автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Полностью консервативные разностные схемы для уравнений газовой динамики в эйлеровых переменных

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Необходимые условия полной консервативности разностной схемы для уравнении газовой динамики в эйлеровых переменных в терминах дифференциального приближения.

§1. Уравнения газовой динамики в эйлеровых переменных. Некоторые сведения

§2. Метод дифференциального приближения. Основные понятия. " :

§3. Необходимые условия полной консервативности в терминах дифференциального приближения.

ГЛАВА 2. Полностью консервативные разностные схемы

§1. Четырехпараметрическое семейство полностью консервативных разностных схем с термодинамическими параметрами, определенными в центре расчетной сетки.

2.1.1. Построение разностной схемы.

2.1.2. Тестовые задачи.

2.1.3. Численный анализ.

§2. Восьмипараметрическое семейство полностью консервативных разностных схем с газодинамическими параметрами, определенными в узлах расчетной сетки.

2.2.1. Построение разностной схемы.

2.2.2. Устойчивость и полная консервативность.

2.2.3. Численный анализ.

ГЛАВА 3. Полностью консервативные разностные схемы при установлении.

§1. Пятипараметрическое семейство полностью консервативных разностных схем при установлении с термодинамическими параметрами, определенными в центре расчетной сетки.

3.1.1. Построение разностной схемы.

3.1.2. Численный анализ.

§2. Восьмипараметрическое семейство полностью консервативных разностных схем при установлении с газодинамическими параметрами, определенными в узлах расчетной сетки.

3.2.1. Построение разностной схемы.

Математическое моделирование многих задач науки и техники сводится к дифференциальным уравнениям. Так, одним из наиболее универсальных и широко распространенных методов численного решения дифференциальных уравнений в настоящее время является конечно-разностный метод. Развитию теории конечно-разностных методов посвящено много работ. Среди наиболее значимых, где приведены теоретические основы теории разностных схем, отметим монографии [7], [47], [79], [82]-[84], [100].

Широко используется конечно-разностный метод для расчета газодинамических течений, описываемых квазилинейными системами уравнений в частных производных гиперболического типа. В книгах [1], [5], [34], [80], [85], [98] достаточно полно изложены теоретические основы применяемых здесь конечно-разностных методов. В связи с необходимостью численного решения множества прикладных задач разного характера в данной области разработано множество разностных схем, обладающих теми или иными свойствами. Поэтому рост числа разностных схем и разнообразных их модификаций, а также возможность построения бесконечно много различных аппроксимаций разностными схемами исходной системы обыкновенных дифференциальных уравнений привело к повышению роли критериев их отбора или построения разностной схемы, обладающей заранее заданными свойствами для наилучшего численного решения конкретно поставленной задачи. Указанная причина привела к необходимости разработки концепции автоматизированной системы построения и исследования разностных схем.

Одним из основных требований к разностным схемам, аппроксимирующим консервативные системы обыкновенных дифференциальных уравнений [50], [51], [80], является принцип консервативности [82] и полной консервативности [85]. На важность выполнения свойств консервативности впервые указали А.Н. Тихонов и А.А.Самарский, обнаружив, что при невыполнении консервативности следует ожидать, что предельное разрывное решение разностной схемы не удовлетворяет закону сохранения аппроксимируемог уравнения [93], [94]. В работах Остапенко В.В. показано, что для неконсервативных схем отсутствует сходимость их разностных решений на фронте ударной волны к обобщенным решениям аппроксимируемой системы, и сделаны оценки возникающего при этом дисбаланса [54]-[57], [61]-[63], [73]. В настоящее время исследованию свойства консервативности разностных схем посвящено множество работ, в том числе [36], [38], [39], [41],[42], [48], [52], [53], [58]-[60], [64]-[72], [74], [75], [86].

Изучению и построению полностью консервативных разностных схем посвящен ряд работ. Исследование этих вопросов можно найти в монографиях [85], [98] и, в частности, в работах [3], [16], [17], [27], [40], [77] и других. Определенный интерес вызывает изучение разного рода согласованных схем [25], [26], [37].

