автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Модели оптимизации и их аппроксимация для эллиптических и параболических систем управления нелинейного типа

На правахрукописи

Фа й руз о в Махмут Эрнстович

МОДЕЛИ ОПТИМИЗАЦИИ И ИХ АППРОКСИМАЦИЯ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ И ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО ТИПА

Специальность 05.13.18 - Математическоемоделирование,

численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

УФА-2004

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики Башкирского государственного университета

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, профессор

Лубышев Федор Владимирович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

Рамазанов Марат Давидович

кандидат физико-математических наук, доцент

Кондаратцев Сергей Анатольевич

Ведущая организация

Уфимский государственный нефтяной технический университет

Защита состоится 26 октября 2004 г. в 14.00 на заседании Диссертационного совета ДР 212.013.02 при Башкирском государственном университете по адресу: 450074, г. Уфа, ул. Фрунзе, 32, математический факультет, ауд. 511.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Башкирского государственного университета'

Автореферат разослан 24 сентября 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Болотное A.M.

2005-4 12982

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время математическое моделирование становится неотъемлемой частью сколь-нибудь крупных научно-технических разработок; внедрение методов математического моделирования определяет научно-технический прогресс сегодня. Математические модели оптимизации для систем с распределенными параметрами (описываемых уравнениями математической физики (УМФ)) - это наиболее сложный класс задач в оптимизации, особенно для систем управления нелинейного типа, что является главной причиной, почему в настоящее время все большее внимание уделяется в научной литературе развитию числен -ных методов оптимального управления с использованием современных ЭВМ. Под «системами управления нелинейного типа» мы понимаем такие, в которых отображение g -> и(#) из множества допустимых управлений

и в пространство состояний Ш является нелинейным. Характер конкретных постановок задач оптимального управления для распределенных систем существенно зависит от того, куда входят управления: в свободные члены уравнений состояния или в коэффициенты уравнений, а также линейными или нелинейными УМФ описываются состояния систем управления. В настоящее время наиболее полно исследован случай линейных моделей оптимального управления, т.е. когда управления достаточно простым образом входят в линейные уравнения состояния и линейные предельные условия (в правые части линейных уравнений и/или слагаемыми в линейные краевые условия) и наиболее мало изучены задачи оптимального управления для систем нелинейного типа (особенно, когда нелинейность систем управления вызвана вхождением управлений в коэффициенты уравнений для состояний, в том числе в коэффициенты при старших производных), хотя развитие теории и метод их решения вызвано потребностями математического моделирования нелинейных оптимальных процессов, большой прикладной важностью таких задач при оптимизации процессов теплофизики, диффузии, фильтрации, теории упругости и др., а также при решении обратных задач для УМФ, рассматриваемых в вариационной постановке. Задачи управления в системах линейного типа (в частности, линейные задачи управления тепло - и массообменными и диффузионными процессами) достаточно полно изучены в работах А.Г. Бутковского, А.И. Егорова, Ж.-Л. Лионса, В.И. Плотникова, их учеников и многих других. Следует также отметить, что математическое моделирование с использованием ЭВМ в большинстве случаях является практически единственным средством изучения сложных процессов в системах управления нелинейного типа. При исследовании таких задач (особенно задач с управлениями в старших коэффициентах, являющихся «сильно нелинейными» оптимиза-

ционными задачами и весьма существенно отличающимися от задач, где управления осуществляются путем внешних воздействий на систему), возникает ряд трудностей, связанных с их нелинейностью, некорректностью, невыпуклостью, а также с малой гладкостью состояний.

Проблема численного решения задач оптимального управления приводит к необходимости их аппроксимаций задачами более простой природы. Правильно построенная аппроксимация позволяет получить содержательные результаты качественного и численного характера о изучаемом процессе. Вопросы устойчивости и аппроксимации в задачах оптимального управления системами с распределенными параметрами рассматривались в работах К.Р. Айда-Заде, Б.М. Будака, Ф.П. Васильева, А. Дончева, А.И. Егорова, Ю.М. Ермольева, Ю.Г, Евтушенко, А.З. Ишмухаметова, А.И. Короткого, М.А. Куржанского, А.В. Кряжимского, В.Б. Колмановско-го, В.Г. Карманова, Ф.М. Кирилловой, О.А. Кузенкова, А.А. Кулешова, Е.С. Левитина, Ж.-Л. Лионса, Ф.В. Лубышева, В.Г. Литвинова, Н.Д. Мороз-кина, П. Нейтаанмяки, М.М. Потапова, В.И. Плотникова, Б.Т. Поляка, А.В. Разгулина, М.Р. Рахимова, М.И. Сумина, В.И. Сумина, Р.К. Тагиева, Я. Хаслингера, Ф.Л. Черноусько, Т.Ю. Шамиевой, А.Д. Юрия и многих других. Обзор работ, посвященных различным аспектам современной теории оптимального управления и ее приложений, постановкам различных прикладных задач оптимального управления, основам общей теории и методов устойчивости и аппроксимации экстремальных задач, вопросам аппроксимации задач оптимального управления и результатов в данной области представлен в работах [Васильев Ф.П. Методы оптимизации. - М.: Факториал Пресс, 2002. - 824с; Ишмухаметов А.З. Вопросы устойчивости и аппроксимации задач оптимального управления. - М.: ВЦ РАН, 2000, -152с; Ишмухаметов А.З. Вопросы устойчивости и аппроксимации задач оптимального управления системами с распределенными параметрами. — М.: ВЦ РАН, 2001. - 120с; Лубышев Ф.В. Разностные аппроксимации задач оптимального управления системами, описываемыми уравнениями в частных производных. — Уфа: БашГУ, 1999. - 244с; Потапов М.М. Аппроксимация экстремальных задач в математической физике (гиперболические уравнения). - М.: МГУ, 1985. - 63с]. Центральными здесь являются вопросы «конструирования аппроксимаций», сходимости аппроксимаций по состоянию, функционалу, управлению, регуляризации аппроксимаций. Анализ литературы по данной проблеме показывает, что для систем с распределенными параметрами, даже в линейном случае, вопросы аппроксимации исследованы еще недостаточно. Построение и исследование аппроксимаций проводились в основном для систем управления с постоянными коэффициентами и систем линейного типа, зачастую в априорном предположении существования достаточно гладкого состояния систем управле-

ния. Поэтому особенно актуальными являются вопросы построения и исследования конечномерных аппроксимаций систем управления нелинейного типа (в том числе с управлениями в переменных коэффициентах уравнений состояний, учитывающих также и анизотропность сред). При этом, так как функции состояний систем управления могут не обладать наперед заданной гладкостью (что, вообще говоря, характерно для задач оптимального управления), то это важно учитывать при построении и исследовании аппроксимаций, т.е. представляется естественным и актуальным строить и исследовать аппроксимации по состоянию и функционалу на решениях (состояниях) той естественной, незавышенной степени гладкости, которая гарантируется теоремами о разрешимости как задач для состояния, так и задач управления. Оптимизационные модели для УМФ, в которых входные данные прямых задач и управления не являются достаточно гладкими, требуют отдельного изучения. С точки зрения приложений это наиболее интересные оптимизационные модели для УМФ. Кроме того, актуальным является вопрос о построении таких аппроксимаций, результаты о сходимости которых не зависели бы от способа решения аппроксимирующих конечномерных сеточных задач оптимального управления.

Целью работы является: построение и исследование математических вопросов корректности моделей, а также построение и исследование конечномерных разностных аппроксимаций моделей оптимального управления системами нелинейного типа с распределенными параметрами (в которых отображение g —» из множества допустимых управлений U

в пространство состояний W является нелинейным, в частности в системах с управлениями в переменных коэффициентах уравнений состояний, учитывающих и анизотропность среды), описываемыми линейными и квазилинейными уравнениями эллиптического и параболического типов с обобщенными решениями; разработка эффективных алгоритмов численной реализации построенных конечномерных аппроксимаций, использование разработанных аппроксимаций и численных алгоритмов их реализации для решения конкретных прикладных задач оптимизации для систем нелинейного типа.

Общая методика исследований базируется на математической теории оптимального управления системами с распределенными параметрами, теории численных методов, теории дифференциальных уравнений в частных производных и функциональном анализе.

Научная новизна работы. Основные результаты диссертации (они указаны отдельно) являются новыми.

Практическая ценность. Предложенные в работе математические модели оптимального управления системами нелинейного типа и разработанные методы конечномерных разностных аппроксимаций математиче-

ских постановок задач учитывают ту особенность, что решения задач для состояний обладают, вообще говоря, малой гладкостью, что характерно для реальных физических процессов, как правило, протекающих в гетерогенных средах, когда разные области решения обладают разными физическими характеристиками (при недостаточно гладких входных данных, в том числе управлений - например, недостаточно гладких характеристиках сред, при наличии недостаточно гладких источников (стоков) и др.). Сужение же, например, множества допустимых управлений (как это иногда делается) может быть крайне нежелательным, т.к. это существенно изменяет постановку задачи, снижая практическую ценность математической постановки оптимизационной модели. Разработанный и обоснованный в работе метод конечномерных сеточных и дифференциально-разностных аппроксимаций систем управления нелинейного типа носит конструктивный характер, обладает универсальностью, гибкостью и модульностью - качествами, которые требуются от методов, реализуемых при проведении вычислительных экспериментов, соответствующих структуре и возможностям современных ЭВМ. Полученные результаты о сходимости аппроксимаций не зависят от выбора метода решения конечномерных аппроксимирующих задач, что обеспечивает автономность выбора методов численной реализации аппроксимаций на практике.

Построенные модели оптимального управления системами нелинейного типа и разработанные методы конечномерных аппроксимаций задач оптимального управления могут найти широкое применение при оптимизации и численном исследовании таких систем управления, где доминирующими являются процессы переноса тепла, диффузии, фильтрации, электричества и др., в которых необходимо учитывать неоднородность, анизотропность и активность сред, способных взаимодействовать с переносимыми субстанциями - веществом или энергией, как по линейному, так и по нелинейному закону.

Рассмотренные нелинейности задач для состояний в математических моделях оптимального управления могут быть обусловлены интересными для практики случаями: наличием стоков субстанции (например, диффузия вещества в активных средах с поглощением вещества по нелинейному закону, в которых диффундирующее вещество вступает в химические реакции со средой, сопровождающиеся нелинейным стоком субстанции), процессами климатизации через границу или диффузии сквозь ограничивающую область мембрану, биохимическими процессами, при анализе линий передач с утечкой в электротехнике и др. Учет анизотропии среды в математических моделях оптимизации систем оказывает существенное влияние на распределение субстанции в среде (тепловой энергии, концентрации, электричества и др.). Пренебрежение анизотропией среды в ряде случаев

просто недопустимо (например, для сред с волокнистым строением).

Большую прикладную важность имеют модели оптимального управления для систем нелинейного типа, в которых нелинейности обусловлены вхождением управлений в коэффициенты (в том числе в коэффициенты при старших производных в уравнениях состояний). Полученные в работе результаты могут найти широкое приложение к проблемам механики сплошных сред - в процессе проектирования и разработки новой техники, технологических процессов, включающих поиск оптимальных конструкций путем выбора функций управления, описывающих распределение упругих характеристик материала; при тепловом проектировании различных сложных технических систем, связанных с оптимальным тепловым нагружени-ем их конструкций из материалов с искусственно созданными неоднород-ностями (в том числе учитывающими и свойство анизотропии) для обеспечения нужного оптимального эффекта работы соответствующей сложной конструкции (например, поле температур должно быть в некотором смысле близким к заданному); при оптимальном управлении нелинейными стоками энергии (вещества) в активных средах с поглощением энергии (вещества) по нелинейному закону; при решении ряда некорректных, в том числе коэффициентных обратных задач теплопроводности, диффузии, фильтрации, геофизики, теории упругости, рассматриваемых в вариационной постановке (например, для теплофизических исследований неоднородных анизотропных материалов сложных технических систем, где помимо решения прямых задач большой интерес представляет решение обратных задач идентификации, связанных с определением (восстановлением) коэффици--ентов уравнений состояний систем по дополнительной информации (доступной измерению), о решении краевых и начально -краевых задач для дан-ныхУМФ.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Международной конференции «Оптимизация численных методов», посвященной 90-летию со дня рождения С.Л.Соболева (г.Уфа, 1998 г.), на Международной конференции «Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы» (г.Уфа, 2000 г.), на Международных конференциях «Дифференциальные уравнения и их приложения» (г. Саранск, 1998, 2000, 2002 гг.), на региональных школах-конференциях для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике (г.Уфа, 2000, 2001, 2003г.), на Международной научной школе «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» (г.Саранск, 2003г.), обсуждались на семинарах, которые проходили в рамках программы «Интеграция» (руководители Ф.В. Лубышев, М.Д. Рамазанов), на семинарах в Институте математики с ВЦ УНЦ РАН (руководители М.Д. Рамазанов, P.M. Асадуллин), в Башгосуниверситете (руководители Ф.В. Лубышев,

Я.Т. Султанаев).

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 11 печатный работ, в том числе 8 статей и 3 тезисов докладов на научных конференциях. Основные результаты содержатся в работах [1-11].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, списка литературы, содержащего 191 наименований, и приложения. Объем работы, исключая приложение, составляет 166 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введение кратко охарактеризована актуальность темы диссертации, приведен краткий обзор литературы по теме диссертации, сформулированы цель работы, общая методика исследований, научная новизна, практическая ценность, основные результаты, апробация работы и кратко изложено содержание диссертации.

Численное решение задач оптимального управления с использованием ЭВМ в широком смысле связано с решением следующих вопросов: 1) постановка задач оптимизации, обеспечивающая существование решения на множестве допустимых управлений, являющемся подмножеством некоторого бесконечномерного векторного пространства; 2) сведение бесконечномерных задач оптимального управления к последовательности конечномерных задач, обеспечивающее сходимость в некотором смысле решений конечномерных задач к решениям исходных задач оптимального управления; 3) численное решение конечномерных задач.

