Математическое моделирование и оптимизация взаимосвязанных электромагнитных и тепловых полей в нелинейных средах при неполном знании входных данных

Вуйтович, Марек

Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование и оптимизация взаимосвязанных электромагнитных и тепловых полей в нелинейных средах при неполном знании входных данных

кандидата физико-математических наук: Вуйтович, Марек
город: Радом
год: 1999
специальность ВАК РФ: 05.13.18

Диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению на тему «Математическое моделирование и оптимизация взаимосвязанных электромагнитных и тепловых полей в нелинейных средах при неполном знании входных данных»

Автореферат диссертации по теме "Математическое моделирование и оптимизация взаимосвязанных электромагнитных и тепловых полей в нелинейных средах при неполном знании входных данных"

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ РАН

На правах рукописи УДК 519.6

РГБ ОД

ВУЙТОВИЧ МАРЕК 2 Ч ЩЦ 2303

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ ВЗАИМОСВЯЗАННЫХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ И ТЕПЛОВЫХ ПОЛЕЙ В НЕЛИНЕЙНЫХ СРЕДАХ ПРИ НЕПОЛНОМ ЗНАНИИ ВХОДНЫХ ДАННЫХ

Специальность 05.13. 18 — Теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1999

Работа выполнена на кафедре высшей математики Радомского политехнического института Министерства народного образования Польши.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Гживачевски Марек

Научный консультант: доктор технических наук, профессор Горбатков Станислав Анатольевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В.В. Дикусар, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник И.А. Барский

Ведущая организация: Институт системного анализа РАН

Защита диссертации состоится часов на

заседании диссертационного совета К.003.91.01 при Институте математического моделирования РАН по адресу: 125047, Москва, Миусская площадь, 4 а

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математического моделирования РАН

Ученый секретарь диссертационного совета,

кандидат физико-математических наук В.И. Похилко

ис п

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Предметом исследования в диссертации являются вопросы математического моделирования и оптимизации тепло- и электрофизических процессов, описываемых сопряженной (взаимосвязанной) системой уравнений Максвелла и уравнения теплопроводности Фурье. Рассматривается класс многомерных (двух- и трехмерных) начально-краевых задач с учетом нелинейности заданных функций — коэффициентов уравнений, граничных условий и свободных членов (правых частей уравнений) — при неполном знании входных данных. Модели проблемно ориентированы на решение задач оптимизации электротепловых полей при подвижных пространственно-временных источниках воздействия (джоулевых источниках тепла).

Указанный класс задач является моделью многих современных технологий, где осуществляется распределенное или сосредоточенное воздействие электромагнитного поля на токопроводящие твердые поверхности (металлические, порошковые, композиционные, полупроводниковые), а также расплавы жидкого металла. Примерами могут служить процессы индукционного нагрева на средних и высоких частотах и сквозного электрического нагрева токопроводящих тел, сварки, термообработки, магнитогидродинамического воздействия на жидкие металлы, нагрев подложек в электронной полупроводниковой технологии, плазменное напыление, процессы нагрева элементов объемных интегральных схем (ОИС) СВЧ и КВЧ и др.

Системы, где имеют место взаимосвязанные электромагнитно-теплофизические процессы будем далее называть "электротепловыми системами с распределенными параметрами (СРП)".

Выделенный для исследования класс электротепловых моделей характеризуется одновременным учетом нескольких факторов сложности и, соответственно, общности:

■ взаимосвязанных элекгротепловых краевых эффектов в теле, на которое воздействует поток электромагнитной энергии;

■ многомерности задачи (2 пространственных измерения для осесиммет-ричных СРП и 3 для прямоугольной геометрии);

■ проблемной ориентации на решение многокритериальных (векторных) начально-краевых задач оптимального управления с нелинейными фазовыми ограничениями; такая ориентация порождает спецефические вычислительные проблемы, связанные с большой размерностью расчетной системы уравнений;

■ изменения источников воздействия (джоулевых источников тепла) как во времени, так и в пространстве при непрерывном или дискретном перемещении источников относительно тела;

■ всех видов нелинейностей в исходном математическом описании электротеплового процесса;

■ неполноты знаний входных данных, т.е. фактора неопределенности.

Исследуемую научную задачу можно условно разделить на три части:

■ Разработка эффективных в вычислительном отношении для целей оптимизации и управления методов решения нелинейных многомерных краевых задач теплопроводности;

■ Создание эффективных в вычислительном отношении в аспекте учета реального распределения джоулевых источников тепла в зоне краевых эффектов математических моделей электромагнитного поля в ферромагнитных и парамагнитных телах;

■ Разработка алгоритмов оптимизации взаимосвязанных электромагнитных и тепловых полей и решение краевых задач оптимизации.

Прямые начально-краевые задачи для параболических уравнений теплопроводности в твердых телах относятся к наиболее изученной области математической физики.

Здесь исследования шли по двум направлениями: для простейших одномерных моделей разрабатывались различные приближенные аналитические подходы, а для многомерных нелинейных задач развивались, в основном, численные методы. Заметим, что теория вычислительных методов для нелинейных многомерных краевых задач теплопроводности далека от завершения.

Вторая часть исследуемой проблемы — краевые задачи электромагнитного поля — исследована значительно меньше, особенно для нелинейных много-

мерных постановок. Объясняется это большими вычислительными трудностями, для электродинамических задач по сравнению с тепловыми (см. главу 1).

Основным стимулом для развития этого класса задач явилось развитие радиотехники, радиоэлектроники и, в частности, объемных интегральных схем (ОИС) СВЧ, а также электрофизических процессов. Из этого круга задач назовем работы Бабича В.М., Березовского B.C., Булдырева B.C., Вайнштейна JI.A., Вольдека А.И., Гринберга Г.А., Данилевича Я.Б., Демиръяна К.С., Домбровского В.В., Зоммерфельда А., Иванова-Смоленского A.B., Кацнеленбаума Б.З., Когана М.Г., Кравченко А.Н., Косачевского В.И., Леонтовича H.A., Майергойза Н.Д., Маркувица Н., Миллера М.А., Неганова В.А., Неймана Л.Р., Нефедова Е.И., Никольского Т.И., Петрушенко Е.И., Сухорукова В.В., Свешникова А.Г., Тозони О.В., Фиалковского А.Г., Чечурина В.Л., Цейтлина Л.А., Яшина A.A., Neumann E.G., Hondo К., Yarrington R.F. и др.

Следует отметить, что расчет трехмерных магнитостатических полей уже не представляет серьезных вычислительных проблем при линейной постановке задач. Нелинейные многомерные проблемы, особенно при расчете электромагнитного поля в массивных телах, чрезвычайно сложны и малоисследованы.

B.Я., Беллмана Р., Васильева Ф.П.,Грживачевски М.,Голичева И.И., Горбаткова

C.А., Гласко В.Б., Дегтярева Г.Л., Дикусара В.В., Димиченского В.Н., Дубовиц-кого А .Я., Егорова А.И., Егорова Ю.В., Кирина Н.Е., Коломейцевой М.Б., Кра-совского H.H., Лаврентьева М.М., Лионса Ж.-Л., Ли Э., Лурье К.А., Малого С.А., Маслова В.П., Маркуса Л., Милютина A.A., Моисеева H.H., Морозова В.А.,Морозкина Н.Д., Орлова Ю.В., Пшеничного Б.Н., Первозванного A.A., Пус-тыльникова Л.М., Поляка Б.Т.,Раппопорта Э.Я., Тихомирова В-.И., Тихонова

А.Н., Темкина А.Г., Уткина В.И., Федоренко Р.П.. Чубарова Е.П., Ягола А.Г., Takamatsu, Root W., Woods I., Kurzhnskii A.B. и др.

Здесь следует отметить, что для СРП достаточно уже развит научный инструментарий: сделаны обобщения основных методов оптимизации динамических систем, разработанных первоначально для систем с сосредоточенными параметрами, моделями которых являются обыкновенные дифференциальные уравнения — метод моментов, принципа максимума Понтрягина, метода динамического программирования, методов Ляпунова для анализа устойчивости, методы регуляризации обратных задач. Однако основные результаты здесь апробированы для достаточно простых модельных линейных одномерных задач. Перенос результатов на нелинейные многомерные задачи требует дополнительных обоснований и исследований. Например, при подвижном воздействии даже на линейную тепловую систему проблема моментов получается нелинейной. СРП и подвижным воздействием при многомерной постановке задачи практически не исследованы.

Таким образом, уровень проработки исследуемой проблемы не соответствует ее теоретической и прикладной значимости. Учитывая изложенное, цель диссертационной работы формируется так: разработать теоретические основы и конструктивные приближенные методы математического моделирования и оптимизации взаимосвязанных электромагнитных и тепловых полей в нелинейных средах при неполном знании входных данных. Достижение этой цели связано с решением ряда задач:

1. Выявить специфику исследуемой проблемы СРП и на ее основе определить требования к математическим моделям, разработать принципы и методологию построения эффективных в вычислительном отношении приближенных методов.

2. Разработать и усовершенствовать итеро-аппроксимативный метод (НАМ) решения внутренних многомерных нелинейных краевых задач для параболических и эллиптических уравнений применительно к простой геометрической форме нагреваемое™ тела и обосновать его математически.

3. Провести цифровые эксперименты по аппробации ИАМ и его математическое обоснование на основе теории возмущения операторов.

4. Решить краевые задачи электромагнитного поля в нелинейных ферромагнитных средах.

5. Разработать декомпозиционный алгоритм оптимизации взаимосвязанного электромагнитного и теплового поля и провести его апробацию применительно к нагреву пара- и ферромагнитных тел.

Научная новизна работы в целом

Предложены принципы построения приближенных математических моделей сложных взаимосвязанных электромагнитных и тепловых полей в нелинейных средах, в которых на всех этапах моделирования (выбора класса модели, постановки краевых задач, выбора формы представления решения и, соответственно, метода решения, исследования устойчивости решения, постановки и решения задачи оптимизации) учитывается фактор неполноты знаний о входных данных.

На основе разработанных принципов проведено обобщение известного ранее ИАМ в рамках теории возмущения операторов, предложена новая модификация ИАМ. Идея предложенного ИАМ состоит в аппроксимации решения нелинейного операторного уравнения Аи = ^ собственными функциями эллиптического оператора Л с учетом сглаживающих свойств оператора В'1 обращения линеаризованных краевых задач по отношению к приближаемым возмущениям Ки, где А = В + Я. Проведено математическое обоснование базового ИАМ и его модификации I. Показано, как на основе ИАМ и соответствующего ему интегрального представления решения можно проводить исследование устойчивости решения при возмущении входных данных с помощью интегральных квадратичных форм (по методу Ляпунова).

Предложен и апробирован на содержательных примерах двухмерного электротеплового поля в парамагнитных и ферромагнитных средах алгоритм оптимизации: двухэтапный процесс поиска оптимальных управляющих параметров с использованием пробных точек равномерно распределенных ЛЛ, — последовательностей И.М. Соболя, Р.Б. Статникова.

Научные положения, полученные лично автором и выносимые на защиту

1. Концепция о целесообразности сглаживания локальных возмущений поля для класса задач нагрева токопроводящих твердых тел в электромагнитном поле, где несущественна информация о фазовых превращениях в зонах возмущений и где имеет место неполная информация о входных данных: тепло- и электрофизических коэффициентах, граничных и начальных условиях, источниках тепла.

