автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Оптимальное управление начально-краевыми условиями гиперболических систем

На правах рукописи

Аргучинцев Александр Валерьевич

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ

05.13.01 - системный анализ, управление и обработка информации (в технике, экологии и экономике)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Ц»

Иркутск - 2004

Работа выполнена в Иркутском государственном

университете

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник Батурин Владимир Александрович,

доктор физико-математических наук, профессор Егоров Александр Иванович,

доктор физико-математических наук, профессор Овсянников Дмитрий Александрович.

Ведущая организация: Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова.

Защита состоится /Э ок/п Я 2004 г. в /3 часов на заседании диссертационного совета Д 003.021.01 в Институте динамики систем и теории управления СО РАН по адресу: 664033, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 134, зал заседаний Ученого Совета, ком. 407.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института динамики систем и теории управления СО РАН.

Автореферат разослан 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, д.т.н.

Опарин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Системный анализ многих физико-технических, социально-экономических и экологических процессов приводит к задачам оптимизации в моделях сложной структуры. К ним, в частности, относятся и модели оптимального управления уравнениями и системами с частными производными.

Многообразие типов и постановок задач в системах с распределенными параметрами стимулировало многочисленные исследования в двух основных направлениях:

• распространение качественных и численных методов анализа задач оптимального управления обыкновенными динамическими системами на конкретные классы систем с распределенными параметрами (теория принципа максимума Л.С.Понтрягина, другие специальные необходимые и достаточные условия оптимальности, численные методы улучшения управлений);

• развитие общих методов анализа моделей оптимизации, охватывающих достаточно широкие классы задач оптимального управления системами с распределенными параметрами (выпуклые модели оптимизации, принцип Ла-гранжа для локально выпуклых экстремальных задач, функционально-операторные модели оптимизации, итерационные методы решения абстрактных задач оптимального управления).

Отметим в этой связи работы А.Г.Бутковского, О.В.Васильева, Ф.П.Васильева, В.А.Дыхты, А.И.Егорова, Ю.В.Егорова, К.А.Лурье, А.С.Матвеева, С.Ф.Морозова,

A.И.Москаленко, М.М.Новоженова, Д.А.Овсянникова, Ю.С.Осипова, В.И.Плотникова, Т.К.Сиразетдинова,

B.А.Срочко, В.И.Сумина, М.И.Суминя., А.В.Фу-ргикгтя,

3

РОС НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА

СПетерв'

09 юе

шм

В.А.Якубовича, N.U.Ahmed, H.O.Fattoriш, J.-L.Lions, X.Li, E.Polak, K.L.Teo, J.Warga, J.Yong и многих других, подчеркнув при этом неполноту приведенного перечня (особенно в области абстрактной теории оптимизации и приложений).

В ходе этих исследований были выявлены многие специфические особенности задач оптимизации распределенных систем, не имеющие прямых аналогов в сосредоточенных системах:

• возможность появления необходимых условий оптимальности первого порядка, более сильных по сравнению с классическим принципом максимума; речь идет о так называемом вариационном принципе максимума в задачах оптимизации гиперболических систем (работы В.А.Срочко, В.А.Дыхты и некоторых других исследователей);

• необходимость развития специальных методов исследования и решения гибридных систем оптимизации с управляемыми начальными и граничными условиями, заданными как в форме поточечных ограничений, так и в форме дифференциальных связей;

• актуальность задач в нестандартных классах управлений (например, непрерывных и даже гладких), что исключает возможность получения условий типа принципа максимума; важнейшие примеры таких задач связаны с обратными задачами оптимального управления и математической физики, в которых определяемые параметры могут интерпретироваться как непрерывные или гладкие управляющие воздействия;

• нерегулярность многих задач оптимального управления (в смысле Ж.-Л.Лионса и А.В.Фурсикова).

Первые три из указанных особенностей имеют прямое

отношение к рассматриваемым в диссертационной работе задачам оптимального управления гиперболическими системами.

Необходимо отметить также определенный отрыв качественной теории оптимального управления (необходимые и достаточные условия оптимальности) от разработки эффективных методов решения задач. Между тем, переход от условий оптимальности (или лежащих в их основе формул приращения целевого функционала) к конструктивным численным методам является нетривиальной самостоятельной задачей, успех в решении которой определяет эффективность итерационных методов (это обстоятельство хорошо известно уже на уровне развития методов решения задач оптимального управления сосредоточенными системами с помощью классического принципа максимума Л. С .Понтрягина).

Таким образом, актуальными являются: проблема разработки математического аппарата системного анализа исследования задач поиска оптимальных сосредоточенных управлений, входящих в начально-краевые условия дифференциальных уравнений с частными производными, и проблема конструирования специальных методов оптимизации для случая гладких управляющих воздействий.

Объектом исследования в диссертационной работе являются задачи оптимального управления системами полулинейных гиперболических уравнений первого порядка. Этот выбор оправдывается, с одной стороны, многочисленными приложениями подобных задач к социально-экономическим, экологическим и техническим процессам, а с другой - специфическими свойствами таких систем, связанными с распространением разрывов и других особен-

ностей, которые допускают возможность получения оригинальных условий оптимальности и, как следствие, методов улучшения. К рассматриваемым системам сводятся классическое гиперболическое уравнение второго порядка, а также системы Гурса-Дарбу и канонические системы первого порядка с двумя ортогональными семействами характеристик. В рамках данных систем описываются явления возбуждения и распространения волн, кристаллооптика и электромагнитные колебания, динамика популяций, распространение эпидемий, ряд химико-технологических и экономических процессов.

Цель диссертационной работы состоит в развитии теории и методов системного анализа и оптимального управления объектами, описываемыми системами полулинейных гиперболических уравнений первого порядка; получении неклассических условий оптимальности граничных и стартовых управлений в этих системах; исследовании задач оптимизации в гибридных системах, когда начально-краевые условия гиперболических систем определяются из управляемых систем обыкновенных дифференциальных уравнений; построение новых итерационных методов улучшения допустимых управлений; оценка эффективности методов путем проведения численных экспериментов для прикладных экологических задач.

Методы исследования основаны на использовании теории систем гиперболических уравнений, неклассических формулах приращения целевых функционалов и нестандартных вариациях, обеспечивающих гладкость допустимых управлений. Применяются аппараты современной теории оптимизации и управления, численных методов. Численные расчеты на персональных компьютерах проводились

на алгоритмическом языке C + + с использованием системы МЛТЬЛБ 5.2/6.1.

Научная новизна.

1) Впервые исследованы задачи оптимизации гиперболических систем, в которых начально-краевые условия определяются из управляемых систем обыкновенных дифференциальных уравнений. На основе нестандартных формул приращения целевого функционала для двух частных случаев доказаны условия оптимальности вариационного типа. В результате исходные задачи в сложных системах сведены к задачам оптимального управления системами обыкновенных дифференциальных уравнений. Построены процедуры улучшения допустимых управлений нелокального характера.

2) Впервые получены неклассические условия оптимальности типа вариационного принципа максимума в задаче оптимального управления системой полулинейных гиперболических уравнений при обычных конечномерных связях между компонентами вектора состояния, для которых ставятся начально-краевые условия, и управляющими воздействиями. Допустимые граничные и стартовые управления выбираются из класса ограниченных и измеримых функций. Необходимо отметить, что для этого класса задач несправедлив аналог классического условия оптимальности вида поточечного (конечномерного) принципа максимума Л.С.Понтрягина. Предложен сходящийся к выполнению доказанного условия оптимальности итерационный метод.

3) Впервые исследованы задачи оптимального управления начально-краевыми условиями гиперболических систем в классе гладких управляющих воздействий. На основе применения нестандартных вариаций, сохраняющих гладкость

допустимых управлений, установлены необходимые условия оптимальности в задаче оптимального управления системой гиперболических уравнений, в которой управляемые граничные условия заданы в виде конечномерных связей общего вида; при этом гладкие управляющие воздействия стеснены поточечными (амплитудными) или интегральными ограничениями. Предложенный подход является достаточно универсальным и может быть распространен на целый ряд задач управления различными типами систем.

4) Разработаны итерационные методы решения задач оптимального управления полулинейными гиперболическими системами с гладкими граничными управлениями, доказаны теоремы сходимости предложенных алгоритмов, осуществлена их численная реализация для прикладных задач динамики популяций и восстановления начального профиля гравитационной волны но известным данным наблюдений в конечный момент времени. Проведена серия, численных экспериментов,.изучены особенности реализации предлагаемых методов.

Все основные результаты являются новыми.

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту:

- необходимые и достаточные условия оптимальности вариационного типа в задачах оптимизации гиперболических систем с управляемыми начально-краевыми условиями в виде дифференциальных связей (теоремы 1.6.1, 1.7.1 главы 1); основанная на этих условиях редукция задач к задачам оптимального управления системами обыкновенных дифференциальных уравнений (пункты 1.6, 1.7 главы 1);

- новое необходимое условие оптимальности ограниченных и измеримых управлений в системе гиперболических

уравнений с управляемыми начально-краевыми условиями, заданными в виде конечномерных связей (теоремы 2.4.1, 2.4.2 главы 2);

- новый подход к исследованию задач оптимизации гиперболических систем в классе гладких граничных и стартовых управляющих воздействий, использующий нестандартные вариации, обеспечивающие гладкость управлений и выполнение поточечных и/или интегральных ограничений (пункты 3.3, 3.4 главы 3); необходимые условия оптимальности гладких управлений (теоремы 3.3.1, 3.3.2, 3.3.3, 3.4.1 главы 3);

- итерационные методы, основанные на доказанных результатах (пункт 2.6 главы 2, пункт 3.5 главы 3);

- численная реализация методов для прикладных задач оптимального управления динамикой популяций (пункт 4.3 главы 4) и обратных задач теории гравитационных волн (пункты 5.1-5.3 главы 5).

Степень обоснованности и достоверности результатов. Достоверность и обоснованность теоретических положений следует из приведенных в диссертации доказательств утверждений и теорем. Достоверность результатов численных экспериментов подтверждается рядом тестовых расчетов.

Теоретическая и практическая значимость. Полученные в диссертации теоретические результаты представляют интерес для качественной теории управления сложными системами, а предлагаемые численные методы открывают дополнительные возможности для изучения прикладных моделей. Ряд исследованных моделей подтверждает конструктивность результатов. Методы, разработанные в диссертационной работе, могут использоваться для системно-

го анализа и исследования операций, в частности, для решения широкого круга задач техники (управление пучками заряженных частиц, лазерная физика, химическая технология), экономики (управление основными производственными фондами с учетом их возрастной структуры), экологии (динамика популяций, распространение эпидемий и наркотиков, процессы возбуждения и распространения гравитационных волн).

Некоторые разделы диссертации используются в учебном процессе кафедр методов оптимизации, вычислительной математики и механики Иркутского государственного университета (курсовые и дипломные работы, дисциплины специализаций). Часть результатов, касающихся методов, основанных на нестандартных формулах приращения целевого функционала, включена в учебное пособие (Васильев О.В., Аргучинцев А.В. Методы оптимизации в задачах и упражнениях. - М.: Физматлит, 1999. - 208 с).

Результаты диссертации являются составной частью исследований, выполняемых в Иркутском государственном университете в рамках

- Тематического плана НИР Министерства образования РФ ("Разработка методов математического моделирования, управления и оптимизации в технических, природных и эколого-экономических процессах", 1998-2002 гг., N ГР 01980008037; "Развитие теории и методов качественного анализа и эффективного решения задач оптимального управления и проектирования", 2003-2007 гг., N ГР 01200310251);

- грантов Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 94-01-01559, 96-01-00359, 99-01-00400, 0201-00243);

- грантов международного конкурса РФФИ-Белорусского фонда фундаментальных исследований (проекты 00-01-81130-Бел2000, 2000-2001 гг.; 02-01-81001-Бел2002, 2002-2004 гг.);

- гранта РФФИ-Камчатка (проект 97-01-96011-п "Исследование обратной проблемы прогнозирования волн цунами методами оптимального управления", 1997-1999 гг.);

- программы "Университеты России" (проекты 990345, 2000-2001 гг.; УР0З.01.008, 2002-2003 гг.; ур.03.01.002, 20042005 гг.);

- грантов Минобразования РФ (проекты "Решение обратных задач математической физики методами теории оптимального управления", 1994-1995 гг.; "Решение обратных задач математической физики методами оптимального управления", 1996-1997 гг.; "Исследование обратных задач оптимального управления в системах с сосредоточенными и распределенными параметрами", 1998-2000 гг.);

- Федеральной целевой программы "Государственная поддержка интеграции высшего образования и фундаментальной науки на 1997-2000 годы". Проект "Развитие учебно-научного центра математической кибернетики, системного анализа и исследования операций". Per. номер 186;

- Федеральной целевой программы "Интеграция науки и высшего образования России на 2002-2006 гг". Гос. контракт Б0077/1864 от 23.10.02; Проект "Развитие научных исследований Учебно-научным центром фундаментального естествознания. Отделение кибернетики";

- Федеральной целевой программы "Интеграция науки и высшего образования России на 2002-2006 гг". Гос. контракт Ц3026/1450 от 11.06.03. Проект "Оптимизация гиперболических систем";

- индивидуального гранта d98-744 "Соросовский доцент" Международной Соросовской образовательной программы в области точных наук, 1998 г.;

- программы "Collaboration in Basic Science and Engineering" Национального научного фонда США. Проект. "Control and inverse problems for distributed parameter systems on graphs", 2003-2004 гг. (руководитель с американской стороны - д.ф.-м.н., проф. Авдонин С.А.);

- договора с администрацией Иркутской области на финансирование НИР "Оптимизация гиперболических систем", 2003 г. (договор N 8 от 01.08.03).

Личный вклад автора. Все основные теоретические результаты, включенные в диссертационную работу, получены автором лично. В совместных работах с Васильевым О.В. и Терлецким В.А. [3, 10, 15, 17, 22-25, 30] соавторам соискателя принадлежит изложение основанного на классическом принципе максимума метода последовательных приближений для оптимального управления краевой задачей в системах обыкновенных дифференциальных уравнений и для отдельных классов задач оптимального управления гиперболическими системами с распределенными управлениями в правой части. В совместной работе [29] Васильеву О.В. принадлежит общая схема решения обратных задач оптимального управления. Упомянутые результаты соавторов в диссертационную работу не включены.

Численный эксперимент в задаче восстановления профиля гравитационной волны проведен совместно с аспирантом соискателя Крутиковой О.А., а в задаче оптимального управления динамикой популяций - совместно с дипломником диссертанта Фроловым А.В. Результаты численных экспериментов отражены в совместных публикациях [4, 12, 14,

16, 18].

