автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Задачи граничного управления для гиперболической системы второго порядка

/

ь

□□3403862

На правах рукописи

Лексина Светлана Валентиновна

ЗАДАЧИ ГРАНИЧНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА

05.13.18 — «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» 01.01.02 — «Дифференциальные уравнения»

1 3 НОЯ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Самара - 2009

003483862

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Самарский государственный технический университет»

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, доцент Андреев Александр Анатольевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Зарубин Александр Николаевич доктор физико-математических наук, профессор Репин Олег Александрович

Ведущая организация:

ГОУ ВПО «Воронежский государственный университет»

Защита состоится 9 декабря 2009 г. в 13.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.218.08 при Самарском государственном университете по адресу: 443011, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Самарского государственного университета.

Автореферат разослан » ноября 2009 года

Ученый секретарь диссертационного совета,

к.ф.-м.н., профессор

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Математическая теория процессов управления возникла из потребностей прикладных дисциплин. Как самостоятельный раздел математики это направление сформировалось к середине прошлого века.

Известно, что развитие теории управления началось с процессов, математические модели которых сводятся к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Для задач, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, термин «управление», был введен акад. Л. С. Понтрягиным в монографии (Математическая теория оптимальных процессов. —М.: ФИЗМАТЛИТ. —1961). В настоящее время круг задач управления существенно расширился и включает задачи управления объектами, математические модели которых описываются в терминах дифференциальных уравнений в частных производных (А.И. Егоров, Ю.Л. Александров, А.Г. Бутковский, Ж.-Л. Лионе, В.А. Ильин, Е.И. Моисеев), стахостических дифференциальных уравнений (Д. Табак, Б. Куо) и другие задачи.

Цель управления состоит в том, чтобы изменить динамику поведения физической системы в соответствии с предъявляемыми требованиями. Эта задача естественным образом распадается на две части (см., например, Калман, П. Фалб, Р. М. Арбиб М. Очерки по математической теории систем. — М.: Мир,— 1971):

— получить математическое описание динамических свойств объекта, подлежащего управлению;

— найти «средство» достижения желаемого поведения управляемой системы.

Впервые теоретическая постановка задачи об управлении колебаниями в четкой математической форме была рассмотрена А. Г. Бутковским (Бутковский А. Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. — М.: Наука, 1965). Появление этих работ определило приоритет России в данной области и дало импульс к появлению большого количества исследований, развивающих это направление, в том числе и за рубежом.

Позднее в работе Ж.-Л. Лионса (Лионе, Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными,— М.: Мир, 1972). была исследована проблема существования гранич-

ных управлений в терминах обобщенного класса Ь2 решения волнового уравнения.

Решению задач управления колебательными системами посвящены работы Н. Н. Красовского, В. А. Троицкого, А. Г. Бутковского, А. И. Егорова и многих других ученых. Отметим , что в последние годы задачам управления упругими колебаниями были посвящены исследования академиков В. А. Ильина и Е. И. Моисеева, работы А. В. Боровских, Л. Н. Знаменской, А. А. Никитина и других авторов, в которых предлагаются решения задач управляемости упругими колебаниями с помощью граничных управлений при различных типах граничных условий.

В современной теории управления в системах с распределеными параметрами применяют результаты многих смежных математических дисциплин: теории уравнений с частными производными, теории функций, функционального анализа.

В последние годы в работах В. А. Ильина и его последователей, приведены решения задач управления процессом колебаний в классе обобщённых решений 1/2(<5г,т), И^СОгд'), ^((Зг.т). Математической моделью, управляемого процесса является уравнение колебания струны. Задача управления состоит в том, чтобы для произвольных наперед заданных функций, определяющих начальные и финальные условия установить необходимые и достаточные условия существования граничных управлений, обеспечивающих переход колебательного процесса из начального состояния в финальное состояние и получить эти управления в явном виде.

Актуальность задач управления системами дифференциальных уравнений с частными производными легко объясняется их заведомо более значительными по сравнению с системами обыкновенных дифференциальных уравнений возможностями в построении математических моделей для описания самых разнообразных процессов и явлений. Цель работы

Целью диссертационной работы является:

— Разработка аналитических методов решения классических начальных, начально-краевых задач, задач управления для системы гиперболического типа второго порядка с двумя независимыми переменными в условиях отсутствия смешанной производной.

— Проверка корректности поставленных задач.

— Исследование математических моделей, описываемых гиперболическими системами; проверка их адекватности и корректности.

— Изучение задач граничного управления для объектов, которые описываются системой гиперболического типа второго порядка, а именно получение решения задачи управления объектами в условиях первой

и второй краевых задач для малых Т ( Т < — ).

Л

— Разработка численных схем решения задач управления с многомерным управляющим вектором.

Методы исследования

В работе использованы методы функционального анализа, аналитической теории дифференциальных уравнений в частных производных, современные алгебраические методы, методы теории управления волновыми процессами. Научная новизна

Научная новизна диссертационной работы состоит в том, что:

— найдено общее решение матричного волнового уравнения и соответствующие аналитические формулы для него;

— построен аналог формулы Даламбера, определены решения задач Гур-са, Дарбу для системы гиперболического типа второго порядка;

— найдены решения краевых задач с условиями первого, второго, третьего рода для системы гиперболического типа второго порядка. Показано, что эти решения существенно зависят от спектра матрицы системы и рассматриваемой области;

— получены решения задач управления в условиях первой и второй краевой задачи. Выписаны условия существования граничных управлений;

— решены задачи о полном успокоении системы и о переводе первоначально покоящейся системы в наперед заданное состояние для объектов, математические модели которых описываются гиперболическими системами второго порядка с двумя независимыми переменными;

— реализовано моделирование процессом управления колебаниями гибкого тела;

— разработан комплекс программ для реализации моделирования управления процессами указанными выше.

Теоретическая и практическая значимость

Работа носит как теоретическую так и прикладную направленность. Результаты работы могут быть использованы в качестве основы для дальнейшей разработки теории классических краевых и начально-краевых задач, задач управления для системы гиперболического типа второго порядка. Материалы и результаты диссертационной работы могут быть использованы в учебном процессе при подготовке студентов.

Практическая значимость заключается в возможности применить полученные результаты к исследованию конкретных объектов, которые описываются рассмотренными системами гиперболических уравнений. В качестве таких объектов можно рассмотреть длинную естественно-закрученную нить (стальной канат), многопроводные линии связи. Полученные решения задач о полном успокоении системы и о переводе первоначально покоящейся системы в наперед заданное состояние для обьектов, математические модели которых описываются гиперболическими системами второго порядка с двумя независимыми переменными могут быть применены при решении конкретных прикладных задач. Положения, выносимые на защиту

1. Аналитическая формула общего решения системы гиперболического типа второго порядка с двумя независимыми переменными;

2. Аналог формулы Даламбера для системы гиперболического типа второго порядка;

3. Теоремы о существовании решений краевых задач для системы гиперболического типа второго порядка;

4. Задачи граничного управления для системы гиперболического типа в условиях первой и второй краевых задач;

5. Реализация моделирования процесса управления колебаниями гибкого тела.

Апробация работы

Основные результаты и содержание работы докладывались и обсуждались на профильных научных конференциях и семинарах:

— ежегодной международной конференции молодых ученых и студентов «Актуальные проблемы современной науки» (2006—2009 гг.) в СамГТУ, г. Самара;

— ежегодной Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (2006—2009 гг.) в СамГТУ, г. Самара;

— научном семинаре кафедры прикладной математики и информатики Самарского государственного технического университета в 2007 — 2009 гг.;

— международной конференции «Дифференциальные уравнения и частные приложения» (21—26 мая 2007 г.) в МГУ, г. Москва;

— международной конференции «Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения», посвященной 100-летию со дня рождения академика И.Н. Векуа (26 мая—02 июня 2007 г.) в Новосибирском государственном университете, г. Новосибирск;

— ежегодном Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (2007 г.) в Сочинском госуниверситете ТиКД, г. Сочи;

— на Всероссийской конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (июнь, 2007 г.) в СамГУ, г. Самара;

— научном семинаре кафедры механики сплошных сред Самарского государственного университета в 2008 г.;

— международной конференции «Современные проблемы математики, механики и их приложений» (30 марта—2 апреля 2009 г.) в МГУ, г. Москва;

— научном семинаре кафедры общей математики, факультета ВМиК, Московского государственного университета в апреле 2009 г.;

— научном семинаре кафедры математического анализа Белгородского государственного университета в мае 2009г.;

— научном семинаре кафедры уравнения математической физики Самарского государственного университета в сентябре 2009 г.

Публикации

Основные результаты диссертации изложены в 13 публикациях. Работы [1—3], [5—7],[10],[12] написаны на паритетных началах с научным

руководителем.

Объем и структура диссертации

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и библиографического списка, включающего 146 наименований. Общий объем диссертации составляет 149 страниц.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, приведен обзор результатов исследований по ее тематике, изложено содержание работы и методика исследований.

В качестве объекта исследования в работе рассмотрена система уравнений в частных производных вида:

и>и ~ &™хх = 0, (1)

в области где ги(х, £) — вектор-функция порядка тп, А — по-

стоянная квадратная матрица, с положительными собственными значениями, порядка т .