Управляемые детерминированные системы (физические, механические и т.д.) с распределенными параметрами можно описать с помощью отображения С:Н—>1¥ , где Н - некоторое пространство управлений (элемешы которого будем обозначатв буквой а Ж - пространство состояний управляемой системы. Для каждого управления g е Я элементами (состояниями, функциями состояний управляемых систем) в

конкретных системах являются решения уравнений математической физики, определяющие «модель» системы. Задачи оптимального управления можно сформулировать как задачи минимизации некоторого функционала качества F, зависящего от состояния системы и = Gg е1С и от управления

./(Я) = £)->»*, веи^Н, О)

где U — множество допустимый управлений из некоторого выбранного пространства управлений Н. Решением задачи (1) является минимальное значение функционала

и множество оптимальных элементов, на которых достигается, нижняя грань функционала

С/. = {г.е £/:./(*.) = л}

В работе рассматриваются системы управления с распределенными параметрами нелинейного типа, в которых отображение из мно-

жества допустимых управлений и в пространство состояний Ж является нелинейным (состояние системы является нелинейной функцией управления). Рассмотрены и исследованы математические модели оптимизации систем с распределенными параметрами нелинейного типа, состояния в которых описываются нелинейными УМФ, а также модели оптимизации нелинейного типа, в которых нелинейность систем управления вызвана тем, что управляющие функции входят в коэффициенты уравнений для состояния и коэффициенты граничных условий. Теоремы существования и единственности оптимальных управлений в таких задачах далеко не очевидны. Нелинейность, вызванная вхождением управлений в коэффициенты уравнений состояния и граничных условий еще более усугубляется, когда состояние систем управления описывается нелинейными уравнениями из-за достаточно сложного характера зависимости функции состояния от управлений. В задачах с управлениями в коэффициентах функционалы цели не являются выпуклыми даже в тех случаях, когда уравнения состояния линейные и функционалы цели являются линейными функциями от решений этих уравнений. Одной из характерных черт, проявляющихся в некоторых стандартных математических постановках задач оптимального управления с управлениями в старших коэффициентах является то, что указанное выше нелинейное отображение (соответствующее выбранному множеству и) не является слабо непрерывным даже в случае, когда управление § входит в коэффициент уравнения состояния линейно, что приводит к несуществованию оптимального управления, и следовательно, минимизирующие последовательности могут иметь характер скользящих режимов. А поскольку управления } входят в старшие коэффициенты уравнения, то при больших п становится невозможным численное решение уравнения системы с удовлетворительной точностью. Значительная трудность решения таких задач в силу их нелинейности и некорректности требует разработки специальных регуляризирующих методов и вычислительных алгоритмов. Один из возможных подходов к решению подобных задач с управлениями в коэффициентах состоит в постановке задачи с использованием более гладких управлений (т.е. регуляризации управлений при старших коэффициентах в уравнении состояния).

Проблема численного решения задач типа (1) приводит к необходи-

мости их конечномерной аппроксимации последовательностью аналогичных задач минимизации вида

Л(Фл) = ■-> inf, Ф неиьяН„, (2)

где Uh - приближенные множества из аппроксимирующего конечномерного пространства Hh ; Gh\H h-*Wh - приближенные отображения, Wh -конечномерное пространство, аппроксимирующее пространство состояний W на сетке . Положительный параметр А > 0 - шаг сетки соА (определяющий возмущения, связанные с аппроксимацией модели оптимизации, вызванные аппроксимацией уравнений состояния, функций, задающих множество допустимых управлений, функционала цели). Обозначим

Л.=тГЛ(ФД Ф*б£Л.

Проблема аппроксимации экстремальной задачи (1) заключается в исследовании предельного перехода при А->0 решений задач (2) к решениям задачи (1). Иначе говоря, при построении разностных аппроксимаций задач оптимального управления возникает следующий вопрос: будут ли сходиться решения вспомогательных экстремальных задач (2) при А -> 0 в некотором смысле, а именно:

1. Будет ли при каких-либо условиях аппроксимировать последовательность задач (2) задачу (1) по функционалу, т.е. имеет ли место lim Jh. = J.

при А 0. 2. Если имеет место указанная выше сходимость, то возникает вопрос о скорости сходимости аппроксимаций по функционалу относительно параметра А > 0, т.е. возникает задача получения оценок вида

| Jh. -J.\üC\h\", т> О, характеризующих быстроту сходимости последовательности нижних граней {Jy} к J, при А->0. 3. Одним из важнейших является вопрос о построении минимизирующих последовательностей для функционала J{g) на основе последовательности аппроксимаций (2). Поясним задачу. Точное решение задач (2) возможно лишь в исключительно редких случаях, поэтому на практике ограничиваются нахождением управления Ф^, дающего

приближенное решение задачи (2) в следующем смысле

-00 < Jh, < Jh{Jh, +eh, Ф^ е Uh, (3)

где последовательность {ел}, такова, что е > 0 и еА 0 при А -> 0 и характеризует точность решения задачи (2). Такое управление Ф^ существует по определению нижней грани. Для определения Ф^ из условий (3) могут быть использованы разностные аналоги градиентных методов реше-

ния задач (3) [Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. — М.: Наука, 1981. - 400с.]. Условие же (3) означает предположение, что при каждом h и заданной сетке ю,, с помощью какого-либо метода минимизации получены приближенное значение Jh. + eh нижней грани Jh. функционала (2) и дискретное (сеточное) управление Ф€ Uh, такие, что справедливо (3). Возникает вопрос: нельзя ли принять сеточное управление Ф^ из

(3) в качестве некоторого приближения к минимизирующей последовательности для функционала J(g), точнее, нельзя ли построить

последовательность {/^Ф^ }с£/ такую, чтобы

НтУ(/'ЛФАе1) = Л при Л-»0, (4)

где Ph:Hh -> Я «связывающий» оператор продолжения сеточных функций ФЛС(, не выводящий за U, т.е. такой, что PhФ^ е U для всех Фм> е Uf,. Попутно решается вопрос оценки

|Л(Ф^Ь-ф|Л+1Л. -л|<С|hГ +еА, т>0.

4. Если имеет место (4), то возникает задача построения оценок вида

+еЛ, т> 0.

5. Возникают вопросы о сходимости по аргументу (управлению), т.е. о сходимости последовательности {/^Ф^} ко множеству U. точек минимума функционала J(g) и регуляризации аппроксимаций, позволяющей строить на основе разностных аппроксимаций минимизирующие последовательности, сходящиеся в Я к множеству точек минимума U.. Как известно, большинство задач оптимального управления, некорректно поставлены по А.Н. Тихонову в метрике тех банаховых пространств Н, которые чаще всего используются в прикладных задачах, поэтому нет основания ожидать, что построенная последовательность } будет сходиться в

метрике Я ко множеству U, * 0 . 6. Исследование сходимости и точности

аппроксимаций по состоянию (при произвольных фиксированных управлениях) является одной из центральных задач при исследовании сходимости аппроксимаций по функционалу и управлению, так как на основе оценок точности аппроксимаций по состоянию строятся оценки точности аппроксимаций по функционалу, доказывается сходимость по управлению и проводится регуляризация аппроксимаций. В задачах оптимального управления особый интерес представляют вопросы исследования сходимости разностных схем на обобщенных решениях уравнений состояний систем

управления. В последнее время большое внимание в научной литературе уделяется вопросам исследования сходимости разностных схем на обобщенных решениях УМФ. Техническим аппаратом получения, так называемых, согласованных оценок скорости сходимости разностных схем является метод разрешающих операторов точных разностных схем, предложенный сравнительно недавно А.А. Самарским и В.Л. Макаровым, а также аппарат энергетических оценок с анализом погрешности аппроксимаций при помощи леммы Брембла-Гильберта [Самарский А.А., Лазаров Р.Д., Макаров В.Л. Разностные схемы для дифференциальных уравнений с обобщенными решениями. - М.: Высшая школа, 1987. -296с].

В главе 1 рассматриваются и исследуются, с учетом поставленных выше вопросов, математические модели нелинейных оптимальных систем, в которых состояния и(х, g) для каждого заданного управления g е £/ описываются квазилинейными эллиптическими уравнениями с обобщенными решениями, с управлениями в правых частях уравнения состояния и граничных условиях третьего рода. Управляемые процессы описываются в области О = = (х,,х2) е Л2:0 < ха < 1а, а = 1,2} с границей Г следующей краевой задачей для квазилинейного эллиптического уравнения дивергентного вида с переменными коэффициентами, учитывающими анизотропность среды

2 я f - >

a-t'

1 е \ ди

+ q(x,u) = /(ж), xeQ, (5а)

+ Х(х)и = ф), хеГ, (56)

8N

где - оператор производной по внешней конормали к границе Г об-5N

ласти О; q(x,u), xW, ка(х), а = ¡,2 - известные функции, ф(х) = ji0(x) известна на Г0, но ф(.х) = ц(х) неизвестна на Г,, где Г0, Г, - непустые открытые непересекающиеся подмножества границы Г области Q, Г = Г0иГ,; g(x) ~ (g, (л-), g2 (*)) = (/(*), К*)) - управление. Функция q(x, Е) определена на О, х R со значениями R и удовлетворяет условиям |g(x,0)| < Mq = const для почти всех х е Q,

<оо для всех eR, и всех

xeil\ х(х)ей^(Г), причем х(х)>х0 >0,хеГ; kjx) е Wj(Q), причем ка (х) & v > 0, х е П, а = 1,2 ; не ограничивая общности будем считать, что ц0(х) = 0, *еГ0.

Задача оптимального управления нелинейного типа состоит в следующем.

Задача I. Требуется минимизировать функционал

Д*) = а, ||«(х,- «о(х)|2¿П + а2 ||и(х,я) - ч/(х)|2 ¿Г.; (6) п г.

где м0(х)е\|/(х)бЖ2'(Г.) - заданные функции Г, сГ, а^=сои5/>0, к = 1,2, а,+а2>0 на решениях и(х,задачи (1), отвечающих всех допустимых управлениям

= сЯ = 12(П)х^2'(Г|), (7)

С/, = (х) е ¿2(П) < ^ (х) < п.в. на

или

^ =|я2(х)6^2'(Г1):^2 <г2(х)<42,|яга</я2(х)|<гп.в.наГ1|,

где , , а = 1,2, г, Л - заданные числа, п.в. - почти всюду. Для опре-

2

деленное™ будем рассматривать задачи при Г = (г_0 и Г+а),

Г^={ха=0,0<хр</|)}, Г« = {ха =/а,0<хр </р}, Р = 3-а, а = 1,2, Г„ = Г+|иГ2иГ+2, Г, =Г „ Г. =Г+1.

В главе 2 рассмотрены и исследованы математические модели нелинейных оптимальных систем, описываемых квазилинейными эллиптическими уравнениями с нелинейными граничными условиями и обобщенными решениями, с управлениями в коэффициентах уравнений состояния и в коэффициентах нелинейных граничных условий (в том числе с управлениями в старших коэффициентах уравнений состояния). Управляемые процессы описываются в области Г2 с границей Г следующей граничной задачи для квазилинейного эллиптического уравнения дивергентного вида с переменными коэффициентами, учитывающими анизотропность среды О :

дх„ I дх„

+ ^ (х) д{и) = /(х), хеО, (8а)

<^- + х(х)а(и)=0, хеГ, (86)

дм

где /(*), q(u), а(и) - известные функции, xW = Xo(-c) известна на Г0, но X(*) = XiM неизвестна на Г,, где Г0, Г, - непустые открытые (в Г) непересекающиеся подмножества границы Г области Q, Г = Г0иГ,, g(x) = (g,О),g2(*)>8iМ>g4(*)) = {K{x),k2ix),d(x),X^x)) - управление. Функции q(l), а(£) определены на R со значениями R и удовлетворяет условиям: (?(0) = 0, 0 <[<?(*, )]/(£, -t,2)<Lq<w для всех

\x*\2-t а(0) = 0, 0<а0<[а(^^)-а(х,42)]/(^-^)<4<оо для всех ^ , а0 = const >0; f(x)е I2(Q); не ограничивая

общности, будем считать, что ХоОО = 0 » * е Г0 = Г+1 и Г_2 и Г+2, Г, = Г_,, Г-а =к =0,0<*„</„}, Г+а =/а,0<хр </„}, Р = 3-а, а = 1,2,

а -1

Рассматривается следующая нелинейная задача оптимального управления

Задача II. Требуется минимизировать функционал (6) на решениях u(x,g) задачи (8), отвечающих всем допустимым управлениям

ч о

= сН=1Г2'(П)х1Г1(0)х12(П)хЖ'(Г,),

(9)

и„

ga(x)e^'(£2):0<va<ga(x)<val

dga

fit.

dga

fte.

< Ria), п.в.на Q>, a = 1,2;

£/, = |g3(x) e L2(Q) :0<d,<, g3(x) < d„ п.в. на я),

dg,

u< = g4W6^(r,):0<x.

dx.

< г, п.в. на Г, = Г_,

где уа, уа, /?,<а), /?20), й., <7,, х«, Х- > г - заданные числа, п.в. - почти

всюду. Не ограничивая общности, будем считать Г. = Г+1.

