автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Балансно-характеристические схемы для дифференциальных уравнений гиперболического типа с инвариантами Римана

российская академия наук

ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ БЕЗОПАСНОГО РАЗВИТИЯ АТОМНОЙ ЭНЕРГЕТИКИ

На правах рукописи

Кобринский Илья Михайлович

Балансно-характеристические схемы для дифференциальных уравнений гиперболического типа с инвариантами Римана.

(05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2003

Работа выполнена в Институте проблем безопасного развития атомной энергетики Российской академии наук.

Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук, профессор

Головизнин Василий Михайлович

Официальные оппоненты:

доктор физ.-мат. наук, профессор Тишкин Владимир Федорович

кандидат физ.-мат. наук, с.н.с. Котеров Владимир Николаевич

Ведущая организация: Факультет Вычислительной Математики и Кибернетики МГУ им. М.В.Ломоносова.

Защита состоится 2-_на заседании

диссертационного совета К 002.058.\)1 при Институте математического моделирования Российской академии наук (ИММ РАН) по адресу 125047 Москва, Миусская пл., 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математического моделирования Российской академии наук.

Автореферат разослан ЪЪ

Л гоъъ 2 ,

Ученый секретарь диссертационного совета к.ф.-м.н.

В.И.Похилко

Состояние вопроса

Проблема аккуратного расчета переноса сеточных величин на эйлеровых сетках остается в настоящее время одной из наиболее значимых проблем вычислительной гидродинамики. Основные трудности связаны с явлениями, проявляющимися на простейшем линейном уравнении переноса с постоянными коэффициентами.

^ + 3 = 0, с = сотг > О 0)

й дх

Ключевым вопросом, обуславливающим точность приближенного решения данного уравнения, является аккуратный расчет разрывов, которые могут иметь место в этом случае. Один из способов заключается в выделении разрывов в явном виде. Однако, такой подход хотя и обеспечивает необходимую точность, но является слишком сложным для реализации. В случае наличия нескольких пространственных измерений для нелинейных систем, типа уравнений газовой динамики, в реальных прикладных задачах достаточно трудно проследить за всеми возникающими разрывами.

Другим подходом является использование однородных разностных схем, позволяющих по единому вычислительному алгоритму проводить расчет как гладких решений, так и решений, содержащих разрывы. Одним из основополагающих принципов здесь является разработанный в работах А.Н.Тихонова и А.А.Самарского принцип консервативности разностных схем. Нарушение этого принципа при расчете разрывов может привести к ошибкам, которые не исчезают при измельчении шагов сетки. В настоящее время принцип консервативности является общепризнанным.

При аппроксимации уравнения (1) на регулярных расчетных сетках линейными, однородными разностными схемами, возникают т.н. фазовые и амплитудные ошибки, искажающие частные решения этого уравнения -бегущие волны. Амплитудные ошибки приводят к уменьшению амплитуды гармоник, проявляющемуся в явлении аппроксимационной вязкости, фазовые - к разбросу в скоростях их распространения и явлению вычислительной дисперсии. Вычислительная дисперсия приводит к немонотонности численного решения, возникновению в процессе расчетов новых минимумов и максимумов. Она связана с недостаточной диссипацией используемых разностных схем и одним из распространенных способов устранения этого недостатка является введение так называемой искусственной вязкости - дополнительных членов в разностных уравнениях, имеющих вид формальных аппроксимаций вяздивни.1ар)0Л№:

БИБЛИОТЕКА

1С. Петербург ■1

гоо^рк

диссипативных процессов с коэффициентами, стремящимися к нулю при измельчении сетки. Такой подход получил широкое распространение при решении задач газовой динамики в лагранжевых переменных. Это связано с тем фактом, что само использование лагранжевых координат фактически выделяет контактные разрывы в явной форме, и остаются только разрывы типа ударных волн, что значительно облегчает правильный выбор коэффициентов искусственной вязкости.

Среди линейных, однородных разностных схем важное место занимают т.н. позитивные схемы, для которых выполняется принцип максимума. У позитивных разностных схем новые максимумы и минимумы не образуются. Классическим примером позитивной разностной схемы является схема "уголок" (Simple Upwind):

„ fltl .»л

+с- ' '"' =0 (2)

т h

Схема (2) является явной, двухслойной, имеет относительно большую область вычислительной устойчивости, определена на минимальном вычислительном шаблоне, обладает свойством транспортивности и имеет первый порядок аппроксимации. Свойство транспортивности гарантирует невозможность распространения возмущений вверх по потоку и корректность учета области влияния решения, выражающееся в естественности учета граничных условий. Схема «уголок» могла бы быть признана идеальной, если бы не присущая ей высокая аппроксимационная вязкость.

Не особенно греша против истины, можно сказать, что вся история работ по сеточному переносу связана с непрекращающимися попытками построения малодиссипативных схем, которые по всем остальным свойствам как можно меньше отличались бы от схемы (2). Важнейшим, среди этих свойств, признается свойство монотонности, вытекающее из свойства позитивности.

Чрезвычайно важную роль в формировании направлений развития сеточно-транспортных алгоритмов сыграла теорема Годунова, утверждающая, что линейные, позитивные разностные схемы не могут иметь порядок аппроксимации выше первого. Теорема Годунова фактически наложила запрет на поиск приемлемого решения в классе линейных алгоритмов и направила усилия математиков на построение и исследования нелинейных разностных схем, свойства которых зависят от получаемого решения. Впервые подобная схема было получена Дж.Борисом и Д.Буком, а в последние десятилетия на этом пути были получены впечатляющие результаты, связанные с развитием идей нелинейной

коррекции потоков и их применением к системам многомерных нелинейных гиперболических уравнений. Это направление не исчерпало еще всех своих потенциальных возможностей и, по всей видимости, будет оставаться магистральным в течение ближайшего ряда лет.

Для квазилинейных систем уравнений гиперболического типа понятие монотонности в строгой форме не сформулировано, и, таким образом, можно говорить только о квазимонотонных схемах, т.е. о практическом отсутствии осцилляций за фронтом разрывов. Однако, несмотря на отсутствие строгих теоретических оценок, нелинейная коррекция потоков (ТУБ, £N0) привела к очень хорошим результатам и для уравнений типа уравнений газовой динамики и в настоящее время стало общепринятым.

Совершено новый подход к решению проблемы сеточного переноса обозначился на пути полного отказа от традиционного понятия аппроксимации - поиску решения в классе кусочно-постоянных функций. В работе Головизнина В.М. и Карабасова С.А. показано, что алгоритм прыжкового переноса на классе кусочно-постоянных функций даёт точное (не улучшаемое) сеточное решение задачи (1) в смысле интегральных средних по ячейке. Факт существования точных алгоритмов даже для простейших случаев заслуживает особого внимания и требует всестороннего изучения и развития на более сложные классы задач.

Цель работы

Целью работы является разработка на основе алгоритма прыжкового переноса нового метода решения квазилинейных гиперболических уравнений, объединяющего балансный и характеристический подходы, обобщение полученного метода на простейшую квазилинейную систему уравнений, так называемую Р-систему, проявляющую свойства, присущие газодинамическим системам и исследование его свойств.

Научная новизна

Разработан новый подход к построению разностных схем для уравнений гиперболического типа - балансно-характеристический. Основанием для его создания послужила обнаруженная возможность записывать трехслойные схемы в двухслойном виде за счет введения двух наборов переменных. Один вид переменных относиться к узлам сетки, а второй к центрам расчетных ячеек. Переменные получили названия потоковых и консервативных соответственно. Консервативные переменные рассчитываются из уравнений баланса, а потоковые переносятся по характеристикам.

Представлены новые разностные схемы для решения простейшего уравнения переноса, разработанные на основе балансно-характеристического подхода - первого и второго порядка точности. Схемы являются линейными, однородными, консервативными. Схемы трехслойные, но записываются в двухслойном виде. Шаблоны схем определены в пределах одной пространственной ячейки. Схемы обладают улучшенными дисперсионными и диссипативными свойствами. Предложена процедура нелинейной коррекции, которая избавляет от осцилляций и повышает транспортивные свойства схем.

При решении квазилинейных уравнений оказалось, что алгоритм прыжкового переноса не подходит для расчета волн разрежения, хотя точно переносит ударные волны. Решение этой проблемы было найдено в объединении алгоритма прыжкового переноса и схемы «КАБАРЕ». Полученный синтетический алгоритм имеет ветвление в расчете потоковых переменных, индикатором для которого служит условие устойчивости разрыва внутри ячейки, определяющее вид решения задачи Римана. В случае выпуклой функции состояния внутри ячейки всегда либо ударная волна, либо волна разрежения. Синтетический алгоритм обладает вторым порядком точности на волнах разрежения, а ударные волны воспроизводит точно.

В случае невыпуклой функции состояния может возникнуть ситуация, в которой решение задачи Римана является комплексом из ударных волн и волн разрежения. Тогда новое значение потоковой переменной находится из условия равенства скорости звука на границе и скорости разрыва. Разработанная методика гарантирует, что ни один сильный или слабый разрыв не будет утерян в процессе расчета.

При обобщении балансно-характеристического метода на уравнения течения политропного газа в лагранжевых переменных мы воспользовались возможностью записи Р-системы в инвариантах Римана. Инварианты Римана стали основными переменными при расчете. Скорость, удельный объем (плотность) и прочие величины вычисляются через инварианты. Алгоритм также имеет ветвление, связанное с различиями в расчете ударных волн и волн разрежения. Для определения вида решения внутри ячейки были выведены соотношения, позволяющие не решать задачу Римана. Задача Римана решается только в стартовой процедуре согласования начальных значений переменных.