Пусть Аг, Л2, Л5 — собственные значения матрицы А, имеющие соответственно кратности к 1, кч, ... к3 (к\ + къ + ... + к3 — т), тогда существует матрица Б такая, что

Л = 5_1Л5,'

где Л — блочно-диагональная матрица подобная матрице А, 5 — матрица перехода при диагонализации матрицы А, составленная из всех векторов всех серий, соответствующих всем корням характеристического уравнения матрицы А. Среди блоков матрицы Л, при введенных ограничениях на матрицу А, можно выделить блоки двух видов: А* = XiE + Е^, г = 1,р к{ — степень элементарного делителя, отвечающего жордановой клетке Л(Аг), Е— матрица сдвига; Л** = \{Е — диагональная матрица, г = р + 1, я. Выполним в системе (1) замену ги = получим систему

ии - Аихх = 0, (2)

в области где и(х, £) — то - мерная вектор-функция.

Первая глава диисертационной работы посвящена краевым задачам для системы гиперболического типа второго порядка вида (1). При решении краевых задач были сформулированы и решены вспомогательные задачи. В разделе 1.1 данной главы:

— получено общее решение матричного волнового уравнения;

— введен оператор <5 = —-—-, сформулированы и доказаны леммы,

¿л ил

определяющие его свойства;

— получен аналог формулы Даламбера для системы гиперболического типа второго порядка с двумя переменными. Результат сформулирован в виде теоремы для системы уравнений с матрицей А*, являющейся жордановой клеткой.

При получении общего решения была рассмотрена система (2), в которой была выделена группа уравнений соответствующих жордановой клетке А* порядка к^ кх < т. Матрица А* такова: на главной диагонали стоит собственное значение А1 = А2 матрицы А, а под главной диагональю — ряд единиц:

ии - А*ихх = 0. (3)

Матричное уравнение (3) представляет собой рекуррентную систему неоднородных волновых уравнений

02 ^2 _

{=1'ки иоМ) = 0. (4)

Общее решение г -ого уравнения системы (4), для г ^ 2, определяется формулой:

, У (-1)^-1 ^ (5)

¿1 (2А)" 01-к-т)\

1 д

где 5 = ^т^д! — <5° = 1, — решение однородного

волнового уравнения

и5(:г,г) = /¿х + А4) + д,{х - А*),

д^ — произвольные функции класса С1, 1 — 2 + В случае, когда матрица А имеет т различных собственных значений, матричное уравнение (2) эквивалентно системе однородных волновых уравнений, общее решение которых определяется аналогично и®

с произвольными дважды непрерывно-дифференцируемыми функциями /?'. 9у

В работе сформулирована и решена задача Коши для матричного волнового уравнения.

Задача 1. (Задача Коши) Найти в характеристической, треугольной области

2А

классическое решение системы (1), удовлетворяющее началь-

ным условиям

■ш(х,0) = 1р{х), гиг(х,0) = 1/>(х), (6)

где <р(х) , ф(х) — заданные вектор-функции размерности т, А = тах{А;}, А,- - собственные значения матрицы А.

Сформулирована вспомогательная задача для системы (3). Задача 1 . Найти в характеристической области

£)[ = {(х, г)| о ^ лг ^ д; < г — лг ^ г, о ^ г <

¿А

вектор-функцию и(х, являющуюся классическим решением системы (3), удовлетворяющую начальным условиям

Г щ(х, 0) = (п, ь)(х, 0)> = &(х), \ ии(х, 0) = (г,-, го^х, 0)) =

где г = 1,..,к\, г1 - вектор, координаты, которого есть состовляю-щие i -ой строки матрицы перехода при преобразовании матрицы А к блочно-диагональному виду Л, 0 ^ х < I.

Теорема 1.1. Классическое решение задачи Коши (3), (7) определяется формулой

= геМх], (ем, (8)

^ (г - к)!

где Фк) — решение задачи Коши для соответствующего однород-

ного волнового уравнения, !рк(х) £ С 2+1~к\0,1] , £ С 1+г_,с[0,;] .

В случае, когда рассматривается система с диагональной матрицей Л** решение задачи Коши расспадается на кр подобных задач для однородных волновых уравнений.

Кроме того, в разделе 1.1 рассмотрены и решены задачи на характеристиках для системы гиперболического типа второго порядка с двумя независимыми переменными.

В разделах 1.2 - 1.4 получены решения краевых задач с граничными условиями первого, второго и третьего родов для гиперболической системы второго порядка с двумя неизвестными. Определены формулы продолжения функций, задающих начальные условия. Показано, что вид решения данных задач существенно зависит от спектра матрицы А рассматриваемой системы и геометрии области Qi,t-

Задача 2. Первая краевая задача с начальными условиями. Найти вектор-функцию w(x,t) удовлетворяющую системе (1) в прямоугольнике Qij, начальным условиям (6), и граничным условиям первого рода

ги(0, t) = ¿¿(i), w(l, t) = v{t), O^t^T. (9)

Задача 3. Первая краевая задача с финальными условиями. Найти вектор-функцию w(x,t) удовлетворяющую системе (1) в прямоугольнике Qi}t, финальным условиям

w(x, Т) = (р{х), wt(x, Т) = ф{х), O^x^l ■ (10) и граничным условиям первого рода (9). /х(£), v(t), ф(х), ф(х) — то - мерные вектор-функции, Т < ^ .

Отдельно исследованы случаи различных и кратных собственных

значений матрицы А при различных Т { Т < —, Т > ^ ).

Л Л

Рассмотрены вспомогательные задачи:

— первая краевая задача с начальными (финальными) условиями для системы с диагональной матрицей;

— первая краевая задача с начальными (финальными) условиями для системы (3).

Задача 2'. Найти вектор-функцию u[x,t) удовлетворяющую системе (3) с диагональной матрицей Л** (или жордановой клеткой Л* )

I , I ч

в прямоугольнике QtT, Т < - ( Т < - ) начальным условиям

Л ^

(7)(финальным условиям)

щ{х,Т) = (п,ь,{х,Т)) = Ш, O^x^l,

ua = {ri,Wt(x,T)) = iii(t), O^x^l

и граничным условиям первого рода

/ = (гьш(о,г)) = дг-(г), (к^т, \ гл(г,*) = (п,™(1,£)) =^(4), О < « < Г,

где вектор г,- — г -ая строка матрицы ¿>, где 5 — матрица, приводящая матрицу А к блочно-диагональному виду.

В случаи жордановойклетки, справедлива теорема.

Теорема 1.7. Если Фк(х) 6 С2м~к[-Ц 21] , Ч?к(х) € С1+<-*Н; 21] , где , Фд. - нечетные продолжения функций щ , фк на отрезки КО] , [1,21] , 1к{Ь),Ш е С2+{~к[—Т; Т]([0,2Т]) , Г^ { выполнены условия согласования для вектор-функций <р(0) = ц(0) , ¡р(1) = ?(0) , тогда решение первой краевой задачи с начальными (финальными) условиями определяется:

«' 1 ^ (г - ¿)!

для г е [1, к{\, г 6 АГ, где к,К к) есть решение пер-

вой краевой задачи с начальными (финальными) условиями для соответствующего однородного волнового уравнения.

Аналогичные теоремы были сформулированы и доказаны и- при решении второй и третьей краевых задач с начальными (финальными) условиями при малых и больших промежутках времени Т.

Вторая глава посвящена задаче граничного управления для системы гиперболического типа второго порядка с двумя независимыми переменными. В разделах 2.1 — 2.2 получены управляющие функции в условиях первой и второй краевой задачи соответственно. Сформулированы теоремы, определяющие условия на функции задающие начальные и финальные условия, при которых существуют граничные управления. Показано, что вид функций, определяющих граничные управления существенно зависит от спектра матрицы А, рассматриваемой системы. Основные результаты этих пуктов сформулированы в виде теорем.

В разделе 2.1 сформулирована и решена задача граничного управления для системы волновых уравнений в условиях первой краевой задачи.

Задача 10. Найти вектор-функции /л(Ь) и такие, чтобы для

классического решения ю(х, £) первой краевой задачи с заданными начальными условиями {(р{х),'ф{х)] в момент времени £ = Т выполнялись финальные условия с заданными вектор-функциями \(р(х), ф^х)].

В этой же главе сформулированы и решены две важные в прикладном аспекте вспомогательные задачи:

— задача о полном успокоении системы;

— задача о приведении в наперед заданное состояние первоначально покоящейся системы.

Задача 11. Найти вектор-функции и такие, чтобы для

классического решения ¿) первой краевой задачи в области

Т < ^ с заданными начальными условиями [^р(х), ф{х)\ в момент Л •

времени £ = Т выполнялись нулевые финальные условия ги(х,Т) = О и и>1(х,Т) = 0.

Задача 12. Найти вектор-функции //(£) и г^(£) такие, чтобы для классического решения гп(х,Ь) первой краевой задачи в области СЦи,

Т < ^ с нулевыми начальными условиями в момент времени £ = Т выЛ л поднялись финальные условия с заданными функциями [(р{х),'ф{х)].

Решение задачи граничного управления найдено как сумма решений этих вспомогательных задач.

В работе рассмотрены два случая:

— задача граничного управления для системы соответствующей жорда-новой клетке;

— задача граничного управления для системы, соответствующей диагональной матрице.

Решение общей задачи управления в условиях первой краевой задачи для системы (3) в области (¿¡р, Т < ^ запишем в виде суммы решений задач о полном успокоении системы и о приведении в наперед заданное состояние первоначально покоящейся системы:

[ ш = £ + мхфк,Ш

) ь= а»-к)! _ (!4)

I ЧЬ) = £ тг-^г/^Ш^ж) + I 1 (г -

где М_, К., М, N определяются формулами

Кх&ьФк)

лг.

ЫМк) = Щ^1 + к I

1-м о

ЫФЛ) = - ± } ~Мг)йг.

