methods for the Euler Equations. //Journal of Computational Physics— 1985. — vol.59, P.232-246.

37. Roe Ph.L. Some contributions to the modelling of discontinuous flows. AMS, Providence, Lectures in Applied Mathematics 22 —1985 — P. 163193.

38. Sweby P.K. High Resolution Schemes Using Flux Limiters for Hyperbolic Conservation Laws. //SIAM Journal on Numerical Analysis— 1984.— vol.21. P.995-1011.

39. Жмакин А.И., Фурсенко А.А. Об одной монотонной разностной схеме сквозного счета. //Ж. вычисл. матем и матем. физ.—1980.— т. 20, №4.— С. 1021-1031.

40. Woodward P. and Golella P. The Numerical Simulation of Two-Dimensional Fluid Flow with Strong Shocks. //J. Сотр. Phys.- 1984.- vol. 54, P. 115135.

41. Colella P. and Woodward P. The Piecewise Parabolic Method for Gasdynamical Simulation. //J. Сотр. Phys 1984 - vol.54, P. 174-201.

42. Абалакин И.В., Жохова А.В., Четверушкин Б.Н. Кинетически согласованный алгоритм для расчета газодинамических течений на треугольных сетках. // Математическое моделирование —1998.— т. 10, №4 — С. 51-60.

43. Абалакин И.В., Жохова А.В. Кинетически-согласованные схемы с коррекцией на треугольных сетках. // Дифференциальные уравнения — 1998.- т. 34, №7.- С. 904-910.

44. Абалакин И.В., Жохова А.В., Четверушкин Б.Н. Кинетически согласованные схемы повышенного порядка точности. // Математическое моделирование —2001.— т. 13, №5.— С. 53-61.

45. Тхир А.В. Метод продвинутого фронта для построения двумерных неструктурированных сеток. В сб.: Численные методы и приложения., под ред. Кузнецова Ю.А., ИВМ РАН, Москва, 1995, с. 151-160. Деп. в ВИНИТИ ДО394-В95.

46. Barth Т. Numerical methods for conservation laws on structured and unstructured meshes //VKI for Fluid Dynamics, Lectures series, 2003-03.

47. Desideri J.A., A.Dervieux A. Compressible Flow Solvers Using Unstructured Grids. // VKI for Fluid Dynamics, Lectures series, 1988-05.

48. Черный Г.Г. Газовая динамика. M.: Наука, 1988.— 424 с.

49. Vassilevski Yu. and Lipnikov К. An adaptive algorithm for quasioptimal mesh generation. // Computational Mathematics and Mathematical Physics- 1999.- vol. 39,№9.- P. 1468-1486.

50. Шеретов Ю.В. // Квазигидродинамические уравнения как модели течений сжимаемой вязкой теплопроводной среды. //Применении функционального анализа в теории приближений. Тверь: Тверской государственный университет, 1997 — С,.127-155.

51. Liao S.-J. An analytic approximation of the drag coefficient for the viscous flow past a sphere. // International Journal of Non-Linear Mechanics — 2002.-vol.37.- P. 1-18.