Новые элементы при переходе к эйлеровым переменным связаны только с возникновением трансзвуковых ячеек и заметно большим числом вариантов переноса информации из ячеек в узлы. Это приводит к

некоторым усложнениям алгоритма, не имеющим принципиального характера.

Практическая ценность работы

Разработанный подход к построению разностных схем позволяет получать экономичные и простые алгоритмически схемы для решения уравнений конвекции-диффузии, скалярных квазилинейных уравнений и систем квазилинейных уравнений, имеющих инварианты Римана. По точности получаемого решения новые схемы заметно превосходят схемы Годунова, Лакса-Вендроффа и Мак-Кормака и не уступают схемам TVD. При этом отсутствуют недостатки, связанные с нелинейной коррекцией потоков. Полученные схемы обладают свойством монотонности, аппроксимируют гладкие решения со вторым порядком точности, а ударные волны воспроизводят точно. При этом решение задачи Римана требуется только на начальном этапе.

Результаты, представленные в данной работе, являются важным этапом в разработке новейшего метода решения газодинамических уравнений.

Структура и объем

Работа состоит из введения, пяти глав, списка литературы и приложения.

Во введении рассмотрен основной круг проблем, связанных с решением гиперболических уравнений, приведен краткий обзор литературы, отражающей современное состояние соответствующих вопросов и сформулирована цель работы, защищаемые положения и научная новизна данной работы.

Первая глава диссертации носит обзорный характер и посвящена рассмотрению и сравнению существующих методов построения разностных схем для решения дифференциальных уравнений гиперболического типа на примере простейшего уравнения переноса. Несмотря на кажущуюся простоту, это уравнение является серьезной проблемой для вычислителей. На уравнении переноса ярко проявляются особенности разностных схем, а простота в его исследовании позволяет сравнивать их свойства. Глава состоит из пяти параграфов.

В первом параграфе первой главы рассмотрен интерполяционно-характеристический подход к построению разностных схем. Показано, как на его основе могут быть получены следующие классические разностные схемы: «Уголок» (Simple Upwind), «Крест» (Leapfrog), схемы ван Лира и Лакса-Вендроффа, а также схема «Кабаре» (Upwind Leapfrog). Проведен анализ амплитудных и фазовых ошибок всех схем. Наиболее наглядным

способом отображения амплитудных и дисперсионных ошибок является построение диссипативных и дисперсионных поверхностей. При этом по оси Ох откладывается число Куранта г, по оси Оу - приведенное волновое число кЬ, по оси Ог - модуль перехода или приведенная фазовая скорость. Таким же образом можно построить поверхность для групповой скорости

д® , которая показывает особенности распространения волнового пакета. дк

Второй, третий и четвертый параграфы первой главы посвящены результатам, достигнутым в данной области в мире за последние 10-15 лет. Это так называемые «схемы высокой разрешающей способности» - ТУБ и ЕЖ). Кроме того, приведен алгоритм прыжкового переноса, дающий точное решение уравнения переноса.

В пятом параграфе проводится сравнение результатов численных экспериментов. Для каждой схемы проведено три теста с различными начальными данными: «2 горба», кусок синусоиды и прямоугольник. Такой выбор позволяет наглядно продемонстрировать достоинства и недостатки разностных схем. Для проведения тестов использовалась программа, разработанная в ходе работы над диссертацией. Программа предназначена для сравнения результатов расчетов, полученных при помощи различных разностных схем на произвольных начальных данных и пространственных сетках. Подробнее ознакомиться с возможностями программы можно в приложении.

Вторая глава посвящена описанию разностных схем нового типа для решения уравнения переноса. Схемы получили название «балансно-характеристические схемы с разнесенными потоковыми и консервативными переменными». Глава состоит из пятнадцати параграфов.

В первом параграфе проводится детально рассмотрение схемы «КАБАРЕ», которая является предшественницей балансно-характеристические схем. Схема получена на основе интерполяционно-характеристичкого подхода к построению схем. В параграфе описаны основные свойства схемы «КАБАРЕ».

Во втором параграфе схема «КАБАРЕ» представлена в двухслойном виде. Для этого вводится дополнительный набор переменных, относящихся к центрам ячеек и названных «консервативными». Переменные в узлах сетки называются «потоковыми».

В третьем и четвертом параграфах предложены процедуры нелинейной коррекции для потоковых и консервативных переменных соответственно. Потоковые переменные удерживаются в пределах минимума-максимума по ячейке, а для консервативных переменных проводится перенос избытка (восполнение недостатка) в соседние ячейки.

В пятом параграфе описан четырехэтапный алгоритм для схемы «КАБАРЕ» с нелинейной коррекцией консервативных и потоковых переменных и его основные свойства.

В шестом параграфе проводится сравнение описанного алгоритма с двумя известными ТУБ схемами. Для этого использовались три тестовые задачи: единичную ступеньку, занимающую 10 расчетных ячеек, всюду гладкая функция с большими градиентами («2 горба»), положительной частью синусоиды.

В седьмом параграфе приведена балансно-характеристическая интерпретация схемы «КАБАРЕ».

В восьмом параграфе второй главы описаны новые схемы, полученные уже только на основе балансно-характеристического подхода. Предложено две схемы - первого

©п+1/2 1/2 в п

МП л-1/2 | Ум ~Ф/ =0 (3)

т А

га"+| = 2'г ■ 0"+1/2 + ^ г).т" (4)

Ф'+1 (1 + г) ,+"2 (1 + г) ф,+1

и второго порядка точности:

,Н12 | Фм-Ф/ (5)

т А

т"+' + ^ ■СО" I 4Г Q"*"2 (6)

Фы ф' (1 + г) Ф,ч1(1 + г) мп

где r = — > ~~ консервативные, a cpj^1 - потоковые переменные h

Схемы обозначены аббревиатурой BCSSCFV (Balance and Characteristic Scheme with Staggered Conservative and Fluxes Variable). Для схем описаны процедуры монотонизации.

В девятом параграфе приведены результаты расчетов по схемам BCSSCFV. Использовались те же задачи, что и для сравнения схемы «КАБАРЕ» с TVD схемами.

В десятом параграфе построены диссипативные и дисперсионные поверхности для новых схем. Поверхности позволяют подробно изучить свойства схем и определить, который из корней характеристического уравнения является «хорошим», а какой «паразитным».

В одиннадцатом параграфе рассмотрена процедура отбраковки паразитного корня. От влияния паразитного корня можно избавиться согласованием начальных значений консервативных и потоковых переменных.

В двенадцатом параграфе проводится сравнение схем ВСББСРУ и «КАБАРЕ». Изучение достоинств и недостатков схем в зависимости от числа Куранта приводит к идее гибридизации двух схем. Приведен один из возможных вариантов слияния.

В тринадцатом-четырнадцатом параграфах второй главы приводится обобщение полученных схем на случай переменного поля скоростей. Переменное поле скоростей требует особенной процедуры коррекции консервативных и потоковых переменных.

В пятнадцатом параграфе второй главы приводится обобщение полученных схем на уравнение конвекции-диффузии.

Третья глава посвящена решению одного скалярного квазилинейного гиперболического уравнения в форме закона сохранения:

/{и)еС2; ' (7)

к(х,0) = <р(л:) ;

Глава состоит из девяти параграфов.

В первом и втором параграфах третьей главы рассматриваются свойства одного скалярного квазилинейного гиперболического уравнения, аналитическое решение задачи Римана, его свойства, а также описываются традиционные методы численного решения

Третий параграф посвящен расчету волн разрежения. Для волн разрежения используется схема «КАБАРЕ» с монотонизацией. Приведены примеры численного расчета волн разрежения и возникающая невязка.

В четвертом параграфе рассмотрен расчет ударных волн. Распространение ударных волн может быть рассчитано точно при использовании алгоритма прыжкового переноса. Доказательство этого утверждения приведено в пятом параграфе. Алгоритм представлен в виде четырех этапов, что позволит в дальнейшем легко объединить его со схемой «КАБАРЕ».

В шестом параграфе описан синтетический алгоритм «КАБАРЕ-прыжковый перенос» для гиперболических уравнений с выпуклой функцией уравнения состояния. Для уравнения с выпуклой функцией состояния в каждой расчетной ячейке располагается либо ударная волна, либо волна разрежения. Индикатором той или иной ситуации может служить условие устойчивости сильного разрыва. Это дает возможность 10

использовать схему «КАБАРЕ» в одних ячейках, и прыжковый перенос - в других. Генетическое родство двух алгоритмов делает их синтез достаточно органичным и дает возможность осуществлять дальнейшее обобщение синтетического алгоритма.

В седьмом параграфе третьей главы приведены результаты тестовых расчетов. Решались задача Хопфа и задача с кубической нелинейностью. Ударные волны распространяются точно, а на волнах разрежения образуется характерная ошибка, представленная на рис. 1.

Рис. 1. Ошибка схемы «Кабаре-прыжковый перенос» на волне разрежения.

В восьмом параграфе третьей главы проводится обобщение полученного алгоритма на квазилинейные уравнения с невыпуклыми функциями конвективных потоков. В этом случае может возникнуть ситуация, в которой решение задачи Римана является комплексом из ударных волн и волн разрежения. Тогда новое значение потоковой переменной находится из условия равенства скорости звука на границе и скорости разрыва.

В девятом параграфе третьей главы приведены результаты тестовых расчетов. При этом использовались задачи как с одной точкой перегиба (уравнение Лаверетга-Бакли), так и имеющие несколько точек перегиба (в нашем случае три).

СИ^О.б N1=139

1 0.8 0.6 0.4 0.2

-0.447 0.11

и

О

О

20 40 60 80 100

Рис. 2. Результат расчета уравнения Лаверетта-Бакли.