Оптимизационные задачи I и II представляют математические модели оптимального управления процессами для широких классов систем управления нелинейного типа, в которых отображение g -» и^) из мно7

жества допустимых управлений (/ в пространство состояний (О) явля-

ется нелинейным. Нелинейность систем управления в оптимизационных задачах I и II обусловлена либо нелинейностью состояний, либо вхождением управлений в коэффициенты уравнений состояний, причем нелинейность во втором случае еще более усугубляется, когда задача для состояния нелинейна. Нелинейные краевые задачи (5) и (8) в оптимизационных задачах I и II, описывающие широкие классы моделей для состояний, например, стационарные процессы теплопроводности, диффузии, фильтрации, теории упругости и т.д., учитывают достаточно общий характер изменения среды, занимающей область О - неоднородность и анизотропию по отношению к рассматриваемому процессу переноса субстанции (энергии, вещества и т.д.), а также активность среды , как с линейным так и с нелинейным взаимодействием. Иначе говоря предполагается, что перенос субстанции (тепла, вещества и т.д.) в области П зависит не только от положения точки .х е £2 , но и от направления. Этот факт отражен в зависимости коэффициента теплопроводности (диффузии) среды также от направления в котором происходит передача энергии (вещества) а именно, ка (х) — коэффициент теплопроводности (диффузии) вдоль оси (что характерно для многих сред, например,' для сред с волокнистым строением, в которых не учитывать этого явления просто недопустимо). Функция /{х) характеризует наличие в среде О внутренних источников энергии (вещества), за счет которых внутри среды может возникать или поглощаться тепло (вещество). При этом выделение или поглощение энергии (вещества) характеризовано здесь с помощью плотности распределения источников (стоков), описываемой функцией - это количество тепла (вещества), выделяемого или поглощаемого единицей объема в единицу времени). Выделение или поглощение тепла (тепловой энергии) может быть связано, например, с идущими в веществе химическими реакциями, или с протеканием электрического тока, или с испарением влаги и т.д. В общем случае, плотность источников (стоков) тепловой энергии (рассматриваемо-го вещества) может быть задана не только функцией точки , но может зависеть и от искомого решения (температуры, концентрации и т.д.), т.е. переносимой субстанции нелинейным образом (такие среды назовем активными). Таким образом, наличие в уравнениях (5), (8) нелинейных членов д(х,и) и (¡(х)д(и) означает, что процесс переноса субстанции рассматривается с учетом активности неоднородной анизотропной среды

Процессы переноса в активных средах, способных взаимодействовать с переносимыми субстанциями — энергией или веществом, представляет особый интерес для многих приложений. Значительный интерес представляют, например, процессы переноса тепла, вещества с поглощением. В этом случае взаимодействие со средой связано с уводом переносимой суб-

станции (энергии или вещества). Так в задачах теплопроводности, зависимость плотности источников тепла от температуры нелинейным образом может быть обусловлено, например, поглощением тепла за счет химических реакций. Многочисленные примеры постановок задач, укладывающиеся в рамки рассматриваемых моделей для состояния (5), (8) дают также те модели переноса вещества в неоднородных активных средах, в которых имеют место процессы диффузии через среды с поглощением диффундирующего вещества (так называемая диффузия с поглощением). Например, в процессе диффузии может происходить реакция распада частиц данного диффундирующего вещества (газа), точнее, частицы диффундирующего вещества, вступая в химическую реакцию с веществом среды, распадаются (например, неустойчивый газ), что соответствует появлению стоков данного вещества (газа), причем скорость поглощения (скорость реакции распада) диффундирующего вещества (газа) в каждой точке х области О (т.е. количество распавшихся молекул газа в единицу времени в единице объема) пропорциональна функции от концентрации этого диффундирующего вещества (газа):

<7(х,и) = с1(х)ц(и),

с коэффициентом пропорциональности , характеризующим сток

вещества (скорость реакции распада газа), называемым коэффициентом поглощения. Например, если скорость распада диффундирующего вещества (газа) в каждой точке области пропорциональна его концентрации (в этом случае функция линейно зависит от концентрации)

<?0, и) = ¿(х) н(х), <1(х) > О, то уравнение (5), в данном случае, описывает процесс переноса в активной среде с линейным взаимодействием, т.е. в среде, в которой диффундирующее вещество вступает в реакцию 1-го порядка; взаимодействие со средой связано с уводом переносимой субстанции (вещества). В общем случае и мы имеем дело с процессами переноса субстанции в неоднородных анизотропных активных средах, причем охватываются случаи линейного и нелинейного взаимодействия. Другими примерами моделей для нелинейного состояния, вписывающимися в рамки рассмотренных в (5), (8) являются, например, задачи климатизации (например, через границу) или диффузии жидкости сквозь ограничивающую область полупроницаемую мембрану [Гловински Р.Г., Лионе Ж.-Л., Тремольер Р. Численное решение вариационных неравенств. - М.: Наука, 1979. - 575с]. В [Дюво Г., Лионе Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. - М.: Наука, 1980. - 384с] имеются и другие физические интерпретации задач для состояний вида (5), (8).

Физическая интерпретация нелинейной оптимальной задачи I, на-

пример, в теплофизических терминах может быть сформулирована следующем образом. Имеется некоторое неоднородное анизотропное тело (среда) Q . На боковой поверхности тела Q происходит теплообмен с внешней средой по закону Ньютона. В среде Л имеются внутренние источники (или стоки) тепла с плотностью их распределения , кроме того, в среде имеются стоки тепла, плотность которых зависит от температуры. Предположим, что в теле Г2 и/или на его границе Г. С Г следует задать заданный тепловой режим. Требуется, управляя температурой внешней среды и/или плотностью распределения внутренних источ-

ников тепла f (х) распределение температуры в теле П и/или на куске его границе сделать как можно ближе к заданным (желаемым) распре-

делениям . Таким образом, управляющее воз-

действие является распределенным как по объему тела, так и по его границе Г. Критерий близости распределения температуры в теле Пи на его границе введен в виде функционала , который характеризует

среднеквадратичное уклонение температуры от заданной. Требуется определить закон изменения управления так, чтобы функционал

принимал наименьшее значение.

Физическая интерпретация нелинейной оптимальной задачи И, например, в теплофизических терминах, может быть, сформулирована следующем образом. Имеется некоторое неоднородное анизотропное тело (среда) . На боковой поверхности тела происходит нелинейный теплообмен с внешней средой: плотность теплового потока пропорциональна функции от температуры. В среде имеются внутренние источники (или стоки) тепла с плотностью их распределения , кроме того, в среде имеются стоки тепла, плотность которых пропорциональна функции от температуры. Требуется, управляя коэффициентом теплопроводности, характеризующим теплофизические свойства материала среды и/или коэффициентом d{x) , характеризующим скорость поглощения тепла в Q и/или коэффициентом теплообмена с внешней средой, характеризующим интенсивность теплообмена, распределение температуры в теле и/или на куске границы сделать как можно ближе к заданным (желаемым)

распределениям и„ (х) , xeQ и/или ф(;с), х е Г,. Это так называемая задача конструирования неоднородного, анизотропного тела (неоднородной, анизотропной среды, занимающей область Q) с заданными теплофизическими характеристиками (например, с заданным коэффициентом теплопроводности).

В настоящее время большое внимание уделяется обратным задачам

математической физики в силу их возрастающего значения для решения прикладных задач. Значительное количество обратных задач возникает при исследовании процессов, описываемых уравнениями эллиптического и параболического типов: теплопроводности, диффузии, фильтрации и т.д. Численные методы решения обратных задач для УМФ должны базироваться на хорошо разработанной теории приближенных методов решения прямых задач, в частности разностных методов. Одним из основных подходов решения обратных задач для УМФ является использование вариационной формулировки этих задач, т.е. переход к задачам оптимального управления для соответствующих УМФ с последующей конечномерной аппроксимацией этих задач оптимального управления.

Поставленную задачу I оптимального управления можно интерпретировать также как вариационную постановку некоторых обратных задач для квазилинейных УМФ эллиптического типа. Пусть, например, граничное условие (56) неизвестно (функция ф(;с) неизвестна), а вместо него задана дополнительная информация о решении и(х) краевой задачи (56) на границе Г.

и{х) = у(лг), хеГ„ (10)

где - известная функция. Это позволяет рассматривать обратную за-

дачу для уравнения, как задачу определения функции и гранич-

ного условия (56) (т.е. функцию ф(дг) , хе Г), удовлетворяющих (5а), (10).

Задачу II оптимального управления можно интерпретировать также как вариационные постановки ряда коэффициентных обратных задач для квазилинейных УМФ эллиптического типа. Постановки задач такого типа характерны, например, для теплофизических, диффузионных, фильтрационных исследований анизотропных материалов, где помимо прямых задач большой интерес представляет изучение обратных задач идентификации, связанных с определением неизвестных коэффициентов уравнения по дополнительной информации о решении краевых задач.

В главе 3 рассматриваются и исследуются математические модели оптимальных процессов в системах нелинейного типа, описываемые квазилинейными уравнениями параболического типа с обобщенными решениями, с управлениями в коэффициентах уравнения состояния (в том числе с управлениями в коэффициентах при старших производных). Управляемые нестационарные процессы описываются в области

следующей начально-краевой задачей для квазилинейного параболического уравнения с переменными коэффициентами

ди

Ви

— -— к(х)

дх дх>

+ с1(х)д{и) = /(х,1), (х,1)едт,

(11а)

«(0,0 = "(/,0 = 0, 1еф,Т), (116)

и(х,0) = ф(х), хе(0,1), (Пв)

где Дх,0, ф(*)> ~ заданные функции, я(х) = (^(х),я2(х)) =

-управление, причем /(х,/)е1г(£?г), ф(х)е 1У2'(О,I), а #(!;) определена на Я со значениями в Я и удовлетворяет условиям: д(0) = 0, О <[<?(£, «» Для всех 5, Ф%г.

Рассматриваются следующие нелинейные задачи оптимального управления.

Задача ША. Требуется минимизировать функционал

4 I

(12)

где м(х, г) = н(х,г;£) - решение начально-краевой задачи (11), отвечающее управлению §(х) = (к(х), с1(х)), на которое наложены ограничения

= ^ = = (к(х),<1{х))е Н = (0,/)х12(0,/):

дк(х)

О < V < ¿(х) < ц,

ас

< Л, 0 < V, < с1(х) < ц, п.в. на (0,/) к

(13)

Здесь мДх.ОеИ^' {(2Г) - заданная функция, V,ц,Я, ц,>0, V, >0 - заданные константы.

В этой же главе рассматриваются задачи оптимального управления и с другими критериями качества (функционалами цели).

Задача ШВ. Требуется минимизировать функционал

I

= (Ьс,

(14)

где = - решение начально-краевой задачи (11),

g(x) = {k(x),d(x)) - управление, на которое наложены ограничения (13), а

и0 (х) е ^ (0, /) - заданная функция.

Задача ШС. Требуется минимизировать функционал

Г т

dt, (15)

о />=1

при ограничениях (11), (13). Здесь Bp(t)eL2(0,T), р = \,т - заданные функции, 0 <хр<1, р = \,т - заданные точки. Для определенности можно принять, что точки хр, р = \,т в определении функционала (15) находятся в первых от узлах основной сетки узлов ю = шА, в которых будет разыскиваться приближенное решение y(x,t), дгесоА, t € (О, Т) исходной задачи для состояния (6), т.е. считаем, что xpe.a>h, p = \,m, 0<m<N, хр=х,

при p=i, p = %fn.

Оптимизационные задачи I1IA, HIB, IIIC моделируют нелинейные управляемые процессы, например, нестационарной теплопроводности, диффузии, фильтрации, учитывающие неоднородность среды, а также активность неоднородной среды с нелинейным взаимодействием.

Нелинейность систем управления в задачах IIIA, HIB, IIIC обусловлена вхождением управлений в коэффициенты уравнений состояния, причем эта нелинейность еще более усугубляется нелинейностью задачи для состояния.

Экстремальные задачи IIIA; IIIB, IIIC можно трактовать и как вариационные постановки коэффициентных обратных задач для квазилинейных УМФ параболического типа.

Во всех поставленных выше экстремальных задачах I, II, III под решением задач для состояния при фиксированных управлениях gel/ понимаются обобщенные решения из Соболевских классов, а именно из WI -для состояний задач I, II и fV2''c - для состояния задачи III, удовлетворяющие соответствующим интегральным тождествам. В главе I рассмотрен вопрос о корректности постановки задачи для состояния, а также вопрос о дополнительной гладкости обобщенного решения этой задачи при фиксированном управлении g е U, причем установлены априорные оценки для

функции состояния в Соболевских классах Wl (Q) и (теоремы 1.1,

1.2). Вопрос о разрешимости оптимизационной задачи I решается в следующей теореме.

Теорема 1.3. Существует по крайне мере одно оптимальное управление g, eU, экстремальной задачи I, т.е. J. = inf{j(g):g eU\>-<x>, U, ={g.eU: J(g,) = J.} * 0, причем U, - слабо компактно в H и любая

минимизирующая последовательность функционала сла-

бо в Н сходится к множеству I/,

Одних только условий теоремы 1.3 для единственности оптимального управления может быть и недостаточно. Даже если вместо функционала (6) рассмотреть «регуляризированный функционал»

на выпуклом замкнутом множестве ,

то и в этом случае вопрос о единственности оптимального управления остается открытым при условиях теоремы 1.3, так как в нелинейных системах «регуляризированный функционал» , вообще говоря, не будет сильно выпуклым. Если же функционал ./(£) является выпуклым на выпуклом замкнутом множестве и, например, это произойдет, если д(х,и) имеет линейный вид

с/О, и) = с/(х) и + ¿/0 (х), С](х) е (О), с/0(х)е£2 (О), д(х)>0, хеП,

то при выполнении условий теоремы 1.3, задача оптимального управления с регуляризированньм функционалом будет иметь единственное

решение е и.

Для задачи II в главе 2 установлены теоремы 2.1, 2.2, 2.3, аналогичные теоремам 1.1, 1.2, 1.3. В третьей главе рассмотрен вопрос о однозначной разрешимости задачи для состояния в классе ^¿'((^г) с установлением оценки для состояния в норме ^о. Вопрос о разрешимости оптимизационной задачи ША решается в теореме З.1, а оптимизационных задач ШВ и ШС в теореме 3.6.