1-ХТ+М

Теорема 2.1. Для любого 0 < Т < и для любых вектор-функций <р(х), ~ф(х), <р(х), ф(х) удовлетворяющих условиям:

1. ¡рк, Ых) еС2+т-%1], для ке [1,т], кеМ; Мх), фк(х) е С1+т~к[0,1], для к 6 [1,тп], к 6 М;

2. выполнены условия согласования начальных и граничных условий:

т = т = о, = ¡/(о) = о,

$(0) = ЦТ) = 0, (р{1) = ЦТ) = 0;

3. справедливы условия:

Е

1

^{т-ку.

где Тд определяется формулами

= о,

(16)

^А = +

Я = +

Фк(х) Л '

Мх)

= Фк(х) -

Л л '

ф{х)

Л

0 < X < I - ЛТ; (17)

ЛТ < £ < ¿; (18)

0 ^ х ^ I - ЛТ; (19)

ЛТ < X < ¿; (20)

граничные управления — вектор-функции /ЭД, ¡7(4), переводящие систему из состояния [</?(:с), ^(а;)] в заданное состояние [</?(£), ^(^ОЬ определяются формулами (14).

В случае диагональной матрицы Д.(£), ¡¿¿(¿Х опре-

деляются соответствено формулами (15), с А = А*.

Возвращаясь к задаче граничного управления для системы (1), получаем, что в области Т < ^

Л

Г /.(<) =

| „(*) = 5"1 • Щ.

В разделе 2.2 сформулирована и решена задача граничного управления для системы волновых уравнений в условиях второй краевой задачи.

Задача 13. Найти вектор-функции ц{Ь) и и(Ь) такие, чтобы для решения ги(х, £) второй краевой задачи с заданными начальными условиями [<р{х), 1р(х)] в момент времени £ = Т выполнялись финальные условия с заданными вектор-функциями [(р{х), ф{х)}.

Как и в случае первой краевой задачи рассмотрены две вспомогательные задачи. Основной результат сформулирован в виде теоремы.

В третьей главе диссертационной работы приведены некоторые математические модели, описываемые системами гиперболических уравнений. Например, система телеграфных уравнений:

дЩх,ь) дЦх,г)

где В., С, (? — матрицы сопротивлений, индуктивностей, емкостей и проводимостей, соответственно, является математической моделью многопроводных линий.

Системы гиперболического типа возникают и при изучении природы звука, физических и механических основ музыкальных инструментов. В работе Ю. А. Демьянова были получены уравнения поперечно-продольных колебаний гибкой предварительно натянутой струны

д2и2 яг, (22)

дР

где b, а — скорости поперечных и продольных волн, Iо — первоначальная деформация струны. Второе уравнение неоднородно, наличие в правой части некоторой функции говорит, что роль вынуждающей силы для продольных колебаний играют поперечные составляющие.

В разделе 3.1 проведено исследование математической модели описывающей продольно-крутильное колебание длинной естественно закрученной нити

д2щ(х, t) д2щ(х,£) д2и2{х, t)

Р dt2 дх2 дх2 '

d2u2(x,t) _ dhi^xj) Dd2u2(x, t)

m at2 Эх2 дх2 '

при некоторых значениях коэффициентов системы. Построены решения некоторых задач управления для этой модели с помощью системы компьютерной алгебры Maple 7. Заключение

1. Для системы гиперболического типа второго порядка с матрицей имеющей действительные, положительные собственные значения, получена формула, определяющая общее решение данной системы.

2. Получен аналог формулы Даламбера для системы гиперболического типа второго порядка.

3. Решены краевые задачи с условиями первого, второго, третьего рода для системы гиперболического типа второго порядка. Показано, что эти решения существенно зависят от спектра матрицы системы и рассматриваемой области.

4. Сформулированы и решены задачи об успокоении системы и о приведении системы в наперед заданное состояние.

5. Получены решения задач управления в условиях первой и второй краевой задачи. Выписаны условия существования граничных управлений.

6. Разработаны численные схемы решения задач управления с многомерным вектором управления.

7. Исследована математическая модель, описанная системой гиперболических уравнений второго порядка, с матрицей системы порядка 2.

Основные публикации по теме диссертации

1. Лексина, С. В. Задача Коши для системы продольно-крутильных колебаний длинной естественно закрученной нити / A.A. Андреев,

С. В. Лексина.// Обозрение прикладной и промышленной математики. Т. 11. Вып. 2. Пятый Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике. Тезисы докладов. Москва: ОПиПМ, 2004. С. 553.

2. Лексина, С. В. Смешанные задачи для системы волновых уравнений / A.A. Андреев, C.B. Лексина // Обзор прикладной и промышленной математики. - 2007.- Т. 14, № 5, - С. 847-848.

3. Лексина, С. В. О граничном управлении системы продольно-крутильных колебаний / А.,А. Андреев, C.B. Лексина // СамДиф-2007: конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения», г. Самара, 29 января - 2 февраля 2007 г. Тезисы докладов. — Самара.: Издательство «Универс групп» — 2007.

4. Лексина, С. В. Аналог формулы Даламбера для системы волновых уравнений /C.B. Лексина // Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения. Международная конференция, посвященная 100-летию со дня рождения академика И.Н. Векуа (Новосибирск, 26.0502.06.2007г.): Тезисы докладов/ Новосибирский гос. университет. Новосибирск,— 2007.— С. 216-216.

5. Лексина, С. В. Решение первой краевой задачи с начальными (финальными) условиями для больших Т / A.A. Андреев, С. В. Лексина. // Тезисы докладов международного Российско-Азербайджанского симпозиума «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики.» Нальчик, — 2008. — С. 27-28.

6. Лексина, С. В. Система волновых уравнений с граничным управлением первого рода / А. А. Андреев, С. В. Лексина. // Вестн. Самар. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. — Вып.2. — 2008. — С. 10-21.

7. Лексина, С. В. Система волновых уравнений с граничным управлением первого рода / А. А. Андреев, С. В. Лексина // Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2008,—№ 2(61).—С. 10-21.

8. Лексина, С. В. Задача граничного управления для системы волновых уравнений / А. А. Андреев, С. В. Лексина // Вестник СамГТУ. Серия

«Физико-математические науки». — 2008.— № 1(16),—С. 5-10.

9. Лексина, С. В. Система волновых уравнений с граничным управлением первого рода /C.B. Лексина. // Тезисы докладов международной конференции по математической физике и ее приложениям. Самара, сентябрь 2008.-С. 114-115.

10. Лексина, С. В. Система волновых уравнений с граничным управлением на двух концах / А. А. Андреев, С. В. Лексина // Вестник Сам-ГУ -Естественнонаучная серия. 2008-№ 8/1(67).-С. 21-34.

11. Лексина, С. В. Начальные задачи для системы волновых уравнений / С. В. Лексина. // Вестн. Самар. техн.ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. — Вып.1 (18).-2009.-С. 280-282.

12. Лексина, С. В. . Решение первой краевой задачи для системы волновых уравнений при больших Т / А. А. Андреев, С. В. Лексина. // Тезисы докладов международной конференции «Современные проблемы математики, механики и их приложений», посвященной 70-летию ректора МГУ академика В. А. Садовничего. Москва: МГУ.— 2009. — С. 115-116.

13. Лексина, С. В. Задача управления в условиях первой краевой задачи для гиперболической системы второго по-рядка /C.B. Лексина. // Труды шестой Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи». Ч.З. Дифференциальные уравнения и краевые задачи. Самара: СамГ-ТУ,—2009. — С. 147-150.

Работы [6—8], [10] опубликованы в изданиях из Перечня ВАК.

Подписано в печать 14 октября 2009 г. Формат 60x84/16. Бумага офсетная. Печать оперативная. Объем 1 пл. Тираж 100 экз. Заказ № 1759. 443011, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1. Отпечатано на УОП СамГУ

Введение

1. Краевые задачи для системы гиперболического типа второго порядка

1.1. Начальные задачи.

1.1.1. Общее решение матричного уравнения.

1.1.2. Аналог формулы Даламбера.

1.1.3. Задачи с данными на характеристиках.

1.2. Краевые задачи с условиями первого рода для системы гиперболического типа второго порядка.

1.2.1. Первая краевая задача с начальными (финальными) условиями при малых Т.

1.2.2. Первая краевая задача с начальными (финальными) условиями при больших Т.

1.3. Вторая краевая задача для системы гиперболического типа второго порядка.

1.3.1. Вторая краевая задача с начальными (финальными) условиями при малых Т

1.3.2. Вторая краевая задача с начальными (финальными) условиями при больших Т.

1.4. Краевые задачи с условиями третьего рода для системы гиперболического типа второго порядка.

1.4.1. Третья краевая задача с начальными (финальными) условиями при малых Т

2. Задачи граничного управления для системы гиперболического типа второго порядка

2.1. Задача граничного управления для системы гиперболического типа второго порядка в условиях первой краевой задачи

2.1.1. Случай различных собственных значений матрицы

2.1.2. Случай кратных собственных значений матрицы

2.2. Задача граничного управления для системы гиперболического типа второго порядка в условиях второй краевой задачи

2.2.1. Случай различных собственных значений матрицы

2.2.2. Случай кратных собственных значений матрицы

3. Математические модели процессов, описываемые гиперболическими системами 106 3.1. Продольно-крутильные колебания длинной естественно закрученной нити.

Известно [26], что развитие теории управления началось с процессов, чьи модели математически можно описать обыкновенными дифференциальными уравнениями. Для задач, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, термин «управление» , был введен Л. С. Понтрягиным и его последователями в монографии [93]. В настоящее время круг задач существенно расширился и включает задачи управления, использующие дифференциальные уравнения в частных производных [81], [25-29],[4], [45], [56 — 66], [2], стахостические дифференциальные уравнения [108] и другие задачи.