Четвертая глава диссертации посвящена решению простейшей квазилинейной системы уравнений, обладающей присущими газодинамической системе свойствами, так называемой Р-системы. Глава состоит из тринадцати параграфов.

Наиболее простая система квазилинейных уравнений, проявляющая свойства, присущие уравнениям газовой динамики имеет вид:

Система (8) описывает политропные течения газа в лагранжевых переменных. В частном случае у = 2 она отвечает приближению «мелкой воды».

Уравнения (8) рассматриваются как самостоятельный математический объект, описывающий, наряду с реальными, гипотетические течения, не во всем отвечающие течениям реальных сред.

В первом и втором параграфах рассматривается задача Римана для Р-системы, ее представление в инвариантах Римана и аналитическое решение, соответствующее волнам разрежения.

В третьем параграфе рассмотрен расчет волн разрежения. Для волн разрежения используется схема «КАБАРЕ». Основными переменными являются инварианты Римана, через которые вычисляются остальные

а/ 5т

(8)

Р = Р(т1) = ат1~у ; у>1;а>0;т|>0

величины. Приведен пример результатов решения задачи Римана, с данными, соответствующими волне разрежения.

В четвертом параграфе приведена процедура монотонизации решения. Использованием данной процедуры гарантирует отсутствие осцилляций при расчетах.

В пятом параграфе предложен консервативный вариант схемы «КАБАРЕ». Теперь только потоковые переменные вычисляются через инварианты Римана, а консервативные из естественной консервативной аппроксимацией исходных дивергентных уравнений.

В шестом параграфе приведено сравнение схемы «КАБАРЕ» со схемой «Крест». Сравнение проводилось на задаче о разлете в пустоту. Следует отметить, что схема «КАБАРЕ» дает точное значение скорости на границе вакуума.

В седьмом параграфе рассмотрены разрывные решения Р-системы. В окрестности сильного разрыва эти решения сводятся к соотношениям Гюгонио, из которых определяется скорость распространения разрыва.

Восьмой параграф посвящен численному расчету ударных волн. Распространение ударных волн может быть рассчитано точно при использовании алгоритма прыжкового переноса. Доказательство этого утверждения приведено в девятом параграфе. Алгоритм представлен в виде четырех этапов, что позволит в дальнейшем легко объединить его со схемой «КАБАРЕ».

В десятом параграфе рассмотрена задача Римана о распаде произвольного разрыва. Получены важные соотношения, позволяющие определить вид решения задачи Римана, не проводя самого решения.

В одиннадцатом приведена процедура автомодельного подсеточного проектирования, которая позволяет находить подсеточные координаты сильных и слабых разрывов и использовать полученную информацию для корректного определения значений потоковых переменных и определения возвратно-транзитных потоков.

В двенадцатом параграфе описан синтетический алгоритм «КАБАРЕ-прыжковый перенос». Индикатором для использования той или иной схемы служат соотношения, полученные в десятом параграфе.

В тринадцатом параграфе рассмотрены некоторые тестовые задачи и скорость сходимости алгоритма. Приведены задачи Римана, образующие комплексы волн и задача об ускоряющемся поршне. На рис. 3 и 4 представлены результаты расчета задачи Римана, аналитическим решением которой является комплекс из ударной волны и волны разрежения, и модуль возникающей ошибки.

Скорость

—»—Точное решение —»—Численное решение

Рис 3, Результат расчета задачи Романа, соответствующей комплексу из ударной волны и волны разрежения.

Скорость

—•— Разность точного и численного решений

Рис 4. Модуль ошибки схемы «Кабаре-прыжковый перенос» при решении

задачи Римана.

В таблице представлены нормы ошибок, по которым можно судить о скорости сходимости.

Количество точек Норма С для скорости Норма С для удельного объема Норма Ь2 для скорости Норма Ь2 ДЛЯ удельного объема

33 0.04605049 0.0764587 0.012943197 0.017405773

65 0.03221928 0.0538794 0.00690506 0.00957247

129 0.02146694 0.0360205 0.003729965 0.005322367

257 0.0141617 0.239047 0.002039288 0.172576263

513 0.01091268 0.082615 0.001121852 0.001722823

1025 0.00708833 0.0117582 0.000606953 0.000974104

Пятая глава диссертации посвящена решению уравнений движения политропного газа в эйлеровых переменных. Глава состоит из девяти параграфов.

Уравнения движения политропного газа в эйлеровых переменных представляют собой законы сохранения массы и импульса:

др . аРц=о-

а Эх ' (9)

Р = Р(р) = а ру ; у>1;а>0;р>0

Система (9) описывает политропные течения газа в эйлеровых переменных. В частном случае у = 2 она отвечает приближению «мелкой воды».

Уравнения (9) рассматриваются как самостоятельный математический объект, описывающий, наряду с реальными, гипотетические течения, не во всем отвечающие течениям реальных сред.

В первом параграфе рассматривается система уравнений движения политропного газа в эйлеровых переменных, ее представление в инвариантах Римана и аналитическое решение, соответствующее волнам разрежения.

Второй параграф посвящен схеме «КАБАРЕ» для расчета волн разрежения. При расчете задач в эйлеровы переменных требуется анализировать направление характеристик, приносящих информацию в узлы.

В третьем параграфе представлен монотонизатор для схемы «КАБАРЕ». Предложено две процедуры монотонизации - для обычных и для трансзвуковых ячеек.

В четвертом параграфе приведены результаты численных расчетов. Три варианта тестовых задач полностью охватывают все возможные виды волн разрежения. Кроме того, решается задача о разлете в пустоту.

В пятом параграфе рассмотрены разрывные решения Р-системы. В окрестности сильного разрыва эти решения сводятся к соотношениям Гюгонио, из которых определяется скорость распространения разрыва.

В шестом параграфе рассмотрена задача Римана о распаде произвольного разрыва. Получены важные соотношения, позволяющие определить вид решения задачи Римана, не проводя самого решения.

В седьмом параграфе описан синтетический алгоритм «КАБАРЕ-прыжковый перенос». Индикатором для использования той или иной схемы служат соотношения, полученные в шестом параграфе. Рассмотрены случаи дозвуковых, сверхзвуковых и трансзвуковых ячеек.

В восьмом параграфе приведено доказательство точности расчета ударных волн алгоритмом прыжкового переноса.

В девятом параграфе представлены результаты тестовых расчетов комплексов волн и возникающие при решении невязки.

Приложение диссертации посвящено описанию разработанного в процессе написания диссертации программного комплекса, позволяющего проводить тестирование и сравнение различных схем решения уравнения переноса на различных пространственных сетках и начальных данных.

Одним из подходов к организации программы является разделение ее на два максимально независимых модуля - модуль интерфейса и расчетный модуль. Интерфейс должен бьггь достаточно удобен, чтобы сократить время подготовки очередного теста и достаточно универсален, чтобы сочетаться с разными модификациями расчетного модуля. Главным требованием к интерфейсу является динамическое отображение результатов расчета. Это позволяет не только увидеть конечный результат, но и проследить весь ход решения.

В представленной программе реализованы следующие алгоритмы:

• «Уголок» («Simple Upwind»)

• Лакса

• Лакса-Вендроффа

• ван Лира

• «Крест» («Leapfrog»)

• «Кабаре» («Upwind Leapfrog»)

• «minmod»

• «superbee»

• TVD схема с лимитером, предложеннным Вязниковым К.Ф., Тишкиным В.Ф., Фаворским А.П. и Шашковым М.Ю.

• Вабищевича-Самарского

• «Прыжковый перенос» («Jumping Transport»)

Интерфейс программы основан на возможностях операционной системы Windows. Это позволяет при программировании интерфейсного модуля пользоваться имеющимися средствами создания диалоговых программ, а расчетным модулям использовать всю оперативную память компьютера.

Основные результаты диссертации

Разработан новый подход к построению разностных схем для решения уравнения переноса, названный «Балансно-Харакгеристическим». Предложено две различные схемы, полученные на его основе - первого и второго порядка точности. Схемы являются линейными, однородными, консервативными. Схемы трехслойные, но записываются в двухслойном виде. Шаблоны схем определены в пределах одной пространственной ячейки. Схемы обладают хорошими дисперсионными и диссипативными свойствами. Предложена процедура нелинейной коррекции, которая избавляет от осцилляций и повышает транспортивные свойства схем.

Разработан новый алгоритм численного решения одного квазилинейного скалярного гиперболического уравнения с выпуклой функцией конвективных потоков. Алгоритм базируется на схеме «Кабаре» и алгоритме прыжкового переноса и назван «Балансно-Характеристический Алгоритм». Обладает вторым порядком точности на волнах разрежения, а ударные волны переносит точно. Алгоритм является консервативным и монотонным.

Проведено обобщение «Балансно-Характеристического Алгоритма» на случай невыпуклой функции конвективных потоков. Проведено сравнение результатов с аналитическим решением и анализ скорости сходимости на задаче Лаверета-Бакли.

Разработано обобщение «Балансно-Характеристического Алгоритма» для решения уравнений течения политропного газа в лагранжевых переменных. Алгоритм обладает вторым порядком точности на волнах разрежения, а ударные волны переносит точно. Алгоритм является консервативным и монотонным.

Разработано обобщение «Балансно-Характеристического Алгоритма» для решения уравнений течения политропного газа в эйлеровых переменных. Алгоритм обладает вторым порядком точности на волнах

разрежения, а ударные волны переносит точно. Алгоритм является консервативным и монотонным.

Основные материалы диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Головизнин В.М., Карабасов С.А., Кобринский И.М. Балансно-характеристический метод решения одного квазилинейного гиперболического уравнения. Итерационные методы и матричные вычисления. - Ростов-на-Дону, издательство РГУ, 2002г., с.472-480.