В связи с численным решением задач I, II, III оптимального управления в главах 1, 2, 3 изучаются проблемы построения и исследования аппроксимаций бесконечномерных экстремальных задач I, II, III последовательностями конечномерных разностных и дифференциально-разностных задач оптимального управления. В главе 1 задаче I оптимального управления ставятся в соответствие следующие разностные аппроксимации Задача 1А . Минимизировать сеточный функционал

при условиях, что сеточная функция называема решени-

ем разностной схемы для задачи (1) для состояния, удовлетворяет для любой сеточной функции соответствующему сумматорному тождеству:

УуеКЦШ), (17)

а сеточные управления ФА(х) таковы, что

Ф*(*ИФ.*(*).Фи(*))еП£/«» (18)

а-1

2

Здесь для определенности рассмотрен случай, когда Г = (_] (г_а и Г+а),

а=1

Г„=к=0, 0<х„</р , Г^ = {хх=/а, 0<*р </„}, р = 3-а, а = 1,2, Г0 = Г+1 и Г_2 и Г+2, Г, = Г.,, Г, = Г+1, а ю = ш, х ш2, у±, - сетки в П ина

границе Г±, А = (/?,, й2) - параметр, характеризующий густоту сетки в П

• •

(Ла - шаг сетки в направлении оси хЕ), через ¿2(ш), ^2(со), обозначены

пространства сеточных функций, заданных на соответствующих сетках *

<в с £2 с нормами || • , [| • являющиеся разностными аналогами

соответствующих норм в пространствах функций непрерывного аргумента; и^ - сеточные аппроксимации множеств допустимых управлений 1/а,

а = 1,2; через и* - обозначены сеточные аппроксимации функций непрерывного аргумента, определяемые через соответствующие усредняющие операторы по Стеклову.

Обозначим У, = М" ./(#), ^ =ШДФ11), ФДб(/А. При

|й|-»0 будем рассматривать последовательность сеточных задач /А минимизации.

Однозначная разрешимость разностной схемы (17) при фиксированном сеточном управлении Фл е иь, устанавливается в теореме 1.4. Разрешимость сеточной задачи 1А оптимального управления установлена в теореме 1.5. В главе изучены вопросы сходимости предложенных сеточных аппроксимаций 1А по состоянию (теоремы 1.6, 1.7), функционалу (теоремы 1.8, 1.9), управлению (теорема 1.10) и проведена регуляризация (теорема 1.11))

Полученные результаты используют лишь те незавышенные минимальные ограничения на гладкость входной информации и допустимых управлений в постановках задач управления, которые обеспечивают обобщенную разрешимость задачи для состояния в классе IV* (О) и разрешимость задач управления.

Полученные результаты не зависят от конкретного метода решения разностных задач оптимального управления.

В главе II изучаются разностные аппроксимации и проводится регуляризация аппроксимаций задачи И оптимального управления. Задаче II ставятся в соответствие следующие разностные аппроксимации. Задача НА. Минимизировать сеточный функционал

= (19)

при условиях, что сеточная функция Xх)= У(х> Ф/,)6 (®) > называемая решением разностной схемы для задачи (8) удовлетворяет для любой сеточной функции у(х) е (ш) сумматорному тождеству

а,(Ф„;>^) = £ Лвй+ 2>ЗЛ(Х)д(у(х)) у(х)Ь2 +

а-1 <о1™> ' а

(20)

а сеточные управления ФА(х) таковы, что

(21)

ин = IV' (со(„,) XIV' (ш(2<)) X ¿2 (Ш) X (у_,), Здесь ш, (о(+а), ш(а<), а = 1,2 - сетки в О, у - множество граничных узлов сетки ш, Ф{°5',(х) = Ф1А(х1-0.5А„х2), Ф£5">(*) = Ф2Л(х„хг-0.5А2) , и^ — сеточные аппроксимации множеств допустимых управлений 1/а,

а = Т~4-

Показано, что задача определения решения из сумматорного тождества (20) эквивалентна решению операторного уравнения Ану = , где Ан

- разностный оператор, действующий из (со) в Щ1 (со), € (Ш). Сеточный оператор Аь сохраняет основные свойства оператора краевой задачи для состояния системы управления - сильную монотонность и Липшиц-непрерывность. Доказывается теорема о однозначной разрешимости задач (20) (теорема 2.4).

Априорная оценка погрешности метода по состоянию в норме (со) устанавливается в теоремах 2.5,2.6.

В этой же главе даются оценки погрешности сеточного функционала задачи ПЛ, оценки скорости сходимости аппроксимаций ПЛ по функционалу, доказана слабая сходимость аппроксимирующих задач ПА по управлению (теоремы 2.7-2.9).

На основе полученных результатов доказана теорема 2.10 о регуляризации аппроксимаций, позволяющая строить минимизирующие последовательности, сходящиеся по норме Я к множеству £1 -нормальных решений задачи II оптимального управления.

В главе 3 построены дифференциально-разностные аппроксимации задач ША, ШВ, ШС оптимального управления, изучены вопросы сходимости аппроксимаций по состоянию, функционалу и управлению, установлены оценки точности аппроксимаций по состоянию и функционалу и проведена регуляризация аппроксимаций.

Приведем некоторые результаты для дифференциально-разностных аппроксимаций задачи ША. Задаче ША ставятся в соответствие следующие дифференциально-разностные аппроксимации.

Задача IIIА Л. Минимизировать сеточный функционал г

Л(Ф*)= (22)

о гв»

где у(х, /) = у(х,/,ФА) - решение задачи Коши ш

КО, 0 = 0, у{1,0 = 0, I е (0, Т), (23)

.у(х,0) = <р*(*), хесо,

а ФА(х) = (Ф1А(х),Ф2/,(х)) - сеточное управление, на которое наложены ограничения

Ф„(х)е и„ = {фА(х) = (Ф1Л(х),Ф и(.х))еНк = Ж»£2(<»): ^

Здесь фА(х), ио(х,1), /Л(х,{) - сеточные аппроксимации функций ф(^), мо(£>0» /*(4>0 > определяемые через усреднения по Стеклову:

фЧх) = .Гф(х) = -1.,|ср(^, м0А(х,0 = 5Ч(х,0 = |

/А(х,0 = £У(*,0 = ^ [/&')<%, хе а, /е (0,7),

Ф)

е(х) = {£: х-0.5И<^<х + 0.5И}, хеш, /е(0 ,Т), ш - сетка на [О,/],

<2,ь = {(х,т): хеш, 0<т<*} = юх(0,О, I е (О, Т], Ь2 (со), ^(о*) -линейные пространства сеточных функций с нормами

1С.,^ыь+ХЛФ,

Рассмотрен вопрос о однозначной разрешимости задачи (23) для сеточного состояния для каждого ФА е£/А с установлением априорной

оценки для состояния в норме У2,0(бл).

Априорная оценка погрешности метода по состоянию и оценка погрешности сеточного функционала устанавливается в следующих теоремах. Теоремы 3.2-3.3. Пусть g = (Jk(E,),d(E,))eU, ф/1=(фи,(х),

Ф1Н(х))е С/ь - произвольные управления, _у(х,Г,ФА) - соответ-

ствующие им решения задач ШАН и ШАИ. Тогда справедливы оценки

(а.)

<с

|«х-0.5*)-ФиС*)|^ И +

+||г^)-Ф2А(х)||

Ул(М,Ф,*,Ф2») + АЫН

5и01

где

£1<Сг).

ВС.)= Ни.-> =

I

о

хеа*

й(х,1) - усреднение точного решения и(£,/) по формуле

5"м(х,/), х € со, г е (О, Т), й(х,0= 0, х = 0,х = 1,

5г«(х, 0), хеш, 1 = 0.

Для исследования сходимости дифференциально-разностных аппроксимаций задачи ША по функционалу и управлению рассмотрим при

•Ж

А —> О последовательность задач ШАЙ минимизации. Предположим, что при каждом А и соответствующей сетке шА, получено сеточное управление Ф^ =(фш.'Фг/»,,)6 приближенно решающее задачу минимизации функционала Л(фл) в следующем смысле

Введем в рассмотрение отображение Rh : H -» Hh : = (Ф,А(х),Ф2А (х)), g = (*(&</(«) е H, где Ф|А(х) = ¿(х), х 6 ю+, а Ф2А(х) = S'd{x), х е ш , а также отображение Nh:H„-^H: Л^ФА = (&Ф„(5),ЛФ»(£)). фа и Лф2/Д) - кусочно-линейное и

кусочно-постоя-нное восполнения сеточных управлений Ф|Л(х) и Ф2А(х) :

где е_(х), хео>+ и е,(х), хеса - элементарные ячейки отрезка [О,/]:

е.(х) = {£:х-А<42х}, хеш', е.(х) = {£:х-0.5/г£^<х + 0.5Л}=е(х),

х = 2А,ЗА,...,/-2й, е.(А)=фо<£<1.5А}, е.(/-А) = {^:/-1.5А<4</}, Х*,(х)(5) - характеристическая функция ячейки е. (х), хеш.

Теорема 3.4. Последовательность экстремальных задач IlIAh при А-»О аппроксимирует задачу IIIA оптимального управления по функционалу, то есть lim Jh, = J, при А 0, причем справедлива оценка

\jh, -J,\<Ch. Последовательность {NhФ^}, где Ф^ определяется из

условий (25) является минимизирующей для задачи IIIA, слабо в Н сходится к , причем справедлива оценка скорости сходимости

Задача оптимального управления ШАЛ , вообще говоря, не является

корректно поставленной задачей минимизации по А.Н.Тихонову. Поэтому не любая минимизирующая последовательность в том числе и построенная выше, будет сходиться в норме пространства Н. Для разработки устойчивых алгоритмов построения минимизирующих последовательностей применяется метод регуляризации АН.Тихонова, позволяющий строить для

Л. = inf Л(Ф*)-Л(ФАе»)^Л« +еА> Ф*. 6 иk , eh & 0 и еа -> 0 при h 0.

(25)

|Ф1А(х) + й -х)Ф1Аг(х), % е (х), х е (ù* \ {А},

J{Nh<b^)-J.<Ch + z

исходной задачи ША оптимального управления, на основе предложенных дифференциально-разностных аппроксимаций ШАа , минимизирующие последовательности, сходящиеся в норме пространства управлений Н .

Вопрос о регуляризации аппроксимаций решается в следующей теореме.

Теорема 3.5. Пусть последовательность {<£/,}= {(ф^^М, ф2Ла„у.М)} <^ин определена из условий Th.=MTh^Фh)<Jh{Фll)< <ТН. + уа где уа >0, уа -> 0 при а ГА(ФА) - сеточный функцио-

нал А.Н.Тихонова: ГА(ФА) = Л(ФА) + аА||ФА|^, ФАе^А, аА >0 и аА-»0 при //—»0. Пусть выполнены условия аА->0, (Л + уА)/аА—>0 и/ш /¡—>0. Тогда последовательность управлений {Л'АФА} является минимизирующей для задача ША и сильно в Н сходится к множеству нормальных решений и,. = е II. = М задачи ША оптимального управления.

Для задач ШВ и ШС и их аппроксимаций ШВА и 1НСА справедливы результаты о корректности постановок и о сходимости дифференциально-разностных аппроксимаций по состоянию, функционалу и управлению, аналогичные тем которые были установлены при исследовании аппроксимаций 1НАа задачи ША оптимального управления.

В главе 4 предложены алгоритмы численного решения сеточнвк задач оптимального управления, аппроксимирующие исходные задачи оптимального управления. Сеточные экстремальные задачи при каждом фиксированном шаге сетки к рассматриваются как задачи нелинейного программирования. Построение численнвгх алгоритмов подробно приведено для аппроксимирующих задач главы 3. Построенные алгоритмы численной минимизации сеточных функционалов основано на сочетании метода штрафных функционалов, учитывающих часть ограничений типа неравенств и методов проекции градиентов, проекции сопряженных градиентов, условного градиента. При выделении множества 110А, на котором в результате применения метода штрафных функционалов минимизируется вспомогательный функционал, мы руководствовались тем, чтобы множество £/0Л имело простую структуру, чтобы легко, без трудоемкой вычислительной работы можно было проверить включение ФА е С/0А, чтобы легко было проектировать точку на ¿/0А. В качестве такого множества <У0А вы-

бран в главе 3 параллелепипед в (2Ы -1) -мерном евклидовом пространстве Н„=Ез*"1 векторов ФА =(Ф1А,Ф2А)= (ф.^х,),...^^^)^^,),... Ф2А(хЛ,_,)). Итерационные процессы градиентных методов минимизации строятся в конечномерных аналогах пространств ¿2(0,/)х£2(0,/). Вычисление градиентов сеточных функционалов эффективным образом базируется на решении соответствующих вспомогательных линейных сопряженных задач. Исследован также вопрос об определении градиента сеточного функционала, отвечающего выбору некоторых других скалярных произведений в при условии, что мы имеем в распоряжении алгоритм, позволяющий эффективно находить градиент функционала в смысле некоторого заданного скалярного произведения в Ни . Заметим, что правильный выбор метрики пространства - это существенный способ увеличения точности решения экстремальных задач градиентным методом.