Цель управления состоит в том, чтобы изменить динамику поведения физической системы в соответствии с предъявляемыми требованиями. Эта задача естественным образом распадается на две части [67], [И]: получить математическое описание динамических свойств объекта, подлежащего управлению; найти «средство» достижения, желаемого поведения, управляемой системы.

Математическая теория процессов управления возникла из потребностей прикладных дисциплин. Как самостоятельный раздел математики это направление сформировалось к середине прошлого века.

Анализ реальных объектов приводит к необходимости решения задач управления системами, описываемыми дифференциальными уравнениями с частными производными [10]: задача управления температурой в сплошных средах [41]; одно из направлений исследования задачи Стефана (управление процессом фазового перехода) [83], [95], [91]; задача управления процессом направленной кристализации [96]; задача граничного управления течением вязкой несжижаемой жидкости (объект управления описывается двумерной системой Навье-Стокса) [114], [122], [31], [78]; задача управления хаосом в системах дифференциальных уравнений [82]; задача управления квантово-динамическими явлениями [125]; задача когерентного управления отбором продуктов реакции [130]; управление медико-биологическими процессами [101]; управление экономико-математическими и финансовыми моделями [88].

Управляемые колебательные системы [37] получили широкое распространение в технике, механике и других областях науки. К таким системам можно отнести летательные аппараты, энергетические агрегаты и т.п. В связи с этим возникают задачи управления колебаниями в технических объектах и системах [38]. Проблемы управления системами различной природы имеют свою историю развития [27 — 28], их решение имеет большое научное практическое значение, а разнообразие физических и технологических процессов открывает большие научные перспективы для дальнейших работ в области управления [75].

В процессе своего развития математическая теория задач управления системами с распределенными параметрами претерпела два больших изменения. Первое изменение теории — переход от классических решений к обобщенным решениям уравнения состояния системы [81]. Второе изменение связано с новым подходом к теоремам существования управления на основе расширения исходных задач [97].

При изучении довольно широкого класса процессов пользуются уравнениями математической физики [105]. Например, волновое уравнение служит математической моделью многих физических процессов и явлений (акустические и электромагнитные волны [117],[34], колебание струны [9] и мембраны [15], а также является основой для описания явлений, связанных с землетрясениями [23]), необходимость управлять которыми возникает, как правило, одновременно с изучением этих явлений.

Впервые теоретическая постановка задачи об управлении колебаниями в достаточно четкой математической форме была рассмотрена А. Г. Бут-ковским [25]. В работах [26 — 28] были приведены многочисленные примеры задач управления системами различной физической природы. Появление этих работ определило приоритет России в данной области и дало импульс к появлению большого количества исследований, развивающих это направление [75], в том числе и за рубежом. Позднее в работе Ж.-Л. Лионса [81] была исследована проблема существования граничных управлений в терминах обобщенного класса L<i решения волнового уравнения.

Решению задач управления для колебательных систем посвящены исследования Н. Н. Красовского [72], В. А. Троицкого [112], А. Г. Бут-ковского [26], А. И. Егорова [42] и других. Отметим, что в последние годы задачам управления упругими колебаниями были посвящены работы В. А. Ильина [56 — 64], Е. И. Моисеева [65 — 66], А. В. Боровских [17 — 18], Л.Н. Знаменской [53 — 54], А. А. Никитина [87] и других авторов, в которых предлагаются решения задач управляемости упругими колебаниями с помощью граничных управлений при различных типах граничных условий.

При построении решения задач граничного управления естественно использовать метод Фурье [48]. Метод Фурье - один из наиболее известных методов решения смешанных задач для основных уравнений в частных производных математической физики [110], [16], [9], [89], [116], который также используется и для построения решения задач граничного управления. Как отмечено А. В. Боровских [17], этот метод является наиболее эффективным для уравнений параболического типа, а для гиперболических уравнений естественно использовать их волновую прироДУВ последние годы в работах В. А. Ильина [56 — 62] и его учеников [53 — 54], [87] приведены решения задач управления процессом колебаний в классе обобщённых решений L2(Qi,t), W^iQip), W^Qip)- Отдельно исследовались случаи управления по двум концам и управления по одному концу.

Задача управления, поставленная В. А. Ильиным формулируется следующим образом: управляемый процесс описывается уравнением колебаний струны utt ~ а2ихх = 0, в прямоугольной области Q^t = {(x,t)|0 < х < 1,0 < t < Т}, с начальными условиями и(х, 0) — <р(х), ut(x, 0) = ф(х), O^x^l, (финальными условиями) и{х, Т) = (р!{х), ut(x, Т) = ф1(х), O^x^l.

Управление процессом происходит с помощью функций jJ>(t), v(t) : u(0,t) = fi(t), u{l,t) = v(t).

Задача управления состоит в том чтобы, для произвольных наперед заданных функций <р(х), <pi{x), ip(x), ipi(x) установить необходимые и достаточные условия существования граничных управлений /x(t) и v(t), обеспечивающих переход колебательного процесса из начального состояния {(р(х), ф(х)} в финальное состояние (</?i(ai), if>i(x)} и получить эти управления в явном виде.

Необходимые и достаточные условия на функции, определяющие начальные и финальные условия, при которых удается решить задачу управления колебательным процессом в классе обобщенных решений W| волнового уравнения для Т < - и Т > - были получены В. А. Ильиным а а и представлены в работах [56], [58], [59], [60], [61]. При этом были выписаны в явном виде граничные управления. Из более ранних исследований В. А. Ильина, относящихся к изучаемой тематике, отметим работы [57], [62] посвященные задаче граничного управления на одном конце х = 0 при закрепленном другом конце х ~ I для уравнения струны. В этих работах теорема существования искомого граничного управления установлена в классе обобщенных из класса L/2{Qi,t) решений волнового уравнения лишь для промежутка времени Г, большего 21. Оказывается, решение этой проблемы вещественно зависит от того, в каком соотношении находятся длина струны I и момент времени Т. Случай Т = I был рассмотрен в работе [59]. В работе [58] рассмотрены случаи 0 < Т ^ I и Т > I (ради определенности I < Т ^ 2/). В случае I < Т ^ 21 искомые граничные управления /i(t) G W|[0, Т], v(t) G Ж|[0, Т] существуют для совершенно произвольных четырех функций (р(х) G И^О, I], ф(х) G W^OJ], ipi(x) G И/|[0Д ip(x) G [0, Z], но в этом случае эти граничные управления определяются неоднозначно, что позволяет перейти к решению задачи оптимального управления [65 — 66], [2]. Установлений, что в этом случае в явные аналитические выражения для искомых граничных управлений входят две произвольные постоянные и четыре произвольные функции, определенные на сегменте длины Т — I, принадлежащие на этом сегменте классу и принимающие вместе с первыми производными на концах этого сегмента заданные значения.

Отметим, что «идеология» В. А. Ильина нашла свое продолжение в работах многих исследователей.

В работах Jl. Н. Знаменской [53 — 54] сформулированы и решены задачи управления упругими колебаниями в классе обобщенных решений l2, с краевыми условиями первого, второго, третьего родов и со смешанными краевыми условиями, получены необходимые условия существования решений рассмотренных задач, найдены управляющие функции в явном виде.

А. В. Боровских в [17 — 18] для уравнения произвольной неоднородной струны .д2и д r . sdu, , . получил условия управляемости и формулы граничного управления для случая, когда управляемость не является безусловной, т.е. она имеет место только при выполнении определенных ограничений па начальные и финальные условия. Этот случай имеет место, когда управление осуществляется за промежуток времени, не превосходящий времени распространения возмущения из одного конца струны в другой.

В работе [18] изучается случай безусловной управляемости, этот случай имеет место, когда время, за которое осуществляется управление, превосходит время распространения возмущения.

Исследованию начально-краевых задач и задач граничного управления для волнового уравнения на графе, посвещенны работы [13], [69], [79],

70], [94]. Известно, что дифференциальные уравнения на графах возникают при моделировании процессов в сетеподобных структурах различной природы (малые поперечные колебания сетки из струн, колебание решетки из стержней, гидросети, электрические сети, стационарные состояния электронов в молекуле и т.д. [92]). Одна из более наглядных реализаций таких задач - упругие деформации сетки, связанной из натянутых струн. В работе А. И. Егорова [45] исследуются управляемые колебания на струнах графа.

В. А. Ильиным и Е. И. Моисеевым в [64] получены новые результаты при решении задачи граничного управления на одном конце процессом, описываемым телеграфным уравнением utt(x,t) - a2uxx(x,t) + c2u(x,t) = 0.

Работа [64] является обобщением па случай телеграфного уравнения наиболее важных результатов, полученных для случая волнового уравнения.

В работах [46 — 47] А. И. Егорова и JI. Н. Знаменской решается задача гашения колебаний в системе, состоящей из двух объектов. Колебания одного объекта описываются волновым уравнением с граничными условиями первого рода. Колебания другого объекта описаны обыкновенными дифференциальными уравнениями второго порядка, содержащими управляющую функцию.

Подробную библиографию, посвященную задаче граничного управления можно найти в обзоре А. И. Егорова и JT.H. Знаменской [44], монографии [53].

Современная теория управления выросла в обширную область исследований и развивается в различных направлениях [52]. Развитие этих направлений постоянно стимулируется быстро расширяющимся кругом практических задач различной природы.