2. Предложен принцип вложенных математической модели (ВММ), т.е. чередуемых итерационно "точных" (базовых моделей) и "грубых" (субмоделей) как удобный инструментарий повышения вычислительной эффективности сложных моделей. Принцип ВММ реализован в диссертации: 1) в ИАМ (декомпозиция нелинейной задачи на последовательность линейных подзадач); 2) в алгоритме расщепления взаимосвязанной электротепловой задачи на конечных временных интервалах Д/у; 3) в алгоритме численного МПН в главе 4

(декомпозиция электромагнитной задачи на внешнюю и внутреннюю); 4) в алгоритме оптимизации электротепловых полей при подвижном пространственно временном управлении (декомпозиция на подзадачи Сф) н Су1л1|); 5) в поисковом алгоритме подзадачи при оптимизации функции пространственной формы источников у[х,;] (декомпозиция процесса поиска на "ближний" и "дальний" (см. раздел 5.1).

Обоснование новизны этого положения состоит в том, что в данной реализации принцип ВММ для рассматриваемого класса задач предложен впервые.

Достоверность обоснована цифровыми экспериментами.

Теоретическая ценность положения состоит в том, что создана методологическая основа различных приближенных аналитических и численных алгоритмов.

гральную форму представления решения, позволяющую проводить аналитические исследования устойчивости решения в условиях неполноты знаний, управляемости теплового процесса, чувствительности по различным мерам и др. Обоснование новизны состоит в том, что с позиций теории возмущения операторов сделано обобщение и математическое обоснование ранее известного ИАМ (С.А. Горбатков, М. Гживачевски), а также предложена новая модификация ИАМ.

Достоверность положения основана на доказательстве теорем 1 ... 5 из главы 2, а также цифровыми экспериментами и сравнением расчета с физическим экспериментом и тестовыми решениями (главы 2 ... 5). Цифровые эксперименты проводились совместно с М. Гживачевски и С.А. Горбатковым. Теоретическая ценность положения состоит в том, что указан путь построения конструктивных приближенных методов для нелинейных многомерных электротепловых моделей.

4. Решена задача анализа устойчивости решения нелинейной трехмерной задачи теплопроводности, получаемого по ИАМ, при возмущении начальных данных. Показана возможность использования для этой задачи математического аппарата функций Ляпунова в комбинации с ИАМ.

Обоснование достоверности положения основано на теоремах 6 и 7 и цифровых экспериментах из раздела 2.7.

Теоретическая ценность положения состоит в том, что подтверждена возможность комбинации ИАМ с методом Ляпунова для анализа устойчивости.

5. Решены двухмерные задачи расчета нестационарного электромагнитного поля в осесимметричной системе "ферромагнитный цилиндр - возбуждающий токовый слой" конечных размеров, а также квазистатическая задача расчета поля в поперечном сечении длинной ферромагнитной прямоугольной призмы. Использованы с некоторой модификацией известные численные схемы метода переменных направлений (МПН).

Новизна положения состоит в том, что нестационарная двумерная задача в ферромагнетике решена впервые. Ранее были известны решения одномерной задачи.

Достоверность подтверждена цифровыми экспериментами и сравнением с известными тестовыми задачами. Цифровые эксперименты проводились совместно с С.А. Горбатковым и A.B. Никитиным.

Теоретическая ценность положения заключается в том, что полученное нестационарное нелинейное решение двухмерной цилиндрической задачи электромагнитного поля может быть использовано как "эталон" для оценки более грубых моделей, например, квазистатических.

6. На основе ИАМ и принципа ВММ оптимизации функции пространственной формы источников тепла и на его основе построена эффективная в вычислительном аспекте модель оптимизации взаимосвязанных электротепловых полей для ферро- и парамагнитных тел.

Новизна положения состоит в том, что модель оптимизации при учете всех факторов сложности (взаимосвязи полей различной природы, неполноты знания входных данных, учета управляемых краевых эффектов, нелинейности нагреваемых сред, подвижного характера воздействий) получена впервые.

Достоверность положения обоснована цифровыми экспериментами в главе 5. Цифровые эксперименты проводились совместно с С.А. Горбатковым,

Теоретическая ценность положения заключается в апробации принципа ВММ и нетрадиционного способа учета неполноты знаний входных данных в достаточно сложных условиях математического моделирования. Методы исследования

Для разработки ИАМ использованы методы функционального анализа, спектральная теория самосопряженных операторов. Для построения моделей электромагнитного поля использован численный метод интегральных уравнений (вторичных источников), а также методы конечных разностей. Для построения модели многокритериальной оптимизации использован системный принцип декомпозиции и метод ЛП-гпоиска И.М. Соболя — Р.Б. Статникова. Для построения субмодели ("уравнений проектирования") в двухэтапном алгоритме поиска оптимальных параметров, формирующих пространственную форму источников тепла, использовался регрессионный анализ и нейросетевые модели.

Практическая ценность работы

Указан путь для разработки эффективных в вычислительном отношении приближенных численно-аналитических (аппроксимативных) методов решения сложных многомерных нелинейных краевых задач электротеплового поля и создания на их основе алгоритмов оптимизации. Данные методы позволяют построить информативные математические модели, из которых извлекается на стадии проектирования технических устройств информация без проведения дорогостоящих крупномасштабных натурных экспериментов. Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались автором на заседании Московского научно-технического общества радиотехники, радиоэлектроники и связи им. A.C. Попова (г. Москва), на семинарах кафедры "Математика" Радом-ского политехнического института (Польша), на семинаре профессора Голичева И.И. а Институте математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН (г. Уфа).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 5 работах, список которых приводится в конце автореферата. Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Сквозная нумерация содержит ... страниц, из них ... страниц основного текста и ... страниц рисунков, таблиц, оглавления и списка литературы. ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении приведено обоснование актуальности решаемой научной задачи, сформулирована цель работы и решаемые при ее реализации подзадачи, сформулирована и обоснована новизна работы в целом, а также новизна, достоверность и теоретическая ценность научных положений, полученных лично автором и выносимых на защиту.

В главе 1 проанализированы предпосылки к разработке ИАМ — центрального предложения в диссертации. Дан анализ особенностей рассматриваемого класса математических моделей для взаимосвязанных электромагнитных и тепловых полей, т.е. факторов сложности и, соответственно, общности, сравни-

ваются два способа представления решения: способ I в виде решений интегральных уравнений или разложения по собственным функциям на основе конечных интегральных преобразований; способ II в виде решений уравнений в частных производных, в основном, с помощью численных методов. Главными оригинальными результатами здесь являются: предложение о нетрадиционном (не стохастическом) подходе к учету главной особенности рассматриваемого класса моделей — неполноты знаний о входных данных; предложение о целесообразности сглаживания локальных возмущений поля; предложение о принципе ВММ (см. положения, выносимые на защиту).

Основные предложения диссертации в отношении построения модели теплового состояния объекта связаны с интегральной формой представления нелинейного решения начально-краевой задачи в виде рядов по собственным функциям эллиптического оператора, где коэффициенты разложения выражаются через интегралы по объему нагреваемого тела О, (см. (14)). Для этого исходное описание теплового состояния формулируется в виде нелинейного параболического уравнения

| (с,(е)-Рг(е)-е)=^ [МФеМ-м);

хей, 1>0, х=1ДЗ.....М; х = (х1,хг,х}), ге[ц*'], 0' = 0х[сц']е£\ (1)

где 2 — скалярная функция теплового состояния объекта (температура); Рт — плотность тела; Ср — теплоемкость при постоянном давлении; А — коэффициент теплопроводности; р(х, /) — удельная объемная джоулева мощность (управляющее воздействие по отношению к нагреваемому объекту); Г — время наблюдения теплового процесса, г* < о»; Е4 — четырехмерное евклидово просцЕряинвные условия берутся в достаточно общей форме

-з7=-<Че)(<ш<ни *еаа„ ге[о,г] (2)

где qт— тепловой поток; а(0) — коэффициент теплообмена теплопроводностью и конвекцией; 0.с — температура окружающей среды, К; <2П — температура поверхности, воспринимающей лучистый поток, К; = 2)<Р,у — коэффициент взаимной облученности; а = 5,76-Ю"8Вт/м2-К', (р^ — локальный угловой геометрический коэффициент взаимной облученности. Начальные условия

<2(*,0)=2„М. (3)

Замечание. Исходное описание тепловой модели (1) — (3) трансформируется к интегральной форме решения (14) на основе ИАМ. Пространства всех функций, входящих (1) — (3) привязаны к методу решения краевой задачи и оговорены в главе 2.

Модель электромагнитного поля в диссертации формулируется в форме дифференциальных уравнений Максвелла для ферромагнитных нелинейных сред и в форме интегральных уравнений для парамагнитных сред.

Для нелинейной безгестирезисной среды в диапазоне высоких частот (ВЧ), где можно не учитывать токи смещения, и при отсутствии свободных электрических зарядов получена следующая модель электромагнитного поля

£(Я) = [(У/х;')хга< Я] В = Ш А;

(¡Ы Л = 0, хе£1, />0, (4)

где А — векторный магнитный потенциал; ца = ц{в) — абсолютная магнитная проницаемость, нелинейная функция вектора индукции В магнитного поля; у = У(б) — удельная электропроводность, нелинейная функция температуры £).

Условия на границах раздела сред и условия затухания поля на бесконечности берутся в классическом виде и поэтому здесь не приводятся. Для неоднородных (у = К (2)) парамагнитных сред (цй = const-4лЛО'1 Г/м) модель электромагнитного поля получена в форме интегральных уравнений, где интегрирование проводится по областям, занятым источниками поля.

Одна из модификаций метода интегральных уравнений для осесиммет-ричных систем с полным осреднением ядра разработана в книге Немкова B.C., Деми-

довичаВ.Б.**

2*repJphSQ+ja>^iL\ \M'PLdSLdSF=-j^lL j JM'ndSu, (5)

i-f AS, 1SL LtB

где rp — радиус кольца P\ pp — удельное сопротивление кольца Р; MFL — коэффициент взаимоиндукции трубок тока с номерами Р и Ц А — область с известными токами; В — область с неизвестными токами; iL,iP — плотности токов в кольцах L и Р\ &Sh, &SL — площади поперечных сечений электродинамической системы, в которых расположены кольца с номерами Р и L.

Отметим, что в интегральном уравнении (5) функция M'PL (ядро интегрального уравнения) имеет особенность, ибо при P—>L M'PF —>». Эта особенность не меняет свойств уравнения, но должна учитываться тем или иным способом в вычислительных технологиях.

Модель возникающих при нагреве термонапряжений, которые служат фазовыми ограничениями при оптимизации, заимствована из работы Н.Д. Мороз-кнна.***

Глава 2 является в работе центральной. Здесь сформулирована общая концепция сглаживающих свойств операторов обращения краевых задач для па-

" Кравченко А.Н. Краевые характеристики в задачах электродинамики. — Киев: Наукова думка, 1989. — 224С

.** Немков B.C. Деминович В.Б. Теория и расчет устройствиндукционного нагрева.-Л.:Энергоатомиздат, 1988.