Апробация работы. Основные результаты, включенные в диссертационную работу, докладывались на

- XI, XIII, XIY и XY Всемирных конгрессах Международной Федерации автоматического управления (IFAC) (Таллинн, 1990; Сан-Франциско, США, 1996; Пекин, 1999; Барселона, Испания, 2002);

- 1-ой и 2-ой Всесибирских конференциях по математическим проблемам экологии (Новосибирск, 1992, 1994);

- IX, X, XI и XII Байкальских школах-семинарах и конференциях "Методы оптимизации и их приложения" (Иркутск, 1992, 1995, 1998, 2001);

- II и III Международных семинарах по негладким и разрывным задачам управления и оптимизации (Челябинск, 1993; Санкт-Петербург, 1995);

- 17th IFIP Conference on System Modelling and Optimization (Прага; 1995).

- 10th IFAC Workshop "Control Application of Optimization" (Хайфа, Израиль, 1995);

- 2nd Asian Control Conference (Сеул, 1997);

- International Conference "Dynamical systems: stability, control, optimization" (Минск, 1998);

- I и II Международных конференциях по проблемам управления (Москва, Институт проблем управления РАН, 1999, 2003);

- международной конференции "Распределенные системы: оптимизация и приложения в экономике и науках об окружающей среде, DS0'2000" (Екатеринбург, 2000);

- международной конференции "Математика, информатика и управление, МИУ 2000" (Иркутск, 2000);

- международной конференции "Математика в восточ-

ных регионах Сибири" (Улан-Удэ, 2000);

- 5th IFAC Symposium "Nonlinear Control Systems, NOLCOS'01" (Санкт-Петербург, 2001);

- конференциях "Ляпуновские чтения &; презентация новых информационных технологий" (Иркутск, Институт динамики систем и теории управления СО РАН, 2002, 2003);

- IFAC Workshop "Modelling and Analysis of Logic Controlled Dynamic Systems" (Иркутск, Институт динамики систем и теории управления СО РАН, 2003);

- семинаре Института математики университета г. Киль, Германия (рук. Prof. P. Kosmol, 1999);

- семинаре "Методы оптимизации" кафедры оптимального управления факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ (рук. д.ф.-м.н., проф. Васильев Ф.П., 2000);

- семинаре математического отделения факультета естественных наук университета г. Фэйрбэнкс, США (рук. д.ф.-м.н., проф. Авдонин С.А., 2003);

- Иркутском городском математическом семинаре (рук. д.ф.-м.н., проф. Булатов В.П., 2003);

- семинаре факультета прикладной математики-процессов управления и НИИ вычислительной математики и процессов управления им. В.И. Зубова Санкт-Петербургского государственного университета (рук. д.ф.-м.н., проф. Овсянников Д.А., 2004);

- семинаре Института динамики систем и теории управления СО РАН (рук. член-корр. РАН Васильев С.Н., 2004);

- семинарах кафедр методов оптимизации, вычислительной математики и механики Иркутского государственного университета (1991-2003 гг.).

Публикации. По теме диссертационной работы опубли-

ковано более 50 печатных работ. Основное содержание диссертации отражено в [1-35]. В число указанных работ входят монография [1], вышедшая из печати в 2003 г. в издательстве Иркутского государственного университета, и 7 статей в журналах из "Перечня ведущих научных журналов и изданий, выпускаемых в Российской Федерации, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени доктора наук "[2-8] (в отношении совместных публикаций см. раздел "Личный вклад автора").

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка цитируемой литературы. Общий объем диссертации составляет 237 страниц, включая 11 рисунков и 8 таблиц. Список литературы содержит 277 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение содержит обоснование выбранного направления исследований, обзор работ, посвященных рассматриваемым в диссертации проблемам; сформулированы цель работы, основные положения, выносимые на защиту, и кратко изложено содержание глав.

В первой главе рассматривается задача оптимального управления системой полулинейных гиперболических уравнений, в которой граничные условия определяются из управляемых систем обыкновенных дифференциальных уравнений:

дх дх

— + A(s,t)— = f(x,s,t), (s,í)G П; (1)

¿ф^о) = Я0(я), 5 6 Я,

= ¿ет,

(2) (3)

х+(50,0 = О» «(0.0> * е г,

и(г) еи С Ег, £ € Г, г/ - компакт; = / ¿г), 5) Ч- ¡1 F(x,s,í) ¿в Л —>

гс

—» шт.

(4)

(5)

(6)

5

П

Здесь П = (во, ^г) х (¿0, ¿г) - прямоугольник, 5 = [во, Т = [¿(Ъ^Ь ~ {х1,х2,... ,хп) - вектор-функция состо-

яния, гг(£) = («1, «г, • • •, иг) - вектор-функция управления из класса ограниченных и измеримых на Т функций, - диагональная матрица размерности п х п, элементы которой знакопостоянны в

1 — 1,2,..., а(в, О = 0, I = ш1 + 1, ш1 + 2,..., ш2; а ¡(в, < 0. I = т2 + 1, ш2 + 2,..., п; из положительных и отрицательных диагональных элементов матрицы А составлены две диагональные подматрицы А+(в,1) размерности ш1 х ш1 и размерности (п — т.) х (п — т2);

вводится понятие характеристик = т;£), определяемых из обыкновенных дифференциальных уравнений

Под обобщенным решением начально-краевой задачи (1)-(4) понимается функция, удовлетворяющая системе интегральных уравнений, в которой интегрирование осуществляется вдоль характеристик исходной гиперболической

системы (1). Обсуждается используемое понятие обобщенного решения. Дан обзор результатов, касающихся вопросов существования, единственности и свойств решений начально-краевой задачи.

При исследуемой в данной главе форме связи между компонентами вектора состояния, для которых ставятся граничные условия, и управляющими воздействиями справедлив принцип максимума. Доказаны достаточные условия в форме принципа максимума, основанные на анализе лагранжиана задачи. Показана возможность применения для решения задачи методов последовательных приближений, основанных на идее игольчатого варьирования управлений. Приведен обзор методов.

Рассматривается частный вариант задачи оптимального управления (1)-(б). Пусть система гиперболических уравнений линейна, а начально-краевые условия заданы в виде линейных по состоянию систем обыкновенных дифференциальных уравнений с матрицами коэффициентов, зависящими от управления. Правые части систем (1), (4) записываются следующим образом:

Цель задачи состоит в минимизации линейного целевого функционала:

3(и) — ! < с^),^,^) > йв + ^ £)) йз<И.

Угловые скобки используются для записи скалярного произведения двух ^мерных векторов х и у: (х, у) = а^у,-.

Для подобного класса задач принцип максимума является необходимым, но не достаточным условием оптимальности в силу зависимости матрицы коэффициентов системы обыкновенных дифференциальных уравнений от управления.

В диссертационной работе построен отличный от классического точный вариант формулы приращения целевого функционала на двух допустимых процессах

Здесь функции р(Ь) и ¿) являются решениями следующей сопряженной задачи:

Симметричный вариант формулы приращения: т

Формулы (7), (8) позволяют доказать вариационные необходимые и достаточные условия оптимальности.

Теорема 1.6.1. Для оптимальности управления ü(t) в рассматриваемой задаче необходимо и достаточно, чтобы управление v = û(i) было оптимальным в каждой из задач

I(v) = - J (p(t, и), (C(v(t),t) - C(u(t),t))y(t,

T

+ b(v(t), t) - b(u(t), t)) dt ->• min, y = C(v(t),t)y + b(v(t),t), teT, (9)

y(to) = {x°(s0))+, v(t) e и, teT.

Ф(г;) = - J(p{t, v), (C(v(t), t) - C(u(t), t)) x+(s0, t, u)+ т

+b{v{t), t) - b(u(t), t)> dt -> min, p = -Cr(v(t),t)p- A+ (s0,t)^+(s0, t), t e T, (10) p(ti) = 0, v{t)eU, teT.

Каждый из вариационных принципов максимума (9), (10) позволяет осуществить редукцию исходной задачи оптимального управления к задаче оптимального управления системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Обсуждаются конструктивные особенности редукций. Отмечаются преимущества такого способа решения по сравнению с итерационными методами, в основе которых лежит принцип максимума Л.С.Понтрягина. Во-первых, в данном случае система дифференциальных уравнений с частными производными интегрируется только 2 раза (поиск

и состояния, соответствующего оптимальному управлению). Если бы задача (1)-(б) решалась итерационными процессами классического принципа максимума, то на каждой итерации приходилось бы неоднократно интегрировать гиперболическую систему (1). Во-вторых, для решения вспомогательной задачи, на данный момент уже хорошо изученной, можно использовать весь набор достаточно эффективных методов, разработанных для задач оптимального управления системами обыкновенных дифференциальных уравнений.

Исследование случая квадратичного целевого функционала привело к двум уже несимметричным результатам. Неклассические формулы приращения второго порядка позволили в одном случае свести исходную задачу к задаче минимизации квадратичного функционала в системе обыкновенных дифференциальных уравнений, а во втором случае - к задаче минимизации линейного функционала в системе обыкновенных дифференциальных уравнений большей размерности. Кратко прокомментированы проблемы, возникающие при построении процедур улучшения для случая нелинейного целевого функционала, указаны возможности использования полученных результатов для решения прикладных задач.

Во второй главе задача оптимального управления граничными условиями полулинейной гиперболической системы исследуется при конечномерных (поточечных) связях между начально-краевыми состояниями системы и управляющими воздействиями. Система (1) рассматривается при управляемых начальных условиях

¿о) = з), 5 е 5. (11)

Для уменьшения громоздкости предполагается сначала, что условия на боковых границах прямоугольника Ях) фиксированы. Цель задачи состоит в минимизации функционала

где Г2 - граница прямоугольника П, из которой исключен отрезок {($,£) е Е2 : в 6 5, Ь = ¿о}- Допустимые управления - измеримые и ограниченные на £ функции, удовлетворяющие условию

Предполагается, что уравнения системы (1) упорядочены таким образом, что

Пусть Ь € Еп - произвольный вектор. Обозначим

Целью данного разбиения является выделение компонент вектора, соответствующих совпадающим диагональным элементам матрицы Л, равным а^, I = 1,2,...,д. Для

двух произвольных векторов Ь, с Е Еп под прямой суммой векторов и с будем понимать вектор с ком-

понентами и

В рассматриваемой задаче аналог поточечного принципа максимума отсутствует. Исследование задачи с помощью анализа формулы приращения функционала привело к неклассическому условию оптимальности. Установлено, что оптимальное граничное управление доставляет максимум в задаче управления начальными условиями системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Теорема 2.4.1. (вариационный принцип максимума). Пусть процесс {и, х} является оптимальным в исследуемой задаче. Тогда почти всюду на отрезке S выполняется условие максимума

/(и(0,0 = тах/(17,0,

(13)

где

функции у1(Ь) определяются из систем обыкновенных дифференциальных уравнений:

у'(*) = №(*), *0; г),г), г е (15)

у'^оНР'М), ¿ = 1,2,...,?,

(^ьтг) - конечные точки характеристике = ^''Ч^о;^), гМ - компоненты решения сопряженной задачи па оптимальном процессе {и, х}.

Далее формулируется вариационный принцип максимума для задачи, в которой управляемы также и условия на боковых границах прямоугольника.

Конструкции условия оптимальности (13)—(15) прокомментированы на двух примерах. Первый пример приведен для задачи, возникающей при изучении процессов возбуждения и распространения гравитационных волн. Исследуются два дифференциальных уравнения с различными коэффициентами при производных по переменной 5 . Несмотря на аддитивность целевого функционала, задача (13)—(15) не распадается на задачи оптимизации в отдельных обыкновенных дифференциальных уравнениях, построенных вдоль характеристик гиперболического оператора. Второй пример рассмотрен для задачи, возникающей при изучении процессов в распределенных по возрасту популяциях. Он иллюстрирует случай одинаковых и постоянных коэффициентов при производных по переменной 5. В этом варианте вариационный принцип максимума вырождается в простейшее условие максимума вдоль характеристик системы.

Осуществлено сравнение вариационного принципа максимума с классическим условием оптимальности вида дифференциального принципа максимума, доказанным, например, M.Brokate (1987). Указывается, что при доказательстве вариационного принципа максимума достаточно ввести менее жесткие предположения на параметры задачи, чем в дифференциальном принципе максимума. Показано, что для управления, удовлетворяющего вариационному принципу максимума, выполняется дифференциальный принцип максимума. Несправедливость обратного утверждения иллюстрируется контрпримером. Таким образом, доказанное в данной главе необходимое условие оптимальности является более сильным по сравнению с дифференциальным принципом максимума.

Заключительный пункт главы 2 посвящен итерационному методу, основанному на вариационном принципе максимума. Метод не требует дополнительных предположений о дифференцируемости параметров задачи по управлению и выпуклости множества допустимых управлений, необходимых при использовании градиентных методов.

В третьей главе задача оптимального управления начально-краевыми условиями полулинейной гиперболической системы (1) исследуется в классе гладких управляющих воздействий. Рассмотрена одна из наиболее общих форм задания краевых условий. Для случая стартовых управлений начально-краевые условия имеют вид

x(s,t0) ~p{u{s),s), seS,

x+(sQ,t) = M(t)x~(s0,t) +gw{t), t e T, x-(sut) = N{t) x+{sht) + g<-2){t), t£T.

(16)

Вводятся поточечные ограничения на управление

«(я) € и С Ег, я € 5, и - компакт. (18)

Цель: J(u) = I (р{х{з,и),з)(1з +Л Р{х,з,Г)<1з(И. (19)

5 П

Понятно, что для такого рода задач неприменимы методы оптимального управления, использующие разрывные вариации (игольчатые, скольжения, и-вариации). На основе исследования формулы приращения целевого функционала в классе слабых вариаций получено базовое необходимое условие оптимальности вариационного типа.

С целью построения конструктивных методов решения задач в классе гладких управлений предложена специальная слабая вариация. Проварьированное управление строится по правилу

где - параметр, характеризующий малость вари-

ации, ¿(я) - непрерывно дифференцируемая функция, удовлетворяющая условиям

Вводятся функции

и сопряженная задача

Теорема 3.3.1. Пусть процесс {и,х} является оптимальным в задаче (1),(16)-(19), Тогда всюду на отрезке в Е 5 выполняется условие

< Ни{ф(з,¿о), и^), я), й(з) >— 0,

Доказывается, что если задача рассматривается в классе ограниченных и измеримых управлений, множество и выпукло, а оптимальное управление - гладкая функция, то из дифференциального принципа максимума следует доказанное условие. Вообще же, в исследуемой задаче дифференциальный принцип максимума несправедлив.

Далее доказываются необходимые условия оптимальности для случая, когда гладкие граничные управления входят в правые части (17).

В пункте 3.4 рассматривается задача (1), (16), (17), (19) при интегральных ограничениях на управляющие воздействия

IФ,•(«(*)) Ж = ¿ = 1,2,...,А (20)

5

с дополнительными условиями однородности подинтеграль-ных функций

Проварьированное управление строится по правилу

Данный вид вариации позволяет учесть также односторонние ограничения на управления типа

Теорема 3.4.1. Пусть процесс {и,х} является оптимальным в задаче с интегральными ограничениями (20). Тогда всюду на отрезке S выполняется условие

«о),«^),^),«^)) - ~ (ки(ф(з,г0),и(з),з),и)3 = О,

Кратко комментируются возможности обобщения предлагаемых вариаций на случай управляющих функций многих переменных.