2. Головизнин В.М., Кобринский И.М. Алгоритм автомодельного подсеточного восполнения для решения одного скалярного гиперболического уравнения с нелинейной функцией потоков. Сборник трудов IX Всероссийской школы-семинара «Современные проблемы математического моделирования». - Ростов-на-Дону, издательство РГУ, 2001г., с.89-95.

3. Головизнин В.М., Карабасов С.А., Кобринский И.М. Балансно-характеристические схемы с разделенными консервативными и потоковыми переменными. Препринт ИБРАЭ № IBRAE-2002-15. -Москва, Институт проблем безопасного развития атомной энергетики РАН, 2002г., 25 с.

4. Кабанов A.A., Карабасов С.А., Кобринский И.М., Суходулов Д.А., Тишкина Л.В. Балансно-характеристический метод решения уравнений «мелкой воды» в лагранжевых переменных. Сборник трудов III научной конференции стипендиатов ИБРАЭ РАН. -Москва, Институт проблем безопасного развития атомной энергетики РАН, 2002г., с.23-25.

Основные материалы диссертации докладывались:

1. IX Всероссийская школа-семинар «Современные проблемы математического моделирования», Дюрсо 2001.

2. XIV Всероссийская конференция «Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов для решения задач математической физики», Дюрсо 2002.

3. The International Summer School «Itarative Methods and Matrix Computation», Rostov-on-Don 2002.

4. Ill научная конференция стипендиатов ИБРАЭ РАН, Москва 2002.

РНБ Русский фонд

2006-4 37257

" \ '

2 i - ^

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. КРАТКИЙ ОБЗОР ПОДХОДОВ К ПОСТРОЕНИЮ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА.

1. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ.

2. ИНТЕРПОЛЯЦИОННО-ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ПОСТРОЕНИЮ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ АЛГОРИТМОВ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА.

Схема «Уголок» («Simple upwind»).

Схема Лакса-Вендроффа.

Схема ван Лира.

Схема «Крест» («Leapfrog»).

Схема «Кабаре» («Upwind leapfrog»).

3. АЛГОРИТМЫ С НЕЛИНЕЙНОЙ КОРРЕКЦИЕЙ ПОТОКОВ.

TVD-СХЕМЫ.

ENO-CXEMbI.

Алгоритм прыжкового переноса.

4. РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ.

Тест№1.

Тест №2.

Тест №3.

ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ 1.

ГЛАВА 2. БАЛАНСНО-ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ СХЕМЫ С РАЗДЕЛЕННЫМИ КОНСЕРВАТИВНЫМИ И ПОТОКОВЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ.

1. СХЕМА «КАБАРЕ».

2. ДВУХСЛОЙНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СХЕМЫ «КАБАРЕ».

3. НЕЛИНЕЙНАЯ КОРРЕКЦИЯ ПОТОКОВЫХ ПЕРЕМЕННЫХ.

4. НЕЛИНЕЙНАЯ КОРРЕКЦИЯ КОНСЕРВАТИВНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ.

5. ЧЕТЫРЕХЭТАПНЫЙ АЛГОРИТМ ДЛЯ СХЕМЫ «КАБАРЕ» С НЕЛИНЕЙНОЙ КОРРЕКЦИЕЙ КОНСЕРВАТИВНЫХ И ПОТОКОВЫХ ПЕРЕМЕННЫХ.

6. ПРИМЕРЫ ТЕСТОВЫХ РАСЧЕТОВ.

7. БАЛАНСНО-ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ СХЕМЫ «КАБАРЕ».

8. БАЛАНСНО-ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ СХЕМЫ С РАЗДЕЛЕННЫМИ КОНСЕРВАТИВНЫМИ И ПОТОКОВЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ.

9. РЕЗУЛЬТАТЫ ТЕСТОВЫХ РАСЧЕТОВ.

Тест№1.

Тест №2.:.

Тест №3.

10. ДИССИПАТИВНЫЕ И ДИСПЕРСИОННЫЕ СВОЙСТВА НОВЫХ СХЕМ.

И. ОТБРАКОВКА ПАРАЗИТНОГО КОРНЯ И СТАРТОВАЯ ПРОЦЕДУРА.

12. СРАВНИТЕЛЬНЫЕ РАСЧЕТЫ.

13. ПЕРЕМЕННОЕ ПОЛЕ СКОРОСТЕЙ.

14. НЕЛИНЕЙНАЯ КОРРЕКЦИЯ КОНСЕРВАТИВНЫХ И ПОТОКОВЫХ ПЕРЕМЕННЫХ.

15. УРАВНЕНИЕ КОНВЕКЦИИ-ДИФФУЗИИ.

ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ 2.

ГЛАВА 3. ОДНО КВАЗИЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА.

1. СКАЛЯРНЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА И ИХ СВОЙСТВА.

2. ЗАДАЧА РИМАНА.

3. СХЕМА «КАБАРЕ» ДЛЯ РАСЧЕТА ВОЛН РАЗРЕЖЕНИЯ.

4. АЛГОРИТМ ПРЫЖКОВОГО ПЕРЕНОСА ДЛЯ РАСЧЕТА УДАРНЫХ ВОЛН.

5. ТОЧНОСТЬ РАСЧЕТА СИЛЬНЫХ РАЗРЫВОВ.

6. СИНТЕТИЧЕСКИЙ АЛГОРИТМ «КАБАРЕ-ПРЫЖКОВЫЙ ПЕРЕНОС» ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С ВЫПУКЛОЙ ФУНКЦИЕЙ УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ.

7. ПРИМЕРЫ ТЕСТОВЫХ РАСЧЕТОВ.

8. СИНТЕТИЧЕСКИЙ АЛГОРИТМ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ С НЕВЫПУКЛОЙ ФУНКЦИЕЙ СОСТОЯНИЯ.

9. ПРИМЕРЫ ТЕСТОВЫХ РАСЧЕТОВ.

Задача №1.

Задача №2.

ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ 3.

ГЛАВА 4. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ПОЛИТРОПНОГО ГАЗА В ЛА-ГРАНЖЕВЫХ ПЕРЕМЕННЫХ.

1. ПРОСТЕЙШАЯ СИСТЕМА НЕЛИНЕЙНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ (Р-СИСТЕМА).

2. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФОРМА ПРЕДСТАВЛЕНИЯ Р-СИСТЕМЫ. ВОЛНЫ РАЗРЕЖЕНИЯ.

3. СХЕМА «КАБАРЕ» ДЛЯ РАСЧЕТА ВОЛН РАЗРЕЖЕНИЯ ДЛЯ Р-СИСТЕМЫ.

Дискретизация области.

Разностная схема.

Начальные данные и стартовая процедура.

Граничные условия.

4. СХЕМА «КАБАРЕ» С МОНОТОНИЗАТОРОМ.

5. КОНСЕРВАТИВНЫЙ ВАРИАНТ СХЕМЫ «КАБАРЕ».

6. СРАВНЕНИЕ СО СХЕМОЙ «КРЕСТ».

7. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ И РАЗРЫВНЫЕ РЕШЕНИЯ Р-СИСТЕМЫ.

8. АЛГОРИТМ ПРЫЖКОВОГО ПЕРЕНОСА ДЛЯ РАСЧЕТА УДАРНЫХ ВОЛН.

9. ПОДСЕТОЧНОЕ РАЗРЕШЕНИЕ УДАРНЫХ ВОЛН АЛГОРИТМОМ ПРЫЖКОВОГО ПЕРЕНОСА.

10. ЗАДАЧА РИМАНА ДЛЯ Р-СИСТЕМЫ. РАСПАД ПРОИЗВОЛЬНОГО РАЗРЫВА.

11. АВТОМОДЕЛЬНОЕ ПОДСЕТОЧНОЕ ВОСПОЛНЕНИЕ.

12. ОБОБЩЕННАЯ ФОРМА АЛГОРИТМА ПРЫЖКОВОГО ПЕРЕНОСА.

13. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАЧИ И ЭМПИРИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ СКОРОСТИ

СХОДИМОСТИ.

Задача об ускоряющемся поршне.

Две волны разрежения.

Ударная волна и волна разрежения.

ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ 4.

ГЛАВА 5. ПОЛИТРОПНЫЙ ГАЗ В ЭЙЛЕРОВЫХ ПЕРЕМЕННЫХ.

1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ПОЛИТРОПНОГО ГАЗА В ЭЙЛЕРОВЫХ ПЕРЕМЕННЫХ.

2. СХЕМА «КАБАРЕ» ДЛЯ РАСЧЕТА ВОЛН РАЗРЕЖЕНИЯ.

3. СХЕМА «КАБАРЕ» С МОНОТОНИЗАТОРОМ.

4. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТОВ ВОЛН РАЗРЕЖЕНИЯ.

Вариант №1. Дозвуковая волна разрежения.

Вариант №2. Сверхзвуковая волна разряжения.

Вариант №3. Трансзвуковая волна разряжения.

Вариант №4. Разлет газа в пустоту.

5. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ И РАЗРЫВНЫЕ РЕШЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ПОЛИТРОПНОГО ГАЗА В ЭЙЛЕРОВЫХ ПЕРЕМЕННЫХ.

6. ЗАДАЧА О РАСПАДЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО РАЗРЫВА.

7. СИНТЕТИЧЕСКИЙ АЛГОРИТМ «КАБАРЕ-ПРЫЖКОВЫЙ ПЕРЕНОС».

8. ПОДСЕТОЧНОЕ РАЗРЕШЕНИЕ УДАРНЫХ ВОЛН АЛГОРИТМОМ ПРЫЖКОВОГО ПЕРЕНОСА.

9. ПРИМЕРЫ ТЕСТОВЫХ РАСЧЕТОВ И ЭМПИРИЧЕСКОЕ

ИССЛЕДОВАНИЕ СХОДИМОСТИ.