Как отмечено в работе [109], актуальность задач управления системами дифференциальных уравнений с частными производными легко объясняется их заведомо более значительными по сравнению с системами обыкновенных дифференциальных уравнений возможностями в построении математических моделей для описания самых разнообразных процессов и явлений. Например, в работе [100], рассматривается гиперболическая система первого порядка, описывающая процесс теплопереноса в однородной пластинке.

Диссертационная работа посвящена исследованию задач граничного управления для системы дифференциальных уравнений в частных производных, а имеено системе гиперболического типа второго порядка с двумя независимыми переменными.

Объектом исследования в данной работе является математическая модель, описываемая системой гиперболического типа второго порядка: где А — постоянная, квадратная матрица порядка т с положительными, действительными собственными значениями, w(x,t) — вектор-функция.

Система (2) при т — 2, описывает продольно-крутильные колебания длинной естественно закрученной нити [35 — 36]: где EF и В — продольная и крутильная жесткости нити, д — вес единицы длины нити, к — коэффициент раскрутки, г — радиус- инерции поперечного сечения нити, q — ускорение свободного падения.

Под естественно закрученной нитью подразумевается нить обладающая продольной и крутильной жесткостями, а также способная раскручиваться при растяжении и удлиняться при раскручивании. Модель wtt - Awxx = 0,

2)

3) естественно закрученной нити более точно отражает основные свойства реального стального каната, в' частности, огоюывает его свойства раскручивания при свободном натяжении pi дает возможность оценить крутящие моменты, возникающие при продольных колебаниях. При составлении уравнений движения естественно закрученной нити были введены следующие обозначения [36]: W\(x,t) — продольные деформации (полное удлинение части нити), W2(x, t) — поворот нити. В качестве примера естественно закрученной нити можно рассмотреть стальной канал [35].

Граничные условия для функций Wi(x,t), W2(x,t) на конце х — I, образуют уравнения движения концевого груза. Если и>2(/,£). = 0, то это означает, что груз прикрепленный на конце х = I нити не может совершать поворотов.

Система трех неоднородных уравнений вида (1) представленная в работе [119] описйвает динамику нити в декартовых осях. Граничные условия определяются состоянием концов нити. Начальные условия зависят от формы нити и скоростей ее точек в момент времени t — 0. Уравнения динамики нити в декартовых осях целесообразно использовать в случае, когда инерцией вращения нити можно пренебречь [119].

Отметим, что системам гиперболического типа первого порядка по-свещены работы [48], [84-85],[19-22], [1], [106],[115], [12]. Например, в работе [12], многопроводные линии связи описываются системой телеграфных уравнений вида: где R, L,C,G — матрицы сопротивлений, индуктивностей, емкостей и проводимостей, соответственно. Первая пара слагаемых в системе (4) описывает процесс распространения электромагнитного поля, вторая -взаимодействие между проводниками. Вид граничных условий будет зависить от составляющих нагружающей цепи.

Для многопроводной линии без потерь [12] (Я = О, G = 0) систему (4) можно записать в виде

4tu+Biu=°> w где А и В — матрицы соответствующих коэффициентов при напряжениях и токах, U — вектор-столбец напряжений и токов. А и В — симметричные матрицы, причем матрица А — положительна определенная, тогда систему (5) можно привести к каноническому виду с диагональной матрицей М. Данная система распадается на т независимых уравнений для отдельных компанент шг- : dwi Л dwi ' п ~~dt + ~дх = где W = = colon(wi,w2, - ., wm), S — матрица перехода к матрице М.

В работах [50 — 51], [100] рассматривается краевая задача, моделирующая процесс теплопереноса в стержне при заданном температурном режиме на концах в рамках гиперболического закона теплопроводности. В явном виде выписаны граничные управления обеспечивающие в рамках рассматриваемой модели нагрев стержня до определенной температуры в заданный промежуток времени. Отдельно рассматривается случай, когда на правом конце стержня поддерживается нулевая температура, т.е. управление на правом конце равно нулю.

Круг задач граничного управления гиперболическими уравнениями и системами гиперболических уравнений ограничен теми задачами, для которых известна интегральная форма представления решения в точках области его определения [109]. Класс таких уравнений достаточно узок. Одним из известных методов построения решений краевых задач в явном виде является метод Римана и его различные обобщения. В связи с этим, в теории линейных уравнений второго порядка гиперболического типа, функция Римана играет важную роль, с ее помощью удается записать в явном виде решение задач Коши и Гурса. Так, например, Вольтерра [132], Адамар [3] привели формулу представления решений задачи Коши для гиперболического уравнения второго порядка с числом независимых переменных больше двух, Бургатти [126] и Реллих [131] привели формулу представления Римана для линейных уравнений высших порядков с числом независимых переменных равным двум, имеются решения задачи Коши и Гурса для уравнения Бианки [124], [123], записываемые в [49] через функцию Римана, Хольмгрен [128-129], Б. Н. Бурмистров [24] обобщили метод Римана на системы уравнений первого порядка с двумя независимыми переменными. В монографиях А. В. Бицадзе [14] и И. Н. Векуа [30] приведено обобщение метода Римана на один класс гиперболических систем второго порядка с двумя независимыми переменнымии кратными характеристиками, при этом показано, что вопрос о нахождении матрицы Римана сводится к решению системы интегральных уравнений Вольтерра второго порядка, которая всегда имеет единственное решение. В работах [118], [107] метод Римана используется для решения некоторых краевых задач для уравнений третьего порядка и для псевдопараболических уравнений высокого порядка, в [6-7] построена функция Римана для гиперболических уравнений с алгебраическими и трансцендентными сингулярностями.

Например, в работе [99] ядрами интегральной формулы решения задачи Коши для одномерной гиперболической системы с гладкими коэффициентами служат матрицы Римана первого и второго рода. В работах [50-51] аппарат матриц Римана применим к задаче граничного управления процессами в распределенных системах, описываемых системой гиперболического типа второго порядка.

Иногда удается решить краевые задачи для уравнений гиперболического типа и без вспомогательных функций (функций Римана, Римана-Адамара). В работе [86] отмечено, что общие решения, если их возможно найти, являются чрезвычайно полезными, особенно в вопросах прикладного характера. Если известно общее решение дифференциального уравнения или системы дифференциальных уравнений, то скорее всего возможно решить и краевую задачу. Число уравнений, для которых известны общие решения очень мало. Это волновое уравнение, уравнение Эйлера-Пуассона-Дарбу [71], некоторые системы частного вида [14], а также ряд нелинейных уравнений [121].

Цель работы. Целью диссертационной работы является:

Разработка аналитических методов решения классических начальных, начально-краевых задач, задач управления для системы гиперболического типа второго порядка с двумя независимыми переменными в условиях отсутствия смешанной производной.

Проверка корректности поставленных задач.

Исследование математических моделей, описываемых гиперболическими системами второго порядка; проверка их адекватности pi корректности.

Изучение задач граничного управления для объектов, которые описываются системой гиперболического типа второго порядка, а именно получение решения задачи управления объектами в условиях первой и второй краевых задач для малых Т (Т < А

Разработка численных схем решения задач управления с многомерным управляющим вектором.

Методы исследования. В работе использованы методы функционального анализа, аналитической теории дифференциальных уравнений в частных производных, современные алгебраические методы, методы теории управления волновыми процессами.

Научная новизна. Научная новизна диссертационной работы состоит в том, что: найдено общее решение матричного волнового уравнения и соответствующие аналитические формулы для него; построен аналог формулы Даламбера, определены решения задач Гурса, Дарбу для системы гиперболического типа второго порядка; найдены решения краевых задач с условиями первого, второго, третьего рода для системы гиперболического типа второго порядка. Показано, что эти решения существенно зависят от спектра матрицы системы и рассматриваемой области; получены решения задач управления в условиях первой и второй краевой задачи. Выписаны условия существования граничных управлений; решены задачи о полном успокоении системы и о переводе первоначально покоящейся системы в наперед заданное состояние для обьектов, математические модели которых описываются гиперболическими системами второго порядка с двумя независимыми переменными; реализовано моделирование процессом управления колебаниями гибкого тела.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит как теоретическую так и прикладную направленность. Результаты работы могут быть использованы в качестве основы для дальнейшей разработки теории классических краевых и начально-краевых задач, задач управления для системы гиперболического типа второго порядка. Материалы и результаты диссертационной работы могут быть использованы в учебном процессе при подготовке студентов.

Практическая значимость заключается в возможности применить полученные результаты к исследованию конкретных объектов, которые описываются рассмотренными системами гиперболических уравнений. В качестве таких объектов можно рассмотреть длинную естественно-закрученную нить (стальной канат), многопроводные линии связи. Полученные решения задач о полном успокоении системы и о переводе первоначально покоящейся системы в наперед заданное состояние для объектов, математические модели которых описываются гиперболическими системами второго порядка с двумя независимыми переменными могут быть применены при решении прикладных задач.