Доказательство теорем 3.3.1, 3.4.1 методом, основанным на анализе формул приращения целевого функционала, носит конструктивный характер - оно позволяет обосновать сходимость следующей итерационной процедуры.

Пусть на к-ой итерации найдено допустимое управление и*(в). Вычислим решения хк(з,1) и £) исходной и сопряженной начально-краевых задач. Построим функцию

для случая поточечных ограничений на управление (17) или

-- (М^О», *о), ик{в), в), ик(з))

си 'а

для случая интегральных ограничений (20). Если ш^я) = О, я € 5, то управление ик удовлетворяет необходимому условию оптимальности, и алгоритм заканчивает свою работу. В противном случае определим допустимую гладкую функцию

Построим однопараметрическое семейство управлений ие(= ик (в + е5к(з)) и решим задачу одномерной минимизации

Следующее приближение находится по формуле

Доказана теорема о сходимости. Метод генерирует последовательность управлений, удовлетворяющую свойству релаксационности ^(ик+1) < «/(и*), к = 0,1,2,...) и сходящуюся к соответствующему условию оптимальности в смысле

Таким образом, основными преимуществами предлагаемого подхода по сравнению с результатами других авторов, использовавших идею замены независимых переменных в задачах вариационного исчисления (М.В.Остроградский) и оптимального управления (В.И.Плотников, С.Ф.Морозов,

В.И.Сумин, Л.Е.Забелло) являются: достаточно общий вид вариации, сохранение гладкости допустимых управлений, конструктивность в смысле построения численных методов.

В четвертой главе исследуется одна из задач оптимального управления популяцией, распределенной по возрасту. На отрезке времени Т = [0, рассматривается функция х^), характеризующая плотность распределения популяции некоторого вида в зависимости от возраста [0, й^], вк - максимальная продолжительность жизни. Предполагается, что изменение численности популяции может происходить только за счет рождения и смерти ее членов, а число умерших особей пропорционально общей численности популяции. В этом случае динамика популяции описывается следующей начально-краевой задачей

Здесь ц(з) - коэффициент смертности; х/5) - первоначальное распределение популяции по возрасту; (3(1) - коэффициент, характеризующий средний уровень рождаемости в каждый момент времени; К($) - доля самок. Роль управления играет функция и = ы($), задающая возрастное распределение рожающих особей. Эта функция удовлетворяет следующим ограничениям:

т

£(з,0) = х0(в), 5 6 5;

(21)

где s1,s2 - границы детородного возраста, 0 < < 52 < Цель задачи - минимизация функционала

3(и) = J\p(x(s,tk),s)ds. (23)

5

В частности, если

где х^) - заданная функция, то цель управления состоит в достижении в конечный момент времени заданной плотности

В диссертационной работе доказано необходимое условие оптимальности.

Утверждение 4.2.1. Пусть и* = и*(в) - оптимальное управление в задаче (21)~(23), х* = х*(в, Ь) - соответствующее ему состояние. Тогда для всех точек в 6 [йьйг] выполняется следующее равенство:

«*00 / ^(0, *)£(*) [К(з)х*(з,г)]3 Л = О, (24)

Г

гдеф* ~ ф- решение следующей сопряженной задачи при и = и*(з), х == ф

Данная теорема не является прямым следствием теоремы 3.4.1 в силу нестандартности краевых условий в задаче. Однако доказательство проводится тем же способом, основанным на анализе формулы приращения целевого функционала, который был применен в главе 3.

На основе необходимого условия оптимальности (24) предложен численный метод решения задачи (21)—(23). Общая структура метода совпадает с изложенной в главе 3. Доказано утверждение о сходимости метода к выполнению необходимого условия оптимальности. Проведена серия тестовых расчетов для задачи с квадратичным критерием качества. Приведены результаты численного эксперимента при различных входных данных, свидетельствующие об эффективности предлагаемого метода.

В пятой главе проведена численная реализация методов, теоретические схемы которых описаны в главе 3. В качестве иллюстративного примера выбрана обратная задача восстановления начального профиля гравитационной волны по известным данным наблюдений в конечный момент времени. В частности, задачи подобного типа возникают при исследовании так называемой обратной проблемы цунами, которая заключается в определении параметров подвижки дна, вызывающей в момент окончания землетрясения волну заданного профиля. Данная задача представляет собой обратную задачу математической физики. Однако, при ее исследовании оказалось эффективным применение изложенных выше методов оптимального управления. При этом весьма существенным является требование гладкости допустимых управлений.

Рассматривается система гиперболических уравнений

первого порядка линеаризованной теории "мелкой воды". В конечный момент времени известны область возмущения поверхности воды S и профиль волны f/(s). Заданы остальные параметры - моменты окончания землетрясения и снятия показаний о профиле волны; массовая скорость частиц воды; функция, определяющая профиль дна. Неизвестное управление u(s) - начальный профиль волны. Целевой функционал квадратичный и представляет собой оценку отклонения известного профиля волны в конечный момент времени от найденного по некоторому заданному управлению - начальному профилю.

Возможны два типа ограничений на функцию u{s):

1) поточечные (амплитудные) ограничения

u(s) et/, s 6S,

где U задает максимально возможную амплитуду искомой волны;

2) интегральные ограничения

представляющие собой, с физической точки зрения, закон сохранения массы.

Для численного интегрирования прямой и сопряженной задач предложена специальная характеристическая неявная разностная схема, обеспечивающая второй порядок точности. Специфика задачи позволила построить прямоугольную характеристическую разностную сетку.

Анализ проведенных экспериментов позволяет сделать следующие выводы. На результаты вычислений при поточечных ограничениях на управляющие воздействия боль-

шое влияние оказывает выбор начального приближения. Во-первых, необходимо выбирать только такие начальные приближения, которые охватывают все допустимые значения из U, так как при реализации метода новых значений функции u(s) не возникает, а пересортировываются уже имеющиеся. Во-вторых, у полученных с помощью данного метода управлений наблюдаются некоторые участки постоянства, которых можно избежать, применяя сильно осциллирующие начальные приближения. Были проведены численные расчеты для задачи с интегральными ограничениями на управляющие воздействия. В отличие от задач с поточечными ограничениями метод хорошо улучшает и управления, имеющие участки постоянства.

Проведенные численные эксперименты показали, что предложенные в главе 3 методы улучшения гладких управляющих воздействий, стесненных поточечными или интегральными ограничениями, в задаче оптимального управления граничными условиями полулинейных гиперболических систем, могут эффективно использоваться для численного решения указанных задач, а также для решения обратных задач математической физики, которые могут быть сведены к указанным.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в работе. Указано, что предлагаемые подходы могут быть применены для достаточно широкого класса задач оптимизации дифференциальных уравнений с частными производными.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Аргучинцев А.В. Оптимальное управление начально-краевыми условиями.. гиперболических систем. - Иркутск: Изд-во Иркут. гос. ун-та, 2003. - 156 с.

2. Аргучинцев А.В. Неклассическое условие оптимальности в задаче управления граничными условиями полулинейной гиперболической системы // Изв. вузов. Математика.- 1994.- № 1.- С. 3-11.

3. Аргучинцев А.В., Васильев О.В. Итерационные процессы принципа максимума и их модификации в системах с распределенными параметрами // Дифференц. уравнения. - 1996. - Т. 32, № 6. - С.797-803.

4. Аргучинцев А.В., Крутикова О.А. Оптимизация полулинейных гиперболических систем с гладкими граничными управлениями // Изв. вузов. Математика. -2001.-№2.-С.З-12.

5. Аргучинцев А.В. Решение задачи оптимального управления начально-краевыми условиями гиперболической системы на основе точных формул приращения // Изв. вузов. Математика- 2002.- № 12.- С. 23-29.

6. Аргучинцев А.В. Неклассическое условие оптимальности в задаче управления популяцией, распределенной по возрасту // Журн. вычислит, математики и мат. физики. - 2003. - Т.43, №11. - С.1669-1675.

7. Аргучинцев А.В. Оптимизация гиперболических систем с интегральными ограничениями на граничные

управления // Изв. вузов. Математика.- 2004.- № 1.-С. 10-17.

8. Аргучинцев А.В. Оптимизация гиперболических систем с управляемыми начально-краевыми условиями в виде дифференциальных связей // Журн. вычислит, математики и мат. физики. - 2004. - Т. 44, №2.

- С.285-294.

9. Аргучинцев А.В. К поиску оптимальных граничных управлений в двумерных полулинейных гиперболических уравнениях // Модели и методы исследования операций. - Новосибирск: Наука. Сиб: отд-ние, 1988. -С.50-58.

10. Аргучинцев А.В., Терлецкий В.А. К решению обратной проблемы цунами в рамках двумерной модели методами оптимального управления // Исследования цунами.- 1990- № 4.- С.52-57.

11. Аргучинцев А.В. О некоторых подходах к решению прямых и обратных задач оптимального управления в системах гиперболических уравнений первого порядка // Proceedings of International Conference "Dynamical systems: stability, control, optimization". - Минск: Ин-т математики HAH Беларуси, 1998. - P. 37.

12. Аргучинцев А.В., Крутикова О.А. Решение задач оптимального управления в классе гладких управлений для систем гиперболических уравнений первого порядка // Межд. конф. по проблемам управления. Том 1.

- М.: Институт проблем управления РАН, 1999. - С. 106-108.

13. Аргучинцев А.В. Задача оптимального управления динамикой популяций в классе линейных гиперболических уравнений первого порядка // Математика в восточных регионах Сибири. Материалы международной конференции, 28-30 июня 2000 г., Улан-Удэ, 2000. - С. 95-96.

14. Аргучинцев А.В., Крутикова О.А. Восстановление начального профиля в обратной задаче распространения гравитационных волн // Proceedings of the International Conference on Distributed Systems: Optimization and Economic-Enviromental Applications (DSO! 2000). - Ekaterinburg, 2000. - P. 281-284.

15. Аргучинцев А.В., Васильев О.В. Итерационные методы оптимизации систем с сосредоточенными и распределенными параметрами в классе гладких допустимых управлений // Труды Института математики НАН Беларуси, Минск. - 2001. - Т. 7. - С.7-16.

16. Аргучинцев А.В., Фролов А.В. Неклассическое условие оптимальности в задаче оптимального управления динамикой популяций // Труды 12-й Байкальской межд. конф. "Методы оптимизации и их приложения". Т. 2. Оптимальное управление. - Иркутск, 2001. - С. 50-54.

17. Васильев О.В., Аргучинцев А.В., Терлецкий В.А. Методы оптимизации систем с сосредоточенными и распределенными параметрами, основанные на допустимых вариациях // Труды 12-й Байкальской межд. конф. "Методы оптимизации и их приложения". Пленарные доклады. - Иркутск, 2001. - С.52-68.

18. Аргучинцев А.В., Крутикова О.А. Поиск оптимальных граничных управлений для одного класса гиперболических систем на основе точных формул приращения // Оптимизация, управление, интеллект. Труды Рос. ассоц. матем. программирования, Междун. академии нелинейных наук и Рос. ассоц. искусственного интеллекта. - Иркутск: ИДСТУ СО РАН, 2002, № 6. - С.44-52.

19. Аргучинцев А.В. Оптимизация гладких сосредоточенных управлений в гиперболических уравнениях. Вторая межд. конф. по проблемам управления. Избранные труды. Том 1. - М.: Институт проблем управления РАН, 2003. - С.41-46.

20. Аргучинцев А.В. Оптимизация гладких граничных управлений в гиперболических системах // Инфоком-муникационные и вычислительные технологии и системы. Материалы Всероссийской конф. Т.1. - Улан-Удэ: Изд-во Бурятского ун-та, 2003. - С.11-15.

21. Vasiliev O.V., Terletsky V.A., Arguchintsev A.V. Iterative processes in optimization of semilinear hyperbolic systems // Proceedings of the 11-th IFAC World Congress, Vol.6. - Tallinn, 1990. - P. 216-220.

22. Arguchintsev A.V., Vasiliev O.V. Optimal control methods in multidimensional hyperbolic systems // Proceedings of the 10th IFAC Workshop "Control Application of Optimization", Haifa, Israel, December 1995. - P. 83-86.

23. Arguchintsev A.V., Vasiliev O.V. Constructive

optimization methods for optimal control problems in hyperbolic systems // Труды 3-го международного семинара по негладким и разрывным задачам управления, оптимизации и их приложениям. Ч. 2. - С.-Пб., 1995. - С. 9-10.

24. Arguchintsev A.V., Vasiliev O.V. Iterative methods for optimal control problems in distributed parameter systems // 17th IFIP Conference on System Modelling and Optimization, Prague, Czech Republic, July 1995, Vol. 2. - P. 629-631.

25. Arguchintsev A.V., Vasiliev O.V. Optimization methods for discontinuous and smooth controls in semi-linear hyperbolic systems // Proceedings of the 13th Triennial World Congress of the IFAC, San Francisco, USA, 1996. Vol. D. - P. 339-343.

26. Arguchintsev A.V. On optimization problems in semilinear hyperbolic systems with boundary controls // Proceedings of the 2nd Asian Control Conference, Seoul, Korea, 1997, Vol. 1. - P. 469-472.

27. Arguchintsev A.V. Optimization of smooth boundary controls in multi-dimensional hyperbolic systems // Proceedings of 11-th Baikal International School-Seminar "Optimization methods and their applications". Vol. 2. -Иркутск, 1998. - P. 34-37.

28. Arguchintsev A.V. Optimization of boundary and starting controls in multi-dimensional hyperbolic systems // Proceedings of the 14th Triennial World Congress of

International Federation of Automatic Control, Beijing, China, 1999, Vol. F. - P. 135-138.

29. Arguchintsev A., Vasiliev O. Inverse optimal control problems in ordinary and hyperbolic differential equations // Межд. конф. по проблемам управления. Том 1. - М.: Институт проблем управления РАН, 1999. - С. 104-105.

30. Arguchintsev A.V., Vasiliev O.V. Towards research of inverse problems of mathematical physics by optimal control methods // Stability and Control: Theory and Applications. - 2000. - Vol. 3, N 3. - P. 205-211.

31. Arguchintsev A.V. Optimal control methods in solving inverse problems of mathematical physics for firstorder hyperbolic systems // Proceedings of 5th IF AC Symposium "Nonlinear Control Systems"(NOLCOS '01). - Saint-Petersburg, Russia. - 2001. - P. 274-278.

32. Arguchintsev A.V. On optimization of hyperbolic systems with smooth controls and integral constraints // Proceedings of the 15th Triennial IFAC World Congress, July 2002. - Barcelona, Spain. - Paper No 2475. - P. 1-5.

33. Arguchintsev A.V. Optimization of hyperbolic systems with smooth boundary controls // Abstracts of Short Communications and Poster Sessions. International Congress of Mathematicians. - Beijing, 2002. - P.209.