Две волны разрежения.

Ударная волна и волна разрежения.

ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ 5.

Проблема аккуратного расчета переноса сеточных величин на эйлеровых сетках остается в настоящее время одной из наиболее значимых проблем вычислительной гидродинамики [1,11,20,21]. Основные трудности связаны с явлениями, проявляющимися на простейшем линейном уравнении переноса с постоянными коэффициентами. + с ~ = 0, с — const > 0 (0.1) dt дх

Ключевым вопросом, обуславливающим точность приближенного решения данного уравнения, является аккуратный расчет разрывов, которые могут иметь место в этом случае. Один из способов заключается в выделении разрывов в явном виде. Однако, такой подход хотя и обеспечивает необходимую точность, но является слишком сложным для реализации. В случае наличия нескольких пространственных измерений для нелинейных систем, типа уравнений газовой динамики, в реальных прикладных задачах достаточно трудно проследить за всеми возникающими разрывами.

Другим подходом является использование однородных разностных схем, позволяющих по единому вычислительному алгоритму проводить расчет как гладких решений, так и решений, содержащих разрывы [4,6,7,9,10]. Одним из основополагающих принципов здесь является разработанный в работах А.Н.Тихонова и А.А.Самарского принцип консервативности разностных схем [2,5]. Нарушение этого принципа при расчете разрывов может привести к ошибкам, которые не исчезают при измельчении шагов сетки. В настоящее время принцип консервативности является общепризнанным.

При аппроксимации уравнения (0.1) на регулярных расчетных сетках линейными, однородными разностными схемами, возникают т.н. фазовые и амплитудные ошибки [26], искажающие частные решения этого уравнения - бегущие волны. Амплитудные ошибки приводят к уменьшению амплитуды гармоник, проявляющемуся в явлении аппроксимационной вязкости, фазовые - к разбросу в скоростях их распространения и явлению вычислительной дисперсии [9]. Вычислительная дисперсия приводит к немонотонности численного решения, возникновению в процессе расчетов новых минимумов и максимумов. Она связана с недостаточной диссипацией используемых разностных схем и одним из распространенных способов устранения этого недостатка является введение так называемой искусственной вязкости - дополнительных членов в разностных уравнениях, имеющих вид формальных аппроксимаций вязких и других диссипативных процессов с коэффициентами, стремящимися к нулю при измельчении сетки [15,16]. Такой подход получил широкое распространение при решении задач газовой динамики в лагранжевых переменных [12,18]. Это связано с тем фактом, что само использование лагранжевых координат фактически выделяет контактные разрывы в явной форме, и остаются только разрывы типа ударных волн, что значительно облегчает правильный выбор коэффициентов искусственной вязкости.

Среди линейных, однородных разностных схем важное место занимают т.н. позитивные схемы, для которых выполняется принцип максимума. У позитивных разностных схем новые максимумы и минимумы не образуются. Классическим примером позитивной разностной схемы является схема "уголок" (Simple Upwind): т h

Схема (0.2) является явной, двухслойной, имеет относительно большую область вычислительной устойчивости, определена на минимальном вычислительном шаблоне, обладает свойством транспортивности [20] и имеет первый порядок аппроксимации. Свойство транс-портивности гарантирует невозможность распространения возмущений вверх по потоку и корректность учета области влияния решения, выражающееся в естественности учета граничных условий. Схема «уголок» могла бы быть признана идеальной, если бы не присущая ей высокая аппроксимационная вязкость.

Не особенно греша против истины, можно сказать, что вся история работ по сеточному переносу связана с непрекращающимися попытками построения малодиссипативных схем, которые по всем остальным свойствам как можно меньше отличались бы от схемы (0.2) [3,13,17,19,21]. Важнейшим, среди этих свойств, признается свойство монотонности, вытекающее из свойства позитивности.

Чрезвычайно важную роль в формировании направлений развития сеточно-транспортных алгоритмов сыграла теорема Годунова [6], утверждающая, что линейные, позитивные разностные схемы не могут иметь порядок аппроксимации выше первого. Теорема Годунова фактически наложила запрет на поиск приемлемого решения в классе линейных алгоритмов и направила усилия математиков на построение и исследования нелинейных разностных схем, свойства которых зависят от получаемого решения. Впервые подобная схема было получена Дж. Борисом и Д.Буком [22], а в последние десятилетия на этом пути были получены впечатляющие результаты, связанные с развитием идей нелинейной коррекции потоков [28-40,47] и их применением к системам многомерных нелинейных гиперболических уравнений [23,25]. Это направление не исчерпало еще всех своих потенциальных возможностей и, по всей видимости, будет оставаться магистральным в течение ближайшего ряда лет.

Для квазилинейных систем уравнений гиперболического типа понятие монотонности в строгой форме не сформулировано, и, таким образом, можно говорить только о квазимонотонных схемах, т.е. о практическом отсутствии осцилляций за фронтом разрывов. Однако, 7 несмотря на отсутствие строгих теоретических оценок, нелинейная коррекция потоков (TVD, ENO) привела к очень хорошим результатам и для уравнений типа уравнений газовой динамики и в настоящее время стало общепринятым.

Совершено новый подход к решению проблемы сеточного переноса обозначился на пути полного отказа от традиционного понятия аппроксимации - поиску решения в классе кусочно-постоянных функций. В работе Головизнина В.М. и Карабасова С.А. показано, что алгоритм прыжкового переноса на классе кусочно-постоянных функций даёт точное (не улучшаемое) сеточное решение задачи (0.1) в смысле интегральных средних по ячейке [27]. Уже сам факт существования точных алгоритмов даже для простейших случаев заслуживает особого внимания и требует всестороннего изучения и развития на более сложные классы задач.

Цель работы

Целью работы является разработка на основе алгоритма прыжкового переноса нового метода решения квазилинейных гиперболических уравнений, объединяющего балансный и характеристический подходы, обобщение полученного метода на простейшую квазилинейную систему уравнений, так называемую Р-систему, проявляющую свойства, присущие газодинамическим системам и исследование его свойств.

Научная новизна

Разработан новый подход к построению разностных схем для уравнений гиперболического типа - балансно-характеристический. Основанием для его создания послужила обнаруженная возможность записывать трехслойные схемы в двухслойном виде за счет введения двух наборов переменных. Один вид переменных относиться к узлам сетки, а второй к центрам расчетных ячеек. Переменные получили названия потоковых и консервативных соответственно. Консервативные переменные рассчитываются из уравнений баланса, а потоковые переносятся по характеристикам.

Представлены новые разностные схемы для решения простейшего уравнения переноса, разработанные на основе балансно-характеристического подхода - первого и второго порядка точности. Схемы являются линейными, однородными, консервативными. Схемы трехслойные, но записываются в двухслойном виде. Шаблоны схем определены в пределах одной пространственной ячейки. Схемы обладают улучшенными дисперсионными и диссипа-тивными свойствами. Предложена процедура нелинейной коррекции, которая избавляет от осцилляций и повышает транспортивные свойства схем.

При решении квазилинейных уравнений оказалось, что алгоритм прыжкового переноса не подходит для расчета волн разрежения, хотя точно переносит ударные волны. Решение этой проблемы было найдено в объединении алгоритма прыжкового переноса и схемы «КАБАРЕ». Полученный синтетический алгоритм имеет ветвление в расчете потоковых пе-у ременных, индикатором для которого служит условие устойчивости разрыва внутри ячейки, определяющее вид решения задачи Римана. В случае выпуклой функции состояния внутри ячейки всегда либо ударная волна, либо волна разрежения. Синтетический алгоритм обладает вторым порядком точности на волнах разрежения, а ударные волны воспроизводит точно.

В случае невыпуклой функции состояния может возникнуть ситуация, в которой решение задачи Римана является комплексом из ударных волн и волн разрежения. Тогда новое значение потоковой переменной находится из условия равенства скорости звука на границе и скорости разрыва. Разработанная методика гарантирует, что ни один сильный или слабый разрыв не будет утерян в процессе расчета. Щ При обобщении балансно-характеристического метода на уравнения течения политропного газа в лагранжевых переменных мы воспользовались возможностью записи Р-системы в инвариантах Римана. Инварианты Римана стали основными переменными при расчете. Скорость, удельный объем (плотность) и прочие величины вычисляются через инварианты. Алгоритм также имеет ветвление, связанное с различиями в расчете ударных волн и волн разрежения. Для определения вида решения внутри ячейки были выведены соотношения, позволяющие не решать задачу Римана. Задача Римана решается только в стартовой процедуре согласования начальных значений переменных.

Новые элементы при переходе к эйлеровым переменным связаны только с возникновением трансзвуковых ячеек и заметно большим числом вариантов переноса информации из ячеек в узлы. Это приводит к некоторым усложнениям алгоритма, не имеющим принципиального характера.

Практическая ценность работы

Разработанный подход к построению разностных схем позволяет получать экономичные и простые алгоритмически схемы для решения уравнений конвекции-диффузии, скалярных квазилинейных уравнений и систем квазилинейных уравнений, имеющих инварианты Римана. По точности получаемого решения новые схемы заметно превосходят схемы Годунова, Лакса-Вендроффа и Мак-Кормака и не уступают схемам TVD. При этом отсутствуют недостатки, связанные с нелинейной коррекцией потоков. Полученные схемы обладают свойством монотонности, аппроксимируют гладкие решения со вторым порядком точности, а ударные волны воспроизводят точно. При этом решение задачи Римана требуется только на начальном этапе.

Результаты, представленные в данной работе, являются важным этапом в разработке новейшего метода решения газодинамических уравнений.

Структура и объем

Работа состоит из введения, пяти глав, списка литературы и приложения.