В приложении приведены примеры, вычислительные схемы и анализ результатов расчетов конкретных задач исследования и оптимизации процессов теплопроводности и диффузии вещества в нелинейных системах управления, иллюстрирующие применение разработанных в работе математических методов оптимизации в системах нелинейного типа. Результаты вычислительных экспериментов подтверждают, что разработанные алгоритмы, созданное программное обеспечение обладают универсальностью, гибкостью и модульностью - качествами, которые требуются от методов, реализуемых при проведении вычислительных экспериментов, соответствующих структуре и возможностям современных ЭВМ, позволяют с заданной точностью, за приемлемое время численно решать широкие классы задач оптимального управления для систем управления нелинейного типа, просты в реализации.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Предложены математические модели оптимального управления системами нелинейного типа с распределенными параметрами, описываемыми линейными и квазилинейными уравнениями эллиптического и параболического типов с обобщенными решениями, с переменными коэффициентами, учитывающими анизотропность сред, с линейными и нелинейными граничными условиями, с управлениями в свободных членах уравнений и граничных условий, а также в коэффициентах уравнений и коэффициентах нелинейных граничных условий (в том числе, когда управления содержатся и в старших коэффициентах уравнений, учитывающих свойство анизотропности среды); исследованы математические вопросы корректности построенных моделей оптимизации; построенные модели могут рассматри-

ваться также и как вариационные постановки ряда обратных задач для УМФ.

2. Разработаны конечномерные разностные и дифференциально-разностные аппроксимации построенных моделей оптимизации с обобщенными решениями для уравнений состояний; установлены оценки точности аппроксимаций по состоянию и функционалу и сходимость аппроксимаций по управлению; оценки точности и сходимость по управлению получены без дополнительных априорных предположений о гладкости обобщенных решений для состояний процессов управления (при той естественной, неза-вышенной степени гладкости состояния, которая гарантируется теоремами о обобщенной разрешимости как задач для состояния, так и задач управления).

3. Проведена регуляризация предложенных аппроксимаций, позволяющая, на основе полученных результатов стоить минимизирующие последовательности для функционалов цели задач оптимального управления сильно сходящиеся в пространствах управлений исходных постановок к множествам точек минимумов функционалов; все полученные результаты о сходимости конечномерных аппроксимаций не зависят от способа решения конечномерных сеточных задач оптимального управления.

4. Разработаны эффективные алгоритмы численного решения построенных конечномерных аппроксимаций, основанные на сочетании метода штрафных функционалов и методов проекции градиента, проекции сопряженных градиентов, условного градиента в конечномерных аналогах пространств ¿2 и .

5. Проведены численные расчеты ряда конкретных задач на основе предложенных моделей оптимизации систем нелинейного типа, разработанных методов аппроксимации и алгоритмов их реализации.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ:

1. Лубышев Ф.В., Файрузов М.Э. Аппроксимация и регуляризация задач л оптимального управления процессами, описываемыми нелинейными граничными задачами для эллиптических уравнений //Труды Ш-ей Международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения», Саранск. 1998. С.47-48.

2. Лубышев Ф.В., Файрузов М.Э. О разностных аппроксимациях задач оптимального управления системами, описываемыми некоторыми квазилинейными граничными задачами для уравнений эллиптического и параболического типов: Тез. докл. Международной конференции «Оптимизация численных методов», посвященной 90-летию со дня рождения

СЛ.Соболева. -Уфа: ИМ с ВЦ УНЦ РАН, 1998. - С.52-55.

3. Лубышев Ф.В., Файрузов М.Э. О сходимости разностных аппроксимаций и регуляризации задач оптимального управления для квазилинейных граничных задач //Вестник БашГУ. - Уфа. 1999. №1. - С.8-12.

,4. Лубышев Ф.В., Файрузов М.Э. Разностные аппроксимации и регуляризация задач оптимального управления для некоторых квазилинейных граничных задач //Труды Международной конференции «Оптимизация численных методов», посвященной 90-летию со дня рождения СЛ.Соболева. Часть 1. - Уфа: ИМ с ВЦ УНЦ РАН. 2000. - С. 103-119.

5. Лубышев Ф.В., Файрузов М.Э. Аппроксимация и регуляризация задач оптимального управления для квазилинейных эллиптических уравнений с нелинейными граничными условиями третьего рода //Математическое моделирование. РАН. - 2000. Т. 12. №3. - С.33-34.

6. Файрузов М.Э. О методе прямых аппроксимации задач оптимального управления системами, описываемой первой начально-краевой задачей для уравнения параболического типа: Тез. докл. Республиканской научной конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по физике и математике. - Уфа. 2000. - С.202-203.

7. Файрузов М.Э. О аппроксимации и регуляризации задач оптимального управления процессами, описываемыми квазилинейными уравнениями эллиптического типа //Сборник трудов региональной школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике. Т.1. Математика. Уфа. 2001. С.226-234.

8. Лубышев Ф.В., Файрузов М.Э. Аппроксимация и регуляризации задач оптимального управления для квазилинейных эллиптических уравнений //Журнал вычисл. матем. и матем. физики. 2001. Т.41. №8. С.1148-1164.

9. Лубышев Ф.В., Файрузов М.Э. Дифференциально-разностная аппроксимация и регуляризация задач оптимального управления коэффициентами квазилинейных параболических уравнений //Труды Средневолжского математического общества. Т.3-4. №1.2002. С. 125-132.

10. Файрузов М.Э. О одном численном методе определения коэффициентов квазилинейного уравнения параболического типа: Тез. докл. Республиканской научной конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по физике и математике. - Уфа. 2003. - С.27-28.

11. Файрузов М.Э. О задаче определения коэффициентов в квазилинейном параболическом уравнении //Сборник трудов региональной школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике. Т.1. Математика. Уфа. 2003. С. 141-151.

Файрузов Махмут Эрнстович

МОДЕЛИ ОПТИМИЗАЦИИ И ИХ АППРОКСИМАЦИЯ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ И ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО ТИПА

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Лицензия на издательскую деятельность ЛР№ 021319 от 05.01.99 г.

Подписано в печать 21.09.2004 г. Бумага офсетная. Формат 60x84/16. Гарнитура Times. Отпечатано на ризографе. Усл. печ. л. 1,72. Уч.-изд. л. 2,15. Тираж 100 экз. Заказ 603.

Редакционно-издательский отдел Башкирского государственногоуниверситета 450074, РБ, г.Уфа,ул.Фрунзе, 32.

Отпечатано намножительномучастке Башкирского государственногоуниверситета 450074, РБ, г.Уфа,ул.Фрунзе, 32.

»17967

РНБ Русский фонд

2005-4 12982

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I

Модели оптимизации и их конечномерные сеточные аналоги для систем нелинейного типа, описываемых квазилинейными эллиптическими уравнениями с управлениями в правых частях уравнения состояния и граничных условиях третьего рода.

1. Постановка задач и их корректность.

2. Конечномерные разностные аналоги моделей оптимизации. Корректность аппроксимаций.

3. Априорная оценка погрешности метода по состоянию в норме сеточного пространства

4. Оценки погрешности сеточного функционала, скорости сходимости аппроксимаций по функционалу, сходимость по управлению. Регуляризация аппроксимаций.

ГЛАВА II

Модели оптимизации и их конечномерные сеточные аналоги для систем нелинейного типа, описываемых квазилинейными эллиптическими уравнениями с нелинейными граничными условиями третьего рода с управлениями в коэффициентах уравнения состояния и граничных условиях.

1. Постановка задач и их корректность.

2. Конечномерные разностные аналоги моделей оптимизации. Корректность аппроксимаций.

3. Априорная оценка погрешности метода по состоянию в норме сеточного пространства й^(со)

4. Оценки погрешности сеточного функционала, скорости сходимости аппроксимаций по функционалу, сходимость по 87 управлению. Регуляризация аппроксимаций.

ГЛАВА III

Модели оптимизации и их конечномерные дифференциально-разностные аналоги для систем нелинейного типа, описываемых квазилинейными параболическими уравнениями с управлениями в коэффициентах уравнения состояния.

1. Постановка задач и их корректность.

2. Конечномерные дифференциально-разностные аналоги моделей оптимизации. Оценка погрешности по состоянию

3. Оценка погрешности аппроксимаций функционала.

4. Сходимость аппроксимаций по функционалу. Регуляризация аппроксимаций.

5. Модели оптимизации для квазилинейных параболических уравнений с другими критериями качества и их дифференциально-разностная аппроксимация и регуляризация.

ГЛАВА IV

Алгоритмы численного решения сеточных аппроксимаций задач оптимального управления.

Актуальность темы исследования. В настоящее время математическое моделирование становится неотъемлемой частью сколь-нибудь крупных научно-технических проектов и разработок. Широкое и повсеместное внедрение методов математического моделирования, вычислительного эксперимента в большой степени определяет научно-технический прогресс сегодня. Вычислительный эксперимент предназначен для исследования, прогнозирования и оптимизации сложных многопараметрических процессов. Он частично или полностью заменяет натурное экспериментирование, которое в ряде случаев затруднено или даже невозможно, позволяет в несколько раз уменьшить сроки и стоимость разработок. Сущность вычислительного эксперимента кратно выражает триада «модель-алгоритм-программа» [157]. Математическая модель выделяет наиболее существенные связи исследуемого объекта, дает возможность получить точные количественные характеристики. Универсальность математических моделей позволяет легко переходить к исследованию новых явлений и процессов. Для изучения математических моделей используются численные методы - мощный аппарат вычислительной математики. Современные вычислительные алгоритмы позволяют на базе ЭВМ получить приближенное решение очень сложных задач с требуемой точностью за приемлемое время. Анализ расчетов, уточнение модели по результатам ее калибровки с данными натурных экспериментов являются необходимыми составными частями вычислительного эксперимента. Результатом вычислительного эксперимента выступают точные, детальные практические рекомендации.

В последние десятилетия весьма актуальными стали вопросы наилучшего (в том или ином смысле) управления различными процессами физики, техники, экономики и др. на базе математического моделирования процессов.

Неформальная постановка задач оптимального управления такова. Имеется некоторая система (объект управления, управляемая система), поведение которой характеризуется двумя видами параметров - состояния и управления.

Требуется выбрать параметры управления таким образом, чтобы поведение системы было в некотором смысле наилучшим. Формальные математические постановки задач оптимального управления чаще всего формируются с использованием интегро-дифференциального исчисления, записываются с помощью дифференциальных, интегральных или интегро-дифференциальных уравнений и являются существенным обобщением задач вариационного исчисления.

Из обширной литературы, посвященной различным аспектам современной теории оптимального управления, ее приложений, постановкам различных прикладных задач оптимального управления, связанных с оптимизацией самых разнообразных процессов в различных отраслях науки и техники, упомянем [2, 5-11, 15, 17-19, 21, 23, 26, 32, 34, 36-38, 40-42, 46, 48, 68, 71, 72, 76, 79, 80, 84, 86, 87, 89, 90, 121, 124-127, 129, 130, 133, 135-137, 139, 142, 170, 171, 176-181, 183, 184].

Математические модели оптимизации процессов в подавляющем большинстве не поддаются аналитическому исследованию и требуют применения численных методов и современных ЭВМ (аналитическое решение задач оптимального управления даже на основе известных методов исследования задач оптимального управления, вошедших в золотой фонд теории оптимального управления, возможно лишь в крайне простых случаях, которые слишком далеки от запросов современной практики).

В настоящее время задачи оптимизации для систем обыкновенных дифференциальных уравнений сравнительно хорошо изучены, а методы их решения достаточно хорошо известны. Что касается задач оптимального управления системами с распределенными параметрами, то опыт численного решения таких задач еще невелик. Математические модели оптимизации для систем с распределенными параметрами (описываемых уравнениями математической физики (УМФ)) - это наиболее сложный класс задач в оптимизации, особенно для систем управления нелинейного типа, что является главной причиной, почему в настоящее время все большее внимание уделяется в научной литературе развитию численных методов оптимального управления и использованию вычислительной техники.

Под «системами управления нелинейного типа» мы понимаем такие, в которых отображение g—>u(g) из множества допустимых управлений U в пространство состояний W является нелинейным. Характер конкретных постановок задач оптимального управления для распределенных систем существенно зависит от того, куда входят управления: в свободные члены уравнений состояния или в коэффициенты уравнений, а также линейными или нелинейными УМФ описываются состояния систем управления. В настоящее время наиболее полно исследован случай линейных моделей оптимального управления, когда функция состояния линейно зависит от управления, т.е. когда управления достаточно простым образом входят в линейные уравнения состояния и линейные предельные условия (в правые части линейных уравнений и/или слагаемыми в линейные краевые условия) и наиболее мало изучены задачи оптимального управления для систем нелинейного типа (особенно, когда нелинейность систем управления вызвана вхождением управлений в коэффициенты уравнений для состояний, в том числе в коэффициенты при старших производных), хотя развитие теории и методов их решения вызвано потребностями математического моделирования нелинейных оптимальных процессов, большой прикладной важностью таких задач при оптимизации процессов теплофизики, диффузии, фильтрации, теории упругости и др., а также при решении обратных задач для УМФ, рассматриваемых в вариационной постановке. Задачи управления в системах линейного типа (в частности, задачи управления тепло- и массообмен-ными и диффузионными процессами) достаточно полно изучены в работах

A.Г. Бутковского [17-19], А.И. Егорова [42], Ж.-Л. Лионса [86, 88, 89],

B.И.Плотникова [138, 139], их учеников и многих других. Интенсификация многих технологических процессов, где доминирующими являются процессы передачи тепла, диффузии, фильтрации и т.д., приводят к необходимости учета нелинейных эффектов при моделировании процессов и построении моделей оптимизации для систем управления нелинейного типа. Следует также отметить, что математическое моделирование с использованием ЭВМ в большинстве случаях является практически единственным средством исследования сложных процессов в системах управления нелинейного типа. При исследовании таких задач (особенно задач с управлениями в старших коэффициентах, являющихся «сильно нелинейными» оптимизационными задачами и весьма существенно отличающимися от задач, где управления осуществляются путем внешних воздействий на систему) возникает ряд трудностей, связанных с их нелинейностью, некорректностью, невыпуклостью, а также с малой гладкостью состояний.