34. Arguchintsev A.V. Non-classic optimality conditions and their applications to optimal birth control problems // The International Conference, on Optimization and Optimal Control. - Ulaanbaatar, Mongolia, 2002. - P.93-94.

35. Arguchintsev A.V. Variational maximum principle in the problem of control by boundary value conditions of a semi-linear hyperbolic system // Modelling and Analysis of Logic Controlled Dynamic Systems. Proceedings of IF AC Workshop, July 30 - August 1, 2003. - Irkutsk, 2003. - P. 186-190.

Редакционно-издательский отдел Иркутского государственного университета Лицензия ЛР № 020592 от 09.07.97 г. 664000, Иркутск, бульвар Гагарина, 36 Подписано к печати 28.06.04

Формат бумаги 60x84 1/16. Объем 2 п.л. Заказ 9. Тираж 100 экз.

Отпечатано в ОПВЦ ИГУ 664003, Иркутск, б. Гагарина, 20

P1703¿

Введение

Глава 1. Оптимизация гиперболических систем с управляемыми дифференциальными связями на границе

1.1. Обобщенное решение начальнокраевой задачи

1.2. Постановка задачи оптимального управления

1.3. Формула приращения функционала

1.4. Принцип максимума

1.5. Численный метод

1.6. Вариационные условия оптимальности для задач, линейных по состоянию

1.6.1. Постановка задачи.

1.6.2. Вариационные принципы максимума

1.6.3. Редукции задач и методы решения.

1.7. Линейно-квадратичные задачи оптимизации

1.7.1. Постановка задачи и первая формула приращения

1.7.2. Вариационный принцип максимума

1.7.3. Вторая формула приращения

1.7.4. Заключительные замечания

Глава 2. Вариационный принцип максимума в задачах оптимизации с управляемыми конечномерными связями на границе

2.1. Постановка задачи

2.2. Оценка приращения состояния на

Л игольчатой вариации управления

2.3. Формула приращения функционала

2.4. Вариационный принцип максимума.

9 2.5. Дифференциальный принцип максимума и его сравнение с вариационным

2.6. Метод поиска управлений, удовлетворяющих вариационному принципу максимума

Глава 3. Оптимизация гиперболических систем с гладкими граничными и стартовыми управлениями

3.1. Постановка задачи с поточечными ограничениями на управление

3.2. Формула приращения и интегральное необходимое условие оптимальности

3.2.1. Формула приращения.

3.2.2. Оценка приращения состояния

3.2.3. Интегральное необходимое условие оптимальности

§ 3.3. Гладкая вариация управления и поточечное необходимое условие оптимальности

3.4. Оптимизация при интегральных ограничениях на гладкие управления.

3.5. Численные методы

Глава 4. Задача оптимального управления популяцией, распределенной по возрасту

4.1. Постановка задачи

4.2. Формула приращения и необходимое условие оптимальности

4.3. Численный метод и результаты расчетов

Глава 5. Численный эксперимент в задаче восстановления профиля гравитационной волны

5.1. Постановка задачи.

5.2. Разностные схемы

5.3. Анализ результатов эксперимента.

Развитие системного анализа прикладных объектов приводит к необходимости изучения задач управления и оптимизации в системах сложной структуры, к которым, в частности, относятся дифференциальные уравнения с частными производными.

Общепризнанно, что проблема получения условий оптимальности и построения эффективных методов оптимизации в системах с распределенными параметрами является значительно более сложной по сравнению с аналогичной проблемой в обыкновенных дифференциальных уравнениях. Причины этого заключаются, в частности, в разнообразии классов уравнений и систем с частными производными, типов начально-краевых условий, в необходимости перехода к обобщенным решениям уравнений и систем в условиях разрывности управляющих воздействий и т.д. В силу этого наибольшее число работ по исследованию моделей управления распределенными системами направлено на изучение конкретных классов задач оптимального управления и на поиск общих приемов и методов анализа таких задач (см. монографии и обзоры А.Г.Бутковского, О.В.Васильева, Ф.П.Васильева, В.А.Дыхты, А.И.Егорова, К.А.Лурье, А.И.Москаленко, М.М.Новоженова, Д.А.Овсянникова, Т.К.Сиразетдинова, В.А.Срочко, р В.И.Сумина, М.И.Сумина, А.В.Фурсикова, М.и.А1ш1ес1, Н.О.РаШ>пш, Л,

Ь.Ьюпэ, Х.1Л, К.Ь.Тео, S.Tzafestas, Л.Уо^ и др. [34, 35, 42, 46, 47, 48, 75,

78, 79, 98, 109, 110, 111, 113, 131, 132,136, 138, 139, 140, 158, 178, 183, 200, 202, 245, 257, 272, 274]).

Кратко охарактеризуем наиболее важные направления исследований в области оптимального управления системами дифференциальных уравнений с частными производными.

Одним из основных направлений остается получение необходимых и, если возможно, достаточных условий оптимальности. Разнообразие классов задач оптимального управления распределенными системами стимулировало выделение некоторых общих моделей оптимизации, охватывающих достаточно широкие классы задач оптимального управления и допускающих применение универсальных (абстрактных) методов и схем. В этом направлении наиболее плодотворными оказались:

• выпуклые модели оптимизации и, соответственно, аппарат выпуклого анализа (монографии И.Экланда, Р.Темам, П.П.Мосолова, В.П.Мясникова [134, 204]);

• общий принцип Лагранжа для локально выпуклых и аппроксимативно выпуклых задач, основу которого заложили работы А.Я.Дубовицкого, А.А.Милютина [63, 65], А.Д.Иоффе, В.М.Тихомирова [92] и их последователей. В качестве примеров реализации этого принципа отметим монографии [109, 111, 124, 202]. Примечательно, что если обычно расшифровка принципа Лагранжа приводит к получению принципа максимума, то в [124, 200] комбинация абстрактного метода с модифицированным методом 1>-вариаций позволила получить существенно более сильные условия оптимальности вида вариационного принципа максимума;

• функционально-операторные модели оптимизации в функциональных пространствах [37, 73, 121, 149, 169, 177, 178, 194, 205, 206, 208, 230, 232]. Отметим, в частности, развиваемые нижегородской школой модели управления вольтерровыми операторными уравнениями [149, 177, 178]. Эти подходы охватывают довольно широкий класс управляемых начально-краевых задач (обыкновенные дифференциальные уравнения, дифференциальные уравнения с запаздыванием, гиперболические уравнения первого и второго порядка, интегро-дифференциальные уравнения переноса);

• модели управления функционально-интегральными уравнениями в пространствах С и Lp, как в монографии Дж. Варги [36] или исследованиях С.А.Чуканова, представленных в главе 6 книги [24] (в этих исследованиях, кстати, развита схема получения принципа максимума, основанная на методе вариаций скольжения, тесно связанных с расширением задач оптимального управления [91]).

Охарактеризуем теперь подходы к достаточным условиям оптимальности распределенных систем, не касаясь классов линейно-выпуклых и выпуклых задач, в которых принцип максимума и методы двойственности естественным образом приводят к необходимым и достаточным условиям оптимальности.

Во-первых, отметим работы по обращению принципа максимума в достаточное условие оптимальности путем некоторого его усиления. В подавляющем большинстве они базируются на простом общем факте: если в задаче с ограничениями допустимый процесс удовлетворяет принципу Лагранжа в нормальной форме и, кроме того, при некотором наборе множителей лагранжиан задачи имеет минимум на данном процессе, то этот процесс оптимален. К этому направлению относятся, например, достаточные условия, которые предложены в работах В.И.Плотникова и его учеников [136, 148], в основном, для параболических управляемых систем; условия [242, 265] для некоторой "канонической" модели оптимального управления системой первого порядка. Результаты этого типа относятся к случаю нормальной экстремали и требуют условия вогнутости функции Понтрягина по паре "состояние - управление" или вогнутости функции Гамильтона по состоянию, а также некоторых усиленных условий трансверсальности. В указанных допущениях характеризуемые результаты можно довольно просто получить, отправляясь и от достаточных условий оптимальности В.Ф.Кротова [58, 59, 142] с использованием линейной вспомогательной функции, порожденной решением сопряженной задачи.

В ряде приложений, особенно при исследовании эколого-экономических и социальных систем [265], характеризуемые достаточные условия оказались полезными. В целом же, они, конечно, ограничены по сфере применимости и не случайно в последнее время подверглись существенной модификации даже на уровне задач оптимального управления обыкновенными дифференциальными уравнениями [67, 68]. Наиболее существенный момент этой модификации можно интерпретировать как использование произвольного семейства линейных (по состоянию) функций типа Кротова и, как следствие, отказ от условий вогнутости функций Понтрягина и Гамильтона.

Далее необходимо отметить метод динамического программирования Р.Беллмана [77, 109, 158] и уже упоминавшиеся условия В.Ф.Кротова. Хотя применение этих подходов в полной общности сталкивается с серьезными трудностями - необходимостью решения дифференциальных уравнений в частных функциональных производных (в методе Беллма-на) или соответствующего дифференциального неравенства (в методе Кротова), - тем не менее в ряде прикладных моделей они оказались эффективными.

Наконец, выделим еще одно направление - достаточные условия совместной оптимальности (метод нелинейных отображений). Этот подход использует идеологию общего метода сравнения в динамике систем [122] и, применительно к распределенным системам, развивался в работах А.И.Москаленко [131, 132]. Данным методом удалось исследовать большое число прикладных моделей системного анализа. В подавляющем большинстве эти модели оказались вырожденными задачами оптимального управления (по терминологии В.И.Гурмана [58]), в которых решение реализуется на минимизирующих последовательностях, что связано с отсутствием минимали в стандартных классах управления.

Отметим, что какие-либо конкретные реализации всех упомянутых достаточных условий оптимальности применительно к классам задач, рассматриваемым в диссертации, автору неизвестны. Подход к получению достаточного условия оптимальности на основе анализа функционала Лагранжа реализован в первой главе диссертационной работы.

Подавляющим большинством исследователей задачи оптимального управления системами с распределенными параметрами изучаются в предположении, что для каждого допустимого управляющего воздействия существует единственное соответствующее ему состояние процесса, являющееся решением (понимаемом в том или ином смысле) дифференциального уравнения или системы дифференциальных уравнений. Лишь весьма ограниченное число работ посвящено исследованию задач управления, в которых нарушено указанное предположение корректности (монографии Ж.-Л.Лионса [111], А.И.Москаленко [131], А.В.Фурсикова [202]).

Проблема существования оптимального управления продолжает занимать одно из центральных мест в теории оптимального управления процессами с распределенными параметрами. Большинство авторов исследуют её в предположении выпуклости множества допустимых управлений и выпуклости по управлению функций в целевом функционале

109, 202, 208]. Теоремы существования для эволюционного уравнения первого порядка и отдельных типов гиперболических уравнений без общепринятых предположений выпуклости доказаны в [195, 196, 246, 270].

В то же время, в теории оптимального управления системами с распределенными параметрами отсутствие оптимального управления не является редким событием [36, 183, 207]. Направление, связанное с разработкой методов субоптимального управления, активно развивается, в частности, в связи с конструктивным использованием вариационного принципа Экланда [204, 244]. Среди работ в этом направлении укажем [181, 182, 183, 184, 261].

Весьма небольшое число работ посвящено вопросам многокритериальной оптимизации в задачах оптимального управления системами с распределенными параметрами (см., например, [170, 171]).

Одним из важнейших направлений исследования задач оптимального управления является построение численных методов решения задач оптимального управления.

В первую очередь, выделим методы, основанные на принципе максимума Понтрягина. Первоисточником соответствующего класса методов в задачах оптимального управления системами обыкновенных дифференциальных уравнений является метод последовательных приближений И.А.Крылова, Ф.Л.Черноусько [100, 101], который заложил основу для процедур игольчатого варьирования. Дальнейшие исследования в этом направлении привели к эффективным процедурам варьирования управления, которые позволили обеспечить свойство монотонности метода по функционалу и обосновать сходимость последовательных приближений по невязке принципа максимума (работы Р.Габасова, Ф.М.Кирилловой [53], Н.Е.Кирина [97], А.А.Любушина, Ф.Л.Черноусько [114, 115, 116], О.В.Васильева, В.А.Срочко, В.А.Терлецкого, А.И.Тятюшкина [38, 42, 44,

197], Б.Маупе, Е.Ро1ак [260], К.Тео, Ь.Уео [271]).

В результате сложился комплекс алгоритмов игольчатого варьирования с единой операцией поиска вспомогательного управления (направление спуска) из условия максимума функции Понтрягина. Определенный итог этому направлению исследований подведен в работах В.А.Срочко [163, 165], где обоснован оптимальный (в смысле наискорейшего спуска) способ варьирования управлений в методах, основанных на принципе максимума.

В работах [15, 42] предложен общий подход к построению методов игольчатого варьирования. Структура итерационных процессов практически не зависит от типа управляемых систем. Допустимость применения определяется возможностью получения необходимых условий оптимальности вида принципа максимума Понтрягина и обеспечивающих сходимость оценок остаточных членов в формулах приращения целевых функционалов.

В последние годы В.А.Срочко и его учениками [2, 3, 83, 166, 167, 168] предложен новый подход к построению методов улучшения, основанный на нестандартных аппроксимациях целевого функционала и конструктивных процедурах варьирования управлений. Поскольку реализация методов существенным образом связана с интегрированием разрывных по состоянию систем дифференциальных уравнений, их распространение на задачи оптимизации системами с распределенными параметрами представляет сложную проблему. Один из возможных подходов предложен в главе 1 настоящей работы.

Следующую группу методов составляют градиентные процедуры оптимального управления, использующие классический способ слабого варьирования управлений. В задачах оптимального управления уравнениями с частными производными эти методы развивались, например в

208, 241]. На наш взгляд, методы игольчатого варьирования имеют следующие преимущества:

- необязательность предположения о дифференцируемости параметров задачи по управлению (в отличие от градиентных процедур);

- допустимость достаточно общих (например, невыпуклых) ограничений на управляющие воздействия;

- отсутствие краевой задачи принципа максимума;

- возможность комбинации с градиентными методами.

К недостаткам методов игольчатого варьирования следует отнести скачкообразный характер варьирования, что в процессе итераций может привести к неограниченному накоплению точек (поверхностей) разрыва управления.

В работах [198, 199] предложена мультиметодная технология решения задач оптимального управления. Современные операционные системы позволяют обеспечить решение задачи путем организации параллельных вычислительных потоков для одновременного проведения расчетов несколькими итерационными методами. После нахождения очередного приближения каждый из методов оценивается, например, по полученному приращению функционала и выбирается наиболее эффективный метод для продолжения оптимизации. Полученное этим методом приближение передается остальным методам в качестве начального для выполнения следующей итерации. На наш взгляд, применение данного подхода к задачам оптимизации систем с распределенными параметрами пока что требует серьезных затрат вычислительных ресурсов.

Отметим также общие методы спуска в абстрактных задачах, имеющих в качестве аналогов соответствующие методы математического программирования (см., например, [47, 250]).