Необходимость численного решения задач течения с сильными пространственными деформациями дала толчок к активному развитию разностных схем в эйлеровых переменных, в том числе и полностью консервативных [10]-[15], [29], [35], [43], [76], [78], [81], [97]. Требование полной консер6 вативности необходимо, в частности, для разностных схем, применяемых к решению задач на достаточно "грубых" расчетных сетках, а также для разностных схем, в которых важен учет особенностей разностной схемы, связанных с уравнением энтропии. Надо заметить, что в задачах с сильными сдвиговыми деформациями течения хорошо проявляют себя полностью консервативные разностные схемы в эйлеровых переменных, тогда как использование полностью консервативных разностных схем в лагранжевых переменных практически невозможно. Здесь и далее полную консервативность разностной схемы будем понимать в смысле определений, приведенных в работах [44], [85], а именно: разностную схему, аппроксимирующую систему уравнений газовой динамики в недивергентном виде, назовем полностью консервативной, если с помощью эквивалентных преобразований, соответствующих непрерывному случаю, из нее можно получить разностную аппроксимацию полной линейно независимой системы законов сохранения и балансных соотношений для этой недивергентной системы уравнений, и при этом дивергентным дифференциальным уравнениям будут соответствовать дивергентные разности.

Построению и анализу полностью консервативных разностных схем для уравнений газовой динамики в эйлеровых переменных и посвящена настоящая работа.

Задача построения полностью консервативных разностных схем (ПКРС) в эйлеровых переменных, в отличие от лагранжевых, принципиально усложняется из-за наличия конвективных потоков, члены с которыми в исходных уравнениях необходимо аппроксимировать согласованным образом, чтобы при выполнении всех законов сохранения не возникало каких-либо дополнительных источников энтропии [46].

Проблема построения П.К.Р.С в эйлеровых переменных для уравнений газовой динамики, в силу указанной причины, стояла открытой вплоть до 1980 года.

Впервые схема с указанными свойствами была построена Кузьминым A.B., Макаровым B.JL, Меладзе Г.В. в работе [44]. Предлагаемая схема является трехслойной с симметричной аппроксимацией конвективных членов, и все газодинамические параметры определяются в целых узлах расчетной сетки.

В настоящее время отсутствует универсальный метод построения полностью консервативных разностных схем (ПКРС) для задач механики сплошной среды. Широко известные методы, такие, как интегроинтерполяционный метод формальной аппроксимации дифференциальных уравнений в дивергентной форме, не гарантируют построения ПКРС.

Первая попытка формализовать процесс построения ПКРС сделана в [18], где на основании вариационного принципа, основанного на использовании принципа наименьшего действия по Гамильтону, строятся ПКРС для многомерных уравнений газовой динамики и магнитной гидродинамики в переменных Лагранжа.

Для дифференциального уравнения газодинамических течений в смешанных эйлеро-лагранжевых (СЭЛ) переменных принцип наименьшего действия описан в [20]. В [2], применяя новый принцип, была построена разностная схема на на СЭЛ переменных. Преимущество вариационного принципа 8 заключается в достаточно высоком уровне формализации и в простоте конструирования разностной схемы. О вариационном методе построения разностных схем можно найти в работах [8], [9], [19].

В работах [87], [88], [89], [90], [91] предложен так называемый метод опорных операторов. Недостатком операторного метода является то, что открытым остается вопрос аппроксимации получаемых уравнений по времени и симметричность аппроксимации конвективных членов, что приводит к немонотонности. Дальнейшее развитие метода опорных операторов основывается на так называемой "каскадной" форме записи уравнений газодинамики [16]. Такой подход позволил получить ПКРС на подвижных расчетных сетках [10], [12]-[14] и полностью консервативные алгоритмы коррекции потоков [11].