Во введении рассмотрен основной круг проблем, связанных с решением гиперболических уравнений, приведен краткий обзор литературы, отражающей современное состояние соответствующих вопросов и сформулирована цель работы, защищаемые положения и научная новизна данной работы.

Первая глава диссертации носит обзорный характер и посвящена рассмотрению и сравнению существующих методов построения разностных схем для решения дифференциальных уравнений гиперболического типа на примере простейшего уравнения переноса. Несмотря на кажущуюся простоту, это уравнение является серьезной проблемой для вычислителей. На уравнении переноса ярко проявляются особенности разностных схем, а простота в его исследовании позволяет сравнивать их свойства. Глава состоит из пяти параграфов.

В первом параграфе первой главы рассмотрен интерполяционно-характеристический подход к построению разностных схем. Показано, как на его основе могут быть получены следующие классические разностные схемы: «Уголок» (Simple Upwind), «Крест» (Leapfrog), схемы ван Лира и Лакса-Вендроффа, а также схема «Кабаре» (Upwind Leapfrog). Проведен анализ амплитудных и фазовых ошибок всех схем. Наиболее наглядным способом отображения амплитудных и дисперсионных ошибок является построение диссипативных и дисперсионных поверхностей. При этом по оси Ох откладывается число Куранта г, по оси Оу -приведенное волновое число kh, по оси Oz - модуль перехода или приведенная фазовая скорость. Таким же образом можно построить поверхность для групповой скорости , котодк рая показывает особенности распространения волнового пакета.

Второй, третий и четвертый параграфы первой главы посвящены результатам, достигнутым в данной области в мире за последние 10-15 лет. Это так называемые «схемы высокой разрешающей способности» - TVD и ENO. Кроме того, приведен алгоритм прыжкового переноса, дающий точное решение уравнения переноса.

В пятом параграфе проводится сравнение результатов численных экспериментов. Для каждой схемы проведено три теста с различными начальными данными: «2 горба», кусок синусоиды и прямоугольник. Такой выбор позволяет наглядно продемонстрировать достоинства и недостатки разностных схем. Для проведения тестов использовалась программа, разработанная в ходе работы над диссертацией. Программа предназначена для сравнения результатов расчетов, полученных при помощи различных разностных схем на произвольных начальных данных и пространственных сетках. Подробнее ознакомиться с возможностями программы можно в приложении.

Вторая глава посвящена описанию разностных схем нового типа для решения уравнения переноса. Схемы получили название «балансно-характеристические схемы с разнесенными потоковыми и консервативными переменными». Глава состоит из пятнадцати параграфов.

В первом параграфе проводится детально рассмотрение схемы «КАБАРЕ», которая является предшественницей балансно-характеристические схем. Схема получена на основе ин-терполяционно-характеристичкого подхода к построению схем. В параграфе описаны основные свойства схемы «КАБАРЕ».

Во втором параграфе схема «КАБАРЕ» представлена в двухслойном виде. Для этого вводится дополнительный набор переменных, относящихся к центрам ячеек и названных «консервативными». Переменные в узлах сетки называются «потоковыми».

В третьем и четвертом параграфах предложены процедуры нелинейной коррекции для потоковых и консервативных переменных соответственно. Потоковые переменные удерживаются в пределах минимума-максимума по ячейке, а для консервативных переменных проводится перенос избытка (восполнение недостатка) в соседние ячейки.

В пятом параграфе описан четырехэтапный алгоритм для схемы «КАБАРЕ» с нелинейной коррекцией консервативных и потоковых переменных и его основные свойства.

В шестом параграфе проводится сравнение описанного алгоритма с двумя известными TVD схемами. Для этого использовались три тестовые задачи: единичную ступеньку, занимающую 10 расчетных ячеек, всюду гладкая функция с большими градиентами («2 горба»), положительной частью синусоиды.

В седьмом параграфе приведена балансно-характеристическая интерпретация схемы

В восьмом параграфе второй главы описаны новые схемы, полученные уже только на основе балансно-характеристического подхода. Предложено две схемы - первого

КАБАРЕ». л+1/2 1+1/2

0.3) х h

0.4) и второго порядка точности: и+1/2 МП С • h

0.5) т И я+1/2 i+1/2

0.6) где г = —, ©"^/j2 - консервативные, а ф"++/ - потоковые переменные h

Схемы обозначены. аббревиатурой BCSSCFV (Balance and Characteristic Scheme with Staggered Conservative and Fluxes Variable). Для схем описаны процедуры монотонизации.

В девятом параграфе приведены результаты расчетов по схемам BCSSCFV. Использовались те же задачи, что и для сравнения схемы «КАБАРЕ» с TVD схемами.

В десятом параграфе построены диссипативные и дисперсионные поверхности для новых схем. Поверхности позволяют подробно изучить свойства схем и определить, который из корней характеристического уравнения является «хорошим», а какой «паразитным».

В одиннадцатом параграфе рассмотрена процедура отбраковки паразитного корня. От влияния паразитного корня можно избавиться согласованием начальных значений консервативных и потоковых переменных.

В двенадцатом параграфе проводится сравнение схем BCSSCFV и «КАБАРЕ». Изучение достоинств и недостатков схем в зависимости от числа Куранта приводит к идее гибридизации двух схем. Приведен один из возможных вариантов слияния.

В тринадцатом-четырнадцатом параграфах второй главы приводится обобщение полученных схем на случай переменного поля скоростей. Переменное поле скоростей требует особенной процедуры коррекции консервативных и потоковых переменных.

В пятнадцатом параграфе второй главы приводится обобщение полученных схем на уравнение конвекции-диффузии.

Третья глава посвящена решению одного скалярного квазилинейного гиперболического уравнения в форме закона сохранения:

Глава состоит из девяти параграфов.

В первом и втором параграфах третьей главы рассматриваются свойства одного скалярного квазилинейного гиперболического уравнения, аналитическое решение задачи Римана, его свойства, а также описываются традиционные методы численного решения

ДМ = 0;/(м)еС2; x<z[0,L] ,te[0,T) ;

0.7) и(х,0) = ф(дс) ;

Третий параграф посвящен расчету волн разрежения. Для волн разрежения используется схема «КАБАРЕ» с монотонизацией. Приведены примеры численного расчета волн разрежения и возникающая невязка.

В четвертом параграфе рассмотрен расчет ударных волн. Распространение ударных волн может быть рассчитано точно при использовании алгоритма прыжкового переноса. Доказательство этого утверждения приведено в пятом параграфе. Алгоритм представлен в виде четырех этапов, что позволит в дальнейшем легко объединить его со схемой «КАБАРЕ».

В шестом параграфе описан синтетический алгоритм «КАБАРЕ-прыжковый перенос» для гиперболических уравнений с выпуклой функцией уравнения состояния. Для уравнения с выпуклой функцией состояния в каждой расчетной ячейке располагается либо ударная волна, либо волна разрежения. Индикатором той или иной ситуации может служить условие устойчивости сильного разрыва. Это дает возможность использовать схему «КАБАРЕ» в одних ячейках, и прыжковый перенос - в других. Генетическое родство двух алгоритмов делает их синтез достаточно органичным и дает возможность осуществлять дальнейшее обобщение синтетического алгоритма.

В седьмом параграфе третьей главы приведены результаты тестовых расчетов. Решались задача Хопфа и задача с кубической нелинейностью. Ударные волны распространяются точно, а на волнах разрежения образуется характерная ошибка, представленная на рис. 1.

0.0025 -------

Рис. 1. Ошибка схемы «Кабаре-прыжковый перенос» на волне разрежения.

В восьмом параграфе третьей главы проводится обобщение полученного алгоритма на квазилинейные уравнения с невыпуклыми функциями конвективных потоков. В этом случае может возникнуть ситуация, в которой решение задачи Римана является комплексом из ударных волн и волн разрежения. Тогда новое значение потоковой переменной находится из условия равенства скорости звука на границе и скорости разрыва.

В девятом параграфе третьей главы приведены результаты тестовых расчетов. При этом использовались задачи как с одной точкой перегиба (уравнение Лаверетта-Бакли), так и имеющие несколько точек перегиба (в нашем случае три).

CFI=0.5 Nt=139

0.8 0.S 0.4 0.2 0

0.447 0.11 U 0

20

40

60

80 100

Рис 2.Результат расчета уравнения Лаверетта-Бакли.

Четвертая глава диссертации посвящена решению простейшей квазилинейной системы уравнений, обладающей присущими газодинамической системе свойствами, так называемой Р-системы. Глава состоит из тринадцати параграфов.

Наиболее простая система квазилинейных уравнений, проявляющая свойства, присущие уравнениям газовой динамики имеет вид:

Система (0.8) описывает политропные течения газа в лагранжевых переменных. В частном случае у = 2 она отвечает приближению «мелкой воды».

Уравнения (0.8) рассматриваются как самостоятельный математический объект, описывающий, наряду с реальными, гипотетические течения, не во всем отвечающие течениям реальных сред.

В первом и втором параграфах рассматривается задача Римана для Р-системы, ее представление в инвариантах Римана и аналитическое решение, соответствующее волнам разрежения.

В третьем параграфе рассмотрен расчет волн разрежения. Для волн разрежения используется схема «КАБАРЕ». Основными переменными являются инварианты Римана, через которые вычисляются остальные величины. Приведен пример результатов решения задачи Римана, с данными, соответствующими волне разрежения.

В четвертом параграфе приведена процедура монотонизации решения. Использованием данной процедуры гарантирует отсутствие осцилляций при расчетах.

В пятом параграфе предложен консервативный вариант схемы «КАБАРЕ». Теперь только потоковые переменные вычисляются через инварианты Римана, а консервативные из естественной консервативной аппроксимацией исходных дивергентных уравнений.