Конечно-разностный подход в задачах оптимального управления [70] в настоящее время находит весьма ограниченное применение в уравнениях с частными производными (см., например, [71]). Недостатком подхода является то, что, по-существу, вся теория оптимального управления, связанная с непрерывными моделями, остается в стороне.

Среди "прямых" методов в задачах оптимального управления дифференциальными уравнениями с частными производными, не использующих условия оптимальности, можно выделить также применение аппарата асимптотического анализа [95, 96].

В целом, справедлив вывод о недостаточной развитости эффективных методов решения задач оптимального управления в системах с распределенными параметрами.

Анализ современного состояния теории и методов оптимального управления в уравнениях с частными производными позволяет выделить следующие характерные черты.

Во-первых, теория оптимального управления в системах с распределенными параметрами развивалась как обобщение теории оптимального управления системами обыкновенных дифференциальных уравнений. Отсюда, в частности, возникает традиционное распределенное управление, входящее в правые части систем; отсюда же вытекают и попытки прямого распространения на задачи оптимального управления системами с распределенными параметрами традиционных методов исследования. Не отрицая практическую важность и значимость анализа подобных задач, отметим вместе с тем техническую сложность реализации распределенных управлений (в каждой точке пространства и в каждый момент времени) и актуальность исследования другого типа задач - при сосредоточенном управлении, входящем в начально-краевые условия дифференциальных уравнений. Меньшее число независимых переменных у управляющих функций по сравнению с функциями состояния технически упрощает реализацию управлений, но, с другой стороны,'часто требует применения новых подходов, отличных от обобщений результатов, получаемых в системах обыкновенных дифференциальных уравнений. В обыкновенных дифференциальных уравнениях отсутствует аналог отмеченного выше уменьшения числа независимых переменных у функций управления, так как уменьшение размерности сводит задачу к конечномерной. Последнее время значительно повысился интерес к изучению составных задач управления, в которых технологический, природный или экономический процесс описывается дифференциальными уравнениями разного типа в разных областях изменения независимых переменных, либо начально-краевые условия определяются из управляемых систем обыкновенных дифференциальных уравнений на границе области [55, 76, 253] .

Во-вторых, в системах обыкновенных дифференциальных уравнений для учета поточечных (амплитудных) ограничений на управления совершенно естественно расширять класс допустимых управляющих функций до измеримых и ограниченных по единственной независимой переменной. Действительно, кусочно-непрерывные управления как функции одной переменной, технически реализуются также легко, как и непрерывные функции. Кроме того, существуют хорошо известные обобщения классических теорем существования и единственности решения задач Коши на класс измеримых правых частей систем обыкновенных дифференциальных уравнений. В уравнениях с частными производными такое расширение класса допустимых управлений вызывает дополнительные трудности, связанные с технической сложностью реализации измеримых управляющих функций многих переменных и необходимостью перехода к обобщенным решениям дифференциальных уравнений. К тому же, во многих случаях управления по смыслу являются функциями той или иной степени гладкости.

В частности, одним из достаточно распространенных приемов решения обратных задач математической физики является сведение этих задач к задачам оптимального управления. Управляющими воздействиями можно считать определяемые коэффициенты, элементы правых частей или начально-краевых условий уравнений с частными производными. Однако в ряде реальных проблем неизвестные параметры являются гладкими функциями. Это требование вытекает из физической сути исследуемых задач. Вместе с тем, достаточно мощные методы оптимального управления, основанные на использовании принципа максимума Л.С.Понтрягина, его следствий и модификаций, ориентированы на классы разрывных управлений.

Другим интересным типом задач, для которого характерно требование гладкости управлений, являются обратные задачи оптимального управления. В настоящее время наряду с обратными задачами восстановления допустимого управления по известной (полученной в результате наблюдений) траектории [141], активно исследуются проблемы восстановления параметров управляемых систем, для которых заранее заданный процесс является оптимальным [15, 41, 274]. При этом в целом ряде случаев определяемые параметры (элементы матриц коэффициентов, правых частей и т.п.) являются гладкими функциями.

Таким образом, актуальной является проблема разработки методов решения задач оптимального управления в классе гладких управляющих воздействий, с учетом таких ограничений на управления, которые характерны для обратных задач математической физики.

Наконец, в качестве третьей характерной особенности отметим чисто теоретическую направленность многих работ в области оптимального управления дифференциальными уравнениями с частными производными. Многие авторы ограничиваются получением условий оптимальности того или иного вида и, в лучшем случае, теоретическими схемами методов.

Объектом исследования в данной работе являются задачи оптимального управления системами полулинейных гиперболических уравнений первого порядка. Данный выбор вызван, с одной стороны, многочисленными приложениями подобных задач, а с другой стороны, наличием удобного математического аппарата (характеристики, интегральные представления решений и т.п.) для этого класса уравнений. К рассматриваемым системам сводятся классическое гиперболическое уравнение второго порядка, а также системы Гурса-Дарбу и канонические системы первого порядка с двумя ортогональными семействами характеристик [42, 105]. В рамках данных систем описываются явления возбуждения и распространения волн, кристаллооптика и электромагнитные колебания [52, 105, 155, 193, 234, 263, 266], динамика популяций, распространение эпидемий и наркотиков [209, 210, 231, 236, 238, 239, 247, 248, 258, 259], ряд химико-технологических процессов [143, 144, 276].

Довольно большим числом авторов исследовались задачи в указанном классе систем для случая распределенных управлений, входящих в правые части систем.

Задача оптимального управления гиперболической системой типа Гурса-Дарбу была исследована с точки зрения получения условия оптимальности типа принципа максимума А.И.Егоровым в [72], который позже [74] обобщил результаты на системы более общего вида и применил их к решению некоторых задач теории инвариантности. По-видимому, впервые задачи оптимального управления для полулинейных и квазилинейных одномерных гиперболических систем, а также для многомерных линейных систем и одного многомерного квазилинейного уравнения были подробно исследованы Т.К. Сиразетдиновым в монографии [158]. Необходимое условие оптимальности типа принципа максимума получено в этой работе при условии существования и единственности непрерывного решения систем для любого допустимого управляющего воздействия. Однако для этого даже в одномерном линейном случае приходится предполагать, что управление не терпит разрывов вдоль характеристик системы. Достаточно жестким, на наш взгляд, является также предположение о существовании почти всюду классических производных вектора состояния по независимым аргументам в условиях разрывности управлений.

В [42, 43, 186] получены необходимые условия оптимальности первого порядка типа поточечного принципа максимума Л.С. Понтряги-на для распределенных управлений, построен метод поиска управлений, удовлетворяющих необходимому условию оптимальности. Срочко В.А. [42, 161, 162, 163] получено неклассическое условие оптимальности для задач в специальных классах гиперболических уравнений (каноническая система первого порядка и система Гурса-Дарбу) с двумя семействами ортогональных характеристик и распределенными управлениями. На основе вариаций управления, отличных от нуля в окрестностях характеристик системы, в данных работах было доказано, что оптимальное для исходной задачи распределенное управление доставляет максимум функционалам в двух задачах оптимального управления системами обыкновенных дифференциальных уравнений, определенных на характеристиках того или иного семейства. Полученное необходимое условие оптимальности, названное вариационным принципом максимума, оказалось более сильным, чем классический принцип максимума. Заметим, что по-видимому, впервые для той же задачи, что и в [161], аналогичный результат был получен в [143] путем расшифровки условия оптимальности для модели оптимального управления дифференциальной системой в банаховом пространстве. Однако авторы этой работы не придали полученному условию оптимальности самостоятельного значения, а использовали его как вспомогательное на пути к доказательству классического принципа максимума. Отметим также, что на зависимость необходимых условий оптимальности в гиперболических системах от вида вариации управления указывается в [113]. В [42] доказан вариационный принцип максимума в полулинейных гиперболических системах с распределенными управлениями. В [188] этот же результат получен с помощью более общей техники, применимой и для многомерных гиперболических систем. Авторы [30, 31, 200] на основе модификации метода [65] установили справедливость вариационного принципа максимума для задач управления гиперболическими системами с дополнительными функциональными ограничениями, а также нефиксированной границей рассматриваемой области.

Не очень большое число исследователей занимались проблемами граничных управлений в рассматриваемых системах. Прежде всего, отметим, что для задач с управляемыми начально-краевыми условиями, заданными в виде конечномерных связей, несправедлив аналог классического принципа максимума Л.С.Понтрягина [277]. В [237, 241] установлена справедливость дифференциального линеаризованного принципа максимума как необходимого условия оптимальности граничных управлений в гиперболических системах первого порядка. Ряд работ посвящен исследованию задач управления граничными условиями в классических гиперболических уравнениях второго порядка, описывающих колебательные процессы. В [84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 153, 154] получены аналитические представления для граничных управлений, обеспечивающих перевод системы, описываемой простейшим волновым уравнением, в заданное состояние. В статьях [49, 152, 235] предложен метод решения задач управляемости для гиперболических уравнений второго порядка с управляемыми краевыми условиями первого, второго и третьего рода и общих гиперболических уравнениях законов сохранения.

Цель диссертационной работы - развитие теории и методов системного анализа и оптимального управления объектами, описываемыми системами полулинейных гиперболических уравнений первого порядка; получение неклассических условий оптимальности граничных и стартовых управлений в этих системах; исследование задач оптимизации в сложных системах, когда начально-краевые условия гиперболических систем определяются из управляемых систем обыкновенных дифференциальных уравнений; построение новых итерационных методов улучшения допустимых управлений; оценка эффективности методов путем проведения численных экспериментов для прикладных экологических задач.

Методы исследования основаны на использовании неклассических формул приращения целевых функционалов; нестандартных вариаций, обеспечивающих гладкость допустимых управлений. В работе использован аппарат современного математического анализа и численных методов.

Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав и заключения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Сформулируем основные результаты, полученные в работе.

1) Впервые исследованы задачи оптимизации гиперболических систем, в которых начально-краевые условия определяются из управляемых систем обыкновенных дифференциальных уравнений. На основе нестандартных формул приращения целевого функционала для двух частных случаев доказаны условия оптимальности вариационного типа. На их основе исходные задачи в сложных системах сведены к задачам оптимального управления системами обыкновенных дифференциальных уравнений. Построены процедуры улучшения допустимых управлений нелокального характера.

2) Впервые получены неклассические условия оптимальности типа вариационного принципа максимума в задаче оптимального управления системой полулинейных гиперболических уравнений при обычных конечномерных связях между компонентами вектора состояния, для которых ставятся начально-краевые условия, и управляющими воздействиями. Допустимые граничные и стартовые управления выбираются из класса ограниченных и измеримых функций. Необходимо отметить, что для этого класса задач несправедлив аналог классического условия оптимальности вида поточечного (конечномерного) принципа максимума Л.С.Понтрягина. Предложен сходящийся к выполнению доказанного условия оптимальности итерационный метод.

3) Впервые исследованы задачи оптимального управления начально-краевыми условиями гиперболических систем в классе гладких управляющих воздействий. На основе применения применения нестандартных вариаций, сохраняющих гладкость допустимых управлений, установлены необходимые условия оптимальности в задаче оптимального управления системой гиперболических уравнений, в которой управляемые граничные условия заданы в виде конечномерных связей общего вида; при этом гладкие управляющие воздействия стеснены поточечными (амплитудными) или интегральными ограничениями. Предложенный подход является достаточно универсальным и может быть распространен на целый ряд задач управления различными типами систем.

4) Разработаны итерационные методы решения задач оптимального управления полулинейными гиперболическими системами с гладкими граничными управлениями, доказаны теоремы сходимости предложенных алгоритмов, проведена их численная реализация для прикладных задач динамики популяций и восстановления начального профиля гравитационной волны по известным данным наблюдений в конечный момент времени. Проведена серия численных экспериментов, изучены особенности реализации предлагаемых методов.

Разработанные в диссертационной работе подходы могут быть распространены и на другие типы дифференциальных уравнений и систем. Использованный аппарат характеристик весьма существенен лишь при получении специфического условия оптимальности в главе 2. В остальных главах применение этого аппарата носит технический характер и служит, главным образом, для оценки возмущений состояния процесса, вызванных вариациями допустимых управлений.

Автор считает своим долгом поблагодарить заведующего кафедрой математики Байкальского государственного университета экономики и права профессора В.А.Дыхту, взявшего на себя труд прочесть первоначальную рукопись работы и сделавшего целый ряд конструктивных предложений по ее изменению. Автор признателен директору Института математики и экономики, заведующему кафедрой вычислительной математики и механики Иркутского государственного университета профессору В.А. Срочко, доценту кафедры методов оптимизации Иркутского госуниверситета В.А. Терлецкому за многочисленные обсуждения и полезные замечания, а также заведующим лабораториями Института динамики систем и теории управления СО РАН профессору A.C. Стрека-ловскому и профессору A.A. Толстоногову за критические замечания, способствовавшие улучшению работы.

1. Агранович М.С. Граничные условия для систем псевдодифференциальных операторов 1-го порядка // Успехи матем. наук. - 1969. -Т. 24, № 1. - С.61-125.

2. Антоник В.Г., Срочко В.А. К решению задач оптимального управления на основе методов линеаризации // Журн. вычислит, математики и мат. физики. 1992. - Т. 32, № 7. - С.979-991.

3. Антоник В. Г., Срочко В. А. Метод проекций в линейно-квадратичных задачах оптимального управления / / Журн. вычислит, математики и мат. физики. 1998. - Т. 38, № 4. -С.564-572.

4. Аргучинцев A.B. К поиску оптимальных граничных управлений в двумерных полулинейных гиперболических уравнениях // Модели и методы исследования операций. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1988. - С.50-58.

5. Аргучинцев A.B. Неклассическое условие оптимальности в задаче управления граничными условиями полулинейной гиперболической системы // Изв. вузов. Математика 1994 - № 1- С. 3-11.

6. Аргучинцев А.В. Задача оптимального управления динамикой популяций в классе линейных гиперболических уравнений первого порядка // Математика в восточных регионах Сибири. Материалы международной конференции, 28-30 июня 2000 г., Улан-Удэ, 2002. С. 95-96.

7. Аргучинцев А.В. Решение задачи оптимального управления начально-краевыми условиями гиперболической системы на основе точных формул приращения // Изв. вузов. Математика.- 2002 -№ 12.- С. 23-29.

8. Аргучинцев А.В. Неклассическое условие оптимальности в задаче управления популяцией, распределенной по возрасту // Журн. вычислит. математики и мат. физики. 2003. - Т.43, № 11. - С. 16691675.

9. Аргучинцев А.В. Оптимальное управление начально-краевыми условиями гиперболических систем. Иркутск: Изд-во Иркутского гос. университета, 2003. - 156 с.

10. Аргучинцев А.В. Оптимизация гладких сосредоточенных управлений в гиперболических уравнениях // Вторая межд. конф. по проблемам управления. Избранные труды. Том 1. М.: Институт проблем управления РАН, 2003. - С.41-46.