Апробация работы. Основные результаты и содержание работы докладывались и обсуждались на профильных научных конференциях и семинарах: ежегодной международной конференции молодых ученых и студентов «Актуальные проблемы современной науки» (2006—2009 гг.) в СамГТУ, г. Самара; ежегодной Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (2006—2009 гг.) в СамГТУ, г. Самара; научном семинаре кафедры прикладной математики и информатики Самарского государственного технического университета в 2007-2009 гг.; международной конференции «Дифференциальные уравнения и частные приложения» (21—26 мая 2007 г.) в МГУ, г. Москва; международной конференции «Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения», посвященной 100-летию со дня рождения академика И.Н. Векуа (26 мая—02 июня 2007 г.) в Новосибирском государственном университете, г. Новосибирск; ежегодном Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (2007 г.) в Сочинском госуниверситете ТиКД, г. Сочи; на Всероссийской конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (июнь, 2007 г.) в СамГУ, г. Самара; научном семинаре кафедры механики сплошных сред Самарского государственного университета в июне 2008 г.; международной конференции «Современные проблемы математики, механики и их приложений» (30 марта—2 апреля 2009 г.) в МГУ, г. Москва; научном семинаре кафедры общей математики, факультета ВМиК, Московского государственного университета в апреле 2009 г.; научном семинаре кафедры математического анализа Белгородского государственного университета в мае 2009 г.; научном семинаре кафедры уравнения математической физики Самарского государственного университета в сентябре 2009 г.

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в публикациях [133 - 146]. Работы [133 - 135], [137- 140], [142], [144] написаны в соавторстве с научным руководителем. Из совместных работ в диссертации представлены результаты, полученные автором самостоятельно.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и библиографического списка, включающего 146 наименований. Общий объем диссертации составляет 149 страниц.

Заключение

В диссертационной работе достигнуты следующие результаты.

1. Для системы гиперболического типа второго порядка с матрицей имеющей действительные, положительные собственные значения, получена формула, определяющая общее решение данной системы.

2. Получен аналог формулы Даламбера для системы гиперболического типа второго порядка. Решены краевые задачи с условиями первого, второго, третьего рода для системы гиперболического типа второго порядка. Показано, что эти решения существенно зависят от спектра матрицы системы и рассматриваемой области.

3. Сформулированы и решены задачи об успокоении системы и о приведении системы в наперед заданное состояние. Получены решения задач управления в условиях первой (второй) краевой задачи. Выписаны условия существования граничных управлений.

4. Разработаны численные схемы решения задач управления с многомерными вектором управления.

5. Исследована математическая модель, описанная системой гиперболических уравнений второго порядка, с матрицей 2 порядка. Проведена визуализация результатов полученных в первой и второй главах диссертационной работы.

1. Аболиня, В. Э. Смешанная задача для почти линейной гиперболической системы / В.Э. Аболиня, А. Д. Мышкис / Математический сборник.-I960.-Т. 50(92), № 4. С. 423-442.

2. Авдонин, С. А. Квадратичная задача оптимального управления колебаниями струны /С. А. Авдонин, С. А. Иванов, А. 3. Ишмухаметов. // ДАН СССР.-1991.-Т. 316, № 4,-С. 781-785.

3. Адамар, Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа /Ж. Адамар. — М.: ФИЗМАТЛ-ТИТ, 1994.-544 с.

4. Александров, Ю. Л. О существовании решений некоторого класса задач управления системами с распределнными параметрами / Ю.Л. Александров. / Вест. Моск. ун-та. Сер.1. Мат., мех.— 1985.— № 5. С. 24-28.

5. Альбрехт, Э. Г. Об управлении движением нелинейных систем /Э. Г. Альбрехт. // Дифференциальные уравнения. — 1966.— Т. 2, № 3.

6. Андреев, А. А. О функции Римана / А. А. Андреев, В. Ф. Волкодавов, Г. Н. Шевченко // Дифференциальные уравнения. Труды пединститутов РСФСР.-1974.-Вып. 4.-С. 25-31.

7. Андреев, А. А. О построении функции Римана / А. А. Андреев // Дифференциальные уравнения. Труды пединститутов РСФСР. — 1975.—Вып. 6.-С. 3-9.

8. Андреев, А. А. Оо одном классе систем дифференциальных уравнений гиперболического типа / А. А. Андреев // Дифференциальные уравнения. Труды пединститутов РСФСР. — 1980.—Вып. 16.

9. Арнольд, В. И. Лекции об уравнениях с частными производными /В. И. Арнольд-М.: ФАЗИС, 1999.-180 с.

10. Аргучинцев, А. В. Оптимальное управление гиперболическими системами /А. В. Аргучинцев.-М.: ФИЗМАТЛТИТ, 2007.-168 с.

11. Афанасьев, В. Н. Математическая теория конструирования систем управления / В. Н. Афанасьев, В. Б. Колмановский, В. Р. Носов. — М.: Высшлнк. —1989—447 с.

12. Белишев, М. И. О граничной управляемости динамической системы, описываемой волновым уравнением на одном классе графов (на деревьях) / М.Й. Белишев // Записки научных семинаров ПОМИ.— 2004,-Т. 308,-С. 23-47.

13. Бицадзе, А. В. Влияние младших членов на корректность постановки характеристических задач для гиперболических систем второго порядка / А.В. Бицадзе // ДАН СССР,- 1975.- Т. 225, № 1,1. С. 31 34.

14. Бицадзе, А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных / А. В. Бицадзе. — М.:Наука, Главная редакция физико-математической литературы. —1981.—448 с.

15. Бицадзе, А. В. Уравнения математической физики / А. В. Бицадзе. — М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы. -1982.-336 с.

16. Боровских, А. В. Формулы граничного управления неоднородной струной I / А. В. Боровских // Дифференциальные уравнения.— 2007.-Т. 43, № 1,-С. 64-89.

17. Боровских, А. В. Формулы граничного управления неоднородной струной II / А. В. Боровских // Дифференциальные уравнения.— 2007.-Т. 43, № 5,-С. 640-649.

18. Бразма, Н.А. Об исследовании обобщенной системы телеграфных уравнений матричными методами / Н.А. Бразма / Известия АН JIaCCP. —1948.— № 3. С. 83-85.

19. Бразма, Н. А. Решение основной задачи распространения электромагнитных процессов в многопроводной системе / Н.А. Бразма / ДАН СССР.-1949,-Т. LXIX, № 3. С. 313-316.

20. Бразма, Н.А. Закон сохранения энергии в теории обобщенных систем телеграфных уравнений / Н.А. Бразма, А. Д. Мышкис / Прикладная математика и механика. — 1951.—Т. 15, № 4. С. 495-500.

21. Бразма, Н. А. Новое решение основной задачи распространения электромагнитных явлений в пучке-проводов / Н. А. Бразма / ДАН СССР. —1951—Т. LXXVI, № 1. С. 41-44.

22. Буллен, К. Е. Введение в теоретическую сейсмологию / —М.: Мир, 1966. —460 с.

23. Бурмистров, Б. Н. Решение задачи Коши методом Римана для системы уравнений первого порядка с вырождением на границе / Б.Н. Бурмистров / Труды семинара по краевым задачам. Казанский университет. — 1971.—Вып. 8. С. 41-54.

24. Бутковский, А. Г. Теория оптимального управления системами с распределёнными параметрами /А. Г. Бутковский,—М.: Наука, 1965.-474 с.

25. Бутковский, А. Г. Методы управления системами с распределенными параметрами /А. Г. Бутковский.—М.: Наука, 1975.—474 с.

26. Бутковский, А. Г. Теория подвижного управления системами с распределенными параметрами / А. Г. Бутковский, JT. Н. Пустыльни-ков. — М.: Наука, 1980.

27. Бутковский, А. Г. Подвижное управление системами с распределн-ными системами / А. Г. Бутковский, Ю. В. Дарипский JT. Н. Пустыль-ников // Автоматика и техника.— 1976.— № 2.

28. Бутковский, А. Г. Структурная теория распределенных систем / А. Г. Бутковский.— Л.: Машиностроение,—1977.

29. Бекуа, И. Н. Новые методы решения эллиптических уравнений / И.Н. Векуа. — М.: Гостехиздат. — 1948.

30. Боронович, И. И. Стационарные течения вязкой несжимаемой жидкости / И. И. Воронович, В. И. Юдович. // Математический сборник.-1961.-№ 27,-С. 553-563.

31. Гантмахер, Ф. Р. Теория матриц / Ф. Р. Гантмахер. — М.: Наука,— 1988,—549 с.

32. Гиллес, Е.Д. Об управлении системами с распределннымми параметрами / Е.Д. Гиллес. — М.: Наука,—1971.

33. Глэдвелл, Г. М. Л. Обратные задачи теории колебаний / Г. М. JI. Гл-эдвелл. — М.: Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика Институт компьютерных исследований. — 2008.— 608 с.

34. Горошко, О. А. К вопросу о продольно крутильных колебаниях упругой естественно закрученной нити (каната) переменной длины с концевым грузом, движущимся по жестким направляющим / О. А. Горошко, А. А. Чиж.—Киев: Техника, 1964. - С. 56-64.

35. Горошко, О. А. Введение в механику деформируемых одномерных тел переменной длины / О. А. Горошко, Г. Н. Савин.—Киев: Наукова думка, 1971.

36. Горошков, А. Г. Волны в сплошных средах / А. Г. Горошков, A. JI. Медведский, J1. Н. Рабинский, Д. В. Тарлаковский—М.: ФИЗ-МАТЛИТ, 2004.-472 с.

37. Дегтярев, Г. Л. Теоретические основы оптимального управления упругими космическими аппаратами / Г. Л. Дегтярев, Т. К.'Сиразет-динов. — М.: Машиностроение —1986.— 216 с.

38. Демьянов, Ю. А. К уточнению теории колебания музыкальных струн / Ю.А. Демьянов. // Докл. РАН-1999. Т. 369, № 4, С. 461465 с.

39. Демьянов, Ю. А. Взаимовлияние поперечных и продольных колебаний в музыкальных струнах / Ю.А. Демьянов, Д. В. Кокарева,

40. А. А. Малашин. // Прикладная математика и механика.—2003. Т. 67, № 2, С. 272-282 с.