раболических и эллиптических уравнений. С позиций теории возмущения операторов проведено обобщение НАМ, используещего указанные сглаживающие свойства операторов обращения В'1 по отношению к ошибкам приближения возмущений уравнений. Согласно ИАМ решение нелинейной начально-краевой задачи теплопроводности аппроксимируется рядами по собственным функциям эллиптического оператора Ь, а коэффициентами разложения служат гармоники трансформанты КИП по пространственным переменным х для линеаризованных задач на кадом шаге итераций. Схема аппроксимации строится так, что в операторе обращения В'1 приближаемые итерационно нелинейные функции ((2(х,/))| входят под знаком интегрирования по объему тела £2 и, соответственно, сглаживается погрешность приближения. Предложена новая модификация ИАМ, дано его подробное описание на содержательном примере трехмерной нелинейной задачи теплопроводности. Приведена теорема 1 о существовании допустимого обобщенного решения в пространстве К2' °(й')> решения задач теплопроводности в алгоритме ИАМ, а также теоремы 2 ... 5 о существовании и единственности приближенного решения по ИАМ и оценке скорости его сходимости. Приведены теоремы 6 и 7 об устойчивости решения, получаемого по ИАМ, при возмущении начального состояния, обусловленного неполным знанием входных данных.

Изложим идею ИАМ подробнее. Пусть в начально-краевой задаче (1) — (3) правая часть Р(х, ?) — измеримая функция из Х.2(й')> все заданные функции {а„, (£?(*>'))} в (1) и (2) — это гладкие функции из С2(о) в диапазоне изменения 0{х, I) е [{?„,„, ] и продолженные за пределы этого диапазона в виде констант с помощью операторов срезки вида

А», если а„,{х,1)<Р1т, а„ (*,/), если Д„, <ат(х,{)</32„,, &,„. если а„,(х,1)>Р2,„.

Пусть вводится новая зависимая переменная и = ^ \(о)с1(), относитель-

Со

но которой начально-краевая задача трансформируется к виду

{ди/дп)= у(х,1,и); г{х,0) = 0; 5 = 1Д", (7)

где а(и) — нелинейный коэффициент температуропроводности.

Ниже будет показано, что начально-краевая задача (7) однозначно разрешима, т.е. существует обобщенное решение в пространстве У]0(£2'). Опираясь на этот факт, построим итерационную схему НАМ. Запишем операторные уравнение для (7):2

Аи

=|//(л,/,ы); и(х,0) = 0. (7а)

Представим нелинейный оператор Л в виде суммы невозмущенного линейного параболического оператора 5 и оператора возмущения Л:

Аи = Ви+ Ки-У{х, /) = 0; Км = в, (ы)((9и/й); Ви = а0{ди/д1)~ Ли, ¿ = V2. (8)

Аналогично аппроксимируется нелинейный оператор граничных условий

ЛГиЦя.и+Д.иЦ-а (9)

(Я."!», =ао(«-"с|а1; (Ю)

2 *** Морозкин Н.Д. Оптимальное управление процессами нагрева с учетом фазовых ограничений.-Уфа:Баш-

кирский госуд. ун-т, 1997.-117С.

где /5(и) — некоторая нелинейная функция, образующаяся в результате выделения в правой части ц/(х, и) граничных условий линейного члена В ¡и. Организуем итерационный процесс

и{х,0) = 0; ЛЬ'"*" =[в,им + К,«'"1]^; (12)

5' = п- 0, 1, 2, ...

В случае, если нелинейные члены уравнения, ответственные за возмущение линейного процесса аппроксимируются гладкими функциями координат и времени (), г]25(х,1)

4и<»»(х>(),а,(н<»'(х,0)] = Г7,Ы;

«й; 'е[о,г'], (13)

и при решении линеаризованных начально-краевых задач (12) — (13) по схеме КИП, мы получаем алгоритм ИАМ. Запишем конечный результат:

= (14)

к я т

где йы(\1т,,т) — гармоники трансформанты КИП по пространственным переменным; ,х) — собственные функции эллиптического оператора V2« для

соответствующей задачи Штурма — Лиувилля; } — собственные числа; г — безразмерное время (число Фурье).

Замечание. Основное преимущество ИАМ —

а Б

Рис. 1. К оценке погрешностей ИАМ: а - зависимость невязки

6к = тах \21к\х,у,г,т)~ &а~п(х, >',г,г)]/ <2'м(х,у,г,т) I от числа членов ряда к для т=0,2884 (1) и 0,5769 (2) и при усечении рядов в решении;

б - зависимость невязки 8П = шах ¡[2'"1 (х, у, г,т)~

(х,у,г)е0,1б[0,х*]

- (х,у,1,х)]1 й{п\х, у, г,г) |для ИАМ от номера итераций п

Рис. 2. Сравнение нелинейного (1) и линейного (2) решений с экспериментальным распределением температуры (3)

это возможность различных аналитических построений, которые допускает интегральная форма представления решения (14), в частности исследование управляемости процесса, его устойчивости при возмущении заданных функций, чув-

ствительности по мерам, выборе класса оптимальных управлений и др. В вычислительном аспекте эффективность ИАМ обусловлена вынесением линеаризованных итераций на начальную стадию алгоритма, т.е. для функциональных уравнений, что устраняет накопление ошибок округления чисел на ЭВМ и дискретизации области £1', в итерационных циклах решения больших систем алгебраических уравнений, характерных для численных методов. Недостаток ИАМ — ограниченная область применимости с точки зрения разделения переменных в задаче Штурма — Лиувилля (шестигранники Ламе). ИАМ становится громоздким для составных тел.

В главе 2 приводятся данные числовых экспериментов по анализу адекватности модели электротеплового поля, получаемой по ИАМ. Рассмотрен достаточно общий случай трехмерной задачи теплопроводности при нагреве прямоугольного параллелепипеда [5]. Расчет трехмерной функции источников тепла F(x, /) заимствован из работы Бахарева И.А., Гживачевского М., Горбаткова С.А., Мельникова В.И. Фрагменты результатов расчета показаны на рис. 1 и 2. Видно, что при невязке для соседней итерации по ИАМ 5„ = 0,5% процесс сходится за 8 шагов. При удержании в разложении (14) по 8 членов ряда по каждой координате невязка <5Д. =0,05%. Оценки свидетельствуют об адекватности модели. Отметим, что эти оценки получены в сложных условиях трех пространственных измерений и сильных нелинейностей: в частности, в граничных условиях (2) учитывалась зависимость лучистого потока в четвертой степени от температуры.

В главе 2 исследованы общие условия сходимости ИАМ. Основные результаты приведены в виде теорем и лемм. Дадим их краткую формулировку.

Теорема 1. Пусть решение нелинейной начально-краевой задачи (1)-(3) относительно переменной и(х, /) преобразования Кирхгофа находится по алгоритму ИАМ (7а) — (14), причем F(x, I) — измеримая функция из L2(Q') и выполнены условия гладкости для заданных функций {ап(х,т)}еС2(и)}, продолженных в виде констант с помощью оператора срезки (6) за пределы интервала

Бахарев И.А., Гживачевски М., Горбатков С.А., Мельников В.И. Разработка разностных схем для расчета двух- и трехмерных электромагнитных полей If Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ. Теория,

гладкости ые[{/,,С/2]. Пусть функции ц(х,г), г), аппроксимирующие в (13)

возмущения я(им{х,1)) и Я,(и'"1 (.т,г)), принадлежат пространству Сг|(О')с IV, где W— пространство конечномерных функций.

Тогда им(х, I) является обобщенным допустимым решением в пространстве (П') с нормой

Н„, = max

К («) OSrSr

\\\{и\1С1[Л + dQdz

(15)

Данная георема гарантирует однозначную разрешимость линеаризованной начально-краевой задачи на каждом шаге итераций по ИАМ (n = const). Теорема доказана с использованием математического аппарата интегральных тождеств и спектральных свойств оператора L в (8).

Лемма 1. Пусть выполнены все условия теоремы 1 для ИАМ, и и'"\х, t) е K2l 0(iJ')> причем операция аппроксимации (13) минимизирует среднеквадратиче-ский критерий

(16)

где (у„„) — точные значения аппроксимируемых функций аргументов в /-ом узле аппроксимации Р(х„ Г,), а {ут1} — приближенные значения, вычисленные из rfXxj), ifls(x,') при подстановке в них х — х,- и t = ¡¡, b — вектор оцениваемых коэффициентов аппроксимации.

v!,r,,(x,t)eCu(Q')clV.

математическое моделирование и САПР ОИС СВЧ: Межвуз. сб. научн. трудов. — М.: Институт автоматизации проектирования АН СССР, 1991, с. 53 — 65.

Тогда справедливо утверждение: операция аппроксимации (13) заданных функций в алгоритме ИАМ разрешима на каждом шаге п = const и для решения линеаризованных начально-краевых задач применим метод конечных интегральных преобразований относительно пространственных переменных х.

Данная лемма создает предпосылки получения аналитической интегральной формы решения (14) в алгоритме ИАМ. Доказательство леммы основано на известной теореме о разрешимости задачи приближения функции многих переменных по среднеквадратическому критерию (16), а также оценка величин возмущений r{i(x,i)) и rt[u(x,t)).

Теорема 2. Пусть выполнены все условия и утверждения леммы 1 и теоремы 1. Тогда итерационный процесс по ИАМ совершаемый по алгоритму (6) — (14) принадлежит к классу одношаговых нестационарных процессов последовательных приближений с формулой перехода к очередному шагу

=G,u'">, G„ *G,„,, п = 0, 1..........(17)

где волнистой чертой обозначены приближенные значения.

Данная теорема позволяет привлечь к исследованию ИАМ математический формализм теорию нестационарных (возмущенных) операторов Дж. Ортеги и В. Рейнболдта.*

Теорема 3. Пусть ИАМ реализуется по алгоритму (6) — (14) в условиях выполнения леммы 1 и теорем 1, 2. Наряду с итерационным процессом (17) будем рассматривать вспомогательный итерационный процесс с использованием точного значения оператора G:

и{"*п =Gu(">, n = 0, 1, 2, ..., (18)

* Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. — М.: Мир, 1975. — 560 с.

где О — оператор перехода от шага п к шагу п + 1, не подвергнутый возмущению за счет операции аппроксимации (сноса) а: С —» согласно алгоритму (13). Здесь {к'"1} —последовательность точных решений;

2) выполнены условия G-.Dc. У 6И,1,0(£2')-» У е ^'"(П')» имеет место сжатие на £> с постоянной 0 <<]< 1:

ЦСи-СиЦ^и-йЦ, Ум, йеД и е X, меХ (19)

и при некотором q > 0 отображение G,:D, У е (£2') является

также сжимающим:

))д„2-Сли)|<4г-4 Vz, ueD, (20)

где г,й — два разных элемента из D; {и} — аппроксимирующая последовательность;

3) существует элемент начального приближения и(о1 е D такой, что в шаре s(u{>],г) с центром м(|) =Gaüw и радиусом r,S с D, выполняется условие, связывающее радиус шара г с постоянной сжатия q и погрешностью аппроксимации оператора перехода на первом шаге <5:

r><i4l-q)"+ö-, m = \Um-uwi

|Gu(0)-G0u,0)|<e0,Vn>0; (21)

4) для текущей невязки решения -G0u'0'|< г:0, V« > О, выполняется одно из условий

lim е =0; (22)

lim p,u -Gu'| = 0. (23)

где к* — точное решение задачи (7).