11. Аргучинцев А.В. Оптимизация гладких граничных управлений в гиперболических системах // Инфокоммуникационные и вычислительные технологии и системы. Материалы Всероссийской конф. Т.1. -Улан-Удэ: Изд-во Бурятского ун-та, 2003. С. 11-15.

12. Аргучинцев A.B. Оптимизация гиперболических систем с интегральными ограничениями на граничные управления // Изв. вузов. Математика 2004 - № 1.- С. 10-17.

13. Аргучинцев A.B. Оптимизация гиперболических систем с управляемыми начально-краевыми условиями в виде дифференциальных связей // Журн. вычислит, математики и мат. физики. 2004. -Т. 44, № 2. - С.285-294.

14. Аргучинцев A.B., Васильев О.В. Итерационные процессы принципа максимума и их модификации в системах с распределенными параметрами // Дифференц. уравнения. 1996. - Т. 32, № 6. - С.797-803.

15. Аргучинцев A.B., Васильев О.В. Итерационные методы оптимизации систем с сосредоточенными и распределенными параметрами вклассе гладких допустимых управлений // Труды Института математики HAH Беларуси, Минск. 2001. - Т. 7. - С.7-16.

16. Аргучинцев A.B., Крутикова O.A. Восстановление начального профиля в обратной задаче распространения гравитационных волн //

17. Proceedings of the International Conference on Distributed Systems: Optimization and Economic-Enviromental Applications (DSO' 2000). -Ekaterinburg, 2000. P. 281-284.

18. Аргучинцев А.В., Крутикова О.А. Оптимизация полулинейных гиперболических систем с гладкими граничными управлениями // Изв. вузов. Математика. 2001. - № 2. - С.3-12.

19. Аргучинцев А.В., Крутикова О.А. Поиск оптимальных граничных управлений для одного класса гиперболических систем на основе точных формул приращения // Оптимизация, управление, интеллект. Иркутск: ИДСТУ СО РАН, 2002, № 6. - С.44-52.

20. Аргучинцев А.В., Терлецкий В.А. К решению обратной проблемы цунами в рамках двумерной модели методами оптимального управления // Исследования цунами,- 1990 № 4.- С.52-57.

21. Аргучинцев А.В., Фролов А.В. Неклассическое условие оптимальности в задаче оптимального управления динамикой популяций // Труды 12-й Байкальской межд. конф. "Методы оптимизации и их приложения". Т. 2. Оптимальное управление. Иркутск, 2001. - С. 50-54.

22. Афанасьев А.П., Дикусар В.В., Милютин А.А., Чуканов С.А. Необходимое условие в оптимальном управлении. М.: Наука, 1990. -319 с.

23. Баев А.В., Солтан И.Е. Обратная задача прогнозирования неоднородной среды по данным вертикально-сейсмического профилирования // Журн. вычислит, математики и мат. физики. 1997. - Т. 37, № 6. - С.723-732.

24. Батурин В.А., Лемперт A.A. Многоэтапные процессы и методы улучшения в задачах оптимального управления // Вычислительные технологии. 2003. - Т.8. - С.103-108.

25. Батурин В.А., Урбанович Д.Е. Приближенные методы оптимального управления, основанные на принципе расширения. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1997. -175 с.

26. Блохинов Ю.В. Качественное исследование модели динамики популяции, распределенной по возрасту и жизненности // Моделирование процессов экологического развития. Вып. 2.- М.: ВНИИ системных исследований, 1982. С.64-69.

27. Бобылев H.A., Емельянов С.В., Коровин С.К. Геометрические методы в вариационных задачах. М.: Магистр, 1998. - 658 с.

28. Бокмельдер Е.П., Дыхта В.А. К теории принципа максимума для управляемых систем гиперболического типа // Теоретические и прикладные вопросы оптимального управления. Новосибирск, 1985. -С.41-58.

29. Бокмельдер Е.П., Дыхта В.А. Принцип максимума для полулинейных гиперболических систем при функциональных ограничениях // Дифференциальные уравнения и численные методы. Новосибирск, 1986. - С.200-207.

30. Бубнов В.А., Соловьев И.А. Об использовании гиперболического уравнения в теории теплопроводности // Инженерно-физ. журнал. 1977. - Т. XXXIII, № 6. - С.1131-1135.

31. Бурдуковская A.B., Васильев О.В. Оптимизация систем канонических гиперболических уравнений с гладкими ограниченными управлениями // Журн. вычислит, математики и мат. физики 2000. -Т.40, № 1. - С. 43-53.

32. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1965. - 474 с.

33. Бутковский А.Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1975. - 568 с.

34. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Наука, 1977. - 624 с.

35. Васильев О.В. Принцип максимума Л.С.Понтрягина в теории оптимальных систем с распределенными параметрами // Прикладная математика. Новосибирск, 1978. - С. 109-138.

36. Васильев О.В. Об одном алгоритме оптимизации в системах Гурса-Дарбу, основанном на принципе максимума // Проблемы оптимального управления. Минск, 1981. - С.264-277.

37. Васильев О.В., Аргучинцев A.B. Методы оптимизации в задачах и упражнениях. М.: Физматлит, 1999. - 208 с.

38. Васильев О.В., Надежкина Н.В. Об одном классе обратных задач оптимального управления // Изв. вузов. Математика. 1996. - № 3. - С.14-20.

39. Васильев О.В., Срочко В.А., Терлецкий В.А. Методы оптимизации и их приложения. Часть 2. Оптимальное управление. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1990. - 151 с.

40. Васильев О.В., Тятюшкин А.И. Об одном методе решения задач оптимального управления, основанном на принципе максимума // Журн. вычислит, математики и мат. физики. 1981. - Т. 21, № 6. -С.1376-1384.

41. Васильев С.Н. От классических задач регулирования к интеллект-ному управлению. I // Изв. АН. Теория и системы управления. -2001. № 1. - С.5-22.

42. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. -М.: Наука, 1988. 552 с.

43. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Факториал, 2002. - 824 с.

44. Васильев Ф.П., Ишмухаметов А.З., Потапов М.М. Обобщенный метод моментов в задачах оптимального управления М.: Изд-во Моск.ун-та, 1989. - 142 с.

45. Васильев Ф.П., Куржанский М.А., Потапов М.М. Метод прямых в задачах граничного управления и наблюдения для уравнения колебания струны // Вестн. Моск. ун-та. Сер.15. Вычисл.математика и кибернетика. 1993. - № 3. - С.8-15.

46. Васницкий JI.И., Милосердова И.В. Оптимальный гаситель продольных колебаний // Прикл. математика и механика. 1997. - Т. 61, № 3.- С.537-540.

47. Владимиров B.C. Математические задачи односкоростной теории переноса частиц // Труды матем. ин-та АН СССР. 1961. - Т. 61. -158 с.

48. Вольцингер Н.Е. Длинные волны на мелкой воде. Л.: Гидрометео-издат, 1985. - 160 с.

49. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Качественная теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1971. - 508 с.

50. Годунов С.К. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1979.- 392 с.

51. Голубь H.H. Необходимые условия оптимальности для многомерных распределенных систем, содержащих звенья с сосредоточенными параметрами // Дифференц. уравнения. 1980. - Т. 16, № 10. - С. 18781881.

52. Горицкий А.Ю., Кружков С.Н., Чечкин Г.А. Уравнения с частными производными первого порядка. М.: Изд-во ЦПИ при мех.-матем. фак-те МГУ, 1999. - 96 с.

53. Громыко Г.Ф. Об одном разностном методе решения граничной обратной задачи теплопроводности // Дифференц. уравнения. -1994. Т. 30, № 7. - С.1194-1201.

54. Гурман В.И. Вырожденные задачи оптимального управления. М.: Наука, 1977. - 304 с.

55. Гурман В.И. Принцип расширения в задачах управления. М.: Наука. Физматлит, 1997. - 288 с.

56. Гурман В.И., Знаменская JI.E. Управление колебаниями при ограниченном ресурсе управления // Изв. АН. Теория и системы управления. 2002. - № 1. - С.41-49.

57. Денисов A.M. Задача определения нелинейного коэффициента системы уравнений в частных производных // Дифференц. уравнения.- 1999. Т. 35, № 7. - С.926-934.

58. Дикусар В.В. Теоремы существования и единственности оптимального управления для канонической задачи Дубовицкого-Милютина // Дифференц. уравнения. 1987. - Т. 33, № 11. - С.1484-1489.

59. Дикусар В.В., Милютин A.A. Качественные и численные методы в принципе максимума. М.: Наука, 1989. - 144 с.

60. Динамическая теория биологических популяций / Под ред. Р.А.Полуэктова. М.: Наука, 1974.г

61. Дубовицкий А.Я., Милютин A.A. Задачи на экстремум при наличии ограничений // Журн. вычислит, математики и мат. физики. 1965.- Т. 5, № 3. С.395-453.

62. Дыхта В.А. Вариационный принцип максимума для классических задач оптимального управления // Автоматика и телемеханика. -2002. № 4. - С.47-54.

63. Дыхта В.А. Неравенство Ляпунова-Кротова и достаточные условия в оптимальном управлении // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики и ее приложения. М.: ВИНИТИ. - 2003. -С.32-64.

64. Дыхта В.А., Антипина Н.В. Линейные функции Ляпунова-Кротова и достаточные условия оптимальности в форме принципа максимума // Изв. вузов. Математика. 2002. - № 12. - С.11-22.

65. Дыхта В.А., Самсонюк О.Н. Оптимальное импульсное управление с приложениями. 2-е изд. - М.: Физматлит, 2003. - 256 с.

66. Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. М.: Наука. Гл. ред физ.-мат. лит., 1982. - 432 с.

67. Евтушенко Ю.Г., Засухина Е.С., Зубов В.И. О численном подходе к оптимизации решения задачи Бюргерса с помощью граничных условий // Журн. вычислит, математики и мат. физики. 1997. - Т. 37, № 12. - С. 1449-1458.

68. Егоров А.И. Об оптимальном управлении процессами в распределенных объектах // Прикл. математика и механика. 1963. - № 4. -С.688-696.

69. Егоров А.И. Необходимые условия оптимальности в банаховых пространствах // Матем. сборник. 1964. - Т. 64(106), № 1. - С.79-101.

70. Егоров А.И. Оптимальные процессы в системах с распределенными параметрами и некоторые задачи теории инвариантности // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1965. - Т. 29, № 6. - С.1205-1256.

71. Егоров А.И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами. М.: Наука, 1978. - 464 с.

72. Егоров А.И. Управление упругими колебаниями // ДАН УССР. Сер. А. 1986. - № 5. - С. 60-63.

73. Егоров А.И. Уравнения Риккати. М.: Физматлит, 2001. - 320 с.

74. Егоров А.И., Знаменская Л.Н. Управление упругими колебаниями (обзор) // Оптимизация, управление, интеллект. Иркутск: ИДСТУ СО РАН, 2000. - № 5(2). - С.249-257.

75. Егоров А.И., Рафатов P.P. Математические методы оптимизации процессов теплопроводности и диффузии. Фрунзе: Изд-во Илим, 1990. - 377 с.

76. Забелло Л.Е. Об условиях оптимальности в нелинейных инерционных управляемых системах с запаздыванием // Дифференц. уравнения 1990.- Т. 26, № 8.- С.1309-1315.

77. Забелло Л.Е. Необходимое условие оптимальности типа равенства для систем с запаздыванием и интегральными ограничениями на управление // Дифференц. уравнения. 1999. - Т. 35, № 10. - С. 1429.

78. Забелло Л.Е. Об условиях оптимальности в нелинейных инерционных управляемых системах с запаздыванием // Дифференц. уравнения 1990.- Т. 26, № 8.- С.1309-1315.

79. Захарченко B.C., Срочко В.А. Метод приращений для решения квадратичных задач оптимального управления //Изв. РАН. Теория и системы управления. 1995. - № 6. - С.145-154.

80. Ильин В.А. Волновое уравнение с граничным управлением на одном конце при закрепленном втором конце // Дифференц. уравнения. -1999. Т . 35, № 12. - С.1640-1659.

81. Ильин В.А. Граничное управление процессом колебаний на двух концах // Докл. РАН. 1999. - Т. 369, № 5. - С.592-596.

82. Ильин В.А. Граничное управление процессом колебаний на двух концах за произвольный промежуток времени // Дифференц. уравнения. 1999. - Т. 35, № 11. - С.1517-1534.

83. Ильин В.А. Граничное управление процессом колебаний струны на двух концах при условии существования конечной энергии // Докл. РАН. -2001. Т. 376, № 3. - С.295-299.

84. Ильин В.А. Граничное управление процессом колебаний струны на одном ее конце при закрепленном втором конце при условии существования конечной энергии // Докл. РАН. 2001. - Т. 378, № 6. -С.743-747.

85. Ильин В.А. Граничное управление сферически симметричными колебаниями трехмерного шара // Труды Матем. ин-та РАН. 2001. -Т. 232. -С.144-155.

86. Ильин В.А., Тихомиров В.В. Волновое уравнение с граничным управлением на двух концах и задача о полном успокоении колебательного процесса //Дифференц. уравнения. 1999.- Т. 35, № 5. - С.692-704.

87. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Расширение вариационных задач // Тр. Моск. матем. об-ва. 1968. - Т 18. - С. 187-246.

88. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. - 480 с.

89. Карлыханов Н.Г. Построение оптимальных многодиагональных методов решения задач переноса излучения // Журн. вычислит, математики и мат. физики. 1997. - Т. 37, № 4. - С.494-498.

90. Калинин А.И., Кириллова Ф.М. Асимптотическая оптимизация линейных динамических систем в классе гладких ограниченных управлений // Дифференц. уравнения. 1998. - Т.34, № 2. - С.175-183.

91. Капустян В.Е. Прямой метод решения сингулярно возмущенной задачи оптимального управления процессом переноса частиц // Дифференц. уравнения. 1992. - Т. 28, № 7. - С. 1230-1242.

92. Капустян В.Е. Оптимальное ограниченное управление сингулярно возмущенными системами с распределенными параметрами: Авто-реф. дис. . докт. физ.-мат. наук. Киев, 1994. -35 с.

93. Кирин Н.Е. Методы последовательных оценок в задачах оптимизации управляемых систем. Л.: Изд-во Ленинград, ун-та. - 1975. -160 с.

94. Комков В. Теория оптимального управления демпфированием колебаний простых упругих систем. М.: Мир, 1975. - 157 с.

95. Кружков С.Н. Нелинейные уравнения с частными производными (лекции). Часть 2. М.: Изд-во МГУ, 1970. - 133 с.

96. Крылов И.А., Черноусько Ф.Л. О методе последовательных приближений для решения задач оптимального управления // Журн. вычислит, математики и мат. физики. 1962. - Т. 2, № 6. - С. 11321139.

97. Крылов И.А., Черноусько Ф.Л. Алгоритм метода последовательных приближений для задач оптимального управления // Журн. вычислит, математики и мат. физики. 1972. - Т. 11, № 1. - С.14-34.

98. Кулиев Г.Ф., Гасанов К.К. Необходимые условия оптимальности для некоторых систем с распределенными параметрами и управлением в коэффициентах при старших производных // Дифференц. уравнения. 1982. - Т. 18, № 6. - С. 1028-1036.