41. Дюво, Г. Неравенства в механике и физике / Г. Дюво, Ж.-JI. Лионе. — М.: Наука,—1980.- 384 с.

42. Егоров, А. И. Оптимальные процессы в системах с распределенными параметрами и некоторые задачи теории инвариантности / А. И. Егоров // Изв. АН СССР. Сер.матем.-1965. Т. 29, № 6. - С. 1205-1256.

43. Егоров, А. И. О птимальное управление тепловым и диффузионными процессами / А. И. Егоров. — М.: Наука.—1978.—464 с.

44. Егоров, А. И. Управления колебаниями связанных объектов с распределенными и сосредоточенными параметрами / А. И. Егоров, Л. Н. Знаменская // Вычисл. матем. и матем. физика.—2005. Т. 45, № 10, С. 1766-1784.

45. Егоров, А. И. Управляемость упругих колебаний систем с распределенными и сосредоточенными параметрами по двум концам / А. И. Егоров, Л. Н. Знаменская // Вычисл. матем. и матем. физика. — 2006-Т. 46, № 11, С. 2032-2044.

46. Егоров, А. И. Основы теории управления / А. И. Егоров. — М.: ФИЗ-МАТЛИТ — 2004.

47. Жданович, В. Ф. Решение методом Фурье несамосопряженных смешанных задач для гиперболических систем на плоскости / В. Ф. Жданович // Математический сборник. — 1959. — Т. 47(89), № 3.1. С. 307 354.

48. Жегалов, В. И. Дифференциальные уравнения со старшими частными производными / В. И. Жегалов, А. Н. Миронов . — Казань: Казанское математическое общество.—2001.—226 с.

49. Жукова, О. Г. Граничное управление процессом теплопроводности в одномерном материале. Гиперболическая модель / О. Г. Жукова, Р. К. Романовский. // Дифференциальные уравнения. — 2007.— Т. 43,-№ 5.-С. 650-654.

50. Жукова, О. Г. Двустороннее граничное управление процессом теп-лопереноса в одномерном материале. Гиперболическая модель / О. Г. Жукова, Р. К. Романовский. // Сибирский журнал индустриальной математики. 2007.— Т. 10 — № 4. - С. 32-40.

51. Знаменская, Л. Н. Управление упругими колебаниями / — М.: ФИЗ-МАТЛИТ, 2004. -176 с.

52. Знаменская, Л. Н. Управление колебаниями струны в классе обобщенных решений из Ь2 ] Л. Н. Знаменская /Т^Диффёршщиальнью уравнения.-2002.-Т. 38, № 5,-С. 666-672.

53. Зубов, В. И. Методы Ляпунова и их приложение / В. И. Зубов. — Изд. Ленинградского университета.—Ленинград.—1957.

54. Ильин, В. А. Граничное управление процессом колебаний на двух концах / В. А. Ильин // Докл. РАН,-1999,-Т. 369, № 5.-С. 592596.

55. Ильин, В. А. Волновое уравнение с граничным управлением на одном конце при закреплённом втором конце / В. А. Ильин // Дифференциальные уравнения.-1999.-Т. 35, № 12.-С. 1640-1659.

56. Ильин, В. А. Волновое уравнение с граничным управлением на двух концах за произвольный промежуток времени / В. А. Ильин // Дифференциальные уравнения. — 1999. — Т. 35, № 11. —С. 1517-1534.

57. Ильин, В. А. Волновое уравнение с краевым управлением / В. А. Ильин, В. В. Тихомиров // Дифференциальные уравнения,— 1999.-Т. 34, № 1. С. 137-138.

58. Ильин, В. А. Граничное управление процессом колебаний на двух концах в терминах обобщенного решения волнового уравнения с конечной энергии / В. А. Ильин // Дифференциальные уравнения .— 2000—Т. 36, № И. С. 1513-1528.

59. Ильин, В. А. Граничное управление процессом колебаний струны на двух концах при условии существования конечной энергии / В. А. Ильин // Докл. РАН,-2001.-Т. 376, № 3. С. 295-299.

60. Ильин, В. А. Граничное управление процессом колебаний струны на с)ДНомеежонце-при закреплен1ЮМ- второмконце^ приуслрв^и сущс: ствования конечной энергии / В. А. Ильин // Докл. РАН.—2001.— Т. 378, № 6. С. 743-747.

61. Ильин, В. А. О граничном управлении на одном конце процессом, описываемым телеграфным уравнением / В. А. Ильин, Е. И. Моисеев // Докл. РАН,-2002.-Т. 387, № 5. С. 600-603.

62. Ильин, В. А. Граничное управление радиально-симметричными колебаниями круглой мембраны / В. А. Ильин, Е. И. Моисеев // Докл. РАИ.-2003,-Т. 393, № 6. С. 730-734.

63. Ильин, В. А. Оптимальное граничное управление смещением на одном конце при закрепленном втором конце и отвечающее ему распределение полной энергии струны / В. А. Ильин, Е. И. Моисеев // Докл. РАН,-2004.-Т. 399, № 6. С. 727-731.

64. Ильин, В. А. Оптимальное граничное управление смещением на двух концах и отвечающее ему распределение полной энергии струны / В. А. Ильин, Е. И. Моисеев // Докл. РАН.-2005,-Т. 400, № 1. С. 16-20.

65. Калман, Р. Очерки по математической теории систем / Р. Калман, П. Фалб, М. Арбиб.-М.: Мир,-1971.-400 с.

66. Коллатц, Л. Задачи на собственные значения /Л. Коллатц. — М.: Наука,-1968.

67. Комаров, А. В. О спектре равномерной сетки из струн / А. В. Комаров, О. М. Пенкин, Ю. В. Покорный // Изв. высш. учеб. заве. Сер. Математика. — 2000.— № 4 (455). С. 23-27.

68. Копытин, А. В. О существовании неограниченных решений волнового уравнения на сети / А. В. Копытин // Вестник ВГУ, Сер. Физика, математика. 2003.-№ 2, С. 168-172.

69. Котляков, Н. С. Уравнения в частных производных математической физики / Н. С. Кошляков, Э.Б. Глинер, М. М. Смирнов —М.: Высшая школа. — 1970.—712 с.

70. Красовский, Н. Н. Теория управления движением / Н. Н. Красов-ский. — М.: Наука,—1968.

71. Крейи, М. Г. Об обратных задачах для неоднородной струны /М. Г. Крейн. // ДАН СССР. -1952,- Т. 82, № 5.

72. Крутиков, В. С. Об одном возможном способе определения функций управления волновыми процессами в областях с подвижными границами (цилиндрическая симметрия) / В. С. Крутиков. //Письма в ЖТФ. — 2005 — Т. 31, № 1,-С. 9-16.

73. Кубышкин, В. А. Подвижное управление в системах с распределн-ными параметрами / В. А. Кубышкин, В. И. Финягина. — М.: СИН-ТЕГ.-2005.-232 с.

74. Куржанский, А. Б. Дифференциальные уравнения в задачах синтеза управлений / А. Б. Куржанский. //Дифференциальные уравнения. -2005,-Т. 41, № 1,-С. 12-22.

75. Ладыженская О. А. Смешанная задача для гиперболического уравнения / О. А. Ладыженская —М.: Гостехиздат.—1953.

76. Ладыженская О. А. Математическая теория несжимаемой жидкости / О. А. Ладыженская —М.: Наука.—1970.

77. Лазарев, К. П. Разрешимость краевой задачи для разнопорядкового дифференциального уравнения на геометрическом графе / К. П. Лазарев, Т. В. Белоглазова . // Математические заметки. — 2006.— Т. 80, № 1,-С. 60-68.

78. Лившиц, Н. А. Корреляционная теория оптимального управления многомерными процессами / Н.А. Лившиц, В.Н. Виноградов, Г. А. Голубев. — М.: Советское радио, 1974.— 328 с.

79. Лионе, Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными /Ж. Л. Лионе.—М.: Мир, 1972.-414 с.

80. Магницкий Н. А. Новые методы хаотической динамики / Н. А. Магницкий, С. В. Сидоров. —М.: Едиториал УРСС. — 2004.— 320 с.

81. Мейрманов A.M. Задача Стефана / A.M. Мейрманов. — Новосибирск: Наука.-1986.—240 с.

82. Мышкис, А. Д. Простейшая краевая задача для обобщенных систем телеграфных уравнений / А. Д. Мышкис // Математический сборник.-1952.-Т. 31(73), № 2. С. 335-352.

83. Мышкис, А. Д. Непрерывная зависимость решения смешанной задачи для систем линейных дифференциальных уравнений от начальных условий и правых частей системы / А. Д. Мышкис // Математический сборник,-1952,-Т. 30(72), № 2. С. 317-328.

84. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости / Н.И. Мусхелишвили. — М.:Изд-во АН СССР.— 1954.

85. Никитин, А. А. Граничное управление упругой силой на одном конце струны / А. А. Никитин // Докл. РАН.- 2006. Т. 406, № 4. С. 458461.

86. Оксендалъ, Б. Стахостические дифференциальные уравнения. Введение в теорию и приложения. / Б. Оксендаль. — М.: Мир, ООО "Изд. ACT".-2003.-408 с.

87. Петровский И. Г. Лекции об уравнении с частными производными / И. Г. Петровский. — М.: ФИЗМАТЛИТ. 1961.-400 с.

88. Плещинская, И. Е. Об управлении решениями гиперболических систем первого порядка через граничные функции / И. Е. Плещинская, Н. Б. Плещинский // Тр. семинара по краевым задачам. Казанск. гос. ун-т.-1985.-Вып. 22. С. 171-177.