Эг| ди dt Эти

0.8) dt dm

Р = Р(т|) = а-Г| у ; у>1;а>0;г|>0

В шестом параграфе приведено сравнение схемы «КАБАРЕ» со схемой «Крест». Сравнение проводилось на задаче о разлете в пустоту. Следует отметить, что схема «КАБАРЕ» дает точное значение скорости на границе вакуума.

В седьмом параграфе рассмотрены разрывные решения Р-системы. В окрестности сильного разрыва эти решения сводятся к соотношениям Гюгонио, из которых определяется скорость распространения разрыва.

Восьмой параграф посвящен численному расчету ударных волн. Распространение ударных волн может быть рассчитано точно при использовании алгоритма прыжкового переноса. Доказательство этого утверждения приведено в девятом параграфе. Алгоритм представлен в виде четырех этапов, что позволит в дальнейшем легко объединить его со схемой «КАБАРЕ».

В десятом параграфе рассмотрена задача Римана о распаде произвольного разрыва. Получены важные соотношения, позволяющие определить вид решения задачи Римана, не проводя самого решения.

В одиннадцатом приведена процедура автомодельного подсеточного проектирования, которая позволяет находить подсеточные координаты сильных и слабых разрывов и использовать полученную информацию для корректного определения значений потоковых переменных и определения возвратно-транзитных потоков.

В двенадцатом параграфе описан синтетический алгоритм «КАБАРЕ-прыжковый перенос». Индикатором для использования той или иной схемы служат соотношения, полученные в десятом параграфе.

В тринадцатом параграфе рассмотрены некоторые тестовые задачи и скорость сходимости алгоритма. Приведены задачи Римана, образующие комплексы волн и задача об ускоряющемся поршне. На рис. 3 и 4 представлены результаты расчета задачи Римана, аналитическим решением которой является комплекс из ударной волны и волны разрежения, и модуль возникающей ошибки.

Скорость

Точное решение —•—Численное решение

Рис 3. Результат расчета задачи Римана, соответствующей комплексу из ударной волны и волны разрежения.

Скорость

•— Разность точного и численного решений

0.04

0.03 -0.03 ; 0.02 0.02 •

0.01 ;

0.01 -----------

-1.80 -0.80 0.20

Рис 4. Модуль ошибки схемы «Кабаре-прыжковый перенос» при решении задачи Римана. В таблице представлены нормы ошибок, по которым можно судить о скорости сходимости.

Количество Норма С для Норма С для Норма L2 для Норма L2 для точек скорости удельного объема скорости удельного объема

33 0.04605049 0.0764587 0.012943197 0.017405773

65 0.03221928 0.0538794 0.00690506 0.00957247

129 0.02146694 0.0360205 0.003729965 0.005322367

257 0.0141617 0.239047 0.002039288 0.172576263

513 0.01091268 0.082615 0.001121852 0.001722823

1025 0.00708833 0.0117582 0.000606953 0.000974104

Пятая глава диссертации посвящена решению уравнений движения политропного газа в эйлеровых переменных. Глава состоит из девяти параграфов.

Уравнения движения политропного газа в эйлеровых переменных представляют собой законы сохранения массы и импульса:

Эр | ЭРЦ^0.

Э t дх ф р = р(р) = а ру ; у>1;а>0;р>0

Система (0.9) описывает политропные течения газа в эйлеровых переменных. В частном случае у-2 она отвечает приближению «мелкой воды».

Уравнения (0.9) рассматриваются как самостоятельный математический объект, описывающий, наряду с реальными, гипотетические течения, не во всем отвечающие течениям реальных сред.

В первом параграфе рассматривается система уравнений движения политропного газа в эйлеровых переменных, ее представление в инвариантах Римана и аналитическое решение, соответствующее волнам разрежения.

Второй параграф посвящен схеме «КАБАРЕ» для расчета волн разрежения. При расчете задач в эйлеровы переменных требуется анализировать направление характеристик, приносящих информацию в узлы.

В третьем параграфе представлен монотонизатор для схемы «КАБАРЕ». Предложено две процедуры монотонизации - для обычных и для трансзвуковых ячеек.

В четвертом параграфе приведены результаты численных расчетов. Три варианта тестовых задач полностью охватывают все возможные виды волн разрежения. Кроме того, решается задача о разлете в пустоту.

В пятом параграфе рассмотрены разрывные решения Р-системы. В окрестности сильного разрыва эти решения сводятся к соотношениям Гюгонио, из которых определяется скорость распространения разрыва.

В шестом параграфе рассмотрена задача Римана о распаде произвольного разрыва. Получены важные соотношения, позволяющие определить вид решения задачи Римана, не проводя самого решения.

В седьмом параграфе описан синтетический алгоритм «КАБАРЕ-прыжковый перенос». Индикатором для использования той или иной схемы служат соотношения, полученные в шестом параграфе. Рассмотрены случаи дозвуковых, сверхзвуковых и трансзвуковых ячеек.

В восьмом параграфе приведено доказательство точности расчета ударных волн алгоритмом прыжкового переноса.

В девятом параграфе представлены результаты тестовых расчетов комплексов волн и возникающие при решении невязки.

Основные результаты диссертации

Разработан новый подход к построению разностных схем для решения уравнения переноса, названный «Балансно-Характеристическим». Предложено две различные схемы, полученные на его основе - первого и второго порядка точности. Схемы являются линейными, однородными, консервативными. Схемы трехслойные, но записываются в двухслойном виде. Шаблоны схем определены в пределах одной пространственной ячейки. Схемы обладают хорошими дисперсионными и диссипативными свойствами. Предложена процедура нелинейной коррекции, которая избавляет от осцилляций и повышает транспортивные свойства схем.

Разработан новый алгоритм численного решения одного квазилинейного скалярного гиперболического уравнения с выпуклой функцией конвективных потоков. Алгоритм базируется на схеме «Кабаре» и алгоритме прыжкового переноса и назван «Балансно-Характеристический Алгоритм». Обладает вторым порядком точности на волнах разрежения, а ударные волны переносит точно. Алгоритм является консервативным и монотонным.

Проведено обобщение «Балансно-Характеристического Алгоритма» на случай невыпуклой функции конвективных потоков. Проведено сравнение результатов с аналитическим решением и анализ скорости сходимости на задаче Лаверета-Бакли.

Разработано обобщение «Балансно-Характеристического Алгоритма» для решения уравнений течения политропного газа в лагранжевых переменных. Алгоритм обладает вторым порядком точности на волнах разрежения, а ударные волны переносит точно. Алгоритм является консервативным и монотонным.

Разработано обобщение «Балансно-Характеристического Алгоритма» для решения уравнений течения политропного газа в эйлеровых переменных. Алгоритм обладает вторым порядком точности на волнах разрежения, а ударные волны переносит точно. Алгоритм является консервативным и монотонным.

Основные материалы диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Головизнин В.М., Карабасов С.А., Кобринский И.М. Балансно-характеристический метод решения одного квазилинейного гиперболического уравнения. Итерационные методы и матричные вычисления. - Ростов-на-Дону, издательство РГУ, 2002г., с.472-480.

2. Головизнин В.М., Кобринский И.М. Алгоритм автомодельного подсеточного восполнения для решения одного скалярного гиперболического уравнения с нелинейной функцией потоков. Сборник трудов IX Всероссийской школы-семинара «Современные проблемы математического моделирования». - Ростов-на-Дону, издательство РГУ, 2001г., с.89-95.

3. Головизнин В.М., Карабасов С.А., Кобринский И.М. Балансно-характеристические схемы с разделенными консервативными и потоковыми переменными. Препринт

ИБРАЭ № IBRAE-2002-15. - Москва, Институт проблем безопасного развития атомной энергетики РАН, 2002г., 25 с.

4. Кабанов А.А., Карабасов СЛ., Кобринский И.М., Суходулов Д.А., Тишкина JI.B. Ба-лансно-характеристический метод решения уравнений «мелкой воды» в лагранжевых переменных. Сборник трудов III научной конференции стипендиатов ИБРАЭ РАН. -Москва, Институт проблем безопасного развития атомной энергетики РАН, 2002г., с.23-25.

Основные материалы диссертации докладывались:

1. IX Всероссийская школа-семинар «Современные проблемы математического моделирования», Дюрсо 2001.

2. XIV Всероссийская конференция «Теорретические основы и конструирование численных алгоритмов для решения задач математической физики», Дюрсо 2002.

3. The International Summer School «Itarative Methods and Matrix Computation», Rostov-on-Don 2002.

4. ill научная конференция стипендиатов ИБРАЭ РАН, Москва 2002.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю Василию Михайловичу Головизнину за постоянное внимание и руководство при написании работы, а также

Валентину Евграфовичу Калантарову за помощь при оформлении. ш

Выводы по главе 5

В пятой главе рассмотрено обобщение балансно-характеристического алгоритма на случай уравнений движения политропного газа в эйлеровых переменных.

Новые элементы при переходе к эйлеровым переменным связаны только с возникновением трансзвуковых ячеек и заметно большим числом вариантов переноса информации из ячеек в узлы. Это приводит к некоторым усложнениям алгоритма, не имеющим принципиального характера.

Численное решение всегда остается монотонным, сильные разрывы рассчитываются точно, основная ошибка локализуется вблизи слабых разрывов. Техника, отработанная в данной главе, может быть использована для интегрирования полной системы уравнений газовой динамики.

1. Самарский А. А. Теория разностных схем. М: Наука, 1989 г.

2. Самарский А.А., Тихонов А.Н. Об однородных разностных схемах. // ЖВМиМФ, т. 1, 1961, с. 5-63.