99. Куликовский А.Г., Погорелов Н.В., Семенов А.Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. -М.: Физматлит, 2001. 608 с.

100. Кузенков O.A., Рябова Е.А. Оптимальное управление гиперболической системой на симплексе // Изв. АН. Теория и системы управления. 2003. - № 2. - С.69-75.

101. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964830 с.

102. Лаврентьев М.М., Резницкая К.Г., Яхно В.Г. Одномерные обратные задачи математической физики. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1982. - 88 с.

103. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1982. - 272 с.

104. Летников A.B. Курсъ вар1ацюннаго исчислешя. М.: Императорское Московское техническое училище, 1891. - 152 с.

105. Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972. - 414 с.

106. Лионе Ж.-Л. Некоторые вопросы оптимального управления распределенными системами // Успехи матем. наук. 1985 - Т. 40, № 4. - С.55-68.

107. Лионе Ж.-Л. Управление сингулярными распределенными системами. М.: Наука, 1987. - 368 с.

108. Лукьянов А.Т., Неронов B.C. Об оптимальном управлении одной параболически-гиперболической системой //Изв. АН Казахской ССР. 1976. - № 3. - С.77-80.

109. Лурье К.А. Оптимальное управление в задачах математической физики. М.: Наука, 1975. - 480 с.

110. Любушин A.A. Модификации и исследование сходимости метода последовательных приближений для задач оптимального управления // Журн. вычислит, математики и мат. физики. 1979. - Т. 19, № 6. - С.1414-1421.

111. Любушин A.A. О применении модификации метода последовательных приближений для решения задач оптимального управления // Журн. вычислит, математики и мат. физики. 1982. - Т. 22, № 1. -С.30-35.

112. Любушин A.A., Черноусько Ф.Л. Метод последовательных приближений для расчета оптимального управления // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1983. - № 2. - С. 147-159.

113. Мансимов К.Б. К теории необходимых условий оптимальности в одной задаче с распределенными параметрами // Журн. вычислит, математики и мат. физики. 2001. - Т. 41, № 10. - С.1505-1520.

114. Маркин Е.А., Стрекаловский A.C. О существовании , единственности и устойчивости решения одного класса динамических систем, описывающих химические процессы // Вестн. МГУ. Сер. вычисл. матем. и кибернетика. 1977. - № 4. - С.3-11.

115. Марчук Г.И. Сопряженные уравнения и анализ сложных систем. -М.: Наука. Гл.ред. физ.-мат. лит., 1992. 336 с.

116. Матвеев A.C. Обобщенные решения полулинейной системы уравнений в частных производных гиперболического типа и задачи управления // Деп. в ВИНИТИ 23.07.90, № 2983-30. 39 с.

117. Матвеев A.C., Якубович В.А. Оптимальные системы управления: Обыкновенные дифференциальные уравнения. Специальные задачи. СПб: Издательство С.-Петербургского университета, 2003. -540 с.

118. Матросов В.М., Васильев С.Н., Москаленко А.И. и др. Нелинейная теория управления. М.: Физматлит, 2003. - 352 с.

119. Методы решения задач математического программирования и оптимального управления / Л.Т.Ащепков, Б.И.Белов, В.П.Булатов и др. Новосибирск: Наука, 1984. - 233 с.

120. Методы решения задач теории управления на основе принципа расширения / В.А.Батурин, В.А.Дыхта, А.И.Москаленко и др. Новосибирск: Наука, 1990. - 190 с.

121. Мизохата С. Теория уравнений с частными производными. М.: Мир, 1977. - 504 с.

122. Мордухович Б.Ш. Методы аппроксимаций в задачах оптимизации и управления. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. - 360 с.

123. Морозов С.Ф. Начально-краевая задача для почти линейной гиперболической системы на плоскости // Краевые задачи. Пермь, 1989.- С.141-149.

124. Морозов С.Ф., Сумин В.И. Об одной задаче оптимального управления нестационарными процессами переноса // Дифференц. уравнения. 1972. - Т . 8, № 12. - С.2235-2243.

125. Морозов С.Ф., Сумин В.И. О задачах быстродействия в теории оптимального управления процессами переноса // Дифференц. уравнения. 1975. - Т. 11, № 4. - С.726-740.

126. Морозов С.Ф., Сумин В.И. Нелинейное интегро-дифференциальное уравнение нестационарного переноса // Матем. заметки. 1977. -Т. 21, № 5. - С.665-676.

127. Москаленко А.И. Методы нелинейных отображений в оптимальном управлении. Новосибирск: Наука, 1983. - 222 с.

128. Москаленко А.И. Оптимальное управление моделями экономической динамики. Новосибирск: Наука, 1999. - 220 с.

129. Мосолов П.П., Мясников В.П. Механика жестко-пластических сред. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1981. - 208 с.

130. Неронов B.C., Евсеев О.Н. Об оптимальном управлении неустановившимся режимом трубопровода // Численные и аналоговые методы решения краевых задач. Алма-Ата, 1989. - С.57-62.

131. Новоженов М.М., Сумин В.И., Сумин М.И. Методы оптимального управления системами математической физики. Горький: Изд-во Горьковского гос. ун-та. - 1986. - 87 с.

132. Новоженов М.М., Сумин М.И. Об одном подходе к численному решению задач оптимального управления, основанном на принципемаксимума // Исследования по теории функций. Горький, 1987. -С.76-93. - Деп. 18.11.87, № 8122.

133. Овсянников Д.А. Математические методы управления пучками. -Д.: Изд- во Ленинград, ун-та, 1980 228 с.

134. Овсянников Д.А. Моделирование и оптимизация динамики пучков заряженных частиц. Л.: Изд-во Ленинград, ун-та, 1990. - 310 с.

135. Овсянников Д.А., Дривотин О.И. Моделирование интенсивных пучков заряженных частиц. СПб.: Изд-во С.-Петербургского ун-та, 2003. - 176 с.

136. Осипов Ю.С., Васильев Ф.П., Потапов М.М. Основы метода динамической регуляризации. М.: Изд-во МГУ, 1999. - 237 с.

137. Основы теории оптимального управления / Под ред. В.Ф.Кротова.- М.: Высшая школа, 1990. 430 с.

138. Островский Г.М., Волин Ю.М. Методы оптимизации химических реакторов. М.: Химия, 1967. - 248 с.

139. Островский Г.М., Волин Ю.М. Моделирование сложных химико-технологических систем. М.: Химия, 1975. - 311 с.

140. Панов Е.Ю. О мерозначных решениях задачи Коши для квазилинейного уравнения первого порядка // Изв. АН. Сер. математическая. 1996. - Т. 60, № 2. - С.107-148.

141. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частыми производными.- М.: Гос. изд-во технико-теоретической лит-ры, 1953. 360 с.

142. Пилюгин H.H., Тирский Г.А. Динамика ионизованного излучающего газа. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1989. - 309 с.

143. Плотников В.И. Необходимые и достаточные условия оптимальности и условия единственности оптимизирующих функций для управляемых систем общего вида // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1972. - Т. 36, № 3. - С.652- 679.

144. Плотников В.И., Сумин В.И. Оптимизация распределенных систем в лебеговом пространстве // Сиб. мат. журн. 1981. - Т. 22, № 6. -С. 142- 161.

145. Понтрягин JI.C., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука. Гл. ред физ.-мат. лит., 1983. - 392 с.

146. Потапов М.М. Обобщенное решение смешанной задачи для полулинейной гиперболической системы первого порядка // Дифференц. уравнения. 1983. - Т. 19, № 10. - С.1826 -1828.

147. Потапов М.М. Метод прямых в задачах граничного управления и наблюдения для гиперболического уравнения с краевыми условиями второго и третьего рода // Вестн. Моск. ун-та. Сер.15. Вычисл. математика и кибернетика. 1996. - № 2. - С.35-41.

148. Рево П.А. Волновое уравнение с граничным управлением на левом конце при свободном правом конце и задача о полном успокоении колебательного процесса // Дифференц. уравнения. 2000. - Т. 36, № 6. - С.806-815.

149. Рево П.А., Чабакаури Г.Д. Граничное управление процессом колебаний на левом конце при свободном правом конце в терминах обобщенного решения волнового уравнения с конечной энергией // Докл. РАН. 2001. - Т. 379, № 4. - С.459-462.

150. Рождественский Б.JI., Яненко H.H. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М.: Наука, 1978. -686 с.

151. Розоноэр JI.H. Принцип максимума Л.С.Понтрягина в теории оптимальных систем. I // Автоматика и телемеханика. 1959. - Т. 20, № 10. - С.1320-1334.

152. Рокафеллар Р. Интегралы, являющиеся выпуклыми функционалами, II // Математическая экономика / Под ред. Б.С.Митягина. М.: Мир, 1974. - С. 170-204.

153. Сиразетдинов Т.К. Оптимизация систем с распределенными параметрами. М.: Наука, 1977. - 479 с.

154. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука-1988. -336 с.

155. Соколов A.B. Об одном подходе к описанию рождаемости в демографических моделях // Моделирование процессов экологического развития. Вып. 2. М.: ВНИИ системных исследований, 1982. - С.77-85.

156. Срочко В.А. Принцип максимума для одного класса систем с распределенными параметрами // Вопросы устойчивости и оптимизации динамических систем. Иркутск, 1983. - С. 170-182.

157. Срочко В.А. Условия оптимальности типа принципа максимума в системах Гурса-Дарбу // Сиб. мат. журн. 1984. - Т. 25, № 1. -С.126-133.

158. Срочко В.А. Вариационный принцип максимума и методы линеаризации в задачах оптимального управления. Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, 1989. - 160 с.

159. Срочко В.А. Метод квадратичной фазовой аппроксимации для решения задач оптимального управления // Изв. вузов. Математика.- 1993. № 12. - С.81-88.

160. Срочко В.А. Методы линейно-квадратичных аппроксимаций для решения задач оптимального управления // Оптимизация, управление, интеллект. Иркутск: ИрВЦ СО РАН, 1995. - № 1. - С.110-135.

161. Срочко В.А. Итерационные методы решения задач оптимального управления. М.: Физматлит, 2000. - 160 с.

162. Срочко В.А. Квадратично-игольчатая аппроксимация и методы улучшения в задачах оптимального управления // Иркутский университет. Серия: Оптимизация и управление. Вып.З. Иркутск, 2001. - 28с.

163. Срочко В.А., Душутина С.Н., Пудалова Е.И. Регуляризация принципа максимума и методов улучшения в квадратичных задачах оптимального управления // Изв. вузов. Математика. 1998. - № 12.- С.82-92.

164. Стрекаловский A.C. Об условиях оптимальности в гладкой задаче оптимального управления в банаховом пространстве // Численные методы оптимизации (прикладная математика). Иркутск: Сибирский энергетический институт СО АН СССР, 1977. - С.76-88.

165. Стрекаловский A.C. К оптимальности по векторному критерию систем управления, описываемых гиперболическим уравнением общего вида // Дифференциальные и интегральные уравнения. Иркутск: Изд-во Иркут. гос. университета, 1979. - С.35-55.

166. Стрекаловский A.C. К оптимальности по векторному критерию одного класса динамических систем, описывающих химические процессы // Дифференциальные и интегральные уравнения. Иркутск: Изд-во Иркут. гос. университета, 1980. - С. 186-203.

167. Стрекаловский A.C. К теореме существования решения для одного класса распределенных систем // Вопросы устойчивости и оптимизации динамических систем. Иркутск: Изд-во Иркут. гос. университета, 1983. - С.119-128.

168. Стрекаловский A.C. Об экстремальных задачах с d.c.-ограничениями // Журн. вычислит, математики и мат.физики. -2001. Т. 41, № 12. - С. 1833-1843.

169. Стрекаловский A.C. О минимизации разности выпуклых функций на допустимом множестве // Журн. вычислит, математики и мат.физики. 2003. - Т. 43, № 1. - С.49-59.

170. Стрекаловский A.C. Элементы невыпуклой оптимизации. Новосибирск: Наука, 2003. - 356 с.

171. Стрекаловский A.C., Кузнецова A.A. О сходимости алгоритма глобального поиска в задаче выпуклой максимизации на допустимом множестве // Изв. вузов. Математика. 1999. - № 12. - С.74-81.

172. Сумин В.И. Функционально-операторные вольтерровы уравнения в теории оптимального управления распределенными системами // Докл. АН СССР. 1989. - Т. 305, № 5. - С.1056-1059.

173. Сумин В.И. Функциональные вольтерровы уравнения в теории оптимального управления распределенными системами. Часть 1. Вольтерровы уравнения и управляемые начально-краевые задачи. Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского гос. ун-та. - 1992. -110 с.

174. Сумин В.И. Об обосновании градиентных методов для распределенных задач оптимального управления // Журн. вычислит, математики и мат.физики. 1990. - Т.ЗО, № 1. - С.2-21.

175. Сумин В.И. О достаточных условиях устойчивости существования глобальных решений управляемых краевых задач // Дифференц. уравнения. 1990. - Т. 26, № 12. - С.2097-2109.

176. Сумин М.И. Субоптимальное управление системами с распределенными параметрами: минимизирующие последовательности, функция значений // Журн. вычислит, математики и мат. физики. 1997. -Т. 37, № 1. - С.23-41.

177. Сумин М.И. Субоптимальное управление системами с распределенными параметрами: свойства нормальности, субградиентный двойственный метод // Журн. вычислит, математики и мат. физики. -1997. Т. 37, № 2. - С. 162-178.

178. Сумин М.И. Математическая теория субоптимального управления распределенными системами: Автореф. дис. . докт. физ.-мат. наук.- Нижний Новгород, 2000. 36 с.

179. Темам Р. Математические задачи теории пластичности. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1991. - 288 с.

180. Терлецкий В.А. К оптимизации полулинейных гиперболических систем первого порядка с начальным условием Коши // Управляемые системы. Новосибирск, 1982. - № 22. - С.70-79.

181. Терлецкий В.А. К обоснованию сходимости одной модификации метода последовательных приближений, основанного на принципе максимума // Методы оптимизации и их приложения. Иркутск, 1983.- С.58-69.

182. Терлецкий В.А. Вариационный принцип максимума в управляемых системах одномерных гиперболических уравнений // Изв. вузов. Математика. 1999. - № 12. - С.82-90.

183. Терлецкий В.А. Обобщенное решение многомерных полулинейных гиперболических систем // Изв. вузов. Математика. 2001. - №12.- С.68-76.

184. Терлецкий В.А. Обобщенное решение гиперболических систем одномерных полулинейных дифференциальных уравнений. Иркутск: Иркутский гос. университет. Сер. Оптимизация и управление. Вып. 11.- 2004.-48 с.

185. Тихомиров В.В. Волновое уравнение с граничным управлением при упругом закреплении. I // Дифференц. уравнения. 2002. - Т. 38, № 3. - С. 393-403.