Тогда справедливы утверждения:

1°. Последовательности {«'"'} и {и1"1} для точного и приближенного решения корректно определены, т.е. {и'"'}, {и'"'} содержатся в шаре S.

2°. Последовательности и (и1"1] сходятся к единственной непод-

вижной точке (точному решению) и :

lim t/"> = и ; (24)

lim ü1,1 =«'; (25)

П—»«■

3°. Для погрешности приближенного решения по ИАМ и скорости сходимости справедливы оценки:

»"'""-".II^M^-^I^^ (26)

-и-^р-*1) п=олд... (27)

Данная теорема является центральной в работе, так как она устанавливает существование и единственность решения по ИАМ в пространстве Кг'°(П') и, главное, дает конструктивную оценку достигаемой на (л-1)-ом шаге погрешности решения через невязку решения между соседними итерациями (л + 1) и п. Теорема доказывается с использованием теории нестационарных сжимающих операторов и известными аксиомой треугольника, признака сходимости Больца-но — Коши и теоремы о неподвижной точке в банаховом пространстве.

Теорема 4. Пусть для начально-краевой задачи (7) итерационный процесс согласно модификации / ИАМ совершается по алгоритму

-^■-а&и^ = р(х,1,ри1,) + (а{ри1)-а)^1ик ^«ц) (28)

|^,(х,0) = 0, (29)

где а = 0,5 (а, + а2); а,, а2 —константы, ограничивающие коэффициент температуропроводности а(и)е[а,,а2];£ —ограниченная на функция; Р(-) —оператор срезки вида (6).

Пусть выполнены все условия леммы 1 и теорем 1, 2. Тогда справедлива оценка

||М-«Х<с<е)(<?+£)||»-"о|1 (31)

а,-а.

при любом £ > 0, где а =-< 1.

а2+а.

Кроме того, найдется такое Я = л(е), что

|| (32)

Замечание 1. Необходимость введения срезающего оператора Р в итерационную процедуру обусловлена сильной нелинейностью в краевых условиях.

Замечание 2. Функцию можно выбрать произвольным образом, лишь бы она была ограниченной. Например, можно положить £ = 0, тогда получим вторую краевую задачу. Однако выгоднее Функцию | выбрать как некоторое усреднение правой части краевых условий (7).

Значение теоремы 4, аналогично теореме 3.

Теорема 5. Пусть выполнены условия Теоремы 4 и на каждом шаге итерации допускается погрешность, не превосходящая дк в метрике V. Тогда

1К 41

к = 1,2,..., (33)

где 0 = + £, С = С(£).

Теорема 5 определяет устойчивость процесса для модификации I ИАМ. Доказательство сделано с использованием метода индукции и аксиомы треугольника.

Теоремы б и 7 устанавливают асимптотическую устойчивость решения по ИАМ при возмущении начального теплового состояния (20(х) тела. Для доказательства использован математический аппарат методов Ляпунова, обобщенный Т.К. Сиразетдиновым для СРП*: интегральное представление решения (14) позволило построить функции Ляпунова и исследовать их на знакоопределенность.

В главе 3 проведены цифровые эксперименты по оценке сглаживающих свойств операторов обращения В"' линеаризованных задач по алгоритму ИАМ для уравнений теплопроводности Фурье и электромагнитного поля Гельмгольца, а также скорости сходимости ИАМ. Фрагмент расчета для процесса "градиентного индукционного нагрева" [5] показан на рис. 3. Введены меры сглаживания для теплового потока (¡г на границе

1кМ.'Ц 0,4333 ~ |е(1Д.'-)|| "0,2487 "1,741

и для функции источников тепла:

||'»{1,г,г| 0,984 " = = 0,2487

Видно, что эффект сглаживания проявляется достаточно четко.

Что касается скорости сходимости ИАМ при невязке -0,5%, то она колеблется в пределах 5 ... 10 шагов. Необходимое число членов ряда в (14) при этом =5... 7.

' Сиразетдинов Т.К. Устойчивость систем с распределенными параметрами. •— Новосибитск: Наука. Сибирское отд-ние, 1987. — 231 с.

В главе 4 в качестве примера приведено решение двух задач электромагнитного поля при нагреве ферромагнетиков: задачи I для осесимметричной электродинамической системы и задачи II для прямоугольного тела.

Для задачи I расчетная схема показана на рис. 4, а результаты расчета на рис. 5. Использовалась модель электромагнитного поля (4). Для обеих задач решение получено численным методом переменных направлений. Реализованы некоторые приемы нахождения итерационных параметров, что нетривиально для нелинейных задач.

Л Вт/"г 10 ООО

г 0М&10,1 о,г

-- расчет

- - эксперимент

1,2- Распределение С в моментах окончания этапа основного и градиентаного нагрева соответственно 3,4- распределение в конце этапов ОН и ГН

5 - тепловой поток на поверхности Рис. 3. Распределение удельной джоулевой мощности и температуры Т по поверхности нагреваемого цилиндра.

Замечание. Численное решение нелинейной двухмерной нестационарной краевой задачи / можно рассматривать как эталонное (точное) решение при анализе различных приближенных квазистатических моделей.

Решение задач / и // входит как составная часть построение электротепловых моделей.

В главе 5 предложен приближенный декомпозиционный алгоритм решения параметрической многокритериальной задачи оптимизации электротеплового поля на примере упомянуто выше процесса градиентного нагрева парамагнитных цилиндров (рис. 4). Алгоритм реализует принцип ВММ (см. положения 2 и 6, выносимые на защиту). Цифровые эксперименты [5] показали вычислительную эффективность этой сложной модели оптимизации. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Исследованы особенности аналитических и численных моделей взаимосвязанных электромагнитных и тепловых полей в нелинейных средах с точки зрения их проблемной ориентации на краевые задачи оптимизации поля, т.е. управления краевыми эффектами, а также учета специфики рассматриваемого класса задач с неполным знанием входных данных.

2. Дан сравнительный анализ двух форм представления искомых решений для тепловых и электромагнитных полей: в форме решений дифференциальных уравнений, в форме решений интегральных уравнений. Сделан вывод о предпочтительности второй формы для рассматриваемого класса задач: в электромагнитных задачах это понижает размерность расчетных уравнений после дискретизации задачи, а в тепловых — позволяет применить в области изображений КИП хорошо развитый математический аппарат оптимального

управления системами, описываемыми обыкновенными дифференциальными уравнениями.

3. Предложен нетрадиционный (не стохастический) способ учета фактора неполноты знаний входных данных, который реализован в совокупности оригинальных предложений при построении математических моделей взаимосвязанных электротепловых полей: в приближенной аппроксимации нелинейных решений краевых задач собственными функциями линейных операторов; в использовании простых схем аппроксимации возмущенной части оператора; в процедуре расщепления электротепловой задачи; в принципе ВММ; в двух-этапном алгоритме поиска оптимума; в постановке задачи оптимизации.

4. Установлена необходимость сглаживания локальных возмущений поля в рассматриваемом классе задач.

5. Предложен принцип вложенных математических моделей (неоднородности расчетной модели).

6. Исследованы сглаживающие свойства операторов обращения краевых задач для нелинейных параболических и эллиптических уравнений по отношению к приближенным возмущенным частям оператора и предложено использование этих свойств как инструментария разработки приближенных конструктивных методов.

7. На основе теории возмущения операторов сделано обобщение ИАМ и предложена его новая модификация и сделана его апробация на примере сложной нелинейной трехмерной задачи теплопроводности.

8. Доказана теорема 1 о существовании допустимого обобщенного решения в пространстве ^¡' "(О.') линеаризованных краевых задач теплопроводности, получаемых по алгоритму ИАМ.

9. Доказаны теорема 2 об отнесении итерационного процесса ИАМ к классу од-иошаговых процессов с нестационарными операторами.

10. Доказана теорема 3 о сходимости итерационного процесса к точному решению (йм ->и) и оценке скорости сходимости для базового ИАМ.

11. Получены теоремы 4 и 5 о сходимости итераций для модификации I НАМ и устойчивости итерационного процесса.

12. Доказана теорема 6 и 7 об устойчивости решения по НАМ по возмущению начального состояния.

13. Проведены серии цифровых экспериментов по исследованию сглаживающих свойств операторов обращения тепловых и электромагнитных задач, а также оценка скорости сходимости ИАМ и его погрешностей.

14. Решены задачи электромагнитного поля в ферромагнитной нелинейной среде, которые входят в модель оптимизации.

15. Предложен декомпозиционный алгоритм расщепления общей задачи оптимального управления электротепловым полем на подзадачи оптимизации функции интенсивности С1<(;) и функции пространственной формы

источников тепла.

16. На основе принципа ВММ предложен двухэтапный поисковый алгоритм оптимизации управляющих параметров в параметрической подзадаче Сг(г1у

17.Построены и апробированы двухмерные модели оптимизации взаимосвязанных электромагнитных и тепловых полей для парамагнитных в нелинейных и неоднородных средах.

ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ СЛЕДУЮЩИЕ РАБОТЫ:

1. Вуйтович М.Е. Математическое обоснование итеро-аппроксимативного метода решения нелинейных многомерных задач электротеплового поля // Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ, 1999, Т. 7, №1, С. 6 — 17.

2. Гживачевски М., Вуйтович М.Е. Итеро-аппроксимативный метод решения нелинейных многомерных задач элекгротеплового поля // Инженерно-физический журнал, 1999, №

3. Гживачевски М., Вуйтович М. Исследование закономерностей краевых эффектов электротеплового поля на основе математического моделирования // Труды Радомского политехнического института. Серия "Математика", 1999, №

4. Никитин A.B., Вуйтович М. Расчет нестационарного электромагнитного поля в системе "возбуждающий токовый слой — ферромагнитный цилиндр конечных размеров" // Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ, 1999, Т.7, № 1, С.

5. Гживачевски М., Сарнецка В., Вуйтович М. Декомпозиционный метод решения начально-краевых нелинейных многомерных задач оптимального управления электротепловым полем // Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ, 1999, Т.7, № 4, С.

6. Петрасик Л., Вуйтович М., Горбатков С.А. Математическое обоснование существования обобщенного решения нелинейного параболического уравнения, получаемого с помощью НАМ // Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ, 1999, Т.7, №4, С.

Оглавление автор диссертации — кандидата физико-математических наук Вуйтович, Марек

Введение

Глава 1 Требования к математическим моделям оптимизации электро- и теплопереноса

1.1 Особенности аналитических и численных моделей в аспекте их применения к оптимизации сложных электротепловых систем с распределенными параметрами

1.2 Математическое описание электротепловых СРП в виде сопряженных краевых задач для систем уравнений в частных производных

1.3. Математическое описание в виде интегральных и интегро - дифференциальных уравнений

1.3.1. Интегральные уравнения для теплового поля

1.3.2. Интегральные и интегро-дифференциальные уравнения для электромагнитного поля.