В работе [45] предложен метод построения ПКРС, в котором задача построения ПКРС сводится к задаче нахождения решения системы нелинейных алгебраических уравнений относительно неизвестных числовых параметров исходной схемы. С помощью описанного подхода показаны невозможность получения неявной полностью консервативной схемы в 9-точечном 14-параметрическом семействе и невозможность построения двухслойной ПКРС в 11-параметрическом семействе для системы разностных уравнений, аппроксимирующих одномерные нестационарные уравнения газовой динамики в переменных Эйлера.

В работе [41] предлагается подход, в котором ПКРС получают, исходя из законов сохранения массы, импульса и энергии дискретной среды, записанных в форме квадратур9 ных равенств.

Для анализа свойств и классификации разностных схем, а так же для построения новых разностных схем с заранее заданными свойствами, с большим успехом применяется метод дифференциального приближения в работах [21], [22], [23], [24], [49], [92], [95], [96],[98], [99], [101], [102]. Такие возможности метода дифференциального приближения (МДП) позволили взять его за основу при разработке концепции автоматизированной системы построения разностных схем. Авторами этой концепции являются Ю.И.Шокин и H.H. Яненко.

Данная диссертация является продолжением осуществления этой концепции. В настоящей работе при построении П.К.Р.С. для уравнений газовой динамики в эйлеровых переменных применяются необходимые условия полной консервативности, выраженные в терминах дифференциального приближения.

Работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литератур. Перейдем к обзору содержания предлагаемой работы. Во введении приводится краткое содержание диссертации, обсуждаются актуальность, цель и основные результаты работы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ. Основные результаты работы:

1. Предложен метод построения ПКРС для уравнений газовой динамики в эйлеровых координатах с применением метода дифференциального приближения. Предложенный метод можно реализовать на современных компьютерах для автоматизации построения ПКРС, что существенно упрощает процесс построения ПКРС в эйлеровых переменных.

2. Построены четырехпараметрическое семейство ПКРС и пятипараметрическое семейство ПКРС при установлении с термодинамическими параметрами, определенными в центрах расчетных ячеек. Построены восьмипараметрическое семейство ПКРС и восьмипараметрическое семейство ПКРС при установлении с газодинамическими параметрами, определенными в узлах расчетной сетки.

3. Требования выполнения свойства полной консервативности (ПК) к исходным многопараметрическим разностным

113 схемам дает аппроксимацию члена с давлением в уравнении движения, симметрическую или сопряженную к конвективным членам уравнений, что важно для устойчивости разностной схемы. Предложены два семейства разностных схем со свободными числовыми параметрами. Требование выполнения свойства ПК приводит к условно устойчивой разностной схеме.

4. Рассмотрен широкий круг ПКРС и ПКРС при установлении. Численные расчеты показывают, что среди рассматриваемых семейств схемы с газодинамическими параметрами, определенными в узлах сетки, уступают схемам с термодинамическими параметрами, определенными в центре расчетной сетки. Выделен ряд схем, которые с большой точностью передают волну разрежения, а в окрестности ударной волны и контактного разрыва по качеству не уступают схемам Жмакина-Фурсенко и Бориса-Бука.

Белоцерковский О.М. и др. Числешюе исследование современных задач газовой динамики. М.: Наука, 1974. - 397 с.

Гасилов В.А., Головизнин В.М., Сороковикова О.С. Вариационный подход к построению дискретных математических моделей газовой динамики в смешанных эйлерово-лагранжевых переменных. М:. ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР. Препринт. 1983, N 35.

Гасилов В.А.,Крылов С.Ф.,Сороковикова О.С.,Ткаченко С.И. Применен-ние полностью консервативных разностных схем к расчету двумерных маг-нитогидродинамических течений .// Ж.вычисл. матем. и матем. физ. 1988. Т.28, N 5. С.717-729.

Гнедин Ю.И. Консервативность конечно-разностных и проекционных методов. М.: Ин-т. прикл. матем. РАН, 1994. Препринт. N 53. С. 1-21.

Годунов С.К. и др. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М.: Наука, 1976. 400 с.

Годунов С.К. Разностный метод численного расчета разрывных решений гидродинамики. // Мат. сб., 1959. Т.47, Вып.З. С.276-306.

Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М.: Наука,1973. 400 с. Головизнин В.М., Коршия В.К., Сабитова A.A., Самарская Е.А. Об устойчивости вариационно-разностных схем газовой динамики. // Дифф. ур-ния. Минск, 1984. Т.20. N 7. С.1173-1181.

Головизнин В.М., Коршия В.К., Самарский A.A. и др. Вариационные схемы магнитной гидродинамики в произвольной системе координат.// М.: Ж. вычисл. матем. и матем. физики, 1981. Т.21, N 1. С.54-68.

Головизнин В.М., Краюшкин И.Е., Рязанов М.А., Самарский A.A. Двумерные полностью консервативные разностные схемы газовой динамики с разнесенными скоростями.-М.: ИПМ им. Келдыша, АН СССР. Препринт N 105, 1983.

Головизнин В.М., Рязанов М.А., Самарский A.A., Сороковикова О.С. Полностью консервативнал коррекция потоков в задачах газовой динамики

1. Головизнин В.М., Рязанов М.А., Самарский A.A., Чернов С.Ю. Двумерная полностью консервативная разностная схема для уравнений газовой динамики в смешанных эйлерово-лагранжевых переменных. М.: ИПМ им. Келдыша АН СССР. Препринт N 11, 1985.

2. Головизнин В.М., Рязанов М.А., Самарский A.A., Чернов С.Ю. Полностью консервативные разностные схемы газовой динамики на криволинейных эйлеровых сетках. М.: ИПМ им. Келдыша АН СССР, препринт N 39, 1985.

3. Головизнин В.М., Рязанов М.А., Самарский A.A., Сороковикова О.С. Разностные схемы газовой динамики со сбалансированными аппроксимациями конвективных потоков. М.: ИПМ им. Келдыша АН СССР. Препринт N 56,1984. 30 с.

4. Головизнин В.М.,Рязанов М.А., Самарский A.A., Сороковикова О. С.б, Чернов С.Ю. Разностные схемы газовой динамики со сбалансированными конвективными потоками. М.: В сб. Вычислительные методы в математической физике, изд. МГУ, С. 5-41, 1986.

5. Головизнин В.М., Рязанов М.А., Сороковикова О.С. Полностью консервативные дифференциально- разностные схемы газовой динамики в смешанных эйлерово-лагранжевых переменных. М.: ИПМ им. Келдыша АН СССР, 1982, N 19. С. 18.

6. Головизнин В.М., Сабитова A.A., Самарская Е.А. О полностью консервативных локально- баротропных разностных схемах газовой динамики в смешанных эйлерово-лагранжевых переменных. // Дифференц. уравнения,1985. Т. 21, N 7. С. 1144-1155.

7. Головизнин В.М., Самарский A.A., Фаворский А.П. Вариационный метод получения разностных схем для уравнений магнитной гидродинамики. М.: ИПМ АН СССР. Препринт, 1976, N 65.

8. Головизнин В.М.,Самарский А.А.,Фаворский А.П. Вариационный подход к построению конечно разностных моделей в гидродинамике. // Докл. АН. СССР,1977. Т. 235, N 6. С. 1285-1288.

9. Головизнин В.М., Самарский A.A., Фаворский А.П. Вариационный принцип получения уравнений магнитной гидродинамики в смешанных эйлерово-лагранжевых переменных. // Ж. вычисл. матем. и матем. физики, 1981. Т. 21, N 2. С. 409-422.1. Литература 116

10. Давыдов Ю.М. Исследование устойчивости разностных схем на границах расчетной области методом дифференциального приближения. // Докл. АН СССР, 1979. Т. 224, N 6. С. 1298-1302.

11. Давыдов Ю.М.Структура аппроксимационной вязкости. // Докл. АН СССР, 1979. Т. 245, N 4. С. 812-816.

12. Давыдов Ю.М.Применение метода дифференциальных приближений для исследования и построения нелинейных разностных схем. // Числен, методы механ. сплошной среды. Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР. 1980. Т.П. N 4. С. 41-59.

13. Давыдов Ю.М. Дифференциальные приближения и представления разностных схем. М.: МФТИ, 1981. 130.