186. Тихомиров B.B. Волновое уравнение с граничным управлением при упругом закреплении. II // Дифференц. уравнения. 2002. - Т. 38, № 4. - С. 529-537.

187. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977. - 736 с.

188. Толстоногов A.A. Релаксация в невыпуклых задачах оптимального управления, описываемых эволюционными уравнениями первого порядка // Матем. сборник. 1999. - Т. 190, № 11. - С.135-160.

189. Толстоногов A.A. Теорема существования оптимального управления в задаче Гурса-Дарбу без предположения выпуклости // Изв. АН. Сер. математическая. 2000. - Т. 64, № 4. - С.163-181.

190. Толстоногов A.A. Существование оптимального управления без предположения выпуклости в эволюционной системе первого порядка // Матем. сборник. 2001. - Т. 192, № 9. ~ С.125-142.

191. Тятюшкин А.И. Численные методы и программные средства оптимизации управляемых систем. Новосибирск: Наука, 1992. - 193 с.

192. Тятюшкин А.И. Параллельные вычисления в задачах оптимального управления // Сиб. журн. вычислит, математики. 2000. - Т. 3, № 2. - С.181-190.

193. Тятюшкин А.И. Многометодная технология для расчета оптимального управления // Изв. АН. Теория и системы управления. 2003. - № 3. - С.59-67.

194. Условия экстремума и конструктивные методы решения в задачах оптимизации гиперболических систем / Е.П.Бокмельдер,

195. В.А.Дыхта, А.И.Москаленко и др. Новосибирск: ВО Наука. Сибирская издательская фирма, 1993.- 197 с.

196. Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. М.: Наука, 1978. - 408 с.

197. Фурсиков А.В. Оптимальное управление распределенными системами. Теория и приложения. Новосибирск: Научная книга, 1999.— 352 с.

198. Черноусько Ф.Л., Колмановский В.Б. Вычислительные и приближенные методы оптимального управления // Итоги науки и техники. Математический анализ. М.: ВИНИТИ, 1977. - Т. 14. - С.101-166.

199. Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. М.: Мир, 1979. - 400 с.

200. Якубович В.А. К абстрактной теории оптимального управления I. // Сиб. мат. журн,- 1977. Т. 18, № 3. - С.685-707.

201. Якубович В.А. К абстрактной теории оптимального управления II. // Сиб. мат. журн.- 1978. Т. 19, № 2. - С.436-480.

202. Янг Л. Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления. М.: Мир, 1974. - 488 с.

203. Ahmed N.U., Тео K.L. Optimal control of distributed parameter systems. New York: Elsevier North Holland, Inc. - 1981. - 430 p.

204. Almeder C., Caulkins J.P., Feightinger G., Tragler G. Age-specific multi-stage drug initiation models: insights from considering heterogeneity // Bulletin on Narcotics. 2001. - Vol. LIII. - P. 105-118.

205. Almeder С., Caulkins J.P., Feightinger G., Tragler G. An age-structured single-state drug initiation model-cycles of drug epidemics and optimal prevention programs //Socio-Economic Planning Sciences. 2004. - Vol. 38, № 1. - P. 91-109.

206. Ammar Khodja F., Bader A. Stabilizability of systems of one-dimensional wave equations by one internal or boundary control force // SIAM J. Control Optim. 2001. - Vol. 39, № 6. - P. 1833-1851.

207. Anita S. Optimal harvesting for nonlinear age dependent population dynamics // J. Math. Anal, and Appl. 1998. - Vol. 226. - P. 6-22.

208. Arino O. A nonlinear model for migrating species //J. Math. Anal, and Appl. 1999. - Vol. 229. - P. 61-87.

209. Arguchintsev A.V. On optimization problems in semilinear hyperbolic systems with boundary controls // Proceedings of the 2nd Asian Control Conference, Seoul, Korea, 1997, Vol. 1. P. 469-472.

210. Arguchintsev A.V. Optimization of smooth boundary controls in multi-dimensional hyperbolic systems // Proceedings of 11-th Baikal International School-Seminar "Optimization methods and their applications". Vol. 2. Иркутск, 1998. - P. 34-37.

211. Arguchintsev A.V. Optimization of boundary and starting controls in multi-dimensional hyperbolic systems // Proceedings of the 14th Triennial World Congress of International Federation of Automatic Control, Beijing, China, 1999, Vol. F. P. 135-138.

212. Arguchintsev A.V. Optimal control methods in solving inverse problems of mathematical physics for first-order hyperbolic systems // Proceedings of 5th IF AC Symposium "Nonlinear Control

213. Systems'"(NOLCOS '01). Saint-Petersburg, Russia. - 2001. - P. 274278.

214. Arguchintsev A.V. On optimization of hyperbolic systems with smooth controls and integral constraints // Proceedings of the 15th Triennial IFAC World Congress, July 2002. Barcelona, Spain. - Paper No 2475. - P. 1-5.

215. Arguchintsev A.V. Optimization of hyperbolic systems with smooth boundary controls // Abstracts of Short Communications and Poster Sessions. International Congress of Mathematicians. Beijing, 2002. -P.209.

216. Arguchintsev A.V. Non-classic optimality conditions and their applications to optimal birth control problems // The International Conference on Optimization and Optimal Control. Ulaanbaatar, Mongolia, 2002. - P.93-94.

217. Arguchintsev A.V., Vasiliev O.V. Optimal control methods in multidimensional hyperbolic systems // Proceedings of the 10th IFAC Workshop "Control Application of Optimization", Haifa, Israel, December 1995. P. 83-86.

218. Arguchintsev A.V., Vasiliev O.V. Iterative methods for optimal control problems in distributed parameter systems // 17th IFIP Conference on System Modelling and Optimization, Prague, Czech Republic, July 1995, Vol. 2. P. 629-631.

219. Arguchintsev A.V., Vasiliev O.V. Optimization methods for discontinuous and smooth controls in semi-linear hyperbolic systems // Proceedings of the 13th Triennial World Congress of the IFAC, San Francisco, USA, 1996. Vol. D. P. 339-343.

220. Arguchintsev A., Vasiliev O. Inverse optimal control problems in ordinary and hyperbolic differential equations // Межд. конф. по проблемам управления. Том 1. М.: Институт проблем управления РАН,1999. С. 104-105.

221. Arguchintsev A.V., Vasiliev O.V. Optimal control methods in solving inverse problems for parabolic equations // Proceedings of the 3rd Asian Control Conference, July 4-7, 2000, Shanghai, China. P. 894-896.

222. Arguchintsev A.V., Vasiliev O.V. Towards research of inverse problems of mathematical physics by optimal control methods // Stability and Control: Theory and Applications. 2000. - Vol. 3, N 3. - P. 205-211.

223. Baker T.E., Polak E. On the optimal control of systems described by evolution equations // SIAM J. Control Optim. 1994. - Vol. 32, № 1.- P. 224-260.

224. Barbu V., Ianelli M. Optimal control of population dynamics //J. Optim. Theory Appl. 1999. - Vol. 102, № 1. - P. 1-14.

225. Basile N., Mininni M. An extension of the maximum principle for a class of optimal control problems in infinite-dimensional spaces // SIAM J. Control Optim. 1990. - Vol. 28, № 5. - P. 1113-1135.

226. Betelu S., Gulliver R., Littman W. Boundary control of PDEs via curvature flows: the view from the boundary, II // Appl. Math. Optim.- 2002. Vol. 46. - P. 167-178.

227. Borzi A., Ito K., Kunisch K. Optimal control formulation for determining optical flow // SIAM J. Sci. Comput. 2002. - Vol. 24, № 3. - P. 818-847.

228. Bressan A., Coclite G.M. On the boundary control of systems of conservation laws // SIAM J. Control Optim. 2002. - Vol. 41, № 2. -P. 607-622.

229. Brokate M. Pontryagin's principle for control problems in age-dependent population dynamics // Journ. Math. Biol. 1985. - Vol. 23. - P.75-101.

230. Brokate M. Necessary optimality conditions for the control of semilinear hyperbolic boundary value problems // SIAM J. Control Optim. 1987. - Vol. 25, № 5. - P.1353-1369.

231. Chan W.L., Guo B.Z. Optimal birth control of population dynamics // J. Math. Anal. Appl. 1989.- Vol. 144. - P.532-552.

232. Chan W.L., Guo B.Z. Overtaking optimal control problem of age-dependent populations with infinite horizon //J. Math. Anal. Appl. 1990. - Vol. 150. - P.41-53.

233. Chawla S., Lenhart S.M. Application of optimal control theory to bioremediation //J. Comput. Appl. Math. 2000. - Vol. 114. - P. 81102.

234. Choo K.G., Teo K.L., Wu Z.S. On an optimal control problem involving first order hyperbolic systems with boundary controls //Numer. Funct. Anal, and Optim. 1981-1982. -Vol. 4, № 2. - P.171-190.

235. Derzko N.A., Sethi S.P., Thompson G.L. Necessary and sufficient conditions for optimal control of quasilinear partial differential systems // J. Optim. Theory Appl. 1984. - Vol. 43, № 1. - P. 89-101.

236. Dykta V.A., Bokmelder E.P. Optimization of hyperbolic systems with state constraints // Proceedings of the 10th IFAC World Congress. -Munich, Germany. 1987. - Vol. 9. - P. 278-284.

237. Ekeland I. On the variational principle //J. Math. Anal, and Appl. -1974. Vol. 47. - P. 324-353.

238. Fattorini H.O. A unified theory of necessary conditions for nonlinear nonconvex systems // Appl. Math. Optim. 1987. - Vol. 15. - P. 141185.

239. Flores-Bazan F., Perrotta S. Nonconvex variational problems related to a hyperbolic equations // SIAM J. Control Optim. 1999. - Vol. 37, № 6. - P. 1751-1766.

240. Feichtinger G., Gornov A.Yu., Bockmelder E.P. An approach to mathematical modelling of age-specific social and economic processes

241. Труды 12-й Байкальской междю конфю "Методы оптимизации и их приложения". Т.З. Математическая экономика. Иркутск, 2001.- С. 216-221.

242. Feichtinger G., Tragler G., Veliov V. Optimality conditions for age-structured control systems // J. Math. Anal, and Appl. 2003. - Vol. 228. - P. 47-68.

243. Friedrichs K.O. Symmetric positive linear differential equations //Comm. Pure Appl. Math. 1958. - Vol. 11. - P. 333-418.

244. Gugat M. A Newton method for the computation of time-optimal boundary controls of one-dimensional vibrating systems //J. Comput. Appl. Math. 2000. - Vol. 114. - P. 103-119.

245. Gugat M. Regularization of L00 optimal control problems for distributed parameter systems // Comput. Optim. Appl. 2002. - Vol. 22. - P. 151-192.

246. Gundepudi P.K., Friedly J.C. Velocity control of hyperbolic partial differential equation systems with single characteristic variable //Chemical Engineering Science. 1998. - Vol. 53, № 24. - P. 40554072.

247. Guo B.Z. On the boundary control of a hybrid systems with variable coefficients // J. Optim. Theory Appl. 2002. - Vol. 114, № 2. - P. 373395.

248. Honner M. Heat waves simulation// Comput. and Math. Appl. 1999.- Vol. 38. P. 233-243.

249. Lenhart S., Protopopescu V. Solving identification problems for the wave equations by optimal control methods // Lecture Notes in Pure and Appl. Math. 2002. - Vol. 225. - P. 221-232.

250. Li X., Yong J. Optimal control theory for infinite dimensional systems.- Boston: Birkhauser, 1995. 352 p.

251. Markus M., Mizel V. Semilinear hereditary hyperbolic systems with nonlocal boundary conditions, A // J. Math. Anal, and Appl. 1980.- Vol. 76, № 2. P.440-475.

252. Markus M., Mizel V. Semilinear hereditary hyperbolic systems with nonlocal boundary conditions, В // J. Math. Anal, and Appl. 1980.- Vol. 77, № 1. P.1-19.

253. Mayne D.Q., Polak E. First order strong variation algorithms for optimal control // J.Optim.Theory Appl. 1975. - Vol. 16, № 3-4. -P.277-301.

254. Mordukhovich B.S., Wang B. Necessary suboptimality and optimality conditions via variational principles // SIAM J. Control Optim. 2002. -Vol. 41, № 2. - P. 623-640.

255. Mordukhovich B.S., Raymond J.-P. Dirichlet boundary control of hyperbolic equations in the presence of state constraints // Appl. Math. Optim. 2004. - Vol. 49, № 2. - P. 145-157.

256. Ruan W., Clark M.E., Zhao M., Curcio A. A hyperbolic system of equations of blood flow in an arterial network // SIAM J. Appl. Math.- 2003. Vol. 64, № 2. - P. 637-667.

257. Sarason L. On weak and strong solution of boundary value problems // Comm. Pure Appl. Math. 1962. - Vol. 15. - P. 237-288.

258. Sethi S.P., Thomson G.L. Optimal control theory. Applications to management science. Boston, 1981. - 370 p.

259. Shahrus S.M. Boundary control of the axially moving Kirchhoff string // Automatica. 1998. - Vol. 34, № 10. - P. 1273-1277.

260. Slass J.V., Bruch J.C., Sadek I.S., Adali S. Maximum principle for optimal boundary control of vibrating structures with applications to beams //Dynamics and Control. 1998. - Vol. 8. - P. 355-375.

261. Song J., Yu J.-U. Population control system. New York: SpringerVerlag, 1987. - 320 p.

262. Strekalovsky A.S. On global maximum of a convex terminal functional in optimal control problems //J. Global Optimization. 1995. - № 7.- P.75-91.

263. Suryanarayna M.B. Existence theorems for optimization problems concerning linear hyperbolic partial differential equations without convexity conditions //J. Optim. Theory Appl. 1976. - Vol. 19, № 1.- P. 47-61.

264. Teo K.L., Yeo L.T. On the computational methods of optimal control problems // Int. J. Systems Sci. 1979. - Vol. 10, № 1. - P. 51-76.

265. Tzafestas S.G. Distributed-parameter and large-scale systems: a literature overview // 11-th IMACS World Congress Sci. Comput., Vol.4. Amsterdam, 1986. - P.195-215.

266. Vasiliev O.V. Optimization methods. Atlanta: World Federation Publishers Company INC, 1996. - 276 p.

267. Vasiliev O.V. On a method of inverse optimal control problems solving // Proceedings of the 2nd Asian Control Conference, July 22-25, 1997, Seoul. Vol. 1. - P.465-467.

268. Vasiliev O.V., Terletsky V.A., Arguchintsev A.V. Iterative processes in optimization of semilinear hyperbolic systems // Proc. of the 11-th IFAC World Congress, Vol.6. Tallinn, 1990. - P. 216-220.

269. Winkin J., Dochain D., Ligarius P. Dynamical analysis of distributed parameter tubular reactors // Automatica. 2000. - Vol. 36, № 10. -P. 349-361.

270. Wolfersdorf L. A counterexample to the maximum principle of Pontryagin for a class of distributed parameter systems // Z. Angew. Math, and Mech. 1980. - Vol. 6, № 4,- P.204.