3. Самарский А.А., Колдоба А.В., Повещенко Ю.А., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П. Разностные схемы на нерегулярых сетках. Минск, 1996. 273с.

4. Попов Ю.П., Самарский А.А. Разностны методы решения задач газовой динамики. М.: Наука, 1980, 352с.

5. Попов Ю.П., Самарский А.А. Полностью консервативные разностные схемы. // ЖВМиМФ, т. 9, №4, 1969, с. 953-958.

6. Годунов С.К. Разностный метод численного расчета разрывных решений гидродинамики. Математический сборник, 1959,47(89), с. 271-306.

7. Годунов С.К., Забродин А.В., Иванов М.Я., Крайко А.Н., Прокопов Г.В. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М.: Наука, 1976, 400с.

8. Забродин А.В. Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики. Пущино, 1996.

9. Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко. Системы квазилинейных уравнений. М: Наука, 1978, 688с.

10. Белоцерковский О.М. Прямое численое моделирование течений газа (численный эксперимент в газовой динамике)/ АН СССР, М.: 1978, 176 с.

11. Belotserkovkii О.М., Shildovsky V.P. Current problems in computational fluid dynamics. M.: Mir, 1986,318 р.

12. Гущин A.C., Белоцерковский О.М. Моделирование некоторых течений вязкой жидкости. М.: ВЦ АН СССР, 1982, 66с.

13. Магомедов К.М., Холодов А.С. Сеточно-характеристические численные методы. М.: ВЦ АН СССР, 1988, 287с.

14. Курант Р., Фридрихе К. Сверхзвуковые течения и ударные волны. М.: ИЛ. 1950.

15. Яненко Н.Н. Шокин Ю.И. Об аппроксимационной вязкости разностных схем. Доклад АН СССР, 1968, т. 182, №4, с. 776-778.

16. Головизнн В.М., Фаворский А.П. Об искуствеиной вязкости и устойчивости дифференциально-разностных и разностных уравнений газовой динамики. Препринт ИПМ им. Келдыша АН СССР №70, 1976, 40 с.

17. Холодов А.С. О построении разностных схем с положительной аппроксимацией для уравнений гиперболического типа. // ЖВМиМФ, т. 18, №6, 1978, с. 1476-1492.

18. Войнович П.А., Жмакин А.И., Попов Ф.Д., Фурсенко А.А. Численное исследование течений газа с разрывами сложных конфигураций. // ЖВМиМФ, т. 19, №6, 1979, с. 16081614.

19. Жмакин А.И., Фурсенко А.А. Об одном классе монотонных разностных схем свозного счета. / АН СССР, Л.: 1979, 36 с.

20. Роуч Р. Вычислительная гидродинамика. М. Мир, 1976.

21. Вабищевич П.Н., Самарский А.А. Численные методы решения задач конвекции-диффузии. Москва, Эдиторал УРСС, 1999 г., 248 с.

22. J.P.Boris , D.L.Book, К. Hain. Flux-corrected transport: Generalization of the method. // J. Comput. Physics. 1975. V. 31. pp. 335-350

23. Вязников K.B., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П. Квазимонотонные разностные схемы для уравнений газодинамики. М. Препринт ИПМ АН СССР им. М.В. Келдыша, №175, 1987.

24. Бакирова М.И., Никишин В.В., Тюрина Н.Н., Фаворский А.П. Энергетически согласованные консервативные схемы для уравнения переноса. М. Препринт Препринт ИПМ АН СССР им. М.В. Келдыша, №100, 1996, 15с.

25. Вязников К.В., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П., Шашков М.Ю. Квазимонотонные разностные схемы повышенного порядка точности. М. Препринт ИПМ АН СССР им. М.В. Келдыша, №36, 1983, 27с.

26. Москальков М.Н. Исследование дисперсионных свойств разностных схем для уравнений переноса. В кн.: Численный анализ. Киев: ИК АН УССР, 1978, с. 75-86.

27. Головизнин В.М., Карабасов С.А. Метод прыжкового переноса для численного решения гиперболических уравнений. Точный алгоритм для моделирования конвекции на эйлеровых сетках. Препринт ИБРАЭ №IBRAE-2000-04, Москва, 2000 г., 40 с.

28. Van Leer В. Towards the ultimate conservative difference scheme. V. A second-order sequel to Godunov's method.//J. Comput. Physics. 1979. V.32. pp.101-137.

29. Harten A. High resolution schemes for hyperbolic conservation laws. // J. Comput. Phys. 1983, V.49, pp. 357-393

30. Harten, S. Osher . Uniformly high-order accurate non oscillatory schemes. // I. SIAM. J.

31. Numer. Anal. V. 24. N2. 1987.

32. B.P. Leonard, Simple high-accuracy resolution program for convective modelling of discontinuties. // Int. J. Numer. Methods Fluids 8,1291 (1988)

33. A.Harten. ENO Schemes With Subcell Resolution. // J. Comput. Physics, 1989,V.83, pp. 148184.

34. X.-D. Liu, S. Osher, Nonoscillatory High Order Accurate Self-Similar Maximum Principle Satisfying Shock Capturing Schemes //1 SIAM J. Numer. Anal., 33, no. 2 (1996), pp.760-779.

35. Harten A. , Osher S. Uniformly high-order accurate non-oscillatory schemes. // I. SIAM. J.

36. Numer. Anal. V. 24. N2. 1987.

37. Harten A. On a large time-step high resolution scheme. // Mathem.of Comput. 1986. V. 46. N 174. pp. 379-399.

38. Harten A., Engquist В., Osher S. and Chakravarthy S. Uniformly High Order Accurate Essentially Non-Oscillatory Schemes III // J. Comput. Physics, 71, pp. 231-303, 1987.

39. C.-W. Shu, Stanley Osher, Efficient Implementation of Essentially Non-oscillatory Shock-Capturing Schemes // J. Comput. Physics, 77 , 1988, pp. 439-471.

40. Xu-Dong Lin, Oshers. Convex ENO High Order Multi-dimensional Schemes Without Field by Field Decompositionor Staggered Grids, htpp: //www.math.vctb.edu/~xliu/papers/convex/ nodel.html.

41. A.Harten, B.Engquist, S.Osher and S.Chakravathy, "Uniformly High Order Accurate Essentially Non-Oscillatory Schemes III", JCP, 71, pp.231-303, 1987; also ICASE Report No.86.22, April 1986.

42. C.-W.Shu, Stanley Ocher, "Efficient Implementation of Essentially Non-oscillatory Shock-Capturing Schemes II", JCP,83, 1989, pp.32-78.

43. Lax P.D., Nonlinear hyperbolic equations, Communs Pure and Appl. Math. 6 (1953).

44. Lax P.D., Wendroff В., Systems of conservation laws, III, Communs Pure and Appl. Math. 13 (1960).ф 45. Xu-Dong Liu and Peter D.Lax, " Positive Schemes for Solving Multi-dimensional Hyperbolic

45. Systems of Conservation Laws", 1995.

46. Lax P.D., Richmyer R.D., Survey of the stability of linear finite difference equations. Comm. Pure Appl. Math., 9(1956) 267-293.

47. Osher S. Chakravarthy S. High resolution schemes and Entropy Condition. // SIAM J. Numer. Anal. 21. N5. 1984. pp.955-984.

48. Roe P.L. Approximate Riemann solvers , parameter vectors and difference schemes. // J. Comput. Physics . V. 43.1981. pp. 357-372 .

49. Колган В.П. Конечно-разностная схема для расчета двумерных разрывных решенийнестационарной газовой динамики. Уч. Зап. ЦАГИЮ 1972, т.З, №6, с. 68-77.

50. Вязников К.В., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П., Шашков М.Ю. Квазимонотонные разностные схемы повышенного порядка точности. М. Препринт ИПМ АН СССР им. М.В. Келдыша, 1983, №36, с. 27

51. Головизнин В.М., Самарский А.А. Разностная аппроксимация конвективного переноса с пространственным расщеплением временной производной. //Журнал Математического моделирования, т. 10 (1998), №1, с.86-100.

52. Головизнин В.М., Самарский А.А. Некоторые свойства разностной схемы "Кабаре". //Журнал Математического моделирования, т. 10 (1998), №1, с.101-116.

53. Tolstych The response of a variable resolution semi-Lagrangian NWP model to changes inhorizontal interpolation. Q.J. Meteorol. Sos. (1996), 122, pp. 765-778 .

54. Iserles, A., "Generalized leapfrog methods", IMA Journal of Numerical Analysis, 6,1986

55. Thomas J.P., Roe, P.L. "Development of non-dissipative numerical schemes for computational aeroacoustics". AIAA Paper 93-3382, In AIAA 11 th Computational Fluid Dynamics Conference, 1995.

56. B.M. Головизнин, C.A. Карабасов. Нелинейная коррекция схемы «Кабаре». // Журн. Мат. Моделирования, №12 (1998), стр.107-123.

57. В.М. Головизнин, СА. Карабасов, Д.В. Суходулов. Вариационный подход к получению разностной схемы с пространственно расщепленной временной производной для уравнения Кортвега де Вриза. // Журн. Мат. Моделирования, Том 12, №4 (2000), стр.105-116.

58. Вабищевич П. Н., Самарский А.А. Нелинейные монотонные схемы для уравнения переноса. Доклады Академимии Наук 1998, т. 361, №1, с.21-23.

59. Горицкий А.Ю., Кружков С.Н., Чечкин Г.А. Уравнения с четными производными первого порядка (учебное пособие). Москва: 1999.

60. Калиткин Н.Н. Численные методы. Москва: Наука, 1978.

61. Лебедев В.И. Функциональный анализ и вычислительная математика. Москва: Физматлит, 2000, 295с.