14. Елизарова Т.Г. О классе кинетически согласованных разностных схем газовой динамики // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1987. Т. 27, N 11. С. 1748-1752.

15. Елизарова Т.Е., Четверунгкин Б.Н. Использование кинетических моделей для расчета газодинамических течений. // Ж. вычисл. матем.и матем.физ., 1985. Т.25, N 10. С. 1516-1523.

16. Жаровцев В.В. Об одной полностью консервативной разностной схеме для газодинамических уравнений //Ж. вычисл. матем. и матем.физ., 1977. Т. 17, N 5. С. 1320-1324.

17. Жмакин А.И.,Фурсенко A.A. Об одной монотонной разностной схеме сквозного счета // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1980. Т.20, N 4.

18. Иванов Ф.В. Об одном классе полностью консервативных разностных схем для многомерной газовой динамики.// В сб.: "Численный анализ и пакеты прикладных программ". Красноярск: Изд. КРУ, 1986. С. 86-95.

19. Иванов Ф.В. О двух классах полностью консервативных разностных схем для уравнений газовой динамики в эйлеровых переменных // Математическое моделирование в науке и технике. Пермь, 1986. С.152.

20. Иванов Ф.В. О двух классах разностных схем для уравнений газовой динамики в эйлеровых координатах. М.: ВИНИТИ. Деп. N 1593-В92, 1992.1. Литература 117

21. Иванов Ф.В. Схемы полностью консервативные при установлении // Математические модели и численные методы механики сплошных сред. Новосибирск: Изд. СО РАН, 1996. С. 291-292.

22. Ковеня В.М., Яненко H.H. Метод расщепления в задачах газовой динамики. Новосибирск: Наука, 1981. 304 с.

23. Колдоба A.B., Повещенко Ю.А., Попов Ю.П. Двухслойные полностью консервативные разностные схемы для уравнений газовой динамики в переменных Эйлера // Ж. вычисл.матем. и матем. физ., 1987. Т. 27, N 5.

24. Компанией JI.A. Применение квадратурных формул для построения и анализа разностных схем. Новосибирск.: ИТПМ СО АН СССР, 1982. Препринт N 13. 32 с.

25. Коробицын В.А. Термодинамически согласованные разностные схемы // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1989. Т. 29, N 2. С. 309-312.

26. Коробицын В.А. Инвариантные разностные схемы и законы сохранения // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1989. Т. 29, N 7. С. 1067-1078.

27. Коробицын В.А. Законы сохранения инвариантных дифференциально-разностных схем // Матем. моделирование, 1989. Т. 1, N 8. С. 1167-1177.

28. Коробицын В.А. Полностью консервативные осесимметричные разностные схемы в криволинейных ортогональных системах координат. // Ж. вычисл.матем. и матем. физ., 1992. Т. 32, N 5. С. 810-815.

29. Коробицын В.А. Законы сохранения в дискретных моделях сплошной среды. Ч. 1 // Числ. методы механ. сплошной среды. Новосибирск: СО АН СССР, 1986. Т. 17, N 4. С. 77-101.

30. Коробицын В.А. Квадратурно-аппроксимационный подход к построению разностных схем динамики несжимаемой вязкой жидкости в переменных Эйлера //В сб.: "Динамика упругих и твердых тел, взаимодействующих с жидкостью". Томск: Изд. ТГУ, 1984. С. 57-63.

31. Кузьмин A.B. Полностью консервативная разностная схема газодинамики в ортогональных криволинейных координатах. Вычисл. и прикл. мат. Киев, 1986. N 58. С. 9-15.

32. Кузьмин A.B., Макаров M.JL, Меладзе Г.В. Об одной полностью консервативной разностной схеме в переменных Эйлера. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1980. Т. 20. N 1. С. 171-181.

33. Кузьмин A.B., Макаров B.JI. Об одном алгоритме построения полностью консервативных разностных схем. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1982. Т.22. N 1. С.123-132.