Проблема численного решения задач оптимального управления приводит к необходимости их аппроксимаций задачами более простой природы. Правильно построенная аппроксимация позволяет получить содержательные результаты качественного и численного характера о изучаемом процессе.

Основы теории и методов устойчивости и аппроксимации экстремальных задач заложены в работах Б.М. Будака, Ф.П. Васильева, В.В. Васина, Р.Ф. Габбасова, А. Дончева, А.И. Егорова, Ю.М. Ермольева, Ю.Г. Евтушенко, В.Г. Карманова, Ф.М. Кирилловой, В.Б. Колмановского, А.И. А.И. Короткого, П.С. Краснощеного, А.В. Кряжимского, М.А. Куржанского, Е.С. Левитина, Ж.-JI. Лионса, П.Ж. Лорана, В.И. Максимова, Н.Н. Моисеева, Ю.С. Осипова, В.И. Плотникова, А.Н. Тихонова, В.М. Тихомирова, Р.П. Федоренко, В.В. Федорова, Ф.Л. Черноусько и многих других. Первые результаты по общим условиям сходимости, в том числе для конечно-разностных аппроксимаций экстремальных задач были получены в работах Б.М. Будака, Б.М. Беркович, Е.Н. Соловьевой [13-14] и Ю.М. Ермольева, В.П. Гуленко, Т.Н. Царенко [43-46]. В них были получены общие условия сходимости по функционалу, а для сходимости по аргументу использовался метод регуляризации А.Н. Тихонова [169]. В дальнейшем эта методика развилась во многих работах [3,16, 22,24,25,31,37,51,57,58,62,63,130,191].

Вопросам устойчивости, аппроксимаций в задачах оптимального управления системами с распределенными параметрами посвящено большое число работ, среди которых, прежде всего, следует отметить работы К.Р. Айда-Заде,

Ф.П. Васильева, А. Дончева, Ю.Г. Евтушенко, А.И. Егорова, Ю.М. Ермольева,

A.З. Ишмухаметова, В.Б. Колмановского, А.И. Короткого, А.В. Кряжимского, О.А. Кузенкова, А.А. Кулешова, М.А. Куржанского, Ж.-Л. Лионса,

B.Г. Литвинова, Ф.В. Лубышева, Н.Д. Морозкина, П. Нейтаанмяки, М.М. Потапова, В.И. Плотникова, А.В. Разгулина, М.Р. Рахимова, М.И. Сумина, В.И. Сумина, Р.К. Тагиева, Я. Хаслингера, Ф.Л. Черноусько, Т.Ю. Шамиевой, А.Д. Юрия и многих других. Исследования этих вопросов для задач оптимального управления эллиптическими системами проводилось, например, в работах [70, 74, 91-102, 108, 110-119], для параболических систем в работах [27, 39, 47, 49, 64, 65, 67, 73, 78, 91, 103-107, 109, 112, 114, 120], а для гиперболических систем в [1, 28-30, 50, 52-54, 56, 59-61, 69, 75, 142, 144, 167, 168], для систем Гурса-Дарбу в [1, 35, 139, 140], для уравнения Шредингера в [145, 151, 152, 182]. Конечномерные аппроксимации с помощью разложений в ряды рассматривались в работах [4, 64, 55, 73, 131, 132, 154]. Обзор работ, посвященных различным аспектам современной теории оптимального управления и ее приложений, постановкам различных прикладных задач оптимального управления, основам общей теории и методов устойчивости и аппроксимации экстремальных задач, вопросам аппроксимации задач оптимального управления и результатов в данной области представлен в работах Ф.П. Васильева [24], А.З. Ишмухаметова [62,63], Ф.В. Лубышева [112], М.М. Потапова [142].

Центральными здесь являются вопросы «конструирования аппроксимаций», сходимости аппроксимаций по состоянию, функционалу, управлению, регуляризации аппроксимаций. Анализ литературы по данной проблеме показывает, что для систем с распределенными параметрами, даже в линейном случае, вопросы аппроксимации исследованы еще недостаточно. Построение и исследование аппроксимаций проводились в основном для систем управления с постоянными коэффициентами и систем линейного типа, когда функция состояния систем достаточно просто, линейно, зависит от управления (функции управления появлялись либо в неоднородном члене линейных УМФ, либо в начальных или линейных граничных условиях для линейных УМФ). Поэтому особенно актуальными являются вопросы построения и исследования конечномерных аппроксимаций систем управления нелинейного типа (в том числе с управлениями в переменных коэффициентах уравнений состояний, учитывающих также и анизотропность среды). При этом, так как функции состояний систем управления могут не обладать наперед заданной гладкостью (что, вообще говоря, характерно для задач оптимального управления), то это важно учитывать при построении и исследовании аппроксимаций, т.е. представляется естественным и актуальным строить и исследовать аппроксимации по состоянию и функционалу на решениях (состояниях) той естественной, незавышенной степени гладкости, которая гарантируется теоремами о разрешимости как задач для состояния, так и задач управления. Кроме того, актуальным является вопрос о построении таких аппроксимаций, результаты о сходимости которых не зависели бы от способа решения аппроксимирующих конечномерных сеточных задач оптимального управления.

Целью работы являются: построение и исследование математических вопросов корректности моделей, а также построение и исследование конечномерных разностных аппроксимаций моделей оптимального управления системами нелинейного типа с распределенными параметрами (в которых отображение g -» u(g) из множества допустимых управлений U в пространство состояний W является нелинейным, в частности в системах с управлениями в переменных коэффициентах, в том числе учитывающих и анизотропность среды), описываемыми линейными и квазилинейными уравнениями эллиптического и параболического типов с обобщенными решениями; разработка эффективных алгоритмов численной реализации построенных конечномерных аппроксимаций, использование разработанных аппроксимаций и численных алгоритмов их реализации для решения конкретных прикладных задач оптимизации для систем нелинейного типа.

Общая методика исследований базируется на математической теории оптимального управления системами с распределенными параметрами, теории численных методов, теории дифференциальных уравнений в частных производных и функциональном анализе.

Научная новизна работы отражена в основных результатах диссертации, которые являются новыми.

1. Предложены математические модели оптимального управления системами нелинейного типа с распределенными параметрами, описываемыми линейными и квазилинейными уравнениями эллиптического и параболического типов с обобщенными решениями, с переменными коэффициентами, учитывающими анизотропность сред, с линейными и нелинейными граничными условиями, с управлениями в свободных членах уравнений и граничных условий, а также в коэффициентах уравнений и коэффициентах нелинейных граничных условий (в том числе когда управления содержатся и в старших коэффициентах уравнений, учитывающих свойство анизотропности среды); исследованы математические вопросы корректности построенных моделей оптимизации; построенные модели могут рассматриваться также и как вариационные постановки ряда обратных задач для УМФ.

2. Разработаны конечномерные разностные и дифференциально-разностные аппроксимации построенных моделей оптимизации с обобщенными решениями для уравнений состояний; установлены оценки точности аппроксимаций по состоянию и функционалу и сходимость аппроксимаций по управлению; оценки точности и сходимость по управлению получены без дополнительных априорных предположений о гладкости обобщенных решений для состояний процессов управления (при той естественной, незавышенной степени гладкости состояния, которая гарантируется теоремами о обобщенной разрешимости как задач для состояния, так и задач управления).

3. Проведена регуляризация преложенных аппроксимаций, позволяющая, на основе полученных результатов стоить минимизирующие последовательности для функционалов цели задач оптимального управления сильно сходящиеся в пространствах управлений исходных постановок к множествам точек минимумов функционалов; все полученные результаты о сходимости конечномерных аппроксимаций не зависят от способа решения конечномерных сеточных задач оптимального управления.

4. Разработаны эффективные алгоритмы численного решения построенных конечномерных аппроксимаций, основанные на сочетании метода штрафных функционалов и методов проекции градиента, проекции сопряженных градиентов, условного градиента в конечномерных аналогах пространств Ь2 и W\.

5. Проведены численные расчеты ряда конкретных задач на основе предложенных моделей оптимизации систем нелинейного типа, разработанных методов аппроксимации и алгоритмов их реализации.

Практическая ценность. Предложенные в работе математические модели оптимального управления системами нелинейного типа и разработанные методы конечномерных разностных аппроксимаций математических постановок задач учитывают ту особенность, что решения задач для состояний обладают, вообще говоря, малой гладкостью, что характерно для реальных физических процессов, как правило, протекающих в гетерогенных средах, когда разные области решения обладают разными физическими характеристиками (при недостаточно гладких входных данных, в том числе управлений — например, недостаточно гладких характеристиках сред, при наличии недостаточно гладких источников (стоков) и др.). Сужение же, например, множества допустимых управлений (как это иногда делается) может быть крайне нежелательным, т.к. это существенно изменяет постановку задачи, снижая практическую ценность математической постановки оптимизационной модели. Разработанный и обоснованный в работе метод конечномерных сеточных и дифференциально-разностных аппроксимаций систем управления нелинейного типа носит конструктивный характер, обладает универсальностью, гибкостью и модульностью -качествами, которые требуются от методов, реализуемых при проведении вычислительных экспериментов, соответствующих структуре и возможностям современных ЭВМ. Полученные результаты о сходимости аппроксимаций не зависят от выбора метода решения конечномерных аппроксимирующих задач, что обеспечивает автономность выбора численных методов реализации аппроксимаций на практике.

Построенные модели оптимального управления системами нелинейного типа и разработанные методы конечномерных аппроксимаций задач оптимального управления могут найти широкое применение при оптимизации и численном исследовании таких систем управления, где доминирующими являются процессы переноса тепла, диффузии, фильтрации, электричества и др., в которых необходимо учитывать неоднородность, анизотропность и активность сред, способных взаимодействовать с переносимыми субстанциями - веществом или энергией, как по линейному, так и по нелинейному закону.

Рассмотренные нелинейности задач для состояний в математических моделях оптимального управления могут быть обусловлены интересными для практики случаями: наличием стоков субстанции (например, диффузия вещества в активных средах с поглощением вещества по нелинейному закону, в которых диффундирующее вещество вступает в химические реакции со средой, сопровождающиеся нелинейным стоком субстанции), процессами климатизации через границу или диффузии сквозь ограничивающую область мембрану, биохимическими процессами, при анализе линий передач с утечкой в электротехнике и др. Учет анизотропии среды в математических моделях оптимизации систем оказывает существенное влияние на распределение субстанции в среде (тепловой энергии, концентрации, электричества и др.). Пренебрежение анизотропией среды в ряде случаев просто недопустимо (например, для сред с волокнистым строением).

Большую прикладную важность имеют модели оптимального управления для систем нелинейного типа, в которых нелинейности обусловлены вхождением управлений в коэффициенты (в том числе в коэффициенты при старших производных в уравнениях состояний). Полученные в работе результаты могут найти широкое приложение к проблемам механики сплошных сред - в процессе проектирования и разработки новой техники, технологических процессов, включающих поиск оптимальных конструкций путем выбора функций управления, описывающих распределение упругих характеристик материала; при тепловом проектировании различных сложных технических систем, связанных с оптимальным тепловым нагружением их конструкций из материалов с искусственно созданными неоднородностями (в том числе учитывающими и свойство анизотропии) для обеспечения нужного оптимального эффекта работы соответствующей сложной конструкции (например, поле температур должно быть в некотором смысле близким к заданному); при оптимальном управлении нелинейными стоками энергии (вещества) в активных средах с поглощением энергии (вещества) по нелинейному закону; при решении ряда некорректных, в том числе коэффициентных обратных задач теплопроводности, диффузии, фильтрации, геофизики, теории упругости, рассматриваемых в вариационной постановке (например, для теплофизических исследований неоднородных анизотропных материалов сложных технических систем, где помимо решения прямых задач большой интерес представляет решение обратных задач идентификации, связанных с определением (восстановлением) коэффициентов уравнений состояний систем по дополнительной информации (доступной измерению), о решении краевых и начально-краевых задач для данных УМФ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, списка литературы, содержащего 191 наименование, и приложения. Объем работы, исключая приложение составляет 166 страниц.

1. Абди керимов Т., Евсеен ко Т.П. О приближенном решении задач оптимального управления методом прямых// В сб.: Математические методы оптимального управл. системами с распределенными параметрами. Фрунзе: Изд-во Илим. 1973. С.86-91.

2. Аваков Е.Р. Условия регуляризации аппроксимации аппроксимирующего семейства экстремальных задач// Вестник МГУ. Сер. 15. Вычисл. матем. и ки-берн. 1982. №1. С.29-35.

3. Авдонин С.А., Иванов С.А., Ишмухаметов А.З. Квадратичная задача оптимального управления колебаниями струны// ДАН СССР. 1991. Т.316. №4. С.781-785.

4. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.: Наука. 1979.430с.

5. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев С.В. Экстремальные методы решения некорректных задач. М.: Наука. 1988. 286с.

6. Айда-Заде К.Р. Исследование и численное решение конечно-разностных аппроксимаций задач управления распределенными системами// Журнал вычисл. матем. и матем. физики. 1989. Т.29. №3. С.346-354.

7. Арман Ж.-Л.П. Приложения теории оптимального управления системами с распределенными параметрами к задачам оптимизации конструкций. М.: Мир. 1977.142с.

8. Баничук Н.В. Оптимизация форм упругих тел. М.: Наука. 1980. 256с. Ю.Баничук Н.В. Введение в оптимизацию конструкций. М.: Наука. 1986. 302с. Н.Бояринов А.И., Кафаров В.В. Методы оптимизации в химической технологии. М.: Химия. 1975. 576с.

9. Браудер Ф.Е. Материалы к совместному советско-американскому симпозиуму по уравнениям с частными производными. Новосибирск. 1963.