1.4. Особенности использования моделей с неполным знанием входных данных

1.5 Необходимость сглаживания локальных возмущений коэффициентов уравнений и функций неоднородности в задачах параметрической оптимизации

1.6 Принцип вложенных математических моделей (неоднородность расчетной модели)

Глава 2 Приближенные интегро-аппроксимативные методы построения решений нелинейных многомерных краевых задач для параболических и эллиптических уравнений

2.1. Общая концепция сглаживающих свойств операторов обращения краевых задач для параболических и эллиптических уравнений

2.2. Приближенный итеро-аппроксимативный метод, основанный на аппроксимации нелинейного решения собственными функциями специально построенных линейных операторов щ

2.2.1. Построение итерационных процедур щ

2.2.2. Алгоритм ИАМ в содержательных обозначениях \{\

2.3 Модификация I интеро-аппроксимативного метода {¿у

2.4 Теорема об обобщенном решении задачи теплопроводности

2.5. Теоремы о существовании и единственности решения и оценке скорости сходимости базового итеро-аппроксимативного метода

2.6 Теоремы о сходимости и устойчивости итерационного процесса для модификации 1 итеро-аппроксимативного метода

2.7 Теоремы об устойчивости решения нелинейного параболического уравнения теплопроводности, получаемого по ИАМ, при возмущении начального состояния 15&

Глава 3 Цифровые эксперименты по анализу сглаживающих свойств операторов обращения дая параболических и эллиптических уравнений по алгоритму иам и оценке скорости его сходимости <|6&

3.1 Количественные меры для оценки сглаживающих свойств операторов обращения краевых задач теплопроводности и электромагнитного поля 16$

3.2 Оценка сглаживающих свойств оператора обращения Ь" 1 и скорости сходимости для параболических уравнений теплопроводности /¡

3.3 Оценка сглаживающих свойств операторов обращения уравнений Гельмгольца для электромагнитного поля и скорости сходимости ИАМ

Глава 4 Решение краевых задач электромагнитного поля ^

4.1 Решение начально- краевой задачи для параболического уравнения, описывающего нестационарное электромагнитное поле в системе "возбуждающий токовый слой ферромагнитный цилиндр конечных размеров"

4.2 Решение краевой задачи для эллиптического уравнения, описывающего квазистационарное электромагнитное поле в сечении ферромагнитной прямоугольной призмы

Глава 5 Алгоритм оптимизации взаимосвязанных электромагнитных и тепловых полей на базе решений краевых задач итеро-аппроксимативным методом

5.1 Декомпозиция задачи оптимального подвижного управления ¿¿^

5.2 Алгоритм решения подзадачи г, оптимизации функции пространственной формы подвижных источников тепла 2.2.%

5.3 Пример исследования закономерностей проявления электротепловых краевых эффектов и решения задачи оптимизации на основе итеро-аппроксимативного метода

5.4 Апробация декомпозиционного итерационного алгоритма в условиях нелинейной краевой задачи для уравнений максвелла

Введение 1999 год, диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению, Вуйтович, Марек

Предметом исследования в диссертации являются вопросы математического моделирования и оптимизации тепло- и электрофизических процессов, описываемых сопряженной (взаимосвязанной) системой уравнений Максвелла и уравнения теплопроводности Фурье. Рассматривается класс многомерных (двух- и трехмерных) начально-краевых задач с учетом нелинейности заданных функций — коэффициентов уравнений, граничных условий и свободных членов (правых частей уравнений) — при неполном знании входных данных. Модели проблемно ориентированы на решение задач оптимизации электротепловых полей при подвижных пространственно-временных источниках воздействия (джо-улевых источниках тепла).

Указанный класс задач является моделью многих современных технологий, где осуществляется распределенное или сосредоточенное воздействие электромагнитного поля на токопроводящие твердые поверхности (металлические, порошковые, композиционные, полупроводниковые), а также расплавы жидкого металла. Примерами могут служить процессы индукционного нагрева на средних и высоких частотах и сквозного электрического нагрева токопрово-дящих тел, сварки, термообработки, магнитогидродинамического воздействия на жидкие металлы, нагрев подложек в электронной полупроводниковой технологии, плазменное напыление, процессы нагрева элементов объемных интегральных схем (ОИС) СВЧ и КВЧ и др. [1,2;8].

Системы, где имеют место взаимосвязанные электромагнитно-теплофизические процессы будем далее называть «электротепловыми системами с распределенными параметрами (СРП)».

Выделенный для исследования класс электротепловых моделей характеризуется одновременным учетом нескольких факторов сложности и, соответственно, общности: взаимосвязанных электротепловых краевых эффектов в теле, на которое воздействует поток электромагнитной энергии; многомерности задачи (2 пространственных измерения для осесиммет-ричных СРП и 3 для прямоугольной геометрии); проблемной ориентации на решение многокритериальных (векторных) начально-краевых задач оптимального управления с нелинейными фазовыми ограничениями; такая ориентация порождает спецефические вычислительные проблемы, связанные с большой размерностью расчетной системы уравнении; изменения источников воздействия (джоулевых источников тепла) как во времени, так и в пространстве при непрерывном или дискретном перемещении источников относительно тела; всех видов нелинейностей в исходном математическом описании электротеплового процесса; неполноты знаний входных данных, т.е. фактора неопределенности.

Последний фактор сложности — неполнота входных данных — является центральным при разработке математических моделей электротепловых процессов и, главное, при создании конструктивных приближенных методов решения нелинейных многомерных начально-краевых задач, обладающих требуемой вычислительной эффективностью.

Математические модели для взаимосвязанных электротепловых нелинейных процессов с учетом указанных выше факторов общности практически не изучены. Отсутствуют также конструктивные, эффективные в вычислительном отношении методы решения начально-краевых задач для этих моделей.

Рассмотрим эту проблему подробнее. Исследуемую научную задачу можно условно разделить на три части:

Разработка эффективных в вычислительном отношении для целей оптимизации и управления методов решения нелинейных многомерных краевых задач теплопроводности;

Создание эффективных в вычислительном отношении в аспекте учета реального распределения джоулевых источников тепла в зоне краевых эффектов математических моделей электромагнитного поля в ферромагнитных и парамагнитных телах;

Разработка алгоритмов оптимизации взаимосвязанных электромагнитных и тепловых полей и решение краевых задач оптимизации.

В силу сложившихся традиций исследования в области каждой из перечисленных задач проводились учеными различного профиля, т.е. в различных областях знаний. Рассматриваемая проблема математического моделирования и оптимизации взаимосвязанных электромагнитных и тепловых полей требует, по существу, междисциплинарных исследований. Поэтому решение всех трех перечисленных задач в их взаимосвязи встречается в литературе лишь фрагментарно.

Прямые начально-краевые задачи для параболических уравнений теплопроводности в твердых телах относятся к наиболее изученной области математической физики. Здесь значительный вклад внесли отечественные и зарубежные ученые теплофизики и математики: Абрашин В.В., Бахвалов Н.С., Белоцер-ковский О.М., Беляев Н.М., Вабищевич П.Н., Галицын A.A., Годунов С.К., Го-лант Е.И., Гулин A.B., Долинский A.A., Дьяконов А.Г., Еремин А.Ю., Жидких В.М., Жуковский А.Н., Зарубин B.C., Ильин В.П., Исаев С.А., Карташов Э.М., Кузнецов Ю.И., Курант Р., Коздоба JI.C., Коляно Ю.М., Лебедев В.И., Лыков A.B., Марчук Г.И., Мартыненко О.Г., Мацевитый Ю.М., Морс Ф.М., Митро-польсктй Ю.А., Михайлов Ю.А., Михеев М.А., Николаев Е.С., Ноготков Е.Ф., Пасконов В.М., Подстригач Я.С., Полежаев В.И., Полежаев Ю.В., Пехович A.A., Рыкалин H.H., Рябенький B.C., Рядно A.A., Седов Л.И., Самарский A.A., 7

Тайц Н.Ю., Тихонов А.Н., Фешбах Г., Шиков В.К., Четвертушкин Б.Н., Чудов JI.A., Anderson D., Axelsson О., Barker V.A., Chan T.F., Mathew T.R., Morton K.W., Fletcher A.I., Hicsch C., Hitzchke P.-P., Petche-r R., Tannenhill U.I., Schulze D.

Здесь исследования шли по двум направлениями: для простейших одномерных моделей разрабатывались различные приближенные аналитические подходы [24-26, 32, 47, 51, 83, 88], а для многомерных нелинейных задач развивались, в основном, численные методы [4, 46, 47, 51, 63, 65, 66, 77, 78, 79, 86, 87, 93, 99, 98, 102]. Заметим, что теория вычислительных методов для нелинейных многомерных краевых задач теплопроводности далека от завершения.

Аспекты функционального анализа по рассматриваемой проблеме теплопроводности для итерационных аналитических и численных методов содержатся в трудах Ахиезера H.H., Вайникко Г.М., Акилова В.П., Вабшцевича П.Н., Васина В.В., Вулиха Б.З., Гохбера И.Ц., Гребенникова А.И., Иванова В.К., Иосиды К., Канторовича Л.В., Колмогорова А.Н., Кошелева А.И., Крейна М.Г., Красносельского М.А., Ладыженской O.A., Люстерника Л.А., Морозова В.А., Наймар-ка М.А., Ортеги Дж., Рейнболдта В., Рисса Ф., Солонникова В.А., Тананы ВН., Треногина В.А., Уральцевой H.H., Фомина С.В., Хайгемана Л., Шварца Дж.Т., Халмыша П., Эдвардса Р., Янгом Д., Chandra I., Dressel F., Norman Р.Л, Pach-patte B.G. и др.

Вторая часть исследуемой проблемы — краевые задачи электромагнитного поля — исследована значительно меньше, особенно для нелинейных многомерных постановок. Объясняется это большими вычислительными трудностями, для электродинамических задач по сравнению с тепловыми (см. главу 1).

Основным стимулом для развития этого класса задач явилось развитие радиотехники, радиоэлектроники и, в частности, объемных интегральных схем (ОИС) СВЧ, а также электрофизических процессов. Из этого крута задач назовем работы Бабича В.М., Березовского B.C., Булдырева B.C., Вайнштейна Л.А., Вольдека А.И., Гринберга Г.А., Данилевича Я.Б., Демиръяна К.С., Домбровско-го В.В., Зоммерфельда А., Иванова-Смоленского A.B., Кацнеленбаума Б.З., Когана М.Г., Кравченко А.Н., Косачевского В.И., Леонтовича H.A., Майергойза Н.Д., Маркувица Н., Миллера М.А., Неганова В.А., Неймана Л.Р., Нефедова

Е.И., Никольского Т.И., Петрушенко Е.И., Сухорукова В.В., Свешникова А.Е., Тозони О.В., Фиалковского A.F., Чечурина B.JL, Цейтлина Л.А., Яшина A.A., Neumann E.G., Hondo К., Yarrington R.F. и др.