34. Остапенко В.В. Оценки дисбалансов газодинамических величин, возникающих при счете по неконсервативным разностным схемам бегущей ударной волны. // Числ. методы механ. сплошной среды. Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР, 1983. Т.14. N 6. С.130-144.

35. Остапенко В.В. О сходимости разностных схем сквозного счета на разрывных решениях. // Динамика сплошной среды. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО АН СССР. 1985. Вып.69. С.155-160.

36. Остапенко В.В. О дивергентности конечно-разностных операторов. // Динамика сплошной среды. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО АН СССР. 1985. Вып. 70. С.105-126.

37. Остапенко В.В. О консервативности конечно-разностных схем. // Докл. АН СССР. 1985. Т.284. N 1. С.47-50.

38. Остапенко В.В.О стандартной аппроксимации дифференциальных операторов. // Динамика сплошной среды. Новосибирск: Ин-т. гидродинамики СО АН СССР. 1985. Вып.72. С.67-83.

39. Остапенко В.В. О сходимости на ударной волне разностных схем сквозного счета инвариантных относительно преобразования подобия. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1986. Т.26. N 11. С.1661-1678.

40. Остапенко В.В. Метод оценки дисбалансов, возникающих при расчете ударной волны по неконсервативным разностным схемам. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО АН СССР. 1986. Вып.78. С.108-127.

41. Остапенко В.В. Метод теоретической оценки дисбалансов неконсервативных разностных схем на ударной волне. // ДАН СССР. 1987. Т.295. N 2.

42. Остапенко В.В. Один способ построения консервативных разностных схем гидродинаки. // Ин-т гидравлики СО АН СССР. 1987. Вып.79. С.70-77.

43. Остапенко В.В. О консервативных разностных схемах, заданных на неоднородных сетках. // Динамика сплошной среды. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО АН СССР. 1988. Вып.84. С.76-90.

44. Остапенко В.В. О дивергентности дифференциальных операторов, заданных на неоднородной разностной сетке. // ДАН СССР, 1989. Т.304. N 6.

45. Остапенко В.В. Об эквивалентных определениях понятия консервативности для конечно-разностных схем. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1989.1. Т.29. N 8. С. 1114-1128.

46. Остапенко B.B. Об аппроксимации законов сохранения разностными схемами сквозного счета на разрывных решениях. // Динамика сплошной среды. Новосибирск: ИГ СО АН СССР. 1989. Вып.89. С.129-138.

47. Остапенко В.В. Оценка дисбалансов неконсервативной разностной схемы на ударной волне, распространяющейся с переменной скоростью. // Моделирование в механике. Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР, 1990. Т.4(21). N 1. С.39-47.

48. Остапенко В.В. О локальном выполнении законов сохранения на фронте "размазанной" ударной волны. // Математическое моделирование. 1990. Т.2. N 7. С.129-138.

49. Остапенко В.В., Сапожников Г.А. О неконсервативвых разностных схемах газовой динамики. // Числ. методы механ. сплошной среды. Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР, 1983. Т.14. N 2. С.103-113.

50. Повещенко Ю.А., Попов С.В., Сыроватская Т.Н. Исследование устойчивости двухслойных разностных схем газово динамики в переменных Эйлера. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша, 1988, С.30.

51. Попов Ю.П.,Самарский A.A. Полностью консервативные разностные схемы. // Ж.вычисл.матем.и матем. физ. 1969. Т.9. N 4. С.953-958.

52. Попов Ю.П.,Самарский A.A. Полностью консервативные разностные схемы для уравнений газовой динамики в переменных Эйлера. // Ж. вычисл. матам, и матем. физ. 1970. Т. 10. N 3. С.773-779.

53. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. М.: Мир. 1972. 418.

54. Рождественский Б.Л.,Яненко H.H. Системы квазилинейных уравнений. М.: Наука, 1978. 687 с.

55. Рязанов М.А., Сороковикова О.С., Черезов В.И., Чернов С.Ю. О сбалансированных разностных схемах газовой динамики. М.: Изд. МГУ. Математические модели и вычислительные методы. 1987. С.246-260.

56. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1983. 616 с.