10. Будак Б.М., Беркович Б.М., Соловьева Е.Н. О сходимости разностных аппроксимаций для задач оптимального управления// Журнал вычисл. матем. и матем. физики. 1969. Т.9. №3. С.522-547.

11. Будак Б.М., Беркович Б.М., Соловьева Е.Н. Об аппроксимации экстремальных задач I, II // Журнал вычисл. матем. и матем. физики. 1971. Т.2. №3. С.580-506, №4. С.870-884.

12. Будак Б.М., Васильев Ф.П. Приближенные методы решения задач оптимального управления (тексты лекций), вып.1,2. М.: МГУ.1968. 303с.;1969. 299с.

13. Будак Б.М., Васильев Ф.П. Некоторые вычислительные аспекты задач оптимального управления. М.: Изд-во МГУ. 1975. 171с.

14. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука. 1965.474с.

15. Бутковский А.Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука. 1975. 586с.

16. Бутковский А.Г., Пустыльников А.М. Теория подвижного управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука. 1980.384с.

17. Вайнберг М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов. М.: Наука. 1972.415с.

18. Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач. М.: МГУ. 1974. 376с.

19. Васильев Ф.П. О сходимости одного разностного метода решения задачи быстродействия// Банах. Центр. 1978. Т.З. С.93-101.

20. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука. 1981. 400с.

21. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Факториал Пресс. 2002. 824с.

22. Васильев Ф.П., Иванов Р.П. О приближенном решении задач быстродействия в банаховых пространствах при наличии ограничений на фазовые координаты//Журнал вычисл. матем. и матем. физики. 1971. T.l 1. №2. С.328-347.

23. Васильев Ф.П., Ишмухаметов А.З., Потапов М.М. Обобщенный методмоментов в задачах оптимального управления. М.: МГУ. 1989. 143с.

24. Васильев Ф.П., Ишмухаметов А.З., Потапов М.М., Солодкая М.С. Обобщенный метод моментов в задаче управления параболической системой// Методы и алгоритмы в численном анализе. М.: Изд-во МГУ. 1984.

25. Васильев Ф.П., Ишмухаметов А.З., Уварова О Л. Применение обобщенного метода моментов к задаче оптимального управления гиперболической системой с линейными ограничениями// Вестн. МГУ. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 1986. №2.

26. Васильев Ф.П., Куржанский М.А., Потапов М.М. Метод прямых в задачах граничного управления и наблюдения для уравнения колебания струны// Вестник Московск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 1993. №3. С.8-15.

27. Васильев Ф.П., Куржанский М.А., Разгулин А.В. О методе Фурье для решения одной задачи оптимального управления колебаниями струны// Вестник Московск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 1993. №2. С.3-8.

28. Васин В.В. Устойчивая дискретизация экстремальных задач и ее приложения в математическом программировании// Мат. заметки. 1982. Т.31. №2. С.269-280.

29. Габасов Р.Ф., Кириллова Ф.М. Качественная теория оптимальных процессов. М.: Наука. 1971. 507с.

30. Гаевский X., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир. 1978. 333с.

31. Гамзаев Х.М., Таиров М.А. Расчет оптимального управления процессом вытеснения нефти водой// Журнал вычисл. матем. и матем. физики. 1982. Т.22. №8. С.994-999.

32. Гуленко В.П., Ермольев Ю.М. Конечно-разностный метод в задачах оптимального управления с уравнениями Дарбу// В сб.: Теория оптимальных решений. Киев: Изд-во ИК АН УССР. 1968. Вып.2.

33. Демиденко Н.Д., Ушатинская Н.П. Моделирование, распределенный контроль и управление процессами ректификации. Новосибирск: Наука. 1978. 286с.

34. Дончев А. Системы оптимального управления. Возмущения, приближения и анализ чувствительности. М.: Мир. 1987.164с.

35. Дюво Г., Лионе Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М.: Наука. 1980. 384с.

36. Евсеенко Т.П. Приближенное решение задачи оптимального управления процессом теплопроводности// Математические методы оптимизации систем с распределенными параметрами. Фрунзе. Изд-во Илим. 1975.

37. Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. М.: Наука. 1982.432с.

38. Евтушенко Ю.Г., Засухина Е.С., Зубов В.И. О численном подходе к оптимизации решения задачи Бюргерса с помощью граничных условий// Журнал вычисл. матем. и матем. физики. 1997. Т.37. №12. С. 1449-1458.

39. Егоров А.И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами. М.: Наука. 1978.

40. Ермольев Ю.М. Конечно-разностный метод в задачах оптимального управления// Тез. сообщ. межд. конгр. математиков. М.: 1966. С.709-721.

41. Ермольев Ю.М., Гуленко В.П. О численных методах решения задач оптимального управления// Кибернетика. 1966. №1. С. 120-121.

42. Ермольев Ю.М., Гуленко В.П. Конечно-разностный метод в задачах оптимального управления// Кибернетика. 1967. №3. С. 1-20.

43. Ермольев Ю.М., Гуленко В.П., Царенко Т.И. Конечно-разностный метод в задачах оптимального управления. Киев: Наукова думка. 1978. 164с.

44. Иванович Л.Д. Разностная аппроксимация и регуляризация задачи об оптимальном нагреве стержня// Вестн. МГУ. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 1982. №3. С.10-15.

45. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука. 1974.480с.

46. Искендеров А.Д., Тагиев Р.К. Задачи оптимизации с управлениями в коэффициентах параболического уравнения// Дифференц. уравнения. 1983. Т. 19. №8. С. 1324-1334.

47. Ишмухаметов А.З. Оптимальное управление поперечными колебаниями стержня// Вестник МГУ. Сер.15. Вычисл. матем. и киберн. 1981. №4. С.46-50.

48. Ишмухаметов А.З. Об условиях аппроксимации и регуляризации в экстремальных задачах// Прикладная матем. и матем. обеспечение ЭВМ. М.: МГУ. 1981. С.25-27.

49. Ишмухаметов А.З. Разностная аппроксимация задачи оптимального управления поперечными колебаниями стержня// Вычисл. методы и программир. М.: МГУ. 1983. Вып.39. С.155-165.

50. Ишмухаметов А.З. Задача быстродействия для гиперболических систем// Численный анализ. М.: Изд-во МГУ. 1983.

51. Ишмухаметов А.З. Задача оптимального управления начальным состоянием системы, описываемой гиперболическим уравнением// Оптимизация и управление. М.: Изд-во МГУ. 1983. С.5-14.

52. Ишмухаметов А.З. Обобщенный метод моментов в задаче с управлением, зависящим только от пространственных переменных// Стандартные программы и численное решение задач волновой физики. М. 1986. С.43-51.

53. Ишмухаметов А.З. Вопросы аппроксимации и регуляризации задач оптимального управления гиперболическими системами// В сб.: Вычисл. методы и системы обработки данных на ЭВМ. М.: МГУ. 1988. С.4-18.

54. Ишмухаметов А.З. Моделирование процессов управления линейными системами: устойчивость и аппроксимация// Итоги науки и техники. ВИНИТИ: Вычисл. науки. 1991. Т.7. С.3-88.

55. Ишмухаметов А.З. Условия аппроксимации и устойчивости задач минимизации// Журнал вычисл. матем. и матем. физики. 1993. Т.ЗЗ. №7. С.1012-1029.

56. Ишмухаметов А.З. Условия аппроксимации и устойчивости в задачах оптимального управления гиперболическими системами// Журнал вычисл. матем. и матем. физики. 1994. Т.34. №1. С. 12-28.

57. Ишмухаметов А.З. Управляемость гиперболических систем при сингулярных возмущениях// Дифференц. уравнения. 2000. Т.36. №2. С.241-250.

58. Ишмухаметов А.З. Условия и оценки сходимости решения задач управления для гиперболических систем при сингулярных возмущениях// Дифференц. уравнения. 2000. Т.36. №6. С.774-783.

59. Ишмухаметов А.З. Вопросы устойчивости и аппроксимации задач оптимального управления. М.: Изд-во ВЦ РАН. 2000. 151с.

60. Ишмухаметов А.З. Вопросы устойчивости и аппроксимации задач оптимального управления системами с распределенными параметрами. М.: Изд-во ВЦ РАН. 2001. 120с.

61. Ишмухаметов А.З., Першеев Д.В., Потапов М.М. Аппроксимация проблемы моментов в параболической задаче оптимального управления// Числ. мет. решения краевых и начальных задач для дифференц. уравн. МГУ. 1986. С.117-122.

62. Ишмухаметов А.З., Юлина А.В. Аппроксимация квадратичной задачи оптимального управления параболической системой// Вестн. МЭИ. 1998. №6. С.73-84.

63. Карчевский М.М., Ляшко А.Д. Разностные схемы для нелинейных задач математической физики. Казань: Казанский университет. 1976. 156с.

64. Керимов А.К. Об аппроксимации по Галеркину задач оптимального управления для систем с распределенными параметрами параболического типа// Журнал вычисл. матем. и матем. физики. 1979. Т. 19. №4. С.851-865.

65. Комков В. Теория оптимального управления демпфированием колебаний простых упругих систем. М.: Мир. 1975.158с.

66. Короткий А.И. Коэффициентная устойчивость решений гиперболических систем и корректность задач оптимального управления// Некот. мет. позицион. и программ, управл. Свердловск. 1987. С.22-33.

67. Короткий А.И. Зависимость решений эллиптических уравнений от коэффициентов и приложение к корректности задач оптимального управления// Качественные вопросы теории диффернц. уравн. и управл. систем. Свердловск. 1988. С.20-33.

68. Кротов В.Ф., Гурман В.И. Методы и задачи оптимального управления. М.: Наука. 1973.448с.

69. Крылов Н.В. Управляемые процессы диффузионного типа. М.: Наука. 1977.

70. Кузенков О.А., Плотников В.И. Сходимость конечномерных приближений в задаче оптимального управления сильно параболической системой// Конст-руир. алгоритм, и решний задач матем. физ. М.: Изд-во МГУ. 1989. С. 1-18.

71. Кулешов А.А. Разностная аппроксимация и регуляризация одной задачи оптимального управления процессом, описываемым эллиптическим уравнением// ДАН СССР. 1983. Т.269. №4. С.809-813.

72. Куржанский М.А. О конечномерной аппроксимации задачи наблюдения и управления для гиперболической системы// Вестник МГУ. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 1992. №3. С.28-33.

73. Куржанский М.А., Потапов М.М., Разгулин А.В. Проекционная схема метода прямых в задачах зонного управления и наблюдения для уравнения колебаний струны// Вестник МГУ. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 1994. №3. С.29-35.

74. Куфнер А., Фучик С. Нелинейные дифференциальные уравнения. М.: Наука. 1988. 304с.

75. Лабузов С.Г., Потапов М.М. Оценка скорости сходимости метода прямых в задаче об оптимальном нагреве// Вестник МГУ. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 1985. №3. С.35-42.

76. Лаврентьев М.М., Васильев В.Г., Романов В.Г. Многомерные обратные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука. 1969. 67с.

77. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука. 1980.285с.

78. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука. 1967. 736с.

79. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука. 1973.575с.

80. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука. 1973.407с.

81. Латтес Р., Лионе Ж.-Л. Метод квазиобращения и его приложения. М.: Мир.1970.334с.

82. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир. 1972.587с.

83. Лионс Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир. 1972.414с.

84. Лионс Ж.-Л. О неравенствах в частных производных// УМН. 1973. Т.28. вып.4. С. 15-46.

85. Лионе Ж.-Л. Об оптимальном управлении распределенными системами// УМН. 1973. Т.28. №4. С. 15-46.

86. Лионс Ж.-Л. Некоторые вопросы оптимального управления распределенными системами//УМН. 1985. Т.40. С.55-68.

87. Литвинов В.Г. Оптимизация в эллиптических граничных задачах с приложениями к механике. М.: Наука. 1987. 365с.

88. Лубышев Ф.В. О дифференциально-разностных аппроксимациях многомерных задач оптимального управления с распределенными в пространстве параметрами// Дифференц. уравнения. 1977. Т. 13. №4. С.920-928.

89. Лубышев Ф.В. О сходимости разностных аппроксимаций и регуляризации задач оптимального управления для эллиптических уравнений со смешанными граничными условиями// Численные методы в прикладной математике. Уфа: БФАН СССР. 1985. С.21-35.

90. Лубышев Ф.В. О сходимости разностных аппроксимаций и регуляризация задач оптимального управления для эллиптических уравнений// Журнал вычисл. матем. и матем. физики. 1985. Т.25. №7. С.983-1000.

91. Lubyshev F.V. Difference approximation and regularization in optimal control problems for elliptic equations// Teubner Texte zur Mathematic. Leipzig. 1986. Band 82. PP.106-108.

92. Лубышев Ф.В., Торопчин В .Д., Кобяков А.И. Оптимальное управление пусковыми режимами химического реактора с кипящим слоем// Численные методы решения уравнений математической физики. Уфа: БФАН СССР. 1986. С.101-114.

93. Лубышев Ф.В. О точности разностных аппроксимаций и регуляризации задач оптимального управления на решениях эллиптических уравнений// Журнал вычисл. матем. и матем. физики. 1987. Т.27. №4. С.490-500.

94. Лубышев Ф.В. Аппроксимация и регуляризация некоторых задач оптимального управления// Численные методы в прикладной математике. Уфа: БНЦ УрО АН СССР. 1988. С.64-72.

95. Лубышев Ф.В. О некоторых задачах оптимального управления электрическими полями в многоэлектродных электрохимических системах// Известия вузов. Электромеханика. 1989. №7. С. 115-119.

96. Лубышев Ф.В., Батталов P.M. Об одной задаче оптимального управления// Численные методы решения краевых задач. Уфа: БНЦ УрО АН СССР. 1989. С.75-89.