Перейдем теперь к анализу третьей части рассматриваемой проблемы — оптимизации взаимосвязанных электротепловых полей или, что то же самое, оптимального управления этими полями. Данный круг задач примыкает также к теории обратных задач математической физики. Рассматриваемый в диссертации класс задач оптимизации можно отнести с позиций теории управления к классу систем управления с распределенными параметрами (СРП) заложены в работах Алексеева В.М., Алифанова О.М., Андреева Ю.Н., Арсенина В.Я., Беллмана Р., Васильева Ф.П., Еласко В.Б., Дейярева Е.Л., Дикусара В.В., Дими-ченского В.Н., Дубовицкого А.Я., Егорова А.И., Егорова Ю.В., Кирина Н.Е., Красовского H.H., Лаврентьева М.М., Лионса Ж.-Л., Ли Э., Лурье К.А., Малого С.А., Маслова В.П., Милютина A.A., Морозова В.А., Маркуса Л., Моисеева H.H., Орлова Ю.В., Пшеничного Б.Н., Первозванного A.A., Пустыльникова Л.М., Поляка Б.Т., Тихомирова В.И., Темкина А.Г., Уткина В.И., Федоренко Р.П. Чубарова Е.П., Ягола А.Г., Takamatsu, Root W., Woods I., Kurzhnskii A.B. и ДР

Здесь следует отметить, что для СРП достаточно уже развит научный инструментарий: сделаны обобщения основных методов оптимизации динамических систем, разработанных первоначально для систем с сосредоточенными параметрами, моделями которых являются обыкновенные дифференциальные уравнения — метод моментов, принципа максимума Понтрягина, метода динамического программирования, методов Ляпунова для анализа устойчивости, методы регуляризации обратных задач [14, 17-19, 21, 23, 55, 56, 67, 70, 71, 89, 97, 100]. Однако основные результаты здесь апробированы для достаточно простых модельных линейных одномерных задач. Перенос результатов на нелинейные многомерные задачи требует дополнительных обоснований и исследований. Например, при подвижном воздействии даже на линейную тепловую систему проблема моментов получается нелинейной [89]. СРП и подвижным воздействием при многомерной постановке задачи практически не исследованы.

Работы, в которых одновременно учитываются все три части исследуемой проблемы — тепловая, электромагнитная и оптимизационная — носят редкий, фрагментарный характер. К теме диссертации непосредственно из круга таких работ примыкают исследования Когана М.Г. [30], Демидовича В.Б. и Немкова [102], Коломейцевой М.Б., Рапопорта Э.Я. [22], Морозкина Н.Д. [80], Голичева И.И. [67]. Однако ни в одной из этих работ, а также в исследованиях учеников указанных руководителей научных школ применительно СРП не рассмотрена проблема целиком, т.е. с охватом тепловых, электромагнитных и оптимизационных аспектов для достаточно общих моделей (с учетом оговоренных выше факторов сложности). Исключение составляют работы М. Гживачевски и С.А. Горбаткова [8, 37, 57, 60, 61, 62, 82, 91, 99] и их учеников. Диссертация автора является логическим продолжением и развитием работ М. Гживачевски и С.А. Горбаткова.

2. Разработать и усовершенствовать итеро-аппроксимативный метод (ИАМ) решения внутренних многомерных нелинейных краевых задач для параболических и эллиптических уравнений применительно к простой геометрической форме нагреваемости тела.

4. Решить краевые задачи электромагнитного поля в нелинейных ферромагнитных средах на основе численного метода переменных направлений.

Научная новизна работы в целом

На основе разработанных принципов проведено обобщение известного ранее ИАМ в рамках теории возмущения операторов, предложена новая модификация ИАМ. Идея предложенного ИАМ состоит в аппроксимации решения нелинейного операторного уравнения Ли = Р собственными функциями специально построенного линейного (невозмущенного) оператора В с учетом сглаживающих свойств оператора В'1 обращения линеаризованных краевых задач по отношению к приближаемым возмущениям Ки, где А - В + К. Проведено математическое обоснование базового ИАМ и его модификации I. Показано, как на основе ИАМ и соответствующего ему интегрального представления решения можно проводить исследование устойчивости решения при возмущении входных данных с помощью интегральных квадратичных форм (по методу Ляпунова).

Предложен и апробирован на содержательных примерах двухмерного электротеплового поля в парамагнитных и ферромагнитных средах алгоритм оптимизации: двухэтапный процесс поиска оптимальных управляющих параметров с использованием пробных точек равномерно распределенных ЛПГ — последовательностей И.М. Соболя, Р.Б. Статникова.

Научные положения, полученные лично автором и выносимые на защиту

Обоснование новизны положения состоит в том, что фактор неопределенности учитывается не путем построения стохастической модели, как это обычно принято (для рассматриваемых сложных объектов моделирования и при отсутствии априорных сведений о законах распределения автор считает этот подход малоэффективным), а закладывается в качестве методологическая основа построения эффективных приближенных математических моделей с интегральной формой представления решения.

Достоверность положения обоснована апробацией путем цифровых экспериментов вычислительной эффективности построения моделей (главы 2 . 5).

Теоретическая ценность вывода состоит в том, что указан путь (принципы) построения моделей исследуемого класса для СРП с неполным знанием входных данных. Причем способ сглаживания локальных возмущений поля может быть различным в зависимости от конкретного метода решения краевых задач.

2. Предложен принцип вложенных математической модели (ВММ), т.е. чередуемых итерационно «точных» (базовых моделей) и «грубых» (субмоделей) как удобный инструментарий повышения вычислительной эффективности сложных моделей. Принцип ВММ реализован в диссертации: 1) в ИАМ (декомпозиция нелинейной задачи на последовательность линейных подзадач); 2) в алгоритме расщепления взаимосвязанной электротепловой задачи на конечных временных интервалах Л/у; 3) в алгоритме численного МПН в главе 4 декомпозиция электромагнитной задачи на внешнюю и внутреннюю); 4) в алгоритме оптимизации электротепловых полей при подвижном пространственно временном управлении (декомпозиция на подзадачи Са(г) и ^); 5) в поисковом алгоритме подзадачи при оптимизации функции пространственной формы источников (//[х,/] (декомпозиция процесса поиска на «ближний» и «дальний» (см. раздел 5.1).

3. На основе теории возмущения операторов предложена новая модификация итеро-аппроксимативного метода (ИАМ) решения нелинейных многомерных параболических и эллиптических уравнений для тел простой формы (шестигранников Ламе) и построены соответствующие модели. Метод дает интегральную форму представления решения, позволяющую проводить аналитические исследования устойчивости решения в условиях неполноты знаний, управляемости теплового процесса, чувствительности по различным мерам и др. Идея метода основана на использовании сглаживающих свойств оператора обращения В'1 линеаризованных краевых задач, а также аппроксимации нелинейного решения собственными функциями линейного оператора В.

Обоснование новизны состоит в том, что с позиций теории возмущения операторов сделано обобщение и математическое обоснование ранее известного ИАМ (С.А. Горбатков, М. Гживачевски [62]), а также предложена новая модификация ИАМ.

Достоверность положения основана на доказательстве теоремы 1 . 5 из главы 2, а также цифровыми экспериментами и сравнением расчета с физическим экспериментом и тестовыми решениями (главы 2 . 5). Цифровые эксперименты проводились совместно с М. Гживачевски и С.А. Горбатковым. Теоретическая ценность положения состоит в том, что указан путь построения конструктивных приближенных методов для нелинейных многомерных электротепловых моделей.

Обоснование достоверности положения основано на теоремах 6 и 7 и цифровых экспериментах из раздела 2.7.

5. Решены двухмерные задачи расчета нестационарного электромагнитного поля в осесимметричной системе «ферромагнитный цилиндр - возбуждающий токовый слой» конечных размеров, а также квазистатическая задача расчета поля в поперечном сечении длинной ферромагнитной прямоугольной призмы. Использованы с некоторой модификацией известные численные схемы метода переменных направлений (МЛН).

Новизна положения состоит в том, что нестационарная двумерная задача в ферромагнетике решена впервые. Ранее были известны решения одномерной задачи [30].

Теоретическая ценность положения заключается в том, что полученное нестационарное нелинейное решение двухмерной цилиндрической задачи электромагнитного поля может быть использовано как «эталон» для оценки более грубых моделей, например, квазистатических.

Новизна положения состоит в том, что модель оптимизации при учете всех факторов сложности (общности: взаимосвязи полей различной природы, неполноты знания входных данных, учета управляемых краевых эффектов, нелинейности нагреваемых сред, подвижного характера воздействий) получена впервые.

Достоверность положения обоснована цифровыми экспериментами в главе 5. Цифровые эксперименты проводились совместно с С.А. Горбатковым и Л.А. Лушниковым.

Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения и списка литературы. Работа содержит <2$4страниц сквозной нумерации, из которыхсУЛстраниц основного текста, ббстраниц рисунков, таблиц, библиографии и оглавления.

Заключение диссертация на тему "Математическое моделирование и оптимизация взаимосвязанных электромагнитных и тепловых полей в нелинейных средах при неполном знании входных данных"

Выводы:

1. Разработан подход к анализу устойчивости теплофизического процесса по возмущению начального состояния для модели, описываемой нелинейным трехмерным параболическим уравнением.

2. Разработанный подход использует метод интегральных квадратичных форм - функций Ляпунова и существенно опирается на ИАМ и может служить эффективным инструментарием исследования возмущения процессов теплопроводности, вызываемых неполным знанием входных данных. i67

Глава 3

ЦИФРОВЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ ПО АНАЛИЗУ СГЛАЖИВАЮЩИХ СВОЙСТВ ОПЕРАТОРОВ ОБРАЩЕНИЯ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ПО АЛГОРИТМУ ИАМ И ОЦЕНКЕ СКОРОСТИ ЕГО СХОДИМОСТИ

ЗЛ. Количественные меры для оценки сглаживающих свойств операторов обращения краевых задач теплопроводности и электромагнитного поля

Для практической оценки и использования эффекта сглаживания в приближенных алгоритмах решения параболических и эллиптических уравнений необходимо ввести какие-то количественные меры.

Определение: эффект сглаживания при прямой постановке тепловой или электромагнитной задачи имеет место в некоторой пространственно-временной области интегрирования П, если для любого числа а > 0 найдется другое число ц{ё)> 0 такое, что при изменении заданных нелинейных функций ат(и), т.е. приближаемых по алгоритму ИАМ с ошибкой , решение краевой тепловой или электромагнитной задачи в области О изменяется на величину меньшую, чем е:

8а (и(х, t)) т V V //

3.1)

Здесь и(хД) - решение краевой задачи для теплового поля (1.35), (1.39), (1.41) либо краевой задачи электромагнитного поля в формулировке (4.19), (4.20)-(4. 32) для векторного потенциала А или (4.71)-(4.75) для напряженности магнитного поля Н

В исследованных выше алгоритмах ИАМ в качестве приближаемых итерационно нелинейных заданных функций в общем случае могут выступать коэффициенты уравнения, функций, входящие в граничные условия, а также возмущения R(u) линейного оператора В согласно (2.10):

00,/))}= Ми), Ф), Рт ("X Л С"), /'О"),я(м), /4»), k (u)(ö«(x, /)/ aol |a(«)V2ttJ. (3.2)

ИАМ является открытым в том смысле, что допускает различные способы выделения линейного оператора В и возмущения R, а также различные способы решения линеаризованных возмущенных уравнений (конечные интегральные преобразования, проекционные методы и др.). Соответственно, приближаемые нелинейные функции am(a(x,t)) могут быть другие, нежели (3.2).