57. Самарский А.А.,Гулин A.B. Устойчивость разностных схем. М.: Наука, 1973. 415 с.

58. Самарский A.A., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978. 592 с.

59. Самарский А.А.,Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. М.: Наука, 1980. 352 с.

60. Самарский A.A. О консервативных разностных схемах. // Проблемы прикладной математики и механики. М.: Наука, 1971. С.129-136.

61. Самарский A.A. и др. Операторные разностные схемы. // Дифф. ур-ния. 1981. Т.17. N 7. С.1317-1327.

62. Самарский A.A. Тишкин В.Ф., Фаворский А.П., Шашков М.Ю. Операторные разностные схемы. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР. Препринт. 1981, N 9.

63. Самарский A.A. Тишкин В.Ф., Фаворский А.П., Шашков М.Ю. Разностные аналоги основных дифференциальных операторов первого порядка,. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР. Препринт. 1981, N 8.

64. Самарский A.A. Тишкин В.Ф., Фаворский А.П., Шашков М.Ю. О представлении разностных схем математической физики в операторной форме. ДАН СССР, 1981, т.258, N 5, С. 1092-1096.

65. Сидоров А.Ф., Шапеев В.П., Яненко H.H. Метод дифференциальных связей и его применения к газовой динамике. Новосибирск: Наука, 1984.

66. Тихонов А.Н., Самарский A.A. О разностных схемах для уравнений с разрывными коэффициентами. // ДАН СССР. 1956. Т.108. N 3.

67. Тихонов А.Н., Самарский A.A. О сходимости разностных схем в классе с разрывными коэффициентами. // Докл. АН СССР. 1959. Т.124. N 3.

68. Тушева JI.А., Шокин Ю.И., Яненко H.H. О построении разностных схем повышенного порядка аппроксимации на основе их дифференциальных следствий. Некоторые проблемы вычисл. и нрикл. матем. Новосибирск: Наука, 1975. С.184-191.1. Литература 122

69. Федоров А.В., Фомин В.М., Яненко Н.Н. К теории дифференциальных анализаторов контактных разрывов и ударных волн. // Докл. АН СССР. 1985. Т.281. N 1. С.28-32.

70. Нерцвадзе Г.З. Сходимость полностью консервативной разностной схемы для уравнений газовой динамики в эйлеровых переменных. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1992. Т.32. N 7. С.1000-1092.

71. ТТТокин Ю.И.,Яненко Н.Н. Метод дифференциального приближения. Новосибирск: Наука, 1985. 364 с.

72. ТТТокин Ю.И.,Федотова З.И., Марчук Ан.Г. О связи консервативности разностных схем и свойств их первых дифференциальных приближений.

73. Докл. АН СССР. 1978. Т.242. N 4. С.290-293.

74. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск: Наука, 1967. 195.

75. Яненко Н.Н., Шокин Ю.И. Тушева JI.A., Федотова З.И. Классификация разностных схем одномерной газовой динамики методом дифференциального приближения. // Числ. методы механ. сплошной среды. Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР, 1980. Т.П. N 2. С.123-159.

76. Яненко Н.Н., Шокин Ю.И. Компанией Л.А., Федотова З.И. Классификация разностных схем двумерной газовой динамики методом дифференциального приближения. Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР, 1982, препринт N 19. С.53.

77. Boris J. P., Book D. L. Flux-corrected transport. //J. Сотр. Phys. 1973, v. 11, no. 1, p. 38-69.

78. Ivanov F.V., Fedotova Z.I. On new classes of completely conservative difference schemes of gas dynamics. // Symposium on advanced problems and methods in fluid mechanics. Paland, Mragano, 1987. pp. 190-191.

79. Ivanov F.V., Fedotova Z.I., Shokin Yu.I. On complete conservatism of difference schemes. // Numerical methods in fluid dynamics. M.: Mir, 1984, pp. 225-244.

80. Lax P. D., Wendroff B. Systems of conservation laws. Comm. Pure Appl. Math., 1960. V. 13, no. 2. P. 217-297.