97. Лубышев Ф.В. Аппроксимация и регуляризация задач оптимального управления для несамосопряженного эллиптического уравнения с переменными коэффициентами// Журнал вычисл. матем. и матем. физики. 1991. Т.31. №1. С. 17-30.

98. Лубышев Ф.В. Аппроксимация и регуляризация задач оптимального управления коэффициентами параболических уравнений// Журнал вычисл. матем. и матем. физики. 1993. Т.ЗЗ. №8. С.1166-1183.

99. Lubyshev F.V. Approximation and regularization of problems of the optimal control of the coefficients of parabolic equations// Comput. Maths Math. Phys.Vol.33. N08. 1993. PP. 1027-1042.

100. Лубышев Ф.В. Аппроксимация и регуляризация задач оптимального управления коэффициентами параболических уравнений// Тез. докл. Международной конференции «Дифферен-циальные уравнения и их приложения». Саранск. 1994. С.79.

101. Лубышев Ф.В. Разностные аппроксимации и регуляризация задач оптимального управления для параболических уравнений с управлениями в коэффициентах// Журнал вычисл. матем. и матем. физики. 1995. Т.35. №9. С. 13131333.

102. Lubyshev F.V. Difference approximations and regularization of problems of optimal control for parabolic equations with controls in the coefficients// Comput. Maths Math. Phys. Vol.35. No9.1995. PP.1053-1069.

103. Лубышев Ф.В. О некоторых задачах оптимального управления// Комплексный анализ, дифференциальные уравнения, численные методы и приложения. V. Численные методы. Уфа: Институт матем. с ВЦ УНЦ РАН. 1996. С.79-90.

104. Лубышев Ф.В. Аппроксимация и регуляризация задач оптимального управления для параболических уравнений с управлениями в коэффициентах// Доклады РАН. 1996. Т.349. №5. С.598-602.

105. Лубышев Ф.В. Разностные аппроксимации задач оптимального управления системами, описываемыми уравнениями в частных производных. Уфа. БГУ. 1999. 243с.

106. Лубышев Ф.В., Файрузов М.Э. О сходимости разностных аппроксимаций и регуляризации задач оптимального управления для квазилинейных граничных задач//Вестник БашГУ. 1999. №1. С.8-12.

107. Лубышев Ф.В., Файрузов М.Э. Аппроксимация и регуляризация задач оптимального управления для квазилинейных эллиптических уравнений с нелинейными граничными условиями третьего рода// Математическое моделирование. РАН. 2000. Т. 12. №3. С.33-34.

108. Лубышев Ф.В., Файрузов М.Э. Аппроксимация и регуляризации задач оптимального управления для квазилинейных эллиптических уравнений// Журнал вычисл. матем. и матем. физики. 2001. Т.41. №8. С. 1148-1164.

109. Лубышев Ф.В., Гареев О.Р. Аппроксимация и регуляризация задач оптимального управления системами, описываемыми односторонними граничными задачами для эллиптических уравнений// Журнал вычисл. матем. и матем. физики. 2001. Т.41. №11. С.1675-1696.

110. Лубышев Ф.В., Гареев О.Р., Файрузов М.Э. Аппроксимация и регуляризация задач оптимального управления системами, описываемыми односторонними граничными задачами// Труды Средневолжского математическогообщества. Т.3-4. №1. 2002. С.79-81.

111. Лубышев Ф.В., Файрузов М.Э. Дифференциально-разностная аппроксимация и регуляризация задач оптимального управления коэффициентами квазилинейных параболических уравнений// Труды Средневолжского математического общества. Т.3-4. №1. 2002. С. 125-132.

112. Лурье К.А. Оптимальное управление в задачах математической физики. М.:Наука. 1975.478с.

113. Ляшко А.Д. Метод прямых для квазилинейных эллиптических уравнений//Дифференц. уравнения. 1972. Т.8. №5. С.91-901.

114. Максимов В.И. Задачи динамического восстановления входов бесконечномерных систем. Екатеринбург. Ин-т матем. и механ. РАН УО. 2000. 305с.

115. Маркин Е.А., Стрекаловский А.С. О существовании, единственности и устойчивости решения для одного класса управляемых динамических систем, описывающих химические процессы// Вестник МГУ. Сер. вычисл. матем. и ки-берн. 1977. №4. С.3-11.

116. Марчук Г.И. Окружающая среда и проблема оптимизации размещения предприятий//ДАН СССР. 1976. Т.227. №5. С.1056-1059.

117. Марчук Г.И. Сопряженные уравнения и анализ сложных систем. М.: Наука. 1992.336с.

118. Марчук Г.И., Агошков В.И., Шутяев В.П. Сопряженные уравнения и методы возмущений в нелинейных задачах математической физики. М.: Наука. 1993.224с.

119. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука. 1976. 391с.

120. Моисеев Н.Н. Численные методы в теории оптимальных систем. М.: Наука. 1971.424с.

121. Мордухович Б.Ш. Методы аппроксимаций в задачах оптимизации и управления. М.: Наука. 1988. 359с.

122. Морозкин Н.Д. О сходимости конечномерных приближений в задаче оптимального одномерного нагрева с учетом фазовых ограничений// Журнал вычисл. матем. и матем. физики. 1996. Т.36. №10. С.12-22.

123. Морозкин Н.Д. Оптимальное управление процессами нагрева с учетом фазовых ограничений. Уфа: БашГУ. 1997.114с.

124. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. М.: Наука. 1987.240с.

125. Осипов Ю.С., Васильев Ф.П., Потапов М.М. Основы метода динамической регуляризации. М.: Изд-во МГУ. 1999.237с.

126. Осипов Ю.С., Кряжимский A.B., Максимов В.И. Задачи динамической регуляризации для систем с распределенными параметрами. Свердловск. 1991. 104с.

127. Островский Г.М., Волин Ю.М. Методы оптимизации сложных химико-технологических систем. М.: Химия. 1970.

128. Островский Г.М., Волин Ю.М. Моделирование сложных химико-технологических систем. М.: Химия. 1975.312с.

129. Плотников В.И., Сумин В.И. О сходимости конечномерных приближений в задаче об оптимальном нагреве неоднородного тела произвольной формы// Журнал вычисл. матем. и матем. физики. 1968. Т.8. №1.

130. Плотников В.И., Сумин В.И. Оптимизация объектов с распределенными параметрами, описываемыми системами Гурса-Дарбу// Журнал вычисл. матем. и матем. физики. 1972. Т. 12. №1. С.61-77.

131. Потапов М.М. Разностная аппроксимация и регуляризация задач оптимального управления системами Гурса-Дарбу// Вестник МГУ. Сер. вычисл. матем. и киберн. 1978. №2. С. 17-26.

132. Потапов М.М. Об аппроксимации задач оптимального управления с гладкими допустимыми управлениями при наличии ограничений// Вестник МГУ. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 1983. №4. С.3-8.

133. Потапов М.М. Аппроксимация экстремальных задач в математической физике (гиперболические уравнения). М.: Изд-во МГУ. 1985. 63с.

134. Потапов М.М. Метод прямых в задачах граничного управления и наблюдения для гиперболического уравнения с краевыми условиями второго итретьего рода// Вестник МГУ. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 1996. №2. С.35-41.

135. Потапов М.М., Разгулин А.В. Об одной нелинейной гиперболической задаче оптимального управления// Журнал вычисл. матем. и матем. физики.1987. Т.27. №5. С.793-794.

136. Потапов М.М., Разгулин А.В., Шамеева Т.Ю. Аппроксимация и регуляризация задачи оптимального управления для уравнения типа Шредингера// Вестник МГУ. Сер.15. Вычисл. матем. и киберн. 1987. №1. С.7-13.

137. Прагер В. Основы теории оптимального проектирования. М.: Мир. 1977. 112с.

138. Пропой А.И. Элементы теории оптимальных дискретных процессов. М.: Наука. 1973.256с.

139. Разгулин А.В. Задача оптимального управления процессом стационарного теплового самовоздействия// Деп. в ВИНИТИ. 1987. №9110-В87.

140. Разгулин А.В. Об оптимальном управления процессом нестационарного теплового самовоздействия//Деп. в ВИНИТИ. 1988. №678-В88. 29с.

141. Разгулин А.В. Исследование некоторых оптимизационных задач адаптивной оптики в нелинейных средах. Дисс. канд. физ.-матем. наук. М.: МГУ. 1988.

142. Разгулин А.В. Аппроксимация задачи управления для нелинейного уравнения типа Шредингера// Вестник МГУ. Сер.15. Вычисл. матем. и киберн.1988. №2. С.28-33.

143. Разгулин А.В., Шамеева Т.Ю. Аппроксимация и регуляризация задачи оптимального управления для нелинейного уравнения типа Шредингера// Прикладные методы нелинейного анализа и управления. М.: Изд-во МГУ. 1987. С.87-94.

144. Райтум У.Ё. Задачи оптимального управления для эллиптических уравнений: Математические вопросы. Рига: Зинатне. 1989. 277с.

145. Рахимов М.Р. О некоторых методах решения задачи линейно-квадратичного программирования для систем с распределенными параметрами// Журнал вычисл. матем. и матем. физики. 1986. Т.26. №12. С.1797-1812.

146. Рей У. Методы управления технологическими процессами. М.: Мир. 1983. 386с.

147. Романов В.Г. Обратные задачи математической физики. М.: Наука. 1984. 263с.

148. Самарский А.А. Математическое программирование и вычислительный эксперимент// Вестник АН СССР. 1979. №5. С.38-49.

149. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука. 1989. 614с.

150. Самарский А.А., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. М.: Наука. 1976. 350с.

151. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука. 1989. 430с.

152. Самарский А.А., Лазаров Р.Д., Макаров ВЛ. Разностные схемы для дифференциальных уравнений с обобщенными решениями. М.: Высшая школа. 1987.296с.

153. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука. 1978. 589с.

154. Сеа Ж. Оптимизация. Теория и алгоритмы. М.: Мир. 1973. 244с.

155. Сиразетдинов Т.К. Оптимизация систем с распределенными параметрами. М.: Наука. 1977. 480с.

156. Слободецкий Л.Н. Обобщенные пространства Соболева и их приложение к краевым задачам для дифференциальных уравнений в частных производных// Учен. зап. Ленингр. пед. ин-та. 1958. Т. 197. С.54-112.

157. Табак Д., Куо Б. Оптимальное управление и математическое программирование. М.: Наука. 1975. 280с.

158. Тагиев Р.К. Корректность и регуляризация одного класса задач оптимального управления коэффициентами линейного гиперболического уравнения// Числен, методы и матем. обеспечение ЭВМ. Баку. 1984. С.98-105.

159. Тагиев Р.К. Дискретизация и регуляризация задачи оптимального управления для гиперболического уравнения// Дикретная математика и матем. обеспечение ЭВМ. Баку. Азербайдж. ун-т. 1987. С.66-75.

160. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука. 1986.287с.

161. Троицкий В.А., Петухов Л.В. Оптимизация форм упругих тел. М.: Наука. 1982. 432с.

162. Уткин В.И., Орлов Ю.В. Теория бесконечномерных систем управления на скользящих режимах. М.: Наука. 1980. 136с.

163. Файрузов М.Э. О одном численном методе определения коэффициентов квазилинейного уравнения параболического типа: Тезисы докладов республиканской научной конференции студентов и аспирантов по физике и математике.-Уфа. 2003. С.27-28.

164. Файрузов М.Э. О задаче определения коэффициентов квазилинейного параболического уравнения// Сборник трудов региональной школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике. Т.1. Математика. Уфа. 2003. С. 141-151.

165. Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. М.: Наука. 1978. 488с.

166. Хаслингер Я., Нейтаанмяки П. Конечно-элементная аппроксимация для оптимального проектирования форм: теория и приложения. М.: Мир. 1992. 368с.

167. Хог Э., Арора Я. Прикладное оптимальное проектирование. М.: Мир.1983.479с.

168. Черноусько Ф.Л., Баничук Н.В. Вариационные задачи механики и управления. М.: Наука. 1973. 238с.

169. Черноусько ФЛ., Колмановский В.Б. Вычислительные и приближенные методы оптимального управления// В сб. ВИНИТИ: Математический анализ. М. 1977. Т.14. С.101-167.

170. Чубаров Е.П. Управление системами с подвижными источниками воздействия. М.: Энергоатомиздат. 1985.288с.

171. Шамеева Т.Ю. Обобщенный метод моментов в задаче управления для уравнения типа Шредингера// Числ. методы. МГУ. 1986. С.50-53.

172. Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. М.: Мир. 1979.400с.

173. Юнусов М. О решении одной оптимальной задачи Стефана// Журнал вычисл. матем. и матем. физики. 1975. Т.15. №2. С.345-357.

174. Bidaut M.F. Thesis.Universite' Paris VI. 1973

175. Bidaut M.F. Existence theorems for usual and approximate solutions of optimal control problems// J. Optimization Theory Appl. 15,4 (1975). P.393-411.

176. Debinska-Nagorska A., Just A., Stempien Z. A non-linear parabolic control problem with non-homogeneus boundary condition-convergence of Galerkin approximation//Math. Meth. Appl. Sci. 1997. V.20. №16.

177. Goebel M. On existence of optimal control// Math. Nachr. 1979. Vol.93. P.67-73.

178. Malanowski K. Convergence of approximations vs. regularity of solutions for convex control-constrained optimal control problems// Appl. Math. Optim. 1981. V.8. P.69-95.

179. Lasiecka I. Galerkin approximation of abstract parabolic boundary value problems with routh boundary data Lp - theory//Math. Comput. 1986.47. PP.55-75.

180. Zolezzi T. Acharacterization of well-posed optimal control system// SIAM J. Control Optim. 1981. V.19. №5. P.604-616.