89. Плотников, П. И. Задача Стефана как предел системы фазового поля / П. И. Плотников, В.Н. Старовойтов. // Дифференциальные уравнения.-1993.-Т. 29,-№ 3,-С. 461-471.

90. Покорный Ю. В. Дифференциальные уравнения на геометрических графах / Ю.В. Покорный, О. М. Пенкин, В. Л. Прядиев, А. В. Боровских, К. П. Лазарев, С. А. Шабров. М.: ФИЗМАТЛИТ. - 2004.272 с.

91. Понтрягин Л. С. Математическая теория оптимальных процессов / Л. С. Понтрягин, В. Г. Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко. М.: ФИЗМАТЛИТ. -1961,- 384 с.

92. Радкевич, Е.В. Задачи со свободной границей / Е. В. Радкевич, А. С. Мемекулов. — Ташкент: Фан. —1991 — 184 с.

93. Радкевич, Е. В. Математические вопросы неравновесных процессов / Е. В. Радкевич. — Новосибирск: Тамара Рожковская. — 2007.— 300 с.

94. Райтум, У. Е. Задачи оптимального управления для эллиптических уравнений / У. Ё. Райтум. — Рига: Зинатне. — 1989.— 277 с.

95. Романов, В. Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений / В. Г. Романов. — Новосибирск, НГУ, — 1973.

96. Романовский, Р. К. О матрицах Римана первого и второго рода / Р.К. Романовский. //ДАН СССР. — 1982.— № 267(3).-С. 577-580.

97. Романовский, Р. К. Гиперболическая модель задачи граничного управления процессом теплопереноса в одномерном твердом материале / Р. К. Романовский, О. Г. Жукова. //Докл. АН ВШ РФ. — 2006 — № 1(6).-С. 69-77.

98. Рубин, А. Б. Биофизика: В 2 т. Т.1. / А. Б. Рубин. — М.: Книжный дом "Университет".—1999.—448 с.

99. Сабитов, К. Б. Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения / К. Б. Сабитов. — М.: Высшая школа. — 2005.—671 с.

100. Самарский, А. А. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений / А. А. Самарский // Дифференциальные уравнения. -1980.-Т. 16.-№ 11.-С. 1925-1935.

101. Сиразетдинов, Т. К. К теории устойчивости процессов с распределенными параметрами /Т. К. Сиразетдинов. // ПММ. — 1967.—Т. 31, № 1.

102. Сиразетдинов, Т. К. Устойчивость систем с распределенными параметрами /Т.К. Сиразетдинов. //• Новосибирск.: Наука, 1987.— 232 с.

103. Сиразетдинов, Т. К. Оптимизация систем с распределенными параметрами /Т.К. Сиразетдинов. // М.: Наука, 1977.—480 с.

104. Солдатов, А. П. Краевые задачи с общим нелокальным условием А. А. Самарского для псевдопараболических уравнений высокого порядка / А. П. Солдатов, М.Х. Шхануков. // Докл. АН СССР.— 1987.-Т. 297, № З.-С. 547-552.

105. Табак, Д. Оптимальное управление и математическое программирование / Д. Табак, Б. Куо—М.: Наука, 1975.—280 с.

106. Терлецкий, В. А. К оптимизации гиперболических систем / В. А. Терлецкий // Труды XII Байкальской международной конференции "Методы оптимизации и их приложения". (Иркутск, 24.0601.07.2001г.). Иркутск,-2001.-Т. 2.-С. 167-171.

107. Тихонов, А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский— М.: Наука, 1972. ■

108. Трикоми, Ф. Лекции по уравнениям в частных производных / Ф. Трикоми. — М.: Изд. иностранной литературы,—1957.

109. Троицкий, В. А. Оптимальные процессы колебания механических систем / В. А. Троицкий.— Л.: Машиностроение,—1976.—248 с.

110. Фихтпенголъц, Г.М. Курс математического анализа / Г. М. Фих-тенгольц.—М.: Наука, 1969.—Т. 1.

111. Фурсиков, А. В. Оптимальное управление распределенными системами / А. В. Фурсиков.—Новосибирск: Научная книга, 1999.—351 с.

112. Чекмарев, Т. В. Системы уравнений смешанного типа / Т. В. Чек-марев.—Нижний Новогород: Изд-во Нижегородского гос. техн. ун-та, 1995.—200 с.

113. Чернятип, В. А. Основание метода Фурье в смешанной задаче для уравнений в частных производных / В. А. Чернятин,—М.: Изд-во МГУ, 1991.-112 с.

114. Шашков, А. Г. Волновые явления теплопроводности: Системно-структурный подход / А. Г. Шашков, А. Г. Бубнов, С. Ю. Яновский // М.: Едиториал УРСС, 2004.-296 с.

115. Шхануков, М. X. О некоторых краевых задачах для уравнения третьего порядка, возникающих при моделировании фильтрации жидкости в пористых средах / М. X. Шхануков. // Дифференциальные уравнения.-1982.-Т. 18, № 4.-С. 689-699.

116. Щербаков, В. П. Прикладная механика нити: Учебное пособие. / В. П. Щербаков.-М.: РИО МГТУ им. А.Н. Косыгина. 2001.301 с.

117. Эванс, Л. К. Уравнения с частными производными / Е. В. Радке-вич. — Новосибирск: Тамара Рожковская. — 2003,— 562 с.

118. Ames, W. F. Nonlinear Partial differential equations in engineering. /W. F. Ames. // Academic Press, New-York-London. — 1965.

119. Barbu, V. Optimal control of Navier-Stokes equtions with periodic inputs. /V. Barbu // Nonlinear Anal. Theory Methods Appl. — 1998,— V. 31-№ 1-2.-P. 15-31.

120. Bateman, H. Logarithmic solutions of Bianchi's equation. / H. Bateman // Proc. USA Acad. — 1933,-V. 19,- P. 852-854.

121. Bianchi, L. Sulla estensione del metodo di Riemann alle equiazioni lineari alle derivate parziali d'ordine superiore. /L. Bianchi // Atti R. Accad. Lincei. Rend. CI. Sc. fis., mat. e natur. —1895.—V. 4.—1 sem.— P. 133-142.

122. Brown, E. Some mathematical and algorithmic challenges in the control of quantum dynamics phenomena. /Е. Brown, H. Rabitz // Journal of Mathematical Chemistry. — January 2002.—V. 31.—№ 1.

123. Burgatti, P. Sull' estensione del metodo d'integrazione di Riemann all' equazioni lineari d'ordine n con due variabili independenti. /Р. Burgatti. // Rend, reale accad. lincei. Ser 5a—1906.—V. 15.—№ 2.— P. 602-609.

124. Komornik, V. Exact controllability and stabilization. /V. Komornik. // John Wiley and sons. — 1994.

125. Holmgren, E. Sur les systemes lineaires aux derivees partielles du preimier ordre a daux variables independents a characteristiques reeles et distinotes. /Е. Holmgren // Arkiv for Math., Astr. och Fysik, Bd.5.— 1906.- № 1.

126. Holmgren, E. Sur les systemes lineaires aux derivees partielles du preimier ordre a characteristiques reeles et distinctes. /Е. Holmgren // Arkiv for Math., Astr. och Fysik, Bd.6. 1909.-№ 2,-P. 1-10.

127. Pearson, B. J. Coherent control using adaptive learning algorithms. /B.J. Pearson, J.L. White, Т. C. Weinacht, P.H. Bucksbaum. // Physical Review A.-2001,-V. 63,-№ 6.

128. Rellich, F. Verallgemeinerung der Riemannschen Integrtions-methode auf Differentialgleichungen n-ter Ordung in zwei Veranderlichen. /F. Rellich // Math. Ann.-1930.-№ 103.- P. 249-278.

129. Volterra, V. Sur les vibrations des corps elastiques isotropes. /V. Volterra // Acta Math. —1894 — № 18,- P. 161-232.

130. Лексина, С. В. Система волновых уравнений с граничным управлением первого рода / А. А. Андреев, С. В. Лексина. // Вести. Са-мар. техн.ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. — Вып.2.— 2008. — С. 10-21.

131. Лексина, С. В. Система волновых уравнений с граничным управлением первого рода / А. А. Андреев, С. В. Лексина // Вестник Сам-ГУ —Естественнонаучная серия. 2008.—№ 2(61).—С. 10-21.

132. Лексина, С. В. Задача граничного управления для системы волновых уравнений / А. А. Андреев, С. В.- Лексина // Вестник .СамГТУ. Серия "Физико-математические науки". — 2008.— № 1(16),—С. 5-10.

133. Лексина, С. В. Система волновых уравнений с граничным управлением первого рода / С. В. Лексина. // Тезисы докладов международной конференции по математической физике и ее приложениям. Самара, сентябрь 2008.— С. 114-115.

134. Лексина, С. В. Система волновых уравнений с граничным управлением на двух концах / А. А. Андреев, С. В. Лексина // Вестник СамГУ -Естественнонаучная серия. 2008 —№ 8/1(67).— С. '21-34.

135. Лексина, С. В. Начальные задачи для системы волновых уравнений / С. В. Лексина. // Вести. Самар. техн.ун-та. Сер. Физ.-мат. науки.-Вып. 1 (18).-2009.-С. 280-282.

136. Лексина, С. В. Задача граничного управления в условиях второй краевой задачи для матричного волнового уравнения / С. В. Лексина // Вестник СамГУ —Естественнонаучная серия. 2009.— № 4/(70).—1. С. 20-29.