Замечание. Приведенная выше мера сглаживания (3.1) основана на определении Ляпунова для устойчивости динамического процесса при возмущении начальных данных, коэффициентов, правых частей, которые обобщенно Т.К. Серазетдиновым [97]. В нашем определении аналогом устойчивости динамического процесса u(x,t) в системе с распределенными параметрами выступает "сжатие" (сглаживание) ошибок задания коэффициентов уравнений, граничных условий, краевых частей и, наконец, возмущений оператора R(u), возникающий вследствие приближенного характера ИАМ. Отличие (3.1) от классического определения устойчивости состоит в том, что (х,г)еП', т.е. время задано на конечном интервале t е [о, / *].

В работе используются и другие меры сглаживания, в частности коэффициенты сглаживания вида |КЯ) (»<г' 0) - («(*, 0)|| /|| "(г, 0 - и^ (х, 0||. (3.3) где п - номер итераций по ИАМ; норма ||*|| определена формулой

IWI = maxW . (3-4) в классе функций С(П').

Аналогично вводится коэффициент сглаживания для функций джоулевых источников тепла w(xyt)

КСГЛ.„ = Ih (*, 0 - ">2 (*, 0|| /|К (*> 0 " »2 <Х 0|| (3 - 5) где wi, W2 - два элемента в пространстве кусочно-непрерывных в П1 функций; ui, 112 два различных решения уравнений теплопроводности, соответствующих w ] и w2

Заметим, что мера (3.5) связана не с ошибками алгоритма ИАМ, вытекающими из его приближенного характера, а ошибками приближенной кусочной аппроксимации джоулевых источников тепла w(x,t) после решения задачи электромагнитного поля (см., например, аппроксимацию (2.38 )-(2.39 )). Эти ошибки тоже сглаживаются оператором обращения в 1 начально-краевой задачи теплопроводности.

3.2. Оценка сглаживающих свойств оператора обращения В"1 и скорости сходимости для параболических уравнений теплопроводности

Оценки проводились во всех задачах, решаемых в диссертации, и подробно описаны в публикациях автора [59-61]. Приведем некоторые примеры для параболических двух- и трехмерных нелинейных операторов теплопроводности в случае неподвижных (v=0) источников (управлений).

Пример I. Приведены цифровые эксперименты на ЭВМ для модельной двухмерной задачи индукционного нагрева парамагнитного цилиндра (глава 5). Исследовались сглаживающие свойства операторов уравнений теплопроводности (1.35) в отношении коэффициента теплопроводности 2(г), теплового потока q{x), функции источников тепла (управления) w(x) для результирующего распределения температурного поля (t=t*). Исходные данные соответствуют расчету из раздела 5.1.

На рис. 3.1 приведены данные примера расчета электромагнитного и теплового поля в алюминиевом цилиндре, нагреваемом в электромагнитном поле. Входные данные к расчету соответствуют расчетной схеме рис. 5 2л. из раздела 5.2. На рис. 3.1 этапы основного нагрева (ОН) и градиентного нагрева (ГН) соответствуют дискретному подвижному управлению вида (1.3), когда на различных этапах Д/у изменяется уровень мощности источников и их распределение в теле. При этом конец этапа ГН — это конец всего процесса (/гя ='*). Через м? обозначена удельная объемная джоулева мощность, рассчитываемая после решения задачи электромагнитного поля по формуле (1.1), а через q^— тепловой поток на боковой поверхности цилиндра, рассчитаны в процессе решения задачи теплопроводности по формуле (1.39), т.е. с учетом всех механизмов нелинейного процесса теплообмена (конвекцией, теплопроводностью и лучеиспусканием). Более подробно о постановке электротепловой задачи и об алгоритме ее решения сказано в разделе 5.2.

Оценим сглаживающие свойства оператора обращения В'1 краевой задачи теплопроводности по отношению к изменению нелинейной функции граничных условий в алгоритме НАМ (2.29) — (2.31). Используем меру сглаживания (3.2) для распределений в конце процесса (/ =//н =/*) температуры и теплового потока

Аналогично, в отношении сглаживания вариаций удельных источников тепла, используя меру (3.3), получим

Ми,г*| 0,433 е(1Д,Г*)||= 0,2487 1,741

3.4) с гл. с,, к,

К1»*.''! 0,984 |0(1,2,/*)||~ 0,2487 3,95.

3.5) ное приближение «(0), мало отличающееся от и[х] во всей четырехмерной пространственно-временной области, где определено решение. Практические расчеты показали, что скорость сходимости АМИЛ для одно-, двухмерных задач практически одинакова и составляет 2 - 4 шага.

Данный вывод важен с той точки зрения, что при разработке вычислительных технологий позволяет перенести рекомендации по технике применения НАМ, отработанные на простых одномерных задачах, на вновь решаемые сложные многомерные задачи. На одномерных моделях можно проследить в чистом виде (без затенения анализа краевыми эффектами) основные особенности ИАМ. Ценность рассмотрения таких модельных одномерных задач состоит также в том, что приближенное решение, полученное с помощью ИАМ, можно сравнить с известными точными и приближенными аналитическими решениями, которые изучены достаточно детально. Такое сравнение особенно важно потому, что физические эксперименты не позволяют получать информацию о локальных Характеристиках электромагнитного поля внутри ферромагнетика без внесения возмущения (искажения) поля, а дают достоверную информацию только об интегральных характеристиках поля (функционалах от искомого потенциала поля). Поскольку эти функционалы, например напряжение индуктора, обладают, как правило, сглаживающими свойствами, то они отражают погрешность решения краевой задачи при сравнении с экспериментом лишь косвенно.

Итак, следуя изложенным рекомендациям, проведем анализ вычислительных аспектов ИАМ на примере следующей модельной одномерной задачи, которая следует из (1.27а): дгН 1 • , л • |\ ■ г + гЯ-ЫЯ Я = 0; 0 < г < 1; йг г м 4

Н'{0) = 0; Я(1) = 1; К1 - ацйр~х г=г/Д0, Н=Н,„/\Н,„С\, (3.6) где нт — комплексная амплитуда напряженности магнитного поля; н тс — заданная амплитуда напряженности на поверхности цилиндра радиуса Яо', 7 — относительный радиус; — нелинейная функция магнитной проницаемости по основной кривой намагничивания [32].

Для этой модельной задачи известно эталонное численное решение с учетом нестационарности и нелинейности процесса, полученное М.Г. Коганом [45], линейное решение из [32] и приближенное аналитическое нелинейное решение Л.Р. Неймана [10]. Было рассчитано 4 различных варианта (табл. 3.1) для материала из конструкционной стали.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

3. Предложен нетрадиционный (не стохастический) способ учета фактора неполноты знаний входных данных, который реализован в совокупности оригинальных предложений при построении математических моделей взаимосвязанных электротепловых полей, который (приближенная аппроксимация нелинейных решений краевых задач собственными функциями линейных операторов; в использовании простых схем аппроксимации возмущенной части оператора; в процедуре расщипления электротепловой задачи; в принципе ВММ; в двухэтапном алгоритме поиска оптимума; в постановке задачи оптимизации).

4. Установлена необходимость сглаживания локальных возмущений поля в рассматриваемом классе задач.

5. Предложен принцип вложенных математических моделей (неоднородности расчетной модели).

8. Доказана теорема 1 о существовании допустимого обобщенного решения в пространстве К2и'(П') линеаризованных краевых задач теплопроводности, получаемых по алгоритму ИАМ.

9. Доказаны теорема 2 об отнесении итерационного процесса ИАМ к классу од-ношаговых процессов с нестационарными операторами.

10. Доказана теорема 3 о сходимости итерационного процесса к точному решению (и{п) «*) и оценке скорости сходимости для базового ИАМ.

11. Получены теоремы 4 и 5 о сходимости итераций для модификации I ИАМ и устойчивости итерационного процесса.

12. Доказана теорема 6 и 7 об устойчивости решения по Иам по возмущению начального состояния.

15. Предложен декомпозиционный алгоритм расщепления общей задачи оптимального управления электротепловым полем на подзадачи оптимизации

2 75 функции интенсивности Си{[) и функции пространственной формы !} источников тепла.

14.На основе принципа ВММ предложен двухэтапный поисковый алгоритм оптимизации управляющих параметров в параметрической подзадаче С^ ().

15.Построены и апробированы двухмерные модели оптимизации взаимосвязанных электромагнитных и тепловых полей для парамагнитных в нелинейных и неоднородных средах.

Библиография Вуйтович, Марек, диссертация по теме Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

1. Яшин A.A., Кандлин В.В., Плотникова Л.Н. Проектирование многофункциональных объемных интегральных модулей СВЧ и КВЧ диапазонов / Ред. Е.И. Нефедов. — М.: НТЦ «Информтехника», 1992. — 324 с.

2. Болотов A.B., Шепель Г.А. Электротехнологические установки: Учебн. для вузов. — М.: Высшая школа, 1988. — 336 с.

3. Никольский В.В., Никольский Т.И. Декомпозиционный подход к задачам электродинамики. — М.: Наука, 1983. — 304 с.

4. Тозони О.В., Майергойз Н.Д. Расчет трехмерных электротепловых полей. — Киев: Техника, 1974. — 352 с.

5. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. — М.: Наука, 1969. — 480 с.

6. Кравченко А.Н. Краевые характеристики в задачах электродинамики. — Киев: Наукова думка, 1989. — 224 с.

7. Бадамшин P.A., Горбатков С.А., Клестов Е.А. Оптимальное терминальное управление системами с распределенными параметрами при неполном измерении их состояния. Уфа: Уфимск. госуд. авиац. технич. ин-т, 1997. - 313 с.

8. Бутковский А.Г., Пустыльников Л.М. Теория подвижного управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука. Физмалит, 1980. - 284 с.

9. Ю.Нейман Л.Р. Поверхностный эффект в ферромагнитных телах. — Л.: Гостех-издат, 1949. — 190 с.

10. П.Демирчян К.С., Чечурин B.JI. Расчет вихревых магнитных полей на основе использования скалярного магнитного потенциалаУ/Электричество, 1982, №1.

11. Тихонов А.Н., Кальнер В.Д., Гласко В.Б. Математическое моделирование технологических процессов и метод обратных задач в машиностроении. — М.: Машиностроение, 1990. — 264 с.

12. Свенчанский А.Д. Электрические промышленные печи. — М.: Энергия, 1976. —384 с.

13. Беллман Р. Динамическое программирование. — М.: Иностранная литература, 1960. — 400 с.

14. Бутковский А.Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. — М.: Наука, 1975. — 568 с.

15. Красовский H.H. Теория управления движением. М.: Наука, 1968. - 476 с.

16. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. — М.: Наука. Физматлит, 1965. — 474 с.

17. Клестов Е.А., Сиразетдинов Т.К. Метод распределенных моментов в задачах оптимального быстродействия // Сб. научн. трудов Казанского авиац. ин-та.

18. Казань: Изд. КАИ, 1971, вып. 130, С. 98 — 103.

19. Бутковский А.Г. Характеристики систем с распределенными параметрами.1. М. Наука, 1979. — 224 с.

20. Лыков A.B. Теория теплопроводности. — М.: Высшая школа, 1967. — 600 с.

21. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. — М.: Металлургия, 1993. — 279 с.

22. Беляев Н.М., Рядно A.A. Методы теории теплопроводности. — М.: Высшая школа, 1982. — 304 с.26.3арубин B.C. Инженерные методы решения задач теплопроводности. — М.: Энергоатомиздат, 1983. — 328 с.

23. Тир Л.Л., Столов М.Я. Электромагнитные устройства для управления циркуляцией расплава в электропечах. — М.: Энергия, 1975. — 188 с.

24. Кравченко А.Н., Березовский A.A. О нелинейных краевых задачах электромагнитного поля. — Киев: Изд. АН УССР, 1963. — 76 с.

25. Сухоруков В.В. Математическое моделирование электромагнитных полей в проводящих средах. — М.: Энергия, 1975. — 188 с.

26. Коган М.Г. Поверхностный эффект в неравномерно нагретом ферромагнитном цилиндре // Электричество, 1967, №8, С. 72 — 81.

27. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: Наука, 1977. — 832 с.

28. Слухоцкий А.Е., Рыскин С.Е. Индукторы для индукционного нагрева. — Л.: Энергия. Ленингр. отделение, 1974. — 288 с.

29. Демирчян К.С. Моделирование магнитных полей. — Л.: Энергия, 1974. — 288 с.

30. Гринберг Г.А. Избранные вопросы математической теории электрических и магнитных явлений. — М. — Л.: Изд. АН ССР, 1948. — 748 с.

31. Тозони О.В. Метод вторичных источников в электротехнике. — М.: Энергия, 1975, —296 с.

32. Тозони О.В. Расчет электромагнитных полей на вычислительных машинах. — Харьков: Техника, 1967. — 256 с.37.3арипов М.Ф., Горбатков С.А. Элементы теории нелинейных электромагнитных систем с распределенными параметрами. М.: Наука, 1979. - 225 с.

33. Кравченко А.Н. Краевые характеристики в задачах электродинамики. — Киев: Наукова думка, 1989. — 224 с.2 77

34. Фелсен Л., Маркувиц Н. Излучение и рассеяние волн. М.: Мир, 1978. - Т П. — 547 с.

35. Вайнштейн Л.А. Электромагнитные волны. — М.: Советское радио, 1957. — 581с.41.3оммерфельд А. Электродинамика. -М.: Изд-во иностр. лит., 1958. 504 с.

36. Марков Г.Т., Васильев E.H. Математические методы прикладной электродинамики. — М.: Советское радио, 1970. — 120 с.

37. Леонтович М.А. О приближенных граничных условиях для электромагнитного поля на поверхности хорошо проводящих тел // Исследования по распределению радиоволн. — 1948. — Сб. IL, С. 5 — 12.

38. Миллер М.А., Таланов В.И. Использование понятия поверхностного импеданса в теории поверхностных волн // Изв. вузов. Радиофизика, 1964, Т. 4, №5, С. 795 — 830.

39. Коган М.Г. Расчет индукторов для нагрева тел вращения. — М.: Всесоюзн. научно-исслед. ин-т электромеханики, 1966. — 56 с.

40. Kolbe Е., Reiß B.W. Die räumliche Stromdichterverteilung in inductiv erwartmen Körpern unter Berücksichtigung des Temperatur felds // Electrowärme. — 1967/ — B. 25, №7.

41. Установки индукционного нагрева: Учебное пособие для вузов / А.Е. Слу-хоцкий, B.C. Немков, H.A. Павлов, A.B. Бамунэр. — Л.: Энергоатомиздат, Ленингр. отд-ние, 1981. — 328 с.

42. Михлин С.Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. — М.: Госуд. изд. физико-матем. лит., 1959, — 232 с.

43. Цейтлин Л.А. Справочник по расчету индуктивностей. — М.: Энергия, 1974.

44. Рапопорт Э.Я. Оптимизация процессов индукционного нагрева металла. — М.: Металлургия, 1993. — 279 с.

45. Соболь И.М., Статников Р.Б. Выбор оптимальных параметров в задаче со многими критериями .

46. Айвазян С.А., Мхитарян B.C. Прикладная статистика и основы эконометрики: Учебник для вузов. — М.: ЮНИТИ, 1998. — 1022 с.

47. Handbook of Intelligent Control: Neural, Fuzzy and Adaptive Approaches / (Ed/A David A — Write. Donald a Sofge): van Nostrand Reinbrold, №4, 1992. - 558 p.

48. Алифанов O.M. Идентификация процессов теплообмена летательных аппаратов. — M.: Машиностроение, 1979. — 216 с.

49. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач: Учебн. пособия для вузов. — М.: Наука. Физматлит, 1979. — 285 с.

50. Гживачевски М., Вуйтович М.Е. Итеро-аппроксимативный метод решения нелинейных многомерных задач электротеплового поля // Инженерно-физический журнал, 1999, Т., №, с.

51. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. — М.: Наука. Физматлит, 1967. — 736 с.

52. Вуйтович М.Е. Математическое обоснование итеро-аппроксимативного метода решения нелинейных многомерных задач электротеплового поля // Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ, 1999, Т. 7, №1.

53. Гживачевски М., Сарнецка В., Вуйтович М. Декомпозиционный метод решения начально-краевых нелинейных многомерных задач оптимального управления электротепловым полем// Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ, 1999, №4, с.

54. Гживачевски М., Вуйтович М. Исследования закономерностей краевых эффектов электротеплового поля на основе математического моделирования //2,79

55. Труды Радомского политехнического института. Серия «Математика», 1999, № .

56. Горбатков С.А., Гживачевски М. К анализу итеро-аппроксимативного метода для трехмерных нелинейных задач теплопроводности // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт, 1988, №2, С. 101 — 111.

57. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. — 1978. — 591 с.

58. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. — М.: Наука, 1980. — 525 с.

59. Хейгеман J1., Янг Д. Прикладные итерационные методы. — М.: Мир, 1986.442 с.

60. Марчук Г.И., Лебедев В.И. Численные методы в теории переноса нейтронов.

61. М.: Атомиздат, 1971. — 496 с.

62. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. — М.: Наука, 1978. — 206 с.

63. Тихонов А Н., Леонов А.С., Ягола А.Г. Нелинейные некорректные задачи. — М.: Наука. Физматлит, 1995. — 312 с.

64. Денисов A.M. Введение в теорию обратных задач. — М.: Издательство Мос-ковск. госуд. ун-та, 1994. — 208 с.

65. Канторович Л.В., Акилов Т.П. Функциональный анализ. — М.: Наука. Физматлит, 1977. — 742 с.

66. Канторович Л.В. Функциональный анализ и прикладная математика // Успехи мат. наук. 1948, Т. 3., №6. С. 89 — 185.г go

67. Ворович И.И., Красовский Ю.П. О методе упругих решений // Докл. АН СССР. 1959. Т. 126, №4. С. 740 —743.

68. Кошелев А.И. О сходимости метода последовательных приближений для квазилинейных эллиптических уравнений.

69. Чегис Р., Шейбак Т. О применении итерационных методов для решения задач с разрывными коэффициентами // Дифференц. уравнения и их приложения (Вильнюс). 1985. №37. С. 68 — 81.

70. Sattinger D.H. A monotonne method for noulinear elliptic and parabolic problems // Indiana Univ. Math. 1.1972. V. 21. P. 979—1000.

71. Chandra I., Dressel F., Norman P. A monotonne method for a system of noulinear parabolic differetial eguations //Proc. Roy. Soc. Edinburgh. 1981. A. 87. N 3 — 4. P. 209 —217.

72. Pachpatte B.G. Monotonne method for noulinear system of equation arising in reactor dynamics //Math. Semin. Notes. Kobe Univ. 1982. 10, N 2/2. P. 721 — 732.

73. Морозкин Н.Д. Оптимальное управление процессами нагрева с учетом фазовых ограничений. — Уфа: Башкирский госуд. ун-т, 1997. — 114 с.

74. Павлов H.A. Инженерные тепловые расчеты индукционных нагревателей. — JI.: Энергия, Ленингр. отд-ние, 1978. — 120 с.

75. Сперроу Э.М., Сесс Р.Д. Теплообмен излучением. — Л.: Энергия. Ленингр. отд-ние, 1971. — 294 с.

76. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. Т. I. — М.: Иностранная литература, 1958. — 560 е., Т. II, 1960. — 320 с.

77. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Численные методы решения задач конвекции — диффузии. — М.: Эдиториал УРСС, 1999. — 248 с.

78. Беллман Р., Кабала Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи. — М.: Мир, 1968. — 164 с.

79. Рыкалин Н.Н., Зуев И.В., Углов А.А. Основы электронно-лучевой обработки материалов. — М.: Машиностроение, 1978. — 240 с.

80. Чубаров Е.П. Управление системами с подвижными источниками воздействия. — М.: Энергоатомиздат, 1985. — 288 с.

81. Колесников П.М., Руденок И.П. Математическое моделирование теплооб-менных процессов в открытых волноведущих структурах // Электродинамика СВЧ и КВЧ, 1999, Выпуск 2 (23), С. 44 — 46.

82. Вольдек А.И., Данилевич Я.Б., Косачевский В.И. и др. Электромагнитные процессы в торцевых частях электрических машин. — Л.: Энергоатомиздат, Ленигр. отделение, 1983. — 216 с.

83. Reichert К.A. Numerical Methods to Calculate Induction Heating Installations // Electrowarme Int. — 1968. — V. 26. — P. 113 — 123.

84. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. — М.: Мир, 1972. — 276 с.

85. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. — М.: Наука. Физмат-лит, 1971, —420 с.

86. Breinmaker Professional. Neural Network Simulation software. User Guide Reference Manual. —Nevada City: California scientific Software, 1995.

87. Сиразетдинов Т.К. Устойчивость систем с распределенными параметрами. — Новосибирск: Наука. Сибирское отд-ние, 1987. — 231 с.

88. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. — М.: Наука. Физматлит, 1970. — 512 с.

89. Горбатков С.А., Кувалдин А.Б., Минеев В.Е. и др. Химические аппараты с индуктивным обогревом, — М.: Химия, 1974. — 175 с.

90. ЮО.Василъев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. — М.: Наука. Физматлит, 1988. — 552 с.

91. Ю2.Немков B.C., Демидович В.Б. Теория и рассчет устройств индукционного нагрева. — JL: Энергоатомиздат, 1988. — 280 с.

92. Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред. — М.: Наука, 1994.

93. Вабшцевич П.Н. Монотонные разностные схемы для задач конвекции / диффузии // Дифференциальные уравнения, 1994, №30, С. 503 — 513.

94. Самарский А.А. и др. Разностные схемы на неравномерных сетках. — Минкс: Критерий, 1996.

95. Hageman L.A., Young D.M. Applied Iterative Methods. — New York: Akademic Press, 1981.

96. Morton K.W. Numerical Solution of Convection — Diffusion Problems. — London: Chapman & Hall, 1996.

97. Павловский Ю.Н. Проблема декомпозиции в математическом моделировании //Математическое моделирование, 1991, Т. 3, №4, С. 93 — 122.

98. Смирнов В.И. Курс высшей математики, т. V. — М.: Физматгиз, 1959.

99. Соболев C.JI. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. — Изд-во ЛГУ, 1950.

100. ПЗ.Вигак В.М. Оптимальное управление нестационарными температурными режимами. — Киев: Наукова думка, 1979. — 360 с.

101. Свешников А.Г. Прямые и обратные задачи электродинамики // Проблемы математической физики и вычислительной математики. — М.: Наука, 1977, С. 287 — 298.

Похожие работы

Информатика, вычислительная техника и управление
05.13.00